贝努利家族
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。
这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：例1、若n 是自然数，求证.213121112222<++++n证明：.,,4,3,2,111)1(112n k k k k k k=--=-< ∴n n n ⋅-++⋅+⋅+<++++)1(13212111113121112222=)111()3121()2111(11n n --++-+-+=.212<-n注意：实际上，我们在证明213121112222<++++n的过程中，已经得到一个更强的结论n n1213121112222-<++++ ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
例2、求证：.332113211211111<⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++n证明：由,212221132111-=⋅⋅⋅⋅<⨯⨯⨯⨯k k （k 是大于2的自然数）得n⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯++ 32113211211111 .3213211211121212121111132<-=--+=++++++<--n nn例3、若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd d d c c b a b b a a m∴1 < m < 2 即原式成立。
数学家族
数学家族——Bernoulli family 在伯努利家族（17～18世纪）中，代代相传，人才辈出，连续出过十余位数学家，堪称是数学史上的一个奇迹。
瑞士伯努利数学家族（17—18世纪）就创造了这样一个神话。
伯努利家族，原籍比利时安特卫普。
1583年遭天主教迫害迁往德国法兰克福，最后定居瑞士巴塞尔。
其中以雅各布第一·伯努利，约翰·伯努利，丹尼尔·伯努利这三人的成就最大。
轶事
一个关于丹尼尔的传说这是样的：有一次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个风趣的陌生人闲谈，他谦虚地自我介绍说：“我是丹尼尔·伯努利。
”陌生人立即带着讥讽的神情回答道：“那我就是伊萨克·牛顿。
”作为丹尼尔，这是他有生以来受到过的最诚恳的赞颂，这使他一直到晚年都甚感欣慰。
成就（部分）
洛必达法则（1694年） 等角螺线（1694年）
伯努利家族星光闪耀、人才济济的现象，数百年来一直受到人们的赞颂，也给人们一个深刻的启示：家庭的“优势积累”，可以是优秀人才成长的摇篮！
我们全家都是
数学家，哈哈
哈哈！
法国数学家洛必达在1696年发表了这法则。
但这法则却是由瑞士数学家约翰·伯努利首先发现的，因此也被叫作伯努利法则。
雅各布·伯努利发现了等角螺线的许多特性。
他十分惊叹和欣赏这曲线的特性，并要求死后将之刻在自己的墓碑上，并附词“纵使改变，依然故我”。
贝努利家族简介
贝努利（Bernoulli）一译“伯努利”.瑞士的一个产生过11个数学家的家族.其中比较著名的有：雅科布·贝努利Jocob Bernoulli1654—1705青年时根据父亲的意愿学习神学，曾获巴塞尔大学文学硕士和神学硕士学位.同时怀着强烈的兴趣研习数学和天文学.1687年起任巴塞尔大学教授，在多方面作出重要贡献.首先发展了无穷小分析，和莱布尼茨共同获得微积分学中的不少成果，积分“integral”这一术语即由他首创.对无穷级数理论和常微分方程的积分法也有贡献.运用新的观念研究一系列曲线的性质，1690年提出悬连线问题，1694年讨论了后来由他的姓氏命名的“贝努利双扭线”，还研究了对数螺线.与其弟共同奠定了变分法的基础，提出并部分解决了等周问题和最速降落线问题.对概率论也有深入的研究，提出了大数法则的“贝努利定理”，建立了描述独立试验序列的“贝努利概型”.约翰·贝努里Johann Bernoulli1667—1748雅科布之弟.巴塞尔大学医学博士.历任荷兰格罗根大学和巴塞尔大学教授.曾被选为法兰西科学院院士和英国皇家学会会员.在微积分学、微分方程论、变分法、几何学和力学等方面都有贡献.首先将函数概念规定为由变量和常量组成的解析表达式.1696年提出最速降落线问题，与其兄雅科布一起奠定了变分法的基础.1715年给出空间坐标的定义，研究了多种特殊曲线.1742年出版《积分学教程》一书，系统的阐述了微积分学.尼古拉·贝努里Nicolaus Bernoulli1695—1726约翰·贝努里的长子，欧拉的挚友.1695年1月27日出生于巴塞尔，1725年与其弟丹尼尔同时被接纳为俄国彼得堡科学院的数学教授.1726年7月26日在彼得堡溺水而死.他虽然早逝，在数学上也有贡献.他提出了概率论中的“彼得堡悖论”，对三次曲线也有较深的研究.1713年还曾印行其伯父詹姆士·贝努里的级数讲义.丹尼尔·贝努里Daniel Bernoulli1700—1782约翰的次子.巴塞尔大学医学博士.1725~1733年去俄国彼得堡科学院任教，后回国任巴塞尔大学教授.英国皇家学会会员.在代数学、概率论和微分方程等方面都有重要成果.在概率论中引入正态分布误差理论，发表了第一个正态分布表.在研究弦振动问题时，首次利用三角级数求解偏微分方程.1738年导出理想流体定常运动方程，现被称为“贝努里方程”.著有《流体动力学》等.由于在数学和物理学方面的杰出成就，曾十次获得法兰西科学院的嘉奖.。
一到两位数学家的有关资料
一到两位数学家的有关资料伽罗华（Galois,1811-1832,法国）1829年5月，他写出了关于代数方程可解判断的论文，1830年2月修改。
由于审稿人去世，手稿竟被遗失。
1831年他再次修改了论文，但仍未得到公正的评价。
1832年他因为爱情之事与别人进行了决斗，在决斗前夕他整理了他的数学手稿，概括了他的主要成果。
他不幸死于决斗。
到1846年，他的部分文章才得以出版。
1870年，若当（Jordan,1838-1922)才全面的介绍了伽罗华的工作和思想。
伽罗华用群论彻底解决了根式求解高次方程的问题，并由此建立了关于群和域的理论--伽罗华理论，从而开辟了抽象代数的研究领域。
