高中数学讲义微专题41 指对数比较大小
高中数学—指对数比较大小方法
高中数学—指对数比较大小方法标题：高中数学——指对数比较大小方法在数学的海洋中，我们经常需要比较数字的大小。
然而，当我们面对指对数时，比较大小的方法就变得相对复杂了。
指对数是一类特殊的函数，其特点是函数的值与实数之间存在一一对应的关系。
因此，比较指对数的大小实际上就是比较它们所对应的实数的大小。
一、理解指对数我们需要理解什么是指对数。
简单来说，指对数是一种特殊的函数，它可以将一个正实数映射到一个特定的实数。
对于任何一个正实数x，都有一个唯一的实数y与之对应，这个关系可以表示为log(x) = y。
其中，log是常用对数的简写形式，它通常用来表示以10为底的对数。
二、比较指对数大小的方法1、利用函数的单调性：对于任何一个底数大于1的指对数函数，它在定义域内都是单调递增的。
因此，如果log(a) > log(b)，那么a 一定大于b。
同样地，如果log(a) < log(b)，那么a一定小于b。
2、利用图象：我们可以通过画出指对数函数的图象来比较大小。
如果两个数的指对数值相等，那么它们对应的点应该在同一条直线上。
反之，如果两个数的指对数值不相等，那么它们对应的点一定不在同一条直线上。
3、利用中间值：当两个数的指对数值难以确定时，我们可以利用中间值来比较它们的大小。
假设log(a) > log(m) > log(b)，那么我们可以推断出a > m > b。
三、注意事项在比较指对数大小的时候，一定要注意底数的范围。
如果底数小于1，那么函数在定义域内是单调递减的。
这时，比较大小的方法就需要根据具体情况来调整了。
总结来说，比较指对数大小的方法需要我们理解指对数的概念和性质，并利用函数的单调性、图象和中间值等方法来进行比较。
我们也要注意底数的范围对比较大小的影响。
通过不断地实践和练习，我们就能熟练掌握指对数比较大小的方法了。
在数学学习中，比较大小是非常基础且重要的一项技能。
指数函数对数函数大小比较的攻略
指数函数对数函数大小比较的攻略
指数和对数是高中数学中很重要的一部分，许多公式、定理和概念都与它们有关。
在数学研究中，我们常常需要对指数函数和对数函数进行比较，以便更好地理解它们的性质和变化规律。
一、指数函数与对数函数的定义
- 指数函数：y=a^x，a>0且a≠1。
- 对数函数：y=loga(x)，a>0且a≠1。
两种函数互为反函数，即a^loga(x)=loga(a^x)=x。
二、指数函数与对数函数的图像
- 指数函数的图像为一条上升的曲线，其图像的左端点为(负无穷, 0)，右端点为(正无穷, 正无穷)。
- 对数函数的图像为一条上升的曲线，其图像的左端点为(0, 负无穷)，右端点为(正无穷, 正无穷)。
三、指数函数与对数函数的变化规律
- 指数函数的特点：定义域为R，值域为(0, 正无穷)，单调递增，具有连续性和导数。
当0<a<1时，函数在定义域内且单调递减。
- 对数函数的特点：定义域为(0, 正无穷)，值域为R，单调递增，具有连续性和导数。
四、指数函数与对数函数的大小比较
- 若a>1，则a^x的增长速度大于loga(x)的增长速度；
- 若0<a<1，则a^x的增长速度小于loga(x)的增长速度；
- 当a=1时，指数函数和对数函数都为常数函数；
- 当a=e时，e^x与lnx的关系比较特殊，两者相等。
综上所述，指数函数和对数函数在数学学习中都有着重要作用，掌握其定义和性质，理解其图像和变化规律，能够更好地应用它们
解决问题。
在比较大小时，要牢记以上几点规律，希望对各位同学
的学习有所帮助。
指数函数与对数函数(讲义)
指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。
指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。
当$01$时，函数图像是上升的。
对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。
当$01$时，函数图像是下降的。
指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。
比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。
对于同底指数函数，可以直接比较大小。
对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。
对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。
对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。
