初三数学上学期提优2
专题02一元二次方程及其解法(二)(解析版)-2021—2022学年九年级数学上学期
2021—2022学年九年级数学上学期重难点题型专项提优02 一元二次方程及其解法（二）【例题精讲】一、一元二次方程根与系数的关系例1．已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111ab a -++的值． 【解析】解：（1）根据题意得△2240k =+>， 解得1k >-，k ∴的取值范围为1k >-； （2）由根与系数关系得2a b +=-，a b k =-，111111121a ab kb a ab a b k -+-===-+++++--+． 例2．已知α，β是方程2201710x x ++=的两个根，则22(12019)(12019)ααββ++++的值为 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程2201710x x ++=的两个根，2201710αα∴++=，2201710ββ++=，2017αβ+=-，1αβ=，22(12019)(12019)ααββ∴++++22(120172)(120172)αααβββ=++++++4αβ=4=．例3．阅读材料：已知方程210p p --=，210q q --=且1pq ≠，求1pq q+的值． 解：由210p p --=，及210q q --=，可知0p ≠，0q ≠．又1pq ≠，1p q∴≠． 210q q --=可变形为211()()10q q --=．根据210p p --=和211()()10q q--=的特征．p ∴、1q是方程210x x --=的两个不相等的实数根， 则11p q +=，即11pq q+=． 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：22510m m --=，21520n n+-=且m n ≠，求 （1）mn 的值；（2）2211m n +． 【解析】解：21520n n+-=， 22510n n ∴--=，根据22510m m --=和22510n n --=的特征， m ∴、n 是方程22510x x --=的两个不相等的实数根，52m n ∴+=，12mn =-， （1）12mn =-；（2）原式2222512()()242291()()2m n mn mn -⨯-+-===-． 变式训练：1．已知2210a a --=，2210b b +-=，且1ab ≠，则1ab b b++的值为 ． 【答案】3【解析】2210b b +-=，0b ∴≠，方程两边同时除以2b ，再乘1-变形为211()210b b -⋅-=，1ab ≠，a ∴和1b 可看作方程2210x x --=的两根，12a b∴+=， ∴111213ab b a bb++=++=+=．2．已知关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=．（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有两根为1x ，2x ，且2123x x +=，求m 的值．【解析】解：（1）关于x 的一元二次方程22(1)0x x m -++=有两个不相等的实数根，∴△2(1)412(1)0m =--⨯⨯+>，78m ∴<-．（2）1x ，2x 为一元二次方程22(1)0x x m -++=的两根，121x x ∴+=，2112(1)0x x m -++=．22121112()3x x x x x x +=-++=，即2(1)13m -++=，2m ∴=-．二、与一元二次方程有关的新定义问题例1．对于实数m ，n ，先定义一种新运算“⊗”如下：22,,,m m n m n m n n m n m n ⎧++⊗=⎨++<⎩当时当时，若(2)10x ⊗-=，则实数x 等于 A ．3B ．4-C ．8D ．3或8【答案】A【解析】解：当2x -时，2210x x +-=，解得：13x =，24x =-（不合题意，舍去）；当2x <-时，2(2)210x -+-=，解得：8x =（不合题意，舍去）；3x ∴=．例2．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的个数有 ①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；③若p 、q 满足2pq =，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程；④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，则必有229b ac =． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①解方程220x x --=得，12x =，21x =-，得，122x x ≠，∴方程220x x --=不是倍根方程；故①不正确；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，12x =，因此21x =或24x =，当21x =时，0m n +=，当24x =时，40m n +=，2245()(4)0m mn n m n m n ∴++=++=，故②正确；③2pq =，则23(1)()0px x q px x q ++=++=，∴11x p =-，2x q =-，∴2122x q x p=-=-=， 因此是倍根方程，故③正确；④方程20ax bx c ++=的根为：1x 2x =若122x x =220=，∴0=，∴0b +，∴b -，229(4)b ac b ∴-=，229b ac ∴=．若122x x =2=，20=，∴0=，∴0b -+，∴b =229(4)b b ac ∴=-，229b ac ∴=．故④正确， ∴正确的有：②③④共3个．例3．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，解方程42340x x --=时，我们就可以通过换元法，设2x y =，将原方程转化为2340y y --=，解方程得到11y =-，24y =，因为20x y =，所以1y =-舍去，所以得到24x =，所以12x =，22x =-．请参考例题解法，解方程：2320x x +=．y =，则223x x y +=．原方程可转化为：220y y --=．(2)(1)0y y ∴-+=．12y ∴=，21y =-．当2y =2，234x x ∴+=．即2340x x +-=．解这个方程得14x =-，21x =．20y x x =，1y ∴=-舍去．所以原方程的解为：14x =-，21x =．例4．阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程21x =-时，突发奇想：21x =-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使21i =-，那么当21x =-时，有x i =±，从而x i =±是方程21x =-的两个根． 据此可知：（1）i 可以运算，例如：321i i i i i ==-⨯=-，则4i = ，2011i = ，2012i = ； （2）方程2220x x -+=的两根为 （根用i 表示）． 【解析】解：（1）21i =-，422(1)(1)1i i i ∴==-⨯-=；2011210051005()(1)i i i i i ==-=-；2012210061006()(1)i i i i i ==-=．（2）△2(2)4124=--⨯⨯=-，21i =-，∴△24i =，∴方程2220x x -+=的两根为22121ix i ±==±⨯，即1x i =+或1x i =-． 例5．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的；例如32()x x x x px q =⋅=-=，该方程变形为2x px q -=-，也可以实现“降次”目的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式，请利用“降次法”解决下列问题：已知：2210x x --=，且0x >，求4323x x x --的值．【解析】解：方程2210x x --=的解为：1x ==±0x >．所以1x =+2210x x --=，221x x ∴-=，221x x ∴-=．4323x x x ∴--22(2)3x x x x =--23x x =-213x x =+-1x =-．当1x =1(1=-+=变式训练：1．阅读材料：解方程222(1)3(1)0x x ---=．我们可以将21x -视为一个整体，采用“换元法”求解，具体解法：设21x y -=，原方程化为230y y -=①解得10y =，23y =．当0y =时，210x -=．1x ∴=±，当3y =时，213x -=，2x ∴=±，∴原方程的解为11x =，21x =-，32x =，42x =-．请利用换元法解出方程220x -=的根．y =，221y x =-，原方程可变形为：2430y y -+=．(1)(3)0y y ∴--=．11y ∴=，23y =．当1y =1=， 两边平方，得22x =，1x ∴=2x =当3y =3， 两边平方，得210x =，3x ∴=4x =所以1x =2x =，3x =，4x =2．材料一：对称美不仅仅是图形之美，代数式中也有对称的结构之美，对称不仅仅给我们以美的体验，还能帮助我们解决问题．如：2310x x -+=中，因为左边代数式中三项系数依次为：1，3-，1，是呈对称结构的，于是我们可将它变形为130x x -+=，进而可以变形为13x x +=，以此为条件便可以得到22211()27x x x x+=+-=． 材料二：你知道我们为什么要因式分解吗？原因有二：一是化简，如220x x --=(x =-2)(1)x +中，我们通过因式分解将左边的二次式变成了两个一次式的乘积，次数降低了，式子也变简单了；二是增加了信息量，如220x x --=中，x 的取值信息不太明确，但是(2)(1)0x x -+=中，我们可以很快得到，2x =或者1x =-．利用上述材料解决下列问题： （1）材料一中，2310x x -+=到13x x+=的变形成立的前提条件是 ． （2）为解系数对称的方程4310x x x --+=，陈功同学结合材料将它变形为1(2)x x +- 1(1)0x x++=，显然110x x ++≠，则只能是120x x+-=，进而解得121x x ==，请将从4310x x x --+=到11(2)(1)0x x x x+-++=的变形过程补充完整． （3）运用材料一、材料二以及第（2）问的解题经验，解方程：432223x x x +-26x +⨯26+ 0=． 【解析】解：（1）由题意知：0x ≠． （2）4310x x x --+=．421(1)x x x ∴+=+．两边同时除以2x 得：2211x x x x+=+． ∴211()2x x x x +-=+．∴211()()20x x x x +-+-=．11(2)(1)0x x x x ∴+-++=．显然110x x ++≠．120x x∴+-=．解得121x x ==． （3）方程两边同时除以2x 得：2212362230x x x x +-++=．∴266()2()350x x x x+++-=．66(7)(5)0x x x x ∴+++-=．670x x ∴++=或650x x+-=． 当670x x++=时，2760x x ++=．(1)(6)0x x ∴++=．1x ∴=-或6x =-． 当650x x+-=时，2560x x -+=．(2)(3)0x x ∴--=．2x ∴=或3x =． 综上：方程的解为：1x =-或6-或2或3． 【针对练习】1．若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，∴△2(2)8(1)1280a a =---=-且10a -≠，32a∴且1a ≠，∴整数a 的最大值为0． 2．下列一元二次方程中，没有实数根的是 A ．220x x -= B ．2210x x -+=C ．2210x x --=D ．2210x x -+=【答案】D【解析】解：（A ）△4=，故选项A 有两个不同的实数根； （B ）△440=-=，故选项B 有两个相同的实数根； （C ）△1429=+⨯=，故选项C 有两个不同的实数根； （D ）△187=-=-，故选项D 没有两个不同的实数根．3．关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，则m n 的值为 A ．8-B ．8C ．16D ．16-【答案】C 【解析】关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是2-和1，12m ∴-=-，22n=-，2m ∴=，4n =-，2(4)16m n ∴=-=． 4．已知实数x 满足222(21)4(21)50x x x x -++-+-=，那么221x x -+的值为 A ．5-或1 B ．1-或5 C ．1 D ．5【答案】C【解析】设221y x x =-+，则2450y y +-=．整理，得(5)(1)0y y +-=．解得5y =-（舍去）或1y =．即221x x -+的值为1．5．如果1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，那么2212x x +等于A ．2B ．2-C ．1-D ．6【答案】D【解析】1x ，2x 是两个不相等实数，且满足21121x x -=，22221x x -=，1x ∴，2x 是方程2210x x --=的两个不相等的实数根，则122x x +=，121x x =-，2212x x ∴+21212()2x x x x =+-222(1)=-⨯-42=+6=．6．若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则k = ． 【答案】﹣1【解析】把1x =代入方程220x kx --=得120k --=，解得1k =-．7．若实数a ，b 满足()(221)1a b a b ++-=，则a b += ．【答案】1或12-【解析】设a b x +=，则(21)1x x -=，2210x x --=，(1)(21)0x x -+=，解得11x =，12x =-，则1a b +=或12-．8．定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”，如果关于x 的一元二次方程220x x -=与2310x x m ++-=为“友好方程”，则m 的值 ． 【答案】1或﹣9【解析】解方程220x x -=，得：10x =，22x =． ①若0x =是两个方程相同的实数根．将0x =代入方程2310x x m ++-=，得：10m -=，1m ∴=，此时原方程为230xx +=，解得：10x =，23x =-，符合题意，1m ∴=； ②若2x =是两个方程相同的实数根．将2x =代入方程2310x x m ++-=，得：4610m ++-=，9m ∴=-，此时原方程为23100x x +-=，解得：12x =，25x =-，符合题意，9m ∴=-．综上所述：m 的值为1或9-．9．若关于x 的一元二次方程2220(0)x x m m m +--=>，当1m =、2、3、2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为1α、1β，2α、2β，…，2020α、2020β，则11221111αβαβ+++2020202011αβ+++的值为 ．【答案】40402021【解析】2220x x m m +--=，1m =，2，3，⋯，2020，∴由根与系数的关系得：112αβ+=-，1112αβ=-⨯；222αβ+=-，2223αβ=-⨯；202020202αβ+=-，2020202120202021αβ=-⨯；∴原式3320202020112211223320202020αβαβαβαβαβαβαβαβ++++=++++222212233420202021=++++⨯⨯⨯⨯1111111140402(1)2(1)223342020202120212021=⨯-+-+-++-=⨯-=． 10．已知关于x 的一元二次方程：21(21)4()02x k x k -++-=．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰ABC ∆的一边长4a =，另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根，求ABC ∆的周长． （3）若方程的两个实数根之差等于3，求k 的值．【解析】解：（1）△21(21)414()2k k =+-⨯⨯-24129k k =-+2(23)k =-，无论k 取何值，2(23)0k -，故这个方程总有两个实数根；（2）由求根公式得21(23)2k k x +±-=，121x k ∴=-，22x =．另两边长b 、c ，恰好是这个方程的两个实数根， 设21b k =-，2c =，当a ，b 为腰时，则4a b ==，即214k -=，计算得出52k =， 此时三角形周长为44210++=；当b ，c 为腰时，2b c ==，此时b c a +=，构不成三角形， 故此种情况不存在．综上所述，ABC ∆周长为10． （3）方程的两个实数根之差等于3，∴2123k --=，解得：0k =或3．11．已知关于x 的一元二次方程2(12)20kx k x k +-+-=．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）当k 取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为α和β，求代数式322017αββ+++的值．【解析】解：（1）根据题意得0k ≠且△(12)24(2)0k k k =--->，解得14k >-且0k ≠； （2）k 取满足（1）中条件的最小整数，1k ∴=．此时方程变为210x x --=，1αβ∴+=，1αβ=-，210αα--=，210ββ--=，21αα∴=+，21ββ=+，32121αααααα∴=+=++=+，322017αββ∴+++2112017αββ=+++++2()2019αβ=++212019=⨯+2021=．12．已知关于x 的一元二次方程2260(x x k k --=为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．【解析】解：（1）证明：在方程2260x x k --=中，△222(6)41()36436k k =--⨯⨯-=+，∴方程有两个不相等的实数根．（2）1x ，2x 为方程2260x x k --=的两个实数根，126x x ∴+=，12214x x +=，28x ∴=，12x =-．将8x =代入2260x x k --=中，得：264480k --=，解得：4k =±． 答：方程的两个实数根为2-和8，k 的值为4±． 13．阅读下面的例题：解方程2||20m m --=的过程如下：（1）当0m 时，原方程化为220m m --=，解得：12m =，21m =-（舍去）．（2）当0m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：12m =，22m =-．请参照例题解方程：2|1|10m m ---=．【解析】解：当1m 时，原方程化为20m m -=，解得：11m =，20m =（舍去）．当1m <时，原方程可化为220m m +-=，解得：12m =-，21m =（舍去）．原方程的解：11m =，22m =-．14．如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程20x x +=的两个根是10x =，21x =-，则方程20x x +=是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①260x x --=；②2210x -+=．（2）已知关于x 的方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，求m 的值；（3）若关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，令28t a b =-，问：存在多少组a 、b 的值使得t 为正整数？请说明理由．【解析】解：（1）①解方程得：(3)(2)0x x -+=，3x =或2x =-， 231≠-+，260x x ∴--=不是“邻根方程”；②x =，1=+，2210x ∴-+=是“邻根方程”；（2）解方程得：()(1)0x m x -+=， x m ∴=或1x =-，方程2(1)0(x m x m m ---=是常数）是“邻根方程”，11m ∴=-+或11m =--， 0m ∴=或2-；（3）解方程得，x =，关于x 的方程210(ax bx a ++=、b 是常数，0)a >是“邻根方程”，∴1=，224b a a ∴=+， 28t a b =-，22t a a a∴=-=--+，4(2)4a>，∴有最大值，最大值为4，tt为正整数，∴=或2或3或4，t1∴当a取7个值，b对应有14个值，∴存在14组a、b的值使得t为正整数．。
九年级数学提优训练 (2)
九年级数学提优训练一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的⊙O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论正确的个数是（）（1）AB+CD=AD；（2）S△BCE=S△ABE+S△DCE；（3）AB•CD=；（4）∠ABE=∠DCE．A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，现把菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°得到菱形AB′C′D′，若AB=4，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.3.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是（）A.①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②③④二、填空题4.如图，平面直角坐标系中，已知点B（2，1），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，若抛物线y=x2+k与△OAB 的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__________________5.如图，点P在双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=8，则k的值是______．6.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D 上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为________7.如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B、C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②；③当x=0时，y2-y1=5；④当y2＞y1时，0≤x＜1；⑤2AB=3AC．其中正确结论的编号是______．8.已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等．如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是__________；三、解答题9.如图，已知AB是⊙O的直径，且AB=4，点C在半径OA上（点C与点O、点A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D．连接OD，过点B作OD的平行线交⊙O于点E，交CD的延长线于点F．（1）若点E是的中点，求∠F的度数；（2）求证：BE=2OC；（3）设AC=x，则当x为何值时BE•EF的值最大？最大值是多少？10.如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0，5），B（-1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B 在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．①求点F的坐标；②求四边形ADEF的面积；（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，已知抛物线y=+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设AD和半圆⊙O相切的切点为F，∵在直角梯形ABCD中AB∥CD，AB⊥BC，∴∠ABC=∠DCB=90°，∵AB为直径，∴AB，CD是圆的切线，∵AD与以AB为直径的⊙O相切，∴AB=AF，CD=DF，∴AD=AE+DE=AB+CD，故①正确；如图1，连接OE，∵AE=DE，BO=CO，∴OE∥AB∥CD，OE=（AB+CD），∴OE⊥BC，∴S△BCE=BC•OE=（AB+CD）=（AB+CD）•BC==S△ABE+S△DCE，故②正确；如图2，连接AO，OD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AB，CD，AD是⊙O的切线，∴∠OAD+∠EDO=（∠BAD+∠ADC）=90°，∴∠AOD=90°，∴∠AOB+∠DOC=∠AOB+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠DOC，∴△ABO∽△OCD，∴，∴AB•CD=OB•OC=BC BC=BC2，故③正确，如图1，∵OB=OC，OE⊥BC，∴BE=CE，∴∠BEO=∠CEO，∵AB∥OE∥CD，∴∠ABE=∠BEO，∠DCE=∠OEC，∴∠ABE=∠DCE，故④正确，综上可知正确的个数有4个，故选D．设AD和半圆⊙O相切的切点为F，连接OF，根据切线长定理以及相似三角形的判定和性质逐项分析即可．