河北省衡水2019届高三上学期期中考试理科数学试卷(有答案)(精选)
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
A． 向左平移 个单位 B． 向右平移 个单位
C． 向左平移 个单位 D． 向右平移 个单位
【答案】B
【解析】
设出将函数y=sin（2x+ ）的图象平移ρ个单位得到关系式，然后将x=﹣ 代入使其等于0，再由正弦函数的性质可得到ρ的所有值，再对选项进行验证即可．
所以BC＝ ×sin∠BAC＝ × ＝6，
于是CD＝ BC＝3．
在△ADC中，AC＝2 ，cosC＝ ，
所以由余弦定理，得
AD＝
＝ ＝ ．
即中线AD的长为 ．
19．如图，抛物线 的焦点为F，准线 与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心， 为半径作圆，设圆C与准线 交于不同的两点M，N.
【点睛】
本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中 与椭圆中 的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出 的值,可得 ；（2）建立 的齐次关系式,将 用 表示,令两边同除以 或 化为 的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．
2019届河北省衡水中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
所以，点P的轨迹方程为： ．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的方程与定义，考查学生的计算能力，正确运用椭圆的定义是关键，属于中档题,圆锥曲线中的求轨迹方程的方法；常见的方法有：数形结合法即几何法；相关点法，直接法；定义法，代入法，引入参数再消参的方法，交轨法是一种解决两直线交点的轨迹的方法，也是一种消参的方法。
10．已知 是椭圆 的左、右焦点，点M（2，3），则∠ 的角平分线的斜率为
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三(上)期中理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为．16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，即a＝1．故选：C．2．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得a7的值，再根据b2b12＝计算．解：由a5﹣2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3（a1+6d）＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7＝＝b7，则b2b12＝＝．故选：C．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；由选项可知，应选B，故选：B．4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．解：（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＝4（）2﹣4＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，故当θ唯一确定时，||唯一确定．故选：D．5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM 最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，∴PC最小值＝＝，∴PM最小值＝＝，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．再根据五点法作图，可得ω•+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，故选：C．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．解：∵f（x）＝﹣4sin x cos x＝﹣2sin2x∴f（x）的最小正周期为T＝π；又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）⇒﹣f（x）＝f（x+2a），而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）⇒f（x）＝f（x+4a），∴f（x）是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a＝；故选：D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n﹣1，当n＝1时也满足，∴＝（）n﹣1，∴数列{}的前20项和为＝﹣故选：A．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]【分析】利用函数求导函数f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有e x﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝e x，v （x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，解：函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出解：设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，由|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|＝m﹣2a，由|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m﹣2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，∴m＝2a（﹣1），∴|AF2|＝•2a（﹣1）＝2a（3﹣）|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，即（19﹣10）a2＝c2，∴e2＝19﹣10，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，∴＝，∴．故答案为：．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝16 ．【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．解：由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．联立，得x2﹣10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为（﹣1，+∞）．【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，∵当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，∴m＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝ 1 ．【分析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．解：由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF ＝，代入结合正弦函数的性质可求．解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF 都为边长为1km的等边三角形，面积，绿化面积＝km2；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，∴BE＝，△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，由正弦定理可得，，∴CF＝，∴BE+CF＝+＝，＝═＝1＝1，∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF＝＝（30°＜α＜90°），，，∴，∴，答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列关于d 和q的方程组，求得q，可得数列{b n}的通项公式；（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得，解得q＝2．∴；（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．综上，S5＝75或5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P+y N＝2y M，得出结论．解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设l OA：y＝kx，则由'解得，又D（2，1）到l OA：kx﹣y＝0的距离为，即，所以．（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），由y2＝4x（y＞0）可得，所以，所以，所以，即，所以B（0，4），设l：y＝mx+4，P（），Q（），由，l OQ：，得，y N＝，由，解得my2﹣4y+16＝0，所以，，所以＝，即M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．解：（1）∵等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}，∴a1＝0，d＝，，∴b n＝sin（a n）＝0，，故S＝{0，}；（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin（）＝，故成立，因为a1＝，要使a n（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；（3）①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin（a n+4d）＝sin a n，或a n+4d＝2kπ﹣a n，等差数列a n的公差d∈（0，π]，故，，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，＝假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知曲线f(x)＝xcosx+3x在点（0, f(0)）处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A.−4B.−1C.1D.4【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．