普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学理科答案与解析(参考).doc

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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.理)含详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >，（2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D解析：因()1a i i ai b i +=-+=+，根据复数相等的条件可知1,1a b ==-。

2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：A解析：因“1a =”，即{1}N =，满足“N M ⊆”，反之“N M ⊆”，则2{}={1}N a =，或2{}={2}N a =，不一定有“1a =”。

3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+答案：B解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：正视图侧视图俯视图图12()P K k ≥ 0.0500.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C解析：由27.8 6.635K ≈>，而2( 6.635)0.010P K ≥=，故由独立性检验的意义可知选C.5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =。

普通高等学校招生全国统一考试湖南卷理科数学试题及答案

2019年一般高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项切合要求的.1．复数(11)4的值是（）iA．4ix2y2B．－4i C．4D．－41上一点P到右焦点的距离等于13，那么点P到右准线的距离2．假如双曲线1213是（）13B．13C．55A．D．5133．设f1(x)是函数f(x)log2(x1)的反函数，若[1f1(a)][1f1(b)]8，则f(a b)的值为（）A．1B．2C．3D．log234．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为极点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．某企业甲、乙、丙、丁四个地域分别有150个、120个、180个、150个销售点企业为了检查产品销售的状况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地域中有20个特大型销售点，要从中抽取7个检查其收入和售后服务等状况，记这项检查为②则达成①、②这两项检查宜采纳的抽样方法挨次是（）A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法6．设函数f(x)x2bx c,x0,若f(4)f(0),f(2)2,则对于x的方程2,x0.f(x)x解的个数为（）A．1B．2C．3D．47．设a0,b0,则以下不等式中不恒成立的是（）．．．．A．(a b)(11)4B．a3b32ab2a bC．a2b222a2b D．|ab|a b8．数列a n中,a116,n N*,则lim(a1a2a n),a n a n1n1（）55x n2B．214A．7C．D．54259．会合U{(x,y)|x R,yR},A{(x,y)|2x ym0},B{(x,y)|x y n0}，那么点P（2，3）A（C U B）的充要条件是（）A．m1,n5B．m1,n5C．m1,n5D．m1,n510．从正方体的八个点中任取三个点点作三角形，此中直角三角形的个数（）A．56B．52C．48D．4011．民收入由工性收入和其余收入两部分组成2003年某地域民人均收入3150元(其中工性收入1800元，其余收入1350元),地域自2019年起的5年内，民的工性收入将以每年6%的年增率增，其余收入每年增添160元依据以上数据，2008年地域民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元12．f(x),g(x)分是定在R上的奇函数和偶函数，当x0，f(x)g(x) f(x)g(x)0,且g(3)0,不等式f(x)g(x)0的解集是（）A．(3,0)(3,)B．(3,0)(0,3)C．(,3)(3,)D．(,3)(0,3)第Ⅱ卷（非共90分）二、填空：本大共4小，每小4分，共16分，把答案填在中横上13．已知向量a=(cos,sin)，向量b=(3,1)，|2a－的最大是.b|14．同抛物两枚同样的平均硬，随机量ξ=1表示果中有正面向上，ξ=0表示果中没有正面向上，Eξ=.15．若(x31)n的睁开式中的常数84，n=.x x16．F是x2y21的右焦点，且上起码有21个不一样的点P（i=1，2，3，⋯），76i使|FP1|，|FP2|，|FP3|，⋯成公差d的等差数列，d的取范.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知sin(2)sin(2)1,(,),求2sin2tancot1的值.4444218．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种部件，已知甲机床加工的部件是一等品而乙机床加工的部件不是一等品的概率为1,乙机床加工的部件是一等品而丙机床加工的部件不142是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的部件都是一等品的概率为.129（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工部件是一等品的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，求起码有一个一等品的概率.19．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,（点E在PD上，且PE:ED=2:1.I）证明PA⊥平面ABCD；（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小；（Ⅲ）在棱PC上能否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.PEA DB C20．（本小分12分）已知函数f( x x 2e ax ,此中 a 0, e 自然数的底数.)（Ⅰ）函数 f(x)的性；（Ⅱ）求函数f(x)在区[0，1]上的最大.21．（本小分12分）如，抛物x 2 =4y 的称上任一点P （0,m ）(m>0)作直与抛物交于A ，B 两点，点Q 是点P 对于原点的称点.（I ）点P 分有向段AB 所成的比，明:QP(QAQB)；II ）直AB 的方程是x-2y+12=0，A 、B 两点的C 与抛物在点A 有共同的切，求C 的方程.22．（本小分14分）如，直l 1:ykx1k(k0,k 1)与l 2 :y1x 1 订交于点P.直l 1与x222交于点P 1，点P 1作x 的垂交直 l 2于点Q 1，点Q 1作y 的垂交直 l 1于点P 2，点P 2作x 的垂交直l 2于点Q 2，⋯，向来作下去，可获得一系列点 P 1、Q 1、P 2、Q 2，⋯，点P n （n=1，2，⋯）的横坐组成数列x n .（Ⅰ）明x n111(x n 1),nN*；（Ⅱ）求数列x n2k的通公式；（Ⅲ）比2|PP n|2与4k 2|PP 1|25的大小.2019年一般高等学校招生湖南卷理工农医类数学试题参照答案13．414．15．916．[1 ,0) (0, 1 ]101017．解：由sin(2)sin(2 )sin(2 ) cos(2)444 414 ) 11sin( 2 cos4,22 4得cos41. 又(,),因此 5.24 212222cos2于是2tan cot1cos2sincos2sinsincos2sin2cos(cos2 2cot2 )(cos 55 ) 3 2 3) 5 3.2cot ( 26 6 2 18．解：（Ⅰ）设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的部件是一等品的事件.P(A B) 1P(A) (1 P(B))1, ,①44由题设条件有P(B C)1 ,即P(B) (1 P(C))1, ②1212P(AC) 2.P(A)P(C)2.③99由①、③得P(B)19P(C)代入②得27[P(C)]2－51P(C)+22=0.8解得P(C) 2或11 （舍去）.2 391,P(B)1.将P(C)分别代入 ③、②可得P(A)334即甲、乙、丙三台机床各加工的部件是一等品的概率分别是1,1,2.3 4 3（Ⅱ）记D 为从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的事件，则P(D) 1P(D) 1 (1 P(A))(1 P(B))(1P(C))12 3 1 5.3 4 36 故从甲、乙、丙加工的部件中各取一个查验，起码有一个一等品的概率为5.619．（Ⅰ）证明由于底面 ABCD 是菱形，∠ABC=60°，因此AB=AD=AC= a ，在△PAB 中，2222知PA ⊥AB. 由PA+AB=2a=PB同理，PA ⊥AD ，因此PA ⊥平面ABCD.（Ⅱ）解作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角的平面角.BPE A G DHC又PE:ED=2:1，因此EG1a,AG2a,GHAGsin603a.3 33进而tanEG 3, 30.GH3（Ⅲ）解法一以A 为坐标原点，直线 AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，成立空间直角坐标系如图.由题设条件，有关各点的坐标分别为31 3 1 a,0).zA(0,0,0),B(a,a,0),C(a,2222PD(0,a,0),P(0,0,a),E(0,2 1a, a).3 3因此AE(0,2a,1a),AC(3a,1a,0). FE3 32 2AP(0,0,a),PC ( 3a,1a, a).AD2 2ByBP(31x Ca,a,a).22设点F 是棱PC 上的点，PFPC3 a 1, a ),此中0 1,则( , a 2 2BF BP PF ( 3 1 a,a) ( 3 , 1 , a )2 a, a a2 2 23 a( 1), 1 ),a(1 )). 令BF 1AC2 AE 得( a(1 2 23a(1) 3a 1,11,221a(1)1a12a 2, 即114 2,2233a(1)1a 2.11 2.33解得1, 11, 23.即1时，BF1AC3AE.222222亦即，F 是PC 的中点时， BF 、AC 、AE 共面.又BF 平面AEC ，因此当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC.解法二当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明以下，证法一取PE 的中点M ，连接FM ，则FM//CE. ① 由EM1PEED, 知E 是MD 的中点.P2M连接BM 、BD ，设BD AC=O ，则O 为BD 的中点.因此 BM//OE. ②FE由①、②知，平面 BFM//平面AEC.又BF 平面BFM ，因此BF//平面AEC. 证法二AD由于1 1 DP)BOCBFBCCPAD(CD22AD1CD3DEAD1(ADAC)3(AEAD)2 2223 1AE AC.22因此BF 、AE 、AC 共面.又BF 平面ABC ，进而BF//平面AEC.20．解：（Ⅰ）f(x)x(ax2)e ax .（i ）当a=0 时，令 f(x) 0,得x 0.若x 0,则f (x) 0,进而f (x)在(0, )上单一递加；若x0,则f (x)0,进而f (x)在(,0)上单一递减.（ii ）当a<0时，令f(x) 0,得x(ax2)0,故x0或x2. 若x 0,则f (x) 0,进而f(x)在(,0)上单一递减；a若0x2 ,则f (x)0,进而f(x)在(0, 2)上单一递加；aa若x2,则f(x)0,进而f(x)在(2, )上单一递减.aa（Ⅱ）（i ）当a=0时，f(x)在区间[0，1]上的最大值是 f(1) 1.（）当2 a 0 时，f(x)在区间，上的最大值是f(1)e aii[01].（iii ）当a2时，f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(2 ) 4 .aa 2e 2 x 221．解：（Ⅰ）依题意，可设直线 AB 的方程为ykxm,代入抛物线方程4y 得x 2 4kx4m0.①设A 、B 两点的坐标分别是 (x 1,y 1)、(x 2,y 2),则x 1、x 2是方程①的两根.因此 x 1x 2 4m.由点P （0，m ）分有向线段AB 所成的比为，得x1x 20,即x1.1x 2又点Q 是点P 对于原点的对称点，故点Q 的坐标是（0，－m ），进而QP (0,2m).QA QB(x 1,y 1m) (x 2,y 2 m)(x 1 x 2,y 1y 2(1 )m).QP(QAQB)2m[y 1y 2(1)m]2m[x 12x 1 x 22 (1 x 1)n] 2m(x 1x 2) x 1x 2 4m4x 2 4x 24x 22m(x 1x 2)4m4m4x 2 0.因此QP(QA QB). x 2y 120,（Ⅱ）由 2得点A 、B 的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.x 4y,由x 2y得y1x 2,y1x,4 2因此抛物线x24y在点A处切线的斜率为y x63设圆C的方程是(xa)2(yb)2r2,b91,则a b3(a6)2(b9)2(a解之得a3,b23,r2223)2因此圆C的方程是(x即x2y223x23y724)2(b4)2.(a4)2(b4)2125.2(y2321252),0.2。

2024年湖南高考数学真题(含答案)

