07薛震-概率统计-D6样本及抽样分布-中北大学
最新中北大学概率统计习题册第一章完整答案(详解)讲课稿
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件{=A 两次出现的面相同}；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) 用+表示出现正面，-表示出现反面。
)},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 012{,,,,}kΩωωωω=，0123{,,,}A ωωωω=.其中k ω 表示1分钟内接到k 次呼唤，0,1,2,k=(3) 记x 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{|0}x x Ω=≥， {|20005000}A x x =≤≤.2. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) 1342A B x x B ⎧⎫=≤≤=⎨⎬⎩⎭;(2) 10122AB x x x B ⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎩⎭或1131422x x x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭;(3) 因为B A ⊂，所以ΦAB =；(4)130242AB A x x x ⎧⎫=≤<<≤⎨⎬⎩⎭或=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 3. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）；(6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
高中数学备课教案概率与统计的抽样分布与中心极限定理
高中数学备课教案概率与统计的抽样分布与中心极限定理高中数学备课教案：抽样分布与中心极限定理导语：数学是一门理科，也是一门实践性很强的学科。
在高中数学中，概率与统计是一个重要的模块，对于学生的数学素养和综合运用能力有着关键的作用。
而作为教师，我们需要制定备课教案，合理安排教学内容，以便提高学生的学习效果。
本文将针对高中数学备课教案中的一个重要内容进行论述，即抽样分布与中心极限定理。
一、抽样分布的概念及意义1.1 抽样分布的定义在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取若干个样本，计算各样本的统计量，并将这些统计量按照一定方式排列形成的新的频率分布。
1.2 抽样分布的意义通过抽样分布，我们可以了解样本统计量的分布规律，从而对总体进行推断。
抽样分布有助于我们进行假设检验、置信区间估计等统计推断的工作。
二、中心极限定理的概念及应用2.1 中心极限定理的定义中心极限定理是统计学中一个重要的定理，它指出当样本容量足够大时，无论总体分布形态如何，样本均值的分布都近似服从正态分布。
2.2 中心极限定理的应用中心极限定理为我们在实际问题中进行统计推断提供了便利。
通过中心极限定理，我们可以进行抽样分布的推断，如利用样本均值进行总体均值的估计、计算置信区间等。
三、备课教案设计3.1 教学目标通过本次教学，学生将了解抽样分布的概念及意义，掌握中心极限定理的定义与应用，提高统计推断的能力。
3.2 教学重点和难点教学重点：掌握抽样分布的概念、理解中心极限定理的由来及应用。
教学难点：理解中心极限定理的证明过程、运用定理进行实际问题的推断。
3.3 教学内容与教学方法教学内容：- 抽样分布的概念及意义- 中心极限定理的定义与应用教学方法：- 概念解释法：通过讲解与举例，引导学生了解抽样分布和中心极限定理的概念。
- 探究引导法：设计适当的实验或案例，让学生自主发现中心极限定理的应用。
3.4 教学步骤步骤一：引入概念，解释抽样分布的定义与意义。
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)说课讲解
中北大学概率统计习题册第二章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.设X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=111000)(2x x Ax x x F确定A 并求{}7.03.0≤<X P 。
解：由()F x 的右连续性得()11lim ()1x A F F x →+==={}()()220.30.70.70.30.70.30.4P X F F <≤=-=-=2. 检查下面数列，指出哪个是分布律，并说明理由,若是分布律,写出其分布函数. (1)5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p ； 解：由55()115x x xp x ====∑∑及 ()()00,1,,515xp x x =≥=L 知5,4,3,2,1,0,15)(==x xx p 是分布律。
分布函数为0,11/15,123/1523()6/153410/154515x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩(2)3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 。
解：由253(3)06p -=<知 3,2,1,0,65)(2=-=x x x p 不是分布律。
3. 设离散型随机变量X 的分布列为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.04.03.0101,求：(1)X 的分布函数；解：010.310()0.70111x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩(2) }21{≤≤-X P 。
解：{12}P X -≤≤()()()21110.30.31F F P X =-+=-=-+=4.某射手的射击命中率为p ，现对一目标连续射击，直到第一次击中为止。
令X 表示到第一次击中为止所用的射击次数，试求X 的概率分布。
解：设i A ={第i 击中目标}，1,2,i =L()()11P X P A p === ()()()12111,1,2,k k k P X k P A A A A p p k --===-=L L5. 已知随机变量X 的密度函数为,01,()(2),12,0,kx x f x k x x <<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.试求:收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）常数k ； 解：1211()d d (2)d f x x kx x k x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰22k kk =+= 即 1k =（2）X 的分布函数； 解： ()()dt x F x f t -∞=⎰()()010112100dt01dt 2dt 12dt 2dt 2xxx t x t t x t t x ≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨+-<≤⎪⎪⎪+->⎩⎰⎰⎰⎰⎰ 22000122112212x x x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩（3）13{}22P X <<。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)
