华中师大一附中2017— —2018学年度上学期高一期中检测数学试题及答案

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【数学】湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试(文)

湖北省华中师范大学第一附属中学2017届高三上学期期中考试（文）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12小题；每小题5分，共计60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的) 1．抛物线212x y =的焦点坐标为（） A.1(,0)2 B.1(0,)2 C.1(,0)8 D.1(0,)82．复数z 为纯虚数，若()3i i z a -⋅=+（i 为虚数单位），则实数a 的值为（） A ．13 B ． 3 C ．13- D ．3- 3．给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x 其中正确的命题序号是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③4．设数列是以3为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则=（）A ．15B ．72C ．63D ．605．函数()y f x =在定义域(,)3-32内的图像如图所示．记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()f x ≤0的解集为（）{}n a {}n b 4321a a a a b b b b +++A ．[－13，1]∪[2，3） B ．[－1，12]∪[43，83] C ．[－32，12]∪[1，2） D ．（－32，－ 13]∪[12，43]∪[43，3）6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ． B. C. D.7．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项的和分别为n S 和n T ，对一切自然数n 都有132+=n nT S n n ，则=55b a （） A ．32 B ．149 C ．3120 D ．1711 8．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（） A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 9．椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.10．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（）A ．4B ．3C．2-D11．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（） A.B.C.D.12．设函数cx bx x x f 33)(23++=有两个极值点21,x x ,且[]0,11-∈x ,[]2,12∈x ,则（） A.21)(101-≤≤-x f B.0)(211≤≤-x f 2[1,2],0x x a ∀∈-≤4a ≥4a ≤5a ≥5a ≤C.27)(01≤≤x f D.10)(271≤≤x f 第II 卷（非选择题,共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．在数列{}n a 中，若前n 项和n S 满足332n n S a =-，则该数列的通项公式_______n a = 14．若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值为．15．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，如果126x x +=，那么AB ＝．16．已知2()(1)()xf x x mg x xe =--+=，，若12x x ∃∈R ，,使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是_______．三、解答题：(本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)17．(本小题满分10分)(1)求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程(2)求与椭圆221255x y +=共焦点且过点的双曲线的标准方程18．(本小题满分12分)已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，321-=a ，满足12(2)n n nS a n S ++=≥．（1）计算321,,S S S ，猜想n S 的一个表达式（不需要证明）（2）设nn S b n n +=2，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：43->n T ．19．(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列}{n a 中，是数列的前项和，对任意，有1222-+=n n n a a S .函数x x x f +=2)(，数列}{n b 的首项41)(,2311-==+n n b f b b . （1）求数列的通项公式；（2）令)21(log 2+=n n b c 求证：}{n c 是等比数列并求}{n c 通项公式（3）令n n n c a d ⋅=，（n 为正整数），求数列}{n d 的前n 项和n T .20．（本小题满分12分）n S a ,11={}n a n *∈N n {}n a已知函数2()2ln ().f x x x a x a R =++∈ （1）当4a =-时，求()f x 的最小值；（2）若函数()f x 在区间（0,1）上为单调函数，求实数a 的取值范围21．（本小题满分12分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A 、B ，且|||AB BF =．（1）求椭圆C 的离心率；（2）若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P 、Q 两点，OP OQ ⊥．求直线l 的方程及椭圆C 的方程．22．(本小题满分12分) 已知函数2()(2)xf x ax x a e-=-+(1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间； (2)设()()2xf xg x a e '=---－，21()2ln 2h x x x x =--，若1x >时总有 ()()g x h x <，求实数a 的取值范围．参考答案一．选择题1-12 D A A D A C B D B A C C 二．填空题：13. 23n ⨯ 14．3 15. 8 16. 1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题：17.解：（1）14822=+y x （5分）（2）1101022=-y x …….（10分） 18.解：（1）因为)2(1≥-=-n S S a n n n ，所以121--=++n n nn S S S S ，由此整理得 121-+-=n n S S ，于是有：54,43,32321-=-=-=S S S ，猜想：21++-=n n S n （6分）（2）由（1）)211(21)2(1+--=+-=n n n n b n ，于是：)211123(21)]21514131()131211[(21+-+--=++⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++-=n n n n T n….（10分）又因为211123+-+-n n 23<，所以43->n T ． ……（12分） 19.解：（1）由① 得②由②—①，得即： ……（2分）由于数列各项均为正数，1222-+=n n n a a S 1221211-+=+++n n n a a S )()(2212211n n n n n a a a a a -+-=+++0)())((2111=+--++++n n n n n n a a a a a a 0)122)((11=--+∴++n n n n a a a a {}n a 1221=-∴+n n a a数列是首项为数列的通项公式是…….（4分）（2）由41)(1-=+n n b f b 知4121-+=+n n n b b b ，所以21)21(21+=++n n b b ， ……5分有)21(log 2)21(log )21(log 22212+=+=++n n n b b b ，即n n c c 21=+， …..（6分）而12log )21(log 2121==+=b c ，故}{n c 是以11=c 为首项，公比为2的等比数列. 所以12-=n n c ……（8分）（3）212)1(221--+=⋅+=⋅=n n n n n n n c a d ，所以数列}{n d 的前n 项和=n T 23012)1(22322---++⋅++⋅+⋅n n n n错位相减可得=n T 12-⋅n n （12分）20.解：（1）已知函数的表达形式是2()24ln .f x x x x =+-所以显然，x 的取值范围是0x >；首先对()f x 进行求导得到2'4224()22x x f x x x x+-=+-=，求最大值和最小值问题，需要求增减区间，那么令'()0f x >，得到()f x 的增区间为(1,)+∞；令'()0f x <，得到()f x 的减区间为（0,1），所以()f x 的最小值为min ()(1)3f x f == …….（6分）（2）首先对()f x 进行求导得到xax x x a x x f ++=++=2222)(2/，因为0x >是x 的定义域，所以只需对222x x a ++进行讨论。

2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学(理)(详细答案版)

