数列经典综合题66例_无答案

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最新高考数学三轮复习必做的数列综合题

最新高考数学三轮复习必做的数列综合题
(2)若对一切 都有 ,求 的取值范围.
解:(1) ,∴
当 时, .
当 ≥2时, = ,∴
此时 · · = · ,
∴ …… = ……+
设 ……+ ,
∴ …… ,

∴ · ……6分
(2)由 可得
①当 时,由 ,可得
∴ 对一切 都成立,
∴此时的解为 .
②当 时,由 可得
≥ ∴ 对一切 都成立,
∴此时的解为 .
高考数学三轮复习必做的数列综合题
1.数列 的各项均为正数, 为其前 项和,对于任意 ,总有 成等差数列.
(Ⅰ)求数列 的通项公式;
(Ⅱ)设数列 的前 项和为 ,且 ,求证:对任意实数 ( 是常数, =2.71828 )和任意正整数 ,总有 2;
(Ⅲ) 正数数列 中, .求数列 中的最大项.
(Ⅰ)解:由已知:对于 ,总有 ①成立
∴ (n ≥ 2)②
①--②得

∵ 均为正数,∴ (n ≥ 2)
∴数列 是公差为1的等差数列
又n=1时, , 解得 =1
∴ .( )
(Ⅱ)证明:∵对任意实数 和任意正整数n,总有 ≤ .

(Ⅲ)解:由已知 ,
易得
猜想 n≥2 时, 是递减数列.

∵当
∴在 内 为单调递减函数.
由 .
∴n≥2 时, 是递减数列.即 是递减数列.
又 , ∴数列 中的最大项为 .
2.设f1(x)= ,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an= (n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 若 ,Qn= (n∈N*),试比较9T2n与
Qn的大小,并说明理由.

高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析

高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中,a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*).(1)写出a2,a3的值(只写结果),并求出数列{an}的通项公式;(2)设bn=+++…+,若对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+>bn恒成立,求实数t的取值范围.【答案】(1)a2=6,a3=12. an=n(n+1).(2)实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞)【解析】解:(1)∵a1=2,an-an-1-2n=0(n≥2,n∈N*),∴a2=6,a3=12.当n≥3时,an -an-1=2n,a n-1-a n-2=2(n-1),又a3-a2=2×3,a2-a1=2×2,∴an -a1=2[n+(n-1)+…+3+2],∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2×=n(n+1).当n=1时,a1=2;当n=2时,a2=6,也满足上式,∴数列{an }的通项公式为an=n(n+1).(2)bn=++…+=++…+=-+-+…+-=-==.令f(x)=2x+(x≥1),则f′(x)=2-,当x≥1时,f′(x)>0恒成立,∴函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn )max=.要使对任意的正整数n,当m∈[-1,1]时,不等式t2-2mt+>bn恒成立,则需t2-2mt+>(bn )max=,即t2-2mt>0对∀m∈[-1,1]恒成立,∴,解得t>2或t<-2,∴实数t的取值范围为(-∞,-2)∪(2,+∞).2.一函数y=f(x)的图象在给定的下列图象中,并且对任意an ∈(0,1),由关系式an+1=f(a n)得到的数列{an }满足an+1>a n(n∈N*),则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an+1>a n可知数列{a n}为递增数列,又由a n+1=f(a n)>a n可知,当x∈(0,1)时,y=f(x)的图象在直线y=x的上方,故选A.3.设函数)定义为如下数表,且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A.1B.2C.4D.5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知:,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射,且对任意,有.现对点集A中的点,,均有,点为(0,2),则线段的长度 .【答案】【解析】∵,∴,,,,,,…,根据变化规律可知,∴,,∴.【考点】1.数列的性质;2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足,则该数列的通项公式_________.【答案】【解析】∵,∴,∴,∴,,…,,∴,∴,∴.【考点】1.累加法求通项公式;2.裂项相消法求和.7.数列满足,则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法,在中用代换得(),两式相减得,,又,即,故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数,记,若是递减数列,则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列,从开始是用式子计算,这时只要,即即可,关键是是通过二次式计算,根据二次函数的性质,应该有且,即且,解得,综上取值范围是.【考点】数列的单调性.9.已知数列{}的前n项和为,且,则使不等式成立的n的最大值为.【答案】4【解析】当时,,得,当时,,所以,所以,又因为适合上式,所以,所以,所以数列是以为首项,以4为公比的等比数列,所以,所以,即,易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式;2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个容量为1千克的药瓶,他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为,B喷雾器中药水的浓度为.(1)证明:是一个常数;(2)求与的关系式;(3)求的表达式.【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系,证明是一个常数;(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式,求解与的关系式;(3)根据第二问的递推关系,采用构造数列的思想进行求解.试题解析:(1)开始时,A中含有10=1.2千克的农药,B中含有10=0.6千克的农药,,A中含有千克的农药,B中含有千克的农药,它们的和应与开始时农药的重量和相等,从而(常数). 4分(2)第n次操作后,A中10千克的药水中农药的重量具有关系式:由(1)知,代入化简得① 8分(3)令,利用待定系数法可求出λ=—9,所以,可知数列是以为首项,为公比的等比数列.由①,,由等比数列的通项公式知:,所以. 12分【考点】1.数列的递推式;(2)数列的通项公式;(3)实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数,且,则【答案】B【解析】等比数列中,所以【考点】等比数列性质及对数运算点评:等比数列中,若则,在对数运算中12.已知数列的首项为,对任意的,定义.(Ⅰ)若,(i)求的值和数列的通项公式;(ii)求数列的前项和;(Ⅱ)若,且,求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时,;当为奇数时,【解析】(Ⅰ) 解:(i),,………………2分由得当时,=………4分而适合上式,所以.………………5分(ii)由(i)得:……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解:因为对任意的有,所以数列各项的值重复出现,周期为. …………9分又数列的前6项分别为,且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为,则,当时,,……………11分当时,,…………12分当时所以,当为偶数时,;当为奇数时,. ……………13分【考点】数列的通项公式,数列的求和点评:解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用,并能结合裂项法求和,以及分情况讨论求和,属于中档题。

数列经典题型

数列经典题型
6.5 数列的经典例题
题型1.数列前n项之和与通项公式的关系
1.数列{an}的前n项之和Sn=n2-1,则a1,a4的值依次为 (
A.1,1
ห้องสมุดไป่ตู้
B.-1,7
C.0,7
D.0,4
【答案】 C
2.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+2n,则an= . 【答案】 6n-1
1
题型2.等差数列定义、通项公式与前n项之和
【答案】 10
2
题型3.等比数列定义、通项公式与前n项之和
【答案】 B
7.在等比数列{an}中,a3=7,前三项之和S3=21,则公比q = .
【答案】 40
3
题型4.等差、等比数列性质的应用
【答案】 C
10.已知等比数列{an}中,a10=3,a20=6,则a30= .
【答案】 12
3.若等差数列{an}的公差为2,且S100=120,则
a2+a4+a6+…+a100= ( )
A.100
B.110
C.120
D.60
【答案】 B
4.已知等差数列{an}中,前3项之和为21,公差d=4,则数 列{an}前20项之和为 .
【答案】 820
5.在等差数列{an}中,a1=1,a5=9,前n项和为Sn=100,则n = .
4
12.在等差数列{an}中,已知前11项之和等于33,则 a2+a4+a6+a8+a10= .
【答案】 15
5
题型5.构造新的等差数列、等比数列解决问题 13.求在[100,300]之间共有多少个数是7的倍数.
解:在[100,300]之间所有7的倍数构成等差数列

