2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.3三角恒等变换

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三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形2 理

第二节三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－ cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D. 3.A [点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]10.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]15.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形3 理

3sin x ＋φ ⎪＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()⎛⎛1 3⎫ A. k π －，k π ＋ ⎪，k ∈ZB. 2k π －，2k π ＋ ⎪，k ∈Z⎛ 1 ⎛1 3⎫ C. k －，k ＋ ⎪，k ∈ZD. 2k －，2k ＋ ⎪，k ∈Z为 π ，当 x ＝时，函数 f (x )取得最小值，则下列结论正确的是()4.(2015·天津，15)已知函数 f (x )＝sin 2x －sin 2x － ⎪，x ∈R. (2)求 f (x )在区间⎢－， ⎥上的最大值和最小值.4 4⎭ 4⎭第三节 y ＝Asin ω x ＋φ 的图象和性质及其综合应用A 组三年高考真题（2016～2014 年）1.(2015·陕西，3)如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝⎛π ⎫ ⎝ 6 ⎭A.5B.6C.8D.102.(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数 f (x )＝cos(ω x ＋φ )的部分图象如图所示，则 f (x )的单调递减区间为()⎝⎝ 4 4⎭⎝ 4⎝4 4⎭ 3.(2015·安徽，10)已知函数 f (x )＝A sin(ω x ＋φ )(A ，ω ，φ 均为正的常数)的最小正周期2π3A.f (2)<f (－2)<f (0)B.f (0)<f (2)<f (－2)C.f (－2)<f (0)<f (2)D.f (2)<f (0)<f (－2)⎛ π ⎫ ⎝ 6 ⎭(1)求 f (x )的最小正周期；⎡ ππ ⎤ ⎣ 3 4 ⎦5.(2015·湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<⎪在某ωx＋φ0ππ3πy＝g(x)图象的一个对称中心为⎛5π，0⎪，求θ的最小值.关系：f(t)＝10－3cos t－sin t，t∈[0,24).1.(2016·河北衡水中学模拟)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM·ON＝0，则A·ω＝A. B. C.π D.π2.(2016·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ) A＞0，ω＞0，|φ|＜⎪的部分⎛π⎫⎝2⎭一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：222πxA sin(ωx＋φ)0π355π6－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若⎫⎝12⎭6.(2014·湖北，17)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数ππ1212(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？B组两年模拟精选(2016～2015年)π2→→()π7π7761263⎛π⎫⎝2⎭图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A. －＋2kπ，＋2kπ⎪，k∈ZB. －＋kπ，＋kπ⎪，k∈ZC. －＋2kπ，＋2kπ⎪，k∈ZD. －＋kπ，＋kπ⎪，k∈Z5π5π12125π5π66A.y＝sin x＋⎪B.y＝sin 2x－⎪C.y＝cos 4x－⎪D.y＝cos 2x－⎪⎛1⎫⎛1⎫⎛π⎫4.(2015·辽宁丹东模拟)设函数f(x)＝sin x＋θ⎪－3cos x＋θ⎪|θ|<⎪，且其图象⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎛3π⎫⎝⎝2⎭⎝2⎝2⎭A. 0，⎪ B. ，π⎪ C. －，－⎪ D. ，2π⎪5.(2015·河北正定模拟)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω>0，－<φ<⎪的图象关于直线π⎫π⎫6⎭6⎭3⎭x＝2π对称，它的周期为π，则(⎛1⎫A.f(x)的图象过点 0，⎪B.f(x)在⎢π，2π⎤上是减函数⎛5π⎫C.f(x)的一个对称中心是，0⎪6.(2016·辽宁五校协作体模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象⎛⎝6⎭⎪⎛π⎫⎛π⎫⎝12⎭⎝12⎭⎛π⎫⎛π⎫⎝6⎭⎝6⎭3.(2016·四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()⎛π⎫⎛⎛⎛π⎫⎝⎝⎝⎝6⎭⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭关于y轴对称，则函数y＝f(x)的一个单调递减区间是()2⎭4⎭⎛ππ⎫⎝22⎭3)⎝2⎭⎣123⎦⎝12⎭D.将f(x)的图象向右平移|φ|个单位得到y＝2sinωx的图象π2如图，令a n＝fnπ⎫，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝.⎛1⎫图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则f ⎪的值为. 8.(2016·山东烟台模拟)已知函数f(x)＝A cos2(ωx＋φ)＋1 A>0，ω>0，0<φ<⎪的最大(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及g(x)2.D[由图象知＝－＝1，∴T＝2.由选项知D正确.]3.A[由于f(x)的最小正周期为π,∴ω＝2,即f(x)＝A sin(2x＋φ),又当x＝时,2x＋φ＝＋φ＝2kπ－，∴φ＝2kπ－，又φ>0，∴φ＝，故f(x)＝A sin 2x＋⎪.6⎝6⎭1⎛π⎫⎛⎛13π⎫于是f(0)＝A，f(2)＝A sin 4＋⎪，f(－2)＝A sin －4＋⎪＝A sin －4⎪，π5ππ7ππ⎛π⎫又∵－<－4<<4－<，其中f(2)＝A sin 4＋⎪6⎭6⎭7.(2016·北京昌平区模拟)已知偶函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分⎝3⎭⎛π⎫⎝2⎭值为3，f(x)的图象与y轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＝.9.(2015·皖南八校三模)已知直线y＝2与函数f(x)＝2sin2ωx＋23sinωx cosωx－1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；π4取得最大值时x的取值集合.答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）1.C[由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.∴ymax＝k＋3＝8.]T512442π3 4ππ11π326minπ⎛π⎫2⎝⎝⎝6⎭26662⎝6⎭⎡ ⎛ π ⎫⎤ ⎛5π ⎫ ⎛13π ⎫＝A sin ⎢π － 4＋ ⎪⎥＝A sin －4⎪，f (－2)＝A sin －4⎪－4⎪⎥＝A sin 4－7π ⎫ ＝A sin ⎢π － ⎡ ⎛13π ⎫⎤ ⎛⎝ 6 ⎭⎦ ⎝6 ⎭ ⎪.又 f (x )在－， ⎪单调递增，∴f (2)<f (－2)<f (0)，故选 A.]1－cos 2x － ⎪f (x )＝－＝ cos 2x ＋ sin 2 x ⎪－ cos 2x ＝ sin 2x － cos＝ sin 2x － ⎪.所以 f (x )的最小正周期 T ＝2π ＝π .(2)因为 f (x )在区间⎢－，－ ⎥上是减函数，在区间⎢－， ⎥上是增函数，6 ⎭⎦ 3 ⎭ 1⎛1 π ⎤ 6 ⎦ f － ⎪＝－，f － ⎪＝－ ,f ⎪＝所以 f (x )在区间⎢－， ⎥上的最大值为，最小值为－ .ω ＝2，φ ＝－ .数据补全如下表：⎣ ⎝ ⎝ 6 ⎭ ⎝ 6 ⎭⎣⎛ ππ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4.解 (1)由已知，有⎛π ⎫ 1－cos 2x ⎝ 3 ⎫ 13 1 2 2 2⎝2 2 ⎭ 24 42x1 ⎛ π ⎫2 ⎝6 ⎭2⎡ π ⎡ ππ ⎤ ⎣ 3 ⎣ 6 4 ⎦⎝3⎭4⎝6⎭2⎝4⎭⎛ π ⎫ 1 ⎛ π ⎫ 1⎛π ⎫ 3 4，⎡ π π ⎤ 3 1 ⎣ 3 4 ⎦4 212且函数表达式为 f (x )＝5sin 2x － ⎪.(2)由(1)知 f (x )＝5sin 2x － ⎪，得 g (x )＝5sin 2x ＋2θ － ⎪.令 2x ＋2θ －＝k π ，解得 x ＝＋－θ ，k ∈Z.由于函数 y ＝g (x )的图象关于点5π，0⎪成中心对称，令k π ＋－θ ＝5ππ ⎫6 ⎭π 6ω x ＋φ0 π 2π 3π 22πxA sin(ω x ＋φ )π 120 π 35 7π 120 5π 6－513π⎛ π ⎫ ⎝6 ⎭⎛ ⎛ π ⎫ ⎝⎝ 6 ⎭因为 y ＝sin x 的对称中心为(k π ，0)，k ∈Z.π k π π 6212⎝ 12 ⎭21212⎫ π ，5－，k ∈Z.由 θ >0 可知，当 k ＝1 时，θ 取得最小值 .6.解 (1)因为 f (t )＝10－2cos ＋ sin12 212 ⎭⎝2 12⎝3 ⎭ －1≤sin t ＋ ⎪≤1.＋＝1；3 ⎭⎝12当 t ＝14 时，sin t ＋ ⎪＝－1.＋，故有 10－2sin t ＋ >11，即 sin t ＋ <－ . ⎪ ⎪ ⎪由OM ·ON ＝0，得 3 11π π 3π π⎛11 ⎫ ∵|φ |＜，∴φ ＝－ .所以 f (x )＝2sin 2x － ⎪，又 x ＝时，y ＝sin 2× ＋α ⎪＝1，∴ ＋α ＝2k π ＋ (k ∈Z)，解得 θ ＝k ππ ⎫⎛ 3 π ⎛π t ⎪＝10－2sin t ＋ ⎪，又 0≤t <24，所以 ≤ t ＋ < ，由(1)得 f (t )＝10－2sin ⎛π t π ⎫ 又 0≤t <24，因此 < t ＋ < ，即 10<t <18.T π π ⎛π ⎫ ⎛ 7 ⎫ 1.C [由题中图象知＝－，∴T ＝π ，∴ω ＝2.则 M ，A ⎪，N π ，－A ⎪，2＝A ，∴A ＝ π ，∴A ·ω ＝π .故选 C.] 2.B [A ＝2， T ＝－＝，所以 T ＝π ，ω ＝2.由 f π ⎪＝－2 得 φ ＝2k π － π 5π ⎫π ⎛ ⎛由 2x － ∈ 2k π －，2k π ＋ ⎪(k ∈Z)，得 x ∈ k π －，k π ＋ ⎪(k ∈Z).] 3.D [设 y ＝sin(ω x ＋α )，ω >0，α ∈ －， ⎪，T π⎛π ⎫ π 2π 由＝－－ ⎪＝，解得 T ＝π ，∴ω ＝＝2， ⎛ ⎪2 2 ⎭ππ 2 3 6tπ π π 7π3 12 3 3⎛π π ⎫⎝12 3 ⎭当 t ＝2 时，sin π t π ⎫⎛π π ⎫ ⎝12 3 ⎭于是 f (t )在[0，24)上取得最大值 12，取得最小值 8.故实验室这一天最高温度为 12℃，最低温度为 8℃，最大温差为 4℃.(2)依题意，当 f (t )>11 时实验室需要降温.⎛π π ⎫ ⎛π π ⎫ 1⎝12 3 ⎭ ⎝12 3 ⎭ ⎝123 ⎭ 27π π π 11π6 12 3 6故在 10 时至 18 时实验室需要降温.B 组两年模拟精选(2016～2015 年)4 3 12 ⎝12 ⎭ ⎝12 ⎭→ →7π 2 7 7 122 12 64 12 6 4 ⎝12 ⎭ 3(k ∈Z)，π π ⎛π ⎫ 2 3 ⎝3 ⎭3 ⎝⎝12 12 ⎭⎛ ππ ⎫ ⎝ 2 2 ⎭4 12 ⎝ 6 ⎭ 4 Tπ ⎛ π ⎫π π 12 ⎝ 12 ⎭ 6 2又 α ∈ －， ⎪，∴α ＝，∴y ＝sin 2x ＋ ⎪＝cos 2x － ⎪，故选 D.]⎛1 ⎫ ⎛1 ⎫ ⎛1 π ⎫ 4.C [因为 f (x )＝sin x ＋θ ⎪－ 3cos x ＋θ ⎪＝2sin x ＋θ － ⎪的图象关于 y 轴对π π1 ⎛ π π ⎫ 称且|φ |< ，所以 θ ＝－，所以 f (x )＝－2cos x 在－，－ ⎪递减，故选 C.]5.C [因为设函数 f (x )＝2sin(ω x ＋φ )(ω >0，－ <φ < )的图象关于直线 x ＝对π π ⎛5π ⎫ 6 6 ⎝ 12 ⎭＝0，所以 f (x )的一个对称中心是 ⎛5π ，0⎪，故选 C.]6.0 [ T ＝－＝，T ＝π ，故 ω ＝＝＝2，则 f (x )＝sin(2x ＋φ )，又 f (x )⎛π ⎫ 图象过点，1⎪.∴1＝sin 2× ＋φ ⎪，又|φ |< ，∴φ ＝，∴f (x )＝sin 2x ＋ ⎪，∴a 1＝sin 2× ＋ ⎪＝1， a 2＝sin 2×＋ ⎪＝， a 3＝sin 2× ⎛ π π ⎫ ⎛ 2π π ⎫ 1 ⎛ 3π π ⎫ 1 6 6 ⎭6 6 ⎭ 2 6 6 ⎭ 2 ＋ ⎪＝－， a 4＝sin2×⎛ 4π π ⎫ ⎛ 5π π ⎫ 1 ⎛ 6π π ⎫ 1＋ ⎪＝－1， a ＝sin 2× ＋ ⎪＝－， a ＝sin 2× ＋ ⎪＝，⎝6 6 ⎭ ⎝ ⎝ 6 6 ⎭ 2 a 7＝sin 2× ＋ ⎪＝1， a 8＝sin 2×⎛ 7π π ⎫ ⎛ 8π π ⎫ 1 6 6 ⎭6 6 ⎭ 2 ＋ ⎪＝， ……7. △[ KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，所以 A ＝，T ＝2，ω ＝＝ π ⎫π 3 ⎭3 π π 6 2 6 π 1 ⎛ ⎛1⎫ 1 ，∴ f (x )＝ sin π x ＋ ⎪，所以 f ⎪ ＝ 2 ⎭ ⎛π π ⎫ 1 ⎝ 3 2 ⎭ 48. 4030 [ 函数 f (x ) ＝ A cos 2(ω x ＋ φ ) ＋ 1＝ cos(2ω x ＋ 2φ ) ＋＋ 1(A >0， ω >0 ，0<φ < )的最大值为 3，所以 A ＝2，其相邻的两条对称轴的距离为 2，所以 ω ＝，所以 f (x ) ＝cos x ＋2φ ⎪＋2(A >0，ω >0，0<φ < )，又 f (x )的图象与 y 轴交点坐标为(0，2)，所以⎛ π π ⎫ ⎛ ⎛ π ⎫ ⎝ 2 2 ⎭ ⎝ ⎝ 6 ⎭⎝2 ⎭ ⎝2 ⎭ ⎝23 ⎭2 6 2 ⎝ 24 ⎭π π2π 2 2 3称，它的周期为 π ，所以 φ ＝，ω ＝2，所以 f (x )＝2sin(2x ＋ )，因为 f ⎪⎫ ⎝ 12 ⎭1 5π π π 2π 2π4 12 6 4 T π⎝ 6 ⎭⎛ π ⎫ ⎛π ⎫ ⎝ ⎭ ⎝6 ⎭⎝⎝ ⎝5 6⎝⎝观察规律可知 a n 的取值变化以 6 为周期，且每一个周期内的和为 0，又 2014＝6×335＋4，1 1则 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋a 2 014＝1＋2－2－1＝0.1 1 2π4 2 Tπ ，又 f (x )是偶函数， 0<φ <π ，所以 φ ＝ 2 2 ⎝ ⎝3⎭ 2sin ＋ ⎪＝ .A A2 2ππ 24⎛π ⎫π ⎝ 2 ⎭ 2φ ＝，f (x )＝－sin x ＋2， 2sin 2ω x － ⎪.＝π ，即 ω ＝1，所以 f (x )＝2sin 2x － ⎪. 令 2k π － ≤2x － ≤2k π ＋，其中 k ∈Z ，解得 k π － ≤x ≤k π ＋，其中 k ∈Z ，即 f (x )的单调递增区间为⎢k π －，k π ＋ ⎥，k ∈Z.(2)g (x )＝f x ＋ ⎪＝2sin ⎢2 ⎝x ＋ ⎪⎭－ ⎥＝2sin 2x ＋⎪，2sin 2x ＋ ⎪＝2，即 sin 2x ＋ ⎪＝1，即 2x ＋＝2k π ＋，其中 k ∈Z.解得 x ＝k π ＋(k所以当 g (x )取得最大值时 x 的取值集合为⎨x ⎪x ＝k π ＋，k ∈Z ⎬.⎩ ⎪⎭⎡⎛ π ⎫ π ⎤ π ⎫3 ⎭π π4 2而 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为 4，所以 f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030.]9. 解 (1)f (x )＝2sin 2ω x ＋2 3sin ω x ·cos ω x -1＝1-cos 2ω x ＋ 3sin 2ω x -1＝⎛ π ⎫⎝6 ⎭由题意可知函数的周期 T ＝2ω ⎝ 6 ⎭π π π π π 26 2 63⎡ π π ⎤ ⎣6 3 ⎦⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭⎣ 46 ⎦⎝3 ⎭则 g (x )的最大值为 2，此时有∈Z)，⎧⎪π⎫128。

