213-214空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2.1.3-2.1.4《平面与平面之间的位置关系》
变式2 已知平面α∥平面β，l⊂α，则( )
A．l⊂β
B．l∥β
C．l，β相交
D．以上均有可能
解析：如图所示．
由于平面α∥平面β，所以平面α，β无公共点，又 l⊂α，所以l，β无公共点．所以l∥β.
答案：B
要点三 线线、线面、面面位置关系综合研究 要判断线线、线面、面面位置关系时，除清楚定义 外，还要利用好身边的模型，尤其是“长方形”这个模 型。
其中正确命题的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①当点在已知直线上时，不存在过该点的直 线与该直线平行，故①错；
②由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点 与一条已知直线垂直的直线有无数条，故②错；
③过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条， ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ③错；
④过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一 个，故④对．
没有公共点
图形语言
符号 语言
a⊂α
a∩α＝ A
a∥α
2.平面与平面的位置关系
位置关系
图示
符号语言 公共直线条数
两平面平行
α∥β
无
两平面相交
α∩β＝a
有 一条 公共 直线
(对应学生用书29页)
探究1：“直线在平面外”是指直线与平面平行吗？ 提示：直线与平面的位置关系也可认为分成两种： 直线在平面内和直线在平面外，直线在平面外包括直 线与平面平行和直线与平面相交．
变式1 (2010年四川模拟)对于不重合的两个平面α 与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α、β都平行于平面γ； ②α内有不共线的三点到平面β的距离相等；
③存在异面直线l、m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.
空间点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系一、知识要点：1.平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2.空间中直线与直线之间的位置关系：空间两条直线的位置关系有且只有三种：如图：AB与BC相交于B点，AB与A′B′平行，AB与B′C′异面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
3.空间中直线与平面之间的位置关系：（1）直线在平面内……有无数个公共点；（2）直线与平面相交……有且只有一个公共点；（3）直线与平面平行……没有公共点。
其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
注意，我们不提倡如下画法．4.平面与平面之间的位置关系：（1）两个平面平行……没有公共点；（2）两个平面相交……有一条公共直线。
二、例题讲解：例1、根据图形，写出图形中点、直线和平面之间的关系．图1可以用几何符号表示为：___________________________________________．图2可以用几何符号表示为：___________________________________________．分析：本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后用文字语言和符号语言写出．解：图1可以用几何符号表示为：即：平面与平面相交于直线AB，直线a在平面内，直线b在平面内，直线a平行于直线AB，直线b平行于直线AB．图2可以用几何符号表示为：，△ABC的三个顶点满足条件即：平面与平面相交于直线MN，△ABC的顶点A在直线MN上，点B在内但不在直线MN上，点C在平面内但不在直线MN上．例2、观察下面的三个图形，说出它们有何异同．分析：图1既可能是平面图形，也可能是一个空间图形的直观图；图2、图3均用了一条直线衬托，它们都是空间图形的直观图．解：图1可能是平面图形，也可能是空间图形的直观图；图2是MN凸在外面的一个空间图形的直观图；图3是MN凹在里面的一个空间图形的直观图．点评：（1）本题隐含了三个平面两两相交的直观图画法及平面的画法、立体几何图的画法．而这些画法的掌握程度将影响对空间结构的认识、对空间图形的分析和对立体几何的学习．（2）与本题类似的其它变形还有：用虚线画出图4正方体和图5三棱锥中被遮挡的棱，完成图形．例3、正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）DD1和A1B1的位置关系如何？D1B和AC的位置关系如何？A1C和D1B的位置关系如何？（2）和AD成异面直线的棱所在直线有几条？（3）和BD1成异面直线的棱所在直线有几条？（4）六个面的正方形对角线共12条，这些对角线所在直线中，异面直线共有多少对？解析：我们知道空间两条直线的位置关系有且只有三种，判断的依据是看两条直线是共面还是异面及是否有公共点。
