浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
2014-2015年浙江省杭州市求是高中高二上学期期中数学试卷及参考答案(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．48．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是．12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为．15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为．三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）直线x=﹣1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．135°【解答】解：因为直线的方程为x=﹣1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=﹣1的倾斜角为90°，故选：C．2．（4分）下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④D．①和④【解答】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选：D．3．（4分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．4．（4分）在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：C．5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选：C．6．（4分）直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．【解答】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1﹣a）y﹣3=0与（a﹣1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a﹣1）+（1﹣a）（2a+3）=0∴（a﹣1）（a+2﹣2a﹣3）=0∴（a﹣1）（a+1）=0∴a=1，或a=﹣1故选：C．7．（4分）已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A．B．2 C．2 D．4【解答】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选：C．8．（4分）若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能【解答】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选：D．9．（4分）一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A．右前上方B．左前上方C．右后上方D．左后上方【解答】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选：C．10．（4分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S﹣EFG中必有（）A．SG⊥△EFG所在平面B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．【解答】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x﹣4y﹣1=0与直线2x+y﹣2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）12．（4分）已知原点O到直线3x+4y=15的距离为3．【解答】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．13．（4分）设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为．【解答】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．14．（4分）Rt△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为16π．【解答】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16π15．（4分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．16．（4分）设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为3x+5y﹣34=0．【解答】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y﹣5=（x﹣3），化为一般式可得3x+5y﹣34=0，故答案为：3x+5y﹣34=0三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣4y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【解答】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y﹣2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（﹣2，2），∵l垂直于直线x﹣4y﹣1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（﹣2，2）代入，得﹣8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．18．（8分）已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my﹣1=0，试分别确定m、n 的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，﹣1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1．【解答】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m﹣1=0，联立解得，n=﹣．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，﹣1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为﹣1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x﹣1=0．∴﹣8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．19．（10分）如图，正方形ABCD 和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC 的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．20．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【解答】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中考试数学试卷word含答案
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷时间：100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 .14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且ο90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++=Λ，求不超过m 的最大整数.{}n a杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.9 10． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，ο60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. （1）证明：连接1111,D B C A 交于点G ，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCOA 1是平行四边形，故OG O A //1，又C DB OG 11平面⊂，故CD B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 11B因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF.（1）求证：EA FC ⊥； （2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥ 又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又F1BAEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=οCB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++L ，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ΛΛ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m Λ 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.{}n aF。
浙江省杭州市二中2015-2016学年高二上学期期终考试数学试卷
杭州二中2015学年第一学期高二年级期终考数学试卷 命题、审核、校对：黄宗巧 徐存旭 李 鸽本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．双曲线221169x y -=的焦距是（ ）A.B.5C. 10D.2.设a R ∈，则“2a =”是“直线1:0l x ay a +-=与直线2:(23)10l ax a y --+=垂直”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3.设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m nB. 若//,//,//,m n αβαβ则//m nC. 若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβD. 若//,,,m m n αβαβ⊂= 则//m n4. 已知不等式210mx nx m +-<的解集为1{|2}2x x x <->或.则m n -=（ ）A. 12B. 52-C. 52D. 12-5.直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是（ ）A. 1B.2 C .3 D. 46. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 90° B .60° C. 45° D.30°7．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若BF AF 3=，则l 的斜率是（ ）A.B.C.D.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A．7B．5C．4D．39．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将∆AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）BAA．23B．332C．2πD．3π10．已知0x>，0y>，若不等式()a x y x+≥+恒成立，则a的最小值为（）A. B. 2+ D. +二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是．12. 设,,,P A B C是一个球面上的四个点，,,PA PB PC两两垂直，且1PA PB PC===，则该球的体积为． .13. 已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左、右焦点分别为12F F，，过2F作斜率为2-的直线交双曲线的渐近线于P Q，两点，M为线段P Q的中点．若直线1M F平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为．14.如图，直线lα⊥平面，垂足为O，已知ABC∆中，ABC∠为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A l∈，（2）Bα∈.则C、O两点间的最大距离为______.15．已知00x y>>，，且满足18102yxx y+++=，则2x y+的最大值为．正视图侧视图俯视图16. 在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， 设c by ax cby ax ++++=2211δ 有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交.在上述说法中，所有正确说法的序号是 .三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． （本小题满分8分）关于y x ,的方程C ：04222=+--+m y x y x . （1）若方程C 表示圆，求实数m 的范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且 554||=MN ，求实数m 的值.18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P AB C -中，BC ⊥平面APC ，AB = 2A P P CC B ===．C AP（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P A B C --的大小．19．（本小题满分12分） 已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点F 和上顶点B ,如图所示．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与 圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数()axf xx b=+,且(1)1f=,(2)4f-=.（1）求a､b的值；（2）已知定点(1,0)A,设点(,)P x y是函数()(1)y f x x=<-图象上的任意一点,求||AP的最小值；（3）当[1,2]x∈时,不等式2()(1)||mf xx x m≤+-恒成立,求实数m的取值范围.RQCBAP参考答案一、选择题：CADBC ，CCBDA二、填空题： 11．2+；12. . 13. 17． 14.1+． 15． 18．16.②③④三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． 【解析】（Ⅰ）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22 若方程C 表示圆只需05>-m ,所以m 的范围是)5,(-∞ -----3分由（Ⅰ）圆的圆心C （1，2）半径为m -5，过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足，则55||=CD ，又554||=MN ，知552||=MD -----6分则222)552()55()5(+=-m ，解得4=m -----8分18． （本小题满分12分）【解析】(Ⅰ）因为BC ⊥面APC ，A C ，AP ⊂面APC ， 所以B C A P ⊥， B C A C ⊥ -----2分因为AB =2CB =，所以AC =．又因为2A P P C ==，所以222A C P A P C =+，故 AP P C ⊥ -----4分 因为PC B C C = ，所以AP ⊥平面PBC -----6分 （Ⅱ）因为BC ⊥平面APC ，所以面APC ⊥平面ABC ． 在面APC 内作P Q A C ⊥于Q ，则P Q ⊥平面ABC ． 过Q 作Q R A B ⊥于R ，连接P R ，则PRQ ∠即为二面角P A B C --的平面角 -----9分在Rt APC V 中，AP PCPQ AC ⋅==，（第17题图）CBAP在Rt ABC V中，QR =故tan PQPRQ QR ∠==．从而二面角P A B C --的大小为3π-----12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分 由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx 22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=.设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅= . ---------------12分法二：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分又2200184x y +=，设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±又点00(,)Q x y在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. ----------12分 20．（本小题满分14分）【解析】 (1)由⎧⎨⎩(1)1(2)4f f =-=,得⎧⎨⎩122a b a b =+-=-, 解得:⎧⎨⎩21a b == ----------2分(2)由(1)2()1x f x x =+,所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++,令t x =+1,0t <,则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++ 22222()4()4(2)t t t t t t =+-++=+-22||22()2AP t t t t ∴=+-=-+≥+即||AP的最小值是2,此时t = ---------------8分【另解】221[(1)1]1||1(1)x x AP x x ++-+====+-+2||2[(1)]2)11()AP x x x ∴=-++≥+<-+ ---------------8分(3)问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立,要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<,或2m >. ----------10分法一:在01m <<或2m >下,问题化为||mx m x -≤对[1,2]x ∈恒成立,即m m m x m x x -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,①当1x =时,112m ≤<或2m >,②当1x ≠时,21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立, 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立,等价于2max()1x m x ≥+,令1t x =+,(1,2]x ∈,则1x t =-,(2,3]t ∈,22(1)121x t t x t t -==+-+,(2,3]t ∈递增,2max 4()13x x ∴=+,43m ≥,结合01m <<或2m >,2m ∴> 对于21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立,等价于2min()1x m x ≤- 令1t x =-,(1,2]x ∈,则1x t =+,(0,1]t ∈,22(1)121x t t x t t +==++-,(0,1]t ∈递减,2min ()41x x ∴=-,4m ∴≤,0124m m ∴<<<≤或,综上:24m <≤ ----------14分法二:故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立, 其中01m <<或2m > 令()||g x x x m =-①若01m <<时,由于[1,2]x ∈,故2()()g x x x m x mx =-=-, ()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,依题意(2)g m ≤,43m ≥,舍去;11 ②若2m >,由于[1,2]x ∈,故22()()()24m m g x x m x x =-=--+, 考虑到12m >,再分两种情形:(ⅰ)122m <≤,即24m <≤,()g x 的最大值是2()24m m g =, 依题意24m m≤,即4m ≤,24m ∴<≤;(ⅱ)22m >,即4m >,()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,故(2)g m ≤,2(2)m m ∴-≤,4m ∴≤,舍去｡综上可得,24m <≤ ----------14分【另解】问题即为221(1)||x m x x x m ≤++- 对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤- 对[1,2]x ∈恒成立, 要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<或2m >.（*）----------10分 此时，问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立,令()||g x x x m =-，则max ()g x m ≤ 首先4(2)2|2|43g m m m =-≤∴≤≤，则由（*）得 24m <≤(缩小范围，避免讨论！)此时 22()()(),24122m g x x m x m m x =---<=+≤2max2 4.()(),24m m x m g g m ∴==∴<≤≤ ----------14分。