换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。
常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。
练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。
2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。
3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。
指对数比较大小的基本策略
问题背景指对数比较大小的基本策略近年来,指对数比较大小的题目风靡全国,不仅带火了泰勒展开,帕德逼近等所谓的大招,但是泰勒也好,帕德逼近也好,终究不是万能的,有的题目他用不上,有的题目用不起,所以泰勒展开,帕德逼近对于指对数比较大小或许是个好方法,但他不是通法,那么我们今天尝试从构造函数的角度来阐述指对数比较大小的一般方法(比较大小常见的有作差法,作商法等这些基础方法不在本文讨论范围).典型例题 构造相同函数及中间量比较大小1.(1)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =ln2.1,b =log 3e ,c =log 7.54,则( )A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a (2)(2022·广西柳州·模拟(理))若a =lg0.3,b =log 32,c =log 54,则( )A.c >b >aB.b >c >aC.c >a >bD.a >b >c(3)(2022·河南安阳·模拟(理))已知a =log 20.3,b =12 0.3,c =15,则( )A.a <b <cB.b <c <aC.c <b <aD.a <c <b思路剖析分析问题 探究思路指对数比较大小的问题中,一般解决问题的思路是考查对应函数的单调性结合自变量的大小比较,但由于实际问题往往指对数混合,二是底数不一致,故一般来讲先考虑统一底数,指对混合考虑“0”与“1”的构造.1.对数同步升(降)幂法：nm log a b =log a m b n 可知log 23=log 49=log 827=log 1213;注意：在比较大小题型中出现底数与真数均可视为同幂指数的指数式,此时可由对数同步升降幂转化.2.由于指对数混合或者指对数底数不一致,此时无法直接比较,可以考虑“0”与“1”构造中间量比较大小：log a a =1；log a 1=0；a 0=1.解题过程真题剖析 还原本质例题解析步步为赢(1)a =ln2.1>ln2,c =log 7.54=ln4ln7.5=2ln2ln7.5,e 2≈7.39,ln2-2ln2ln7.5=ln21-2ln7.5 =ln2⋅ln7.5-2ln7.5=ln2⋅ln7.5-ln e 2ln7.5>0,即ln2>2ln2ln7.5,所以a >c ,换底公式统一底数,再借助于中间量ln2比较a ,c 大小；又e 3≈20.09,2.14≈19.45,所以34=ln e 34=ln 4e 3>ln 42.14=ln2.1,所以a <34,又e 4≈54.3,所以b =log 3e =log 34e 4>log 3433=34,所以b >a ,所以b >a >c ,故选：C .借“34”构造同底对数比较大小.(2)因为lg0.3<lg1=0,所以a <0；因为log 32>log 31=0,log 54>log 51=0,所以b >0,c >0,借助于中间量“0”得a ,b ,c 正负;1c =log 45=12log 25=log 25,1b =log 23,而log 23>log 25,所以1b>1c,即b <c .故选：A .构造分式转化b ,c 为同底对数比较大小.(3)函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增,0<0.3<1,则a =log 20.3<借“log 21=0”得a 正负；log21=0,函数y=12 x在R上单调递减,0.3<1,b=12 0.3>12,而0<c=55 <2.55=12,所以a<c<b.故选：D.由指数函数的单调性借“1”比较大小,进而得三者关系.方法解读 归纳总结 理清思路对于对数不同底的比较,除了对数同步升降幂,还可以利用换底公式统一底数,本例(1)中的难点在于中间量的选取,a,c的比较突破口是2与4的构造,所以采取ln2作为中间量,而“34”这个中间量是a,b 比较中在利用对数运算法则统一形式后判断出来的.典型例题 构造不同函数,比较相同函数值2.