【解答】f(x)＝xcosx+3x的导数为f′(x)＝cosx−xsinx+3，可得在点（0, f(0)）处的切线斜率为cos0−0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得−a4=−14，即a＝1．2. 已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5−2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A.49B.32C.94D.23【答案】C【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2a72，求得a7的值，再根据b2b12=b72计算．【解答】由a5−2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3(a1+6d)＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7=32=b7，则b2b12=b72=94．3. 对于函数f(x)，若存在区间A＝[m, n]使得{y|yf(x), x∈A}＝A则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f(x)＝cosπ2x；②f(x)＝x2−1；③f(x)＝|x2−1|；④f(x)＝log2(x−1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A.①②B.①②③C.②③D.①②④【答案】B【考点】命题的真假判断与应用 【解析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！ 【解答】对于函数①f(x)=cosπx 2，当x ∈[0, 1]，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意；对于函数②f(x)＝x 2−1，当x ∈[−1, 0]时，则有f(x)∈[−1, 0]，符合题意； 对于函数③f(x)=||，当x ∈[0, 1]时，则有f(x)∈[0, 1]，符合题意； 由选项可知，应选B ，4. 设θ为两个非零向量a →,b →的夹角，已知对任意实数t ，|b →+ta →|的最小值为1，则（ ）A.若|a →|确定，则 θ唯一确定 B.若|b →|确定，则θ唯一确定 C.若θ确定，则|a →|唯一确定 D.若θ确定，则|b →|唯一确定 【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由题意可得，(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，可得判别式△<0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案． 【解答】(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2，则令g(t)=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2， 可得判别式△＝4(a →⋅b →)2−4a →2b →2＝4a →2b →2cos 2θ−4a →2b →2=−4a →2b →2sin 2θ<0，由二次函数的性质，可得g(t)>0恒成立． 且当t =−2a →⋅b →2a →2=−|b →||a →|cosθ时，g(t)最小，且为1．即g(−|b →||a →|cosθ)＝−|b →|2cos 2θ+|b →|2＝|b →|2sin 2θ＝1，故当θ唯一确定时，|b →|唯一确定．5. 已知点P(x, y)是直线y ＝2√2x −4上一动点，PM 与PN 是圆C:x 2+(y −1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A.4 3B.23C.53D.56【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．【解答】圆C:x2+(y−1)2＝1圆心坐标为(0, 1)，半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2√2x−4上的动点，∴PC最小值=√8+1=53，∴PM最小值=√(53)2−12=43，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×12×43×1=43．6. 已知函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象如图所示，则f(3π4)=()A.−√22B.−12C.−1D.√22【答案】C【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(3π4)的值．【解答】由函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0<φ<π2)的部分图象，可得A＝2，由2sinφ=√3，求得φ=π3．再根据五点法作图，可得ω⋅7π12+π3=3π2，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x+π3)，∴f(3π4)＝2sin(3π2+π3)＝−2cosπ3=−1，7. 已知函数f(x)=12−4sinxcosx，若f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，则实数a的最小正值为（）A.2πB.πC.π2D.π4【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】将函数式f(x)进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．【解答】∵f(x)=12−4sinxcosx=12−2sin2x∴f(x)的最小正周期为T＝π；又∵f(x−a)＝−f(x+a)恒成立，∴f(x)＝−f(x+2a)⇒−f(x)＝f(x+2a)，而−f(x)＝f(x−2a)，∴f(x+2a)＝f(x−2a)⇒f(x)＝f(x+4a)，∴f(x)是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a=π4；8. 设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{1a n}的前20项和为（）A.3 2−12×319B.74−14×319C.3 2−12×3D.74−14×3【答案】A【考点】数列的求和【解析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到1 a n =(13)n−1，再根据等比数列的求和公式即可求出．【解答】设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n−1，∴a n+1−a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n−1，当n＝1时也满足，∴1a n =(13)n−1，∴数列{1a n }的前20项和为1−13201−13=32−12×3199. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A.√3−1B.√3+12C.√22D.√5−12【答案】A【考点】椭圆的离心率【解析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．【解答】椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得(2a−c)2+c2＝4c2，可得2a2−2ac＝c2，所以e2+2e−2＝0，e∈(0, 1)，解得e=−2+√122=√3−1．10. 已知函数f(x)=asinx−√3cosx图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A.(−∞, e) B.[0, e] C.(−∞, 2) D.(0, 2]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】利用函数求导函数f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，只有一个极值点时f′(x)＝0只有一个实数解有e x−kx≥0，设新函数设u(x)＝e x，v(x)＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，【解答】函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝e x(x−2)−kx2+2kx＝(x−2)(e x−kx)，若函数f(x)＝e x(x−3)−13kx3+kx2只有一个极值点，f′(x)＝0只有一个实数解，则：e x−kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0时，成立．当k≠0时，设u(x)＝e x，v(x)＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k<0时不成立．故k的取值范围为：(0, e]综上：k的取值范围为：[0, e]12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A.11+4√3B.13+5√3C.16−6√3D.19−10√3【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a(3−√3)，|AF1|＝2a(2−√3)，再根据勾股定理即可求出【解答】设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30∘，∴|AB|=12|BF2|＝m，|AF2|=√32|BF2|=√3m，由|AF2|−|AF1|＝2a，∴|AF1|=√3m−2a，由|BF2|−|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m−2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴√3m−2a+2m−2a＝m，∴m＝2a(√3−1)，∴|AF|=√3⋅2a(√3−1)＝2a(3−√3)2|AF1|＝2a(3−√3)−2a＝2a(2−√3)又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2(3−√3)2+4a2(2−√3)2＝4c2，即(19−10√3)a2＝c2，∴e2＝19−10√3，二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）已知向量a→，b→，|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，则a→⋅b→=________．【答案】12【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据|a→|=1,|b→|=2，对|2a→+b→|=√10两边平方即可得出4+4a→⋅b→+4=10，从而可求出a→⋅b→．【解答】∵|a→|＝1，|b→|＝2，且|2a→+b→|=√10，∴(2a→+b→)2=4a→2+4a→⋅b→+b→2=4+4a→⋅b→+4=10，∴a→⋅b→=1．