2024年湖南高考数学真题及答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-2. 若1i 1zz =+-，则z =（）A. 1i-- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+3. 已知向量(0,1),(2,)a b x == ，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A. 2- B. 1- C. 1D. 24. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A. 3m -B. 3m -C.3m D. 3m5.（）A.B.C.D. 6. 已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩，在R 上单调递增，则a 取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D.[0,)+∞7. 当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 88. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >> B. (2)0.5P X ><的的C. (2)0.5P Y >> D. (2)0.8P Y ><10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数的字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；为（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．参考答案本试卷共10页，19小题，满分150分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.的一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣，则A B = （）A. {1,0}- B. {2,3}C. {3,1,0}-- D.{1,0,2}-【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--，且注意到12<<，从而A B = {}1,0-.故选：A.2. 若1i 1zz =+-，则z =（）A. 1i -- B. 1i-+ C. 1i- D. 1i+【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥-，则x =（）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为()4b b a ⊥- ，所以()40b b a ⋅-=，所以240b a b -⋅=即2440x x +-=，故2x =，故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（）A. 3m - B. 3m -C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ-的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ-=，而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=，故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-，从而sin sin 2m αβ=-，故()cos 3m αβ-=-，故选：A.5. （）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧---<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]-∞ B. [1,0]- C. [1,1]- D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa-⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a-≤≤，即a的范围是[1,0]-.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =，所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（）A. (10)100f > B. (20)1000f >C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==，又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>，(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ，则（）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出.【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1Y N ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>，C 正确，D 错误；因为()1.8,0.1X N ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<，而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误，故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（）A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x -<-< D. 当10x -<<时，(2)()f x f x ->【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x -=->，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <-<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减，所以()()()1213f f x f >->，即()4210f x -<-<，正确；对D，当10x -<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->，所以(2)()f x f x ->，正确；故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（）A. 2a =- B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >-4a =，4a =，解得2a =-，故A 正确.对于B24=，而2x >-，()24x+=.当0x y ==()2844=-=，故()在曲线上，故B 正确.对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =--+，取32x =，则2641494y =-，而64164525624510494494494---=-=>⨯，故此时21y >，故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误.对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =--≤++，故0004422y x x -≤≤++，故D 正确.故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________．【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b-=得2b y a =±，即22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==，又122AF AF a -=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===.故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==；如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=.所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3，求c ．【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B=得cos B 值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，的的从而sin C===又因为sin C B=，即1cos2B=，注意到()0,πB∈，所以π3B=.小问2详解】由（1）可得π3B=，cos C=，()0,πC∈，从而π4C=，ππ5ππ3412A=--=，而5πππ1sin sin sin12462A⎛⎫⎛⎫==+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==，从而,a b====，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为211sin22ABCS ab C===，由已知ABC面积为323=+，所以c=16. 已知(0,3)A和33,2P⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上两点.（1）求C的离心率;（2）若过P的直线l交C于另一点B，且ABP的面积为9，求l的方程．【答案】（1）12（2）直线l的方程为3260x y--=或20x y-=.【的【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x -=-，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【小问1详解】由题意得2239941b a b =⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】法一：3312032APk -==--，则直线AP 的方程为132y x =-+，即260x y +-=，AP ==，由（1）知22:1129x y C +=，设点B 到直线AP 的距离为d，则d ==则将直线AP沿着与AP 单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，6C =或18C =-，当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=-⎩或332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，当()0,3B -时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，当18C =-时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得22271170y y -+=，227421172070∆=-⨯⨯=-<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设()00,B x y22001129x y ⎪+=⎪⎩，解得00332x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或0003x y =⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫--⎪⎝⎭，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=-⎩，即()0,3B -或33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B -，16392PAB S =⨯⨯= ，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =-，即3260x y --=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠-，解得0x =或22443kx k -=+，0k ≠，12k ≠-，令22443k x k -=+，则2212943k y k -+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +-=，点B 到直线AP的距离d =，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫--⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y -=，综上直线l 的方程为3260x y --=或20x y -=.法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x -=-，令()()1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，()()()2222Δ24124433636270k kk k k =--+-->，且AP k k ≠，即12k ≠-，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧-+=⎪⎪+==⎨--⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd = ，12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =，此时1933922ABP S =⨯⨯=≠ 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =-+，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，联立223323436y kx k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k xk k x k k ⎛⎫+--+--= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=--+--> ⎪⎝⎭，且12k ≠-，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k----==++，则211312183922234P B k S AQ x x k k +=-=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x =或332y x =-，即3260x y --=或20x y -=.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D --，求AD ．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出；（2）过点D 作DE AC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即可求得tan DFE ∠=AD的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ．【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，又AD PB ⊥，PB PA P = ，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥，根据平面知识可知//AD BC ，又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ．【小问2详解】如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ，根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D --的平面角，即sin DFE ∠=tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =，由等面积法可得，DE =，又242xCE -==，而EFC 为等腰直角三角形，所以EF =，故tan DFE∠==x =AD =．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若0b =，且()0f x '≥，求a 的最小值；（2）证明：曲线()y f x =是中心对称图形；（3）若()2f x >-当且仅当12x <<，求b 的取值范围．【答案】（1）2-（2）证明见解析（3）23b ≥-【解析】【分析】（1）求出()min 2f x a '=+后根据()0f x '≥可求a 的最小值；（2）设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，可证(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f =-即2a =-，再根据()2f x >-在()1,2上恒成立可求得23b ≥-.【小问1详解】0b =时，()ln2xf x ax x=+-，其中()0,2x ∈，则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--'，因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥-，所以a 的最小值为2-.，【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2，设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++--，而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦，2n a =-+，所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a .【小问3详解】因为()2f x >-当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =-的一个解，所以()12f =-即2a =-，先考虑12x <<时，()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln21102x x b x x +-+->-在()1,2上恒成立，设()10,1t x =-∈，则31ln 201t t bt t+-+>-在()0,1上恒成立，设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-，则()()2222232322311tbtbg t bt t t -++=-+=-'-，当0b ≥，232332320bt b b b -++≥-++=>，故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时，2323230bt b b -++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数，故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍；综上，()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时，而23b ≥-时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1，即()2f x >-的解为()1,2.综上，23b ≥-.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；（2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接根据(),i j -可分数列的定义即可；（2）根据(),i j -可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d-=+=+'，得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可.换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列.那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6.所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6.【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m -++，共3m -组.（如果30m -=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13-可分数列.【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列：命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i -≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i -≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k ->-，故21k k ≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++--+，共21k k -组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i -≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k ->，故21k k >.由于3j i -≠，故()()2141423k k +-+≠，从而211k k -≠，这就意味着212k k -≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k ---，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =-，共212k k --组；④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++-++，共2m k -组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k --个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++.可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j -可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j -可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个；而如果3j i -=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +-+=.但这导致2112k k -=，矛盾，所以,i B j A ∈∈.设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +-+=，即211k k -=.所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m -，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m -+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个.这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +-.当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的(),i j 至少有()21m m +-个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+-++⎝⎭≥=>==++++++++.这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,含答案)

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，含答案）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。

参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >，（2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。

（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。

一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1.若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+，则（）A ．1,1a b ==B ．1,1a b =-=C ．1,1a b =-=-D ．1,1a b ==- 答案：D2.设{1,2}M =，2{}N a =，则“1a =”是“N M ⊆”则（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A ．9122π+B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+答案：B4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 答案：C5.设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案：C 6. 由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为（）A ．12B ．1C ．3D ．3答案：D7. 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A ．(1,12)+B ．(12,)++∞C ．(1,3)D ．(3,)+∞ 答案：A8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当||MN 达到最小时t 的值为（）A ．1B ．12C ．5D ．2答案：D二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)试卷(全国甲卷)含部分答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）试卷（全国甲卷）一、选择题1．若，则( )5i z =+i()z z +=A. B. C.10D.-210i2i2．已知集合，，则( ){1,2,3,4,5,9}A={}B A =()A A B = ðA. B. C. D.{1,4,9}{3,4,9}{1,2,3}{2,3,5}3．若实数x ，y 满足约束条件，则的最小值为( )4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩5z x y =-724．记等差数列的前n 项和，若，，则( )n S {}n a 510S S =51a =1a =7115．已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率(0,4)(0,4)-(6,4)-为( )6．设函数在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的()f x =()y f x =(0,1)面积为( )7．函数在区间的大致图像为( )()2e e sin xx y x x -=-+-[ 2.8,2.8]-A. B.C. D.( )=π4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. B.19．已知向量，，则( )(1,)x x =+a (,2)x =b A.是的必要条件 B.是的必要条件3x =-⊥a b 3x =-//a bC.是的充分条件D.是的充分条件0x =⊥a b 1x =-+//a b 10．设，为两个平面，m ，n 为两条直线，且.下述四个命题：αβm αβ= ①若，则或//m n //n α//n β②若，则或m n ⊥n α⊥n β⊥③若且，则//n α//n β//m n④若n 与，所成的角相等，则.αβm n ⊥其中所有真命题的编号是( )A.①③B.②④C.①②③D.①③④11．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，则ABC △60B =︒294b ac =( )sin sin A C +=12．已知b 是a ，c 的等差中项，直线与圆交于A ，B 两点，则0ax by c ++=22410x y y ++-=A.1B.2C.4D.二、填空题13．的展开式中，各项系数中的最大值为_________.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为，下底面半径均为，圆台的母线长分别为，1r 2r ()212r r -，则圆台甲与乙的体积之比为_________.()213r r -15．已知_________.a >1log 4a -==16．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 之差的三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p =p >+）12.247≈附：2K =（1）求的通项公式；{}n a（2）设，求数列的前n 项和.1(1)n n n b na -=-{}n b n T 19．如图，已知，//AB CD，，，//CD EF 2AB DE EF CF ====4CD =AD BC ==AE =点.（1）证明：平面BCF ；//EM （2）求二面角的正弦值.A EM B --20．已知函数.()(1)ln(1)f x ax x x =-+-（1）若，求的极值；2a =-()f x （2）当时，，求a 的取值范围.0x ≥()0f x ≥21．设椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴.2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭MF x ⊥（1）求C 的方程；（2）过点的直线交C 于A ，B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q .证(4,0)P 明：轴.AO y ⊥22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.cos 1ρρθ=+（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：（t 为参数），若C 与l 相交于A ，B 两点，且，求a .,x t y t a=⎧⎨=+⎩||2AB =23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足.3a b +≥（1）证明：；2222a b a b +>++-≥b b a226答案1．答案：A解析：因为，所以，故选A.5i z =+i()10i z z +=2．答案：D解析：因为，，所以，{1,2,3,4,5,9}A ={}{1,4,9,16,25,81}B A ==(){2,3,5}A A B = ð故选D.3．答案：D解析：将约束条件两两联立可得3个交点：，和，经检验都符合约束条件.代(0,1)-3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13,2⎛⎫⎪⎝⎭入目标函数可得：min z =4．答案：B解析：因为，所以，，又因为，所以公差510S S =718S S =80a =51a =d =187a a d =-=5．答案：C 解析：，故选C.12212F F c e a PF PF ===-6．答案：A解析：因为，所以，，563y x '=+3k =31y x =-11123S =⨯⨯=7．答案：B 解析：8．答案：B，故选=1α=πtan 1141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭B.9．答案：C解析：，则，解得：或-3，故选C.⊥a b (1)20x x x ++=0x =10．答案：A 解析：11．答案：C解析：因为，所以B =294ac =24sin sin sin 9A C B ==，即：，22294b a c ac ac =+-=22134a c ac +=22sin sin A C +=222(sin sin )sin sin 2sin sin A C A C A C+=++=sin A +12．答案：C解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以，直线恒过.当20a b c -+=0ax by c ++=(1,2)P -，，故选C.PC ⊥|1PC =||4AB =13．答案：5解析：展开式中系数最大的项一定在下面的5项：、、、、55101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭46101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭37101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算可得：系数的最大值为.19101C 3⎛⎫ ⎪⎝⎭28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭h h ===15．答案：64，所以，而，221315log log 4log 22a a a -=-=-()()22log 1log 60a a +-=1a >故，.2log 6a =64a =解析：记前三个球的号码分别为a 、b 、c ，则共有种可能.令36A 120=可得：，根据对称性：或6时，2||0.5236a b a b c a b cm n ++++-=≤-=-|2|3a b c +-≤1c =均有2种可能；或5时，均有10种可能；或4时，均有16种可能；故满足条件的共有2c =3c =56种可能，56120P ==17．答案：（1）没有的把握99%（2）有优化提升解析：（1），没有的把握；22150(70242630) 6.635965450100x ⨯-⨯=<⨯⨯⨯99%p >+18．答案：（1）14(3)n n a -=⋅-（2）(21)31n n T n =-+解析：（1）因为，所以，434n n S a =+11434n n S a ++=+两式相减可得：，即：，11433n n n a a a ++=-13n n a a +=-又因为，所以，11434S a =+14a =故数列是首项为4，公比为-3的等比数列，；{}n a 14(3)n n a -=⋅-（2）解法1：，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅所以，.()012141323333n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 12334(1323)333n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 两式相减可得：，()12113241333343(24)3213n n nn n n T n n n -⎛⎫--=++++-⋅=-⋅=-- ⎪-⎝⎭.(21)31n n T n =-+解法2：，所以，11(1)43n n n n b na n --=-=⋅1143n n n T T n --=+⋅两边同时减去可得：，(21)3nn -11(21)3(23)3n n n n T n T n ----=--故为常数列，即：，.{}(21)3n n T n --(21)31n n T n --=(21)31n n T n =-+19．答案：（1）证明见解析解析：（1）由题意：，，//EF CM EF CM =而平面，平面ADO ，CF ÜADO EM Ú所以平面BCF ；//EM（2）取DM 的中点O ，连结OA ，OE ，则，，，，OA DM ⊥OE DM⊥3OA =OE =AE =故.OA OE ⊥以O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，(0,0,3)A E (0,1,0)M (0,2,3)B 3)AE =- (EM =，(0,1,3)MB =设平面AEM 的法向量为，(,,)n x y z =由可得：，00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩300z y -=+=⎪⎩令，则，1z =,1)3n =同理：取平面BEM 的法向量为，1)m =-则cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==,m n 〈〉= 故二面角A EM B --20．答案：（1）极小值为，无极大值(0)0f =（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦解析：（1）当时，，.2a =-()(12)ln(1)f x x x x =++-1x >-时，，当时，，()2ln(1)f x x =+0>()0f x >10x -<<()0f x <所以在上递增，()f x (-)+∞故的极小值为，无极大值；()f x (0)0f =（2），()(1)ln(1)f x ax x x =-+-()ln(1)f x a x =-+-令，则.()()g x f x =21()1(1)a a g x x x +'=--++因为当时，，且，，0x ≥()0f x ≥(0)0f =(0)0f '=所以，(0)120g a '=--≥a ≤当，在上递增，a ≤2211()02(1)2(1)2(1)x g x x x x '≥-=≥+++()g x [0,)+∞，()()(0)0g x f x g =≥=故在上递增，恒成立，即a 的取值范围为.()f x [0,)+∞()(0)0f x f ≥=1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦213y =（2）证明见解析解析：（1）设椭圆C 的左焦点为，.F 23||2MF =因为，MF ⊥1MF =1||4a MF MF =+=解得：，，24a =2213b a =-=；213y =（2）解法1：设，，，()11,A x y ()22,B x y ,AP PB λ=则，即.12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212144x x y y λλ=+-⎧⎨=-⎩又由可得，()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-结合上式可得.25230x λλ-+=，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫⎪⎝⎭222122335252Q y y y y y x x λλλ===-=--AQ y ⊥解法2：设，，()11,A x y (22,B x y =()1221214y x y y y -=-所以()()2222122112211221x y x y x y x y x y x y -+=-，()()()()22221221212121122144444433y y y y y y y y y y x y x y ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：，.122121x y x y y y +=+2112253x y y y =-，，，则，故轴.(4,0)P (1,0)F 5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭21212112335252Q y y y y y x y y x ===--AQ y ⊥22．答案：（1）221y x =+（2）34a =解析：（1）因为，所以，cos 1ρρθ=+22(cos 1)ρρθ=+故C 的直角坐标方程为：，即：；222(1)x y x +=+221y x =+（2）将代入可得：，x t y t a=⎧⎨=+⎩221y x =+222(1)10t a ta +-+-=，解得.2||2AB t ===34a =23．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以；3a b +≥22222()a b a b a b +≥+>+222222222222()b b a a b b a a b a b +-≥-+-=+-+.22222()()()()(1)6a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥。