(1)(2022·全国·高考真题)设a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b(2)(2021·河南·高三阶段练习(理))设a=ln1.1,b=0.21,c=e0.1-1,则( )A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a思路剖析 分析问题 探究思路此类问题虽然几个数的形式不一致,但是它们的特别之处在于可以视为不同函数取的同一函数值,因此问题的实质是在比较不同函数的差值或商值,本例(1)中a的结构我们可以构造y=xe x,此处自变量为0.1,显然后面两数均可以以0.1为自变量来构造出函数y=x1-x ,y=-ln(1-x),这样就将问题转化不同函数的差值比较,当然这种情况下由于自变量取值靠近麦克劳林公式的取值点,利用泰勒展开也是一种好方法.本例(2)中,a与c比较好看出来可以以0.1作为自变量构造,b比较难观察出来,显然如果是1.21就会出现1.1的平方,故直接作差来统一自变量构造不同函数的同一函数值比较.解题过程真题剖析 还原本质例题解析步步为赢(1)(法1:构造不同函数)设a=xe x,b=x1-x ,c=-ln(1-x),先比较a,b大小,转化为比较ln a-ln b=ln xe x-ln x1-x=ln x+x-ln x+ln(1-x)=x+ln(1-x),x∈(0,0.1],(ln a-ln b)'=-x1-x <0,ln a-ln b<0,∴b>a;观察式子特征以0.1为自变量构造函数,作差判断单调性比较大小；设g(x)=xe x+ln(1-x)(0<x<1),则g (x)=x+1e x+1x-1=x2-1e x+1x-1,令h(x)=e x(x2-1)+1,h (x)=e x(x2+2x-1),当0<x< 2-1时,h (x)<0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递减,当2-1<x< 1时,h (x)>0,函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递增,又h(0)=0,所以当0 <x<2-1时,h(x)<0,所以当0<x<2-1时,g (x)>0,函数g(x) =xe x+ln(1-x)单调递增,所以g(0.1)>g(0)=0,即0.1e0.1>-ln0.9,所以a>c.故选：C.比较a,c大小,此时结合两个式子自变量0.1与0.9特征,构造函数g(x) =xe x+ln(1-x)判断单调性,需二阶导,再比较大小.(法2:泰勒展开估值)构造函数f(x)=xe x,g(x)=x1-x ,h(x)=-ln(1-x),a=f(0.1);b≈0.1111;c=h(0.1);观察式子特征以0.1为自变量构造函数;由于0.1比较小,故依托泰勒三阶展开,f(x)=x+x2+x32+o(x2),g(x)=-[-x-x22+o(x2)].在x=0.1处显然b=0.1111>a=f(0.1)≈0.1105>c=h(0.1)≈0.105.由麦克劳林公式展开三阶,代入比较.(2)b-c=0.21-e0.1+1=1.21-e0.1=(1+0.1)2-e0.1,设m(x)=(1+观察式子特征,显然均可以以0.1为自变量构造函x )2-e x (x >0),所以m (x )=2x +2-e x =n (x ),所以n (x )=2-e x ,所以(0,ln2)单调递增,所以n (x )≤n (ln2)=2ln2,当x →0时,n (x )>0,所以m (x )=2x +2-e x >0在(0,ln2)上恒成立,所以函数m (x )在(0,ln2)单调递增,所以m (0.1)>m (0),∴(1+0.1)2-e 0.1>(1+0.1)0-e 0=0,所以(1+0.1)2>e 0.1.所以b >c .数,需要注意的是b 与c 之间比较直接作差构造,目的是自变量统一;(法1)a -c =ln1.1-e 0.1+1=ln (1+0.1)-e 0.1+1,设g (x )=ln (1+x )-e x +1(x >0),所以g (x )=1x +1-e x =1-xe x-e xx +1,设h (x )=1-xe x -e x,∴h (x )=-2e x -xe x <0,所以h (x )在0,+∞ 上单调递减,所以h (x )<h(0)=1-0-1=0,所以g (x )<0,所以函数g (x )在0,+∞ 上单调递减,所以g (x )<0,所以ln (1+x )<e x -1,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .故a <c <b .故选：B .