【广东省广州市】2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷

合集下载

【广东省东莞市】2017届高三第二次模拟测试理科数学试卷-答案

广东省东莞市2017届高三第二次模拟测试理科数学试卷答案一、选择题1~5．CDBAD 6~10．CBAAB 11~12．DC二、填空题13．15[,]88- 14．10915．13π16．224(14)14n λλλ-- 三、解答题17．解：（Ⅰ）依题意，由正弦定理可知a ．由余弦定理，得227)c =+)cos c B -，故27c =，c b ==，故sin sin B C =．（Ⅱ）因为1cos22B =，故52π3B =，故5π6B =．由余弦定理可得227)c =+-)cos c B ，解得1c =，a =．由正弦定理可得1sin sin 6C ，解得sin C =h C =． 18．解：（Ⅰ）散点图如图所示：（Ⅱ）依题意，1(234567912)68x =+++++++=，1(1234568)48y =++++++=，821491625i i x==+++∑364981144364++++=， 8126121524i i i x y ==++++∑355496244+++=，818218ˆii i i i x y x y b x==-==∑∑2244864133648619-⨯⨯=-⨯，132ˆ461919a ∴=-⨯=-， ∴回归直线方程为132ˆ1919yx =-．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当25x =时，132519y =⨯-21719=．即若一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天．19．解：（Ⅰ）因为AD ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，所以AD EC ⊥．又AC 1AE EC ==，所以222AC AE EC =+，所以AE EC ⊥．又AE AD A =，所以EC ⊥平面ADE ．因为EC ⊂平面FCE ，所以平面FCE ⊥平面ADE ．（Ⅱ）以A 为原点，AC ，AD 所在直线为x ，y 轴，过点A 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AD a =（0a >），则(0,0,0)A，C，E ，F a -，设平面ACF 的一个法向量为(,,)m x yz =，因为(2,0,0)AC =，2(AF a =-，所以0,0,m AC m AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,0,ay =-=取z1y a =，则1(0,m a =．又因为2(AE =，设直线AE 与平面ACF 所成的角为θ，则||sin ||||AE m AE m θ===，解得1a =（1a =-舍去），故2AD =．20.解：（Ⅰ）依题意，221914a b +=，12c a =，222a b c =+，解得2a =，b =1c =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（Ⅱ）因为PO OR =，所以O 为PR 的中点，所以||2PR =．由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221,143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my ++-=，所以122634m y y m -+=+，122934y y m -=+．又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故0∆＞，即22(6)36(34)0m m ++＞，R m ∈．则121||||2MNR S PR y y =-△12||y y =-==．令t =则1t ≥，MNR S ==212121313t t t t=++，令1()3f t t t =+，则函数()f t在)+∞上单调递增，故当1t ≥时，()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此有()(1)4f t f =≥，所以3MNR S △≤，故MNR △面积的最大值为3，此时直线l 的方程为1x =．21．解：（Ⅰ）依题意，244()x f x x x x-'=-=(2)(2)x x x +-=．令()0f x '＞，即20x -＞，解得02x ＜＜，故函数()f x 的单调递增区间为(0,2)．（Ⅱ）依题意，()()(4)g x f x m x =--=214ln 2x mx -(4)m x +-， 1212()()4(ln ln )g x g x x x -=-22121()2m x x --+12(4)()m x x -- 124(ln ln )x x =--12121()()2m x x x x +-12(4)()m x x +--．由题设得12012()()()g x g x g x x x -'==-12124(ln ln )x x x x ---121()(4)2m x x m ++-．又12128()2x x g m x x +'=-+1242x x m ++-，所以120()()2x x g x g +''-=1212124(ln ln )8x x x x x x --=-+212121212()4[(ln ln )]x x x x x x x x ----+221221112(1)4[ln ]1x x x x x x x x -=--+．不妨设120x x ＜＜，21x t x =，则1t ＞，则2212112(1)ln 1x x x x x x --+ 2(1)ln 1t t t -=-+(1)t ＞．令2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t ＞，则22(1)()0(1)t h t t t -'=+＞，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以(t)(1)0h h =＞，故2212112(1)ln 01x x x x x x --+＞．又因为210x x ->，因此120()()02x x g x g +''-＞，即120()()2x x g g x +''＜．又由4()(4)g x mx m x '=-+-知()g x '在(0,)+∞上单调递减，所以1202x x x +＞，即1202x x x +＞． 22．解：（Ⅰ）因为3cos ,13sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩故22((1)9x y ++=，故22x y +-250y +-=，故曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ-+2sin 50ρθ-=．因为2cos ρθ=，故22cos ρρθ=，故2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=（或写成22(1)1x y -+=）．（Ⅱ）设P ，Q 两点所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将π6θ=（θ∈R）代入2cos ρθ- 2sin 50ρθ+-=中，整理得2250ρρ--=，故122ρρ+=，125ρρ=-，故12||||PQ ρρ=-==23．解：（Ⅰ）依题意，得()|3||1|f x x x =++-|31|4x x +-+=≥，故m 的值为4．当且仅当(3)(1)0x x +-≤，即31x -≤≤时等号成立，即x 的取值范围为[3,1]-．（Ⅱ）因为2222p q r m ++=，故2222()()4p q q r +++=．因为222p q pq +≥，当且仅当p q =时等号成立，222q r qr +≥，当且仅当q r =时等号成立，所以2222()()4p q q r +++=22pq qr +≥，故()2q p r +≤，当且仅当p q r ==时等号成立．。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科试题及参考答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（） A ．352 B ．358 C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（） A ．15 B ．9 C ．1 D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（） A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值范围为（） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上，则实数m = ． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个． 15．设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. （Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且433MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值. 21．已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为23cos ,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥；（Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27 三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =. 因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-.所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得31,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,0,2F a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a ，31,,322E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以()0,,0AB a =，313,,222AF a a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,3130222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,,322CE a a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以cos,n CEn CEn CE⋅==368.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为368.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()11.68Pξ==0.60.50.30⨯=，()11.92Pξ==0.60.50.30⨯=，()12.1Pξ==0.40.50.20⨯=，()12.4Pξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()21.68Pξ==0.70.60.42⨯=，()21.8Pξ==0.30.60.18⨯=，()22.24Pξ==0.70.40.28⨯=，()22.4Pξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令iQ表示方案i所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()6,0±，离心率为305.因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a =，且22306a b a -=，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （Ⅱ）因为4323MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+.代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m-=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则2121MN kx x =+-()22121214k x x x x =++-()222222411211616m km k k k -⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭. 因为433MN =，即()222222411211616m km k k k -⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭433=. 整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=.等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m 的最大值为153. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪. 因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=()()22ln 2ln 24ln x x x x x x +-.令()ln 2p x x x =-，所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()11p x x x'=-10x x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p <ln e 2e 0=-<.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-.所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=.将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=.解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以()()223012AB =-++=32.（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=.令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为2231211d ---=+32=.PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥.所以()()2211a b ++++()21613c +≥.（Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥.综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试卷及答案

