2.3 用公式法求解一元二次方程(1)
用公式法求解一元二次方程 导学案
1 / 32.3用公式法求解一元二次方程【学习目标】1．知识与技能：（1）理解一元二次方程求根公式的推导过程；（2）会用求根公式解简单数字 系数的一元二次方程。
2．能力培养：提高运算能力并养成良好的运算习惯。
3．情感与态度：通过用公式法解一元二次方程，体验成功的喜悦，建立学好数学的自信心。
【学习过程】一、旧知复习1．用配方法解下列方程：（1）x x 10152=+ （2）0311232=+-x x2．用配方解一元二次方程的步骤是什么？二、讲授新知问题1：用配方法解一元二次方程一般式)0(02≠=++a c bx ax总结：1．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：___________________________问题2． 这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，2 /3 我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
问题3．根的判别式：三、例题精讲例1．用公式法解下列方程：（1）0232=++x x（2）4722=-x x ；（3） 4x -12 = 5x 2（4）2441018x x x ++=-四、课堂巩固练习1．用公式法解下列方程：（1）2x 2+x-1＝0（2）x(x-6)=6 （3）2x 2-7x+3＝03 / 3（4）3x 2-9x+12＝0 （5） 9x 2+6x+1＝0 （6） x 2-23x+3＝0五、拓展与延伸1．解关于x 的方程),0(0)(22222n m mn mn x n m mnx >≠=++-。
推荐K12学习2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一练习新版北师
《2.3 用公式法求解一元二次方程(一)》练习一、基础过关1．用公式法解方程4x2﹣12x=3所得的解正确的是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2．关于方程x2﹣2=0的理解错误的是（）A．这个方程是一元二次方程B．方程的解是C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D．这个方程可以用公式法求解3．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=04．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定5．下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=06．到2013底，我县已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校2011年发放给每个经济困难学生450元，2013年发放的金额为625元．设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（）A．450（1+x）2=625 B．450（1+x）=625C．450（1+2x）=625 D．625（1+x）2=450二、综合训练7．已知x=（b2﹣4c＞0），则x2+bx+c的值为．8．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为．9．根的判别式内容：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程；此时方程的两个根为x1=x2= ．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程．10．如果关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a的值为．11．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．12．关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b 的值：b= ．三、拓展应用13．小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．请你举出反例说明小红的结论是错误的．14．如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的14．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的16，求道路的宽．15．已知a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c=0的根．16．已知关于x的方程x2+mx+m﹣2=0．（1）若此方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．17．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）当通道宽a为10米时，花圃的面积= ；（2）通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3：5？如果可以，试求出此时通道的宽．18．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．参考答案一、基础过关1．D解：方程整理得：4x2﹣12x﹣3=0，这里a=4，b=﹣12，c=﹣3，∵△=144+48=192，∴x==，故选：D．2．B解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是x=±，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．3．C解：设原正方形的边长为xm，依题意有（x-1）（x-2）=18，故选C．4．B解：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．故选B．5．B解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B．6．A．解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则2012年发放给每个经济困难学生450（1+x）元，2013年发放给每个经济困难学生450（1+x）2元，由题意，得：450（1+x）2=625．故选A．二、综合训练7．答案为：0解：∵x=（b2﹣4c＞0），∴x2+bx+c=（）2+b+c=++c===0．故答案为：0．8．答案为：（100-x）（80-x）=7644解：设道路的宽应为x米，由题意有（100-x）（80-x）=7644，故答案为：（100-x）（80-x）=76449．答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．解：△=b2﹣4ac＞0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根；△=b2﹣4ac=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根；此时方程的两个根为x1=x2=﹣．△=b2﹣4ac＜0⇔一元二次方程无解．△=b2﹣4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；﹣；无解；有实数根．10．答案为：﹣1或2．解：∵关于x的一元二次方程x2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，∴△=0，即4a2﹣4（a+2）=0，解得a=﹣1或2．故答案为：﹣1或2．11．答案为：x2-35x+34=0．解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20-20×2x-30x+2x•x=532，整理，得：x2-35x+34=0．故答案为：x2-35x+34=0．12．答案为3．解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣8＞0，∴b＞2或b＜﹣2，∴b为3，4，5等等，∴b为3（答案不唯一）．故答案为3．三、拓展应用13．解：如方程x2+5x+6=0，（x+2）（x+3）=0，∴x1=﹣2，x2=﹣3，小红认为：当b2﹣4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是．则x==，x=2和x=3，这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，故小红的结论是错误的．14．解：设道路的宽为x米，则可列方程：x（12-4x）+x（20-4x）+16x2=16×20×12，即：x2+4x-5=0，解得：x1=l，x2=-5（舍去）．答：道路的宽为1米15．解：∵+|b+1|+（c+3）2=0，∴a=1，b=﹣1，c=﹣3，原方程为x2﹣x﹣3=0，这里a=1，b=﹣1，c=﹣3，∴x=．16．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m﹣2=0，得：1+m+m﹣2=0，解得：m=；（2）∵△=m2﹣4×1×（m﹣2）=m2﹣4m+8=（m﹣2）2+4＞0，∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．17．解：（1）由图可知，花圃的面积为：（40-2×10）（60-2×10）=800（平方米）．故答案为：800；（2）根据题意得：60×40-（40-2a）（60-2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米．18．解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴△=（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形．。
《用公式法求解一元二次方程(一)》
（3）什么情况下
（4）如果b2-4ac<0时，会出现什么问题？
（5）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有关.