本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质．解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理、性质定理，做到灵活运用．2.【答案】A【解析】解：由题意：AB=AD=DC=AB′=CB′=4，∠DAC=∠DCA=∠DC′F=30°，∵∠C′DC=60°，∴∠DFC′=90°，∵AC=AC′=4，C′D=4-4，∴DF=DC′=2-2，C′F=6-2，∴S阴=S扇形ACC′-S△ADC-S△DFC′=-×4×2-×（2-2）（6-2）=4π-12+12，故选：A．根据S阴=S扇形ACC′-S△ADC-S△DFC′，计算即可解决问题；本题考查扇形的面积公式、菱形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．3.【答案】B【解析】解：①错误，假设∠BAD=∠ABC，则=，∵=，∴==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD．∵GD是切线，∴DG⊥OD，∴∠GDP+∠ADO=90°，∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD，∵∠APF+∠OAD=90°，∠GPD=∠APF，∴∠GPD=∠GDP，∴GD=GP，故②正确．③正确．∵AB⊥CE，∴=，∵=，∴=，∴∠CAD=∠ACE，∴PC=PA，∵AB是直径，∴∠ACQ=90°，∴∠ACP+∠QCP=90°，∠CAP+∠CQP=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ=PA，∵∠ACQ=90°，∴点P是△ACQ的外心．故③正确．④正确．连接BD．∵∠AFP=∠ADB=90°，∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴=，∴AP•AD=AF•AB，∵∠CAF=∠BAC，∠AFC=∠ACB=90°，∴△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，∵∠ACQ=∠ACB，∠CAQ=∠ABC，∴△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，∴AP•AD=CQ•CB．故④正确，故选：B．①错误，假设成立，推出矛盾即可；②正确．想办法证明∠GPD=∠GDP即可；③正确．想办法证明PC=PQ=PA即可；④正确．证明△APF∽△ABD，可得AP•AD=AF•AB，证明△ACF∽△ABC，可得AC2=AF•AB，证明△CAQ∽△CBA，可得AC2=CQ•CB，由此即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．4.【答案】-2<k<【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据图形求出抛物线与△OAB的边界有一个交点时k的值是解题的关键，解题时注意，二次函数的图象是抛物线，对称轴是y轴，抛物线与y轴的交点的纵坐标是函数解析中c的值．【解答】解：当抛物线在x轴上方时，可得k＞0，已知边OB所在的直线的解析式为：y=x，与抛物线有两个交点时，x=，即，Δ=1-8k＞0，即k＜，当k=0时，抛物线与边OB交于点（0，0）和（1，），同样符合条件，当抛物线顶点在x轴下方时，k<0，∵B（2,1）,BA⊥x轴，∴A（2,0），当抛物线经过点A时，0=2+k,即k=-2，∵抛物线开口向上，∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k>-2，综上，若抛物线与△ OAB的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是-2<k<．故答案为-2<k<．5.【答案】16【解析】解：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，∵OF-OE=8，∴（OA+AF）-（BE-OB）=8，即2OA=8，解得OA=4，∴k=OA×PA=4×4=16．故答案为：16．过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，根据⊙P与两坐标轴都相切可知，PA=PB，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE≌△APF，得BE=AF，利用OF-OE=8，求圆的半径，根据k=OA×PA 求解．本题考查了反比例函数的综合运用．关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线，构造全等三角形，正方形，将有关线段进行转化．6.【答案】.【解析】【分析】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大.当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直与切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得.【解答】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，菁优网∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴.∴.∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴，∴△AOP的最大面积=.故答案为.7.【答案】①⑤【解析】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；②将点A（1，3）代入抛物线，得a（1+2）2-3=3，解得a=，故本选项错误；③当x=0时，y1==-，=，y2-y1=+=，故本选项错误；④令y2=y1，则有=，解得x1=1，x2=-35．几何图象可知，y2＞y1，-35＜x＜1，故本选项错误；⑤令=3，解得，x1=1或x2=-5；AB=5+1=6；=3，解得，x3=5，x4=1；AB=5-1=4；则2AB=3AC．故本选项正确．故答案答案为①⑤．①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数；②将点A（1，3）代入得a=即可判断；③将x=0分别代入和，求出y1与y2的值，再相减即可得到y2-y1的值；④令y2=y1，求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令=3，=3，分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC 的长，即可做出正确判断．本题考查了二次函数的性质，数形结合是本题的核心，要善于利用图形进行解答．8.【答案】5【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【解答】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．菁优网∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E，又∵点到直线之间垂线段最短，，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5.故答案为5.9.【答案】解：（1）如图1，连接OE．∵=，∴∠BOE=∠EOD，∵OD∥BF，∴∠DOE=∠BEO，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，∵CF⊥AB，∴∠FCB=90°，∴∠F=30°；（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，∵OB=OE，∴BE=2BM，∵OD∥BF，∴∠COD=∠B，在△OBM与△ODC中，∴△OBM≌△ODC，∴BM=OC，∴BE=2OC；（3）∵OD∥BF，∴△COD∽△CBF，∴，∵AC=x，AB=4，∴OA=OB=OD=2，∴OC=2-x，BE=2OC=4-2x，∴，∴BF=，∴EF=BF-BE=，∴BE•EF=•2（2-x）=-4x2+12x=-4（x-）2+9，∴当时，最大值=9．【解析】（1）首先连接OE，由=，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；（2）连接OE，过O作OM⊥BE于M，由等腰三角形的性质得到BE=2BM，根据平行线的性质得到∠COD=∠B，根据全等三角形的性质得到BM=OC，等量代换即可得到结论．（3）根据相似三角形的性质得到，求得BF=，于是得到EF=BF-BE=，推出BE•EF=-4x2+12x=-4（x-）2+9，即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的最大值，圆周角定理，平行线的性质，证得△COD∽△CBF是解决（3）小题的关键．10.【答案】解：（1）如图1，由于抛物线经过点B（-1，0），C（5，0），因此该抛物线解析式可设为y=a（x+1）（x-5），把A（0，5）代入y=a（x+1）（x-5），得-5a=5，解得：a=-1，∴y=-（x+1）（x-5）=-x2+4x+5 …2分（2）①如图2，∵抛物线的对称轴x=-=2，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称，∴点E的坐标为（4，5），∴直线OE的解析式为y=x，解方程组，得，或，∴点F坐标为（-，-）②∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9），∴S四边形ADEF=S△ADE+S△AEF=×4×（9-5）+×4×（5+）=（3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①，则点M在对称轴上，即在顶点D处，此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）；②若AE是平行四边形的一边，如图3①，则有MN=AE=4，∴点M的横坐标为-2或6．Ⅰ．当x=-2时，y=-（-2）2+4×（-2）+5=-7，此时点M的坐标为（-2，-7），点N的坐标为（2，-7）；Ⅱ．当x=6时，y=-62+4×6+5=-7，此时点M的坐标为（6，-7），点N的坐标为（2，-7）．综上所述：符合要求的点M、N的坐标为M1（-2，-7），M2（6，-7），M3（2，9）N1（2，-7），N2（2，-7），N3（2，1）．【解析】（1）可将抛物线的解析式设成交点式，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．（2）①可先求出直线OE的解析式，然后将直线OE与抛物线的解析式联立，组成方程组，解这个方程组就可得到点F的坐标；②只需运用割补法就可求出四边形ADEF的面积．（3）可分AE是平行四边形的对角线和一边这两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质就可解决问题．本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线的性质、平行四边形的性质等知识，运用割补法是解决第（2）②小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．11.【答案】解：（1）将A（0，1），B（-9，10）代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式y=+2x+1；（2分）（2）∵AC∥x轴，A（0，1），∴x2+2x+1=1，解得x1=-6，x2=0（舍），即C点坐标为（-6，1），∵点A（0，1），点B（-9，10），∴直线AB的解析式为y=-x+1，设P（m，m2+2m+1），∴E（m，-m+1），∴PE=-m+1-（m2+2m+1）=-m2-3m，∵AC⊥PE，AC=6，（4分）∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC=AC•EF+AC•PF，=AC•（EF+PF）=AC•EP=×6（-m2-3m）=-m2-9m=-（m+）2+，∵-6＜m＜0，∴当m=-时，四边形AECP的面积最大值是，此时P（-，-）；（6分）（3）∵y=x2+2x+1=（x+3）2-2，∴顶点P（-3，-2）．∴PF=2+1=3，CF=6-3=3，∴PF=CF，PC=3，∴∠PCF=45°，同理可得∠EAF=45°，∴∠PCF=∠EAF，∵A（0，1），B（-9，10），∴AB==9，∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1），∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，=，，CQ=2，（7分）∴Q（-4，1）；（8分）②当△CPQ∽△ACB时，则，∴=，CQ=9，（9分）∴Q（3，1）；综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，Q点的坐标为（-4，1）或（3，1）．（10分）【解析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和，表示四边形AECP 的面积，是二次函数，根据二次函数的最值，可得答案；（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF=∠EAF，所以分两种情况：①当△CPQ∽△ABC时，②当△CPQ∽△ACB时，根据相似三角形的判定，可得关于CQ的方程，解方程，可得答案．本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出关于CQ的比例式，并分类讨论，以防遗漏．。
【重点突围】2023学年九年级数学上册专题提优训练(人教版) 用二次函数解决实际问题(解析版)
用二次函数解决实际问题考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题考点七 用二次函数解决图形运动问题考点一 用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造 产量年均增长率为x 已知2020年产量为1万件 那么2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为___________．【答案】2(1)y x =+【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同 所以2021的产量为()11+x ⨯ 2022年的产量为()()11+1+x x ⨯⨯ 由此即可知道2022年的产量y （万件）与x 间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件 且产量年均增长率为x ．∴2021年产量为()11+x ⨯；2022年的产量为()()()211+1+=1x x x ⨯⨯+． ∴2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为2(1)y x =+．故答案为：2(1+)y x =【点睛】本题考查二次函数的实际问题 能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件 计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x 倍 那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定 那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【解析】【分析】根据平均增长问题 可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y ＝2（x +1）2．故答案为：y ＝2（x +1）2．【点睛】本题考查了函数关系式 利用增长问题获得函数解析式是解题关键 注意增加x 倍是原来的（x +1）倍． 2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程 该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设 改善民生 优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户 求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造 如果计划改造300户 计划投入改造费用平均20000元/户 且计划改造的户数每增加1户 投入改造费平均减少50元/户 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x 根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户 最高投入费用为w 元 根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+ 然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x 则x >0由题意得：()231+ 4.32x =解得：x =0.2或x =-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户 最高投入费用为w 元由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+∵a =-50 抛物线开口向下∴当a -50=0 即a =50时 w 最大 此时w =612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用 解题的关键是正确读懂题意列出式子 然后根据二次函数的性质进行求解．考点二 用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件．(1)若降价3元 则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时 该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意可列出函数关系式 进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥ 解得：15x ≤∵-2＜0 对称轴为直线15x =∴当15x 时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500 在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 利润=（定价-进价）×销售量 从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式 根据函数性质 确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴 然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w =（x -20）•y=（x -20）•（-10x +500）=-10x 2+700x -10000即w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）；(2)由题意可知：-10x 2+700x -10000=2000解这个方程得：x 1=30 x 2=40．由（1）得 20≤x ≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w =-10x 2+700x -10000的图象的对称轴是直线x =()700210-⨯-=35．又∵a =-10＜0 抛物线开口向下．∴当20≤x ≤32时 w 随着x 的增大而增大∴当x =32时 w =2160答：当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用 还考查抛物线的性质 另外将实际问题转化为求函数最值问题 从而来解决实际问题．考点三 用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽6米 水面下降________米 水面宽8米．【答案】149##519【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系 通过代入A 点坐标（-3 0） 求出二次函数解析式 再根据把x =4代入抛物线解析式得出下降高度 即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系 设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点 则通过画图可得知O 为原点 由题意可得：AO =OB =3米 C 坐标为（0 2）通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2 把点A 点坐标（-3 0）代入得∴920a +=∴29a =- ∴抛物线解析式为：2229y x =-+； 当水面下降 水面宽为8米时 有把4x =代入解析式 得2221442162999y =-⨯+=-⨯+=-； ∴水面下降149米； 故答案为：149； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥 当拱顶高距离水面2m 时 水面宽4m 如果水面上升1.5m 则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系 设出抛物线的解析式 从而可以求得水面的宽度增加了多少 本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y =ax 2由已知可得 点（2 -2）在此抛物线上则-2=a ×22 解得12a =-∴212y x =- 当y =-0.5时 210.52x解得x =±1 此时水面的宽度为2m故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的应用 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图 在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)()245425y x =--+ (2)在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式 然后根据抛物线过点()0,0 代入即可求解；（2）根据对称轴为：5x = 得出对称轴右边1m 处为：6x = 代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为()5,4设抛物线解析式为：()254y a x =-+∵抛物线过点()0,0∴()20054a =-+ 解得：425a =- ∴这条抛物线所对应的函数关系式为：()245425y x =--+． (2)解：对称轴为：5x = 则对称轴右边1m 处为：6x =将6x =代入()245425y x =--+ 可得：()2465425y =--+ 解得：9625y = 答：在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用 解答此题的关键是明确题意 求出抛物线的解析式．考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观 喷出的水柱呈抛物线形状 她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m 水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高 最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系 并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+ 其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离 y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m 身高1.6m 的小红在水柱下方走动 当她的头顶恰好接触到水柱时 求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点()5,3.2 设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+ 将点()0,0.7P 代入即可求解； （2）将 1.6y =代入（1）的解析式 求得x 的值 进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+将点()0,0.7代入 得0.725 3.2a =+解得0.1a =-∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+ (2)由()20.15 3.2y x =--+ 令 1.6y =得()21.60.15 3.2x =--+解得121,9x x ==爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m∴当她的头顶恰好接触到水柱时 她与爸爸的水平距离为312-=(m ) 或936-=(m )． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用 掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图 水池中心点O 处竖直安装一水管 水管喷头喷出抛物线形水柱 喷头上下移动时 抛物线形水柱随之竖直上下平移 水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现 喷头高2.5m 时 水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时 水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时 水柱落点距O 点4m ．