2已知抛物线E:y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝________．【答案】16【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．【解答】由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30∘，则直线AB的倾斜角为60∘，斜率为√3．由抛物线y2＝12x，得F(3, 0)，则直线AB的方程为y=√3(x−3)．联立{y=√3(x−3)y2=12x，得x2−10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．已知函数f(x)＝(x2−2x)e x−1，若当x>1时，f(x)−mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为________．【答案】(−1, +∞)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．【解答】∵f(x)−mx+1+m≤0，∴f(x)≤m(x−1)−1，∵y＝m(x−1)−1且过定点(1, −1)，∵当x>1时，f(x)−mx+1+m≤0有解，∴当x>1时，存在y＝f(x)在y＝m(x−1)−1的下方，∵f′(x)＝(x2−2)e x−1，令f′(x)＝0，解得x=√2，当1<x<√2时，f′(x)<0，当x>√2时，f′(x)>0，∴f(x)在(1, √2)上递减，在(√2,+∞)上递增，∵当x>2时，f(x)>0，又f(1)＝−1，f(√2)<−1，f(2)＝0，∴m>−1，故答案为：(−1, +∞)数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝________．【答案】1【考点】数列的求和【解析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，进而得出结论．【解答】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得a2n−1=n，即a2n−1+k=a k(1≤k<2n−1)，故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60∘角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE=α．(1)当α=60∘时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围．【答案】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120∘−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120∘−α)，∴CF=sin(120∘−α)sinα，∴BE+CF=sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin2(120∘−α)+sin2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴S(α)=S△ABC −S△BDE−S△CDF=√3−√34(BE+CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32，∴23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32.故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√3 2].【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式解三角形正弦函数的定义域和值域【解析】（1）当α＝60<em>o</em>时，DE // AC，DF // AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s(α)＝s△<em><em>ABC</em></em>−s△<em><em>BDE</em></em>−s<em>CDF</em>=√3−√34(BE+CF)，代入结合正弦函数的性质可求．【解答】解：(1)当α=60∘时，DE // AC，DF // AB，则四边形AEDF为平行四边形，所以△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，且面积都为√34km2，故绿化面积为√34×22−2×√34=√32(km2).(2)由题意可得，30∘<α<90∘，在△BDE中，∠BED=120∘−α，由正弦定理可得BEsinα=1sin(120−α)，∴BE=sinαsin(120∘−α)，在△CDF中，∠CDF=120∘−α，∠CFD=α，由正弦定理可得1sinα=CFsin(120−α)，∴ CF =sin(120∘−α)sinα，∴ BE +CF =sin(120∘−α)sinα+sinαsin(120∘−α)=sin 2(120∘−α)+sin 2αsinα⋅sin(120∘−α)=(√32cosα+12sinα)2+sin 2αsinα⋅(12sinα+√32cosα)=134√32sinαcosα+12sin 2α=1+34√34sin2α−14cos2α+14=1+32×1sin(2α−30∘)+12，∴ S(α)=S △ABC −S △BDE −S △CDF =√3−√34(BE +CF)=3√34−3√38⋅112+sin(2α−30∘)(30∘<α<90∘).∵ 12<sin(2α−30∘)≤1，1<sin(2α−30∘)+12≤32， ∴ 23≤112+sin(2α−30∘)<1，∴3√38<S(α)≤√32. 故地块的绿化面积S(α)的取值范围(3√38,√32].已知等差数列{a n }前n 项和S n ，等比数列{b n }前n 项和为T n ，a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4．（1）若a 3+b 3＝7，求数列{b n }的通项公式；（2）若T 3＝13，求S 5． 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5． 【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由已知列关于d 和q 的方程组，求得q ，可得数列{b n }的通项公式；（2）由b 1＝1，T 3＝13列式求得q ，然后分类求解S 5． 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由a 1＝1，b 1＝1，a 2+b 2＝4，a 3+b 3＝7，得 {1+d +q =41+2d +q 2=7，解得q ＝2． ∴ b n =b 1q n−1=2n−1；由b 1＝1，T 3＝13，得1+q +q 2＝13，即q ＝−4或q ＝3．当q ＝−4时，b 2＝−4，此时a 2＝4−b 2＝8，d ＝a 2−a 1＝7，S 5=5+5×42×7=75；当q ＝3时，b 2＝3，此时a 2＝4−b 2＝1，d ＝a 2−a 1＝0，S 5＝5a 1＝5． 综上，S 5＝75或5．已知圆D ：(x −2)2+(y −1)2＝1，点A 在抛物线C:y 2＝4x 上，O 为坐标原点，直线OA 与圆D 有公共点．（1）求点A 横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA 过圆心D 时，过点A 作抛物线的切线交y 轴于点B ，过点B 引直线l 交抛物线C 于P 、Q 两点，过点P 作x 轴的垂线分别与直线OA 、OQ 交于M 、N ，求证：M 为PN 中点． 【答案】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x ′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1，即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4，所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P +y N =y 1+y 12y 2=y 12(y 1+y 2)y 1y 2=y 12⋅4m16m =y 124=2y M ，即M 为PN 中点． 【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意设出直线OA 的方程，联立抛物线方程可表示出交点A 的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA 斜率范围，继而算出A 点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB 的斜率，继而写出AB 的方程，可以求得B 点坐标，设出直线l 及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P +y N ＝2y M ，得出结论． 【解答】由题意直线OA 斜率存在且不为零，设l OA :y ＝kx ，则 由{y =kx y 2=4x′解得x A =4k 2， 又D(2, 1)到l OA :kx −y ＝0的距离为√k 2+1≤1， 即0≤k ≤43， 所以x A ∈[94,+∞)．证明：当直线OA 过圆心D(2, 1)时，k =12，x A =4k 2=16，A(16, 8)， 由y 2＝4x(y >0)可得y =2√x ， 所以y ′=√x ，所以k AB =y ′|x=16=14，所以l AB :y −8=14(x −16)，即y =14x +4， 所以B(0, 4)， 设l:y ＝mx +4，P(y 124,y 1)，Q(y 224,y 2)，由l OA :y =12x ，l OQ :y =4y 2x ，得y M =y128，y N =y 12y 2，由{y =mx +4y 2=4x ，解得my 2−4y +16＝0， 所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=16m，所以y P+y N=y1+y12y2=y12(y1+y2)y1y2=y12⋅4m16m=y124=2y M，即M为PN中点．已知等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}．（1）若a1＝0，d=2π3，求集合S；（2）若a1=π2，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【答案】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}【考点】数列与函数的综合【解析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．