213214空间直线与平面平面与平面的位置关系
（3）a∩α=A，则 a α； （ ） √
（4）若a α，bα，则a、b无公共点。（ ） ×
b
αa
四、小结：
1、空间中直线与平面的三种位置关系：
直线在平面内——有无数个公共点（交点）；
相交——有且只有一个公共点； 直线在平面外
平行——没有公共点；
2、用图形语言表示空间中直线与平面的三种位置关系：
a
l
①若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L∥α； ( α)
×
②若直线L与平面α平行，则L与平面α内的任意一条直线都
平行；( ) ×
l
αb c
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一
条也与这个平面平行；( ×)
l
αb
⊙如果平面外的两条平行直线中的一条直线与平面平行，
那么另一条直线也与这个平面平行；（√ ）
b
一、课前练习 1、空间中两条直线的位置关系有相交 、 平行 、异面 。
2、相交直线的特点是① 共面；② 有且只有一个公共点，则 平行直线的特点是：①共面② 没有公；共点 异面直线的特点是：① 异面② 没有公。共点
3、下图是一个长方体，则B´B所在的直线与D´D所在的直线
的位置关系是 平行，则A´A所在的直线与C´D´所在的直线
所成的角是 90度；若∠BA´B´=30º, 则A´B所在的直线与
D´D所在的直线所成的夹角是 60度。D´
C´
A´
B´
D 30º
C
A
B
上节回顾：
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线
异面直线
异面直线的画法 用平面来衬托
空间直线和平面的相互位置关系
空间直线和平面的相互位置关系空间直线和平面，作为几何学中最基本的图形，其相互位置关系也成为了几何学中的一个重要研究内容。
在三维空间中，空间直线可以与平面有三种可能的相交关系，分别是平行、相交以及共面。
下面我们将分别对这三种情况进行详细讨论。
一、平行两条空间直线如果在三维空间中没有任何交点，且它们的方向完全相同或完全相反，那么这两条直线被称为平行。
同样的，两个平面如果它们在三维空间中没有任何交点且它们的法向量完全相同或完全相反，那么这两个平面也被称为平行。
需要注意的是，虽然在平面上存在着很多不同的法向量，但是只有方向相同或者相反的法向量之间才有平行的概念。
如图所示，L1和L2是两条平行的直线，P1和P2是两个平行的平面。
在这两种情况下，直线或平面之间的距离可以用其垂线的长度来表示。
二、相交在三维空间中，两条直线如果它们不平行，那么它们就会相交。
对于两个平面而言，如果它们不平行且有交点，那么它们就会相交。
在相交的情况下，我们通常会研究它们的交点以及它们的交线。
如图所示，L1和L2是两条相交的直线，交点是P。
P1和P2是两个相交的平面，它们的交线是直线L。
在这两种情况下，我们通常会计算它们的交点，同时也可以研究它们的交线。
三、共面如果一个直线与一个平面在三维空间中同时存在，那么我们称这个直线与平面共面。
同样的，如果两个平面在三维空间中有交点，那么它们也是共面的。
在共面的情况下，我们通常会研究它们的交点，同时也可以计算它们在共面中的距离。
如图所示，L和P1是共面的，交点是A。
同样的，P1和P2也是共面的，它们的交线是直线L。
在这种情况下，我们通常会先判断它们是否共面，然后计算它们的交点或者交线。
总的来说，三维空间中的直线和平面有三种基本的相互位置关系：平行、相交以及共面。
每一种情况下，我们都可以通过计算它们之间的距离、交点或者交线来研究它们之间的关系。
这些基本的概念和方法，不仅运用广泛，而且在很多实际问题中都有着重要的应用。
空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系在几何学中，空间中直线与平面的位置关系是一种重要的研究内容。
直线和平面是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系对于解决实际问题、推导定理以及解决几何题目都具有重要的作用。
本文将详细探讨空间中直线与平面之间的位置关系及其相关性质。
一、直线与平面的关系在空间几何中，直线和平面是两种不同维度的图形。
直线是一维的，即由无数个点沿着同一方向无限延伸而成，而平面是二维的，由无数条平行的直线组成。
直线和平面之间存在着多种位置关系。
1. 直线与平面相交当一条直线与平面相交时，它们必定交于一点或者一条直线。
这是空间几何中最基本的关系之一。
根据交点的个数，我们可以将直线与平面的相交分为以下几种情况：（1）当直线与平面相交于且只有一个点时，称为直线与平面相交于一点的情况；（2）当直线与平面相交于无数个点时，称为直线与平面相交于多点的情况；（3）当直线与平面重合时，称为直线与平面相交于一条直线的情况。
2. 直线在平面上直线在平面上的意思是，直线上的所有点都在平面上。
当直线与平面重合时，我们可以称直线在平面上。
在这种情况下，直线与平面的位置关系是一致的。
3. 直线平行于平面当直线的方向与平面平行时，我们称直线平行于平面。