(法2)a -c =ln1.1-e 0.1+1=ln (1+0.1)-e 0.1+1,设g (x )=ln (1+x )-e x +1(x >0),g (x )=-(x -ln (1+x )+e x -x -1)≤0,∴ln1.1<e 0.1-1,∴a <c .依然是以0.1为自变量构造函数,作差求导分析单调性得大小关系,或者直接构造切线放缩表达式判断正负.方法解读归纳总结 理清思路1.观察所给式子的特征,找出共性,即自变量统一;2.部分式子需要结合作差(商)再进行构造；3.求导分析单调性判断大小.典型例题不等式放缩比较大小3.(1)(2022·福建·莆田一中高二期末)设a =ln1.01,b =1.0130e ,c =1101,则( )A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D.c <a <b (2)(2022·山东菏泽·高二期末)已知a =910,b =e -19,c =1+ln 1011,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b (3)(2022·云南昆明·高二期末)设a =e 2,b =32e,c =21-ln2 ,则( )A.b <c <aB.c <b <aC.a <b <cD.c <a <b思路剖析分析问题 探究思路对于这一类问题我们可以理解为本质是构造不同函数比较不同函数值,这类问题不等式放缩就是首选了。
专题41指对数比较大小
专题41指对数比较大小在数学中，对数是一种用来衡量数值大小的重要工具。
当我们需要比较两个数的大小时，对数就发挥了重要的作用。
在本篇文章中，我将详细介绍对数比较大小的原理和方法。
首先，让我们回顾一下对数的定义。
对数是指一个数以另一个数为底的幂的指数。
一般来说，我们常用的对数有两种常见的底数，即以10为底的对数（常用对数）和以自然常数e为底的对数（自然对数）。
常用对数用log表示，自然对数用ln表示。
对数比较大小的基本原理是，对数函数是严格递增函数，即随着自变量的增加，函数值也会增加。
因此，如果两个数的对数相等，那么这两个数本身一定相等。
如果两个数的对数不相等，可以通过比较对数的大小来判断原数的大小关系。
现在让我们来看一些实际例子，以更好地理解对数比较大小的方法。
例子1：比较两个正数的大小，其中一个数是另一个数的平方。
假设我们有两个正数a和b，且b是a的平方。
我们可以通过求两个数的对数来比较它们的大小。
假设a的对数是x，b的对数是y。
根据对数的定义，我们有a = 10^x，b = 10^y。
由于b是a的平方，我们有b = a^2 = (10^x)^2 = 10^(2x)。
因此，我们可以得到y = 2x。
现在我们可以比较x和y的大小，如果x < y，则a < b；如果x = y，则a = b；如果x > y，则a > b。
例子2：比较两个正数的大小，其中一个数是另一个数的指数。
假设我们有两个正数a和b，且b是以a为底的指数。
我们可以通过求两个数的对数来比较它们的大小。
假设a的对数是x，b的对数是y。
根据对数的定义，我们有a = 10^x，b = 10^y。
由于b是以a为底的指数，我们有b = a^b = (10^x)^y = 10^(xy)。
因此，我们可以得到y = xy。
现在我们可以比较x和y的大小，如果x < y，则a < b；如果x = y，则a = b；如果x > y，则a > b。
指对数函数比较大小
指对数函数比较大小一、前言对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。
在比较大小时，我们经常需要比较对数函数的大小。
本文将介绍如何比较对数函数的大小。
二、对数函数的定义对数函数是指以某个正实数为底的幂函数的反函数。
设a为正实数且a≠1，则以a为底的对数函数f(x)定义为：f(x) = log<sub>a</sub>x其中，x为正实数。
三、对数函数的性质1. 对于任意正实数x和y，有以下性质：（1）log<sub>a</sub>(xy) = log<sub>a</sub>x +log<sub>a</sub>y（2）log<sub>a</sub>(x/y) = log<sub>a</sub>x -log<sub>a</sub>y（3）log<sub>a</sub>x<sup>n</sup> = nlog<sub>a</sub>x2. 对于任意正整数n，有以下性质：（1）log<sup>n</sup><sub>a</sub>x = (log<sup>n-1</sup><sub>a</sub>log<sup>n-2</sup><sub>a</sub>...log<sup>0</sup><sub>a</sub>x) （2）当n=2时，有log(logx)<leqslant logx-1四、比较两个对数函数大小的方法在比较两个对数函数大小时，我们可以使用以下方法：1. 换底公式设f(x) = log<sub>a</sub>x，g(x) = log<sub>b</sub>x，则有：f(x) = log<sub>a</sub>x = ln(x)/ln(a)g(x) = log<sub>b</sub>x = ln(x)/ln(b)因此，我们可以将两个对数函数都转化为以e为底的对数函数，然后比较它们的大小。