试卷类型：A 2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3x y =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为A ．2log 3-B ．3log 2-C ．19D 3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤ D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos 2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16B ．13C ．12D ．38图1俯视图侧视图正视图6．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C A ．16 B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8, 按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257 B ．256C ．254D ．253表1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB == ，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .DCBA15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；CBa 图3重量/克0.0320.02452515O （注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n = ，则样本数据的平均值为112233X x p x p x p =+++ （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在的小球个数为ξ，求ξ18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ，1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+ .2017-2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD+-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==. 在△ABC中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得BC =……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分∴1sin sin AB AC BC⋅===. ……………12分17．（本小题满分12分） (1)解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭.……………5分 ξ的取值为0,1,2,3，……………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. ……………10分为：∴ξ的分布列……………11分 ∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=） 18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1==，AM MB∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABFE，平面ABCD 平面=，ABFE AB∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分∵EF=MB1=∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分∴EM∥FB，EM FB=.在Rt△BFC中，2224=，得FB=+==，又FB FCFB FC BC∴EM=……………3分在△AME中，AE=1AM=，EM=∴222+==，3AM EM AE∴⊥. AM EM……………4分∴AM FB⊥.⊥，即AB FB∵四边形ABCD是正方形，∴⊥. AB BCMO HFEDCB……………5分∵FB BC B = ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ， ∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =，∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO∥FH，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . (9)分∴EO ⊥平面ABCD .∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO. ……………10分∵AO BD⊥，,EO BD O EO=⊂平面EBD，BD⊂平面EBD，∴AO⊥平面EBD. (11)分∴AEO∠是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分在Rt△AOE中，tanAOAEOEO∠==……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O取BC的中点H，连接,OH EO，则OH∥AB，112OH AB==.由（1）知EF∥AB，且12EF AB=∴EF∥OH，且EF OH=.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EO FH==. ……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD . ∴EO ⊥平面ABCD . (8)分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅= ，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-. 令1x =，则平面BDE的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos , n AE ⋅=n AE n AE3=. ……………11分∴cos 3θ==，sintan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE 所成角的正切值为……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n+--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列. ∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列. ∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，①()1231442434144n nn T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅ ，② ……………11分①-②得0121344444n nn T n --=++++-⋅ 14414n nn -=-⋅-()13413n n -⋅-=. ……………13分 ∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=， ∴221224n a n n n b n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++ ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅ . 由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠- ， ……………11分两边对x取导数得，12123n x x x nx-++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦ .……………13分 ∴()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+, 即1y =+, ……………1分化简得24x y =. ∴曲线E的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±.∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST =()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=-⎪++++⎝⎭()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B的坐标为()211142,441kk k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441kk k --+. …………6分∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分 ∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-.……………4分令()2ln 2x g x x x=-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=. 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x k g x x x =-+，则()222112222k x x kg x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022k g k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x k x x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<. 故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022xx x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x -+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n = 分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n--=+. ……………14分。

2017广州二模理科数学试题

|1专
A∩ B= 刂贝
(A){艿 |1≤ 艿<2} (B){凭 |0(多 <2} (C){∝ 丨 0(“ <1} 0(多 ≤ 1} (D){笳丨 (2)若复数 z满足 (3-4i+z)i=2+i,则复数 z
所对应的点位于 (A)第一象限 (C)第三象限
(B)第二象限
(D)第四象限 s=s+'
;
+C2汛 ~1)
(18)(本小题满分 12分 )
如图,⒕ BCD是边长为 @的菱形 ,∠ 助V=ω °
,
EB⊥ 平面 ⒕BCD,FD⊥ 平面 ABCD, EB=2FD=JG. (I) 求证 :EF⊥ ⒕ C; (Ⅱ )求直线 CE与平面 ⒕ BF所成角的正弦值
.
理科数学试题 B 第 3页 (共 4页 )
(B)争
1)+笳
C
D
5
2
是的大致图像
(A)
2一
ε_2
工4
~ 洲
知已
已 ω
(4,4)在抛物线尸 =勿多(p)0)上 ,该抛物线的焦点为 F, 过点 ⒕作该抛物 (7)已知点 ⒕ 线准线的垂线 ,垂足为 E,则 ∠EAF的平分线所在的直线方程为 (B)多 +2yˉ 12=0 (A)2艿 +yˉ 12:〓0 (D)多 -2y+4=0 (C)‰ -yˉ 4= 0 (8)在棱长为 2的正方体 ⒕ BCD-A1B1C1D1中 ,胚是棱姓 1D1的中点过 C1,B,〃作正方体的截面 ,则这个截面的面积为
(C)1
9
⑼÷
='-‰ +3的公共