【答案】8【解析】【分析】由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化 则当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5 将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0；喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4 将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0 联立可求出a 和b 的值 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m 则此时的解析式为y =ax 2+bx +h 将（4 0）代入可求出h ．【详解】解：由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0①喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0② 联立可求出23a =- 23b = 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m∴此时的解析式为22233y x x h =-++ 将（4 0）代入可得22244033h -⨯+⨯+= 解得h =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用 重点是二次函数解析式的求法 直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1 灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度3mDE=竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.5m灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h=0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0)；③2231d≤≤(2)65 32【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线OB d≤计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点D F恰好分别在两条抛物线上设出D、F 坐标计算即可．(1)（1）①如图1 由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.∴1.542a =+∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时 21(2)208x --+= ∴16x = 22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的即点B 是由点C 向左平移4m 得到 则点B 的坐标为(2,0)．③如图2 先看上边缘抛物线∵0.5EF =∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时21(2)20.58x --+=． 解得223x =±∵0x >∴223x =+当0x >时 y 随着x 的增大而减小∴当26x ≤≤时 要使0.5y ≥则223x ≤+∵当02x ≤<时 y 随x 的增大而增大 且0x =时 1.50.5y =>∴当06x ≤≤时 要使0.5y ≥ 则023x ≤≤+∵3DE = 灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴d 的最大值为(23)331+-=．再看下边缘抛物线 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤∴d 的最小值为2．综上所述 d 的取值范围是231d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0 h ）∴40.5y a h h =++= 解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低 且恰好能浇灌到整个绿化带时 点D F 恰好分别在两条抛物线上∵DE =3∴设点(),0D m ()3,0E m + 213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭∵D 在下边缘抛物线上∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦解得 2.5m =代入21(2)0.508m h -+++= 得6532h =． 所以h 的最小值为6532． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题 构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图 以地面为x 轴 一名男生推铅球 铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y =0时x 的值 所以解方程即可求解本题． 【详解】 解：当y =0时 212501233x x -++= 解得：x 1=10 x 2=-2（不合题意 舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 把函数问题转化为方程问题来解 渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 其中y 是实心球飞行的高度 x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m【答案】C【解析】【分析】 根据题意待定系数法求解析式 再令0y = 即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 点A 的坐标为16(0,)9 ∴2161399k =-⨯+ 解得259k =∴2125(3)99y x =--+令0y = 2125(3)099x --+= 即()2325x -=解得12x =-（舍去）2,8x =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用 待定系数法求解析式 求二次函数与坐标轴的交点 掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图 球在点A 处离手 且1m OA =．第一次在点D 处落地 然后弹起在点E 处落地 篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点 最高点C 距地面的高度4m BC = 点E 到篮球框正下方的距离2m EF = 篮球框的垂直高度为3m ．据试验 两次划出的抛物线形状相同 但第二次的最大高度为第一次的12 以小明站立处点O 为原点 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框 他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）【答案】(1)()()2164043612y x x =--+≤≤ (2)篮球第二次的落地点E 到点O 的距离为23m ；(3)小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【解析】【分析】（1）设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠ 将()()0164A C ，、，代入即可求解； （2）将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得12626626x x =+=-，（3）令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-， 由()43468m OF OE EF =+=即可求解．(1)解：由题意知 ()()0164A C ，、， 设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠； 将()()0164A C ，、，代入表达式得 ()21064a =-+ 解得：112a =-； ∴()216412y x =--+； 令0y =得 ()4360D ，∴抛物线ACD 的函数解析式为()()2164043612y x x =--+≤≤； (2)由题意 将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得 ()2106212x =--+ 解得：12626626x x =+=-，∴(4366264326--= ∴432662643466+= ∴()434660E ，∴()4346623m OE =≈(3)令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-，()43468m OF OE EF =+=(()434686234623215.3m -+=≈∴小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为x米．(1)AB＝米（用含x的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为867 4【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB 的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7 x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26 不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21 符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,∵-3<0∴当x=172时S有最大值最大值为8674即最大面积为8674∵8674>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)2220(510)s x x x=-+<．(2)当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由AD x = 可得出202AB x =- 由墙长10米 可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再利用矩形的面积公式即可得出s 关于x 的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解． (1)解：AD BC x ==202AB x ∴=-．又墙长10米∴20210220x x -⎧⎨<⎩ 510x ∴<．2(202)220(510)s x x x x x ∴=-=-+<．(2)解：由（1）可知：()222202550s x x x =-+=--+∴当5x =时 矩形的场地面积最大 最大值为50；答：当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE 为正方形）的三条边围成 已知城门宽度为4米 最高处距地面6米．如图1所示 现以O 点为原点 OM 所在的直线为x 轴 OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式 并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米 高4.5米的消防车需要通过该城门 请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛 需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD 该“装饰门”关于抛物线对称轴对称 如图2所示 其中AB AD CD 为三根承重钢支架 A 、D 在抛物线上 B C 在地面上 已知钢支架每米70元 问搭建这样一个矩形“装饰门” 仅钢支架一项 最多需要花费多少元？【答案】(1)2124(04)2y x x x =-++ (2)能正常进入 理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y 轴交点E 的坐标 可设解析式为顶点式 进行求解 由城门宽度为4米知x 的取值范围是0≤x ≤4；（2）根据对称性当车宽3米时 x ＝12 求此时对应的纵坐标的值 与车高4.5米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和 再运用性质求最大值 可设点B 的坐标 表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知 抛物线的顶点(2,6)∴设抛物线的表达式为2(2)6y a x =-+ 抛物线过点(0,4)E446a ∴=+12a ∴=- ∴抛物线的表达式为21(2)62y x =--+ 即2124(04)2y x x x =-++； (2)解：由题意知 当消防车走最中间时 进入的可能性最大 即当12x =时 211124 4.875 4.5222y ⎛⎫=-⨯+⨯+=> ⎪⎝⎭∴消防车能正常进入；(3)解：设B 点的横坐标为m AB AD CD ++的长度为l由题意知42BC m =-即42AD m =- 21242CD AB m m ==-++221224(42)2122l m m m m m ⎛⎫∴=⨯-+++-=-++ ⎪⎝⎭当212(1)m =-=⨯-时 l 最大 l 最大21211213=-+⨯+= ∴费用为1370910⨯=（元）答：仅钢支架一项 最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在直角边BC 上 以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点） 根据相关信息 计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【答案】B【解析】【分析】根据题意 得出()cm PB a t =- 2cm BQ t = 在Rt PBQ ∆中 根据面积公式得到BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系2y t at =-+ 利用顶点式2224a a y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得出当2a t =时 y 有最大值为244a = 从而求出P Q 、运动时间是4t s = 求出4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间()s t cm AB a = 则cm AP t = 2cm BQ t =∴在Rt PBQ ∆中 90ABC ∠=︒ ()cm PB a t =- 2cm BQ t = 则()2221122224a a y PB BQ t a t t at t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当2a t =时 y 有最大值为244a = 解得4a = 即2t =根据BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系可知抛物线与x 轴交于()0,0和()4,0两点 即P Q 、运动时间是4t s =4cm,8cm AB BC ∴==在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理可得22224845cm AC AB BC +=+故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题 涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点 看懂题意 将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图 在矩形ABCD 中 BC ＞CD BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根 连接BD 并过点C 作CN ⊥BD 垂足为N 点P 从B 出发 以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动 到点A 为止 点P 与点M 同时出发 设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中 当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值 最大值是多少？【答案】(1)125(2)当4t =时 2425S =最大 【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC =4 CD =2 然后利用等积法求出CN ；（2）分0＜t ≤165 和165＜t ≤4两种情况列出函数解析式 利用二次函数的性质求出最大值． (1)解：27120x x -+=解得13x = 24x =∵BC CD >∴4BC = 3CD =∵四边形ABCD 是矩形 4BC = 3CD =∴5BD =∴113422BD CN ⋅=⨯⨯ ∴125CN =； (2) 由题可知 165BN =①当1605t <≤时 过点M 作MH ⊥BD 垂足为H设△PMN 的面积为S 则221116331638962255105105125S PN MH t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵816055<≤ ∴当85t =时96125S =最大 ②当1645t ≤＜时 111632255S PN MH t t ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 此时 S 随t 的增大而增大∴当4t =时 2425S =最大 综合①②知 当t =4时 △PMN 的面积取得最大值 最大值是2425 ． 【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题 解决问题的关键是根据t 值分情况列出函数解析式． 2．（2021·北京·九年级期中）如图 Rt ABC ∆中 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．动点P Q 分别从A C 两点同时出发 点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动 点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动 当P Q 到达终点C B 时 运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时 t 的值为 ．②设P C 之间的距离为y 则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系” “一次函数关系” “二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S。
苏教版九年级数学提优试题
九年级数学第⼆次提优试题1.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平⾏四边形(1)求∠D的度数；(2)E、F分别是AB、BC上的两点，且AE=CF，延长OE、CB交于点G，求证：∠COF=∠CGO(3)在第(2)⼩题的条件下，连接AC，交OE于点H，若OC=2， CF=1，求OH∶EH∶EG的值．2.如图1，已知直线y=2x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，(1)求点A、B的坐标以及线段AB的中点C的坐标；(2)已知点Q(a，1)，若△ABQ为直⾓三⾓形，求a的值；(3)如图2，已知P(8，0)，直线 l垂直平分AP，在l上画出点M，使∠BMP=∠BAP，请画出点M的位置(⼯具不限)并直接写出点M的坐标.3.如图，⊙O’经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA＞OB)的长分别是⽅程x 2-7x+12=0的两根．(1)如图(1)求⊙O’的直径；(2)如图(2)已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC 2=CD·CB时①请找出图中的⼀对相似并给予证明；②求C点的坐标．4.如图,已知直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点,P在以 为圆⼼,1为半径的圆上⼀动点,连结PA、PB,求 ⾯积的最⼤值？5.阅读材料：已知，如图（1），在⾯积为S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切圆O的半径为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个⼩三⾓形．∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=（a+b+c）r．∴r=．（1）类⽐推理：若⾯积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应⽤：如图（3），在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值．6. 图1和图2中，优弧AB所在⊙O的半径为2，AB=2．点P为优弧AB上⼀点（点P 不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．（1点O到弦AB的距离是 ______ ，当BP经过点O时，∠ABA′= ______ °；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长：（3）若线段BA′与优弧AB只有⼀个公共点B，设∠ABP=α．确定α的取值范围．。
最新北师大版初中数学分层提优训练九年级上第2章《一元二次方程》B卷(含详细答案及解析)