2017版《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：第四章三角函数、解三角形(非常完整)

第一节三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825C.1D.16252.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4 3.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >bB 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北唐山模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9；其中符号为负的有( )A.①B.②C.③D.④2.(2016·山东菏泽模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α-cos α的值是( ) A.－75 B.－15 C.15 D.753.(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P (m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( )A.－3B.－92C.92 D.34.(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C.－34 D.±345.(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°,b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >b >c D.b >c >a6.(2016·太原模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin αcos α＝－1225，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 . 7.(2016·河北邢台模拟)已知α为第三象限角,且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为 . 8.(2016·山东日照模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.2.C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b >a .又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c >b .∴c >b >a .故选C.]B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [sin(-1000°)＝sin 80°>0;cos(-2200°)＝cos(-40°)＝cos40°>0，tan(-10)＝tan(3π-10)<0；sin 7π10·cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，故选C.] 2.A [由题意，sin α＝－45，cos α＝35，sin α－cos α＝－45－35＝－75，故选A.]3.A [cos α＝m 16＋m 2＝－35，∴m ＝－3，故选A.]4.B [因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B.]5. B [a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b <1；c ＝1，故选B.]6.17 [因为sin αcos α＝－1225，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α－cos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45⇒tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11＋34＝17.]7.－33 [ (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α所以m 2＋1＝4m 2，m 2＝13，又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，m ＝－33.] 8.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝3sin π3＝332. (2)∵sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35，f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫5π12－θ＋π6＝3sin(π－2θ)＝3sin 2θ＝6sin θcos θ＝6×45×35＝7225.第二节三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A.t ＝12，s 的最小值为π6B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11 B.9 C.7 D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称A.x ＝k π2－π6(k ∈Z )B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z )C.x ＝k π2－π12(k ∈Z )D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z )6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B.在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D.在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m 25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π2，0B.⎝⎛⎭⎫－π6，π3C.⎝⎛⎭⎫π3，5π6D.⎝⎛⎭⎫π2，π 4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎡⎦⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝⎛⎭⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A.函数f (x )的最小正周期是2π B.图象C 关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D.3.A [点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝12. 又由题意得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.] 5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎨⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos 3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，故选C.] 10.B [将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增，故选B.] 11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .] 15.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ).(2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编---三角恒等变换Word版含解析

新高考高三二轮总复习文科数学习题汇编课时跟踪检测[基础达标]1．(2017届南宁质量检测)已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( ) A.23 B.64 C.223D.326解析：由3sin2α＝2cos α，得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案：C2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89D.29解析：由sin α＋cos α＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718. 答案：B3．(2018届东北四市联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos π6＋α，则cos2α＝( )A ．1B ．－1 C.12D ．0解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，∴12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α，∴tan α＝sin αcos α＝－1， ∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0.答案：D4．已知sin2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于( )A ．－2B ．－1C ．－211D.211解析：由题意，可得cos2α＝－45，则tan2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan2α－tan (α－β)1＋tan2αtan (α－β)＝－2. 答案：A5．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：由题意知，sin A ＝－2cos B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，在等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.答案：A6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos2α＝725，则sin α＝( )A.45 B ．－45 C.35D ．－35解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210得sin α－cos α＝75.① 由cos2α＝725得cos 2α－sin 2α＝725，所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.② 由①②可得cos α＋sin α＝－15.③ 由①③可得sin α＝35. 答案：C7．若tan α＝3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．－210 B.210 C.5210D.7210解析：∵sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝35，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－210.答案：A8．已知cos(α＋β)＝16，且cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________．解析：因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：139．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 解析：由已知得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1， ∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴a ，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4. 答案：－3π410．已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ()α＋β的值，并求出α＋β的值．解：由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin β＝255，tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2<α＋β<3π2，∴α＋β＝5π4.11．(2017届广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值；(2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin2θ－cos2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝2425， cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin2θ－cos2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250. 12．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f 4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．解：(1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45，又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝ 817×45－1517×35＝－1385.[能力提升]1．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116 C.116 D.18 解析：cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. 答案：A2．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)＝( )A ．－12 B.12 C ．－13D.2327解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，因为cos α＝13，所以cos2α＝2cos 2α－1＝－79，所以sin2α＝1－cos 22α＝429.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327.故选D. 答案：D3．(2018届合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ， ∴g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin2x －1－cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，∵0≤x ≤2π3，∴－π6≤2x －π6≤7π6.∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1，故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。

2017版《3年高考2年模拟》高考数学(山西专用,理)训练：第4章第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数

第四章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数A组基础题组1.给出下列四个命题:①角-是第二象限角;②角是第三象限角;③角-400°是第四象限角;④角-315°是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.将表的分针拨快10分钟,则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A. B. C.- D.-3.已知角α的终边上有一个异于原点的点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )A.(-2,3]B.(-2,3)C.[-2,3)D.[-2,3]4.已知α是第二象限角,P(x,)为其终边上一点,且cos α=x,则x=( )A. B.± C.- D.-5.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.sin 2C.D.2sin 16.在与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为.7.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ是第象限角.8.在直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为.9.角α的终边上的点P与点A(a,b)关于x轴对称(a≠0,b≠0),角β的终边上的点Q与点A关于直线y=x对称,求++的值.10.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB的长.B组提升题组11.已知角θ是第四象限角,则sin(sin θ)( )A.大于0B.大于或等于0C.小于0D.小于或等于012.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )A.1B.-1C.3D.-313.若三角形的两个内角为α,β,且sin αcos β<0,则该三角形的形状为.14.设角α是第三象限角,且=-sin ,则角是第象限角.15.如图所示,动点P,Q从点A(4,0)出发沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求点P,点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长.答案全解全析A组基础题组1.C 角-是第三象限角,故①错误;=π+,从而角是第三象限角,故②正确;-400°=-360°-40°,从而③正确;-315°=-360°+45°,从而④正确.故选C.2.C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转,为负角.故A、B不正确,又因为拨快10分钟,故转过的角的大小应为圆周的.故所求角的弧度数为-×2π=-.3.A 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上,所以有-,,即-2<a≤3.4.D 依题意得cos α==x<0,由此解得x=-,选D.5.C 由题设可知,圆弧所在圆的半径r=,∴该圆心角所对的弧长为l=2r=.6.答案-π解析 2 010°=π=12π-,∴与2 010°角终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为-.7.答案二解析因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即, ,所以θ为第二象限角.8.答案(-1,)解析依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点B的坐标为(x,y),则x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=,即B(-1,).9.解析由题意可知点P(a,-b),则sin α=,cos α=,tan α=-,由题意可知点Q(b,a),则sin β=,cos β=,tan β=,∴++=-1-+=0.10.解析设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题意可得, ,解得,或,,∴α==或6.(2)∵2r+l=8,∴S扇形=lr=l·2r≤=×=4,当且仅当2r=l,即α==2时,扇形面积取得最大值4.此时r=2,AB=2sin 1×2=4sin 1.B组提升题组11.C ∵角θ为第四象限角,∴-1<sin θ<0,令α=sin θ,则-1<α<0,∴角α为第四象限角,∴sin α=sin(sin θ)<0.12.B 由α=2kπ-(k∈Z)知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.13.答案钝角三角形解析∵sin αcos β<0,且α,β为三角形的内角,∴sin α>0,cos β<0,∴β为钝角.故三角形为钝角三角形.14.答案四解析由α是第三象限角,知2kπ+π<α<2kπ+(k∈Z),∴kπ+<<kπ+(k∈Z),则是第二或第四象限角,又=-sin ,所以只能是第四象限角.15.解析设P,Q第一次相遇时所用的时间是t,则t·+t·-=2π. 所以t=4(秒),即第一次相遇时所用的时间为4秒.设第一次相遇时,相遇点为C,则∠COx=·4=,则P点走过的弧长为π·4=π,Q点走过的弧长为π·4=π;x C=-cos ·4=-2,y C=-sin ·4=-2.所以C点的坐标为(-2,-2).。

