高三数学第一轮复习讲义 1.4充要条件
高考第一轮复习知识点(数学)
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．
⑶.反函数的求法：先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.
例： 解的集合{(2，1)}.
②点集与数集的交集是 .（例：A ={(x，y)|y=x+1} B={y|y=x2+1}则A∩B= ）
4.①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个.③n个元素的非空真子集有2n－2个.
5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题 逆命题.
②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题 逆否命题.
④若集合A=集合B，则CBA= ，CAB= CS（CAB）=D（注：CAB= ）.
3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.
②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.
③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的点集.
[注]：①对方程组解的集合应是点集.
高考一轮复习知识点
数学
第一章-集合
考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．
2023届高三数学一轮复习+充分条件与必要条件+课件
( √ )
【对接教材】
2.已知 p:x>1 或 x<-3,q:x>a,若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A ).
A.[1,+∞)
B.(-∞,1]
C.[-3,+∞)
[解析] 设 P={x|x>1 或 x<-3},Q={x|x>a},
因为 q 是 p 的充分不必要条件,所以 Q⫋P,因此 a≥1.
件,则实数 a 的取值范围是
a<0
.
[解析] 由 4x-3<1,解得 x<1,即 p:x<1,记 A={x|x<1}.
由 x-(2a+1)<0,解得 x<2a+1,即 q:x<2a+1,记 B={x|x<2a+1}.
因为 p 是 q 的必要不充分条件,所以 B⫋A,即 2a+1<1,解得 a<0.
方法突破 充要条件的证明
1- < -2,
∴ > 0,
或 > 0,
解得 m≥9.∴实数 m 的取值范围为[9,+∞).
1 + > 10,
1 + ≥ 10
【变式设问】将本例中“p 是 q 的充分不必要条件”改为“p 是 q 的必要不充分条件”,
其他条件不变,则实数 m 的取值范围为 (0,3] .
[解析] 由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,由 x2-2x+1-m2≤0(m>0)得 1-m≤x≤1+m(m>0).
D.(-∞,-3)
3. 已知实数 x,y,则“x>0,y>0”是“x+y>0”的 充分不必要 条件.(填“充分不必要”“必
高考数学第一轮大复习素材： 命题及其关系充分条件与必要条件新人教A文
§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．4．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(×)(2)“sin 45°＝1”是真命题．(×)(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是三角形的内角和不是180°. (×)(4)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．(√)(5)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(×)(6)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝32π”．(√)2．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是 ( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |C ．若|a |≠|b |，则a ≠－bD ．若|a |＝|b |，则a ＝－b 答案 D解析 命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”，故选D.3．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是 ( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.4．(2013·福建)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a ＝3时A ＝{1,3}，显然A ⊆B . 但A ⊆B 时，a ＝2或3.所以A 正确．5．(2012·天津)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由条件推结论和结论推条件后再判断． 若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数， 但是若f (x )＝cos(x ＋φ) (x ∈R)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．题型一 四种命题及真假判断 例1 (1)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题： p 1：|z |＝2， p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i ， p 4：z 的虚部为－1. 其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4(2)已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m >1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 思维启迪 (1)可化简复数z ，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真． 答案 (1)C (2)D解析 (1)z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，所以|z |＝2，p 1为假命题；z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，p 2为真命题，z ＝－1＋i ，p 3为假命题；p 4为真命题．故选C.(2)命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m >1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．思维升华 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例．(1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3(2)命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 答案 (1)C (2)C解析 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．(2)由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.题型二 充要条件的判定例2 已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f (－x )f (x )＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A思维启迪 首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断． 答案 D解析 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)>0，从而可得m <－2或m >6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f (－x )f (x )＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f (－x )f (x )＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件；对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ； 反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ，即A ∩B ＝A . 所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D. 思维升华 充要条件的三种判断方法 (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．(1)(2012·福建)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12 B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0(2)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)D (2)C解析 (1)∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)， ∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.(2)因为A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)， B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，所以A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)， C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2} ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．即A ∪B ＝C .故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件.题型三 充分条件与必要条件的应用例3 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12C.12<a <1 D ．a ≤0或a >1 (2)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 思维启迪 (1)根据图象交点先求得f (x )有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系． 答案 (1)A (2)A解析 (1)因为函数f (x )过点(1,0)，所以函数f (x )有且只有一个零点⇔函数y ＝－2x ＋a (x ≤0)没有零点⇔函数y ＝2x (x ≤0)与直线y ＝a 无公共点．由数形结合，可得a ≤0或a >1. 观察选项，根据集合间关系{a |a <0}{a |a ≤0或a >1}， ∴答案选A.(2)p ：|4x －3|≤1⇒－1≤4x －3≤1，∴12≤x ≤1； q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒(x －a )[x －(a ＋1)]≤0， ∴a ≤x ≤a ＋1.由题意知p 是q 的充分不必要条件，故有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，则0≤a ≤12.思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．(1)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． (2)已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________．答案 (1)－1 (2)⎣⎡⎦⎤13，38 解析 (1)由x 2>1，得x <－1，或x >1. 又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立， 所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.(2)由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0.由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆， 可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38， 所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38.等价转化思想在充要条件中的应用典例：(12分)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围． 思维启迪 (1)先对集合进行化简；(2)将条件间的关系转化为集合间的包含关系；(3)利用集合间的关系列出关于m 的不等式，求出实数m 的范围． 规范解答解 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1.配方，得y ＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈⎣⎡⎦⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2.[4分] 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}．[6分] ∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .[8分] ∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34.[11分]∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.[12分] 温馨提醒 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．方法与技巧1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定． 2．充要关系的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假．(2)等价法：即利用A ⇒B 与 B ⇒ A ；B ⇒A 与 A ⇒ B ；A ⇔B 与 B ⇔ A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件． 失误与防范1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动． 