28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用
28.2.2解直角三角形应用举例优秀课件
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(6 分)(2014·十堰)如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70°方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50°方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观 测灯塔 C 位于北偏西 25°方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是_ 24 _海里．(结果精确到个 位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4)
西
北
北
西
东
东
南
南
旧知回顾
方向角：指北或指南方向线与目 标方向线所成的小于90°的平面角， 叫做方向角. 如图中的目标方向线 OA，OB，OC，OD的方向角分别表示 北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°， 北偏西60°. 特别地，东南方向指的是南偏东45°，东北方向指 的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是 北偏西45°.
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC＝PA·cos（90°－ 65°＝）80×cos25°
≈80×0.9063 ＝72.504
在Rt△BPC中，∠B＝34°
65° A P
C
34°
B 当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是：
达标检测 反思目标
2、如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼 船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海 岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处， 又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改 变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
解：如图，过A作AD⊥BC于点D， 则AD的长是A到BC的最短距离， ∵∠CAD=30°，∠DAB=60°， ∴∠BAC=60°-30°=30°，∠ABC=90°-60°=30°， ∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=12海里， 在ARDt=△AACD•Cco中s3，0∵∠12C×AD3==360°3，≈10.392 ＞8， 即渔船继续向正东方向2行驶，没有触礁的危险．
28.2.2 第1课时 解直角三角形的简单应用
28.2.2 应用举例
第1课时 解直角三角形的简单应用
【学习目标】
1.使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
【学习难点】
实际问题转化成数学模型
【导学过程】
一、课前热身：
1.解直角三角形的类型：
已知____________；已知___________________．
2.如图解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B＝_____，
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3.已知，如图，在△ABC 中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC 的长. (结果保留根号).
c b a A C
B
二、合作交流：
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足，(如图).现有一个长6m的梯子，问:
(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子？（可用计算器）。
人教版九年级下册数学 28.2.2解直角三角形的应用举例 例5 航海——方位角(共18张PPT)
险区。这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
方位角
区的可能？ (3)边角之间的关系:
某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向
的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北 方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处 相遇。 （1）甲船从C处追赶上乙船用了多长时间？ （2）甲船追赶乙船的速度北是每小时多少千米？
B
D
C 75°
45°
西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向。 这渔船如果继续向东追赶鱼群，有没有进入危险区的可能？
C
为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
2解直角三角形的应用举例
北 为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛
进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛2解直角三角形的应用举例 航海问题——方位角
北 M东
B
A
D
N
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: (2)锐角之间的关系:
(3)边角之间的关系:
Ｂ
c a
Ａ
bＣ
仰角俯角
A
?
E 34
F
18
D
10米
B
方位角
北
C
西
O
B
东
南
利用锐角三角函数解决航海问题
如图，一艘海伦位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯 塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达 位于灯塔P的南偏东34°方向的B处。这时，B处距离 灯塔P有多远？（结果取整数）（cos25°=0.9063, sin34°=0.5291, ）
28.2.2.1解直角三角形在实际生活中的一般应用(教案)
-举例：在计算过程中，学生可能会忽略单位换算，或者在计算过程中出现数值错误，需要通过反复练习来提高计算的准确度。
-难点四：理解并运用比例关系解决与直角三角形有关的比例问题。
-举例：当两个直角三角形的相似比例不是直观给出时，学生需要学会通过已知条件推导出比例关系，并应用于问题解决中。
-学会运用解直角三角形的知识解决实际问题，如测量距离、高度等。
-掌握在实际问题中建立直角三角形模型的方法，能够将实际问题转化为数学问题进行求解。
-举例：在测量建筑物高度的问题中，重点在于引导学生建立直角三角形模型，使用正切函数计算。
2.教学难点
-难点一：对解直角三角形函数的理解和记忆。学生需要熟练掌握正切、余切、正弦、余弦的定义，并能够灵活运用到实际问题中。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正切、余弦等三角函数的应用以及如何建立直角三角形模型这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量旗杆的高度、计算物体下落的速度等。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的过程较为顺利。他们能够将所学知识运用到实际问题中，通过合作解决问题。但在成果展示环节，我发现有些小组在表达和沟通方面还有待提高。为了加强学生的表达能力和团队合作精神，我计划在后续的教学中增加一些类似的展示和分享机会，鼓励他们更加自信地展示自己的成果。
在学生小组讨论环节，我尝试作为一个引导者，让学生自主发现问题和解决问题。这种教学方式收到了良好的效果，学生们能够积极参与讨论，提出自己的观点。但同时，我也发现部分学生在讨论过程中容易偏离主题，需要适时给予指导和纠正。在今后的教学中，我将进一步优化讨论主题的设计，使学生们在讨论中更加聚焦。
28.2.2解直角三角形应用举例PPT演示课件
B
D
40
C
8
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程是:
1.将实际问题抽象为数学问题; (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案; 4.得到实际问题的答案.