French mathematician who made valuable contributions to number theory algebra before being killed in a duel at the age of 21.康托尔（Cantor,1845-1918,法国）集合（set)论的创始者。
他的名言是：数学的本质在于思考的充分自由。
他的思想使得我们有可能研究超越了感觉想象到的高维和无限维的空间，使数学家可以建立起抽象的纯数学和种种特异的数学来，并且还将促使数学永无止境地向前发展。
但是康托尔的一生并不平坦，1884年他患了精神分裂症，并且以后34年间一直影响着他的生活。
他发病的一个重要原因是他的创见和思想不被当时的许多人（其中甚至包括一些数学界的领袖人物）所理解，反而受到了一些功击和不公正对待。
但是康托尔的集合论毕竟给数学这个乐园建立了一个坚实的基础，从而使现代数学成为了一门真正的独立科学。
______________________________________希尔伯特（Hilbert,1862-1943,德国）二十世纪最伟大的数学家之一，他最为有名的事迹之一是在二十世纪开端时提出了著名的二十三个数学问题，这些问题在相当程度上引导和促进了二十世纪数学的发展。
函数的趣事
把每条曲线看作一个变量，进而在每条曲线上所用时间便 是曲线的函数，这就是泛 函。类似于微积分求最大最小值
的办法，把微积分推广到一般函数空间去，这就是【变分
法】。不过变分法真正成为一门理论还要属于约翰的弟子 欧拉和法国的拉格 朗日。贝努力家族对数学最大的贡献还
不是在数学本身，而是发现了欧拉。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
» 复变函数论里的欧拉公式e^ix=cosx+isinx
» 分式里的欧拉公式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(bc)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)
» 三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆 半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距 离，则： d^2=R^2-2Rr
• 作为他心算能力的一个例证，孔多塞(N.C.deCondorcet)谈到，欧拉的两个 学生对一个复杂的收敛级数(就变量的一个特定值)做前17项的求和，结果 只是在第50位上相差一个单位数。为了判定哪个对，欧拉使整个心算了一 遍，人们肯定他的答案是正确的。这种能力现在帮助了欧拉，使他少受失 明之苦。但即使如此，他失明17年间有一个成就也是令人难以置信的。这 就是月球运行的理论－－唯一的一个使牛顿都感到头疼的问题－－在欧拉 手里第一次得到透彻的研究。整个复杂的分析过程完全是在他的头脑中进 行的。 欧拉回到圣彼得堡五年后，又一场灾难落到他的头上。在1771 年的大火中，他的房子及全部家具都烧掉了。只是靠了瑞士仆人彼得．格 里姆的英勇，欧拉才幸免于难。格里姆冒着生命危险把有病的盲主人从大 火中数了出来。藏书烧了，多亏奥尔洛夫伯爵，欧拉的全部手稿得以保全。 叶卡捷琳娜女皇立即补偿了欧拉的全部损失，他很快又投入了工作。 1776年(即他69岁时)欧拉遭受了更大的损失，他的妻子死了。第二年，他 再次结婚。第二个妻子，萨洛姆．艾比格尔，格塞尔(SalomeAbigailGsell) 是第一个妻子的异母姊妹。他的最大不幸是恢复左眼视力手术的失败(可 能是由于外科医师的疏忽)，那本来是唯一有点儿希望的眼睛。手术是"成 功的"，欧拉高兴了一阵子。但是不久感染就开始了，经过一段他描述为" 可怕的"痛苦之后，他又重新坠入了黑暗之中。 回过头来浏览一下欧 拉浩繁的著作。初看起来，我们可能倾向于认为任何有才华的人都能差不 多像欧拉一样容易地做出它的大部分。可是比照数学在今天的情况做一番 考察，很快就会纠正我们的错误想法。考虑到现在供我们使用的方法的力 量，那么目前数学各种理论一团乱麻般的状态就丝毫不比欧拉面对的更为 复杂。对今天的欧拉式人物来说，数学是已经成熟的。欧拉在他那个时代， 运用分析方法的力量奠定基础，整理有价值的东西，从而系统化和统一了 被局部成果和孤立法则弄乱了的广大领域。直到今天，大学里数学课教的 许多东西实际上还是欧拉留下的。例如，以一般的二次方程所作的三维空 间中圆锥曲线和二次曲面的表述就是欧拉所留下的。还有年金问题及由此 派生的各种问题(保险费，养老金等等)也是由欧拉的研究而成为现在"投资 数学理论"学生所熟悉的这种样子的。
伯努利家族
伯努利家族，又译贝努利家族．17－18世纪瑞士巴塞尔的数学和自然科学家的大家族，祖孙三代，出过十多位数学家原籍比利时安特卫普，1583年遭受天主教迫害，迁往德国法兰克福，最后定居巴塞尔，主要成员的世系如下。
尼古拉.贝努利（1626-1708）雅格布第一.贝努利（1654-1705）尼古拉.贝努利（1662-1716）约翰第一.贝努利（1667-1748）（1695-1726）（1700-1782）（1710-1790）约翰第三.贝努利（1744-1807）雅格布第二.贝努利（1759-1789）最重要的是雅各布第一.伯努利、约翰第一.伯努利和丹尼尔第一.伯努利。
雅各布第一〃伯努利1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地．最初遵从父亲的意见学神学，当他读了R．笛卡尔、J．沃利斯的书后，颇受启发，兴趣转向数学。
1676年到荷兰、英国等处，结识当地学者、从1687年起直到去世，任巴塞尔大学教授。
他和弟弟约翰第一〃伯努利是G．W．莱布尼茨的朋友，他们迅速掌握了莱布尼茨的微积分并加以发扬光大．雅各布在《学艺》上发表一系列的论文，1694年他首次给出直角坐标和极坐标下的曲率半径公式，这也是系统地使用极坐标的开始1690年他提出悬链线问题，后来又改变条件，解决了更复杂的悬链问题。
1694年的论文讨论了双纽线的性质，伯努利双纽线因此得名。
1695年他提出著名的伯努利方程。
雅各布对对数螺线深有研究，他发现对数螺线经过各种变换后，结果还是对数螺线。
在惊叹这曲线的奇妙之余，遗言要将这曲线刻在墓碑上，并附以颂词：“纵使变化，依然故我”。