数列综合测试题及答案

数列综合测试题及答案

高一数学数列综合测试题1.{a n}是首项a1=1,公差为d=3 的等差数列,如果a n=2 005 ,则序号n等于( ).A.667 B.668 C.669 D.6702.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5=( ).A.33 B.72 C.84 D.1893.如果a1,a2,?,a8 为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则( ).A.a1a8>a4a5 B.a1a8<a4a5 C.a1+a8<a4+a5 D.a1a8=a4a52 24.已知方程(x -2x+m)( x -2x+n)=0 的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|等于( ).A.1 B.34C.12D.385.等比数列{a n}中,a2=9,a5=243,则{a n}的前 4 项和为( ).A.81 B.120 C.168 D.1926.若数列{a n}是等差数列,首项a1>0,a2 003 +a2 004 >0,a2 003 ·a2 004 <0,则使前n 项和S n>0 成立的最大自然数n 是( ).A.4005 B.4006 C.4007 D.40087.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4 成等比数列, 则a2=( ).A.-4 B.-6 C.-8 D.-108.设S n 是等差数列{a n}的前n 项和,若a5a3=59,则S9S5=( ).A.1 B.-1 C.2 D.1 29.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则a2b2a1 的值是( ).A.12B.-12C.-12或12D.1410.在等差数列{a n}中,a n≠0,a n-1- 2a +a n+1=0( n≥2,) 若S2n-1=38,则n=( ).nA.38 B.20 C.10 D.9二、填空题..11.设 f (x )=1x ,利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法,可求得f (-5)+f(-4)+?+f (0) +?+2 2f (5)+f (6) 的值为.12.已知等比数列{a n}中,(1) 若a3·a4·a5=8,则a2·a3·a4·a5·a6=.(2) 若a1+a2=324,a3+a4=36,则a5+a6=.(3) 若S4=2,S8=6,则a17+a18+a19+a20=.13.在83 和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为.14.在等差数列{a n}中,3(a3+a5)+2( a7+a10+a13)=24,则此数列前13 项之和为.15.在等差数列{a n}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+?+a10=.16.设平面内有n 条直线(n≥3,) 其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用 f (n)表示这n 条直线交点的个数,则 f (4) =;当n>4 时,f (n )=.三、解答题217.(1)已知数列{a n}的前n 项和S n=3n -2n,求证数列{a n}成等差数列.(2) 已知1a,1b,1c成等差数列,求证b c c a a b,,a b c也成等差数列.18.设{a n}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2 成等差数列.(1) 求q 的值;..(2)设{b n}是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n,当n≥2时,比较S n 与b n 的大小,并说明理由.19.数列{a n}的前n 项和记为S n,已知a1=1,a n+1=n 2nS n(n=1,2,3?).求证:数列{ S nn}是等比数列.20.已知数列{a n}是首项为 a 且公比不等于 1 的等比数列,S n 为其前n 项和,a1,2a7,3a4 成等差数列,求证:12 S3,S6,S12-S6 成等比数列...高一数学数列综合测试题参考答案一、选择题1.C解析:由题设,代入通项公式a n=a1+(n-1) d,即 2 005=1+3( n-1),∴n=699.2.C解析:本题考查等比数列的相关概念,及其有关计算能力.设等比数列{a n}的公比为q(q>0),由题意得a1+a2+a3=21,即a1(1+q+q 2 2)=21,又a1=3,∴1+q+q =7.解得q=2 或q=-3(不合题意,舍去),2 2 2∴a3+a4+a5=a1q (1+q+q )=3×2 ×7=84.3.B.解析:由a1+a8=a4+a5,∴排除C.2又a1·a8=a1(a1+7d)=a1 +7a1d,2 2∴a4·a5=(a1+3d )(a1+4d )=a1 +7a1d +12d >a1·a8.4.C解析:..解法1:设a1=14 ,a2=14+d,a3=14+2d,a4=142 2+3d,而方程x -2x+m=0 中两根之和为2,x -2x+n=0中两根之和也为2,∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4,∴d=12,a1=14,a4=74是一个方程的两个根,a1=34,a3=54是另一个方程的两个根.7 ∴16 ,1516分别为m 或n,∴|m-n|=12,故选C.解法2:设方程的四个根为x1,x2,x3,x4,且x1+x2=x3+x4=2,x1·x2=m,x3·x4=n.由等差数列的性质:若+s=p+q,则 a +a s=a p+a q,若设x1 为第一项,x2 必为第四项,则x2=74,于是可得等差数列为14,34,54,74,∴m =716,n=1516,∴|m-n|=12 .5.B解析:∵a2=9,a5=243,a5a23=q=2439=27,∴q=3,a1q=9,a1=3,∴S4=53 3-1 3-=2402=120.6.B解析:解法1:由a2 003 +a2 004 >0,a2 003 ·a2 004 <0,知a2 003 和a2 004 两项中有一正数一负数,又a1>0,则公差为负数,否则各项总为正数,故a2 003>a2 004 ,即a2 003 >0,a2 004<0.∴S4 006 =4006( a1 a )+4 0062=4006( a a+2 003 22004)>0,∴S4 007 =40072·(a1+a4 007 )=40072·2a2 004 <0,故4 006 为S n>0 的最大自然数. 选B.... ..解法2:由a1>0,a2 003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,同解法 1 的分析得a2 003 >0,a2 004 <0,∴S2 003 为S n 中的最大值.∵S n 是关于n 的二次函数,如草图所示,( 第6 题) ∴2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小,4 ∴0072在对称轴的右侧.根据已知条件及图象的对称性可得 4 006 在图象中右侧零点 B 的左侧, 4 007,4 008 都在其右侧,S n>0 的最大自然数是 4 006 .7.B解析:∵{a n}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6,又由a1,a3,a4 成等比数列,∴(a1+4) 2 =a1(a1+6),解得a1=-8,∴a2=-8+2=-6.8.A9(a1 a )9解析:∵S9S5= 225(a1a )5=95a5a3=9559·=1,∴选A.9.A4 解析:设 d 和q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q,2∴d=-1,q =2,a2 ∴b2 a1d= 2q=12.10.C解析:∵{a n}为等差数列,∴ 2 a =an-1+a n+1,∴n2a =2a n,n...又a n≠0,∴a n=2,{a n}为常数数列,..而a n=S n22n11,即2n-1=382=19,∴n=10.二、填空题11.3 2 .解析:∵f( x)=1x ,2 2∴f (1-x)=11 x =2 2 2x22 2x=1222x2x,∴f (x )+f (1-x)=2 1x2+122x2x2=1122x2x2=12(22x2x2 )=22.设S=f (-5)+f(-4)+?+f (0)+?+f (5) +f (6) ,则S=f (6) +f (5) +?+f (0) +?+f (-4)+f (-5),∴2S=[f(6) +f (-5)] +[f(5) +f (-4)] +?+[f(-5)+f (6)] =6 2 ,∴S=f (-5)+f (-4)+?+f (0) +?+f (5) +f (6) =3 2 .12.(1)32;(2)4;(3)32.解析:(1)由a3·a5= 2a ,得a4=2,4∴a2·a3·a4·a5·a6= 5 a =32.4(2)a1( a1a2a23242)q 362q19,4∴a5+a6=(a1+a2)q=4.S a a a a 2=+++=4 1 2 3 44 (3)q =24S a= a a S S q+++=+8 1 2 8 4 4,16∴a17+a18+a19+a20=S4q =32.13.216....解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与83 ,272同号,由等比中项的中间数为83 27283=6,插入的三个数之积为×272×6=216...14.26.解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10,∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,∴S13=13( a1 a13 )+2=13( a4 a10 )+2=13 42=26.15.-49.解析:∵d=a6-a5=-5,∴a4+a5+?+a10=7(a a4+)102=7(a5 d a5 5d) -++2=7( a5+2d) =-49.16.5,12(n+1)( n-2).解析:同一平面内两条直线若不平行则一定相交,故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交,∴f(k)=f (k -1) +(k-1).由f (3) =2,f (4)=f (3) +3=2+3=5,f (5)=f (4) +4=2+3+4=9,??f (n)=f(n-1)+(n-1),相加得 f (n)=2+3+4+?+(n-1)=12(n+1)( n-2).三、解答题17.分析:判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为常数.证明:(1)n=1 时,a1=S1=3-2=1,... ..2 2当n≥2 时,a n=S n-S n-1=3n -2n-[3( n-1) -2(n-1)]=6n-5,n=1 时,亦满足,∴a n=6n-5( n∈N*).首项a1=1,a n-a n-1=6n-5-[6( n-1)-5]=6(常数)(n∈N*),∴数列{a n}成等差数列且a1=1,公差为6.(2)∵1a,1b,1c成等差数列,2b ∴=1a+1c化简得2ac=b( a+c).b+a c+a+bc=2 2bc+c +a +acab=(ba c ++)ac2+2a c=(a+c)ac2=(ac)+b(ac)+2a+=2·bc,b+∴a c ,c+ba ,a+bc也成等差数列.218.解:(1)由题设2a3=a1+a2,即2a1q =a1+a1q,∵a1≠0,∴2q 2-q-1=0,∴q=1 或-12 .(2)若q=1,则S n=2n+n(n-1)2 =2 nn 3+2.( n-1)( n+2)当n≥2 时,S n-b n=S n-1=>0,故S n>b n.2若q=-12,则S n=2n+n(n-1)2(-12)=- 2 nn +94.当n≥2 时,S n-b n=S n-1=( n 1 n-1)( 0-)4,故对于n∈N+,当2≤n≤9 时,S n>b n;当n=10 时,S n=b n;当n≥11 时,S n<b n.19.证明:∵a n+1=S n+1-S n,a n+1=n+2nS n,∴(n+2) S n=n( S n+1-S n),整理得nS n+1=2( n+1) S n,所以S n+1n 1=2S nn.... +故{ S nn}是以 2 为公比的等比数列.20.证明:由a1,2a7,3a4 成等差数列,得4a7=a1+3a4,即 4 a1q 6 3 =a1+3a1q,3 3变形得(4q +1)( q -1)=0,∴q 3 =-143或q =1(舍)...a (1 16 q )由S612S3=112a (11q 1=3q )3q12=116;1 qa (1112q )S12S6 S6 =S12S6-1=1a (11q6q )6-1=1+q -1=116;得S612S3=S12S6S6 .1 q∴12 S3,S6,S12-S6 成等比数列.单纯的课本内容,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。