浙江省杭州二中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含答案
杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷命题：李 鸽 校对：金 迪 审核：徐存旭时间：100分钟注意：本试卷不得使用计算器参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32 D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 . 14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．9． 10．11． 12．13. 14.15.三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D CB A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列{}n a 满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++= ，求不超过m 的最大整数.杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．910． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或 14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值.（1）证明：连接1111,D B C A 交于点G，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCO A 1是平行四边形，故11BOG O A //1，又C D B OG 11平面⊂，故C D B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a ；若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF. （1）求证：EA FC ⊥；F1B（2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥又H EH AH =⋂，于是AHE FC 平面⊥，又AEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=CB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ，于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故F21)34(3120142014>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.。
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试语文试题
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试语文试题一、语言文字运用（共18分）1．下列词语中加点的字，注音全都正确的一组是（3分）A．镣．铐（liào）坳．堂（āo）一沓．纸（dá）肆无忌惮．（dàn）B．铁镐．（gāo）引擎．（qín）蹬．三轮（dēng）呱．呱坠地（gū）C．揾．泪（wân）喋血．（xuâ）国子监．(jiàn) 强．颜欢笑（qiáng）D．菲．薄（fěi）挣．脱（zhâng）黑黢．黢（qū）呼天抢．地（qiāng）2．下列词语中，错别字最多的一项是（3分）A．蜷曲廖落桀骜峰利陨身不恤B．遨翔攒聚食不果腹金榜提名C．厮守编缉黯然失色劳民伤财D．憔悴迁徒孤苦伶仃慢条斯理3．下列各句中，加点的词语运用正确的一项是（3分）A．出于自身利益的考虑，一些地方政府画地为牢．．．．，利用行政权力对本地区企业实行地方保护主义，这种做法或许短期内有效，但从长远看削弱了企业的市场竞争力。
B．听证会、公示、公开征求意见……距离老百姓不再遥远，知情权、参与权、表达权、监督权等也已成为公众耳熟能详．．．．的词汇。
C．三年的学校生活中，我们一同欢笑，一同流泪。
而今毕业在即，同学们劳燕分飞．．．．，各奔东西，但我们相信，今日的友情是明日永恒的回忆。
D．如今汽车厂商做产品研发，都要考虑将新车设计得八面玲珑．．．．：既要外形美观，又要内饰精致；不仅动力强劲，而且驾乘舒适。
4．下列各句中，没有语病的一项是（3分）A．2014年出现了史上最严重的埃博拉疫情大暴发。
据世界卫生组织10月8日的最新疫情通报显示,埃博拉病毒已致近4000人死亡。
B．中共十八大报告提出的“三个倡导”为基本内容的社会主义核心价值观，与中国特色社会主义发展的要求相契合，是我党凝聚全社会共识作出的重要论断。
C．旅人结束一个阶段的行程后，都想得到理想的食宿条件以恢复体力，这不但是下一段行程得以顺利进行的必要条件，而且关系到之后旅途中的精神状态。
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二(上)期中数学试卷(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市求是高中高二（上）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共40.0分)1.直线x=-1的倾斜角为（）A.0°B.45°C.90°D.135°【答案】C【解析】解：因为直线的方程为x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，故直线x=-1的倾斜角为90°，故选C直线x=-1，为垂直于x轴的直线，故直线无斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．2.下列几何体中是旋转体的是（）①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A.①和⑤B.①C.③和④D.①和④【答案】D【解析】解：①圆柱是旋转体；②六棱锥是多面体；③正方体是多面体；④球体是旋转体；⑤四面体是多面体．故选D．利用旋转体的概念直接进行判断．本题考查旋转体的定义，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确说法的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】解：对于①，若α∥β，β∥γ，由平面平行的传递性可知，γ∥α，故①正确；对于②，若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确；对于③，因为n⊊β，令n在β内的射影为n′，因为m⊥β，所以m⊥n′，又m⊥n，所以n∥n′，n′⊂β，n⊊β，所以n∥β，故③正确．故选：D．①利用空间平面平行的传递性可判断①；②利用面面平行的性质可判断②；③利用线面垂直的性质与线面平行的判定定理可判断③．本题考查空间线面平行、面面平行的判定与性质，考查空间想象能力，是对空间线面位置关系等基础知识的考查．4.在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选C．本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax 与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax 递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图，∵C1C⊥ABCD，∴直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则C1C=1，AC1=，∴sinθ=sin∠C1AC===．故选C．由C1C⊥ABCD，知直线AC1与平面ABCD所成的角θ=∠C1AC，由此能求出sinθ的值．本题考查线面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．6.直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（）A.-1B.1C.±1D.【答案】C【解析】解：由题意，∵直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直∴（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0∴（a-1）（a+2-2a-3）=0∴（a-1）（a+1）=0∴a=1，或a=-1故选C．根据两条直线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求a 的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直线垂直的充要条件．7.已知一水平放置的四边形的平面直观图是边长为1的正方形，那么原四边形的面积为（）A. B.2 C.2 D.4【答案】C【解析】解：如图所示：该四边形的水平放置的平面直观及原四边形，由斜二测画法可知：原四边形是一个一条边长为1，其边上的高（对角线）为的平行四边形，故原四边形的面积S==．故选C．利用斜二测画法的规则即可求出．熟练掌握斜二测画法是解题的关键．8.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（）A.平行B.相交C.异面D.以上皆有可能【答案】D【解析】解：如图在正方体ABCD_A1B1C1D1中A1A，B1B与底面ABCD夹角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD夹角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD夹角相等，此时两直线异面；故选A根据直线与平面所成的角的定义，可得两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则两条直线可能平行，可能相交，也可能异面本题考查的知识点是空间直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间直线与直线位置关系的定义及几何特征是解答的关键．9.一座楼房由若干个房间组成，该楼的三视图如图所示．则该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置是（）A.右前上方B.左前上方C.右后上方 D.左后上方【答案】C【解析】解：由该楼的正视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的右侧，由该楼的侧视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的后方，由该楼的俯视图知该楼中最高一层的那个房间在大楼的上方，∴该楼中最高一层的那个房间在大楼右后上方．故选C．由该楼的三视图，逐步判断该楼中最高一层的那个房间在大楼的位置．本题考查三视图的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间想象能力的培养．10.在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体S-EFG中必有（）A.SG⊥△EFG所在平面B.SD⊥△EFG所在平面C.GF⊥△SEF所在平面D.GD⊥△SEF所在平面【答案】A【解析】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFG．故选A．根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．二、填空题(本大题共6小题，共24.0分)11.直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是______ ．【答案】（1，0）【解析】解：解方程组，得x=1，y=0，∴直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标是（1，0）．故答案为：（1，0）解方程组得到直线x-4y-1=0与直线2x+y-2=0的交点坐标．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．12.已知原点O到直线3x+4y=15的距离为______ ．【答案】3【解析】解：原点O（0，0）到直线3x+4y=15的距离为：d==3．故答案为：3．利用点到直线的距离公式求解．本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由该几何体的三视图，知：该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，∴该几何体的体积V=+32×2=．故答案为：．由该几何体的三视图，知该几何体的上半部分是直径为3的球，下半部分是正四棱柱，正棱柱的底是边长为3的正方形，正四棱柱的高为2，由此能求出该几何体的体积．本题考查由几何体的三视图求几何体的体积，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14.R t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的体积为______ ．【答案】16π【解析】解：旋转一周所成的几何体是底面以BC为半径，以AB为高的圆锥，所以圆锥的体积：=16π．故答案为：16πR t△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体是圆锥，推出底面半径和高，即可求出几何体的体积．本题是基础题，考查旋转体的体积，正确推测几何体的图形形状，求出有关数据，是本题的关键．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为______ ．【答案】【解析】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△R t ADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16.设l是经过点A（3，5）的任意一条直线，原点到直线l的距离为d，则对应于d取得最大值时的直线l的方程为______ ．【答案】3x+5y-34=0【解析】解：当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，由=可知所求直线的斜率为，故可得直线的方程为y-5=（x-3），化为一般式可得3x+5y-34=0，故答案为：3x+5y-34=0由题意当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值，进而可得其斜率，由点斜式方程可得，化为一般式即可．本题考查直线方程的求解，得出当所求直线与点A与原点的连线垂直时d取得最大值是解决问题的关键，属基础题．三、解答题(本大题共4小题，共36.0分)17.已知直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-4y-1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．【答案】解：（1）∵直线l经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点P，∴解方程组，得P（-2，2），∵l垂直于直线x-4y-1=0，∴设直线l的方程为4x+y+c=0，把P（-2，2）代入，得-8+2+c=0，解得c=6，∴直线l的方程为4x+y+6=0．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积：S==．【解析】（1）解方程组，得P（-2，2），由l垂直于直线x-4y-1=0，设直线l 的方程为4x+y+c=0，由此能求出直线l的方程．（2）在直线l：4x+y+6=0中，令x=0，得y=-6；令y=0，得x=-．由此能求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．本题考查直线的方程的求法，考查直线与两坐标轴围成的面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线方程性质的合理运用．18.已知两条直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，试分别确定m、n的值，使：（1）l1与l2相交于一点P（m，1）；（2）l1∥l2且l1过点（3，-1）；（3）l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1．【答案】解：（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得，n=-．（2）∵l1∥l2且l1过点（3，-1），∴，解得或（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．∴-8+n=0，解得n=8．∴m=0，n=8．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知：m=0，n=8．【解析】（1）由于l1与l2相交于一点P（m，1），把点P（m，1）代入l1，l2的方程得m2+8+n=0，2m+m-1=0，联立解得即可．（2）由于l1∥l2且l1过点（3，-1），根据平行线的斜率相等及点适合直线l1的方程可得，解得即可；（3）由l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，当m=0时，l1的方程化为8y+n=0，l2的方程化为2x-1=0．可得-8+n=0，解得即可．而m≠0时，直线l1与l2不垂直．本题考查了直线的平行、垂直与斜率的关系、直线相交问题，属于中档题．19.如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在平面互相垂直，M为FC的中点．（1）求证：AF∥平面MBD；（2）求异面直线AF与BM所成角的余弦值．【答案】证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接MO∵ABCD为正方形，∴O为AC中点∵△ACF中，M为EC中点∴MO∥AF又∵MO⊂平面MBD，AF⊄平面MBD，∴AF∥平面MBD．（2）解：根据（1）得AF∥OM，AF与BM所成角即∠OMB，设正方形边长为a，则AC=a，AF=a，MO=AF=a，MC=a∴MB==a∴cos∠BMO===．【解析】（1）连接AC，BD交于点O，连接MO，可得△ACF中，MO为中位线，即MO∥AF，进而由线面平行的判定定理可得AF∥平面MBD；（2）由（1）中MO∥AF，可得AF与BM所成角即∠OMB，解三角形可得：异面直线AF与BM所成角的余弦值．本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，难度中档．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是梯形，AD∥BC，BA=AD=BC=2，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，M是PC中点．（1）求证：DM∥平面PAB；（2）求直线BM与平面PAB所成角的大小．【答案】（1）证明：取PB中点N，连NM，NA，∵，，，，∴NM∥AD，NM=AD，∴四边形NMDA为平行四边形，从而DM∥AN，又AN⊂平面PAB，DM⊄平面PAB，∴DM∥平面PAB；（2）解：连接AC，则∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°∴AC==2∴AC⊥AB∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面PAB取PA中点G，连接MG，则MG∥AC，MG=，∴MG⊥平面PAB连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角在正三角形PAB中，BG=AB=∴tan∠MBG==1∴∠MBG=45°，即直线BM与平面PAB所成角为45°．【解析】（1）取PB中点N，连NM，NA，证明四边形NMDA为平行四边形，可得DM∥AN，利用线面平行的判定，可得线面平行；（2）取PA中点G，连接MG，连接GB，则∠MBG为直线BM与平面PAB所成角，从而可得结论．本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，正确作出线面角是关键．。
