15.2消元——解二元一次方程组
数学：消元--二元一次方程组的解法说课稿课件(人教版七年级下)
•
通过前面的铺垫和老师的启发，让学生自然 而然地想到方法三。老师进一步提炼学生的思维 成果，渗透“消元“思想。 • 生：噢，我知道了，由方程（1）可知y 就是 3x,所以方程（2）中的y 可看作3x，也就是说 x+3x=200,那麽 x=50. • 师：真有悟性,xx同学把（1）代入（2），得 到x+3x=200,原来两个未知数x,y,现在化成了一个 未知数x，而且我们不难发现这一方程也正是方法 一所列的方程，这个过程我们称之为“消元”， “消”即减少，“元”即未知数，所以“消元” 也就是减少未知数的个数。
2、代入法解二元一次方程组的一般步骤： • ①变形（选择其中一个方程，把它变形为用一个未知 数的代数式表示另一个未知数）； ②代入（把变形好的方程代入到另一个方程，即可消 元）； ③求解（解一元一次方程，得一个未知数的值）； ④回代（把求得的未知数代入到变形的方程，求出另 一个未知数的值）； ⑤写解（用 x=a 的形式写出方程组的解）。 y=b
四十八团中学——张克利
尊敬的各位领导和老师： 大家好！我叫张克利，来自四十八 团中学。 我说课的题目是《消元———二元一次 方程组的解法（1）》,内容选自人教版义务 教育课程标准实验教科书《数学》七年级下 册第八章第二节第二课时。 我主要从教材分析与处理、教法学法和 手段、教学过程的设计、板书设计、设计说 明五个方面来进行说课。
•
环节二：尝试探讨——总结规律
• 1、渗透消元思想 • 对于采用方法一的同学，能将一个实际问题 符号化，转化成数学问题，能力值得肯定。对于 采用方法二的同学，能想到用正方体来代替圆柱， 从而直接找到正确答案，思路值得借鉴。 • 2、探讨消元方法 • 对学生已有的方法给予肯定，进而引导学生 探讨新的解题方法。 • 除了方法一和方法二之外，本节课我们将用 刚学过的二元一次方程来 解决这一问题。师生共 同探讨。
消元——解二元一次方程组
数学核心素养
一、什么是数学核心素养 二、如何在数学教学活动中体现数学核心素养 三、如何在数学教学评价中考查数学核心素养
一、什么是数学核心素养 文件《教育部关于全面深化课程改革，落实立德树人根本任务》
提到核心素养。明确要求：修改课程标准，要把学科核心素养贯穿始终。 北师大研究小组定义核心素养：是指学生应具备的、能够适应终
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解：
y＝12
知识要点
1.会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组。 2.能体会“代入法”解二元一次方程组的基本思路，体会化 归思想。
知识梳理
知识点：代入消元法解二元一次方程组. 1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一 个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一 次方程.我们就可以求出一个未知数，然后在求另一个未知数.这 种将未知数的个数由多转化为少、逐一解决的思想，叫做消元 思想.
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2.代入消元法概念：把二元一次方程组中一个方程的未知数 用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现
消元——解二元一次方程组(加减法1)
_互为相反数 ，把这两个方程的两边直接
__相__加___，就能消去未知数y.
解：由①＋②得 18X=10.8 ，x=0.6 .
把x= 0.6 代入①得1.8+10y=2.8 ,y=_0_._1_.
∴这个方程组的解为x 0.6
y
0.1
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
练一练 用加减法解方程组
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
练一练
用加减法解方程组
2x 3y 5 ① 2x 8y 3 ②
时， ①-②得一元一次方程__5_y_=_8______.
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三、研学教材
知识点二 用加减法解二元一次方程组
3x+10y 2.8 ①
试一试 用加减法解方程组15x 10y 8 ② 分析：这两个方程中，未知数y的系数 ____
(2x+y)-(x+y)=40-22 解得x= 18 ,把x= 1_8 _
代入①得y= _4__ .
