上海市青浦区2018届高三4月质量调研(二模)数学试题

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2018年上海市青浦区高考数学二模试卷

2018 年上海市青浦区高考数学二模试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共20.0 分）1.设α，β是两个不同的平面，b是直线且 b? β．则“ b⊥α”是“ α⊥β”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2.若已知极限，则的值为（）A. -3B.C. -1D.3.已知函数 f（ x）是 R 上的偶函数，对于任意 x∈R 都有 f（ x+6）=f（x）+f（ 3）成立，当 x ， x[03]，且x1≠x2时，都有．给出以下三个命题：12∈，①直线 x=-6 是函数 f （ x）图象的一条对称轴；②函数 f（ x）在区间 [-9， -6] 上为增函数；③函数 f（ x）在区间 [-9， 9]上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星．设正八角星的中心为 O，并且．若将点O到正八角星 16 个顶点的向量都写成的形式，则λ+μ的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共12 小题，共 54.0 分）5.不等式 |x-3|＜ 2 的解集为 ______．6.若复数 z 满足 2-3=1+5i （i 是虚数单位），则z=______．7.若，则=______．8.已知两个不同向量，，若，则实数 m=______ ．9.在等比数列 { a n} 中，公比 q=2，前 n 项和为 S n，若 S5=1，则 S10=______．10.若x，y满足．则z=2x-y的最小值为______．11.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个圆柱的体积为 ______．12.展开式中x2的系数为 ______．13.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 A+的概率分别为、、，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得 2 个 A+的概率是 ______．14. f x[-2 2]x0 2] f x =2x-1g x已知（）是定义在，上的奇函数，当∈（，时，（），函数（）2[-22]x[-22] f x）≤g（x ），=x -2x+m．如果对于任意的，，总存在，12x1∈2∈，使得（则实数 m 的取值范围是 ______．15.已知曲线 C： y=-，直线 l：y=2，若对于点 A（0， m），存在 C 上的点 P 和l 上的点 Q，使得= ，则 m取值范围是 ______．16.已知，则 M 的取值范围是 ______ ．三、解答题（本大题共 5 小题，共 76.0分）17.如图，在正四棱锥P-ABCD 中，，E，F分别为 PB， PD 的中点．（1）求正四棱锥 P-ABCD 的全面积；（2）若平面 AEF 与棱 PC 交于点 M ，求平面 AEMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．18.已知向量，，设函数．（ 1）若，，求x的值；（ 2）在△ABC 中，角 A， B，C 的对边分别是a， b， c 且满足，求 f（ B）的取值范围．19. 已知椭圆的一个顶点坐标为A 2 0），且长轴长是短轴（，长的两倍．（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）过点 D（ 1，0）且斜率存在的直线交椭圆于G、 H， G 关于 x 轴的对称点为G'，求证：直线G'H 恒过定点（ 4， 0）．20.设函数．（1）求函数的零点；（2）当 a=3 时，求证： f（ x）在区间（ -∞， -1）上单调递减；（ 3）若对任意的正实数a，总存在 x0∈[1， 2]，使得 f（ x0）≥m，求实数 m 的取值范围．21.给定数列 { a n } ，若数列 { a n} 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．（ 1）已知数列 { a n} 的通项公式为，试判断{ a n}是否为封闭数列，并说明理由；（2）已知数列 { a n} 满足 a n+2+a n=2a n+1且 a2-a1=2，设 S n是该数列 { a n} 的前 n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{ a n } ，使得对任意 n∈N*都有 S n≠0，且，若存在，求数列{ a n} 的首项 a1的所有取值；若不存在，说明理由；（ 3）证明等差数列 { a n} 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数 m≥-1，使 a1=md．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由线面垂直的定义得若 b? β．则 b⊥α时，不能得出α⊥β成立，即充分性不成立，反之若α⊥β，则 b⊥α不一定成立，即必要性不成立，故“b⊥α”是“α⊥β”的既充分也不必要条件，故选：A．根据线面垂直和面面垂直的定义和性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直和面面垂直的性质和定义是解决本题的关键．2.【答案】D【解析】解：∵；∴=．故选：D．根据对分子分母同除以 n，再求极限即可．，考查极限的概念及求法，以及极限的运算．3.【答案】B【解析】解：根据题意，对于任意 x∈R，都有 f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令 x=-3，则 f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因为 f （x）是R 上的偶函数，所以 f（3）=0，则有 f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为 6；据此分析三个命题：对于① ，函数为偶函数，则函数的一条对称轴为 y 轴，又由函数的周期为 6，对于② ，当x ，x ∈[0，3]，且x ≠x时，都有，12 1 2则函数 y=f（x）在[0，3]上为增函数，因为 f （x）是R 上的偶函数，所以函数 y=f （x ）在[-3，0]上为减函数，而 f（x）的周期为 6，所以函数 y=f （x）在[-9 ，-6]上为减函数；② 错误；对于③ ，f（3）=0，f （x）的周期为 6，所以 f （-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，函数 y=f （x）在[-9 ，9]上有四个零点；③ 错误；三个命题中只有① 是正确的；故选：B．根据题意，利用特殊值法分析可得 f（-3+6）=f（-3）+f （3），结合函数的奇偶性可得 f （3）=0，进而可得 f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为 6；据此分析三个命题，综合即可得答案．本题考查抽象函数的性质以及应用，关键是求出 f（3）的值，分析函数的周期与对称性．4.【答案】C【解析】解：以O 为原点，以 OA 为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：设圆 O 的半径为 1，则 OM=1 ，过 M作 MN ∥OB，交 x 轴于 N，则△OMN 为等腰直角三角形，∴ON=OM=，∴=+时λ +μ =1+ ．，此同理可得：=-，此时λ+μ=-1-．故选：C．根据平面向量加法的平行四边形法则求出λ+μ的最大值和最小值即可．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．5.【答案】（1，5）【解析】解：不等式|x-3|＜2，即-2＜x-3 ＜2，求得 1＜ x＜5，故答案为：（1，5）．由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式 |x-3|＜2 的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的基本性质，属于基础题．6.【答案】 2-【解析】解：由2-3=1+5i ，得，∴，则 z=2-．故答案为：2-．由已知求得轭复数的概念求得 z．，再由共本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7.【答案】【解析】解：若则=cos（ -α）=sin α=，，故答案为：．由题意利用利用诱导公式化简要求的式子，可的结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．8.【答案】1【解析】解：根据题意，向量，，若则=1×（m-2）+m（2-m）=（m-2）（1-m）=0，，有解可得 m=1 或 2；又由 m=2 时， =，则 m=1；故答案为：1．根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得若则，有=1×（m-1）+2m=3m-1=0，解可得 m 的值，即可得答案．本题考查向量数量积的坐标计键积的坐标计算公式．算，关是掌握向量数量9.【答案】33【解析】解：在等比数列{a n} 中，公比 q=2，前 n 项和为 S n，若 S5=1，则 S5==1，可得 a1=，S10===33．故答案为：33．运用求和公式，解方程可得首项，计算可得所求和．本题考查等比数列的求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10.【答案】【解析】解：由约束条件作出可行域，联立，解得A（，），化目标函数 z=2x-y 为 y=2x-z，由图可知，当直线 y=2x-z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为．故答案为：．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】【解析】解：一个圆柱的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆，那么这个圆柱的体积为：= ．故答案为：．利用已知条件，直接求解几何体的体积即可．本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能力．12.【答案】30解：当（1+ 选择 1 时 6选择 2 的项为；当（1+ 选择），（1+x ）展开式 x）6时，（1+x ）展开式选择为 C，6所以（1+）（1+x ）展开式=30；故答案为：30．分析展开式中 x 2的项的两种可能的来由，结合二项式定理求系数．本题考查了二项式定理的运用；关键是明确展开式得到x 2的两种情况．13.【答案】【解析】解：设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 A +的事件分别为 A ，B ，C ，∵这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 A +的概率分别为、、，∴P （A ）=，P （B ）= ，P （C ）= ，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得 2 个 A +的概率：P=P （AB ）+P （A C ）+P （）+P （ABC ）=++ + = ．