雅各布的巨著《猜度术》（1713）的出版，是组合数学及概率论史的一件大事，书中给出的伯努利数有很多应用。
还有伯努利定理，这是大数定理的最早形式。
约翰第一〃伯努利1667年8月6日生于巴塞尔，1748年1月1日卒于同地．最初学医，同时研习数学。
1691年到巴黎，曾为洛必达的私人教师。
伯努力家族
伯努利家族是世界数学史和科学史上最著名的家族之一。
从17世纪后半叶至20世纪30年代这个名门望族中近半数是优秀人才，他们之中有学者、教授、艺术家等，特别是数学人才辈出，共产生了数十名数学家。
伯努利是这个家族的姓，这个家族祖居荷兰，信仰新教。
由于长期受到天主教徒的迫害，伯努利家族被迫由比利时迁居到瑞士的巴塞尔。
巴塞尔自从13世纪中叶就是瑞士的文化与学术中心，那里有欧洲最古老的著名的巴塞尔大学和良好的文化教育传统。
伯努利家族的成员，在这样的社会与家庭环境中仅仅从17世纪到18世纪就产生了8名优秀数学家。
其中最著名的是雅各·伯努利，约翰·伯努利和丹尼尔·伯努利。
雅各·伯努利(Jakob Bernoulli，1655～1705)是在17世纪到18世纪期间欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的瑞士数学家。
他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论及变分法等领域。
雅各毕业于巴塞尔大学。
1671年获艺术硕士学位。
这个艺术是包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础以及文法、修辞和雄辩术七大类。
他遵父愿在1676年又取得神学硕士学位。
他虽然做了牧师，但酷爱数学，自学了大量数学经典著作。
他学过笛卡尔的《几何学》，也钻研了莱布尼兹的微积分理论。
他曾经到荷兰、德国和法国旅行，结识了莱布尼兹、惠更斯等著名数学家。
从1686年～1705年他去世前，雅各·伯努利一直是巴塞尔大学的数学教授，他和莱布尼兹一直保持经常的通信联系。
他掌握并发展了微积分理论，此外他在变分学、概率论及解析几何等方面都做出了开创性的贡献。
约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667～1748)是雅各·伯努利的弟弟，也是瑞士的著名数学家。
比起他的哥哥雅各来，他是一位在数学上更为多产的贡献者，他大大地丰富了微积分学。
并且是使这门学科的作用在欧洲大陆得到正确评价的具有影响的人。
约翰·伯努利生于巴塞尔，青年时被父亲送去经商，后来又钻研过医学。
国外数学家及其成就
笛卡尔
1596年3月31日生 于法国都兰城。笛卡儿 是伟大的哲学家、物学 家、数学家、生理家。 解析几何的创始人。
笛卡儿（Rene Descartes）,1596年3月31日生于法国都兰城。笛卡儿是伟大的 哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。 笛卡儿最杰出的成就是在数学发展上创立了解析几何学。在笛卡儿时代，代数 还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。笛卡 儿致力于代数和几何联系起来的研究，于1637年，在创立了坐标系后，成功地 创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。解析几何直到现 在仍是重要的数学方法之一。 笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引 入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联 系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方 程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图。 《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞 生。此后，人类进入变量数学阶段。 解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着 的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡儿的这一天 才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域。 正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了 数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要 了。” 笛卡儿堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为 “近代科学的始祖”。
人教版B版高中数学选修3-1(B版)伯努利家族的贡献
新知学习
雅各布·贝努利在数学上的贡献涉及微积分、 微分方程、无穷级数求和、解析几何、概率 论以及变分法等领域。 雅各布·伯努利对 数学的最突出的贡献是在概率论和变分法这 两个领域中。 他在概率论方面的工作成果 包含在他的论文《推测的艺术》之中。在这 篇著作里，他对概率论作出了若干重要的贡 献，其中包括现今称为大数定律的发现。
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最为人们津津乐道的轶事之一，是雅各布醉 心于研究对数螺线，这项研究从1691年就开 始了。他发现，对数螺线经过各种变换后仍 然是对数螺线，如它的渐屈线和渐伸线是对 数螺线，自极点至切线的垂足的轨迹，以极 点为发光点经对数螺线反射后得到的反射线， 以及与所有这些反射线相切的曲线(回光线) 都是对数螺线。他惊叹这种曲线的神奇，竟 在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自己的墓 碑上，并附以颂词“纵然变化，依然故我”， 用以象征死后永生不朽。