师：教学反思或疑惑
生：学习收获或疑惑
（1）已知长方形城门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么,门的高和宽各是多少?
（2）一张桌子长4米,宽2米,台布的面积是桌面面积的2倍,铺在桌子上时,各边下垂一元二次方程的求根公式，能够利用公式法求解一元二次方程.
重点难点：
（1）正确地导出一元二次方程的求根公式；
２、上述方程如果有解，求出方程的解
四、精点巧拨，归纳生成:
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？
2、如何判断一元二次方程根的情况？
3、用公式法解方程应注意的问题是什么？
4、你在解方程的过程中有哪些小技巧？
五、分层设练，拓展延伸:
用公式法解下列方程
1、课本47页1,2题。
2、列方程解应用题
（2）正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程.
一、优化导入，揭示目标;
①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x (2)3x2+2x+1=0
②总结用配方法解方程的一般方法:
二、指导自学，整体感悟
1、解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)
解：
思考：（1）为什么可以两边都除以一次项系数:a
九年级数学科探究新知导学案主备人时间审定人执教人（或学生）
学习内容：
2.3《用公式法求解一元二次方程（一）》
师：教学设计生：学习笔记
三、互动互研，解难释疑:
１、判断下列方程是否有解：（学生口答）
九年级数学上册-用公式法解一元二次方程
－1 且 k≠0，综上，k 的取值范围为 k≥－1.
7. 已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2 ＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值(要求先化简再求值)．
解：设AB为xm，则BC为（50-2x）m， 根据题意得方程：x（50-2x）=300， 2x2-50x+300=0， 解得；x1=10，x2=15， 当x1=10时50-2x=30＞25（不合题意，舍去）， 当x2=15时50-2x=20＜25（符合题意）． 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300 平方米
故当矩形温室的长为 28 m，宽为 14 m 时，蔬菜种 植区域的面积是 288 m2.
◎拓展提升
6. (2017·齐齐哈尔)若关于 x 的方程 kx2－3x－94 ＝ 0 有实数根，则实数 k 的取值范围是( C )
A．k＝0
B．k≥－1 且 k≠0
C．k≥－1
D．k＞－1
【解析】当 k＝0 时，方程为－3x－49＝0，解得 x＝
老师提示:在检验时,方 程的根一定要符合问题 的实际意义.否则,舍去.
12m
探究2 我—小亮,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园每个角上的扇形都 相同你能通过解方程,帮我得到扇形的半径x是多少吗?
16m
12m xm
探究2 我—小颖 ,我的设计我做主！
我的设计方案如图所示.其中花园是两条互相垂直
②当 b2－4ac____<_0________时，一元二次方程 ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
2.3 用公式法求解一元二次方程(1)
2.3用公式法求解一元二次方程(1)一 、选择题1、用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( )A ．－1，3，－1B ．1，－3，－1C ．－1，－3，－1D ．－1，3，12、已知，则的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．20143、用公式法解方程2x 2+43x=22,其中求的b 2-4ac 的值是（ ）A.16B. ±4C. 32D.644、若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( )A ．0B ．－1C ．2D ．－35、已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对6、一元二次方程 的根的情况是( )A.有两个不相等的正根B.有两个不相等的负根C.没有实数根D.有两个相等的实数根二、 填空题7、对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，当b 2－4ac>0时，方程有 的实数根；当b 2－4ac ＝0时，方程有 的实数根；当b 2－4ac <0时，方程____实数根．我们把 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．8. 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为________． 三、解答题 用公式法解下列方程：210x x --=3222012x x -++9. 3x2＋4＝12x 10. 2x2－2x－5=0的11. 2x2﹣4x﹣5=0 12. 3x(x-3)=2(x-1)(x+1)13. x2＋22x－6＝014. 2x2－4x＋1＝015、当k为何值时，关于x的方程k x2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？。
北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时 用公式法求解一元二次方程 教学课件
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解： 移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数 根，故选 B.