2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式．3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.A 组 专项基础训练一、选择题1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案 B解析 依题意，得原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 2．下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题B ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题 答案 A解析 对于A ，其逆命题：若x >|y |，则x >y ，是真命题，这是因为x >|y |＝⎩⎨⎧y (y ≥0)－y (y <0)，必有x >y ；对于B ，否命题：若x ≤1，则x 2≤1，是假命题．如x ＝－5，x 2＝25>1；对于C ，其否命题：若x ≠1，则x 2＋x －2≠0，因为x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，所以是假命题；对于D ，若x 2>0，则x >0或x <0，不一定有x >1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A. 3．已知集合M ＝{x |0<x <1}，集合N ＝{x |－2<x <1}，那么“a ∈N ”是“a ∈M ”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.4．与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列 答案 D解析 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 5．已知向量a ＝(m 2，－9)，b ＝(1，－1)，则“m ＝－3”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当m ＝－3时，a ＝(9，－9)，b ＝(1，－1)，则a ＝9b ， 所以a ∥b ，即“m ＝－3”⇒“a ∥b ”； 当a ∥b 时，m 2＝9，得m ＝±3，所以不能推得m ＝－3，即“m ＝－3”D ⇐/“a ∥b ”． 故“m ＝－3”是“a ∥b ”的充分不必要条件．6．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 复数a ＋bi＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，而ab ＝0表示a ＝0或b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的必要不充分条件．故选B.7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 C解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限， 则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个． 8．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则m ＝－2；反之也成立． 所以函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2. 二、填空题9．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3,0]解析 ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎨⎧a <0Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0.10．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是________． 答案 2解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．11． “sin α＝12”是“cos 2α＝12”的________条件．答案 充分不必要解析 ∵cos 2α＝1－2sin 2α＝12，解得sin α＝±12，故“sin α＝12”是“cos 2α＝12”的充分不必要条件．12．若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －3>0}{x |x <m －1或x >m ＋1}， 又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m －1m ＋1<3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1m ＋1≤3，∴0≤m ≤2. B 组 专项能力提升1．若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的 ( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，满足A ∩B ＝∅；反之，若A ∩B ＝∅，只需a ≤2即可，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．2．命题“函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )＝e x ＋k 2e x －1k (其中e 为自然对数的底数，k 为实数)，且f (x )在R 上不是单调函数”是真命题，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－22B.⎝⎛⎭⎫－22，0C.⎝⎛⎭⎫0，22D.⎝⎛⎭⎫22，＋∞答案 C解析 当k ＝－1时，f ′(x )＝e x ＋1e x ＋1≥2＋1＝3，则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除A ；当k ＝－12时，f ′(x )＝e x ＋14e x ＋2≥1＋2＝3，所以f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除B ； 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ＋1ex －1≥2e x ·1ex －1＝2－1＝1， 则f (x )在R 上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的____________条件．答案 充分不必要解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，∵m <14⇒m ≤14，反之不成立．故“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞) 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2. 5．下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件．正确的是________．答案①④解析由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以③不正确，④正确．。
《高考直通车》高考数学一轮复习课件第4课充分条件和必要条件(1)
思考并回答以下问题： （1）不等式 x 1 3的解集是
。{x | 2 x 4}
（2）p 是 q 充分不必要条件时，条件 q 与集合{x| 2 x 4}的关系如何？ （3）其他情况呢？
1．命题的概念
概念提炼：
(1)能够判断真假 的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真做命题 ，判断
为
假命题
假的语句叫做
题 3．原命题：“设 a,b,c R 若 ac2 bc2 则 a b ”的逆命题、否命题、
逆否命题及原命题中，真命题共有 个。
回答下列问题：
（1）在不等式的性质中，a b ac bc 成立的条件是什么？（ c 0 ）
（2）通常情况下 c2 0 ，若 ac2 bc2 ，则 c2 的范围是什么？ （3）在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可能是 哪些？因为原命题与其逆否命题等价，所以结果只可能是 0、2、4
第一问：求参数m的取值范围用什么方法？ 是二次函数的方法，还是分参的方法？ 哪个方法更加方便？
第二问：1）如何求出集合N？两个端点的大小 关系确定吗？不确定怎么办？怎样进行分类讨 论求出集合N的范围？
2）能否不求出集合N的范围，直接求出最 终的参数a的范围？怎么处理不等式？如何 列出条件？
例 2：用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”“既不 充分也不必要条件”填空。
题 1：用“充分不必要条件，必要不充分条件，充 要条件和既不充分也不必要条件”填空. （1）已知 p : x 2 ，q : x 2 ，那么 p 是 q 的_____ ___ 条件．
（2）已知 p : a b ，q : ac2 bc2 ，那么 p 是 q 的____
___条件． （3）已知 p:两直线平行，q:内错角相等，那么 p 是q 的______条件． （4）已知 p : a b ，q : a2 b2 ，那么 p 是 q 的____ __ 条件．
高考数学一轮复习第一章第二讲充分条件与必要条件课件
p⇒q且q p
p是q的必要不充分条件
p q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p q且q p
2.充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件，即 “p⇒q”则“q⇐ p”.
(2)传递性：若 p 是 q 的充分(必要)条件，q 是 r 的充分(必要) 条件，则 p 是 r 的充分(必要)条件，即“p⇒q 且 q⇒r”，则“p⇒r” (“p⇐ q 且 q⇐ r”，则“p⇐ r”).
第二讲 充分条件与必要条件
1.理解必要条件的含义，理解性质定理与必要条件的关系. 2.理解充分条件的含义，理解判定定理与充分条件的关系. 3.理解充要条件的含义，理解数学定义与充要条件的关系.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
答案：[0，3]
【考法全练】
1.(考向 1)(2023 年潮南区开学)已知复数 z1＝4－7i，z2＝m＋
2i(m∈R)，zz21在复平面内所对应的点位于第三象限的一个充分不必 要条件是( )
பைடு நூலகம்
A.m＜－2
B.m<－87
C.－87<m<27
D.m<27
解析：根据题意，得zz12＝m4－＋72ii＝4m6－5 14＋8＋657mi，故在复平
C 相交”的充分不必要条件.故选 A. 答案：A
答案：A
2.(2023 年高州市二模)已知直线 l：y＝kx 与圆 C：(x－2)2＋
(y－1)2＝1，则“0<k< 33”是“直线 l 与圆 C 相交”的(
[精]高三第一轮复习全套课件1集合与简易逻辑第4课时 充要条件
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4.对于集合M，N和P，“PM且PN”是“PM∩N” 的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.已知P：｜2x-3｜＞1；q：1/(x2+x-6)＞0，则┐p 是┐q的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 答案： (4) C
第4课时 充要条件
要点·疑点·考点
课 前 热 身
能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.若A=>B且B推不出A，则A是B的充分非必要条件 2.若A推不出B且B=>A，则A是B的必要非充分条件 3.若A=>B且B=>A，则A是B的充要条件 4.若A推不出B且B推不出A，则A既不是B的充分条件， 也不是B的必要条件.
2．求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的 充要条件是a-b分两步：证充分 性即证A =>B，证必要性即证B=>A一定要使题目与 证明中的叙述一致
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延伸·拓展
3．求关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根 的充要条件.
【解题回顾】本题解答时，一是容易漏掉讨论方程 二次项系数是否为零，二是只求必要条件忽略验证 充分条件.即以所求的必要条件代替充要条件.
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1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的 ___ 2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D 是C的充分而不必要条件，那么D是A的________ 3.关于x的不等式：｜x｜+｜x-1｜＞m的解集为R的 充要条件是( ) (A)m＜0 (D)m≤1 答案： (1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)C (B)m≤0 (C)m＜1
届高考数学(北师大版)一轮复习讲义课件：1.4函数的单调性
下面采用定义证明：
任取 x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1＜x1＜x2， 则有 x1－x2＜0， f(x1)－f(x2)＝x1＋2 1－x2＋2 1＝x12＋x12－xx2＋1 1， ∵－ 1＜x1＜ x2，∴x1＋ 1＞ 0， x2＋1＞0，x2－x1＞ 0. ∴x12＋x12－xx2＋1 1＞0. 即 f(x1)－f(x2)＞0，所以 f(x1)＞f(x2)．
典例对对碰
题型一 用函数单调性的定义证明函数的单调性 例 1 判断下列函数的单调性，并证明． (1)f(x)＝x＋2 1，x∈(－1，＋∞)； (2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)； (3)f(x)＝ x＋1，x∈[－1，＋∞)．
解析
(1)函数
f(x)＝x＋2
在 1
(－1，＋∞)上为减函数．
(2)对单调性的理解需注意： ①函数的单调性只能在函数的定义域内讨论，单调区间是定义
域的子区间或定义域本身，离开了定义域这个大前提就会导致错 误．如函数 y＝lg(3＋2x－x2)的单调递增区间为(－1,1]，而不能认为 是(－∞，1]，因为定义域为(－1,3)．
②函数 f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在局部区间上 函数值的变化趋势．因此若要判定或证明函数在该区间上的单调性，
解析 由 u＝x2－3x＋2＞0 得 x＜1 或 x＞2.结合二次函数的 图像及单调性易知：
当 x∈(－∞，1)时，u(x)为减函数． 当 x∈(2，＋∞)时，u(x)为增函数． 又 y＝log0.7u 在定义域内为减函数，因此由复合函数的单调性 可知： x∈(－∞，1)时，y 为增函数，x∈(2，＋∞)时，y 为减函数． 点评 函数的定义域是讨论函数性质的前提，任何问题的解 决必须在定义域内进行．因此，首先须求定义域.