2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：12几何证明选讲

A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015·天津，5)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，则线段NE 的长为( )A.83B.3C.103D.522.(2014·天津，6)如图,△ABC 是圆的内接三角形,∠BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·F A :③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②④3.(2016·全国Ⅱ，22)如图，在正方形ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.4.(2016·全国Ⅲ，22)如图，⊙O 中AB ︵的中点为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .5.(2016·全国Ⅰ，22)如图，△OAB 是等腰三角形；∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆.(1)证明：直线AB与⊙O相切；(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.6.(2015·广东，15)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC ＝1，过圆心O做BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.7.(2015·重庆，14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若P A＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，则BE＝________.8.(2015·江苏，21)如图,在△ABC中,AB＝AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.求证：△ABD∽△AEB.9.(2015·湖南，16)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；(2)FE·FN＝FM·FO.10.(2015·陕西，22)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝2，求⊙O的直径.11.(2015·新课标全国Ⅱ，22)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC 交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB、AC分别相切于E、F两点.(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积.12.(2014·湖北，15)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过P A的中点Q作割线交⊙O于C，D两点.若QC＝1，CD＝3，则PB＝________.13.(2014·湖南，12)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于________.14.(2014·陕西，15B)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝______.15.(2014·广东，15)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.16.(2014·新课标全国Ⅱ，22)如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明： (1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.17.(2014·新课标全国Ⅰ，22)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE . (1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·安阳调研)如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.若AB＝AC，AE＝35，BD＝4，则线段AF的长为________.2.(2016·合肥检测)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.3.(2016·石家庄模拟)如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和CGE都是⊙O 的割线，AC＝AB.(1)证明：AC2＝AD·AE；(2)证明：FG∥AC.4.(2016·哈师大附中模拟)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，P A是过点A的直线，且∠P AC＝∠ABC.(1)求证：P A是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于点E，AC＝8，CE∶ED＝6∶5，AE∶EB＝2∶3，求sin∠BCE.5.(2016·长春模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F 为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N.(1)求证：B、E、F、N四点共圆；(2)求证：AC2＋BF·BM＝AB2.6.(2016·豫南九校3月模拟)如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F.(1)证明：A，E，F，M四点共圆；(2)若MF＝4BF＝4，求线段BC的长.7.(2015·昆明调研)如图，直线PC与圆O相切于点C，割线P AB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CE＝________.8.(2015·湖南十三校联考)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ＝2BF ，若CE 与圆相切，且CE ＝72，则BE ＝________.9.(2015·湖北孝感模拟)如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC ＝4，则AD ＝________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [根据相交弦定理可知，CM ·MD ＝AM ·MB ＝29AB 2＝8，CN ·NE ＝AN ·NB ＝29AB 2＝8，而CN ＝3，所以NE ＝83.选A.]2.D [①∠FBD ＝∠BAD ，∠DBC ＝∠DAC ，故∠FBD ＝∠CBD ，即①正确.由切割线定理知②正确.③△BED ∽△AEC ，故BE DE ＝AE CE，当DE ≠CE 时，③不成立.④△ABF ∽△BDF ，故AB AF ＝BD BF，即AB ·BF ＝AF ·BD ，④正确.故①②④正确，选D.] 3.(1) 证明因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF .因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.(2)解由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB .连接GB .由G 为Rt △DFC 斜边CD 的中点，知GF ＝GC ，故Rt △BCG ≌Rt △BFG .因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB 的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12.4. (1)解连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD ，所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，所以3∠PCD ＝180°，因此∠PCD ＝60°.(2)证明因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心，所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .5.证明 (1)设E 是AB 的中点，连接OE .因为OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，所以OE ⊥AB ，∠AOE ＝60°，在Rt △AOE 中，OE ＝12AO ,即O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径，所以直线AB 与⊙O 相切.(2)因为OA ＝2OD ，所以O 不是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心.设O ′是A ，B ，C ，D 四点所在圆的圆心，作直线OO ′.由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又O ′在线段AB 的垂直平分线上，所以OO ′⊥AB .同理可证，OO ′⊥CD ，所以AB ∥CD .6.8 [如图所示,连接OC ,因为OD ∥BC ,又BC ⊥AC ,所以OP ⊥AC .又O 为AB 线段的中点,所以OP ＝12BC ＝12.在Rt △OCD 中,OC ＝12AB ＝2,由直角三角形的射影定理可得OC 2＝OP ·OD ，即OD ＝OC 2OP ＝2212＝8，故应填8.]7.2 [首先由切割线定理得P A 2＝PC ·PD ,因此PD ＝623＝12,CD ＝PD -PC ＝9,又CE ∶ED ＝2∶1，因此CE ＝6,ED ＝3,再有相交弦定理AE ·EB ＝CE ·ED ,所以BE =CE ·ED AE =6×39=2.] 8.证明因为AB ＝AC ，所以∠ABD ＝∠C .又因为∠C ＝∠E ，所以∠ABD ＝∠E ，又∠BAE 为公共角，可知△ABD ∽△AEB . 9.证明 (1)如图所示，因为M ,N 分别是弦AB ,CD 的中点,所以OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,即∠OME ＝90°,∠ENO ＝90°,因此∠OME ＋∠ENO ＝180°,又四边形的内角和等于360°,故∠MEN ＋∠NOM ＝180°.(2)由(1)知，O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FE ·FN ＝FM ·FO .10.(1)证明因为DE 为⊙O 直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝AD CD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.11.(1)证明由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)解由(1)知,AE ＝AF ,AD ⊥EF ,故AD 是EF 的垂直平分线,又EF 为⊙O 的弦,所以O 在AD 上.连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ,所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 12.4 [由切割线定理得QA 2＝QC ·QD ＝1×(1＋3)＝4，∴QA ＝2，∵Q 为P A 的中点，∴P A ＝2QA ＝4.故PB ＝P A ＝4.]13.32[设AO 与BC 交于点M ,∵AO ⊥BC ，BC ＝22,∴BM ＝2，又AB ＝3,∴AM ＝1.设圆的半径为r ，则r 2＝(2)2＋(r －1)2，解得r ＝32.] 14.3 [∵四边形BCFE 内接于圆，∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACB ，∴EF BC ＝AE AC，又∵BC ＝6，AC ＝2AE ，∴EF ＝3.] 15.9 [依题意得△CDF ∽△AEF ，由EB ＝2AE 可知AE ∶CD ＝1∶3.故△CDF 的面积△AEF 的面积＝9.] 16.证明 (1)连接AB ，AC .由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ︵＝EC ︵.因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得P A 2＝PB ·PC .因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.17.证明(1)由题设知A ,B ,C ,D 四点共圆,所以∠D =∠CBE .由已知得∠CBE =∠E ,故∠D =∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD .所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E .由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.553[由切割线定理可知,AE 2＝EB ·ED ＝EB (EB ＋BD ),即45＝BE (BE ＋4)，解得EB ＝5， ∵AC ∥BD ，∴AC ∥BE ，∵过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，∴∠BAE ＝∠C ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠ABC ＝∠BAE ，∴AE ∥BC ，∴四边形AEBC 是平行四边形， ∴EB ＝AC ，∴AC ＝AB ＝BE ＝5，∴BC ＝AE ＝35，∵△AFC ∽△DFB ，∴AC BD ＝CF BF ，即54＝CF 35－CF ，解得CF ＝553.故答案为：553.] 2.125° [连接BD ,由题意知,∠ADB =∠MAB =35°,∠BDC =90°,故∠ADC =∠ADB +∠BDC =125°.]3.证明 (1)因为AB 是⊙O 的一条切线，AE 为割线，所以AB 2＝AD ·AE ，又因为AB ＝AC ，所以AC 2＝AD ·AE .(2)由(1)得AD AC ＝AC AE.∵∠EAC ＝∠CAD ，∴△ADC ∽△ACE ， ∴∠ADC ＝∠ACE .∵∠ADC ＝∠EGF ，∴∠EGF ＝∠ACE ，∴GF ∥AC .4.(1)证明 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝π2，∠CAB ＋∠ABC ＝π2， ∵∠P AC ＝∠ABC ，∴∠P AC ＋∠CAB ＝π2，∴P A ⊥AB ，∵AB 为直径，∴P A 为圆的切线. (2)解 CE ＝6k ，ED ＝5k ，AE ＝2m ，EB ＝3m ，∵AE ·EB ＝CE ·ED ，∴m ＝5k ，连接BD ，AD ，∵△AEC ∽△DEB ⇒BD 8＝3m 6k⇒BD ＝45， △CEB ∽△AED ⇒BC 2AD 2＝25m 2－6425m 2－80＝⎝⎛⎭⎫3k m 2⇒m ＝2，k ＝255，∴AB ＝10，BD ＝4 5. 在直角三角形ADB 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝4510＝255，∵∠BCE ＝∠BAD ，∴sin ∠BCE ＝255. 5.证明 (1)连接BN ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠BNF ＝90°.又CD ⊥AB ，则∠BEF ＝∠BNF ＝90°，即∠BEF ＋∠BNF ＝180°，则B 、E 、F 、N 四点共圆.(2)由直角三角形的射影定理可知AC 2＝AE ·AB ，由Rt △BEF 与Rt △BMA 相似可知：BF BA ＝BE BM， BF ·BM ＝BA ·BE ＝BA ·(BA －EA )，BF ·BM ＝AB 2－AB ·AE ，则BF ·BM ＝AB 2－AC 2，即AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.6. (1)证明连接AM .由AB 为直径可知∠AMB ＝90°，又因为CD ⊥AB ，所以∠AEF ＝90°，所以∠AMF ＋∠AEF ＝180°，因此A ，E ，F ，M 四点共圆.(2)解连接AC ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，知BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ABC 中，BC 2＝BE ·BA .又由MF ＝4BF ＝4知BF ＝1，BM ＝5，所以BC 2＝5，BC ＝ 5.7. 125[如图,∵PC 为圆O 切线，C 为切点P AB 为割线且PC ＝4，PB ＝8，∴PC 2＝P A ·PB ，∴P A ＝2，∴OA ＝12(PB －P A )＝3，∴PO ＝OA ＋AP ＝3＋2＝5，连接OC ，则OC ⊥PC ，在Rt △OCP 中，OC ＝3，PC ＝4，PO ＝5，且CE ⊥OP . ∴OP ·CE ＝OC ·PC ，∴CE ＝3×45＝125.] 8.12 [由AF ·BF ＝DF ·CF 得BF ＝1，又CE 2＝BE ·AE ，得BE ＝12.] 9.83[由题意可知BD 与BC 相等，BD ＝BC ＝4，OB ＝OC 2＋BC 2＝25， ∴sin 12∠B ＝55，cos 12∠B ＝255，∴sin ∠B ＝2sin 12∠B ·cos 12∠B ＝45， ∵AC ⊥BC ，∴sin ∠A ＝cos ∠B ＝35，又∵AB ＝BC sin ∠A ＝203，∴AD ＝AB －BD ＝203－4＝83.]。