指数对数比大小及各种题型总结
指数对数比大小及各种题型总结题型一：定义域的求解定义域是函数$y=f(x)$中的自变量$x$的范围，求函数的定义域需要从以下几个方面入手：1.分母不为零；2.偶次根式的被开方数非负；3.对数中的真数部分大于$0$；4.指数、对数的底数大于$0$，且不等于$1$；5.$y=\tan x$中$x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}$；$y=\cot x$中$x\neq k\pi$等等；6.其他限制条件。
例如：2019江苏理4】函数$y=7+6x-x^2$的定义域是$[-1,7]$。
解析】由已知得$7+6x-x^2\geq 0$，即$x^2-6x-7\leq 0$，解得$-1\leq x\leq 7$，故函数的定义域为$[-1,7]$。
题型二：求解方程求解指数函数和对数函数的方程，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解方程。
例如：2018江苏理5】函数$f(x)=\log_2(x-1)$的定义域为$[1,+\infty)$，则方程$f(x-2)+f(3-x)=1$的解集为________。
解析】由已知得$x-2>1$，$3-x>1$，即$x\in (1,5)$。
将$f(x-2)$和$f(3-x)$化为同底，得$\log_2(x-3)+\log_2(4-x)=1$，即$(x-3)(4-x)=2$，解得$x=1$或$x=7$，但$x\notin [1,5]$，故方程无解。
题型三：求解不等式求解指数函数和对数函数的不等式，需要注意以下几个步骤：1.化为同底；2.取对数；3.解不等式。
例如：2014山东理3】函数$f(x)=\frac{1}{\log_2 x-1}-2$的定义域为$(\frac{1}{2},+\infty)$，则不等式$f(x)\geq 0$的解集为________。
解析】由已知得$\log_2 x-1>\frac{1}{2}$，即$x>\sqrt{2}$。
对数比大小规律
对数比大小规律
第1页
《对数比大小规律》
一、定义
对数是数量积的底数，也是复杂数量比大小的函数。
在数学中，对数是以某一特定数为底的对数。
它是用来记录某个数量积的数量级的，根据数量积的变化，记录其对应的对数也会随之改变。
二、规律
1、如果相同的数量积的底数不一样，则其对数比大小也是不一样的。
例如，a^m < b^n，则loga^m < logb^n。
2、如果相同的数量积的底数一样，则其对数比大小也是一样的。
例如，a^m<b^n，则loga^m<logb^n。
3、如果数量积的底数相同，则其对数比大小与指数的大小有关。
例如，a^m>b^n，则loga^m>logb^n。
4、对数的乘积等于其底数的乘积。
例如，
loga^m*logb^n=log(a*b)^(m+n)
三、实例
例1：12^2<3^5
证明：利用对数比大小规律可得，log12^2<log3^5，即
log144<log243，即2<3，故12^2<3^5。
例2：2^3>8^2
证明：利用对数比大小规律可得，log2^3>log8^2，即log8>log64，
即3>6，故2^3>8^2。
对数函数比较大小课件
根据对数函数的图像，可以确定不等式的解集。
使用对数函数的单调性
利用对数函数的单调性，可以解决一些不等式的问题。
求解最值问题
确定函数的最值
利用对数函数的图像和性 质，可以确定函数的最值 。
解决最优化问题
利用对数函数，可以解决 一些与最优化有关的问题 。
利用对数函数求导
通过求导，可以找到函数 的最值。
点(4,1)的下方，即 log2(3)<log2(4)。
结合对数函数的应用比较大小例题
总结词：结合对数函数的应用比 较大小是解决实际问题的一种方 法。
详细描述：在实际问题中，我们 经常需要比较两个量的相对大小 。
例如，有两个工厂A和B，工厂A的年 产量是10万吨，工厂B的年产量是5 万吨。我们需要比较这两个工厂的产 量大小。根据对数函数的性质，我们 可以将产量取对数，然后比较对数值 的大小。因为 log10(100)>log10(50)，所以工厂A 的产量大于工厂B的产量。
对数函数比较大小课件
contents
目录