浙江省杭州二中高二上学期期中考试(数学文).doc
浙江省杭州二中高二上学期期中考试（数学文）一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．下列给出的赋值语句中正确的是 （ ） A ．4M = B ．M M =- C ．3B A == D ．0x y +=2． 在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体数据的（ ）A ．平均状态B ．分布规律C ．离散程度D ．最大值和最小值3．下面为一个求的平均数的程序,在横线上应填充的语句 为（ ）A ．i>B ．i<．i>= D ．i<=．采用系统抽样的方法从个体数目为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率为（ ） A ．18 B ．1083 C ．183 D ．1105．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为7.1973.93y x =+，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ ）A ． 身高一定是145.83cmB ． 身高在145.83cm 左右C ． 身高在145.83cm 以上D ． 身高在145.83cm 以下 6．下列说法中正确的有（ ）①样本中位数不受少数几个极端数据的影响；②抛掷两枚均匀硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确； ④互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥 事件． A ． ①③ B ．①②③ C ． ①②④ D ．③④ 7．将一个骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则两数之和是3的倍数的概率是（ ） A ．19 B ．16 C ． 14D ． 13 8．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =( ) A ．2450B ．2500C ．2550D ．26529．用秦九韶算法计算多项式6532()235678f x x x x x x =+++++在2x = 时的值时,2V 的值为 A ．2 B ．19 C ．14 D ．3310．将标号为1,2,…,5的5个球放入标号为1,2,…,5的5个盒子内，.每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不．一致的概率是（ ）A ．25 B ． 13 C ． 16 D ．23二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在对应题号后的横线上.）11．某学校的甲、乙两名篮球运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 .12．将二进制数(2)101101化为十进制的结果为 ，再将该数化为八进制数其结果为 .13．1248和585的最大公约数是 .14．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，……，由此猜测凸(4)n n ≥边形的对角线有 条.15．某种产品的广告支出x （百万元）与销售额（百万元）之间有如下对应数据：由线性回归公式算得回归方程y bx a =+中的0.65b =，则当投入的广告支出10x =（单位百万元）时，可预测销售额y （百万元）的值为 .16．在DEF ∆中有余弦定理：2222cos DE DF EF DF EF DFE =+-⋅∠.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱111C B A ABC -的中11A ABB 与11B BCC 所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是 .17．已知函数RAND 可以产生[0,1]区间上的均匀随机数，现在利用均匀随机数产生坐标为（x,y ）的点M ，已知10*(0.5),10*,x RAND y RAND =-=则其中满足5x y x <<+的概率是 . 三、解答题：本大题共4小题，共42分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．(本题10分) 为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（Ⅰ）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；（Ⅱ）补全频率分布直方图；（Ⅲ）学校决定成绩在75.5~85.5分的学生为二等奖，问该校获得二等奖的学生约为多少人？19．(本题10分) 在一个盒中装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品和1枝三等品，求（Ⅰ）从中任取1枝，得到一等品或二等品的概率； （Ⅱ）从中任取2枝，没有三等品的概率． 本题11分) 已知,a b c >>且0,a b c ++=求证： （Ⅰ）0,0a c ><；<21．(本题11分) 下面是用二分法求方程5310x x -+=在(0,1)上的近似解（精确度为0.001）的部分程序框图.（Ⅰ）补全程序框图中下列编号处的对应的内容：① ；② ；③（Ⅱ）试用当型循环结构改写图中虚线框中的部分框图，请把结果写在右边相应方框内.参考答案一、选择题二、填空题11．甲; 12．45,(8)55 ; 13．39; 14．1(3)2n n -; 15．8.25; 16．.cos 21111111111222θB BCC A ABB B BCC A ABB C C AA S S S S S ⋅-+=； 17． 38三、解答题：（每小题10分，共40分） 18．解：(1)(2) 频数直方图如右上所示(3) 成绩在75.5~80.5分的学生占70.5~80.5分的学生的510，因为成绩在70.5~80.5分的学生频率为0.2 ，所以成绩在76.5~80.5分的学生频率为0.1 ， 成绩在80.5~85.5分的学生占80.5~90.5分的学生的105，因为成绩在80.5~90.5分的学生频率为0.32 ，所以成绩在80.5~85.5分的学生频率为0.16 所以成绩在76.5~85.5分的学生频率为0.26， 由于有900名学生参加了这次竞赛，所以该校获得二等奖的学生约为0.26⨯900=234（人） 19．（1）65)(=A P （2）32)(=B P1)因,a b c >>故03a b c a =++<，所以0,0a c ><同理，用反正也可以(2)要证a<< 即证223b ac a -< 即2230a b ac -+>又因为c a b =-- 即证223()0a b a a b -+--> 即证2220a ab b --> 即证()(2)0a b a b -+>又因为,a b >0a b ->，即证20a b +>，又因为a b c +=-即证0a c -> 即证a c > 又由已知，a c >，故原不等式成立21．解：(Ⅰ) a+bm 2＝；② 否； ③是； （Ⅱ）略 注意：0.001()0?a b f m -≥≠且。
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣24．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣25．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．27．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于．12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：直线x+y+=0的斜率为：﹣，所以直线x+y+=0的倾斜角为α，则tan，所以α=120°．故选：D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥C．圆台平行于底面的截面是圆面D．半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球【解答】解：根据柱、锥、台、球的定义，可得圆台平行于底面的截面是圆面，故选：C．3．（4分）已知两条直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直，则k=（）A．1或﹣2 B．﹣1或2 C．1或2 D．﹣1或﹣2【解答】解：∵直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+2y﹣2=0互相垂直∴k（k﹣1）+2（1﹣k）=0∴k2﹣3k+2=0∴k=2或k=1故选：C．4．（4分）直线l与直线y=1，直线x=5分别交于P，Q两点，PQ中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率是（）A．﹣ B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵直线l与直线y=1，x=5分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（5，b），∵线段PQ的中点坐标为M（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣3，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选：A．5．（4分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m∥n，m⊥α，n⊂β，则α⊥β【解答】解：若m∥α，n∥α，则m∥n或m，n相交、异面，即A不正确；∵若m∥α，α⊥β，则m可以与β垂直、平行，相交或m⊂β，即B不正确．若m∥α，m∥β，则α∥β或m与α、β交线平行，即C不正确；直线m⊥平面α，直线n⊂平面β，m∥n，∴α⊥β．故D成立；故选：D．6．（4分）如图，是一个空间几何体的三视图，其主（正）视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一个斜边为2的等腰直角三角形，左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，则此几何体的体积为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得：几何体是一个三棱锥，如图所示，AC⊥平面BCD，AB=AD=BD=2，AC=，因为左（侧）视图是一个两直角边分别为和1的直角三角形，所以△BCD的高为1．所以三棱锥的体积为：=．故选：A．7．（4分）若直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，则a，b，c满足的条件是（）A．a=b B．|a|=|b| C．c=0或a=b D．c=0或|a|=|b|【解答】解：当c=0时，直线ax+by+c=0（ab≠0）过原点，在两坐标轴上的截距相等．当c≠0时，直线在两坐标轴上的截距分别为﹣和﹣，由题意可得﹣=﹣，故a=b．综上，当c=0或c≠0且a=b时，直线ax+by+c=0（ab≠0）在两坐标轴上的截距相等，故选：C．8．（4分）ABCD为空间四边形，AB=CD，AD=BC，AB≠AD，M、N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与（）A．AC、BD之一垂直B．AC、BD都垂直C．AC、BD都不垂直D．AC、BD不一定垂直【解答】解：连接AM、CM，在△ABD与△CDB中，∴△ABD≌△CDB又∵AM、CM分别为两全等三角形对应边BD上的中线，∴AM=CM∵△ACM是等腰三角形，又∵MN为△ACM底边AC上的中线，∴MN⊥AC．同理，MN⊥BD故MN与AC、BD都垂直故选：B．9．（4分）如图，三棱锥P﹣ABC的底面是正三角形，各条侧棱均相等，∠APB ＜60°．设动点D、E分别在线段PB、PC上，点D由P运动到B，点E由P运动到C，且满足DE∥BC，则下列结论正确的是（）A．当点D满足AD⊥PB时，△ADE的周长最小B．当点D为PB的中点时，△ADE的周长最小C．当点D满足=时，△ADE的周长最小D．在点D由P运动到B的过程中，△ADE的周长先减小后增大【解答】解：由题意得△ADE是一个等腰三角形，AD=AE，∵在D点由P到B的运动过程中，两腰长先减小后增大，故可得△ADE周长也会先减小后增大，故选：D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，P为棱AA′上一动点，Q为底面ABCD上一动点，M是PQ的中点，若点P，Q都运动时，点M构成的点集是一个空间几何体，则这个几何体是（）A．棱柱B．棱台C．棱锥D．球的一部分【解答】解：由题意知，当P在A′处，Q在AB上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′B′B内平行于AB的线段（靠近AA′），当P在A′处，Q在AD上运动时，M的轨迹为过AA′的中点，在平面AA′D′D内平行于AD的线段（靠近AA′），当Q在B处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AB），当Q在D处，P在AA′上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面AA′B′B内平行于AA′的线段（靠近AD），当P在A处，Q在BC上运动时，M的轨迹为过AB的中点，在平面ABCD内平行于AD的线段（靠近AB），当P在A处，Q在CD上运动时，M的轨迹为过AD的中点，在平面ABCD内平行于AB的线段（靠近AB），同理得到：P在A′处，Q在BC上运动；P在A′处，Q在CD上运动；P在A′处，Q在C处，P在AA′上运动；P、Q都在AB，AD，AA′上运动的轨迹．进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体．故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于60°．【解答】解：取A1B1 中点M连接MG，MH，则MG∥EF，MG 与GH所成的角等于EF与GH所成的角．容易知道△MGH为正三角形，∠MGH=60°∴EF与GH所成的角等于60°故答案为：60°12．（4分）已知长方体的三边长分别是3，4，5，则它的外接球的表面积是50π．【解答】解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：=5，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径，∴球半径为R=，可得球的表面积为4πR2=50π．故答案为：50π．13．（4分）已知圆锥的底面半径为1，且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆，则该圆锥的母线长为2．【解答】解：设母线长为x，根据题意得2πx÷2=2π×1，解得x=2．故答案为：2．14．（4分）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB=1，AA′=2，则直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为．【解答】解：如图所示，取A′B′的中点D，连接C′D′，BD．∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′．∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D．又AA′∩A′B′=A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，∴∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．∵等边△A′B′C′的边长为1，C′D=．在Rt△BB′C′中，BC′==．∴直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值==．故答案为：．15．（4分）如图1，已知三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，则该四面体的侧视图面积为．【解答】解：∵三棱锥的各棱长都为1，它的正视图是如图2所视的等腰三角形，∴三棱锥的高为h==，∴侧视图为等腰三角形，底面边长为AB=，BC=，C到AB的高为：，∴=故答案为：，16．（4分）已知实数a、b、c满足a﹣b﹣c=0则原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值为．【解答】解：因为直线ax+by+c=0，又a﹣b﹣c=0，所以直线过定点（﹣1，1），所以原点O（0，0）到直线ax+by+c=0的距离的最大值即为原点到定点的距离：．故答案为：17．（4分）若当x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1] ．【解答】解：要使x∈（﹣1，+∞）时，k（x+1）＜|x+k+2|﹣1（k∈R）恒成立（1）当k+1≥0时，x+k+2≥0，故命题化为：kx+k＜x+k+2﹣1，即kx＜x+1对x∈（﹣1，+∞）时恒成立，只要0≤k≤1即可如图（1）．图（1）（2）当k+1＜0时，∵x∈（﹣1，+∞）时，∴x+1＞0，令t=x+1，则t∈（0，+∞）故命题化为：kt＜|t+k+1|﹣1，对t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t则命题化为：kx+1＜|x+k+1|，对x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）时，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方即可，如图（2）．只要﹣k﹣1≥1即可，∴k≤﹣2图（2）综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，1]三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）如图多面体中，正方形ADEF所在的平面与直角梯形ABCD所在的平面垂直，且AD=AB=CD，AB∥CD，M为CE的中点．（1）证明：BM∥平面ADEF；（2）证明：平面BCE⊥平面BDE．【解答】证明：（1）取DE中点N，连接MN，AN在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．（2）在正方形ADEF中，ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC．在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2在△BCD中，BD=BC=2，CD=4，所以BC⊥BD．所以BC⊥平面BDE，又因为BC⊂平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE．19．（12分）已知点A（2，2），直线l：y=2x+1．（1）求点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）当点B，C分别在x轴和直线l上运动时，求△ABC周长的最小值．【解答】解：（1）设A′（a，b），则由点A关于直线l的对称点A′，可得，解得，故A′的坐标为（﹣，）．（2）由于点A关于x轴的对称点A2（2，﹣2），|A′A2|==，∴△ABC的周长的最小值为．20．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠APB=90°，=4，且PM⊥CD，AB=BC=2PB=2AD．（1）证明：面PAB⊥面ABCD；（2）求直线DM与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：由AB=2PB=4BM，得PM⊥AB，又因为PM⊥CD，且AB，CD相交，所以PM⊥面ABCD，且PM⊂面PAB．所以，面PAB⊥面ABCD．…（6分）（2）解：过点M作MH⊥CD，连结HP，因为PM⊥CD，且PM∩MH=M，所以CD⊥平面PMH，又由CD⊂平面PCD，得到平面PMH⊥平面PCD，平面PMH⊥平面PCD=PH，过点M作MN⊥PH，即有MN⊥平面PCD，连结DN，则∠MDN为直线DM与平面PCD所成角．…（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，设AB=2t，则DM=t，PM=t，MH=t，∴PH=t，MN=t，从而sin∠MDN==，…（13分）即直线DM与平面PCD所成角的正弦值为．…（14分）21．（14分）在图1等边三角形ABC中，AB=2，E是线段AB上的点（除点A外），过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF 沿EF折起到△PEF（点A与点P重合，如图2），使得∠PFC=．（1）求证：EF⊥PC；（2）试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P﹣EB﹣C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：∵EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC=F∴EF⊥平面PFC又∵PC⊂平面PFC∴EF⊥PC；（2）解：由（1）知，EF⊥平面PFC，∴平面BCFE⊥平面PFC作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE，作HG⊥BE，连接PG，则BE⊥PG∴∠PGH是个二面角的平面角，设AF=x，则0＜x≤1，∵∠PFC=60°，∴FH=，PH=x，∵GH=x，∴tan∠PGH==，∴二面角P﹣EB﹣C的大小是定值．。