9
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方
A
45°
┓ 60° B C 27
练习
2.由于过度采伐森林和破坏植被,我国部分地区 频频遭受沙尘暴侵袭.近日,A城气象局测得沙尘暴 中心在A城的正南方向240km的B处,以每小时 12km的速度向北偏东30°方向移动,距沙尘暴中 心150km的范围为受害区. M (1)A城是否受到这次沙尘暴的 A F 影响,为什么? C (2)若A城受这次沙尘暴的影响, E 那么遭受影响的时间有多长？
B
28
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面 图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
29
解直角三角形应用 中考题列举
30
1.（2014•四川巴中）如图，一水库大坝的横断 面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米， 斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30°， 求坝底AD的长度．
B
α=30° 120 D β=60°
C
6
如图,有两建筑物,在甲建筑物上从A到E点挂 一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测 得条幅顶端A点的仰角为45°,条幅底端E点的俯 角为30°.求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC
28.2.2第1课时解直角三角形的简单应用(优质)
应用举例第 1 课时解直角三角形的简单应用1．经过生活中的实质问题领会锐角三角函数在解题过程中的作用； (要点 )2．可以把实质问题转变为数学识题，成立数学模型， 并运用解直角三角形求解．(难点 )一、情境导入为倡议“低碳生活”， 人们常选择以自行车作为代步工具．图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分几何表示图，此中车架档AC 与 CD 的长分别为 45cm 和60cm ，且它们相互垂直， 座杆 CE 的长为 20cm.点 A 、C 、E 在同一条直线上， 且∠ CAB ＝ 75° .你能求出车架档 AD 的长吗？ 二、合作研究研究点：解直角三角形的简单应用 【种类一】 求河的宽度依据网上信息，益阳市为了改良市里交通情况，计划在康富路的北端修筑通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两头位于 A 、 B 两点，小张为了丈量 A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得以下数据： ∠ BDA ＝76.1 °，∠ BCA ＝68.2°，CD＝ 82 米．求 AB 的长 (精准到 0.1 米 )．参照数据： sin76.1°≈ 0.97，cos76.1°≈ 0.24，tan76.1° ≈ 4.0； sin68.2°≈ 0.93，cos68.2°≈ 0.37， tan68.2°≈ 2.5.分析： 设 AD ＝ xm ，则 AC ＝ (x ＋ 82)m. 在 Rt △ABC 中，依据三角函数获得AB ＝2.5(x ＋82)m ，在 Rt △ ABD 中，依据三角函数获得 AB ＝ 4x ，依此获得对于 x 的方程，进一步即可求解．解： 设AD ＝ xm ，则AC ＝ (x ＋ 82)m.在Rt △ ABC中， tan ∠BCA ＝ ABAC ，∴ AB ＝ AC ·tan ∠BCA ＝ 2.5(x ＋ 82)．在 Rt △ ABD 中， tan ∠BDA ＝ AD AB，∴ AB ＝AD ·tan ∠ BDA ＝ 4x ，∴ 2.5(x ＋82)＝ 4x ，解得 x ＝ 410410≈ 546.7m.3 .∴ AB ＝ 4x ＝ 4× 3答： AB 的长约为 546.7m.