苏科版八年级下册数学9.5 三角形的中位线能力训练
八年级数学下册9、5三角形的中位线习题新版苏科版
6 【2021·十堰】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中 点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM的周长为____2_0___．
7 如图，在△ABC(纸片)中，AB＝BC>AC，点D是AB边 的中点，点E在AC边上，将纸片沿DE折叠，使点A落 在BC边上的点F处，则下列结论成立的个数有( B ) ①△BDF是等腰直角三角形； ②∠DFE＝∠CFE； ③DE是△ABC的中位线； ④BF＋CE＝DF＋DE. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
苏科版 八年级下
第9章 中心对称图形——平行四边形
9.5 三角形的中位线
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1B 2D 3A 4B
58 6 20 7B 8答来自呈现9 10 111 【中考·广州】在△ABC中，点D，E分别是△ABC的边
AB，AC的中点，连接DE.若∠C＝68°，则∠AED＝
(B) A．22°
8 如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC， BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D.已知AB＝10， AC＝16. (1)求证：BN＝DN；
证明：∵AN 平分∠BAC，∴∠BAN＝∠DAN， ∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.
∠BAN＝∠DAN， 在△ABN 和△ADN 中，AN＝AN，
【点拨】 本题容易因得不出中位线而给解题造成困难， 由折叠可得AD＝FD，∠ADE＝∠FDE， ∴∠ADF＝2∠FDE. ∵AD＝BD，∴BD＝FD.∴∠DBF＝∠DFB. ∴∠ADF＝∠DBF＋∠DFB＝2∠DFB， ∴∠FDE＝∠DFB.∴DE∥BC. 不难得出DE是△ABC的中位线，进而判断出②③正确．
【点拨】 (1)中欲证相等的两个角所在三角形不全等，考虑到E，
2020-2021学年苏科版八年级下册数学 9.5三角形的中位线 同步练习 (含答案)
9.5三角形的中位线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若△DBE的周长是7，则△ABC的周长是（）A．8B．10C．12D．142．如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EP于D，BE＝3，DF＝1，则BC的长为（）A．2B．4C．6D．83．如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，DE∥BC，交AB于点E，BC＝7cm，AC ＝6cm，则△AED的周长等于（）A．12cm B．10cm C．7cm D．9cm4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，点D，E分别是AB，AC的中点，CF 平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（）A．5B．8.5C．9D．125．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，若BC＝4，则△DEF的周长等于（）A．3B．6C．9D．126．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF ∥DC交BC的延长线于F．若四边形CDEF的周长是10cm，AC的长为4cm，则△ABC的周长是（）A．28B．24C．14D．187．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：78．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，则下列结论错误的是（）A．GF＝AD B．EF＝AC C．GE＝BC D．GE＝GF9．如图，△ABC周长20，D，E在边BC上，BN和CM分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BN ⊥AE，CM⊥AD，若BC＝8，则MN的长为（）A．1B．2C．3D．310．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC边上，且AE＝4，BD＝6，分别连接AD，BE，点M，N分别是AD，BE的中点，连接MN，则线段MN的长（）A．B．3C．3D．二．填空题11．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为．12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，且AB＝10cm，AC＝16cm，则四边形ADEF的周长等于cm．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别为AB、AC、AD的中点．若AB＝6，则EF的长度为．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别为AC、BC边上的中点，CE是斜边上的中线，若DF＝3，则CE＝．15．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点．若AD＝5，BD＝4，CD＝3，则四边形EFGH的周长是．三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、BC的中点，EF⊥AC，垂足F；（1）求证：AD＝DE；（2）求证：DE⊥EF．17．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E、F分别为DB、BC的中点，连接AE、EF、AF．（1）求证：AE＝EF；（2）当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．参考答案一．选择题1．解：∵点D、E分别是边AB、BC的中点，∴BD＝AB，BE＝BC，DE＝AC，∴AB＝2BD，BC＝2BE，AC＝2DE，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2BD+2BE+2DE＝2（BD+BE+DE）＝2×△DBE的周长＝2×7＝14，故选：D．2．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，BC＝2EF，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠EDB，∴ED＝EB＝3，∴EF＝ED+DF＝4，∴BC＝2EF＝8，故选：D．3．解：∵D是AC的中点，且BD⊥AC，∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，∵ED∥BC，∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10（cm）．故选：B．4．解：∵∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，∴AC＝＝13，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE＝BC＝2.5，EC＝AC＝6.5，DE∥BC，∴∠FCM＝∠EFC，∵CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，∴∠FCM＝∠FCE，∴∠EFC＝∠FCE，∴EF＝EC＝6.5，∴DF＝DE+EF＝9，故选：C．5．解：∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，AB＝BC＝AC＝4，∴DE＝2，EF＝2，DF＝2，∴△DEF的周长＝2+2+2＝6，故选：B．6．解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE，DE∥BC，∵DE∥BC，EF∥DC，∴四边形CDEF为平行四边形，∴CD+DE＝×10＝5，在Rt△ACB中，D是AB的中点，∴AB＝2CD，∴AB+BC＝2CD+2DE＝2（CD+DE）＝10，∵AC＝4，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝14（cm），故选：C．7．解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．8．解：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴，，，故选项A，C正确，∵AD＝BC，∴GE＝GF，故选项D正确，∵EF不一定等于AG，故选项B不正确；故选：B．9．解：∵BN是∠ABC的平分线，∴∠ABN＝∠EBN，在△ABN和△EBN中，，∴△ABN≌△EBN（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理可得，CD＝CA，AM＝MD，∵△ABC周长20，∴AB+AC+BC＝20，∴AB+AC＝20﹣BC＝12，∴DE＝AB+AC﹣BC＝4，∵AN＝NE，AM＝MD，∴MN是△ADE的中位线，∴MN＝DE＝2，故选：B．10．解：取AB的中点F，连接NF、MF，△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°，∵AM＝MD，AF＝FB，∴MF是△ABD的中位线，∴MF＝BD＝3，MF∥BC，∴∠AFM＝∠CBA，同理，NF＝AE＝2，NF∥CC，∴∠BFN＝∠CAB，∴∠AFM+∠BFN＝∠CAB+∠CBA＝90°，∴∠MFN＝90°，∴MN＝＝，故选：D．二．填空题11．解：连接AF并延长交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝3，AF＝FH，在△BF A和△BFH中，，∴△BF A≌△BFH（AAS），∴BH＝AB＝4，∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝2，∴EF＝DE﹣DF＝1，故答案为：1．12．解：∵点D，E，F分别是边AB，BC，CA上的中点，∴DE，EF都是△ABC的中位线，∴DE＝AC＝8cm，DE∥AC，EF＝AB＝5cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长＝2（DE+EF）＝2×13＝26（cm）．故答案为：26．13．解：在Rt△ABC中，D为AB的中点，∴CD＝AB＝3，∵E、F分别为AC、AD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF＝CD＝，故答案为：．14．解：∵D，F分别为AC，BC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴AB＝2DF＝6，在Rt△ABC中，E为AB的中点，∴EC＝AB＝3，故答案为：3．15．解：在Rt△BDC中，BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝5，∵F，G分别是BD，CD的中点，∴FG是△DBC的中位线，∴FG＝BC＝2.5，同理，EF＝AD＝2.5，EH＝BC＝2.5，HG＝AD＝2.5，∴四边形EFGH的周长＝FG+EF+EH+HG＝10，故答案为：10．三．解答题16．解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵D、E分别是AB、BC的中点，∴AD＝AB，DE＝AC，∴AD＝DE；（2）∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC，∵EF⊥AC，∴DE⊥EF．17．（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．18．（1）证明：∵点E、F分别为DB、BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF＝CD，在Rt△ABD中，点E为斜边DB的中点，∴AE＝DB，∵DB＝DC，∴AE＝EF；（2）如图，由（1）知AE＝EF，∵AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°，∵EF是△BCD的中位线，∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠BDC＝β，∴β+∠AEB＝60°，又∵∠AEB＝α+∠DAE，∴β+α+∠DAE＝60°，∵∠DAB＝90°，∴AE是斜边BD上的中线，∴AE＝DE，∴∠DAE＝α，∴β+α+α＝60°，即2α+β＝60°．。
苏科版数学八年级下册《9.5三角形的中位线》说课稿
苏科版数学八年级下册《9.5 三角形的中位线》说课稿一. 教材分析苏科版数学八年级下册《9.5 三角形的中位线》这一节的内容，是在学生学习了三角形的性质、角的计算、线的性质等基础知识后，进一步引导学生探索三角形的中位线性质。
教材通过生动的实例和丰富的练习，让学生在探索中掌握三角形中位线的性质，培养学生的动手操作能力和推理能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了三角形的基本性质，角的计算，线的性质等知识。
但学生对于三角形的中位线可能还比较陌生，因此，在教学过程中，我将会引导学生通过观察、操作、推理等方法，探索三角形中位线的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握三角形的中位线定理，能够运用中位线性质解决一些几何问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等方法，培养学生的动手操作能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理的证明和应用。
2.教学难点：三角形的中位线性质的推导和理解。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用启发式教学法、小组合作学习法和多媒体辅助教学法。
通过引导学生观察、操作、推理，激发学生的思维，培养学生的动手操作能力和推理能力。
同时，利用多媒体课件，让学生更直观地理解三角形的中位线性质。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个简单的几何问题，引导学生思考三角形的中位线性质。
2.探索中位线性质：让学生分组进行观察、操作，引导学生发现三角形中位线的性质。
3.证明中位线性质：引导学生通过推理、证明，得出三角形中位线的定理。
4.应用中位线性质：通过一些练习题，让学生运用中位线性质解决实际问题。
5.总结与拓展：让学生总结本节课所学的知识，并进行适当的拓展。
七. 说板书设计板书设计主要包括三角形的中位线定理和一些相关的性质。
通过板书，让学生清晰地了解三角形的中位线性质。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和练习题的正确率来进行。
苏科版数学八年级下册《9.5 三角形的中位线》教学设计
苏科版数学八年级下册《9.5 三角形的中位线》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级下册《9.5 三角形的中位线》是初中的重要内容，主要介绍了三角形的中位线定理及其应用。
本节内容是在学生学习了三角形的基本概念、性质和三角形的五种特殊类型的基础上进行学习的，为后续学习三角形相似和全等奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形的五种特殊类型，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但部分学生对几何图形的直观感知能力较弱，对三角形的中位线定理的理解和应用有一定的难度。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解三角形的中位线定理，能够运用中位线定理解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 教学重难点1.教学重点：三角形的中位线定理及其应用。
2.教学难点：对三角形的中位线定理的理解和运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提问、引导，让学生发现三角形的中位线定理。
2.讨论交流法：学生分组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.实践操作法：学生动手操作，验证中位线定理。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示三角形的中位线定理及相关例题。
2.学习素材：准备一些关于三角形中位线的图片、题目等，用于引导学生发现定理。
3.学具：为学生准备一些三角形模型，方便学生动手操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念、性质和特殊类型，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示一些三角形中位线的图片，引导学生观察、分析，让学生发现三角形的中位线定理。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