最新北师大版初中数学分层提优训练九年级上第2章《一元二次方程》B卷（含详细答案及解析）一、选择题1. 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，则参赛球队有A. 个B. 个C. 个D. 个2. 已知的值为，则代数式的值为A. B. C.3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是A. B. C. D.4. 一台电视机的成本价为元，销售价比成本价增加 .因库存积压，所以就按销售价的出售，那么每台电视机的售价为A. 元B. 元C. 元D. 元5. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共张，此小组人数为A. B. C. D.6. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为C. 或D.7. 设，是方程的两个实数根，则的值为A. B. C. D.8. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元．则平均每月降价的百分率为A. B. C. D.9. 如图，，是半径为的上的两点，且．点从点出发，在上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点运动结束．设运动时间为（单位：），弦的长为，那么下列图象中可能表示与函数关系的是A. ①B. ③C. ②或④D. ①或③10. 一元二次方程的根的情况是A. 无实数根B. 有一正根一负根C. 有两个正根D. 有两个负根二、填空题11. 某商场销售一款童装，平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价的措施．经调查，如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种童装盈利元，则每件童装应降价多少元?设每件童装应降价元，可列方程为．12. 已知关于的一元二次方程．方程两实数根分别为，，且满足，则的最后结果是．13. 如图是某种计算程序示意图，初始端输入后经式子处理后得到一个结果．若这个结果大于，则输出此结果；否则就将这一次得到的结果作为输入的再次运行程序，直到输出结果为止．（）当初始端输入时，输出的结果是；（）若该程序满足条件：存在实数，当初始端输入时，该程序的运算无法停止（即会一直循环运行），请写出一个符合条件的的值：．14. 一个容器盛满纯药液，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液15. 方程的根是．16. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班同学各送一张留作纪念，全班共送了张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为．17. 若两个连续奇数的积为，则这两个数为．18. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是．（填上一个你认为正确的即可）19. 已知，，，是整数，且，若，，，满足方程，则．20. 在实数范围内定义一种运算“”，其规则为 .根据这个规则，方程的解为．三、解答题21. 解方程：．22. 解方程：．23. 已知关于的方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两个实数根都是整数，求整数的值．24. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 ?25. 方法介绍：同学们，生活中的很多实际问题，我们往往抽象成数学问题，然后通过数形结合建立数学模型的方式来解决．例如：学校举办足球赛，共有五个球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，问该学校一共要安排多少场比赛?这是一个实际问题，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），如图①所示，其中每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把他们连起来，其中连接线段的条数就是安排比赛的场数．这样模型就建立起来了，如何解决这个模型呢?由于每个队都要与其他各队比赛一场，即每个点都要与另点连接一条线段，这样个点应该有条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以学校一共要安排场比赛．（1）学以致用：①根据图②回答：如果有个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛；②根据规律，如果有个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛．（2）问题解决：①小明今年参加了学校新组建的合唱队，老师让所有人每两人相互握手，认识彼此（每两人之间不重复握手）．小明发现所有人握手次数总和为次，那么合唱队有多少人?②A，B，C，D，E五人参加一次会议，见面时他们相互握手问好，每两人之间不重复握手．已知A已经握了次，B已经握了次，C已经握了次，D已经握了次，请利用图③分析E已经和哪些人握手了．（3）问题拓展：根据上述模型的建立和问题的解决，请你提出一个问题，并进行解答．26. 已知关于的方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）已知方程的一个根为，求代数式的值．27. 山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每天可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每天的销售可增加千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元?（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售?28. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）当时，求的值．29. 判断下列方程后面括号里的数是否为一元二次方程的根．（1））（2）．（，）30. 已知关于的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，实数的值．答案第一部分1. C2. B3. D4. B5. C6. A7. B 【解析】，是方程的两个实数根，， ...8. C9. D10. C【解析】，，整理得：，则，，解得：，，故方程有两个正根．第二部分11.12.13. ，【解析】（）当时，代数式；当时，，则输出的结果是．（）根据题意得，解得，，取符合其中的一个数即可．14.15. ，16.17. 和或和【解析】设连续两个奇数分别为，，则根据题意得，解得，分别代入得这两个数为和或和18. 或或19.20. ，第三部分21. 将原方程化为一般形式，得这里，，．，，即22. 移项，得即则所以，．23. （1），是关于的一元二次方程．．方程总有两个不相等的实数根．（2）由求根公式，得．，．方程的两个实数根都是整数，且是整数，或．24. 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为，由题意得化简，得解得：当时，，当时，，答：所围矩形猪舍的长为、宽为25. （1）①；②【解析】①有个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排比赛的场数是：．②个班级的足球队参加比赛，学校一共要安排场比赛．（2）①设合唱队有人，则整理得，解得，答：合唱队有人；②如图，E和 A，B握手了．（3）提出的问题：班级分组举办“两人三足”游戏，要求每个组的每个同学都要与组内其他同学组成一队，进行五十米折返跑，最后计算小组总时间来决定胜负．已知该游戏分为组，每组要折返跑次，那么这个班级一共有多少人?问题解答：设每组人数为人，有解得即每组有人，则班级总人数为（人），答：这个班级一共有人．26. （1），方程总有两个不相等的实数根．（2）是方程的一个根，把代入方程，得，．当方程的一个根为时，代数式的值是．27. （1）解：设每千克核桃应降价元．根据题意，得化简，得解得答：每千克核桃应降价元或元．（2）由（1）可知每千克核桃可降价元或元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价元．此时，售价为：（元），．答：该店应按原售价的九折出售．28. （1） \因为原方程有两个不相等的实数根，所以解得且．（2）..又且，.．29. （1）当时，；当时，．都是方程的根．（2）当时，；当时，．所以不是方程的根，是方程的根．30. （1）根据题意可知，解得实数的取值范围是．（2）根据根与系数的关系可知，．，，即．，解得．又，不合题意舍去，．。
【学霸提优】2023学年九年级数学上册专题提优训练(人教版) 一元二次方程根与系数的关系(解析版))
一元二次方程根与系数的关系考点一 已知一元二次方程的一个解 根据根与系数的关系求另一个解考点二 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题考点一 已知一元二次方程的一个解 根据根与系数的关系求另一个解例题：（2022·陕西·西安铁一中分校三模）若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2 则另一个根是（ ）A ．6B ．3C ．3-D ．7-【答案】B【解析】【分析】由根和系数的关系即可求得方程的另一个根．【详解】解：设另一个根为m 由根和系数的关系有：25m +=解得3m =故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程根和系数的关系 熟练掌握相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏南京·二模）关于x 的方程x 2+bx −2=0有一个根是1 则方程的另一个根是______．【答案】-2【解析】【分析】设方程的另一个根为t 根据根与系数的关系得到1×t =-2 然后解一次方程即可．【详解】解：设方程的另一个根为t根据题意得1×t=-2解得t=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时x1+x2=-bax1x2=ca．2．（2022·四川成都·二模）已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1则此方程的另一个根为_____．【答案】-4【解析】【分析】设该方程的两根为x1x2根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和结合“已知关于x的方程x2+3x+m＝0的一个根是1” 即可得到答案．【详解】设该方程的两根为x1x2则x1+x2＝﹣3∵该方程的一个根为1∵另一个根为：﹣3﹣1＝﹣4故答案为：﹣4．【点睛】本题考查了根与系数的关系一元二次方程的解正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．考点二根据一元二次方程的根与系数的关系求参数问题例题：（2022·江苏南京·模拟预测）已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根是x1x2且x1+x2＝4则m的值为__．【答案】-1【解析】【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2（m﹣1）＝4再解方程即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m ﹣1）x ﹣4m ＝0的两个实数根是x 1和x 2 且x 1+x 2＝4∵由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣2（m ﹣1）＝4解得：m ＝﹣1故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．【变式训练】1．（2022·四川泸州·中考真题）已知关于x 的方程()22210x m x m --+=的两实数根为1x 2x 若()()12113++=x x 则m 的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．3-或3D ．1-或3【答案】A【解析】【分析】利用根与系数的关系以及()22=2140∆--≥m m 求解即可．【详解】 解：由题意可知：1221221x x m x x m+=-⎧⎨⋅=⎩ 且()22=2140∆--≥m m ∵()()121212111=3++=⋅+++x x x x x x∵()22113+-+=m m 解得：3m =-或1m =∵()22=2140∆--≥m m 即14m ≤∵3m =-故选：A【点睛】 本题考查根与系数的关系以及根据方程根的情况确定参数范围 解题的关键是求出14m ≤再利用根与系数的关系求出3m =-或1m =（舍去）． 2．（2022·四川泸州·二模）已知12,x x 是关于x 的一元二次方程222230x ax a a -+--=两个实数根 且221222x x += 则a ＝______．【答案】2【解析】【分析】 先根据一元二次方程根的判别式可得32a ≥- 再根据一元二次方程的根与系数的关系可得1212,x x x x + 然后根据221222x x +=建立方程 解方程即可得．【详解】解：由题意 此方程根的判别式2244)02(3a a a ∆--=-≥ 解得32a ≥- 12,x x 是关于x 的一元二次方程222230x ax a a -+--=两个实数根2121222,231a x x a a x a x -∴+=--=-= 2222121212(4)226x x x x a x x a ∴-=+++=+221222x x +=262224a a +∴=+解得2a =或342a =-<-（舍去） 故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解一元二次方程等知识点 熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．考点三 根据一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值例题：（2021·江西九江·九年级期中）若1x 2x 是方程22340x x --=的两个根 则1212x x x x ++的值为__________． 【答案】12- 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵1x 2x 是方程22340x x --=的两个根 ∵213322x x -+=-= 12422x x -==- ∵121212x x x x ++=- 故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系 熟知一元二次方程根于系数的关系式解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川眉山·中考真题）设1x 2x 是方程2230x x +-=的两个实数根 则2212x x +的值为________．【答案】10【解析】【分析】由根与系数的关系 得到122x x +=- 123x x =- 然后根据完全平方公式变形求值 即可得到答案．【详解】解：根据题意∵1x 2x 是方程2230x x +-=的两个实数根∵122x x +=- 123x x =-∵2212122212()2(2)2(3)10x x x x x x =+-=--⨯-=+；故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 完全平方公式变形求值 解题的关键是掌握得到122x x +=- 123x x =-．2．（2022·全国·九年级）如果m 、n 是两个不相等的实数 且满足m 2﹣m ＝3 n 2﹣n ＝3 那么代数式2n 2﹣mn ＋2m ＋2021＝___．【答案】2032【解析】【分析】由题意得m n 是x 2﹣x ﹣3＝0的两个不相等的实数根 则根据根与系数的关系可知：m +n ＝1 mn ＝﹣3 则2n 2﹣mn +2m +2021＝2（n +3）﹣mn +2m +2021＝2n +6﹣mn +2m +2021＝2（m +n ）﹣mn +2027 代入求解即可．【详解】由题意可知：m n 是两个不相等的实数 且满足m 2﹣m ＝3 n 2﹣n ＝3所以m n 是x 2﹣x ﹣3＝0的两个不相等的实数根所以m +n ＝1 mn ＝﹣3 又n 2＝n +3所以2n 2﹣mn +2m +2021＝2（n +3）﹣mn +2m +2021＝2n +6﹣mn +2m +2021＝2（m +n ）﹣mn +2027＝2×1﹣（﹣3）+2027＝2+3+2027＝2032；故答案为：2032．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系 解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数 然后利用根与系数的关系式求值．考点四 一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题例题：（2022年四川省南充市中考数学试卷）已知关于x 的一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为12,x x 若()()12111x x ++=- 求k 的值．【答案】(1)k 174≤； (2)k =3【解析】【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k -2）≥0 解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到12123,2x x x x k -+==- 将等式左侧展开代入计算即可得到k 值．(1)解：∵一元二次方程2320x x k ++-=有实数根．∵∆≥0 即32-4（k -2）≥0解得k 174≤(2)∵方程的两个实数根分别为12,x x∵12123,2x x x x k -+==-∵()()12111x x ++=-∵121211x x x x +++=-∵2311k --+=-解得k =3．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式 一元二次方程根与系数的关系式 熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2022·湖南·双牌县教育研究室模拟预测）已知关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x 2x 两个实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若11x = 求2x 及m 的值；(3)是否存在实数m 满足()()12229m x x --=-？若存在 求出实数m 的值？若不存在 请说明理由．【答案】(1)5m ≤(2)25x =；3m =(3)存在；3或32 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根 得到根的判别式大于等于0 求出m 的范围即可；（2）利用根与系数的关系求出两根之和 把x 1的值代入计算求出x 2 进而求出m 的值即可； （3）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积 代入已知等式计算 判断即可．(1)解：∵关于x 的一元二次方程26210x x m -+-=有1x 2x 两个实数根∵2(6)4(21)0m ∆=---≥解得5m ≤；(2)解：∵126x x += 11x = 1221x x m =-∵25x =∵1521m ⨯=-解得3m =；(3)解：存在 理由如下：∵126x x += 1221x x m =- ()()12229m x x --=-∵()()1212249m x x x x -++=-⎡⎤⎣⎦∵()211249m m --+=-⎡⎤⎣⎦整理得22990m m -+=∵2(9)429817290∆=--⨯⨯=-=> ∵934m ±= 解得13m = 232m =． 【点睛】此题考查了根与系数的关系 以及根的判别式 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的判别式意义是解本题的关键．2．（2022·湖北荆门·一模）已知关于x 的一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=．(1)求证：无论a 为任何非零实数 此方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根分别为1x 、2x 且212x x -= 求a 的值．【答案】(1)见解析；(2)11a = 213a =- 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系 结合完全平方公式的变形求值即可．(1)解：∵一元二次方程2(31)210ax a x a -+++=2(31)4(21)a a a ∆=+-+221a a =++2(1)0a =+≥∵无论a 为任何非零实数 此方程总有两个实数根；(2)解：依题意得 1231a a x x ++= 1221a ax x += ∵212x x -= ∵21212()44x x x x +-= ∵2314(21)()4a a a a++-= 即23210a a --= （3a +1）（a -1）=0解得11a = 213a =-； 【点睛】本题考查了一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-及根与系数的关系12b x x a+=- 12c x x a=．一、选择题1．（2022·宁夏固原·一模）已知方程220x mx ++=的一个根是1 则它的另一个根是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．3【答案】B【解析】【分析】设方程的另一个根为x 1 根据两根之积等于c a 即可得出关于x 1的一元一次方程 解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为x 1 根据题意得：11x ⨯ =2 解得 x 1=2．故选:B ．【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及解一元一次方程 牢记一元二次方程ax ²+bx +c =0(a ≠0)的两根之积等于c a是解题的关键． 2．（2022·江苏·滨海县第一初级中学三模）若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根 则12x x ⋅的值是（ ）A ．3B ．-3C ．5D ．-5 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可；【详解】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根 ∵12551x x -==-故选：D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若1x 、2x 是一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的两根 则12b x x a +=- 12cx x a=．3．（2022·湖北省直辖县级单位·二模）设方程230x x -=两个根为1x 、2x 则2212x x +=（ ）A ．9+B ．9-C ．9D ．9【答案】A 【解析】 【分析】()2221212122x x x x x x +=+- 由韦达定理可知 123x x += 12x x = 代入即可求解．【详解】()2221212122x x x x x x +=+-由韦达定理可知 123x x += 12x x =则2212x x +=(2329-⨯=+故选A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系 熟练利用完全平方公式进行变形是解题的关键．4．（2022·广东汕头·一模）若p 、q 是一元二次方程2490x x +-=的两个根 则23p p q +-的值是（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．13【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得4p q +=- 再根据一元二次方程的解的意义得2490p p +-= 即239p p p +=- 再把4p q +=-代入计算即可．【详解】∵p 、q 是一元二次方程2490x x +-=的两个根∵4p q +=- 2490p p +-= ∵239p p p +=- ∵23p p q +- 9p q =--()9p q =-+ ()94=--13=．故选D ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义和根与系数的关系 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．5．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x 且满足122x x = 则12x x +的值为（ ）A ．4B ．-4C ．4或-2D ．-4或2【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系 根的判别式及解一元二次方程可求出m 的值 即可求解． 【详解】关于x 的一元二次方程2220x mx m m ++-=的两实数根为12,x x212122,x x m x x m m ∴+=-⋅=- 22(2)4()40m m m m ∆=--=>0m ∴>122x x = 即22m m -= 解得2m =或1- 2m ∴=12224x x ∴+=-⨯=-【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 根的判别式及解一元二次方程 如果方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个实数根是12,x x 那么12b x x a +=- 12cx x a=；也就是说 对于任何一个有实数根的一元二次方程 两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 二、填空题6．（2022·山东济南·二模）已知关于x 的方程230x x m +-=的一个根为3- 则它的另一个根为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】由于已知方程的二次项系数和一次项系数 所以要求方程的另一根 可利用一元二次方程的两根之和与系数的关系． 【详解】解：设a 是方230x x m +-=的另一个根 则a +（-3）=-3 即a =0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了根与系数的关系 一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0） 当方程有解 即b 2-4ac ≥0时 设方程的解分别为x 1 x 2 则有1212,b cx x x x a a+=-⋅=．7．（2022·江苏·南京市花园中学模拟预测）设1x 2x 是关于x 的方程220x kx k -+-=的两个根 121x x =+ 则12x x =_____． 【答案】1- 【解析】 【分析】运用根与系数关系定理 具体化求解即可．解：∵12x x 、是关于x 的方程x 2﹣kx +k ﹣2＝0的两个根 121x x =+ ∵121x x =+＝k 12x x ＝k ﹣2 ∵12x x ＝1﹣2＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系 熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键．8．（2022·山东·济宁学院附属中学三模）已知m n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根 则代数式2m n -的值等于___________． 【答案】2022 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到220210m m +-= 得到22021m m =-+()220212021m n m n m n -=-+-=-+ 根据根与系数的关系得出式子的值．【详解】解：∵m n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根 ∵111b m n a +=-=-=- 220210m m +-= 即22021m m =-+ ∵22021m n m n -=-+- ()2021m n =-+ ()20211=--20211=+ 2022=故答案为：2022． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根 根与系数的关系 求代数式的值 根据题意得出22021m m =-+ 熟练掌握根与系数的关系：12b x x a +=- 12cx x a= 是解题的关键．9．