2017届广东省广州市高三毕业班综合测试(二)理科数学试题及答案

试卷类型：A 2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）4 本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．数学（理科）试题A 第 1 页共 29 页数学（理科）试题A 第 2 页共 29 页参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠B ．若2320x x -+=，则2x =C ．若2320x x -+≠，则2x ≠D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b> B ．22log log a b< C ．1122a b<D ．1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦A ．14B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．y =C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭图1数学（理科）试题A 第 3 页共 29 页5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为A ．425 B ．12C ．23D ．16．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C在母线VB 上，且1VC =，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是A C ．3D ．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n a是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+=A.0B.9C.18D.36AV CB图2数学（理科）试题A 第 4 页共 29 页二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i 1iz -=+，则z = ．10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是．11．已知()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若3cos 5α=02απ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则12f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）B ACDEFG 图4数学（理科）试题A 第 5 页共 29 页如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t=-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =．（1）求cos A 的值；（2）若△ABC的面积为，求△ABC 外接圆半径的大小．17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调份，统计结果如下面的图表所示．数学（理科）试题A 第 6 页共 29 页（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A BC D E F -的侧棱垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==．（1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<．C 1ABA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1图5数学（理科）试题A 第 7 页共 29 页20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e x g x =（其中e 为自然对数的底数）．（1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围；（2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),e b Q b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．数学（理科）试题A 第 8 页共 29 页数学（理科）试题A 第 9 页共 29 页16．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A 2=………………6分数学（理科）试题A 第 10 页共 29 页由（1）知5b k =，3c k =，因为△ABC的面积为，所以1sin 2bc A =8分即1532k k ⨯⨯= 解得k =……………………10分由正弦定理2sin aR A=，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分解得14R =．所以△ABC外接圆半径的大小为14． (12)分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ． (2)分数学（理科）试题A 第 11 页共 29 页第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=． (3)分第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=． (4)分（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分依题意X的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：………………………………………10分数学（理科）试题A 第 12 页所以2812012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1AMANABAA =，所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M，N，1E ，D四点共分C 1A BA 1B 1D 1CDMNEF E 1F 1数学（理科）试题A 第 13 页共 29 页（2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =- ，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n116==．故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为数学（理科）试题A 第 14 页共 29 页116．………………………………………………14分第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z则()B ，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ， ()10,0,3E ，()M ，()N 所以()10,3,3DE =- ，()0,1,1MN =-．因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合，所以1DE MN ．…………………………………………5分所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,022BC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩数学（理科）试题A 第 15 页共 29 页取y =2x =，z = 所以(=n 是平面1MNE D的一个法向量．………………………………………………12分设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BCBCθ=n n==．故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为．………………………………………………14分第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ，在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形．所以11A B E D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==，所以1AMANABAA =，所以C 1A BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1数学（理科）试题A 第 16 页共 29 页1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DE ．所以M，N，1E ，D四点共面．………………………………………………………………………6分（2）连接AD ，因为BC AD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分因为A DMN D AMNV V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =，在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠= ，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN = 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN在△DMN中，DM =DN =MN =数学（理科）试题A 第 17 页共 29 页由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=所以1sin 22DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==………………13分所以sin 116h AD θ==故直线BC与平面1MNE D所成角的正弦值为116．………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分数学（理科）试题A 第 18 页共 29 页因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++．所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分因为()()222114411241212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++数学（理科）试题A 第 19 页共 29 页111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ ……………………………………………………………11分15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分16<．又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >， (1)分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．数学（理科）试题A 第 20 页共 29 页所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ． (1)分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在，数学（理科）试题A 第 21 页共 29 页设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x =……………………………………………9分因为()220044y x =--，所以AB =………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．……………………………………………………………数学（理科）试题A 第 22 页共 29 页…………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭，所以AB的取值范围为⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ，则直线PA ：00y a y a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②数学（理科）试题A 第 23 页共 29 页由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…………9分因为()220044y x =--，所以AB =………………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==，…………………………………数学（理科）试题A 第 24 页共 29 页……12分当532t =时，max AB =，当14t =时，min AB =所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分21．（本小题满分14分）（1）解法一：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数，所以()()2201a f x x x '=-≥+()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()221xa x ≥+……………………………………………………………………………………………2分212x x =++()01x <<，因为21122x x<++在()0,1x ∈内恒成立，所以12a ≥．故实数a的取值范围为数学（理科）试题A 第 25 页共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………………4分解法二：因为函数()ln f x a x =-11x x -+在区间()0,1内是增函数，所以()()2201a f x x x '-+≥=()01x <<．……………………………………………………………1分即()2120a x x +-≥()01x <<，即()2210ax a x a +-+≥()01x <<，…………………………………………………………………2分设()()221g x ax a x a =+-+，当0a =时，得20x -≥，此时不合题意．当0a <时，需满足()()00,10,g g ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩即()0,210,a a a a ≥⎧⎪⎨+-+≥⎪⎩解得12a ≥，此时不合题意．当0a >时，需满足()222140a a --≤⎡⎤⎣⎦或()()00,10,10,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪-<⎩或()()00,10,11,g g a a ⎧⎪≥⎪≥⎨⎪-⎪->⎩解得12a ≥或1a >，所以12a ≥．综上所述，实数a的取值范围为数学（理科）试题A 第 26 页共 29 页1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．……………………………………………………………4分（2）证明：因为函数()e x g x =，所以()e x g x '=．过点(),e b P b ，(),e b Q b --作曲线C 的切线方程为：1l ：()e e b b y x b =-+， 2l ：()e e b b y x b --=++，因为1l 与2l 的交点为()00,M x y ，由()()e e ,e e ,b b b by x b y x b --⎧=-+⎪⎨=++⎪⎩ ………………………………………………………………………………6分消去y，解得()()()0e +e e e eeb b b b bbb x -----=-． ①…………………………………………7分下面给出判定00x >的两种方法：方法一：设e b t =，………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以1t >，且ln b t =．所以()()2202+1ln 11t t t x t --=-．…………………………………………………………………………9分数学（理科）试题A 第 27 页共 29 页设()()()22+1ln 1h t t t t =--()1t >，则()12ln h t t t t t'=-+()1t >．………………………………………………………………………10分令()12ln u t t t t t=-+()1t >，则()212ln 1u t t t '=+-．当1t >时，ln 0t >，2110t->，所以()212ln 10u t t t '=+->，………………………………11分所以函数()u t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10u t u >=，即()0h t '>， (12)分所以函数()h t 在()1,+∞上是增函数，所以()()10h t h >=．…………………………………………………………………………………13分因为当1t >时，210t ->，所以()()2202+1ln 101t t t x t --=>-．…………………………………………………………………14分方法二：由①得0x ()221+e 11e b bb --=--．数学（理科）试题A 第 28 页共 29 页设2e b t -=，…………………………………………………………………………………………………8分因为0b >，所以01t <<，且ln 2t b =-．于是21ln bt-=，……………………………………………………………………………………………9分所以()01+221ln 1ln 1b t b t x b t t t t +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭．…………………………………………………………10分由（1）知当12a =时，()1ln 2f x x =-11x x -+在区间()0,1上是增函数，…………………………11分所以()ln 2t f t =-()1101t f t -<=+，即ln 2t <11t t -+． …………………………………………………………………………………………12分即210ln 1t t t++>-，………………………………………………………………………………………13分已知0b >，所以数学（理科）试题A 第 29 页共 29 页0210ln 1t x b t t +⎛⎫=+> ⎪-⎝⎭．…………………………………………………………………………14分。

2017年广州市普通高中毕业班综合测试广州二测广州市二测答案(理科数学)