方法总结： 解题的要点在于结构出直角三角形，经过丈量角的度数和丈量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．变式训练： 见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练” 第 3 题【种类二】 求不行抵达的两点的高度如图，搁置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为 30cm ，灯罩 BC 长为 20cm ，底座厚度为 2cm ，灯臂与底座组成的∠ BAD ＝ 60°.使用发现， 光芒最正确时灯罩 BC 与水平线所成的角为 30°，此时灯罩顶端 C 到桌面的高度 CE 是多少 (结果精准到 0.1cm ，参照数据： 3≈ 1.732)?分析： 第一过点 B 作 BF ⊥ CD 于点 F ，作 BG ⊥ AD 于点 G ，从而求出 FC 的长，再求出 BG 的长，即可得出答案．解： 过点 B 作 BF ⊥CD 于点 F ，作 BG ⊥ AD 于点 G ，∴四边形BFDG 是矩形，∴1BG ＝ FD .在 Rt △BCF 中，∠ CBF ＝ 30°，∴ CF ＝BC ·sin30°＝ 20× 2＝ 10cm.在 Rt △ ABG 中，∵∠ BAG ＝60°，∴ BG ＝ AB ·sin60°＝ 30× 3＝ 15 3cm ，∴ CE ＝ CF ＋ FD ＋ DE ＝ 10＋ 15 32 ＋ 2＝ 12＋15 3≈ 38.0(cm) ．答：此时灯罩顶端C 到桌面的高度 CE 约是 38.0cm.方法总结： 将实质问题抽象为数学识题， 画出平面图形， 角三角形问题．变式训练： 见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第【种类三】 方案设计类问题结构出直角三角形转变为解直6 题小锋家有一块四边形形状的空地 (如图③，四边形 ABCD ) ，此中 AD ∥BC ， BC ＝ 1.6m ，AD ＝ 5.5m ，CD ＝ 5.2m ，∠ C ＝ 90°，∠ A ＝ 53°.小锋的爸爸想买一辆长 4.9m ，宽 1.9m 的汽车停放在这块空地上， 让小锋算算能否可行． 小锋设计了两种方案， 如图①和图②所示．(1) 请你经过计算说明小锋的两种设计方案能否合理；(2) 请你利用图③再设计一种有别于小锋的可行性方案，并说明原因(参照数据： sin53°＝ 0.8， cos53°＝ 0.6， tan53°＝ 4)．3分析： (1) 方案 1，如图 ①所示，在 Rt △AGE 中，依照正切函数求得 AG 的长，从而求 得 DG 的长，而后与汽车的宽度比较即可；方案 2，如图 ② 所示，在 Rt △ALH 中，依照正切函数求得 AL 的长，从而求得DL 的长，而后与汽车的长度比较即可；(2)让汽车平行于AB停放，如图 ③ ，在 Rt △ AMN 中，依照正弦函数求得 AM 的长，从而求得 DM 的长．在 Rt△ PDM 中，依照余弦函数求得PM 的长，而后与汽车的长度比较即可．解： (1)如图①，在 Rt △ AGE 中，∵∠ A ＝ 53°，∴ AG ＝ EG ＝4.9tan ∠ A 4 m ≈ 3.68m ，∴ DG3＝ AD － AG ＝ 5.5－ 3.68＝ 1.82m ＜ 1.9m ，故此方案不合理；如图②，在Rt △ ALH 中，∵∠ ALH 1.9＝ 53°， LH ＝ 1.9m ，∴ AL ＝ tan53° ＝4 ≈ 1.43m ，∴ DL ＝ AD － AL ＝ 5.5－ 1.43＝ 4.07m ＜34.9m ，故此方案不合理；(2)如图③，过 DA 上一点 M 作 MN ⊥ AB 于点 N ，过 CD 上一点P 作 PQ ⊥AB 于点 Q ，MN 1.9连 PM ，在 Rt △ AMN 中，∵∠ A ＝ 53°，MN ＝1.9m ，∴ AM ＝ sin53° ＝0.8≈ 2.4，∴ DM ＝ 5.5 － 2.4＝ 3.1m.