2017版高考数学二轮突破：专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形ppt课件

4 [答案] －5
[解析] 根据题意，cos α＝
－4 4 ＝－5. （－4）2＋32
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第8讲三角函数的图像与性质
核心知识聚焦
5 2． [2015· 福建卷改编] 若 sin α ＝－13，且 α 为第四象限角，则 tan α 的值等于________．测试要点：同角三角函数关系
题型：选择、填空分值：5 分难度：中等热点：利用三角函数定义、同角三角函数关系和诱导公式求值
考点考向探究
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第8讲三角函数的图像与性质
(1)已知 α 是第二象限角，其终边上的一点为 P(x， 2 5)，且 cos α＝ 4 x，则 tan α＝( ) 15 15 15 15 A. 5 B. 3 C．－ 5 D．－ 3 (2)已知 12sin α－5cos α＝13，则 tan α＝( ) 5 12 A．－12 B．－ 5 12 7 C．± 5 D．±12 例1
专题三
三角函数、三角恒等变换与解三角形
第8讲三角函数的图像与性质
第9讲三角恒等变换与解三角形
核心知识聚焦考点考向探究
第8讲
三角函数的图像与性质
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第8讲三角函数的图像与性质
核心知识聚焦
1．[2014· 全国卷改编] 已知角 α 的终边经过点(－4，3)，则 cos α ＝________．测试要点：三角函数定义
[答案] π
3 7 π＋kπ， π＋kπ（k∈Z） 8 8
核心知识聚焦
1－cos 2x 1 π 2 3 [解析] f（x）＝＋2sin 2x＋1＝ 2 sin2x－＋2， 2 4 π π 则最小正周期是π.单调递减区间： 2kπ＋ 2 ≤2x－ 4 ≤ 3π 3π 7π 2kπ＋ 2 （k∈Z）⇒kπ＋ 8 ≤x≤kπ＋ 8 （k∈Z）.

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形5 理

第五节解三角形A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·新课标全国Ⅱ，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B. 5C.2D.12.(2016·全国Ⅱ，13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ . 3.(2016·山东，16)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值.4.(2016·北京，15)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.5.(2016·四川，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc.(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.6.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小.7.(2016·全国Ⅰ，17)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 8.(2015·福建，12)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________. 9.(2015·广东，11)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.10.(2015·北京，12)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.11.(2015·重庆，13)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 12.(2015·天津，13)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.13.(2015·安徽，16)在△ABC 中，A ＝3π4，AB ＝6，AC ＝32，点D 在BC 边上，AD ＝BD ，求AD 的长.14.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.15.(2015·湖南17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角.(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围.16.(2015·新课标全国Ⅱ，17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长. 17.(2015·浙江，16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值.18.(2015·陕西，17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行. (1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积.19.(2014·天津，12)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b －c ＝14a,2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.20.(2014·江苏，14)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________.21.(2014·新课标全国Ⅰ，16)已知a ，b ，c ，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________.22.(2014·山东，12)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________.23.(2014·辽宁，17)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知B A →·B C →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.24.(2014·北京，15)如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.25.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值.26.(2014·安徽，16)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·山西阳泉一模)在锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab的范围是(a ，b 分别为角A ，B 的对边长)( )A.(2，3)B.(3，2)C.(0，2)D.(2，2)2.(2016·天津南开中学模拟)△ABC 中三个内角为A ，B ，C ，若关于x 的方程x 2－x cos A cosB －cos 2C2＝0有一根为1，则△ABC 一定是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形 3.(2016·大兴区模拟)在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，B ＝π3，则A 等于( )A.π6B.π4C.3π4D.π4或3π44.(2015·潍坊模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且c ＝42，B ＝45°，面积S ＝2，则b 等于( ) A.1132B.5C.41D.25 5.(2016·河北邢台模拟)在△ABC 中，|AB →|＝2，|AC →|＝3，AB →·AC →<0，且△ABC 的面积为32，则∠BAC ＝ .6.(2016·山东日照一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝ .7.(2016·长沙模拟)已知向量a ＝(2sin x ，3cos x )，b ＝(－sin x ，2sin x )，函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边且f (c )＝1,c ＝1,ab ＝23，a >b ，求a ，b 的值.8.(2015·广东茂名模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，则c 为 . 9.(2015·东北四校一模)如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝25，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为4，则AC 的长为 .10.(2015·甘肃模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B.(1)求cos B 的值；(2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值.11.(2015·安阳模拟)如图，角A 为钝角，且sin A ＝35，点P ，Q 分别是角A 的两边上不同于点A 的动点.(1)若AP ＝5，PQ ＝35，求AQ 的长；(2)设∠APQ ＝α，∠AQP ＝β，且cos α＝1213，求sin(2α＋β)的值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.B [S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.]2.2113 [在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.]3. (1)证明由题意知2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.4.解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0＜B ＜π，所以B ＝π4.(2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A ，0＜A ＜3π4.所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－A＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4∵0＜A ＜3π4，∴π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值为1.5.(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C . (2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B.故tan B ＝sin Bcos B＝4.6. (1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因sin B ≠0，得sin C ＝cos B.又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.7.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知,12ab sin C ＝332,又C ＝π3,所以ab ＝6,由已知及余弦定理得,a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.8.7 [S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7.]9.1 [因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin 2π3＝bsinπ6，解得b ＝1.]10.1 [由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin 2Asin C ＝2×34×74378＝1.]11. 6 [由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°,从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ,所以C ＝180°-120°-30°＝30°,AC ＝2AB cos 30°＝ 6.]12.8 [∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2， ∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.]13.解设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos ∠BAC ＝(32)2＋62－2×32×6×cos3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a ＝310.又由正弦定理，得sin B ＝b sin ∠BAC a ＝3310＝1010，由题设知0<B <π4，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－110＝31010.在△ABD 中，由正弦定理，得AD ＝AB ·sin B sin （π－2B ）＝6sin B 2sin B cos B ＝3cos B＝10.14.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 15.(1)证明由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)解由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98. 16.解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin ∠B sin ∠C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2.在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.17.解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.18.解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)法一由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332.法二由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217，又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277，故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332.19.－14 [由已知及正弦定理，得2b ＝3c ，因为b －c ＝14a ，不妨设b ＝3，c ＝2，所以a＝4，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]20.6－24[由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－14（a ＋2b ）22ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a ＝2b时取等号，所以cos C 的最小值是6－24.] 21. 3 [因为a ＝2，所以(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0<A <π，故A ＝π3，又cos A ＝12＝b 2＋c 2－42bc≥2bc －42bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c 时取等号，由三角形面积公式知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ≤3，故△ABC 面积的最大值为 3.] 22.16 [根据平面向量数量积的概念得AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ，当A ＝π6时，根据已知可得|AB →|·|AC →|＝23，故△ABC 的面积为12|AB →|·|AC →|·sin π6＝16.]23.解 (1)由BA →·BC →＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B .又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－（13）2＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.24.解 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC -∠B )＝sin ∠ADC cos ∠B -cos ∠ADC sin ∠B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos∠B ＝82+52-2×8×5×12＝49.所以AC＝7.25.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ). (2)解 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立.∴cos B 的最小值为12.26.解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1. A [∵A ＝2B ，∴根据正弦定理得：a b ＝sin A sin B ＝2sin B cos Bsin B＝2cos B.(sin B ≠0)，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＋C ＝180°，即C ＝180°－3B ，∵角C 为锐角，∴30°<B <60°，又0°<A ＝2B <90°，∴30°<B <45°， ∴22<cos B <32，即2<2cos B <3，则ab的取值范围是(2，3)，故选A. 2.B [依题意，可得1－cos A cos B －cos 2C2＝0，∵cos 2C 2＝1＋cos C 2＝1－cos （A ＋B ）2＝1－cos A cos B ＋sin A sin B 2 ∴1－cos A cos B －1－cos A cos B ＋sin A sin B 2＝0，整理得：cos(A －B )＝1，又A ，B 为△ABC 内角，∴A ＝B ，∴三角形为等腰三角形，故选B.]3.B [因为b >a ，由正弦定理得到sin A ＝22，∴A ＝π4，故选B.] 4.B [∵c ＝42，B ＝45°，又面积S ＝12ac sin B ＝12×42×22a ＝2，解得a ＝1，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝1＋32－2×1×42×22＝25，∴b ＝5.] 5.5π6 [在△ABC 中，S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝32，即12×2×3sin∠BAC ＝32，解得sin ∠BAC ＝12，又∵AB →·AC →<0，∴∠BAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴∠BAC ＝5π6.]6.233[由正弦定理可得a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，代入上式得，2(a 2＋b 2)＝23ab sin C ＋2ab cos C ， ∴2(a 2＋b 2)＝4ab ⎝⎛⎭⎪⎫32sin C ＋12cos C ＝4ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，∴a 2＋b 2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤2ab ，又a 2＋b 2≥2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，∴a ＝b ，且C ＝π3，∴△ABC 为正三角形，∴2R ＝asin A＝2sinπ3＝433，∴R ＝233.] 7. 解 (1)由题意得f (x )＝-2sin 2x ＋23sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).∴f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ).(2)由(1)和条件可得f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6－1＝1，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1.∵角C 是三角形内角，∴2C ＋π6＝π2，即C ＝π6.∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝32，又c ＝1，ab ＝23，∴a 2＋12a2＝7，解得a 2＝3或a 2＝4，∴a ＝3或2，b ＝2或3，∵a >b ，∴a ＝2，b ＝ 3.8. 7 [∵a ＝3，C ＝120°，△ABC 的面积S ＝1534，∴1534＝12ab sin C ＝12×3b sin 120°，解得b ＝5.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49.解得c ＝7.故答案为7.]9.4或2 2 [设∠BCD ＝θ，则在△BCD 中，S △BCD ＝12×25×2sin θ＝4，即sin θ＝255,则cos θ＝±55,BD 2＝20＋4－85×⎝ ⎛⎭⎪⎫±55＝16或32，即BD ＝4或4 2. ①当BD ＝4时，4sin θ＝2sin B，即sin B ＝55，此时AC sin B ＝BC sin A ，即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝4； ②当BD ＝42时，42sin θ＝2sin B ，即sin B ＝1010，此时AC sin B ＝BC sin A，即AC ＝sin B ·BCsin 30°＝2 2.综上，AC 的长为4或2 2.]10.解 (1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，则2R sin B cos C ＝6R sin A cos B －2R sin C cos B ，故sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，即sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，可得sin A ＝3sin A cos B.又sin A ≠0，因此cos B ＝13.(2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2，又cos B ＝13，故ac ＝6，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得a 2＋c 2＝12，所以(a －c )2＝0，即a ＝c ，所以a ＝c ＝ 6. 11.解 (1)∵∠A 是钝角，sin A ＝35，∴cos A ＝－45，在△AQP 中，由余弦定理得PQ 2＝AP 2＋AQ 2－2AP ·AQ cos A ，∴AQ 2＋8AQ －20＝0，解得AQ ＝2或－10(舍去)，∴AQ ＝2.(2)由cos α＝1213，得sin α＝513.在△APQ 中，α＋β＋A ＝π，又sin(α＋β)＝sin(π－A )＝sin A ＝35，cos(α＋β)＝－cos A ＝45，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝513×45＋1213×35＝5665.。