数列综合练习及答案

数列综合练习及答案

景县育英学校数列部分综合练习题 B. 4 C. 2考试部分:高一必修五数列练习题、选择题(本大题共12个小题,每小题 5分,共60分.)a117.(文)已知数列{a n}为等差数列,若--<-1,a10且它们的前n项和Si有最大值,则使得S n>0的1 .(文)(2011山东)在等差数列{a n}中,已知 a1 = 2, a2+ a3= 13,则 a4+a5+ a6 等于( )最大值n为()A. 40B. 42C. 43D. 45A. 11B. 19C. 20D. 21(理)(2011江西)已知等差数列{a n}的前n项和为S,且满足1^-节1,则数列{a n}的公差是((理)在等差数列{a n}中,其前n 项和是 S n,右S I5>0, Sl6<0,则在◎,黑…,鱼中最大的是()a1 a2 a15A.2B. 1C. 2D. 3S1A.—a1S8B.—a82. (2011辽宁沈阳二中检测,辽宁丹东四校联考)已知数列{a n}满足 log3a n + 1= Iog3a n+1(n € N )8.(文)(2011天津河西区期末列、每条对角线上的数的和相等,S0C—a9)将n2(n > 3个正整数这个正方形就叫做S15D.—a151,2,3,…n阶幻方.n2填入n0方格中,使得每行、每记f(n)为n阶幻方对角线上数的和,且 a2 + a4+ a6= 9,贝U logya s + a7+ a?)的值是( )A.1B.- 5C. 51D.5(文)已知{a n}为等差数列,{b n}为正项等比数列,公式q 工1 若 a1= b1, a11 = b11,贝y ( )A. a6= b6B. a6>b61 2AQn(n + 1)C. a6<b6D.以上都有可能B^n 2( n + 1)-3(理)(联考)已知a>0, b>0,的大小关系是()A为a, b的等差中项,正数 G为a, b的等比中项,贝U ab与AG C^n 2(n2+ 1)D. n(n2+1)A. ab= AGB. ab^AG (理)(2011海南嘉积中学模拟1)若数列{a n}满足:a n+ 1 = 1 —且a1= 2,则a2011等于()a nC. abwAGD.不能确定14. (2011潍坊一中期末)各项都是正数的等比数列{a n}的公比q工1且a2,尹彳,a1成等差数列, A. 11B.- 2C. 21D-2)数列{a n}是等差数列,则aS的值为(9.(文)(2011湖北荆门市调研是等比数列,且b2012= a2012,则 b2010 b2014 =()公差 d MQ 且 a2046 + 31978 — a2012 = 0, {b n}A."聽+ 1B. 2V5— 1C. 2^5 + 1 .心-1D. 2 或 2A. 0B. 1C. 4D. 8已知数列{a n}满足a1= 1, a2= 1, a n +1= |a n— a n-1|( n> 2)则该数列前2011项的和等于( )A. 1341B. 669C. 1340D. 1339数列{a n}是公差不为0的等差数列,且 a1、a3、a?为等比数列{b n}的连续三项,则数列{b n}的公比为()(理)(2011豫南九校联考)设数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,则 ab1 + ab2 +…+ ab^ =() A. 10331为公差的等差数列,{b n}是以1为首项,D. 2058B. 1034C. 205710.(文)(2011绍兴一中模拟)在圆X2+ y2= 10x内,过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{a n}的首项a1,最长弦长为a n,若公差d € g, 那么n的取值集合为()B. {6,7,8,9}C. {3,4,5}D. {3,4,5,6}(理)(2010青岛质检)在数列{a n}中, a n+1 = a n+ a(n€ N*, a为常数),若平面上的三个不共线的1 1①求数列{a n}和{b n}的通项公式;②设C n = -a n'3b n,求数列{C n}的前n项和Ri的表达式.18.(本小题满分12分)(文)(2011河南濮阳)数列{a n}的前n项和记为5®= 1,a*+i = 2Si+ 1(n》1)非零向量OA, OB, OC满足OC= a j OA + a2O1o OB,三点A、B、C共线且该直线不过 O点,则(1)求{a n}的通项公式;⑵等差数列{b n}的各项为正数,前n项和为T n,且T3= 15,又a1+ b1, a2+ b2, 83+ b3 成等比数列,求 T n.(1)求b2, b3, b4的值;⑵求{b n}的通项公式;(3)求b2+b4+b6+…+ b2n的值.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上. 19.(本小题满分12分)(文)(2011宁夏银川一中模拟)在各项均为负数的数列{a n}中,已知点(a n,13. (2011江苏镇江市质检)已知1 , X1, X2,7成等差数列,1,y1,『2,8成等比数列,点 y1), N(x2, y2),则线段 MN的中垂线方程是14.(2010无锡模拟)已知正项数列{a n}的首项a1= 1,前n项和为Si,若以(a n, 0)为坐标的点1在曲线y=2x(x+ 1)上,则数列{a n}的通项公式为(1)求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项;⑵若数列{b n}的前n项和为Si,且b n= a n + I求(理)(2011黑龙江)已知a1 = 2,点(a n, a.+1)在函数f(x)= x2+ 2x的图象上,其中n = 1,2,3, •-15.(2011苏北)已知a€ (0, n U g, n且sin a, si n2 a, si n4a成等比数列,则a的值为16.(文)(2011湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n},已知a1= 1, a2= 2,且a n+2- a n= 1 + (— 1)n(n€N*),则该医院30天入院(1)证明数列{lg(1 + a n)}是等比数列;(2)设T n= (1 + a1)(1 + a2)…(牛a n),求T n及数列{a n}的通项.20.(本小题满分12分)数列{b n}的通项为b n= na n(a>0),问{b n}是否存在最大项?证明你的结论.21.(本小题满分12分)(2011湖南长沙一中月考)已知f(x)= m x(m为常数,m>0且m丰1.)设f (a1), f(a2), •••, f(a n)••n(C N)是首项为m,公比为m的等比数列.(理)(2011浙江宁波八校联考)在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,且从上到下所有公比相等,则 a +b+ c的值为__________ .三、解答题(1)求证:数列{a n}是等差数列;⑵若b n= a n f(a n),且数列{b n}的前n项和为S1,当m= 2时,求Si;⑶若C n= f(a n)lgf(a n),问是否存在正实数 m,使得数列{c n}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)(文)(2011四川资阳模拟)数列{a n}的前n项和为S n,且S n = n(n+ 1)(n € N *).(1)求数列{a n}的通项公式;⑵若数列{b n}满足:a n= 3+1 + 32*+ 1 + 33: 1 +…+ 3“^+ 1,求数列{b n}的通项公式;17.(本小题满分12分)(文)(2011广西田阳质检){a n}是公差为1的等差数列,{b n}是公比为2的等比数列,P n, Q n分别是{a n}, {b n}的前n项和,且a6= b3, P10= Q4+ 45.(1)求{a n}的通项公式;⑵若P n>b6,求n的取值范围.(理)(2011四川广元诊断)已知数列{a n}的前n项和Si= 2n2— 2n,数列{b n}的前n项和T n = 3— b n.A. 1005B. 1006C. 2010D. 20121 (理)(2011六校联考)已知数列{b n}前n项和为S1,且b1= 1, b n+1 =3$.A. {4,5,6}S2010 等第n卷(非选择题共90分)M(X1, a n+1)(n€ N*)在函数y=|x的图象上,且a2 a5=監.治疗流感的人数共有人.b na nb n *⑶令C n=〒(n € N ),求数列{C n}的前n项和T n.(理)(2011湖南长沙一中期末)已知数列{a n}和等比数列{b n}满足:a1= b1= 4, a? = b2= 2, a3= 1, 且数列{a n+1- a n}是等差数列,n € N*. 求数列{a n}和{b n}的通项公式;1、(文)B (理)C2、A3、(文) (理)C9、(文)C (理)必修五数列练习题答案B (理)C4、C5、A6、C7、(文)B (理)BA10、(文) A (理)A 13、[答案]x+ y — 7= 014、a n = n15、[答案]2n y16、(文)255 (理)2217、(文)[解析](1)由题意得 『a 1 + 5 = 4b 110a 1 + 2 410X 9 b1(1 — 2 )---- =— ------- + 45a 1= 3L b 1= 2 ,—a n = 3 + (n — 1) = n+2.两式相减得 a n +1 — a n = 2a n ,「・a n +1 = 3a n (nA2),又 a 2= 2S 1+ 1 = 2a 1 + 1 = 3,.心2= 3a 1, n? 故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,―a n = 3n — 1.⑵设{b n }的公差为 d,由 T 3= 15得,b i +b 2+ b 3= 15,可得 b 2= 5,故可设 b i = 5— d, b 3 = 5 + d, 又 a 1= 1, a 2= 3, a 3= 9,由题意可得(5 — d+ 1)(5 + d + 9)= (5+ 3)2,解得 d = 2 或一10.T 等差数列{b n }的各项均为正数,—d = 2, b 1 = 3,—T n = 3n +(理)[解析](1)b 2 = 1S 1 =如=g, b 3=gs 2=g(b 1 + b 2) =-9,X 2= n 2+ 2n. b 4=gs 3=2(b 1 + b 2+ b 3)=毒⑵ P n = 22n(n+ 2 + 3 ) n + 5n2, b 6= 2X 26—1= 64. 『 1[b n +1 = "S n(2^1[b n = /S n - 1①一②解 b n + 1 — b n = ~3b n ,「・b n +4「 」1= 2b n ,-b 2="3,由 n+5n22>64? n 2+5n — 128>0? n(n+ 5)>128 ,•-bn=i ②-2(nA 2)又 n rn*, n= 9 时,n(n+ 5) = 126,—当 nA 10 时,P n >b 6.(理)[解析] ①由题意得 a n = S n — S n —1= 4n — 4(nA 2)而n = 1时a 1 = S 1 = 0也符合上式―a n = 4nb n 1 1 —4(n €N +)又•「b n = T n — T n —1 = b n — 1 — b n ,— = 2 — b n }是公比为 2 的等比数列,而 b 1 = T 1 = 3 — b 1,—b n — 1 b 1= 2」b n =霍)-1= 3 ②C n = 4a n 扣=1(4n — 4)X X3g)= (n — 1)(~} ••R n = C 1+C 2+C 3+…+ C n = ©)+ 2 •1)+ 3 e)+…+ (n — 1) g) 1~R n = §)+ 2 •2) + …+ (n — 2)(2} + (n — 1)•切=Q + ◎+•••+ Q -(n- 1)1,—R n = 1 — (n+ 1)18、(文)[解析](1)由 a n + 1= 2S n + 1 可得 a n = 2S n — 1+ 1(n A2),L 3(3) b 2, b 4, b 6…b 2n 是首项为g ,公比总)2的等比数列,1 . ••b 2+ b 4+ b 6+…+ b 2n =^=恋)2n - 1].4 2n* 219、(文)[解析](1)因为点(a n , a n +1)(n€N )在函数y="3x 的图象上,所以 a n + 1 2 a n +1 2 2a n + 1=?a n ,即肓=-,故数列{a n }是公比q =孑勺等比数列,a n因为所以a 2a 5 =盘,则a 1qa 1q 4=27,即a 2(|)5=|)3,由于数列{a n }的各项均为负数,则a 1 = —纟 (2)由(1)知,a n =— U 丿-2, b n =—(j -2+n,所以 S = 3(理)[解析]⑴由已知為+ 1 = a n + 2a n ,—3n + 1 + 1 = (a n + 1^. T31 = 2,—3n + 1>1,两边取对数*n + 1①当m>1时,lgm>0,所以n+ 1<m(n + 2)对一切n 取 恒成立;②当0<m<1时,lgm<0,所以 ------- >m1 + 2由(*)式得 a n = 32 — 1 — 1.20、[解析]b n +1 — b n = (n + 1)a n+1— na n= a n[(n+ 1)a — n] = a n[(a —1)ri+ a]对一切n®*成立,因为 = 1—丄的最小值为舟,所以0<m<|1+ 2 n+ 2332综上,当0<m<-或m>1时,数列{C n }中每一项恒小于它后面的项.(2)当a= 1时,b n +1 — b n = 1,数列也不存在最大项;22、(文)[解析](1)当 n = 1 时,a 1= 0= 2,为变量,而一J 为常数,设k 为不大于一J 的最大整数,则当 n<k 时,b n +1 — b n >0,当n = k 时,b na — 1 1 — a⑶ C n = a4b = n(3n+ 1) = n 3n+ n,当 m= 2 时,b n = (n+ 1) 2n+ 1,A S n = 2 2?+ 3 23+ 4 24+…+ (ri+ 1) 2n+1 ①••T n = C 1+C 2+C 3+…+ C n = (1X 3+ 2 X 32+ 3 X 3’+…+ n x 3n)+ (1+ 2+…+ n)得:lg(1 +a n +1)= 2lg(1 + a n ),即 Ig (1 + a n +1 \- ------- =2./{Ig(1 + a n )}是公比为2的等比数列. ⑶由题意 C n = f(an ) Igf(a n ) = m + Ig m + = (n +1)m +Ig m,Ig(1 + a n"". *、 n 1 n 2 *、 要使 C n <C n +1 对一切 n€N 成立,即(n+ 1) m + Ig m<(n + 2) m + Igm ,对一切 n€N 成立,⑶当 0<a<1 时,b n +1 — b n = a n(a — 1) (a 、an+,即b n +1 — b n 与n+ 有相反的符号,由于 nV a— 1丿 a — 1当 n 》2 时,a n = S I — S I —1 = n(n+ 1) — (n — 1)n= 2n ,知 a 1 = 2 满足该式•••数列{a n }的通项公式为a n = 2n.+ 1 — b n = 0,当 n>k 时,b n +1 —b n <0. 即有 b 1<b 2<b 3<-<b k -1< b k 且 b k >b k + ,故对任意自然数 n, b n < b k .••an +1亠 +宀輕+…+」-+b n +1, -—②3n+ 1 3n+1+ 1•■0<a<1 时, {b n }存在最大值.b n +1 21、[解析](1)由题意 f(a n ) = m 2m n — 1,即 ma n = mn+1②一①得, n 1 = a n +1 — a n = 2, b n +1= 2(3“' + 1),3 ++1•■an= n+ 1, ••3n + 1 — a n = 1 ,•••数列{ a n }是以2为首项,1为公差的等差数列.故 b n = 2(3n+ 1)(n(N).①式两端同乘以2得,2S n = 2仝3+ 3 24+ 4仝5+…+ n 2n+1+ (n+ 1) 2n+ 2② 令 H n = 1 X 3+ 2X 32+ 3X 33+…+ nx 3n,①②—①并整理得,则 3H n = 1 X 32+ 2X 33+ 3X 34+…+ nX 3n+1②S n =— 2 22— 23— 24— 25— (2)+ 1+ (n+ 1) 2n+2 = — 22— (22+ 23+ Z 4+…+ 2n+)+ (ri+ 1) 2n+ 2 31 — 3、①一②得,一2H n = 3+32+33+…+ 3n— n X 3n+ 1= -------------------- - nX3n+12^(1 - 2n)=—4— —+ (ri+ 1) 2n+ 2=— 4 + 22(1 — 2n) + (n + 1) 2n+ 2= 2n+ 2n.⑵由(1)知 lg(1 + a n ) = 2n —1lg(1 + a 1)= 2n —1lg3 = Ig32n —1/-1 + a n = 32n —1(*)••T n = (1 + a 1)(1 + a 2)…(1 + a n )= 320321…32n —1= 31 +2+ 22+…+ 2n —1= 32n— 1.(1)当a>1时,b n + 1— b n >0,故数列不存在最大项;+宀卓+…+宀> 1)①3 + 1⑵由题意 b n = an f(a n ) = (n+ 1) m +(2n- 1 F 35 + 3•'H n =•••数列{C n}的前n项和(2n — 1 F 3n +1+ 3 n(n + 1)T n= '(理)[解析]易知b n = 4•■•a2— a i = — 2, a3 — a2=—1, •-•'a n — a n—1 = (n — 1) — 3,n(n — 1 \••a n= (a n — a n—1)+ (a n—1— a n—2)+…+ (a3 — a2)+ (a2 — a1)+ a1 = ?— 3(n —1) + 4n2— 7n+ 142。