2017-2018学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知复数z =21−i,则下列命题中正确的个数为①|z|=√2 ②z̅=1−i ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】本题考查复数的代数形式的运算.解答本题时要注意先对复数进行除法运算,然后对命题进行判断,确定真命题的个数.因为z =21−i =1+i ,所以|z|=√2,z̅=1−i,z 的虚部为1,z 在复平面上对应点(1,1)在第一象限.所以正确命题的序号为①②④,合计有3个.故选C.2．下列函数为偶函数且在(0,＋∞)上为增函数的是A.f(x)=(∫costdt x0)2 B.f(x)=x 2+3x 2C.f(x)=12x +x 2 D.f(x)=x(e x −e −x ) 【答案】D【解析】本题考查函数的基本性质.解答本题时要注意根据所给的函数进行逐一判断,确定满足条件的函数解析式.由题可得,因为f (x )=(∫costdt x 0)2=(sinx)2是偶函数但在(0,＋∞)上不单调,所以排除A;因为f(x)=x 2+3x 2是偶函数,但在(0,＋∞)上不单调,所以排除B.因为f(x)=12x +x 2不是偶函数,所以排除C;故选D.3．已知集合A ={x|y =lg2−x x+2},集合B ={y|y =1−x 2},则集合{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}为A.[−2,1]∪(2,+∞)B.(−2,1)∪(2,+∞)C.(−∞,−2)∪[1,2)D.(−∞,−2]∪(1,2)【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算.解答本题时要注意先求得集合A,B,然后求得并集与交集,再求得结论.因为A ={x|y =lg 2−xx+2}={x |−2<x <2}, B ={y |y =1−x 2}={y|y ≤1}.所以A ∪B =(−∞,2),A ∩B =(−2,1].所以{x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B}=(−∞,−2]∪(1,2).故选D.4．下列说法正确的是A.“∀x,y ∈R ,若x +y ≠0,则x ≠1且y ≠−1”是真命题B.在同一坐标系中,函数y =f(1+x)与y =f(1−x)的图象关于y 轴对称.C.命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3>0”D.a ∈R ,“1a <1 ”是“a >1”的充分不必要条件【答案】B【解析】本题考查常用逻辑用语.解答本题时要注意对选项进行逐一判断,排除错误说法,确定正确说法.对于选项A,取x =1,y =0,则x +y ≠0,但x ≠1且y ≠−1不成立,所以是假命题,故排除A;对于选项C,命题“∃x ∈R ,使得x 2+2x +3<0”的否定是“∀x ∈R ,都有x 2+2x +3≥0”,故排除C;对于选项D,当1a <1时有a <0或a >1,所以是必要不充分条件,故排除D.所以说法正确的是选项B.故选B.5．如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上的一点,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数m 的值为A.19B.13C.1D.3【答案】A【解析】本题考查平面向量的线性运算.解答本题时要注意利用平面向量的基本定理及其线性运算,表示向量,通过向量相等,求得实数的值.由题可得,AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nBN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−n )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n 4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以n 4=29,解得n =89,所以m =1−n =19.故选A.6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织七匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了七匹三丈,问每天增加多少尺布?”若这一个月有31天,记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ,则a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30的值为 A.2930B.1615C.13D.15【答案】B【解析】本题考查等差数列求和问题解答本题时要注意根据《九章算术》题中意思,构造等差数列,然后求和比较.由题可得,该问题可转化为等差数列求和问题.已知首项为5,设公差为d ,则31×5+31×322d =310,解得d =516.所以a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 29+a 31a2+a 4+⋅⋅⋅+a 28+a 30=16×5+2+302×15×515×5+1+292×15×5=1615.故选B.7．若tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),则sin(2α+π4)的值为 A.±√210B.√25C.√210D.±√25【答案】C【解析】本题考查三角函数恒等变换.解答本题时要注意先根据条件求得tanα,再转化计算得到sinα及cosα.最后计算得到结论.因为tanα−1tanα=32,α∈(π4,π2),所以tanα=−12.所以sinα=√55,cosα=−2√55.所以sin (2α+π4)=√22sin2α+√22cos2α=√2sinαcosα+√22(2cos 2α−1)=√2×√55×(−2√55)+√22(2×25−1)=√210.故选C.8．某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储存温度x (单位:°C )满足函数关系y =e kx+b (e =2.718⋯为自然对数的底数,k,b 为常数),若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时,在22°C 的保鲜时间是48小时,则该食品在33°C 的保鲜时间是( )小时. A.22 B.23 C.24 D.33【答案】C【解析】本题考查函数模型的实际应用.解答本题时要注意根据条件确定函数关系式,然后求值计算.由题可得,{192=e b 48=e22k+b ,解得e 11k =12,所以当x =33时,y =e 33k+b =(e 11k )3∙e b=(12)3×192=24.故选C.9．已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如所示,为了得到y =f(x)的图象需将y =cos2x 的图象A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度 C.向右平移π6个单位长度 D.向左平移π6个单位长度【答案】A【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意先根据给出的函数的部分图象确定函数的解析式,然后考查函数图象平移问题.由图可知,T4=7π12−π3=π4,解得T =π=2πω,解得ω=2.由五点法可知,当x =π3时,2π3+φ=π2,解得φ=−π6.所以f (x )=sin (2x −π6)=cos⁡(2x −π3).所以需将y =cos2x 的图象向右平移π3个单位长度即可得到y =f(x)的图象.故选A.10．已知定义在R 上的偶函数f(x),满足f (x +4)=f(x),且x ∈[0,2]时,f (x )=sin πx +2|sin πx |,则方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是 A.18 B.19C.10D.9【答案】B【解析】本题考查函数与方程.解答本题时要注意利用函数的奇偶性及周期性,画出函数的图象,结合图象判断方程的根的情况.由题可得,因为f (x +4)=f(x),所以函数是周期为4的函数,因为当x ∈[0,2],f (x )=sin πx +2|sin πx |={3sinπx,0≤x ≤1−sinπx,1<x ≤2.因为函数是偶函数,所以可知函数的图象如图所示,在同一坐标系内画出函数y =|lg x |的图象.结合函数的图象可知,方程f (x )−|lg x |=0在区间[0,10]上根的个数是19个.故选B.11．在△ABC 和△AEF 中,B 是EF 的中点,AB =EF =1,BC =6,CA =√33,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的余弦值为A.12 B.23C.34D.−13【答案】B【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意利用已知的向量数量积,化简求值,再结合数量积的定义,求得向量的夹角.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2,即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BE⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.因为AB =1,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√33×1×2×√33×1=−1,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以1+BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−1=2,即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2.设EF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=3cosθ=2.所以cosθ=23.故选B.12．设函数f(x)=e x (x −ae x )(其中e 为自然对数的底数)恰有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2),则下列说法中正确的是 A.0<a <13 B.0<x 2<1 C.−12<f(0)<0 D.f(x 1)+f(x 2)>0【答案】C【解析】本题考查导数及其应用.解答本题时要注意先对函数进行求导,然后利用函数恰有两个极值点,通过函数分解,考查函数图象的交点,判断选项的正确与否.由题可得,f ′(x )=e x (x −ae x )+e x (1−ae x )=e x (x +1−2ae x ).因为函数恰有两个极值点,所以f ′(x )=0有两个根,即x +1−2ae x =0有两个根x 1,x 2(x 1<x 2),所以函数y =x +1与y =2ae x 的图象有两个不同的交点.结合图形(图略)可知,要使满足条件,则0<2a <1,所以0<a <12.所以f (0)=−a ∈(−12,0).所以选项C 正确.故选C.二、填空题：共4题13．函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是________.【答案】(−3,−1]或(−3,−1)【解析】本题考查函数的单调性.解答本题时要注意根据复合函数的单调性的判断方式,求得函数的单调递增区间.由题可得,令−x 2−2x +3>0,解得−3<x <1.因为函数y =lgx 在定义域内单调递增,函数y =−x 2−2x +3在(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,由复合函数的单调性判断方式可知,函数y =lg(−x 2−2x +3)的单调递增区间是(−3,−1)或(−3,−1].14．已知向量a =(6,−2),b =(1,m),且a ⊥b ,则|a −2b|= .【答案】4√5【解析】本题考查平面向量的数量积运算.解答本题时要注意先利用向量垂直,计算得到实数m的值,然后进行求模计算.因为向量a=(6,−2),b=(1,m),且a⊥b,所以6−2m= 0,解得m=3.所以a−2b=(4,-8),所以|a−2b|=√16+64=√80=4√5.15．已知数列{a n}的通项公式为a n=−n2+10n−194,当a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a n a n+1a n+2取得最大值时,n的值为_________.【答案】9【解析】本题考查数列的求和.解答本题时要注意根据数列的通项公式,判断数列的项是正项的情况,然后判断使得结论取到最大值时的n的值.令a n=−n2+10n−194>0,由n∈N∗解得n≤9.且有a10<0,a11<0.因为a8a9a10+a9a10a11=−(16−194)(9−194)×19 4+(9−194)×194×(11+194)=(9−194)×194×(−5+192)>0,所以可知当n=9时,a1a2a3+a2a3a4+a3a4a5+⋯+a9a10a11取到最大值.16．若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a−x)=2b(其中a2+b2≠0),则称函数y=f(x)为“中心对称函数”,称点(a,b)为函数f(x)的“中心点”.