2024新高考I卷数学真题详细解析(含选填)

2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）数学参考答案与解析本参考答案与解析共 7 页, 19 小题, 满分 150 分.注意事项:1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。

2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3. 填空题和解答题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x∣−5<x3<5},B={−3,−1,0,2,3} ,则A∩B=（）A. {−1,0}B. {2,3}C. {−3,−1,0}D. {−1,0,2}【答案】A.【解析】−5<x3<5⇒−513<x<513 ,而1<513<2 ,因此A∩B={−1,0} . 故答案为 A. 2. 若zz−1=1+i ,则z=（）A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i【答案】C.【解析】两边同时减 1 得: 1z−1=i ,进而z=1+1i=1−i .故答案为C .3. 已知向量a=(0,1),b=(2,x) . 若b⊥(b−4a) ,则x=（）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D.【解析】即b⋅(b−4a)=0 . 代入得4+x(x−4)=0 ,即x=2 . 故答案为 D.4. 已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2 ,则cos(α−β)=（）A. −3mB. −m 3C. m3D. 3m【答案】A.【解析】通分 sinαsinβ=2cosαcosβ . 积化和差 12(cos (α−β)−cos (α+β))=2⋅12(cos(α− β)+cos (α+β)) . 即 cos (α−β)=−3cos (α+β)=−3m . 故选 A.5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且他们的高均为 √3 ,则圆锥的体积为（） A. 2√3π B. 3√3π C. 6√3π D. 9√3π 【答案】 B.【解析】设二者底面半径为 r ,由侧面积相等有 πr√r 2+3=2πr ⋅√3 ,解得 r =3 . 故 V =13⋅πr 2⋅√3=√33π×9=3√3π.故答案为 B.6. 已知函数为 f (x )={−x 2−2ax −a,x <0e x +ln (x +1),x ≥0 在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是（）A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞) 【答案】B.【解析】 x ≥0 时, f ′(x )=e x +11+x >0 ,故 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增. 而 y = −x 2−2zx −a 的对称轴为直线 x =−a ,故由 f (x ) 在 (−∞,0) 上单调递增可知 −a ≥0⇒a ≤0 . 在 x =0 时应有 −x 2−2ax −a ≤e x +ln (x +1) ,解得 a ≥−1 ,故 −1≤a ≤0 . 故答案为 B. 7. 当 x ∈[0,2π] 时,曲线 y =sinx 与 y =2sin (3x −π6) 的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8 【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有 6 个交点.故答案为C .8. 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x−1)+f(x−2) ,且当x<3时f(x)=x ,则下列结论中一定正确的是（）A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000【答案】B.【解析】f(1)=1,f(2)=2⇒f(3)>3⇒f(4)>5⇒f(5)>8⇒f(6)>13⇒⋯⇒f(11)> 143⇒f(12)>232⇒f(13)>300⇒f(14)>500⇒f(15)>800⇒f(16)>1000⇒⋯⇒f(20)>1000故答案为 B.二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值为x‾=2.1 ,样本方差s2=0.01 . 已知该种植区以往的亩收入x服从正态分布M(1.8,0.12) ,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x‾,s2) ,则（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2) , P(Z<μ+σ)≈0.8413 )则下列说法正确的是（）A. P(X>2)>0.2B. P(X>2)<0.5C. P(Y>2)>0.5D. P(Y>2)<0.8【答案】BC.【解析】由所给材料知两正态分布均有σ=0.1及正态分布的对称性得:P(X>2)<P(X>1.9)=1−P(X<1.9)=1−0.8413<0.2, A错误; P(X>2)<P(X> 1.8) =0.5, B正确;P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,C正确;P(Y>2)=P(Y<2.2)=0.8413>0.8,D错误.故答案为BC .10. 设函数f(x)=(x−1)2(x−4) ,则（）A. x=3是f(x)的极小值点B. 当0<x<1时, f(x)<f(x2)C. 当1<x<2时, −4<f(2x−1)<0D. 当−1<x<0时, f(2−x)>f(x)【答案】ACD.【解析】计算知f′(x)=3(x−1)(x−3) . 故x∈(1,3)时f(x)单调减,其余部分单调增. 由此知x=3为f(x)极小值点,A 正确;由上知x∈(0,1)时f(x)单调增,又此时x>x2 ,故f(x)>f(x2),B错误;此时2x−1∈(1,3) ,故f(2x−1)∈(f(3),f(1))=(−4,0),C正确;由f(2−x)=(x−1)2(−x−2) ,故f(2−x)−f(x)=2(1−x)3>0,D正确.故答案为 ACD.11.造型∝可以看作图中的曲线C的一部分. 已知C过坐标原点O ,且C上的点满足横坐标大于 -2 ; 到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为 4,则（）A. a=−2B. 点(2√2,0)在C上C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1D. 当点(x0,y0)在C上时, y0≤4x0+2【答案】ABD.【解析】由原点O在曲线C上且|OF|=2知O到直线x=a距离为 2,由a<0知a=−2, A 正确;由x>−2知C上点满足(x+2)√(x−2)2+y2=4 ,代(2√2,0)知B正确;解出y2=16(x+2)2−(x−2)2 ,将左边设为f(x) ,则f′(2)=−0.5<0 . 又有f(2)=1 ,故存x0∈(0,1)使f(x0)>1 . 此时y>1且在第一象限, C错误;又y2=16(x+2)2−(x−2)2<16(x+2)2,故y0<4(x0+2),D 正确.故答案为 ABD.三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12. 设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2 ,过F2做平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为___【答案】32.【解析】根据对称性|F2A|=|AB|2=5 ,则2a=|F1A|−|F2A|=8 ,得到a=4 . 另外根据勾股定理2c=|F1F2|=12 ,得到c=6 ,所以离心率e=ca =32.13. 若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= ▴ .. 【答案】ln2 .【解析】设曲线分别为y1,y2 ,那么y1′=e x+1 ,得到切线方程y−1=2x ,根据y2′=1x+1得到切点横坐标为−12,代入y2得到a=ln2 .14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7 , 乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8 . 两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为___【答案】12.【解析】. 由对称性,不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8) ,为了简便,设甲依次出(a,b,c,d),{a,b,c,d}∈{1,3,5,7} . 首先注意到 8 是最大的,故甲不可能得四分. 若甲得三分,则从c到a均要求得分,比较得必有c=7,b=5,a=3,d=1共一种情况; 若甲得两分,则讨论在何处得分: 若在b,c处,则同样c=7,b=5 ,进而a=1,d=3 ,共一种; 若在a,c处,则必有c= 7,a≠1,b≠5 ,在b=1时有全部两种,在d=1时仅一种,共三种; 若在a,b处,则b∈{5,7},a≠1,c≠7 . 当a=5时,由上述限制, c=1时有两种, d=1时仅一种; 当a=7时, a,c,d全排列六种中仅a=1的两种不行,故有四种,此情形共八种. 故共有1+3+8=12种, 又总数为4!=24 ,故所求为1−1224=12.四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sinC=√2cosB,a2+b2−c2=√2ab . (1) 求B ;（2）若△ABC的面积为3+√3 ,求c .【解析】（1）根据余弦定理a2+b2−c2=2abcosC=√2ab ,那么cosC=√22,又因为C∈(0,π) , 得到C=π4 ,此时cosB=12,得到B=π3.(2) 根据正弦定理 b =csinB sinC=√62c ,并且 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =√6+√24,那么 S =12bcsinA =3+√3 ,解得 c =2√2 . 16. (15 分)已知 A (0,3) 和 P (3,32) 为椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上两点.(1) 求 C 的离心率;（2）若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B ,且 △ABP 的面积为 9,求 l 的方程. 【解析】（1）直接代入后解方程,得到 a 2=12,b 2=9,c 2=3 ,所以 e 2=14,离心率 e =12.（2）设 B (x 0,y 0) ,则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−3,y 0−32),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−32) . 得到 9=S =12|−32(x 0−3)−3(y 0−32)| ,或者 x 0+2y 0=−6 ,与椭圆方程联立,得到B 1(−3,−15),B 2(0,−3) , 对应的直线方程 y =12x 或者 y =32x −3 .17. (15 分)如图,四棱锥 P −ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD,PA =AC =2,BC =1,AB =√3 . （1）若 AD ⊥AB ,证明: AD// 平面 PBC ;（2）若 AD ⊥DC ,且二面角 A −CP −D 的正弦值为√427,求 AD .【解析】(1) 由 PA ⊥ 面 ABCD 知 PA ⊥AD ,又 AD ⊥PB ,故 AD ⊥ 面 PAB . 故 AD ⊥AB ,又由勾股定理知 AB ⊥BC ,故 AD//BC ,进而 AD// 面 PBC . （2）法1：由 PA ⊥ 面 ABCD . PA ⊥AC,PC =2√2 ,设 AD =t ,则 PD =√4+t 2 , CD =√4−t 2 ,由勾股定理知 PD ⊥CD . 则 S △PCD =12√16−t 4,S △ACD =12t√4−t 2 ,设 A 到 PCD 距离为 ℎ . 由等体积, S △PCD ⋅ℎ=S △ACD ⋅PA . 代入解出 ℎ=√4+t 2. 考虑 A向 CP 作垂线 AM ,二面角设为 θ 则 ℎ=AMsinθ=2√217. 由此解出 t =√3 .法2：过 D 点作 Dz//PA .分别以 DA,DC,Dz 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AD =a ,则 DC =√4−a 2∴D (0,0,0), A (a,0,0), C(0,√4−a 2,0), P (a,0,2)∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√4−a 2,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,2) 设面 DCP 的一个法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)∴{√4−a 2⋅y 1=0ax 1+2z 1=0取 x 1=2∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,√4−a 2,0)设面 ACP 的一个法向量 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)∴{2z 2=0−ax 2+√4−a 2y 2=0∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(√4−a 2,a,0) ∵ 二面角 A −CP −D 的正弦值为 √427 ∴ √7 .∴cosθ=√7=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√4−a 2√4+a 2⋅2∴a 2=3∴a =√3∴AD =√3 .18. (17 分)已知函数 f (x )=ln x2−x +ax +b (x −1)3 . (1) 若 b =0 ,且 f ′(x )≥0 ,求 a 的最小值; （2）证明：曲线 y =f (x ) 是中心对称图形;（3）若f(x)>−2当且仅当1<x<2 ,求b的取值范围. 【解析】函数定义域(0,2) .(1) 当b=0时, f′(x)=1x +12−x+a=2x(2−x)+a≥0恒成立. 令x=1得a≥−2 . 当a=−2时,f′(x)=2(x−1)2x(2−x)≥0 ,从而a的最小值为 -2 .(2) f(x)+f(2−x)=ln x2−x +ax+b(x−1)3+ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3=2a=2f(1) ,且定义域也关于 1 对称,因此y=f(x)是关于(1,a)的中心对称图形.(3) 先证明a=−2 . 由题意, a=f(1)≤−2 . 假设a<−2 ,由f(2e |b|+11+e|b|+1)>|b|+1−|b|=1 ,应用零点存在定理知存在x1∈(1,2e|b|+11+e|b|+1),f(x1)=0 ,矛盾. 故a=−2 . 此时, f′(x)=(x−1)2 x(2−x)[3bx(2−x)+2] . 当b≥−23,f′(x)≥(x−1)2x(2−x)(2−4x+2x2)≥0 ,且不恒为 0,故f(x)在(0,2)递增. f(x)>−2=f(1)当且仅当1<x<2 ,此时结论成立. 当b<−23,令x0=3b−√9b2−6b3b∈(0,1),f′(x0)=0 ,且f′(x)<0 ,当x∈(x0,1) ,因此f(x)在(x0,1)递减,从而f(x0)>f(1)=−2 ,而x0∉(1,2)此时结论不成立. 综上, b的取值范围是[−23,+∞) .19. (17 分)设m为正整数,数列a1,a2,⋯a4m+2是公差不为 0 的等差数列,若从中删去两项a i和a j(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的 4 个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列.(1) 写出所有的(i,j),1≤i≤j≤6 ,使数列a1,a2,⋯a6是(i,j)−可分数列;(2) 当m≥3时,证明: 数列a1,a2,⋯a4m+2是(2,13)−可分数列;（3）从1,2,⋯4m+2中一次任取两个数i和j(i<j) ,记数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列的概率为P m ,证明P m>18.【解析】记{a n}的公差为d .(1) 从a1,a2,⋯,a6中去掉两项后剩下 4 项,恰构成等差数列,公差必为d ,否则原数列至少有 7 项. 因此剩下的数列只可能为a1,a2,a3,a4,a2,a3,a4,a5,a3,a4,a5,a6三种可能,对应的(i,j)分别为(5,6),(1,6),(1,2) .(2) 考虑分组(a1,a4,a7,a10),(a3,a6,a9,a12),(a5,a8,a11,a14),(a4k−1,a4k,a4k+1,a4k+2)(4≤k≤m) ,(当m=3时只需考虑前三组即可) 即知结论成立.(3) 一方面,任取两个i,j(i<j)共有C4m+22种可能. 另一方面,再考虑一种较为平凡的情况: i−1,j−i−1均可被 4 整除,此时,只要依次将剩下的4m项按原顺序从头到尾排一列,每四个截取一段,得到m组公差为d的数列,则满足题意,故此时确实是(i,j)−可分的. 接着计算此时的方法数. 设i=4k+1(0≤k≤m) ,对于每个k,j有(4m+2)−(4k+1)−14+1=m−k+1 (种), 因此方法数为∑(m−k+1) mk=1=(m+1)(m+2)2.当m=1,2 ,已经有(m+1)(m+2)2/C4m+22>18. 下面考虑m≥3 . 我们证明: 当i−2,j−i+1被 4整除,且j−i+1>4时,数列是(i,j)−可分的. 首先我们将a1,a2,⋯,a i−2 ,及a j+2,a j+3,⋯,a4m+2顺序排成一列,每 4 个排成一段,得到一些公差为d的四元数组,因此我们只需考虑a i−1,a i+1,a i+2,⋯,a j−1,a j+1这j−i+1个数即可. 为书写方便,我们记j−i=4t−1(t>1) ,并记b n=a n+i−2 ,即证b1,b3,b4,⋯,b4t,b4t+2可被划分成若干组.引理: 设j−1能被 4 整除. 若b1,b2,⋯,b j+1是(2,j)−可分的,则b1,b2,⋯,b j+9是(2,j+8)−可分的.引理证明: 将b1,b2,⋯,b j+1去掉b2,b j后的j−14组四元组再并上(b j,b j+2,b j+4,bj+6) ,(b j+3,b j+5,b j+7,b j+9)即证.回原题. 由(2),b1,⋯,b14是(2,13)−可分数列,且(b1,b3,b5,b7)和(b4,b6,b8,b10)知b1,⋯,b10是(2,9)−可分数列,因而结合引理知b1,b3,b4,⋯,b4t,b4t+2可被划分成若干组,由此结论成立.计算此时的方法数. 设i=4k+2(0≤k≤m−1) ,则此时j有(4m+2)−(4k+2)4−1=m−k−1种,因此方法数为∑(m−k−1) m−1k=0=m(m−1)2.因此我们有p m≥m(m−1)+(m+1)(m+2)2C m+12>18.。

年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理科答案与解析参考版

4
2 2
,故填
sin
4
2
.
2
【考点定位】极坐标参数方程
3
12.【答案】
2
【解析】设线段 AO 交 BC 于点 D 延长 AO 交圆与另外一点 E ,则 BD DC 2 ,由三角
形 ABD 的勾股定理可得 AD 1 ,由双割线定理可得 BDDC ADDE DE 2 ,则直径 AE 3 r 3 ,故填 3 .
【考点定位】线性规划
15.【答案】 2 1
a2 pa
【
解
析
】
由
题
可
得
C
a 2
,
a
,
F
a 2
b,
b
,则
b2
2
p
a 2
b
a b
2 1 ,故填
2 1.
【考点定位】抛物线
16.【答案】 2 3
【解析】动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆,则设为 3 cos ,sin 0, 2 ,则
r ,则 8 r 6 r 82 62 r 2 ,故选 B.
【考点定位】三视图内切圆球
8.【答案】D
【解析】设两年的平均增长率为 x ,则有 1 x2 1 p1 q
x 1 p1 q 1,故选 D.
【考点定位】实际应用题
9.【答案】A
【解析】函数 f x 的对称轴为 x k x k ,
22
【考点定位】勾股定理双割线定理
13.【答案】 3
5 3
a
2
【解析】由题可得
3
a
3 ,故填 3 .
1 3
a
2
3