2021届高三数学一轮复习—— 充分条件与必要条件
2021届高三数学一轮复习——充分条件与必要条件1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p概念方法微思考若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．提示若A B，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)(2)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(3)q不是p的必要条件时，“p⇏q”成立．(√)(4)若p⇒q，则p是q的充分不必要条件．(×)题组二教材改编2．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要3．“sin α＝sin β”是“α＝β”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案 必要不充分4．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是________． 答案 m ＝－2题组三 易错自纠5．设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件． 6．(多选)设x ∈R ，则x >2的一个必要不充分条件是( ) A ．x <1 B ．x >1 C ．x >－1 D ．x >3 答案 BC7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x <27，x ∈R ，B ＝{x |－1<x <m ＋1，m ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (2，＋∞)解析 因为A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<3x <27，x ∈R ＝{x |－1<x <3}，x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， 所以A B ，所以m ＋1>3，即m >2.充分、必要条件的判定1．设命题p ：x >4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的______________条件．(选填“充分不必要”必要不充分“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 由x 2－5x ＋4≥0得x ≤1或x ≥4，可知{x |x >4}是{x |x ≤1或x ≥4}的真子集，∴p 是q 的充分不必要条件．2．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A ．充要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分不必要条件 D ．必要不充分条件答案 D解析 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件． 3．设p ：⎝⎛⎭⎫12x<1，q ：log 2x <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由⎝⎛⎭⎫12x <1知x >0，所以p 对应的集合为(0，＋∞)，由log 2x <0知0<x <1，所以q 对应的集合为(0,1)，显然(0,1)(0，＋∞)，所以p 是q 的必要不充分条件．4．若集合A ＝{x |x 2－6x ＋5<0}，B ＝{x ||x －a |<1}，则“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |a －1<x <a ＋1}．∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤5，即2≤a ≤4，∵(2,3)[2,4]，∴“a ∈(2,3)”是“B ⊆A ”的充分不必要条件． 思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．充分、必要条件的应用例1 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}．由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 即所求m 的取值范围是[0,3]．若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练1 (1)已知p ：1≤x ≤2，q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充要条件，则实数a 的值为________． 答案 1解析 q ：(x －a )(x －a －1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1.由p 是q 的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，a ＋1＝2，∴a ＝1.(2)设p ：|2x ＋1|<m (m >0)；q ：x －12x －1>0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________． 答案 (0,2]解析 由|2x ＋1|<m (m >0)，得－m <2x ＋1<m ，∴－m ＋12<x <m －12，且－m ＋12<0，由x －12x －1>0，得x <12或x >1.∵p 是q 的充分不必要条件， ∴m －12≤12，∴0<m ≤2. 充要条件的探求例2 已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解 因为mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程， 所以m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝16(1－m )≥0，Δ2＝16m 2－4(4m 2－4m －5)≥0，解得m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .所以m 为4的约数． 又因为m ∈⎣⎡⎦⎤－54，1， 所以m ＝－1或1.当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根不是整数； 而当m ＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.思维升华 探求充要条件的关键在于转化的等价性，解题时要考虑条件包含的各种情况，保证条件的充分性和必要性．跟踪训练2 (1)命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a >4 C ．a ≥1 D ．a >1答案 B解析 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，所以a >4是命题为真的充分不必要条件．(2)(2020·武汉质检)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________． 答案 ac <0解析 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac >0，c a <0.即ac <0.1．“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由log 2(2x －3)<1⇔0<2x －3<2⇔32 <x <52，4x >8⇔2x >3⇔x >32，所以“log 2(2x －3)<1”是“4x >8”的充分不必要条件，故选A.2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案A解析由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a<b；但是a<b即a－b<0时，有可能a＝0，所以(a－b)a2<0不一定成立，故“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件，故选A. 3．“|x－1|<2”是“x<3”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析由|x－1|<2，可得－1<x<3，∵{x|－1<x<3}{x|x<3}，∴“|x－1|<2”是“x<3”的充分不必要条件．4．(2019·东莞模拟)若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析设f (x)＝x＋ln x，显然f (x)在(0，＋∞)上单调递增，∵a>b，∴f (a)>f (b)，∴a＋ln a>b＋ln b，充分性成立；∵a＋ln a>b＋ln b，∴f (a)>f (b)，∴a>b，必要性成立，故“a>b”是“a＋ln a>b＋ln b”的充要条件，故选C.5．若“x>1”是“不等式2x>a－x成立”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是() A．a>3 B．a<3 C．a>4 D．a<4答案A解析若2x>a－x，即2x＋x>a.设f (x)＝2x＋x，则函数f (x)为增函数．由题意知“2x＋x>a成立，即f (x)>a成立”能得到“x>1”，反之不成立．因为当x>1时，f (x)>3，∴a>3.6．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 B解析 由q ：(x ＋1)(2－x )<0，得x <－1或x >2，又p 是q 的充分不必要条件，所以k >2，即实数k 的取值范围是(2，＋∞)，故选B.7．(多选)若x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 BCD解析 由x 2－x －2<0，解得－1<x <2. ∵x 2－x －2<0是－2<x <a 的充分不必要条件， ∴(－1,2)(－2，a )，∴a ≥2. ∴实数a 的值可以是2,3,4.8．(多选)下列叙述中不正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．“a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件答案 AB解析 A 错误，当a ＝0，b ＝0，c <0时，满足b 2－4ac ≤0，但此时ax 2＋bx ＋c ≥0不成立，故若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”错误； B 错误，若a ，b ，c ∈R ，“a >c ”且b ＝0时，推不出“ab 2>cb 2”，故错误；C 正确，若方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a >0，x 1x 2＝a <0，则a <0，又“a <1”是“a <0”的必要不充分条件，故正确；D 正确，“a >1”⇒“1a <1”但是“1a<1”推不出“a >1”，故正确．9．已知命题p ：1a >14，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 命题p 等价于0<a <4.