现有如下命题:①函数f(x)=sinx+1是“中心对称函数”;②若“中心对称函数”y=f(x)在R上的“中心点”为(a,f(a)),则函数F(x)=f(x+a)−f(a)是R上的奇函数;③函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2);④函数f(x)=2x−cos x是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(π2,π).其中正确的命题是___ _____.(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③【解析】本题考查函数的性质.解答本题时要注意根据中心对称函数的定义对命题逐一验证,得到正确的命题.由题可得,因为y=sinx图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=sinx+1,图象关于点(0,1)对称,所以是中心对称函数,所以①正确;因为函数是中心对称函数,所以有f(a+x)+f(a−x)=2f(a),所以F(−x)=f(−x+a)−f(a)=2f(a)−f(a+x)−f(a)=f(a)−f(a+x)=−[f(a+x)−f(a)]=−F(x),所以函数是奇函数,所以②正确;因为f(1−x)+f(1+x)=(1−x)3−2(1−x)2+6(1−x)−2+(1+x)3−2(1+x)2+6(1+x)−2=1−3x+3x2−x3−2+2x−2x2+6−6x−2+1+3x+3x2+x3−2−2x−2x2+6+6x−2=4=2×2.所以可知函数f(x)=x3−2x2+6x−2是“中心对称函数”,且它的“中心点”一定为(1,2),所以③正确;因为f(π2−x)+f(π2+x)=2(π2−x)−cos(π2−x)+2(π2+x)−cos(π2+x)=2π−2sinx≠2π,所以函数不是中心对称函数,所以④错误.所以正确的命题是①②③.三、解答题：共6题17．已知向量a=(sinx,cos(π−x)),b=(2cosx,2cosx),函数f(x)=a⋅b+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值,并求出相应x的值.【答案】(1)因为f(x)=a⋅b+1=2sin x cos x+cos(π−x)·2cos x+1=2sin x cos x−2cos2x+1=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),所以f(x)的对称中心为(kπ2+π8,0)(k∈Z).(2)由(1)得,f(x)=sin2x−cos2x=√2sin(2x−π4),因为x∈[0,π2],所以2x−π4∈[−π4,3π4],所以当2x−π4=π2时,即x=3π8时,f(x)的最大值是√2;当2x−π4=π4时,即x=0时,f(x)的最小值是−1.【解析】本题考查三角函数的图象与性质.解答本题时要注意(1)利用平面向量数量积的坐标表示,结合三角恒等变换,化简函数的解析式,利用整体代换,求得函数的对称中心;(2)利用整体代换,结合函数y=sin x的图象与性质,求得函数在给定区间的最大值与最小值.18．已知函数f(x)＝log4(4x+1)＋kx(k∈R).(1)当k=−12时,若方程f(x)−m＝0有解,求实数m的取值范围;(2)试讨论f(x)的奇偶性.【答案】(1)由m＝f(x)＝log4(4x+1)−12x,∴m＝log44x+12x＝log4(2x+12x).∵2x+12x ≥2,∴m≥12.(2)依题意得定义域为R,关于原点对称∵f(x)=log4(4x+1)＋kx,f(−x)=log4(4−x+1)−kx,令f(x)=f(−x),得log44x+14−x+1＝−2kx,即log44x＝−2kx, ∴x=−2kx对一切k∈R恒成立.∴k=−12时f(x)=f(−x),此时函数f(x)是偶函数,∵f(0)=log 4(40+1)−k ×0=log 42=12,∴函数f(x)不是奇函数, 综上,当k =−12时,函数f(x)是偶函数; 当k ≠−12时,函数f(x)是非奇非偶函数.【解析】本题考查函数的性质及函数与方程.解答本题时要注意(1)利用方程有解,转化为函数值域问题,由此得到实数m 的取值范围;(2)根据实数k 的取值情况,利用函数奇偶性的定义,判断函数的奇偶性.19．已知数列{a n },{b n },S n 为数列{a n }的前n 项和,且满足a 2=4b 1,S n =2a n −2,nb n+1−(n +1)b n =n 2+n(n ∈N ∗). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)试问{bn n}能否为等差数列,请说明理由;(3)若数列{c n }的通项公式为c n ={−a n bn 2,n 为奇数a nb n4,n 为偶数,令T n 为{c n }的前n 项的和,求T 2n .【答案】(1)当n =1时,S 1=2a 1−2⇒a 1=2,当n ≥2时,由{S n=2a n −2S n−1=2a n−1−2,得:a n =2a n −2a n−1,则a n =2a n−1, 综上,{a n }是公比为2,首项为2的等比数列,a n =2n ; (2){bn n}是等差数列,理由如下:∵a 2=4b 1,∴b 1=1,∵nb n+1−(n +1)b n =n 2+n ,∴bn+1n+1−b n n=1综上,{b nn}是公差为1,首项为1的等差数列,且bn n=1+n −1⇒b n =n 2; (3)令p n =c 2n−1+c 2n =−(2n−1)2⋅22n−12+(2n)2⋅22n4=(4n −1)⋅22n−2=(4n −1)⋅4n−1,{T 2n =3×40+7×41+11×42+⋯+(4n −1)×4n−14T 2n=3×41+7×42+11×43+⋯+(4n −5)×4n−1+(4n −1)×4n ①②①-②,得:−3T 2n =3⋅40+4⋅41+4⋅42+⋯+4⋅4n−1−(4n −1)⋅4n =3+16−4⋅4n 1−4−(4n −1)⋅4n ,所以T 2n =79+12n−79⋅4n .【解析】本题考查等比数列及其求和问题.解答本题时要注意(1)根据数列的前n 项和与通项之前的递推关系式,判断得到数列是等比数列,并由此表示得到通项公式;(2)根据递推关系式,判断得到数列{bnn}时等差数列,由此得到其通项公式;(3)通过化简得到数列的通项公式,结合错位相减法,求得数列的前n 项和.20．已知函数f(x)=e x −ax(a ∈R,e 为自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若a =1,函数g(x)=(x −m)f(x)−e x +x 2+x 在(2,+∞)上为增函数,求实数m 的取值范围.【答案】(1)函数f(x)的定义域为R,f ′(x)=e x −a . 当a ≤0时,f ′(x)>0,∴f(x)在R 上为增函数; 当a >0时,由f ′(x)=0得x =lna ,当x ∈(−∞,lna)时,f ′(x)<0,∴函数f(x)在(−∞,lna)上为减函数, 当x ∈(lna,+∞)时,f ′(x)>0,∴函数f(x)在(lna,+∞)上为增函数 (2)当a =1时,g(x)=(x −m)(e x −x)−e x +x 2+x , ∵g(x)在(2,+∞)上为增函数;∴g ′(x)=xe x −me x +m +1≥0在(2,+∞)上恒成立, 即m ≤xe x +1e x −1在(2,+∞)上恒成立, 令ℎ(x)=xe x +1e x −1,x ∈(2,+∞),则ℎ′(x)=(e x )2−xe x −2e x(e −1)=e x (e x −x−2)(e −1),令L(x)=e x −x −2,L ′(x)=e x −1>0在(2,+∞)上恒成立,即L(x)=e x −x −2在(2,+∞)上为增函数,即L(x)>L(2)=e 2−4>0, ∴ℎ′(x)>0,即ℎ(x)=xe x +1e x −1在(2,+∞)上为增函数,∴ℎ(x)>ℎ(2)=2e 2+1e 2−1,∴m ≤2e 2+1e 2−1,所以实数m 的取值范围是(−∞,2e 2+1e 2−1].【解析】本题考查函数与导数的应用.解答本题时要注意(1)对函数进行求导,利用实数a 的取值情况,结合导数的正负,判断函数的单调性,求得函数的单调区间;(2)先确定函数的解析式,利用函数在给定区间的单调性,结合导数大于0恒成立,构造不等式,并参变分离,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,由此计算得到实数m 的取值范围.21．如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中OA =3km,OB =3√3km,∠AOB =90∘.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M,N 都在边AB 上(M,N 不与A,B 重合,M 在A,N 之间),且∠MON =30∘.(1)若M 在距离A 点2km 处,求点M,N 之间的距离;(2)为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小.试确定M 的位置,使△OMN 的面积最小,并求出最小面积.【答案】(1)在△ABO 中,因为OA =3,OB =3√3,∠AOB =90∘,所以∠OAB =60∘, 在△OAM 中,由余弦定理得:OM 2=AO 2+AM 2−2AO ⋅AMcosA =7, 所以OM =√7, 所以cos∠AOM =OA 2+OM 2−AM 22AO⋅AM=2√77,在△OAN 中,sin∠ONA =sin(∠A +∠AON)=sin(∠AOM +90∘)=cos∠AOM =2√77, 在△OMN 中,由MNsin30∘=OMsin∠ONA ,得MN =√72√77×12=74;(2)设∠AOM =θ,0∘<θ<60∘ ,在△OAM 中,由OMsin∠OAB =OAsin∠OMA ,得OM =3√32sin(θ+60∘), 在△OAN 中,由ONsin∠OAB =OAsin∠ONA ,得ON =3√32sin(θ+90∘)=3√32cosθ,所以S △OMN =12OM ⋅ONsin∠MON =12⋅3√32sin(θ+60∘)⋅3√32cosθ⋅12＝2716sin(θ+60∘)cosθ＝8sinθcosθ+8√3cos 2θ＝4sin2θ+4√3cos2θ+4√3＝8sin(2θ+60∘)+4√30<θ<60∘.当2θ+60∘=90∘,即θ=15∘时,S △OMN 的最小值为27(2−√3)4.所以应设计∠AOM =15∘,可使△OMN 的面积最小,最小面积是27(2−√3)4km 2【解析】本题考查解三角形的实际应用.解答本题时要注意(1)在三角形中利用余弦定理求得OM 及cos∠AOM 的值,再利用正弦定理求得MN 的值;(2)利用正弦定理分别求得OM 和ON 的值,然后表示三角形的面积,结合三角函数的有界性,求得面积的最小值.22．已知数列{a n }满足a n =n t+1(n,t ∈N ∗,t ≥3,t 为常数,n ≤t).(1)设S n =∑1a ini=1=1a 1+1a 2+⋯+1a n,n ∈N ∗,证明:S n >(t +1)ln(n +1);(2)证明:a n <e a n −1(e 为自然对数底数);(3)设T n =∑(a k )t nk=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯(a n )t ,n ∈N ∗,试比较与T n 与1的大小关系,并说明理由.【答案】(1)即证:1(t+1)a 1+1(t+1)a 2+⋯+1(t+1)a n>ln(n +1),即证:1+12+13+⋯+1n >ln(n +1),设g(x)=x −ln(x +1),g ′(x)=1−1x+1=xx+1,∵当x >0时,g ′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,当−1<x <0时,g ′(x)<0,g(x)在(−1,0)上单调递减,∴g(x)=x −ln(x +1)≥g(0)=0(当且仅当x =0时等号成立),即x >0时,有x >ln(x +1),∴1+12+13+⋯+1n >ln 2+ln 32+ln 43+⋯+lnn+1n =ln(n +1), ∴1a 1+1a 2+⋯+1a n >(t +1)ln(n +1), (2)由(1)知:当x >−1且x ≠0时,有x >ln(x +1),即当x >0且x ≠1时,有x −1>lnx ,因为0<a n =n t+1≤t t+1<1,所以a n −1>lna n ,即a n <e a n −1(3)T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1,理由如下:由(2)知:(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <(e a 1−1)t +(e a 2−1)t +(e a 3−1)t +⋯+(e a n −1)t =(e t )a 1−1+(e t )a 2−1+(e t )a 3−1+⋯+(e t )a n −1=e −t 2t+1(1−e tn t+1)1−e t t+1≤e −t 2t+1(1−e t 2t+1)1−e t t+1=e −t 2t+1−11−e t t+1, 设e t t+1=q ,因为q =e t t+1≥e 34>2,∴e −t 2t+1−11−e t t+1=q −t −11−q =1−q −t q−1<1q−1<1,所以T n =∑(a k )t n k=1=(a 1)t +(a 2)t +(a 3)t +⋯+(a n )t <1.【解析】本题考查数列与不等式.解答本题时要注意(1)通过将问题转化,构造新的函数,求导,利用导数判断函数的单调性,求得最小值,通过构造,证明不等式成立;(2)根据(1)的结论,构造不等式,通过证明a n −1>lna n ,得到结论成立;(3)利用(2)的结论,结合放缩法,构造等比数列,利用等比数列求和及放缩法,比较得到T n 与1的大小关系.。

湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中考试

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三期中检测数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合)}1ln(|{},0232|{22-==>--=x y x B x x x A ，则=⋂B A （）A ．)21,1(- B ．),1()2,(+∞⋃--∞ C ．)1,2(-- D ．),1()1,2(+∞⋃-- 2.已知i 是虚数单位，R b a ∈,，则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知βα,是两相异平面，n m ,是两相异直线，则下列错误的是（）A ．若α⊥m n m ,//，则α⊥nB ．若βα⊥⊥n m ,，则βα//C ．若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥ D ．若n m =⋂βαα,//，则n m //4.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（） A ．91 B ．92 C. 31 D ．94 5.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知7075,100571=--=S S a .则101S 等于（） A ．100 B ．50 C. 0 D ．50-6.已知),(y x P 为区域⎩⎨⎧≤≤≤-ax x y 0022内的任意一点，当该区域的面积为4时，y x z -=2的最大值是（）A ．6B ．0 C. 2 D ．22 7.设201620172017201620171log ,log ,2016===c b a ，则c b a ,,的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >> C. c a b >> D ．a b c >> 8.执行如下图的程序框图，如果输入的01.0=t ，则输出的=n （）A ．5B ．6 C. 7 D ．89.如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A ．π8B ．π16 C. π32 D ．π6410.若向量b a ,满足2|2|||=+=b a a ，则a 在b方向上投影的最大值是（）A ．3B ．3- C. 6 D ．6-11.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与函数x y =的图象交于点P ，若函数x y =的图象在点P 处的切线过双曲线的左焦点)0,1(-F ，则双曲线的离心率是（）A ．215+ B ．225+ C. 213+ D ．2312.若对于任意的正实数y x ,都有mexx y e y x ≤⋅-ln )2(成立，则实数m 的取值范围为（） A ．)1,1(e B ．]1,0(2e C. )1,0( D ．]1,0(e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知41)4cos(=+x π，则x 2sin 的值为． 14.已知π43,||,1||=∠==→→AOB m OB OA ，点C 在AOB ∠内且0=⋅→→OC OA .若)0(2≠+=→→→λλλOB OA OC ，则=m ．15.已知函数)4cos(2)(x x f +=π，把)(x f 的图象按向量)0)(0,(>=m m v 平移后，所得图象恰好为函数)(x f y '=的图象，则m 的最小值为． 16.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知42=+b a ，C B a B b A a sin sin 6sin 4sin =+，则C B A ,,的面积取最小值时有=2c ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列n a 的前n 项和为n S ，且}{,2121n n n b S --=为等差数列，且112211)(,a b b a b a =-=.（1）求数列n a 和}{n b 的通项公式；（2）设nnn a b c =，求数列}{n c 的前n 项和n T . 18. 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组第1组)25,20[，第2组)30,25[，第3组)35,30[，第4组)40,35[，第5组]45,40[，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人.（1）求该组织的人数；（2）若在第5,4,3组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第5,4,3组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率.19. 如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 是菱形，其对角线的交点为O ，且SD SA SC SA ⊥=,.（1）求证：⊥SO 平面ABCD ；（2）设P SD AB BAD ,2,60===∠是侧棱SD 上的一点，且//SB 平面APC ，求三棱锥PCD A -的体积.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为22，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线01cos sin =-+θθy x 相切（θ为常数）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若椭圆的C 左、右焦点分别为21F F 、，过2F 作直线l 与椭圆分别交于两点N M 、，求→→⋅N F M F 11的取值范围.21. 函数m x x x g x x f --==2)(,ln )(.（1）若函数)()()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值；（2）若xe x x x g xf )2()()(2--<+在)3,0(∈x 恒成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C 参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标. 23.选修4-5：不等式选讲设函数)(|||1|)(R a a x x x f ∈-+-=. （1）当4=a 时，求不等式5)(≥x f 的解集；（2）若4)(≥x f 对R x ∈恒成立，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CADBC 6-10:AACCB 11、12：AD 二、填空题 13.87 14. 22 15. π23 16. 5345- 三、解答题17.解：（1）当1=n 时，111==S a ，当2≥n 时，121121)212()212(----=---=-=n n n n n n S S a ，经验证当1=n 时，此时也成立，所以121-=n n a ，从而2,1211211==-==a a b b a b ，又因为}{n b 为等差数列，所以公差122)1(1,2-=⋅-+=∴=n n b d n ，故数列}{n a 和}{n b 通项公式分别为：12,211-==-n b a n n n . （2）由（1）可知112)12(2112--⋅-=-=n n n n n c ，所以12102)12(252321-⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n T ①①2⨯得nn n n n T 2)12(2)32(25232121321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=- ② ①-②得：nn n n T 2)12()222(2112⋅--++++=--n n n n n n n n 2)32(32)12(4212)12(21)21(22111⋅---=⋅---+=⋅----+=+-∴数列}{n c 的前n 项和n n n T 2)32(3⋅-+=.18.解：（1）由题意第2组的人数为n ⨯⨯=07.0535，得到100=n ，故该组织有100人. （2）第3组的人数为30100506.0=⨯⨯，第4组的人数为20100504.0=⨯⨯，第5组的人数为10100502.0=⨯⨯，所以第5,4,3组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组366030=⨯；第4组266020=⨯；第5组166010=⨯. 所以应从第5,4,3组中分别抽取3人，2人，1人.（3）记第3组的3名志愿者为321,,A A A ，第4组的2名志愿者为21,B B ，第5组的1名志愿者为1C ，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有),,(),,(),,(113121B A A A A A ),,(),,(1121C A B A ),,(),,(1232B A A A ),,(22B A),,(12C A ),,(),,(),,(132313C A B A B A ),(),,(),,(121121C B C B B B ，共15有种.其中第3组的3名志愿者321,,A A A 至少有一名志愿者被抽中的有),,(),,(),,(),,(21113121B A B A A A A A),,(11C A ),,(),,(),,(),,(12221232C A B A B A A A ),(),,(),,(132313C A B A B A ，共12有种.则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为541512=. 19.（1）证明：底面ABCD 是棱形，∴对角线AC BD ⊥，又⊥∴=⋂⊥BD A AC SA SA BD ,,平面⊂SO SAC ,平面SO BD SAC ⊥∴,，又O SC SA ,=为AC 中点，⊥∴=⋂⊥∴SO O BD AC AC SO ,,平面ABCD . （2）连//,SB PO 平面⊂SB APC ,平面SBD ，平面⋂SBD 平面PO APC =，PO SB //∴，在三角形SBD 中，O 是BD 的中点，P ∴是SD 的中点，取OD 的中点E ，连PE ，则⊥PE SO PE ,//底面ACD ，且SO PE 21=，在直角三角形ADO 中，1,30,2=∴=∠=DO DAO AD，在直角三角形SDO 中，23,3,2=∴==PE SO SD ，3120sin 2221=⨯⨯⨯= ACD S 三角形，2123331=⨯⨯==∴--ACD P PCD A V V 三棱锥三棱锥.20.（1）由题意⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==+=121cos sin 1222222222b a c c b a c a c θθ 故椭圆12:22=+y x C . （2）①若直线l 斜率不存在，则可得x l ⊥轴，方程为)22,1()22,1(,1-=N M x 、， )22,2(),22,2(11-==∴→→N F M F ，故2711=⋅→→N F M F .②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y 消去y 得0224)21(2222=-+-+k x k x k ，设),(),,(2211y x N y x M ，则222122212122,214k k x x k k x x +-=+=+.),1(),,1(221111y x N F y x M F +=+=→→，则)1()1()1)(1()1)(1(2121212111-⋅-+++=+++=⋅→→x k x k x x y y x x N F M F2212212111))(1()1(k x x k x x k N F M F +++-++=⋅⇒→→代入韦达定理可得12292712171124412)1(222222422411+-=+-=+++-++-=⋅→→k k k k k k k k k N F M F 由02≥k 可得)27,1[11-∈⋅→→N F M F ，结合当k 不存在时的情况，得]27,1[11-∈⋅→→N F M F .21.解：（1）m x x x x F ++-=2ln )(，定义域xx x x F )1)(12()(),,0(-+-='+∞，由0)(>'x F 得10<<x ，由0)(<'x F 得)(,1x F x ∴>在)1,0(递增，在),1(+∞递减，m F x F ==∴)1()(最大，没有极小值.（2）由xe x x x g xf )2()()(2--<+在)3,0(∈x 恒成立，整理得x x e x m x-+->ln )2(在)3,0(恒成立，设x x e x x h x -+-=ln )2()(，则)1)(1()(xe x x h x --='，1>x 时，01>-x ，且0)(,01,11,>'∴>-∴<>x h xe x e e x x ，10<<x 时，01<-x ，设01)(,1)(2>+='-=xe x u x e x u x x .)(x u ∴在)1,0(递增，又)1,21(,01)1(,02)21(0∈∃>-=<-=x e u e u 使得0)(0=x u ，),0(0x x ∈∴时，)1,(,0)(0x x x u ∈<时，0)(>x u ， ),0(0x x ∈∴时，)1,(,0)(0x x x h ∈>'时，0)(<'x h . ∴函数)(x h 在),0(0x 递增，)1,(0x 递减，)3,1(递增，又000000021)2(ln )2()(0x x x x x e x x h x-⋅-=-+-=， 1221)(,22),1,0(00000-<--=∴-<-∴∈x x x h x x ， )3,0(,33ln )3(3∈∴-+=x e h 时，)3()(h x h <，)3(h m ≥∴，即m 的取值范围是),33ln [3+∞-+e .22.解：（1）曲线C 的方程为1322=+y x ，直线l 的方程为04=-+y x . （2）在⎩⎨⎧==θθsin cos 3:y x C 上任取一点)sin ,cos 3(θθ，则点P 到直线l 的距离为232|4)3sin(2|2|4sin cos 3|≤-+=-+=πθθθd ， ∴当1)3sin(-=+πθ时，23max =d ，此时这个点的坐标为)21,23(-. 23.解：（1）5|4||1|≥-+-x x 等价于⎩⎨⎧≥+-<5521x x 或⎩⎨⎧≥≤≤5341x 或⎩⎨⎧≥->5524x x ，解得0≤x 或5≥x ，故不等式5)(≥x f 的解集为0|{≤x x 或}5≥x . （2）因为：|1||)()1(||||1|)(-=---≥-+-=a a x x a x x x f 所以|1|)(min -=a x f ，由题意的：4|1|≥-a ，解得3-≤a 或5≥a .。