浙江省杭州重点中学1415高二上学期期末——数学(文)数
浙江省杭州地区（含周边）重点中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学文试题考生须知：1．本卷满分120分，考试时间100分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．半径为2cm 的球的体积是（ ▲ ） A ． cm 3 B ． cm 3 C ． cm 3 D ． cm 3 2．直线x ＝－的倾斜角和斜率分别是（ ▲ ） A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在 3.已知实数，则是且的（ ▲ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ）A ．若，则 B ．若，则C ．若，则 D ．若，则5．六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为（ ▲ ）A. B. C. D.6．若直线与圆2240x y kx my +++-=交于M ，N 两点，且M ，N 关于直线对称，则的值是（ ▲ ） A ． B ．0 C ． D ． 3 7.已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（ ▲ ） A ． B ． C ． D ．8．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为2的直线交椭圆于、两点，若△为直角三角形，则椭圆的离心率为（ ▲ ）A ．53B ．23C ．23D ．139.三棱柱中，与、所成角均为，，且，则与所成角的余弦值为（ ▲ ）A ．1B ．－1C ．D ．－10．已知ABCD-ABCD 是边长为1的正方体，P 为线段AB 上的动点，Q 为底面ABCD 上的动点，则最小值为（ ▲ ） A ． B ． C ．2 D ． 二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11.在空间直角坐标系中，是点关于轴的对称点，则= ___▲___． 12.两平行直线与之间的距离为___▲___．13.设抛物线的准线为，为抛物线上的动点，定点，则与点到准线的距离之和的最小值为___▲___． 14. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为___▲___．15.如图四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且,为中点，则下列结论中正确的是___▲___．①； ②//平面； ③平面平面； ④平面//平面.16.已知分别是双曲线的左右焦点，A 是双曲线在第一象限内的点，若且，延长交双曲线右支于点B ，则的面积等于___▲___．17.已知动点在椭圆上，若A 点的坐标为(6,0)，，且，则的最小值为___▲___．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知命题13102:22=-+-m y m x p 方程表示焦点在轴上的椭圆； 已知命题125:22=+-my m x q 方程表示双曲线； 若为真，为假，求实数的取值范围。
最新浙江省杭州二中-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学试卷命题：李 鸽 校对：金 迪 审核：徐存旭时间：100分钟注意：本试卷不得使用计算器参考公式： 球的表面积公式 S =4πR 2 球的体积公式 V =43πR 3 其中R 表示球的半径 锥体的体积公式V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高柱体的体积公式 V=Sh其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 台体的体积公式()1213V h S S =其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 不等式0322>++-x x 的解集是A.)1,3(-B. )3,1(-C. ),3()1,(+∞⋃--∞D. ),1()3,(+∞⋃--∞ 2.已知0,>ba ，且13=+b a ，则ab 的取值范围是A.),63[+∞ B. ]121,0( C. ]121,241( D. ]63,0( 3. 设m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是A ．若ββαα//,//,//m m 则B ．若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C ．若ββαα⊥⊥m m 则,,//D ．若ββαα⊥⊥m m 则,//,4. 在等差数列}{n a 中，已知201=a ，前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值是 A ．110B ．120C ．130D ．1405. 若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则实数a 的取值范围为 A ．),523(+∞-B ．]1,523[-C ．(1,+∞)D ．)1,(--∞6.已知各棱长均为1的四面体ABCD 中， E 是AD 的中点，P ∈直线CE ，则|BP|＋|DP|的最小值为A.1＋63B.1＋63 C.1＋32 D.1＋327.若y x a y x +≤+2对+∈R y x ,恒成立，则实数a 的最小值是 A.2 B.3 C. 5 D. 28.设三个底面半径都为1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱侧面都相切的球的半径最小值等于 A. 12- B. 13- C. 25- D. 1二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.9. 已知圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的侧面面积=S .10.右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是 .11.在等比数列{a n }中，各项均为正值，且4862142=+a a a a ,693=a a ,则=+84a a .12.设函数x x x f +-=11log )(21，则不等式)21()(log 21f x f ->的解集是 . 13.空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 . 14.对一切实数x ，二次函数c bx ax x f ++=2)(的值均为非负实数，则cba +的最小值是 .15.已知三棱锥BCD A -，DC DB DA ,,两两垂直，且90=∠+∠+∠CAD BAC DAB ，则二面角D BC A --的余弦值的最大值为 .杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．9． 10．11． 12．13. 14.15.三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）如图：已知四棱柱1111D CB A ABCD -的底面是菱形，该菱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11; （2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. 1B17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式)(012R a a x ax ∈>+--的解集. （2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，R d c b a ∈,,,.18.（本小题满足12分） 如图：已知正六边形ABCDEF 边长为1，把四边形CDEF 沿着FC 向上翻折成一个立体图形F E ABCD 11. （1）求证：A E FC 1⊥；（2）若1E B =时，求二面角C FB E --1的正切值.19.（本小题满足12分）数列{}n a 满足341=a ，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1； （2）设201521111a a a m +++= ，求不超过m 的最大整数.杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案一．选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.把答案填在题中的横线上．910． π311． 12． )2,21(13. 12512ππ或 14. -115.31三、解答题：本大题共4小题．共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分10分）如图：已知四棱锥1111D C B A ABCD -的底面是棱形，该棱形的边长为1，60=∠ABC ，AC AA 平面⊥1.（1）设棱形ABCD 的对角线的交点为O ，求证： O A 1//平面C D B 11;1（2）若四棱柱的体积23=V ，求C C 1与平面C D B 11所成角的正弦值. （1）证明：连接1111,D B C A 交于点G ，连接GC ，因为CO G A CO G A =11,//，于是四边形GCO A 1是平行四边形，故OG O A //1，又C D B OG 11平面⊂，故C D B O A 111//平面（2）解：设h AA =1，因为23sin =∠⋅⋅=ABC BC AB S 底，所以23==Sh V ，所以1=h . 因为1111C A D B ⊥，A A D B 111⊥，所以C A D B 111平面⊥所以C A C D B 111平面平面⊥，过GC H C ⊥1，于是C D B H C 111平面⊥所以CG C 1∠为所求角，且55sin 11==∠GC G C CG C .17.（本小题满分12分）（1）求关于x 的不等式R a a x ax ∈>+--,012的解集.解：若0<a ，解集为)1,11(-a；若0=a ，解集为)1,(-∞；若210<<a ，解集为),11()1,(+∞-⋃-∞a； 若21=a ，解集为),1()1,(+∞⋃-∞；若21>a ，解集为),1()11,(+∞⋃--∞a；（2）求证：))(()(22222d c b a bd ac ++≤+，其中d c b a ,,,都是实数.证明：0)(2))(()(2222222222≤--=--=++-+bc ad c b d a acbd d c b a bd ac 故))(()(22222d c b a bd ac ++≤+. 18.（本小题满足12分）1B1B如图：已知正六边形''''''F E D C B A ，边长为1，沿着''C F 向上翻折成一个立体图形ABCDEF. （1）求证：EA FC ⊥； （2）若210=EB 时，求二面角E-FB-C 的正切值. （1）证明：过E 作FC EH ⊥，连接AH ，于是FC AH ⊥ 又H EH AH =⋂，于是A H E FC 平面⊥，又AEH EA 平面⊂，故EA FC ⊥.（2）解：连接HB ，计算可得：23=EH ， 2760cos 222=⋅-+=CB CH CB CH BH由210=EB ，故222EB EH BH =+，所以HB EH ⊥，又FC EH ⊥，H FC HB =⋂，所以ABCF EH 平面⊥ 过H 作FB SH ⊥，连接ES ，则ESH ∠为所求角. 在ESH ∆中，23,41==EH SH ，32tan ==∠HSEH ESH . 19.数列{}n a 满足143a =，2*11(N )n n n a a a n +=-+∈. （1）求证：n n a a >+1；（2）设122013111m a a a =+++，求不超过m 的最大整数. （1）因为1341>=a ，故1)1()1()1()()()(1222221112211>+-++-+-=+-++-+-=-----a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ，FF于是n n n n n n a a a a a a =->+-=+2121.（2）解：)1(11-=-+n n n a a a ，于是nn n n n a a a a a 111)1(1111--=-=-+ 所以111111---=+n n n a a a 于是113)1111()1111()1111(2014201420133221--=---++---+---=a a a a a a a m 当2≥n 时，31341)1(1->+-=+n n n n a a a a ，于是)1(3411->-+n n a a ，故21)34(312014214>+⋅>a ，所以11102014<-<a ，所以不超过m 的最大整数是2.。
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题
浙江省杭州地区六校2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每个小题所给的四个选项有且只有一个符合题目要求。
）1、在等差数列{n a }中，若12121324a a a a +++=，则7a 为( )A ．6B ．7C ．8D ． 9 2、下列四个命题中，其中正确的命题的是（ ） A 过三点确定一个平面 B 矩形是平面图形C 四边相等的四边形是平面图形D 三条直线两两相交则确定一个平面。
3、用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为 （ ） A ．8π B ．16π C ．24π D ．32π4、已知d c b a >>,，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a d b +<+ B ．bd ac > C ．bdc a > D ．d b c a ->- 5．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )．222sin sin sin ,ABC C A B ABC ∆=+∆6、在中，若则为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形7．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ B ． //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒C ． ,//m m n n αα⊥⊥⇒D ． //,m n n m αα⊥⇒⊥8、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB 与CD 的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交成60°角C. 异面成60°角D. 异面且垂直9．已知某几何体的三视图如图所示，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为( )A ．24－32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2π 10．如图，正方体ABCD-1111A B C D 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ） A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．直线AH 和BB 1所成角为45°D ．AH 的延长线经过点C 1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知三个数3,,12x --成等比数列，该数列公比q= ___________.12、一个正方体的所有顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的表面积___________cm 2. 13、 已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么COS θ的值等于 .C 1B 1A 1FE CBA14、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥ 则函数24z x y =+的最小值为____________15、 设x >0,则133y x x=--的最大值为 . 16、已知正三棱锥A-BCD 的侧面积为36 cm 2,侧面ACD 底边CD 上的高为2cm. 求正三棱锥A-BCD 的体积 3cm 17、如图所示,E 、F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D ，DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作D 。
浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文) Word版含答案
杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷(文科)一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 B.4π C.8π D.16π 6题 7题SBA CO3题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC 和OA 上移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B 1A DO1D 1C 1B CBA8题APQ ODCB－1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ． (l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线. ⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.12. 13.14. 15. 16.三、解答题（共46分）17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2），=（2，6，-3），=（-4，3，1）， ∵=21（-）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+530b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD, 所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC, 所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=. 方法二：因为EA ⊥平面ABC,所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED. 其中ED=EA+DA=2+2=4, 因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。
2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二上学期期中数学试卷与解析