方法归纳 判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时， 要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
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二 公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .
2.3用公式法求解一元二次方程(第一课时)学历案北师大版数学九年级上册
2023学年九年级数学自主学历案13班级： 年级 班 姓名： 学号：一、学习指南：【课程名称】用公式法求解一元二次方程（1）【知识技能目标】1、推导一元二次方程的求根公式；2、会用求根公式解一元二次方程．3、会用根的判别式判别方程根的情况.【思维发展目标】通过推导求根公式，让学生进一步理解配方法.二、学习任务：1.用配方法解下列方程:（1）01422=++x x（2）)0(02≠=++a c bx ax小结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ， 用求根公式解一元二次方程的方法称为 ．【例题演练】用公式法解下列方程：(1)01872=--x x解：这里a= ，b= ，c= ∵=-ac b 42（2）01692=++x x（3）0322=+-x x小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：【基础训练】1.一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______．2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．230x =B ．(3)(2)0x x -+=C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=3.关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【自我检测】4．用公式法解一元二次方程3x 2﹣4x ＝8时，化方程为一般式，当中的a ，b ，c 依次为（ ） A ．3，﹣4，8 B ．3，﹣4，﹣8 C ．3，4，﹣8 D ．3，4，85.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜26.若一元二次方程2x 2﹣3x+c ＝0无实数根，则c 的取值范围为 ．7.若关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围为 ．8.用公式法解方程：（1）012=--x x（2）()()1532=--x x（3）03322=+-x x【拓展提升】已知关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若m 是整数，且方程总有两个整数根，求m 的值．。
2.3 用公式法解一元二次方程 (第1课时)
课题：2.3《用公式法求解一元二次方程》(第1课时)学习目标：1、理解求根公式的推导过程，理解公式中的条件042≥-ac b 。
2、会用求根公式解简单的数字系数的一元二次方程。
3、理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。
学习重点、难点：求根公式的推导及运用求根公式解一元二次方程。
学法指导：1、先利用10分钟阅读并思考P41-43页教材内容，通过复习配方法解一元二次方程，初步探究用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax ，得出求根公式，理解公式中的条件042≥-ac b ，并会用求根公式解一元二次方程；初步理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。
2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。
一、合作探究探究点一： 求根公式的推导1、用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax2、为什么要042≥-ac b ？3、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：探究点二： 利用求根公式解一元二次方程1、解下列方程：（1）x x 7322=+ （2）01232=++x x2、探讨使用求根公式解一元二次方程的一般步骤：探究点三：一元二次方程的根的判别式：1、不解方程，判断下列方程根的情况。
（1）022=++x x （2）01442=+-x x （3）042=+x2、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。
三、课堂检测1、用公式法解下列方程：（1）08922=+-x x （2）01692=++x x（3）38162=+x x （4）2342-=x x2、已知一元二次方程022=+-m x x ，且042=-ac b ，求m= 。
3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长。
课堂小结：你学到了什么？你还有什么疑惑？作业（★B 层同学选做题，☆C 为层同学选做题）教材P43页习题2.5的第1、2、3、4课后反思：。
(13)2.3用公式法求解一元二次方程(1)
北师大版九年级（上）数学科导学案（13）课题：2.3用公式法求解一元二次方程（1）（P41-43） 主备： 审核：初三备课组班级 姓名 学号 家长签名：【学习目标】： 1、通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
2、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
一、课前预习：预习评价： （师傅检查后填写）1、一元二次方程05322=--x x 中，二次项系数为____，一次项系数__________， 常数项为________;2、把方程1532=--））（（x x 化为一般形式_______________；其中 a = ________，b = __________，c = ___________;3、用配方法解下列方程： 05322=--x x4、你能用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax 吗？解：两边都除以a ，得：2、通过上述的推导得到一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为： 当042≥-ac b 时，x =__________________________二．预习交流。
三、互助探究1、用公式法解下列方程：05322=--x x解：这里a= _______, b =________, c =________∵b 2－4ac = __________ = ___________ > 0∴x = ___________ = ____________即 1x = ___________, 2x = _______2、解方程: x 2－7x －18=0四、分层提高：1、用公式法解下列方程：（1）23210x x +-= （2）21683x x +=（3）29610x x ++= （4） 22350x x -+=能力提高：1、对于一元二次方程来说)0(02≠=++a c bx ax ，方程是否有解，由___________决定。
当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程___________根。
九年级数学 用公式法求解一元二次方程》(共21张PPT)
2、解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;
1.x1 2; x2 4.