年普通高等学校招生全国统一考试湖南卷数学理科答案与解析参考版

2014 年一般高等学校招生全国一致考试( 湖南卷 )数学理科一.选择题 .1.【答案】 B【分析】由题可得z ii 1 1iz i zi z 1 iiz1 i2i ,应选 B.z2【考点定位】复数 2.【答案】 D【分析】依据随机抽样的原理可得简单随机抽样 ,分层抽样 ,系统抽样都一定知足每个个体被抽到的概率相等 ,即 p 1 p 2 p 3 ,应选 D.【考点定位】抽样检查3.【答案】 C【分析】分别令 x1 和 x1 可得 f1 g 13 且 f 1 g 1 1f 1g 1 3 f 1 2 f 1 g 1 1 ,则 1g 11g 1f 1g 1 1 ,应选 C.f 1【考点定位】奇偶性 4.【答案】 A1n5 n【分析】第 n1项睁开式为 C 5nx2 y,2n1 n12则 n2 时 ,5 n323 ,应选 A.x2 y10 x 2 y20x yC522【考点定位】二项式定理 5.【答案】C【分析】当xy 时 ,两边乘以1可得xy,因此命题p 为真命题,当 x 1, y2时,因为 x 2y 2 ,q 为假命题,,C.【考点定位】命题真假逻辑连结词6.【答案】 D【分析】当 t 2, 0 时 ,运转程序以下 , t2t 2 11,9 , S t 32,6 ,当 t 0,2时, S t 33, 1 ,则 S2,63, 13,6 ,应选 D.【考点定位】程序框图二次函数7.【答案】 B【分析】由图可得该几何体为三棱柱 ,因此最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则 8 r 6 r82 62r 2 ,应选 B.【考点定位】三视图内切圆球8.【答案】 D2【分析】设两年的均匀增加率为 x ,则有 1 x1 p 1 qx1 p 1 q 1,应选 D.【考点定位】实质应用题9.【答案】 A【分析】函数f x 的对称轴为 xkxk ,22232由于sin xdx 0cossin0 ,cos33因此2k 4 2k ,则 x5,应选 A.或是此中一条对称轴336【考点定位】三角函数图像协助角公式10.【答案】 Bx 0,0知足 x 02ex1 2lnx 0a 【分析】由题可得存在x 02exln x 0 a 1 0 ,当 x 0 取决于负无量小时 , e x 0ln x 0a1 趋近于,因2 12为函数 y e x ln x a 在定义域内是单一递加的, 所以2e 0 l n 0a1 0l nal nea ,应选e B.2【考点定位】指对数函数方程二.填空题 .11.【答案】sin242【分析】曲线C的一般方程为22x 2y 11 , l的方程为 y x b ,设直线由于弦长AB2 ,因此圆心 2,1 到直线 l 的距离 d0 , 因此圆心在直线 l 上 , 故yx 1sincos1 sin2 ,故填 sin2424.2【考点定位】极坐标参数方程12.【答案】32【分析】设线段 AO 交 BC 于点 D 延伸 AO 交圆与此外一点 E ,则BDDC2 ,由三角形ABD 的勾股定理可得AD 1 ,由双割线定理可得BD DCAD DEDE2 ,则直径AE3r 3 3,故填 .22【考点定位】勾股定理双割线定理13.【答案】35 a 2 3【分析】由题可得3a 3 ,故填 3 .12 3a3【考点定位】绝对值不等式14.【答案】2【分析】求出拘束条件中三条直线的交点为 k, k , 4 k ,k ,2,2,且 yx, x y 4 的可行域如图 ,因此 k2 ,则当 k, k 为最优解时 , 3k6k2 ,当4 k ,k为最优解时 , 2 4 k k6 k 14 ,由于 k,2,故填 2.2 因此 k【考点定位】线性规划15.【答案】 2 1a, a , F a a2paa【分析】由题可得C b,b ,则 2 p a 2 1,故填22b2bb22 1.【考点定位】抛物线16.【答案】 2 3【分析】动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆,则设为3cos,sin0,2,则228 2 cos3sinOA OB OD3cos sin3, 因为1c o s 3 s i n,OA OB OD的最大值为12 23,故填2 3 .的最大值为 2 因此【考点定位】参数方程圆三角函数17.某公司甲 ,乙两个研发小组 ,他们研发新产品成功的概率分别为 2 和 3,现安排甲组研发新35产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲,乙两组的研发是互相独立的.(1)求起码有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品 A 研发成功,估计公司可获取120 万元,若新产品 B 研发成功,估计公司可获取利润 100 万元,求该公司可获取收益的散布列和数学希望.1317.【答案】 (1)(2)详看法析15A 且事件B 为事件 A 的对峙事件,则事【分析】 (1)解 : 设起码有一组研发成功的事件为事件23件 B 为一种新产品都没有成功,由于甲,乙成功的概率分别为, ,35则P B2131221535,再依据对峙事件概率之间的公式可得315P A 1P B 13,因此起码一种产品研发成功的概率为13 15.15(2)由题可得设该公司可获取收益为, 则的取值有0 , 120 0 , 100 0 , 120 100 , 即0,120,100,220 ,由独立试验的概率计算公式可得:P012132; P1202134;35153515P1001231; P220232;355355因此的散布列以下 :0120100220P2412 151555则数学希望 E0212041001220232 2088 130 .151555【考点定位】散布列希望独立试验的概率18.如图 5,在平面四边形ABCD 中,AD1, CD2, AC7 .(1)求cos CAD 的值;(2)若cos BAD7, sin CBA21,求BC的长.14618.【答案】 (1) cos27(2)6CAD77【分析】解 :(1)由DAC 对于CAD 的余弦定理可得cos CAD AD 2AC 2DC 2174 27,因此cos2 72AD AC2177CAD.7(2)由于BAD为四边形内角 ,因此sin BAD 0且 sin CAD 0 ,则由正余弦的关系可得sin BAD1cos2BAD189且 sin CAD1cos2CAD21,再有正147弦的和差角公式可得sin BAC sin BAD CAD sin BAD cos CAD sin CAD cos BAD189272173333 147714714,再由ABC的正弦定理可得7AC BCBC736 sin CBA sin BAC217.76【考点定位】正余弦定理正余弦之间的关系与和差角公式19.如图6,四棱柱ABCD A BC D 的全部棱长都相等, AC BD O, AC B D O ,1 1 1 1 1 1 1 11四边形 ACC1 A1和四边形 BDD1B1为矩形.(1)证明 : O1O底面ABCD;(2)若CBA 600,求二面角C1OB1 D 的余弦值.19.【答案】 (1)257详看法析 (2)19【分析】 (1)证明 : 四棱柱ABCD A1BC1 1 D1的全部棱长都相等四边形 ABCD 和四边形A1B1C1D1均为菱形AC BD O, AC11 B1D1O1O,O1分别为BD,B1D1中点四边形 ACC1A1和四边形 BDD1B1为矩形OO1 / / CC1 //BB1且 CC1 AC, BB1BDOO1BD,OO1AC又AC BD O 且AC,BD底面ABCDOO1底面ABCD.(2)过O作1BO 的垂线交1BO 于点1E ,连结EO , EC .不如设四棱柱11ABCD ABC D 的边1 1 1 1长为2a .OO1底面ABCD且底面ABCD //面A1B1C1D1 OO1面 A1 B1C1 D1又 O1C1面 A1B1C1D1OC OO1 11四边形 A1B1C1 D1为菱形O1C1O1 B1又 OC1OO且OO OC O ,OO,OB面OBD1111111111 O1C1面OB1D又 B1O 面 OB1DB1O OC1 1又 BO1O1E 且 O1C1O1 E O1, O1C1,O1 E面 O1 EC1 B1O面 O1 EC1O1EC1为二面角 C1OB1 D 的平面角,则cosO1 E O1EC1EC1CBA600且四边形 ABCD 为菱形O1C1 a , BO113a, OO12a, B1O B1O12OO127a ,则O1E B1O1 sin O1 B1O B1O1O1O3a2a221B1O7a a7再由O1 EC1的勾股定理可得EC1O1 E2O1C1212 a2a219a,77O1E 221 a257257则 cos7,因此二面角C1OB1O1 EC11919 D 的余弦值为.EC119a7【考点定位】线面垂直二面角20.已知数列a知足a1, a a p n,n N *.n1n 1n(1)若a为递加数列 ,且a1,2 a2,3a3成等差数列 ,求P的值 ;n(2)若p 1是递加数列 ,a2n是递减数列,求数列 a n的通项公式. ,且a2n124120.【答案】 (1) p 1(2)a n3 3 2n 1, n为奇数3413 3 2n 1, n为偶数【分析】解:(1)由于数列a n为递加数列,所以 a n 1a n0 ,则a n 1a n p n a n1a n p n,分别令n1,2可得a 2 a 1 p, a 3 a 2 p 2 a 2 1 p, a 3 p 2 p 1 , 由于 a 1 , 2a 2 , 3a 3成等差数列 , 因此4a 2a 1 3a 34 1 p 1 3 p 2p 13 p 2 p 0p1或 0,3 当 p 0 时 ,数列 a 为常数数列不切合数列 a1n 是递加数列 ,因此 p.n3(2) 由题可得an 1a n 1a2na2n 11 1 , a 2n2a2n 111 ,由于a 2n1是递n2 2 n2 2n2增数列且a2 n是递减数列, 所以 a 2n1a n 2且 a 2n 2a 2n , 则有a 2n an22a 2n1an 2an2 a n1 ,由于22a2n1a n2 1(2) 由题可得an 1a n 1a2na2n 11 1 , a 2n2a2n111 ,由于a 2n1是递n2 2 n2 2n2增数列且a 2n 是递减数列 , 因此 a 2n 1a 2n 1 0 且 a 2 n 2a 2n 0a 2n 2a 2n 0 ,两不等式相加可得 a2 n1a2n1a2n2a2na2 na2 n1a2n2a2n 1 ,又因为a2 n a2 n 11a2 n 2a2n 11, 所以a2nan20 , 即22 n 122n 11a2 na2n11 1,2 2n1同理可得 a 2n 3a2 n2a2 n 1a2n且a2n3a2n2a2n1a 2 n ,因此 a 2 n 1a2n,2 2n则当n 2mm N *时 , a 2a 11, a 3a 211 ,, a 2 m a2m 111 , 这 2m1 个等式相加2 22, a 4a323 2m2 可得 a 2 m a 11111 1121 2322m 1222422 m 21 1 1 1 1 1 11412 22 m 1 4 22 22 m 2 4a2m1 11 13 3 22m 133 22m 1.44当 n2m 1 时 , a 21 a 21, a 4 a 3 1, , a 2m 1a2 m 1a 1, a 32 2 2 32 m ,这 2m22个等式相加可得a2 m 1a 11 111 1 121 2322 m 1222422m1 1 1 1 1111 2 22 m 1 4 22 22 m 4111 13 3 22m44a2 m 141当 m 0 时 , a 1 1 切合故 413 3 22 m ,,a 2 m 13 3 22 m 24 1 1 , n 为奇数综上 a n33 2n .4 11 , n 为偶数33 2n【考点定位】叠加法等差数列等比数列21.如图 7, O为坐标原点 ,椭圆C1x2y2b 0 的左右焦点分别为F1, F2,离心率:2b2 1 aa为 e1;双曲线 C2x2y2F3 , F4,离心率为 e2,已知e1e23:2b2 1 的左右焦点分别为, 且a2F2F43 1.(1)求C1,C2的方程 ;(2) 过F1点的不垂直于y 轴的弦 AB , M 为 AB 的中点,当直线 OM 与C2交于 P, Q 两点时,求四边形 APBQ 面积的最小值.21.【答案】 (1)x2y 21x2y2 1 (2)422e11b21b22 a2b23,【分析】解 :(1) 由题可得a2 ,e2a2 ,且F1F2,由于e1e22且F2 F4a2b2a2b2,所以1 b21 b23且a2a22a22a2231a2b 且 b1,a 2 ,因此椭圆 C1方程为x221,b b y2双曲线 C2的方程为x2y21. 2(2)由(1)F21,0,不垂直于y,AB 的方程为x ny 1 ,联可得由于直线 AB轴因此设直线立直线与椭圆方程可得n22y22ny10y A y B 2ny mn,则则,由于n22,n22M x M , y M在直线 AB ,x Mn 212 ,AB 为焦点弦,因此依据焦点上因此2 n 2 由于n 22弦弦长公式可得AB2e 1x M22 2n 22 2 4 2 n 2122n 2,则直线 PQ 的方程n 22为yyMxynx ,联立直线PQ与双曲线可得x M2n x 282n 2x 22 0 x 24, y 2 则 4 n 2 0 2 n 2 , 因此 P,Q2n 24 n 2的坐标为8,2n 2,8 2n 2,则点P,Q 到直线 AB 的距离为4 n 24 n 24 n 2,24 nn2n 28 1n2n 2814 n24 n 24 n24 n 2d 1, d 2,由于点 P,Q 在直线 ABn21n212n282 2 n 2 22n24 n 2 n 24 n 2的两端所以 d 1 d 24,则四边形 APBQ 面积n21n21S1AB d 1 d 22n 2 1 8 5 1,由于4 4 n 20 ,因此当 n 24 n2 时, 四边形 APBQ8n 2n 244面积获得最小值为 4 .【考点定位】弦长双曲线椭圆最值22.已知常数 a 0,函数 fx ln 1 ax2 xx .2(1)议论 f x 在区间 0,上的单一性 ;(2)若 fx 存在两个极值点x 1, x 2 ,且 f x 1f x 2 0 ,求 a 的取值范围 .【答案】 (1)详看法析【分析】解 :(1)对函数 fx 求导可得a 42 4 1 axax 2 4 1 af ' xa x 2, 因为1 ax222x 21 ax x 21 ax x 21 ax2, 因此0当 1 a 0 时 , 即 a 1 时 , f ' x0 恒建立 , 则函数 f xx2 在0, 单调递增 , 当 a 1 时 ,f ' x 0x2 a 1 a, 则函数 f x 在区间a0, 2 a 1 a单一递减 ,在 2 a 1a单一递加的 .aa(2)解:(1)对函数fx求导可得a4a x24ax1 ax 24 1 af ' x2, 因为1 ax222x 21 ax x 21 ax x 21 ax 21 a 0a1f ' xf xx2时 , 即时 ,恒建立 , 则函数在, 因此当0, 单调递增 , 当 a 1 时 ,f ' x 0x2 a 1 a, 则函数 f x 在区间a0, 2 a 1 a单一递减 ,在 2 a 1a单一递加的 .aa(2) 函数 f x的定义域为1 , , 由(1) 可得当 0a 1a时 , f ' x0 x2 a 1 a,则 2 a 1 a1 1,则2 a 1 a为aaaaa2函数 f x 的两个极值点 ,f x 1f x 2 ln 1 2 a 1 aln 1 2 a 1 a4 a 1 aln 1 4a 1 a4 a 1 a1a1 ,则 0a 1 a1,则设,由于1 或 0 a 222ta 1 a0 t1 ,则 f x 1 f x 2ln 1 4t 24t ,2设函数 g x ln 14x 24x0 t1, 后续有待更新 !!!2【考点定位】导数含参二次不等式对数更多出色内容：（在文字上按住ctrl即可点击查察）2014 年高考全国各省市高考作文题目2014 年全国各省市高考试题及答案分析2014 年高考成绩查问时间及进口2014 年高考分数线及历年分数线汇总2014 年全国各地录取结果查问特别策划——致我们终将逝去的高考。