湖北华中师大一附中2017届高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x |x 2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A ∩B=（）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{0，1，2}2．已知i 是虚数单位，复数z=（a ∈R ）在复平面内对应的点位于直线x +2y=0上，则a=（）A ．2B ．C ．﹣2D ．3．已知命题p ；≤x ≤1，命题q ：（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）≤0，若￢p 是￢q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，]B ．[，1]C ．[，]D ．4．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则•的值为（）A ．﹣B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足不等式组，则z=x +y 的最大值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．146．已知函数y=2sin （ωx +）（ω∈N *）经过点（2π，），则ω的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d=2，S k +2﹣S k =28，则k=（） A ．8 B ．7 C ．6 D ．58．设两正数a ，b （a ≠b ）满足a 2+ab +b 2=a +b ，则a +b 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（1，）C ．[1，]D ．（0，1）9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（）A． B． C．D．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为．14．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．18．已知数列{a n}满足a1=2，n（a n+1﹣n﹣1）=（n+1）（a n+n）（n∈N*）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n=﹣15，求数列{|b n|}的前n项和T n．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD，且AE ⊥平面CDE，AE=1．（1）求证；平面ABCD⊥平面ADE；（2）求几何体A﹣BDE的体积．20．在平面直角坐标系中，已知动点T到点A（﹣4，0），B（﹣1，0）的距离比为2．（1）求动点T的轨迹方程Γ；（2）已知点P是直线l：y=x与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P引两条直线分别交曲线Γ于Q，R，且直线PQ，PR的倾斜角互补，试判断直线QR的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a=2时，且函数f（x）满足f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证x1+x2＞4．（参考公式：[ln（m﹣x）]'=，m为常数）22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．2016-2017学年湖北华中师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C2．已知i是虚数单位，复数z=（a∈R）在复平面内对应的点位于直线x+2y=0上，则a=（）A．2 B．C．﹣2 D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数z===+i在复平面内对应的点（，）在位于直线x+2y=0上，∴+2×=0，解得a=﹣2．故选：C．3．已知命题p；≤x≤1，命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，若￢p是￢q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．[0，]B．[，1]C．[，]D．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．由于￢p是￢q的必要不充分条件，可得q是p的必要不充分条件．即可得出．【解答】解：命题q：（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．∴，且等号不能同时成立．解得．则实数a的取值范围是．故选：A．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则•的值为（）A．﹣ B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴•========．故选：B．5．已知x，y满足不等式组，则z=x+y的最大值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6），代入目标函数z=x+y得z=4+6=10．即目标函数z=x+y的最大值为10．故选：B6．已知函数y=2sin（ωx+）（ω∈N*）经过点（2π，），则ω的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】根据函数y的图象过点（2π，），代入解析式，再结合ω∈N*，即可求出答案．【解答】解：函数y=2sin（ωx+）图象经过点（2π，），∴2sin（2πω+）=，即sin（2πω+）=；又ω∈N*，∴ω的最小值为1．故选：A．7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=28，则k=（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：S k+2﹣S k=28=a k+2+a k+1=2×1+（2k+1）×2，解得：k=6．故选：C．8．设两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，则a+b的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，）C．[1，]D．（0，1）【考点】基本不等式．【分析】两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，可得0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，即可得出．【解答】解：∵两正数a，b（a≠b）满足a2+ab+b2=a+b，∴0＜（a+b）2﹣（a+b）=ab＜，解得．则a+b的取值范围是．故选：B．9．一几何体的三视图如图，则它的体积是（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，这些都比较好看出，再根据圆锥的体积公式，得到结果，下面是一个特正方体，棱长是a，做出体积把两个体积相加得到结果．【解答】解：由三视图知，几何体是一个简单组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是a，底面直径是2a，∴圆锥的体积是=，下面是一个棱长是a的正方体，正方体的体积是a3，∴空间几何体的体积是，故选A．10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则以下结论错误的为（）A．若，则A=90°B．C．若sinA＞sinB，则A＞B；反之，若A＞B，则sinA＞sinBD．若sin2A=sin2B，则a=b【考点】正弦定理．【分析】A、由题设中的条件可以得出B，C两角的正弦与余弦都对应相等，由此关系即可得出正确答案B、利用正弦定理及等比性质，即可求得结论．C、在△ABC中，设外接圆的半径为R，运用正弦定理和三角形的边角关系，即可得到结论．D、利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0，推断出A+B=或A=B，则根据三角形形状可判断出．【解答】解：A，∵，∴由正弦定理sinB=cosB，sinC=cosC，又∵B，C为△ABC的内角，∴B=C=45°，故A=90°，A正确；B，∵由正弦定理可得=2R，∴==2R=，故B正确；C，在△ABC中，设外接圆的半径为R，若sinA＞sinB，则2RsinA＞2RsinB，由正弦定理可得a＞b，即A＞B；若A＞B，即有a＞b，即2RsinA＞2RsinB，即a＞b．则在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B，故C正确；D，∵sin2A=sin2B∴sin2A﹣sin2B=cos（A+B）sin（A﹣B）=0∴cos（A+B）=0或sin（A﹣B）=0∴A+B=或A=B∴三角形为直角三角形或等腰三角形．故D错误．故选：D．11．若圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1，则r的取值范围为（）A．[4，6]B．（4，6）C．[5，7]D．（5，7）【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围．【解答】解：∵圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2（r＞0）的圆心到直线4x+3y+2=0的距离为：d==5，当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，∴圆（x﹣5）2+（y﹣1）2=r2上有且仅有两点到直线4x+3y+2=0的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4＜r＜6，故选：B．12．已知f（x）=，存在x2＞x1≥0，使得f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围为（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．[1，）【考点】分段函数的应用．【分析】根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x1•f（x2）的取值范围．【解答】解：①当0≤x＜1时，≤f（x）＜，②当x＞1时，f（x）≥1，如图所示，若存在x2＞x1≥0使得f（x1）=f（x2）=k，则≤x1＜1≤x2≤log23，则1≤f（x2）≤，∴×1≤x1•f（x2）＜1×，即≤x1•f（x2）＜，故x1•f（x2）的取值范围为[，），故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．数列{a n}满足a n=，记其前n项和为S n．若S n=5，则项数n的值为35．【考点】数列的求和；数列的函数特性．【分析】化简数列的表达式，列出关系式求解即可．【解答】解：数列{a n}满足a n==．前n项和为S n=（）+（）+…+（）=，S n=5，可得=5，解得n=35．故答案为：3514．在平面直角坐标系xOy中，过点M（﹣4，0）的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2=5相交于A，B两点，若点A恰好是线段MB的中点，则直线l的方程为y=（x+4）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】利用割线定理求出AB，再利用点到直线的距离公式建立方程，即可得出结论．【解答】解：由割线定理可得，MA•MB=（5﹣）（5+），∵点A恰好是线段MB的中点，∴2AB2=20，∴AB=，∴圆心到直线的距离为=，设直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，∴=，∴k=，∴直线l的方程为y=（x+4）．故答案为y=（x+4）．15．已知向量=（1，t），=（﹣2，1）满足（2﹣）⊥，则t=．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，它们的数量积为0，列出方程求出t的值．【解答】解：向量=（1，t），=（﹣2，1），且（2﹣）⊥，∴（2﹣）•=2•﹣=0，2×（﹣2+t）﹣5=0，解得t=．故答案为：．16．已知函数f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，则实数a的取值范围是﹣9＜a＜0．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，取得函数的单调性，求出函数的极值，即可得出结论．【解答】解：由f（x）=（2x﹣3）e x+=0，可得a=x（3﹣2x）e x，（x≠0）令y=x（3﹣2x）e x，则y′=﹣（x﹣1）（2x+3）e x，∴x＜﹣或x＞1时，y′＜0，函数单调递减，﹣＜x＜0或0＜x＜1时，y′＞0，函数单调递增，∴x=﹣时，函数取得极小值﹣9，x=1时，函数取得极大值0，∵f（x）=（2x﹣3）e x+有三个零点，∴﹣9＜a＜0，故答案为﹣9＜a＜0．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知•=•，sinA=．（1）求sinC的值；（2）设D为AC的中点，若△ABC的面积为6，求BD的长．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由已知及向量的运算可求||=||，进而可得A=B，A与B都是锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，利用二倍角公式即可得解sinC的值．（2）由（1）及三角形面积公式可求a=b=，由二倍角公式求得cosC 的值，利用余弦定理可求BD 的值．【解答】解：（1）•=•，得=0，即（）•（）=||2﹣||2=0，故||=||，（也可以由向量数量积的几何意义得出||=||）从而A=B ，A 与B 都是锐角则cosA==．sinC=sin （A +B ）=sin2A=2sinAcosA=，即sinC=．（2）由题意知，S △ABC =absinC==6，得a=b=，如右图，CD=，BC=，又cosC=cos （π﹣2A ）=﹣cos2A=﹣（1﹣2sin 2A ）=﹣，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=CD 2+BC 2﹣2CD •BCcosC=+﹣2×××（﹣）=．故BD=．18．已知数列{a n }满足a 1=2，n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *）．（1）求证：数列{}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n =﹣15，求数列{|b n |}的前n 项和T n ．【考点】数列递推式．【分析】（1）n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），可得na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），变形﹣=2．利用等差数列的定义及其通项公式即可证明．（2）b n =﹣15=2n ﹣15，可得数列{b n }的前n 项和S n =n 2﹣14n ．令b n ≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n ．【解答】（1）证明：∵n （a n +1﹣n ﹣1）=（n +1）（a n +n ）（n ∈N *），∴na n +1﹣（n +1）a n =2n （n +1），∴﹣=2．∴数列是等差数列，公差为2，首项为2．∴=2+2（n ﹣1）=2n ，∴a n =2n 2．（2）解：b n =﹣15=2n ﹣15，则数列{b n }的前n 项和S n ==n 2﹣14n ．令b n =2n ﹣15≤0，解得n ≤7．∴n ≤7时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b n =﹣S n =﹣n 2+14n ．n ≥8时，数列{|b n |}的前n 项和T n =﹣b 1﹣b 2﹣…﹣b 7+b 8+…+b n =﹣2S 7+S n =﹣2×（72﹣14×7）+n 2﹣14n=n 2﹣14n +98．∴T n =．19．如图所示，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与△CDE 所在的平面交于CD ，且AE ⊥平面CDE ，AE=1．（1）求证；平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）求几何体A ﹣BDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥CD ，又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面ADE ，于是平面ABCD ⊥平面ADE ；（2）由AE ⊥平面CDE 得AE ⊥DE ，利用勾股定理计算DE ，求出S △ADE ，由CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB 可知AB ⊥平面ADE ，故V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB ．【解答】证明：（1）∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴AE ⊥CD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，又AD ⊂平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，AD ∩AE=A ， ∴CD ⊥平面ADE ，∵CD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE ．解：（2）∵AE ⊥平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，∴AE ⊥DE ，∴DE==．∴S △ADE ==．∵CD ⊥平面ADE ，CD ∥AB ， ∴AB ⊥平面ADE ，∴V A ﹣BDE =V B ﹣ADE =S △ADE •AB=．20．在平面直角坐标系中，已知动点T 到点A （﹣4，0），B （﹣1，0）的距离比为2．（1）求动点T 的轨迹方程Γ；（2）已知点P 是直线l ：y=x 与曲线Γ在第一象限内的交点，过点P 引两条直线分别交曲线Γ于Q ，R ，且直线PQ ，PR 的倾斜角互补，试判断直线QR 的斜率是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |，由此即可求得曲线C 的方程；（2）确定Q ，R 的坐标，从而可得直线QR 的斜率．【解答】解：（1）设T （x ，y ），由题意知：|TA |=2|TB |．即=2，化简得x 2+y 2=4，即为动点T 的轨迹方程．（2）直线QR 的斜率为定值1．证明过程如下：当x=y 时，代入x 2+y 2=4，得P （）（第一象限内）．显然，直线PQ 的斜率存在，不妨设直线PQ ：y=k （x ﹣）+，Q （x 1，y 1），R （x 2，y 2），联立圆的方程，得（1+k 2）x 2﹣2k （k ﹣1）x +2（k 2﹣2k ﹣1）=0．则x 1=，y 1=﹣．即Q （，﹣）．同理，直线PR 的斜率为﹣k ，用﹣k 代替k ，则R （，﹣）．那么直线QR 的斜率为1为定值．21．已知函数f （x ）=lnx +．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a=2时，且函数f （x ）满足f （x 1）=f （x 2）（x 1≠x 2），求证x 1+x 2＞4．（参考公式：[ln （m ﹣x ）]'=，m 为常数）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出=，x＞0，由此利用导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．只需证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=≤0，由此能证明x1+x2＞4．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+，∴=，x＞0，当a≤0时，f′（x）≥0总成立；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=a．当x∈（0，a）时，f′（x）＜0．当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．证明：（2）当a=2时，f（x）=lnx+．不妨令x1＜x2，要证明x1+x2＞4，即证x2＞4﹣x1．由（1）知f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．则0＜x1＜2，x2＞2，只需证f（x2）＞f（4﹣x1），有f（x1）=f（x2），即证f（x1）＞f（4﹣x1）．设g（x）=f（x）﹣f（4﹣x），（0＜x＜2），则令g（x）=lnx+﹣ln（4﹣x）﹣，g′（x）=﹣﹣﹣=≤0，那么g（x）在（0，2）内单调递减，g（x）＞g（2）=0，故证得f（x1）＞f（4﹣x1）．∴x1+x2＞4．22．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|．（I）解不等式f（x）＞2；（II）若关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，求正数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，解不等式，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，问题转化为a2﹣a≥，求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+3|=，当x≤﹣时，由x+4＞2，解得：x＞﹣2，即﹣2＜x≤﹣；当﹣＜x＜1时，由﹣3x﹣2＞2，解得：x＜2，即﹣＜x＜﹣；当x≥1时，由﹣x﹣4＞2，解得：x＜﹣6，无解；所以原不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数f（x）在x=﹣处取函数的最大值f（﹣）=，要使关于x的不等式f（x）≤a2﹣a的解集为R，只需a2﹣a≥，即3a2﹣2a﹣5≥0，解得a≤﹣1或a≥，又a为正数，则a≥．2016年11月27日。

