第2章 随机向量及其分布

X
i 1
k
i
6、t分布
设随机变量x ~ N0,1, y ~ 2 n , 且x与y相互独立，则 随机变量t x 的分布称为t分布，记作t ~ t n , 其中 y/n
参数n称为自由度。t分布的图形是对称的。 当n 30时， t分布的分散程度比标准 正态分布大，密度曲线 比较平 缓。随着自由度 n趋向于无穷大， t分布以标准正态分布 为极限。 当n 50时，一般无法在 t分布表中查出分位点， 这时可用标准正态分布 N(0,1) 替代分布t(n). t分布的数学期望和方差 分别为： 当n 2时， E(t) 0, D(t) n , n-2 t分布可用于方差未知时 有关均值的假设检验。
（ 1 ） f x1 , x 2 ,...,x p 0，对一切的x1 , x 2 ,...,x p； （2） f x1 , x 2 ,...,x p dx 1dx 2 dx p＝1

多元密度f x1 , x 2 ,...,x p 具有下述两个性质：
x 2


正态分布的性质：
（ 1 ） 设x ~ N , 2 , y ax b, a(a 0),b为任意常数，则 y ~ N a b, a 2 2 ; (2) 任何一个正态分布，可 以通过线性变换转化为 标准 正态分布。 x ~ N , ， z
2
3、随机变量的数字特征 数学期望和方差是随机变量最重要的两个数字特征。数 学期望反映了随机变量x取值的平均水平，方差反映了 随机变量x的可能取值在其均值周围的分散程度。方差 的平方根称为随机变量x的标准差。
x为离散型随机变量时： 数学期望（也称均值） 定义为：
＝Ex a k p k ;
a1 aq f x1 , x 2 ,...,x p dx q 1 dx p dx 1 dx q x (1)的边际密度为：
x (1) x1 , x 2 ,...,x p `,则它的分布函数为：
f (1) x1 , x 2 ,...,x q f x1 , x 2 ,...,x p dx q 1 dx p
其中p M/N, q 1 - p, 近似计算可大大减少计 算量。
3、泊松分布 若离散型随机变量x的分布列为：
k! 其中参数 0,则称x服从泊松分布，记作 x ~ P ( ). E(x) D(x) 在＝np恒定的条件下，当 n趋向于无穷，同时 p趋于 零时，二项分布趋向于 泊松分布。因此，当 n很大，p 很小时，有如下的近似 公式：






x-

(标准分数)， z ~ N0,1;
(3) 设x1 , x 2 ,...,x n 相互独立，且 x i ~ N i , i2 , i 1,2,...,n, 则对任意n个常数k1 , k 2 ,...,k n (不全为零), 有：
n n 2 2 k i x i ~ N k i i , k i i i 1 i 1 i 1 n
对一切的a R成立，则称x为连续型随机变量， 称f x 为x的概率密度函数，简称 密度。对F(x) 的连续点必有F`(x) f(x),密度函数f(x)具有如下 两个性质： （1 ） f(x) 0; （2） f x dx 1