2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．24．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．35．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=16．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg47．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞09．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=411．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±112．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞015．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣118．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或419．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣322．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．2014-2015学年浙江省杭州市育新高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，1-15每小题2分，16-25每小题2分，共60分.每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）1．（2分）设集合M={0，1，2}，则（）A．1∈M B．2∉M C．3∈M D．{0}∈M【解答】解：由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．∴A选项1∈M，正确；B选项2∉M，错误；C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；故选：A．2．（2分）函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=，∴≠0，∴x＞0；∴f（x）的定义域为（0，+∞）．故选：D．3．（2分）若关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，则实数m等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的不等式mx﹣2＞0的解集是{x|x＞2}，∴m＞0，，因此，解得m=1．故选：C．4．（2分）已知等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9 C．D．3【解答】解：∵等比数列{a n}的通项公式为a n=3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q===3．故选：D．5．（2分）下列直线中倾斜角为45°的是（）A．y=x B．y=﹣x C．x=1 D．y=1【解答】解：由于直线的倾斜角为45°，故直线斜率为1，结合所给的选项，只有A满足条件，故选：A．6．（2分）下列算式正确的是（）A．lg8+lg2=lg10 B．lg8+lg2=lg6 C．lg8+lg2=lg16 D．lg8+lg2=lg4【解答】解：lg8+lg2=lg8×2=lg16，故选：C．7．（2分）sin（π+α）=（）A．cosαB．﹣cosαC．sinα D．﹣sinα【解答】解：sin（π+α）=﹣sinα．故选：D．8．（2分）若函数f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0【解答】解：∵f（x）=（a﹣1）x﹣1为R上的增函数，∴由一次函数的图象知a﹣1＞0，解得a＞1，故选：B．9．（2分）若对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，则M的坐标是（）A．（1，2） B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）【解答】解：对任意的实数k，直线y﹣2=k（x+1）恒经过定点M，令参数k的系数等于零，求得x=﹣1，可得y=2，故点M的坐标为（﹣1，2），故选：C．10．（2分）以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．x2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+y2=2 C．x2+（y﹣1）2=4 D．（x﹣1）2+y2=4【解答】解：以点（0，1）为圆心，2为半径的圆的标准方程为（x﹣0）2+（y ﹣1）2=4，故选：C．11．（2分）若函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．±1【解答】解：法一：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2+（a﹣1）x﹣a=x2+（1﹣a）x﹣a，∴a﹣1=1﹣a，∴a=1；法二：∵函数f（x）=（x+1）（x﹣a）是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，又f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，∴对称轴为x=，即，∴a=1，故选：A．12．（2分）将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=﹣sinx D．y=﹣cosx【解答】解：将函数图f（x）=sin（x﹣）象上的所有点向左平移个单位长度，则所得图象的函数解析式为y=sin（x+﹣）=sinx，故选：A．13．（2分）正方体的棱长为1，它的顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为（）A．3πB．6πC．3πD．12π【解答】解：由棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，知2r=，∴球的表面积S=4πr2=3π．故选：A．14．（2分）命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，则命题p的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x﹣2≠0 B．∀x∈R，x2+2x﹣2＞0C．∃x0∈R，x02+2x0﹣2≠0 D．∃x0∈R，x02+2x0﹣2＞0【解答】解：根据命题p的否定是￢p，∴命题p：∃x0∈R，x02+2x0﹣2=0，命题p的否定是：∀x∈R，x2+2x﹣2≠0．故选：A．15．（2分）设a，b为实数，则“a＞b＞0是＜”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：若a＞b＞0，则﹣=＜0，即＜出成立．若＜则﹣=＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．16．（3分）在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线．则下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊥α，则m⊥αB．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βC．若m上有无数个点不在α内，则m∥αD．若m∥α，那么m与α内的任何直线平行【解答】解：对于A，若m∥n，n⊥α，则m⊥α，据线面垂直的判定定理可知正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，则m⊥β；不正确，也可能是m与β不垂直，错误；对于C，若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故错误；对于D，若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故错误，故选：A．17．（3分）设函数f（x）=sinxcosx，x∈R，则函数f（x）的最小值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣D．﹣1【解答】解：∵函数f（x）=sinxcosx=sin2x，﹣1≤sin2x≤1，∴函数f（x）的最小值是﹣，故选：B．18．（3分）若直线x﹣y=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截得的弦长为，则实数a 的值为（）A．﹣1或B．1或3 C．﹣2或6 D．0或4【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4∴圆心为：（a，0），半径为：2圆心到直线的距离为：∵解得a=4，或a=0故选：D．19．（3分）在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC的长为（）A． B． C．3 D．【解答】解：∵在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=60°，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣6=7，则BC=．故选：D．20．（3分）函数f（x）=2x﹣的零点所在的区间可能是（）A．（1，+∞）B．（，1）C．（，）D．（，）【解答】解：令f（x）=0，∴2x=，令g（x）=2x，h（x）=，∵g（）=，g（1）=2，h（）=2，h（1）=1，结合图象：∴函数h（x）和g（x）的交点在（，1）内，∴函数f（x）的零点在（，1）内，故选：B．21．（3分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：约束条件的可行域如下图示：由，可得，A（1，1），要求目标函数z=y﹣x的最大值，就是z=y ﹣x经过A（1，1）时目标函数的截距最大，最大值为：0．故选：B．22．（3分）如图是某三棱锥的三视图，则这个三棱锥的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的一个侧面与底面垂直，高为2，底面三角形的一条边长为2，该边上的高为2，∴几何体的体积V=××2×2×2=．故选：C．23．（3分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，则异面直线AC与BE所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取SA的中点F，连接EF，BF，则∵E为棱SC的中点，∴EF∥AC，∴∠BEF（或其补角）为异面直线AC与BE所成的角，∵AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，∴BE=EF=BF=，∴∠BEF=60°．故选：C．24．（3分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．18m C．22.5m D．15m【解答】解：如图设BD=x，设篱笆长度为y，则CD=y﹣x，AB=y﹣2x，梯形的面积为=54，整理得y=+≥2=18，当=x，即x=6时等号成立，所以篱笆总长度最小为18m．故选：B．25．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）26．（2分）设函数f（x）=，则f（3）的值为7．【解答】解：由分段函数可知，f（3）=3×3﹣2=9﹣2=7．故答案为：7．27．（2分）已知平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，则实数m的值为．【解答】解：∵平面向量=（2，3），=（1，m），且∥，∴2m=3×1，∴m=．故答案为：．28．（2分）已知直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y﹣3=0则两平行直线l1，l2间的距离为2．【解答】解：两条平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y﹣3=0之间的距离为=2，故答案为：2．29．（2分）设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB=，则•的取值范围是．【解答】解：∵∴与共线时，能取得最值．①若与同向，则取得最大值，∴取得最大值为：；②若与反向，则取得最小值，∴取得最小值为：，∴的取值范围是，故答案为：．30．（2分）若不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，则实数k 的取值范围是1≤k≤4．【解答】解：设原不等式的解集为A，当k=0时，则x＞4，不合题意，当k＞0且k≠2时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＜0，∵，∴，要使不存在整数x使不等式（kx﹣k2﹣4）（x﹣4）＜0成立，须，解得：1≤k≤4；当k=2时，A=∅，合题意，当k＜0时，原不等式化为[x﹣（）]（x﹣4）＞0，∴A=（﹣∞，）∪（4，+∞），不合题意，故答案为：1≤k≤4．三、解答题（共4小题，共30分）31．（7分）已知，求cosθ及的值．【解答】解：∵，∴cosθ==；∴=sinθcos+cosθsin=×+×=．32．（7分）已知等差数列{a n}（n∈N+）}满足a1=2，a3=6（1）求该数列的公差d和通项公式a n；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若S n≥2n+12，求n的取值范围．【解答】解：（1）由题意得d==2，a n=a1+（n﹣1）d=2n，n∈N*．（2）S n==n（n+1）=n2+n，由S n≥2n+12，解得n≥4或n≤﹣3（舍去），所以n≥4且n∈N*．33．（8分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠CAA1=∠A1AB=∠BAC=90°，AB=AA1=1，AC=2．（1）求证：A1B⊥平面AB1C；（2）求直线B1C与平面ACC1A1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠CAA1=∠BAC=90°，∴CA⊥AA1，CA⊥AB，∵A1A∩AB=A，∴CA⊥平面A1B1BA，∵A1B⊂平面A1B1BA，∴CA⊥A1B，∵四边形A1B1BA为正方形，∴A1B⊥AB1，∵AC∩AB1=A，∴A1B⊥平面AB1C；（2）解：连接A1C，则B1A1⊥AA1，B1A1⊥AC，∵AA1∩AC=A，∴B1A1⊥平面ACC1A1，∴∠B1CA1是直线B1C与平面ACC1A1所成角．在矩形ACC1A1中，AA1=1，AC=2，∴A1C=，∵A1B1=AB=1，∴在Rt△A1B1C中，CB1=，∴sin∠B1CA1=．34．（8分）设函数f（x）=x2﹣ax+b，a，b∈R．（1）已知f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，求a的取值范围；（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．【解答】解：（1）∵函数的对称轴为x=，∴要使f（x）在区间（﹣∞，1）上单调递减，则满足对称轴x=≥1，即a≥2．（2）∵当x∈[0，b]时，2≤f（x）≤6恒成立，∴b＞0，①若a≤0，则≤1，此时f（x）在[0，b]上单调递增，∴，即，由b2﹣ab+b≤6得a≥b﹣，∴a=0，此时，解得．②若0＜＜，即0＜a＜b，此时，即，∴，即，∴2＜b＜6，又b﹣≥2，则a≤2，∴b﹣+1≤2，令h（x）=x﹣+1，g（x）=，∴h（2）=g（2）=0，h（3）=g（3）=2，且h（x）与g（x）均在（2，6）上单调递增，当2＜x＜3时，h（x）的图象在g（x）图象的下方，即此时h（x）＜g（x），∴不等式b﹣+1≤2的解为2＜b≤3，当b=3时，，即，解得a=2．③若0＜=，即0＜a=b，此时，即，此时不等式无解．④若0＜＜＜b，即0＜b＜a＜2b，此时，即，即，∴，a2﹣4a+8＜0此时不等式无解．⑤若，即a≥2b，此时f（x）在[0，b]上单调递减，∴，即，即，∴2b，即b，而当b＞0时，b+，∴此时不等式无解．综上b的取值范围是[2，3]，b的最大值是3，此时a=2．。
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中考试数学试卷word含答案
杭州二中2015学年高二年级第一学期期中数学试卷D .若 m , //,则 m4.在等差数列｛a *｝中，已知a 1 20，前n 项和为S n ，且S ioA . 110B . 120C . 130D . 14025.若关于x 的不等式x ax 20在区间1,5上有解，则实数a 的取值范围为7•若.X 2y a.,x y 对x, y R 恒成立，则实数a 的最小值是8•设三个底面半径都为 1的圆柱侧面两两相切，且它们的轴两两互相垂直，则与这三个圆柱 侧面都相切的球的半径最小值等于二、填空题：本大题共 7小题，每小题4分，共28分•9.已知圆锥的底面半径为 1，高为1,则圆锥的侧面面积 S ________________ 10•右图是某三棱锥的三视图，各个视图是全等的等腰直角三角形，且直 第1页•共9页一、选择题：本大题共 8小题，每小题 3 0的解集是3分，共24分.1.不等式 x 2 2xA. ( 3,1) B • ( 1,3)C. (, 1) (3,)2•已知a,b0，且a 3b 1，则ab 的取值范围是r 3…1、1 1、 A.[,)B. (0,]C.( ] 61224 123•设m 为 •条直线， , 为两个不同的平面 ，则卜列说法止确的是A .若 m 〃 , // ,则m 〃B .若,mD. ( ,3) (1,)S 15，则S n 的最大值是23 52351]6•已知各棱长均为 小值为1的四面体ABCD 中, C . (1,+ ) E 是AD 的中点，P €直线D . ( , 1)CE ,贝U |BP| + |DP| 的最A.1 +B. ■ 3C. 、 5D. 2D. 1时间：100分钟角边长为1，则这个三棱锥外接球的表面积是11.在等比数列｛a n｝中，各项均为正值，且a2a14 a2a648 , a3a9 6 ,则a4 a81 x 112.设函数f(x) log 1 ，则不等式f(log1X) f ()的解集是 _____________________________________ .2 1 x 2 213•空间四边形ABCD中，AB = CD且AB与CD所成的角为30° E、F分别为BC、AD的中点，贝U EF与AB所成角的大小为___________________ .2 a b14.对一切实数x，二次函数f(x) ax bx c的值均为非负实数，贝U 的最小值是___________ .15. 已知三棱锥A BCD , DA, DB, DC两两垂直，且DAB BAC CAD 90 ,则二面角A BC D的余弦值的最大值为___________________ .三、解答题：本大题共4小题•共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. (本小题满分12分)如图：已知四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1, ABC 60 , AA, 平面AC .(1)设棱形ABCD的对角线的交点为0,求证：AQ//平面B1D1C ;(2)若四棱柱的体积V 所成角的正弦值A1BD117. (本小题满分12 分)(1)求关于x 的不等式ax2 x a 1 0(a R) 的解集. ( 2)求证：(ac bd)2 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ，a,b,c,d R .18. (本小题满足12分) 如图：已知正六边形ABCDEF边长为1，把四边形CDEF沿着FC向上翻折成一个立体图形ABCD.E, F .(1)求证：FC E1A ；(2)若E1B 于时，求二面角E1FB C的正切值.19.(本小题满足12分)数列a n 4满足a12 *a n 1 a n a n 1(n N) 3(1)求证：an 1 a n;(2 )设m 1 1 1 ，求不超过m 的最大整数.a i a2 a2015杭州二中2015学年第一学期高二年级期中考试数学答案•选择题：本大题共 8小题，每小题3分，共24分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BBDCABBA16.(本小题满分10分)如图：已知四棱锥 ABCD ABQD 1的底面是棱形，该棱形的边长为 1, ABC 60 , AA 平面AC .(1) 设棱形ABCD 的对角线的交点为 O ,求证： A 。
【数学】2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高三(上)期中数学试卷与答案(文科)(1)