【解答】∵等差数列{a n}的公差d∈(0, π]，数列{b n}满足b n＝sin(a n)，集合S＝{x|xb n, n∈N∗}，∴a1＝0，d=2π3，a n=2π3(n−1)，∴b n＝sin(a n)＝0，−√32,√3 2，故S＝{0, −√32,√32}；a1=π2，a n=π2+(n−1)d，d∈(0, π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin(π2+(n−1)π)={1,n−1,n，故成立，因为a1=π2，要使a n(n≥2)的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d=2π3，故d＝π或2π3；①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1, b2, b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=2π3n，此时S={−√32,√32,0}．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin(a n+4d)＝sina n，a n+4d=a n+2kπ或a n+4d＝2kπ−a n，等差数列a n的公差d∈(0, π]，故a n+4d=a n+2kπ，d=kπ2，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0, 1, −1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为a n=π2n，此时S＝{0, 1, −1}已知函数f(x)＝(x −1)lnx ，g(x)=x −lnx −3e ． (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)令ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1+e >x 2+1e ． 【答案】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；(Ⅱ)求出ℎ(x)＝mf(x)+g(x)(m >0)的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，所在位置，即可证明：x 1+e >x 2+1e ． 【解答】（1）由题可知f ′(x)=lnx +1−1x ，f ′(x)单调递增，且f ′(1)＝0， 当0<x <1时，f ′(x)<0，当x ≥1时，f ′(x)≥0； 因此f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增．（2）证明：由ℎ(x)=m(x −1)lnx +x −lnx −3e 有两个零点可知 由ℎ(x)=m(1+lnx −1x )+1−1x 且m >0可知， 当0<x <1时，ℎ′(x)<0，当x ≥1时，ℎ′(x)≥0； 即ℎ(x)的最小值为ℎ(1)=1−3e <0，因此当x =1e 时，ℎ(1e )=m(1e −1)(−1)+1e −(−1)−3e =m(e−1)+e−2e>0，可知ℎ(x)在(1e ,1)上存在一个零点；当x ＝e 时，ℎ(e)=m(e −1)+e −1−3e >0， 可知ℎ(x)在(1, e)上也存在一个零点； 因此x 2−x 1<e −1e ，即x 1+e >x 2+1e ．已知椭圆C:y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过定点M(1, √22)． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线l:y ＝kx −13(k ∈R)与椭圆C 交于A 、B 两点，试问在y 轴上是否存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点？若存在，求出P 点的坐标和△PAB 的面积的最大值，若不存在，说明理由． 【答案】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的离心率 【解析】（1）运用离心率公式和点M 满足椭圆方程，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P(0, p)，求得向量PA ，PB 和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论． 【解答】由已知可得{ e =ca =√22b 2+c 2=a 212a 2+1b 2=1⇒{a 2=52b 2=54， ∴ 椭圆C 的方程为2y 25+4x 25=1；由{y =kx −132y 25+4x 25=1得：9(2k 2+4)x 2−12kx −43＝0① 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程①的两根， ∴ x 1+x 2=12k9(2k 2+4),x 1x 2=−439(2k 2+4)，设P(0, p)，则PA →=(x 1,y 1−p),PB →=(x 2,y 2−p)，PA →⋅PB →=x 1x 2+y 1y 2−p(y 1+y 2)+p 2=x 1x 2+(kx 1−13)(kx 2−13)−pk(x 1+x 2)+2p 3+p 2=(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −399(2k 2+4)假设在y 轴上存在定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过P 点， 则PA →⊥PB →，即PA →⋅PB →=0．即(18p 2−45)k 2+36p 2+24p −39＝0对任意k ∈R 恒成立， ∴ {18p 2−45=036p 2+24p −39=0 ，此方程组无解，∴ 不存在定点满足条件．。
河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试(理科)数学试题及答案
2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题 （一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+， 故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ． 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ． （方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ． 因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ． 以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===． 故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）． 联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+． 设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-． 设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++． 因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立． 所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>． 设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数， 所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点， 即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===． 设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=． 当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0． 所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数， 所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点， 即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1． 当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=． 由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1， 由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}． （2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2． 所以k≥3． 因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==， 又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥， 即65k k +≥．。
2018-2019学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合，集合，则A. B. C. D. 1，【答案】D【解析】解：集合1，2，3，，集合，则1，．故选：D．化简集合A，根据交集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2. 已知i为虚数单位，实数x，y满足，则A. 1B.C.D.【答案】D【解析】解：，，．则．故选：D．利用复数代数形式的乘法运算化简，求出x，y的值，再由复数求模公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3. 如图，已知，，，，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解：，，故选：B．根据向量的三角形法和加减的几何意义即可求出．本题考查了向量的三角形法和向量的数乘运算，属于基础题4. 设，，，，则A. B. C. D.【答案】D 【解析】解：，，，．在R上为增函数，，故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知命题p：若且，则；命题q：，使，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢【答案】A【解析】解：若且，则且，得，即，从而，命题p为真．直线与函数的图象在内有唯一交点，则方程有正数解，即方程有正数解，命题q为真，为真命题．故选：A．利用基本不等式的性质判断p为真命题，由直线与函数的图象在内有唯一交点，可得命题q为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查基本不等式的应用，考查函数零点的判定方法，是中档题．6. 设是公差不为0的等差数列，满足，则的前10项和A. B. C. 0 D. 5【答案】C【解析】解：，化简可得：，即，．，，，，故选：C．