2.x1
2 3
;
x2
4 3
.
3.x1
1;
x2
3. 2
3、不解方程判断下列方程根的情况:
（1）2x2+5=7x
（2）4x（x-1)+3=0
次项系数绝对值一半的平方；
x
b
2
2a
b2 4ac 4a2 .
4.开方:根据平方根意 义,方程两边开平方
当b2 4ac 0时,
b
b2 4ac
x
.
2a
2a
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
结论：
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0), 当b2-4ac ≥0时，它的根是：ac＜0时，原方程无解． 上面这个式子称为一元二次方程的求根公式， 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．
【例1】解方程：x2-7x-18=0．
【解析】这里 a=1, b= -7, c= -18.
∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
x
7
121 21
7
11 2
,
即：x1=9, x2= -2．
【例2】解方程： 4x2 1 4x
【解析】化简为一般式得
4x2 4x 1 0
这里 a=4, b= -4 , c= 1.
∵b2 - 4ac=( )42 - 4×4×1=0,
北师大版初三数学上册2.3 用公式法求解一元二次方程演示文稿.ppt.3 用公式法求解一元二次方程演示文稿
∴ x b b 2 4ac
2a
7 25 7 5
22
4
即x1=3,x2=
1 2
解:
73 x2 x 0
22
x27x(7)24930
2 4 16 2
(x 7)2 250 4 16
(x 7)2 25 4 16
x 7 5 44
x26,x21.0
A0.
四、感悟与收获
通过本节课的学习你学到了哪些知识？认为学的比较 好的内容是什么？不足又是什么？与同学交流一下。
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式是什么？ 2、如何判断一元二次方程根的情况？ 3、用公式法解一元二次方程的一般步骤？ 4、用公式法解方程应注意的问题是什么？
∴原方程无解
三、巩固新知（练一练）
1、判断下列方程根的情况： (1)x2-7x-18=0 (2)4x2+1=4x
我最棒,解题规范正确!
(3)x2-2x+3=0
(4)2x2-4x-1=0 (5)4x(x-1)+3=0 (6)(x-2)(3x-5)=1
2、上述方程如果有解，求出该方程的解。
心动 不如行动
x75 44
x 3 x 1
1
22
比一比谁简洁
（3）3x2+2x+1=0
解:a=3,b=2,c=1
b2-4ac =22-4×2×1 =-4<0
∴ 方程无解
x2 2x10 33
x22x(1)2110 3 3 93
(x 1)2 2 0 39
(x1)2 2 39
∵ 2 0 9
x 7 5 44
2.3用公式法求解一元二次方程
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
独立 作业
知识的升华
P43习题2.5 1,2,3题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广 六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角 线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
B
即x 8 x 0.
2
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
1.会用求根公式解一元二次方程； 2.通过公式的推导，加强推理技能训练，进一步 发展逻辑思维能力．
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
3 3.x1 1; x2 . 2
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4 .3 y
2
1 2 3 y.
3 4. y1 y2 . 3
小结
拓展
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
北师大版九年级数学2.3用公式法求解一元二次方程(1)教案
2.3 用公式法求解一元二次方程（1）教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．4. 根据根的判别式值的情况，体会数学分类思想。
教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程． 复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)化—化二次项系数为1；(2)移—移项，使得方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)开—如果方程的右边是非负数，就可左右两边开平方 ;(5)解—解一元二次方程。
二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．用配方法解方程：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a=即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子 （2）式子b ²－4ac 叫做一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．（3）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。
1.2.3一元二次方程的解法(公式法1)解读
求根公式 : X=
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
二、用公式法解一元二次方
程的一般步骤：
1、把方程化成一般形式。 并写
出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式 :
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解: x1=?, x2=?