另外，由①－②也能消去未知数_____x__，
得(x+y)-(2x+y)=22-40最后解方程组的解为：
x __1_8_
y
__4__
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三Байду номын сангаас研学教材
知识点一 加减消元法
5 0
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
解：练由一①练3 得 6x+15y=24 ③， 用由②（加③22减）④法得32解xx 下1251得yy列y方6851x4程+②①,4解组y=得：10y=④1141
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
1.消元解法“消元”是解二元一次方程组的基本思路。
所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。
这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。
代入消元法（1）概念：将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解.。
这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）代入法解二元一次方程组的步骤①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
2．加减消元法（1）概念：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.（2）加减法解二元一次方程组的步骤①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式；②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。
消元-二元一次方程组的解法
01
02
03
确定未知数
首先需要确定方程组中的 未知数，并为其设置合适 的符号。
建立方程
根据问题背景和已知条件， 建立两个或更多方程，确 保每个方程都包含至少一 个未知数。
方程的表示
使用数学符号来表示方程 ，如“=”、“+”、“”等，确保方程的书写规 范。
消元法的应用
购物计算
在购物时，我们经常需要计算多种商 品的总价，消元法可以帮助我们快速 准确地计算出总价。
工资计算
旅行预算
在规划旅行预算时，我们需要考虑多 个费用项，如交通、住宿、餐饮等， 消元法可以帮助我们快速计算出总预 算。
在计算工资时，我们可能需要将多个 工资项相加或相减，消元法可以简化 计算过程。
在数学问题中的应用
GDP、CPI等。
物理学
在物理学中，消元法可以用于解 决多个物理量之间的关系问题，
如力学、电磁学等。
化学
在化学中，消元法可以用于解决 化学反应中的平衡问题，如酸碱
中和反应等。
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消元-二元一次方程组的解法
contents
目录
• 消元法的简介 • 消元法的步骤 • 二元一次方程组的解法 • 消元法的注意事项 • 消元法的实际应用
01 消元法的简介
消元法的定义
• 消元法，也称为代入法或加减消元法，是一种解二元一次方程 组的方法。通过对方程进行变形，消去一个未知数，将二元一 次方程组转化为一元一次方程，进而求解。
对于某些特殊情况，如方程组中存在 多个未知数或方程组无解，消元法可 能无法得出正确结果。
消元法的优缺点比较
优点
简单易行，适用范围广，是解决二元 一次方程组最常用的方法之一。
人教版七年级数学下册(部编版五·四学制)电子课本课件【全册】
目录
0002页 0056页 0084页 0138页 0156页 0204页 0206页 0231页 0256页 0304页 0332页
第15章 二元一次方程组 15.2 消元——解二元一次方程组 15.4 三元一次方程组的解法 16.1 不等式 16.3 一元一次不等式组 17.1与三角形有关的线段 17.3多边形及其内角和 18.1 全等三角形 18.3 角的平分线的性质 19.1 数据的集中趋势 19.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析
第15章 二元一次方程组
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15.1 二元一次方程组
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15.2 消元——解二元一次方程பைடு நூலகம்组
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15.3 二元一次方程组与实际问 题
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人教版初中数学消元-解二元一次方程组精选课时练习(含答案)2
y
1
x 2
26．
y
7 2
参考答案
答案第 1页，总 3页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
x 9 27． 2
y 4
x 10
x 6
28．（1）
y
10
（2）
y
4
x 1
29．
y
1
x 2
x 3
30．（1）
y
2
，（2）
y
2
.
x 5
x 3
31．（1）是
y
B．①×（﹣3）+②×2，消去 x
C．①×2﹣②×3，消去 y
D．①×3﹣②×2，消去 x
2．关于 x,y
的方程组
a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2
的解是
x y
= =
4 1
，则关于
x,y
的方程组
a1 a2
x-1 x-1
+b1 +b2
-y -y
=c1 =c2
的解是（ ）
A．
x y
= =
3 1
B．
（1）反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ ”.
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答.