精品解析：湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题1. 设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴。

选D。

2. 下列对应不是映射的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】选项A,B,C中的对应满足映射的条件，即集合M中的元素具有任意性、集合N中的元素具有唯一性。

选项D中的元素1与集合N中的两个元素对应，不具有唯一性，故选项D中的对应不是映射。

选D。

3. 已知函数，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，那么，故选B.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.4. 函数的零点所在的一个区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，∴函数的零点在区间内。

选B。

5. 函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】要使函数有意义，需满足，即，解得，因此函数的定义域为。

选B。

6. 函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，画出函数图象如选项C所示。

选C。

7. 若关于的不等式无解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则。

所以当不等式无解时，实数应满足。

所以实数的取值范围是。

选A。

8. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，又，所以即考点：根据对数单调性比较大小9. 若定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当时，，则（）A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是奇函数，且在上是减函数C. 是奇函数，但在上不是单调函数D. 无法确定的单调性和奇偶性【答案】B【解析】令，则，所以。

令，则，所以，故函数是奇函数。

湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I 卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数2z1i，则下列命题中正确的个数为①2=z ②i z -=1 ③z 的虚部为i ④z 在复平面上对应点在第一象限 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．下列函数为偶函数且在(0，＋∞)上为增函数的是A ．20()(cos )x f x tdt B ．223()f x x x C ．21()2f x x x D ．()()xx f x x e e3．已知集合2lg 2x A x y x ⎧-⎫==⎨⎬+⎩⎭，集合{}21B y y x ==-，则集合{x x A B 且}x A B 为A ．[]()2,12,-+∞ B ．()()2,12,-+∞C ．()[),21,2-∞-D ．(](),21,2-∞-4．下列说法正确的是 A ．“,x yR ，若0xy，则1x且1y ”是真命题B ．在同一坐标系中，函数(1)y f x =+与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称．C ．命题“x R ，使得2230x x ”的否定是“x R ，都有2230x x ”D ．aR ，“11a”是“1a ”的充分不必要条件5．如图，在ABC 中，13AN NC ，P 是BN 上的一点，若29AP mABAC ，则实数m 的值为 A ．19 B ．13C ．1D ．3 第5题图6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有31天，记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则132931242830a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++的值为A ．2930 B ．1615 C ．13D ．15 7．若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈，则sin(2)4πα+的值为 A ．210±B ．25C ．210D ．25±8．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系bkx ey +=（ 718.2=e 为自然对数的底数，,k b 为常数），若该食品在0C 的保鲜时间是192小时，在22C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33C 的保鲜时间是( )小时．A ．22B ．23C ．24D ．33 9．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如所示，为了得到()y f x 的图像需将cos 2yx 的图像A ．向右平移3π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度 10．已知定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()4(x f x f =+，且]2,0[∈x 时，()sin 2sin f x x xππ=+，则方程0lg )(=-x x f 在区间[0,10]上根的个数是A ．18B ．19C ．10D ．9 11．在ABC 和AEF 中，B 是EF 的中点，1633AB EF BC CA ，，，若2AB AE AC AF ，则EF 与BC 的夹角的余弦值为第9题图A ．12 B ．23 C ．34 D ．1312．设函数()()x x f x e x ae （其中e 为自然对数的底数）恰有两个极值点12,x x 12()x x ，则下列说法中正确的是A ．103aB ．21x C ．1(0)02f -<< D ．12()()0f x f x第II 卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上） 13．函数2lg(23)y x x =--+的单调递增区间是________．14．已知向量(6,2)a =-，(1,)b m =，且a b ⊥，则2a b -= ． 15．已知数列{}n a 的通项公式为219104na n n，当123234a a a a a a 345a a a12n n n a a a 取得最大值时，n 的值为_________．16．若函数()y f x =满足b x a f x a f 2)()(=-++（其中220ab ），则称函数)(x f y =为“中心对称函数”，称点),(b a 为函数()f x 的“中心点”．现有如下命题：①函数()sin 1f x x =+是“中心对称函数”；②若“中心对称函数”()y f x =在R 上的“中心点”为()(),a f a ，则函数()()()F x f x a f a =+-是R 上的奇函数；③函数()32362f x x x x =-+-是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为()1,2；④函数x x x f cos 2)(-=是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为(,)2ππ．其中正确的命题是___ _____．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）已知向量(,cos())a sinx x π=-，(2cos ,2cos )b x x ，函数()1f x a b ．（Ⅰ）求()f x 的对称中心；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值，并求出相应x 的值．18．（本小题满分12分)已知函数()f x ＝4log (41)x+＋kx (k R ∈)．（Ⅰ）当12k时，若方程()f x －m ＝0有解，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）试讨论()f x 的奇偶性．19．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足214a b =，22n n S a =-，21(1)n n nb n b n n +-+=+（*n N ∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试问{}nb n能否为等差数列，请说明理由；（III ）若数列{}n c 的通项公式为,24n n n n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，为偶数，令n T 为{}n c 的前n 项的和，求2n T ．20．（本小题满分12分)已知函数()-xf x e ax =（a R ∈，e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，函数()()()2xg x x m f x e x x =--++在()2,+∞上为增函数，求实数m 的取值范围．21．(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ，其中3,OA km 33,OBkm90AOB ．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ，其中,M N 都在边AB 上（,M N 不与,A B 重合，M 在,A N 之间），且30MON ．（Ⅰ）若M 在距离A 点2km 处，求点,M N 之间的距离；（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小．试确定M 的位置，使OMN 的面积最小，并求出最小面积．22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1n na t =+(,,3,)n t N t t n t *∈≥≤，为常数．（Ⅰ）设1121111nni inS a a a a ，*n N ，证明：(1)ln(1)nS t n ；（Ⅱ）证明：1n a na e -<（e 为自然对数底数）；（Ⅲ）设1231()=()()()()nttt t t n kn k T a a a a a ==+++∑ ，*nN ，试比较与n T 与1的大小关系，并说明理由．第21题图1． C 2． D 3． D 4． B 5． A 6． B 7． C 8． C 9． A 10． B 11． B 12． C第II 卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13． (3,1]或(3,1) 14． 45 15． 9n16．①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）因为()1f x a b =2sin cos cos(π)2cos 1x x x x +-⋅+22sin cos 2cos 1x x x =-+=sin 2cos2x x -=2sin(2)4x………4分所以()f x 的对称中心为(,0)()28k k Z ππ+∈ ……………5分（II ）由（I ）得，()f x =sin 2cos2x x -=2sin(2)4x π-， …………7分因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3π2,444x π⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当242x ππ-=时，即8x 3π=时，()f x；当244x ππ-=-时，即0x =时，()f x 的最小值是1-． …………10分 18．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）由m ＝()f x ＝4log (41)x+－12x ，∴m ＝441log 2x x +＝41log (2)2xx+． ∵1222xx，∴m ≥12． ……………………………………6分（Ⅱ）依题意得定义域为R ,关于原点对称∵()f x 4log (41)x +＋kx ，()f x 4log (41)x -+－kx ，令()()f x f x ，得441log 41x x-++＝2kx -，即4log 4x＝2kx -， ∴2x kx 对一切k R ∈恒成立．∴12k时()()f x f x ，此时函数()f x 是偶函数……………………9分∵0441(0)log (41)0log 22f k =+-⨯==，∴函数()f x 不是奇函数，综上，当12k时，函数()f x 是偶函数；当12k 时，函数()f x 是非奇非偶函数． …………12分 19、(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，111222S a a =-⇒=，当2n ≥时，由112222n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得：122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，综上，{}n a 是公比为2，首项为2的等比数列，2nn a =；………………3分（Ⅱ）{}nb n是等差数列，理由如下： ∵214a b =，∴11b =，∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴111n nb b n n+-=+ 综上，{}n b n 是公差为1，首项为1的等差数列，且211n n bn b n n=+-⇒=；…7分（Ⅲ）令212n n n p c c -=+22122221(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n ----⋅⋅=-+=-⋅=-⋅01212123123474114(41)443474114(45)4(41)4n n n nn T n T n n --⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩ ①② ①-②，得：012121644334444444(41)43(41)414nn nnn T n n --⋅-=⋅+⋅+⋅++⋅--⋅=+--⋅- 所以27127499nn n T -=+⋅． ……………… ………12分20．（本小题满分12分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()xf x e a '=-．当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在R 上为增函数；当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，∴函数()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，∴函数()f x 在()ln ,a +∞上为增函数……4分（Ⅱ）当1a =时，()()()2x x g x x m e x e x x =---++，∵()g x 在()2,+∞上为增函数；∴()10xxg x xe me m '=-++≥在()2,+∞上恒成立，即11x x xe m e +≤-在()2,+∞上恒成立， …………………………6分令()11xx xe h x e +=-，()2,x ∈+∞，则()()()2221x x xxe xe e h x e --'==-()()221x x xe e x e---，令()2xL x e x =--，()10xL x e '=->在()2,+∞上恒成立，即()2xL x e x =--在()2,+∞上为增函数，即()()2240L x L e >=->，∴()0h x '>，即()11x x xe h x e +=-在()2,+∞上为增函数，∴()()222121e h x h e +>=-，∴22211e m e +≤-，所以实数m 的取值范围是2221,1e e ⎛⎤+-∞ ⎥-⎝⎦． ………………12分21．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABO 中，因为33390OAOBAOB ，，，所以60OAB ，在OAM 中，由余弦定理得：2222cos 7OM AO AM AO AM A，所以7OM，所以22227cos 27OA OM AM AOM AO AM，在OAN 中，sin sin()sin(90)ONA A AON AOM 27cos 7AOM，在OMN 中，由sin 30sin MN OMONA，得7172427MN；… ………6分（Ⅱ）解法1：设,060AOM，在OAM 中，由sin sin OM OAOAB OMA ，得332sin(60)OM，在OAN 中，由sin sin ONOA OAB ONA ，得32sin(90)2cos ON θθ==+，所以11sin 22OMNSOM ONMON 2sin(60)θ⋅+12＝2716sin(60)cos θθ+6060)4θ<<+．当26090θ+=，即15θ=时，OMN S27(23)4．所以应设计15AOM ，可使△OMN 27(23)4km 2…12分解法2：设AM ＝x ，0＜x ＜3．在△OAM 中，由余弦定理得OM 2＝AO 2＋AM 2－2AO ·AM ·cos A ＝x 2－3x ＋9，所以OM ＝x 2－3x ＋9，所以cos ∠AOM ＝OA 2＋OM 2－AM 22OA ·OM ＝6－x2x 2－3x ＋9，在△OAN 中，sin ∠ONA ＝sin(∠A ＋∠AON )＝ sin(∠AOM ＋90°)＝cos ∠AOM ＝6－x2x 2－3x ＋9，由ON sin ∠OAB ＝OA sin ∠ONA，得ON ＝36－x2x 2－3x ＋9·32＝33x 2－3x ＋96－x，所以S △OMN ＝12OM ·ON ·sin ∠MON ＝12·x 2－3x ＋9·33x 2－3x ＋96－x ·12＝33(x 2－3x ＋9)4(6－x )，0＜x ＜3，令6－x ＝t ，则x ＝6－t ，3＜t ＜6，则：S △OMN ＝33(t 2－9t ＋27)4t ＝334(t －9＋27t )≥334·(2t ·27t －9)＝27(2－3) 4．当且仅当t ＝27t ，即t ＝33，x ＝6－33时等号成立，S △OMN 的最小值为27(2－3) 4，所以M 的位置为距离A 点6－3 3 km 处，可使△OMN 的面积最小，最小面积是27(2－3) 4km 2．22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）即证：12111ln(1)(1)(1)(1)nn t a t a t a +++>++++，即证：1111ln(1)23n n++++>+，设()ln(1)g x x x =-+，1()111xg x x x '=-=++， ∵当0x >时，()0g x '>，()g x 在(0,)+∞上单调递增，当10x -<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)-上单调递减， ∴()ln(1)(0)0g x x x g =-+≥=（当且仅当0x =时等号成立），即0x >时，有ln(1)x x >+， ∴1113411ln 2ln ln lnln(1)2323n n n n+++++>++++=+， ∴12111(1)ln(1)n t n a a a +++>++ ……………………………4分（用数学归纳法给分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当1x >-且0x ≠时，有ln(1)x x >+，即当0x >且1x ≠时，有1ln x x ->，因为0111n n t a t t <=≤<++，所以 1ln n n a a ->，即1n a na e -<………………………………………8分（Ⅲ）1231()=()()()()1nt t t t tnk n k T a a a a a ，理由如下：解法一：由（Ⅱ）知：123()()()()t t tt n a a a a ++++3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e 3121111()()()()n a a a a t t t t e e e e2111(1)1t tn t t t t ee e-+++-=-22211111(1)111t t t t t t t t t t ee e e e--+++++--≤=--，设 1t t eq +=，因为3142t t q ee +=≥>，21111t t t t ee-++-∴=-1111111t t q q q q q ----=<<---，所以1231()=()()()()1nttt t t n kn k T a a a a a ==++++<∑ ………………12分解法二：因为,*n t N ∈，且n t ≤，所以1231231()=()()()()()()()()nt t t t t t t t t nk n t k T a a a a a a a a a12()()()111tt t t t t t下面用数学归纳法证明：*3,t tN 时，12()()()1111tt t t t t t，即12(1)tt t t t t ，①当3t时，左边333312336(13)，即当3t 时不等式成立；②假设当(3)t k k时不等式成立，即12(1)kkkk k k ，则当1tk时，111112(1)k kkk k k 11122(1)k k k k k k k 1(1)(12)(1)k k k k k k k11(1)(1)(1)2(1)kkk kkkk，11111112111()(1)1()()1111k k k k k k k C C k kk k111121kC k，11(2)2(1)k k k k，11111112(1)2(1)(2)kkkkkk k kkk，所以当1t k时，不等式也成立；综合①②*3,t tN 时，12(1)tttt t t ，即12()()()1111tt t t tt t成立，所以1231()=()()()()1nt t t t t n kn k T a a a a a ==++++<∑．。

湖北省华中师范大学第一附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)