故答案为：．设这位同学在物理、化学、政治科目考试中达 A +的事件分别为 A ，B ，C ，则 P（A ）= ，P （B ）= ，P （C ）=，这位考生至少得 2 个 A +的概率：P=P （AB）+P （A C ）+P （）+P （ABC ）．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.【答案】 m ≥-5【解析】解：∵f （x ）是定义在 [-2，2]上的奇函数， ∴f （0）=0，当 x ∈（0，2]时，f （x ）=2x-1∈（0，3]，第10 页，共 16页若对于? x1∈[-2 ，2]， x2∈[-2，2]，使得 g（x2）≥f（x1），则等价为 g（x）≥3，max∵g（x22，2]，）=x-2x+m=（x-1）+m-1，x∈[-2∴g（x ）=g（-2）=8+m，max则满足 8+m≥3 解得 m≥-5故答案为：m≥-5．求出函数 f（x）的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强．15.【答案】[-，1]【解析】解：曲线 C：y=-，是以原点为圆心，3 为半径的圆，并且 y ∈[-3 ，0]，P对于点 A （0，m），存在C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得= ，说明 A 是 PQ 的中点，Q 的纵坐标 y=2，∴m=∈[-，1]．故答案为：[-]．通过曲线方程判断曲线特征，通过= ，说明 A 是 PQ 的中点，结合 y 的范围，求出 m 的范围即可．本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．16.【答案】[，]【解析】解：化M=为 aMcosθ-asin θ-（M-12）（a+1）=0，线222可得直aMx-ay-（M-1 ）（a）与圆x +y =1有公共点，+1 =0∴，得到≤（当且仅当|a|=1时，等号成立）．故 3M 2-8M+3≤0．解得：≤M ≤∴M 的取值范围是[化 M=．，为 aMcos θ-asin] ．2θ-（M-1 ）（a+1）=0，可得直线 aMx-ay- （M-1 ）（a 2）与圆 2 2 =1有公共点，即，得到≤+1 =0 x +y，转化为关于 M 的不等式求解．本题考查了函数的几何意义的应用及基本不等式的应用，属于中档题．17.【答案】解：（ 1）∵取 AB 的中点 G ，连接PG ， ∵PA=AB= ，∴PG= ，∴；（ 2）连接 AC ， BD ，记 AC ∩BD=O ， ∵OA ， OB ， OP 两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系 O-xyz ，∵PB=AB=2 ， ∴Rt △POB ≌Rt △AOB ，∴OA=OP=2，∴A （ 2， 0， 0）， B （ 0，2， 0）， C （ -2， 0， 0）， D （ 0，-2， 0）， P （ 0， 0， 2）， E （ 0， 1，1）， F （ 0， -1， 1），∴，．设平面 AEMF 的一个法向量为，由，取 x=1，得，∵平面 ABCD 的一个法向量为，∴cos ＜＞=，∴平面 AEMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为arccos．【解析】（1）取AB 的中点 G ，连接 PG ，由已知可得 PG=，由全面积等于底面积 +侧面积求解；（2）连接 AC ，BD ，记 AC∩BD=O ，由OA ，OB，OP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系 O-xyz，由已知求得 OA=OP=2 ，再求出所用点的坐标，然后分别求出平面 AEMF 与平面 ABCD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 AEMF 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小．本题考查多面体的全面积的求法，考查利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．18.【答案】解：（1）函数f（x）=+1= sin cos -cos2 +1=-+1=sin（ x-） + ．∵f（x） =，∴sin（x-）=．又∵x∈[0， ] ，∴x- =arcsin即 x= +arcsin ．（ 2）在△ABC 中，由 2bcosA≤2c- a，可得 2sinBcosA≤2sinC- sinA，∴2sinBcosA≤ 2sin（ A+B） - sinA，∴2sinBcosA≤2（ sinAcosB+cosAsinB） - sinA， 2sinAcosB≥sinA，∴cosB≥，∴B∈（ 0， ]．∴sin（B- ）∈（- ， 0]，即 f（B） =sin（ B- ） + ，∴f（ B）∈（ 0， ]．【解析】（1）利用两个向量的数量积公式以及三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（x-）+1，由f（x）=，求得sin（x-）=，可得x-=arcsin，求得 x 结果．（2）在△ABC 中，由条件 2bcosA≤2c-a可得 2sinAcosB≥sinA，故cosB≥，B∈（0，]，由此求得 f（B）的取值范围．本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，且A（2，0）为椭圆的顶点，∴a=2，又长轴长是短轴长的两倍，∴b=1 ．∴椭圆的方程为：+y2=1 ．（ 2）证明：设 GH 的直线方程为y=k（ x-1），G（ x1，y1），H（ x2，y2），则 G′（ x1，-y1），联立方程组，消元得：（ 1+4k2222） x -8k x+4 k -4=0 ，∴x1+x2=，x1x2=，直线 G′ H 的方程为： y+y1=（x-x1），∴当 x=4 时， y=-y1+（4-x1）====0，∴直线 G'H 恒过定点（ 4， 0）．【解析】（1）根据椭圆长短轴得出 a，b 的值即可；（2）设直线 GH 的斜率为 k，求出 G′H的方程，把（4，0）代入方程验证即可．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】解：（1）当a=0时，（）=| +5|的零点为x=-；f x当 a≥-且 a≠0， f（ x）的零点为x=；当 a＜ -，f（x）无零点；（ 2）证明：当a=3 时， f（ x） =| -3x+5|，可令 g（ x） = -3x+5，任取 x1＜ x2＜ -1， g（x1）-g（ x2） = -3x1+5- +3x2-5=，由 x1＜ x2＜ -1，可得 x2-x1＞ 0， x1x2＞ 0，进而＞ 0，即 g（ x1） -g（ x2）＞ 0，可得 g（ x）在（ -∞， -1）上递减，可得 x＜ -1 时， g（ x）＞ g（ -1） =6 ，则 f（ x） =| -3x+5|=g（ x），即 f（ x）在区间（ -∞，-1）上单调递减；（ 3）对任意的正实数a，总存在x0∈[1， 2]，使得 f（ x0）≥m，即 f （ x 0） max ≥m ，当 x ＞ 0 时， f （ x ） =，则 f （ x ）在（ 0，）递减，在（， +∞）递增，可得 f （ x ） max =max{ f （1）， f （ 2） }=max{|7- a|， |6-2a|} ，由于 a ＞ 0，设 t=max{|7- a|， |6-2a|} ，可得 |7-a| ≤t ， |6-2a|≤t ，可得 |14-2a|+|6-2a| ≤3t ，即有 |14-2a|+|6-2a| ≥|14-2a-6+2a|=8，可得 t ≥ ，则 m ≤ ．【解析】讨论a=0，a ≥- 且 a ≠0，a ＜- ，解方程可得零点；（1）（2）可令g （x ）=-3x+5，运用单调性的定义，证得 g （x ）在x ＜ -1 递减，可得 g（x ）＞6，即可得到证明；（3）由题意可得 f （x ） ≥m，由绝对值的含义，化简 f （x ），得到在x ＞ 0 的单调0 max性，即有 f （x ）（），（），运用绝对值不等式的性质，可得（）的最max =max{f 1 f 2 }f x大值，即可得到 m 的范围．本题考查含绝对值函数的零点和单调性，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于难题．21.【答案】解：（ 1{ a n }n=1 2 a 1+a 2=3+9=12 2＜ 12＜）数列，时，，3不为封闭数列． ∵3 3，可得 a m， m ∈N *，∴a 1+a 2 ?{ a n } ，因此 { a n } 不是封闭数列．1+a 2≠3（ 2）数列 { a n } 满足 a n+2+a n =2a n+1 且 a 2-a 1=2， ∴数列 { a n } 为等差数列，公差为 2． a n∴ =a 1 +2（ n-1）．**又 { a n } 是“封闭数列”，得：对任意 m ，n ∈N ，必存在 p ∈N 使 a 1+2（ n-1）+a 1+2（ m-1）得 a 1=2（ p-m-n+1），故 a 1 是偶数，又由已知，，故＜，可得：＜ S 1＜ 8，可得 a 1=4 或 a 1=6 或 a 1=2，经过验证可得： a 1=4 或 a 1=6．（ 3）证明：（必要性）若存在整数 m ≥-1，使 a 1=md ，则任取等差数列的两项 a s ，a （t s ≠t ），于是 a s +a t =a 1+（ s-1） d+md+（ t-1） d=a 1+（ s+m+t-2） d=a s+m+t -1，由于 s+t ≥3，m ≥-1，∴s+t+m-1∈N * 为正整数， ∴a s+m+t -1∈{ a n } ， ∴{ a n } 是封闭数列．（充分性）任取等差数列的两项a s ， a t （ s ≠t ），若存在 a k 使 a s +a t =a k ，则 2a 1+（ s+t-2） d=a 1+（ k-1）d? a 1=（ k-s-t+1） d ，故存在 m=k-s-t+1∈Z ，使 a 1=md ，下面证明 m ≥-1．当 d=0 时，显然成立．对 d ≠0，若 m ＜ -1，则取 p=-m ≥2，对不同的两项 a 1 和 a p ，存在 a q 使 a 1+a p =a q ，即 2md+（ -m-1） d=md+（ q-1） d? qd=0，这与 q ＞ 0，d ≠0矛盾，故存在整数 m ≥-1，使 a 1=md ．【解析】（1）数列{a n } 不为封闭数列．由 n=1，2 时，a 1+a 2=3+9=12 m，可得a 1+a 2≠3，m ∈N *，可得 a 1+a 2? {a n } ，即可得出结论．（2）数列{a n } 满足 a n+2+a n =2a n+1 且 a 2-a 1=2，可得数列{a n } 为等差数列，公差为2．a n =a 1+2（n-1）．又{a n } 是“封闭数列 ”，得：对任意 m ，n ∈N * ，必存在 p ∈N *使a 1+2（n-1）+a 1+2（m-1）=a 1+2（p-1），得a 1=2（p-m-n+1），故a 1 是偶数，又由已知，，故＜，可得 a 1．（3）要证明充分必要条件的问题，本题需要从两个方面来证明，一是证明充分性，二是证明必要性，证明时注意所取得数列的项来验证时，项要具有一般性．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．第16 页，共 16页。