数列经典题目(竞赛专题)

数列经典题目(竞赛专题)
n+1 n
当an · an+1 为偶数时, 当an · an+1 为奇数时.
证明, 对每个 n ∈ N∗ , 都有 an ̸= 0. 13. (奥地利 − 波兰,1980) 设数列 {an } 满足 |ak+m − ak − am | p, q ∈ N∗ , 都有 ap aq 1 1 − < + . p q p q 14. (苏联莫斯科,1972) 将 0 和 1 之间所有分母不超过 n 的分数都写成既约形式, 再按递增顺序排成一 a c 列. 设 和 是其中任意两个相邻的既约分数, 证明 b d |bc − ad| = 1. 15. (波兰,1978) 对给定的 a1 ∈ R, 用下列方式定义数列 a1 , a2 , · · · : 对 n ∈ N∗ , ( ) 1 an − 1 , 当an ̸= 0时, an an+1 = 2 0, 当a ̸= 0时,
2), x1 = a, x2 = b, 记 Sn = x1 + x2 + · · · + xn , 则下列结 ) (B) x100 = −b, S100 = 2b − a; (D) x100 = −a, S100 = b − a . 1 时,xn+2 等于 xn xn+1 的个位数, 则 x1998 等于 . . . . ( (C) 6; (D) 8 . 2), 则数列的通项公式为 an = . )
的每一项都是整数, 其中 n ∈ N∗ . 并求所有使 an 被 3 整除的 n ∈ N∗ . 19. (捷克,1978) 证明, 数列 bn = ( √ )n ( √ )n 3+ 5 3− 5 − −2 2 2
的每一项都是自然数, 其中 n ∈ N∗ , 并且当 n 为偶数或奇数时分别具有 5m2 或 m2 的形式, 其中 m ∈ N∗ .

数列综合测试题含标准答案

数列综合测试题含标准答案

数列综合测试题(经典)含标准答案(总8页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )B .1C .2D .32.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .54.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为正偶数时,n 的值可以是( )A .1B .2C .5D .3或115.已知a >0,b >0,A 为a ,b 的等差中项,正数G 为a ,b 的等比中项,则ab 与AG 的大小关系是( )A .ab =AGB .ab ≥AGC .ab ≤AGD .不能确定6.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )或5-127.数列{a n }的通项公式为a n =2n -49,当该数列的前n 项和S n 达到最小时,n 等于( )A.24 B.25C.26 D.278.数列{a n}是等差数列,公差d≠0,且a2046+a1978-a22012=0,{b n}是等比数列,且b2012=a2012,则b2010·b2014=( )A.0 B.1C.4 D.89.已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1=3,前三项的和为21,则a3+a4+a5=( )A.33 B.72C.84 D.18910.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,S3=a5,a m=2011,则m=( ) A.1004 B.1005C.1006 D.100711.设{a n}是由正数组成的等差数列,{b n}是由正数组成的等比数列,且a1=b1,a2003=b2003,则( )A.a1002>b1002B.a1002=b1002C.a1002≥b1002D.a1002≤b100212.已知数列{a n}的通项公式为a n=6n-4,数列{b n}的通项公式为b n=2n,则在数列{a n}的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A.50项B.34项C.6项D.5项第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上)13.已知数列{a n}满足:a n+1=1-1a n,a1=2,记数列{a n}的前n项之积为P n,则P2011=________.14.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n},已知a1=1,a2=2,且a n+2-a n=1+(-1)n(n∈N*),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人.15.已知等比数列{a n}中,各项都是正数,且a1,12a3,2a2成等差数列,则a3+a10a1+a8=________.16.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,且从上到下所有公比相等,则a+b+c的值为________.三、解答题()17.设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2,{b n }为等比数列,且a 1=b 1,b 2(a 2 -a 1)=b 1。

数列综合大题归类(学生版)

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数列综合大题归类目录【题型一】“函数型”裂项求和:基础型【题型二】“函数型”裂项求和:指数函数型【题型三】“函数型”裂项求和:等差裂和型【题型四】“函数型”裂项求和:指数型裂和【题型五】“函数型”裂项求和:同构仿写型【题型六】“函数型”裂项求和:三角函数裂项型【题型七】递推公式:分式型不动点【题型八】插入数型【题型九】数列跳项型【题型十】证明数列不等式【题型十一】新结构第19题型:差分密码型【题型一】“函数型”裂项求和:基础型基础原理:m pq =m q -p 1p -1q,如:12×4=14-212-14;基本题型:①1n n +1 =1n -1n +1;②12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 ;注意(避免掉坑)①分母分解因式:1n 2+3n=1n n +3 =131n -1n +3 ;②系数不相同就提系数:1n 2n +4=12⋅1n n +2 =12⋅121n -1n +2 ;③求和化简时,要写到“前三后二”,并且一定要强调每项加括号,这样容易观察剩余的时首尾项(或正负项)对应.(1)1n n +k=1k 1n -1n +k ;(2)1n +k +n=1k n +k -n ;(3)12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1;(4)1n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2;分式型分子裂差法形如f n a n ⋅a n +1型,如果f n =λa n +1-a n ,则可以分子裂差:f n a n ⋅a n +1=λa n +1-a n a n ⋅a n +1=λ1a n -1a n +11(22·23·龙岩·二模)已知等差数列a n 的首项为1,公差d ≠0,前n 项和为S n ,且S nS 2n为常数.(1)求数列a n 的通项公式;(2)令b n =n a n a n +1-n +1a n +1a n +2,证明:b 1+b 2+b 3+⋯+b n <13.2(22·23·秦皇岛·模拟预测)设等比数列a n 的前n 项和为S n ,数列b n 为等差数列,且公差d ≠0,a 1=b 1=2,a 3=b 3,S 3=b 5.(1)求数列a n 的通项公式以及前n 项和S n ;(2)数列2n +1n 2b n +4 2的前n 项和为T n ,求证:T n ≤19.3(2024下·福建·高三校联考开学考试)已知正项数列a n 中,a 1=1,a n +1=a n +2a n +1.(1)求数列a n 的通项公式;(2)记数列b n =2a n +1a n a n +1的前n 项和S n ,求满足S n <99100的正整数n 的集合.【题型二】“函数型”裂项求和:指数函数型指数裂项法形如mq n +r +t hq n +b hq n +1+b 型,如果mq n +r +t =λhq n +b -hq n +1+b ,则可以分子裂差:mq n +r +t hq n +b hq n +1+b =λhq n +1+b -hq n +b hq n +b hq n +1+b=λ1hq n +b -1hq n +1+b1(2023·广西玉林·校联考模拟预测)记S n 为数列a n 的前n 项和,已知a 1=2,a n +1=S n +n .(1)证明:当n ≥2时,数列a n +1 是等比数列,并求数列a n 的通项公式;(2)设b n =2n +1a n +1a n +2,数列b n 的前n 项和为T n ,证明:T n <13.2(2023上·海南海口·高三校考阶段练习)在数列a n a n ≠0 和b n 中,a 1=1,b 1=2,且a n +1b n 是a n a n +1和a n b n +1的等差中项.(1)设c n =b na n,求证:数列c n -1 为等比数列;(2)若b n =3×2n2n +1,a n 的前n 项和为S n ,求证:S n <3.3(2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习)已知数列a n 的首项a 1=4,且满足a n +1=3a n -2n ∈N * .(1)求证:数列a n -1 为等比数列;(2)记b n =3na n ⋅a n +1,求数列b n 的前n 项和S n .正负型:等差裂和型形如-1n⋅f na n⋅a n+1型,如果f n =λa n+1-a n,则可以分子裂差:-1 n⋅f na n⋅a n+1=-1n⋅λa n+1-a na n⋅a n+1=-1n⋅λ1a n-1a n+11(2023·河北唐山·三模)设S n为数列a n的前n项和,a n>0,a2n+2a n+1=4S n.(1)求数列a n的通项公式;(2)求数列-1n4na n a n+1的前n项和Tn.2(2023·江苏镇江·二模)已知数列a n满足:a1=14,a n+1=nn+2a n.(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n=(-1)n(2n+1)a n,求数列b n的前n项和S n.3(2023·湖南永州·三模)记正项数列a n的前n项积为T n,且1a n=1-4T n.(1)证明:数列T n是等差数列;(2)记b n=-1n⋅8n+6T n⋅T n+1,求数列b n的前2n项和S2n.正负型:指数裂和型形如-1 n⋅mq n +r +t hq n +b hq n +1+b型,如果mq n +r +t =λhq n +b +hq n +1+b ,则可以分子裂和:-1 n ⋅mq n +r +t hq n +b hq n +1+b =-1 n ⋅λhq n +1+b +hq n +b hq n +b hq n +1+b=-1 n ⋅λ1hq n +b +1hq n +1+b1(23·24上·湖北·期中)已知{a n }为等比数列,且a 2+a 3+a 4=14,a 2,a 3+1,a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)当{a n }为递增数列时,b n =(-1)n 6a n +2 2n +1 2n +1+1 ,数列{b n }的前n 项和为T n ,若存在n ∈N ∗,m ≥T n ,求m 的取值范围.2(23·24上·黔东南·阶段练习)已知数列a n 满足:a 1=1,a n =2a n -1+1n ≥2 .(1)证明:a n +1 是等比数列,并求a n 的通项公式;(2)令b n =(-1)n (3n +2)n (n +1)a n +1+1,求b n 的前n 项和S n .3(22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中)已知数列a n 满足a 1=14,a n +1=3a n -4.(1)求a n 的通项公式;(2)设b n =(-1)n a n3n +1 3n +1+1,数列b n 的前n 项和为T n ,若存在n ∈N *,使m ≥T n ,求m 的取值范围.【题型五】“函数型”裂项求和:同构仿写型 仿写规律:t>1①b na n⋅a n+1⋅t n⇒1a n⋅t n-1-1a n+1⋅t n=λb na n⋅a n+1⋅t n(可通分反解λ);②b n⋅t na n⋅a n+1⇒t n+1a n+1-t na n=λb n⋅t na n⋅a n+1(可通分反解λ)1(23·24上·甘南·期中)在数列a n中,a1=2且∀n∈N*,a n+1=3a n+2×3n.(1)求a n的通项公式;(2)设b n=a n+3na n a n+1,若b n的前n项和为S n,证明:S n<14.2(23·24上·合肥·阶段练习)在数1和3之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作T n,令a n=log3T n.(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n=n+1⋅2n-1a n a n+1,求数列b n的前n项和S n.3(23·24上·昆明·阶段练习)已知数列a n满足a1=2,a n+1=2n+1a n n∈N*.(1)求数列a n的通项公式;(2)设b n=log2a2n-n2,数列b n+22n+1b n⋅b n+1的前n项和为Sn,求证:38≤S n<12.【题型六】“函数型”裂项求和:三角函数裂项型 常见的三角函数裂项:1.正切型裂项:若a n+1-a n=α,tanα=m(特殊角),则tanα=tan a n+1-a n=tan a n+1-tan a n1+tan a n+1tan a n=m,b n=tan a n+1tan a n=1mtan a n+1-tan a n-1;2.正余弦和与差公式应用裂项型:b n=sin1cos n cos(n-1)=sin[n-(n-1)]cos n cos(n-1)=sin n cos(n-1)-cos n sin(n-1)cos n cos(n-1)=tan n-tan(n-1)1(2023·山东威海·二模)已知2n+2个数排列构成以q n q n>1为公比的等比数列,其中第1个数为1,第2n+2个数为8,设a n=log2q n.(1)证明:数列1a n是等差数列;(2)设b n=tanπa n tanπa n+1,求数列b n的前100项和S100.2(22·23高三上·山东济宁·期中)已知n∈N*,抛物线y=-x2+n与x轴正半轴相交于点A,在点A处的切线在y轴上的截距为a n(1)求数列a n的通项公式;(2)若b n=4n cos nπa n-1a n+1,求数列b n的前项和S n.3(22·23上·芜湖·期末)已知S n是数列a n的前n项和,2S n=n+1a n.且a1=1(1)求a n的通项公式;(2)设a0=0,已知数列b n满足b n=sin1cos a n cos a n-1,求b n的前n项的和T n【题型七】递推公式:分式型不动点已知分式一次型数列递推关系a n+1=Ca n+DAa n+B求通项的问题解法:法一,化归法.当D=0时,递推关系两边取倒数,再裂项构造即可;当D≠0时,为了保持取倒数后分母一致性,通常可以令a n+1+x=Ca n+DAa n+B+x=C+xAa n+D+BxAa n+B,可由1x=C+AxD+Bx解得x的值,即可得到构造方向b n+1=tb nAa n+B,通过这样的转化将问题又化归为D=0的情形再求解.法二,特征根法求解.先构造特征方程x=Cx+DAx+B,解方程得根x1,x2,若x1≠x2,则a n-x2a n-x1为等比数列;若x1=x2,则1a n-x1为等差数列.1(22-23高三·河南·阶段练习)已知数列a n满足a1=0,a n+1=-a n-22a n+3,n∈N∗.(1)证明:数列1a n+1是等差数列;(2)证明:a2 ⋅a3 ⋅a4 ⋅⋅⋅⋅⋅a n+1>12n+1.2(2024高三·全国·专题练习)在数列{a n}中,a1=4且a n+1=3a n+2a n+4,求数列{a n}的通项公式.3(2023高三·全国·专题练习)已知数列a n满足性质:对于n∈N,a n-1=a n+42a n+3,且a1=3,求{a n}的通项公式.【题型八】插入数型插入数型1.插入数构成等差数列在a n和a n+1之间插入n个数,使这n+2个数构成等差数列,可通过构造新数列{b n}来求解d n n+2个数构成等差数列,公差记为d n,所以:b n+2=b1+(n+2-1)d n⇔d n=b n+2-b1 (n+2-1)2.插入数构成等比数列在a n和a n+1之间插入n个数,使这n+2个数构成等比数列,可通过构造新数列{b n}来求解d n n+2个数构成等比数列,公差记为d n,所以:b n+2=b1∙q n(n+2-1)⇔q n(n+2-1)=b n+2b1⇔lnb n+2b1=ln q n(n+2-1)=(n+2-1)ln q n3.插入数混合型混合型插入数列,其突破口在于:在插入这些数中,数列a n提供了多少项,其余都是插入进来的。