这种情况下，直线与平面没有交点，并且它们始终保持平行关系。
二、直线与平面的性质1. 垂直关系当一条直线与平面上的所有直线都垂直时，我们称这条直线垂直于该平面。
垂直关系是直线与平面之间重要的性质之一。
根据垂直关系，我们可以得出以下结论：（1）垂直于同一平面的两条直线相互平行；（2）直线垂直于平面的任意一条直线，则直线必与该平面垂直；（3）两个平面如果相交，那么它们的公共直线与两个平面垂直。
2. 倾斜关系当直线与平面不平行也不垂直时，我们称直线与平面之间存在倾斜关系。
倾斜关系是一种介于垂直关系与平行关系之间的位置关系。
三、直线与平面的应用直线与平面的位置关系在几何学中有广泛的应用。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系
两个平面垂直
垂直的定义：两个平面相交且相交线垂直于两个平面 垂直的性质：两个平面垂直则它们的法向量也垂直 垂直的应用：在立体几何中两个平面垂直是解决空间问题的重要条件 垂直的判断：可以通过计算两个平面的法向量是否垂直来判断两个平面是否垂直
汇报人：
直线与平面相交
直线与平面相交的定义：直线与平面相交 时直线与平面有两个公共点。
直线与平面相交的性质：直线与平面相交 时直线与平面的夹角为90度。
直线与平面相交的应用：直线与平面相交 是空间中直线与平面位置关系的一种重要 形式广泛应用于工程、建筑等领域。
直线与平面相交的判断方法：可以通过计 算直线与平面的法向量的夹角来判断直线 与平面是否相交。
直线与平面平行
定义：直线与平面没有公共点即直线与平面平行 性质：直线与平面平行则直线与平面内的所有直线都平行 判断方法：利用向量法、几何法等方法判断直线与平面是否平行 应用：在几何学、工程学等领域有广泛应用
两个平面平行
性质：两个平行平面的公垂 线相互平行
应用：在工程、建筑等领域 广泛应用
垂直面：两个平面垂直时没有相交线称 为垂直面
两个平面重合
两个平面重合 的定义：两个 平面完全重合
没有公共点
两个平面重合 的条件：两个 平面的法向量 平行且方向相的法向量 平行且方向相 同则两个平面
重合
两个平面重合的 应用：在空间中 两个平面重合可 以表示为两个平 面的法向量平行
,
汇报人：
目录
直线在平面内
直线与平面平行：直线与平面没有交点且直线与平面内的所有直线都平行 直线与平面相交：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都相交 直线与平面重合：直线与平面有两个交点且直线与平面内的所有直线都重合 直线与平面垂直：直线与平面有一个交点且直线与平面内的所有直线都垂直
高中数学 2.1.3-2.1.4空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系课件 新人教
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9
按是否在平面内分类
直线在平面内 直线在平面外直直线线和和平平面面相平交行 2．两个平面位置关系的画法 (1)两个平行平面的画法． 画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成 对应边平行，如图a.
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10
(2)两个相交平面的画法． ①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图b； ②再画出表示两个平面交线的线段，如图c；③过图c中线段的 端点分别引线段，使它们平行于图c中表示交线的线段，如图 d；④画出图b中表示两个平面的平行四边形的第四边(被遮住 的线，可以画成虚线，也可以不画)，如图e.
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a
在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④
如果直线a∥b，b⊂平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数
条直线．
A．1
B．2
C．3
D．4
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16
【解析】 对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平 行，但l有可能在平面α内(若改为平面α外的直线l与α内无数条 直线都平行，则必有l∥α)，∴①是假命题．对于②，∵直线a 在平面α外，包括两种情况a∥α和a与α相交，∴a与α不一定平 行，∴②为假命题．对于③，∵a∥b，b⊂α，只能说明a与b无 公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α，∴③也 是假命题．对于④，∵a∥b，b⊂α.那么a⊂α，或a∥α.∴a可以 与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题．综上，真命题 的个数为1.
重复以上过程，另取P′点，会产生P′M′，故这样的直 线有无数条．故选D.