数学答案（理科）试题B 第 1 页共 11 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)A (2)B (3)A (4)B (5)A (6)C (7)D (8)C(9)B(10)C(11)B(12)D二.填空题 (13)32(14)23 (15)2590- (16)27三.解答题(17)解:(Ⅰ)因为数列{}n a 是等比数列,所以2132a a a =.因为1238a a a =,所以32=8a ,解得22=a .…………………………………………………………1分因为()1253123-++++=n n a a a a S ,所以123a S =,即1213a a a =+.………………………………………………………………………2分因为22=a ,所以11=a .………………………………………………………………………………3分因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==, 所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a .…………………………………………………………………4分数学答案（理科）试题B 第 2 页共 11 页(Ⅱ)因为等比数列{}n a 的首项为11=a ,公比2q =,所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S .…………………………………………………………………6分因为n n b nS =,所以()212n nn b n n n =-=⋅-.………………………………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321()()231222322123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++.…………………………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯, 则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯.所以()+1234222222n n n P n =⨯-+++++()1=122n n +-+.…………………………………10分因为()11232n n n +++++=, ……………………………………………………………………11分所以()()111222n n n n T n ++=-+-. 所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-.…………………………………………12分(18)(Ⅰ)证明:连接BD ,因为ABCD 是菱形,所以BD AC ⊥.……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ,⊂AC 平面ABCD ,所以FD AC ⊥.………………………………………………2分因为D FD BD = ,所以⊥AC 平面BDF .……………3分因为⊥EB 平面ABCD ,⊥FD 平面ABCD ,所以//EB FD .所以B ,D ,F ,E 四点共面.………………………………………………………………………4分因为⊂EF 平面BDFE ,所以AC EF ⊥.……………………………………………………………5分FEDCB数学答案（理科）试题B 第 3 页共 11 页(Ⅱ)解法1:如图,以D 为坐标原点,分别以DC ,DF 的方向为y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系xyz D -.……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0, ()0,,0a C ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a E 3,21,23.………………………………7分所以()0,,0a AB =,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a 23,21,23.……………………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0n n即0,10,2ay ay =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 不妨取1x =,则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n .……………………………………………10分因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a 3,21,23, 所以36cos ,8CE CE CE∙==n n n . 所以直线CE 与平面ABF .…………………………………………………12分解法2:如图,设ACBD O =,以O 为坐标原点,分别以OA ,OB 的方向为x 轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.…………………………………………6分可以求得,0,02A a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,0,02C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,10,2F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (7)分数学答案（理科）试题B 第 4 页共 11 页所以1,,02AB a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,1,2AF a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ,则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0ABn n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩不妨取1x=,则平面ABF 的一个法向量为()=n .………………………………………10分因为31,2CE a ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,所以36cos ,CE CE CE∙==n n n .所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8.…………………………………………………12分 (说明:若本题第(Ⅰ)问采用向量法证明正确,第(Ⅰ)问给6分,仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第(Ⅱ)问)(19)解:(Ⅰ)依题意,1ξ的所有取值为68.1,92.1,1.2,4.2,…………………………………1分因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ,()30.05.06.092.11=⨯==ξP ,()20.05.04.01.21=⨯==ξP ,()20.05.04.04.21=⨯==ξP .………………………………3分所以1ξ的分布列为依题意,2ξ的所有取值为68.1,8.1,24.2,4.2,…………………………………………………5分因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ,()18.06.03.08.12=⨯==ξP ,()28.04.07.024.22=⨯==ξP ,()12.04.03.04.22=⨯==ξP ,……………………………7分……………4分数学答案（理科）试题B 第 5 页共 11 页所以2ξ的分布列为(Ⅱ)令i Q 表示方案i 所带来的利润,则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯, 2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯. 因为12EQ EQ >,所以实施方案1,第二个月的利润更大.………………………………………………………………12分(20)解:(Ⅰ)双曲线2215x y -=的焦点坐标为(),离心率为5.………………………1分因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C :22221x y a b+=()0a b >>的顶点,且椭圆与双曲线的离心率互为倒数,所以a ==,解得1b =. 故椭圆C 的方程为1622=+y x .…………………………………………………………………………3分 (Ⅱ)因为2334>=MN ,所以直线MN 的斜率存在.………………………………………………4分因为直线MN 在y 轴上的截距为m ,所以可设直线MN 的方程为m kx y +=.……………8分…………………………10分……………………………9分数学答案（理科）试题B 第 6 页共 11 页代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k .…………………………………5分因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ,所以2261k m +<.………………………………………………………………………………………6分设),(11y x M ,),(22y x N ,根据根与系数的关系得1221216kmx x k -+=+,()21226116m x x k-=+.……………………………………7分则()212212212411x x x x kx x k MN -++=-+== 因为334=MN ,.………………………………8分整理得()22421973918kk k m +++-=.………………………………………………………………………9分令112≥=+t k ,则12-=t k .所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.…………………………10分等号成立的条件是35=t ,此时322=k ,253m =满足2261k m +<,符合题意.………………11分故m 的最大值为315.…………………………………………………………………………………12分(21)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞.因为()f x ln x ax b x =-+,所以()f x '2ln 1ln x a x-=-.…………………………………………1分所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()e e e y a b a x --+=--,即e y ax b =-++.………………………………………………2分已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+,比较求得e b =.所以实数b 的值为e .……………………………………………………………………………………3分数学答案（理科）试题B 第 7 页共 11 页(Ⅱ)解法1:由()f x 1e 4?,即1e e ln 4x ax x -+?.……………………………………………4分所以问题转化为11ln 4a x x ≥-在2e,e 轾犏臌上有解.………………………………………………………5分令()11ln 4h x x x=-()2e,e x 轾Î犏臌, 则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x x x x-=(22ln ln 4ln x x x x +-=.………………………………7分令()ln p x x =-,所以当2e,e x 轾Î犏臌时,有()110p x xx'==<.……………………………………………8分所以函数()p x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减.……………………………………………………………9分所以()()e ln e 0p x p <=-<. ………………………………………………………………10分所以()0h x '<,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上单调递减. ………………………………………………11分所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………………12分解法2:命题“存在x Î2e,e 轾犏臌,满足()f x 1e 4?”等价于“当x Î2e,e 轾犏臌时,有()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?”.………………………………………4分由(Ⅰ)知,()f x '2ln 1ln x a x -=-=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫. (1)当14a ³时,()0f x '≤,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数,…………………………5分所以()minf x =⎡⎤⎣⎦()2e f 22e e e 2a =-+.由()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4?,得22e 1e e e 24a -+?,解得21124e a ?. 所以21124e a ?.………………………………………………………………………………………6分数学答案（理科）试题B 第 8 页共 11 页(2)当14a <时,注意到函数()f x '=2111ln 24a x 骣÷ç--+-÷ç÷ç桫在区间2e,e 轾犏臌上的值域为1,4a a 轾犏--犏臌. ……………………………………7分①0a £,()0f x '≥在区间2e,e 轾犏臌上恒成立,即函数()f x 在区间2e,e 轾犏臌上为增函数. 所以()()min e f x f =⎡⎤⎣⎦e e e =2e e a a =-+-.由于()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,所以2e e a -?1e 4+,解得1104e a ≥->,这与0a ≤矛盾.………8分 ②若104a <<,由函数()f x '的单调性(单调递增)和值域知,存在唯一的()20e,e x ∈,使()00f x '=,且满足当x Î()0e,x 时,()00f x '<,即()f x 为减函数；当x Î()0,e x 时,()00f x '>,即()f x 为增函数.所以()()0min f x f x =⎡⎤⎣⎦000e ln x ax x =-+.…………………………………………………………9分由()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+,得000e ln x ax x -+?1e 4+,即0001ln 4x ax x -?. 因为()00f x '=,即020ln 10ln x a x --=,所以02ln 1ln x a x -=. 将02ln 1ln x a x -=代入0001ln 4x ax x -?,得0201ln 4x x £,其中()20e,e x ∈.………………………10分令()h x 2ln x x =,则()h x '3ln 2ln x x-=, 当x Î2e,e 轾犏臌时,()0h x '≤,即()h x 在区间2e,e 轾犏臌上为减函数.所以()()2eh x h ≥()2222e e 1>44ln e ==,与0201ln 4x x £矛盾, 所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4+成立.………………………………………………11分综上可知,实数a 的取值范围为211,24e轹÷ê-+?÷÷êøë.…………………………………………………12分 (说明:当104a <<时,也可转化为200ln 4x x ≥,其中()20e,e x ∈,从而构造函数()2ln x p x x =解答；还可数学答案（理科）试题B 第 9 页共 11 页转化为0011ln 4a x x ?,从而构造函数()11ln 4q x x x =-解答；还有其他解法均参照给分！)(22)(Ⅰ)解:曲线C 的普通方程为141222=+y x .……………………………………………………1分将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得,032=-x x .…………………………………2分解得0=x 或3=x .………………………………………………………………………………………3分所以点()2,0-A ,()1,3B ,………………………………………………………………………………4分所以()()23210322=++-=AB .………………………………………………………………5分(Ⅱ)解法1:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=.……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得,()0436422=-++b bx x . 令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=,解得4±=b .…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ,解得3±=x .易知当点P 的坐标为()1,3-时,△PAB 的面积最大.………………………………………………8分且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d .……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………………………………………10分解法2:在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大,则点P 到直线l 的距离最大.设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ,其中[)π2,0∈θ,………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ.………………………8分因为[)π2,0∈θ,则6π136π6π<+≤θ, 所以当π6π=+θ,即65π=θ时,23max =d .………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-,△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219.…………………………10分数学答案（理科）试题B 第 10 页共 11 页(23)(Ⅰ)证明1:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥,……………………………………………………3分所以()()22223c b a c b a ++≥++.……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分证明2:因为1=++c b a ,所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a .所以要证明()()()316111222≥+++++c b a , 即证明31222≥++c b a .…………………………………………………………………………………1分因为21293a a +≥,21293b b +≥,21293c c +≥,……………………………………………………3分所以()2221233a b c a b c +++≥++.…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ,所以31222≥++c b a . 所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分证明3:因为()()21681193a a ++≥+,()()21681193b b ++≥+,()()21681193c c ++≥+, ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦.……………………………4分数学答案（理科）试题B 第 11 页共 11 页因为1=++c b a ,所以()()()316111222≥+++++c b a .…………………………………………………………………5分 (Ⅱ)解:设()12-+-=x a x x f ,则“对任意实数x ,不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”.…………6分当21<a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得23-≤a .……………………………………7分当21=a 时,3221≥-x 不可能恒成立.………………………………………………………………8分当21>a 时,()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭, 要使+212x a x --≥恒成立,必须221≥-a ,解得25≥a .……………………………………9分综上可知,实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, .……………………………………………10分。