A. {1, 2}
B. {3, 4}
C. {1, 2,3, 4}
D. {1, 2,5, 6}
【答案】D 【解析】
由 A ={2,3, 4}， B {3, 4,5} ，∴ A B {3, 4} ，∴ ðU ( A B) 1, 2,5, 6，故选 D ．
2.下列对应不是映射的是（）．
A、B、
D，选 C.
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的图象中的知式选图问题，此类题关键是要根据函数的解析式对函数的性质等
进行分析、判断，属常规考题.
7.若关于 x 的不等式 x 3 x 4 a 无解，则实数 a 的取值范围是（）．
A. a 1
B. a 1
C. a 1
【答案】B
【解析】
因为函数 g(x) 2x 5x 单调递增，且 g(1) 21 5 0 ， g(0) 1 0 ，
∴ g(1) g(0) 0 ，∴函数 g(x) 在 (1, 0) 内存在唯一的零点，故选 B．
5.函数
f
(x)

lg(2 x
x x
x2 )
，即函数
f
x 的定义域为 (1, 0)
，故选 B
．
6.函数 y x | x | 的图像是（） x
A.
B.
2
C.
D.
【答案】C 【解析】【分析】
将函数分段之后直接判断即可.
【详解】由已知， y x
x x

x x

1, 1,
x x

0 0
，因为
x

0
，直接排除
D. a 1

湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三期中检测数学试卷（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】C【解析】或，所以 C.2.已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：利用复数的运算性质，分别判断“a=b=1”⇒“（a+bi）2=2i”与“a=b=1”⇐“（a+bi）2=2i”的真假，进而根据充要条件的定义得到结论．解：当“a=b=1”时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；综上所述，“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；故选A点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，复数的运算，难度不大，属于基础题．【此处有视频，请去附件查看】3.）A.B..D.【答案】D 【解析】在A在B在C在D的，故选D.4.）A.B.D. 【答案】B【解析】8个，B.5.）A. B. D. 【答案】C【解析】设等差数列，故选C.6.已知P(x,y)4）A. 6B. 0C. 2D.【答案】A【解析】，∴∴A点时，z最大，考点：线性规划.7.）A. B. D.【答案】A【解析】，所以，故选A.8.）A. B. D.【答案】C【解析】试题分析：执行第1次，＞t=0.01,是，循环，执行第2次，=0.125,n=2,S=0.25＞t=0.01,是，循环，执行第3次，S="S-m" =0.125,＞t=0.01,是，循环，执行第4次，=0.03125,n=4,S=0.0625＞t=0.01,是，循环，执行第5次，S="S-m" =0.03125,＞t=0.01,是，循环，执行第6次，=0.0078125,n=6,S=0.015625＞t=0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m=0.0078125,＞t=0.01,否，输出n=7，故选C.考点：程序框图【此处有视频，请去附件查看】9.A. B. D.【答案】C【解析】试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 【此处有视频，请去附件查看】10.）A.B.D.【答案】B 【解析】的，所以，故选B.11.，则双曲线的离心率是A. B. D.【答案】A【解析】试题分析：设，∴∵在点处的切线过双曲线左焦点，，故选A．考点：双曲线离心率的计算．12.对于任意的正实数x ，y都有（m的取值范围为A. B. D.【答案】D【解析】，则可设，，所以单调递增，在D.点睛：本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，其中解答中涉及利用导数求解函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合应用，解答中通过分离参数，构造新函数，利用函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.__________．【答案】【解析】14.__________．【解析】15.的图象，则的最小值为__________．【解析】【分析】按照向量平移后的图象，推出函数表达式，求导数推出函数y＝f′（x），利用两个函数表达式相同，即可求出m的最小值．【详解】m，0）（m＞0）平移后，得到函数f（x（x﹣；函数y＝f′（x（x）（，因为两个函数的图象相同，所以﹣kπ，k∈Z，所以m故答案为：．【点睛】本题是基础题，考查三角函数的化简，两角和与差的余弦函数，向量的平移，导数的计算等知识．16.．【解析】由正弦定理当且仅当，取得等号，，则点睛：本题主要考查了解三角形问题的综合应用，其中解答中涉及解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，以及基本不等式的运用等知识点的综合考查，着重考查了学生的运算能力和分析问题、解答问题的能力，熟记公式、合理运用是解答问题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1的通项公式；（2【答案】（1）2【解析】试题分析：（1（2）由（1. 试题解析：（1时，此时也成立，所以，又因为为等差数列，所以公差（2）由（1，①-数列的前项和.18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，者，成立环境保护宣传组织，.（1）求该组织的人数；（2名志愿者？（3）在（2组至少有名志愿者被抽中的概率.【答案】（12. （3【解析】试题分析：（1组的人数为.（2）根据频率分布直方图，，再根据分层抽样的方法，组所抽取的人数.（3本事件的总数，得出事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型，即可求解概率. 试题解析：（1.（2组的人数为人，人，人. （3）.. 19.（1（2.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1.（2解几何体的体积.试题解析：（1（2的中点，取.点睛：本题主要考查了直线与平面的垂直的判定与证明和几何体的体积的计算问题，其中解答中涉及直线与平面垂直的判定定理、椎体的体积公式和直角三角形的性质等知识点的综合考查，其中熟记判定定理和直角三角形的性质的应用是解答的关键，同时着重考查了学生的空间想象能力和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.20.的离心率为相切（为常数）.（1（2取值范围.【答案】（12【解析】试题分析：（1（2），的方程为联立方程组，利用韦达定理、向量的知识，结合题意，即可求解.试题解析：（1.（2）①若直线斜率不存在，则可得轴，方程为②若直线斜率存在，设直线的方程为，则，结合当不存在时的情况，得点睛：本题主要考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的标准方程、椭圆的几何性质和直线与椭圆的位置关系的应用，同时考查了向量的数量积的运算，解答时要认真审题，注意韦达定理、向量知识和椭圆性质的合理应用，审题有一定的难度，属于中档试题.21.m的取值范围．【答案】（1（2【解析】试题分析：（２）可．试题解析：解：（1由得；由得（2时，，且使得时，又当时，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2.【答案】（12【解析】试题分析：（1程；（2上任取一点点的坐标.试题解析：（1（2上任取一点时，，此时这个点的坐标为.23.（1（2【答案】（12【解析】试题分析：（1）取得绝对值，得到三个不等式组，即可求解不等式的解集；(2)由绝对值的三角不等式，即试题解析：（1（2）因，考点：绝对值不等式的求解及应用．。

【最新经典文档】2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三(上)期中数学试卷和答案(文科)

2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．（5分）已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，）D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）是“（a+bi）2=2i”的（）2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m?β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n4．（5分）两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣506．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．27．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π10．（5分）若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）已知，则sin2x的值为．14．（5分）已知||=1，||=m，∠AOB=π，点C在∠AOB内且=0，若（λ≠0），则m=．15．（5分）已知函数f（x）=cos（x+），把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，所得图象恰好为函数y=f′（x），则m的最小值为．16．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积最小值时有c2=．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，{b n}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召N名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x?sinθ+y?cosθ﹣1=0相切（θ为常数）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆分别交于两点M、N，求?的取值范围．21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值；（2）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．二.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且长度单位相同，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年湖北省武汉市华师大一附中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡相应位置上）1．（5分）已知集合A={x|2﹣3x﹣2x2＞0}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩B=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，）D．（﹣2，﹣1）∪（l，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：（x+2）（2x﹣1）＜0，解得：﹣2＜x＜，即A=（﹣2，）；由B中y=ln（x2﹣1），得到x2﹣1＞0，即x＜﹣1，x＞1∴B=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）则A∩B=（﹣2，﹣1）．故选：A．是“（a+bi）2=2i”的（）2．（5分）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a=b=1”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件时，“（a+bi）2=（1+i）2=2i”成立，【解答】解：当“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的充分条件；故“a=b=1”当“（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=2i”时，“a=b=1”或“a=b=﹣1”，故“a=b=1”是“（a+bi）2=2i”的不必要条件；是“（a+bi）2=2i”的充分不必要条件；综上所述，“a=b=1”故选：A．3．（5分）已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则m⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m?β，则α⊥βD．若m∥α，α∩β=n，则m∥n【解答】解：由α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，知：若m∥n，m⊥α，则m⊥α，故A正确；若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B正确；若m⊥α，m?β，则α⊥β，故C正确；若m∥α，α∩β=n，则m与n相交、平行或异面，故D不正确．故选：D．4．（5分）两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：两次抛掷一枚骰子，基本事件总数n=6×6=36，向上的点数之差的绝对值等于2包含的基本事件有：（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），共8个，∴向上的点数之差的绝对值等于2的概率是p==．故选：B．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣100，且5S7﹣7S5=70，则S101等于（）A．100 B．50 C．0 D．﹣50【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，又a1=﹣100，∴5S7﹣7S5=5（﹣700+d）﹣7（﹣500+d）=70，解得d=2，∴S101=101×（﹣100）+×2=0，故选：C．6．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．7．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵，＞20160=1，0=log20161＞b=＞=，c=＜=，∴a＞b＞c．a，b，c的大小关系为a＞b＞c．故选：A．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．9．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．16πC．32πD．64π【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示：由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，可得底面外接圆的半径为：r=2，由棱柱高为4，可得球心距为2，故外接球半径为：R==2，故外接球的表面积S=4πＲ2=32π，故选：C．10．（5分）若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵|2|=2，||=2，∴||2+4+16=4，设的夹角为θ，则||2+8||cosθ+12=0．∴cosθ＝﹣．∴在方向上投影为||cosθ＝﹣=﹣（+）．∵+≥2=．∴||cosθ≤﹣．故选：B．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）与函数y=的图象交于点P，若函数y=的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设，函数y=的导数为：y′＝，∴切线的斜率为，又∵在点P处的切线过双曲线左焦点F（﹣1，0），∴，解得x0=1，∴P（1，1），双曲线的左焦点F1（﹣1，0），则双曲线的右焦点F2（1，0），既c=1．则|PF1|﹣|PF2|=2a，既﹣=2a解得a=所以离心率e===12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）?ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置上）13．（5分）已知，则sin2x的值为．【解答】解：∵，则sin2x=﹣cos（2x+）=﹣[2﹣1]=﹣（2×﹣1）=，故答案为：．14．（5分）已知||=1，||=m，∠AOB=π，点C在∠AOB内且=0，若（λ≠0），则m=．【解答】解：如图，过C分别作CD∥OB，CE∥OA，并分别交OA，OB于D，E，则：，；∴，；△OCE为等腰直角三角形；∴；即；∴．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cos（x+），把f（x）的图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，所得图象恰好为函数y=f′（x），则m的最小值为．【解答】解：图象按向量=（m，0）（m＞0）平移后，得到函数f（x）=cos（x﹣m+）；函数y=f′（x）=﹣sin（x+）=cos（x+），因为两个函数的图象相同，所以﹣m+=+2kπ，k∈Z，所以m的最小值为：，故答案为：．16．（5分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积最小值时有c2=5﹣．【解答】解：由正弦定理，asinA+4bsinB=6asinBsinC即为a2+4b2=6absinC，又S=absinC，即有a2+4b2=12S，由于a+2b=4，即有a2+4b2=（a+2b）2﹣4ab=16﹣4ab，即有4ab=16﹣12S，由4ab≤2（）2=8，即有16﹣12S≤8，解得S≥．当且仅当a=2b=2，取得等号．当a=2，b=1，S取得最小值，sinC=，（C为锐角），则cosC==．则c2=a2+b2﹣2abcosC=4+1﹣2×2×1×=5﹣．故答案为：5﹣．三、解答题（本大题共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，{b n}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}通项公式；（Ⅱ）设，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b1=a1=1，，又因为{b n}为等差数列，所以公差d=2，∴b n=1+（n﹣1）?2=2n﹣1，故数列{a n}和{b n}通项公式分别为：，b n=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以+（2n﹣1）?2n﹣1①①×2得+（2n﹣3）?2n﹣1+（2n﹣1）?2n②①﹣②得：﹣（2n﹣1）?2n==1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）?2n=﹣3﹣（2n﹣3）?2n．∴数列{c n}的前n项和．18．（12分）近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召N名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．【解答】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07n，得到：n=100，故该组织有100人．（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60，名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3；第4组：×6=2；第5组：×6=1．所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA=SC，SA⊥BD．（1）求证：SO⊥平面ABCD；（2）设∠BAD=60°，AB=SD=2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A﹣PCD的体积．【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形；∴对角线BD⊥AC；又BD⊥SA，SA∩AC=A；∴BD⊥平面SAC，SO?平面SAC；∴BD⊥SO，即SO⊥BD；又SA=SC，O为AC中点；∴SO⊥AC，AC∩BD=O；∴SO⊥平面ABCD；（2）如图，连接PO；∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=PO；∴SB∥PO；在△SBD中，O是BD的中点，PO∥SB，∴P是SD的中点；取DO中点，并连接PE，则PE∥SO，SO⊥底面ACD；∴PE⊥底面ACD，且PE=；根据已知条件，Rt△ADO中AD=2，∠DAO=30°，∴DO=1；∴在Rt△SDO中，SD=2，SO=；∴；又；∴V三棱锥A﹣PCD=V三棱锥P﹣ACD=．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x?sinθ+y?cosθ﹣1=0相切（θ为常数）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆分别交于两点M、N，求?的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x?sinθ+y?cosθ﹣1=0相切，∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l⊥x轴，方程为x=1，M（1，），N（1，﹣），∴=（2，），=（2，﹣），∴=．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），则由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，，=（x2+1，y2），则=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（x1+1）（x2+1）+k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=（1+k2）x1x2+（1﹣k2）（x1+x2）+1+k2，代入韦达定理得：=++k2+1==，由k2≥0，得?∈[﹣1，）．综上，?的取值范围是[﹣1，]．21．（12分）函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣x﹣m．（1）若函数F（x）=f（x）﹣g（x），求函数F（x）的极值；（2）若f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=lnx﹣x2+x+m，定义域（0，+∞），F′（x）=﹣2x+1=﹣，F′（x）=0，可得x=1，x（0，1）1（1，+∞）F′（x）+0﹣F（x）递增极大值递减则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；（2）f（x）+g（x）＜x2﹣（x﹣2）e x在（0，3）恒成立；整理为：m＞（x﹣2）e x+lnx﹣x在x∈（0，3）恒成立；设h（x）=（x﹣2）e x+lnx﹣x，则h′（x）=（x﹣1）（e x﹣），x＞1时，x﹣1＞0，且e x＞e，＜1，即h′（x）＞0；0＜x＜1时，x﹣1＜0，设u=e x﹣，u′=e x+＞0，u在（0，1）递增，x→０时，→+∞，即u＜0，x=1时，u=e﹣1＞0，即?x0∈（0，1），使得u0=e x0﹣=0，∴x∈（0，x0）时，u＜0；x∈（x0，1）时，u＞0，x∈（0，x0）时，h′（x）＞0；x∈（x0，1）时，h′（x）＜0．函数h（x）在（0，x0）递增，（x0，1）递减，（1，3）递增，h（x0）=（x0﹣2）e x0+lnx0﹣x0=（x0﹣2）?﹣2x0=1﹣﹣2x0，由x0∈（0，1），﹣＜﹣2，h（x0）=1﹣﹣2x0＜﹣1﹣2x0＜﹣1，h（3）=e3+ln3﹣3＞0，即x∈（0，3）时，h（x）＜h（3），即m≥h（3），则实数m的取值范围是（e3+ln3﹣3，+∞）．二.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴且长度单位相同，建立极坐标系，设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离，并求出这个点的坐标．【解答】解：（1）曲线C的普通方程为=1，直线l的直角坐标方程为x+y ﹣4=0．（2）在上任取一点P（cosθ，sinθ）则点P到直线l的距离为d==≤3，∴当sin（θ+）=﹣1时，d max=3，此时这个点的坐标为（﹣，﹣）．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|，a∈R．（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=4时，不等式f（x）≥5，即|x﹣1|+|x﹣4|≥5，等价于，或，或，解得：x≤0或x≥5．故不等式f（x）≥5的解集为{x|x≤0，或x≥5 }．…（5分）（2）因为f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|．（当x=1时等号成立）所以：f（x）min=|a﹣1|．…（8分）由题意得：|a﹣1|≥4，解得a≤﹣3，或a≥5．…（10分）。