命题q ：对∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0等价于⎩⎨⎧a ＝0，1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0，则0≤a <4，所以命题p 成立是命题q 成立的充分不必要条件．10．(2019·福州模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，则“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )是奇函数，∴若x 1＋x 2＝0，则x 1＝－x 2，则f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，即f (x 1)＋f (x 2)＝0成立，即充分性成立；若f (x )＝0，满足f (x )是奇函数，当x 1＝x 2＝2时，满足f (x 1)＝f (x 2)＝0，此时满足f (x 1)＋f (x 2)＝0，但x 1＋x 2＝4≠0，即必要性不成立．故“x 1＋x 2＝0”是“f (x 1)＋f (x 2)＝0”的充分不必要条件．11．若x ∈{－1，m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－1，32 解析 不等式可转化为(x ＋1)(2x －3)≤0，解得－1≤x ≤32，由于x ∈{－1，m }是－1≤x ≤32的充分不必要条件，结合集合元素的互异性，得到m ∈⎝⎛⎦⎤－1，32. 12．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(其中a >0)，q ：实数x 满足x －3x －2≤0.若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2<x ≤3}，p 是q 的必要不充分条件，则B A ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，3a >3，则1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．13．(2020·深圳模拟)对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 令x ＝1.8，y ＝0.9，满足|x －y |<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，〈x 〉≠〈y 〉，可知充分性不成立．当〈x 〉＝〈y 〉时，设〈x 〉＝x ＋m ，〈y 〉＝y ＋n ，m ，n ∈[0,1)，则|x －y |＝|n －m |<1，可知必要性成立．所以“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的必要不充分条件．故选B. 14．求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解 (1)当a ＝0时，为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合题目要求．(2)当a ≠0时，为一元二次方程，它有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.又设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a.①方程ax 2＋2x ＋1＝0有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a <0，得a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎨⎧a ≤1，－2a <0，1a >0，得0<a ≤1.综上，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.15．已知集合2613x x A x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1 ，B ＝{x |log 3(x ＋a )≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0]解析 由2613x x x --⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭≤1 ，得x 2－x －6≥0，解得x ≤－2或x ≥3，则A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}．由log 3(x ＋a )≥1，得x ＋a ≥3，即x ≥3－a ，则B ＝{x |x ≥3－a }．由题意知B A ，所以3－a ≥3，解得a ≤0.16．已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明 (1)必要性：因为a ＋b ＝1，所以a ＋b －1＝0.所以a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)·(a 2－ab ＋b 2)＝0.(2)充分性：因为a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0，又ab ≠0，所以a ≠0且b ≠0.因为a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0， 所以a ＋b －1＝0，即a ＋b ＝1.综上可得当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.。
高三第一轮复习数学 充分条件与必要条件
高三第一轮复习数学---充分条件与必要条件一、教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．二、教学重点：充要条件关系的判定．三、教学过程：（一）主要知识：（一）充分条件、必要条件和充要条件1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。
2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必A⇒要条件。
B3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。
（二）充要条件的判断A⇒成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。
1若BA⇒且B A，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条2．若B件。
A⇔成立则A、B互为充要条件。
3．若B证明A是B的充要条件，分两步：（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。
(三)给定两个命题，p、q, 可以考虑集合A=｛x︱x满足p｝,B=｛x︱x满足q｝,则有1．若A⊆B，则p 是q的充分条件。
2．若A⊇B，则p 是q的必要条件。
3．若A=B，则p 是q的充要条件。
记住：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围。
（二）主要方法：1．判断充要关系的关键是分清条件和结论；⇒是否正确的本质是判断命题“若p，则q”的真假；2．判断p q3．判断充要条件关系的三种方法：①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）．4．说明不充分或不必要时，常构造反例．（三）例题分析：例1．（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；（2）对于实数x、y，p：x+y≠8 q：x≠2或y≠6；（3）在△ABC中，p：SinA>SinB q：tanA>tanB；（4）已知x、y∈R，p：(x-1)2+(y-2)2=0 q：(x-1)(y-2)=0解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分不必要条件（3）p是q的既不充分又不必要条件（4）p是q的充分不必要条件练习1（变式1）设f(x)=x2-4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要而不充分条件是（C ）A、x<0B、x<0或x>4C、│x-1│>1D、│x-2│>3例2．填空题qq⌝⇒若pp⌝是;______)1(条件的则;______00,_______00)2(条件的是条件的是≥≥>>ba ab b a ab (3)若A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，D 是C 的必要条件，则A 是D 的 条件. 答案：(1)必要条件 (2)充要、必要不充分 (3)A ＝> B <＝> C ＝> D 故填充分不必要。
高三数学一轮复习讲义 专题3 充要条件
专题3 充要条件考纲导读：考纲要求: 掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义;由充要条件的各种定义能准确地对两个命题的关系进行判断.考纲解读: 高考在考查其他部分内容时涉及到集合的知识．很少有正面考查逻辑的内容．逻辑与充要条件的知识往往是和其他知识结合起来并汇考查.考点精析：考点1、充要条件充要条件的高考常见题型为：由一个成立的命题，去求出其充要条件，或者证明某个命题成立的充要条件是什么等，题目一般为选择或填空题,但也会出现于部分解答题之中，难度不会太大.【考例1】(上海春季)若集合{}21,A m =，{}2,4B =，则“2m =”是“{}4A B = ”的A ．充分不必要条件．B ．必要不充分条件．C ．充要条件．D ．既不充分也不必要条件． 解题思路：本题考查了集合的交集运算及充要条件的判断,体现了简易逻辑的逻辑推理与代数论证的基础考查作用.正确答案：若2m =,则{}{1,4}{2,4}4A B == ;反之若{}4A B = ,则24m =,解之得2m =±.∴“2m =”是“{}4A B = ”的充分不必要条件,故应选A.回顾与反思：要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.知识链接：充分条件：如果已知p ⇒q ，即若p 则q ，称p 是q 的充分条件;必要条件：如果已知q ⇒p ，即若q 则p ，即称p 是q 的必要条件;充要条件：如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，这时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说p 是q的充分必要条件，简称充要条件;既不充分又不必要条件：如果p 、q 之间关系为：pq且qp ，这时就称p 是q 的既不充分也不必要条件.【考例2】(西安八校联考)已知甲: tan α≠乙: 43πα≠,则甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解题思路：本题考查了正切函数的性质及充要条件的判断问题.通过三角函数的正切值可以逆向思维求得结论.要注意充分性与必要性双重方向思考问题.正确答案：若tan α≠则43πα≠,反之若43πα≠,则不一定有tan α≠即得甲“tan α≠43πα≠”的充分不必要条件,故应选A. 回顾与反思：数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.知识链接：要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.【考例3】 (江西文)下列四个条件中，p 是q 的必要不充分．．．．．条件的是（ ） Ａ．:p a b >，22:q a b >Ｂ．