1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{} 3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq+∞-==∑()111k k k q q+∞-==-∑111k kk k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011k k k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k k k k k k q k k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kk k k k k q k k q p+∞+∞===+--+∑∑ 112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p =+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰()()0e d e d tt t t t t μλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t tt t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰()()0ed ed ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x e μμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
大学概率论知识点归纳总结
大学概率论知识点归纳总结概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和概率的计算方法。
作为大学数学课程中的一门核心内容，概率论具有广泛的应用领域，如统计学、金融、物理学等。
本文将对大学概率论的知识点进行归纳总结，以帮助读者系统地理解和掌握这一学科。
一、概率的基本概念及性质1.1 随机试验和样本空间在概率论中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指所有可能结果的集合。
1.2 事件和事件的关系事件是样本空间的子集，包含了几个样本点。
事件之间有包含关系、互斥关系等。
1.3 概率的定义与性质概率是描述某个事件发生可能性大小的数值，它具有非负性、规范性、有限可加性等性质。
二、概率的计算方法2.1 古典概型古典概型是指各个基本事件发生的可能性相等的情况，如掷骰子、扑克牌等。
2.2 几何概型和计数原理几何概型是指基于几何图形的概率计算问题，计数原理用于计算可行结果的数量。
2.3 频率与概率的关系频率是通过实验统计得到的事件发生的相对次数，当试验次数增多时，频率趋于概率。
2.4 条件概率与乘法定理条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，乘法定理用于计算条件概率。
2.5 独立性与乘法定理的应用两个事件的独立性意味着其相互不影响，乘法定理可用于计算独立事件联合发生的概率。
三、随机变量及其分布3.1 随机变量的概念随机变量是指具有随机性的数值变量，可以是离散型或连续型。
3.2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量只取有限或可列个值，其分布由概率质量函数描述，如二项分布、泊松分布等。
3.3 连续型随机变量及其分布连续型随机变量可取任意实数值，其分布由概率密度函数描述，如均匀分布、正态分布等。
3.4 期望与方差期望是随机变量取值的平均数，方差描述了随机变量取值的离散程度。
四、常见概率分布及其性质4.1 二项分布与泊松分布二项分布描述了n重伯努利试验中成功次数的概率分布，泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)知识讲解
中北大学概率统计习题册第三章完整答案(详解)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1. 设随机变量X 的分布列为解：()2E X +10.100.220.4=⨯+⨯+⨯ 30.140.22+⨯+⨯=()E X 10.120.200.4=⨯+⨯+⨯ 10.120.21+⨯+⨯=()22E X +30.160.220.4=⨯+⨯+⨯30.160.2 3.8+⨯+⨯= 2. 设随机变量X 的分布列为：{}Λ3,2,1,1===-k pqk X P k ,其中p 为常数，01p <<，1q p =-。
求(),()E X D X 。
解：11()k k E X kpq +∞-==∑()111k k k q q +∞-==-∑111k k k k kqkq +∞+∞-===-∑∑()011kk k k k q kq +∞+∞===+-∑∑01111k k q q p+∞====-∑ 2211()k k E X k pq +∞-==∑()11211k k k k k k pqkpq+∞+∞--===-+∑∑()()122111k kk k k k qk k q p +∞+∞-===---+∑∑()()12111kkk k k k q k k q p +∞+∞===+--+∑∑112k k kq p+∞==+∑ 1121k k q kpq p p +∞-==+∑221q p p=+ 所以，()()22()D X E X E X =-222211q qp p p p=+-= 3.设随机变量X 的概率密度函数为1()exp{}2x f x μλλ-=-，其中0λ>为常数，求()E X 。