2x 3y 7
37．解方程组：
x
3
y
8
．
5x 3y n 38．已知关于 x，y 的二元一次方程组 3x 2 y 2n 1 的解适合方程 x＋y＝6，求 n 的
值．
试卷第 4页，总 6页
x
x
y
y
3.2
3.2
的解为（
）
(完整word版)五四制初中数学目录
(完整word版)五四制初中数学目录六年级上册第一章分数乘法1.1 分数乘法1.2 倒数的认识1.3 分数乘法的应用第二章分数除法2。
1 分数除法2.2 混合运算2。
3 分数除法的应用2。
4 比第三章圆的初步认识3。
1 认识圆3.2 圆的周长3。
3 圆的面积3.4 扇形第四章百分数4.1百分数的意义和写法4。
2 百分数与小数、分数的互化4。
3 百分数的应用4.4 扇形统计图第五章圆柱与圆锥5.1 圆柱5。
2 圆锥第六章比例6。
1 比例的意义和基本性质6.2 正比例和反比例的意义6.3 比例的应用六年级下册第七章有理数7。
1 正数和负数7。
2 有理数7.3 有理数的加减法7.4 有理数的乘除法7.5 有理数的乘方第八章整式的加减8.1 整式8。
2 整式的加减第九章几何图形初步9.1 几何图形9.2 直线、射线、线段9.3 角9。
4 课题学习设计制作长方体形状的包装纸盒第十章数据的收集、整理与描述10。
1 统计调查10。
2 直方图10。
3 课题学习从数据谈节水七年级上册第十一章一元一次方程11.1 从算式到方程11.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项11。
3 解一元一次方程（二）-—去括号与去分母(完整word版)五四制初中数学目录11.4 一元一次方程与实际问题第十二章相交线与平行线12.1 相交线12.2 平行线及其判定12。
3 平行线的性质12。
4 平移第十三章实数13。
1 平方根13。
2 立方根13。
3 实数第十四章平面直角坐标系14.1 平面直角坐标系14.2 平面直角坐标系的简单应用七年级下册第十五章二元一次方程组15.1 二元一次方程组15。
2 消元--解二元一次方程组15.3 二元一次方程组与实际问题*15。
4 三元一次方程组的解法第十六章不等式与不等式组16.1 不等式16。
2 一元一次不等式16。
3 一元一次不等式组第十七章三角形17.1 与三角形有关的线段17.2 与三角形有关的角17.3 多变形及其内角和第十八章全等三角形18。
二元一次方程组的消元方法
二元一次方程组的消元方法作者：李章来源：《初中生(一年级)》2009年第05期解二元一次方程组最基本的思路是消元，通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决.那么消元的途径有哪些呢？一般来说，有以下几种常见的消元方法.一、代入消元法例1解方程组：x-4y=-1，①2x+y=16. ②分析：如果将x－4y＝－1写成用一个未知数来表示另一个未知数的形式，那么用x表示y，还是用y表示x好呢?观察方程组，因为x的系数为正数，且系数也较小，所以用y来表示x较好.解：由①，得x= 4y－1，③把③代入②，得2（4y－1）＋y=16，解得y= 2．把y=2代入③，得x=7．所以方程组的解为x=7，y=2.评点：用代入消元法求解二元一次方程的关键是选择哪一个方程变形，消什么元.选得恰当往往会使计算简单，而且不易出错.选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－l的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程.二、加减消元法例2解方程组：3x+2y=5，①2x-y=8. ②分析：本题虽然可以把②式变形后用代入消元法求解，但考虑到y的两个系数的符号相反且绝对值的差是1，所以用加减消元法解较简单.解：将方程②两边同乘以2，得4x－2y＝16，③把③和①相加，得7x＝21，解得x＝3.把x＝3代入②，得y＝－2.所以原方程组的解是x=3，y=-2.评点：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等，又不是互为相反数，就用适当的数乘以方程的两边，使其中的一个未知数的系数相等或互为相反数；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.加减消元法的步骤可以简单地归纳为下图：三、换元消元法例3解方程组：+ =13， - =3.分析：观察方程组，不难发现x+y和x-y都是以整体的形式出现的，故可通过换元的方法解题.设x+y＝m，x－y＝n，则原方程可转化为关于m和n的方程，解题时简单明了，不易出错.解：设x+y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为：m+ n=13， m- n=3.即3m+2n=78，4m-3n=36. 解得m=18，n=12.则有x+y=18，x-y=12.解得x=15，y=3. 所以原方程组的解为 x=15，y=3.评点：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用换元法把原方程组变成结构简单、求解方便的二元一次方程组.四、整体消元法例4解方程组3x+4z=23，①5x+y=8，② 6x+y+8z=49. ③解：由③可得2(3x＋4z)＋y=49. ④把①整体代入④，消去x、z，解得y=3，把y=3代入②，解得x=1，把x=1代入①，得z=5．原方程组的解为 x=1，y=3，z=5．