:p a b >，:22a b q >Ｃ．22:p ax by c +=为双曲线，:0q ab <Ｄ．2:0p ax bx c ++>，2:0c b q a x x-+> 解题思路：本题考查了命题的判断与充要条件的选择中条件的判断及充分性与必要性的具体分析能力.正确答案：:p a b >是22:q a b >的即不充分与不必要条件;:p a b >是:22a b q >的充要条件;22:p ax by c +=为双曲线是:0q ab <的充分不必要条件;2:0p ax bx c ++>是2:0c b p a x x++>的必要不充分条件,故应选D. 回顾与反思：在论述命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).知识链接：从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.创新探究：【探究1】(湖北理)有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设,A B 都为有限集合，给出下列命题：①A B =∅ 的充要条件是()()()card A B card A card B =+ ；②A B ⊆的必要条件是()()card A card B ≤；③A B Ú的充分条件是()()card A card B ≤；④A B =的充要条件是()()card A card B =；其中真命题的序号是( )A ．③④B ．①②C ．①④D ．②③创新思路：本题考查了本题考查了充要条件,解题过程中可以列举反例论证或应用文恩图来图解,考查了考生灵活选择方法解选择题的策略.正确答案：由A B =∅ ()()()card A B card A card B ⇔=+ , 知命题①正确;由A B ⊆()()card A card B ⇒≤,但当()()card A card B ≤时,不一定有A B ⊆(其元素个数多少不决定两个集合间的包含关系,从而得A B ⊆的必要非充分条件是()()card A card B ≤,即命题②正确;由A B Ú是()()card A card B ≤的既不充分与不必要条件,知命题③不正确;由A B =的必要非充分条件是()()card A card B =,知命题④不正确, 故应选B.方法归纳：（1）有关充要条件的计算或证明题，必有两方面的证明：充分性和必要性.一般先证明充分性，其次证明必要性.（2）充要条件的证明关键是根据定义确定哪个是已知条件，哪个是结论，再去确定充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.过关必练：一、选择题:1. (海淀区期中)已知,,a b c R ∈，则“a b >”是“ac bc >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件2. (南京模)若21:20,:0,|1|x p x x q x +--<>-则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件3. (北京理2文3)若a 与b c - 都是非零向量，则“a b a c ⋅=⋅ ”是“()a b c ⊥- ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4. (湖南理4文5)“a =1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. (辽宁) 极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的 （ ） A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件二、填空题:6. 命题p 是命题q 的充分但不必要条件，命题s 是命题q 的必要但不充分条件，命题t 是命题s 的充要条件，则t _ p .7. 若已知A 是B 的充分条件，C 是D 的必要条件，而B 是D 的充要条件，则D 是C 的_______条件；D 是A 的_______条件；A 是C 的_______条件，D 是B 的_______条件.8. (湖南模)关于x 的方程m 2x 2－(m+1)x+2=0根的总和为2的充要条件是 .9. xy ＞0的一个充分而不必要条件是_______.10. (雅礼中学月考)如果不等式1||<-a x 成立的充分不必要条件是1322x <<，则实数a 的取值范围是 ．三、 解答题:11. 已知a ，b ，c 都是实数，证明ac ＜0是关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.12. (江西模)已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0和x 2－4mx +4m 2+(4－4m )－9=0，求两方程有实数根都是整数的充要条件.13. 已知ab ≠0，求证: a +b =1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.14. 已知p ：321--x ≤2，q ：x 2―2x +1―m 2≤0（m ＞0）,又知非p 是非q 的必要条件，但不是充分条件，求取m 的取值范围.1过关必练参考答案：1. D 解析:若“a c b c >”, 则“a b >或a b <”; 反之若“a b >”,则“ac b c >或ac bc <”. ∴“a b >”是“ac bc >”的即不充分又不必要条件,应选D.2. D 解析:由2:20p x x --<得12x -<<; 由1:0|1|x q x +>-得1x >-且1x ≠.由此得p 是q 的既不充分也不必要条件,故应选D.3. C 解析:本题考查了平面向量数量积的性质及充分必要条件； 由于,a b c - 为非零向量，故()()0a b a c a b a c a b c a b c =⇔-=-=⇔⊥- . 故应选C.4. A 解析:本题考查了“V ”型函数的单调性及充要条件.函数()||f x x a =-的图象如右图所示,其单调增区间为 [,a +∞) ,由已知可得[1, +∞)⊆ [,a +∞) ,∴1a ≤ .即得“a =1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的充分不必要条件, 故应选A.5. B 解析:∵极限)(lim 0x f x x →存在且)()(lim 00x f x f x x =→，则函数)(x f 在点0x x =处连续的，∴极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的必要而不充分的条件，故选B ． 6. ⇐解析: p 是命题q 的充分但不必要条件, p q ⇒; s 是命题q 的必要但不充分条件,q s ⇒, 命题t 是命题s 的充要条件，t s ⇔, 则有p t ⇒.7. 解析：A ⇒B ⇔D ⇒C ， D 是C 的充分条件，D 是A 的必要条件，A 是C 的充分条件，D 是B 的充要条件.8. m=0解析:当m=0时，原方程即x=2，满足条件当m ≠0时，21m m +=2，m=1或－21. 但△=(m+1)2－8m 2，m=1及m=－21均使△＜0.故充要条件是m=0. 9. x ＜2(本例答案不惟一，是一个开放性命题).解析:x ＜0的一个必要不充分条件是x ＜2.10. ]23,21[ 解析:本题考查了含绝对值不等式的解法及充要条件的命题求解方式.由||111x a a x a -<⇔-+<<+. 又不等式1||<-a x 成立的充分不必要条件是1322x <<, ∴31,1321221,2a a a ⎧≤+⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥-+⎪⎩.11. 证明：(1)充分性：若ac ＜0,则Δ=b 2－4ac ＞0.方程ax 2+bx +c =0有两个相异的实根，设为x 1,x 2.∵ac ＜0,∴x 1x 2=ac ＜0. 即x 1、x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根.(2)必要性：若方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1＞0,x 2＜0,则x 1x 2=ac ＜0,∴ac ＜0. 由(1)(2)知ac ＜0是方程ax 2+bx +c =0有一个正根和一个负根的充要条件.12. 解析:∵mx 2－4x+4=0是一元二次方程 ∴m ≠0.另一方程为x 2－4mx+4m 2―4m ―5=0都要有实根 , ∴1222216(1)0,164(445)0,4,4,445m m m m Z m Z m m m Z∆=-≥⎧⎪∆=---≥⎪⎪⎨∈∈⎪⎪--∈⎪⎩, 解得m=±1. 13. 证明：先证必要性成立：∵a +b =1,即b =1－a∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0再证充分性成立：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0即(a +b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0∴(a +b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0∴a 2－ab ＋b 2=(a －a b )2+432b ≠0 只有a +b =1综上可知，当ab ≠0，a +b =1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.14. 解析:先化简 p 即x ∈[－1，11]，q 即x ∈[1－m ，1+m] 非p ：x ＜－1或x ＞11，非q ：x ＜1－ m 或x ＞1+m.非q ⇒非p ，故⎩⎨⎧≥+-≤-11111m m ，解得m ≥10当m ≥10时，―1与1―m 不可能相等，故非p ⇒ 非q.∴m ∈[)+∞,10.。
高考数学一轮复习讲义第一章命题和其关系充分条件与必要条件
例 1 以下关于命题的说法正确的有_______ (填写所有正确
命题的序号)．
①“若 log2a>0，则函数 f(x)＝logax (a>0，a≠1)在其定义 域内是减函数”是真命题；
②命题“若 a＝0，则 ab＝0”的否命题是“若 a≠0，则
ab≠0”；
③命题“若 x，y 都是偶数，则 x＋y 也是偶数”的逆命
一轮复习讲义
命题及其关系、充 分条件与必要条件
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
要点梳理
忆一忆知识要点
1．命题的概念
在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够 判断真假 的
陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假
的语句叫假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
对于①，若 log2a>0＝log21，则 a>1，所以函数 f(x) ＝logax 在其定义域内是增函数，因此①是假命题，故①不 正确；
对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；
对于③，原命题的逆命题是“若 x＋y 是偶数，则 x、y 都 是偶数”，是假命题，如 1＋3＝4 是偶数，但 3 和 1 均为 奇数，故③不正确；
对于④，不难看出，命题“若 a∈M，则 b∉M”与命题“若 b∈M，则 a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④ 正确．
综上可知正确的说法有②④.