答案 D
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29
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5
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空间直线与平面平面与平面之间位置关系
2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系〖知识导学〗1、了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系；2、会用符号和画图表达直线与平面、平面与平面的位置关系，培养空间想象能力．一、基础知识：12直线和平面{⎧⎪⎨⎪⎩直线在平面内--有无数个公共点;直线与平面相交--有且只有一个公共点;直线在平面外直线与平面平行--没有公共点.3、平面和平面的两种位置关系：平面和平面{两个平面平行--没有公共点;两个平面相交--有一条公共直线.βαCA'记法：//αβlαβ=I长方体ABCD—A’B’C’D’注意：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．二、例题解析：例1、若不共线的三点到平面a的距离相等且不为0，则该三点确定的平面b与平面a的关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合例2、下列命题中正确的有_________________（填序号）①若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都平行；②若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点；③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交；⑤两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；⑥两条直线没有公共点，则这两条直线平行⑦两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；⑧一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
例3、如图，△ABC在平面a外，AB aI=P，BC aI=Q，AC aI=R，求证：P，Q，R三点共线。
二、达标训练：1、直线l在平面β外，则下列结论正确的是（）A．直线l一定与平面β平行B．直线l与β至少有一个交点C．直线l一定与平面β相交D．直线l与β至多有一个公共点2、若平面α与平面β相交，直线a在α内，则直线a与β的位置关系是（）A．a在β内B．a在β外C．a与β平行或相交D．a与β平行或相交或a在β内3、已知平面α//平面β，若两条直线m、n分别在平面α、β内，则m、n的位置关系不可能是（）A．平行B．相交C．异面D．平行或异面4、三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是（）A．相交B．平行C．线在平面内D．平行或线在平面内5、若直线a不平行于平面α，且α⊄a，则下列结论成立的是（）A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交6、平行于同一平面的两条直线的位置关系（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行、相交或异面7、对于任意的直线l 和平面α，在平面α内必有直线m ，使m 和l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．异面8、正方体''''D C B A ABCD -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所成的角是（ ）A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 9、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线//a a ，//a b ，且直线a 不在α内，也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b 且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行10、直线//a 平面α，α∈P ，那么过点P 且平行于a 的直线（ ）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在α内 11、过平面外一条直线作平面的平行平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．没有 12、下列命题正确的有（ ）A ．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内B ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αC ．若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直线D ．如果两条异面直线中的一条与一个平面平行， 则另一条直线一定与该平面相交。
直线与平面、平面与平面间的位置关系
错解:因为 ∥ 所以l与 所成的角α,就是 就是l与 错解 因为BD∥B1D1,所以 与B1D1所成的角 就是 与BD 因为 所以 所成的角.在平面 内以P为顶点 底边在B 为顶点,底边在 所成的角 在平面A1C1内以 为顶点 底边在 1D1上作一个等 在平面 腰三角形,使底角为 则两腰所在直线就与 腰三角形 使底角为α,则两腰所在直线就与 1D1成等角 所 使底角为 则两腰所在直线就与B 成等角,所 以这样的直线有两条.应选 以这样的直线有两条 应选B. 应选 错因分析:错解中受定势思维的影响 只考虑了 错因分析 错解中受定势思维的影响,只考虑了 α ∈ (0, ) 错解中受定势思维的影响 2 π 时的一般情况,而忽略了特殊情况 而忽略了特殊情况.当 时的一般情况 而忽略了特殊情况 当 α = 0或 时, 这样的直 2 线只有一条. 线只有一条 正解: 正解
2－1.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相 － 如果在两个平面内分别有一条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 平行，那么这两个平面的位置关系是 平行，那么这两个平面的位置关系是( C ）
A．平行 ． C．平行或相交 ．平行或相交 B．相交 ． D．垂直相交 ．
解析：有平行、相交两种情况，如图
解析： 可能在平面α内 在平面α外有 解析：①错，l 可能在平面 内；②错，直线 a 在平面 外有 两种情况： ∥ 和 相交； 可能在平面α内 两种情况：a∥α和 a 与α相交；③错，直线 a 可能在平面 内； 相交 在平面α内或 ∥ ，在平面α内都有无数条直线 ④正确，无论 a 在平面 内或 a∥α，在平面 内都有无数条直线 正确， 与 a 平行． 平行．
2:如图 在长方体 如图,在长方体 的面A 上有一点P(P 如图 在长方体ABCD—A1B1C1D1的面 1C1上有一点 — ∉ B1D1),过P点在平面 1C1上作一直线 使l与直线 成α角, 点在平面A 上作一直线l,使 与直线 与直线BD成 角 过 点在平面 这样的直线l有 这样的直线 有( A.1条 条 B.2条 条 ) C.1条或 条 条或2条 条或 D.无数条 无数条