评点：解二元以上的方程组的基本思路是消元，如化“三元”为“二元”.代入消元法是其中常用的一种方法.考虑到题目的结构特点，有时也可以用整体加减、整体代入等消元方法．五、参数消元法例5解方程组：= ，x+2y=11.分析：本题可以对＝化简后用代入消元法或加减消元法解题，但都有一定的运算量.若考虑用参数消元法，即用另一个字母同时代替x、y，求解时会出现意想不到的效果.解：设＝＝k，则x＝3k，y＝4k，把x＝3k，y＝4k代入x+2y＝11，得3k+2×4k＝11，解得k＝1，即x＝3k＝3，y＝4k＝4.所以原方程组的解为 x=3，y=4.评点：利用参数消元的目的是：通过参数换元把原来的方程组变为一元一次方程，从而降低难度.这种参数消元又称为设k法、归一法等.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起。
3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。
4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
5、消元法解二元一次方程组：(1) 基本思路：未知数又多变少。
(2) 消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
6.解法：通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y ③把③带入②，得6(5-y)+13y=89y=59/7把y=59/7带入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解加减消元法：例：解方程组x+y=9①x-y=5②解：①+② 2x=14即 x=7把x=7带入①得7+y=9解得y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解7. 二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5① 6x+13y=89② x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6① 2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4① 2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
注意：用加减法或者用代入消元法解决问题时,应注意用哪种方法简单,避免计算麻烦或导致计算错误。
教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例1, 13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例2， (x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可写为m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元后可简化方程也是主要原因。
代入消元法解二元一次方程组
由① ，得 x=35-y. ③ 把③代入② ，得 2(35-y)+4y=94.
70-2y+4y=94 2y=24 y=12
把y=12代入③ ，得 x=23.
x 23
y
12
3、今有鸡兔同笼,上有三十五头, 下有九十四足,问鸡兔各几何.
解：设鸡有x只，兔有y只.
x＋y＝35 2x＋4y＝94
(4)回代：将求得的未知数的值代入到变形后的方程
中求出另一个未知数的值.
(5)写解：用
x a
y
bБайду номын сангаас
的形式写出方程组的解.
例4
二元一次方程组
3x 4x
y 12 ay 12
的解中
y与x互为相反数，求a的值.
解:由题意得 3xxyy012，
x y
6
6
把
x 6
y
6
代入4x+ay=12，
得 a=2.
例5
x 2
用代入法解方程组 3
y4 5
①
2 x 7 y 90 ②
解：由①，得 5(x-2)=3(y+4)
5x-10=3y+12
5x-3y=22
x 223y ③ 5
例5
用代入法解方程组
x 2
3
y4 5
①
2 x 7 y 90 ②
解:令 x2 y4 = k，则x=3k+2，③y=5k-4，④
4x 5y 460 ① 2x 3y 240 ②
由②， 得 2x=240-3y ③
把③代入①，得 2(240-3y)+5y=460 480-6y+5y=460 -y=-20 y=20.
消元一解二元一次方程组
消元一解二元一次方程组
消元法是解二元一次方程组的一种常用方法。
二元一次方程组一般形式为：
ax + by = c.
dx + ey = f.
首先，我们可以通过消元法将其中一个未知数消去，然后解出另一个未知数的值。
下面我将分别以x和y为目标进行消元。
1. 以x为目标进行消元：
首先我们可以将第一个方程两边同时乘以e，第二个方程两边同时乘以(-b)，得到：
aex + bey = ec.
-bdx bey = -bf.
然后将这两个方程相加，得到：
aex bdx = ec bf.
接着可以将x提取出来，得到：
x = (ec bf)/(ae bd)。
2. 以y为目标进行消元：
同样的，我们可以将第一个方程两边同时乘以(-f)，第二个方程两边同时乘以c，得到：
-afx bfy = -cf.
cdx + edy = fc.
然后将这两个方程相加，得到：
cdx afx + edy bfy = fc cf.
接着可以将y提取出来，得到：
y = (fc cf)/(ed bf)。
通过以上步骤，我们就可以利用消元法解出二元一次方程组的解。
需要注意的是，在实际应用中，还需要根据具体的方程组进行化简和计算，同时要注意特殊情况的处理，例如当ae bd等于0时方程组无解，当c和f等于0时方程组有无穷多解等。
希望以上解答能够帮到你。
专题15 七年级数学下册 解二元一次方程组(知识点串讲)(原卷版)
专题15 解二元一次方程组知识网络重难突破知识点一消元的思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，即可先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元的思想。
代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
基本思路：未知数由多变少。
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含有另一个的未知数的代数式表示。
2.代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一元一次方程。
3.解：解一元一次方程4.求：把求得的未知数的值带入代数式或原方程组中的任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
5.写：写出方程组的解。
6.验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
加减消元法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：1.变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化为相同（或互为相反数）。
2.加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
3.求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值。
4.回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值。
5.写解：写出方程组的解。
6.检验：将方程组的解带入到原方程组中的每个方程中，若各方程均成立，则这对数值就是原方程组的解，负责解题有误。
整体消元法：根据方程组各系数的特点，可将方程组中的一个方程或方程的一部分看成一个整体，带入另一个方程中，从而达到消去其中一个未知数的目的，并求得方程的解。
消元-解二元一次方程组课件人教版数学七年级下册[1]
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解：设这些消毒液应该分装x大瓶、y小瓶.
根据题意可 5x 2y,
①
列方程组：
500x
250y
22500000.
②
由①得： y 5 x . ③
2
把 ③ 代入 ②得：500x 250 5 x 22500000 .
2
解得：x=20000.
x 20000,
把x=20000代入③得：y=50000.
新知一 代入消元法解二元一次方程组
一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上 一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量 各是多少g？
A．129名 B．120名
用含x的代数式表示y为 ，则负的场数是10-x, x + y = 200
y;
＝
x + 10
2元．已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
合作探究
典例精析2 利用二元一次方程组解答实际问题
例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶
装（250 g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5．某
厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小
瓶两种产品各多少瓶？
分析：等量关系：(1)大瓶数 : 小瓶数 =2:5 (2)大瓶所装消毒液 +小瓶所装消毒液
消元思想.
∴方程组 y = x + 10 的解是 x = 95，
x + y = 200
y =105.
求方程组解的过程叫做解方程组.
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
消元 转化
一元一次方程
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法 称为代入消元法，简称代入法.
消元-解二元一次方程组练习卷(含答案)
消元-解二元一次方程组练习卷课堂练习：1．以方程组21y x y x =-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y 在平面直角坐标系中的位置是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．关于x 、y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解是11x y =⎧⎨=⎩，则|m-n|的值是（）A ．5B ．3C ．2D ．13．已知a ，b 满足方程组51234a b a b +=⎧⎨-=⎩，则a+b 的值为（）A ．-4B ．4C ．-2D ．24．二元一次方程组的解为（）A ．B．C ．D．5．已知x ，y 满足方程组，则x+y 的值为（）A ．9B ．7C ．5D ．36.先阅读第（1）小题的解答，然后解答第（2）小题。
（1）、解方程组⎩⎨⎧=--=--5)(401y y x y x 解：由①得1=-y x ③将③代入②得4×51=-y ，即1-=y ，将1-=y 代入③得，0=x 所以⎩⎨⎧-==10y x ①②（2）、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-927532232y y x y x 7.甲、乙两人同时解方程组⎩⎨⎧=-=+1325ny x y mx 甲解题看错了①中的m ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==227y x ，乙解题时看错②中的n ，解得⎩⎨⎧-==73y x ，试求原方程组的解8．已知关于x ，y 的方程组342x y k x y k +=-⎧⎨-=+⎩，（1）若方程组的解满足方程341x y -=，求k 的值；（2）请你给出k 的一个值，使方程组的解中x ，y 都是正整数，并直接写出方程组的解．课后练习：1．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是（）A ．222B ．280C ．286D ．2922．甲数的2倍比乙数大3,甲数的3倍比乙数的2倍小1,若设甲数为x,乙数为y,则根据题意可列出的方程组为（）A.⎩⎨⎧-=-=12332y x y xB.⎩⎨⎧=-=+y x y x 21332C.⎩⎨⎧-=+=12332y x y x D.⎩⎨⎧=-=+12332y x y x 3．方程组327413x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（）A ．13x y =-⎧⎨=⎩B ．31x y =⎧⎨=-⎩C ．31x y =-⎧⎨=-⎩D ．13x y =-⎧⎨=-⎩5．若方程组35432x y a x y a +=+⎧⎨+=⎩的解x 与y 的值的和为3，则a 的值为()A.－3 B.－2 C.2 D.106．已知x ，y 满足方程组2524x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x ﹣y 的值是．7．已知⎩⎨⎧==12y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+18my nx ny mx 的解，则m ﹣n 的平方根为．8．方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是．9．若关于x 、y 的方程组2343223x y x y m +=⎧⎨+=-⎩的解满足x+y=35，则m=．10．已知关于x 的方程2x =m 的解满足325x y n x y n -=-⎧⎨+=⎩（0＜n ＜3），若y ＞1，则m 的取值范围是．11.已知关于x ，y 的二元一次方程组221x y k x y +=⎧⎨+=-⎩的解互为相反数，求k 的值．课堂练习答案1．以方程组21y xy x=-+⎧⎨=-⎩的解为坐标的点(,)x y在平面直角坐标系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A.考点：1.点的坐标；2.解二元一次方程组．2．关于x、y的方程组3x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是11xy=⎧⎨=⎩，则|m-n|的值是（）A．5B．3C．2D．1【答案】D．【解析】试题解析：∵方程组3x y mx my n-=⎧⎨+=⎩的解是11xy=⎧⎨=⎩，∴311mm n-=⎧⎨+=⎩，解得23 mn=⎧⎨=⎩，所以，|m-n|=|2-3|=1．故选D．考点：二元一次方程组的解．3．已知a，b满足方程组51234a ba b+=⎧⎨-=⎩，则a+b的值为（）A．-4B．4C．-2D．2【答案】B．考点：解二元一次方程组．4．二元一次方程组的解为（）A ．B．C ．D．【答案】C【解析】试题分析：根据加减消元法，可得方程组的解．①+②，得3x=9，解得x=3，把x=3代入①，得3+y=5，y=2，所以原方程组的解为考点：二元一次方程组的解．5．已知x ，y 满足方程组，则x+y 的值为（）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】C【解析】试题分析：方程组两方程相加求出x+y 的值即可．，①+②得：4x+4y=20，则x+y=5，考点：二元一次方程组的解6.先阅读第（1）小题的解答，然后解答第（2）小题。
初中数学 如何判断二元一次方程组是否有解
初中数学如何判断二元一次方程组是否有解要判断二元一次方程组是否有解，我们可以使用消元法或代入法。
下面我将详细介绍这两种方法。
1. 消元法：消元法是一种通过消去未知数的系数，将方程组转化为只含有一个未知数的方程，进而判断是否有解的方法。
考虑以下二元一次方程组：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f首先，我们可以通过乘以适当的倍数，使得方程组的系数相等（或相差倍数），从而使得消元更容易进行。
通常，我们会选择使得两个方程中x的系数相等或相差倍数。
例如，如果我们想消除x，我们可以通过乘以L2的系数a，并乘以L1的系数d，然后进行相减得到新的方程：(ad)x + (ae)y = ac(da)x + (db)y = dc此时，我们可以将这两个方程相减，消去x，得到一个只含有y的方程：(ad - da)x + (ae - db)y = ac - dc(0)x + (ae - db)y = ac - dc(ae - db)y = ac - dc如果ae - db不等于零，则方程组有唯一解。
否则，如果ae - db等于零，我们需要进一步判断常数部分ac - dc是否等于零。