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该论文也记载了雅各布·伯努利论述排列组 合的工作。贝努利家族中的人总是喜欢在学 术问题上争执抗衡。在寻找最速降线，即在 重力的单独作用下一质点通过两定点的最短 路径的问题上，雅各布·伯努利和他的弟弟 约翰·伯努利就曾有过激烈的争论。而这一 场严肃辩论的结果就诞生了变分法。除此之 外，雅各布·伯努利在悬链线的研究中也作 出过重要贡献，他还把这方面的成果用到了 桥梁的设计之中。
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伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体。 伯努利把牛顿力学引入对流体力学的研究， 以《流体动力学》(1738)一书著称于世，书 中提出流体力学的一个定理，反映了理想流 体(不可压缩、不计粘性的流体)中能量守恒 定律。这个定理和相应的公式称为伯努利定 理和伯努利公式。1782年3月17日，丹尼尔 伯努利在瑞土巴塞尔去世。
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1699年，雅各布当选为巴黎科学院外籍院士； 1701年被柏林科学协会(后为柏林科学院)接 纳为会员。许多数学成果与雅各布的名字相 联系。例如悬链线问题(1690年)，曲率半径 公式(1694年)，“伯努利双纽线”(1694年)， “伯努利微分方程”(1695年)，“等周问 题”(1700年)等。
数学家的小故事：11位数学家,人才辈出的伯努利家族
数学家的小故事：11位数学家，人才辈出的伯努利
家族
数学家的小故事之人才辈出的伯努利家族。
在17-18世纪的瑞士，有一个非常出名的家族。
这就是伯努利家族，这个家族中，众多父子兄弟都是科学家，其中有11位是数学家，这在现在来看，都是非常罕见的一件事。
那今天极客数学帮的数学家小故事就来和大家说说这个家族的数学家们。
在先后出现的11位数学家中，雅科布·伯努利、约翰·伯努利两兄弟和丹尼尔·伯努利都非常出色。
对数学界都做出了巨大的贡献。
我们先来看看雅各布·伯努利
雅各布·伯努利
雅各布·伯努利1654年12月27日生于瑞士巴塞尔，1705年8月16日卒于同地.。
雅各布出身于一个商人世家。
他毕业于巴塞尔大学，1671年获艺术硕士学位，后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位，但他却不顾父亲的反对，自学了数学和天文学.。
他在1678年和1681年两次遍游欧洲学习旅行，使他接触了许多数学家和科学家，丰富了他的知识，拓宽了他的兴趣。
1682年他重返巴塞尔，开始教。
有趣戏说大数定律
神奇的人——雅各布.贝努利
生于贝努利家族，是家族长子 毕业于巴塞尔大学，17岁获艺术硕士 学位，22岁获神学硕士学位 自学数学，却成为概率论的先驱之一
弟弟和侄子都是声名显赫的数学家， 该家族17-18世纪出了11位数学家 首先，我写了一本神奇的书
Jacob. Bernoulli ,1654－1705
神啊，大数定律告诉我们
怎样才能成功，为何有人 生来就是高富帅呢？你是 怎么创造这个世界的
伟大的神，在天空画了一条优美的曲线
主角出场——正态曲线
正态分布
人类智商服从正态分布，大多在85 -115之间，数天才才能达到160
现在明白了神的旨意么
正态分布
一条曲线， 梦幻了时光
正态分布的概率曲线 对称分布 形状优雅，蕴涵人生百态 正态分布概率密度函数 常数p和e均在公式中 通常用N（m,s2）表示 测量误差 集大成者 数学王子
1 2
银行业
保险业
3
生活中
神的秩序
资讯连接
民生银行依大数定律狂揽小微客户 ：不少银行认为：小微企业生命周 期短，经营不稳定，贷款风险大， 做小微企业贷款不划算。但民生银 行利用大数定律锁定风险——虽然 单个企业贷款风险变幻莫测，但一 旦小微企业够多，全面铺开，总体 1985 不良贷款率便趋于一个稳定值，风 险就是可控的
一朵公式， 温柔了岁月
一尊高斯， 惊艳了智商
正态分布
深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值 范围，在正态分布中，这范围（面积）所占比率为 全部面积为68.27%；两个标准差之内的比率合计为 95.45%，三倍标准差之内的比率合计为99.73%
正态分布——分布之王
生活中
追求心中 的女神/男பைடு நூலகம்神……
概率论发展历史
三四百年前在欧洲许多国家，贵族之间盛行赌博之风。
掷骰子是他们常用的一种赌博方式。
因骰子的形状为小正方体，当它被掷到桌面上时，每个面向上的可能性是相等的，即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。
有的参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9与点数之和为10，哪种情况出现的可能性较大？17世纪中叶，法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德•梅耳，发现了这样的事实：将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多，而同时将两枚骰子掷24次，至少出现一次双六的机会却很少。
这是什么原因呢？后人称此为著名的德•梅耳问题。
又有人提出了“分赌注问题”：两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得6局便算赢家。
如果在一个人赢3局，另一人赢4局时因故终止赌博，应如何分赌本？诸如此类的需要计算可能性大小的赌博问题提出了不少，但他们自己无法给出答案。
数学家们“参与”赌博。
参赌者将他们遇到的上述问题请教当时法国数学家帕斯卡，帕斯卡接受了这些问题，他没有立即回答，而把它交给另一位法国数学家费尔马。
他们频频通信，互相交流，围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。
这些问题后来被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉，回荷兰后，他独立地进行研究。