教师巡回指导，帮助学生巩固知识点。
4.巩固（10分钟）教师出示一些有关三角形中位线的题目，让学生独立解答，检验学生对中位线定理的掌握情况。
八年级数学下册同步训练：必刷基础题9.5 三角形的中位线(含答案及解析)(苏科版)
2019-2020学年八年级数学下册同步闯关练（苏科版）第九章《中心对称图形——平行四边形》9.5 三角形的中位线知识点1：三角形中位线定理【例1】（2019秋•苏州期末）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，若2DE =，则BC 的长度是( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 边的中点，DE ∴是ABC ∆的中位线，2DE =，BC ∴的长度是：4．故选：C ．【变式1-1】（2019春•西湖区校级月考）如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，F ，G 为BC 上的点，连接DG 、EF ，若5AB cm =，8BC cm =，4FG cm =，则HFG ∆的面积为( )A ．21cmB ．21.5cmC ．22cmD ．23cm【解析】连接，作AK BC ⊥于K ．AB AC =，118422BK CK BC ∴===⨯=， 在Rt ABK ∆中，2222543AK AB BK =-=-=， D 、E 分别是AB ，AC 的中点，DE ∴是中位线，即平分三角形的高且824DE =÷=，12DE BC FG ∴==， DEH GFH ∴∆≅∆，H 也是DG ，EF 的中点，HFG ∴∆的高是12 1.520.752AK ÷=÷=， 40.752 1.5HFG S ∆∴=⨯÷=．故选：B ．【变式1-2】（2019•铜仁市）如图，D 是ABC ∆内一点，BD CD ⊥，7AD =，4BD =，3CD =，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，则四边形EFGH 的周长为( )A ．12B ．14C ．24D ．21【解析】BD CD ⊥，4BD =，3CD =， 2222435BC BD CD ∴=+=+=， E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，12EH FG BC ∴==，12EF GH AD ==， ∴四边形EFGH 的周长EH GH FG EF AD BC =+++=+，又7AD =，∴四边形EFGH 的周长7512=+=．故选：A ．【变式1-3】（2020春•丽水期中）如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，M ，N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使13CD BD =，连结DM 、DN 、MN ，若5AB =，则DN = ．【解析】连接CM ，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，M 是AB 的中点，1522CM AB ∴==， M ，N 分别是AB 、AC 的中点，MN ∴是ABC ∆的中位线，12MN BC ∴=，//MN BC ， 13CD BD =， MN CD ∴=，又//MN BC ， ∴四边形NDCM 为平行四边形，52DN CM ∴==， 故答案为：52．【变式1-4】（2019秋•五华区期末）如图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图（2），图（2）中共有5个三角形：再分别连接图（2）的中间小三角形三边的中点，得到图（3）．按上面的方法继续下去，第20个图形中共有 个三角形．【解析】第1个图形中共有1个三角形，第2个图形中共有5个三角形，第3个图形中共有9个三角形，则第n 个图形中共有(43)n -个三角形，∴第20个图形中共有77个三角形，故答案为：77．【变式1-5】（2019•西宁）如图，ABC ∆中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，连接DE 并延长交ABC ∆的外角ACM ∠的角平分线于点F ，若6BC =，10AC =，则线段DF 的长为 ．【解析】点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，132DE BC ∴==，152EC AC ==，//DE BC ， F FCM ∴∠=∠， CF 是ACM ∠的角平分线，FCE FCM ∴∠=∠，F FCE ∴∠=∠，5EF EC ∴==，8DF DE EF ∴=+=，故答案为：8．【变式1-6】（2019秋•安丘市期末）如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连结CD 和EF ． （1）求证：CD EF =；（2）猜想：ABC ∆的面积与四边形BDEF 的面积的关系，并说明理由．【解析】（1）D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， 12CF BC =， DE FC ∴=，//DE FC ，∴四边形DCFE 是平行四边形，CD EF ∴=；（2）猜想：ABC ∆的面积=四边形BDEF 的面积，理由如下：DE 为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC = ADE ∴∆的面积DEC =∆的面积，∴四边形DCFE 是平行四边形，DEC ∴∆的面积ECF =∆的面积，ADE ∴∆的面积ECF =∆的面积，ABC ∴∆的面积=四边形BDEF 的面积．【变式1-7】（2019春•新乐市期末）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，P 为对角线BD 的中点，M 为AB 的中点，N 为DC 的中点．求证：PMN PNM ∠=∠．【解析】在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，M ，N 分别是AB ，CD 的中点， NP ∴，PM 分别是CDB ∆与DAB ∆的中位线，12PN BC ∴=，12PM AD =，//PN BC ，//PM AD ， NPD DBC ∴∠=∠，MPB ADB ∠=∠，AD BC =，PN PM ∴=，故NMP ∆是等腰三角形．PMN PNM ∴∠=∠．【变式1-8】（2019•丰南区一模）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，90ABC ∠=︒，2AC AD ==，M 、N 分别为AC 、CD 的中点，连接BM 、MN 、BN ．（1）求证：BM MA =；（2）若60BAD ∠=︒，求BN 的长；（3）当BAD ∠= ︒时，1BN =．（直接填空）【解析】（1）证明：在CAD ∆中，90ABC ∠=︒，M 是AC 的中点，12BM MA AC ∴==； （2）60BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，30BAC DAC ∴∠=∠=︒，由（1）可知，12BM AC AM MC ===， 260BMC BAM ABM BAM ∴∠=∠+∠=∠=︒，//MN AD ，30NMC DAC ∴∠=∠=︒，90BMN BMC NMC ∴∠=∠+∠=︒222BN BM MN ∴=+，由（1）可知1MN BM ==，2BN ∴=；（3）40BAD ∠=︒，AC 平分BAD ∠，20BAC DAC ∴∠=∠=︒，由（1）可知，12BM AC AM MC ===， 240BMC BAM ABM BAM ∴∠=∠+∠=∠=︒，//MN AD ，20NMC DAC ∴∠=∠=︒，60BMN BMC NMC ∴∠=∠+∠=︒由（1）可知1MN BM ==，1BN ∴=．故答案为：40︒．【变式1-9】（2019春•天心区校级期中）如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE 的延长线与AC 边相交于点D ，求证：1()2EF AC AB =-；（2）如图2，写出线段AB 、AC 、EF 的数量关系，并证明你的结论．【解析】（1）证明：如图1中，AE BD ⊥，90AED AEB ∴∠=∠=︒，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90DAE ADE ∠+∠=︒，BAE DAE ∠=∠，ABE ADE ∴∠=∠，AB AD ∴=，AE BD ⊥，BE DE ∴=，BF FC =，111()()222EF DC AC AD AC AB ∴==-=-．（2）结论：1()2EF AB AC =-， 理由：如图2中，延长AC 交BE 的延长线于P ．AE BP ⊥，90AEP AEB ∴∠=∠=︒，90BAE ABE ∴∠+∠=︒，90PAE APE ∠+∠=︒，BAE PAE ∠=∠，ABE APE ∴∠=∠，AB AP ∴=，AE BD ⊥，BE PE ∴=，BF FC =，111()()222EF PC AP AC AB AC ∴==-=-． 知识点2：梯形中位线定理【例2】（2017秋•利川市校级期中）如图，已知//AD BC ，AP 平分DAB ∠，BP 平分ABC ∠，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是( )A ．PD PC >B ．PD PC = C ．PD PC < D ．无法判断【解析】作//PE AD ，交AB 于点E ．//AD BC ，//PE BC ∴DAP EPA ∴∠=∠ AP 平分DAB ∠，DAP BAP ∴∠=∠，EAP EPA ∴∠=∠，AE EP ∴=，同理可证EP EB =，E ∴为BA 的中点，P ∴为DC 的中点，PD PC ∴=，故选：B ．【变式2-1】（2015•召陵区一模）如图，2AB a =，点C 是线段AB 上的一个动点，ACD ∆和BCE ∆是在AB 同侧的两个等边三角形，DM ，EN 分别是ACD ∆和BCE ∆的高，点C 在线段AB 上沿着点A 向点B 的方向移动（不与点A 、B 重合），连接DE ，得到四边形DMNE ．这个四边形的面积为( )A ．2aB ．232aC ．234aD ．不能确定【解析】ADC ∆是等边三角形，DM 是ADC ∆的高，DC AC ∴=，60DCM ∠=︒，90DMC ∠=︒，3sin 2DM CD DCM AC ∴=∠=，12CM AC =． 同理，32EN BC =，12CN BC =， 223333311122(2)22224282DMNE AC BC DM EN S MN AC BC AB AB a a ++⎛⎫∴=⋅=⋅+=⨯=⨯= ⎪⎝⎭梯形． 故选：B ．【变式2-2】（2013秋•沙湾区期末）如图，梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形的中位线，对角线AC 交EF 于P ，若10BC =，8EF =，则(PF = )A ．2B ．5C ．3D ．4 【解析】梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是梯形的中位线，1()2EF AD BC ∴=+，PF 是ADC ∆的中位线， 10BC =，8EF =，∴解得：6AD =，132PF AD ∴==． 故选：C ．【变式2-3】（2018秋•沙坪坝区校级期中）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，O 为CD 中点，6OA =，10AD BC AB +==，则OB 长为 ．【解析】如图，过点O 作//OE AD ， O 为CD 中点，OE ∴是梯形ABCD 的中位线，2AD BC OE ∴+=，AD BC AB +=，2AB OE ∴=，90AOB ∴∠=︒，6OA =，10AB =，22221068OB AB OA ∴=-=-=．故答案为：8．【变式2-4】（2014秋•沙坪坝区校级期末）如图，梯形ABCD 中，ABC ∠和DCB ∠的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，PH AB ⊥于H ．若3EF =，1PH =，2AD =，则BPC ∆的面积为 ．【解析】如图，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ； BP 平分ABC ∠，且PH AB ⊥于点H ，1PQ PH ∴==；设BC λ=，由题意得：232λ+=，解得：4λ=； ∴14122BPC S ∆=⨯⨯=， 故答案为2．【变式2-5】（2014•徐州一模）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，点E 在AB 上，点F 在CD 上，EF 为中位线，EF 与BD 交于点O ，若5FO EO -=，则BC AD -= ．【解析】//AD BC ，中位线EF 交BD 于点O ，EO ∴，FO 分别为ABD ∆，BDC ∆的中位线，2BC FO ∴=，2AD EO =，2()10BC AD FO EO ∴-=-=．故答案为：10．【变式2-6】（2015•凉山州一模）梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 并延长并BC 延长线于点G ．求证：////EF AD BC ，1()2EF AD BC =+．【解析】证明：//AD BC ，ADF GCF ∴∠=∠，DAF CGF ∠=∠， F 为CD 的中点，DF CF ∴=，在ADF ∆和GCF ∆中，DAF CGF ADF GCF DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF GCF AAS ∴∆≅∆，AD CG ∴=， E 是AB 的中点，EF ∴为ABG ∆的中位线，//EF BG ∴，12EF BG =， ////EF AD BC ∴，11()()22EF BC CG AD BC =+=+． 【变式2-7】（2011春•闵行区期末）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，8AB DC ==，对角线AC AB ⊥，60B ∠=︒，M 、N 分别是边AB 、DC 的中点，连接MN ，求线段MN 的长．【解析】AC AB ⊥，90BAC ∴∠=︒．在Rt ABC ∆中，由60B ∠=︒，得30BCA ∠=︒．又8AB =，216BC AB ∴==．//AD BC ，AB DC =，60BCD B ∴∠=∠=︒．即得30ACD ACB ∠=∠=︒．又由//AD BC ，得30DAC ACB ∠=∠=︒．DAC ACD ∴∠=∠，即得 8AD CD ==． M 、N 分别是边AB 、DC 的中点，MN ∴是梯形ABCD 的中位线．即得 11()(816)1222MN AD BC =+=+=． 【变式2-8】（2008秋•淮安区期末）如图，在梯形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，G 、H 分别为BD 、AC 的中点，且E 、F 、G 、H 四点在一条直线上，6AB =，10CD =． 求：（1）EF 、EG 的长；（2）试说明GH 与AB 的位置关系；（3）你能计算GH 的长吗？请写出你的算法并求出结果．【解析】①、因为E 、F 分别为AD 、BC 的中点，则EF 为梯形ABCD 的中位线，所以//EF AB ，0.5()8EF AB CD =+=；因为E 、G 分别为AD 、BD 的中点，所以EG 为三角形ABD 的中位线，3EG =；②、由①知：//GH AB ；③、GH EH EG =-．因为E 、H 分别为AD 、AC 的中点，EH 为三角形ADC 的中位线，5EH =，3EG =， 2GH =．【变式2-9】如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点．若6AD cm =，18BC cm =，求EF 的长．【解析】如图，取AB 的中点G ，连接EG ， E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点，//EG AD ∴，116322EG AD cm ==⨯=，//GF BC ，1118922GF BC cm ==⨯=， 又//AD BC ，∴点G 、E 、F 三点共线，936EF GF EG cm ∴=-=-=．。
9.5-三角形的中位线：苏科版八年级下册数学
9.5三角形的中位线 练习1．顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对2．如果四边形的对角线互相垂直，那么顺次连结四边形中点所得的四边形是（ ）A.矩形B.菱形C.正方形D.以上都不对3．如果顺次连结四边形各边中点组成的四边形是菱形，那么原来的四边形的对角线（ ）A.互相平分B.互相垂直C.相等D.相等且互相平分4．顺次连结下列各四边形中点所得的四边形是矩形的是（ ）.A ．等腰梯形B ．矩形C ．平行四边形D ．菱形或对角线互相垂直的四边形5．已知三角形的3条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，则这个三角形的周长是（ ）.A ．3cmB ．26cmC ．24cmD ．65cm6．已知以一个三角形各边中点为顶点的三角形的周长为8cm ，则原三角形的周长为 cm7.如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，延长BA 、NM 、CD 分别交于点E 、F 。