2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系-新版.pdf
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学目标：（1）了解空间中直线与平面的位置关系,能用语言、符号、图形表示三种位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系,能用语言、符号、图形表示三种位置关系；（3）能在几何体中找出并判断线面、面面的位置关系；（4）培养学生的空间想象能力。
二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：在几何体中找出，用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：多媒体、长方体模型四、教学思想（一）课题导入1、阅读教材第48页到第50页的内容，回答以下问题：1.一支笔所在的直线a与一个作业本所在平面，有几种位置关系？2.线段A1B所在的直线与长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面所在的平面的关系：（1）A1B在面ABB1A1（2）A1B与面ADD1A1A1B与面A1B1C1D1A1B与面ABCDA1B与面BCC1B1（3）A1B与面CDD1C13.教师结合以上生活中的实例以及课本P48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；（3）直线在平面平行——没有公共点引导学生尝试用语言叙述：，数学符号：，图形进行表示：；指出：1.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示a α a∩α=A a∥α直线在平面内：2.直线与平面直线与平面相交直线在平面外直线与平面平行例4：下列命题中正确的个数是（ B ）①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线没有公共点.A．0 B．1 C．2 D．3师生共同完成例 4例4教师通过示范传授学生一个通过模型来研究问题的方法，同时加深对概念及其对这几种位置关系的理解。
§2.1.3-2.1.4直线与平面-平面与平面之间的位置关系
有无数个交点 有且只有一个交点
无交法错误的是：
a a α a α
α
直线画在平面内 线和面平行时，画图时通常把表示直线的线段 画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它 与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的 一条线段平行。
应用举例 例1 下列命题中正确的个数是（ B ）
①若直线l上有无数个点不在平面α 内，则l ∥α . ②若直线l与平面α 平行，则l与平面α 内的任意一 条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那
么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面α 平行，则l与平面α 内的任意一
条直线都没有公共点. （A）0 （B）1 （C）2 （D）3
解：可以借助长方体模型来看上述问题是否正确. 问题①不正确，相交时也符合.
问题②不正确，如右图中，
A'B与平面DCC'D'平行，但它与CD不平行， 问题③不正确.另一条直线有可能 在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC'D' 平行，但直线CD 平面DCC'D'，
问题④正确，所以选B.
【变式练习1】 已知直线a在平面α 外，则（ D ） （A）a∥α （B）直线a与平面α 至少有一个公共点 （C）aα =A （D）直线a与平面α 至多有一个公共点
D
D′
C′
B′ C
A
B
二、平面与平面之间的位置关系
1.两个平面平行—— 没有公共点；
2.两个平面相交—— 有一条公共直线.
只有两种 位置关系
a
练习1：
若M∈平面α ，M∈平面β ，则不同平面α 与β 的位置关系是 ( B ) A．平行 C．重合 B．相交 D．不确定
空间直线与平面,平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义∴,所以,与平面所成角得余弦值为.例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60º,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值.解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AＰ⊥PBC连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角又∵∠ABP=∠AＣP=60º,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点,∴ＰＤ=,PＡ=BC∴AＤ=∴∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为巩固练习:1选择题(１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( )ﻩ(A)(0º,9０º)(B)［0º,９0º] (Ｃ)[0º,1８0º］(D)[０º,１８0º)(2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中,可能成立得个数就是()ﻩ(A)1个ﻩ(B)２个(C)3个(D)４个(3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( )ﻩ(A)０条或1条(Ｂ)０条或无数条ﻩ(C)1条或2条(D)0条或1条或无数条答案:(1)B (2)Ｃ(3)D2.填空题(1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是.(2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就是。
(3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面α所成得角就是.ﻩ答案:(１) (２) (３)3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心.分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。
2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系(共39张PPT)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
位置 关系 直线在 平面内
公共点个 数 无数个
图形
符号表 示 α⊂α
人 教 A 版 数 学
直线与 平面相 交
直线与 平面平 行
பைடு நூலகம்
一个
a∩α＝A
无公共点
a∥α
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
3.直线a在平面α外，是指直线a和平面α ． 平行 4．两平面平行的定义： 那么这两个平面平行
相交
或 人 教 A 版 数 学
对于(4)，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，
∴ a 可 以 与 平 面 α 内 的 无 数 条 直 线 平 行 ． ∴ (4) 是 真 命 题．综上，真命题的个数为1个．∴应选A.