数列综合练习题(含答案)精选全文

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3月6日数列综合练习题一、单选题1.已知数列为等比数列,是它的前n项和.若,且与的等差中项为,则()A .35B .33C .31D .29【答案】C 【解析】试题分析:∵等比数列{}n a ,∴21a a q =⋅,∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=,又∵与的等差中项为54,∴477512244a a a ⋅=+⇒=,∴3741182a q q a ==⇒=,∴41316a a q ==,515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2.等差数列{}n a 中,19173150a a a ++=则10112a a -的值是()A.30B.32C.34D.25【答案】A 【解析】试题分析:本题考查等差数列的性质,难度中等.由条件知930a =,所以10112a a -=930a =,故选A.3.数列满足且,则等于()A.B.C.D.【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为211112x x -=的等差数列;所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,数列21{}n a -的前n 项和为n T ,下列说法错误..的是()A .若n S 有最大值,则n T 也有最大值B .若n T 有最大值,则n S 也有最大值C .若数列{}n S 不单调,则数列{}n T 也不单调D .若数列{}n T 不单调,则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解:数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1,公差为2d ,A .若S n 有最大值,则满足a 1>0,d <0,则2d <0,即T n 也有最大值,故A 正确,B .若T n 有最大值,则满足a 1>0,2d <0,则d <0,即S n 也有最大值,故B 正确,C .S n =na 1()12n n -+•d 2d =n 2+(a 12d -)n ,对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯,T n =na 1()12n n -+•2d =dn 2+(a 1﹣d )n ,对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d,不妨假设d >0,若数列{S n }不单调,此时对称轴n 11322a d =-≥,即1a d-≥1,此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1,则对称轴1122-•132a d <有可能成立,此时数列{T n }有可能单调递增,故C 错误,D .不妨假设d >0,若数列{T n }不单调,此时对称轴n 1122=-•132a d ≥,即1a d-≥2,此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322>=,即此时{S n }不单调,故D 正确则错误是C ,故选C .5.设n=()A .333n 个B .21333n - 个C .21333n- 个D .2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2124n n a S n +=++,且21a -,3a ,7a 恰好构成等比数列的前三项,则4a =().A .1B .3C .5D .7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++,当2n ≥,()21214n n a S n -=+-+,两式相减,化简得()2211n n a a +=+,∵0n a >,∴11n n a a +=+,数列{}n a 是公差1的等差数列.又21a -,3a ,7a 恰好构成等比数列的前三项,∴()()211126a a a +=+,∴12a =,∴45a =.故选:C第II 卷(非选择题)二、填空题7.已知数列{}n a 的首项11a =,且1(1)12nn na a n a +=+ ,则5a =____.【答案】198.等差数列{}n a 中,39||||a a =,公差0d <,则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________.【答案】5或6【解析】试题分析:因为0d <,且39||||a a =,所以39a a =-,所以1128a d a d +=--,所以150a d +=,所以60a =,所以0n a >()15n ≤≤,所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6.9.数列{}n a 满足:11a =,121n n a a +=+,且{}n a 的前n 项和为n S ,则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+,且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列,且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10.已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ,且满足()*123n n a S n N ++=∈,则满足2348337n n S S <<所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=,即()11332n n S S +-=-,所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-,公比为12的等比数列,故31322n nS -=-⋅,所以332n n S =-,所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<,化简得1113327n <<,故3,4,5n =.满足2348337n nS S <<所有正整数n 的和为34512++=.故答案为:12三、解答题11.已知数列{a n }满足a 1=3,a n ﹣a n ﹣1﹣3n =0,n ≥2.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n 1na =,求数列{b n }的前n 项和S n .【详解】(1)数列{a n }满足a 1=3,a n ﹣a n ﹣1﹣3n =0,n ≥2,即a n ﹣a n ﹣1=3n ,可得a n =a 1+(a 2﹣a 1)+(a 3﹣a 2)+…+(a n ﹣a n ﹣1)=3+6+9+…+3n 12=n (3+3n )32=n 232+n ;(2)b n 123n a ==•2123n n =+(111n n -+),前n 项和S n 23=(1111112231n n -+-++-+ )23=(111n -+)()231n n =+.12.在数列{}n a 中,n S 为其前n 项和,满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈.(I )若1k =,求数列{}n a 的通项公式;(II )若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列,求n S .【答案】解:(1)当1k =时,2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时,112a S ==;当2n ≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为.……………6分(II )当时,1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-,1(1)22n n k a ka n --=-+,111a S ka ==,若1k =,则211n a n --=-,从而{}21n a n --为公比为1的等比数列,不合题意;……………8分若1k ≠,则10a =,221a k=-,3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得,2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠,所以0k =或32k =.……10分当0k =时,2n S n n =-,得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意;…12分当32k =时,1344n n a a n -=-+,从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠,{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-,所以231nn a n =-+,从而1233222n n S n n +=+-+.………………………14分【解析】试题分析:解:(1)当1k =时,2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时,112a S ==;当2n ≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分(2)当时,1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-,1(1)22n n k a ka n --=-+,111a S ka ==,若1k =,则211n a n --=-,从而{}21n a n --为公比为1的等比数列,不合题意;若1k ≠,则10a =,221a k=-,3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得,2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠,所以0k =或32k =.当0k =时,2n S n n =-,得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意;当32k =时,1344n n a a n -=-+,从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠,{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-,所以231nn a n =-+,从而1233222n n S n n +=+-+.13.设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+,{}n b 为单调递增的等比数列,123512b b b =,1133a b a b +=+.()1求数列{}n b 的通项公式.()2若3nn na cb -=,求数列{}n c 的前n 项和n T .【详解】()1由题意,数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+,{}n b 为单调递增的等比数列,设公比为q ,123b b b 512=,1133a b a b +=+.可得331b q 512=,2113b 15b q -+=-+,解得1b 4=,或1q 2(2=-舍去),则n 1n 1n b 422-+=⋅=。