79.2017年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理数

2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（） A ．15 B ．25 C ．12 D ．355．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7．已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --= D ．240x y -+=8．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A B C ．92 D ．989．已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）A ．15B ．9C ．1D ．53- 10．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n-≥，则当1n ≤32≤时，mn的取值范围为（） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，2OP OA mAB =+u u u r u u r u u u r，若点P 在y 轴上，则实数m = ．14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个． 15．设()()5423x y x y -+9872987ax ax y axy =+++8910a xy a y ++L ，则08a a += ． 16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+L （*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，2EB FD ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数. （Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20．已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21．已知函数()ln xf x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB V 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB V 的最大面积.23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥；（Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．2314．23 15．2590- 16．27三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =. 因为()2135213n n S a a a a -=++++L ，所以213S a =，即1213a a a +=. 因为22a =，所以11a =. 因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以()111n n a q S q-==-122112nn -=--. 因为n n b nS =，所以()21nn b n =-=2nn n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++L(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-L ()123n ++++L .设23122232n P =⨯+⨯+⨯2nn ++⨯L .则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯L .所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=L ()1122n n +-+.因为123+++()12n n n ++=L ，所以()112n n T n +=-()122n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-.18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC u u u r ，DF uuu r的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得1,,02A a⎫-⎪⎪⎝⎭，1,,02B a⎫⎪⎪⎝⎭，F⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()0,,0C a，1,2E a⎫⎪⎪⎝⎭.所以()0,,0AB a=uu u r，1,2AF a⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭uu u r.设平面ABF的法向量为(),,n x y z=r，则0,0,n ABn AF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u rr uu u r即0,12ayay=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨取1x=，则平面ABF的一个法向量为()1,0,1n=r.因为1,22CE a a⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭uur，所以cos,n CEn CEn CE⋅==r uurr uurruur8.所以直线CE与平面ABF所成角的正弦值为8.19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=，()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4P ξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为()因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=.（Ⅱ）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在. 因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m -=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN ==整理得()42221839791k k m k -++=+.令211k t +=≥，则21k t =-. 所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意. 故m. 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =.所以实数b 的值为e . （Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+. 所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x =-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x-=(22ln ln 4ln x x x x +-. 令()ln p x x =-，所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1p x x '=-10x -=<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p<ln e 0=-.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e =-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB V 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±.易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB V 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==PAB V 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++.所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

2017年广州市二测答案(理科数学)