解：1e d 2x EX x x μλλ--+∞-∞=⎰()11e d e d 2211e d e d 22x x ttx x xt t x μμλλλλμμλλμμλλ----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞-∞=-+=+=⎰⎰⎰⎰注：关于绝对收敛性01e d 211ed e d 2211e d e d 22x x x ttx xx x xt x t x μλμμλλλλλμμλλμμλλ--+∞-∞----+∞+∞-∞-∞--+∞+∞-∞≤-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰ λμ=+或 1e d 2x x x μλλ--+∞-∞⎰||1e d ()2t x t t t μλμλ+∞--∞-=+=⎰当0μ≥时()||e d e d t t t t t t μλλμλμ+∞---∞-∞+=-+⎰⎰收集于网络，如有侵权请联系管理员删除()()0e d e d tt t t t tμλλμλμ+∞--++++⎰⎰()ee μμλλλμλλλμ--⎛⎫=+-+++ ⎪⎝⎭2e2μλλμ-=+当0μ<时()0||e d e d t t t t t t λμλμ+∞--∞-∞+=-+⎰⎰ ()()0ed e d ttt t t t μλμλλμλμ-+∞---++++⎰⎰()e e μμλλλμλμλλ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭2e 2μλλμ=-综上所述，我们有()||1||e d ||2x E X x x eμμμλμλλ---+∞-∞==+⎰4.设随机变量X 表示圆的半径，X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它1)(b x a ab x f ，求圆的周长L 和面积S 的数学期望。
02薛震-概率统计-D1随机事件与概率-中北大学
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《概率统计》电子教案 薛震 编
第一章 随机事件与概率
样本空间Ω的某个子集. " A, B, C , " 5. 随机事件： 例如:在掷骰子试验中,事件A:出现偶数点 A 2, 4, 6 基本事件：由一个样本点构成的集合 复合事件：由多个样本点构成的集合 6. 事件的发生: A 发生
A
B
A B
若A与B满足 A B 且 AB ,
称 A与B互逆. 注: ①事件互斥与互逆的区别 ② A B AB
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A
B
BA
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第一章 随机事件与概率
四、事件的运算律
AB
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第一章 随机事件与概率
三、事件的运算
1.和:(并) A,B中至少有一个发生的事件.
A B A B
或
A
B
A B
2.积:(交) A ,B 同时发生的事件.
A B AB
A
且
B
A B
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
1.确定性现象与不确定性现象 确定性现象: • 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾; 不确定性现象:(随机现象) • 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数. 2.随机现象的统计规律性 随机现象的各种结果会表现出一定的规律性, 这种 规律性称之为统计规律性.
薛震-概率统计-主界面-中北大学
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引言
2020/9/14
1. 什么是概率统计
概率论与数理统计是数学的两个重要分支.
概 率 论 — 起源于博弈问题, 是研究和揭示自然界与人 类社会随机现象规律的一门学科, 是统计理 论和方法的基础.
数理统计 — 研究对象为随机现象, 它是通过对个体所包 含数据信息的收集来分析和推断总体.
第一节 参数估计的概念 第二节 点估计量的求法 第三节 估计量的评选标准 第四节 区间估计
2020/9/14
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第八章 假设检验
2020/9/14
第一节 假设检验的基本思想 第二节 单个正态总体期望与方差的假设检验 第三节 两个正态总体参数的假设检验 第四节 总体分布的假设检验
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第五章 基本极限定理
2020/9/14
第一节 切比雪夫不等式和大数定律 第二节 中心极限定理
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第九章 回归分析与方差分析
第一节 回归分析 第二节 方差分析
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数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
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大 学 数 学 建 模 竞 赛 系 列 讲 座
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案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
2012年4月6日星期五
案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
m
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∑
m
Pk [(m − k ) g − f − ( Ng − f )]
= ( Ng − f )∑ Pk +
k =0
m
k = m− N
∑
Pk ( m − N − k ) g
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案例分析—机票预定策略
主讲：薛震
2012年4月6日星期五
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二、问题的分析和解决
3.符号约定 m —预定航班的乘客数量 S —航班的收支差额(利润) b —安置一名剩余乘客的费用 p —订票乘客登机的概率 q —订票乘客误机的概率(q=1-p)
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主讲：薛震
m − N −1 k =0 k
山西省考研数学复习资料概率论与数理统计重要知识点总结
山西省考研数学复习资料概率论与数理统计重要知识点总结山西省考研数学复习资料—概率论与数理统计重要知识点总结一、概率论重要知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，是研究随机事件规律的数学理论。
在山西省考研数学复习中，下面列举了一些概率论的重要知识点。
1. 随机事件与样本空间随机事件是指在一定条件下可能发生的结果。
样本空间是指随机试验的所有可能结果的集合。
在概率论中，样本空间是一个基本概念，通过确定样本空间，可以明确随机事件的范围和可能性。
2. 概率公理概率公理是概率论的基础，包括两个公理：非负性和归一性。
非负性要求概率值必须大于等于0，归一性要求整个样本空间的概率之和等于1。