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第二章函数2 文

第二节函数的基本性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )，当x ＞12时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A.－2B.－1C.0D.22.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 3.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x4.(2015·福建，3)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x5.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x6.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．4 7.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －xB ．y ＝x 3C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |8.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x9.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是27偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数10.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin x C ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x11.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x＋2－x12.(2016·北京，10)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.13.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.14.(2015·福建，5)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值为________．15.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.16.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.17.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A.－4 B.4 C.－6D.62.(2016·郑州质量预测)已知f (x )，g (x )是定义域为R 的不恒为零的函数，其中f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则下列说法不正确的是( ) A.函数|f (x )|为偶函数 B.函数－g (－x )为奇函数C.函数f [g (x )]为偶函数D.函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数淘出优秀的你283.(2016·云南省名校统考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A.－1B.45C.1D.－454.(2016·日照诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n －2f (1)<0，则n m的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e C.(e ，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞) 5.(2015·洛阳市统考)设f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，若f (x )在[－2，0]上单调递减，则使f (a 2－a )＜0成立的实数a 的取值范围是( ) A.[－1，2] B.[－1，0)∪(1，2] C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)6.(2015·山西太原模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<07.(2016·湖南四大名校3月联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x （x >0），g （x ）（x <0），若f (x )为奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14的值为________.8.(2015·湖南长沙二模)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质： ①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴； ②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为答案精析29A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1， ∴f (6)＝f (1).当x ＜0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D. 答案 D2.解析由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2 知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A3.解析由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数．答案 B4.解析由奇函数定义易知y ＝e x －e －x为奇函数，故选D. 答案 D5.解析对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. 答案 D6.解析设f (x )上任意一点为(x ，y )，该点关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C7.解析分别画出四个函数的图象，如图所示：淘出优秀的你30因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除C ；因为指数函数y ＝e －x在定义域内单调递减，故排除A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，故排除D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数．故选B. 答案 B8.解析因为y ＝x 2在(－∞，0)上是单调递减的，故y ＝1x2在(－∞，0)上是单调递增的，又y ＝1x2为偶函数，故A 对；y ＝x 2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B 错； y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x 为非奇非偶函数，故D 错．所以选A.答案 A9.解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C.答案 C10.解析选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数．答案 A11.解析函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x＋2－x，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x为偶函数，故选D. 答案 D 12.解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则f (x )最大值为f (2)＝22－1＝2.答案 213.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－ 2.31答案－214.解析 ∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )的对称轴x ＝1， ∴a ＝1，f (x )＝2|x －1|，∴f (x )的增区间为[1，＋∞). ∵[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m ≥1. ∴m 的最小值为1. 答案 115.解析因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 316.解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案 51617.解析由已知易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.答案 1B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.答案 A2.解析对于选项A ，|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，即函数|f (x )|为偶函数，A 正确；对于选项B ，－g [－(－x )]＝－g (x )＝－g (－x )，所以函数－g (－x )为偶函数，B 错误；对于选项C ，f [g (－x )]＝f [g (x )]，所以函数f [g (x )]为偶函数，C 正确；对于选项D ，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )，所以函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数，D 正确. 答案 B淘出优秀的你323.解析 ∵x ∈(0，1)，－x ∈(－1，0)， ∴f (－x )＝2－x＋15＝－f (x )，即f (x )＝－2－x－15，x ∈(0，1).由f (x －2)＝f (x ＋2)，可得f (x )＝f (x －4). ∵4＜log 220＜5，∴0＜log 220－4＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝－2－(log 220－4)－15＝－1.答案 A4.解析因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n ＝f (－ln n m)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m .于是，原不等式可化为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m <f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m <f (1)，由函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m>1，即ln n m >1或ln n m <－1，解得n m >e 或0<n m <1e .故n m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞). 答案 D5.解析 ∵f (x )是[－2，2]上的奇函数，∴f (0)＝0，f (a 2－a )＜0＝f (0)，又∵f (x )在[－2，0]上单调递减， ∴f (x )在[0，2]也单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，－2≤a 2－a ≤2，即a ∈[－1，0)∪(1，2]. 答案 B6.解析由f (x ＋1)＝f (－x )可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又函数f (x )为奇函数，故f (x ＋1)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，又当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，故可得到函数f (x )的大致图象如图所示.由图象可知选B. 答案B337.解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－log 214＝－log 22－2＝2.答案 28.解析由②知f (x )的周期为4，由③知f (x )在[1，3]上为减函数， ∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)， ∴f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011). 答案 f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)。

《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：4.4三角恒等变换(含答案解析)

第四节三角恒等变换A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，7)函数f(x)＝(3sin x ＋cos x)(3cos x －sin x)的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.3π2 D.2π2.(2016·全国Ⅱ，9)若cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15C.－15D.－7253.(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C.－1010D.－310104.(2015·新课标全国Ⅰ，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32 C.－12 D.125.(2014·新课标全国Ⅰ，8)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A.3α－β＝π2 B.3α＋β＝π2 C.2α－β＝π2 D.2α＋β＝π26.(2016·四川，11)cos 2π8－sin 2π8＝ .7.(2015·四川，12)sin 15°＋sin 75°的值是 .8.(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________.9.(2015·山东，16)设f(x)＝sin xcos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.10.(2014·新课标全国Ⅱ，14)函数f(x)＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________. 11.(2014·江西，16)已知函数f(x)＝sin(x ＋θ)＋acos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. (1)若a ＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f(π)＝1，求a ，θ的值.12.(2014·广东，16)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫3π4－θ.13.(2014·江苏，15)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东湛江模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A.－235 B.235 C.45 D.－452.(2016·开封二模)若点P(cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos 2θ＋sin 2θ＝( ) A.－15 B.－12 C.15 D.123.(2016·广东揭阳模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，则sin 2x ＝( ) A.－35 B.105 C.35 D.14.(2015·安徽淮北一模)sin 20°cos 20°cos 50°＝( )A.2B.22 C. 2 D.125.(2015·甘肃模拟)定义行列式运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3.若将函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π66.(2015·昆明一中一模)化简sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α的结果为( )A.sin 2αB.cos 2αC.sin αD.cos α 7.(2016·河南豫东豫北模拟)已知sin α＝3cos α，则cos 2α1＋sin 2α＝ .8. (2016·湖北武汉十六中模拟)已知函数f(x)＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值.9.(2016·长春检测)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，3cos x3，函数f(x)＝a·b. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f(x)的值域.10.(2016·菏泽模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －c a ＝cos Ccos A .(1)求角A 的大小；(2)求函数y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6的值域.11.(2015·广东茂名模拟)已知函数f(x)＝sin 2xcos φ＋cos 2xsin φ(x ∈R ，0<φ<π)，f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求f(x)的解析式；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2－π3＝513，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1. B [∵f(x)＝2sin xcos x ＋3(cos 2x －sin 2x)＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝π，故选B.]2. D [因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝2×925－1＝－725，故选D.]3.C [设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan A ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos A ＝－1010.]4.D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]5.C [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β,即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α,又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α,所以sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α,又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以－π2<α－β<π2,0<π2－α<π2,因此α－β＝π2－α,所以2α－β＝π2，故选C.] 6. 22 [由题可知，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22(二倍角公式).] 7.62 [sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝62.] 8.3 [∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3.]9.解 (1)由题意知f(x)＝sin 2x 2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x≤3π4＋k π，k ∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋kπ，π4＋kπ(k ∈Z)；单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋kπ，3π4＋kπ(k ∈Z). (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立.因此12bcsin A≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 10.1 [f(x)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin(x ＋φ－φ)＝sin x ，因为x ∈R ，所以f(x)的最大值为1.] 11.解 (1)f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝22(sin x ＋cos x)－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ，因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈⎣⎡⎦⎤－3π4，π4，故f(x)在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，f （π）＝1得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin 2θ－s in θ－a ＝1，又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.12.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫5π12＝Asin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π4＝32，∴A·32＝32，A ＝ 3. (2)f(θ)＋f(－θ)＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＋3·sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π4＝32， ∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)]＝32，∴6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 13.解 (1)因为a ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310. B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.D [ sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin α＝sin π3cos α＋cos π3sin α＋ sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝sin ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.] 2. A [若点P(cos θ，sin θ)在直线x ＋2y ＝0上，则cos θ＋2sin θ＝0，即tan θ＝－12.故cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θ＋2tan θtan 2θ＋1＝－15，故选A.] 3. C [tan ⎝⎛⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ＝2，所以tan x ＝13，则 sin 2x ＝2sin xcos x ＝2sin xcos x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 1＋tan 2x ＝35.] 4.D [sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12，故选D.]5.A [解析 f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－sin x cos x 1 －3＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6向左平移m(m>0)个单位后，所得图象对应的函数f(x)＝2sin(x －π6＋m)为奇函数，所以m 的最小值是π6，故选A.]6. A [4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝4cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α·tan ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝4cos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2α， ∴sin 4α4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αtan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin 4α2cos 2α ＝2sin 2αcos 2α2cos 2α＝sin 2α.7.－12 [由sin α＝3cos α得tan α＝3.所以cos 2α1＋sin 2α＝cos 2α－sin 2α（sin α＋cos α）2＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12.]8. 解 (1)∵f(x)＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin 2x －1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝sin 2x ＋12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12 ＝12－12cos 2x ＋12⎝⎛⎫cos 2xcos π3＋sin 2xsin π3－12 ＝－12cos 2x ＋14cos 2x ＋34sin 2x＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，2x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，π2，则2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，π3， ∴12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，34.故f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值分别为34，－12. 9.解 (1)向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，3cos x3，则函数f(x)＝a·b ＝sin x 3cos x 3＋3cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3＋32，令2kπ－π2≤2x 3＋π3≤2kπ＋π2，(k ∈Z).解得3kπ－54π≤x≤3kπ＋π4，(k ∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤3kπ－54π，3kπ＋π4，(k ∈Z). (2)∵b 2＝ac.∴cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又－1<cos x<1，∴12≤cos x<1，∴0<x≤π3，∴π3<2x 3＋π3≤5π9，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3≤1， ∴3<sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋π3＋32≤1＋32，即函数f(x)的值域为⎝⎛⎦⎤3，1＋32. 10.解 (1)由2b －c a ＝cos Ccos A ，利用正弦定理可得，2sin Bcos A －sin Ccos A ＝sin Acos C ，化为2sin Bcos A ＝sin(C ＋A)＝sin B.∵sin B≠0，∴cos A ＝12，∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝π3. (2)y ＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫C －π6＝3sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫π－π3－B －π6＝3sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵B ＋C ＝2π3，0<B<π2，0<C<π2，∴π6<B<π2，∴π3<B ＋π6<2π3，∴32<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，∴3<y≤2，即函数的值域为(3，2].11. 解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π4＝32，可得到sin π2cos φ＋cos π2sin φ＝32，所以cos φ＝32，又∵0<φ<π，∴φ＝π6. 所以f(x)＝sin 2xcos π6＋cos 2xsin π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α2－π3＝513可得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α2－π3＋π6＝513，即sin ⎝⎛⎫α－π2＝513，所以cos α＝－513，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213.sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝1213×22－513×22＝7226.。

专题4.2 三角恒等变换-3年高考2年模拟1年原创备战2019高考精品系列之数学(文)(原卷版)

第四章三角函数专题2三角恒等变换（文科）【三年高考精选】1. 【2018年文新课标I 卷】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则A.B.C.D.2. 【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A.B.C.D.3.【2018年文数全国卷II 】已知，则__________． 4.【2017课标1，文】已知，tanα=2，则=______________．5.【2017课标II ，文】．函数的最大值为__________. 6．【2017课标3，文】已知，则（）．A.B.C.D.7．【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ–π4）= .8．【2016高考新课标2文数】函数()πcos26cos 2f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 79．【2016高考新课标3文数】若tan 13θ=，则cos 2θ= （A ）45-（B ）15-（C ）15 （D ）45【三年高考刨析】【2019年高考命题预测】从近年高考试题来看，三角函数恒等变形是高考必考题型，故预测2019年高考若单独命题出在选择或填空题中，以求值为主，也有可能和三角函数图像性质，解三角形结合出题，可能出一个大题．【2019年一轮复习指引】三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多数省份对于三角恒等变换的考查，是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．故在2019年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识. 在2019年复习备考过程中既要注重以下几点：1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 2．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 3．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系. （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 4．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据21cos 2sin2αα-=求sin α的值时，sin α=中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin 0α≥时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【2019年高考考点定位】高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．考点一、利用诱导公式恒等变换典例1【贵州省贵阳市2018年适应性考试（二）】已知,且,则( )A ．B ．C ．D ．【备考知识梳理】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=-诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-= 公式六：sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.公式七：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭公式八：3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 公式九：3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成错误！未找到引用源。