上海市浦东新区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试(含详细解答)

上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一 . 填空题（本大题共 12 题， 1-6 每题 4 分， 7-12 每题 5 分，共 54 分）1. lim2n 1nn 12. 不等式xx 0 的解集为13. 已知 { a n } 是等比数列，它的前 n 项和为 S n ，且 a 3 4， a 48，则 S 54. 已知 f 1( x) 是函数 f ( x) log 2 ( x 1) 的反函数，则 f 1 (2)5. ( x1)9二项睁开式中的常数项为x6. 椭圆x 2cos （为参数）的右焦点坐标为y3sinx 2 y 47. 2x y3的目标函数f3x 2 y 的最大值为知足拘束条件xy 08. 函数 f ( x) cos 2 x3sin2x ， x R 的单一递加区间为29. 已知抛物线型拱桥的极点距水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面降落1 米后，水面的宽为米10. 一个四周体的极点在空间直角坐标系O xyz 中的坐标分别是 (0,0,0)、、、，(1,0,1) (0,1,1) (1,1,0)则该四周体的体积为11. 已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且 f ( x) 在 [0, ) 上是增函数，假如关于随意x [1,2] ， f (ax 1)f (x 3) 恒建立，则实数 a 的取值范围是12. 已知函数 f (x)x 2 5x 7 ，若关于随意的正整数n ，在区间 [1,n5] 上存在 m 1个n实数 a 0 、 a 1 、 a 2 、、 a m ，使得 f (a 0 )f (a 1 ) f (a 2 )f ( a m ) 建立，则 m 的最大值为二 .选择题（本大题共 4 题，每题5 分，共20 分）13. 已知方程x 2px10 的两虚根为 x 1 、x 2 ，若 | x 1x 2 | 1 ，则实数p 的值为（）A.3B.5C.3，5D. 3 ，514.在复数运算中以下三个式子是正确的：（1 ）| z1z2| | z1|| z2 |；（2）| z1z2 | | z1 | | z2 |；（3）( z1z2 )z3 z1 ( z2 z3 ) ，相应的在向量运算中，以下式子：（1）| a b | | a || b | ；（2）| a b || a | | b | ；（3） ( a b) c a (b c) ，正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 315.唐朝诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上涨高望，不到蓬莱不可仙。

2018年4月最新优质市级模拟试卷快递：上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试题(解析版)