• 对数函数基础知识 • 比较对数函数大小的方法 • 对数函数的应用 • 典型例题解析 • 习题及答案
01
对数函数基础知识
对数函数的定义
自然对数
以e为底的对数，记作ln(x)。
常用对数
以10为底c)b/log(c)a，其中a>0且a≠1，c>0 且c≠1。
利用图像比较大小
根据对数函数的图像，可以比较 不同底数的对数函数在同一x值上 的大小。
结合对数函数的应用比较大小
利用对数函数解决实际问题
对数函数在生活和工作中有着广泛的应用，如计算复利、解决测量误差等问题 。
指数函数对数函数大小比较的技巧
指数函数对数函数大小比较的技巧指数函数和对数函数都是数学中常见的函数类型，它们在不同的应用领域中起着重要的作用。
为了有效地比较指数函数和对数函数的大小，以下是几个简单但实用的技巧：1. 图像比较法：通过绘制指数函数和对数函数的图像，可以直观地比较它们的大小关系。
可以使用计算机软件或手工绘图的方式绘制函数的图像，然后观察曲线的走势来判断函数的大小。
2. 极限比较法：利用函数的极限性质来进行大小比较。
指数函数和对数函数都具有特定的极限性质，对于任意正实数x，当x趋向于正无穷时，指数函数的增长速度远大于对数函数；反之，当x趋向于零时，指数函数的增长速度远小于对数函数。
可以通过计算极限值或比较增长速度来判断函数的大小。
3. 导数比较法：求取函数的导数来进行大小比较。
指数函数的导数恒大于零，而对数函数的导数恒小于零。
因此，在某个区间内，如果指数函数的导数大于对数函数的导数，那么指数函数的增长速度就会超过对数函数，从而指数函数大于对数函数。
4. 特殊点比较法：比较函数在特定点上的取值来判断大小。
通过计算指数函数和对数函数在某些特殊点上的值，如x=1或x=e，可以直接比较函数的大小。
例如，指数函数可以表示为e的幂次方，如果幂次大于1，则指数函数会超过对数函数。
这些技巧可以帮助我们更好地理解和比较指数函数和对数函数的大小关系。
根据具体问题的需求，选择适合的比较方法可以更精确地判断函数的大小。
请注意，这些技巧是简化的策略，适用于基本的指数函数和对数函数。
在处理复杂的函数时，可能需要借助更深入的数学理论和方法进行比较。
41对数及其运算课件
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作：lnN。
例如：loge 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作：ln10
讲解范例
例1 将下列指数式写成对数式：
（1） 25 32 log 2 32 5
⑵ log a 1 ?0 loga a ?1
对任意 a 0且a 1 都有 a0 1 log a 1 0
a1 a loga a 1
3.两个重要对数:
（1）常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作：lgN。
例如：log10 5 简记作：lg5； log10 3.5 简记作：lg3.5. （2）自然对数：
1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？ 2.假设2009年我国国民生产总值为a亿元，
如果每年平均增长8%，那么经过多少年国
民生产总值是2009年的2倍？
解：1.
(1)2)
1
x
0.125
x
?
2
2. a(1+8%)x=2a 1 8%x 2 x ?
（1） log 3 9 2
32 9
（2） （3） （4）
log 5 125 3
1 log2 4 2
log3
1 81
4
53 125
22 1 4
34 1 81
例3计算：(1) log 927 (2) log3 81 (3) log5625
解：(1)设x log 9 27, (2)设x log 3 81, (3)设x log 5 625,
复习专题课件：幂指对数大小比较 高一上学期数学北师大版必修第一册第四章
=
5>4>3>e
b= >a=f(4)>c=f(5)
课件制作老师：胡琪
例11. 若 > > 1,0 < < 1, 则
. <
. <
. <
. <
. <
构造函
数
c > 0, x c 在正区间
log 增
>
例7.a=log , b=log , = ，则, , 大小关系
换底
估值
a= log
=
=
=
<
<
<
<
c>a>b
=
>> >
课件制作老师：胡琪
化为同底或同指
课件制作老师：胡琪
类型一化同底或同指
例1. = log ， = log , = log
A. > > B. > > C. > > D. > >
a = log = + log
=+
log 2
1 = log
增减性
结论
对b估值
2的变形
log 增
<
= log . .
增减性
结论
对c估值
1的变形
增减性
log .