，化简可得：，可得，再利用等差数列通项公式求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是A. 2B. 4C.D.【答案】C【解析】解：由三视图可得原几何体如图，底面ABC，平面底面ABC，而，平面PAC，．该几何体的高，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．，，，该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．本题考查了由三视图还原原图形，考查了学生的空间想象能力和思维能力．8. 过双曲线C：的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，则双曲线C的方程为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点为坐标原点，半径，则圆的标准方程为，，，即，则，即，即，即，则，，则双曲线C的方程为，故选：D．根据圆的性质，求出圆心坐标，即求出A的坐标，代入圆的方程进行求解即可．本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径是解决本题的关键．9. 已知过点作曲线C：的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设切点为，的导数为，可得切线的斜率为，则切线方程为，切线过点代入得，可得，即方程有两个解，则有可得或．即a的取值范围是．故选：A．设切点为，求得的导数，可得切线的斜率，求出切线方程，代入A的坐标，整理为m的二次方程，由判别式大于0，解不等式即可得到所求范围．本题考查导数的运用：求切线方程，考查转化思想和方程思想，以及运算能力，属于中档题．10. 已知，其中，，，，将的图象向左平移个单位得，则的单调递减区间是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，其中，，，，，，．又，的图象的对称轴为，，，，将的图象向左平移个单位得的图象，令，求得，则的单调递减区间是，故选：A．利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得的解析式，利用函数的图象变换规律求得的解析式，利用余弦函数的单调性求得则的单调递减区间．本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．11. 焦点为F的抛物线C：的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当取得最大值时，直线MA的方程为A. 或B.C. 或D.【答案】A【解析】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则丨丨丨丨，则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设切线方程为，则，，，，则，则直线方程或，故选：A．由题意可知则当取得最大值，则必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，设直线l的方程，代入抛物线方程，由，考虑求得MA的方程．本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想，属于中档题．12. 已知半径为3cm的球内有一个内接四棱锥，四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥的体积最大时，它的底面边长等于A. 2cmB. 4cmC.D. 24cm【答案】B【解析】解：如图，设四棱锥的底面边长为2a，高为，则底面正方形外接圆的半径为，侧棱长，由射影定理可得：，则四棱锥的体积，则，可得当时，V有最大值，此时，，则底面边长等于4cm．故选：B．由题意画出图形，设四棱锥的底面边长为2a，高为，可得，写出棱锥体积，把a用h表示，再由导数求解得答案．本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，训练了导数在求最值问题中的应用，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是______请将所有正确命题的序号都填上【答案】【解析】解：若，，则，，a与c异面都有可能；若，，由公理4得；若，，则，，a与b异面都有可能；若，，则，由课本例题可知．故答案为：．可利用长方体来观察；由空间平行线的传递性可得；垂直同一平面的两直线互相平行．本题考查空间线线和线面的位置关系，考查空间想象力，注意课本例题，有的可当结论用，属于基础题和易错题．14. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______参考数据：，【答案】24【解析】解：模拟执行程序，可得，，不满足条件，，，不满足条件，，，满足条件，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．15. 已知实数x，y满足，若的最大值为5，则正数m的值为______．【答案】2【解析】解：由题意作出实数x，y满足的平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，故结合图象可得，，解得，，；故；故答案为：2．由题意作出其平面区域，将化为，z相当于直线的纵截距，从而解方程可求出m，即可．本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．16. 费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为根据以上性质，函数的最小值为______．【答案】【解析】解：由两点间的距离公式得为点到点，，的距离之和，即求点到点，，的距离之和的最小值，取最小值时的这个点即为这三个点构成的三角形的费马点，如右图，在等腰三角形AMB中，，可得，，容易求得最小值为．故答案为：．由两点距离公式可得表示点到点，，的距离之和，由新定义可得的最小值点即为费马点，由解三角形可得所求最小值．本题考查两点的距离公式的运用，考查新定义的理解和运用，以及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70分）17. 已知数列为等差数列，首项，公差若，，，，，成等比数列，且，，．求数列的通项公式；设，求和．【答案】解：数列为等差数列，首项，公差．，，，，，成等比数列，且，，．，，，解得或舍，分，分分，分【解析】由已知得，从而，，由此能求出．由，，能求出．本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．18. 如图，在中，BC边上的中线AD长为3，且，．求的值；求及外接圆的面积．【答案】解：在中，，，，由正弦定理，得；，，，，，分为BC中点，，在中，由余弦定理得：，．设外接圆的半径为R，，，外接圆的面积【解析】由正弦定理即可解得的值；先求得，，利用两角和的余弦函数公式可求，由题意可求，利用余弦定理即可求得AC的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径，面积即可求出．此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，已知，，于E．求证：；若平面平面ABCD，且，求二面角的余弦值．【答案】证明：连接PE，，，AE是公共边，≌ ，，，，又平面PCE，平面PCE，，平面PCE，又平面PCE，；解：由平面PEC，平面平面ABCD，，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．，，，，，，则0，，0，，，，，．设平面PCD的法向量为，则，即，令，则，又平面PAD的一个法向量为，设二面角所成的平面角为，则，由图可知二面角是锐角，故二面角的余弦值为．【解析】连接PE，证明 ≌ ，可得，由，得，由线面垂直的判定可得平面PCE，从而得到；由平面PEC，平面平面ABCD，可得EP，EA，EC两两垂直，以E为原点，EA，EC，EP 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查空间中线面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题．20. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是E、F，离心率，过点F的直线交椭圆C于A、B两点，的周长为16．求椭圆C的方程；已知O为原点，圆D：与椭圆C交于M、N两点，点P为椭圆C上一动点，若直线PM、PN与x轴分别交于G、H两点，求证：为定值．【答案】解：由题意和椭圆的定义得，则，由，解得，则，所以椭圆C的方程为；证明：由条件可知，M，N两点关于x轴对称，设，，则，由题可知，，，所以，．又直线PM的方程为，令得点G的横坐标，同理可得H点的横坐标，所以，即为定值．【解析】利用椭圆的定义可求出a的值，再利用离心率求出c，从而得出b的值，从而求出椭圆方程；先设M、P两点的坐标，再表示处N点的坐标，根据椭圆方程用M、P的纵坐标表示处它们的横坐标，之后利用直线PM和PN的方程求出G和H的横坐标，最后即可求得为定值．本题考查了椭圆的定义和性质，证明题关键在于正确设出点的坐标，利用椭圆方程和直线方程正确表示出点的坐标，属于中档题．21. 已知函数．Ⅰ若函数有零点，求实数a的取值范围；Ⅱ证明：当时，．【答案】解：Ⅰ法1：函数的定义域为．由，得分因为，则时，；时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增分当时，分当，即时，又，则函数有零点分所以实数a的取值范围为分法2：函数的定义域为．由，得分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减分故时，函数取得最大值分因而函数有零点，则分所以实数a的取值范围为分Ⅱ要证明当时，，即证明当，时，，即分令，则．当时，；当时，0'/>．所以函数在上单调递减，在上单调递增．当时，分于是，当时，分令，则．当时，0'/>；当时，．所以函数在上单调递增，在上单调递减．当时，分于是，当时，分显然，不等式、中的等号不能同时成立分故当时，分【解析】Ⅰ法一：求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：求出，令，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ问题转化为，令，令，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、考查不等式的证明，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线，的极坐标方程；Ⅱ在极坐标系中，射线与曲线，分别交于A，B两点异于极点，定点，求的面积．【答案】解：Ⅰ曲线：，曲线的极坐标方程为：，---------分曲线的参数方程为为参数．曲线的普通方程为：，---------分，曲线的极坐标方程为---------------分Ⅱ由Ⅰ得：点A的极坐标为，---------分点B的极坐标为，----------分，------------------分点到射线的距离为，--------------------------分的面积为：---------分【解析】Ⅰ由曲线的普通方程能求出曲线的极坐标方程；由曲线的参数方程能求出曲线的普通方程，由此能求出曲线的极坐标方程．Ⅱ点A的极坐标为，点B的极坐标为，从而，点到射线的距离为，由此能求出的面积．本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数，．当时，若的最小值为3，求实数a的值；当时，若不等式的解集包含，求实数a的取值范围．【答案】解：当时，，因为的最小值为3，所以，解得或4．当时，即，当时，，即，因为不等式的解集包含，所以且，即，故实数a的取值范围是．【解析】当时，化简的表达式，利用绝对值的几何意义，求解最小值然后求解a即可．当时，即，通过x的范围，转化去掉绝对值符号，推出a 的范围．本题考查函数的最值的求法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）已知集合 S={ 1，2} ， T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ）
