高中数学(苏教版)选修1-1 课时跟踪训练：(十六) 瞬时变化率—导数 含解析

课时跟踪训练(十六) 瞬时变化率—导数
1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度为________．
2．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率k为________．
3．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为________.
4．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝1
2
x＋2，则f(1)
＋f′(1)＝________.
5．已知曲线y＝1
2
x2－2上一点P
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，－
3
2
，则在点P处的切线的倾斜角为
________．
6．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程．
7．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h时，原油的温度(单位：℃)为f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．求函数y ＝f(x)在x＝6处的导数f′(6)，并解释它的实际意义．
8．已知曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由．
答案
课时跟踪训练(十六)
1．解析：∵当Δt无限趋近于0时，－3Δt－6无限趋近于常数－6，∴该质点在t＝1时的瞬时速度为－6.
答案：－6
2．解析：∵f(x)＝x 2
＋3x ，∴Δy Δx ＝[(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )]－10Δx ＝Δx ＋7，∴当Δx 无限趋近于0时，
Δy Δx
无限趋近于7，从而A 点处的切线斜率k ＝7. 答案：7 3．解析：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝a (1＋Δx )2＋c －a ×12－c Δx
＝2a ＋a Δx ，当Δx →0时，Δy Δx
→2a ，∴2a ＝2，a ＝1. 答案：1
4．解析：由题意知f ′(1)＝12，f(1)＝12＋2＝52
， 所以f(1)＋f ′(1)＝52＋12
＝3. 答案：3
5．解析：∵y ＝12x 2－2，∴Δy Δx ＝12(x ＋Δx )2－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2Δx
＝12(Δx )2＋x ·Δx Δx ＝x ＋12Δx.∴当Δx →0时，Δy Δx
→x. ∴y ′|x ＝1＝1，∴在点P ⎝
⎛⎭⎪⎫1，－32处的切线斜率为1， 切线倾斜角为45°.
答案：45°
6．解：∵3(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－(3×12－4×1＋2)Δx
＝2Δx ＋3(Δx )2
Δx
＝2＋3Δx ， ∴当Δx 无限趋近于0时，2＋3Δx 无限趋近于2，
∴f ′(1)＝2，
所以直线的斜率为2，
所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)，即2x －y ＋4＝0.
7．解：当x从6变到6＋Δx时，函数值从f(6)变到f(6＋Δx)，函数值y关于x的平均变化率为：
f(6＋Δx)－f(6)
Δx
＝(6＋Δx)2－7(6＋Δx)＋15－(62－7×6＋15)
Δx
＝5Δx＋(Δx)2
Δx
＝5＋Δx.
当x趋近于6时，即Δx无限趋近于0，平均变化率趋近于5，所以f′(6)＝5，导数f′(6)＝5表示当x＝6 h时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h时间，原油温度将升高5 ℃.
8．解：存在．设切点为(t，t2＋1)，
则Δy
Δx
＝
(t＋Δx)2＋1－(t2＋1)
Δx
＝Δx＋2t，
当Δx趋于0时，Δy
Δx
趋于2t，即
切线斜率k＝f′(t)＝2t，
所以切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，将(1，a)代入得
t2－2t＋(a－1)＝0，因为有两条切线，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.。