这是收获的
时刻，让我 们共享学习 的成果
例 4 解方程： x 21 3 x 6
解：去括号，化简为一般式：
b b2 4ac x 2a
3x 7x 8 0
2
这里
a 3、 b= - 7、 c= 8
49 96 - 47 0
2 b2 4ac （ 7 ） 4 3 8
方程没有实数解。
(2)x2+x-6=0
(3)3x2-6x-2=0
解: a 1, b 1, c 6 b 4ac 1 24 25 0
2
解: a 3, b 6, c 2 b 4ac 36 24 60 0
2
1 25 1 5 x 2 2
b2-4ac= 52-4×3×(-2) = 49 .
a 1, b 2, c 5 b 4ac 4 20 24 0
2
x=
= .
=
.
2 24 x 1 6 2
即
x1 = -2 ,
x2 =
.
x1 1 6 , x2 1 6
做一做
1.用公式法解下列方程：
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解： x1、
用公式法求解一元二次方程课件
1.x1
1 4
; x2
3. 4
2.x1
x2
1. 3
（3）没有实数根
五、课堂检测
一元二次方程的求根公式 x b b2 4ac 2a
对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
(2)当方程有一个根为5时，求k的值.
证明：(1)Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4（k2+k） =4k2+4k+1-4k2-4k =1＞0.
∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵方程有一个根为5， ∴52-5(2k+1)+k2+k=0，即k2-9k+20=0. 解得k1=4，k2=5.
四、课堂检测
四、课堂检测
3.已知关于x的一元二次方程mx2+2mx+2-m=0有两
个相等的实数根，则m的值是（ B ）
A.-2
B.1
C.1或0
D.1或-2
四、课堂检测
4.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+2)x+m2-4=0有两 个不相等的实数根. 则m的取值范围 m＞ ；
四、课堂检测
5.关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两
北师大版九年级上册
第二章 一元二次方程
2.3 用公式法求解一元二次 方程(一)
一、复习回顾
用配方法解方程： 2x2 -7x +6 = 0.
解：方程两边同时除以2,得 x2 - 7 x + 3 = 0 .
2.3.1用公式法解一元二次方程 课件(共20张PPT)
典例精讲
【题型三】公式法的应用
例 4：已知等腰三角形的一腰长为x，周长为 20，则方程x²12x+31=0的根为 6+ 5
.
例 5：若x²+3xy-2y²=0，则
点拨：方程两边同时乘
=
,得
− ±
.
+ × − = ,
设 = ,则 ² + − = ,
(2)确定 a、b、c的值;
(3)计算b²-4ac的值;
(4)当b²-4ac≥0时，把a、b、c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方
程的根;当b²-4ac <0时,方程没有实数根.
注意： 虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非
是最简单的，一定要注意方法的选择.
典例精讲
例 1：
【题型一】公式法解一元二次方程的逆用及根的判别式
典例精讲
【题型二】已知方程根的情况求参数的值或取值范围
例 2：若关于x的一元二次方程 − ² + + = 有两个相
等的实数根，则点P(m-3,-m+4)在第 二
象限.
例3：已知关于x的方程 − ²² + + + =
有实数根，则 k的取值
范围是 k≥ .
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1.通过阅读课本学生可以利用公式法解数字系数的一元二次方程，
并会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，全面提高
学生解方程的能力.
2.通过阅读课本学生可以用配方法推导求根公式，培养学生推理
2.3用公式法求解一元二次方程(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的公式法求解。一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，它在数学和物理学等多个领域有着广泛的应用。公式法求解是通过判别式来判断方程的根的情况，并利用特定公式来求解。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设有一个物体自由落下，不计空气阻力，我们如何根据下落时间和重力加速度来计算落地时的速度？通过公式v^2 = 2gh，我们可以将这个问题转化为一元二次方程的求解。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“一元二次方程在工程学中如何应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
2.3用公式法求解一元二次方程（教案）
一、教学内容
本节选自教材第二章第三节“用公式法求解一元二次方程”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（a, b, c是常数且a ≠ 0）。
2.求解一元二次方程的公式：x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / 2a。
4.通过小组合作与交流，培养学生的团队协作能力和表达沟通能力，增强合作意识与集体荣誉感。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：一元二次方程的公式法求解过程及其应用。
-公式法求解一元二次方程的一般步骤，包括确定a、b、c的值，计算判别式b^2 - 4ac，根据判别式的值选择合适的求解方法。
-应用公式法解决实际问题，如物体自由落体运动、投资收益计算等。
2.31公式法解一元二次方程(1)
1 k 1 x k 1 x 0 4
2
先把下列一元二次方程化成一般形 式，再写出一般形式的a、b、c： （1）方程2x2+x-6=0中，a= 2 ，b= c= -6 ；b2－4ac= 49 .