减函数
>
=
高一数学41指数讲解教案
高一数学41指数讲解教案教案标题：高一数学41指数讲解教案教学目标：1. 了解指数的概念和基本性质；2. 掌握指数运算的基本规则；3. 能够应用指数运算解决实际问题。
教学重点：1. 指数的定义和基本性质；2. 指数运算的基本规则。
教学难点：1. 指数运算中的特殊情况处理；2. 实际问题的转化与解决。
教学准备：1. 教师准备：课件、黑板、粉笔、教学素材；2. 学生准备：教科书、练习册。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入指数的概念，提问学生对指数的理解和应用；2. 通过举例说明指数的实际应用，激发学生的学习兴趣。
二、理论讲解（15分钟）1. 定义指数的概念，解释底数、指数和幂的关系；2. 介绍指数运算的基本规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、幂的倒数等；3. 通过示例演示指数运算的过程和应用。
三、练习与讨论（20分钟）1. 给学生分发练习题，让学生独立完成；2. 鼓励学生互相讨论、解答疑惑，帮助他们巩固理解；3. 教师巡回指导，解答学生提出的问题。
四、拓展与应用（15分钟）1. 提供一些拓展题目，让学生进行更深入的思考和探索；2. 引导学生将指数运算应用到实际问题中，例如人口增长、物质衰变等；3. 学生展示他们的解题思路和答案，进行讨论和分享。
五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点；2. 让学生自我评价学习效果，提出问题和建议；3. 鼓励学生积极参与，激发他们对数学学习的兴趣和动力。
教学延伸：1. 布置相关的课后作业，巩固所学知识；2. 鼓励学生积极参加数学竞赛和活动，提高数学思维能力；3. 配合教材进度，继续进行相关的教学拓展和延伸。
教学资源：1. 课件：包括指数的定义、基本性质和运算规则的展示；2. 练习题：根据学生的水平和课堂进度，提供适当难度的练习题；3. 参考答案：供学生参考和自我检查。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生的参与度、思维活跃度和问题解决能力；2. 练习成绩：检查学生对所学知识的掌握程度；3. 课后作业：评价学生对课堂内容的理解和应用能力。
对数函数—比较大小-2022年学习资料
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变-量1，-1,0进行比较。-例2：比较下列各题中的两个值的 小。-1、1og34与1og43-2、1og34与1og5-3、Iog1/3T与1og1/30.8
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数-图像或利用换底公式化为同底的再进行比较。（画图的-方法：在 一象限内，函数图像的底数由左到右逐渐-增大。-例3：比较下列各题中的两个值的大小。-1、1og25与log 5-2、1og1/22与log1/32
对数函数的图像与性质-y =log3x-=l0g2x-思考：通过-观察函数的-图像，在第-一象限函数-的底 有什-么特点？-y =logx-在第一象限，函数的底数从左到右逐渐增大。
比较大小-1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数-的单调性来比较。-例1：比较下列各题中的两个值 大小。-11og1o6与log1o8-2、1og0.56与log0.54-3、log35.1与loga5.
对数函数的性质-一比较大小
学习内容-1、比较大小-2、解不等式
对数函数的图象与性质：-y=log ax（a>0且a≠1-底数-a>1-0<a<1-定义域-0,+∞-奇偶 -非奇非偶函数-值域-R-定点-1,0即x=1时，y=0-单调性-在0，+∞上是增函数在0，+∞上是减函数 y=log a x与y=log1/ax（a>0且a≠1的图-对称性-像关于x轴对称。-函数值-当x>1时， >0-当x>1时，y<0-符号-当0<x<1时，y<0-当0<x<1时，y>0
解不等式一利用对数函数的单调性-10國4x解不啦，X+2.
高考数学复习点拨：对数比较大小的创新解法
学必求其心得，业必贵于专精对数比较大小的创新解法广西 成冬元关于两个相关甚微且真数与底数均不相同的对数的大小比较，有多种不同的解法，但环节过多,比较难用其自然.下面提出一种简便、实用的新方法，它的一般操作程序为：析出整数、变换底数、放缩真数、得到结论．例1．比较log 74与log 1812的大小．解：因为0＜lg 447＜log 4712,所以log 74=1+ lg 447＞1+ log 4712＞1+ log121812=log1812．所以log 74＞log 1812．例2．log 321与log 831的大小．解：因为0＜log 2143＜log 3143,所以log 4321＞log 4331，从而log 321=－2+ log 4321＞－2+ log 9831= log 831．注意：上述两例中,析出整数后余下的对数的绝对值小于1．例3．设x ＞1,试比较log)1(+x x和log)2(1++x x 的大小．解：因为0＜log x xx 1+＜log)1(1++x xx ，所以log xx x 1+＞logxx x 11++．所以log)1(+x x=1+logxx x 1+＞1+ logxx x 11++＞1+ log121+++x x x = log)2(1++x x ．故log)1(+x x＞log )2(1++x x ．例4．设n ＞m ＞1，t ＞1,求证：logntmt＜log n m．证明:因为logmt mn ＞log m mn ＞0,所以logmn mt ＜log mn m ,所以lognt mt=1+ logmn mt＜1+ log mn m = log n m．故lognt mt＜log n m．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微专题41 指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。