2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.4解三角形

第四节解三角形A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.32.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π63.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b <c ,则b ＝( )A. 3B.2 2C.2D. 34.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.6.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.7.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.8.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.12.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.13.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 14.(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.15.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值.16.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.17.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin ∠B sin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B .19.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 20.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33， sin (A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 21.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A . (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C .22.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2 A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ,求cos B ；(2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．24.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．25.(2014·山东，17)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．26.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2， ∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ,则角C为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6D.2π32.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332D.3 33.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg ⎝⎛⎭⎫1c ＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m6.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝( ) A.4 B.3 C.7D.67.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.8.(2015·太原模拟)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )·(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C . (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D2.解析在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.解析由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C5.解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sinA cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sinB sin A ＝2113.答案21136.解析由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1.答案 17.解析由正弦定理得sin ∠B ＝b sin ∠A a ＝6sin2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4.答案 π48.解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 答案 49.解析已知∠C ＝60°，由正弦定理得AC sin ∠B ＝ABsin ∠C，∴AC ＝6sin 45°sin 60°＝6×2232＝2.答案 210.解析依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，得BC ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝1006(m)．答案 100611.解析在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝AC sin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m ．答案 15012.解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π313.解析在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A ，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，所以AB ＝22－（3）2＝1.答案 114.解析根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A ＝a sin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158). 答案 215815.(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.16.(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0). 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得：sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ). 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C .(2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.17.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 所以sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 18.解 (1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DC sin ∠CAD. 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 19.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. 20.解在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角，所以cos C ＝539.所以sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69 ＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1. 21.解 (1)由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A ，得sin A ＝sin B ·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0，∴1＝sin B cos A，即sin B ＝cos A . (2)由sin C －sin A cos B ＝43知，sin(A ＋B )－sin A cos B ＝43， ∴cos A sin B ＝34. 由(1)知sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos A ＝32，A ＝π6，sin B ＝32，B ＝2π3， ∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 22.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)因为tan A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9. 23.解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.24.解 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C 可得：sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知：a ＋b ＝3c .又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.25.解 (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2 A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63. 由正弦定理可得b ＝a sin B sin A ＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )．所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322. 26.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C ) ]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 27.解设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理得，EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC . 由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0.解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得，EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2·327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α ＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α ＝－12·277＋32·217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47. B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意得a 2＋b 2－c 22ab ＝12＋tan C，则cos C ＝cos C 2sin C ，所以sin C ＝12，所以C ＝π6或5π6. 答案 A2.解析由c 2＝(a －b )2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，C ＝π3. 由余弦定理得2ab cos C ＝2ab －6，则ab ＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C3.解析由lg b ＋lg ⎝⎛⎭⎫1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b . 由lg sin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得a ＝b ，故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.答案 D4.解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ， ∴(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C 可整理为sin 2B sin A cos B ＝sin 2A cos A sin B ， ∵A ，B 为△ABC 内角，∴sin A ≠0，sin B ≠0，故sin 2A ＝sin 2B ，即2A ＝2B 或2A ＝180°－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝90°.答案 D5.解析在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，AB ＝502(m). 答案 A6.解析由tan A ＝7tan B 可得sin A cos A ＝7sin B cos B，即sin A cos B ＝7sin B cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝8sin B cos A ，即sin(A ＋B )＝sin C ＝8sin B cos A ，由正、余弦定理可得c ＝8b ·b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝4b 2＋4c 2－4a 2，又a 2－b 2c＝3，所以c 2＝4c ，即c ＝4.故选A. 答案 A7.解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝158. 答案 1588.解 (1)∵(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ，∴由正弦定理得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)由A ＝π3得B ＋C ＝2π3， ∴3sin B －cos C ＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B 、＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1.。

2017版《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：13坐标系与参数方程

A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2014·安徽，4)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14B.214C. 2D.2 22.(2014·北京，3)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上 3.(2014·江西，11(2))若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π44.(2016·北京，11)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________.5.(2016·全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t (t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .6.(2016·全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,|AB |＝10,求l 的斜率.7.(2016·全国Ⅲ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标系方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.8.(2015·广东，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________.9.(2015·北京，11)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________. 10.(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________.11.(2015·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛⎭⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________.12.(2015·江苏，21)已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.13.(2015·新课标全国Ⅰ,23)在直角坐标系xOy 中,直线C 1：x ＝－2,圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.14.(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m (m ∈R ). ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； ②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.15.(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 16.(2014·湖北，16)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________.17.(2014·重庆，15)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.18.(2014·天津，13)在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.若△AOB 是等边三角形，则a 的值为________.19.(2014·湖南，11)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________.20.(2014·广东，14)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为________.21.(2014·辽宁，23)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.22.(2014·江苏，21C)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北石家庄调研)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρ＝2 B.θ＝π2C.ρcos θ＝2D.ρsin θ＝22.(2016·郑州调研)在平面直角坐标系下,曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数),曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围是________. 3(2016·高考全国模拟一)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)倾斜角α＝π6的直线l 经过点P (1，2).(1)写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |的值.4.(2016·南昌模拟)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同.直线l 的极坐标方程为：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝10，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，其中α∈[0，2π).(1)试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.5.(2016·洛阳模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝－2＋22t (其中t 为参数).现以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ(1)写出直线l 和曲线C 的普通方程；(2)已知点P 为曲线C 上的动点，求P 到直线l 的距离的最大值.6.(2015·湖北孝感模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，曲线C 在点(1，1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.D [由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3消去t 得x －y －4＝0，C ：ρ＝4cos θ⇒ρ2＝4ρcos θ,∴C ：x 2＋y 2＝4x ,即(x －2)2＋y 2＝4,∴C (2，0),r ＝2. ∴点C 到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，∴所求弦长＝2r 2－d 2＝2 2.故选D.]2.B [曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1,该曲线为圆,圆心(－1，2)为曲线的对称中心,其在直线y ＝－2x 上,故选B.]3.A [∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤π2.故选A.]4.2 [直线的直角坐标方程为x －3y －1＝0,圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ,即(x －1)2＋y 2＝1.圆心坐标为(1，0)，半径r ＝1.点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，所以|AB |＝2r ＝2.]5.解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2,C 1是以(0，1)为圆心,a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中,得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ-8sin θcos θ+1-a 2＝0,由已知tan θ＝2,可得16cos 2θ-8sin θcos θ＝0，从而1-a 2＝0，解得a ＝-1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上. 所以a ＝1.6.解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ).设A ,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44.由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.7.解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 8.522 [依题已知直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2和点A ⎝⎛⎭⎫22，7π4可化为l ：x -y +1＝0和A (2,-2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－（－2）＋1|12＋（－1）2＝522.]9.1 [在平面直角坐标系下,点⎝⎛⎭⎫2，π3化为(1,3),直线方程为：x ＋3y ＝6,∴点(1,3)到直线的距离为d ＝|1＋3×3－6|2＝|－2|2＝1.]10.6 [由ρ＝8sin θ得x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，由θ＝π3得y ＝3x ，即3x －y ＝0，∴圆心(0,4)到直线y ＝3x 的距离为2,圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3的最大距离为4＋2＝6.]11.(2,π) [直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2,由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4,直角坐标方程为x 2－y 2＝4,把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2,因此交点为(-2，0),其极坐标为(2,π).]12.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6.13.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0,得ρ2－32ρ＋4＝0,解得ρ1＝22,ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2,即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.14.解 ①消去参数t ，得到圆C 的普通方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9. 由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝m ，得ρsin θ－ρcos θ－m ＝0. 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0.②依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|1－（－2）＋m |2＝2，解得m ＝－3±2 2.15.解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.16.(3，1) [曲线C 1为射线y ＝33x (x ≥0).曲线C 2为圆x 2＋y 2＝4.设P 为C 1与C 2的交点,如图,作PQ 垂直x 轴于点Q .因为tan ∠POQ ＝33，所以∠POQ ＝30°，又∵OP ＝2，所以C 1与C 2的交点P 的直角坐标为(3，1).]17.5 [直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故直线l 与曲线C 的交点坐标为(1，2).故该点的极径ρ＝x 2＋y 2＝ 5.]18.3 [圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，直线的直角坐标方程为y ＝a ，因为△AOB 为等边三角形，则A (±a 3，a )，代入圆的方程得a 23＋a 2＝4a ，故a ＝3.]19.2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1 [曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，由直线l 与曲线C 相交所得的弦长|AB |＝2知，AB 为圆的直径，故直线l 过圆心(2，1)，注意到直线的倾斜角为π4，即斜率为1，从而直线l 的普通方程为y ＝x －1，从而其极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ－1，即2·ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1.]20.(1，1) [由ρsin 2 θ＝cos θ得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，其直角坐标方程为y 2＝x ，ρsin θ＝1的直角坐标方程为y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得C 1和C 2的交点为(1，1).]21.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝2sin t (t 为参数). (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.22.解将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.D [先将极坐标化成直角坐标表示，⎝⎛⎭⎫2，π2化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为y ＝2，再化成极坐标表示，即ρsin θ＝2.故选D.]2.[1－5，1＋5] [曲线C 1的直角坐标方程为x ＋2y －2a ＝0，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为2，若曲线C 1，C 2有公共点，则有圆心到直线的距离|2－2a 2|12＋22≤2，即|a －1|≤5，∴1－5≤a ≤1＋5，即实数a 的取值范围是[1－5，1＋5].] 3.解 (1)消去θ得圆的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6.即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝2＋12t(t 为参数).(2)把直线l 的方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t y ＝2＋12t代入x 2＋y 2＝16.得⎝⎛⎭⎫1＋32t 2＋⎝⎛⎭⎫2＋12t 2＝16. 即t 2＋(2＋3)t －11＝0.所以t 1·t 2＝－11，即|P A |·|PB |＝11.4.解 (1)∵2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝10,∴ρsin θ－ρcos θ＝10,直线l 的直角坐标方程：x -y +10＝0. 曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，消去参数可得曲线C 的普通方程：x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)可知，x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0，2)，半径为2.圆心到直线的距离为：d ＝|1×0－1×2＋10|12＋（－1）2＝42，点P 到直线l 距离的最大值：42＋2.5.解 (1)由题，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22t ，y ＝－2＋22t(其中t 为参数).消去直线l 参数方程中的参数t 得直线l 普通方程为y ＝x ＋2. 又由曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0. (2)曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ可化为(x －1)2＋y 2＝1，设与直线l 平行的直线为y ＝x ＋b ，当直线l 与曲线C 相切时，有|1＋b |2＝1，即b ＝－1±2.于是当b ＝-1-2时，P 到直线l 的距离达到最大，最大值为两平行线的距离即|2－（－1－2）|2＝322＋1.(或先求圆心到直线的距离为322，再加上半径1，即为P 到直线l 距离的最大值322＋1). 6. ρcos θ＋ρsin θ＝2 [⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ，两边平方相加得x 2＋y 2＝2，∴曲线C 是以(0，0)为圆心，半径等于2的圆.C 在点(1，1)处的切线l 的方程为x ＋y ＝2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x ＋y ＝2，并整理得ρcos θ＋ρsin θ＝2.]。