1．C【解析】由函数()()(0)f x sin x ωϕωϕπ=+><，的图象可知：T π=， 2ω=122f ππϕ⎛⎫==- ⎪⎝⎭故选C . 2．A3．B【解析】22110a b +≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”化为12210a b a b -=，即1212a ab b -=- 直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”可推出：1212a a b b -=-， 1212c cb b -≠-22110a b ∴+≠， 22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1111:0l a x b y c ++=与2222:0l a x b y c ++=平行”的必要不充分条件故选B . 4．D点睛：本题以长方体为载体，考查了不等式的运用，根据题目意思给出三边的数量关系，利用基本不等式代入消元，将三元变为二元，二元变为一元，从而求出变量范围，结合问题求出角的最大值. 5．10x =【解析】函数1y lgx =-单调递增，在()0+∞，只有一个零点10lgx ∴-=10x =.6．12【解析】221414n n n limlimn n→∞→∞=++ 10n limn→∞=2211424n limn→∞∴==+【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；学@科网(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 8．12【解析】掷一颗均匀的骰子，则掷的点数只可能是123456，，，，，其中的一种，每种结果等可能出现，属于古典概率记“出现奇数点”为事件A ，则A 包含的结果有135，，共3种结果，由古典概率公式可得()3162P A == 9．3；【解析】画出可行域,如下图阴影部分,其中()()1,1,1,0,A B 令0z = ，则20x y +=,为经过坐标原点得到直线,将此直线向右上方平移,当经过点()1,1A 时, 2z x y =+ 有最大值3.10．2【解析】设z a bi =+1z =221a b ∴+=z i -===当1b =时， 2max z i -=11．3【解析】由图可得： 1r h ==，21133V r h ππ∴==⨯⨯=13．247±【解析】由已知有()3sin 5x y x ⎡⎤--=⎣⎦ 3sin 5y =-，y ∴为第三或第四象限的角当y 为第三象限的角时，3tan 4y =，则22tan 24tan 217y y tan y ==-当y 为第四象限的角时，3tan 4y =-，则22tan 24tan 217y y tan y ==--24tan 27y ∴=±14．415【解析】212124cos C sin C =-=-， 0C π<<sin C ∴=2a = ， 2sinA sinC =由正弦定理sin sin a C A C =可得： sin 24sin a Cc a A=== 212214cos C cos =-=- ， 0C π<<cosC ∴=由余弦定理可知2222cos c a b ab C =+-可得：2120b -=解得b =1sin 2ABC S ab C == 点睛：本题主要考查的知识点是正弦定理和余弦定理。

2018届青浦区高考数学二模答案

参考答案1、{}15x x <<或()1,52、512i - 3、13 4、1 5、33 6、12-7、4π 8、30 9、151192 10、5m ≥- 11、1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12、⎣⎦13-16、ADBC17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8解：（1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G ，连接PA AB ==，PG ∴=，21=482S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ，记ACBD O =，因为OA ，OB ，OP 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为PB AB ==Rt Rt POB AOB ≅△△．所以2OA OP ==．所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -．所以(2,1,1)AE =-，(2,1,1)AF =--．设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =，所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20.x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =．因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =设m 与n 的夹角为ϕ，cos 1m n m nϕ⋅===⨯⋅ϕ⇒=所以平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）21cos ()cos cos 112222x x x xf x x +=-+=-+111i n c o s s i n ()2262x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ=∴-=∈又 ∴33arcsin arcsin 6565x x ππ-=⇒=+2sin cos 2sin()B A AB A ⇒≤+2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B AB A ⇒≤+2sin cos cos (0,]26A B A B B π⇒≥⇒≥⇒∈ ∴111sin()(,0],()sin()()(0,]62622B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为椭圆2222C 1(0)x y a b a b+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =又长轴长是短轴长的两倍，即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2214x y +=；（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H() 则11,x y '-G (）联立方程组222222(1)(14)844044y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得由韦达定理可得22121222844,,1414k k x x x x k k -+==++ 直线211121(),y y y y x x x x ++=--，G H ： 211212211121214()4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+---当时， 222212122121844[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=-- 2222214088[8]1414==0k k k k k x x ---++-所以直线则G H '过定点（4,0）20.（本题满分16分）共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）① 当0a =时，函数的零点为25x =-； ② 当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a =； ③ 当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x=-，令2()3+5g x x x =-任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭ 因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩即()f x在区间50,2a ⎛⎝⎭上单调递减，在区间52a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．21.（本题满分18分）共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=，233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以{}n a 不是封闭数列；（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ，若{}n a 是“封闭数列”，所以对任意,s t ∈*N ，必存在p ∈*N ，使得()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数，又对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818n S S S <+++<，所以11111818S <<，故118811a <<，故1a 可取的值为2,4,6 经检验得：41=a 或61=a ；（3）证明：（必要性）任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ，使s t k a a a +=，则1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =下面证明1m ≥- ①当0d =时，显然成立②当0d ≠时，若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=，即2(1)(1)0m d m d m d q d q d +--=+-⇒=，这与0,0q d >≠矛盾，故存在整数1m ≥-，使1a md = （充分性）若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=，由于3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数，即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。

上海市浦东新区2018届高三下学期质量调研(二模)数学试(含详细解答)

上海市浦东新区2018届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 21lim1n n n →+∞+=-2. 不等式01xx <-的解集为3. 已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =4. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=5. 91()x x+二项展开式中的常数项为6. 椭圆2cos 3sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点坐标为7. 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数32f x y =+的最大值为8. 函数23()cos sin 22f x x x =+，x ∈R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,0)，则该四面体的体积为11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是12. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n+上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知方程210x px -+=的两虚根为1x 、2x ，若12||1x x -=，则实数p 的值为（） A. 3± B. 5± C. 3，5 D. 3±，5±14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1）1212||||||z z z z +≤+；（2）1212||||||z z z z ⋅=⋅；（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，相应的在向量运算中，下列式子：（1）||||||a b a b +≤+；（2）||||||a b a b ⋅=⋅；（3）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，正确的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。

上海市青浦区2018届高三4月质量调研二模数学

（A） 0 个
（B） 1个
（ C） 2 个
（D）3 个
16．如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形
两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星
. 设正八角星的中心为 O ，并且
. 去掉
OA e1 ,OB e2 ．若将点 O 到正八角星 16个顶点的向量都写成
e1 e2，、 R 的形式，则
的取值范围为
B
e2
e1 A
O
（ C） 1 2,1 2
（ D） 1 2, 2
· 2·
（第 16 题图）
”的（
）．
（ A ）充分而不必要条件（ C）充要条件
（ B）必要而不充分条件（ D）既不充分又不必要条件
sin n
n 3sin n
14．若已知极限 lim
0，则 lim
的值为（
）．
n
n
n sin n 2n
（A） 3
3
（B）
2
（ C） 1
1
（D）
2
15．已知函数 f (x) 是 R 上的偶函数，对于任意 x R 都有 f ( x 6) f ( x) f (3) 成立，当
9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同
学在物理、化学、政治科目考试中达
A 的概率分别为
73 5
、、，
8 4 12
俯视图
这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得
2 个 A 的概率是
左视图（第 7 题图）
．
10．已知 f ( x) 是定义在 [ 2,2] 上的奇函数，当 x (0,2] 时， f (x) 2x 1 ，函数