高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(湖南卷)

2015年高考湖南卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()211i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i -- 【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理. 2.设A ，B 是两个集合，则“AB A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C.【考点定位】1.集合的关系；2.充分必要条件.【名师点睛】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件，属于容易题，高考强调集合作为工具与其他知识点的结合，解题的关键是利用韦恩图或者数轴求解，充分，必要条件的判断性问题首要分清条件和结论，然后找出条件和结论之间的推出或包含关系.3.执行如图所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.67 B.37 C.89 D.49【答案】B.【考点定位】1程序框图；2.裂项相消法求数列的和.【名师点睛】本题主要考查了数列求和背景下的程序框图问题，属于容易题，解题过程中首先要弄清程序框图所表达的含义，解决循环结构的程序框图问题关键是列出每次循环后的变量取值情况，循环次数较多时，需总结规律，若循环次数较少可以全部列出.4.若变量x，y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2 【答案】A.而可知当2-=x ，1=y 时，min 3(2)17z =⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.5.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.6.已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）C.6 D-6【答案】D.【考点定位】二项式定理.【名师点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题，只要掌握nb a )(+的二项展开式的通项第1+r 项为r r n r n r b a C T -+=1，即可建立关于a 的方程，从而求解.7.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.4772 附：若2(,)XN μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P【答案】C.【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知识点的基本概念.8.已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则P A P B P C ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9 【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值. 9.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.31)πD.31)π【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1) x dx⎰-= .【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .【答案】4.【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方面的理解与记忆.13.设F是双曲线C：22221x ya b-=的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b a c +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = . 【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.15.已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ .【考点定位】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（1）如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ⋅=⋅【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.垂径定理；2.四点共圆；3.割线定理.【名师点睛】本题主要考查了圆的基本性质等知识点，属于容易题，平面几何中圆的有关问题是高考考查的热点，解题时要充分利用圆的性质和切割线定理，相似三角形，勾股定理等其他平面几何知识点的交汇.（Ⅱ）已知直线5:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（1）0222=-+x y x ；（2）18.的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义即知，1821==⋅|t |t |MB||MA|.【考点定位】1.极坐标方程与直角坐标方程的互相转化；2.直线与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互相转化以及直线与圆的位置关系，属于容易题，在方程的转化时，只要利用θρcos =x ，θρsin =y 进行等价变形即可，考查极坐标方程与参数方程，实为考查直线与圆的相交问题，实际上为解析几何问题，解析几何中常用的思想，如联立方程组等，在极坐标与参数方程中同样适用.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b+=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.基本不等式；2.一元二次不等式；3.反证法.【名师点睛】本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解，第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8. 【解析】【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）107；（2）详见解析.【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注..19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且 1AA ⊥底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若//PQ 平面11ABB A ，二面角P QD A --的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.【答案】（1）详见解析；（2）24.【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算. 【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的性质以及空间几何体体积计算，属于中档题，由于空间向量工具的引入，使得立体几何问题除了常规的几何法之外，还可以考虑利用向量工具来解决，因此有关立体几何的问题，可以建立空间直角坐标系，借助于向量知识来解决，在立体几何的线面关系中，中点是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线而线线平行是平行关系的根本，在垂直关系的证明中线线垂直是核心，也可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x +=；（2）（i ），（ii ）详见解析.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，222c b a +=等；（2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点，证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若a ≥*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【考点定位】1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（湖南卷，解析版）一.选择题.1.满足iz iz =+（i 是虚数单位）的复数=z （）A.i 2121+B. i 2121-C. i 2121+-D. i 2121--【答案】B【解析】由题可得11122z i i i z i zi z izi +-=⇒+=⇒==--,故选B. 2. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为321,,p p p ，则（）321p p p <= B.132p p p <= C.231p p p <= D.321p p p ==3.已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f A. 3- B. 1- C. 1 D. 35122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是（）20- B.5- C.5 D.20【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()523512202nn n C x y x y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,故选A.已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题 ①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是（） A ①③ B.①④ C.②③ D.②④执行如图1所示的程序框图，如果输入的]2,2[-∈t ，则输出的S 属于（）]2,6[-- B.]1,5[-- C.]5,4[- D.]6,3[-一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则2286862r r r -+-=+⇒=,故选B. 某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.2p q +B.(1)(1)12p q ++-C.pq D.(1)(1)1p q ++-【答案】D【解析】设两年的平均增长率为(0)x x >,则有()()()2111x p q +=++()()111x p q ⇒=++-,故选D.已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是A.56x π=B.712x π=C.3x π= D.6x π=已知函数())0(212<-+=x e x x f x 与())ln(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A.)1,(e-∞B.),(e-∞ C.),1(ee-D.)1,(ee-二.填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，没小题5分，共25分.(一)选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l与曲线2cos1sinxCyαα=+⎧⎨=+⎩：，（α为参数）交于A、B两点，且2AB=，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________. 如图3，已知AB，BC是O的两条弦，AO BC⊥，3AB=，22BC=，则O的半径等于________.若关于x的不等式23 ax-<的解集为5133x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a=________.【答案】3-【解析】由题可得52331233aa⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a⇒=-,故填3-.(二)必做题（14-16题）14.若变量yx,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤kyyxxy4，且yxz+=2的最小值为6-，则____=k15.如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为(),a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线)0(22>=p px y 经过F C ,两点，则_____=a b.【答案】21+【解析】因为,C F 在抛物线上,所以2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+,故填21+.16.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.17.某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲,乙两组的研发是相互独立的. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获得120万元,若新产品B 研发成功,预计企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.所以ξ的分布列如下:ξ 0120100220()P ξ215 4151525则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088140=++=.18.如图5,在平面四边形ABCD 中,1,2,7AD CD AC ===(1)求cos CAD ∠的值;(2)若7cos BAD ∠=,21sin 6CBA ∠=,求BC 的长.19.如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,ACBD O AC B D O ==,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形.(1)证明:1O O ⊥底面ABCD ;(2)若060CBA ∠=,求二面角11C OB D--的余弦值.1OO ∴⊥底面ABCD .(2)法1::过1O 作1B O的垂线交1B O于点H ,连接11,HO HC .不妨设四棱柱1111ABCD A B C D -的边长为2a .1OO ⊥底面ABCD 且底面ABCD //面1111A B C D1O O 面ABCD,从而1,,OB OC O O 两两垂直,如图以O 为坐标原点,1,,OB OC OO 所在直线分别为x轴,y20.已知数列{}n a 满足111,n n n a a a p +=-=,*n N ∈.(1)若{}n a 为递增数列,且123,2,3a a a 成等差数列,求P 的值;(2)若12p =,且{}21n a -是递增数列,{}2n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)13p = (2) 1141,33241,332n n n n a n --⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数或()114332nn n a --=+ 【解析】解:(1)因为数列{}n a 为递增数列,所以10n n a a +-≥,则11n nn n n n a a p a a p ++-=⇒-=,分别令1,2n =可得22132,a a p a a p -=-=2231,1a p a p p ⇒=+=++,因为123,2,3a a a 成等差数列,所以21343a a a =+()()224113130p p p p p ⇒+=+++⇒-=13p ⇒=或0,当0p =时,数列n a 为常数数列不符合数列{}n a 是递增数列,所以13p =.21.如图7,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知1232e e =,且2431F F =. (1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.22224A AB Bnx y nx y d n +++=+,因为,A B 在直线PQ 的两端,所以()()220B B A A nx y nx y ++<,22.已知常数0a >,函数()()2ln 12x f x ax x =+-+.(1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围.(2)函数()f x的定义域为1,a⎛⎫-+∞⎪⎝⎭,由(1)可得当01a<<时,()()21'0a af x x-=⇒=±,则。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版)

2013 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包含选择题、填空题和解答题三部分，共 5 页，时量120 分钟，满分150 分。

一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.复数 z i g1 i i为虚数单位在复平面上对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】【分析】选 B Bz = i· (1+i) = i–1,所以对应点(-1,1).选 B2.某学校有男、女学生各 500 名 . 为认识男女学生在学习兴趣与业余喜好方面能否存在明显差别，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行检查，则宜采纳的抽样方法是A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法【答案】D【分析】由于抽样的目的与男女性别相关，所以采纳分层抽样法能够反应男女人数的比率。

选 D3. 在锐角中ABC ，角A, B所对的边长分别为a,b .若 2asin B 3b, 则角 A等于A．B．C．4D．1263【答案】 D【分析】由 2asinB =3b得 : 2sinA sinB =3sinB sinA =3， A2A = 23选 Dy2x4. 若变量x, y知足拘束条件x y 1，则 x 2 y的最大值是y1A．-5B． 0C．5D．5 232【答案】 C【分析】地区为三角形，直线u = x + 2y经过三角形极点(1,2)时， u5 最大选 C333 5. 函数f x2ln x 的图像与函数 g x x24x5的图像的交点个数为A． 3B． 2C．1D． 0【答案】B【分析】二次函数 g x x 2 4x 5的图像张口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2)= 1 ； f(2) =2ln2=ln4>1. 所以 g(2) < f(2),从图像上可知交点个数为 2选 B6. 已知 a, b 是单位向量， agb0 . 若向量 c 知足 c a b1,则 c 的取值范围是A ．2-1，, 2+1B．2-1，, 2+2C ． 1,， 2+1D． 1，, 2+2【答案】 A【分析】a, b 是单位向量， | a b |2,| c - a b | | (a b) - c | 1.即一个模为2的向量与 c 向量之差的模为 1，能够在单位圆中解得2 -1 | c |2 1 。