数列综合测试题

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高二数学数列综合测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知a ,b ,c 成等比数列,a ,m ,b 与b ,n ,c 分别成两个等差数列,则a m +cn等于 ( )A .4B .3C .2D .1 2.已知{a n }是等差数列,a 4=15,S 5=55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线斜率为 ( )A .4 B.14 C .-4 D .-143.设等比数列{a n }的前n 项与为S n ,若S 6S 3=3,则S 9S 6= ( )A .2 B.73 C.83D .34.已知数列{a n }的前n 项与为S n ,且15S n =a n -1,则a 2等于 ( ) A .-54 B.54 C.516 D.25165.等比数列{a n }的前n 项与为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,若a 1=1,则S 4=( ) A .7 B .8 C .15 D .166.若数列{a n }的通项公式为a n =n (n -1)·…·2·110n,则{a n }为( )A .递增数列B .递减数列C .从某项后为递减D .从某项后为递增7.等差数列{a n }的通项公式是a n =1-2n ,其前n 项与为S n ,则数列{S nn}的前11项与为( )A .-45B .-50C .-55D .-668.设数列{a n }的前n 项与为S n , 已知15a =,且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*), 则过点P(n,n a ) 与Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 ( )A .(2,21)B .(-1, -1)C .(21-, -1)D .(2,21--)9.在等比数列{a n }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=32,则a 29a 11的值为( )A .4B .2C .-2D .-410.已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项与分别为A n 与B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是 ( )A .2B .3C .4D .511.已知{a n }是递增数列,对任意的n ∈N *,都有a n =n 2+λn 恒成立,则λ的取值范围是 ( )A .(-72,+∞) B .(0,+∞)C .(-2,+∞)D .(-3,+∞)12.已知数列{a n }满足a n +1=12+a n -a 2n ,且a 1=12,则该数列的前2 008项的与等于 ( ) A .1 506 B .3 012 C .1 004D .2 008二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上)13.已知数列{a n }满足:a 1=m (m 为正整数),a n +1=⎩⎪⎨⎪⎧a n 2,当a n 为偶数时3a n +1,当a n 为奇数时,若a 6=1,则m 所有可能的取值为________.14.已知数列{a n }满足a 1=12,a n =a n -1+1n 2-1(n ≥2),则{a n }的通项公式为________.15.已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数,前n 项与为S n (n ∈N *).若a 1>1,a 4>3,S 3≤9,则通项公式a n =________. 16.下面给出一个“直角三角形数阵”: 14 12,1434,38,316满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ,i ,j ∈N *),则a 83=________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1=1,公差d >0,且第二项,第五项,第十四项分别是等比数列{b n }的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式.⑵设数列{c n }对任意正整数n ,均有1332211+=+⋯⋯+++n nna b c b c b c b c ,求c 1+c 2+c 3+…+c 2010的值. 18.(本小题满分12分)已知数列{a n }中,其前n 项与为S n ,且n ,a n ,S n 成等差数列(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n >57时n 的取值范围. 19.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )=x 2-ax +a (a ≠0),不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素,设数列{a n }的前n 项与为S n =f (n ).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设各项均不为0的数列{c n }中,满足c i ·c i +1<0的正整数i 的个数称作数列{c n }的变号数,令c n =1-aa n(n ∈N *),求数列{c n }的变号数.20.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足:a 1=1,a 2=12,且[3+(-1)n ]a n +2-2a n +2[(-1)n -1]=0,n ∈N *.(1)求a 3,a 4,a 5,a 6的值及数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a 2n -1·a 2n ,求数列{b n }的前n 项与S n .21.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项与为S n ,点(n ,S nn)在直线y =12x +112上.数列{b n }满足b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *),b 3=11,且其前9项与为153.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =3(2a n -11)(2b n -1),数列{c n }的前n 项与为T n ,求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值.22.(本小题满分14分)在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N).(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列;(2)若λa n +1a n +1≥λ,对任意n ≥2的整数恒成立,求实数λ的取值范围.数列综合测试题参考答案一、选择题CABDC DDDBD DA 二、填空题13、4,5,32 14、a n =54-2n +12n (n +1)15、n +1 16、12三、解答题17.⑴由题意得(a 1+d )(a 1+13d )=(a 1+4d )2(d >0) 解得d =2,∴a n =2n -1,b n =3n -1.⑵当n =1时,c 1=3 当n ≥2时,∵,1n n nna abc -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n故132-⋅=n n c18.解:(1)∵n ,a n ,S n 成等差数列,∴S n =2a n -n ,S n -1=2a n -1-(n -1) (n ≥2), ∴a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1-1 (n ≥2), ∴a n =2a n -1+1 (n ≥2),两边加1得a n +1=2(a n -1+1) (n ≥2),∴a n +1a n -1+1=2 (n ≥2). 又由S n =2a n -n 得a 1=1.∴数列{a n +1}是首项为2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n -1,即数列{a n }的通项公式为a n =2n -1. (2)由(1)知,S n =2a n -n =2n +1-2-n ,∴S n +1-S n =2n +2-2-(n +1)-(2n +1-2-n ) =2n +1-1>0,∴S n +1>S n ,{S n }为递增数列.由题设,S n >57,即2n +1-n >59. 又当n =5时,26-5=59,∴n >5.∴当S n >57时,n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *).19.解:(1)由于不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素, ∴Δ=a 2-4a =0⇒a =4, 故f (x )=x 2-4x +4.由题S n =n 2-4n +4=(n -2)2 则n =1时,a 1=S 1=1;n ≥2时,a n =S n -S n -1=(n -2)2-(n -3)2=2n -5, 故a n =⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1,2n -5 n ≥2.(2)由题可得,c n =⎩⎪⎨⎪⎧-3 n =11-42n -5 n ≥2.由c 1=-3,c 2=5,c 3=-3,所以i =1,i =2都满足c i ·c i +1<0,当n ≥3时,c n +1>c n ,且c 4=-13,同时1-42n -5>0⇒n ≥5,可知i =4满足c i 、c i +1<0,n ≥5时,均有c n c n +1>0.∴满足c i c i +1<0的正整数i =1,2,4,故数列{c n }的变号数为3.20.解:(1)经计算a 3=3,a 4=14,a 5=5,a 6=18.当n 为奇数时,a n +2=a n +2,即数列{a n }的奇数项成等差数列,∴a 2n -1=a 1+(n -1)·2=2n -1.当n 为偶数时,a n +2=12a n ,即数列{a n }的偶数项成等比数列,∴a 2n =a 2·(12)n -1=(12)n.因此,数列{a n }的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数),(12)n2(n 为偶数).(2)∵b n =(2n -1)·(12)n,∴S n =1·12+3·(12)2+5·(12)3+…+(2n -3)·(12)n -1+(2n -1)·(12)n, ①12S n =1·(12)2+3·(12)3+5·(12)4+…+(2n -3)·(12)n+(2n -1)·(12)n +1, ②①②两式相减, 得12S n =1·12+2[(12)2+(12)3+…+(12)n ]-(2n -1)·(12)n +1 =12+12·[1-(12)n -1]1-12-(2n -1)·(12)n +1=32-(2n +3)·(12)n +1. ∴S n =3-(2n +3)·(12)n .21.解:(1)由已知得S n n =12n +112,∴S n =12n 2+112n .当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =12n 2+112n -12(n -1)2-112(n -1)=n +5; 当n =1时,a 1=S 1=6也符合上式. ∴a n =n +5.由b n +2-2b n +1+b n =0(n ∈N *)知{b n }是等差数列,由{b n }的前9项与为153,可得9(b 1+b 9)2=9b 5=153,得b 5=17,又b 3=11,∴{b n }的公差d =b 5-b 32=3,b 3=b 1+2d ,∴b 1=5,∴b n =3n +2.(2)c n =3(2n -1)(6n +3)=12(12n -1-12n +1),∴T n =12(1-13+13-15+…+12n -1-12n +1)=12(1-12n +1). ∵n 增大,T n 增大, ∴{T n }是递增数列.∴T n ≥T 1=13.T n >k57对一切n ∈N *都成立,只要T 1=13>k57,∴k <19,则k max =18.22.解:(1)∵a 1≠0,∴a n ≠0,∴由已知可得1a n -1a n -1=3(n ≥2),故数列{1a n}是等差数列.(2)将a n =1b n =13n -2代入λa n +1a n +1≥λ并整理得λ(1-13n -2)≤3n +1,∴λ≤(3n +1)(3n -2)3n -3,原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立.设C n =(3n +1)(3n -2)3n -3,则C n +1-C n =(3n +1)(3n -4)3n (n -1)>0,故C n +1>C n ,∴C n 的最小值为C 2=283,∴λ的取值范围是(-∞,283].。

数列全集

数列全集

1、256 ,269 ,286 ,302 ,()解析: 2+5+6=13 256+13=269 2+6+9=17 269+17=286 2+8+6=16 286+16=302 302+3+2=3072、72 , 36 , 24 , 18 , ( )解析:(方法一)相邻两项相除,72 36 24 18\ / \ / \ /2/1 3/2 4/3(分子与分母相差1且前一项的分子是后一项的分母)接下来貌似该轮到5/4,而18/=5/4. 选C(方法二)6×12=72, 6×6=36, 6×4=24, 6×3 =18, 6×X 现在转化为求X12,6,4,3,X12/6 ,6/4 , 4/3 ,3/X化简得2/1,3/2,4/3,3/X,注意前三项有规律,即分子比分母大一,则3/X=5/4 可解得:X=12/5 再用6×12/5=3、8 , 10 , 14 , 18 ,()A. 24B. 32C. 26D. 20分析:8,10,14,18分别相差2,4,4,?可考虑满足2/4=4/?则?=8所以,此题选18+8=264、3 , 11 , 13 , 29 , 31 ,()分析:奇偶项分别相差11-3=8,29-13=16=8×2,?-31=24=8×3则可得?=55,故此题选D5、-2/5,1/5,-8/750,()。

A 11/375B 9/375C 7/375D 8/375解析: -2/5,1/5,-8/750,11/375=> 4/(-10),1/5,8/(-750),11/375=>分子 4、1、8、11=>头尾相减=>7、7分母 -10、5、-750、375=>分2组(-10,5)、(-750,375)=>每组第二项除以第一项=>-1/2,-1/2 答案为A1. 16 , 8 , 8 , 12 , 24 , 60 , ( )分析:相邻两项的商为,1,,2,,3,所以选1802. 2 ,3 ,6 ,9 ,17 ,()分析:6+9=15=3×53+17=20=4×5 那么2+?=5×5=25 所以?=23 所以选B3. 3 ,2 ,5/3 ,3/2 ,()5 6 5 4分析:通分 3/1 4/2 5/3 6/4 ----7/5所以选A4. 20 ,22 ,25 ,30 ,37 ,()分析:它们相差的值分别为2,3,5,7。

数列大题经典题型

数列大题经典题型

1、设{a n}是等差数列,{b n}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13 (Ⅰ)求{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列的前n项和S n.2.已知数列{a n}(n∈N*)是等比数列,且a n>0,a1=3,a3=27.(1)求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n;(2)设b n=2log3a n+1,求数列{b n}的前项和T n。

3.已知等比数列{a n}满足a2=2,且2a3+a4=a5,a n>0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(﹣1)n3a n+2n+1,数列{b n}的前项和为T n,求T n.4.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,,.(I)求a n;(II)若,求数列{b n}的前n项和T n.5.已知{a n}是等差数列,其前n项和为S n,已知a2=8,S10=185.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设a n=log2b n(n=1,2,3…),证明{b n}是等比数列,并求数列{b n}的前n项和T n.6.已知等差数列{}n a 满足:,26,7753=+=a a a {}n a 的前n 项和为n S .(1)求n n S a 及(2)令112-=a n nb ,求数列{}n b 的前n 项和n T7. 已知等差数列{}n a 前三项和为-3,前三项的积为8.(1)等差数列{}n a 的通项公式。