试说明∠BEN=∠NFC.8.如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、OC 、DO 的中点，四边形H GFEo DCBAGCAE BF D HEFGH 是矩形吗？为什么？9.已知在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 的中点.求证：DM =21AB10.如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，AE 与BF 相交于点G ，DE 与CF 相交于点H ，试说明GH ∥AD 且111.如图，任意作一个四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点。
猜想：四边形EFGH 的形状有什么特征？证明你的结论。
B12.如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 与AC 的中点，那么DE 与BC 之间存在什么样的位置关系和数量关系呢？13.在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点.试说明:AF 与DE 互相平分.14.已知矩形ABCD 中，AB =4cm ，AD =10cm ，点P 在边BC 上移动，点E 、F 、G 、H分别是AB 、AP 、DP 、DC 的中点.求证：EF +GH =5cm ；15.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，延长BC 至F ，使CF=21BC 连接EF,∠B=∠F 吗？至少用两种方法证明。
苏科版数学八年级下册9.5《三角形的中位线》教学设计
苏科版数学八年级下册9.5《三角形的中位线》教学设计一. 教材分析《三角形的中位线》是苏科版数学八年级下册第9.5节的内容，主要介绍了三角形的中位线的性质和作用。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的性质、三角形的中线、高线、角平分线等知识的基础上进行学习的，对于进一步理解三角形的结构特征和解决三角形相关问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质，对三角形的中线、高线、角平分线等概念有一定的了解。
但学生对于三角形的中位线的性质和应用可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解三角形的中位线的定义和性质；2.学会运用三角形的中位线解决相关问题；3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角形的中位线的定义和性质；2.运用三角形的中位线解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解三角形的中位线的定义、性质和应用；2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用三角形的中位线解决；3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含三角形的中位线定义、性质、应用等方面的PPT；2.实例和练习题：准备一些实际问题和练习题，用于课堂分析和练习；3.黑板和粉笔：用于板书重要内容和解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出三角形的中位线概念，激发学生的兴趣。
例题：在三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，求三角形ABC的中位线长度。
2.呈现（10分钟）讲解三角形的中位线的定义、性质和定理，引导学生理解和掌握。
定义：三角形的中位线是连接一个顶点和对边中点的线段；性质：三角形的中位线等于第三边的一半，平行于第三边，并且等于第三边的一半；定理：三角形的中位线把三角形分成两个面积相等的三角形。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用三角形的中位线性质解决问题。
苏科版八年级数学下册三角形的中位线同步练习
9.5 三角形的中位线知识点三角形中位线定理1.如图9- 5- 1，在△ ABC 中，E , D 分别是边 AB , AC 的中点，若 BC = 3,贝U DE 的 长为（） 3 A.2B . 1C . 2D . 32. 如图9- 5-2,在厶ABC 中，D , E 分别是 AB , AC 的中点，/ A = 50°,/ ADE =60°,则/ C 的度数为（） A . 50° B . 60° C . 70° D . 80°3.三角形三条中位线的长分别为 3 cm , 4 cm , 5 cm ，则此三角形的周长为（ ）A . 48 cmB . 24 cmC . 12 cmD . 10 cm4. 如图 9- 5-3 所示，在△ ABC 中，AB = AC , / A v 90°，边 BC , CA , AB 的中点分 别是D , E , F ,则四边形AFDE 是（）A .菱形B .正方形C .矩形D .梯形5. 如图9- 5- 4，为测量位于一水塘旁的两点―图 9- 5- 1 .图 9 —5-2 图 9- 5- 4A, B间的距离，在地面上确定点O,分别取OA, OB的中点C, D，量得CD = 20 m，则A, B两点之间的距离是_____________ m.6. 2017 淮安 如图 9-5- 5,在 Rt △ ABC 中，/ ACB = 90° , D , E 分别是 AB , AC 的中点，F 是AD 的中点.若 AB = 8,贝U EF = __________________ .如图9- 5-6，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 相交于点 O , AB = 8, E 是BC 的 中点，贝U OE 的长为 ______________ .10. 如图9 — 5-9,在四边形 ABCD 中，E , F , G , H 分别是 AB , BC , CD , DA 的中 占八、、♦⑴判断四边形EFGH 的形状；(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件 __________ 时，四边形EFGH 是正方形；⑶在⑵的条件下，说明四边形 EFGH 是正方形.7.&如图9-5-7,在厶ABC 中，D , 点H , FD= 8,贝U EH 等于 __________________ .9.如图 9- 5-8，在△ ABC 中，D , 「口 1一点，且CF =尹C ,连接CD , EF.求证: E , F 分别为BC , AC , AB 边的中点，AH 丄BC 于E 分别是边AB , AC 的中点，F 是BC 的延长线上CD = EF.【能力提升】11. 如图 9-5 — 10,在 Rt △ ABC 中，/ A = 30°, BC = 1 , D , E 分别是直角边 BC ,12.如图9 — 5 — 11,四边形 ABCD 的两条对角线 AC , BD 互相垂直，四边形 A 1B 1C 1D 1 是四边形ABCD 的中点四边形，如果AC = 8, BD = 10,那么四边形 A 1B 1C 1D 1的面积为（） A . 10 B . 20 C . 36 D . 408 D E C图 9— 5— 1213. 2017 达州 如图 9— 5 — 12,A ABC 的周长为 19,点D , E 在边BC 上，/ ABC 的 平分线垂直于 AE , 垂足为 N ，/ ACB 的平分线垂直于 AD ,垂足为 M ，若 BC = 7,贝U MN 的长为（ )35 A.2 B .2 C.2 D .3 14. 2017射阳校级月考 已知：如图9— 5 — 13,在?ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是 AE 的中点，G 是BE 的中点.求证：四边形CEFG 是平行四边形.AC 的中点，则 A . 1 DE 的长为（）图9-5- 1315. 如图9 —5- 14, ?ABCD的对角线AC与BD相交于点O, AC = 2AD , E, F, G分别是AB, OC , OD的中点.试判断厶EFG的形状，并说明理由.A E B图9-5- 1416. 如图9- 5- 15,在厶ABC中，BD , CE分别为边AC和AB上的中线，且相交于点O, F, G分别是OB, OC的中点.⑴求证：四边形EFGD是平行四边形；(2)当AB = AC时，判断四边形EFGD的形状，并证明你的结论；⑶连接OA,当OA= BC时，判断四边形EFGD的形状，并证明你的结论.图9-5- 151. A2. C［解析］由题意，得/ AED = 180°—/ A -Z ADE = 70° . •/ D, E 分别是AB , AC 的中点，••• DE 是厶ABC 的中位线，••• DE // BC ,A / C=/ AED = 70° .故选 C.3. B4. A ［解析］•••边BC, CA的中点分别是D, E,•线段DE是厶ABC的中位线，1•DE = 2AB , DE // AB.1同理，DF = 2AC , DF // AC.又••• AB = AC，/ A V 90°,•DE // AF , DF // AE , DE = DF,•四边形AFDE是菱形.故选 A.5. 40 ［解析］T C, D分别是OA , OB的中点，•CD是厶OAB的中位线.•/ CD = 20 m,•AB = 2CD = 2X 20= 40(m).6. 2 ［解析］在Rt A ABC中，T D是AB的中点，1--CD = 2AB = 4.T F, E分别是AD , AC的中点，1•EF= ^CD = 2.7. 4 ［解析］T四边形ABCD是菱形，•OA = OC.1又T E是BC的中点，• OE= 2AB.•/ AB = 8, • OE = 4.8. 8 ［解析］T D, F分别是BC , AB的中点，1•DF是厶ABC的中位线，• FD = ^AC.又T E是线段AC的中点，AH丄BC,1•EH = pc , • EH = FD = 8.9. 证明：T D, E分别是边AB , AC的中点，1•DE // BC , DE = ^BC.1T CF= ^BC ,• DE = CF.又T DE // BC ,•四边形DEFC是平行四边形，•CD = EF.10. 解：(1)如图，连接AC, BD.理由：••• E, F分别是AB , BC的中点,1••• EF// AC, EF= 2AC.1同理，GH // AC , GH = 2AC.•EF / GH, EF = GH ,•四边形EFGH是平行四边形.(2) AC = BD 且AC 丄BD(3) •/ AC = BD ,•结合⑴可得EF= FG = GH = EH ,•四边形EFGH是菱形.又AC丄BD ,•结合(1)可得/ HEF = 90°,•四边形EFGH是正方形.11. A ［解析］•••在Rt A ABC 中，/ C= 90°,/ A = 30° ,• AB = 2BC = 2•又T D, E 分别是BC , AC的中点，• DE是厶ABC的中位线，• DE = 1.12. B13. C ［解析］由题意易证△ BAE和厶CAD都是等腰三角形，•N是AE的中点，M是AD的中点，•MN是厶ADE的中位线.•/ BE + CD = AB + AC = 19- BC = 19-7= 12,•DE = BE + CD —BC = 5,1 5• MN= 1DE=2.14. 证明：依题意得FG是厶EAB的中位线，1• FG / AB，且FG= 2AB.又•••四边形ABCD是平行四边形，E是CD的中点,1•CE/ AB , 且CE= 2AB ,•CE / FG，且CE = FG,•四边形CEFG是平行四边形.15. 解：△ EFG是等腰三角形.理由如下: 连接AG.••• G, F分别是OD , OC的中点，1• GF= 2CD.在?ABCD 中，AC = 2OA , AB = CD.又••• AC = 2AD , • OA = AD.•/ G是0D的中点，••• AG丄OD,•••/ AGB = 90° .••• E是AB的中点，1 1…EG= 2AB = 2CD ,•EG= GF,•△ EFG是等腰三角形.16. 解：⑴证明：T D , E分别为边AC和AB上的中点,1•ED // BC,且ED = qBC.1同理，FG // BC,且FG=尹C.• ED // FG，且ED = FG ,•四边形EFGD是平行四边形.⑵当AB = AC时，四边形EFGD为矩形.图◎证明：如图①，连接AO并延长交BC于点M.•••三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD , CE交于点0, •M为BC的中点.当AB = AC 时，AM 丄BC.••• E, F, G分别是AB , OB , 0C的中点，•EF // AO , FG // BC ,•EF丄FG.又•••四边形EFGD是平行四边形，•四边形EFGD是矩形.(3)当0A = BC时，四边形EFGD是菱形.证明：如图②，••• D , G分别是AC , 0C的中点,• “ 1--DG = ?0A.1又T FG = 2BC , 0A = BC,• DG = FG.又•••四边形EFGD是平行四边形,•••四边形EFGD是菱形.。
《9.5三角形的中位线》作业设计方案-初中数学苏科版12八年级下册
《三角形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次《三角形的中位线》作业的设计与完成，期望达到以下教学目标：1. 掌握三角形的中位线的定义及其基本性质；2. 能够利用中位线的性质解决简单的几何问题；3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；4. 提高学生的数学学习兴趣和自主学习能力。
二、作业内容本次作业内容主要围绕《三角形的中位线》这一主题展开，具体包括以下部分：1. 基础知识点梳理：要求学生复习并掌握三角形的中位线的定义、性质及证明方法。
2. 课堂知识点应用：设计一系列有关中位线性质的练习题，包括选择题、填空题和解答题，旨在让学生运用所学知识解决实际问题。
3. 拓展延伸：布置一些具有一定难度的题目，引导学生运用中位线与其他几何知识进行综合运用，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
4. 作业实践：要求学生绘制几个不同形状的三角形，并在三角形内部作出中位线，观察并记录中位线的性质。
三、作业要求为保证作业的完成质量和效果，特提出以下要求：1. 认真审题：学生在完成作业时，应仔细阅读题目，明确题目要求，避免因理解错误导致答案偏离。
2. 独立思考：学生在完成作业过程中，应独立思考、分析问题，培养自己的逻辑推理能力。
3. 规范答题：学生在答题时，应按照数学规范书写，字迹工整，步骤清晰，以便于教师批改和了解学生的思路。
4. 按时完成：学生应按照教师的要求，按时完成作业，不得拖延。
5. 诚信自律：学生在完成作业过程中，应诚信自律，不得抄袭他人答案。
四、作业评价本次作业的评价将从以下几个方面进行：1. 知识掌握情况：评价学生对三角形的中位线定义及其性质的掌握程度。
2. 解题能力：评价学生运用所学知识解决实际问题的能力。
3. 书写规范程度：评价学生的答题规范程度和字迹工整情况。
4. 独立思考能力：评价学生在答题过程中的独立思考能力和逻辑推理能力。
五、作业反馈教师将对本次作业进行认真批改，并及时给予学生反馈。
《9.5三角形的中位线》作业设计方案-初中数学苏科版12八年级下册
《三角形的中位线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 使学生能够准确理解和掌握三角形中位线的定义、性质及证明方法。
2. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，能灵活运用中位线定理解决相关问题。
3. 增强学生对数学学习的兴趣和自信心，提高自主学习和合作学习的能力。
二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础练习：（1）判断题：根据所学的三角形中位线知识，判断给出的说法是否正确。
（2）选择题：通过选项的形式，让学生选择三角形中位线的相关知识点。
（3）填空题：要求学生根据所学的中位线知识，填写相关的信息。
2. 应用练习：（1）通过实际问题，让学生运用三角形中位线的知识解决生活中的问题。
如：在建筑中如何利用中位线确定等距等分点等。
（2）通过几何图形的构造和变换，让学生运用中位线定理解决几何问题。
如：利用中位线定理证明平行四边形、梯形等图形的性质。
3. 拓展练习：（1）让学生尝试自行构造一些与三角形中位线相关的题目，并尝试解答。
（2）引导学生进行小组合作，共同探讨三角形中位线的其他应用和拓展。
三、作业要求1. 基础练习部分要求学生独立完成，不得抄袭他人答案。
2. 应用练习部分要求学生认真思考，尝试多种解题方法，并总结出最优解法。
3. 拓展练习部分要求学生积极参与，大胆尝试，与同学进行交流和讨论，共同进步。
4. 作业需在规定时间内完成，字迹工整，格式规范。
四、作业评价1. 对学生的作业进行批改，评价学生在基础知识掌握、解题思路、解题方法、答案正确性等方面的表现。
2. 对学生的拓展练习进行特别关注，鼓励学生的创新思维和合作精神。
3. 对学生的作业进行分类指导，针对不同层次的学生给予不同的评价和建议。
五、作业反馈1. 对学生的作业进行总结和分析，找出学生在学习中存在的问题和不足。
2. 针对学生的问题，制定相应的辅导计划和方法，帮助学生解决学习中遇到的问题。
3. 将学生的优秀作业进行展示和分享，激励学生继续努力，提高学习效果。
苏科版八年级下册9.5三角形的中位线提优训练(有答案)