数学答案（理科）试题B 第 1 页共 11 页绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一．选择题（1）A （2）B （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）C（9）B（10）C（11）B（12）D二．填空题（13）32（14）23 （15）2590 （16）27三．解答题（17）解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =．因为1238a a a =，所以32=8a ，解得22=a ．…………………………………………………………1分因为()1253123-++++=n n a a a a S ，所以123a S =，即1213a a a =+．………………………………………………………………………2分因为22=a ，所以11=a ．………………………………………………………………………………3分因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12-=n n a ．…………………………………………………………………4分数学答案（理科）试题B 第 2 页共 11 页（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11=a ，公比2q =，所以()122121111-=--=--=n nn n q q a S ．…………………………………………………………………6分因为n n b nS =，所以()212n n n b n n n =-=⋅-．………………………………………………………7分所以n n n b b b b b T +++++=-1321 ()()231222322123n n n =⨯+⨯+⨯++⨯-++++．…………………………………8分设231222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯，则234+121222322n n P n =⨯+⨯+⨯++⨯．所以()+1234222222n n n P n =⨯-+++++()1=122n n +-+．…………………………………10分因为()11232n n n +++++=， ……………………………………………………………………11分所以()()111222n n n n T n ++=-+-．所以数列{}n b 的前n 项和()()111222n n n n T n ++=-+-．…………………………………………12分（18）（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．……………………1分因为⊥FD 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，所以FD AC ⊥．………………………………………………2分因为D FD BD = ，所以⊥AC 平面BDF ．……………3分因为⊥EB 平面ABCD ，⊥FD 平面ABCD ，所以//EB FD ．所以B ，D ，F ，E 四点共面．………………………………………………………………………4分因为⊂EF 平面BDFE ，所以AC EF ⊥．……………………………………………………………5分FEDCB数学答案（理科）试题B 第 3 页共 11 页（Ⅱ）解法1：如图，以D 为坐标原点，分别以，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系xyz D -．……6分可以求得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,21,23a a A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,23a a B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a F 23,0,0， ()0,,0a C ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a E 3,21,23．………………………………7分所以()0,,0a AB =，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a AF 23,21,23．……………………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0n n即0,10,222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1=n ．……………………………………………10分因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a a 3,21,23，所以36cos ,CE CE CE∙==nn n 所以直线CE 与平面ABF ．…………………………………………………12分解法2：如图，设ACBD O =，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB 的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．…………………………………………6分可以求得,0,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 10,2E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2F a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………7分数学答案（理科）试题B 第 4 页共 11 页所以1,,022AB a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,222AF a a a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．………………………………………8分设平面ABF 的法向量为()z y x ,,=n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙,0,0AF AB n n即10,210,2ay ay ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()=n ．………………………………………10分因为31,2CE a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以36cos ,8CE CE CE∙==n n n ．所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为8．…………………………………………………12分（说明：若本题第（Ⅰ）问采用向量法证明正确，第（Ⅰ）问给6分，仍将建系、写点的坐标与向量的坐标等分值给到第（Ⅱ）问）（19）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为68.1，92.1，1.2，4.2，…………………………………1分因为()30.05.06.068.11=⨯==ξP ，()30.05.06.092.11=⨯==ξP ，()20.05.04.01.21=⨯==ξP ，()20.05.04.04.21=⨯==ξP ．………………………………3分所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为68.1，8.1，24.2，4.2，…………………………………………………5分因为()42.06.07.068.12=⨯==ξP ，()18.06.03.08.12=⨯==ξP ，()28.04.07.024.22=⨯==ξP ，()12.04.03.04.22=⨯==ξP ，……………………………7分……………4分数学答案（理科）试题B 第 5 页共 11 页所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30+200.50+250.20=19.5EQ =⨯⨯⨯， 2150.42+200.46+250.12=18.5EQ =⨯⨯⨯．因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大．………………………………………………………………12分（20）解：（Ⅰ）双曲线2215xy -=的焦点坐标为()，离心率为5．………………………1分因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a ==1b =．故椭圆C 的方程为1622=+y x ．…………………………………………………………………………3分（Ⅱ）因为2334>=MN ，所以直线MN 的斜率存在．………………………………………………4分因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为m kx y +=．……………8分…………………………10分……………………………9分数学答案（理科）试题B 第 6 页共 11 页代入椭圆方程1622=+y x 得0)1(612)61(222=-+++m kmx x k ．…………………………………5分因为()0)61(24)1)(61(241222222>-+=-+-=∆m k m k km ，所以2261k m +<．………………………………………………………………………………………6分设),(11y x M ，),(22y x N ，根据根与系数的关系得1221216kmx x k-+=+，()21226116m x x k -=+．……………………………………7分则()212212212411x x x x kx x k MN -++=-+== 因为334=MN8分整理得()22421973918kk k m +++-=．………………………………………………………………………9分令112≥=+t k ，则12-=t k ．所以2218755015075230575189993t t m t t t -+-⎡⎤-⨯⎛⎫==-+≤= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．…………………………10分等号成立的条件是35=t ，此时322=k ，253m =满足2261k m +<，符合题意．………………11分故m 的最大值为315．…………………………………………………………………………………12分（21）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞．因为()f x ln x axb x，所以()f x '2ln 1ln x a x．…………………………………………1分所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e e ya b a x ，即e y ax b ．