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
下列命题中，a、b、l表示直线，α表示平面． ①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
其中真命题的个数为
A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
(
)
第二章 [ 解析]
点、直线、平面之间的位置关系 对于 (1)，∵直线 l虽与平面α内无数条直线平行，
但l有可能在平面α内， ∴l不一定平行于α.∴(1)是假命题． 人 教 与α相交，∴a和α不一定平行．∴(2)是假命题． A 对于 (3) ．∵直线 a∥b ， b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点， 版 但a可能在平面α内， 数 学 ∴a不一定平行于α.∴(3)是假命题． 对于 (2) ，∵直线 a 在平面α外，包括两种情况： a∥α和 a
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
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人 教 A 版 数 学
空间中直线与平面的位置关系
空间中直线与平面的位置关系直线与平面是空间几何中常见的基本元素，它们之间的位置关系在数学和物理学等领域中都有重要的应用和研究。
本文将会探讨和介绍直线与平面在空间中的位置关系，以及相关的概念和定理。
一、直线在平面内的位置关系当一个直线与一个平面相交时，可以有以下三种不同的位置关系：1. 直线与平面相交于一点：当直线与平面只有一个交点时，说明这个直线与这个平面相交于一个点。
这种情况下，直线称为平面的一条切线，切线与平面垂直。
2. 直线与平面相交于一条直线：当直线与平面有无数个交点，且这些交点连成一条直线时，说明这个直线与这个平面相交于一条直线。
这种情况下，直线称为平面的一条截线。
3. 直线与平面平行或重合：当直线与平面没有交点时，说明这个直线与这个平面平行。
当直线与平面完全重合时，直线被称为平面的一个生成线。
二、平面包含直线的情况当一个平面同时包含两条不重合的直线时，它们之间可以有以下四种不同的位置关系：1. 直线相交：当两条直线相交于一点时，它们在平面上的位置关系是相交。
2. 直线重合：当两条直线完全重合时，它们在平面上的位置关系是重合。
3. 直线平行：当两条直线不相交且在平面上没有交点时，它们在平面上的位置关系是平行。
4. 直线共面：当两条直线在平面上且没有交点时，它们在平面上的位置关系是共面。
三、直线与平面的垂直关系当一个直线与一个平面垂直时，可以有以下两种情况：1. 直线垂直于平面一点：直线通过平面上的一点且垂直于平面。
2. 直线垂直于平面上的所有点：直线与平面的每一条直线都垂直。
以上是直线与平面在空间中常见的位置关系及其相关概念。
对于理解空间几何以及解决相关问题具有重要的意义。
研究和应用直线与平面的位置关系是空间几何学习的基础，对于建筑设计、物理学、天文学等领域都有实际应用。
空间直线与平面之间的位置关系,直线与平面,平面与平面的关系及其判定
承接上次课：空间直线与平面之间的位置关系：平面与平面之间的位置关系：⑴两个平面平行——没有公共点 ⑵两个平面相交——有一条公共直线 异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]例题1、 .例题2、 已知,,a b c 为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面： ①a ∥c ,b ∥c ⇒a ∥b ； ②a ∥γ,b ∥γ⇒a ∥b ； ③a ∥c ,c ∥α⇒a ∥α； ④a ∥γ,a ∥αα⇒∥γ；⑤a α⊄,b α⊂,a ∥b ⇒a ∥α. 其中正确的命题是（ A ）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤例3、下列命题中正确的个数是（ B ）⑴若直线L 上有无数个点不在平面α内，则L ∥α F(2)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α 内的任意一条直线都平行 F(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平 F （在平面内） (4)若直线L 与平面α平行，则L 与平面α内任意一条直线都没有公共点 （A ）0 (B) 1 (C) 2 (D)3例4、已知直线a 在平面α外，则 （ D ）（A ）a ∥α （B ）直线a 与平面α至少有一个公共点（C ）（D ）直线a 与平面α至多有一个公共点a A α⋂=例5..以下命题（其中a ，b 表示直线，α表示平面）①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ③若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α ④若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 其中正确命题的个数是 （ A ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 例6.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交. 其中可能成立的有 （ D ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个例7.如果平面α外有两点A 、B ，它们到平面α的距离都是a ，则直线AB 和平面α的位置关系一定是（ C ） （A ）平行 （B ）相交 （C ）平行或相交 （D ）AB ⊂α例8.已知m ，n 为异面直线，m ∥平面α，n ∥平面β，α∩β=l ，则l （ C ） （A ）与m ，n 都相交 （B ）与m ，n 中至少一条相交 （C ）与m ，n 都不相交 （D ）与m ，n 中一条相交 例9.下列说法正确的是 ( B )A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M 例10.平面的公共点多于2个，则 （ C ） A.可能只有3个公共点B.