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第二章函数4 文

第四节指数与指数函数A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，7)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b 2．(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3.(2015·山东，3)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a4.(2015·四川，8)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( ) A ．16小时 B ．20小时 C ．24小时D ．28小时5.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A ．x 3＞y 3B ．sin x ＞sin yC ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)D.1x 2＋1＞1y 2＋16.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x7.(2015·北京，10)2－3，123，log 25三个数中最大的数是________．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·广东佛山调研)已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b C.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a2.(2016·长春质量监测)指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x与二次函数y ＝ax 2＋2bx (a ∈R ，b ∈R )在同一坐39标系中的图象可能是()3.(2016·洛阳市统考)若∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，均有9x＜log a x (a ＞0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.[132-，1)B.(0，132-]C.( 132，3) D.(1，132)4.(2015·常德市期末)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)＝( ) A.3 B.1 C.－1D.－35.(2015·山东聊城模拟)化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)的结果为( ) A.2x 2y B.2xy C.4x 2yD.－2x 2y6.(2015·广东江门、佛山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x ＞1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________.7.(2015·广西柳州一模)(1)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ＋2）（x <4），⎝ ⎛⎭⎪⎫12x （x ≥4），求f (1＋log 23)的值；(2)已知g (x )＝ln[(m 2－1)x 2－(1－m )x ＋1]的定义域为R ，求实数m 的取值范围. 8.(2015·山东聊城一模)设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞0，e x ，x ≤0，F (x )＝f (x )＋kx ，x ∈R .淘出优秀的你40(1)k ＝1时，求F (x )的值域； (2)试讨论函数F (x )的单调性.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析 a ＝243＝316，b ＝323＝39，c ＝2513＝325，所以b <a <c .答案 A2.解析由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23， ∴log 25＞|－log 23|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)，故选B. 答案 B3.解析根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y ＝1.5x在R 上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1， ∴b ＜a ＜c . 答案 C4.解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k＝12， ∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案 C5.解析根据指数函数的性质得x ＞y ，此时，x 2，y 2的大小不确定，故选项C 、D 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质知选项B 中的不等式不恒成立；根据不等式的性质知选项A 中的不等式恒成立．答案 A6.解析根据和的函数值等于函数值的积的特征，其典型代表函数为指数函数，又所求函数为单调递增函数，故选B. 答案 B417.解析 2－3＝18<1，又因为23<22<5，所以log 223<log 222<log 25，即3<log 25. 所以最大值为log 25. 答案 log 25B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由0.2＜0.6，0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c . 因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b . 综上a ＞b ＞c ，选A. 答案 A2.解析 A 项中二次函数的对称轴－1<－b a <0，与指数函数的底数b a>1矛盾，A 项错误； B 项中二次函数的对称轴0<－b a <1，与指数函数的底数0<b a<1矛盾，B 项错误； C 项中二次函数的对称轴－b a <－1，与指数函数的底数b a>1相符合，C 项正确； D 项中二次函数的对称轴－b a<－1，与指数函数的底数0<b a<1矛盾，D 项错误，故选C. 答案 C3.解析由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，log a 12≥912，解得a ∈[132-，1).答案 A4.解析 ∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (0)＝20＋m ＝0，m ＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3，故选D. 答案 D 5.解析 416x 8y 4＝424·（x 2）4y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .故选D.答案 D6.解析若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，1＋a 2－2≤0，即1＜a ≤2.答案 (1，2]7.解 (1)因为1＋log 23<1＋log 24＝3，淘出优秀的你42所以f (1＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×2log 213＝18×13＝124.(2)由题设得(m 2－1)x 2－(1－m )x ＋1>0(*)在x ∈R 时恒成立，若m 2－1＝0⇒m ＝±1，当m ＝1时，(*)为1>0恒成立；当m ＝－1时，(*)为－2x ＋1>0不恒成立， ∴m ＝1；若m 2－1≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，Δ＝[－（1－m ）]2－4（m 2－1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1或m >1，m <－53或m >1⇒m <－53或m >1.综上，实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53∪(1，＋∞). 8.解 (1)k ＝1时，F (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋x ，x ＞0，e x ＋x ，x ≤0.可以证明F (x )在(0，1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增，又f (0)＝1，f (1)＝2，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞). (2)F (x )＝f (x )＋kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋kx ，x ＞0，e x ＋kx ，x ≤0.若k ＝0，则F (x )在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增；若k ＞0，则F (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1k 上递减，在⎫+∞⎪⎭上递增，在(－∞，0)上递增；若k ＜0，则F (x )在(0，＋∞)上递减. 当x ≤0时，F ′(x )＝e x＋k ，若F ′(x )＞0，则x ＞ln(－k )；若F ′(x )＜0，则x ＜ln(－k ).若k ≤－1，－k ≥1，则F (x )在(－∞，0]上递减，若－1＜k ＜0，0＜－k ＜1，则F (x )在(－∞，ln(－k ))上递减，在(ln(－k )，0)上递增.。

备战2017高考数学(精讲+精练+精析)专题4.2三角恒等变换试题文(含解析)