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x23．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=24．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．49．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．110．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是．15．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M{x|x2﹣x＞0}，N={0，1，2，3}，则（∁U M）∩N=（）A．{x|0≤x≤1}B．{0，1}C．{2，3}D．{1，2，3}【解答】解：由M中不等式变形得：x（x﹣1）＞0，解得：x＜0或x＞1，即M={x|x＜0或x＞1}，∴∁U M={x|0≤x≤1}，∵N={0，1，2，3}，∴（∁U M）∩N={0，1}，故选：B．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log0.3（x+2）B．y=3﹣x C．y=D．y=﹣x2【解答】解：由于二次函数y=﹣x2在区间（0，+∞）上是减函数，故排除D．A、由于函数y=log0.3（x+2）由于函数y=log0.3u与u=x+2复合而成，由复合函数的单调性知函数y=log0.3（x+2）为减函数；B、由于函数y=3﹣x由于函数y=3u与u=﹣x复合而成，由复合函数的单调性知函数y=3﹣x为减函数；故选：C．3．（5分）已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128，则（）A．a4=2 B．a5=2 C．a6=2 D．a1=2【解答】解：已知等比数列{a n}前n项的积为T n，且公比q≠1，若T7=128利用等比数列的性质：所以：a4=2故选：A．4．（5分）命题p：|x+2|＞2，命题q：＞1，则￢q是￢p成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：命题p：|x+2|＞2即为x＞0或x＜﹣4；命题p：＞1即为2＜x＜3；所以￢p：﹣4≤x≤0，￢q：x≤2或x≥3；所以￢p成立￢q成立，反之￢q成立￢p不一定成立；所以¬q是¬p成立的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象：A=1T==π所以：ω=2当x=时，f（）=0解得：Φ=﹣所以f（x）=cos（2x﹣）要得到g（x）=cos2x的图象只需将f（x）的图象向左平移个单位即可．故选：D．6．（5分）若偶函数y=f（x）对任意实数x都有f（x+2）=﹣f（x），且在[﹣2，0]上为单调递减函数，则（）A．f（）＞f（）＞f（）B．f（）＞f（）＞f（）C．f（）＞f（） D．f（）＞f（）＞f（）【解答】解：f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的函数．∴f（）=f（4﹣）=f（﹣），f（）=f（4+）=f（）=f（﹣），f（）=f（4﹣）=f（），在[﹣2，0]上单调递减，∴f（﹣）＞f（﹣）＞f（），∴f（）＞f（）＞f（），故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=2xcosx，则函数f（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=2xcosx，f（﹣x）=﹣2xcosx=﹣f（x），所以函数是奇函数，排除B、D，当x→0时，函数f（x）=2xcosx＞0，函数的图象在第一象限，排除C，故选：A．8．（5分）在正项等比数列{a n}中，2为a4与a14的等比中项，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．6 D．4【解答】解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为2，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a7+a11≥8．故选：B．9．（5分）已知≤k＜1，函数f（x）=|2x﹣1|﹣k的零点分别为x1，x2（x1＜x2），函数g（x）=|2x﹣1|﹣的零点分别为x3，x4（x3＜x4），则（x4﹣x3）+（x2﹣x1）的最小值为（）A．log23 B．2 C．log26 D．1【解答】解：∵x1＜x2，∴2=1﹣k，2=1+k，又∵x3＜x4，∴2=1﹣，2=1+，∴2﹣=，2=；∴2==﹣3+；又k∈[，1），∴﹣3+∈[2，+∞）；∴x4﹣x3+x2﹣x1∈[1，+∞），故选：D．10．（5分）若定义在R上的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对于任意的实数x都成立，则称f（x）是一个“λ的相关函数”，则下列结论正确的是（）A．f（x）=0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”B．f（x）=x2是一个“λ的相关函数”C．f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”D．“的相关函数”至少有一个零点【解答】解：对于A，设f（x）=C是一个“λ的相关函数”，则（1+λ）C=0，当λ=﹣1时，可以取遍实数集，因此f（x）=0不是唯一一个常值“λ﹣伴随函数”，故A 不正确；对于B，用反证法，假设f（x）=x2是一个“λ的相关函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ的相关函数”，故B不正确；对于C，假设f（x）=e﹣x是一个“λ的相关函数”，则e﹣（x+λ）+λe﹣x=0对任意实数x ∈R成立，则e﹣λ+λ=0，此式无解，∴f（x）=e﹣x不是一个“λ的相关函数”，故C不正确；对于D，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根．因此任意的“的相关函数”必有根，即任意“的相关函数”至少有一个零点，故D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）设函数f（x）=，则f（）=6．【解答】解：函数f（x）=，f（﹣4）=2﹣4+2=，=4．则f（）=f（4）=42﹣3×4+2=6．故答案为：6．12．（4分）已知、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），则|λ|=5．【解答】解：∵、满足||=1，=（3，4），且+=0（λ∈R），∴=﹣λ，∴||=|﹣λ|=|λ|•||=|λ|×1=5，∴|λ|=5．故答案为5．13．（4分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则m的取值范围是．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（m，﹣m），直线x﹣2y=2的斜率为，斜截式方程为，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0=2，则点C（m，﹣m）必在直线x﹣2y=2的下方，即﹣m，解得m．故m的取值范围是：．故答案为：．14．（4分）设a，b∈R+，a+b﹣2a2b2=4，则的最小值是4．【解答】解：∵a+b﹣2a2b2=4，∴a+b=4+2a2b2，∴===+2ab≥2=4，当且仅当ab=取等号，故的最小值是4，故答案为：415．（4分）某地区预计2015年的前x个月内对某种商品的需求总量f（x）（万件）与月份x的近似关系式是f（x）=x（x+1）（19﹣x），x∈N*，1≤x≤12，则2015年的第x月的需求量g（x）（万件）与月份x的函数关系式是g（x）=x （13﹣x）（x∈N*且x≤12）．【解答】解：当x=1时，g（1）=f（1）=．当2≤x≤12，x∈N*时，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（19﹣x）﹣（x ﹣1）x（20﹣x）=x（13﹣x）验证x=1符合g（x）=x（13﹣x），∴g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．故答案为：g（x）=x（13﹣x）（x∈N*且x≤12）．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则△ABC的最小角的正弦值等于．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若20a+15b+12c=，则20a（﹣）+15b+12c=（20a﹣15b）+（12c﹣20a）=．∵、不共线，故有20a﹣15b=0，12c﹣20a=0．∴b=a，c=a，a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，∴a最小，∴cosA==，∴sinA==，即△ABC的最小角的正弦值等于．故答案为：．17．（4分）如果函数f（x）对定义域M内的任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）在定义域M内为“DJ”函数．给出函数：①f（x）=sinx+cosx，x∈[，]；②f（x）=2x3+3x﹣；③f（x）=；④f（x）=．以上函数为“DJ”函数的序号是①④．【解答】解：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＜x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，即满足条件的函数为单调递减函数，由题意得：①④两个函数满足条件，故答案为：①④三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知A={x∈R|x2﹣3x+2≤0}，B={x∈R|4x﹣a•2x﹣2a2≥0}（Ⅰ）当a=1时，求A∩B；（Ⅱ）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意A=[1，2]，当a=1时，B=[1，+∞），则A∩B=[]1，2]，（Ⅱ）由B：（2X﹣2a）（2x+a）≥0，知若a＞0，解得x≥1+log2a，即B=[1+log2a，+∞）；若a=0，解集为R；若a＜0，解得x≥log2（﹣a），即B=[log2（﹣a），+∞）；由A⊆B分别求得0＜a≤1，或a=0，或﹣2≤a＜0，则﹣2≤a≤1．19．（14分）已知f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=﹣，a=3，求BC边上的高的最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos2x+2sin（+x）sin（π﹣x）=cos2x﹣2cosxsinx=cos2x﹣sin2x=2（cos2x﹣sin2x）=2cos（2x+），∴T==π，令2x+=kπ（k∈Z），即x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）的对称轴方程为x=﹣（k∈Z），（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+），∴f（A）=2cos（2A+）=﹣，即cos（2A+）=﹣，∵0＜A＜，∴＜2A+＜，∴2A+=，∴A=．设BC边上的高为h，=bcsinA=a•h，即bc=2h，h=bc，则S△ABC∵cosA===，∴bc+9=b2+c2，∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，∵A=，∴b=c=a=3，等号能成立．∴此时h=．∴h的最大值为．20．（14分）已知单位，夹角为锐角，且|﹣t|（t∈R）最小值为．（Ⅰ）求（+）（﹣2）的值；（Ⅱ）若满足（）•（）=0，求||的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由单位，夹角为锐角θ，且|﹣t|（t∈R）最小值为，可得1+t2﹣2t•cosθ 的最小值为，∴cosθ=，∴θ=60，=1×1×cosθ°=．（+）（﹣2）=﹣2﹣=1﹣2﹣=﹣．（Ⅱ）若满足（）•（）=0，则（）⊥[﹣（﹣）]，向量的终点在以向量、﹣的终点A、B为直径的圆上，且|AB|=，从而||≥﹣．21．（15分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a5=10，等比数列{b n}的前3项满足b1=a2，b2=a3，b3=a7．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（n∈N*），S n=c1+c2+…+c n，是否存在最大整数m，使对任•S n总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请意的n∈N*，均有b n+1说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由已知可设公差为的d，则有：，联立解得：a1=﹣2，d=3，∴a n=3n﹣5，．（Ⅱ）数列a n=3n﹣5代入得==（），故S n=[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=•S n成立，即m＜=，假设存在整数m使b n+1记f（n）=，则f（n+1）﹣f（n）=＞0，故f（n）为单调递增，且f（n）min=f（1）=13．故存在最大的整数m=12，使恒成立．22．（15分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a=1，b=c，且|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，求实数b的取值范围；（Ⅱ）当c=0时，有f（﹣2）=6，|2a+b|≤3．若对于任意的实数a，存在最大的实数t，使得当x∈[﹣2，t]时，|f（x）|≤6恒成立，试求用a表示t的表达式．【解答】解：（Ⅰ）由于已知得f（x）=x2+bx+b，图象过定点（0，b），且由|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）图象与x轴在[0，1]上没有交点．①当b≥0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）≥0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≥0；②当b＜0时，要使|f（x）|在x∈[0，1]上单调递增，可知f（x）＜0在[0，1]上恒成立，则只须对称轴，得b≤﹣2；综上所述，b≤﹣2或b≥0．（Ⅱ）由f（﹣2）=6，得b=2a﹣3，且f（x）=ax2+（2a﹣3）x，又∵﹣3≤2a+b≤3，即﹣3≤4a﹣3≤3，得，∵已知函数为二次函数，∴a≠0，则．当时，f（x）=ax2+（2a﹣3）x，抛物线开口向上，对称轴，，最小值为．（ⅰ）当时，即4a2﹣36a+9≤0，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t的最大值为f（x）=6的解中较大的根，∴．（ⅱ）当时，即4a2﹣36a+9＞0，解得，此时令f（x）=﹣6，解得，要使|f（x）|≤6在x∈[﹣2，t]恒成立，此时t为其中较小的根，知．综上可得．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
2014-2015年浙江省杭州市重点中学联考高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3 2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．37．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k 的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．2014-2015学年浙江省杭州市重点中学联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）半径为2cm的球的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3【分析】由球的条件公式：V=r3，代入半径计算即可得到．【解答】解：球的半径r=2，则球的体积为V=r3=π×23=π（cm3）．故选：C．2．（4分）直线x=﹣的倾斜角和斜率分别是（）A．45°，1B．135°，﹣1C．90°，不存在D．180°，不存在【分析】垂直于x轴的直线倾斜角为90°，斜率不存在，即可得出．【解答】解：∵直线x=﹣垂直于x轴，∴倾斜角为90°，斜率不存在．故选：C．3．（4分）已知实数a，b，则a•b＞0是a＞0且b＞0的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a＞0且b＞0则a•b＞0成立，即必要性成立，若a＜0且b＜0，满足a•b＞0但a＞0且b＞0不成立，即充分性不成立，故a•b＞0是a＞0且b＞0的必要不充分条件，故选：B．4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【分析】本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．【解答】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选：C．5．（4分）六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如图所示，则其左视图不可能为（）A．B．C．D．【分析】由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，分类讨论其左视图的形状，可得答案．【解答】解：由已知中六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：或，几何全的侧视图如图所示：，故排除A；②当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除B；③当正方体的摆放如下图所示时，（俯视图格中数字表示每摞正方体的个数）：，几何全的侧视图如图所示：，故排除C；故选：D．6．（4分）若直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则k+2m的值是（）A．﹣1B．0C．1D．3【分析】若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，即可得到结论．【解答】解：圆心坐标为（，），若若M，N关于直线x+y=0对称，则圆心在直线x+y=0上，∴=0，即m+k=0，且直线y=kx+1与x+y=0垂直，则k=1，即m=﹣1，则k+2m=1﹣2=﹣1，故选：A．7．（4分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线与椭圆共顶点，可得双曲线的顶点坐标，结合焦距是6，可得a，b的值，进而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线与椭圆共顶点，∴双曲线的顶点坐标为（0，±），即a=，∵焦距是6，∴2c=6，∴c=3，∴=2，∴双曲线的渐近线方程是y=±x．故选：B．8．（4分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P、Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为（）A．B．C．D．【分析】通过椭圆的定义可得PF1、PF2，利用勾股定理及离心率公式计算即得结论．【解答】解：由题可知：2=，即PF2=2PF1，又PF2+PF1=2a，∴PF1=，PF2=，由勾股定理可知：，即：，∴e====，故选：A．9．（4分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1与AC、AB所成角均为60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA1，则A1B与AC1所成角的余弦值为（）A．1B．﹣1C．D．﹣【分析】连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE．证出DE是△ABC的中位线，得DE A1B，因此AE、ED所成的锐角或直角就是A1B与AC1所成的角．然后利用题中数据在△AED中分别算出边AE、ED、AD的长，根据余弦定理列式，即可算出异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．【解答】解：连结A1C，交AC1于点E，取BC的中点D，连结AD、DE，∵四边形AA1C1C是平行四边形，∴E是A1C的中点∵D是BC的中点，∴DE是△A 1BC的中位线，可得DE A1B，因此，∠AED（或其补角）就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB=AC=AA1=2，可得∵∠A1AB=60°，∴△A1AB是等边三角形，可得A1B=2，得DE=A1B=1．同理，等边△A1AC中，中线AE=A1A=，又∵∠BAC=90°，AB=AC=2，D为BC中点，∴AD=BC==由此可得△ADE中，cos∠AED===．即异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为．故选：C．10．（4分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1+PQ最小值为（）A．B．C．2D．【分析】如图所示，把上图中的△ABB1延AB1上转90°，得到下图，当C1Q⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小．【解答】解：如图所示，把上图中的△ABB1沿AB1上转90°，得到下图，当C1Q ⊥AB时，PC1+PQ=CQ最小，PC1=，PA=﹣1，PQ=，所以PC1+PQ=1+，故选：A．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）在空间直角坐标系中，A1是点A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点，则|AA1|=．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．