帕斯卡和费尔马一边亲自做赌博实验，一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题，终于完整地解决了“分赌注问题”，并将此题的解法向更一般的情况推广，从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望，这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。
而惠更斯经过多年的潜心研究，解决了掷骰子中的一些数学问题。
1657年，他将自己的研究成果写成了专著《论掷骰子游戏中的计算》。
这本书迄今为止被认为是概率论中最早的论著。
因此可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。
这一时期被称为组合概率时期，计算各种古典概率。
在他们之后，对概率论这一学科做出贡献的是瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员。
雅可布•贝努利在前人研究的基础上，继续分析赌博中的其他问题，给出了“赌徒输光问题”的详尽解法，并证明了被称为“大数定律”的一个定理，这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。
伯努利家族
伯努利家族伯努利家族是欧洲历史上著名的贵族家族之一。
该家族起源于意大利，最早兴起于13世纪末期的威尼斯共和国。
伯努利家族以其在商业、政治和科学领域的成就而闻名于世。
伯努利家族的创建者是勒奈·伯努利（Lene Bernoulli），他是一位杰出的商人和金融家。
在他的领导下，家族开始致力于航海业务，运输商品和金融交易成为他们的主要收入来源。
伯努利家族凭借着出色的商业眼光和勤奋努力，很快成为威尼斯共和国最富有和最有声望的家族之一。
然而，伯努利家族并没有满足于仅仅在商业领域取得成功。
他们对科学和数学也表现出了浓厚的兴趣。
伯努利家族的成员在欧洲科学史上留下了许多重要的发现和贡献。
其中最著名的是伯努利家族中的约翰·伯努利（Johann Bernoulli）和丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），他们分别是父子关系。
约翰·伯努利是18世纪欧洲最杰出的数学家之一，他的研究成果对微积分学的发展起到了巨大的推动作用。
他的数学成就使他成为欧洲各大学的荣誉教授，并被授予了许多数学学会的荣誉会员。
丹尼尔·伯努利则是一位著名的物理学家，他的研究成果对于流体力学的发展起到了重要作用。
他提出了伯努利原理，描述了流体在速度变化时的行为规律。
除了约翰和丹尼尔，伯努利家族还有其他成员也在数学、物理学和天文学等领域做出了杰出的贡献。
他们的研究和发现为科学界带来了重要的突破，并为后来的科学家提供了宝贵的参考。
伯努利家族通过他们的工作和成就，成为了欧洲科学史上不可忽视的一部分。
然而，尽管伯努利家族在商业和科学领域取得了巨大的成功，他们也面临着许多挑战和困难。
一些家族成员之间的内部纷争和争斗曾一度动摇了家族的统一和稳定。
此外，家族在经济和政治方面的实力也逐渐衰落，导致他们的影响力逐渐减弱。
然而，伯努利家族所留下的科学遗产却永远流传下去。
他们的研究成果不仅对于当时的科学界有着巨大的影响，而且对于后来的科学发展也起到了重要的引领作用。
伯努利家族
伯努利家族伯努利家族：欧洲科学史上的巨擘伯努利家族在欧洲科学史上拥有举足轻重的地位。
这个瑞士数学家家族的成员，以其对数学、力学和物理学的突出贡献而闻名于世。
他们的卓越成就跨越了几个世纪，为现代科学的发展和进步做出了不可磨灭的贡献。
伯努利家族的历史可以追溯到16世纪，但他们真正成为知名科学家家族的光荣时刻要追溯到17世纪。
家族的首位杰出成员是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli），他被认为是瑞士数学学派的奠基人之一。
雅各布是家族中的第一位在科学界获得巨大声誉的人物。
他在数学和力学领域做出了突出的贡献，他的工作对后来的科学家产生了深远影响。
雅各布的儿子约翰·伯努利（Johann Bernoulli）是伯努利家族中最著名和最有影响力的成员之一。
他继承了父亲的科学天赋，并取得了非凡的成就。
约翰是一位卓越的数学家和物理学家，他的工作为现代微积分理论的发展奠定了基础。
他开创了许多重要的数学概念和定理，对力学和流体力学的研究做出了杰出贡献。
他的工作被广泛引用，不仅在数学领域，也在其他科学领域产生了深远的影响。
伯努利家族的成员之间存在着激烈的竞争和争论，这种竞争和争论在他们的科学研究中起到了积极的推动作用。
约翰的兄弟尼古拉斯·伯努利（Nicolas Bernoulli）也是一位杰出的数学家，他的工作在数值计算和统计学领域具有重要意义。
尼古拉斯和约翰之间的竞争促进了这两位兄弟更加努力地追求卓越，他们各自的研究为科学领域的发展做出了独特的贡献。
除了雅各布的儿子约翰和尼古拉斯，伯努利家族还有其他杰出的成员。
尤其是丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli），他是约翰的儿子，他在流体力学和概率论研究中取得了突出成就。
丹尼尔的贡献被认为是现代流体力学和概率理论的重要里程碑。
他的工作对航空工程、气象学和金融学等领域产生了重大影响。
伯努利家族的成员不仅在科学领域取得了卓越成就，他们还在教育领域发挥了重要作用。
雅格布.伯努利
约翰的次子.巴塞尔大学医学博 士.1725~1733年去俄国彼得堡科学 院任教，后回国任巴塞尔大学教授. 英国皇家学会会员.在代数学、概率 论和微分方程等方面都有重要成果. 在概率论中引入正态分布误差理论， 发表了第一个正态分布表.在研究弦 振动问题时，首次利用三角级数求 解偏微分方程.1738年导出理想流 体定常运动方程，现被称为“贝努 里方程”.著有《流体动力学》等. 由于在数学和物理学方面的杰出成
彼得堡科学院数学界的一员之前，是伯尔 尼的第一个法律学教授。
雅格布之弟.巴塞尔大学医学博士.历任荷 兰格罗根大学和巴塞尔大学教授.曾被选为 法兰西科学院院士和英国皇家学会会员.在 微积分学、微分方程论、变分法、几何学 和力学等方面都有贡献.首先将函数概念规 定为由变量和常量组成的解析表达 式.1696年提出最速降落线问研究了多种特殊曲 线.1742年出版《积分学教程》一书，系 统的阐述了微积分学.