专题4.2 三角恒等变换试题文【三年高考】1. 【2016高考天津文数】已知函数)0(21sin 212sin )(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）（A ）]81,0( （B ）)1,85[]41,0(Y （C ）]85,0( （D ）]85,41[]81,0(Y【答案】D2. [2016高考新课标Ⅲ文数]若tan 13θ= ，则cos2θ=（）（A ）45-（B ）15- （C ）15 （D ）45【答案】D【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51()3θθθθθθθ---====+++． 3. 【2016高考浙江文数】已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =______． 2；1．【解析】22cos sin 21cos2sin 22)14x x x x x π+=++=++，所以2, 1.A b ==4. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)= . 【答案】43-5. 【2016高考山东文数】设2()23π)sin (sin cos )f x x x x x =--- . （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值.【解析】（I ）由()()()223sin sin sin cos f x x x x x π=--- ()223sin 12sin cos x x x =--)31cos2sin 21x x -+- sin 23231x x =+ 2sin 231,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以，()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏）由（I ）知()f x 2sin 231,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 313x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 31x =+的图象，即()2sin 3 1.g x x =所以 2sin 31 3.66g ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭6. 【2015高考福建，文6】若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512- 【答案】D7.【2015高考重庆，文6】若11tan ,tan()32a ab =+=,则tan =b （） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A【解析】11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选A.8.【2015高考上海，文17】已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（）. A.233 B. 235C. 211D. 213【答案】D【解析】设直线OA 的倾斜角为α，)0,0)(,(>>n m n m B ，则直线OB 的倾斜角为απ+3，因为)1,34(A ，所以341tan =α，m n =+)3tan(απ，3313341313413=⋅-+=m n ，即2216927n m =，因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 9.【2015高考广东，文16】已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．10. 【2014高考全国2卷文第14题】函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________．【答案】1【解析】由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．11. 【2014高考陕西卷文第13题】设20πθ<<，向量)cos ,1(),cos ,2(sin θθθ-==b a ，若0=⋅b a ，则=θtan ______. 【答案】1212. 【2014高考江西文第16题】已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a . （1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 三角函数的化简、求值及最值问题，是每年高考必考的知识点之一，题型一般是选择和填空的形式，大题往往结合三角函数图像与性质，解三角形，主要考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用，考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．【2017年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出，三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在高考中单独命题的情况很少，大多数省份对于三角恒等变换的考查，是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点是诱导公式公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．预测在2017年的高考试卷中，三角函数式的恒等变形，如利用有关公式求值，与三角函图象与性质结合，或与解三角形结合，解决简单的综合问题，在填空题和选择题中出现，主要考查"三基"(基础知识、基本技能、基本思想和方法)以及综合能力，难度多为容易题和中档题.故在2017年复习备考过程中既要注重三角知识的基础性，突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质.以及化简、求值和最值等重点内容的复习，又要注重三角知识的工具性，突出三角与代数、几何、向量的综合联系，以及三角知识的应用意识.这部分常常以选择题和填空题的形式出现，有时也以大题的形式出现，因此能否掌握好本重点内容，在一定的程度上制约着在高考中成功与否.在2017年复习备考过程中既要注重以下几点：1．两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在学习时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角，如()ββαα-+=，()()()αβαβαβαβαα++=+-++=22，等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围（5）化简要求：熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等. 2．证明三角等式的思路和方法.（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式.（2）证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等. 3．解答三角高考题的策略.（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”. （2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系. （3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 4．加强三角函数应用意识的训练由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法. 5．变为主线、抓好训练变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据21cos 2sin 2αα-=求sin α的值时，sin α=中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin 0α≥时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【2017年高考考点定位】高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式进行求值、变形，求参数的值,求值域，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系及和、差、倍、半、和积互化公式的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．【考点1】利用诱导公式恒等变换【备考知识梳理】诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈诱导公式二： sin(180)α+=o sin α-； cos(180)α+=-ocos α诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=o ； cos(180)cos αα-=-o诱导公式五：sin(360)sin αα-=-o ； cos(360)cos αα-=o公式六：sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 公式七：sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 公式八：3sin cos 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 公式九：3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，3cos sin 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭诱导公式口诀：纵变横不变，符号看象限用诱导公式化简，一般先把角化成,2k k z πα+∈的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是纵轴（即y 轴）上的角，就是 “纵”，是横轴（即x 轴）上的角，就是“横”；符号看象限是，把α看作是锐角，判断角2k πα+在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”，就加在前面）. 用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间0(0,360)的角，再变到区间0(0,180)的角，再变到区间00(0,90)的角计算. 【规律方法技巧】 1. 利用诱导公式求值：i.给角求值的原则和步骤：(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为02π:之间角的三角函数，然后求值，其步骤为：ii.给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现2π的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解. 常见的互余与互补关系 (1)常见的互余关系有：3πα+与6πα-；3πα-与6πα+；4πα+与4πα-等.(2)常见的互补关系有：3πα+ 与23πα-;4πα+与34πα-等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题. 2. 利用诱导公式化简、证明i.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.ii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 【考点针对训练】1. 【2016届淮南市高三第二次模拟】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（）A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 【答案】D2. 【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则2cos()3πα+等于（） A.45- B.35- C. 45 D. 35【答案】C【考点2】利用同角三角函数关系式恒等变换【备考知识梳理】同角三角函数的基本关系式：（1）sin tan cos ααα=，（2）22sin cos 1αα+= ．【规律方法技巧】1. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.sin cos αα、的求值技巧：当已知sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin cos x x +或sin cos αα-，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin cos αα，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin cos αα、的值．或者把sin cos αα+、sin cos αα-与22sin cos αα+=1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin cos αα、的值． 2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解.（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号. 【考点针对训练】1. 【2016届湖南省常德一中高三第十一次月考】已知10,sin 2cos 2R ααα∈+=，则tan 2α=（） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】 C2. 【2016年安徽淮南高三二模】已知()1sin cos ,0,2αααπ+=∈，则1tan 1tan αα-=+（） A ．7- B 7 C 3 D ．3【答案】A【解析】21(sin cos )4αα+=，3sin cos 8αα=-，所以cos 0,sin 0αα<>，27(cos sin )12sin cos 4αααα-=-=，7cos sin αα-=，所以71tan cos sin 2711tan cos sin 2αααααα--===++A ．【考点3】利用和、差、倍、半、和积互化公式恒等变换【备考知识梳理】 1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-.3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. 4.辅助角公式()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=+⋅+，2222sin cos a ba bϕϕ==++其中，.5.有关公式的逆用、变形等()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±=±mααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= ()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 2sin 4πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±,，αααsin 22sin cos = 【规律方法技巧】1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点. 基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()cos cos sin sin cos αββαββα+++=,()()tan 1tan tan tan tan αβαβαβ+-=+()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+=+--,()()tan tan tan tan tan tan αβαβαβαβ+++=+,sin cos 24πααα⎛⎫±=± ⎪⎝⎭,21sin 212sin cos (sin cos )x x x x x ±=±=±等(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式:ααα2sin 21cos sin =；21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===L等.（7）辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos 2sin(),sin 3cos 2sin(),3sin cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.2.题型与方法:题型一,利用两角和与差的三角函数公式可解决求值求角问题，常见有以下三种类型：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-，()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，()()()ααβββαβαβαβα=-+=+-=--+，，等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角，给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值．由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角．要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如α＝(α＋β)－β，α＝α＋β2＋α－β2等题型二，三角函数式的化简与证明三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等.（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明. 题型三. 辅助角公式函数()sin cos fa b ααα=+(,a b 为常数)，可以化为()()22sin f a b ααϕ=++或()()22cos f a b ααϕ=+-，其中ϕ可由,a b 的值唯一确定．【考点针对训练】1. 【2016年江西师大附中高三上学期期末】已知11sin(),sin()23αβαβ+=-=,那么5tan log tan αβ的值是．【答案】12. 【2016届高三江西师大附中、鹰潭一中联考】已知θθθθcos sin 1cos sin 1-+++＝21，则tan θ＝( ) A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-【答案】D【应试技巧点拨】1.利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2. 利用诱导公式证明三角恒等式的主要思路 (1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子. (3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如()()cos 5cos cos παπαα-=-=-. 3. 正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个. 4.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有:① sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形．（2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.5.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有: （1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等.(2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切. (3)公式变形使用：如()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式. (5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===L等.（7）辅助角公式：()22sin cos sin a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由tan baθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可. 如sin cos 2sin(),sin 3cos 2sin(),3sin cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.二年模拟1. 【2016年湖南师大附中高三二模】设f (x )＝1＋cos 2x ＋sin 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＋a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3，则常数a＝（）A ．1B ．a ＝1或a ＝－5C ．a ＝－2或a ＝4D ．a ＝±7 【答案】B【解析】)4sin(sin 2cos 2)4sin(cos 2cos sin 2cos 2)(2ππ+++=+++=x a x x x a xx x x x f)4sin()2()4sin()4sin(2πππ++=+++=x a x a x ，则：32=+a ，∴1=a 或5-=a .故正确选项为B ．2. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知()20,,sin cos 324x x x πππ⎛⎫⎛⎫∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则tan x 等于（）A ．12B ．2-C ．22D ．2【答案】D3. 【2016届重庆一中高三5月模拟】计算sin 47cos17cos 47cos107+o o o o 的结果等于（） A. -12 B.3 C.2 D. 12【答案】D【解析】sin 47cos17cos 47cos107︒︒︒︒+()sin 47cos17cos 47sin17sin 4717sin30︒︒︒︒︒︒︒=-=-=12=，故选D. 4. 【2016届海南省华侨中学高三考前模拟】2cos10sin 20sin 70-o oo的值是（）A ．12B ．32C ．3D ．2【答案】C【解析】2cos10sin 202cos(3020)sin 203cos 203sin 70sin 70---===o o o o o oo o ，选C. 5. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷】若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则sin 2α的值等于（） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】A6.【2016届海南省海南中学高考模拟十】若()tan lg 10,tan lg a a αβ==，且4παβ-=，则实数a 的值为（）A ．1B ．110C ．1或 110D ．1或10 【答案】C【解析】()2tan tan lg10lg tan 11lg lg 01tan tan 1lg10lg a aa a a aαβαβαβ---=⇒==⇒+=-+，所以lg 0a =或lg 1a =-，即1a =或110,选C. 7. 【2016届河南省郑州市高三第二次模拟】已知C B A ,,为ABC ∆的三个内角，向量26=m ，且)2cos ,2sin 2(CB C B m -+=，若A 最大时，动点P PB BC PC BCPA 的最大值是（） A ．332 B ．322 C ．42 D ．423【答案】A.【解析】222262sin cos 2cos cos 22222B C B C A B C m +--=+=+=u r ，∴222313cos 2cos [0,1]cos 222424B C A A -=-∈⇒≤≤，又∵(0,)22A π∈，∴132cos 22262333A A A ππππ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，故A 的最大值为23π，取到最大值时6B C π==，又∵||PB u u u r ，||BC uuu r ，||PC uuu r 成等差数列，∴2||||||BC PB PC =+u u u r u u u r u u u r，故P 点的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，8. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练冲刺四】tan10tan 20tan150tan10tan 20++=o o oo o. 【答案】33-【解析】因为()tan10tan 20tan301tan10tan 20+=-o o o o o ，将其代入可得原式=3tan 30-=o9.【2016届四川省成都七中高三下学第三次周练】已知函数44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--.（Ⅰ）若x 是某三角形的一个内角，且2()2f x =-，求角x 的大小；（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及取得最小值时x 的集合. 【解析】（Ⅰ）2222()(cos sin )(cos sin )sin 2f x x x x x x =-+-cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭ ，由22)42x π-=-，即1sin(2)42x π-=，所以2246x k πππ-=+，k Z ∈，或52246x k πππ-=+，k Z ∈，解得524x k ππ=+，k Z ∈，或1324x k ππ=+，k Z ∈，因为0x π<<，所以524x π=，或1324x π= （Ⅱ）由（1）知()2)4f x x π=--，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以2()1f x ≤≤，所以当且仅当242x ππ-=，即38x π=时，()f x 取得最小值2-，即()f x 的最小值为2-，此时x 的取值集合为38π⎧⎫⎨⎬⎩⎭.10. 【2016届山东省师大附中高三最后一模】已知函数()2sin 23sin cos sin sin 44f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若()0002x x x f x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭为的一个零点，求0cos 2x 的值.11. 【2015届江苏省扬州市高三第四次调研测试】已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．【答案】45【解析】2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===++． 12.【浙江省杭州外国语学校2015届高三期中】已知=+=-=+)tan(,31)6tan(,21)6tan(βαπβπα则【答案】1【解析】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+66tan tan πβπαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6tan 6tan 16tan 6tan πβπαπβπα1312113121=⨯-+=，故答案为1.13．【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】若将函数x x x f cos 41sin 43)(-=的图象向右平移(0)m m π<<个单位长度，得到的图象关于原点对称，则m =（）A ．65πB ．6πC ．32πD ．3π 【答案】A ．14.【广东省佛山市第一中学2015届高三上学期期中】已知530,0,sin ,cos(),22135ππαββαβα<<-<<=--==则sin . 【答案】3365．【解析】利用同角三角函数平方关系，求出cos sin βαβ-、（），再利用角的变换，即可得出结论． 512sin 0cos 13213πβββ=--∴=Q ，＜＜，，34000cos sin 2255ππαβαβπαβαβ-∴--=∴-=Q Q ＜＜，＜＜，＜＜，（），（）， []4123533sin sin sin cos cos sin ()51351365ααββαββαββ∴=-+=-+-=⨯+⨯-=（）（）（）． 15.【2015届江苏省盐城市高三第三次模拟】已知(2sin ,sin cos )m x x x =-u r ，3,sin cos )n x x x =+r ，记函数()f x m n =⋅u r r ．（1）求函数()f x 取最大值时x 的取值集合；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =，3c =ABC ∆面积的最大值．拓展试题以及解析1. 设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为．【答案】6162-．【解析】因20πα<<且31)6sin(=-πα，故366ππαπ<-<-，所以322)31(1)6cos(2=-=-πα，而]6)6cos[(cos ππαα+-=，故61622131233226sin )6sin(6cos )6cos(cos -=⨯-⨯=---=ππαππαα．【入选理由】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等基础知识,意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题难度不大，故选此题.2.已知251sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】由25sin (,)2ααπ=∈π得5cos tan 2αα==-，因此127tan tan() 3.21()7βαβα+=+-==+- 【入选理由】本题考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等基础知识,意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题考查拆角技巧，难度不大，故选此题.3.已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【答案】1【入选理由】本题考查三角恒等变换、三角函数的对称性与三角函数的最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.4.已知函数()sin 2()f x x ＝＋ϕ（0ϕ<<π），若角ϕ的终边经过点3)，则()4f π的值为（） A ．32B 3．2 D ．3【答案】A 【解析】根据三角函数的定义得3tan ϕ=，故6ϕπ=，则()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3()sin 2cos 4466f ππππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，故选A ．【入选理由】本题考查诱导公式、三角函数的定义等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．本题三角函数定义与诱导公式巧妙结合，难度不大，故选此题.5.已知函数231()cos cos 2f x x x x =+，将函数()y f x =的图象向下平移14个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数()yg x =的图象，则使1()2g x >成立的x 的取值集合为．【答案】π{|ππ,}3x k x k k <<+∈Z ．【入选理由】本题考查三角恒等变形，函数图象变换，三角函数图象与性质等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力，基本运算能力．本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题.6.已知10sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______. 【答案】34- 【解析】由10sin 2cos αα+=平方得225sin +4sin cos +4cos ,2αααα= 因此1cos21cos25+2sin 2+4,222ααα-+⨯=即3cos22sin 2+02αα=,即3tan 2.4α=- 【入选理由】本小题主要考查同角三角函数基本关系式，二倍角的正、余弦公式等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．本题立意简单,难度不大, 故选此题.7.已知ABC ∆中，边,,a b c 的对角分别为,,A B C ，且6a =2c =23A π=. （Ⅰ）求,B C 及ABC ∆的面积；（Ⅱ）已知函数()sin sin 2cos cos 2f x B x C x ππ=+，把函数()y f x =的图象向右平移14个单位，然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数()y g x =的图象，求函数 ()y g x =在[0,2]上的单调递增区间.【入选理由】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性、解三角形等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力．本题出题形式有新意,难度不大, 故选此题.。

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第三节三角恒等变换A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.452.(2016·新课标全国Ⅱ，11)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A.4 B.5 C.6D.73.(2015·重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16 C.57 D.564.(2016·浙江，11)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.5.(2016·山东，17)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值. 6.(2016·北京，16)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间. 7.(2015·广东，16)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．8.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．9.(2015·福建，21)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2. ①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0.10.(2014·广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 11.(2014·浙江,18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4,△ABC 的面积为6,求边长c 的值．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·江西九校联考)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.7 B.17 C.－17D.－72.(2016·洛阳统考)若α∈[0，2π)，则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2 B.[]0，πC.⎣⎡⎦⎤0，3π4 D.⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π 3.(2016·河南六市联考)设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b4.(2015·大庆市质检二)已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( ) A.－18B.－38C.18D.385.(2015·烟台模拟)已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A.－6365B.－3365C.3365D.63656.(2015·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.43 B.－43C.43或0 D.－43或07.(2015·巴蜀中学一模)已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________.8.(2015·河南洛阳统考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝41313. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，求sin α的值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析 tan θ＝－13，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D2.解析因为f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 B3.解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝12－131＋12×13＝17.答案 A4.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案 2 15.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z ).所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12（k ∈Z ）. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1，把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象. 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 6.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ). 7.解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－（2cos 2α－1）－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2＝1.8.解 (1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3. ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3时，所以π3≤x ＋π3≤π.当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3. 9.(1)解因为f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2＝53sin x ＋5cos x ＋5 ＝10sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)证明 ①将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5的图象，再向下平移a(a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，所以10＋5－a ＝2，解得a ＝13. 所以g (x )＝10sin x －8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得10sin x 0－8＞0，即sin x 0＞45.由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45. 由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45.因为y ＝sin x 的周期为2π，所以当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z )时，均有sin x ＞45.因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，所以对任意的正整数k ，都存在正整数x 0∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)，使得sin x k ＞45.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0. 10.解 (1)∵f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322， ∴A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3＝322⇒A sin 3π4＝322⇒A ＝3. (2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∵f (θ)－f (－θ)＝3，∴3sin(θ＋π3)－3sin ⎝⎛⎭⎫－θ＋π3＝3，展开得3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝63. ∴f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6. 11.解 (1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2，化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2，故cos(A ＋B )＝－22. 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝32，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cos α＝－45， ∴sin α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝17. 答案 B2.解析由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≥0，又因为α∈[0，2π)，所以α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π，故选D. 答案 D3.解析利用三角公式化简得a ＝12cos 2°－32sin 2°＝cos(60°＋2°)＝cos 62°＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 2 25°＝sin 25°. 因为sin 25°<sin 28°<tan 28°，所以c <a <b ，故选D. 答案 D4.解析 sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝－38.答案 B5.解析 ∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－513＜0，cos α＝35，∴π2＜α＋β＜π， ∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.答案 C6.解析因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos 2 α，所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0或tan α＝12.若cos α＝0，则α＝k π＋π2，k ∈Z ，2α＝2k π＋π，k ∈Z ，所以tan 2α＝0；若tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝43.综上所述，故选C. 答案 C7.解析 ∵sin αcos α1－cos 2α＝sin αcos α2sin 2α＝cos α2sin α＝12，∴tan α＝1.∵tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝12，∴tan β＝13.答案 138.解 (1)∵a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)， ∴|a －b |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2 ＝2－2cos(α－β)， ∴1613＝2－2cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝513.(2)∵0＜α＜π2，－π2＜β＜0且sin β＝－45，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝513，∴sin(α－β)＝1213.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)·cos β＋cos(α－β)·sin β ＝1213×35＋513×⎝⎛⎭⎫－45 ＝1665.。