然后求出两点距离即可．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（﹣x，y，﹣z），∴A（﹣4，3，1）关于y轴的对称点的坐标为：A1（4，3，﹣1）．∴|AA1|==．故答案为：．12．（4分）两平行直线kx+6y+2=0与4x﹣2y+2=0之间的距离为．【分析】4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：4x﹣2y+2=0化为﹣12x+6y﹣6=0，∴两条平行线之间的距离d==，故答案为：13．（4分）设抛物线y2=2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A（2，3），则AP与点P到准线l的距离之和的最小值为．【分析】如图所示，过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：如图所示，F．过点P作PM⊥l，垂足为M，则|PM|=|PF|，因此AP与点P到准线l的距离之和的最小值为|PA|，|PA|==．故答案为：．14．（4分）某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆柱体与一半圆锥体的组合体，根据图中数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一底面半径为1，高为4的半圆柱体，与一底面半径为1，高为2的半圆锥体的组合体；该几何体的体积为V几何体=V半圆柱体+V半圆锥体=•π12•4+•π12•2=．故答案为：．15．（4分）如图四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，G为MC中点，则下列结论中正确的是①②④．①MC⊥AN；②GB∥平面AMN；③平面CMN⊥平面AMN；④平面DCM∥平面ABN．【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，所以将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示．再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D 各项分别加以判断，即可得出本题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=BN=1，∴将题中的几何体放在正方体ABCD﹣A'NC'M中，如图所示对于①，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90°，可得MC⊥AN，故①正确；对于②，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，平面AMN∥平面BC'D而GB⊂平面BC'D，所以GB∥平面AMN，故②正确；对于③，因为正方体ABCD﹣A'NC'M中，二面角A﹣MN﹣C的大小不是直角所以面CMN⊥面AMN不成立，故③不正确；对于④，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCD﹣A'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM∥面ABN成立，故④正确故答案为：①②④16．（4分）已知F1，F2分别是双曲线x2﹣=1的左右焦点，A是双曲线在第一象限内的点，若|AF2|=4且∠F1AF2=60°，延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于24．【分析】根据双曲线的定义，得|AF1|﹣|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出|F1F2|2，从而得到c2=7．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，可得B的坐标，由△F1AB的面积S=2c×|y1﹣y2|，计算即可得到．【解答】解：如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．∴|AF1|﹣|AF2|=2，∵|AF2|=4，∴|AF1|=6．∴|F1F2|2=（2c）2=62+42﹣2×6×4×cos60°，即有c2=7，∴b2=c2﹣1=6，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，化为7x12﹣2x1﹣15=0，解得x1=，或x1=﹣（舍去）．由此解出A的坐标为（，），直线AB的斜率为k==﹣3．设直线AB方程为y=﹣3（x﹣），与双曲线6x2﹣y2=6联解，得到B（，﹣），∴△ABF1的面积S=2×|y1﹣y2|=×|+|=．故答案为：24．17．（4分）已知动点P（x，y）在椭圆=1上，若A点的坐标为（6，0），||=1，且•=0，则||的最小值为．【分析】通过•=0推断出PM⊥AM，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，计算即得结论．【解答】解：∵•=0，∴PM⊥AM，∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，又∵||=1，∴|AP|越小，|PM|就越小，设P（10cosx，8sinx），则|AP|2=（10cosx﹣6）2+（8sinx﹣0）2=100cos2x﹣120cosx+36+64sin2x=36cos2x﹣120cosx+100=（6cosx﹣10）2，∴|AP|的最小值为=4，∴|PM|的最小值为：=，故答案为：．三、解答题：（共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18．（12分）已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；已知命题q：方程+=1表示双曲线；若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【分析】分别求出命题p，q是真命题时的m的范围，通过讨论p真q假，p假q真的情况，从而得到m的范围．【解答】解：由题意知：命题p与命题q一真一假，p为真命题：，解得2＜m＜3，q为真命题：（5﹣2m）m＜0，解得，若p真q假，则，若p假q真：m＜0或m≥3，综上：．19．（12分）已知圆M经过A（1，﹣2），B（﹣1，0）两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．（1）求圆M的方程；（2）过点P（4，3）的直线l被圆M所截得的弦长为2，求直线l的方程．【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆M的方程；（2）根据直线和圆相交的弦长公式即可得到结论．【解答】解：（1）设圆M的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0根据圆M过A（1，﹣2），B（﹣1，0）得：1+4+D﹣2E+F=0①1﹣D+F=0 ②﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）令x=0，得y2+Ey+F=0，所以y1+y2=﹣E令y=0，得x2+Dx+F=0，所以x1+x2=﹣D所以﹣D﹣E=2③﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）由①②③得D=﹣2，E=0，F=﹣3，所以圆M的方程x2+y2﹣2x﹣3=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）圆M的标准方程为：（x﹣1）2+y2=4所以圆心M（1，0），半径r=2设直线l的方程为：y﹣3=k（x﹣4），即kx﹣y+3﹣4k=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）直线l被圆M截得的弦长为2，则圆心M到直线l距离所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得：，所以直线l的方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（14分）如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，EF=3，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【分析】（Ⅰ）由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．（Ⅱ）由已知条件推导出面ADE⊥面CDEF，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，则∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角，由此能求出直线AF与平面CDEF所成角的正切值．【解答】解：（Ⅰ）因为ABCD是矩形，所以BC∥AD，又因为BC不包含于平面ADE，所以BC∥平面ADE，因为DE∥CF，CF不包含于平面ADE，所以CF∥平面ADE，又因为BC∩CF=C，所以平面BCF∥平面ADF，而BF⊂平面BCF，所以BF∥平面ADE．…（5分）（Ⅱ）因为⇒CD⊥面ADE，又因为CD⊂面CDEF，所以面ADE⊥面CDEF，…（10分）因为CD⊥AD，CD⊥DE，所以∠ADE就是二面角A﹣CD﹣F的平面角，为60°，…（11分）因为平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连接OF，所以∠AFO就是直线AF与平面CDEF所成角θ…（12分）在Rt△AOD中，∵AD=2，∠ADE=60°，∴AO=，在直角梯形CDEF，∵EF=3，CF=6，∠CFE=45°，∴2CD2=18，∴CD=3，∴OF==，所以tanθ==，所以直线AF与平面CDEF所成角的正切值为．…（15分）21．（14分）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点，（1）求抛物线方程；（2）若|FP|=2|FQ|，求k的值；（3）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．【分析】（1）由抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），即可得出抛物线方程．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P 作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．可得|PG|=a．在RT△PQG 中，可得|QM|=a，因此k=tan∠QPG=，即可得出．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．把直线方程分别抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用中点坐标公式可得M，N的坐标，利用两点之间的距=及基本不等式的性质即可得出．离公式可得，|TM|，|TN|．S△TMN【解答】解：（1）∵抛物线E的顶点在原点，焦点为F（2，0），∴y2=8x．（2）如图，若k＞0，不妨设|QF|=a，则|PF|=2a．设抛物线的准线为l，过点P作PH⊥l垂足为H，过点Q作QG⊥PH，垂足为G．|PH|=2a=2|GH|，∴|PG|=a．在RT△PQG中，|PG|=a，|PQ|=3a，得|QM|=a，∴k=tan∠QPG=，同理k＜0时，，∴．（3）根据题意得AB，CD斜率存在．设，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．由，∴，同理可得，∴，，∴，当且仅当|m|=1时，面积取到最小值16．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y fu=为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，yxo都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015年浙江省杭州市余杭区普高第二共同体高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
2014-2015学年浙江省杭州市余杭区普高第二共同体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={x|x+3＞0}，则∁R A=（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）2．（5分）向量=（﹣1，3），=（2，﹣1），则﹣2等于（）A．（﹣5，5）B．（5，﹣5）C．（﹣3，1）D．（1，﹣1）3．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．4．（5分）“a＞b＞0”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．146．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则y=f（x）对应的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=cos（2x+） C．y=cos（2x﹣）D．y=sin （2x+）8．（5分）函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）9．（5分）若不等式|x+|＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．1＜a＜2 C．1＜a＜3 D．1＜a＜410．（5分）已知函数f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间x∈（﹣1，1]内，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．[，+∞）C．[0，）D．[0，）二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=．12．（4分）已知z=x﹣2y，其中x，y满足不等式组，则z的最小值为．13．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=486，则log3a1+log3a2+…+log3a20=．14．（4分）若sin（﹣a）=，则cos（+2a）等于．15．（4分）若正数x，y满足x+4y﹣xy=0，则x+2y的最小值为．16．（4分）在矩形ABCD 中，AB=1，BC=，点Q在BC边上，且BQ=，点P在矩形内（含边界），则的最大值为．17．（4分）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）已知函数f（x）=cosx•（sinx+cosx）（I）求f（x）的最小正周期；（II）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明．19．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+asinC=b+c，（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．20．（14分）在数列{a n}中，a2+1是a1与a3的等差中项，设，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（s n+2），试求数列{b n}的前n项的和T n．21．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．22．（15分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2014-2015学年浙江省杭州市余杭区普高第二共同体高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知集合A={x|x+3＞0}，则∁R A=（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣3]C．（﹣3，+∞）D．[﹣3，+∞）【解答】解：A=（﹣3，+∞），∴∁R A=（﹣∞，﹣3]．故选：B．2．（5分）向量=（﹣1，3），=（2，﹣1），则﹣2等于（）A．（﹣5，5）B．（5，﹣5）C．（﹣3，1）D．（1，﹣1）【解答】解：向量=（﹣1，3），=（2，﹣1），则﹣2=（﹣1，3）﹣2（2，﹣1）=（﹣5，5）．故选：A．3．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）A． B． C． D．【解答】解：=∴角α的终边在第四象限∵到原点的距离为1∴∴α的最小正值为故选：D．4．（5分）“a＞b＞0”是“log2a＞log2b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由对数函数的单调性：y=log2x在（0，+∞）上为单调增函数∴log2a＞log2b⇔a＞b＞0故选：C．5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【解答】解：由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．6．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1．因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象．而函数y=log a||=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选：B．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向右平移个单位后关于y轴对称，则y=f（x）对应的解析式为（）A．y=sin（2x﹣）B．y=cos（2x+） C．y=cos（2x﹣）D．y=sin （2x+）【解答】解：由题意可得=π，∴ω=2．把函数f（x）=sin（2x+φ）图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x+φ﹣），由于所得函数的图象关于y轴对称，故y=sin（2x+φ﹣）为偶函数，∴φ﹣=kπ+，k∈z，即φ=kπ+．再结合，|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=cos（2x﹣），故选：C．8．（5分）函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1） B．（1，3） C．（1，3]D．[3，+∞）【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选：B．9．（5分）若不等式|x+|＞|a﹣2|+1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．2＜a＜3 B．1＜a＜2 C．1＜a＜3 D．1＜a＜4【解答】解：∵不等式对于一切非零实数x均成立，∴|a﹣2|+1＜．∵≥2，当且仅当|x|=1时取等号．∴|a﹣2|+1＜2，即|a﹣2|＜1，∴﹣1＜a﹣2＜1，解得1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x．若在区间x∈（﹣1，1]内，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，]B．[，+∞）C．[0，）D．[0，）【解答】解：∵f（x）+1=，∴数f（x）=﹣1，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x．∴当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣1=﹣1，∵∴f（x）=m（x+1）有2个解即m=有2个解令k（x）=，则k（x）=k（x）图象如下：k（1）=，∴k（x）=，与y=m有2个交点时，0∴g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围为：（0，]，故选：A．二、填空题（共7小题，每小题4分，满分28分）11．（4分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，f（3）=4．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（3）=f（1）=f（﹣1）=log216=4．故答案为：4．12．（4分）已知z=x﹣2y，其中x，y满足不等式组，则z的最小值为﹣4．【解答】解：由x，y满足不等式组，画出可行域．当直线z=x﹣2y经过点B（0，2）时，z取得最小值﹣4．故答案为：﹣4．13．（4分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=486，则log3a1+log3a2+…+log3a20=50．【解答】解：∵a10a11=a9a12，∴a10a11+a9a12=2a10a11=486∴a10a11=486∴log3a1+log3a2+…log3a20=log3（a10a11）10=10log3（a10a11）=50．