A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2
2．（ 5 分）已知复数 z1，z2 满足 | z1| =| z2| =1，| z1﹣z2| = ，则| z1+z2| 等于（ ） A．2 B． C．1 D．3
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 解答时请写清题号 .[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ] 22．（ 10 分）在直角坐标系中，圆 C 的方程是 x2+y2﹣4x=0，圆心为 C，在以坐标 原点为极点， 以 x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 C1：ρ＝﹣4 sin θ 与圆 C 相交于 A， B 两点． （ 1）求直线 AB 的极坐标方程；
2019-2020 学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷 （理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1．（5 分）（2019?云南二模）已知集合 S={ 1，2} ，T={ x| x2＜4x﹣ 3} ，则 S∩T=（ ） A．{ 1} B．{ 2} C．1 D．2 【分析】 求出 T 中不等式的解集确定出 T，找出 S 与 T 的交集即可． 【解答】 解：由 T 中不等式变形得： x2﹣ 4x+3＜0，即（ x﹣1）（ x﹣3）＜ 0， 解得： 1＜x＜3，即 T=（1，3）， ∵ S={ 1，2} ， ∴ S∩ T={ 2} ， 故选： B．
∴
﹣ 2z1z2+
河北省衡水2019-2020学年高三上学期期中考试理科数学试卷(有答案)(已审阅)
2019-2020学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2x+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A. B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.4 9.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 211.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是A. B. 2]C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
河北省衡水市景县2019-2020学年高三数学上学期期中试题(理)(有答案)(已纠错)
河北省衡水市景县2019-2020学年上学期期中试题高三数学理科一、选择题（每个5分）1、 设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A ∩Z 中元素的个数是（ ） A 3 B 4 C 5 D 62、 为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A 向左平行移动π3个单位长度 B 向右平行移动π3个单位长度 C 向左平行移动π6个单位长度 D 向右平行移动π6个单位长度 3、已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ） A. 140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <> 4、命题“**,()n N f n N ∀∈∈ 且()f n n ≤的否定形式是（ ）A. **,()n N f n N ∀∈∉且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∉或()f n n > C. **00,()n N f n N ∃∈∉且00()f n n > D. **00,()n N f n N ∃∈∉或00()f n n > 5、已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（ ）A a b c <<B a c b <<C c a b <<D c b a <<6、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7、 设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的( )A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8、在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ==∙=则点集{},1,,P OP OA OB Rλμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是( )AC D 9、设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）A (0,1)B (0,2)C (0,+∞)D (1,+∞) 10、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+11、某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁到北三环外重新租地建设。
2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水市第二中学高三上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据集合的基本运算进行求解即可.【详解】因为，，所以，故选B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2．（）A．B．C．D．【答案】A【解析】首先计算，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】，故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.3．已知函数，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求，再求，即得结果.【详解】依题意得，故选：B【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.4．若向量，满足，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将已知向量的模进行平方作差运算，可得结论.【详解】∵，，，.故选C.【点睛】本题考查了向量模的运算，遇到向量的模，一般将其平方，有利于运算，本题属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.根据题意，循环体为“直到型”循环结构，输入，第一次循环，，；第二次循环，，；第三次循环，，结束循环，输出，故选B.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有循环结构程序框图的输出结果，属于简单题目.6．设，满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时取得最大值，得到结果.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示：画出可行域知，当平移到过点A时z达到最大，由，解得，此时，故选C.该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式以及z的几何意义，从而求得结果.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断几何体的形状，利用三视图的数据，结合几何体的体积公式，求解几何体的体积即可.【详解】由三视图可知，该几何体是在一个底面边长为，高为的四棱锥中挖掉个半径为的球，故该几何体的体积为，故选A.【点睛】该题考查的是有关几何体的体积的问题，涉及到的知识点有利用三视图还原几何体，求有关几何体的体积，属于中档题目.8．已知命题：存在正数，使函数在上为偶函数；：对任意的，函数的值恒为正数，则在命题，，和中，真命题是（）A．，B．，C．，D．，【解析】首先判断命题和命题的真假，之后应用复合命题的真值表判断各个命题的真假，得到结果.【详解】当时，函数在上为偶函数，所以是真命题.当时，，所以是假命题.故和是真命题，故选C.【点睛】该题考查复合命题的真假问题，在解题的过程中，正确判断命题和命题的真假是解题的关键.9．已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，，所以，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.10．已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是锐角三角形，利用向量夹角为锐角的条件，从而转化为向量的数量积大于零，即，，找出所满足的条件，最后求得结果.【详解】由题意得，，，因为为锐角三角形.所以，，即，，从而，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用锐角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数图象上的特殊点的坐标，锐角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于中档题目.11．数列中的项按顺序可以排列成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从作到右分别排，；第三行项，……以此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意由等比数列求和公式得各行的和，再利用分组求和法得，最后解不等式得结果.【详解】设满足的最小正整数为，项在图中排在第行第列（且），所以有，则，，即图中从第行第列开始，和大于.因为前行共有项，所以最小正整数的值为.