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期末数学试题(解析版)

2017-2018学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A．3 B．2 C．4 D．【答案】D【解析】由于本题中未给出向量的坐标，故求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解．【详解】由均为单位向量，它们的夹角为60°∴∴，∴故选：D．【点睛】本题主要考查了向量的模的运算问题，对于求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则或；若未知向量的坐标，只是已知条件中有向量的模及夹角，则求向量的模时，主要是根据向量数量的数量积计算公式，求出向量模的平方，即向量的平方，再开方求解，着重考查了推理与运算能力。

2．函数y=的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式，再利用余切函数的周期性，得出结论．【详解】由题意，函数，故函数的周期为π，故选：B．【点睛】本题主要考查了同角函数函数的基本关系式，以及余切函数的最小正周期的求解问题，其中熟记同角三角函数的基本关系式，合理、准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

3．已知a=，，c=，则a、b、c的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，，即可判断出大小关系．【详解】由题意，，则a、b、c的大小关系为：a＞c＞b．故选：C．【点睛】本题主要考查了和差倍角公式、三角函数单调性与求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若在[0，]内有两个不同的实数x满足cos2x+sin2x=m，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的性质，求得函数的值域，再根据cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象，即可求解。

【详解】令y=cos2x+sin2x=2sin（2x+），在[0，]内，那么，∴y的值域为[-1，2]．那么cos2x+sin2x=m有两个不同的实数，结合三角函数的图象：可得1≤m＜2．故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．5．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的一部分图象如图所示，f（）=，则f（0）=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据图象求出周期，注意到与关于对称，求出，就是的值。

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∴
②当
时，则
∴
又
，∴
综上所述，
………………………………………………………………………12分
20.解：(1)设每年降低百分比为 (
则
，即
). ，解得
…………………………4分
(2)设经过 n年剩余面积为原的
则
，即
，
，
到今年为止，已砍伐了 5年……………………………………………………………8分
(3)设从今年开始，以后砍伐了 n年，则 n年后剩余面积为
13.
14.
15.①②③
16.
三、解答题：(本大题共 6小题，共 70分) 17.解： (1) ………………………………………………………………………………5分
(2) ………………………………………………………………………………10分
18.解：(1) (2)设依题意
…………………………………………………………………6分
华中师大一附中 2017—2018学年度上学期高一期中检测数学试题
考试时间：120分钟试卷满分：150分命题人：陈开懋审题人：黄进林
一、选择题：(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.设全集
，集合
，则 U(A∩B)=
()
A.
B.
(2)∵
，∴
，
，
又
，∴
故只须当
，使
恒成立，记
只须：
∴
∴
∴
或
故存在实数符合题意，其取值范围是
…………………………12分
22.解：(1)∵
是幂函数， ∴
当
时，
，不满足
7.若关于的不等式
A.
B.
无解，则实数的取值范围是
C.
D.
()
8.已知
，
，
，则
()
A.
B.
C.
D.
9.若定义在上的函数
满足：对任意的
，都有
，
且当
时，
，则
()
A. 是奇函数，且在上是增函数
B. 是奇函数，且在上是减函数
C. 是奇函数，但在上不是单调函数 D.无法确定
的单调性和奇偶性
10.已知定义域为的函数
满足
，当
时, 单调递减,且
，则实数的取值范围是
()
A.[2，+∞) C.(－∞，0)
11.已知函数
B.[0，4] D.(－∞，0)∪[4，+∞)
，
，若对任意的
，总存在
，
使得
，则实数的取值范围是
()
A.(－ ,1)
B.
C.
D.以上都不对
12.函数则称函数
的定义域为 D，若对于任意的在 D上为非减函数.设函数
C.
D.
2.下列对应不是映射的是
()
3.已知函数
，则
等于
A.
4.函数 A. 5.函数 A.(－2，0) 6.函数
B.
C.52
的零点所在的一个区间是
B.
C.
的定义域为 B.(－1，0) 的图象是
C.(－1，2)
()
D.
() D.
() D.(－1，0)∪(0，2)
()
高一年级数学试题第 1页共 1页
，
.
即
即
………………………………………………………………………12分
19.解：(1)当 a= 时，ｆ(ｘ)=ｌｏｇ ( ｘ2-ｘ)
定义域为(－∞，0)∪(2，+∞) 增区间为(－∞，0)；减区间为(2，+∞)……………………………………………5分
(2)令
，
①当
时，则
，
高一年级数学试题第 5页共 5页
及
恒成立？若存在，求出的取值
22.(本小题满分 12分)已知幂函数
满足
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，是否存在实数使得
若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
高一年级数学试题第 4页共 4页
. 的最小值为？
(3)若函数
，是否存在实数
，使函数
在
上的值域
为
？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.
；
.
18.(本小题满分 12分)设函数
(1)求函数
(2)若对于任意的围.
的值域；，总存在
，函数，使得
. 成立，求实数的取值范
高一年级数学试题第 3页共 3页
19.(本小题满分 12分)已知函数
.
(1)若 a= ，求
的单调区间；
(2)若
在区间
上是增函数，求实数的取值范围.
20.(本小题满分 12分)一片森林原面积为 .计划从某年开始，每年砍伐一些树林，且每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并计划砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年.为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 .已知到今年为止，森林剩余面积为
15.某同学在研究函数
时，给出了下面几个结论：
①等式
对任意的 x∈R恒成立；
②函数的值域为
；
③若
，则一定有
；
④函数
在上有三个零点.
其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号).
16.设定义域为的函数
，若关于的函数
有 8个不同的零点，则实数的取值范围是____________. 三、解答题：(本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10分)计算：
原面积的 .
(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比； (2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)为保护生态环境，今后最多还能砍伐多少年？
21.(本小题满分 12分)已知函数
，且
.
(1)求函数
在
(2)设关于的方程
上的单调区间，并给出证明；的两根为，，试问是否存在实数，使得不等式
对任意的范围；若不存在，说明理由.
，当
时，都有
，
在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条
件:①
;②
;③
，则
Байду номын сангаас
等于 ( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13.函数
的图象恒过定点____________.
高一年级数学试题第 2页共 2页
14.若
是奇函数，则常数的值为____________.
令
，即
，
，
，
.
故今后最多还能砍伐 15年……………………………………………………………12分
21.解：(1)∵ 任取则
1°当
，∴ ，且
，∴
时，
，∴
，又
高一年级数学试题第 6页共 6页
∴
，∴
，∴
在
上单调递增
2°当
时，
，∴
，又
∴
，∴
，∴
在
上单调递减
∴
在
上的单调递增区间为
，单调递减区间为
……………………………………………………………………………………………6分
华中师大一附中 2017——2018学年度上学期期中检测高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B B C A C
9 10 11 12 BB A D
二、填空题：(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)