（2022·四川眉山·九年级期中）设a 、b 是方程220220x x -+=的两个实数根 则(1)(1)a b --的值为__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a +b 、ab 的值 再把(1)(1)a b --展开再整体代入即可求得结果． 【详解】∵a 、b 是方程220220x x -+=的两个实数根 ∵a +b =1 ab =2022∵(1)(1)()12022112022a b ab a b --=-++=-+= 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系 多项式乘法 整体代入法求代数式的值等知识 利用一元二次方程根与系数的关系并用多项式乘法展开是解题的关键．10．（2022·四川成都·二模）已知关于x 的一元二次方程2210x x m -++=有两个实数根分别为1x 2x ．若2212126x x x x ++= 则m 的值为______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得出122x x +＝ 121x x m ⋅+＝ 代入求出即可． 【详解】∵关于x 的一元二次方程2210x x m -++=有两个实数根1x 2x ∵122x x +＝ 121x x m ⋅+＝∵2212126x x x x ++=即有21212()6x x x x +-=∵4-(m +1)=6解得：m =-3经检验当m =-3时 方程有两个解 故答案为-3． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系 能根据根与系数的关系得出关系式122x x +＝和121x x m ⋅+＝是解此题的关键． 三、解答题11．（2022·全国·九年级）已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=．(1)k 取什么值时 方程有两个实数根；(2)如果方程有两个实数根12,x x 且12||x x = 求k 的值． 【答案】(1)k ≥32(2)k =32【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式 即可求解；（2）分两种情况讨论：当x 1≥0时 x 1=x 2；当x 1＜0时 得x 2=-x 1 再根据一元二次方程根与系数关系和根的判别式 即可求解． (1)解：∵=[-（k +1）]2-4（14k 2+1）=2k -3∵当∵≥0 方程有两个实数根 ∵2k -3≥0 解得∵k ≥32∵当k ≥32时 方程有两个实数根；(2)解∵由|x 1|=x 2 ①当x 1≥0时 x 1=x 2 ∵方程有两个相等实数根 ∵∵=0 即2k -3=0∵k=32．又当k=32时有x1=x2=52＞0∵k=32符合条件；②当x1＜0时得x2=-x1∵x1+x2=0由根与系数关系得k+1=0∵k=-1由（1）知与当k≥32矛盾∵k=-1舍去综上可得k=32．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数关系和根的判别式熟练掌握一元二次方程根与系数关系和根的判别式是解题的关键．12．（2022·四川攀枝花·九年级期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．(1)求k的取值范围；(2)若方程的两根x1x2满足（x1+1）（x2+1）＝4求k的值．【答案】(1)k≥﹣3且k≠1(2)2【解析】【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式并使k﹣1≠0即可得出结论．（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝41k-x1x2＝﹣11k-再将它们代入（x1+1）（x2+1）＝4即可求出k的值．(1)解：（1）∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根．∵k﹣1≠0∆＝b2﹣4ac≥0即（﹣4）2﹣4×（k﹣1）×（﹣1）≥0∵k ≥﹣3且k ≠1． (2)解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣1＝0的两根为x 1 x 2 ∵x 1+x 2＝41k - x 1x 2＝﹣11k -． ∵（x 1+1）（x 2+1）＝4 ∵（x 1+x 2）+x 1x 2+1＝4 即41k -﹣11k -+1＝4 整理 得：k ﹣1＝1 解得：k ＝2经检验 k ＝2是方程的解 ∵k ＝2． ∵k 的值为2． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系 解题关键是熟练运用根与系数关系列出方程或不等式． 13．（2022·福建泉州·九年级期末）关于x 的一元二次方程2310x x k -++=有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果12,x x 是方程的两个解 令221212=++w x x x x k 求w 的最大值．【答案】(1)54k ≤ (2)8 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0 即可得出关于k 的一元一次不等式 解之即可得出k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝3 x 1•x 2＝k ＋1 结合w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k 由增减性可求w 的最大值． (1)解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2−3x ＋k ＋1＝0有实数根 ∵Δ＝b 2−4ac ＝（−3）2−4×1×（k ＋1）≥0解得：k ≤54∵k 的取值范围为k ≤54；(2)∵x 1 x 2是关于x 的一元二次方程x 2−3x ＋k ＋1＝0的两个解 ∵x 1＋x 2＝3 x 1•x 2＝k ＋1．∵w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k ＝x 1x 2（x 1＋x 2）＋k ＝3（k ＋1）＋k ＝4k ＋3 ∵k ＝54时 w 的最大值为4×54＋3＝5＋3＝8．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式 解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时 方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合w ＝x 1x 22＋x 12x 2＋k 根据增减性可求w 的最大值． 14．（2021·湖南湘西·九年级期中）已知关于x 的方程()()22140.50x k x k -++-= (1)求证：不论k 取什么实数值 这个方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为4a = 另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两个根 求∵ABC 的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)∵ABC 的周长为10 【解析】 【分析】（1）由题意知 ∆()()221440.5k k =+-⨯- 判断∆与0的大小关系 进而可证结论； （2）由题意知 ()21211k b c k -++=-=+ 分两种情况求解：①当边长4a =为底边时 则b c = 根据∆()2230k =-= 计算求解,,k b c 的值 然后判断三边关系是否能构成等腰三角形 进而可求周长；②当边长4a =为等腰三角形的腰时 则4是方程的根 将4x = 代入一元二次方程得()()2442140.50k k -++-= 计算求解,,k b c 的值 然后判断三边关系是否能构成等腰三角形 进而可求周长． (1)证明：由题意知 ∆()()221440.5k k =+-⨯- 24129k k =-+()223k =-∵∆≥0∵不论k 取什么实数值 这个方程总有实数根． (2)解：由题意知 ()21211k b c k -++=-=+ ①当边长4a =为底边时 则b c = ∵∆()2230k =-= ∵32k∵214b c k +=+= ∵b c a +=∵不满足三角形三边的关系 舍去；②当边长4a =为等腰三角形的腰时 则4是方程的根将4x = 代入一元二次方程得()()2442140.50k k -++-=解得52k =∵52+162b c +=⨯= 2c =∵此时 ABC 的三边长为2 4 4∵10a b c ++=∵此时ABC 的周长为10 综上所述 ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的个数 一元二次方程的解与系数的关系 等腰三角形的性质 构成三角形的三边关系等知识．解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的解．15．（2021·四川内江·一模）已知关于x 的一元二次方程：22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若原方程的两个实数根为1x 、2x 且满足1212||||23x x x x +=- 求k 的值． 【答案】(1)14k <且0k ≠(2)13- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∵Δ=（1-2k ）2-4k 2>0且k 2≠0 然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）利用根与系数的关系得到12221k x x k -∴+= 1221x x k = 加上k<14且k ≠0 则可判断x 1<0 x 2<0 所以-x 1-x 2=2x 1x 2-3 即-（x 1+x 2）=2x 1x 2-3．则222123k k k --=- 然后解方程求出k 即可得到满足条件的k 的值． (1)解： 关于x 的一元二次方程22(12)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根∴△22(12)40k k =-->且20k ≠ 解得14k <且0k ≠ k ∴的取值范围是14k <且0k ≠； (2) 解：原方程的两个实数根为1x 、2x12221k x x k -∴+= 1221x x k= 而14k <且0k ≠； 122210k x x k -∴+=< 12210x x k => 10x ∴< 20x <1212||||23x x x x +=-121223x x x x ∴--=- 即1212()23x x x x -+=-． ∴222123k k k--=- 整理得23210--=k k解得：11k = 213k =-． 又14k <且0k ≠11k ∴=不合题意 舍去．经检验 213k =-是方程222123k k k --=-的解． k ∴的值为13-． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1 x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时 x 1+x 2=-b a x 1x 2=c a．也考查了根的判别式．。
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》同步提优测评【含答案】
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》同步提优测评一、单选题（共10小题，每小题3分，共计30分）1．若一元二次方程()222(2)31540a x a x a -+++-=的常数项是0，则a 为（ ） A ．2B ．±2C ．－2D ．－102．下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．230x x ++=B ．2210x x ++=C ．220x -=D ．2230x x --=3．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ） A ．（x ﹣3）2＝3 B ．（x ﹣3）2＝6 C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝124．若关于x 的一元二次方程2230kx x --=有实数根，则字母k 的取值范围是（ ） A ．12k -B ．12k -且0k ≠C ．13k -D ．13k -且0k ≠5．关于x 的一元二次方程x 2﹣kx+2k ﹣1=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=7，则（x 1﹣x 2）2的值是（ ）A ．13或11B ．12或﹣11C ．13D ．126．已知a ，b 是一元二次方程2220200x x --=的两个根，则223a b +-的值等于（ ） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20237．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ） A ．2-B ．4-C ．2D ．48．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则x 的值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．109．某市2020年投入教育经费2000万元，计划2022年投入教育经费比2020年增加480万元，若2020年至2022年该市投入教育经费的年平均增长奉为x 则可列方程为（ ） A ．22000(1)2000(1)480x x +=++ B ．22000(1)2000(1)x x +=+ C ．22000(1)2000480x +=+ D ．2000(1)2000480x +=+10．如图是清朝李演撰写的《九章算术细草图说》中的“勾股圆方图"，四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边，其中BC 是斜边，若:8:9,2HM EM HD ==，则AB 的长为（ ）A ．114B ．2910C ．3D ．22二、填空题（共10小题，每小题3分，共计30分）11．若关于x 的一元二次方程2(1)20x m x +++=的一个根是1-，则另一个根是_________． 12．已知m ，n 是方程2210x x --=的两实数根，则11m n+=_______． 13．已知三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x 2－4x ＋3＝0的一个根，则这个三角形的周长为____________．14．已知1x ，2x 是一元二次方程20x x k -+=的两实根，且222124x x k +=，则k 的值是________．15．已知关于x 的一元二次方程22240x x k -+-=有两个不相等的实数根，则： （1）字母k 的取值范围为____________；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，那么k 的值为____________．16．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如()32x x x x px q =⋅=-=，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且x ＞0，则4323x x x -+的值为______．17．如图，在△ABC 中，AC ＝50cm ，BC ＝40cm ，∠C ＝90°，点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以2cm/s 的速度匀速移动，同时另一点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以3cm/s 的速度匀速移动，当△PCQ 的面积等于300cm 2时，运动时间为__．18．若方程2560x x +-=的两根为1x ，2x ，则12x x -=_____．19．在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________． 20．已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则21a +3β的值为________． 三、解答题（共6小题，每小题10分，共计60分） 21．用指定方法解下列方程： （1）2420x x +-=（配方法）； （2）2(2)3(2)x x -=-（因式分解法）； （3）22410x x --=（公式法）．22．阅读下列材料，解答问题． 222(25)(37)(52)x x x -++=+．解：设25,37m x n x =-=+，则52m n x +=+， 原方程可化为222()m n m n +=+，0mn，即(25)(37)0x x -+=．250x ∴-=或370x +=，解得1257,23x x ==-． 请利用上述方法解方程：222(45)(32)(3)x x x -+-=-．23．已知关于x 的一元二次方程()()22310x m x m -++-=．（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求m 的取值范围．24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +1）x +2k ﹣3＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）等腰三角形ABC中，AB=3，若AC、BC为方程x2﹣（k+1）x+2k﹣3＝0的两个实数根，求k 的值．25．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000．（1）若商场连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台；当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台．若商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的售价应为多少元？26．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，过点E作EF⊥AC，交边AD，AB于点F，H，连接CF，CH．（1）求证：CF＝CH；（2）若正方形ABCD的边长为1，当△AFH与△CDF的面积相等时，求AE的长．答案1．C 解：由题意得2a 20a 4=0≠⎧⎨⎩－－ ，解得：a=﹣2．故选C ．2．A解：A 、2=1413=-110-⨯⨯<，方程没有实数根，故本选项正确； B 、2=2411=0-⨯⨯，方程有两个相等的实数根，故本选项错误； C 、2=04(2)=8>0-⨯-，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；D 、2=(-2)41(3)=160-⨯⨯->，方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选：A ． 3．D解:由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12， 配方得；（x ﹣3）2＝12． 故选：D ． 4．D解：根据题意得k≠0且△=（-2）2-4k×(-3)≥0，解得13k -且k≠0．故选：D ．5．C解：∵关于x 的一元二次方程x 2-kx+2k-1=0的两个实数根分别是x 1、x 2， ∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=2k-1，∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=7，即k 2-4k-5=0， 解得：k 1=-1，k 2=5．当k=-1时，原方程为x 2+x-3=0， ∴△=12-4×1×（-3）=13＞0，∴k=-1符合题意，此时x 1+x 2=-1，x 1x 2=-3， ∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=13； 当k=5时，原方程为x 2-5x+9=0， ∴△=（-5）2-4×1×9=-11＜0， ∴k=5不符合题意，舍去．综上可知：（x 1-x 2）2的值是13．故选C ． 6．B解：∵a ，b 是一元二次方程2220200x x --=的两个根， ∴a 2-2a=2020，由根与系数的关系可知：a+b=2，∴原式=a 2-2a+2a+2b-3，=2020+2（a+b ）-3=2020+2×2-3=2021， 故选B ． 7．B解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0, ()12121x x x x ∴-++＜0, ()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B 8．D解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人， 第一轮传染后患流感的人数是：1+x ， 第二轮传染后患流感的人数是：1+x +x （1+x ），而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程：1+x +x （1+x ）＝121． 解得：x 1＝10，x 2＝﹣12（舍去）， 即每轮传染中平均一个人传染了10人， 故选：D ． 9．A解：2020年至2022年该市投入教育经费的年平均增长率为x ， 2020年投入教育经费2000万元，∴2021年投入教育经费为2000(1)x +，2022年投入教育经费为2000(1)480x ++，由题意得，22000(1)2000(1)480x x +=++， 故选A ． 10．B解：∵四边形ABCD ，四边形EBGF ，四边形HNQD 均为正方形，2HD =， ∴,,2AB BC AD BE BG NQ HD =====，四边形AEMH 是矩形， ∴AH =EM ，HM =AE ，∵,AE AB BE CG BC BG =-=-， ∴CG AE =，由: 8:9HM EM =可设8,9HM x EM x ==， ∴29,8AD BC x CG AE x ==+==， ∴2982BG BC CG x x x =-=+-=+， ∵BG ，NQ ，BC 是某个直角三角形的三边， ∴222BG NQ BC +=，即()()2222229x x ++=+， 解得：1211,102x x ==-（不符合题意，舍去）， ∴129291010AB BC ==+⨯=；故选B ． 11．-2解：方法一，把-1代入方程2(1)20x m x +++=，得， 1(1)20m -++=，解得，m=2，代入原方程得，2320x x ++=， 解得，121,2x x =-=-，故-2； 方法二，设另一个根是a ，根据根与系数关系，a ×（-1）=2，a =-2， 故-2 12．-2解：∵m ，n 是方程x 2−2x−1＝0的两实数根， ∴m ＋n ＝2，mn ＝−1， ∴11m n+=m n n m +＝21-＝−2．故-2．13．8解：由题可知：()()243130x x x x -+=--=121 3x x ∴==．123+>不成立，∴由三角形的三边关系可知它的第三边长为3， ∴三角形周长为2+3+3=8．故8．14解：∵1x ，2x 是一元二次方程20x x k -+=的两实根，∴()224140b ac k =-=--≥∴14k ≤∵121x x =+，12x x k •=，又∵2222121212()24x x x x x x k +=+-=，∴2124k k -=，解得：k = ∵14k ≤∴k =15．52k < 2解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k ＞0， 解得：k ＜52，故k ＜52；（2）由k 为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为 ∵方程的解为整数， ∴5-2k 为完全平方数， 则k 的值为2， 故2．16．解：210--=x x ，21x x ∴=+3221(21)x x x x x x x x ∴==⋅=+=++432(21)222(1)3x x x x x x x x x x ∴==⋅=⋅++==+++ 4332323622(2132)2x x x x x x x x x ∴-+=-+=+-=++,解210x x --=得， 1,1,1a b c ==-=- 24145b ac -=+=0xx ∴==4323221x x x x ∴-+===故 17．5s解：设x 秒后，△PCQ 的面积等于300m 2，有：12（50﹣2x ）×3x ＝300，∴x 2﹣25x ＋100＝0， ∴x 1＝20，x 2＝5．当x ＝20时，CQ ＝3x ＝3×20＝60＞BC ＝40， 即x ＝20s 不合题意，舍去．答：5秒后，△PCQ 的面积等于300cm 2． 故答案是：5s ． 18．7解：∵x 1、x 2是方程2560x x +-=的两个实数根， ∴x 1+x 2=-5，x 1x 2=-6，∴12-=x x ；故719．20%解：设这个增长率为x ，由题意得20000(1+x)2=28800，(1+x)2=1.44，1+x=±1.2，所以x 1=0.2，x 2=-2.2（舍去），故x=0.2=20%．故答案是：20%．20．10解：∵α2+3α﹣1＝0，∴（21a ）-3（1a ）-1=0，∵实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1， ∴1a 、β是方程x 2﹣3x ﹣1＝0的两根， ∴1a +β＝3， a β＝﹣1，2131a a =+，∴原式＝1+3a +3β＝1+3（1a +β）＝1+3×3＝10，故答案为10．21．（1）1222x x =-=-（2）122,5x x ==；（3）1211x x ==解：（1）等式两边加6，得2446x x ++=由完全平方公式得，2(2)6x +=2x ∴+=2x +=所以原方程的解为1222x x =-=-（2）移项得，2(2)3(2)0x x ---=提取公因式，得(2)(5)0x x --=解得122,5x x ==所以原方程的解为122,5x x ==；（3）24421240∆=+⨯⨯=>由求根公式得x =即1=x所以原方程的解为1211x x =+=22．x 1=54，x 2=23解：（4x -5）2+（3x -2）2＝（x -3）2，设m ＝4x -5，n ＝3x -2，则m -n ＝（4x -5）-（3x -2）＝x -3，原方程化为：m 2+n 2＝（m -n ）2，整理得：mn ＝0，即（4x -5）（3x -2）＝0，∴4x -5＝0，3x -2＝0，∴x 1=54，x 2=23．23．解：（1）依题意得：222[(2)]43(1)816(4)0m m m m m ∆=-+-⨯-=-=-≥+，∴方程()()22310x m x m -++-=有两个实数根．（2）依题意得：∴(2)(4)2m m x +±-=，即11x m =-，23x =．∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，∴110x m =-<，∴1m <．24．解：（1）∵△=[﹣(k +1)]2﹣4×1×(2k ﹣3)=k 2+2k +1﹣8k +12=(k -3)2+4，∵无论k 为何实数，(k -3)2≥0，∴(k -3)2+4＞0，∴无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵AC 、BC 为方程x 2﹣(k +1)x +2k ﹣3=0的两个实数根，由（1）可得，AC ≠BC ，∵△ABC 为等腰三角形，∴AC =AB =3或BC =AB =3，∴方程x 2﹣(k +1)x +2k ﹣3＝0必有一根为x =3，∴32﹣3(k +1)+2k ﹣3=0，解得k =3．25．（1）10%；（2）每台售价为2750元解：（1）设每次降价的百分率为x ，由题意可得：23000(1)2430x -=，∴2(1)0.81x -=∴10.9x -=±解得：120.110%, 1.9===x x （舍），答：每次降价的百分率是10%；（2）假设下调a 个50元，依题意得：5000=（2900-2500-50a ）（8+4a ）．解得a =3．所以下调150元，因此定价为2750元．26．解：（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠FAE ＝∠HAE ＝45°，∵EF ⊥AC ，∴∠AEF ＝∠AEH ＝90°，在△AEF 和△AEH 中，FAE HAEAE AE AEF AEH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△AEH （ASA ）， ∴EF ＝EH ，∴AC 垂直平分FH ， ∴CF ＝CH ；（2）解：设AE ＝x ，则AF，DF ＝，FH ＝2AE ＝2x ， ∵△AFH 与△CDF 的面积相等， ∴12•2x •x ＝12×1•（）， 整理得2x 2x −1＝0，解得1x =2x =，∴AE．。