高考理科数学湖南卷word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样． 3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3答案：D解析：由2a sin B得2sin A sin BB ，故sin AA ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足约束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．52答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122d y x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=.5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1+x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1+时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1∞)时，h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ． 6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12]答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( )．A ．1BCD 答案：C解析：θ，如图所示．故正视图的面积为S θ(0≤θ≤π4)，∴1≤S而1<12，故面积不可能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83 D ．43答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12PD P D k k =，即4443344433mm -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为__________．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC所以O 到CD 距离为OE 2=.(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2， ∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．(2013湖南，理13)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a +=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝222242224c a a a()+()-()⨯⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin 2x . (1)若α是第一象限角，且f (α)，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos xxx ，g (x )＝22sin2x＝1－cos x .(1)由f (α)＝5sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z .18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=.故所求的分布列为所求的数学期望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46.19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ． (2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D .在Rt△AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝1AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z+=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n=即直线B 1C 1与平面ACD 1. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)． (2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小． 21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2；(2)若点M 到直线l的距离的最小值为5，求抛物线E 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫⎪⎝⎭＝1.故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2.化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为 x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。

普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数答案解析(正式版)(原卷版).docx

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的.1.已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --2.设A,B 是两个集合，则”A B A =”是“A B ⊆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A.67 B.37 C.89 D.494.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.25.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数6.已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（） A.3 B.3- C.6 D-67.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A.2386B.2718C.3413D.47728.已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.99.将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min 3x x π-=，则ϕ=（） A.512π B.3π C.4π D.6π 10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（） A.89π B.169π C.34(21)π- D.312(21)π-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.20(1)x dx ⎰-= .12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是.13.设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 .14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且1233,2,S S S 成等差数列，则n a = .15.已知32,(),x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题16.(Ⅰ)如图，在圆O 中，相交于点E 的两弦AB 、CD 的中点分别是M 、N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（1）0180MEN NOM ∠+∠=；（2）FE FN FM FO ∙=∙（Ⅱ）已知直线352:132x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MA MB ∙的值.（Ⅲ）设0,0a b >>，且11a b a b +=+. （1）2a b +≥；（2）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.17.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角》(1)证明：2B A π-=（2）求sin sin A C +的取值范围18.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望..19.如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -上、下底面分别是边长为3和6的正方形，16AA =，且1AA ⊥底面ABCD ，点P 、Q 分别在棱1DD 、BC 上.（1）若P 是1DD 的中点，证明：1AB PQ ⊥；（2）若PQ//平面11ABB A ，二面角P-QD-A 的余弦值为37，求四面体ADPQ 的体积.20.已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b +=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A 、B 两点，与2C 相交于C 、D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形21.已知0a >，函数()sin ([0,))ax f x e x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n *()n N ∈个极值点,证明：（1）数列{()}n f x 是等比数列（2）若211a e ≥-，则对一切*n N ∈，|()|n n x f x <恒成立.。

普通高等学校招生全国统一考试数学理(湖南卷,解析版)

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（湖南卷，解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若2log a ＜0，1()2b＞1，则 (D)A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 【答案】：D【解析】由2log 0a <得0,a <<由1()12b>得0b <，所以选D 项。

2．对于非0向时a,b,“a//b ”的确良（A ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】：A【解析】由0a b +=，可得a b =-，即得//a b ，但//a b ，不一定有a b =-，所以“0a b +=”是“//a b 的充分不必要条件。

3．将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6x π-的图象，则ϕ等于（D ） A ．6πB ．56π C. 76π D.116π【答案】：D【解析】解析由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+sin()6x π=-，所以选D 项。

4．如图1，当参数2λλ=时，连续函数(0)1xy x xλ=≥+ 的图像分别对应曲线1C 和2C , 则[ B]A 10λλ<<B 10λλ<<C 120λλ<<D 210λλ<<【答案】：B【解析】解析由条件中的函数是分式无理型函数，先由函数在(0,)+∞是连续的，可知参数120,0λλ>>，即排除C ，D 项，又取1x =，知对应函数值121211,11y y λλ==++，由图可知12,y y <所以12λλ>，即选B 项。

2022年理数高考试题答案及解析-湖南

2022年普通高等学校招生全国统一考试〔湖南卷〕数学〔理工农医类〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2≤x}，那么M ∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】{}0,1N =M={-1,0,1}∴M ∩N={0,1}.【点评】此题考查了集合的根本运算，较简单，易得分. 先求出{}0,1N =,再利用交集定义得出M ∩N.2.命题“假设α=4π，那么tan α=1”的逆否命题是 A.假设α≠4π，那么tan α≠1 B.假设α=4π，那么tan α≠1C.假设tan α≠1，那么α≠4πD.假设tan α≠1，那么α=4π【答案】C【解析】因为“假设p ，那么q 〞的逆否命题为“假设p ⌝，那么q ⌝〞，所以 “假设α=4π，那么tan α=1”的逆否命题是 “假设tan α≠1，那么α≠4π〞. 【点评】此题考查了“假设p ，那么q 〞形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，考查分析问题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，那么该几何体的俯视图不可能是【答案】D【解析】此题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】此题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型.4.设某大学的女生体重y 〔单位：kg 〕与身高x 〔单位：cm 〕具有线性相关关系，根据一组样本数据〔x i ，y i 〕〔i=1，2，…，n 〕，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，那么以下结论中不正确的选项是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心〔x ，y 〕C.假设该大学某女生身高增加1cm ，那么其体重约增加0.85kgD.假设该大学某女生身高为170cm ，那么可断定其体重比为58.79kg 【答案】D【解析】【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()ybx a bx y bx a y bx =+=+-=-，所以回归直线过样本点的中心〔x ，y 〕，利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】此题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错.5. 双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10 ，点P 〔2,1〕在C 的渐近线上，那么C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =1【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，那么210,5c c ==.又C 的渐近线为b y x a =±，点P 〔2,1〕在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =.又222c a b =+，a ∴==∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】此题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等根底知识，考查了数形结合的思想和根本运算能力，是近年来常考题型. 6. 函数f 〔x 〕=sinx-cos(x+6π)的值域为A ． [ -2 ,2] C.[-1,1 ] 【答案】B【解析】f 〔x 〕=sinx-cos(x+6π)1sin sin )226x x x x π=-+=-，[]sin()1,16x π-∈-，()f x ∴值域为【点评】利用三角恒等变换把()f x 化成sin()A x ωϕ+的形式，利用[]sin()1,1x ωϕ+∈-，求得()f x 的值域. 7. 在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1那么___BC =.C.【答案】A【解析】由以下列图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅，解得BC =.【点评】此题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角. 8．两条直线1l ：y =m 和2l ： y=821m +(m ＞0)，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于C,D .记线段AC 和BD 在X 轴上的投影长度分别为a ,b ,当m 变化时，b a的最小值为A．B.C.D.【答案】B【解析】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像如以下列图，由2log x =m ，得122,2m mx x -==，2log x =821m +，得821821342,2m m x x +-+==.依照题意得8218218218212222,22,22m m m mmm m m b a b a++--+--+-=-=-=-821821222m m mm +++==.8141114312122222m m m m +=++-≥-=++，min ()b a ∴=【点评】在同一坐标系中作出y=m ，y=821m +(m ＞0)，2log y x =图像，结合图像可解得.二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.〔一〕选做题〔请考生在第9、10、 11三题中任选两题作答，如果全做，那么按前两题记分〕 9. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，那么__a =. 【答案】32【解析】曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3(,0)2；曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22219x y a +=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -，由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知32a =. 【点评】此题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程，考查等价转化的思想方法等.曲线1C 与曲线2C 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程，找出与x 轴交点，即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为_______. 【答案】14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【解析】令()2121f x x x =+--，那么由()f x 13,()2141,(1)23,(1)x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩得()f x 0>的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值，转化为代数不等式〔组〕.11.如图2，过点P 的直线与圆O 相交于A ，B 两点.假设PA=1，AB=2，PO=3，那么圆O 的半径等于_______.