故选：C【点睛】本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.12．已知函数，若对，，使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】首先根据条件判断出函数在上单调递增，从而去掉绝对值符号，记，该问题转化为在上单调递增，故在上恒成立，之后有在上恒成立，转化为最值来求解.【详解】当时，在上单调递增.则，因为，所以.记，因为，所以，则在上单调递增，故在上恒成立，即在上恒成立，整理得在上恒成立，则，故有，因为，使成立，所以，即.【点睛】该题考查导数与不等式恒成立的综合问题，考查转化与化归思想及运算求解能力，该题也可以转化为来求解，属于中档题目.二、解答题13．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求；（2）已知，，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，结合角B的取值范围求得结果；（2）利用题中所给的条件，结合（1）的结论，求得三角形的相应的边，之后应用直角三角形的面积公式求得结果.【详解】（1）在中，由正弦定理得.因为，所以，从而，所以，所以.（2）因为，，，所以，所以的面积.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，已知三角函数值求角，直角三角形的面积，属于简单题目.14．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足，，.（1）求，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；.（2）【解析】（1）由已知条件，利用等差数列和等比数列的性质，列出方程组，能求出数列的通项公式；（2）利用题的条件，求得，从而应用裂项相消法求得.【详解】（1）由题意，.设公差为，公比为，则，解得.故；.（2）因为，所以，故.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式的求解，以及应用裂项相消法对数列求和，属于中档题目.15．如图所示，在四面体中，，平面平面，，且.（1）证明：平面；（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）根据面面垂直的性质得到平面，从而得到，利用勾股定理得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）设，利用椎体的体积公式求得，利用导数研究函数的单调性，从而求得时，四面体的体积取得最大值，之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.（2）解：设，则，四面体的体积.，当时，，单调递增；当时，，单调递减.故当时，四面体的体积取得最大值.以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，即，令，得，同理可得平面的一个法向量为，则.由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的性质，线面垂直的判定，椎体的体积，二面角的求法，在解题的过程中，注意巧用导数求解体积的最大值.16．已知椭圆：的四个顶点围成的四边形的面积为，原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点？若存在，求出的方程：若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，且方程为或.【解析】（1）依题意列出关于a,b,c的方程组，求得a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到，要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，结合韦达定理可得到参数值.【详解】（1）直线的一般方程为.依题意，解得，故椭圆的方程式为.（2）假若存在这样的直线，当斜率不存在时，以为直径的圆显然不经过椭圆的左顶点，所以可设直线的斜率为，则直线的方程为.由，得.由，得.记，的坐标分别为，，则，，而.要使以为直径的圆过椭圆的左顶点，则，即，所以，整理解得或，所以存在过的直线，使与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的左顶点，直线的方程为或.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．17．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若，满足，证明：.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】（1）首先对函数求导，对参数的范围进行讨论,求得函数的单调性；（2）根据，得到，构造新函数，求导研究函数的单调性，进而证得结果.【详解】（1）因为，所以.①当时，在上恒成立，故函数在上单调递增.②当时，由，得，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：由（1）知，，在上单调递增，在上单调递减，由，得有两个不同的解，所以有，即，所以，不妨设，则，欲证，只需证，令，，，所以在上是增函数，，所以，即，，因为，又在上是减函数，所以，所以，所以.【点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，注意分类讨论思想的应用，再者就是根据题意构造新函数，通过研究函数图象的走向证得结果.18．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中.曲线的方程为，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）点为曲线上一动点，点为曲线上一动点，试求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】（1）运用代入极坐标方程，可化为普通方程，得到结果；（2）由（1）知，曲线的圆心为，半径为2的圆，利用椭圆的参数方程设，求出点P到圆心的距离的最小值减半径求得结果.【详解】（1）将代入极坐标方程，得曲线的普通方程为.（2）由（1）可设，因为曲线是一个圆，其圆心为，，所以.又，故当时，，，【点睛】该题考查的是有坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有极坐标方程向平面直角坐标方程的转化，椭圆的参数方程的应用，圆外一点与圆上的点的距离的最小值的求法，属于常考的题型.19．[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】（1）首先将代入函数解析式，之后应用零点分段法求绝对值不等式的解集；（2）将问题转化为在时恒成立，化简得，即或对任意的恒成立，之后转化为最值来处理.【详解】（1）当时，，故等价于或或，解得或.故不等式的解集为或.（2）当时，等价于，即，即或对任意的恒成立.又，，故的取值范围为.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的有关问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，恒成立问题求参数的取值范围，属于中档题目.三、填空题20．已知函数，则的定义域为__________.【答案】【解析】首先根据分式、偶次根式和对数式有意义的条件，列出所满足的不等式组，最后求得结果，注意定义域的条件，必须写成集合或者区间.【详解】因为，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，属于简单题目.21．在中，内角，，所对的边分别为，，.若，，，则____.【答案】【解析】先根据余弦定理得，再根据直角三角形求结果.【详解】因为，所以，结合化简得，从而有，即在为直角三角形，将，代入，得，于是，所以.【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.22．在数列中，，，则_________.【答案】【解析】由已知中数列的首项以及数列的递推公式，可求得的值，得到数列是周期数列并求得其周期，从而求得，代入求得结果.【详解】因为，，所以，，，，则数列是周期为的数列，故.因为，所以.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式解决数列的问题，属于简单题目.23．已知体积为的正四棱锥外接球的球心为，其中在四棱锥内部.设球的半径为，球心到底面的距离为。
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2018-2019学年度第一学期期中考试高三理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 抛物线24y x =的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(0,116) 2. 已知圆221236F x y ++=（:），定点220F （，），A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是A. 22143x y +=B.22195x y +=C.22134x y +=D.22159x y +=3.将函数y=3sin （2+3π）的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点（12π-，0）中心对称 A. 向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数21e x y x =-（）的图象是5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.83π B. 3π C.103π D.6π6.已知A B P 、、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上不同的三点，且A B 、连线经过坐标原点，若直线PA PB 、的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为A.B.C. 2D.37.已知抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到轴的最短距离为A.34 B.32C.1D.2 8. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为A. 8B.49.在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，2CA =，点P 为三角形ABC 所在平面上一动点，且满足BP =1，则()BP CA CB +的取值范围是A. [-B. [0,C. [-2,2]D.[-10.已知12,F F 是椭圆2211612x y +=的左、右焦点，点M （2，3），则∠12F MF 的角平分线的斜率为A. 1B.C. 2 11.如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为下图中的12.已知球O 与棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -的所有棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是△1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 A.B. 2]-C.D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