………………………………………………2分已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e yax ，比较求得e b ．所以实数b 的值为e ．……………………………………………………………………………………3分数学答案（理科）试题B 第 7 页共 11 页（Ⅱ）解法1：由()f x 1e 4，即1e e ln 4x ax x ．……………………………………………4分所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2e,e 上有解．………………………………………………………5分令()11ln 4h x x x =-2e,e x ，则()h x '22114ln x x x =-222ln 44ln x xx x -=(22ln ln 4ln x x x x+-=． (7)分令()ln p x x =-，所以当2e,e x时，有()110p x x x '=-=<．……………………………………………8分所以函数()p x 在区间2e,e 上单调递减．……………………………………………………………9分所以()()e ln e 0p x p <=-． ………………………………………………………………10分所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e 上单调递减． ………………………………………………11分所以()()22221111eln e4e 24e h x h ≥=-=-．所以实数a 的取值范围为211,24e．…………………………………………………………12分解法2：命题“存在x2e,e ，满足()f x 1e 4”等价于“当x 2e,e 时，有()minf x ⎡⎤⎣⎦1e 4”． ………………………………………4分由（Ⅰ）知，()f x '2ln 1ln x a x 2111ln 24a x．（1）当14a时，()0f x '≤，即函数()f x 在区间2e,e 上为减函数，…………………………5分所以()min f x =⎡⎤⎣⎦()2ef 22e e e 2a ．由()min f x ⎡⎤⎣⎦1e 4，得22e 1e e e 24a ，解得21124e a．所以21124ea ．………………………………………………………………………………………6分数学答案（理科）试题B 第 8 页共 11 页（2）当14a时，注意到函数()f x '=2111ln 24a x 在区间2e,e 上的值域为1,4a a ．……………………………………7分 ①0a，()0f x '≥在区间2e,e 上恒成立，即函数()f x 在区间2e,e 上为增函数．所以()()min e f x f =⎡⎤⎣⎦e ee =2e e a a ．由于()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4，所以2e ea 1e 4，解得1104ea ≥->，这与0a ≤矛盾．………8分 ②若104a，由函数()f x '的单调性（单调递增）和值域知，存在唯一的()20e,e x ∈，使()00f x '=，且满足当x()0e,x 时，()00f x '<，即()f x 为减函数；当x ()0,e x 时，()00f x '>，即()f x 为增函数．所以()()0min f x f x =⎡⎤⎣⎦0e ln x ax x ．…………………………………………………………9分由()min f x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4，得eln x ax x 1e 4，即001ln 4x ax x ．因为()00f x '=，即020ln 10ln x ax ，所以020ln 1ln x ax ．将020ln 1ln x ax 代入0001ln 4x ax x ，得0201ln 4x x ，其中()20e,e x ∈．………………………10分令()h x 2ln xx，则()h x '3ln 2ln x x，当x2e,e 时，()0h x '≤，即()h x 在区间2e,e 上为减函数．所以()()2eh x h ≥2222e e 1>44ln e ，与0201ln 4x x 矛盾，所以不存在10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()minf x ≤⎡⎤⎣⎦1e 4成立．………………………………………………11分综上可知，实数a 的取值范围为211,24e ．…………………………………………………12分（说明：当104a时，也可转化为200ln 4x x ≥，其中()20e,e x ∈，从而构造函数()2ln x p x x =解数学答案（理科）试题B 第 9 页共 11 页答；还可转化为0011ln 4a x x ，从而构造函数11ln 4q x x x解答；还有其他解法均参照给分！）（22）（Ⅰ）解：曲线C 的普通方程为141222=+y x ．……………………………………………………1分将直线02=--y x 代入141222=+y x 中消去y 得，032=-x x ．…………………………………2分解得0=x 或3=x ．………………………………………………………………………………………3分所以点()2,0-A ，()1,3B ，………………………………………………………………………………4分所以()()23210322=++-=AB ．………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法1：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设过点P 且与直线l 平行的直线方程为b x y +=．……………………………………………………6分将b x y +=代入141222=+y x 整理得，()0436422=-++b bx x ．令()()22644340b b ∆=-⨯⨯-=，解得4±=b ．…………………………………………………7分将4±=b 代入方程()0436422=-++b bx x ，解得3±=x ．易知当点P 的坐标为()1,3-时，△PAB 的面积最大．………………………………………………8分且点P ()1,3-到直线l 的距离为231121322=+---=d ．……………………………………………9分△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………………………………………10分解法2：在曲线C 上求一点P , 使△PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大．设曲线C 上点()θθsin 2,cos 32P ，其中[)π2,0∈θ，………………………………………………6分则点P 到直线l 的距离为22112sin 2cos 32+--=θθd 226πcos 4-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θ．………………………8分因为[)π2,0∈θ，则6π136π6π<+≤θ，所以当π6π=+θ，即65π=θ时，23max =d ．………………………………………………………9分此时点P 的坐标为()1,3-，△PAB 的最大面积为=⨯⨯=d AB S 219．…………………………10分数学答案（理科）试题B 第 10 页共 11 页（23）（Ⅰ）证明1：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ，即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分因为()()ca bc ab c b a c b a ++-++=++22222 ……………………………………………………2分 ()()22222c b a c b a ++-++≥，……………………………………………………3分所以()()22223c b a cb a ++≥++．……………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ．所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分证明2：因为1=++c b a ，所以()()()222111+++++c b a ()32222++++++=c b a c b a 5222+++=c b a ．所以要证明()()()316111222≥+++++c b a ，即证明31222≥++c b a ．…………………………………………………………………………………1分因为21293a a +≥，21293b b +≥，21293c c +≥，……………………………………………………3分所以()2221233a b c a b c +++≥++．…………………………………………………………………4分因为1=++c b a ，所以31222≥++c b a ．所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分证明3：因为()()21681193a a ++≥+，()()21681193b b ++≥+，()()21681193c c ++≥+， ……………………………3分所以()()()()()()22216811111133a b c a b c ++++++≥+++++⎡⎤⎣⎦．……………………………4分因为1=++c b a ，数学答案（理科）试题B 第 11 页共 11 页所以()()()316111222≥+++++c b a ．…………………………………………………………………5分（Ⅱ）解：设()12-+-=x a x x f ，则“对任意实数x ，不等式+212x a x --≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”．…………6分当21<a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+-<++-=.21,13,21,1,,13x a x x a a x a x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得23-≤a ．……………………………………7分当21=a 时，3221≥-x 不可能恒成立．………………………………………………………………8分当21>a 时，()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤≤-+<++-=.,13,21,1,21,13a x a x a x a x x a x x f 此时()min 11=22f x f a ⎛⎫=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，要使+212x a x --≥恒成立，必须221≥-a ，解得25≥a ．……………………………………9分综上可知，实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞-,2523, ．……………………………………………10分。