在 Rt △PDM 中，∵∠ PMD ＝∠ A ＝ 53°， DM ＝3.1m ，∴ PM ＝DM ＝ 3.1≈cos53° 0.65.1m ＞ 4.9m ，故此方案合理．方法总结： 此题主假如利用三角函数解决实质问题， 要点是把实质问题转变为解直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．变式训练： 见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第7 题三、板书设计1．求河宽和物体的高度； 2．其余应用类问题．本节课为了充足发挥学生的主观能动性，可指引学生经过小组议论，勇敢地发布建议，提高学生学习数学的兴趣． 可以使学生自己结构实质问题中的直角三角形模型， 并经过解直角三角形解决实质问题 .。
28.2.2解直角三角形的应用仰角与俯角
锐角a
30°
三角函数
sin a
1
2
45°
60°
2
2
3
2
cos a
3
2
2
2
tan a
3
3
1
1
2
3
向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅垂线
视线
水平线
仰角
俯角
视线
情境问题1.
如图，某飞机于空中A处探测到地面目标C，此时飞行高度
x
B
30°
400米
A
解题思想与方法小结：
1.将实际问题转化为解直角三角形的问题，如
果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅助
线，构造出直角三角形. （转化思想）
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数
或方程去解直角三角形。
（数形结合思想）
（方程思想）
布置作业：
1、课本78页第3/4/8题。
2、练习册：第2课时。
=
CE=120
E
A
30米
CD=30+120
B
120米
D
？
小试牛刀!
1、如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处观察
旗杆顶部A的仰角为60°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆
的高度. （结果保留根号）
巩固提升一：
热气球的探测器显示，从热
气球看一栋高楼顶部的仰角为
AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角为300，求飞机A
28.2 应用举例 仰角、俯角
由已知 l1∥l2,所以 CD∥AF, 所以四边形 ACDF 为矩形, CD=AF=AE+EF=20+10=30(米), 所以 C,D 两点间的距离为 30 米.
解直角三角形应用题的“四个步骤” (1)依据实际问题建立数学模型. (2)根据已知条件,选用适当的三角函数解直角三角形. (3)得到数学问题的答案. (4)得到实际问题的答案.
)C
(A)asin 40°米 (B)acos 40 °米
(C)atan 40°米
(D) a 米 tan 40
3.(2017山西)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距
离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高
度为
米1(5结.3果保留一位小数.参考数据:sin 54°≈0.809 0,
DCE
和
BCE ,求
CE .
和
CE ,求
BE
解:(2)由题意,得CE=AB=30 m, 在Rt△CBE中,BE=CE·tan 20°≈30×0.36=10.8(m), 在Rt△CDE中,DE=CE·tan 18°≈30×0.32=9.6(m), 所以教学楼的高为 BD=BE+DE=10.8+9.6≈20.4(m). 答:教学楼的高约为20.4 m.
因为 CD=34 米,所以 DE= CD =34÷ 3 ≈40(米),
cos 30
2
所以 DB=DE+BE≈40+40=80(米),故海洋馆 D 处到出口 B 处的距离为 80 米.