九年级数学提优练习题二 试题
轧东卡州北占业市传业学校江都区九年级数学提优练习题二〔〕 教1.方程22(2)(3)20m m xm x --+--=是一元二次方程，那么____m =. 2.x 2+3x+5的值为11，那么代数式3x 2+9x+12的值为 .3．假设2x 2－3xy －20y 2=0，且 y ≠0， 那么x y= _________. 4．关于x 的方程0)12(2=++-a x a x 的根的情况〔 〕〔A 〕有一个实数根 〔B 〕无实数根〔C 〕有两个相等的实数根 〔D 〕有两个不等的实数根5.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为 ( )A ．x(x ＋1)＝1035B ．x(x －1)＝1035×2C ．x(x －1)＝1035D ．2x(x ＋1)＝10356．下面关于x 的方程中①ax 2+bx+c=0；②3〔x-9〕2-〔x+1〕2=1；③x+3=1x ；④〔a 2+a+1〕x 2-a=0；．一元二次方程的个数是 〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．以下一元二次方程中，无实数根的方程是〔 〕〔A 〕012=+x 〔B 〕02=+x x 〔C 〕012=-+x x 〔D 〕02=-x x8．反比例函数y abx =,当x ＞0时,y 随x 的增大而增大,那么关于x 的方程220ax x b -+=的根的情况是〔 〕 A.有两个正根 B.有两个负根 C.有一个正根一个负根 D.没有实数根9．甲、乙、丙三家超为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超连续两次降价20%，乙超一次性降价40%，丙超第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购置这种商品最划算应到的超是 〔 〕A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙10．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为〔 〕A ．8人 B ．9人 C ．10人 D ．11人11．方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是_________，m=_________。
苏科版九年级(上)数学期中提优卷
苏科版九年级（上）数学期中提优卷苏科版九年级（上）数学期中提优卷难度系数：0.15注意事项：1．答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）⼀、单选题1．如图，正⽅形内接于，线段在对⻆线上运动，若的⾯积为，，则周⻓的最⼩值是（）A．3B．4C．5D．62．如图，等边△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，且AD=CE，连接AE、BD 交于点F，△ADF的⻆平分线AM，DN交于点P，当点D、E在边AC、BC上运动时（不与端点重合），下列说法：①∠BFE=60°，②∠APD=120°，③PM=PN，④CE=AN+DM，其中正确的说法有（）种A．1B．2C．3D．43．如图，A是⊙B上任意⼀点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三⻆形，则的⾯积的最⼤值为（）A．4＋4B．4C．4＋8D．64．如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的⼀动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有⼀个公共点，则k的值为（）．A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的⼀点，且DE=3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最⼤值为（）A．B．C．D．6．如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）A．B．C．D．第II卷（⾮选择题）⼆、填空题7．如图，圆⼼⻆为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的⾯积为，则______．8．正△ABC的边⻓为4，D是AC的中点，P是△ABC内⼀点，且BP2+CP2＝AP2，则PD的最⼩⻓度是____．9．如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的⻓度为_________．10．矩形ABCD中，AB＝4，AD=，点E、F分别是线段AD、BC上动点，且满⾜CF＝AE，BP⊥EF于点P，连接DP，当点E从A运动到AD的中点时，线段DP扫过图形的⾯积为______________．11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延⻓线上⼀点，若∠DAE＝，则∠CAD＝_______．12．如图，∠AOB=45°，点P、Q都在射线OA上，OP=2，OQ=6．M是射线OB上的⼀个动点，过P、Q、M三点作圆，当该圆与OB相切时，其半径的⻓为______．13．如图，，是的两条互相垂直的直径，点，，，分别是，，，的中点，若的半径为，则阴影部分的⾯积为________．14．设整数使得关于的⼀元⼆次⽅程的两个根都是整数，则的值是______．15．如图，在等边三⻆形中，D是的中点，P是边上的⼀个动点，过点P 作，交于点E，连接．若是等腰三⻆形，则的⻓是_________________．16．如图1，在平⾯直⻆坐标系xoy中，过⊙T外⼀点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．（1）如图2，当⊙O半径为1时，在P1（1，0），P2（1，1）中，⊙O的环绕点是_____；（2）当⊙T的半径为1，圆⼼为（0，t）时，以（m，m）（m＞0）为圆⼼，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，则t的取值范围是_____．17．如图，在中，是弧的中点，作点关于弦的对称点，连接并延⻓交于点，过点作于点，若，则等于_________度．18．直线l经过点A(4，0)，B(0，2)，若⊙M的半径为1，圆⼼M在y在轴上，当⊙M 与直线l相切时，则点M的坐标____．三、解答题19．如图①，AB是⊙O的直径，且AB＝10，C是⊙O上的动点，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂⾜为D，(1)求证：∠DAC＝∠BAC；(2)若AD和⊙O相切于点A，求AD的⻓；(3)若把直线EF向上平⾏移动，如图②，EF交⊙O于G，C两点，题中的其他条件不变，试问这时与∠DAC相等的⻆是否存在，并说明理由．20．问题发现：（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P与⊙O的位置关系是；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是．问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝2，点P是BC边上任意⼀点．（2）当∠APD＝45°时，求BP的⻓度．（3）是否存在点P，使得∠APD最⼤？若存在，请说明理由，并求出BP的⻓度；若不存在，也请说明理由．21．如图1，平⾯直⻆坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，⼀动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停⽌．另⼀动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停⽌．已知点、同时出发，以为边作正⽅形，使正⽅形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．（1）当点落在边上时，求的值；（2）设正⽅形与重叠⾯积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停⽌运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正⽅形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正⽅形内（含边界）的时⻓；若不可能，请说明理由．22．（2019·全国·九年级单元测试）已知：如图，在中，度．是上⼀点，以为圆⼼、为半径的圆与交于点，与切于点，，．设是线段上的动点（与、不重合），．求的⻓；求为何值时，以、、为顶点的三⻆形是等腰三⻆形；在点的运动过程中，与的外接圆能否相切？若能，请证明；若不能，请说明理由；请再提出⼀个与动点有关的数学问题，并直接写出答案．23．两个直⻆边为6的全等的等腰和按如图1所示的位置放置，与重合，与重合.（1）如图1中，求、、三点的坐标；（2）固定不动，沿轴以每秒2个单位⻓的速度向右运动，当点运动到与点重合时停⽌，设运动秒后和重叠部分⾯积为，求与之间的函数关系式；（3）当以（2）中的速度和⽅向运动，运动时间秒时运动到如图2所示的位置，求经过、、三点的抛物线的解析式；（4）现有⼀半径为2，圆⼼在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问在运动过程中，是否存在与轴或轴相切的情况？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由.24．解⽅程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.25．在平⾯直⻆坐标系中，对于线段的“三等分变换”，给出如下定义：如图1，点为线段的三等分点，即，将线段以点为旋转中⼼顺时针旋转得到，将线段以点为旋转中⼼顺时针旋转得到，则称线段进⾏了三等分变换，其中记为点三等分变换后的对应点．例如：如图2，线段，点的坐标为，点N的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，那么线段MN三等分变换后，可得：的坐标为，点的坐标为若点的坐标为，点的坐标为，直接写出点与点的坐标；若点的坐标是，点在轴正半轴上，点在第⼆象限．当线段的⻓度为符合条件的最⼩整数时，求的⻓；点是以原点为圆⼼，为半径的圆上的⼀个定点，点P的坐标为，当点在圆内部或圆上时，求线段的取值范围及取最⼤值时点的坐标．26．如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，交于点，且．（1）判断所在直线与的位置关系，并说明理由；（2）若，，求的半径．27．问题提出：（1）如图①在中，是边的⾼，点是上任意⼀点，若则的最⼩值为_；（2）如图②，在等腰中，是的垂直平分线，分别交于点，，求的周⻓；问题解决：（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划⼀个区域种植花卉，且为⽅便游客游览，欲在各顶点之间规划道路和，满⾜点到的距离为.为了节约成本，要使得之和最短，试求的最⼩值(路宽忽略不计)．28．对于平⾯直⻆坐标系xOy中的任意点，如果满⾜(x≥0，a为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a≤3时，①在点中，满⾜此条件的特征点为__________________；②⊙W的圆⼼为，半径为1，如果⊙W上始终存在满⾜条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围；（2）已知函数，请利⽤特征点求出该函数的最⼩值．2022—2023学年九年级（上）数学期中提优卷整体难度：困难考试范围：图形的性质,函数,统计与概率,图形的变化,⽅程与不等式细/⽬/表/分/析题号难度系数能⼒维度分析详细知识点⼀、单选题10.15全部圆与四边形的综合(圆的综合问题)；20.15全部全等三⻆形综合问题；正多边形和圆；30.15全部圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；⽤勾股定理解三⻆40.15全部形；判断直线和圆的位置关系；⽤勾股定理解三⻆形；斜边的中线等于斜边的⼀半；50.15全部利⽤垂径定理求值；60.94全部列表法或树状图法求概率；⼆、填空题直⻆三⻆形斜边上的中线；半圆（直径）所对的圆周10.15全部⻆是直⻆；求扇形⾯积；求其他不规则图形的⾯积；⽤勾股定理解三⻆形；圆周⻆定理；已知圆内接四边20.15全部形求⻆度；线段问题(旋转综合题)；等边三⻆形的判定和性质；求某点的弧形运动路径⻓30.15全部度；矩形性质理解；圆周⻆定理；求图形旋转后扫过的⾯40.15全部积；旋转中的规律性问题；利⽤垂径定理求解其他问题；求圆弧的度数；圆周⻆50.15全部定理；利⽤垂径定理求值；切线的性质定理；判断三⻆形外60.15全部接圆的圆⼼位置；70.15全部求其他不规则图形的⾯积；其他问题(圆的综合问题)；因式分解法解⼀元⼆次⽅程；根据⼀元⼆次⽅程根的80.15全部情况求参数；公式法解⼀元⼆次⽅程；等边三⻆形的性质；⽤勾股90.15全部定理解三⻆形；等腰三⻆形的定义；100.15全部切线的性质定理；判断点与圆的位置关系；其他问题(圆的综合问题)；110.15全部⽤SAS直接证明三⻆形全等；利⽤垂径定理求值；120.15全部⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；相似三⻆形的判定与性质综合；三、解答题10.15全部根据正⽅形的性质与判定求线段⻓；同弧或等弧所对的圆周⻆相等；切线的性质定理；20.15全部⽤勾股定理解三⻆形；利⽤矩形的性质证明；圆周⻆定理；判断点与圆的位置关系；30.15全部公式法解⼀元⼆次⽅程；⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；求正⽅形重叠部分⾯积；40.15全部圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；50.15全部动态⼏何问题（⼀元⼆次⽅程的应⽤）；利⽤点与圆的位置关系求半径；60.15全部换元法解⼀元⼆次⽅程；70.15全部利⽤平⾏四边形的性质求解；其他问题(圆的综合问题)；其他问题(旋转综合题)；80.15全部根据等边对等⻆证明；⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；解直⻆三⻆形；90.15全部垂线段最短；含30度⻆的直⻆三⻆形；根据等边对等⻆求⻆度；圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；100.15全部反⽐例函数与⼀次函数的综合；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；知/识/点/分/析知识模块题量题号难度系数详细知识点图形的性质2510.15圆与四边形的综合(圆的综合问题)；20.15全等三⻆形综合问题；正多边形和圆；30.15圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；40.15⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；⽤勾股定理解三⻆形；判断直线和圆的位置关系；50.15⽤勾股定理解三⻆形；斜边的中线等于斜边的⼀半；利⽤垂径定理求值；70.15直⻆三⻆形斜边上的中线；半圆（直径）所对的圆周⻆是直⻆；求扇形⾯积；求其他不规则图形的⾯积；80.15⽤勾股定理解三⻆形；圆周⻆定理；已知圆内接四边形求⻆度；线段问题(旋转综合题)；90.15等边三⻆形的判定和性质；求某点的弧形运动路径⻓度；100.15矩形性质理解；圆周⻆定理；求图形旋转后扫过的⾯积；旋转中的规律性问题；110.15利⽤垂径定理求解其他问题；求圆弧的度数；圆周⻆定理；120.15利⽤垂径定理求值；切线的性质定理；判断三⻆形外接圆的圆⼼位置；130.15求其他不规则图形的⾯积；其他问题(圆的综合问题)；150.15公式法解⼀元⼆次⽅程；等边三⻆形的性质；⽤勾股定理解三⻆形；等腰三⻆形的定义；160.15切线的性质定理；判断点与圆的位置关系；其他问题(圆的综合问题)；170.15⽤SAS直接证明三⻆形全等；利⽤垂径定理求值；180.15⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；相似三⻆形的判定与性质综合；190.15根据正⽅形的性质与判定求线段⻓；同弧或等弧所对的圆周⻆相等；切线的性质定理；200.15⽤勾股定理解三⻆形；利⽤矩形的性质证明；圆周⻆定理；判断点与圆的位置关系；210.15公式法解⼀元⼆次⽅程；⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；求正⽅形重叠部分⾯积；220.15圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；230.15动态⼏何问题（⼀元⼆次⽅程的应⽤）；利⽤点与圆的位置关系求半径；250.15利⽤平⾏四边形的性质求解；其他问题(圆的综合问题)；其他问题(旋转综合题)；260.15根据等边对等⻆证明；⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；解直⻆三⻆形；270.15垂线段最短；含30度⻆的直⻆三⻆形；根据等边对等⻆求⻆度；圆与三⻆形的综合(圆的综合问题)；280.15反⽐例函数与⼀次函数的综合；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；函数340.15⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；⽤勾股定理解三⻆形；判断直线和圆的位置关系；210.15公式法解⼀元⼆次⽅程；⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；求正⽅形重叠部分⾯积；280.15反⽐例函数与⼀次函数的综合；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；计与概率60.94列表法或树状图法求概率；图形的变化580.15⽤勾股定理解三⻆形；圆周⻆定理；已知圆内接四边形求⻆度；线段问题(旋转综合题)；100.15矩形性质理解；圆周⻆定理；求图形旋转后扫过的⾯积；旋转中的规律性问题；180.15⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；求圆平移到与直线相切时圆⼼经过的距离；相似三⻆形的判定与性质综合；250.15利⽤平⾏四边形的性质求解；其他问题(圆的综合问题)；其他问题(旋转综合题)；260.15根据等边对等⻆证明；⽤勾股定理解三⻆形；切线的性质和判定的综合应⽤；解直⻆三⻆形；⽅程与不等式5140.15因式分解法解⼀元⼆次⽅程；根据⼀元⼆次⽅程根的情况求参数；150.15公式法解⼀元⼆次⽅程；等边三⻆形的性质；⽤勾股定理解三⻆形；等腰三⻆形的定义；210.15公式法解⼀元⼆次⽅程；⼏何问题(⼀次函数的实际应⽤)；求正⽅形重叠部分⾯积；230.15动态⼏何问题（⼀元⼆次⽅程的应⽤）；利⽤点与圆的位置关系求半径；240.15换元法解⼀元⼆次⽅程；参考答案：1．B【分析】利⽤将军饮⻢之造桥选址的数学⽅法进⾏计算．【详解】如图所示，（1）为上⼀动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平⾏线，过点作的平⾏线，两平⾏线相交于点，与相交于点M．四边形是平⾏四边形则（2）找⼀点，连接，则，过点作的平⾏线，连接则．此时（1）中周⻓取到最⼩值四边形是平⾏四边形四边形是正⽅形，⼜，，⼜是等腰三⻆形，则圆的半径，故选：B．【点睛】本题难度较⼤，需要具备⼀定的⼏何分析⽅法．关键是要找到周⻓取最⼩值时的位置．2．D【分析】通过证明△ABD≌△CAE得到∠ABD＝∠CAE，利⽤三⻆形外⻆的性质可证①正确；根据⻆平分线的定义及三⻆形内⻆和定理可得②正确；证明N、F、M、P四点共圆，然后由圆周⻆定理的推论可得③正确；过点P作PH⊥FD，PG⊥AD，PI⊥AF，证明Rt△AIP≌Rt△AGP，Rt△PNI≌Rt△PMH，Rt△PGD≌Rt△PHD，可得AI＝AG，NI＝MH，GD＝HD，通过线段间的等量代换可得答案．【详解】解：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAD＝∠ACE，∠BAC＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE，∴∠ABD＝∠CAE，∴∠AFD＝∠ABD＋∠BAF＝∠CAE＋∠BAF＝∠BAC＝60°，∵∠AFD＝60°，∴∠FAD＋∠FDA＝120°，∵AM，DN是△ADF的⻆平分线，∴∠PAD＋∠PDA＝∠FAD＋∠FDA＝60°，∴∠APD=120°，故②正确；∵∠AFD＝60°，∠NPM＝∠APD＝120°，即∠AFD＋∠NPM＝180°，∴N、F、M、P四点共圆，连接FP，∵AM，DN是△ADF的⻆平分线，∴FP平分∠AFD，∴∠NFP＝∠MFP，∴PM＝PN，故③正确；过点P作PH⊥FD，PG⊥AD，PI⊥AF，则PH＝PG＝PI，∠AIP＝∠FHP＝∠AGP＝90°，在Rt△AIP和Rt△AGP中，AP＝AP，PG＝PI，∴Rt△AIP≌Rt△AGP，∴AI＝AG，同理可得：Rt△PNI≌Rt△PMH，Rt△PGD≌Rt△PHD，∴NI＝MH，GD＝HD，∴AD＝AG＋GD＝AI＋HD＝AN＋NI＋HD＝AN＋MH＋HD＝AN＋DM，即其中正确的说法有4种；故选：D．【点睛】本题主要考查了等边三⻆形的性质、全等三⻆形的判定和性质、三⻆形内⻆和定理、三⻆形外⻆的性质、四点共圆、圆周⻆定理的推论及三⻆形内⼼的性质等知识点，灵活运⽤各性质进⾏推理论证是解题的关键．3．A【分析】以BC为边向上作等边三⻆形BCM，连接DM，证明得到，分析出点D的运动轨迹是以点M为圆⼼，DM⻓为半径的圆，在求出点D 到BC的最⼤距离，即可求出⾯积最⼤值．【详解】解：如图，以BC为边向上作等边三⻆形BCM，连接DM，∵，∴，即在和中，，∴，∴，∴点D的运动轨迹是以点M为圆⼼，DM⻓为半径的圆，要使⾯积最⼤，则求出点D到线段BC的最⼤距离，∵是边⻓为4的等边三⻆形，∴点M到BC的距离是，∴点D到BC的最⼤距离是，∴的⾯积最⼤值是．故选：A．【点睛】本题考查动点轨迹是圆的问题，解题的关键是利⽤构造全等三⻆形找到动点D的轨迹圆，再求出圆上⼀点到定线段距离的最⼤值．4．C【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有⼀个公共点，推出OP⊥PD，然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE，进⽽确定点P的坐标，然后代⼊直线y=kx －3k（k＞0）即可求出k的值．【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E，∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆⼼，半径为1的圆，∴点P的运动轨迹是以O为圆⼼，以AO为半径的圆．∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有⼀个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3,0)，∴OP⊥PD，∴∠OPD=90°，在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3，由勾股定理得：PD==由等积法，可得：OD•PE=OP•PD，即：3×PE=2×，解得：PE=在Rt△OPE中，OE==∴点P的坐标为(，)把点P的坐标代⼊y=kx－3k，得:，解得:k=．故选：C．【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法．熟记相关模型，利⽤数形结合思想是解决此类问题的关键．5．D【分析】根据题意有C、O、G三点在⼀条直线上OG最⼩，MN最⼤，根据勾股定理求得AB，根据三⻆形⾯积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最⼤值．【详解】解：取DE的中点O，过点O作OG⊥MN于点G，作CH⊥AB于点H.∴，当弦⼼距OG最短时，MN取最⼤值，∴当点C，O，G三点共线时，即当点O在CH上时，MN取最⼤值，连接OM.∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴CH==2.4∴OH=2.4-1.5=0.9，∴OM=1.5，则在Rt△MOH中，由勾股定理得MH=1.2，根据垂径定理，MN=2MH=2.4.故选D.【点睛】本题实质是求圆中的弦的最⼤值的问题，圆中弦的弦⼼距越⼩，弦越⼤，所以当弦MN的弦⼼距最⼩时，MN的值最⼤．直⻆三⻆形斜边上的⾼是⼀个定值，圆的半径也是⼀个定值，所以当点C，O，G三点共线时，弦⼼距OH最⼩，此时MN最⼤，再构造直⻆三⻆形，结合垂径定理，勾股定理则可解决问题．6．B【分析】⾸先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让两盏灯泡同时发光的情况，再利⽤概率公式求解即可求得答案．【详解】解：根据题意画图如下：∵共有6种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的有4种情况，∴能让两盏灯泡同时发光的概率为，故选：B．【点睛】此题考查了⽤树状图或列表法求等可能事件的概率，⽅法是⽤树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，⽤分数表示即可，注意每种情况发⽣的可能性相等．7．2【分析】本题可利⽤扇形⾯积公式以及三⻆形⾯积公式，⽤⼤扇形⾯积减去空⽩部分⾯积求得阴影部分⾯积，继⽽根据已知列⽅程求解．【详解】将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空⽩分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三⻆形ABC为等腰直⻆三⻆形，S1+S2=π-1，∵BC为直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，故CD=DB=DA，∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的⾯积与S3相等．设AC=BC=x，则，其中，，故：，求解得：（舍去）故答案：2．【点睛】本题考查⼏何图形⾯积的求法，常⽤割补法配合扇形⾯积公式以及三⻆形⾯积公式求解．8．##-4+【分析】由题意可得AB=AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，连接PE，易证△PCE是等边三⻆形，然后根据等边三⻆形的性质和BP2+CP2＝AP2，易证△APE是直⻆三⻆形且∠AEP=90°，继⽽可得∠BPC=150°，则点P在上运动(点B、C除外)，过B、P、C三点作，在∠BPC所对的弧上取⼀-点G(点B、C除外)，连接OB、OC、OP、GB、GC、OD，OD与交于点F，根据圆内接四边形对⻆互补和圆周⻆定理可证△OBC 是等边三⻆形，⼜D是AC的中点，可得，则△OCD是定三⻆形，且OD是定值，然后根据两点之间线段最短的性质可得：，继⽽可得PD的最⼩⻓度是FD的⻓度，在和中，由勾股定理分别求得，，然后根据即可求得答案．【详解】解：∵正△ABC的边⻓为4，P是△ABC内⼀点，∴AB=AC，将△BPC绕点C顺时针旋转60°得到△AEC，如图，则CE=CP，AE=BP，∠PCE=60°，∠AEC=∠BPC，连接PE，则△PCE是等边三⻆形，∴EP=CP，∠CEP=60°，∵BP2+CP2＝AP2，∴AE2+EP2=AP2，∴△APE是直⻆三⻆形且∠AEP=90°，∴∠AEC=∠AEP+∠PEC=90°+60°=150°，∴∠BPC=∠AEC=150°，∴点P在上运动(点B、C除外)，过B、P、C三点作，在∠BPC所对的弧上取⼀点G(点B、C除外)，连接OB、OC、OP、GB、GC、OD，OD与交于点F，根据圆内接四边形对⻆互补可得∠BPC+∠BGC=180°，∴∠BGC=180°-∠BPC=180°-150°=30°，∴∠BOC=2∠BGC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三⻆形，∴OC=BC=4，∠OCB=60°，∴∠OCA=∠OCB+∠ACB=60°+60°=120°，∵D是AC的中点，∴，∴△OCD是定三⻆形，且OD是定值，根据两点之间线段最短的性质可得：，∵，∴，∴PD的最⼩⻓度是FD的⻓度，过点D作DH⊥OC，交OC的延⻓线于点H，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，∴，即：PD的最⼩⻓度是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三⻆形的判定与性质、两点之间线段最短、圆内接四边形的性质、圆周⻆定理、勾股定理及逆定理等，熟练掌握相关定理和解题⽅法是解题的关键．9．【分析】如图，作过A、B、F作⊙O,为点F的轨迹，然后计算出,的⻓度即可．【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB∵等边∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°∵∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同侧的圆周⻆∴∠AOB=120°∵OG⊥AB,OA=OB∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=∴∠OBG=30°设OB=x，则OG=x∴，解得x=或x=-（舍）∴的⻓度为．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三⻆形的性质、含30度直⻆三⻆形的性质、勾股定理以及圆周⻆定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．10．【分析】连接BD与EF交于点G，根据全等三⻆形的判定和性质得出：线段EF绕矩形对⻆线的交点G旋转，进⽽得出P点在以BG为直径的圆上；连接OP，OH，DH，过点P作PQ⊥BD 交于点Q，求得扇形POH的圆⼼⻆，再计算⾯积差即可解答；【详解】如图1，连接BD与EF交于点G，过G点作KH⊥AD交AD于点K，交BC于点H，∵AE=CF，∴DE=BF∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB，∵∠EGD=∠FGB，∴△EDG≌△FBG(AAS)，∴EG=GF，DG=BG，∴G为BD中点，∵KH⊥AD，ABCD是矩形，∴KH∥AB，KH∥CD，∴K是AB中点，H是BC中点，∴线段EF绕矩形对⻆线的交点G旋转，∵∠BPG=90°，∴P点在以BG为直径的圆上，如图2，点E从A运动到AD的中点K，则P点运动的起点为P，终点为H，连接OP，OH，DH，过点P作PQ⊥BD交于点Q，∵AB=4，AD=，∴BD=8，∴OB=OP=OH=2，AG=BG=4=AB，∴△ABG是等边三⻆形，BP⊥AG，则∠ABP=∠PBG=30°，∴∠CBD=30°，∴∠PBG=∠HBG=30°，∴∠POG=∠HOG=60°，∵OP=OH，OD=OD，∴△POD≌△HOD，Rt△POQ中，OP=2，∠POQ=60°，则OQ=1，PQ=，OD=6，∠POH=120°，∴线段DP扫过的⾯积=2××OD×PQ-=，故答案为：；【点睛】本题考查了旋转的特征，圆周⻆定理，矩形的性质，扇形⾯积计算；根据旋转的特征确定P点的轨迹是解题关键．11．【分析】根据垂径定理由得，根据圆周⻆定理得，⽽由得，所以，，再根据圆内接四边形的性质得到，于是，从⽽得到∠CAD的度数．【详解】解：∵，∴，∴，∵D为的中点，∴，∴，∴，∴，⼜∵，∴，∴，∴．故答案为：36°．【点睛】本题主要考察了圆周⻆定理、圆⼼⻆和弧的关系、圆内接四边形的性质及垂径定理，能够找到与之间的关系是解题的关键．12．【分析】根据已知条件得到点M为切点，设过P、Q、M三点的圆的圆⼼为O′，连接O′M，则O′M⊥OB，过O′作O′H⊥PQ于H，延⻓HO′交OB于G，根据垂径定理和勾股定理进⾏推理计算即可得到结论．【详解】解：过三点的圆与相切，点为切点，设过三点的圆的圆⼼为，连接，则，过作于，延⻓交于，，设，和是等腰直⻆三⻆形，，，，解得：（不合题意舍去)，半径的⻓为【点睛】本题考查了切线的性质，三⻆形的外接圆与外⼼，垂径定理，等腰直⻆三⻆形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．13．【分析】⾸先根据已知得出正⽅形内空⽩⾯积，进⽽得出阴影部分⾯积．【详解】解：如图所示：可得正⽅形EFMN，边⻓为2，∴正⽅形中阴影⾯积为：2(22-×12)=8-2，∴正⽅形内空⽩⾯积为：4-(8-2π)=2π-4，∵⊙O的半径为2，∴⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4的半径为1，∴4个⼩圆的⾯积为：4π×12=4π，∴阴影部分的⾯积为：4-2(2π-4)=8．故答案为8.【点睛】此题主要考查了扇形的⾯积公式以及正⽅形⾯积公式，根据已知得出空⽩⾯积是解题关键.14．18【分析】⾸先将⽅程左右乘5得，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【详解】解：，∴，∴，，都是整数，故、都分别为整数，⽽只存在或或或四种情况，①当、，x不为整数，不合题意，，②当、，联⽴解得，，③当、，联⽴解得，，④当、，x不为整数，不合题意，⑤当、，x不为整数，不合题意，⑥当、，x不为整数，不合题意，⑦当、，x不为整数，不合题意，⑧当、，x不为整数，不合题意，当时，⽅程为两根为13、．故答案为：18．【点睛】本题考查因式分解的应⽤、⼀元⼆次⽅程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利⽤39仅能分解为整数只存在或或或四种情况，因⽽讨论量，并不⼤．15．或或．【分析】过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂⾜分别为G、F，根据△PDE是等腰三⻆形，分三种情况讨论，利⽤勾股定理列出⽅程即可．【详解】解：过点D作DG⊥AB，DF⊥BC，垂⾜分别为G、F，∵AB=8，∠A=60°，D是的中点，∴AG=，，同理，CF=2，，设BP为x，同理可得，BE=2x，PE=，PG=6-x，EF=6-2x，当DP=PE时，，解得，（舍去），；当DP=DE时，，解得，（舍去），；当DE=PE时，，解得，（舍去），；故答案为：或或．【点睛】本题考查了等边三⻆形的性质、等腰三⻆形的判定、勾股定理等，解题关键是熟练对等腰三⻆形分类讨论，利⽤勾股定理列出⽅程．16．P2-2＜t≤4【分析】（1）如图，PM，PN是⼩⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN ＝60°时，可证TP＝2TM，以T为圆⼼，TP为半径作⼤⊙T，⾸先说明：当60°≤∠MPN＜180°时，⼩⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括⼤圆上的点不包括⼩圆上的点）．利⽤这个结论解决问题即可；（2）如图2中，设E（m，m），则点E在直线y＝x时，以E（m，m）（m＞0）为圆⼼，m为半径的⊙E与x轴相切，作⊙E的切线ON，观察图像可知，以E（m，m）（m＞0）为圆⼼，m为半径的所有圆构成图形H，图形H即为∠MON的内部，包括射线OM，ON上．利⽤（1）中结论，画出圆环，当圆环与∠MON的内部有交点时，满⾜条件，求出两种特殊位置t的值即可解决问题．【详解】解：（1）如图，PM，PN是⼩⊙T的两条切线，M，N为切点，连接TM，TN．当∠MPN＝60°时，∵PT平分∠MPN，∵∠TPM＝∠TPN＝30°，∵TM⊥PM，TN⊥PN，∴∠PMT＝∠PNT＝90°，∴TP＝2TM，以T为圆⼼，TP为半径作⼤⊙T，观察图像可知：当60°≤∠MPN＜180°时，⼩⊙T的环绕点在图中的圆环内部（包括⼤圆上的点不包括⼩圆上的点）．如图1中，以O为圆⼼2为半径作⼤⊙O，观察图像可知，P1不是⼩⊙O的环绕点，P2是⼩⊙O的环绕点，故答案为：P2；。
初三数学提优试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3B. -2C. 0D. 12. 如果a > b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - 2 > b - 2B. a + 2 < b + 2C. a - 3 < b - 3D. a + 3 > b + 33. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = |x|D. y = x^24. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，那么它的两个根的和是（）A. 5B. -5C. 6D. -65. 在直角坐标系中，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标是（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（-2，3）D.（2，3）6. 一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么它的体积V可以表示为（）A. abcB. a^2bC. ab^2D. a^2c7. 在等腰三角形ABC中，若AB = AC，且∠BAC = 40°，那么∠ABC的度数是（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°8. 下列各式中，能被3整除的是（）A. 27B. 28C. 29D. 309. 在平面直角坐标系中，点A（1，2）到原点O的距离是（）A. 1B. 2C. √5D. √1010. 若sinα = 1/2，那么cosα的值是（）A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知x + y = 5，xy = 6，那么x^2 + y^2的值是______。
12. 在等腰三角形ABC中，若底边AB = 6cm，腰AC = 8cm，那么三角形ABC的周长是______cm。
13. 函数y = -2x + 3的图象经过______象限。
14. 若∠A和∠B是等腰三角形ABC的两底角，那么∠A和∠B的度数分别是______°和______°。
九数上册提优试题
A E D G HB FC 新知学校九年级数学提优试题1命题人：马会玉班级 姓名1.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 ……………………………………………………………………………………… 【 】A.1B.2C. 2D.32.矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =2，∠BOC =120°，则AC 的长是__________.3.菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，AB =4．则菱形ABCD 的面积是 ，对角线BD 的长是 .4.在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC =5cm ，BD =12cm ，则梯形中位线的长等于______cm.5.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、 N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________.6.如图，若将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30º到正方形AB ’C ‘D ’，则图中阴影部分的面积为 .7.如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ = .8.（本题12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是线段AD 上的一个动点（E 与A 、D 不重合），G 、F 、H 分别是BE 、BC 、CE 的中点.（1）试探索四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形?并加以证明；（3）若（2）中的菱形EGFH 是正方形，请探索线段EF 与线段BC 的关系，并证明你的结论.第1题第6题 第5题 第7题新知学校九年级数学提优试题2命题人：马会玉班级 姓名1.如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8， 则△EFM 的周长是 （ ）A ．21B ．18C ．13D ．15第1题 第2题2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将纸片折叠压平，使A 与C 重合，设折痕为EF ，则重叠部分△AEF 的面积等于 （ ）A. 873B.875C.1673D.1675 3.如图①，将一张对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A’、B’处，线段FB’与AD 交于点M ．(1) 试判断△MEF 的形状，并说明理由；(2) 如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C’、D’处，且使MD’经过点F ，四边形MNFE 是平行四边形吗？为什么？(3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．4．（本题12分）我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并说明你的结论.A E F CB M新知学校九年级数学提优试题3命题人：马会玉班级 姓名1.两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图11(1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化， 但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图11(2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.2．（2009年黄石市）如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？AF N D C BME O A B EF C D 图11(1) A B E F C D 图11(2) 温馨提示：由平移性质可得CF ∥AD ，CF =AD。
2021-22学年江苏九年级数学上册单元复习第二章 圆 【过关测试提优】(练习版)
圆过关测试（提优）一．选择题（共12小题）1．一个圆锥和一个圆柱的高相等，若要使体积一样，圆锥底面积应是圆柱底面积的（）A ．3倍B ．13C ．π倍D ．1π2．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（3，m ），若⊙P 与y 轴相切，那么⊙P 与直线x ＝5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定3．如图，C是⊙O上一点，若∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．80°D．140°4．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为（）A．4B．6C．8D．12̂中点，若∠D＝30°，BC＝2，则BD的值为（）5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且D为ABA．2√2B．2√3C．√6D．36．如图，P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠P＝45°，则∠ACB的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．37.5°7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BD为⊙O的直径．若BD＝10，∠ABD＝2∠C，则AB的长度为（）A．4B．5C．5.5D．68．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝45°，BC＝8，则⊙O的半径为（）A．4B．4√2C．8D．8√29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠CAB＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于点D且CD＝2√2，则⊙O 的半径为（）A．2√2B．4C．4√2D．4√3 10．下列关于圆的说法中，正确的是（）A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线D．三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等11．如图，△ABC内接于⊙O，AD是直径．若∠B＝60°，AC=√3，则直径AD的长为（）A．1B．2C．3D．2√312．如图，⊙O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D ，C 两点，BD ，OC 相交于点F ，若CD ＝10，则BF 的长是（ ）A ．8√179B ．10√179C ．8√159D ．10√159二．填空题（共12小题）13．锐角△ABC，其外接圆圆心为O，AB、AC上的高交于H，若O、H、B、C在同一圆周上，则∠BAC＝．̂与AB垂直的半径OC交于点D，且CD＝3OD，则AB 14．已知，如图，将半径为4的圆O沿AB折叠，AB＝．15．如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BOD＝108°，则∠BCD的度数是度．16．如图，△ABC内接于圆O，连接AO，D，E分别是BC，AO的中点，且OD＝OE，若∠ODE＝10°，则∠B等于．17．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝8，则S△ABC＝．18．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝，边长＝，边心距＝．19．如图，AB是半圆O的直径，PB切半圆O于点B，PC切半圆O于点C，若AB＝2，∠CAB＝60°，则图中阴影部分面积等于．20．如图，AC，BD都是⊙O的直径，过点A作O的切线，与BD的延长线相交于点E．若⊙O的半径为1，DE＝x，CE＝y，则y关于x的函数关系式为．21．如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，正方形的边长为半径画圆，则图中的阴影部分面积为．（结果保留π）22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、̂的中点，则∠ABE＝．E两点，点B是CD23．如图，点A、B、C均在⊙O上，点D在AB的延长线上，若∠AOC＝124°，则∠CBD＝．24．如图，AD、AE、CB均为⊙O的切线，D，E，F分别是切点，AD＝5，则△ABC的周长为．三．解答题（共8小题）25．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，连接AC，若CA＝CP，∠A＝30°．（1）求证：CP是⊙O的切线；（2）若OA＝1，求弦AC的长．26．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．27．如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，当BE为⊙O的切线时．（1）求证：BC＝BE；（2）若点E为AC的中点，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．28．已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝40°．̂的中点，求∠ABC和∠ABD的大小；（1）如图①，若D为AB̂上的点，且∠OCD＝25°，过点D作DP∥AC与AB的延长线交于点P，求证：（2）如图②，若D为ABDP是⊙O的切线．29．如图，已知AB是⊙O的直径，点D，C是圆上的两个点，且AĈ=BD̂，直线CD⊥BF于点E．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAD＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．30．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BCA＝75°，∠ABC＝45°，连接CO并延长，交⊙O于D，连接BD，过A作AE∥CD，与BC的延长线交于E．（1）求证：AE与⊙O相切．（2）若BD=√2，求⊙O的半径的长．̂=CD̂，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，31．如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BD连接AD．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．32．如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=32CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．（1）用关于x的代数式表示BQ＝，DF＝．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．。