这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221l o g 2l o g 3l o g42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m=二、典型例题：例1：设323log ,log log a b c π===,,a b c 的大小关系是______________ 思路：可先进行0,1分堆，可判断出1,0b 1,0c 1a ><<<<，从而a 肯定最大，只需比较,b c 即可，观察到,b c 有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：223311log log 3,log log 222b c ====，从而可比较出32log 21log 3<<，所以c b < 答案：c b a <<例2：设123log 2,ln 2,5a b c -===，则,,a b c 的大小关系是___________思路：观察发现,,a b c 均在()0,1内，,a b 的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b <，在比较和c 的大小，由于c 是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计,,a b c 值得大小：12152c -==<=，可考虑以12为中间量，则331log 2log 2a =>=，进而12a c >>，所以大小顺序为b a c >> 答案：b a c >>例3：设ln2ln3ln5,,,235a b c === 则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察到,,a b c 都是以e 为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。
111352ln 2ln3ln5ln 2,ln3,ln5,235a b c ======发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：()()()1111111510635230303022,33,55=== ，通过比较底数的大小可得：b a c >> 答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。
所以也可以考虑将这三个数两两进行比较，从而减少底数的指数便于计算。
例如可以先比较,:a b ()()11113232662=2,3=3，从而a b <，同理再比较,a c 或,b c 即可例4：设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D. a b c >> 思路：观察可发现：()()()335577log 321log 2,log 521log 2,log 721log 2a b c =⨯=+=⨯=+=⨯=+357log 2log 2log 2>>，所以可得：a b c >>答案：D例5：设232555322,,,555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >> 思路：观察可发现,b c 的底数相同，,a c 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。
对于,b c ，两者底数在()0,1，则指数越大，指数幂越小，所以可得b c <，再比较,a c ，两者指数相同，所以底数越大，则指数幂越大，所以a c >，综上：a c b >> 答案：B例6：已知三个数0.5333,log 2,cos2a b c ===，则它们之间的大小关系是（ ） A. c b a << B. c a b << C. a b c << D. b c a <<思路：可先进行0,1分组，0.531a =>，0,1b c <<，所以只需比较,b c 大小，两者都介于0,1之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。
所以考虑寻找中间值作为桥梁。
以3cos2作为入手点。
利用特殊角的余弦值估计其大小。
331cos cos 23232ππ>⇒<=，而331log 2log 2>=，从而12c b <<，大小顺序为c b a <<答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择c 作为研究对象。
例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设 1.1 3.13log 7,2,0.8a b c ===，则（ ）A. b a c <<B. a c b <<C. c b a <<D. c a b << 思路：首先进行0,1分组，可得1,c a b <<，下面比较,a b 的大小，可以考虑以2作为中间量，1.13322,log 7log 92b a =>=<=，所以2a b <<，从而c a b <<答案：D例8：设0,1a b a b >>+=且1111,log ,log bb a b x y ab z a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,x y z 的大小关系是（ ）A. y x z <<B. z y x <<C. y z x <<D. x y z <<思路：由0,1a b a b >>+=可得：1012b a <<<<，先用0,1将,,x y z 分堆，0x >，,0y z <，则x 为最大，只需要比较,y z 即可，由于,y z 的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。
111log log log 1a b ababa b y ab ab ab +⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-，而1l o g l o g b bz a a ==-，因为01b <<，所以log log 1,log 1b b b a b z a y <==->-=，所以顺序为y z x << 答案：C例9：下列四个数：()()2ln2,ln ln2,ln2a b c d ====的大小顺序为________ 思路：观察发现()ln ln20b =<，其余均为正。
所以只需比较,,a c d ，考虑()ln20,1∈，所以a d <，而1ln22c d ==<，所以下一步比较,a c ：()(211ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2ln 2022a c ⎛⎫-=-=-=-> ⎪⎝⎭，所以a c >，综上所述，大小顺序为b c a d <<<答案：b c a d <<<例10：已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 思路：本题要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断,,a b c 的范围。
首先观察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：11222log ,log ,log a b c 均大于0，由对数的符号特点可得：(),0,1,1a b c ∈>，只需比较,a b 大小即可。
观察到1212ba⎛⎫>> ⎪⎝⎭，从而1122log log a b a b >⇒<，所以顺序为a b c <<答案：A小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点。