故答案为：50．14．（4分）若sin（﹣a）=，则cos（+2a）等于﹣．【解答】解：∵sin（﹣α）=sin[﹣（+α）]=cos（+α）=，∴cos（+2α）=cos2（+α）=2cos2（+α）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣15．（4分）若正数x ，y 满足x +4y ﹣xy=0，则x +2y 的最小值为 ．【解答】解：∵正数x ，y 满足x +4y ﹣xy=0， ∴，解得x ＞4．∴x +2y=x +=+6+6=+6，当且仅当x=4+2，y=+1时取等号．∴x +2y 的最小值为，故答案为：．16．（4分）在矩形ABCD 中，AB=1，BC=，点Q 在BC 边上，且BQ=，点P 在矩形内（含边界），则的最大值为．【解答】解：由||=，得=，∴要使最大，只需向量在上的射影最大，显然，当点P 与C 重合时，射影最大．过C 作CE ⊥AQ ，交AQ 的延长线于E ，如右图所示， 由，及∠AQB=∠CQE ，知Rt △ABQ ≌Rt △CEQ ， ∴|CE |=|AB |=1． 又矩形对角线长，∴=|AC |cos ∠PAE=|AE |=，从而的最大值为．故答案为2．17．（4分）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（0，8）．【解答】解：当m≤0时，显然不成立当m＞0时，因f（0）=1＞0当即0＜m≤4时，函数f（x）与x轴的交点都在y轴右侧，结论显然成立；当且m＞0时即m＞4，只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m ﹣2）＜0即可，即4＜m＜8综上可得0＜m＜8故答案为：（0，8）三、解答题（共5小题，满分72分）18．（14分）已知函数f（x）=cosx•（sinx+cosx）（I）求f（x）的最小正周期；（II）设，判断函数g（x）的奇偶性，并加以证明．【解答】解：（I）由f（x）=cosxsinx+cos2x=sin2x+cos2x+=．∴f（x）的最小正周期是π．（II）因为==，=g（x），∴函数g（x）是偶函数．19．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且acosC+asinC=b+c，（1）求角A的值；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）已知等式acosC+asinC=b+c，利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin（A+C）+sinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，整理得：sinAsinC=cosAsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，即sin（A﹣）=，∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，即A=；（2）由余弦定理得：a2=4=b2+c2﹣2bccos，即4+bc=b2+c2≥2bc，∴bc≤4，=bcsinA=bc≤，当且仅当b=c=2时取等号，∴S△ABC则△ABC面积的最大值为．20．（14分）在数列{a n}中，a2+1是a1与a3的等差中项，设，且满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（s n+2），试求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）因为，，=2a n，数列{a n}是等比数列，公比为2，所以a n+1又a2+1是a1与a3的等差中项，2（a2+1）=a1+a3，即2（2a1+1）=5a1，解得a1=2，数列{a n}的通项公式a n=2•2n﹣1=2n；（2）数列{a n}的前n项的和为S n==2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n log2（s n+2）=2n log2（2n+1﹣2+2）=2n•（n+1），T n=2×21+3×22+4×23+…+（n+1）•2n…①，①×2得2T n=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）•2n+1…②，①﹣②得，﹣T n=2×21+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2﹣（n+1）•2n+1+=2﹣（n+1）•2n+1+2n+1﹣2=﹣n•2n+1，数列{b n}的前n项的和T n=n•2n+1．21．（15分）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，解得a﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，所以解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．设g（x）=f（x）+f（x+5），于是所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5．从而，若f（x）+f（x+5）≥m即g（x）≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为（﹣∞，5]．（12分）22．（15分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f （1）=，且g （x ）=a 2x +a ﹣2x﹣2mf （x ）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．【解答】解：（1）∵f （x ）是定义域为R 的奇函数，∴f （0）=0，…（2分） ∴1﹣（k ﹣1）=0，∴k=2．…（4分）（2）∵函数f （x ）=a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）， ∵f （1）＜0，∴a ﹣＜0，又 a ＞0， ∴1＞a ＞0．…（6分）由于y=a x 单调递减，y=a ﹣x 单调递增，故f （x ）在R 上单调递减．不等式化为f （x 2+tx ）＜f （x ﹣4）．∴x 2+tx ＞x ﹣4，即 x 2+（t ﹣1）x +4＞0 恒成立，…（8分） ∴△=（t ﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t ＜5．…（10分）（3）∵f （1）=，a ﹣=，即2a 2﹣3a ﹣2=0，∴a=2，或 a=﹣（舍去）．…（12分）∴g （x ）=22x +2﹣2x ﹣2m （2x ﹣2﹣x ）=（2x ﹣2﹣x ）2﹣2m （2x ﹣2﹣x ）+2． 令t=f （x ）=2x ﹣2﹣x ，由（1）可知k=2，故f （x ）=2x ﹣2﹣x ，显然是增函数． ∵x ≥1，∴t ≥f （1）=，令h （t ）=t 2﹣2mt +2=（t ﹣m ）2+2﹣m 2 （t ≥）…（15分） 若m ≥，当t=m 时，h （t ）min =2﹣m 2=﹣2，∴m=2…（16分） 若m ＜，当t=时，h （t ）min =﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,mm m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。
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浙江省杭州二中2014-2015学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（每题3分，共30分）1.设n m ,是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是 A ．若//m ,,,n m n αβαβ⊥⊥⊥则B ．若m //,,//,n m n αβαβ⊥⊥则C ．若//m ,,,//n m n αβαβ⊥⊥则D ．若m //,,//,//n m n αβαβ⊥则2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M 、分别是BC CC ,1的中点，则过N M A 、、三点的正方体1111D C B A ABCD -的截面形状是A ．平行四边形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．以上都不对3.如图，在三棱锥ABC S -中，底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，⊥SO 底面ABC ，O 为垂足，则侧棱SA 与底面ABC 所成角的余弦值为 A ．23 B ．21 C ．33 D ．634.若点()n m P ,，)1,1(+-m n Q 关于直线l 对称，则l 的方程是A ．01=+-y xB ．0=-y xC ．01=++y xD ．0=+y x 5.直三棱柱111ABC A B C -中，090=∠BCA ，M N 、分别是1111A B A C 、的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25C D 6.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中,下面结论错误的是 A.BD ∥平面11D CB B. 异面直线AD 与1CB 所成的角为30° C.1AC ⊥平面11D CB D. 1AC BD ⊥7.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为SBA CO3题B.4πC.8πD.16π 6题7题8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.B.C.D.9.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q 点，且90POQ ∠=，再过两分钟后，该物体位于R 点，且30QOR ∠=，则tan OPQ ∠的值为10．三棱锥ABC O -中，OC OB OA ,,两两垂直且相等，点Q P ,分别是线段BC和OA 上1A D O1D 1C 1B CBA8题移动，且满足BC BP 21≤，AO AQ 21≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 A.]552,33[B.]22,33[C.]552,66[D.]22,66[ 二、填空题（每题4分，共24分）11.两条平行直线011801243=++=-+y ax y x 与之间的距离为_________.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,2),(2,0),(1,0)A B C -，分别以ABC ∆的边AB AC 、向外作正方形ABEF 与ACGH ，则直线FH 的一般式方程为 .13.已知1111D C B A ABCD -为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1AC ·(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1A A ·AD |.其中正确命题的序号是________．14题 15题14.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是面对角线1A B 上的动点，则1AM MD + 的最小值为 ．15．如图，在三棱锥BCD A -中，2====AD AB DC BC ，2=BD ，平面⊥ABD 平面BCD ，O 为BD 中点，点Q P ,分别为线段BC AO ,上的动点（不含端点），且CQ AP =，APQ ODB则三棱锥QCO P -体积的最大值为________．16．在平面直角坐标系中，定义点()11,y x P 、()22,y x Q 之间的“直角距离”为.),(2121y y x x Q P d -+-=若()y x C ,到点()3,1A 、()9,6B 的“直角距离”相等，其中实数x 、y 满足100≤≤x 、100≤≤y ，则所有满足条件的点C 的轨迹的长度之和为 ． 三、解答题（共46分）17．（10分）(1)已知C B A ,,三点坐标分别为()2,1,2-，()1,5,4-，()3,2,2-，求点P 的坐标使得()-=21； (2)已知()4,5,3-=，()8,1,2=，求：①⋅；②与夹角的余弦值； ③确定λ，μ的值使得μλ+与z 轴垂直，且()()53=+⋅+μλ.18.（12分）一个几何体是由圆柱11A ADD 和三棱锥ABC E -组合而成,点C B A ,,在圆O 的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中⊥EA 平面ABC ,AC AB ⊥,AC AB =.2=AE .(1)求证：BD AC ⊥.(2)求三棱锥BCD E -的体积.19．（12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，F E ,分别是11A B 、1CC 的中点，过1D 、E 、F 作平面1D EGF 交1BB 于G ．(l)求证：EG ∥1D F ；(2)求二面角11C D E F --的余弦值；(3)求正方体被平面1D EGF 所截得的几何体11ABGEA DCFD -的体积．20.（12分）在平面直角坐标系xoy 中，对于直线l ：0ax by c ++=和点),,(),,(22211y x P y x P i 记1122)().ax by c ax by c η=++++（若η<0，则称点21,P P 被直线l 分隔.若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点21P P ，被直线l 分隔，则称直线l 为曲线C 的一条分隔线.⑴ 求证：点），（），（012,1-B A 被直线01=-+y x 分隔； ⑵若直线kx y =是曲线1422=-y x 的分隔线，求实数k 的取值范围；⑶动点M 到点）（2,0Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为E ，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E 的分割线.杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共24分）11. 12. 13.14. 15. 16. 三、解答题（共46分） 17.（10分）18.（12分）19.(12分)20.（12分）杭州二中2014学年第一学期高二年级期中考试数学卷（文科）一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共24分）11.2712. 4140x y +-= 13. 1,214. 15. 16. 三、解答题（共46分）17.（1）设P （x ，y ，z ），则=（x-2，y+1，z-2）， =（2，6，-3），=（-4，3，1），∵AP =21（AB -）.∴（x-2，y+1，z-2）=21［（2，6，-3）-（-4，3，1）］ =21（6，3，-4）=(3，23，-2)∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+=-2223132z y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0215z y x∴P 点坐标为(5，21，0).（2）①a ·b=（3，5，-4）·（2，1，8） =3×2+5×1-4×8=-21. ②∵|a|=222)4(53-++=52, |b|=222812++=69, ∴cos 〈a,b 〉=b a b a ⋅ =692521⋅-=-2301387.∴a 与b 夹角的余弦值为-2301387. ③取z 轴上的单位向量n=（0，0，1），a+b=（5，6，4）. 依题意()()()⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+53b a n b a b a μλμλ即()()()()⎩⎨⎧=⋅+-++=⋅+-++534,6,584,5,2301,0,084,5,23μλμλμλμλμλμλ故⎩⎨⎧=+=+-534829084μλμλ 解得⎪⎩⎪⎨⎧==211μλ.18.【解析】(1)因为EA ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,所以EA ⊥AC,即ED ⊥AC.又因为AC ⊥AB,AB ∩ED=A,所以AC ⊥平面EBD. 因为BD ⊂平面EBD,所以AC ⊥BD.(2)因为点A,B,C 在圆O 的圆周上,且AB ⊥AC,所以BC 为圆O 的直径. 设圆O 的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,解得所以BC=4,AB=AC=2.以下给出求三棱锥E-BCD 体积的两种方法： 方法一：由(1)知,AC ⊥平面EBD,所以V E-BCD =V C-EBD =S △EBD ×CA,因为EA ⊥平面ABC,AB ⊂平面ABC,所以EA ⊥AB,即ED ⊥AB.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △EBD =ED ×AB=×4×2=4,所以V E-BCD =×4×2=.方法二：因为EA ⊥平面ABC, 所以V E-BCD =V E-ABC +V D-ABC =S △ABC ×EA+S △ABC ×DA=S △ABC ×ED.其中ED=EA+DA=2+2=4,因为AB ⊥AC,AB=AC=2,所以S △ABC =×AC ×AB=×2×2=4,所以V E-BCD =错误！未找到引用源。
×4×4=.19.【解析】（1）证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，因为平面11//ABB A 平面11DCC D , 平面1D EGF 平面11,ABB A EG =平面1D EGF 平面1111=,//DCC D D F EG D F ∴（2）解：如图，以D 为原点分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则有()()()10,0,2,2,1,2,0,2,1D E F()112,1,0,(0,2,1)D E D F ∴==-设平面1D EGF 的法向量为(),,n x y z =则由10n D E ⋅=和10n D F ⋅=得2020x y y z +=⎧⎨-=⎩ 取1,x =得()2,4,1,2,4y z n =-=-∴=--又平面ABCD 的法向量为()10,0,2DD = 故1121cos ,1DD nDD n DD n ⋅<>===⋅ 所以截面1D EGF 与底面ABCD （3）解：设所截几何体11ABGEA DCFD -的体积为V1EGB ∆与11D FC ∆相似，1112,1D C C F == 111111111,222EB D C B G C F ∴==== 111111112224EGB S EB B G ∆∴=⋅=⨯⨯= 111111121122D FC S D C C F ∆=⋅=⨯⨯= 故()1111111121713346EGB D FC D FC EGB B C V S S ∆∆-⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭棱台 1113741266D FC EGB V V V -=-=-=正方体棱台 20.试题解析：（1）由题得，2(2)0η=⋅-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔.（2）由题得，直线y kx =与曲线2241x y -=无交点即222241(14)10x y k x y kx⎧-=⇒--=⎨=⎩无解 ∴2140k -=或221404(14)0k k ⎧-≠⎨∆=-<⎩，∴11(,][,)22k ∈-∞-+∞. 又对任意的11(,][,)22k ∈-∞-+∞，点(1,0)和(1,0)-在曲线2221x y -=上，满足20k η=-<，被直线y kx =分隔，所以所求k 的范围是11(,][,)22-∞-+∞．（3）由题得，设(,)M x y ，化简得，点M 的轨迹方程为222[(2)]1x y x +-⋅=①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =.联立方程，2222432[(2)]1(1)4410x y x k x kx x y kx⎧+-⋅=⇒+-+-=⎨=⎩. 令2432()(1)441F x k x kx x =+-+-，因为2(0)(2)(1)[16(1)15]0F F k =-⋅-+<，所以方程()0F x =有实解，直线y kx =与曲线E 有交点．直线y kx =不是曲线E 的分隔线．②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =.显然0x =与曲线222[(2)]1x y x +-⋅=没有交点，又曲线E 上的两点(1,2),(1,2)-对于直线0x =满足110η=-⋅<，即点(1,2),(1,2)-被直线0x =分隔．所以直线0x =是E 分隔线．综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线.。