答案 ②④
高考数学一轮复习讲义第 一章命题与其关系充分条
探究提高
(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判四种命题真假 的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与 否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进 行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题， 必要时举特例．
高三数学一轮复习知识点讲解1-2全称量词与存在量词、充要条件
高三数学一轮复习知识点讲解专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件【考纲解读与核心素养】1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.2.全称量词与存在量词(1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.【知识清单】1. 充分条件与必要条件（1）若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； （2）若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件； （3）若p ⇒/q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； （4）若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；（5）若p ⇒/q 且q ⇒/p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．2．存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．（2）“p 或q ”的否定为：“非p 且非q ”；“p 且q ”的否定为：“非p 或非q ”． （3）含有一个量词的命题的否定命题命题的否定,()x M p x ∀∈ 00,()x M p x ∃∈⌝00,()x M p x ∃∈,()x M p x ∀∈⌝【典例剖析】高频考点一 充要条件的判定例1.（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.例2.（2018年浙江卷）已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分性成立，而由无法得到m 平行于平面内任一直线，即必要性不成立．例3．（2019·北京高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件, 故选C. 【规律方法】充要关系的几种判断方法(1)定义法：若 ,p q q p ⇒≠> ，则p 是q 的充分而不必要条件；若,p q q p ≠>⇒ ，则p 是q 的必要而不充分条件；若,p q q p ⇒⇒，则p 是q 的充要条件； 若,p q q p ≠>≠> ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)等价法：即利用p q ⇒与q p ⌝⌝⇒；q p ⇒与p q ⌝⌝⇒；p q ⇔与q p ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p 的集合为M ，满足命题q 的集合为N ，则M 是N 的真子集等价于p 是q 的充分不必要条件，N 是M 的真子集等价于p 是q 的必要不充分条件，M ＝N 等价于p 和q 互为充要条件，M ，N 不存在相互包含关系等价于p 既不是q 的充分条件也不是q 的必要条件 【变式探究】1.（2019年高考天津理）设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.2.（2019·北京高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】时，,为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.3．（2017·浙江省高考真题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ． 高频考点二：充分条件与必要条件的应用例4.（江西省新八校2019届高三第二次联考）若“3x >”是“x m >”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________． 【答案】3m >因为“3x >”是“x m >”的必要不充分条件， 所以(),m +∞是()3,+∞的真子集，所以3m >， 故答案为3m >. 【规律方法】1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式探究】（安徽省江南片2019届高三开学联考）设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --<，q ：实数x 满足302x x +>+． （Ⅰ）当1a =时，若p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）当0a <时，若p 是q ⌝的必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()(),32,-∞--+∞；（2）()2,1--． 【解析】（Ⅰ）当1a =时，p ：13x <<，q ：3x <-或2x >-. 因为p q ∨为真，所以p ，q 中至少有一个真命题. 所以13x <<或3x <-或2x >-， 所以3x <-或2x >-，所以实数x 的取值范围是()(),32,-∞-⋃-+∞. （Ⅱ）当0a <时，p ：3a x a <<，由302x x +>+得：q ：3x <-或2x >-， 所以q ⌝：32x -≤≤-，因为p 是q ⌝的必要条件，所以{|32}{|3}x x x a x a -≤≤-⊆<<， 所以332a a <-⎧⎨>-⎩，解得21a -<<-，所以实数a 的取值范围是()2,1--. 【特别警示】根据充要条件求解参数范围的方法及注意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 高频考点三：全称量词与存在量词例5.（2018贵州凯里一中模拟）命题p ：0x R ∃∈，()02f x ≥，则p ⌝为（ ） A ． x R ∀∈， ()2f x < B ． x R ∀∈， ()2f x ≥ C ． 0x R ∃∈， ()2f x ≤ D ． 0x R ∃∈， ()2f x < 【答案】A【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： (),2x R f x ∀∈<，故选A ． 例6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0【答案】D 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．例7. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）． A.n ∀∈R ，2n n ≥B.n ∃∈R ，m ∀∈R ，m n m ⋅=C.n ∀∈R ，m ∃∈R ，2m n <D.n ∀∈R ，2n n <【答案】B 【解析】对于选项A ，令12n =，则2111242⎛⎫=< ⎪⎝⎭，故A 错；对于选项B ，令1n =，则m ∀∈R ，1⋅=m m 显然成立，故B 正确； 对于选项C ，令1n =-，则21<-m 显然无解，故C 错； 对于选项D ，令1n =-，则2(1)1-<-显然不成立，故D 错. 故选：B 【规律方法】1．全称命题真假的判断方法（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立； （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个特殊值x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可． 2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．3.全称命题与特称命题真假的判断方法汇总命题名称 真假 判断方法一 判断方法二 全称命题真所有对象使命题真否定为假假 存在一个对象使命题假 否定为真 特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4．常见词语的否定形式有：原语句 是 都是 > 至少有一个 至多有一个 对任意x ∈A 使p (x )真 否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x 0∈A 使p (x 0)假【变式探究】1．（2015·全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P 的否定为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.（2019·江苏省如东高级中学高三月考）命题“20,0x x ∀><都有”的否定是________.【答案】20,0x x ∃<≤有 【解析】全称量词改存在，再否定结论，即“20,0x x ∀><都有”的否定是：20,0x x ∃<≤有 故答案为：20,0x x ∃<≤有 3．给出下列命题：（1）x ∀∈R ，20x >；（2）x ∃∈R ，210x x ++≤；（3）a ∃∈RQ ，Rb ∈Q ，使得a b +∈Q ．其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】对于（1），当0x =时，20x =，所以（1）是假命题；对于（2），2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭，所以（2）是假命题；对于（3），当22a =，32b =+时，5a b +=，所以（3）是真命题． 所以共有1个真命题， 故填：1. 【易错提醒】1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．。