可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上C.一定有无数个公共点D.除选项A ，B ，C 外还有其他可能例11、ABC ∆在平面α外，AB P α= ，BC Q α= ，AC R α= ，求证：P 、Q 、R 三点共线.βα,βα,βα,βα,例12、空间四边形ABCD中，E,F分别是AB和CB上的点，G,H分别是CD和AD上的点，且EH FG与相交于点K.求证：EH,BD,FG三条直线相交于同一点.异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.例题1、判定定理法：例题2、反证法：直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定：直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.线线平行⇒线面平行两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反证法来证明. ⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.判定平面与平面平行通常有5种方法：⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)； ⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)；⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).例题1、已知正方体ABCD-1111A B C D ,求证：平面11AB D //平面1C BD 。
空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系 课件
[解析] 如图，∵a∥b，∴a和b确定平面β， ∵a∩α＝P， ∴平面α和平面β相交于过P点的直线l. ∵在平面β内l和两条平行直线a，b中的一条直线a相交， ∴l必和b相交于Q，即b∩l＝Q， 又因为b不在平面α内(若b在 α内，则α和β都过两 相交直线b和l，因此α和β重合)，l在α内，故直线b和平面α 相交．
命题方向2 ⇨两个平面的位置关系
典例 2 已知α，β为平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，下列推理错误的是
()
C
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝直线MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合
空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
1．空间中直线与平面的位置关系
(1)位置关系：有且只有三种
① 直 线 在 平 面 内 — — 有 _ _ _ _无_ _数_ _ 个 公 共 点 ； ② 直 线 与 平 面 相 交 — — _ _ _ _ _有_ _且_ _只_ _有_ _一_ _个_ 公 共 点 ； ③ 直 线 与 平 面 平 行 — — _ _ _ _ 没_ _ _有_ 公 共 点 ． 直 线 与 平 面 _ _ _相_ _交_ _ _ 或 _ _ _ _平_ _行_ _ 的 情 况 统 称 为 直 线 在 平 面 外 ．
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α 内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；
空间中直线与平面平面与平面之间的位置关系
2023-11-02
目录
• 直线与平面的位置关系 • 平面与平面的位置关系 • 直线与平面、平面与平面的关系的应用 • 直线与平面、平面与平面的关系的证明方法
01
直线与平面的位置关系
直线与平面平行
定义
如果直线与平面没有公共点， 则称直线与平面平行。
判定方法
机器工作原理
机器的工作原理往往涉及到直线和平面之间的关系。例如，直线和平面之间的关 系可以帮助机械设计师更好地理解机器的工作原理，从而更好地维护和修理机器 。
04
直线与平面、平面与平面 的关系的证明方法
利用几何公理和定理直接证明
公理1
直线上的任意一点到平面的任意两点的距 离相等，则直线在平面上。
利用向量证明
• 如果一条直线和一个平面垂直，那么它与该平面的法向量平行。因此，如果一条直线和一个平面的法向量平行，那么这 条直线与该平面垂直。
感谢您的观看
THANKS
在建筑设计中，了解直线和平面之间的关系可以帮助建筑师更好地规划建筑 空间。例如，他们可以使用这些关系来确定房间的大小和形状，以满足建筑 的功能需求。
机械设计中的应用
机械零件的设计
直线和平面之间的关系在机械设计中有着广泛的应用。例如，通过使用这些关系 ，机械设计师可以设计出精确的机械零件，如齿轮、轴和轴承等。
平面与平面的位置关系
平面与平面平行
总结词
如果两个平面没有公共点，且其中一个平面内的任意一 条直线都与另一个平面平行，则这两个平面称为互相平 行。
详细描述
设$\alpha$与$\beta$是两个平面，令$\alpha \cap \beta = l$，若直线$l$的方向向量 $\overset{\longrightarrow}{s}$与$\alpha$内的向量 $\overset{\longrightarrow}{a}$共线，则直线$l$与 $\alpha$内的直线$a$平行，从而直线$a$与$\beta$ 平行。
空间中直线与平面的位置关系 平面与平面之间的位置关系 课件
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路分析】 结合直线与平面的位置关系的定义求解．
【解析】 对于①，∵直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行， 但 l 有可能在平面 α 内，∴l 不一定平行于 α.故①是错误的．
对于②，∵直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，∴a 和 α 不一定平行．故②是错误的．
(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分六、七或八个部分， 如图③，④，⑤.