八下9.5三角形的中位线提优训练姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，点M、N分别为BC、AB上的动点(含端点)，E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的最小值为()A. 3B. 2.5C. 2D. 12.如图，点D，E分别是AB，AC的中点，BE是∠ABC的平分线，对于下列结论：①BC=2DE；②DE//BC；③BD=DE；④BE⊥AC，其中正确的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，若AB=8，AC=6，则EF的长为()A. 2B. 32C. 1D. 124.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为()A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm5.如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN.若AB=10，AC=15，则MN的长为()A. 2B. 2.5C. 3D. 3.56.如图，矩形纸片ABCD中,AB=10,AD=5,点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在矩形ABCD内部时，PD的最小值等于()B. 10−5√3C. 5√5−10D. 2A. 327.如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点(点M不与B，C重合)，CN⊥DM，与AB交于点N，连接OM，ON，MN.下列四个结论：①△CNB≌△DMC；②OM=ON；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2=MN2，其中正确结论的个数是()A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④8.如图，已知直线l//AB，l与AB之间的距离为2.C、D是直线l上两个动点(点C在D点的左侧)，且AB=CD=5.连接AC、BC、BD，将△ABC沿BC折叠得到△A′BC.下列说法：①四边形ABCD的面积始终为10；②当A′与D重合时，四边形ABDC 是菱形；③当A′与D不重合时，连接A′、D，则∠CA′D+∠BCA′=180°；④若以A′、C、B、D为顶点的四边形为矩形，则此矩形相邻两边之和为3或7.其中正确的是()A. ①②④B. ①③C. ①②③D. ①②③④二、填空题9.如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是______．10.已知：△ABC中，AB=a．如图(1)，若A1、B1分别是CA、CB的中点，则A1B1=a2；如图(2)，若A1、A2、B1、B2分别是CA、CB的三等分点，则A1B1+A2B2=2+13a=a；如图(3)，若A1、A2、A3、B1、B2、B3分别是CA、CB的四等分点，则A1B1+A2B2+A3B3=1+2+34a=32a；如图(4)，若A1、A2、A3、…A9、B1、B2、B3、…B9分别是CA、CB的十等分点，则A1B1+A2B2+A3B3+⋯+A9B9=______ ．11.如图，△ABC的面积为1，取△ABC各边的中点A1，B1，C1，作第二个△A1B1C1，再取△A1B1C1各边的中点A2，B2，C2，作第三个△A2B2C2，…，则▵A5B5C5的面积是________．12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，BC，连接OE，下列结论：④∠CAD=30°；S ABCD=AB⋅AC；且∠ADC=60°，AB=12BC.其中正确的结论的有_____________(只填序号)．③OB=AB：④OE=1413.已知，在四边形ABCD中，AB=CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°，则∠AFG的度数是．三、解答题14.如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若连接BD根据三角形中位线定理容易证明四边形EFGH是平行四边形：(1)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；(2)如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；(3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长．15.如图①，矩形ABCD中，AB=a，BC=6，E、F分别是AB、CD的中点．图①图②(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)是否存在a的值使得四边形AECF为菱形，若存在求出a的值，若不存在说明理由；(3)如图②，点P是线段AF上一动点且∠APB=90∘.①求证：PC=BC；②直接写出a的取值范围．16.如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF．(1)求证：四边形PEQF是平行四边形．(2)①当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；②矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，①中的菱形PEQF是正方形？(直接写出结论，不需要说明理由)17.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG，H为FG的中点，连接AF，DH．(1)求证：四边形AFHD为平行四边形；(2)若CB=CE，∠EBC=75°，∠DCE=10°，求∠DAB的度数．18.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形CAN.D、E、F分别是MB、BC、CN的中点，连结DE、EF.求证DE=FE．答案和解析1.C解：如图所示：连接DN，过点D作DG⊥AB于点G，∵AB//CD，∠C=90°，DG⊥AB，∴∠B=∠DGB=90°，∴四边形DGBC是矩形，GB=CD=5，∴AG=AB−GB=3，在Rt△DGA中，AD=5，AG=3，∴DG=4，∵E、F分别为DM、MN的中点，DN=2．∴当N与点G重合时，DN最小，此时EF最小，EF=122.D解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE//BC，BC=2DE，故①②正确；∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE=∠CBE，∵DE//BC，∴∠DEB=∠CBE，∴∠DBE=∠DEB，∴BD=DE，故③正确；∵AD=BD=DE，∴△ABE是直角三角形，即BE⊥AC，故④正确．解：∵AE为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG=AC，∵AC=6，∴AG=AC=6，FG=CF，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF=12BG，∵AB=8，∴BG=AB−AG=8−6=2．∴EF=1．4.C解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点(三线合一)，∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26−BC=26−10=16，∴DE=BE+CD−BC=6，∴PQ=12DE=3．5 B解：延长BN交AC于E，在△ANB和△ANE中，{∠BAN=∠EAN AN=AN∠ANB=∠ANE，∴△ANB≌△ANE，∴AE=AB=10，BN=NE，又BM=MC，∴MN=12EC=2.5，解：如图，∵当点P落在矩形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PFAE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=10，由勾股定理得：BD2=102+52=125，∴BD=5√5，∴PD=5√5−10．7.D解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，∴∠BCN+∠DCN=90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM+∠DCN=90°，∴∠BCN=∠CDM，又∵∠CBN=∠DCM=90°，∴△CNB≌△DMC(ASA)，故①正确；根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，∴△OCM≌△OBN(SAS)，∴OM=ON，故②正确；∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正确；∵AB=BC，CM=BN，∴BM=AN，又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，∴AN2+CM2=MN2，故④正确；综上所述，正确结论的个数是4个，解：①∵AB=CD=5，AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABDC的面积=2×5=10；故①正确；②∵四边形ABDC是平行四边形，∵A′与D重合时，∴AC=CD，∵四边形ABDC是平行四边形，∴四边形ABDC是菱形；故②正确；③连结A′D，如图，∵△ABC沿BC折叠得到△A′BC，∴CA′=CA=BD，AB=CD=A′B，在△A′CD和△A′BD中{CA′=BD CD=BA′A′D=A′D,∴△A′CD≌△DBA′(SSS)，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠CBA=∠2，∴∠1+∠2=∠3+∠4，∴∠1=∠4，∴A′D//BC，∴∠CA′D+∠BCA′=180°；故③正确；④设矩形的边长分别为a，b，当∠CBD=90°，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠BCA=90°，∴S△A′CB=S△ABC=12×2×5=5，∴S矩形A′CBD=10，即ab=10，而BA′=BA=5，∴a2+b2=25，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=45，∴a+b=3√5，当∠BCD=90°时，∵四边形ABDC是平行四边形，∴∠CBA=90°，∴BC=2，而CD=5，∴a+b=7，∴此矩形相邻两边之和为3√5或7.故④正确．9.18解：∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC//DE，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∵AC//DE，∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，∴直线DE是线段BC的垂直平分线，∴DC=BD，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，10.解：根据题意：图(1)，有1条等分线，等分线的总长=a2；图(2)，有2条等分线，等分线的总长=1+23a；图(3)，有3条等分线，等分线的总长=1+2+34a；…图(4)，有9条等分线，等分线的总长=1+2+⋯+910a=92a.11.145解：∵A 1，B 1，C 1是△ABC 三边的中点，∴A 1C 1，A 1B 1，B 1C 1为△ABC 的中位线，∴A 1C 1//AC ，A 1B 1//AB ，C 1B 1:BC =12，∴四边形AC 1A 1B 1为平行四边形，∴∠A =∠C 1A 1B 1，同理可得四边形BA 1B 1C 1为平行四边形，∴∠B =∠C 1B 1A 1，∴△A 1B 1C 1∽△ABC ，∴S △A 1B 1C 1S △ABC =(12)2，∴S △A 1B 1C 1=14×1=14， 同理可得：S △A 2B 2C 2S △A 1B 1C 1=(12)2， ∴S △A 2B 2C 2=14×14=(14)2，∴S △A 3B 3C 3=14×14×14=(14)3 ....∴S △A 5B 5C 5=14×14×14×14×14=(14)5=145，12. ①②④解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC =∠ADC =60°，∠BAD =120°，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠EAD =60°∴△ABE 是等边三角形，∴AE =AB =BE ，∵AB =12BC ， ∴AE =12BC ，∴∠BAC =90°，∴∠CAD =30°，故①正确；∵AC ⊥AB ，∴S ▵ABCD =AB ⋅AC ，故②正确，∵AB =12BC ，OB =12BD ，∵BD >BC ，∴AB≠OB，故③错误；∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD//BC，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，∴BE=CE，∵OA=OC，∴OE=12AB，∵AB=12BC，∴OE=14BC.故④正确．13.50°解：取AC的中点M，连接GM、EM，∵G是AD的中点，E是BC的中点，∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，∴GM=12DC，EM=12AB，GM//CD，EM//AB，∵AB=CD，∴GM=EM，∴∠GEM=∠EGM，∵EM//AB，∴∠EMC=∠BAC=70°，∴∠AME=180°−70°=110°，∵GM//CD，∴∠AMG=∠ACD=30°，∴∠EMG=110°+30°=140°，∴∠EGM=180°−140°2=20°，∴∠AFG=∠EGM+∠AMG=20°+30°=50°，14.(1)证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH//BD，CH=12BD，同理FG//BD，FG=12BD，∴CH//FG，CH=FG，∴四边形CFGH是平行四边形；(2)如图3所示，(3)解：如图3，∵BD=√5，∴FG=12BD=√52，∴正方形CFGH的边长是√52．15.解：(1)因为ABCD是平行四边形，所以AB//CD，AB=CD，又因为E，F分别为AB，CD的中点，所以AE=CF，所以AECF是平行四边形，(2)不存在，为为AE=BE=12a，而CE直角三角形BCE的斜边，的以CE>BE=AE，即CE>AE，所以不存在a的值使得四边菜AECF是菱形，(3)①证明：连接PE．∵∠APB=90°，E是AB的中点，∴PE+BE.又四边形AECF是平行四边形，∴AF//EC．∴EC⊥BP.∴∠BEC=∠PEC．又EC=EC．∴△BEC≌△PEC(SAS)，∴PC=BC.②0<a≤12.16.(1)证明：在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，∴QE、QF为△PBC的中位线，∴QE//PF，QF//PE，∴四边形PEQF是平行四边形；(2)解：①当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，AP=PD，由勾股定理得：PB=√AB2+AP2，PC=√CD2+PD2，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∴PB=PC，∵E、F分别是PB、PC的中点，∴PE=PF，由(1)知：四边形PEQF是平行四边形，∴四边形PEQF是菱形；②矩形ABCD的边AB和AD满足AD=2AB时，①中的菱形PEQF是正方形．17.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，又∵BF=BE，CG=CE，∴BC为△EFG的中位线，FG，∴BC=12BC//FG，∵H为FG中点，FG，∴FH=12∴BC=FH，∴AD=FH，AD//FH，∴四边形AFHD为平行四边形；(2)解：∵CB=CE，∠EBC=75°，∴∠BEC=75°，∴∠BCE=30°，又∵∠DCE=10°，∴∠BCD=40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DHB=40°．18.证明：连接MC、BN，∵△ABM和△CAN是等边三角形，∴∠BAM=∠CAN=60°，MA=BA，AN=AC ∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，即∠MAC=∠BAN，在△MAC与△BAN中，{MA=BA∠MAC=∠BAN AN=AC，∴△MAC≌△BAN(SAS)，∴MC=NB，∵D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，∴DE=12MC，EF=12BN，∴DE=EF．。
八年级数学下册第9章9.5三角形的中位线同步练习(含解析)苏科版
故选B．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10,原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．
8、【答案】D
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面,AC垂直于地面，∴OD是△ABC的中位线,
6、【答案】A
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，BD．利用三角形的中位线定理可得EH∥FG,EH=FG．∴这块草地的形状是平行四边形.