高考数学充分条件与必要条件
（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提 条件推出A。
； CF辅助
；
一心只想喝水信以为真的山羊，便不假思索地跳了下去，当他咕咚咕咚痛饮完后，就不得不与狐狸一起共商上井的办法。狐狸早有准备，他狡猾地说：“我倒有一个方法。你用前脚扒在井墙上，再把角竖直了，我从你后背跳上井去，再拉你上来，我们就都得救了。”山羊同意了他的提议， 狐狸踩着他的后脚，跳到他背上，然后再从角上用力一跳，跳出了井口。狐狸上去以后，准备独自逃离。山羊指责狐狸不信守诺言。狐狸回过头对山羊说：“喂，朋友，你的头脑如果像你的胡须那样完美，你就不至于在没看清出口之前就盲目地跳下去。” 要求：全面理解材料，但可以 选择一个侧面、一个角度构思作文。立意自定，文体自选，标题自拟；不要脱离材料的含意，不要套作，不得抄袭，不少于800字。 【审题立意】以下为切合题意①做事要先考虑清楚事情的结果，然后再去做。②不要盲目信任他人，要善于思考。以下为符合题意③要信守诺言（讲诚信要 看对象）。④做事要三思而后行。⑤不要被甜言蜜语所蒙骗。⑥山羊为什么会上当受骗？以下为基本符合题意⑦为人要诚实，不要过河拆桥。⑧不要被利欲驱使。⑨遇到困难，不要慌张，要等待机会。 三、阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章（湖南省“三市七校”第二 次联考） ? 材料一：清晨的公共汽车里，往往是一个让人心情压抑的地方，这里没有对话，没有微笑，只有一张张毫无表情的脸。 ? 材料二：澳洲的一位媒体记者在中国的一些地方考察了一圈，他说：“清晨，空气是那么清新，扫过水的街道湿漉漉的，没有灰尘扬起。太阳已经升上来 了，金色的光辉从高楼大厦间斜射过来，这是多么美好的事情。人们经过了一夜的酣睡，该精神抖擞才对，可是，如此美妙的清晨，人们的表情却如地球末日即将来临般严肃，没有一点点惬意的笑容。” ? 材料三：当今社会人们笑容缺失的现象引起不少人的关注，一位叫流沙的作者以 “醉人的笑容你有没有”为题，对这一现象做了一些探讨。 ? 全面理解以上三则材料提供的信息，自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。 【审题立意】这是一道多则材料类的材料作文题，并且材料中没有主旨句，审题难度比有主旨句或 提示语的单则材料更大一些。完成此类作文题目审题的基本方法是找到多则材料的聚焦点，然后据此将多则材料作文转换成话题作文，进入我们所熟悉的步调。 题干要求我们“全面理解以上三则材料提供的信息”，“不要脱离材料的含意作文”，材料的含意是什么呢? 材料一叙述的是 日常生活中一种司空见惯的现象——清晨的公共汽车里人们没有笑容，它是我们现实生活中普遍存在着笑容缺失现象的一个缩影；材料二是转述澳洲一位记者对中国笑容缺失现象的大惑不解；材料三是说笑容缺失现象已经引起了不少人的关注和探讨。由此可见，三则材料的聚焦点是我国 “当今社会人们笑容缺失的现象”，简单的说，就是“笑容缺失”，并且，这里的“笑容”专指微笑。转换成话题，可以是“笑容缺失”或“微笑”。 ? 作文中可能存在着如下几种偏题错误： 一是以“表情”为话题，范围过大。 “表情”有喜悦，有悲伤，有愤怒，有惊讶，有恐惧， 有严肃，有轻松……三则材料显然只说了代表乐观、喜悦、轻松的“笑容”； 二是以“笑”为话题，范围照样过大。 “笑” 有大笑、微笑、苦笑、傻笑、憨笑、假笑、赔笑、冷笑、暗笑、狂笑、奸笑、狞笑、皮笑肉不笑……三则材料中第一则说微笑；第二则说要有惬意的笑，“惬意 的笑” 应指微笑，因为其它如大笑都不切合；第三则表述为“醉人的笑”那也是指微笑，所以三则材料都只说了微笑。 三是以“职业微笑”为话题，则是明显偏题。 也许有人说微笑体现了一个人的职业道德，可以抨击干部、售票员、护士、教师等对群众、对乘客、对病人、对学生冷 若冰霜、缺少热情的现象。其实三则材料不是从职业的角度来说笑容缺失的，而是说公共场合人们缺少微笑让人感到压抑，折射了公众普遍存在的在公共交往中对自己封闭和对他人冷漠的心态。所以与原有材料不切合。 ? 当材料作文被转化成话题作文后，相信大家写起来就轻车熟路 了。 ? 写记叙文，可以写公共交往中一个“微笑”的故事，写出生动细节，再现现场情景，刻画人物形象，传递出人物真实细腻的情感或作者的感悟；也可以写几个微笑的片断，夹叙夹议，表达一个鲜明的主题。 ? 写成议，可以围绕话题通过发问开拓思路：微笑缺失的原因是什么?微 笑缺失有什么危害?微笑在现实生活中有什么意义?怎样才能绽开如花的笑容?任意选择其中一个问题来展开，都可以写成一篇紧扣材料含意的作文。 四、阅读下面的材料，根据要求作文（山东省实验中学第三次诊断性测试） 有这样一种声音，会让你觉得是耳边轻柔的呼唤，低声的诉说； 有这样一种声音，没有多余的技巧，却能唤起你灵魂深处的良知和责任； 有这样一种声音，会让你卸去疲惫，会带你走到过往的回忆中； 有这样一种声音，会带给你心灵的震颤，会让你心中盛满感动。 请以“有这样一种声音”为话题，写一篇文章。 要求：①文体除诗歌外自选，题目 自拟，立意自定，不少于800字②不得抄袭③书写规范，工整。 【审题立意】材料用排比句的形式告诉我们不同的声音给我们带来的不同的影响。有这样一种声音，在诉说着爱、责任、良知……而你听到了这样的声音，会丰富你的情感，净化你的心灵，提升你的境界…… ? 看话题，注 意话题中每一个词语。 ? 文体自选，不是不要求文体，而是在表达方式上提供了更大的自由表达空间。如果写散文，可以叙述自己聆听某种声音的经历，细致地描写这种声音，然后写出聆听之后自己独特的体验和感受，也可以边叙述描写边抒情，感情要真实。如果写议，首先要确立论 思路如何展开，能够鲜明地亮出观点，正文部分围绕这种声音的意义和价值进行论，切忌空发议论。 五、请以“你听，多美”为题，写一篇不少于800字的文章，文体不限（南京市2008届高三质量检测） ? ?【审题立意】①审题的关键词是“听”和“美”二字，“听”引入文章要表达的 对象，“听”也是一个感受的过程；而“美”是文章要表达的中心，需要突出的主旨。“美”可以是自然的美，可以是社会的关，也可以是生活美的或艺术的美等等。文章重在表达审美享受的过程：即为什么美，美在何处。“你”显示了文章所要使用的人称，可以具体有所指，也可以泛 指，表示了一种共享。整篇文章应表达对所听对象的由衷赞美之情。 ? ? ③文章可以实写，比如可写由听到书声、故事、教诲、音乐等带来的审美感受；也可以虚写，比如将艺术作品(一幅画、一首诗等)中的某些图景幻化为听觉感受，从而进入审美境界。 ? ? ③对美的感受应该是深刻 的，美的感受是有感染力的，震撼力的；表现的“美”不应该是低俗的，不健康的。 六、阅读下面材料，以“心态”为题，写一篇不少于800字的记叙文或议（湖南长郡中学第三次月考） 《庄子》中记载了这样一个故事：一个赌徒拿着瓦砾去赌时，几乎是逢赌必赢，而当他拿着万 两黄金去赌时，却输得一败涂地。 太想打好球的手在颤抖，太想走好钢丝的脚在颤抖，太想赢的心在颤抖。人都有这么一个弱点：当对某一件事过于重视时，心里就会紧张，而一紧张，就会出现心跳加速、焦虑、精力分散等不良反应。这一系列的不良反应会使我们的才能无法正常 发挥，最终导致我们的失败。在科学界，这种现象被称为“目的颤抖”，即目的性越强，越不容易成功。? 【审题立意】许多的失败，看似偶然失手，其实是必然的。一个不能控制自己心态和情绪的人，纵极富才华，在人生的关口处，却注定也是要失败的。所以，我们在做任何事情时， 应将心放宽些，不要惧怕失败，不要总觉得自己输不起。始终保持一颗平和、淡定之心，竭尽全力追求成功，但不要将成功看作自己唯一的归宿，要敢于为失败做一份心理准备。 把心台筑高些，目光放远一些吧。不要过分地看重一次的成败，要赢得起，也要输得起。不要让“目的 颤抖”断送了我们的成功，以一颗平常心冷静、沉着的迎接挑战，淋漓尽致地发挥自己的才能。这样，我们才能不带一丝遗憾，斗志昂扬地继续我们的人生之路。 七、阅读下面的文字，按要求作文(广东省惠来一中月考试卷) ? 人生其实需要不断地储蓄。