概率密度函数全面地描 述了连续型随机变量的 统计规律性。
1 2 e 2 , x 2 其中参数是数学期望， 是标准差，则称 x服从正态分布， f ( x) 记作x ~ N , 2 。 当＝0，＝1时的正态分布为标准正 态 分布。当n很大，p和q都不太小时,即np,nq 5， 二项分布 可用正态分布作近似计 算。
3、边际分布
设x是p维连续型随机向量，由 它的q(q p)个分量 组成的向量x (1)的分布称为x的边际分布。不妨设 F(1) a 1 , a 2 ,...,a q Px1 a1 , x 2 a 2 ,...,x q a q Fa1 , a 2 ,...,a q , ,...,
设随机变量x ~ 2 n , y ~ 2 m , 且x与y相互独立，则 x/n 随机变量F 的分布称为自由度为 n和m的F分布， y/m 记作F～Fn, m 。
7、F分布
F分布的特点： （1）F分布形态是正偏态分布，形式随n, m不同而不同，随n, m的增加而渐趋正态分布； （2）F为两个方差比率，所以为正值； （3）当n=1,m任意时，F值与自由度为m的t值的平方相等,即 F(1,m)=t2(m) （4）
1 F1 n, m F m, n
2.2 多元分布 1、多元概率分布 随机向量x=(x1,x2,…,xp)2,…,ap)=P(x1 a1, x2 a2,…, xp ap)
2、多元概率密度
a1 ap
若随机向量x x1 , x 2 ,...,x p ` 的分布函数可以表示为 ： 对一切a1 , a 2 ,...,a p R p成立，则称x为连续型随机向量， 若f x1 , x 2 ,...,x p 在点x1 , x 2 ,...,x p 处连续，则有 p f x1 , x 2 ,...,x p Fx1 , x 2 ,...,x p x1 x p 称f x1 , x 2 ,...,x p 为x的多元密度函数。 Fa1 , a 2 ,...,a p f x1 , x 2 ,...,x p dx 1dx 2 dx p
一切x, y成立，则称x和y相互独立。若 (x, y)是连续的， 则x和y相互独立 f(x,y) f x (x) f y (y)对一切的x, y成立， 或者 f(x | y) f x (x)对一切x, y成立。 设x 1 ,...,x n 是n个随机向量，若 F(x1 ,...,x n ) F1 (x1 ) Fn (x n ) 对一切x 1 ,...,x n 成立，则 称x 1 ,...,x n 相互独立。 在连续型情形下， x 1 ,...,x n 相互独立 f(x1 ,...,x n ) f 1 (x1 ) f n (x n )对一切x 1 ,...,x n 成立。 在实际应用中，如 x 1 ,...,x n的取值互不影响，就认 为 这n个随机向量相互独立。
k n -k Ck p q n
Px k
k
e , k 0,1,2,...
k
k!
e
4、正态分布 正态分布是统计学中最重要的分布，因为： （1）许多随机现象近似服从正态分布； （2）不少统计量的极限分布为正态分布； （3）正态分布的理论非常完善，便于数学上的处理。
若连续型随机变量x的概率密度函数为：
5、卡方分布
n
设随机变量x1 , x 2 ,...,x n 均服从N0,1, 且相互独立，则
i 1
随机变量x x i2 ~ 2 n , n为自由度，表示平方和 。 x 中独立随机变量的个数
i 1 2 i n
(1) 2分布的数学期望和方差 分别为： E(x) n, D(x) 2n (2) n 时， 2分布趋向于正态分布； （3） 2分布具有可加性 X i ~ 2 n i , i 1,2,...,k, 则 设X1 , X 2 ,...,X k 是相互独立的随机变量 ，且 ~ 2 n1 n 2 ...nk
完全可以确定x取某个值或x在某一个区间内的概率。
2、随机变量x的概率分布函数
它描述了随机变量 x的统计规律性。 Fx 具有下列性质： 分布函数定义为: Fa Px a ,
1 Fx 是非降函数，即若x x 2 , 则Fx1 Fx 2 ; 2 lim Fx 0, lim Fx 1;
2
2.1.4 一些重要的一元分布
1. 二项分布 若离散型随机变量x的分布列为：
k k nk P x k Cn p q , k 0,1,2,...
其中0 p 1, q 1 - p, n为自然数，则称 x服从二项分布， 记作x ~ bn, p E ( x) np, D( x) V ( x) npq
1
3 F(x)是右连续函数，即 Fx 0 Fx 。
x -
x
2.1.2 概率分布的类型 1. 离散型分布
设离散型随机变量 x的可能取值为a1 , a 2 ,...,这些值的 概率分别为p1 , p 2 ,...,则 Px a k p k , k 1,2,...
x (2) x q 1 , ,...,x p `(f(2) 0)的条件下，x (1) x1 , ,...,x q ` f x1 , ,...,x p
f (2) x q 1 , ,...,x p
5、独立性
设x和y是两个随机向量，若Fx, y Fx x Fy y ， 对
2、超几何分布
若离散型随机变量x的分布列为：
k nk CM CN M P( x k ) , k 0,1,...,min(n,M) n CN
则称x服从超几何分布，记作 x ~ H(M,N, n) 当N很大，n相对较小时，超几何分 布近似于二项分布，即 ：
k nk CM CN k k n -k M ～ C np q n CN
k 1

方差定义为：
＝Vx Dx a k - p k
2 k 1

x为连续性随机变量时： 数学期望： ＝Ex ＝ xf x dx ;
2 x - f x dx Ex 2 - 2
方差： ＝Vx Dx ＝

4、条件分布 若A和B是任意两个事件，且P(B)>0,则称 P(A|B)=P(AB)/P(B)
为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。
设x x1 , x 2 ,...,x p `是p维连续型随机向量，在 给定 的条件概率密度函数定 义为： f x1 , ,...,x q | x q 1 , ,...,x p f x 或f x (1) | x (2) f (2) (x(2) )