3. 条件概率与乘法公式条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率可以通过乘法公式计算，即P(A|B) = P(AB) / P(B)，其中P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率。
4. 独立性与乘法公式两个事件A和B独立是指事件A的发生与否不受事件B的影响，反之亦然。
若A独立于B，则P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)。
乘法公式可以用于计算独立事件的概率，即P(AB) = P(A)P(B)。
5. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式是指通过已知条件下的多个互不相容事件，计算某一事件发生的概率。
贝叶斯公式是一种基于已知观测数据对事件发生概率进行调整的方法。
二、数理统计重要知识点总结数理统计是概率论在实际问题中的应用，是通过样本数据对总体进行推断的一种方法。
下面列举了一些数理统计的重要知识点。
1. 抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取一部分个体进行观察和测量的过程。
抽样分布是指在一定条件下，样本统计量的分布规律。
常见的抽样分布有正态分布、t分布和F分布等。
2. 参数估计与区间估计参数估计是指通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
常见的参数估计方法有矩估计和最大似然估计。
区间估计是指对总体参数给出一个范围估计，常用于给出参数估计的可信区间。
中北大学概率论与数理统计习题答案
概率论与数理统计考试试题一、单项选择题1、对任意事件A、B，下列式子正确的是[单选题] *A 、B、C、*D 、2、A、B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则必有[单选题] *B、C、D、*A、3、[单选题] *A、0.1*B、0.2C、0.3D、0.44、[单选题] *A、B、C、D、*5、将一枚骰子连掷两次，则两次点数之和为5的概率为[单选题] *A、1/6B、1/36C、5/9D、1/9*6、在区间内任取一个数，这个数在区间[0, 10]中点的概率为[单选题] *A、5B、0*C、0.5D、无法确定7、设箱中有一个球，只知道不是白球就是红球.现在将2个白球放入箱中，然后从箱中任取一个球，则取出的是白球的概率为[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、5/6*8、[单选题] *A 、B、C 、D、*9、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6*D、0.710、[单选题] *A、0.4B、0.5C、0.6D、0.7*11、下列函数为某随机变量密度函数的是[单选题] *A、*B、C、D、12、[单选题] *A、0.3B、0.5*C、0.45D、0.213、[单选题] *A、1B、2C、-1*D、-214、[单选题] *A、1/5B、4/5C、2/3D、1/3*15、[单选题] *A、10B、11C、12*D、1316、[单选题] *A、0.1B、0.2C、0.3*D、0.417、[单选题] *A、a=0.4，B、a=0.1，b=0.4C、a=0.4，b=0.2D、a=0.2，b=0.2 b=0.1*18、[单选题] *A、0.10B、0.15C、0.60*D、0.5519、[单选题] *A、1/6*B、4/5C、5/6D、1/320、[单选题] *A、1/8*B、8C、1/6D、6二、判断题1、[判断题] *对错*2、[判断题] *对错*3、[判断题] *对错*4、[判断题] *对错*5、随机变量是一个定义在样本空间上，以样本点作为自变量的单值函数。
大学概率论知识点总结
大学概率论知识点总结概率论是数学中的一个重要分支，它研究了随机现象的规律性。
而在大学中，概率论课程是理工科学生的必修课之一。
下面，我们将对大学概率论课程中的一些重要知识点进行总结。
一、样本空间与事件概率论中的样本空间是指所有可能结果的集合，用Ω表示。
样本空间中的每个元素，被称为样本点。
事件是指样本空间中的一个子集，用A表示。
当某个随机现象发生时，我们可以定义一个相应的事件，用于描述其发生的结果。
事件的概率则是指该事件发生的可能性大小。
二、概率的性质概率具有以下几个基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都是非负的。
2. 规范性：样本空间的概率为1。
3. 可列可加性：若事件A1、A2、A3...是两两互不相容的事件（即它们没有公共的样本点），则它们的联合事件的概率等于各个事件概率的总和。
三、条件概率与独立性条件概率是指在某个条件成立的前提下，事件发生的概率。
对于事件A和B，条件概率表示为P(A|B)，表示在事件B发生的前提下，事件A发生的概率。
条件概率的计算遵循贝叶斯公式。
如果两个事件A 和B满足P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A和B是相互独立的。
四、随机变量与概率分布随机变量是指样本空间中的每个样本点都与某个数值相对应的变量。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
在概率论中，我们关注的是随机变量的概率分布。
对于离散型随机变量，我们可以通过频数直接计算概率；对于连续型随机变量，我们通过概率密度函数来描述其分布。
五、数学期望与方差数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)。
方差度量了随机变量的取值离其数学期望的平均距离，记作Var(X)。
数学期望和方差是概率论中两个重要的衡量指标，它们可以帮助我们理解随机变量的分布特性。
六、大数定律与中心极限定理大数定律指出，随着随机试验次数的增加，事件发生的频率趋近于该事件的概率。
中心极限定理则是指在特定条件下，随机变量和服从于正态分布。
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第6章样本及抽样分布-2
注:
（1）统计量是不含未知参数的样本的函数。
（2）统计量是随机变量的函数，故统计量 是随机变量。
例1
设 X1 ,…,Xn 为来自总体 X ~ N(μ,σ2) 的一个样本， 其中μ,σ2未知，问下列随机变量中哪些是统计量
1 n
Xn n i1 Xi
1
n
n i 1
Xi
S 2
1 n1
n i 1
对标准正态密度函数( x)有
sup pn( x) ( x) 0.0041
x
45
t分布的性质 定理2.5: 如果Z～N(0,1) , ~ 2(n), 且Z与 相互独立，则有
Z ~ t(n)
n
46
正态总体的抽样分布（2）
定理 2.6 如果X1,X2,…,Xn是来自正态总体 N (, 2 )
)
(E(
Xi
))2
1
Var(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
[
E
(
X
2 i
)]2
3
1
2,
i 1, 2,
n
n
n
所以 E( ) E(
X
2 i
)
E
(
X
2 i
)
n.