探究 3 本题考查了空间想象能力，分类讨论思想，相交平 面的画法，真可谓一箭三雕！
解立体几何题时，比如直线与几个平面之间的位置关系，你 可以把手中的笔当成直线，把课桌或者课本当作平面，把教室当 作长方体，这样就将抽象的东西变得具体了．平时，动手做一些 立体模型，长方体、立方体、圆柱、圆锥、正四面体等几何体模 型，这些都是建立空间想象力的途径．
(2)已知平面 α，β，直线 a，b，且 a⊂α，b⊂β，α∩β＝ l，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？画出图形．
【思路分析】 (1)由 α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线 a，b 无公共点．
(2)直线与直线可能平行、相交或异面．
【解析】 (1)由题意得直线 a，b 无公共点，所以直线 a，直 线 b 可能平行或异面．如右图所示，在长方体模型中若直线 AC 就是直线 a，B1D1 就是直线 b，则直线 a 与直线 b 异面；若直线 BD 就是直线 a，B1D1 就是直线 b，则直线 a 与直线 b 平行．
1．直线 a 与平面 α 平行，直线 b⊂α，则 a 与 b 有怎样的位 置关系？
答：a 与 b 平行或异面，如下图所示．
2．如果平面 α 与平面 β 平行，直线 a⊂α，直线 b⊂β，那 么 a 与 b 的位置关系是什么？
空间中线面、面面位置关系
位置关系练习
3.（2006重庆）对于任意的直线 与平面 ，在平面 （ 重庆） 与平面α， 重庆 对于任意的直线l与平面 α内必有直线 ，使m与l（ ） 内必有直线m， 内必有直线 与（ A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线 平行 相交 垂直 互为异面直线 4.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线 如果在两个平面内分别有一条直线， 如果在两个平面内分别有一条直线 平行，那么这两个平面的位置关系是（ 平行，那么这两个平面的位置关系是（ ） A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.以上都不对 平行 相交 平行或相交 以上都不对
空间中直线与平面、 平面与平面之间的位 置关系
（1）空间中点与线、点与面的位置关系
图形 文字语言(读法 文字语言 读法) 读法 符号语言
A
A
a a
点在直线上 点在直线上 点在直线外 点在直线外 点在平面内 点在平面内 点在平面外 点在平面外
A∈a Aa A∈α
α A A α
Aα
（2）空间中线与线的位置关系
α
β
β α
α∥β ∥
两个平面有一公共直 线两命题中正确的个数是 下列命题中正确的个数是_____ 下列命题中正确的个数是 若直线l 上有无数个点不在平面α内 ①若直线 上有无数个点不在平面 内，则l∥α； ∥ ； 若直线l与平面 平行， 与平面 与平面α平行 与平面α内的任意一条直线 ②若直线 与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线 都平行； 都平行； 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么 另一条也与这个平面平行； 另一条也与这个平面平行； 若直线l与平面 平行， 与平面 与平面α平行 与平面α内的任意一条直线 ④若直线 与平面 平行，则l与平面 内的任意一条直线 都没有公共点； 都没有公共点； 2. 下列表述正确的有 下列表述正确的有_______ （1）a∥α，b ，则a∥b； ） ∥ ， α， ∥ ； （2）a α，则a∥α或a和α 相交； ） ， ∥ 或 和 相交； α； （3）a∩α=A，则 a ； ） ， α， 无公共点. （4）若a α，b ，则a、b无公共点 ） ， 、 无公共点
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授课计划
课题 2.1.3 空间直线与平面/平面与平面之间的位置关系课时第课时课型- 授课班级
课时
教学
目标
了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系. 掌握直
线与平面平行，平面与平面平行的性质定理
教学重
点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
.
难点：理解各种位置关系的概念. 教学
方法
实验用具
及教具
教学过程设计
教师教学活动设计学生活动设计
一、复习准备：
1. 提问：公理1～4？空间两条直线有哪几种位置关系？
2. 探究：以长方体为例，探求一面对角线与各面的位置关系？生活中直线与平面的位置关
系？
二、讲授新课：
1. 教学直线与平面的位置关系：
①讨论：直线和平面有哪几种位置关系？→操作演示，示范说明。
②定义：直线和平面平行：直线和平面没有公共点。
→小结：三种位置关系：直线在平面内、相交、平行；→探究：公共点情况；
→定义：直线在平面外：相交或平行的情况。
③三种位置关系的图形画法：
④三种位置关系的符号表示：
a⊂α a∩α＝A a∥α（后两个统称为a⊄α）
⑤练习：举出直线和平面的三种位置关系的生活实例；结合空间几何体举例
⑥练习：教材P54 例4；练习题。