【解析】设PO 交圆O 于C ，D ，如图，设圆的半径为R ，由割线定理知【点评】此题考查切割线定理，考查数形结合思想，由切割线定理知PA PB PC PD ⋅=⋅，从而求得圆的半径.(二)必做题〔12~16题〕12.复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位)，那么|z|=_____. 【答案】10【解析】2(3)z i =+=29686i i i ++=+，10z ==.【点评】此题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的(,)a bi a b R +∈形式，利用z =.13.()6的二项展开式中的常数项为.〔用数字作答〕【答案】-160 【解析】(-)6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==，所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-.【点评】此题主要考察二项式定理，写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规方法. 14.如果执行如图3所示的程序框图，输入1x =-,n =3,那么输出的数S = . 【答案】4-【解析】输入1x =-,n =3,，执行过程如下：2:6233i S ==-++=-；1:3(1)115i S ==--++=；0:5(1)014i S ==-++=-，所以输出的是4-.【点评】此题考查算法流程图，要明白循环结构中的内容，一般解法是逐步执行，一步步将执行结果写出，特别是程序框图的执行次数不能出错.15.函数f 〔x 〕=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的局部图像如图4所示，其中，P 为图像与y 轴的交点，A,C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点. 〔1〕假设6πϕ=，点P 的坐标为〔0，那么ω= ; 〔2〕假设在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，那么该点在△ABC 内的概率为. 【答案】〔1〕3；〔2〕4π【解析】〔1〕()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为〔0，2〕时cos36πωω=∴=；〔2〕由图知222T AC ππωω===，122ABCS AC πω=⋅=，设,A B 的横坐标分别为,a b . 设曲线段ABC与x轴所围成的区域的面积为S那么()()sin()sin()2bbaaS f x dx f x a b ωϕωϕ'===+-+=⎰，由几何概型知该点在△ABC 内的概率为224ABCSP Sππ===. 【点评】此题考查三角函数的图像与性质、几何概型等，〔1〕利用点P 在图像上求ω，〔2〕几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.〔1〕当N=16时，x 7位于P 2中的第___个位置；〔2〕当N=2n 〔n ≥8〕时，x 173位于P 4中的第___个位置. 【答案】〔1〕6；〔2〕43211n -⨯+【解析】〔1〕当N=16时,012345616P x x x x x x x =,可设为(1,2,3,4,5,6,,16), 113571524616P x x x x x x x x x =,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16),2159133711152616P x x x x x x x x x x x =,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16),x 7位于P 2中的第6个位置,；〔2〕方法同〔1〕,归纳推理知x 173位于P 4中的第43211n -⨯+个位置.【点评】此题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.〔本小题总分值12分〕某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.〔Ⅰ〕确定x ，y 的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；〔Ⅱ〕假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率. 〔注：将频率视为概率〕【解析】〔1〕由,得251055,35,y x y ++=+=所以15,20.x y ==该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得 X 的分布为X 的数学期望为33111()1 1.52 2.53 1.920104510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 〔Ⅱ〕记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟〞，(1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，那么121212()(11)(1 1.5)( 1.51)P A P X X P X X P X X ===+==+==且且且.由于顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以333333920202010102080=⨯+⨯+⨯=. 故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980. 【点评】此题考查概率统计的根底知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.18.〔本小题总分值12分〕如图5，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD 的中点. 〔Ⅰ〕证明：CD ⊥平面PAE ；〔Ⅱ〕假设直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P-ABCD 的体积. 【解析】解法1〔Ⅰ如图〔1〕〕，连接AC ，由AB=4，3BC =，90 5.ABC AC ∠==,得5,AD =又Ｅ是ＣＤ的中点，所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE. 〔Ⅱ〕过点Ｂ作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由〔Ⅰ〕CD ⊥平面PAE 知，ＢＧ⊥平面PAE.于是BPF ∠为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG AE ⊥.由PA ABCD ⊥平面知，PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.4,2,,AB AG BG AF ==⊥由题意，知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形，故 3.GD BC ==于是2.AG =在Rt ΔBAG 中，4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为解法2：如图〔2〕，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =那么相关的各点坐标为：〔Ⅰ〕易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以.CD PAE ⊥平面(Ⅱ)由题设和〔Ⅰ〕知，,CD AP 分别是PAE 平面，ABCD 平面的法向量，而PB 与PAE 平面所成的角和PB 与ABCD 平面所成的角相等，所以由〔Ⅰ〕知，(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-由(4,0,),PB h =-故解得5h =. 又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=，所以四棱锥P ABCD -的体积为111633515V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】此题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明PA CD ⊥即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.19.〔本小题总分值12分〕（1）假设a 1=1，a 2=5，且对任意n ∈N ﹡，三个数A 〔n 〕，B 〔n 〕，C 〔n 〕组成等差数列，求数列{ a n }的通项公式. （2）证明：数列{ a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意N n *∈，三个数A 〔n 〕，B 〔n 〕，C 〔n 〕组成公比为q 的等比数列. 【解析】解〔１〕对任意N n *∈,三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以即112,n n a a a ++-=亦即2121 4.n n a a a a +--=-=故数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列.于是1(1)44 3.n a n n =+-⨯=- 〔Ⅱ〕〔１〕必要性：假设数列{}n a 是公比为ｑ的等比数列，那么对任意N n *∈，有1.n nq a a -=由0n a >知，(),(),()A n B n C n 均大于０，于是即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. 〔２〕充分性：假设对于任意N n *∈，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，那么()(),()()B n qA n C n qB n ==，于是[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即由1n =有(1)(1),B qA =即21a qa =，从而210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==，故数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列，综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.【点评】此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 20.〔本小题总分值13分〕某企业接到生产3000台某产品的A ，B ，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１〔单位：件〕.每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业方案安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k 〔k 为正整数〕. 〔１〕设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；〔２〕假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】解：〔Ⅰ〕设完成A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间〔单位：天〕分别为123(),(),(),T x T x T x 由题设有期中,,200(1)x kx k x -+均为1到200之间的正整数.〔Ⅱ〕完成订单任务的时间为{}123()max (),(),(),f x T x T x T x =其定义域为2000,.1x x x N k *⎧⎫<<∈⎨⎬+⎩⎭易知，12(),()T x T x 为减函数，3()T x 为增函数.注意到 212()(),T x T x k=于是〔1〕当2k =时，12()(),T x T x = 此时{}1310001500()max (),()max ,2003f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，由函数13(),()T x T x 的单调性知，当100015002003x x=-时()f x 取得最小值，解得 4009x =.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(44)(45)91113f T f T f f <<====<而.故当44x =时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f =.〔2〕当2k >时，12()(),T x T x > 由于k 为正整数，故3k ≥，此时{}1375(),()max (),()50T x x T x T x x ϕ==-易知()T x 为增函数，那么1000375()max ,50x x x ϕ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭.由函数1(),()T x T x 的单调性知，当100037550x x =-时()x ϕ取得最小值，解得40011x =.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),119111311T T ϕϕ<<==>==>而此时完成订单任务的最短时间大于25011.〔3〕当2k <时，12()(),T x T x <由于k为正整数，故1k =，此时{}232000750()max (),()max ,.100f x T x T x x x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭由函数23(),()T x T x 的单调性知，当2000750100x x =-时()f x 取得最小值，解得80011x =.类似〔1〕的讨论.此时完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k =时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数分别为44,88,68.【点评】此题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，表达分类讨论思想. 21.〔本小题总分值13分〕在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：〔x-5〕2＋y 2=9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. 〔Ⅰ〕求曲线C 1的方程；〔Ⅱ〕设P(x 0,y 0)〔y 0≠±3〕为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线x=﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值. 【解析】〔Ⅰ〕解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.〔Ⅱ〕当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，那么过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是整理得2200721890.k y k y ++-=①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，那么12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=-②由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++=③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，那么是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④ 同理可得 0234220(4).y k y y k +⋅=⑤ 于是由②，④，⑤三式得 22001212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】此题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，表达“设而不求〞思想.22.〔本小题总分值13分〕函数()f x =ax e x =-，其中a ≠0.（1）假设对一切x ∈R ，()f x ≥1恒成立，求a 的取值集合.〔2〕在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ，22(,())B x f x 12()x x <，记直线AB 的斜率为K ，问：是否存在x 0∈〔x 1，x 2〕，使0()f x k '>成立假设存在，求0x 的取值范围；假设不存在，请说明理由.【解析】〔Ⅰ〕假设0a <，那么对一切0x >，()f x 1ax e x =-<，这与题设矛盾，又0a ≠，故0a >.而()1,ax f x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得当11ln x a a <时，()0,()f x f x '<单调递减；当11ln x a a >时，()0,()f x f x '>单调递增，故当11ln x a a=时，()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=- 于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-那么()ln .g t t '=-当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当11a=即1a =时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{}1. 〔Ⅱ〕由题意知，21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--那么令()1t F t e t =--，那么()1t F t e '=-.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t -->从而21()21()10a x x e a x x ---->，12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >- 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()axx a e x ϕϕ'=>单调递增，故这样的c 是唯一的，且21211ln ()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时，0()f x k '>. 综上所述，存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】此题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想，转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x ∈R ，f(x)≥1恒成立转化为min ()1f x ≥，从而得出a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，通过构造函数，研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.。