【广东省东莞】2017届高三第二次模拟测试理科数学年试题

广东省广州市高三数学下学期第二次模拟考试试题文

广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1,2,3,4,5A =-，{}21,Z B b b n n ==-∈，则A B =∩（） A ．{}1,3- B ．{}0,3 C ．{}1,0,3- D ．{}1,0,3,5-2．若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则z =（）A ．46i +B ．42i +C ．42i --D ．26i +3．已知命题p ：R x ∀∈，220x ax a ++≥（R a ∈），命题q ：*0N x ∃∈，20210x -≤，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ∨ C ．()p q ⌝∨ D ．()()p q ⌝⌝∧4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（） A ．4 B ．3 C ．2- D ．3-5．函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6．在区间[]1,5-上随机地取一个实数a ，则方程22430x ax a -+-=有两个正根的概率为（） A ．23 B ．12 C ．38 D ．137．已知三条直线2310x y -+=，4350x y ++=，10mx y --=不能构成三角形，则实数m 的取值集合为（） A ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．42,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C ．424,,333⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ D ．422,,333⎧⎫--⎨⎬⎩⎭8．已知两点()1,1A -，()3,5B ，点C 在曲线22y x =上运动，则AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值为（）A ．2B ．12 C ．2- D ．12- 9．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A B C ．92 D ．9810．数列{}n a 满足22a =，()121n n n a a +++-()11n=+-（*N n ∈），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则100S （）A ．5100B ．2550C ．2500D ．2450 11．已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（） A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．83 B ．163 C ．323D ．16 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知双曲线22212x y a -=（0a >）的离心率为2，则a 的值为． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，已知12a =，2222144n n n a a a +++=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．15．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．16．已知函数()33,,x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩0,0,x x ≥<，若()()318f a f a -≥，则实数a 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b C b C a +=. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值. 18．某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（Ⅰ）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）现从身高在[]175,185这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率. 19．如图，ABCD 是边长为a 的正方形，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，2EB FD ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求三棱锥E FAC -的体积.20．已知定点()0,1F ，定直线l ：1y =-，动圆M 过点F ，且与直线l 相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，分别过点A ，B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB V 外接圆面积的最小值. 21．已知函数()21ln 2f x a x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()4g x f x x =+存在极小值点0x ，且()2001202g x x a -+>，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB V 的面积最大时，求点P 的坐标及PAB V 的最大面积. 23．选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥；（Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.文科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5: CDBAA 6-10:CDDCB 11、12：CB 二、填空题13．122n + 15．23 16．[)1,1,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U三、解答题17．解：（Ⅰ）因为cos sin b C b C a +=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得， sin cos sin sin B C B C +sin A =.因为A B C π++=，所以sin cos sin sin B C B C +()sin B C =+.即sin cos sin sin B C B C +sin cos cos sin B C B C =+. 因为sin 0C ≠，所以sin cos B B =.因为cos 0B ≠，所以tan 1B =. 因为()0,B π∈，所以4B π=.（Ⅱ）设BC 边上的高线为AD ，则14AD a =. 因为4B π=，则14BD AD a ==，34CD a =.所以AC =4a =，4AB a =.由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC+-=⋅5=-.所以cos A 的值为-18．解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为15081602017016180650x ⨯+⨯+⨯+⨯=164=.所以估计这50名学生身高的方差为2s =()()()()222281501642016016416170164618016450-+-+-+-80=.所以估计这50名学生身高的方差为80.（Ⅲ）记身高在[]175,185的4名男生为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B ,{},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有：{},,a b A ,{},,a b B ,{},,a c A ,{},,a c B ,{},,a d A ,{},,a d B ,{},,b c A ,{},,b c B ,{},,b d A ,{},,b d B ,{},,c d A ,{},,c d B ,{},,a A B , {},,b A B ,{},,c A B ,{},,d A B 共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为164205=. 19．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥. 所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥. （Ⅱ）设AC BD O =I ，连接EO ，FO . 由（Ⅰ）知，AC ⊥平面BDFE ，所以AC ⊥平面FEO .因为平面FEO 将三棱锥E FAC -分为两个三棱锥A FEO -和C FEO -，所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+.因为正方形ABCD 的边长为a ，2EB FD ==，所以FO a ==，EO ==.取BE 的中点G ，连接DG ，则FE DG ===.所以等腰三角形FEO 的面积为12FEO S =V 234a =. 所以E FAC A FEO C FEO V V V ---=+1133FEO FEO S AO S CO =⨯+⨯V V13FEO S AC =⨯V 21334a =⨯=3.所以三棱锥E FAC -的体积为34a .20．解：（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意MF d =.设(),M x y =1y +.化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =. （Ⅱ）设AB l ：1y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-.所以AB =()21241x x k ⋅-=+.因为C ：24x y =，即24x y =，所以2xy '=.所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =. 因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB V 为直角三角形.所以PAB V 的外接圆的圆心为线段AB 的中点，线段AB 是直径. 因为()241AB k =+，所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 21．解：（Ⅰ）因为函数()21ln 2f x a x x =-，所以其定义域为()0,+∞. 所以()af x x x'=-2x a x -=-.当0a ≤时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递减.当0a >时，()f x '=(x x x+-.当x >()0f x '<，函数()f x在区间)+∞上单调递减.当0x <<()0f x '>，函数()f x在区间(上单调递增.综上可知，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(，单调递减区间为)+∞.（Ⅱ）因为()()4g x f x x =+21ln 42a x x x =-+，所以()4ag x x x'=-+=24x x a x ---（0x >）.因为函数()g x 存在极小值点，所以()g x '在()0,+∞上存在两个零点1x ，2x ，且120x x <<.即方程240x x a --=的两个根为1x ，2x ，且120x x <<，所以12121640,40,0.a x x x x a ∆=+>⎧⎪+=>⎨⎪=->⎩，解得40a -<<.则()24x x ag x x --'=-=()()12x x x x x---.当10x x <<或2x x >时，()0g x '<，当12x x x <<时，()0g x '>，所以函数()g x 的单调递减区间为()10,x 与()2,x +∞，单调递增区间为()12,x x . 所以1x x =为函数()g x 的极小值点0x .由20040x x a --=，得02x =由于()2001202g x x a -+>等价于2000ln 420a x x x a -++>. 由20040x x a --=，得2004x x a -=，所以0ln 0a x a +>.因为40a -<<，所以有0ln 10x +<，即01ex <.因为02x =12e. 解得241e e a >-+. 所以实数a 的取值范围为241,0e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB V 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+.将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±.将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±. 易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB V 的面积最大.且点()3,1P -到直线l 的距离为d ==.PAB V 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=.23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++.所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥.因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++ ()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++.因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立. 当12a >时，()f x =131,,211,,231,.x a x x a x a x a x a ⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得52a ≥. 综上可知，实数a 的取范为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。

广东省广州市高三数学下学期第二次模拟考试试题文(扫描版)

广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文（扫描版)
2017届广州市普通高中毕业班综合测试（二）文数参考答案
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。

广东省广州市高三数学下学期第二次模拟考试试题文(扫描版)(2021年整理)

广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文（扫描版）编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文（扫描版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文（扫描版）的全部内容。

广东省广州市2017届高三数学下学期第二次模拟考试试题文（扫描版)
2017届广州市普通高中毕业班综合测试（二）文数参考答案。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

广东省广州市2017届高三下学期第二次模拟考试理科数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{||1|1}A x x =-＜，1
{10}B x x
=-≥，则A B =（）
A ．{|12}x x ≤＜
B ．{|02}x x ＜＜
C ．{|01}x x ＜≤
D ．{|01}x x ＜＜
2．若复数z 满足(34i )i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）
A ．4
B ．3
C ．2-
D ．3-
4．从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）
A ．
15 B ．2
5 C ．12 D ．
35
5．函数()ln(||1)f x x x =-+的大致图像是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知π2
cos()423
θ-=
，则sin θ=（）
A ．
79
B ．
19
C ．19
-
D ．79
-
7．已知点(4,4)A 在抛物线22(0)y px p =＞上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-= C ．240x y --=
D ．240x y -+=
8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）
A B C ．
92
D ．
98
9．已知k ∈R ，点(,)P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（） A ．15
B ．9
C ．1
D ．5
3
-
10．已知函数π()2sin()(0)4
f x x ωω=+＞的图像在区间[0,1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）
A ．19π27π[,)44
B ．9π13π
[,)22
C ．17π25π[,)44
D ．[4π,6π) 11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）
A ．8
3
B ．
163
C ．
323
D ．16
12．定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足22(2)(2)0f m m f n n -+-≥，则当3
12
n ≤≤时，
m
n
的取值范围为（） A ．2[,1]3- B ．3[1,]2
C ．13
[,]32
D ．1[,1]3
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知点(0,0)O ，(1,3)A -，(2,4)B -，2OP OA mAB =+，若点P 在y 轴上，则实数m =________． 14．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：
物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目．3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个．问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有________个． 15．设5498728998710(2)(3)x y x y a x a x y a x y a xy a y -+=+++
++，则08a a +=________．
16．在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4
sin 5
A =，则对角线AC 的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，*2135213()()n n S a a a a n -=+++∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面A B C D ，FD ⊥平面A B C D ，
2EB FD =．
（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；
（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值．
19．某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立．根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4．令(1,2)i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数．（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；
（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，
试比较哪种方案第二个月的利润更大．
20．已知双曲线2
15x y -=的焦点是椭圆C ：221(0)x y a b a b
+=＞＞的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为
倒数．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且MN =，记直线MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值． 21．已知函数()ln x
f x ax b x
=
-+在点(e,(e))f 处的切线方程为2e y ax =-+．（Ⅰ）求实数b 的值；
（Ⅱ）若存在2[e,e ]x ∈，满足1()e 4
f x +≤，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,
2sin x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ
为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．（Ⅰ）求线段AB 的长；
（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标及PAB △的最大面积． 23．选修4-5：不等式选讲
（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：22216
(1)(1)(1)3
a b c +++++≥
；（Ⅱ）若对任意实数x ，不等式|||21|2x a x -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．。