伯努利家族
• 伯努利家族是一个数学家辈出的家族. 除了雅 各布 ·伯努利外，在 17 - 18世纪期间，伯努 利家族共产生过11位数学家. 其中比较著名的 还有他的弟弟约翰第一 ·伯努利(1667 - 1748) 和侄子丹尼尔 ·伯努利(1700 - 1782，在概率 论中引入正态分布误差理论，发表了第一个 正态分布表). 雅各布 ·贝努利是科学世家贝 努利家族中第一位以数学研究成名的人.
约翰·贝努里的长子，欧拉的挚 友.1695年1月27日出生于巴塞尔， 1725年与其弟丹尼尔同时被接纳为 俄国彼得堡科学院的数学教授.1726 年7月26日在彼得堡溺水而死.他虽 然早逝，在数学上也有贡献.他提出
了概率论中的“彼得堡悖论”，对 三次曲线也有较深的研究.1713年还 曾印行其伯父詹姆士·贝努里的级数 讲义.
概率论发展历史的探讨
概率论发展历史的探讨概率论是数学的一个分支，主要涉及到随机事件的概率、概率分布、随机变量等概念。
概率论的发展历史一直贯穿着人类数学、统计学和科学领域的发展。
概率论的漫长历程可以追溯到古希腊时代，早期的智者如泰勒斯、毕达哥拉斯和亚里士多德，对概率论的发展产生了很大的影响。
泰勒斯首次在自然界中造出了金属的假设，并成功地预测了未来的太阳日食。
毕达哥拉斯也将概率应用于投掷骰子的分析中，而亚里士多德则将概率统计应用到各种自然科学研究中，这为后来的统计学作出了很重要的贡献。
概率论的现代成果起源于十七世纪中叶，法国的贝努利家族的贝努利和切萨罗成为了概率论的先驱者。
贝努利提出了生命表的概念，用统计方法来分析人口的死亡率和存活率，从而确定风险和保险费率。
他还研究了赌博游戏的概率和运气问题，并将统计分析方法应用于生态学和地理学研究中。
十八世纪，伯努利的cousin D’Alembert发展了拉普拉斯法则，用于计算概率的近似值，又称为拉普拉斯方程。
此外，泊松提出的泊松方程被广泛用于概率的计算中。
十九世纪，高斯率先发现了正态分布，正态分布在统计学和概率论中发挥了重要作用。
同时拉普拉斯也发展了大数定理，可以用于概率的计算中。
而贝叶斯提出了贝叶斯定理，被广泛应用于信号处理、机器学习和哲学等领域。
二十世纪，科学技术的进步推动了概率论的计算和方法学的发展。
1900年，Perron研究了自回归的多项式，1889年缪勒研究了随机变量和概率分布函数的理论，1912年Gamma 函数发明。
此外，Kolmogorov提出了现代概率论基础的公理化理论，彻底解决了数学分析中的许多基本问题，为随机过程中的概率和数学推理提供了基础。
到了21世纪，概率论的应用范围越来越广泛，包括通信、计算机科学、金融和医学等领域。
随着大数据等统计分析工具的日益成熟，概率论在现代科学领域的应用将得到更大的发展。
伯努利家族读后感
伯努利家族读后感学习是亘古不变的话题，数学更是令无数人头疼的学科，它也一度被广大学子共同认证为是"最掉头发"的学科，高中毕业后直言这辈子不再碰数学的人也不在少数，然而世界上却有这样一个家族，诞生了100多位顶级科学家，其中有三人是世界顶级数学家。
这个家族就是羡煞旁人，在学业界赫赫有名的伯努利家族。
这个家族不仅连续两代人里出现了超重量级的科学家，在医学等其他学科方面，也诞生了很多杰出人才，所以这个家族也被人们笑称为"科学豪门"。
家族辉煌历史的开始伯努利家族本是比利时籍，后因遭天主教迫害，举家迁往德国，老尼古拉通过经商赚来很多钱，事业取得成功，于是他在定居瑞士后，和妻子一口气生了3个儿子，而且这3个儿子也是“高质量”的孩子，就是他们开启了伯努利家族辉煌的历史，伯努利家族也从此开始了开挂般的繁衍，先后涌现了一大批科学家、数学家，可以说是人才辈出，试想比利时和德国如果知道自己当时错过了这样一条大鱼，这样一个人才济济的“科学豪门”，一定后悔的肠子都青了吧？老尼古拉的三个儿子分别是雅各布、尼古拉和约翰，老尼古拉对三个儿子寄予了厚望，伯努利家族世代相传的家训就是：伯努利的子孙应该优先学习商学，其次是神学和医学。
因为老尼古拉是靠经商致富的，所以他想让三个儿子中至少有一个可以继承他的衣钵，传承家业，但是三个儿子却阴差阳错，不约而同地被数学"拐走了"。
大儿子雅克布从小就按照父亲的意愿，学习了神学，经过不断努力，他最终取得了神学的硕士学位。
戏剧性的是，他始终热爱不是神学而是数学，所以他又自学了数学和天文学，还到欧洲各国游学，回国后在巴塞尔大学担任了数学教授。
老尼古拉看到大儿子最终从事了和数学有关的职业，非常不开心，但是奈何孩子太有天赋，要知道雅克布在当时可是颇负名望的数学家。
他也是世界上最早使用"积分"这个术语的人，他还研究了悬链线，确定了等时曲线方程，概率论中的伯努利实验与大数定理也都是由他提出来的。
数学发展的历史介绍(2024)
引言概述：数学作为一门古老而且普遍存在的学科，在人类文明发展的过程中扮演着重要的角色。
数学的发展历史可以追溯到古代文明，并随着时间的推移逐渐演化和发展。
本文将介绍数学的历史发展，从古代数学的起源开始，逐步展开正文，分五大点来阐述数学的进展与演化。