i 1
i 1
n
n
Var( ) Var(
X
2 i
)
Var(
X
2 i
)
2n.
i 1
i 1
36
证明：(2)设X1, X2, , Xnm是来自总体N (0,1)的样本
样本是联系二者的桥梁
总体分布决定了样本取值的概率规律，也 就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本 值去推断总体。
中北大学生物统计学考题(大题)课件
P(C) 0
8
例2.4 假如父母的基因型分别为 I A i 和 I B i 。他们的 两个孩子都是A型血的概率是多少？他们生两个O型 血女孩的概率是多少？
9
解：
父： PIA配子 Pi配子 1 2
母： PIB配子 Pi配子 1 2
（1） P 两 A 型 名 血 P A 型 子 P A 型 血 女 血
向20支试管中分别接种2×107个大肠杆菌，振荡培养后 铺平板，同时接种T1噬菌体。结果在9个平皿中出现数量不 等的抗T1噬菌体菌落，11个平皿上没有出现。已知平皿上 突变菌落数服从泊松分布且细胞分裂次数近似等于铺平板 时的细胞数。利用泊松分布概率函数计算抗T1突变率。
31
解：
已知接种细胞数 n 即可认为是细胞分裂次数。若每一 次细胞分裂的突变率为 u，那么每一试管中平均有nu 次突 变事件发生（μ）。从泊松分布概率函数可知，无突变发 生的概率f(0)=e-nu。试验结果，无突变的平皿数为11个， 既f(0)=11/20=0.55。解下式：
17
解：
n412
2
2n14111
22
18
例 3.3 给一组雌雄等量的实验动物服用一种药物，然 后对存活的动物分成5只为一组，进行抽样试验。试验 结果表明，5只均为雄性的频率为1/243，问该药物对 雌雄的致死作用是否一致？
19
解：设p为处理后雄性动物存活的概率。
则
p5
1 243
1 35
p1 3
x0 0 1.96， 5
x0 9.8
PX x00.01，
x0 00.0， 1 5
x0 0 -2.32，6 5
x0 -11.63
中北大学概率统计习题册第六章完整答案
第六章 样本及抽样分布1、 设总体X 服从参数为p 的)10(-分布,其中p 未知,()321,,X X X 就是取自该总体的一个样本。
⑴ 写出该样本的样本空间与联合分布律; 解:123123{(,,)|,,{0,1}}x x x x x x Ω=∈, i i x x i p p p x x x f -=-∏=131321)1();,,(,1,0=i x⑵指出()221X X -,a X X -+)(2121,()321,,max X X X 之中哪些就是统计量,哪些不就是,为什么？解:()221X X -与()321,,max X X X 就是统计量,a X X -+)(2121不就是统计量。
⑶ 如果()010,,就是该样本的一个观测值,那么此样本均值与样本方差分别就是多少？解:()31111010333i i X X ===++=∑()322112i i S X X ==-∑22211111123333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2、 设总体X 服从参数为p 的()10-分布,()n X X X ,,,21 就是取自该总体的一个样本,求:⑴样本均值X 的期望与方差; 解:由于总体(1,)XB p ,所以()()i E X E X p == ()()()1i D X D X p p ==-由于12,,,n X X X 相互独立,所以()()1111n ni i i i E X E X E X p n n ==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑()()21111n ni i i i D X D X D X n n ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑()1p p n-=⑵样本方差2S 的期望。
()2222111111n n i i i i S X X X nX n n ==⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭∑∑()()()22i i i E X D X EX =+()21p p p p =-+=()()()22E X D X EX =+()21p p p n-=+21p n p n n -=-()()()222111n i i E S E X nE X n =⎛⎫=- ⎪-⎝⎭∑ ()()2111np p n p n =-+-- ()()1p p D X =-=3、在总体)2,30(2N 中随机抽取一容量为16的样本,求样本均值X 落在29到31之间的概率？解:由总体2~(30,2)X N 得1~(30,)4X N ,所以 ()2931P X ≤≤31302930ΦΦ0.50.5--⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()Φ2Φ22Φ210.9544=--=-=4、设()n X X X 221,,, 为来自总体()2,0~σN X 的一个样本,求下列统计量各服从什么分布。
大学生考试焦虑结构研究--以中北大学为例
大学生考试焦虑结构研究--以中北大学为例李兵绒;樊旭梅【摘要】研究采用探索性因子分析法、验证性因子分析法，试图研究大学生考试焦虑的因素结构。
通过萨拉森1984年的反应试验评估（RTT）量表进行评估并探索其潜在的影响因素。
研究表明因子3结构有效，同时发现性别对主效应因子有显著影响。
研究的最终目标是为高校的学生服务中心提供一些实用的信息。
研究结果可协助考试焦虑的学生学会应对考试焦虑，从而减缓他们的学习倦怠，提高他们的学习成绩。
%T he purpose of this study is to investigate the factor structure of test anxiety in Chinese col‐lege students by adopting the Exploratory Factor Analysis (EFA ) and the Confirmatory Factor Analysis (CFA) .The potential influencing factors have been explored by using the Sarason’s Reactio n To Test (RTT) Scale (1984) in this study .The results suggest that the three‐factor model is valid and gender has main effect on factor scores .The ultimate goal of the study is to provide some helpful and applicable infor‐mation to the student services center at the universities of China .The results of the study could be em‐ployed to assist test anxious students in managing test anxiety and improving their academic performance .【期刊名称】《中北大学学报（社会科学版）》【年(卷),期】2016(032)004【总页数】4页(P84-87)【关键词】大学生;考试焦虑;结构;影响因子;中北大学【作者】李兵绒;樊旭梅【作者单位】中北大学人文社会科学学院，山西太原030051;中北大学人文社会科学学院，山西太原030051【正文语种】中文【中图分类】G442学习倦怠是大学生消极的学习心理的一个重要体现。
抽样分布、参数估计及假设检验实验
实验类别：综合性专业：数学与应用数学中北大学理学院实验二、抽样分布、参数估计及假设检验实验【实验内容】1、培养学生建立概率统计模型的能力2、熟悉用数理统计中常用的Matlab命令格式、程序及运行结果3、学会用Matlab统计箱来完成数据统计描述和分析方法4、给出100名学生的身高和体重（单位厘米千克）①求出以下统计量：样本矩(moment)，平均值（mean），中位数(median)，样本标准差(std)，最大值(max)，最小值(min) ,极差（range）。
②求出频率与频数分布；③作出以上数据的频率直方图.5、根据这些数据对学生的平均身高和体重作出估计，并给出估计的误差范围；学生10年前作过普查，学生的平均身高为167.5cm，平均体重为60.2kg，试根据这次抽查的数据，对学生的平均身高和体重有无明显变化作出结论。
【实验方法与步骤】（对于必须编写计算机程序的实验，要附上学生自己编写的程序）M=dlmread('aj.txt')M =172 75 169 55 169 64 171 65 167 47171 62 168 67 165 52 169 62 168 65166 62 168 65 164 59 170 58 165 64160 55 175 67 173 74 172 64 168 57155 57 176 64 172 69 169 58 176 57 173 58 168 50 169 52 167 72 170 57 166 55 161 49 173 57 175 76 158 51 170 63 169 63 171 61 164 59 165 62 167 53 171 61 166 70 166 63 172 53 172 60 178 64 163 57 169 54 169 66 178 60 177 66 170 56 167 54 169 58 173 73 170 58 160 65 179 62 172 50 163 47 173 67 165 58 176 63 162 52 165 66 172 59 177 66 182 69 175 75 170 60 170 62 169 63 186 77 174 66 163 50 172 59 176 60 166 76 167 63 172 57 177 58 177 67 169 72 166 50 182 63 176 68 172 56 173 59 174 64 171 59 175 68 165 56 169 65 168 62 177 64 184 70 166 49 171 71 170 59student=[M(:,[1,2]);M(:,[3,4]);M(:,[5,6]);M(:,[7,8]);M(:,[9,10])]student =172 75171 62166 62160 55155 57173 58166 55170 63167 53172 60178 60173 73163 47165 66170 60163 50172 57182 63171 59177 64169 55168 67168 65176 64168 50 161 49 169 63 171 61 178 64 177 66 170 58 173 67 172 59 170 62 172 59 177 58 176 68 175 68 184 70 169 64 165 52 164 59 173 74 172 69 169 52 173 57 171 61 166 70 163 57 170 56 160 65 165 58 177 66 169 63 176 60 172 56 165 56 177 67 166 49 171 65 169 62 170 58 172 64 169 58 167 72 175 76 164 59169 54167 54179 62176 63182 69186 77166 76169 72173 59169 65171 71167 47168 65165 64168 57176 57170 57158 51165 62172 53169 66169 58172 50162 52175 75174 66167 63166 50174 64168 62170 59【实验结果】2、求出样本数字特征平均值（mean），中位数(median)，样本标准差(std)，最大值(max)，最小值(min) ,极差（range）。
概率论随机试验详解PPT教案
10/13
概率论最早是从赌博(博弈)游戏开始的. 博弈游戏产生于人类已有数千年历史了.考古工作者在公元前3500年的一座埃及古墓中 发现古埃及人在一种 “猎犬与豺狼”的板盘游戏中,用投掷距骨的结果决定猎犬与豺狼移 动的步数.
骰子是在距骨之后发现的,伊拉克北部曾发现一颗陶制的骰子,据推断距今已有3000年历 史.它对面的点数是2和3,4和5,1和6.现在人们使用的对面点数之和为7的骰子大约出现在公 元前1400年左右.纸牌的出现更晚一些.这些器具不仅用于赌博,还用于占卜和算命.
第11页/共19页
13/13
在随后的200多年里,概率论不仅在理论上获得了一定发展,而且在人口统计、保险业、 误差理论、天文学等自然科学中得到了应用.在这一时期,对概率论在理论和应用方面作出 重要贡献的数学家有雅格布·伯努利(Jakob Bernoullii),丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoullii), 棣 莫弗(De Moivre), 拉普拉斯(pace), 欧拉(L.Euler),贝叶斯(T.Bayes),蒲丰(G.Buffon),高斯 (F.Gauss),泊松(S.Poisson),布尼亚可夫斯基(V.Bunjakovskii),切比雪夫(Chebyshev),马尔可夫 (A.Markov),李雅普诺夫(A.Lyapunov)等.
内容与学时第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计8学时学时数理统计数理统计32学时学时概率论概率论与数理统计华中科技大学出版社出版刘次华主编本周三下午2
概率论随机试验详解
会计学
1
内容与学时 第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计
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2 2 2 X1 X n 服从自由度为n的 2 分布, 则称统计量
记作 ~ (n) .
2 2
y
f 2 ( x)
x
2)性质:
2 ~ 2 (n) , 则 E ( 2 ) n , D( 2 ) 2n ; (自证) ①若
2 2 2 2 1 ~ 2 (n1) , 2 ~ 2 (n2 ) , 且 1 , 2 相互独立, ②设 2 2 1 2 ~ 2 (n1 n2 ) . (可加性) 则有
a0 , a1 , a1, a2 ,, al 1, al ;
2)求频率: 令观测值落在各组的频数分别为
m1 , m2 ,, ml ,
则对应频率为
ml m1 m2 , , , ; n n n
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* * * 们按由小到大的顺序排列为 x1 x2 xn , 定义样本的
经验分布为 Fn ( x)
0, 1/ n ,
2/ n ,
* x x1 * * x1 x x2
* * x2 x x3
1,
* x xn
2.Gilvenko定理:
设总体 X ~ F ( x) , 则 Fn ( x) F ( x) (n ) .
参数估计 非参数估计
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第六章 样本及抽样分布
第一节 随机样本
一、总体与个体 二、样本与统计量 二、样本的联合分布
第六章
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(1)试写出总体,样本,样本容量,样本值; (2)写出样本的经验分布函数;
(3)求样本均值,样本方差及样本二阶中心矩的观测值.
解: (1) 总体: 该班数学期末考试成绩X; 样本: X1, X 2 ,, X10 ; 样本容量: n 10 ; 样本值: 100,85,70,65,90,95,63,50,77,86 (2) 将样本观测值 x1, x2 ,, x10 按照从小到大的顺序 排列为 50,63,65,70,77,85,86,90,95,100
三、样本的联合分布
设总体Ｘ的分布函数为F(x), X1, X 2 ,, X n 是来自总 体的一个样本, 则 X1, X 2 ,, X n 的联合分布函数为
F ( x1, x2 , , xn ) F ( xi ).
* i 1 n
n
独立同分布
若X的密度函数为f(x), 则样本的联合密度函数为
3)结论:
o
x
① 设 X1, X 2 , X n 是来自总体 N ( , 2 ) 的一个样本, 1 n 2 从而可得统 X X i 为样本均值, 则 X ~ N ( , ) , n i 1 n X 计量 U n ~ N (0,1) ;
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第六章 样本及抽样分布
二、样本与统计量
样本: 从某一总体Ｘ中随机地、独立地抽取的n个个体
X1, X 2 ,, X n 称为Ｘ的一个样本容量为n的样本,其对应
x1, x2 ,, xn 称为样本值. 独立同分布 的观测值
统计量:不含任何未知参数的样本的函数 ( X1,, X n )
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第六章 样本及抽样分布
3.t 分布:
X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n) , 1)定义: 设
则称统计量 T X 且X与Y相互独立,
Y n
威廉· 戈塞
服从自由度为n的t 分布, 记作 T ~ t (n) . y ft ( x) 2)性质: ① ft ( x) 关于y轴对称; o x ② 当 n 时, t 分布 N (0,1) . 3)结论: ① 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体N ( , 2 ) 的一个样本, X X n ~ N (0,1) 则统计量 T n ~ t (n 1) ; U S
1 n 设 X1, X 2 ,, X n 是总体X的一样本,称 X X i 为样 n i 1 1 n 1 n k ( X i X )2 为样本方差.而称 Ak X i 本均值,S 2 n 1 i 1 n i 1 1 n Bk ( X i X )k 为样本k阶中心矩. 为样本k阶原点矩, n i 1
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第六章 样本及抽样分布
则样本的经验分布函数为
50,63,65,70,77,85,86,90,95,100
F10 ( x) 2 /10 , 63 x 65
1,
n
x 50 0, 1/10 , 50 x 63
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第六章 样本及抽样分布
一、总体与个体
总体: 研究对象(数量指标)的全体.
个体: 总体中的每个元素.
例如,某工厂生产的灯泡的寿命X是一个总体, 每个灯泡 的寿命是一个个体; 全校所有同学的身高和体重(X,Y)是一个二维总体, 每个同学的身高和体重是一个个体.
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第六章
样本及抽样分布
随机样本
分布与密度函数的近似解 样本的数字特征 抽样分布
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第六章 样本及抽样分布
引 言
数理统计: 研究如何合理的获得随机现象的数据资料, 建立有效的数学方法,对所考察的问题作出推断或预测. 研究方法: 部分
总体
主要内容:
第六章
样本的数字特征
一、总体矩 二、样本矩
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第六章 样本及抽样分布
一、总体矩(常数)
称 mk E ( X )(假设存在)为总体X的k阶原点矩, 而 k E[ X E ( X )]k 为X的k阶中心矩. 称 特别地, m1 E ( X ) , 2 D( X ) .
a.s. 一致
注: 该定理是用样本来推断总体的基本的理论依据.
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第六章 样本及抽样分布
二、总体密度函数的近似解 —直方图
直方图是频率分布的图形表示, 其一般做法为:
1)分组: 设 x1 , x2 ,, xn 是来自总体X的一样本观测值, 将它分成l组(各组组距可以不相等)
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第六章 样本及抽样分布
3)作图:以各组为底边, 相应组的频率除以组距为高, 建立l个小矩形,即得总体的直方图,每一矩形的面积等于 y 相应组的频率.
f ( x)
矩形面积近似曲边梯形面积
o
a 0 a1
m1 m2 n n
mk n
ml n
ak 1 a k
al
x
注: 由大数定律可知, 样本观测值落在区间 ak 1 , ak
称为统计量.
例如,设总体X ~ N ( , 2 ) , 其中 已知, 2 未知,则
3
X1 X 2 是统计量,
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X i2
2
i 1
不是统计量.
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第六章 样本及抽样分布
x 100
计算器的使用
1 1 (3) 样本均值 x xi (50 63 100) 78.1 10 n i 1
1 n 2 1 s ( xi x ) [(28.1) 2 21.92 ] 252.54 样本方差 9 n 1 i 1
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第六章 样本及抽样分布
② 设 X1, X 2 ,, X m和Y1,Y2 ,, Yn 分别为来自正态总体
N ( 1,12 ) 和 N ( 2 , 22 )的两个样本,且总体X,Y相互独立,
则
U
( X Y ) ( 1 2 )
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o
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第六章 样本及抽样分布
3)结论: ① 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 N ( , 2 ) 的一个样本,
2 则统计量
1 n
( X i ) 2 ~ 2 (n) ; 2
2
1 n 2 1 [(28.1) 2 ] 227.29 样本二阶中心矩 b2 ( xi x ) 10 n i 1
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第六章 样本及抽样分布
第四节 抽样分布
一、抽样分布 二、分位数
12 m 22 n
~ N (0,1)