(2)若132,,a a a 成等比数列,求数列{}n a 的前n 项和8.已知数列{a n }的前n 项和S n =﹣a n ﹣+2(n ∈N *),数列{b n }满足b n =2n a n . (1)求证数列{b n }是等差数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n }的前n 项和为T n ,证明:n ∈N *且n ≥3时,T n >;.1.已知函数f (x )=(a >0,a ≠1),数列{a n }满足a n =f (n )(n ∈N *),2.设{a n }的首项为a 1,公差为﹣1的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1,S 2,S 4成等比数3.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则=()5.(2014•河西区三模)设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则等于()6.(2014•河西区二模)数列{a n}满足a1=2,a n=,其前n项积为T n,则T2014=()BB.45 C.389.在等比数列{a n}中,,则a3=()7小题)10.设{a n}是首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为_________.11.数列{a n}为等比数列,a2+a3=1,a3+a4=﹣2,则a5+a6+a7=_________.12.已知数列{a n}中,a n+1=2a n,a3=8,则数列{log2a n}的前n项和等于_________.13.(已知数列{a n}的前n项和为S n,并满足a n+2=2a n+1﹣a n,a6=4﹣a4,则S9=_________.14.记等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=_________.15.设S n是等比数列{a n}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=2a m,则m=_________.。

数列考试题型及答案详解

数列考试题型及答案详解

数列考试题型及答案详解一、选择题1. 已知数列\( a_n \)的通项公式为\( a_n = 2n - 1 \),该数列是:A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 常数数列答案:A2. 若数列\( b_n \)满足\( b_n = b_{n-1} + 3 \),且\( b_1 = 1 \),则\( b_5 \)的值为:A. 10B. 13C. 16D. 19答案:B二、填空题3. 给定数列\( c_n \)的前几项为\( c_1 = 1, c_2 = 3, c_3 = 6 \),若数列\( c_n \)是等差数列,则\( c_4 \)的值为______。

答案:104. 若数列\( d_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 2n^2 - n \),求\( d_4 \)的值。

答案:15三、解答题5. 已知数列\( e_n \)的前\( n \)项和为\( S_n = 3n^2 + n \),求证数列\( e_n \)是等差数列,并求出其首项和公差。

证明:由题意知,\( S_1 = e_1 = 3 \times 1^2 + 1 = 4 \)。

当\( n \geq 2 \)时,\( e_n = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + n) - [3(n-1)^2 + (n-1)] = 6n - 2 \)。

又\( e_1 = 4 \),满足上述等式,故\( e_n = 6n - 2 \)。

由\( e_n \)的表达式可知,\( e_n - e_{n-1} = 6 \),即数列\( e_n \)的公差为6,首项为4,因此\( e_n \)是等差数列。

6. 已知数列\( f_n \)的通项公式为\( f_n = 3^n - 2^n \),求\( f_{10} \)的值。

解答:根据题意,\( f_{10} = 3^{10} - 2^{10} \)。

计算得\( f_{10} = 59049 - 1024 = 58025 \)。

数列的综合问题共22页文档

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有c1c2 b1 b2cn bn
an1,求Sn.
6.将数列{an}中所有的项 按每一行比上一行多一项
a1 a2 a3
的规则排成如右数表:
a4 a5 a6
记表中的第一列数a1,a2, a7 a8 a9 a10 a4,a7,…构成的数列为{bn}, ………………… b1=a1=1,数列{bn}的前n项和Sn满足
已(b1n)知证1 数明1列数bna{列n2an{},{b1 n}满}是足等a1差= 数14 ,列an,+并b求n=数1,
bn 1
列{bn}的通项公式; (2)设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,若对于 任意的正整数n,4aSn<bn恒成立,求实数 a的取值范围.
8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(λ+1)2λan,其中λ是不等于-1和0的常数,
1.已知数列{an}是等差数列,bn=2a n ,求证: 数列{bn}为等比数列. 2.等比数列{an}中,a2=2,a5=128; 数列{bn} 满足bn=log2an,且{bn}的前n项和Sn=360, 那么n= .
3.已知等比数列{an}的公比为q,且am,am+2, am+1成等差数列,
((0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…), 且每秒移动一个单位, (1)设n∈N*,粒子运动到点(n,n)需要an秒, 求an; (2)求第2009秒末这个粒子 所在的位置的坐标.
2.数列{an}的前n项和Sn满足Sn+an=2,{bn}为 等差数列,且a1=b1,a3(b4-b2)=b1.
45、自己的饭量自己知道。——苏联
的(3)通求项数公列式{ 2b;nn } 的前n项和.

数列经典例题

数列经典例题

数列经典例题(总11页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除类型一:迭加法求数列通项公式1.在数列中,,,求.解析:∵,当时,,,,将上面个式子相加得到:∴(),当时,符合上式故.总结升华:1. 在数列中,,若为常数,则数列是等差数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等差数列.2.当数列的递推公式是形如的解析式,而的和是可求的,则可用多式累(迭)加法得.举一反三:【变式1】已知数列,,,求.【答案】【变式2】数列中,,求通项公式.【答案】.类型二:迭乘法求数列通项公式2.设是首项为1的正项数列,且,求它的通项公式.解析:由题意∴∵,∴,∴,∴,又,∴当时,,当时,符合上式∴.总结升华:1. 在数列中,,若为常数且,则数列是等比数列;若不是一个常数,而是关于的式子,则数列不是等比数列.2.若数列有形如的解析关系,而的积是可求的,则可用多式累(迭)乘法求得.举一反三:【变式1】在数列中,,,求.【答案】【变式2】已知数列中,,,求通项公式.【答案】由得,∴,∴,∴当时,当时,符合上式∴类型三:倒数法求通项公式3.数列中,,,求.思路点拨:对两边同除以得即可.解析:∵,∴两边同除以得,∴成等差数列,公差为d=5,首项,∴,∴.总结升华:1.两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差,右边为一常数,这样把数列的每一项都取倒数,这又构成一个新的数列,而恰是等差数列.其通项易求,先求的通项,再求的通项.2.若数列有形如的关系,则可在等式两边同乘以,先求出,再求得.举一反三:【变式1】数列中,,,求.【答案】【变式2】数列中,,,求.【答案】.类型四:待定系数法求通项公式4.已知数列中,,,求.法一:设,解得即原式化为设,则数列为等比数列,且∴法二:∵①②由①-②得:设,则数列为等比数列∴∴∴法三:,,,……,,∴总结升华:1.一般地,对已知数列的项满足,(为常数,),则可设得,利用已知得即,从而将数列转化为求等比数列的通项.第二种方法利用了递推关系式作差,构造新的等比数列.这两种方法均是常用的方法.2.若数列有形如(k、b为常数)的线性递推关系,则可用待定系数法求得.举一反三:【变式1】已知数列中,,求【答案】令,则,∴,即∴,∴为等比数列,且首项为,公比,∴,故.【变式2】已知数列满足,而且,求这个数列的通项公式.【答案】∵,∴设,则,即,∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,∴,∴.∴.类型五:和的递推关系的应用5.已知数列中,是它的前n项和,并且, .(1)设,求证:数列是等比数列;(2)设,求证:数列是等差数列;(3)求数列的通项公式及前n项和.解析:(1)因为,所以以上两式等号两边分别相减,得即,变形得因为,所以由此可知,数列是公比为2的等比数列.由,,所以, 所以,所以.(2),所以将代入得由此可知,数列是公差为的等差数列,它的首项,故.(3),所以当n≥2时,∴由于也适合此公式,故所求的前n项和公式是.总结升华:该题是着眼于数列间的相互关系的问题,解题时,要注意利用题设的已知条件,通过合理转换,将非等差、等比数列转化为等差、等比数列,求得问题的解决利用等差(比)数列的概念,将已知关系式进行变形,变形成能做出判断的等差或等比数列,这是数列问题中的常见策略.举一反三:【变式1】设数列首项为1,前n项和满足.(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列的公比为,作数列,使,,求的通项公式.【答案】(1),∴∴,又①-②∴,∴是一个首项为1公比为的等比数列;(2)∴∴是一个首项为1公比为的等差比数列∴【变式2】若, (),求.【答案】当n≥2时,将代入,∴,整理得两边同除以得(常数)∴是以为首项,公差d=2的等差数列,∴,∴.【变式3】等差数列中,前n项和,若.求数列的前n项和. 【答案】∵为等差数列,公差设为,∴,∴,∴,若,则, ∴.∵,∴,∴ ,∴,∴①②①-②得∴类型六:数列的应用题6.在一直线上共插13面小旗,相邻两面间距离为10m,在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上,每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短,应集中到哪一面小旗的位置上最短路程是多少?思路点拨:本题求走的总路程最短,是一个数列求和问题,而如何求和是关键,应先画一草图,研究他从第一面旗到另一面旗处走的路程,然后求和.解析:设将旗集中到第x面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为了,回到第二面处再到第面处是,回到第三面处再到第面处是,,从第面处到第面处取旗再回到第面处的路程为,从第面处到第面处取旗再回到第面处,路程为20×2,总的路程为:∵,∴时,有最小值答:将旗集中到第7面小旗处,所走路程最短.总结升华:本题属等差数列应用问题,应用等差数列前项和公式,在求和后,利用二次函数求最短路程.举一反三:【变式1】某企业2007年12月份的产值是这年1月份产值的倍,则该企业2007年年度产值的月平均增长率为()A. B. C. D.【答案】D;解析:从2月份到12月份共有11个月份比基数(1月份)有产值增长,设为,则【变式2】某人2006年1月31日存入若干万元人民币,年利率为,到2007年1月31日取款时被银行扣除利息税(税率为)共计元,则该人存款的本金为()A.万元 B.2万元 C.3万元 D.万元【答案】B;解析:本金利息/利率,利息利息税/税率利息(元),本金(元)【变式3】根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量(万件)近似地满足.按比例预测,在本年度内,需求量超过万件的月份是( )A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D.9月、10月【答案】C;解析:第个月份的需求量超过万件,则解不等式,得,即.【变式4】某种汽车购买时的费用为10万元,每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元,汽车的维修费平均为第一年2千元,第二年4千元,第三年6千元,依次成等差数列递增,问这种汽车使用多少年后报废最合算(即年平均费用最少)【答案】设汽车使用年限为年,为使用该汽车平均费用.当且仅当,即(年)时等到号成立.因此该汽车使用10年报废最合算.【变式5】某市2006年底有住房面积1200万平方米,计划从2007年起,每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.(1)分别求2007年底和2008年底的住房面积;(2)求2026年底的住房面积.(计算结果以万平方米为单位,且精确到)【答案】(1)2007年底的住房面积为1200(1+5%)-20=1240(万平方米),2008年底的住房面积为1200(1+5%)2-20(1+5%)-20=1282(万平方米),∴2007年底的住房面积为1240万平方米;2008年底的住房面积为1282万平方米.(2)2007年底的住房面积为[1200(1+5%)-20]万平方米,2008年底的住房面积为[1200(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,2009年底的住房面积为[1200(1+5%)3-20(1+5%)2-20(1+5%)-20]万平方米,…………2026年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20≈(万平方米),∴2026年底的住房面积约为万平方米.。