最新-上海市长宁、青浦、宝山、嘉定2018届高三4月(四

2018年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥ {}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =- .故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为1i 1z z -=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a -=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C 3(1)32lim 42(1)(1)2(1)22n n n n n n n n n n n n n n n→++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥，所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】3【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以3sin 2θ=，tan 3θ=-，又22tan tan231tan θθθ==-，故答案为3. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞- ，故答案为(,2][0,2]-∞- .8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】24y x = 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将51,52515x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入 sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2255(1)2(1)155t t -+--=，解得5t =或52-,将5t =、52-代入①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos 2(sin )24y θθθ=+=+-≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1). 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5 【试题分析】1(2)nx x +的展开式中第m 项为的系数11C 2m n m m n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5. 11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】6235+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以22BD =,2DO =,所以222PO PD DO =-=,23234PAD S =⨯=△, 122222PDB S =⨯⨯=△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故342224623105E ξ⨯+⨯+⨯+==. 第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】226n n + 【试题分析】因为212++3n a a a n n ++=…①，所以14a =，当2n ≥时，2121+(1)+3(1)n a a a n n -++=--…②，①-②得，22n a n =+，所以2(22)n a n =+,116a =也适合此式，所以2(22)n a n =+，2(22)4(1)11n a n n n n +==+++，所以数列{}1n a n +是首项为182a =，公差为4的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+… (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +. 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】642+ 【试题分析】如图，设000(,)a M x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+ ，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a a MN a x x =-- 003|2|22a a a x x -⋅≤3=(2)2a -，当且仅当002a a x x =，即02[1,2]x =∈时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(2)12a -≤，642a +≤,所以a 的最大值为642+，故答案为642+.第14题图 cna2 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥ 且||||1a b == ，那么||2a b += ，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅= ，即||2c o s c α= ，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 的最大值为2.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像.【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.第18题图 cna3 三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ，由（1），(0,2,0)CB = 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n = ，则有 10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ，所以)2,2,1(-=n ， …………………………………………10分设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅ ， …………………11分由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）π()3sin cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分（2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ），因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅= ，所以，3=ac ， …………………………11分又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=a ． …………………………………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x xa -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ），令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ，所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分因为PA AB = ，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k . …………………………………………9分所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以212121211||||3()422ABF PBF PAF S S S PF x x x x x x ∆∆=-=⋅-=⋅⋅+-△ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故222184181816343163ABF k t S k t t t -===+++△ 183342316=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分（2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ，则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ，所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立．综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

高考数学试题-2018年上海市杨浦、静安、青浦、宝山四区高三年级联合模拟最新

2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟第二学期高三年级教学质量检测数学试卷（满分150分，答题时间120分钟） 2018.4考生注意：1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分．试题卷上题号后注明[文科]的试题，表示文科生做，注明[理科]的试题表示理科生做，未注明的试题所有考生都要做．答题纸另页，正反面． 2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．一. 填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组21320x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为 .2．函数sin cos y x x = .3．已知=U R ，集合23|02x M x x -⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R C M = . 4．若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .5．若11{2,1,0}12x∈--，则x = . 6．[文科] 若α是方程2x 4x 50-+=在复数范围内的根，则||α= .[理科]设集合{}C x x x A ∈=-=,01|4，z 23i =-，若A x ∈，则z x -的最大值是 .7. [文科]非负实数x 、y 满足⎩⎨⎧≤-+≤-+03042y x y x ，则3x y +的最大值为 .[理科]在极坐标系中，圆θθρsin 3cos 4+＝的半径长是 .8．[文科]有8本互不相同的书，其中数学书3本、外文书2本、其他书3本，若将这些书排成一排放在书架上，则数学书排在一起，外文书也排在一起的概率是 .[理科] 有一种游戏规则如下：口袋里有5个红球和5个黄球，一次摸出5个，若颜色相同则得100分，若4个球颜色相同，另一个不同，则得50分，其他情况不得分．小张摸一次得分的期望是分.9．程序框图如图所示，其输出的结果是 . 10．若二项式7()+x a 展开式中，5x 项的系数是7，则)(lim 242n n a a a +++∞→ = .11．[文科] 一个用立方块搭成的立体图形，小张从前面看和从上面看到的图形都是同一图形，如图，那么，搭成这样一个立体图形最少需要个小立方块．[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 12．[文科]如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要平方米的帆布.[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d ，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 .13．[文科] 以抛物线x y 82=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以x y 3±=为渐近线的双曲线方程是 .[理科]已知抛物线y x 32=上的两点A 、B 的横坐标恰是方程02=++q px x （,p q 是实数）的两个实根，则直线AB 的方程是 .14．[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABC S ∆= .[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC .二．选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15.“直线l 垂直于ABC ∆的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（）.第9题第12题[文科]第11题(A)充要条件 (B)充分非必要条件(C)必要非充分条件 (D)即非充分也非必要条件16.下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”； ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”．其中类比结论正确的个数是（）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 317. [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ 18．[文科] 已知函数2a x f (x)x+=，(a 0)>，x (0,b)∈，则下列判断正确的是（）.(A)当b >时，f (x)的最小值为；(B)当0b <≤时，f (x)的最小值为(C)当0b <≤时，f (x)的最小值为2a b b+；BA 1C 1D(D)对任意的b 0> ，f (x)的最小值均为[理科] 设函数2()()1||xf x x R x =∈+，区间[,]M a b =，()a b <，集合{|(),}N y y f x x M ==∈，则使M N =成立的实数对(),a b 有（）.(A)3对； (B)5对； (C)1对； (D)无数对．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)[文科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，四棱柱的体积为1AD 与PB 所成的角大小.（结果用反三角函数值表示）[理科]已知1111ABCD A BC D -是底面为菱形的直四棱柱，P 是棱1DD 的中点，060BAD ∠=，底面边长为2，若PB 与平面11ADD A 成045角，求点1A 到平面ACP 的距离.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．把水放在温度为0θ℃的空气中冷却，若水原来的温度是1θ℃10()θθ>，t 分钟后物体温度θ℃可由公式010()kt e θθθθ-=+-求得，其中，k 是由不同盛水的容器所确定的正常量．（1）若室温为20℃，往某容器中倒入98℃的热水，一小时后测得水温为71.2℃，求k 的值；（精确到0.001）（2）若一保温杯的0.01k =，往该保温杯中倒入100℃的开水，经过2.5小时测得水温为40℃，求此时的室内温度（假设室内恒温，精确到0.1℃）．21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．[文科]已知平面向量)1),(sin(x a -=π，)cos ,3(x b =，函数b a x f ⋅=)(．（1）写出函数)(x f 的单调递减区间；第19题[文、理科]（2）设1)6()(+-=πx f x g ，求直线2=y 与)(x g y =在闭区间],0[π上的图像的所有交点坐标.[理科] 已知平面向量(sin(2),1)=- a x π，b =，函数a x f ⋅=)(．（1）写出函数)(x f 的单调递减区间；（2）设nnnn g(x)lim ,(0x 2)x →+∞π=<<ππ+，求函数()=y f x 与)(x g y =图像的所有交点坐标. 22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．已知12,F F 为椭圆2222:1x y C a b+=,()0a b >>的左右焦点，O 是坐标原点，过2F 作垂直于x 轴的直线2MF 交椭圆于M ，设2MF d = .（1）证明：,,d b a 成等比数列；(2)若M 的坐标为)，求椭圆C 的方程；（3）[文科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若0⋅=OA OB ，求直线l 的方程．[理科]在(2)的椭圆中，过1F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若椭圆C 上存在点P ，使得OP OA OB =+，求直线l 的方程．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()=y f x 使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()=y f x 是数列{}n a 的“保三角形函数”，(n N*)∈.(1)已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若(),(1)x f x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；(2)已知数列{}n c 的首项为2018，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足1438040+-=n n S S ，证明{}n c 是“三角形”数列；(3) [文科] 若()lg =g x x 是(2)中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项．[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数2()2h x x x =-+，[1,]∈x A ，和数列1，1+d ，12+d ，（0>d ）提出一个正确的命题，并说明理由.2018年四区(杨浦、静安、青浦、宝山)联合高考模拟数学试卷参考答案2018.4一、填空题1.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-023112 2.π=T 3.]23,2[- 4.43πα= 5. 0 6. 文理7. 文9 理2.5 8. 文128 理 7759. 127 10.12 11. 文5 理15158 12. 文 15π13. 文1322=-y x 理03=++q y px2(40)∆=->p q14. 文65 理 34二、选择题 15.B 16.C 17. 文 C 理C 18.文 A 理A 三、解答题19．[文科]解：由体积为202sin 60⋅=h h=4… 3分取AD 的中点为E ，联结PE ，PB ，则11⊥BE ADD A ， ……5分1//AD PE ，∠EPB 为直线PB 与直线1AD 所成的角． ……8分经计算=BE=PB …… 10分sin ∠=EPB ，即异面直线1AD 与PB所成的角为arcsinarctan ）．… 12分 [理科] 解：取AD 的中点为E ，联结BE ，PB ，则11⊥BE ADD A ，∠EPB 为PB 与平面11ADD A 所成的角． …… 2分经计算=BE=PB=PD1=DD…… 4分以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OO 为z 轴建立空间直角坐标系，… 5分A，(C，(0,1-P ，= AC，,=PA ， …… 7分设平面ACP 的法向量(,,)=n x y z ，由00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ AC n PA n得= n ， … 10分而1= A A，所以1||⋅== A A n d n …… 12分20．（1）由题意，6071.220(9820)0.007k e k -=+-⇒= …5分（2）01(1)kt kt e e θθθ--=-+，当0θ、1θ越大时，水温保持时间越长．… 7分0.011500.0115000040(1)10022.8-⨯-⨯=-+⇒=e e C θθ …… 13分答:此时的室内温度为022.8C ． …………………… 14分 21. [文科] 解：（1）)6sin(2cos )sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…4分单调递减区间)](342,32[Z k k k ∈++ππππ； …… 6分（2）1sin 21)6()(+=+-=x x f x g π，…………………………… 8分解2)(=x g ，即21sin =x ，],0[π∈x 得65,6ππ=x ，…………12分所以交点坐标为：)2,65(),2,6(ππ． ……14分 [理科]解：(1))62sin(22cos )2sin(3)(ππ+=+-=x x x x f ，…2分单调递减区间为2[k ,k ](k Z)63πππ+π+∈； ……6分（2）1,(0x )1g(x),(x )20,(x 2)<<π⎧⎪⎪==π⎨⎪π<<π⎪⎩， …… 8分当0x <<π时，解2sin(2x )16π+=，得x 3π=， ……10分当x =π时，解12sin(2x )62π+=，无解， ……11分当x 2π<<π时，解2sin(2x )06π+=，得17x 12π=， ……13分所以交点坐标为：(,1)3π，17(,0)12π． ……14分22.(1)证明：由条件知M 点的坐标为()0,c y ，其中0=y d ，222221,∴+===c d b d b a b a， …… 3分 d bb a∴=，即,,d b a 成等比数列． …… 4分 (2)由条件知1c d =，22212b a a b ⎧=⋅∴⎨=+⎩ …… 6分2a b =⎧⎪∴⎨=⎪⎩椭圆方程为22142x y += …… 8分（3）[文科]设点A ),(11y x 、B ),(22y x ，当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，所以0⋅≠OA OB ． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ．…………… 11分所以21222122x x ,12k 4k 4x x 12k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪⎩+…………………………………………… 13分由0⋅=OA OB 得1212x x y y 0⋅+⋅=222212121212x x k (x (1k )x x (x x )2k 0⋅+=+⋅++=代入得2222222(1k )(4k 4)2k 012k 12k+--+=++，解得k = 所以直线l的方程为=y x ． …… 16分[理科]设点P （x,y ），A ),(11y x 、B ),(22y x ，由 OP OA OB =+ ，得1212x x x y y y =+⎧⎨=+⎩当x l ⊥轴时，A )1,2(--、B )1,2(-，此时P )0,22(-不在椭圆上． …… 9分设直线l 的方程为)2(+=x k y ，代入椭圆方程得04424)21(2222=-+++k x k x k ． …… 11分所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=++=+=+-=+=222212122212122)222124()22(,2124k kk k k x x k y y y k k x x x … 13分把点P （x,y ）代入椭圆方程得1)21(28)21(432222224=+++k k k k ，解得212=k ，所以直线l的方程为=y x ． …… 16分 23． (1)显然1n a n =+，12n n n a a a +++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列． …… 2分因为k>1，显然有12()()()n n n f a f a f a ++<<<⋅⋅⋅，由12()()()n n n f a f a f a +++>得12n n n k k k +++>，解得k <所以当∈k 时，()x f x k =是数列{}n a 的“保三角形函数”. …… 5分 (2) 由1438040+-=n n S S 得1438040--=n n S S ,两式相减得1430+-=n n c c所以，1320104-⎛⎫= ⎪⎝⎭n n c ，经检验，此通项公式满足1438040+-=n n S S ……7分显然12++>>n n n c c c ，因为11123321320102010201044164+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⋅> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n c c c ，所以{}n c 是“三角形”数列． …… 10分(3) [文科] 因为n g(c )是单调递减函数，所以，由12lg lg lg --+>n n n c c c 得333lg 2010(2)lg lg 2010(1)lg lg 2010(3)lg 444+-++->+-n n n ……14分化简得4lg 2010lg 3>n ，解得26.4<n ，即数列{}n b 最多有26项． ……18分(3) [理科] 探究过程：函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d (0)d >是三角形数列，所以1112d d ++>+，即01d <<．②数列中的各项必须在定义域内，即12+≤d A .③(1),(1),(12)++h h d h d 是三角形数列.由于2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是单调递减函数，所以(1)(12)(1)h d h d h +++>，解得0d <<．评分建议原则：从考生解答的整体结构上判断考生的思维水平、把握考生的得分层次．对于非完备性的探索包括指向有误的探索，应坚持完成评卷．1．没有写出命题，但有比较完整的探究过程，得分最高不超过4分．2．写出“2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’” 的必要条件之一或者充分条件之一（当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’），并能适当说明理由，得分最高不超过6分．3．能正确指出“当……时，2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的‘保三角形函数’”，并能适当说明理由，得分最高不超过4分．4．考生解答出现上述2、3两条交叉情况的，以较高的得分赋分．第一层次 ………………命题4分，证明4分.示例1： 2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的充要条件是12,05+≤<<d A d ．证明：必要性：因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <，且12+≤d A .充分性：当12,0+≤<<d A d 时，22(1)1,(1)1,(12)14h h d d h d d =+=-+=-，有(1)(1)(12)0h h d h d >+>+>，且22(1)(12)(1)(14)1(1)h d h d d d h +++=-+->=，故函数2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d > 的“保三角形函数”．综上，充要条件是12,05+≤<<d A d . 第二层次 …………… 命题3分，证明3分.示例2：2()2h x x x =-+，[1,]x A ∈是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”的必要条件是550<<d . 解：在A d ≤+21条件下，因为当x=1时，h(x)的最大值为1，则由1112(1)(12)1++>+⎧⎨+++>⎩d d h d h d得5d <. 第三层次 …………… 命题2分，证明2分.示例3：当12d A +>时，显然()y h x =不是数列1，1+d ，1+2d (0)d >的“保三角形函数”.因为，此时(12)h d +不存在.。