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a 2 pa
【解析】由题可得 C a , a ,F a
2
2
b,b , 则 b2
a 2p
b
2
2 1.
【考点定位】抛物线
a 2 1 ,故填
b
16.【答案】 2 3
【解析】动点 D 的轨迹为以 C 为圆心的单位圆 ,则设为 3 cos ,sin
0,2 , 则
2
2
OA OB OD 3 cos 1 sin 3
A 且事件 B 为事件 A 的对立事件 ,则事
件 B 为一种新产品都没有成功
,因为甲 ,乙成功的概率分别为
23 ,,
35
则P B
12 3
13 5
12 2
,再根据对立事件概率之间的公式可得
3 5 15
13
13
PA 1 PB
,所以至少一种产品研发成功的概率为
.
15
15
(2) 由题可得设该企业可获得利润为
ABD 的勾股定理可得 AD 1 ,由双割线定理可得
3
3
AE 3 r ,故填 .
2
2
【考点定位】勾股定理双割线定理
BD DC
AD DE
DE 2 ,则直径
13.【答案】 3
5 a2 3
3
【解析】由题可得
a 3 ,故填 3 .
1 a2 3
3
【考点定位】绝对值不等式
14.【答案】 2
【解析】求出约束条件中三条直线的交点为
kx 2
k, 2
2
3
2
因为 sin x dx 0 cos
cos 0 sin
0,
0
3
3
4
所以
2k 或
3
3
【考点定位】三角函数图像
5
2k ,则 x
是其中一条对称轴
6
辅助角公式
,故选 A.
10.【答案】 B
【解析】由题可得存在 x0
,0 满足 x02 ex0
1 2
2
x0 ln x0 a
ex0 ln x0 a
2014 年普通高等学校招生全国统一考试 ( 湖南卷 )
一.选择题 .
1.【答案】 B
【解析】由题可得 z i i z
【考点定位】复数
数学理科
z i zi z 1 i i
i 11
z
i ,故选 B.
1i 2 2
2.【答案】 D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样
抽到的概率相等 ,即 p1 p2 p3 ,故选 D.

8 2 cos 3sin , 因为
c os
3 s的i最n大值为 2 ,所以 OA OB OD 的最大值为 12 2 3 ,故填 2 3 .
【考点定位】参数方程圆三角函数
17.某企业甲 ,乙两个研发小组 ,他们研发新产品成功的概率分别为
产品 A ,乙组研发新产品 B .设甲 ,乙两组的研发是相互独立的 .
2
x2
2
y 1 1 ,设直线 l 的方程为 y x b ,因为弦长
AB 2 , 所以圆心 2,1 到直线 l 的距离 d 0 , 所以圆心在直线 l 上 , 故
y x 1 sin
cos 1 sin
2
,故填
sin
2
.
4
2
4
2
【考点定位】极坐标参数方程
3
12. 【答案】
2
【解析】设线段 AO 交 BC 于点 D 延长 AO 交圆与另外一点 E ,则 BD DC 2 ,由三角形
1 2
0 ,当 x0 取决于负无穷小时 , ex0 ln
x0 a
1
趋近于
2
,因
为函数 y ex ln
xa
1
在定义域内是单调递增的 ,所以
2
e0 l n 0a 1 2
0l na
l ne
a ,故选e B.
【考点定位】指对数函数方程
二.填空题 .
2
11.【答案】 sin
4
2
【解析】曲线 C 的普通方程为
P
2
4
15
15
则数学期望 E
2
4
1
0
120
100
15
15
5
【考点定位】分布列期望独立试验的概率
2 220
5
1
2
5
5
32 20 88 130 .
18.如图 5,在平面四边形 ABCD 中 , AD 1,CD 2, AC 7 .
n
【解析】第
n
1项展开式为
C5n
1 x
2
5n
2y ,
n
则n
2时 , C5n
1 x
2
【考点定位】二项式定理
5n
2y
2
1 10 x
2
3
2y
20x2 y3 ,故选 A.
5.【答案】 C
【解析】当 x y 时 ,两边乘以 1可得 x
y ,所以命题 p 为真命题 ,当 x 1, y
2 时,因
为 x2 y 2 ,所以命题 q 为假命题 ,所以②③为真命题 ,故选 C.
, 则的取值有 0 , 120 0 , 100 0 , 120 100 , 即
0,120,100,220 ,由独立试验的概率计算公式可得 :
2
32
2
34
P 01
1
; P 120
1
;
3
5 15
3
5 15
P
100
2 1
3 1;P
23 2
220
;
3 55
35 5
所以的分布列如下 :
0
120
100
220
【考点定位】抽样调查
,分层抽样 ,系统抽样都必须满足每个个体被
3.【答案】 C
【解析】分别令 x 1 和 x
1 可得 f 1 g 1 3 且 f 1 g 1 1
f 1 g1 3 f 1 g 1 1 ,则
f 1 g1 1
【考点定位】奇偶性
f1 2 g1 1
f 1 g 1 1 ,故选 C.
4.【答案】 A
,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径
r ,则 8 r 6 r
【考点定位】三视图
82 62 r
内切圆球
2 ,故选 B.
8.【答案】 D
【解析】设两年的平均增长率为
x ,则有 1
2
x
1 p1q
x
1 p 1 q 1,
故选 D. 【考点定位】实际应用题
9.【答案】 A
【解析】函数 f x 的对称轴为 x
【考点定位】命题真假逻辑连接词
6.【答案】 D
【解析】当 t
2, 0 时 ,运行程序如下 , t 2t 2 1 1,9 , S t 3
2,6 ,当 t 0,2
时, S t 3 3, 1 ,则 S 2,6
【考点定位】程序框图二次函数
3, 1
3,6 ,故选 D.
7.【答案】 B 【解析】由图可得该几何体为三棱柱
2 和 3 ,现安排甲组研发新 35
(1)求至少有一种新产品研发成功的概率 ;
(2)若新产品 A 研发成功 ,预计企业可获得 120万元 ,若新产品 B 研发成功 ,预计企业可获得利润 100 万元 ,求该企业可获得利润的分布列和数学期望 .
13
17.【答案】 (1)
(2)详见解析
15
【解析】 (1)解 : 设至少有一组研发成功的事件为事件
k, k , 4 k, k , 2,2 ,
且 y x, x y 4 的可行域如图 ,所以 k 2 ,则当 k, k 为最优解时 , 3k 6 k 2 , 当
4 k, k 为最优解时 , 2 4 k k 6 k 14 , 因为 k 2 ,所以 k 2 ,故填 2 .
【考点定位】线性规划
15.【答案】 2 1

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