1，
（2）方程5x2－4x=12中，a= 5 ，b= -4 ， c= -12 ；b2－4ac= 256 . （3）方程4x2－4x+1=0中，a= 4 ，b=-4 ， c= 1 ；b2－4ac= 0 .
2
即
b 2 b2 -4ac (x+ ) = 2a 4a2
∴当b2-4ac≥0时 即
-b b2 - 4ac x= 2a 2a
-b b2 - 4ac x= 2a
通过上题（一元二次方程的一般形式）的解答 过程和结果我们可以看出所有一元二次方程的 解的形式（解存在时）都可以表示为
-b b2 - 4ac x= 2a
小试牛刀
例：用公式法解方程
3x -5x -2= 0
解：
2
a=3,b=-5,c=-2
2
b - 4ac= (-5)2 -4 3 (2)= 49 0
-b b2 - 4ac -5 49 x = 2a 23
即
x1 1, x 2 -2
x 4x 2
2
解：方程化为：x2+4x-2=0 ∵ a=1，b=4，c=－2
2
b 4ac 0
2
bx c 0 (a 0)
中，
如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是 由于 b 2 4ac 无意义
一般形式的一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
b 4ac
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这里 a=1，b=―7，c=―18
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学习方法报社 例：解方程：2x2+7x=4 解：移项，得 2x2+7x―4=0 这里，a=1 , b=7 , c=―4 2 ∵b －4ac=72―4×1×(―4)=81>0 ―7± 81 ―7±9 ∴x= = 4 2×2 1 即:x1= , 2 x2=―4
－b± b2－4ac ∴x= 2a 一般地，对于一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) －b± b2－4ac 当 b －4ac≥0 时，它的根是 x= 2a
2
注意：当 b2－4ac<0 时，一元二次方程无实数根。 2、公式法： 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、例题讲析： 例：解方程：x2―7x―18=0 解：这里 a=1，b=―7，c=―18 ∵b2－4ac=(―7)2―4×1×(―18)=121>0 7± 121 ∴x= 2×1 即：x1=9, x2 =―2
学习方法报社 课 题 2．3 用公式法求解一元二次方程(1) 1．一元二次方程的求根公式的推导 2．会用求根公式解一元二次方程 一元二次方程的求根公式． 求根公式的条件：b -4ac 0
2
全新课标理念，优质课程资源 课型 新授课
教学目标 教学重点 教学难点 教学方法
讲练结合法 教学过程设计 教 学 内 容 及 过 程 学生活动 学生演板 x1=9,x2=－2
这节课我们探讨了一元二次方 程的另一种解法――公式法。 （1） 求根公式的推导， 实 际上是“配方”与“开平方” 的综合应用。对于 a 0 ，知 4a >0 等条件在推导过程中的 应用，也要弄清其中的道理。 （2） 应用求根公式解一元 二次方程， 通常应把方程写成一 般形式，并写出 a、b、c 的数值 以及计算 b －4ac 的值。当熟 练掌握求根公式后， 可以简化求 解过程
全新课标理念，优质课程资源
学生小结 步骤: (1)指出 a、b、c （2）求出 b2－4ac (3)求 x （4）求 x1, x2
三、课堂练习 P43 随堂练习：1、2 四、课堂小结 －b± b2－4ac （1）求根公式：x= （b2－4ac≥0） 2a （2）利用求根公式解一元二次方程的步骤
看课本 P56～P57，然后小结
一、复习 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？ 2、用配方法解方程：x2－7x－18=0 二、新授： 1、推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0) b c 解：方程两边都作以 a，得 x2+ x+ =0 a a 移项，得： b c x2+ x=+ x+( )2=－ +( )2 a 2a a 2a b2－4ac b 即： （x+ ）2= 2a 4a2 ∵a≠0，所以 4a2>0 当 b2－4ac≥0 时，得 b x+ =± 2a b2－4ac b2－4ac =± 2 4a 2a 注意：符号
2 2
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