上海市青浦区高三下学期4月第二次学业质量调研测(二模)数学试题

青浦区高三年级第二次学业质量调研测试数学学科试卷〔时间120分钟，总分值150分〕 Q.04一、填空题〔本大题总分值54分〕本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否那么一律得零分. 1．集合(2,3)A =-，[]1,4B =-，那么集合AB =____________．2．i 为虚数，复数z =那么z z ⋅=____________．3．三阶行列式12414139x-的值为0，那么=x ____________．4．△ABC 中，30,45,A B BC ===AC =____________．5．函数()331xx a f x =++最小值为53，那么a =____________． 6．92)21(xx -的展开式中9x 系数是____________． 7．假设从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，那么两张牌都是K 的概率为____________．〔结果用最简分数表示〕．8．正三角形ABC 的边长为1，点D 在边BC 上，且13BD =，那么AB AD =____________．9．中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F ，直线1y x =-与该双曲线交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，那么此双曲线的方程是____________． 10．函数()y f x =是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，那么方程()0f x =在区间)6,0(内零点的个数的最小值是____________个．11．直线1l y x =-+：与x 轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121,,,n P P P -，过这些分点分别作x 轴的垂线，与直线l 的交点依次为121,,,n Q Q Q -，从而得到1n -个直角三角形△11QOP ，△212Q PP，，△112n n n Q P P ---，假设这些三角形的面积之和为n S ，那么lim n n S →∞=____________． 12．函数()2,24161(),22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，假设对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()12f x f x =，那么实数a 的取值范围为____________．二、选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分.13．,a b ∈R ，那么“0a >且0b >〞是“a b +>………………………………〔〕．〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充分必要条件〔D 〕既不充分也不必要条件14．以下点不在直线1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是……………………………………〔〕．〔A 〕(1,2)-〔B 〕(3,2)-〔C 〕(2,1)-〔D 〕(3,2)-15．点P 在直线1l y x =-：上，假设存在过P 的直线交抛物线2y x =于A 、B 两点，且PA AB =，那么称点P 为“友善点〞，那么以下结论中正确的选项是…………………………………〔〕．〔A 〕直线上的所有点都是“友善点〞〔B 〕直线上仅有有限个点是“友善点〞〔C 〕直线上的所有点都不是“友善点〞〔D 〕直线上有无穷多个点〔不是所有的点〕是“友善点〞 16．函数()y f x =的定义域为R ，给出以下两个结论：① 假设函数()y f x =的图像是轴对称图形，那么函数(())y f f x =的图像是轴对称图形； ② 假设函数()y f x =的图像是中心对称图形，那么函数(())y f f x =的图像是中心对称图形．它们的成立情况是…………………………………………………………………………〔〕．〔A 〕①成立，②不成立〔B 〕①不成立，②成立〔C 〕①②均不成立〔D 〕①②均成立三．解答题〔本大题总分值76分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.如图，圆锥的体积为π，底面半径OA 与OB 的夹角2π3AOB ∠=，且3OA =P 是母线BS 的中点．〔1〕求圆锥的外表积；〔2〕求异面直线SO 与PA 所成角的大小〔结果用反三角函数表示〕．18．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.函数2()cos 222x x xf x =+. 〔1〕求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；〔2〕假设方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.19.(此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率〔[0.5,1]k ∈〕. A 公司生产t 万件防护服还需投入本钱(20950)x t ++(万元)．〔1〕将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；〔2〕对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 到达多少时，A 公司才能不产生亏损？〔精确到0.01〕．20.(此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.A 、B 分别是椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>的左右顶点，O 为坐标原点，6AB =，点52,3⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．过点()0,3P -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕假设点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；〔3〕当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．21.(此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.数列{}n a 为等差数列，且25a =，823a =．数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，12b =，且对任意正整数,s t 都有s t s t b b b +=⋅成立．〔1〕求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；〔2〕求证：数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中；〔3〕是否存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项？假设存在，请写出一个满足条件的()f x 的解析式和对应的实数a 的值；假设不存在，说明理由．青浦区第二学期高三年级第二次学业质量调研测试数学一.填空题〔本大题总分值54分〕本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．[)1,3-；2．13； 3．2；4． 23；5．169；6．221-； 7．1169； 8．56； 9. 15222=-y x ；10. 7；11．14；12. [)2,6-. 二.选择题〔本大题总分值20分〕本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分. 13. D ；14. B ； 15．A ；16. C .三．解答题〔本大题总分值74分〕本大题共有5题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(此题总分值14分〕此题共2小题，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题8分.解：〔1〕13,1,23V Sh S SO SB π==∴==，，()2π2π3πS =+⋅=表〔2〕取BO 中点H ，连接,PH AH SO ，与PA 所成角为APH ∠(或其补角)，122AH PH ==，an t APH ∠=SO 与PA 所成角的大小为18．〔此题总分值14分〕第〔1〕小题总分值6分，第〔2〕小题总分值8分.解:〔1〕2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π==+=++，令4U x π=+，[]0,x π∈，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，sin 2U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即sin 42x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 4x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为⎡⎤⎣⎦.〔2〕()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ω2sin()4x πω∴+=即sin(4x πω+[]0,x π∈，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 19.(此题总分值14分〕此题共2小题，第〔1〕小题6分，第〔2〕小题8分. 解：〔1〕由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈. 〔2〕对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，那么36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，那么[]2,12m ∈，那么()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max821281220116123h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈. 所以当复工率k 到达0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损．20.(此题总分值16分〕此题共3小题，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题6分.解：〔1〕因为6AB =，所以3a =；又点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在图像C 上即()22252319b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，所以5b =，所以椭圆C 的方程为22195x y +=；〔2〕由〔1〕可得()3,0B①当直线l 的斜率不存在时，25MN =MN 为直径的圆交x 轴于(5,0) 点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，符合，此时90θ=︒，②当直线l 的斜率存在时，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由223195y kx x y +=-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=， 22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-〔i 〕 ∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，那么0QM QN ⋅>，又12212254593659k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180QM QN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>解得1k <或72k >〔ii 〕由〔i 〕、〔ii 〕得实数k 的范围是213k <<或72k >，由①、②得直线l 的倾斜角的范围是2π72(tan,)(tan ,πtan )3423arc arc arc θ∈-；〔3〕设直线3l y kx =-：，又直线l 的倾斜角θ为锐角，由〔2〕可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++. 令0x =，解得113+3y y x =，所以点S 为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由〔2〕得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++ ()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++10142,291323k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯+∈> ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭综上所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.21.(此题总分值18分〕此题共3小题，第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分，第〔3〕小题8分.解：〔1〕设数列{}n a 公差为d ，那么82382a a d -==-，122a a d =-=，所以31n a n =-．设数列{}nb 公比为q ，由条件得1112(2)(2)s t s t q q q +---=⋅，解得2q =，从而2n n b =．〔2〕令k n b a =得231kn =-，所以213k n +=，取21()k m m =+∈*N ，那么2121212(31)1k m m ++=+=⨯++1112(3331)1m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯++1112(333)3m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯+所以21k +能够被3整除，所以此时n ∈*N ，即21()k m m =+∈*N 时，k b 是数列{}n a 中的项，从而数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中．〔3〕设2()(0)f x rx sx t r =++≠，假设,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项，设2()n a n =∈*N ，那么1()2n f a +=，2(())2n f f a +=，3((()))2n f f f a +=，所以11+12+2+23422422422n n n n n n n n n r s t r s t r s t ++++⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩于是11+1234223422n n n n n n r s r s +++⎧⋅+⋅=⎨⋅+⋅=⎩于是34=0nr ⋅，所以0r =，矛盾．所以不存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项．。