13.已知cos （θπ+）=13-，则sin （22πθ+）=. 14.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<,则当n =时，{}n a 的前n 项和最大. 15.如图1，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，E 是DC 的中点；如图2，将△DAE 沿AE 折起，使折起后平面DAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AE 和DB 所成角的余弦值为.16.已知函数4sin(2)6f x x π=+（）（0≤≤916π），若函数3F x f x =-（）（）的所有零点依次记为123123n n x x x x x x x x ⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<，，，，，，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10分）设n S 为各项不相等的等差数列{}n a 的前n 项和，已知357339a a a S ==，. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设n T 为数列{11n n a a +}的前n 项和，求n T .18. （本小题满分12分） 在△ABC 中，B =4π，AC =cos C=. (1)求sin BAC ∠的值；(2)设BC 的中点为D ,求中线AD 的长.19. （本小题满分12分）如图，抛物线24E y x =:的焦点为F ，准线l 与轴的交点为A ，点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，CO 为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.(1)若点C 的纵坐标为2，求MN ； (2)若2AF AM AN =，求圆C 的半径.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，12A A，分别为椭圆C 的左、右顶点，点21P -（，）满足121PA PA =. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M N 、，试问：在轴上是否存在点Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值，若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分） 已知函数ln f x x x =（）.(1)若直线l 过点（1，0），并且与曲线y f x =（）相切，求直线l 的方程；(2)设函数1g x f x a x =--（）（）（）在[1,e]上有且只有一个零点，求a 的取值范围.(其中a ∈R ，e 为自然对数的底数)22.（本小题满分12分）已知椭圆1:C 22221(0)x y a b a b +=>>，20P -（，）是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线PT T ，为切点，且PT =(1)求椭圆1C 及圆2C 的方程；(2)过点P 作互相垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆的另一交点为D ，2l 与圆交于A B ，两点,求△ABD 面积的最大值.参考答案与解析一、选择题1-5 DBBAB 6-10 CDCDC 11-12 AC 二、填空题 13.79-14.815.616.445π 三、解答题17. 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则由题意知1111(2)(4)3(6),3239,2a d a d a d a d ++=+⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得10,3d a =⎧⎨=⎩（舍去）或11,2.d a =⎧⎨=⎩所以2(1)11n a n n =+-⨯=+.(5分)（2）因为11n n a a +=111(1)(2)12n n n n =-++++，所以12231111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+=11()23-+11()34-+…+11()12n n -++=2(2)n n +.（10分） 18. 解：（1）因为cos 5C =，且C 是三角形的内角，所以=5. 所以()sin sin[]sin BAC B C B C π∠=-+=+=（）sin cos cos sin B C B C +=2525⨯+=10.（4分） (2) 在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin BC ACBAC B=∠，所以sin sin AC BC BAC B=∠62=，于是CD=132BC =.在△ADC 中，cosC=5，（8分） 所以由余弦定理，得=AD 的长分)19. 解：（1）抛物线E ：y 2=4的准线l 的方程为=-1，由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为（±1，2），所以点C 到准线l 的距离为d=2，又CO =所以2MN ===.（4分）（2）设C （200,4y y ），则圆C 的方程为242220000()()416y y x y y y -+-=+，即22200202y x x y y y -+-=.由=-1，得22002102y y y y -++=.设12-1,-1,M y N y （）（），则222000201244(1)240,212y y y y y y ⎧=-+=->⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩由2AF AM AN =，得124y y =，所以20142y +=，解得0y =，此时0>.所以圆心C的坐标为3(2或3(,2，从而2334CO =，CO =，即圆C的半径为2.(12分)20. 解：（1）依题意，12(,0),(,0)A a A a -，P （2，-1），所以12PA PA =（-a-2,1）·(a-2,1)=5-a 2,(2分)由12PA PA =1，a>0,得a=2,因为e=2c a =，所以，b 2=a 2-c 2=1，（4分） 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（5分）（2）假设存在满足条件的点Q （t ，0），当直线l 与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意，因此直线l 的斜率存在，设l ：y+1=（-2），由221(2),14y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y ，得（1+42）2-（162+8）+162+16=0，（7分） △=-64>0,所以<0,设1122(,),(,)M x y N x y ，则1+2=2216814k k k ++,12=22161614k kk ++,因为1212QM QN y yk k x t x t+=+-- =212112(21(2()()()1-)kx k kx k x t x t x t x t -+------））(=1212212122(21)()2(21)()kx x k kt x x k tx x t x x t -+++++-++=222(48)24(2)8(2)t k tt k t k t -+-+-+，（10分）所以要使对任意满足条件的，QM QN k k +为定值，则只有t=2，此时QM QN k k +=1. 故在轴上存在点Q （2，0）使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1.（12分） 21. 解：（1）设切点坐标为（0，y 0），则y 0=0ln 0,切线的斜率为ln 0+1， 所以切线l 的方程为y-0ln 0=（ln 0+1）（-0），又切线l 过点（1，0）， 所以有-0ln 0=（ln 0+1）(1-0)，即ln 0=0-1，设h （）=ln-+1，则1'()xh x x-=，∈（0,1），'()0hx >，h （）单调递增，∈（1,+∞），'()0h x <，h （）单调递减，h （）ma =h(1)=0有唯一解，所以0=1，y 0=0.所以直线l 的方程为y=-1.（4分）（2）因为g （）=ln-a （-1），注意到g （1）=0，所以所求问题等价于函数g （）=ln-a （-1）在（1，e]上没有零点.因为'()ln 1g x x a =+-.所以由'()0g x <⇔ln+1-a<0⇔0<<e a-1,'()0g x >⇔>e a-1,所以g （）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，+∞）上单调递增.（6分） ①当e a-1≤1，即a ≤1时，g （）在（1,e]上单调递增，所以g （）>g(1)=0. 此时函数g （）在（1,e]上没有零点，（7分）②当1<e a-1<e,即1<a<2时，g （）在[1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e]上单调递增， 又因为g （1）=0，g （e ）=e-ae+a ，g （）在(1,e]上的最小值为g （e a-1）=a-e a-1， 所以（i ）当1<a ≤ee-1时，g （）在[1,e]上的最大值g （e ）≥0，即此时函数g （）在(1,e]上有零点.（10分） （ii ）当ee-1<a<2时，g （e ）＜0，即此时函数g （）在（1,e]上没有零点， ③当e ≤e a-1即a ≥2时，g （）在[1,e]上单调递减，所以g （）在[1,e]上满足g （）<g(1)=0，此时函数g （）在(1,e]上没有零点.（11分） 综上，所求的a 的取值范围是a ≤1或a>ee-1.(12分)22. 解：（1）由a=2，e=2c =，得,所以，故所求椭圆方程为22142x y +=.由已知有=,圆C 2的方程为C 2：2+y 2=2.(4分)（2）设直线l 1方程为y=（+2），由22(2),142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（1+22）2+82+82-4=0，所以P +D =22812k k -+，又D=221224k k +-，所以DPD P x -. 直线l 2的方程为1(2),y x k =-+即+y+2=0，AB ==， 所以12ABDSAB DP ==12222411212k k k +⨯=++=43==，=时取等号，因此△ABD .(12分)。