正文内容：一、古代数学的起源1.原始数学：人类最早的数学思想主要是基于实际需求的，主要应用于计数和测量。
2.古代数学的典范：古埃及的几何学和古代巴比伦的代数学。
3.古希腊数学的诞生：毕达哥拉斯定理和欧几里得的几何学。
二、中世纪数学的发展1.印度数学的传播：阿拉伯数学家将印度数字系统和代数学引入欧洲。
2.贝克勒尔学派：贝克勒尔、纳西尔丁·图西和奥马尔·海亚姆等数学家对代数和几何学作出了重要贡献。
3.罗益席尔皮和方程的大发现：罗益席尔皮在解决高次方程时提出了新的解法。
三、现代数学的崛起1.十七世纪的数学革命：笛卡尔几何学的诞生和数学分析的发展。
2.牛顿和莱布尼茨的微积分学：微积分的发明进一步推动了数学的进步。
3.概率论与统计学的兴起：贝努利家族和拉普拉斯等人对概率论和统计学的贡献。
四、数学的现代化与应用1.抽象代数学的兴起：伽罗华和埃尔米特等人将代数学从具体问题中抽象出来。
2.黎曼几何学：黎曼将几何学从平面拓展到曲面，为现代几何学奠定了基础。
3.数学与信息科学的结合：在计算机科学和密码学领域，数学的应用越来越广泛。
五、当代数学的发展1.数学的交叉学科：数学与物理学、工程学等学科的交叉研究成为当代数学的一个重要方向。
2.数学的开放性问题：著名的费马猜想和黎曼猜想等问题一直未能得到证明。
3.数学的计算机辅助研究：计算机技术的进步使得数学研究更加高效和精确。
总结：数学发展的历史演化是一段源远流长的故事。
从原始数学到古代数学的起源，再到中世纪数学的发展，数学以其独特的逻辑和思维方式为人类文明进程提供了重要的支撑。
现代数学的崛起与应用为科学技术的发展和社会进步提供了坚实的基础。
变分法简介
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
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丹尼尔第一· 丹尼尔第一·伯努利
简介:与其父一样先习医，1721年获巴塞 简介:与其父一样先习医，1721年获巴塞 先习医 尔大学医学博士学位，但在其家族的熏 尔大学医学博士学位，但在其家族的熏 感染下，不久便转向数学 转向数学， 陶感染下，不久便转向数学，在父兄指 导下从事数学研究，并且成为这个家族 导下从事数学研究，并且成为这个家族 中成就最大者．1724年 中成就最大者．1724年，他用变量分离 法解决了微分方程中的“里卡蒂” 法解决了微分方程中的“里卡蒂”方 第二年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼 程．第二年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼 得堡科学院数学教授， 得堡科学院数学教授，并被选为该院名 誉院士． 誉院士． 1733年 他返回巴塞尔，教授解剖学和植物学和自然哲学． 1733年，他返回巴塞尔，教授解剖学和植物学和自然哲学．丹尼 解剖学和植物学和自然哲学 尔被誉之为数学物理方程的开拓者和奠基人．他曾10次获得法国 尔被誉之为数学物理方程的开拓者和奠基人．他曾10次获得法国 数学物理方程的开拓者和奠基人 10 科学院颁发的奖金，能与之相媲美的只有大数学家欧拉． 科学院颁发的奖金，能与之相媲美的只有大数学家欧拉．丹尼尔 1747年当选为柏林科学院院士 1748年当选巴黎科学院院士 年当选为柏林科学院院士， 年当选巴黎科学院院士， 于1747年当选为柏林科学院院士，1748年当选巴黎科学院院士， 1750年当选英国皇家学会会员 他一生获得多项荣誉称号． 年当选英国皇家学会会员． 1750年当选英国皇家学会会员．他一生获得多项荣誉称号．
约翰第一· 约翰第一·伯努利
一生成就: 一生成就:约翰是一位多产的数学 家，他的大量论文涉及到曲线的求 曲面的求积、 长、曲面的求积、等周问题和微分 方程．指数运算也是他发明 方程．指数运算也是他发明 .1696年约翰以公信的方式 年约翰以公信的方式， 的.1696年约翰以公信的方式，向 全欧数学家提出了著名的“ 全欧数学家提出了著名的“最速降 线问题” 线问题”，从而引发了欧洲数学界 的一场论战． 的一场论战．论战的结果产生了一 个新的数学分支——变分法．因此， 变分法． 个新的数学分支 变分法 因此， 约翰是公认的变分法奠基人. 约翰是公认的变分法奠基人.约翰 的另一大功绩是培养了一大批出色 的另一大功绩是培养了一大批出色 的数学家，其中有数学家欧拉、 的数学家，其中有数学家欧拉、克 莱姆、洛必塔等． 莱姆、洛必塔等．
约翰第一· 约翰第一·伯努利