2018-2019学年青浦二模-评分标准

青浦区2018学年高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案及评分标准 2019.04一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1~6每题4分，7~12每题5分．1．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，；23．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 4．20-； 5．4 ；6．0.6； 7．sin12π+；8．12；9．{}0；10；11．()0,2；12．23．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分．13．B ；14．C ；15．B ；16．A ．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分．解：（1）121111111(2)3323A ABC ABC V S OO r r OO r OO -∆=⋅=⨯⋅⋅=⋅22111ππV S OO r OO r OO =⋅=⋅=⋅圆柱，11=3πA ABC V V -∴圆柱．（2）连接MO ，11//2MO BO ，CMO ∠是异面直线CM 与1BO 所成的角，在CMO ∆中，2MO r =，OC r =，2MC r =，cos arccos 33CMO CMO ∠=⇒∠= 异面直线CM 与1BO所成角的大小为arccos3．解2：（2）连接CO ，因为OC ，OA ，1OO 两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系O xyz -．因为1OC OA OO ==，设OC r =，所以(,0,0)C r ，(0,,0)A r ，(0,,0)B r -，1(0,0,)O r ，所以(0,,)22r r M ．所以(,,)22r rCM r =-，1(0,,)BO r r =，设异面直线CM 与1BO 所成角为α，向量CM 与1BO 所成角为θ．211cos cos =6CM BO CM BO αθ⋅===⋅α⇒=异面直线CM 与1BO 所成角的大小为． 18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．解：（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．在Rt ABD △中，3tan tan 4BD BAD BAN AD ∠=∠==，所以43AD BD =．在Rt BCD △中，tan tan 1BDBCD BCN CD∠=∠==，所以CD BD =．则41133AC AD CD BDBD BD =-=-==，所以3BD =，则3CD =，4AD =．由勾股定理得，5AB ==(km)．或者用解斜三角形方法得到。

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上海市青浦区2018届高三4月质量调研（二模）数学试题
一、填空题
1.不等式|3|2x -<的解集为__________________．
2.若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _____________．
3.若1sin 3α=，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭_______________． 4．已知两个不同向量(1,)OA m = ，(1,2)OB m =- ，
若O A A B ⊥ ，则实数m =____________． 5.在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．
6.若,x y 满足2,10,20,x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩
则2z x y =-的最小值为____________．
7.如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为__________．
8.621(1)(1)x x
++展开式中2x 的系数为______________． 9.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为
78、34、512，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得2个A +的概率是．
10.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数
2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，
总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .
11.
已知曲线C y =：2l y =：，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上
的点Q ，使得0AP AQ += ，则m 取值范围是．
12.已知22s 1(,,0)cos 1
a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ，则M 的取值范围是．二、选择题
13.设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 14.若已知极限sin lim 0n n n
→∞=，则3sin lim sin 2n n n n n →∞--的值为（） A.3- B.32- C.1- D.12
- 15.已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212
()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题： ①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；
②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数；
③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点．
问：以上命题中正确的个数有（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
16.如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形.去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星.设正八角星的中心为，并且 12,OA e OB e == ．若将点到正八角星16个顶点的向量都写成12e e λμλμ+∈R ，、的形式，则λμ+的取值范围为（）
O O
A.2⎡⎤-⎣⎦
B.⎡-+⎣
C.1⎡-⎣
D.12⎡⎤-⎣⎦
三、解答题
17.如图，在正四棱锥P ABCD -
中，PA AB ==E ，F 分别为PB ，PD 的中点．
（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；
（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）．
18.已知向量(cos ,1)2x m =- ，2,cos )22
x x n = ，设函数()1f x m n =⋅+ ．（1）若π
[0,]2x ∈，11()10
f x =，求x 的值；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤求()f B 的取值范围．
A
19.已知椭圆22
22C 1(0)x y a b a b
+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长的两倍．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点()4,0．
20.设函数()2()5f x ax a x
=-+∈R ．（1）求函数的零点；
（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；
（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得
0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．
21.给定数列{}n a ，若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列{}n a 的通项公式为3n
n a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n a ，使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ，且12111111818
n S S S <+++< ，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-，使1a md =．
【参考答案】 1.{}15x x <<或()1,5 2、51i 2- 3.13 4.1 5.33 6.12
- 7.π4 8.30 9.151192 10.5m ≥- 11.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
12.⎣⎦
13-16.ADBC
17.（1
）8+ ；（2
）. 18.（1）π3arcsin 65x =+；（2）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
19.（1）2
214
x y +=；（2）过定点()4,0 20.（1）①0a =时，零点为25
x =-； ②258a ≥-
且0a ≠
时，零点为x =； ③258
a <-时，无零点；（2）证明略；（3）83
m ≤. 21.（1）不是；（2）14a =或16a =；（3）证明略.。

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