千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第98炼 含新信息问题的求解

第98炼 含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。

它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。

这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。

在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。

2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。

二、典型例题例1：设,P Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈∉且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，则P Q -等于（ ）A. {}|01x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|12x x ≤<D. {}|23x x ≤<思路：依{}|P Q x x P x Q -=∈∉且可知该集合为在P 中且不属于Q 中的元素组成，或者可以理解为P 集合去掉P Q 的元素后剩下的集合。

先解出,P Q 中的不等式。

:P 2log 102x x <⇒<<，:2113Q x x -<⇒<<，所以()1,2P Q =，从而可得：(]0,1P Q -=答案：B例2：()y f x =在(),-∞+∞内有定义。

对于给定的正数K ，定义函数()()()(),,k f x f x K f x K f x K≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 取函数()2x f x x e =+-。

若对任意的(),x ∈-∞+∞，恒有()()k f x f x =，则（ ）A ．K 的最大值为2 B. K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D. K 的最小值为1 思路：由所给分式函数()k f x 可知，若()f x K ≤，则取()f x ，如果()f x K >，就取K ，由这个规则可知，若()()k f x f x =恒成立，意味着(),x ∀∈-∞+∞，均有()f x K ≤恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即()max K f x ≥，下面求()f x 的最大值：()'1x f x e =-，可知()f x 在(),0-∞单调递增，在()0,+∞单调递减，所以()()m a x 01f x f ==，从而1K ≥，即K 的最小值为1答案：D例3：设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算⊕为：ij k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3i j =，则满足关系式()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1思路：本题的关键在于读懂规则，“⊕”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：13A A ⊕，按照要求，()13+除以4的余数为0，所以130A A A ⊕=。

掌握规律后再看所求关系式：要求得x ，则需要先解出()x x ⊕，将其视为一个整体m A ，可知20m A A A +=，即()2m +除以4的余数为0，可推断2m =，即2x x A ⊕=，不妨设n x A =，即()n n +除以4的余数为2，则n 的值为1,3，所以1x A =或者3x A =，共有两个解答案：C例4：定义两个平面向量,a b 的一种运算sin a b a b θ⊗=，其中θ为,a b 的夹角，对于这种运算，给出以下结论：① a b b a ⊗=⊗；②()()a b a b λλ⊗=⊗；③()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗；④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221a b x y x y ⊗=- 你认为恒成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个思路：本题的新运算sin a b a b θ⊗=，即,a b 的模长乘以夹角。

所以对于结论①，sin sin b a b a a b a b θθ⊗===⊗；对于②，()s i n a b a b λλθ⊗=，而()sin sin a b a b a b λλθλθ⊗==⋅，显然当0λ<时等式不成立；对于③，()s i n ,a b c a b c a b c +⊗=+⋅⋅+（其中sin ,a b c +表示,a b c +的夹角），而()()sin ,sin ,a c b c a c a c b c b c ⊗+⊗=+，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如a b =-，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而22sin 1cos θθ=- ，可与a b ⋅ 找到联系：()()()()222222222222221122sin 1cos a b a b a ba b a b x y x y θθ⊗==-=-⋅=++()()2212121221x x y y x y x y -+=-，即1221a b x y x y ⊗=-。

综上所述，①④正确答案：B例5：如果函数()f x 对任意两个不等实数()12,,x x a b ∈，均有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，在称函数()f x 为区间(),a b 上的“G ”函数，给出下列命题：① 函数()2sin f x x x =-是R 上的“G ”函数② 函数()24,01,0x x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩是R 上的“G ”函数 ③ 函数()2,121,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩是()3,6-上的“G ”函数④ 若函数()2xf x e ax =--是R 上的“G ”函数，则0a ≤ 其中正确命题的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：()()()()1122210x f x f x x f x f x -+->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦即()12x x -与()()12f x f x -⎡⎤⎣⎦同号，反映出()f x 是(),a b 上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：()'2cos 0f x x =->恒成立，所以()f x 是R 上的增函数②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确④：若()f x 是“G 函数”，则()f x 是R 上的增函数，所以()'0x f x e a =-≥即x a e ≤恒成立，因为()0,x e ∈+∞，所以可得：0a ≤，④正确综上所述：①②④正确，共有三个命题答案：C例6：对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ，其中2,n n N *≥∈，如果在p q <时，有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 4思路：本题中对于“顺序”的定义为p q p q i i <⇒<，即序数小的项也小。

要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。

在所求数组中可发现()54321,,,,a a a a a 刚好是()12345,,,,a a a a a 进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数组不成“顺序”的（即p q p q a a <⇒>）反而成为所求数组的“顺序”。

在五元数组中任意两个数比较大小，共有2510C =组，在()12345,,,,a a a a a 中“顺序”有4个，则非“顺序”有6个，所以到了()54321,,,,a a a a a 中，顺序数即为6答案：B小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，假设1213141,,,a a a a a a a a <<<<，其余各项2345a a a a >>>，则在()54321,,,,a a a a a 中即可数出顺序数为6例7：对任意实数,a b 定义运算*如下：()()a ab a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩，则函数()212()log 32log f x x x =-*的值域为（ ）A. [)0,+∞B. (],0-∞C. 22log ,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 22log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 思路：本题可将()()a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩描述成取,a b 中较小的数，即{}min ,a b ，所以对于()212()log 32log f x x x =-*，即()0f x 为()20102log 32,log x x -中较小的数。

解不等式()212320log 32log 01132x x x x x x x ⎧⎪->⎪-≥⇒>⇒≥⎨⎪⎪->⎩，则()2122log 32log 13x x x -<⇒<<，所以()212log 32,1()2log ,13x x f x x x -≥⎧⎪=⎨<<⎪⎩，从而可解得值域为(],0-∞ 答案：B小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式， ()212()log 32log f x x x =-*的图像为将()212log 32,log y x y x =-=的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出()f x 的图像，其中()212log 32,log y x y x =-=的交点通过计算可得1x =，所以结合图像即可得到()f x 的值域为()(,1f -∞⎤⎦，即(],0-∞例8：已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为P 到l 的距离，记作(),d P l（1）求点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){}|,1D P d P l =≤所表示的图形面积思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。