5.(2018达州)在数学实验活动课上,老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°,再往雕塑方向前进4米至B处,测得 仰角为45°.问:该雕塑有多高?(测角仪高度忽略不计,结果不取近似值)
28.2.2应用举例教案
28.2.2应用举例（第一课时）一、【教材分析】二、【教学流程】AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形.参考答案自主探究【探究1】2012年6月16日“神舟九号”载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400km,结果精确到0.1km）【探究2】热气球的探测器显示,从热气球分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离，计算的PQ长需先求出∠POQ（即α）.当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2010.9km43AD=60,30CAB B∴∠=︒∠=︒12,63AB BC∴==DABC看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高? （结果保留一位小数）教师提出问题，学生抽象出解题的几何图形，小组讨论解题思路.教师给出仰角和俯角的几何图形概念.仰角和俯角:在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.尝试应用1：如图，甲楼AB的高度为123m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为30°，求乙楼CD的高度（结果精确到0.1m，3取1.73）．2.建筑物BC上有一旗杆AB,由教师提出问题学生独立思考解答第一题通过前面的仰角、俯角的学习，借助这道题考查学生的学习情况.锻炼学生学以致用的数学知识学习基本原则.对教材知识的加固BACDα=30°β=60°120ABCD直线水平线视线仰角俯角距BC40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) 抽象思维，考查学生在实际无法解决问题的下，通过所学知识构造图形，利用三角函数解决具体问题的数学知识来源于生活并服务于生活的基本规律.总结补偿提高黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD= 23千米，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.732,6≈2.45)（2）求∠ACD的余弦值．本题考查了学生抽象几何图形的能力，同时对利用解直角三角形解决实际问题进行了考查.对学生可以进行爱国主义教育，很好的渗透德育教育.求解略教师指导性完成对内容的升华理解认识小结1.通过本节课的学习你有什么学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法三、【板书设计】四、【教后反思】28.2.2应用举例（第二课时）一、【教材分析】二、【教学流程】应用鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2．如图所示，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时至B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是( )A. 27海里B.214海里C. 7 海里D.14 海里学生独立思考解答分派两位同学到黑板展示两道题的解题过程.分析：题目中关于方位角的应用很广泛，要求学生能很好地理解并运用前面的总结归纳解决问题.两道题目都需要做辅助线，通过解题，能更好的让学生发挥主观想象力，学会抽象图形的同时，掌握辅助线的作图规律.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.的加固强化辅助线总结补偿（2014•湖北荆门）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西借助中考原题，让学生能够零距对内容的升华理解认识BAD F60°提高方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）离接触中考脉搏.同时题目内容涉及钓鱼岛国土纷争，给予学生爱国主义教育，让学生了解历史，学会知耻而后勇的道理，奋发学习，努力成为国家的栋梁之才.小结1.通过本节课的学习你有什么收获？2. 你还有哪些疑惑？学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法1.在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念(方位角;坡度、坡角等)2.实际问题向数学模型的转化(解直角三角形)作业必做：1.教科书习题28.2 第5、9、10题.2.做《自主学习》P164-165选做：如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.(1)求坡角∠A BC的大小;教师布置作业，并提出要求.学生课下独立完成，延续课堂.三、【板书设计】四、【教后反思】。
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OC
OB
OC cos∠O
6370 cos 4.5
6389km，
∴ AB=OB－OA=6389－6370=19(km). 即这层楼至少要高19km,即1900m. 这是不存在的.
典例精析
例2 如图,秋千链子的长度为3m,静止时的秋千踏板(大小忽略不计) 距地面0.5m．秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅 垂线的夹角)约为60°,则秋千踏板与地面的最大距离为多少？
A 30°
A
D
合作探究
棋棋乘缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C, 如果这段路程缆车
的行驶路线与水平面的夹角为60°,缆车行进速度为1m/s,棋棋需要多
长时间才能到达目的地？
C
C
BC= CE 231m. sin 60
200m
棋棋需要231s才
能到达目的地.
B 60° E
B
A
A
D
典例精析
例1 2012年6月18日,“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行 器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行. 如图,当组合体运行到离地球表面P点的正上 方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距
其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有( D )
A．0组
B.1组
C．2组
D.3组
动手练练
3. 一次台风将一棵大树刮断,经测量,大树刮断一端的着地点A到树 根部C的距离为4米,倒下部分AB与地平 面AC的夹角为45°,则这棵 大树高是 (4 4 2) 米.