-如果ac - dc不等于零，则方程组无解。
-如果ac - dc等于零，则方程组有无穷多解。
2. 代入法：代入法是一种通过将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入到另一个方程中，从而得到只含有一个未知数的方程，进而判断是否有解的方法。
考虑以下二元一次方程组：L1: ax + by = cL2: dx + ey = f我们可以选择其中一个方程（通常选择其中一个未知数的系数较小的方程），将其表示为另一个未知数的函数。
例如，我们可以将L1表示为x的函数：x = (c - by)/a然后，我们将这个表达式代入到L2中，得到一个只含有y的方程：d((c - by)/a) + ey = f通过对上述方程进行整理和化简，得到一个只含有y的方程：(dy - ab)y = af - cd如果(dy - ab)不等于零，则方程组有唯一解。
二元一次方程的解法步骤
二元一次方程的解法步骤在代数学中，二元一次方程是由两个未知数和次数为一的项组成的方程。
解决二元一次方程需要掌握一定的解法步骤，下面将介绍一种常见的解法。
一、整理方程首先，我们需要整理方程，使其符合标准的形式。
标准形式的二元一次方程为：ax + by = c，其中a、b、c分别为已知系数，x和y为未知数。
以一个具体的方程为例：2x + 3y = 8，首先我们可以将方程重写为3y = -2x + 8，这样方程就符合了标准形式。
二、选择合适的解法确定方程已经整理成标准形式后，我们需要根据具体的情况选择合适的解法。
常见的解法包括代入法、消元法和图解法。
1. 代入法代入法是最常用的解法之一。
我们将已知的一个方程解出其中一个未知数，然后将其代入另一个方程中，解得另一个未知数。
例如，我们有以下方程组：2x + 3y = 8x - y = 4首先，我们可以将第二个方程解出x：x = y + 4。
然后，我们将x的解代入第一个方程，得到2(y + 4) + 3y = 8。
化简方程，得到2y + 8 + 3y = 8，合并同类项得到5y + 8 = 8。
再次化简方程，得到5y = 0，解得y = 0。
最后，我们将y的解代入x = y + 4，得到x = 4。
所以，方程组的解为x = 4，y = 0。
2. 消元法消元法是另一种常见的解法。
我们通过将一个方程乘以适当的倍数，使得两个方程的某个未知数的系数相等或者相差为零，然后进行消元。
例如，我们有以下方程组：2x + 3y = 83x - 2y = 7我们可以通过将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，使得两个方程的x的系数相等。
得到：6x + 9y = 246x - 4y = 14然后，我们将两个方程相减，消去x的项，得到：6y - (-4y) = 24 - 1410y = 10解得y = 1。
将y的解代入任一方程，例如第一个方程：2x + 3(1) = 8，解得x = 2。
消元法解二元一次方程组
消元法解二元一次方程组在数学中，解方程组是一个常见的问题。
其中，二元一次方程组是一个包含两个未知数和两个方程的方程组。
为了解决这样的方程组，数学家们发展出了各种求解方法。
其中之一就是消元法。
消元法是一种通过逐步消去未知数，从而求解方程组的方法。
本文将详细介绍如何使用消元法解决二元一次方程组的问题。
首先，考虑一个二元一次方程组：ax + by = c (方程1)dx + ey = f (方程2)我们的目标是找到一组数值（x，y），使得方程1和方程2同时成立。
为了简化问题，我们假设ad-bc不等于0，这样方程组就有唯一解。
如果ad-bc等于0，那么方程组要么没有解，要么有无穷多解。
接下来，我们使用消元法来解决这个问题。
按照以下步骤进行操作：步骤1：通过乘以适当的倍数，使得方程1和方程2的系数a和d相等。
adx + bdy = cd (方程1 乘以d)adx + ady = af (方程2 乘以a)步骤2：将方程2的结果等式减去方程1的结果等式。
adx + bdy - (adx + ady) = cd - af化简上述方程，我们得到：adx + bdy - adx - ady = cd - afbdy - ady = cd - af进一步化简，我们得到：(bd - ad)y = cd - af (方程3)步骤3：通过乘以适当的倍数，使得方程1和方程2的系数b和e 相等。
adx + bey = cf (方程1 乘以e)adx + bex = bf (方程2 乘以b)步骤4：将方程2的结果等式减去方程1的结果等式。
adx + bey - (adx + bex) = cf - bf化简上述方程，我们得到：adx + bey - adx - bex = cf - bfbey - bex = cf - bf进一步化简，我们得到：(be - ab)x = cf - bf (方程4)现在，我们有了两个新的方程（方程3和方程4）。
加减消元法
涪洋中学
申林
温故而知新
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
一元 基本思路: 消元 二元 2、用代入法解方程的步骤是什么？ 一变 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数.
二代 三解 四答
将变化后的方程代入方程组里的另一个 方程中，消去一个元. 解方程，分别求出两个未知数的值.
x y 10 2 x y 16
3x 5y 2 1 2 x 5 y - 11
当二元一次方程组的两个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把两个方程 的两边分别相加或相减，就能消去这个未 知数，得到一个一元一次方程，这种方法 叫做加减消元法，简称加减法。
写出方程组的解.