故选A.
【分析】连接AC,BD，构造三角形的中位线.
7、【答案】B
【考点】三角形三边关系,三角形中位线定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20,
∵AH⊥BC，F是AC的中点，∴HF= AC，
∴ED=HF，
∵EF∥DH，ED=HF且ED不平行HF，
∴四边形EDHF是等腰梯形，
故选B．
【分析】根据三角形中位线定理及直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半即可证明；
4、【答案】B
【考点】三角形中位线定理，梯形
【解析】【解答】解：∵M，N，P分别为AD、BC、BD的中点，∴MP∥AB，PN∥CD，MP= AB=3，PN= CD=4．
∴∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C．
又∠ABC+∠C=90°,∠DPN=∠PBN+∠PNB，
∴∠MPN=90°．
∴MN= =5．
故选B．
【分析】根据三角形的中位线定理，得MP∥AB,PN∥CD，MP= AB=3，PN= CD=4；再根据平行线的性质，得∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C;根据三角形的外角的性质和已知∠ABC+∠C=90°，得∠MPN=90°，进而根据勾股定理求解．
苏科版数学八年级下册9.5《三角形的中位线》说课稿
苏科版数学八年级下册9.5《三角形的中位线》说课稿一. 教材分析苏科版数学八年级下册9.5《三角形的中位线》这一节主要介绍了三角形的中位线的性质。
教材通过丰富的图片和实际问题引入中位线的概念，让学生在解决实际问题的过程中体会中位线的作用。
教材从学生的认知规律出发，通过直观的图形和生动的语言，引导学生探索中位线的性质，培养学生的动手能力和探究精神。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了三角形的有关知识，对三角形有了一定的认识。
同时，学生也掌握了平行线的性质，这为学习三角形的中位线提供了知识基础。
然而，学生对中位线的理解和应用还不够深入，需要在教学中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角形的中位线的性质，能够运用中位线解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生探索几何问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生在解决实际问题的过程中，体验数学的价值，增强对数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的中位线的性质。
2.教学难点：中位线在解决实际问题中的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实际问题，引导学生关注三角形的中位线，激发学生的学习兴趣。
2.新课导入：介绍三角形的中位线的定义，让学生通过观察、操作，探索中位线的性质。
3.性质探究：引导学生猜想中位线的性质，分组讨论，并给出证明。
4.应用拓展：通过一些实际问题，让学生运用中位线解决问题，巩固所学知识。
5.课堂小结：回顾本节课所学内容，让学生总结中位线的性质及其应用。
6.布置作业：设计一些有关中位线的练习题，让学生巩固所学知识。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出中位线的性质。
可以设计如下板书：1.中位线平行于第三边2.中位线等于第三边的一半3.中位线上的点是中线的两倍八. 说教学评价通过课堂表现、作业完成情况、课后访谈等方式对学生的学习情况进行评价。
苏科版八年级下册9.5三角形得中位线课后练习(有答案)
八下9.5三角形得中位线课后练习姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.如图，在▱ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于()A. 2B. 3C. 4D. 52.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF=3，则CD的长是()A. 3B. 2C. 1.5D. 13.如图，等边△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，则∠EFB的度数为A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°4.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为()A. 8B. 10C. 12D. 165.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE.则下列结论中不一定正确的是()A. ∠A与∠B互余B. ED⊥ACC. ∠ACE=∠BCED. AE=CE6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC=12，F是DE上一点，连接AF，CF，DE=3DF，若∠AFC=90°，则AC的长度为()A. 4B. 5C. 8D. 107.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D、E分别是AB、BC的中点，F在CA延长线上，∠FDA=∠B，AC=6，AB=8，则四边形AEDF的周长为()A. 16B. 18C. 20D. 228.如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于H，FD=16，则HE等于()A. 8B. 10C. 12D. 16二、填空题9.如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连结CA，CB，分别延长到点M，N，使AM=AC，BN=BC，测得MN=200m，则A，B间的距离为________m．10.三角形的三条中位线的长分别为3，4，5，则此三角形的周长为________．11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别是边AB、AC、AD的中点，若AB=6，则EF=________．12.顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是．13.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，E，F分别是AB，BC的中点，∠FEB=30°，∠DAB的度数为_________．14.菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连接EF.若EF=√2，BD=2，则菱形ABCD的面积为．15.如图，在△ABC中，BC=9，AD是BC边上的高，M、N分别是AB、AC边的中点，DM=5，DN=3，则△ABC的周长是________．16.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8，BC=6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为_____17.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD=BC，∠PEF=30°，则∠EPF的度数是____________三、解答题18.如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G．(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；(2)若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长．19.如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O且AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点。
9.5《三角形的中位线》期末复习优生专题提升训练2020-2021学年苏科版八年级数学 下册
2021年苏科版八年级数学第9章《三角形的中位线》期末复习优生专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连接DE，则DE的长是（）A．0.5B．0.75C．1D．22．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（）A．23°B．25°C．30°D．46°3．如图，△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④4．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（）cm2．A．2B．4C．6D．85．如图，在△ABC中，BC＝12，AC＝16，∠C＝90°，M是AC边上的中点，N是BC边上任意一点，且2CN＜BC，若点C关于直线MN的对称点C'恰好落在△ABC的中位线上，则CN＝．6．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．7．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CF A＝90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由．8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，E为BC的中点．（1）求证：DE∥AC；（2）若AB＝4，AC＝6，求DE的长．9．在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．（1）求证：BD＝DE；（2）求DM的长．10．如图，等边△ABC的边长是4，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长；（3）求四边形DEFC的面积．11．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC 于点D，已知AB＝10，AC＝16．（1）求证：BN＝DN；（2）求MN的长．12．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．13．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若四边形AEDF的周长为24，AB＝15，求AC的长；（2）求证：EF垂直平分AD．14．探索与证明如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O，M、N分别是BO、CO的中点，顺次连接E、M、N、D四点．（1）求证：EMND是平行四边形；（2）探索：BC边上的中线是否过点O？为什么？15．如图，点D、E是Rt△ABC两直角边AB、AC上的一点，连接BE，已知点F、G、H 分别是DE、BE、BC的中点．（1）求∠FGH度数；（2）连CD，取CD中点M，连接GM，若BD＝8，CE＝6，求GM的长．16．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F是AD、BC的中点，EF分别交AC、BD于M、N，且OM＝ON．求证：AC＝BD．17．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，则∠BME＝∠CNE（不需证明）．小明的思路是：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．问题：如图2，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD 的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．18．如图1，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N．（1）试说明：FG＝（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想；（3）如图3，若BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，则线段FG与△ABC三边的数量关系是．19．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；（2）若△ABC的面积为20，BD＝5．①△ABD的面积为，②求△BDE中BD边上的高EF的长；（3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示）20．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．21．已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CN⊥AD于E交AB于N，F是AC的中点，FE的延长线交BC于M．试判断BM＝MC的正确性．如果正确，请给出证明过程；若不正确，请说明理由．22．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD、BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N，求证：MN∥AD，MN＝AD．23．如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点．求证：（1）DE∥BC；（2）．参考答案1．解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BF，AB＝3，∴点D是BF的中点，且AB＝AF＝3．∵AC＝5，∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2．又∵点E为BC的中点，∴DE是△BFC的中位线，∴DE＝FC＝＝1．故选：C．2．解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝23°，∴∠PEF＝∠PFE＝23°．故选：A．3．解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，∵AE平分∠GAC，AE⊥GC，∴AG＝AC，GE＝CE，同理可得，AB＝AH，BD＝HD，∵BF＝CF，BD＝HD，∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，∴DF＝CH，∵GE＝CE，BF＝CF，∴EF＝BG，∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，过G作GI⊥BH于I，∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，∴四边形GIDE是矩形，∴GI＝ED，∴BG＞GI＝ED，∴AB﹣AC＞DE，故③错误；∵EF∥BG，DF∥HC，∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；故选：C．4．解：∵点D、F分别是AB，AC的中点，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DF∥BE，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∴DF＝BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴BD＝EF，在△BDE和△FED中，，∴△BDE≌△FED（SSS），同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），故选：B．5．解：在△ABC中，BC＝12，AC＝l6，∠C＝90°，则由勾股定理知AB＝＝＝20．取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝8，MH＝10，HC′＝2，HN＝6﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（6﹣x）2＝x2+22，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝6，MC＝MC′＝8，∴GC′＝2，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝4．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．6．解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．7．解：DF∥AB．理由如下：如图，延长CF交AB于点G，∵AE是角平分线，∴∠GAF＝∠CAF，在△AGF和△ACF中，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴GF＝CF，即点F是GC的中点，∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点∴DF是△BCG的中位线，∴DF∥AB．8．（1）证明：延长BD交AC于H，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH，∴BD＝HD，又E为BC的中点．∴DE∥AC；（2）解：∵△ADB≌△ADH，∴AH＝AB＝4，∴CH＝AC﹣AH＝2，∵BD＝HD，又E为BC的中点，∴DE＝CH＝1．9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE．∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°．在△ADB与△ADE中，∴△ADB≌△ADE，∴BD＝DE．（2）∵△ADB≌△ADE，∴AE＝AB＝12，∴EC＝AC﹣AE＝8．∵M是BC的中点，BD＝DE，∴DM＝EC＝4．10．解：（1）在△ABC中，∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF．（2）∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，∵BC＝4，BD＝2，∴CD＝＝2，∵DE∥CF，DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形，∴EF＝CD＝2．（3）过点D作DH⊥BC于H．∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°，∴DH＝DC＝，∵DE＝CF＝2，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2．11．证明：（1）∵AN平分∠BAC∴∠1＝∠2，∵BN⊥AN∴∠ANB＝∠AND，在△ABN和△ADN中，，∴△ABN≌△ADN（ASA）∴BN＝DN；（2）∵△ABN≌△ADN∴AD＝AB＝10，DN＝NB，∴CD＝AC﹣AD＝16﹣10＝6，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴MN＝CD＝3．12．解：在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝6，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝8﹣6＝2．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1．13．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，∴AE+DE＝AB＝15，AF+DF＝AC，∵四边形AEDF的周长为24，AB＝15，∴AC＝24﹣15＝9；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴点E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD．14．（1）证明：△ABC的边AC、AB上的中线BD、CE相交于点O，M、N分别是BO、CO 的中点，∴ED∥BC且ED＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴ED∥MN且ED＝MN，∴四边形MNDE是平行四边形．（2）BC边上的中线过点O，理由如下：作BC边上的中线AF，交BD于M，连接DF，∵BD、AF是边AC、BC上的中线，∴DF∥BA，DF＝BA．∴BD＝3DM，∵BO＝BD，∴O和M重合，即BC边上的中线一定过点O．15．解：（1）∵F、G、H分别是DE、BE、BC的中点，∴FG∥DB，GH∥EC．∴∠DBE＝∠FGE，∠EGH＝∠AEG．∠FGH＝∠FGE+∠EGH＝∠ABE+∠BEA＝180°﹣∠A＝180°﹣90°＝90°．（2）如图所示：连接FM、HM．∵M、H分别是BC和DC的中点，∴MH∥BD，MH＝．同理：GF∥BD，GF＝．∴四边形FGHM为平行四边形．∵G、H、M分别是BE、BC、DC的中点，∴GH＝＝3，，由（1）可知：∠FGH＝90°，∴四边形FGHM为矩形．∴∠GHM＝90°．∴GM＝＝5．16．证明：取AB和CD的中点分别为G、H，连接EG、GF、FH、EH，则EH∥AC，EH＝AC，HF∥BD，FH＝BD，∴∠3＝∠2，∠1＝∠4，∵OM＝ON，∴∠1＝∠2，同理∠EFH＝∠GFE＝∠1＝∠2，∴∠4＝∠EFH，∴EH＝HF，∵EH＝AC，FH＝BD，∴AC＝BD．17．解：判断△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF＝AB，∴∠1＝∠3，同理，HE∥CD，HE＝CD，∴∠2＝∠EFC，∵AB＝CD，∴HF＝HE，∴∠1＝∠2，∵∠EFC＝60°，∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，∴△AGF为等边三角形，∵AF＝FD，∴GF＝FD，∴∠FGD＝∠FDG＝30°，∴∠AGD＝90°，即△AGD是直角三角形．18．解：（1）∵BD⊥AF，在△ABF和△MBF中，∴△ABF≌△MBF（ASA）∴MB＝AB∴AF＝MF，同理：CN＝AC，AG＝NG，∴FG是△AMN的中位线∴FG＝MN，＝（MB+BC+CN），＝（AB+BC+AC）．（2）图（2）中，FG＝（AB+AC﹣BC）解：如图（2），延长AF、AG，与直线BC相交于M、N，∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，∴∠BAF＝∠BMF，在△ABF和△MBF中∵，∴△ABF≌△MBF（ASA）∴MB＝AB，AF＝MF，同理：CN＝AC，AG＝NG∴FG＝MN，＝（BM+CN﹣BC），＝（AB+AC﹣BC），答：线段FG与△ABC三边的数量关系是FG＝（AB+AC﹣BC）．（3）解：FG＝（AC+BC﹣AB），理由是：∵AF⊥BD，∠ABF＝∠MBF，∴∠BAF＝∠BMF，在△ABF和△MBF中∵，∴△ABF≌△MBF（ASA）∴MB＝AB，AF＝MF，同理：CN＝AC，AG＝NG∴FG＝MN，＝（CN+BC﹣BM），＝（AC+BC﹣AB）．故答案为：FG＝（AC+BC﹣AB）．19．解：（1）作EF⊥BD垂足为F，（2）①∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABC的面积为20，∴△ABD的面积为10；②∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE＝S△ABD＝5，∵BD＝5，∴EF的长＝2；③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线，∴EG是△ACD的中位线，∴DG是△ACD的中线，∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDG＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△GDC＝，又∵S△COD＝n，∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD＝．20．解：（1）FH与FC的数量关系是：FH＝FC．证明如下：延长DF交AB于点G，由题意，知∠EDF＝∠ACB＝90°，DE＝DF，∴DG∥CB，∵点D为AC的中点，∴点G为AB的中点，且，∴DG为△ABC的中位线，∴．∵AC＝BC，∴DC＝DG，∴DC﹣DE＝DG﹣DF，即EC＝FG．∵∠EDF＝90°，FH⊥FC，∴∠1+∠CFD＝90°，∠2+∠CFD＝90°，∴∠1＝∠2．∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DGA＝45°，∴∠CEF＝∠FGH＝135°，∴△CEF≌△FGH，∴CF＝FH．（2）FH与FC仍然相等．理由：由题意可得出：DF＝DE，∴∠DFE＝∠DEF＝45°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠CBA＝45°，∵DF∥BC，∴∠CBA＝∠FGB＝45°，∴∠FGH＝∠CEF＝45°，∵点D为AC的中点，DF∥BC，∴DG＝BC，DC＝AC，∴DG＝DC，∴EC＝GF，∵∠DFC＝∠FCB，∴∠GFH＝∠FCE，在△FCE和△HFG中，∴△FCE≌△HFG（ASA），∴HF＝FC．21．解：结论BM＝MC正确．证明过程如下：∵AD平分∠BAC，∴∠NAE＝∠CAE．∵CE⊥AD，∴∠AEN＝∠AEC＝90°．∵AE＝AE，∴△ANE≌△ACE．∴NE＝CE．∵F为AC的中点，∴AF＝CF．∴EF∥AB．∵AF＝CF，∴BM＝MC．22．证明：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∵DE＝CF，∴AE＝BF．∴四边形ABFE和四边形CDEF都是平行四边形．∴BM＝ME，CN＝NE．∴MN是△BCE的中位线．∴MN∥AD，MN＝AD．23．证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；∵BE⊥AG，∴∠AEB＝∠BEG＝90°；∵BE平分∠ABG，∴∠ABE＝∠GBE；∴∠BAE＝∠BGE；∴△ABG是等腰三角形；∴AB＝BG，E是AG中点；同理可得：AC＝CF，D是AF中点；∴DE是△AFG的中位线；∴DE∥BC．（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，∴DE＝FG；∵FG＝BG+CF﹣BC，且AB＝BG，AC＝CF；∴FG＝AB+AC﹣BC，即DE＝（AB+AC﹣BC）．。
八年级数学下册 9.5 三角形的中位线学习要点素材 苏科版(2021年整理)
八年级数学下册9.5 三角形的中位线学习要点素材（新版）苏科版编辑整理：
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《三角形的中位线》学习要点
学习目标：
1．掌握三角形的中位线概念和性质．
2．能利用三角形的中位线解决简单的问题．
学习要点：
1．三角形中位线的概念
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
如下图中，若D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的中位线。
2．与三角形中线的区别
三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是对边的中点;而三角形的中位线的两个端点都是三角形的边的中点。
3．三角形中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.。
初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练(解析版)
初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版）1/ 16八下9.5三角形的中位线训练一、选择题1.如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC=6，则DE的长为()A. 2B. 3C. 4D. 52.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于()A. 3.5B. 4C. 7D. 143.如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为()A. 8B. 10C. 12D. 164.已知四边形ABCD中，AB=6，CD=8，E、F分别是AD、BC的中点，则线段EF长的取值范围是()A. 2﹤E F﹤14B. 1﹤EF﹤7C. 6﹤EF﹤7D. 2﹤EF﹤65.如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD，过点B作BF//DE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为()A. 6B. 7C. 8D. 106.如图，将ΔABC沿着它的中位线DE折叠后，点A落到点A′，若∠C=120∘，∠A=26∘，则∠A′DB的度数是A. 120°B. 112°C. 110°D. 108°7.如图，在ΔABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30∘，DF=3，则BF的长为()A. 4B. 2√3C. 3√3D. 4√38.如图，点D、E、F分别是▵ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD，则图中平行四边形的个数为A. 0B. 2C. 1D. 3二、填空题9.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边上的中点，AB=6，则OE=______ ．10.如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的动点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR=5，AD=12，则EF的长为______．11.如图，已知AB//CF，E为DF的中点，若AB=9cm，CF=6cm.则BD=_________cm．初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版）3 / 1612. 已知，如图，矩形ABCD 中，E ，F分别AB，AD 的中点，若EF =5，则AC =________．13. 如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，AB =8，E 是CD 的中点，则OE的长等于________．14. 如图，在四边形ABDC 中，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，并且E 、F 、G 、H 四点不共线．当AC =6，BD =8时，四边形EFGH 的周长是____15. 平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD =2AD ，E 、F 、G 分别是OC 、OD ，AB 的中点．下列结论：①EG =EF ；②△EFG ≌△GBE ； ③FB 平分∠EFG ；④EA 平分∠GEF ；⑤四边形BEFG 是菱形．其中正确的是______．三、解答题16. 如图，等边△ABC 的边长是8，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF =12BC ，连接CD 和EF ．(1)求证：EF =CD ；(2)求EF 的长．17.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点，AH是边BC上的高．(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)若∠AHF=20°，∠AHD=50°，求∠DEF的度数．18.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版）19.已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点(1)求证：△ABM≌△DCM(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；(3)当AD：AB=______ 时，四边形MENF是正方形(只写结论，不需证明)20.在▵ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．求证：(1)BE⊥AC；(2)EG=EF．21.阅读下面材料：5/ 16在数学课上老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下所示的思路：连结AC．结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，直接写出结论；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版）7 / 16答案和解析1.B解：∵D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，∴CB =2DE ，∵BC =6，∴DE =3．2.A解：∵菱形ABCD 的周长为28，∴AB =28÷4=7，OB =OD ，∵H 为AD 边中点，∴OH 是△ABD 的中位线，∴OH =12AB =12×7=3.5．3.D解：∵BD =AD ，BE =EC ，∴DE =12AC =5，DE//AC ，∵CF =FA ，CE =BE ，∴EF =12AB =3，EF//AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴四边形ADEF 的周长=2(DE +EF)=16．4.B解：如图1，图2，G 是BD 的中点，连接EG ，FG，，∵E是AD的中点，G是BD的中点，∴EG//AB且EG=12AB=12×8=4，∵F是BC的中点，G是BD的中点，∴FG//CD且FG=12CD=12×8=4，∵FG−EG=4−3=1，FG+EG=4+3=7，∴线段EF长的取值范围是：1<EF<7．5.C解：如图，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，∴CD=12AB=3．又CE=13CD，∴CE=1，∴ED=CE+CD=4．又∵BF//DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，∴BF=2ED=8．6.B解：由题意得：∠A′DE=∠B=180°−120°−26°=34°，∠BDE=180°−∠B=146°，故∠A′DB=∠BDE−∠A′DE=146°−34°=112°．初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版） 9 / 167.C解：在Rt △ABF 中，∵∠AFB =90°，AD =DB ，DF =3，∴AB =2DF =6，∵AD =DB ，AE =EC ，∴DE//BC ，∴∠ADE =∠ABF =30°，∴AF =12AB =3，∴BF =√AB 2−AF 2=√62−32=3√3．8.D解：已知点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点， ∴EF//AB 且EF =AD ，EF =DB ，DF//BC 且DF =CE ，∴四边形ADEF 、四边形BDFE 和四边形CEDF 为平行四边形．9.3解：在▱ABCD 中，OA =OC ，∵点E 是BC 的中点，∴OE 是三角形的中位线，∴OE =12AB =12×6=3．10.6.5解：∵∠D =90°，DR =5，AD =12，∴AR =√AD 2+DR 2=13，∵E 、F 分别是PA 、PR 的中点，∴EF =12AR =6.5，11.3解：∵AB//CF，E是DF的中点，∴∠A=∠FCE，AE=CE，∴△ADE≌△CFE，∴CF=AD，∵AB=9cm，CF=6cm，∴BD=3．12.10解：如图所示：连接BD．∵E，F分别是AB，AD的中点，EF=5，∴BD=2EF=10．∵ABCD为矩形，∴AC=BD=10．13.4解：∵菱形ABCD，∴AB=BC=8，OB=OD．∵E是CD的中点，∴OE是△DBC的中位线，∴OE=1BC=4，214.14解：∵F，G分别为BC，CD的中点，BD=4，FG//BD，∴FG=12∵E，H分别为AB，DA的中点，∴EH=1BD=4，EH//BD，2∴FG//EH，FG=EH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EF=GH=1AC=3，2∴四边形EFGH的周长=3+3+4+4=14，初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版） 11 / 1615.①②④解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图∵E 、F 分别是OC 、OD 的中点，∴EF//CD ，且EF =12CD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB//CD ，且AB =CD ，∴∠FEG =∠BGE(两直线平行，内错角相等)，∵点G 为AB 的中点，∴BG =12AB =12CD =FE ， 在△EFG 和△GBE 中，∴△EFG≌△GBE(SAS)，即②成立，∴∠EGF =∠GEB ，∴GF//BE(内错角相等，两直线平行)，∵BD =2BC ，点O 为平行四边形对角线交点，∴BO =12BD =BC ，∵E 为OC 中点，∴BE ⊥OC ，∴GP ⊥AC ，∴∠APG =∠EPG =90°∵GP//BE ，G 为AB 中点，∴P 为AE 中点，即AP =PE ，且GP =12BE ，在△APG 和△EGP 中， ∴△APG≌△EPG(SAS)，∴AG =EG =12AB ，∴EG =EF ，即①成立，∵EF//BG ，GF//BE ，∴四边形BGFE 为平行四边形，∴GF =BE ，∵GP =12BE =12GF ，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，∴△GPE≌△FPE(SAS)，∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．16.(1)证明：在△ABC中，∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=1BC，DE//BC，2BC，∵CF=12∴DE=CF，∵DE//CF，DE=CF，∴四边形CDEF是平行四边形，∴EF=CD；(2)∵AC=BC，AD=BD，∴CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵在△BDC中，∠BDC=90°，∴CD2=BC2−BD2，∵BC=8，BD=4，∴CD=√82−42=4√3，∴EF=CD=4√3．17.证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF//AB，DE//AC，∴四边形ADEF是平行四边形；(2)∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版） 13 / 16 ∴∠DAH =∠DHA ，∠FAH =∠FHA ，∵∠DAH +∠FAH =∠BAC ，∠DHA +∠FHA =∠DHF ，∴∠DHF =∠BAC ，∴∠DHF =∠DEF ．∵∠AHF =20°，∠AHD =50°，∴∠DEF =∠DHF =∠AHF +∠AHD =20°+50°=70°18.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∠A =∠C =90°，∵在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴AM =12AD ，CN =12BC ，∴AM =CN ，在△MAB 和△NDC 中，∴△MBA≌△NDC(SAS)；(2)四边形MPNQ 是菱形．理由如下：连接AP ，MN ，则四边形ABNM 是矩形，∵AN 和BM 互相平分，AN =BM ，则A ，P ，N 在同一条直线上，∵△MBA≌△NDC ，∴BM =DN ，∵P 、Q 分别是BM 、DN 的中点，∴PM =NQ ，∵{DM =BNDQ =BP ∠MDQ =∠NBP, ∴△MQD≌△NPB(SAS)．∴MQ =NP ，∴四边形MPNQ 是平行四边形，∵M 是AD 中点，Q 是DN 中点，∴MQ =12AN ，∴MQ =12BM ，∵MP=12BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC，又∵MA=MD，∴△ABM≌△DCM(SAS)；(2)解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，∴NE//CM，NE=12CM，MF=12CM，∴NE=FM，NE//FM，∴四边形MENF是平行四边形，∵△ABM≌△DCM，∴BM=CM，∵E、F分别是BM、CM的中点，∴ME=MF，∴平行四边形MENF是菱形；(3)2：1．(3)当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形，理由如下：∵M为AD中点，∴AD=2AM，∵AD：AB=2：1，初中数学苏科版八年级下册9.5三角形的中位线同步训练（解析版） 15 / 16 ∴AM =AB ，∵∠A =90°，∴∠ABM =∠AMB =45°，同理∠DMC =45°，∴∠EMF =180°−45°−45°=90°，∵四边形MENF 是菱形，∴菱形MENF 是正方形．20.证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，BD =2BO ．由已知BD =2AD ，∴BO =BC ．又E 是OC 中点，∴BE ⊥AC ．(2)由(1)BE ⊥AC ，又G 是AB 中点，∴EG 是Rt △ABE 斜边上的中线．∴EG =12AB ．又∵EF 是△OCD 的中位线，∴EF =12CD ．又AB =CD ，∴EG =EF ．21.解：(1)是平行四边形，证明：如图2，连接AC ，∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF//AC ，EF =12AC ，同理HG//AC，HG=12AC，综上可得：EF//HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；(2)①AC=BD；②AC⊥BD.解：(2)①当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=12BD，HG=12AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为AC=BD；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同(2)得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH//AC，∴GH⊥BD，∵GF//BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．。
_2020—2021学年苏科版数学八年级下册 9.5 三角形的中位线
9.5 三角形的中位线1.[2019·盐城]如图9-5-1,D,E分别是△ABC的边BA,BC的中点,AC=3,则DE的长为()图9-5-1A.2B.43 C.3 D.322.[2020·广州]如图9-5-2,在△ABC中,点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,连接DE,若∠C=68°,则∠AED的度数为()图9-5-2A.22°B.68°C.96°D.112°3.[2020·连云港灌云县期中]如图9-5-3是一块等腰三角形空地ABC,已知D,E分别是边AB,AC的中点,量得AC=10米,AB=BC=6米,若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡,则需要篱笆的长是()图9-5-3A.22米B.17米C.14米D.11米4.如图9-5-4,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,边BC,CA,AB的中点分别是D,E,F,则四边形AFDE 是()图9-5-4A.菱形B.正方形C.矩形D.梯形5.[2019·长沙]如图9-5-5,要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离,可以在池塘外选一点C,连接AC,BC,分别取AC,BC的中点D,E,测得DE=50 m,则AB的长是m.图9-5-56.[2019·株洲]如图9-5-6所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,E,F 分别为MB,BC的中点.若EF=1,则AB= .图9-5-67.如图9-5-7,在△ABC中,AB=13,BC=12,D,E分别是AB,BC的中点,连接DE,CD.如果DE=2.5,那么△ACD的周长是.图9-5-78.如图9-5-8,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为(用含α的式子表示).图9-5-8BC, 9.如图9-5-9,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,F是BC延长线上的一点,且CF=12连接CD,EF.求证:CD=EF.图9-5-9 10.如图9-5-10,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.(1)判断四边形EFGH的形状;(2)当四边形ABCD 的对角线满足条件 时,四边形EFGH 是正方形; (3)在(2)的条件下,说明四边形EFGH 是正方形.11.如图9-5-11,在四边形ABCD 中,P 是边CD 上的动点,Q 是边BC 上的定点,连接AP ,PQ ,E ,F 分别是AP ,PQ 的中点,连接EF.点P 在由C 到D 运动过程中,线段EF 的长度( )图9-5-11A .保持不变B .逐渐变小C .先变大,再变小D .逐渐变大 12.如图9-5-12,四边形ABCD 的两条对角线AC ,BD 互相垂直,四边形A 1B 1C 1D 1是四边形ABCD 的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为 ( )图9-5-12A .10B .20C .36D .4013.如图9-5-13,△ABC 的周长为19,点D ,E 在边BC 上,∠ABC 的平分线垂直于AE ,垂足为N ,∠ACB 的平分线垂直于AD ,垂足为M.若BC=7,则MN 的长为 ( )图9-5-13A .32 B .2C .52D .314.[2019·淮安洪泽区期中]如图9-5-14,D,E,F分别是△ABC三边的中点,连接EF,AD.(1)求证:AD与EF互相平分;(2)若∠BAC=90°,试判断四边形AEDF的形状,并简要说明理由.图9-5-1415.如图9-5-15,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=2AD,E,F,G分别是AB,OC,OD的中点,试判断△EFG的形状,并说明理由.图9-5-1516.[2019·泰州姜堰区期中]在△ABC中,AE平分∠BAC,BE⊥AE于点E,F是BC的中点.(AC-AB);(1)如图9-5-16①,BE的延长线与AC边交于点D,求证:EF=12(2)如图②,请直接写出线段AB,AC,EF的数量关系.图9-5-161.D[解析]直接利用中位线的定义得出DE是△ABC的中位线,进而利用中位线的性质得出答案.2.B[解析]由题意知DE是△ABC的中位线,所以DE∥BC,所以∠AED=∠C=68°.故选B.3.B[解析]∵D,E分别是边AB,AC的中点,BC=6米,∴DE=3米,DB=3米,EC=5米,∴篱笆的长=DE+BC+CE+DB=3+6+3+5=17(米).故选B.4.A[解析]∵边BC,CA的中点分别是D,E,∴线段DE是△ABC的中位线,AB,DE∥AB.∴DE=12AC,DF∥AC.同理,DF=12又∵AB=AC,∠A<90°,∴DE=DF.又∵DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AFDE是菱形.故选A.5.100[解析]∵D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴AB=2DE=2×50=100(m).故答案为100.6.4[解析]∵E,F分别为MB,BC的中点,EF=1,∴CM=2EF=2.∵∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,∴AB=2CM=4.7.18[解析]∵D,E分别是AB,BC的中点,∴AC=2DE=5,AC∥DE.∵AC2+BC2=52+122=169,AB2=132=169,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°.∵AC∥DE,∴∠DEB=90°.又∵E是BC的中点,∴直线DE是线段BC的垂直平分线,∴DC=BD,∴△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18.8.270°-3α[解析] ∵∠ACD=90°,∠D=α,∴∠DAC=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC=90°-α.∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴BE=AE=EC,∴∠EAB=∠EBA=90°-α,∴∠CEB=180°-2α.∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD,∴∠CEF=∠DAC=90°-α,∴∠BEF=180°-2α+90°-α=270°-3α.9.证明:∵D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE∥BC,DE=1BC.2BC,∴DE=CF.∵CF=12又∵DE∥CF,∴四边形DEFC是平行四边形,∴CD=EF.10.解:如图,连接AC,BD.(1)∵E,F分别是AB,BC的中点,∴EF∥AC,EF=1AC.2AC.同理,GH∥AC,GH=12∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.(2)AC=BD且AC⊥BD(3)∵AC=BD,∴结合(1)可得EF=FG=GH=EH,∴四边形EFGH是菱形.又∵AC⊥BD,∴结合(1)可得∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形.11.A[解析]如图,连接AQ.∵Q是边BC上的定点,∴AQ的大小不变.AQ,∵E,F分别是AP,PQ的中点,∴EF=12∴线段EF 的长度保持不变.故选A .12.B13.C [解析] 由题意易证△BAE 和△CAD 都是等腰三角形,∴N 是AE 的中点,M 是AD 的中点, ∴MN 是△ADE 的中位线. ∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12, ∴DE=BE+CD -BC=5, ∴MN=12DE=52.14.解:(1)证明:如图,连接DE ,DF.∵D ,F 分别是BC ,AC 的中点, ∴DF ∥AB ,同理,DE ∥AC ,∴四边形AEDF 是平行四边形, ∴AD 与EF 互相平分.(2)四边形AEDF 为矩形.理由:由(1)得四边形AEDF 为平行四边形.∵∠BAC=90°, ∴四边形AEDF 为矩形.15.解:△EFG 是等腰三角形.理由如下: 连接AG.∵G ,F 分别是OD ,OC 的中点, ∴GF=12CD.∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AC=2OA ,AB=CD.又∵AC=2AD ,∴OA=AD.∵G 是OD 的中点,∴AG ⊥OD , ∴∠AGB=90°.∵E 是AB 的中点,∴EG=12AB=12CD , ∴EG=GF ,∴△EFG 是等腰三角形.16.解:(1)证明:∵AE ⊥BD ,∴∠AED=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠DAE+∠ADE=90°. ∵AE 平分∠BAC ,∴∠BAE=∠DAE , ∴∠ABE=∠ADE ,∴AB=AD.又∵AE ⊥BD ,∴BE=DE.∵F 是BC 的中点,∴BF=FC , ∴EF=12DC=12(AC-AD )=12(AC-AB ).(2)EF=12(AB-AC ).理由:如图,延长AC 交BE 的延长线于点P.∵AE ⊥BP ,∴∠AEP=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°. ∵AE 平分∠BAP , ∴∠BAE=∠PAE , ∴∠ABE=∠APE ,∴AB=AP.又∵AE ⊥BP ,∴BE=PE.∵F 是BC 的中点,∴BF=FC , ∴EF=12PC=12(AP-AC )=12(AB-AC ).。
苏科版八年级下《9.5三角形的中位线》同步练习含详细答案
9.5 三角形的中位线一．选择题1．如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE2．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．103．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．34．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2 D．45．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+6．在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D、E、F分别为AB、BC、AC中点，连接DF、FE，则四边形DBEF的周长是（）A．5 B．7 C．9 D．117．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=．8．如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．10．如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为cm2．11．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC 的面积的比是．12．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．13．如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为cm．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN 与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．15．如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．16．如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC 于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？19．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．21．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．24．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．25．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．答案与解析一．选择题1．（2016•厦门）如图，DE是△ABC的中位线，过点C作CF∥BD交DE的延长线于点F，则下列结论正确的是（）A．EF=CF B．EF=DE C．CF＜BD D．EF＞DE【分析】首先根据三角形的中位线定理得出AE=EC，然后根据CF∥BD得出∠ADE=∠F，继而根据AAS证得△ADE≌△CFE，最后根据全等三角形的性质即可推出EF=DE．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴E为AC中点，∴AE=EC，∵CF∥BD，∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∵，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=FE．故选B．【点评】本题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据中位线定理和平行线的性质得出AE=EC、∠ADE=∠F，判定三角形的全等．2．（2016•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC===10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．3．（2016•河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．又∵DE垂直平分AC交AB于点E，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=BC=3．故选：D．【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．4．（2016•葫芦岛）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF ⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A．4 B．8 C．2 D．4【分析】先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在RT△ABF中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．【解答】解：在RT△ABF中，∵∠AFB=90°，AD=DB，DF=4，∴AB=2DF=8，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，∴∠ADE=∠ABF=30°，∴AF=AB=4，∴BF===4．故选D．【点评】本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．（2016•南充）如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A．1 B．2 C．D．1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2．然后根据三角形中位线定理求得DE=AB．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=2．又∵点D、E分别是AC、BC的中点，∴DE是△ACB的中位线，∴DE=AB=1．故选：A．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．6．（2016•梧州）在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，连接DF 、FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【分析】先根据三角形中位线性质得DF=BC=2，DF ∥BC ，EF=AB=，EF ∥AB ，则可判断四边形DBEF 为平行四边形，然后计算平行四边形的周长即可．【解答】解：∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=BC=2，DF ∥BC ，EF=AB=，EF ∥AB ，∴四边形DBEF 为平行四边形，∴四边形DBEF 的周长=2（DF +EF ）=2×（2+）=7．故选B ．【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二．填空题7．（2016•泉州）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，则DE= 4 ．【分析】根据三角形的中位线定理得到DE=BC ，即可得到答案．【解答】解：∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，BC=8，∴DE=BC=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理的理解和掌握，能正确运用三角形的中位线定理进行计算是解此题的关键．8．（2016•南京）如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，∴DB=2EF=2×2=4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴=，即=，解得AC=．故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．9．（2016•随州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=3．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．【点评】本题考查的是三角形的中位线定理、直角三角形的性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．10．（2016•凉山州）如图，△ABC的面积为12cm2，点D、E分别是AB、AC边的中点，则梯形DBCE的面积为9cm2．【分析】根据三角形的中位线得出DE=BC，DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，再求出△ABC和△ADE的面积比值求出，进而可求出梯形DBCE的面积．【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE是三角形的中位线，∴DE=BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△ABC的面积为12cm2，∴△ADE的面积为3cm2，∴梯形DBCE的面积=12﹣3=9cm2，故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的中位线和相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABC和△ADE的面积比值，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．11．（2016•上海）在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=（）2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=，故答案为．【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．12．（2016•张家界）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于14cm．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．【解答】解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．【点评】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．13．（2016•六盘水）如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为12cm．【分析】根据三角形中位线定理可直接得出结论．【解答】解：∵EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，∴BC=2EF，AB=2AE，AC=2AF，∴BC+AB+AC=2（EF+AE+AF）=12（cm）．故答案为：12．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键．14．（2016•沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据=计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=计算即可．【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE=BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴=，∴=，∴DO′=．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴=，∵EM==13，∴DO=，故答案为或．【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三．解答题15．（2016•淄博）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME∥AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：BE=（AB+AC）．【分析】（1）欲证明AE=AF，只要证明∠AEF=∠AFE即可．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G，先证明AC=AG，再证明BE=EG即可解决问题．【解答】证明：（1）∵DA平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵AD∥EM，∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．（2）作CG∥EM，交BA的延长线于G．∵EF∥CG，∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，∵∠AEF=∠AFE，∴∠G=∠ACG，∴AG=AC，∵BM=CM．EM∥CG，∴BE=EG，∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．【点评】本题考查三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造等腰三角形，以及三角形中位线，属于中考常考题型．16．（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．（2）根据三角形中位线定理即可解决．【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．（2）∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC，DE=BC，∵DE=4，∴BC=8．【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．17．（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【点评】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC 于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE ∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．19．D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O 是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，GF∥BC且GF=BC，从而得到DE∥GF，DE=GF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形解答．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF且DE=GF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）解：当OA=BC时，平行四边形DEFG是菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记的定理和性质是解题的关键．20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF=∠DEF．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF ∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的定义证明即可；（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF=∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等边对等角可得∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，然后求出∠DHF=∠BAC，等量代换即可得到∠DHF=∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH=AD，FH=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？【分析】（1）作出图形，延长DE至F，使EF=DE，然后根据“边角边”证明△ADE 和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，全等三角形对应角相等可得∠A=∠ECF，再根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CF，然后证明四边形BCFD是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得DF∥BC且DF=BC，然后整理即可得证；（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形A1B1C1D1的周长等于▱ABCD周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解；（3）根据规律，l的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可．【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC，证明：如图，延长DE至F，使EF=DE，∵E是AC的中点，∴AE=CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD=CF（全等三角形对应边相等），∠A=∠ECF（全等三角形对应角相等），∴AD∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD=BD，∴BD=CF且BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC且DF=BC（平行四边形的对边平行且相等），∵DE=EF=DF，∴DE∥BC且DE=BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴A1B1=AB，B1C1=BC，C1D1=CD，A1D1=AD，∴四边形A1B1C1D1的周长=×1=，同理可得，四边形A2B2C2D2的周长=×=，四边形A3B3C3D3的周长=×=，…，∴四边形的周长之和l=1++++…；（3）由图可知， +++…=1（无限接近于1），所以l=1++++…=2（无限接近于2）．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键．22．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．【解答】（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN（ASA），∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．23．已知两个等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共顶点C，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF 的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE 和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．【解答】（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴点B为线段AD的中点，又∵点M为线段AF的中点，∴BM为△ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．∵CG=CF=a，CA=CD=a，∴AG=DF=a，∴BM=ME=×a=a．解法二：如答图1b．∵CB=a，CE=2a，∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，∵△ABM≌△FDM，∴BM=DM，又∵△BED是等腰直角三角形，∴△BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．在△ACG与△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中点，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．24．如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF 并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME=∠CNE．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形△FAG是等边三角形，再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°，进而求出∠AGD=90°，故△AGD的形状可证．【解答】解：（1）取AC中点P，连接PF，PE，可知PE=，PE∥AB，∴∠PEF=∠ANF，同理PF=，PF∥CD，∴∠PFE=∠CME，又PE=PF，∴∠PFE=∠PEF，∴∠OMN=∠ONM，∴△OMN为等腰三角形．（2）判断出△AGD是直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，∵F是AD的中点，∴HF∥AB，HF=AB，同理，HE∥CD，HE=CD，∵AB=CD∴HF=HE，∵∠EFC=60°，∴∠HEF=60°，∴∠HEF=∠HFE=60°，∴△EHF是等边三角形，∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°，∴△AGF是等边三角形．∵AF=FD，∴∠FGD=∠FDG=30°∴∠AGD=90°即△AGD是直角三角形．【点评】解答此题的关键是作出三条辅助线，构造出和中位线定理相关的图形．此题结构精巧，考查范围广，综合性强．25．如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．（1）求证：CD∥AB；（2）求证：△BDE≌△ACE；（3）若O为AB中点，求证：OF=BE．【分析】（1）有BD=CD，可得∠1=∠BCD，那么就有∠2=∠BCD，从而CD∥AB；（2）由∠2=∠3，可得BE=AE，又因为CD∥AB，同样可知DE=CE，根据SAS即可证出：△BDE≌△ACE；（3）由于O是AB的中点，因此只需证得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位线，进而可得出OF=BE．根据（2）的全等三角形，可得出∠ACE=90°，因此可通过证CF是直角三角形ACE斜边上的中线，来得出AF=EF．【解答】证明：（1）∵BD=CD，∴∠BCD=∠1；∵∠1=∠2，∴∠BCD=∠2；（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．∵∠BCD=∠2=∠3，∴BE=AE．且∠CDA=∠BCD，∴DE=CE．在△BDE和△ACE中，∵．∴△BDE≌△ACE（SAS）；（3）∵△BDE≌△ACE，∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°∴∠ACH=90°﹣∠BCH；又∵CH⊥AB，∴∠2=90°﹣∠BCH；∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，∴AF=CF；∵∠AEC=90°﹣∠4，∠ECF=90°﹣∠ACH，又∵∠ACH=∠4，∴∠AEC=∠ECF。
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初二数学9.5 三角形的中位线能力训练
知识点：
1．三角形中位线的概念（如图）
连接三角形_____________的线段叫做三角形的中位线．
(1)∵在△ABC中，E、F分别为边AB和AC的_______，
∴EF为△ABC的_____________；
(2)若G为边BC的中点，则△ABC中有_______条中位线，分别是___________________．
2．三角形中位线的性质（如图）
三角形的中位线平行于_______，并且等于_______．
（1）∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥_______，EF＝_______，
（2）∵EG为△ABC的中位线，∴EG∥_______，EG＝_______，
（3）∵FG为△ABC的中位线，∴FG∥_______，FG＝_______．
练习：
1．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A．8 B．10 C．12 D．14
2．如图，□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（）A．12cm B．9cm C．6cm D．3cm
3．如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）
A．DE=DF B．EF=AB C．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC
4．如图，EF是△ABC的中位线，O是EF上一点，且满足OE=2OF．则△ABC的面积与△AOC的面积之比为（）
A．2 B．C．D．3
5．如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连结△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6
例题精讲
例1．（1）依次连接矩形的各边中点，得到的四边形是 ( )
A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形
（2）依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是 ( )
A．矩形B．菱形 C．正方形 D．梯形H
G
E
C
A
H
B
A
例2．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，求△ABC的周长．
例3．阅读下面的材料，回答问题，
（1）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，试说明△EFG的形状．
（2）延长EF，分别与AD、BC的延长线交于点M、N，求证△AME＝△BNE
例4．如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并说明你的理由．
拓展提高
（1）如图，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；
（2）如图，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若么EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．
M
N
F
D
C
B
A
F
G
D
C
B
A。