苏科版九年级上册二次函数能力提优训练题
二次函数提优训练1.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，且关于x 的一元二次方程02=-++m c bx ax 没有实数根，有下列结论：①042>-ac b ；②0<abc ；③2>m .其中，正确结论的个数是（）.A.0B.1C.2D.32.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，若)0(||2≠=++k k c bx ax 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）.A.k <-2B.k >-2C.k <2D.k >23.如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从A 点出发，按A→B→C 的方向在AB 和BC 上移动，记PA=x ，点D 到直线PA 的距离为y ，则y 关于x 的函数图像的大致是（）.A. B. C. D.4.如图，在平面中直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点C 的坐标为（4,3），D 是抛物线=y x x 62+-上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为＿＿＿＿＿.5.如图，抛物线3)2(21-+=x a y 与1)3(2122+-=x y 交于点A（1,3），过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B、C 两点.则以下结论:①无论x 取何值，2y 的值总是正数；②1=a ；③当0=x 时，412=-y y ；④2AB=3AC.其中正确的结论是＿＿＿＿＿.（填写结论序号）6..如图，抛物线122++=ax ax y 与x 轴仅有一个公共点A，经过点A 的直线交抛物线于点B，交y 轴于点C，且点C 是线段AB 的中点.（1）求这条抛物线对应的函数关系式；（2）求直线AB 对应的函数关系式.7.在平面中直角坐标系内，反比例函数xk y =和二次函数)1(2-+=x x k y 的图像交于点A （1，a ）和点B（-1，b ）.（1）分别用含k 的代数式表示a 、b ；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随x 的增大而增大，求k 满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数图像的顶点为Q，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值.8.如图，已知抛物线x x y 42-=经过原点，与x 轴另一交点为A.（1）求线段OA 的长；（2）设抛物线的顶点为B，试求△OAB 外接圆圆心坐标.9.若两个二次函数，顶点、开口方向相同，则称这个两个函数为“同簇二次函数”；（1）请写出两个“同簇二次函数”；（2）已知关于x 的二次函数1242221++-=m mx x y ，和522++=bx ax y ，其中1y 的图像经过点A （1,1），若1y +2y 与1y 为“同簇二次函数”，求函数2y 的表达式，并求当30≤≤x 时，2y 的最大值.10.已知二次函数c bx x y ++=2（c b ,为常数）.（1）当3,2-==c b ，求二次函数的最小值；（2）当5=c 时，若在函数值1=y 的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式;（3）当2b c =时，若在自变量x 的值满足3+≤≤b x b 的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.11.已知平面直角坐标系xOy ，抛物线c bx x y ++-=2过点A（4,0）、B（1,3）.（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P（n m ,）在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E，点E 关于y 轴的对称点为点F，若四边形OAPF 的面积为20，求n m ,的值.12.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数)0(3)3(2>--+=m x m mx y 的图像与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.（1）求点A 的坐标；（2）当∠ABC=45°时，求m 的值；（3）已知一次函数b kx y +=，点P（0,n ）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图像于点M，交二次函数3)3(2--+=x m mx y （0>m ）的图像于点N.若只有当22<<-n 时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式.13.已知抛物线c bx ax y ++=232.（1）若1,1-===c b a ，求抛物线与x 轴的公共点坐标；（2）若,1==b a 且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围.14.在平面直角坐标系xOy 中，P 为抛物线2x y =上一动点，点A 的坐标为（4,2），若点P 使∠AOP=45°，请求出点P 的坐标.15.抛物线52-+=bx ax y （0≠a ）经过点A（4，-5），与x 轴的负半轴交于点B，与y 轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为D.（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接AB，BC，CD，DA，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E 的坐标.16.已知抛物线m x m mx y 31)21(2-+-+=与x 轴交于不同的两点A，B.（1）求m 的取值范围；（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一定点P，并求出点P 的坐标；（3）当841≤<m 时，由（2）求出的点P 和点A，B 构成的△ABP 的面积是否有最值？若有，求出该最值及相应的m 值.。
初三数学中考提优举措
初三数学中考提优举措
随着初三数学中考的临近，学生们需要更加努力地提升自己的数学能力。
以下是一些数学中考提优的举措：
1. 制定学习计划。
考生需要制定一个详细的学习计划，包括每
天的学习时间、学习内容和复习进度。
这样可以帮助他们更好地掌握知识点，提高学习效率。
2. 做好复习。
在复习阶段，考生需要针对性地复习重点知识点，弱项进行重点突破。
可以通过做题、背诵公式、总结笔记等方式进行复习。
3. 多做模拟题。
模拟考试可以帮助考生了解自己的考试水平和
巩固所学知识。
考生可以通过做真题、模拟题等方式提高自己的应试能力。
4. 独立思考。
在解题过程中，考生需要注重独立思考，理清思路，避免盲目猜测和依赖答案。
5. 注意时间管理。
在考试过程中，考生需要充分利用时间，注
意把握时间节点，确保能够完成考试内容。
通过以上数学中考提优的举措，相信考生们可以更好地备战中考，取得优异的成绩。
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九年级数学中考提优(2)练习
初三数学提优（二）1．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 2．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，∠B ＝45°，则∠A 等于 3．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为4．在△ABC 中，若cosA a =cosB b =sinCc ，则△ABC 是 三角形 5．如图，等腰三角形ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 上一点，AD=13AC ，求∠DBC 的四个三角函数值6．如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，延长AB 到D ，使BD=13AB ，连结CD ，且tan ∠BCD=13，求∠A 的四个三角函数值7．如图，正方形ABCD 的边上有一点E ，将正方形折叠，使A 与E 重合，折痕为MN ，若tan ∠AEN=13，且DC+CE=10，求△AEN 的面积DCBANMDCBA8．在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2－23x＋2=0的两个根，且2cos(A+B)=1，求：（1）∠C的度数；（2）AB的长9．小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．10．甲舰在A 处，乙舰在A 的南偏东45°方向，距A 有9km ，并以20 km/h 的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28km/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？11．如图，某地100m 长的防洪大坝，截面为梯形ABCD ，坝顶宽为4m ，坝高3m ，迎水坡CD 的坡度i 1=3：4，背水坡i 2=1：1，若将大坝加高1m ，坝顶宽不变，背水坡坡度改为1:1.5，求增加部分所需要多少m 3的土石方。
九年级上册每日提优训练二.pdf
九年级上册每日提优训练二1.请阅读下列材料：问题：已知方程012=-+x x ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.解：设所求方程的根为y ，则x y 2=，所以2y x =.把2y x =代入已知方程，得0122(2=-+y y ，化简，得0422=-+y y 故所求方程为0422=-+y y .这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.（1）已知方程022=-+x x ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程的相反数，则所求方程为.（2）已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.2.对于实数q p ,，我们用符号},max{q p 表示q p ,两数中较大的数，如：2}2,1max{=.（1）请直接写出=--}5,3max{.（2）我们知道，当12=m 时，1±=m ，利用这种方法解决下面问题：若4},)1max{(22=-x x ，求x 的值.3.(2018昆山二模)如图，矩形ABCD中，4BC=cm,若点P从点B出发沿BD方AB=cm;3向，向点D匀速运动，同时点Q从点D出发沿DC方向，向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当,P Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动.连接,,AP PQ PC，设运动时间为t(s)，解答下列问题:(1)则线段PD的长度为(用含t的代数式表示);(2)设DPQ∆的面积S的最大值，并求出此时t的取值.∆的面积为S，求DPQ(3)若将PQC∆沿QC翻折，得到四边形PQP C'，当四边形PQP C'为菱形时，求t的值; (4)在点,P Q的运动过程中，当t取何值时，AP PQ⊥(直接写出t的值)。
【学霸提优】2023学年九年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)2 解一元二次方程(原卷版)
解一元二次方程考点一解一元二次方程——直接开平方法考点二解一元二次方程——配方法考点三根据判别式判断一元二次方程根的情况考点四解一元二次方程——公式法考点五解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）考点六解一元二次方程——换元法考点一解一元二次方程——直接开平方法例题：（2022·上海·八年级期末）解方程：（1）x(x+5)=x-4（2）4（x﹣1）2＝9．(3)()21160x+-=；(4)100（x－1）2＝121．【变式训练】1.（2022·广东·模拟预测）方程23(21)0x--=的解是_______．2．（2022·全国·九年级）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abcd，定义abcd＝ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若11xx+-181xxx-=+，则x＝___．考点二解一元二次方程——配方法例题：（2022·河南安阳·九年级期末）解下列方程：(1)2220x x--=；(2)23620x x-+=【变式训练】1.（2022·云南·红河县教育科学研究室九年级期末）用配方法解一元二次方程2620x x++=，变形后的结果正确的是（ ）A ．2(3)2x +=-B ．2(3)2x +=C ．2(3)7x -=D ．2(3)7x += 2.（2022·辽宁大连·模拟预测）解方程：2480x x +-=．考点三 根据判别式判断一元二次方程根的情况例题：（2022·云南·昆明八中模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．230x =B ．(3)(2)0x x -+=C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=【变式训练】1．（2022·浙江温州·中考真题）若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ） A ．36 B ．36- C ．9 D ．9- 2．（2022年河南省洛阳市中招第二次调研数学试题）关于x 的一元二次方程2210ax x 有两个实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤-且0a ≠B ．1a ≥-且0a ≠C ．1a <D ．1a >-考点四 解一元二次方程——公式法例题：（2022·云南文山·九年级期末）按要求解方程．(1)2x 2-5x +1＝0(公式法) (2)23410x x -+=．（公式法）【变式训练】1.（2022·重庆市育才中学八年级期中）解方程：(1)2260x x --=； (2)23620x x -+=2.（2022·山东烟台·八年级期中）已知关于x 的方程21(1)230m m x x +--+=是一元二次方程．(1)求m 的值；(2)解这个一元二次方程．考点五 解一元二次方程——因式分解法（含十字相乘法）例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．(1)x 2﹣4x ＝5； (2)2（x +1）2＝x （x +1）．【变式训练】1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：(1) 290x ；(2)2230x x --=．2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：(1)2325x x -=(2)24(3)(3)0x x x -+-=考点六 解一元二次方程——换元法例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x 的方程ax 2+bx +c =0的解是x 1=3，x 2=−5，则关于y 的方程a (y +1)2+b (y +1)+c =0的解是（ ）A ．14y =，24y =-B ．12y =，26y =-C ．14y =，26y =-D ．12y =，24y =-【变式训练】1．（2022·湖南邵阳·九年级期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：已知()()3410x y x y +-++=-，求x y +的值．解：设t x y =+，则原方程变形为()()3410t t -+=-，即220t t +-=∴()()210t t +-=得t 1＝﹣2，t 2＝1∴2x y +=-或1x y +=已知()()2222427+-++=x y x y ，求22x y +的值．2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：解方程：（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4＝0．解法如下：将x 2﹣1视为一个整体，然后设x 2﹣1＝y ，则（x 2﹣1）2＝y 2，原方程可化为y 2﹣5y +4＝0，解得y 1＝1，y 2＝4．（1）当y ＝1时，x 2﹣1＝1，解得x ＝2（2）当y ＝4时，x 2﹣1＝4，解得x ＝5综合（1）（2），可得原方程的解为x 12x 22，x 35x 45参照以上解法，方程x 4﹣x 2﹣6＝0的解为 _____．一、选择题1．（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x 2-2x =2时，配方后正确的是（ ）A ．()213x +=B ．()216x +=C ．()213x -=D ．()216x -= 2．（2022·吉林省第二实验学校模拟预测）方程28160x x -+=的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根．B ．只有一个实数根C ．没有实数根D ．有两个不相等的实数根3．（2022·河南·新乡市第一中学九年级期中）若关于x 的方程220x mx -+-=有实数根，则m 的值可以是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x 2＋px ＋q 能分解成（x ＋3）（x ﹣1）的形式，则方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根为（ ）A ．x 1＝﹣3，x 2＝1B ．x 1＝﹣3；x 2＝﹣1C ．x 1＝3；x 2＝﹣1D ．x 1＝3；x 2＝15．（2022·河北张家口·一模）于实数a ，b 先定义一种新运算“∴”如下：a ∴b =()222,2,()a b a a b ab b a b ⎧+≥⎨+<⎩，若18m =★，则实数m 等于（ ）A ．6B ．2C ．2或4-D ．2或4-或6二、填空题6．（2022·云南·中考真题）方程2x 2+1=3x 的解为________．7．（2022·辽宁丹东·九年级期末）将方程22490x x --=配方成()2x m n +=的形式为______．8．（2022·吉林白山·二模）若关于x 的一元二次方程2(9)0x c --=无实数根，则c 的取值范围是____________． 9．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）已知关于x 的方程2320kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围为___________．10．（2022·浙江台州·二模）已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，且0a ≠），此方程的解为12x =，23x =．则关于x 的一元二次方程2930ax bx c -+=的解为______．三、解答题11．（2022·全国·九年级）解方程．(1)2(32)25x +=(2)2314x x -=(3)（()221)321x x +=+ (4)27100x x -+=12．（2022·全国·九年级）按指定的方法解下列方程：(1)x 2﹣6x ﹣7＝0（配方法）(2)2x ﹣6＝（x ﹣3）2（因式分解法）(3)3x 2﹣4x ＋1＝0（公式法）(4)5（x ＋1）2＝10（直接开平方法）13．（2022·湖南永州·二模）已知关于x 的一元二次方程x 2−(k +1)x +2k −3=0．(1)当k =3时，求一元二次方程x 2−(k +1)x +2k −3=0的解；(2)求证：无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．14．（2022·江苏·苏州市吴中区城西中学八年级期中）已知关于x 的一元二次方程2(1)220x k x k -++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为6，当ABC 是等腰三角形时，求k 的值．15．（2021·河南信阳·九年级阶段练习）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值． 解方程：2224250x x x x +++=提示：可以用“换元法”解方程．22(0)x x t t +=，则有222x x t +=．原方程可化为：2450t t +-=续解：2(2)9t +=16．（2021·福建·莆田第二十五中学九年级期中）阅读下面材料：并解答问题．为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设21x y -=，则222(1)x y -=，原方程可化为2540y y -+=，解此方程，得121,4y y ==．当1y =时，211x -=，22x =，∴2x =当4y =时，214x -=，∴5x =∴原方程的解为12342,2,5,5x x x x =-==-以上解题方法就叫换元法，请利用换元法解方程．222()4()120x x x x ----=．。
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初三数学上学期提优2
1.如图所示，在边长为4的等边三角形ABC 中，E ，F ，G 分别为AB ，AC ，BC 的中点，点 P 为线段EF 上一个动点，连接BP ，GP ，则△BPG 周长的最小值是( )
A.
B.
C. 6
D.
2. 已知函数1y x =
的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c ＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx ＋c = 0的两根x1，x2判断正确的是
（ ）
A ．x1 ＋ x2 >1，x1·x2 > 0
B ．x1 ＋ x2 < 0，x1·x2 > 0
C ．0 < x1 ＋ x2 < 1，x1·x2 > 0
D ．x1 ＋ x2与x1·x2 的符号都不确定
3.已知正方形ABCD 的面积35平方厘米， E 、F 分别为边AB 、BC 上的点， AF 和CE 相交于点G ，
并且ABF ∆的面积为5平方厘米，BCE ∆的面积为14平方厘米，求四边形BEGF 的面积 ．
4、在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知Rt △DOE ，∠DOE=90°，OD=3，点D 在y 轴上，点E 在x 轴上，在△ABC 中，点A ，C 在x 轴上，AC =5．∠ACB +∠ODE =180°，∠ABC =∠OED ，BC =DE ．按下列要求画图（保留作图痕迹）：
（1）将△ODE 绕O 点按逆时针方向旋转90°得
到△OMN （其中点D 的对应点为点M ，点E 的对应点为点N ），画出△OMN ；
（2）将△ABC 沿x 轴向右平移得到△A ′B ′C ′（其中点A ，B ，C 的对应点分别为点A ′，B ′，C ′），使得B ′C ′与（1）中的△OMN 的边NM 重合；
（3）求OE 的长．
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2．点P，Q同时从点A出发，点P以每秒2个单位的速度沿A →B→C→D的方向运动；点Q以每秒1个单位的速度沿A→D→C的方向运动，当P，Q两点相遇时，它们同时停止运动．设P，Q两点运动的时间为x（秒），△APQ的面积为S（平方单位）．
(1)点P，Q从出发到相遇所用的时间_______秒．
(2)求S与x之间的函数关系式．
(3)当S＝7
2
时，求x的值．
6．（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E．求证：=．（这个比值叫做AE与AB的黄金比．）
（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．
（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）
7．如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB 上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC 能否成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．
x。