储蓄金钱，储蓄学问，储蓄感 情……储蓄人生，就要储蓄人生中那些最宝贵的东西。 ? 请以“储蓄”为话题，写一篇不少于800字的文章。题目自拟，文体自选(诗歌除外)。 生命银行广告 ? 本银行自创办以来，经营顺利。现为了壮大规模，扩大客户面，新增业务如下： ? （1）亲情储蓄本业务为长期永久性储蓄， 储蓄项目为父母对子女所 倾注的心血。 ? 该项目的收入来源为每个人的父母，且自客户出生日起，即每时每刻拥有此项收入。其表现形式极其多样，如盖被子，喂饭，辅导功课甚至唠叨，打耳光等等。由于内容琐碎，很容易为人所忽视。但是积少成多，这笔收入无疑是每个人最大的一 项收入细水长流且源源不断，最为珍贵。 ? 银行新增该项储蓄项目，正是本着积少成多的精神。将这一项最容易被人忽视却最为珍贵的收入存入本银行。到老时每个客户将会发现：原来自己如此富有。 ? （2）爱情储蓄：本储蓄项目的收益性接近于亲情储蓄，前期多为试验性投资，二 十岁左右正式储蓄。 该项目的收入来源要求为每个人的配偶对其所倾注的感情，该收入的表现形式亦极为琐碎，如做饭，洗衣服，铺床养家糊口甚至吵架，回娘家等等，但收入亦极为可观将这笔收入存入本银行，可作为养老金使用，且年岁越长，安全性越大。 ? 注：由于特殊原因，本 项目对未成年人有极大风险，二十岁以下请务必三思而后行之。 ? （3）友情储蓄：与前两项同为本银行新增三大项目之一，该项目亦为长久性储蓄项目，一般情况下利润低于前两种，但关键时刻则收益极高。 ? ?该项目的储蓄收入要求为来源于每个人一生中所结交的各种朋友，从穿开 裆裤时的一粒糖果到急难之时的一笔资助，都可存入其中。由于该项目的收入来源多种多样且良莠不齐，正直慷慨者有之，居心叵测各怀鬼胎者亦有之。由于本项目亦存在风险，储蓄中的不良成分将直接对客户造成伤害。所以请客户务必慎重梳理其中收入。 ? 除此三大项目外，银行另
充分条件与必要条件+++全称量词与存在量词课件-2025届高三数学一轮复习
充分不必要条件
四、回归教材：
例1、判断P是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，
充要条件，既不充分也不必要条件）
(3) p：x是素数，q：x是不能被2整除的数
即不充分也不必要条件
(4) p：x y，q：x 3 y 3
充要条件
四、回归教材：
（5）p:两三角形三边成比例。
q：两三角形相似。
充要条件
（6）p:两三角形两角分别相等。q：两三角形相似。
充要条件
（7）p:两三角形两边成比例且夹角相等。q：两三角形相似。
充要条件
四、回归教材：
（8）p:圆C内两条弦相等，q：圆C内两条弦所对的圆周角相等或互补
充要条件
（9）在平面中，p:四边形对角线相等，q：四边形是菱形。
4）每个二次函数的图象都是轴对称图形
原命题：真命题
命题的否定：有一些二次函数的图象不是轴对称图形，假命题
四、回归教材：
例3：写出下列命题的否定、并判断命题及命题的否定的真假。
5）正方形都是菱形
原命题：真命题
命题的否定：存在一些正方形不是菱形，假命题
6）∀ ∈ , ∈
原命题：真命题
命题的否定： ∃ ∈ , ∉ 假命题
∴ 命题“∃ ∈ [1,2], 使得 2 + − 2
> 0”的否定为真命题
即命题“∀ ∈ [1,2], 使得 2 + − 2 ≤ 0”是真命题
2 1
∴ ≤ 2 − , ∈ [1,2]恒成立
2 1
1
令() = 2 − , ∈ [1,2], 令 = , ∈ [1,2], 则()
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【§1.4充要条件】 班级 姓名 学号 知识点：充分条件、必要条件、充要条件；注意：“甲是乙的充分条件与甲的充分条件是乙”的区别。
例1．指出下列各题中，P 是q 的什么条件？
①P ：0<x<3 q:|x －1|<2 ②P ：(x －2)(x －3)=0 q ：x=2
③P ：c=0 q ：抛物线y=ax 2+bx+c 过原点 ④P ：A B ⊆ S q ：C S B C S A
⑤P ：⋅=⋅ q ： ,,(=均是非零向量）
⑥P ：对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上 q ：数列}{n a 是等差数列 例2．若A 是B 的充分条件，A 是E 的必要条件，B 是C 的充要条件，B 是D 的必要条件，D 是C 的必要条件，D 是E 的必要条件。
那么：A 是D 的什么条件？C 是D 的什么条件？C 是E 的什么条件？
例3．设α、β是方程x 2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1的二根α、β均大于1的什 么条件？
例4．已知p ：2|3
11|≤--x ，q ：)0(01222>≤-+-m m x x ，若q p ⌝⌝是的充分不必要条件，求实数m 的取值范围。
【备用题】
设x,y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy ≥0.
【基础训练】
1．用“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”中选出适当的一种填空 ①“x ≤－1”是“x ≤1”的________________.
②“x 2－y 2－6x+8y=7”是“x+y=7”的________________________.
③若c b a ,,是常数，则“0402<->ac b a 且”是“对于任意0,2>++∈c bx ax R x 有”的_______ ④当a ∈N*，b ∈N*时“a 3+b 3是奇数”是“a+b 是奇数”的___________________________.
2．若a 、b 、c 都是实数，试从（A ）ab=0 (B)a+b=0 (C)a 2+b 2=0 (D)ab>0 (E)a+b>0 (F)a 2+b 2>0 中，分别选出适合下列条件者（1）使a 、b 都为0的充分条件______.（2）使a 、b 都不为0的充分条件______.（3）使a 、b 中至少有一个为0的充要条件_______.（4）使a 、b 中至少有一个不为0的充要条件是________.
3．在锐角三角形ABC 中，A>B 是sinA>sinB 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【拓展练习】
1．命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 （ ）
A ．a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数
B ．a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数
C ．a+b 是偶数，则a 、b 都是偶数
D ．a 、b 都不是偶数，则a+b 不是偶数
2．设集合M={x|x>2},P={x|x<3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要 3．1>y x 的一个充分不必要条件是 （ ）
A ．x>y
B ．x>y>0
C ．x<y
D ．y<x<0
4．若p 是q 的充分不必要条件，则⌝q 是⌝p 的________________.
5．指出下列各题中甲是乙的什么条件？
（1）甲：a 、b 、c 成等比数列；乙：b 2=ac_______________________.
（2）若{a n }为等差数列；甲：m+n=p+q(m 、n 、p 、q ∈N*) 乙：a m +a n =a p +a q __________.
（3）甲：点P （x 0,y 0）在曲线F （x,y ）=0上，乙：F(x 0,y 0)=0____________________.
（4）甲：3tan :,3≠≠a a 乙π
______________________.
（5）甲：直线l 1∥l 2，乙：直线l 1与l 2的斜率相等_______________________________.
（6）在三角形ABC 中，p ：sinA>sinB,q ：tanA>tanB .
6．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 、r 、p 分别是q 的什么条件？
7．已知p ：（x －1）(y －2)=0,q:(x －1)2+(y －2)2=0，试判断p 是q 的什么条件？
8．（1）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“022>--x x ”的充分条件？如果存在，求出p 的范围。
（2）是否存在实数p ，使“4x+p<0”是“022>--x x ”的必要条件？如果存在，求出p 的范围。
9．求方程)0(0122≠=++a x ax 至少有一个负根的充要条件。
10．设,Z m ∈已知关于x 的一元二次方程 0442=+-x mx （1） 0544422=--+-m m mx x （2）
试求方程（1）和（2）的根都是整数的充要条件。
11*．两个数列{a n }和{b n }满足b n =*)(...321...32321N n n
na a a a n ∈++++++++，证明：数列{b n }是等差数列的充要条件是{a n }也是等差数列.。