简介:最初学医，同时研习数 简介:最初学医， 1690年获医学硕士学位 年获医学硕士学位， 学．于1690年获医学硕士学位， 1694年又获得博士学位 年又获得博士学位， 1694年又获得博士学位，其论文 是关于肌肉的收缩问题． 是关于肌肉的收缩问题．但他发 现他骨子里的兴趣是数学 兴趣是数学， 现他骨子里的兴趣是数学，不久 他爱上了微积分．1695年，28岁 他爱上了微积分．1695年 28岁 的约翰取得了他的第一个学术职 位——荷兰格罗宁根大学数学教 荷兰格罗宁根大学数学教 授．他当选过巴黎科学院外籍院 士、柏林科学协会会员、英国皇 家学会、意大利波伦亚科学院和 家学会、 彼得堡科学院的外籍院士． 彼得堡科学院的外籍院士．
雅各布第一· 雅各布第一·伯努利
研究成果:雅各布在概率论、微分方程、 研究成果:雅各布在概率论、微分方程、 无穷级数求和、变分方法、 无穷级数求和、变分方法、解析几何 等方面有很大建树． 等方面有很大建树．雅各布对数学最 概率论． 1685年起发 大的贡献是概率论 他从1685 大的贡献是概率论．他从1685年起发 表关于赌博游戏中输赢次数问题 赌博游戏中输赢次数问题的论 表关于赌博游戏中输赢次数问题的论 后来写成巨著《猜度术》 文，后来写成巨著《猜度术》，这本 书在他死后8年才得以出版． 书在他死后8年才得以出版． 轶事:雅各布痴心研究对数螺线 对数螺线， 轶事:雅各布痴心研究对数螺线，他发 现，对数螺线经过各种变换后仍然是 对数螺线.他惊叹这种曲线的神奇， 对数螺线.他惊叹这种曲线的神奇，竟 在遗嘱里要求后人将对数螺线刻在自 己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化， 己的墓碑上，并附以颂词“纵然变化， 依然故我” 依然故我”，用以象征死后永生不 朽．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
丹尼尔第一· 丹尼尔第一·伯努利
一生成就: 一生成就:作为伯努利家族博学广识的 代表， 代表，他的成就涉及多个科学领 他出版了经典著作《 域．他出版了经典著作《流体动力 给出“伯努利定理” 学》，给出“伯努利定理”等流体动 力学的基础理论； 力学的基础理论；研究弹性弦的横向 振动问题， 振动问题，提出声音在空气中的传播 规律．他的论著还涉及天文学、 规律．他的论著还涉及天文学、地球 引力、湖汐、磁学，振动理论、 引力、湖汐、磁学，振动理论、船体 航行的稳定和生理学等． 航行的稳定和生理学等． 丹尼尔的轶事:伯努利家族曾产生许多传奇和轶事．一个关于丹 尼尔的传说这是样的：有一次在旅途中，年轻的丹尼尔同一个 风趣的陌生人闲谈，他谦虚地自我介绍说：“我是丹尼尔·伯努 利．”陌生人立即带着讥讽的神情回答道：“那我就是伊萨 克·牛顿．”作为丹尼尔，这是他有生以来受到过的最诚恳的赞 颂，这使他一直到晚年都甚感欣慰．
在众多的伯努利家族成员中, 在众多的伯努利家族成员中,
雅各布第一· 雅各布第一·伯努利 约翰第一· 约翰第一·伯努利 丹尼尔第一· 丹尼尔第一·伯努利
这三人的成就最大。 这三人的成就最大。
雅各布第一· 雅各布第一·伯努利
简介:他分别于1671和1676年 简介:他分别于1671和1676年 1671 获得艺术硕士和神学硕士 艺术硕士和神学硕士学 获得艺术硕士和神学硕士学 位，但他对数学有着浓厚的 兴趣， 兴趣，他的数学几乎是无师 自通的．1687， 自通的．1687，雅各布担任 巴塞尔大学数学教授，教授 巴塞尔大学数学教授， 实验物理和数学， 实验物理和数学，直至去 世．由于雅各布杰出的科学 成就，1699年 成就，1699年，雅各布当选 为巴黎科学院外籍院士； 为巴黎科学院外籍院士； 1701年被柏林科学协会接纳 1701年被柏林科学协会接纳 为会员． 为会员．
这是一个盛产数学家和物 理学家的部落! 理学家的部落! 这是一个数学史上的奇迹! 这是一个数学史上的奇迹! 这是一个神话! 这是一个神话!
这就是: 这就是:
瑞士伯努利家族
一个令人骄傲的姓氏!
伯努利家族3代人中产生了 伯努利家族3代人中产生了8位科学家，出 中产生了8 科学家， 类拔萃的至少有3 类拔萃的至少有3位. 在他们一代又一代的众多子孙中，至少有 在他们一代又一代的众多子孙中， 一半相继成为杰出人物 相继成为杰出人物。 一半相继成为杰出人物。伯努利家族的后裔有 不少于120 被人们系统地追溯过， 120位 不少于120位被人们系统地追溯过，他们在数 科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、 学、科学、技术、工程乃至法律、管理、文学、 艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。 艺术等方面享有名望，有的甚至声名显赫。 最不可思议的是这个家族中有两代人，他 最不可思议的是这个家族中有两代人， 们中的大多数数学家， 们中的大多数数学家，并非有意选择数学为职 然而却忘情地沉溺于数学之中， 业，然而却忘情地沉溺于数学之中，有人调侃 他们就像酒鬼碰到了烈酒。
如果你有兴趣, 如果你有兴趣,可以去找找伯努利家族 其他的传奇和轶事, 其他的传奇和轶事,还可以去了解一下 伯努利定律和伯努利数. 伯努利定律和伯努利数.