CAD/CAM软件应用
怎样解下面的二元一次方程组呢？
x y 10 2 x y 16
①
②
观察
这个方程组 的两个方程 中，y的系 数有什么关 系？
分析： 两个方程的等号两边分别相减，能消
去未知数y，从而将二元转化为一元。
即：②左边－①左边=②右边－①右边
CAD/CAM软件应用
一、填空题：
x+3y=17 1、已知方程组 2x-3y=6 两个方程只要两边 分别相加 就可以消去未知数 y 25x-7y=16 2、已知方程组 25x+6y=10两个方程只要两边分别相减 就可以消去未知数 x
6x+7y=-19 ①应用（B ） 1、用加减法解方程组 6x-5y=17 ②
A.①-②消去y C. ②- ①消去常数项 B.①-②消去x D. 以上都不对
基本思路: 加减消元: 主要步骤：变形 二元
一元
同一个未知数的系数相 同或互为相反数 加减 消去一个元 求解 求出两个未知数的值 写解 写出方程组的解 2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
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（2 2x 5y） 3.6， （5 3x 2 y） 8．
（2 2x 5y） 3.6， （5 3x 2 y） 8．
解：化简得:
4x 10 y 3.6， ① 15x 10 y 8． ②
② - ①，消y 得
11x 4.4， 解得 x 0.4．
代入①，解y
4 0.4 10 y 3.6
问题1 本题的等量关系是什么？
2台大收割机2小时的工作量+5台小收割机2小时的工作量＝3.6； 3台大收割机5小时的工作量+2台小收割机5小时的工作量＝8。
例4 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割 小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h 收割小麦8 hm2。1台大收割机和1台小收割机每小时各 收割小麦多少公顷？
消元——解二元一次方程组
第三课时
学习目标
学习目标： （1）会用二元一次方程组表示简单实际问题中的
数量关系，并用加减消元法解决它。 （2）能选择适当方法解二元一次方程组。
学习重点 ： 用二元一次方程组解简单的实际问题。
例题探究
例4 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割 小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h 收割小麦8 hm2。1台大收割机和1台小收割机每小时各 收割小麦多少公顷？
y 0.2 ．
x y
0.4 ， 0.2
是原方程组的解。
所以1台大收割机和1台小收割机 每小时各收割小麦0.4 hm2和0.2 hm2。
做一做 怎样解下面的方程组？
2x y 1.5， 0.8x 0.6 y 1.3；
x 2 y 3， 3x 2 y 5．
1. 第一个方程组选择哪种方法更简便？第二个方程组 选择哪种方法更简便？
课堂小结
回顾本节课的学习过程，回答以下问题： （1）结合例题，谈一谈列方程组解决实际问题时
应注意什么？ （2）代入消元法和加减消元法有什么联系与区别？
如何选择方法运算更简便？
2x 46 x 23 代入①，得 23 y 35 y 12
2.有三块牧场，草长得一样快，面积分别为 3 1 公顷，10 3
公顷和24公顷，第一块12头牛可吃4星期，第二块21头可 吃9星期，第三块可供多少头牛吃18个星期？
分析 首先设每公顷中，初始草量为x，每周增长草量 为y，进而利用第一块草地饲养12头牛，可以维持4周， 第二块草地饲养21头牛，可以维持9周，得出等式求出 即可，进而得出答案。
解：选择加减法， ①+②得
4x 8 x2
代入①，得
y1
2
x
y
2， 1 2
是原方程组的解。
随堂练习
1. 解方程组
x y 35， ① 2x 4 y 94．②
代入法
解：由①得 y 35 x ③
将③代入②，得 2x 4(35 x) 94
x 23 代入③，得 y 12
加减法 解：①×4-② ，得
2. 我们依据什么来选择更简便的方法？
2x y 1.5， ① 0.8x 0.6 y 1.3； ②
解：选择代入法，由①得， 代入③，得
y 1.5 2x ③
y 3.5．
代入②，消去y，解得
0.8x 0.（6 1.5 2x） 1.3 x 1
x 1，
y
3.5
是原方程组的解。
x 2 y 3， ① 3x 2 y 5．②
问题2 如何设未知数？列出怎样的方程组？
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时分别收割 小麦x hm2y） 3.6 ， （5 3x 2 y） 8．
例4 2台大收割机和5台小收割机同时工作2 h共收割 小麦3.6 hm2，3台大收割机和2台小收割机同时工作5 h 收割小麦8 hm2。1台大收割机和1台小收割机每小时各 收割小麦多少公顷？
解：设牧场每公顷原有草x吨，每周新生草y吨，每头牛每 周吃草a吨，第三块可供z头牛吃18个星期，根据题意得：
10
3
x
4
10 3
y
4
12a,
10x 910y 9 21a.
解得
x=10.8a y=0.9a
所以24×10.8a+0.9a×24×18=18×za
z=36
答：第三块牧场可供36头牛吃18个星期。