会考数列练习题

会考数列练习题

会考数列练习题数列是高中数学中的重要内容之一,也是会考数学考试中的必考题型。

下面是一些会考数列练习题,供同学们参考和练习。

1. 一个等差数列的首项是2,公差是3,求前5项的和。

解析:根据等差数列的性质,第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d,其中a1是首项,d为公差。

根据题目给出的数据可知,a1=2,d=3。

代入公式可得前5项的和为S5 = (5/2)(2a1 + (5-1)d) = (5/2)(2 + 12) = 7 * 14 = 98。

2. 某等差数列的首项是1,公差是2,求第10项的值。

解析:同样利用等差数列的性质,可得an = a1 + (n-1)d,代入数据可得a10 = 1 + (10-1)2 = 1 + 18 = 19。

3. 某等差数列的首项是3,末项是17,求公差和项数。

解析:根据等差数列的性质,可得an = a1 + (n-1)d。

根据题目给出的数据可得17 = 3 + (n-1)d,整理得n-1 = (17-3)/d = 14/d。

由于等差数列的项数必须是正整数,所以14必须能整除d。

考虑到等差数列的末项与首项的差值一定是公差的倍数,所以14与d一定是互质的关系。

根据这一点,我们可以列举出14的所有因数,即1、2、7、14。

由于首项是3,公差不能是1,因此选取公差为2时,满足条件的项数是7。

所以答案是公差为2,项数为7。

4. 某等差数列的首项是1/2,公差是1/3,求前8项的和。

解析:根据等差数列的性质,可得前8项的和S8 = (8/2)(2a1 + (8-1)d) = 4(1/2 + (8-1)(1/3)) = 4(1/2 + 7/3) = 4(11/6) = 22/3。

5. 某等比数列的首项是3,公比是2,求前4项的和。

解析:根据等比数列的性质,第n项可以表示为an = a1 * r^(n-1),其中a1是首项,r为公比。

根据题目给出的数据可知,a1=3,r=2。

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数列经典综合题66例等差数列与等比数列综合题例1 等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列 (1)求{n a }的公比q ;(2)求1a -3a =3,求n s例2 在正项数列{}n a 中,令111nn i i i S a a =+=+∑.(Ⅰ)若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ; (Ⅱ)若11n n npS a a +=+(p 为正常数)对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列;例3 已知{n a }是公比为q 的等比数列,且12,,++m m m a a a 成等差数列. (1)求q 的值;(2)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,试判断12,,++m m m S S S 是否成等差数列?说明理由.例4 已知数列{a n }的首项a a =1(a 是常数),24221+-+=-n n a a n n (2,≥∈n N n ).(Ⅰ){}n a 是否可能是等差数列.若可能,求出{}n a 的通项公式;若不可能,说明理由;(Ⅱ)设b b =1,2n a b n n +=(2,≥∈n N n ),n S 为数列{}n b 的前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 、b 满足的条件.例5 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2-a n ,n=1,2,3,…. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n }满足b 1=1,且b n+1=b n +a n ,求数列{b n }的通项公式; (Ⅲ)设c n =n(3-b n ),求数列{c n }的前n 项和T n .例6 已知数列{}n a 中,0122,3,6a a a ===,且对3n ≥时有123(4)4(48)n n n n a n a na n a ---=+-+-.(Ⅰ)设数列{}n b 满足1,n n n b a na n *-=-∈N ,证明数列1{2}n n b b +-为等比数列,并求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记(1)21!n n n ⨯-⨯⨯⨯= ,求数列{}n na 的前n 项和n S例7 设数列{}{},n n a b 满足111,0a b ==且1123,1,2,3,2,n n n n n n a a b n b a b ++=+⎧=⎨=+⎩(Ⅰ)求λ的值,使得数列{}n n a b λ+为等比数列; (Ⅱ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅲ)令数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和nS ',求极限lim nn nS S →∞'的值.例8 数列{}n a 的各项均为正数,n S 为其前n 项和,对于任意*N n ∈,总有2,,n n n a S a 成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 的前n 项和为n T ,且2ln nn n a x b =,求证:对任意实数(]e x ,1∈(e 是常数,e =2.71828⋅⋅⋅)和任意正整数n ,总有n T < 2; (Ⅲ) 正数数列{}n c 中,())(,*11N n c a n n n ∈=++.求数列{}n c 中的最大项.例9 设{}n a 是公差不为零的等差数列,n S 为其前n 项和,满足222223457,7a a a a S +=+=。

(1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)试求所有的正整数m ,使得12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项。

例10 已知{}n a 是公差为d 的等差数列,{}n b 是公比为q 的等比数列。

(1) 若31n a n =+,是否存在*m k N ∈、,有1?m m k a a a ++=说明理由; (2) 找出所有数列{}n a 和{}n b ,使对一切*n N ∈,1n n na b a +=,并说明理由; (3) 若115,4,3,a d b q ====试确定所有的p ,使数列{}n a 中存在某个连续p 项的和是数列{}n b 中的一项,请证明。

二、点列综合题例11 设曲线)0(:2>=x x y c 上的点为),,(000y x P 过P 0作曲线c 的切线与x 轴交于Q 1,过Q 1作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(111y x P ,然后再过P 1作曲线c 的切线交x 轴于Q 2,过Q 2作平行于y 轴的直线与曲线c 交于),(222y x P ,依此类推,作出以下各点:P 0,Q 1,P 1,Q 2,P 2,Q 3,…P n ,Q n+1…,已知20=x ,设))(,(N n y x P n n n ∈(1)求出过点P 0的切线方程; (2)设),(n f x n =求)(n f 的表达式; (3)设,10n n x x x S +++= 求例12 已知点()P a b n n n ,满足:a a b b b a nN n n n n nn+++==-∈11121·,,,且已知P 01323,⎛⎝ ⎫⎭⎪ (1)求过点P P 01,的直线l 的方程;(2)判断点()P n n ≥2与直线l 的位置关系,并证明你的结论;(3)求点P n 的极限位置。

例13 如图,11122212(,),(,),,(,),(0)n n n n P x y P x y P x y y y y <<<< 是曲线2:3(0)C y x y =≥上的n 个点,点(,0)(1,2,3,,)i i A a i n = 在x 轴的正半轴上,1i i i A A P -∆是正三角形(0A 是坐标原点) .(Ⅰ) 写出123,,a a a ;(Ⅱ)求出点n A (,0)(*)n a n N ∈的横坐标n a 关于n 的表达式;yxOA 0 P 1 P 2 P 3A 1A 2A 3 (Ⅲ)设12321111n n n n nb a a a a +++=++++ ,若对任意正整数n ,当[]1,1m ∈-时,不等式2126n t mt b -+>恒成立,求实数t 的取值范围.例14 △ABC 中,|AB|=|AC|=1,A B A C →→=·12,P 1为AB 边上的一点,B P A B 123≠,从P 1向BC 作垂线,垂足是Q 1;从Q 1向CA 作垂线,垂足是R 1;从R 1向AB 作垂线,垂足是P 2,再由P 2开始重复上述作法,依次得Q 2,R 2,P 3;Q 3,R 3,P 4……(1)令BP n 为x n ,寻求BP n 与BP n +1(即xx n n 与+1)之间的关系。

(2)点列P PPP P n1234,,,……是否一定趋向于某一个定点P 0?说明理由; (3)若||||A B B P ==1131,,则是否存在正整数m ,使点P 0与P m 之间的距离小于0.001?若存在,求m 的最小值。

例15 已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== .从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y .(1)求数列{}{}n n x y 与的通项公式;(2)证明:1352112sin 1n n n n nx xx x x x x y --⋅⋅⋅⋅<<+ .例16 数轴上有一列点P 1,P 2,P 3,…,P n ,…,已知当2n ≥时,点P n 是把线段P n – 1 P n +1作n 等分的分点中最靠近P n+1的点,设线段P 1P 2,P 2P 3,…,P n P n + 1的长度分别为a 1,a 2,a 3,…,a n ,其中a 1 = 1.(1)写出a 2,a 3和a n (2n ≥,*n N ∈)的表达式; (2)证明a 1 + a 2 + a 3 +…+a n < 3(*n N ∈);(3)设点M n ( n ,a n )(n > 2,*n N ∈),在这些点中是否存在两个点同时在函数2(0)(1)ky k x =>-的图像上,如果存在,请求出点的坐标;如果不存在,请说明理由.例17 在直角坐标系中,有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n ),…对每一个正整数n ,点P n在给定的函数y =log 3(2x)的图像上.而在递增数列{a n }中,a n 与a n+1是关于x 的方程4x 2-8nx +4n 2-1=0(n ∈N*)的两个根.(Ⅰ)求点P n 的纵坐标b n 的表达式;(Ⅱ)记c n =3b n ,n ∈N*.证明c 12+c 222+…+c n2n <3;例18 已知点列B 1(1,y 1)、B 2(2,y 2)、…、B n (n,y n )(n ∈N )顺次为一次函数12141+=x y 图像上的点,点列A 1(x 1,0)、A 2(x 2,0)、…、A n (x n ,0)(n ∈N )顺次为x 轴正半轴上的点,其中x 1=a (0<a <1),对于任意n ∈N ,点A n 、B n 、A n+1构成一个顶角的顶点为B n 的等腰三角形。

⑴求数列{y n }的通项公式,并证明{y n }是等差数列; ⑵证明x n+2-x n 为常数,并求出数列{x n }的通项公式;⑶在上述等腰三角形A n B n A n+1中,是否存在直角三角形?若有,求出此时a 值;若不存在,请说明理由。

三、数列与向量交汇的综合题 例19{}项和,的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S , b →=()122,1++-n n a ,a b →→⊥(1)求证:⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列; (2) 若n n a n n b 12011+-=,问是否存在0n , 对于任意k (k N *∈),不等式0n k b b ≤成立.例20 在直角坐标平面中,已知点)2,(),2,3(),2,2(),2,1(33221nn n P P P P ,其中n 是正整数,对平面上任一点A 0,记A 1为A 0关于点P 1的对称点,A 2为A 1关于点P 2的对称点,……,A n 为A n -1关于点P n的对称点.(1)求向量20A A 的坐标;(2)对任意偶数n ,用n 表示向量n A A 0的坐标.例21 已知数列{}n a 的首项1213a a ==,,前n 项和为n S ,且1n S +、n S 、1n S -(n ≥2)分别是直线l 上的点A 、B 、C 的横坐标,21nna AB BC a +=,设11b =,12log (1)n n n b a b +=++.⑴ 判断数列{1}n a +是否为等比数列,并证明你的结论;⑵ 设11114n b n n n n c a a +-++=,证明:11<∑=nk k C .四、数列与函数交汇的综合题例22 已知函数4444(1)(1)()(1)(1)x x f x x x ++-=+--(0x ≠)。

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