A
4米
C
45° B
动手练练
4. 如图,要测量B点到河岸AD的距离,在A点测得∠BAD=30°,在C点 测得∠BCD=60°,又测得AC=100米,则B点到河岸AD的距离为 ( B )
3 60° m
0.5m
典例精析
A 3
60°m C
D E 0.5m
分析：根据题意,可知 秋千踏板与地面的最 大距离为CE的长度. B 因此,本题可抽象为： 已知 ：DE=0.5m, AD=AB=3m,∠DAB =60°,△ACB为直角 三角形,求CE的长度.
典例精析
Байду номын сангаасA 3
60 m C°
D E
解：∵∠CAB=60°,AD=AB=3m,
离是多少(地球半径约为6 400km, 取3.142，结果取整数)？
F P
O
FQ是☉O的切线,∠FQO为直角.
Q
最远点
典例精析
解:设∠POQ=α, ∵FQ是☉O的切线, ∴△FOQ是直角三角形. ∵cos OQ 6400 0.9491,
OF 6400 343
∴ 18.36 .
F P
Q
O
18.36 6400 18.363.142 6400 2051(km).
第二十八章 锐角三角函数
28.2.1解直角三角形及其应用 28.2.2.1解直角三角形的简单应用
学习目标
1. 巩固解直角三角形相关知识. (重点) 2. 能从实际问题中构造直角三角形,从而把实际问
题转化为解直角三角形的问题,并能灵活选择三 角函数解决问题(重点、难点)
情境引入
高跟鞋深受很多女性的喜爱,但有时候,如果鞋跟 太高,也有可能“喜剧”变“悲剧”.
180
180
总结归纳
利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题；
画出平面图形,转化为解直角三角形的问题 2. 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案.
动手练练
动手练练
解:设登到B处,视线BC在C点与地球相切,也就是看C点,AB 就是“楼”的高度,
(B )
A. 12米 B. 8 3米 C. 24米 D. 24 3米
动手练练
2. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距
离,他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到
E,再从E沿着垂直于AE的方向走到F,C为AE上一点,其中3位同学分别测
得三组数据：①AC,∠ACB；②EF、DE、AD；③CD,∠ACB,∠ADB.
∴AC=ABcos∠CAB=1.5m,
B
∴ CD=AD－AC=1.5m,
∴ CE=AD+DE=2.0m.
即秋千踏板与地面的最大
距离为2.0m.
动手练练
如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的A处测得AC 与水平面的夹角为30°,已知A与地面的距离为1.5米,求 拉线CE的长.(结果保留根号)
6 3 2 3 (米).
G
3
动手练练
∴CD=CG+DG=( 2 3 +1.5) (米),
∴ CE CD 2 3 1.5 3 4 3 (米).
sin 60
2
G
动手练练
1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与
地面成30°角时,测得旗杆在地面上的影长为24米,
那么旗杆的高度约是
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
A bC
合作探究
利用解直角三角形解决简单实际问题
棋棋去景点游玩,乘坐登山缆车的吊箱经过点A到达点B时,它走过了
200m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30°,你知
道缆车垂直上升的距离是多少吗?
BD=ABsin30°=100m
B
B
200m
动手练练
如图,在电线杆上的C处引拉线CE,CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60°角,在离电线杆6米的A处测得AC 与水平面的夹角为30°,已知A与地面的距离为1.5米,求 拉线CE的长.(结果保留根号)
解:作AG⊥CD于点G, 则AG=BD=6米,DG=AB=1.5米.
∴ CG AG tan 30
情境引入
美国人体工程学研究人员卡特 · 克雷加文调查发现,70％以 上的女性喜欢穿鞋跟高度为6至7cm左右的高跟鞋. 但专家认为 穿6cm以上的高跟鞋,腿肚、脚背等处的肌肉非常容易疲劳.
若某成年人的脚掌长为15cm,鞋跟约在3cm左右高度为最佳. 据此,可以算出高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左右时,人脚的 感觉最舒适.
你想知道专家们是怎 么样计算的吗？
复习回顾
1. 解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2. 解直角三角形的依据
B
(1) 三边之间的关系: a2＋b2＝c2(勾股定理)；
(2) 两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
c
a
(3) 边角之间的关系: