分支限界法的基本思想共24页
第七章 分支限界法_new
dist[1]=∞ ,0 dist[2]=∞,30,14,11 dist[3]=∞ ,6 dist[4]=∞ ,4 prev[1]=0 prev[2]=1, 4 ,3 prev[3]=1 prev[4]=1
4, 1, 4
3, 1, 6
2, 1, 30
3, 1, 6 2, 1, 30 2, 3, 11
E
North China Electric Power University
H 2, 1, 30 2, 1, 30 3, 1, 6
1
6 5
30
2
4 10
1, 0 , 0
4, 1, 4
3
20
4
2, 1, 30 3, 1, 6 3, 1, 6 2, 1, 30 2, 4, 14 2, 3, 11 2, 1, 30 2, 4, 14
2, 4, 14
2, 4, 14 2, 1, 30
2, 4, 14
2, 1, 30
North China Electric Power University
3.布线问题
1.问题描述
印刷电路板将布线区域分成n*m个方格阵列。精确的电路 布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线 方案。在布线时，电路只能沿直线或直角进行。为了避免线路 相交，已布了线的方格做了封锁标记，其他线路不允许穿过被 封锁的方格。如下图所示，在一个7*7的方格阵列中布线，其 中起始位置a=(3,2),目标位置b=(4,6)，阴影方格表示被封锁的 方格。
North China Electric Power University
例：0-1背包问题 n=3，C=20，(p1,p2,p3)=(20,15,25) (w1,w2,w3)=(10,5,15)，求X=(x1,x2,x3)使背包价值最大？
第六章 分支与界限
• 在整个搜索过程中，每遇到一个活结点，就对它的各个孩 子结点进行目标函数可能取得值得估算，然后把以此来更 新表结点：丢弃不再需要的结点，加入新的结点。再从表 中选取“界”取极值的结点，并重复上述过程。 • 随着过程的不断深入，结点表中所估算的目标函数的极值， 越来越接近问题的解。当搜索到一个叶子结点时，如果对 该结点所估算的目标函数的值就是结点表中最大或最小值， 那么沿叶子结点到根结点的路径确定的解就是问题的解。
∞ 5 20 10 23
25 ∞ 16 51 9
41 18 ∞ 25 7
32 31 7 ∞ 11
28 26 1 6 ∞
13
14
6.2.1 费用矩阵的行归约（列归约）
• 费用矩阵c的第i行（或第j列）中的每个元素减去一个正常 数lhi（或chj），得到一个新的费用矩阵，使得新矩阵中第i 行（或第j列）中的最小值为0，称为费用矩阵的行归约 （列归约），称lhi为行归约常数，称chj为列归约常数。 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 0
∞ 13 3 43 4 0
0 2
3 lh0=3 4
13 ∞ 19 0
0 2 ∞ 0
0 0 0 ∞
∞ 0 19 4 16
0 ∞ 15 45 2
16 13 ∞ 19 0
3 22 2 ∞ 0
3 21 0 0 ∞
的选择中，必然包含第i行 的最小元素和第j列的最小 元素（除cij之外的）。
ch1=2
25 26
0 ∞ 15 45 2
16 13 ∞ 19 0
3 22 2 ∞ 0
3 21 0 0 ∞
h lhi ch j
j 0
3 4
∞ 5 20 10 23
第10讲分支限界法
背包问题的一个实例如下： 例：考虑n =3 时0-1背包问题的一个实例如下： 考虑 背包问题的一个实例如下 w =[16,15,15], p= [45, 25,25],c = 30。其子集树 。
7
用队列式分支限界法解此问题 队列式分支限界法解此问题
队列式分支限界法搜索解空间树的方式与 解空间树的广度优先遍历算法极为相似， 解空间树的广度优先遍历算法极为相似， 唯一的不同之处是队列式分支限界法不搜 索以不可行结点为根的子树。 索以不可行结点为根的子树。
13
算法思想
2. 队列式分支限界法
用一个队列Q来存放活结点表 来存放活结点表， 中 用一个队列 来存放活结点表 ， Q中weight表示每个活结 表示每个活结 ＝－1时 点所相应的当前载重量。 点所相应的当前载重量。当weight＝－ 时，表示队列已达 ＝－ 到解空间树同一层结点的尾部 同一层结点的尾部。 到解空间树同一层结点的尾部。 算法首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点。 算法首先检测当前扩展结点的左儿子结点是否为可行结点 。 如果是则将其加入到活结点队列中。 如果是则将其加入到活结点队列中 。 然后将其右儿子结点 加入到活结点队列中(右儿子结点一定是可行结点 右儿子结点一定是可行结点)。 个儿 加入到活结点队列中 右儿子结点一定是可行结点 。 2个儿 子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 子结点都产生后，当前扩展结点被舍弃。 活结点队列中的队首元素被取出作为当前扩展结点 • 取出元素不是 时，活结点队列一定不空。由于队列中每一 取出元素不是-1时 活结点队列一定不空。 层结点之后都有一个尾部标记-1。 层结点之后都有一个尾部标记 。 • 取出的元素是 时，判断当前队列是否为空。如果队列非空， 取出的元素是-1时 判断当前队列是否为空。如果队列非空， 则将尾部标记-1加入活结点队列 加入活结点队列， 则将尾部标记 加入活结点队列 ， 算法开始处理下一层的活 结点。 结点。
分支限界法的基本思想
现在来看上面两张图。演示了分支限界法的过程。最开始，队列中的 活结点为标1的格子，随后经过一个轮次，活结点变为标2的格子，以此类 推，一旦b方格成为活节点便表示找到了最优方案。为什么这条路径一定就 是最短的呢？这是由于我们这个搜索过程的特点所决定的，假设存在一条 由a至b的更短的路径，b结点一定会更早地被加入到活结点队列中并得到处 理。 最后一个图表示了a和b之间的最短布线路径。值得一提的是，在搜索 的过程中我们虽然可以知道结点距起点的路径长度，却无法直接获得具体 的路径描述。为了构造出具体的路径，我们需要从目标方格开始向起始方 格回溯，逐步构造出最优解，也就是每次向标记距离比当前方格距离少1的 相邻方格移动，直至到达起始方格时为止。 现在我们来考虑，为什么这个问题用回溯法来处理就是相当低效的。 回溯法的搜索是依据深度优先的原则进行的，如果我们把上下左右四 个方向规定一个固定的优先顺序去进行搜索，搜索会沿着某个路径一直进 行下去直到碰壁才换到另一个子路径，但是我们最开始根本无法判断正确 的路径方向是什么，这就造成了搜索的盲目和浪费。更为致命的是，即使 我们搜索到了一条由a至b的路径，我们根本无法保证它就是所有路径中最 短的，这要求我们必须把整个区域的所有路径逐一搜索后才能得到最优解。 正因为如此，布线问题不适合用回溯法解决。
用于求解最优化问题
6.1 基本思想
在问题的边带权的解空间树中进行广度优先搜索. 找一个回答结点 使其对应路径的权最小(最大)。当搜索到达一个扩展结点时,一次性 扩展它的所有儿子,将那些满足约束条件且最小耗费函数≤目标函数 限界的儿子,插入活动结点表中, 再从活动结点表中取下一结点同样 扩展. 直到找到所需的解或活动结点表为空为止。 结点x的最小耗费函数c(x):以x为根的子树所包含的回答结点中,路权 最小者。若x是回答结点, 则c(x)即为该点的目标函数值; 若x是根结 点, 则c(x)即为最优解值。c(x)为单增函数。若x*是任一回答结点, 且c(x*)<U, 则当搜索到结点x,而c(x)>U时, x将不必扩展(剪枝)。 目标函数限界U的调整:初始U可取∞，随回答结点值的求出逐步更新 为U=c(x*), x*为已知回答结点中值最小者。 活动结点表: 通常采用优先队列方式组织, c(x)小者优先。
布线问题（分支限界法）
布线问题（分⽀限界法）⼀、⾸先说⼀下分⽀限界法的思想：（1）⽐较：分⽀限界法和回朔法有相似之处，但是回朔法是搜索问题的所有解，采⽤深度优先搜索；⽽分⽀限界法是搜索问题的最优解，采⽤的是⼴度优先搜索；（2）核⼼思想：分⽀限界法中，每⼀个活节点都只有⼀次机会成为扩展节点。
活节点⼀旦成为扩展节点，就⼀次性产⽣所有的⼉⼦节点。
在这些⼉⼦节点中，导致不可⾏解或者导致⾮最优解的⼉⼦节点被舍弃，其余⼉⼦节点被加⼊活节点表中。
此后，从活节点表中取下⼀节点成为当前扩展节点，并重复上述节点的扩展过程。
这个过程⼀直在持续到找到所需要的最优解或者活节点表为空时为⽌；其中：选择扩展节点的⽅式可以分为：队列式分⽀限界法和优先队列式分⽀限界法。
后者相对于前者的改进是对活节点加⼊了优先级，优先级最⾼的成为扩展节点（通常通过最⼤堆最⼩堆实现）；⼆、布线问题描述：代码如下：//队列类 : LinkedQueue.h#ifndef LINKEDQUEUE_H#define LINKEDQUEUE_Htemplate <class Type>class LinkedQueue{public:LinkedQueue(){};explicit LinkedQueue(int Capacity); //创建队列bool IsEmpty(); //判断是否空bool IsFull(); //判断是否满bool Add(Type &cell); //向队列中加⼊元素bool Delete(Type &cell); //删除队列中的元素~LinkedQueue();private:Type cell;Type *ptr; //队列中的元素指针int QueueLen; //队列元素个数int QueueCapacity; //队列容量int Head;int Tail;};template <class Type>LinkedQueue<Type>::~LinkedQueue(){delete[]ptr;ptr = nullptr;}template <class Type>LinkedQueue<Type>::LinkedQueue(int Capacity){QueueCapacity = Capacity;Head = 0;Tail = 0;QueueLen = 0;ptr = new Type[QueueCapacity];}template <class Type>bool LinkedQueue<Type>::IsEmpty(){if (QueueLen == 0)return true;elsereturn false;}template <class Type>bool LinkedQueue<Type>::IsFull(){if (QueueLen == QueueCapacity)return true;elsereturn false;}template <class Type>bool LinkedQueue<Type>::Add(Type &cell){if (IsFull())return false;else{ptr[Tail] = cell;Tail++;QueueLen++;return true;}}template <class Type>bool LinkedQueue<Type>::Delete(Type &cell){if (IsEmpty())return false;else{cell = ptr[Head];Head++;QueueLen--;return true;}}#endif//使⽤分⽀限界法解决布线问题main.cpp//====================================================#include <iostream>#include "LinkedQueue.h"//#include <queue>using namespace std;int n, m; //布线盘是n * m⼤⼩class Position{public:int row;int col;};bool FindPath(int ** grid , Position start, Position finish, int &PathLen, Position * &path) {//计算从起始位置start到⽬标位置finish的最短布线路径//找到最短布线路径则返回true，否则返回flaseif ((start.row == finish.row) && (start.col == finish.col)){PathLen = 0;return true;}//设置⽅格阵列“围墙”for (int i = 0; i < m + 1; i++){grid[0][i] = grid[n + 1][i] = 1; //顶部和底部}for (int i = 0; i < n + 1; i++){grid[i][0] = grid[i][m + 1] = 1; //左翼和右翼}//初始化相对位移Position offset[4];offset[0].row = 0; offset[0].col = 1; //右offset[1].row = 1; offset[1].col = 0; //下offset[2].row = 0; offset[2].col = -1; //左offset[3].row = -1; offset[3].col = 0; //上int neigh_num = 4; //相邻⽅格数Position here, nbr;here.row = start.row;here.col = start.col;grid[start.row][start.col] = 2;//标记所有可以到达的⽅格位置LinkedQueue<Position> Q(n * m + 1); //队列//queue<Position> Q(); //队列//标记可到达的相邻⽅格do {for (int i = 0; i < neigh_num; i++){nbr.row = here.row + offset[i].row;nbr.col = here.col + offset[i].col;if (grid[nbr.row][nbr.col] == 0) //该⽅格未被锁定{grid[nbr.row][nbr.col] = grid[here.row][here.col] + 1;if ((nbr.row == finish.row) && (nbr.col == finish.col)) //完成布线break;Q.Add(nbr); //压⼊队列称为活节点}}//是否到达⽬标位置finish?if ((nbr.row == finish.row) && (nbr.col == finish.col)) //完成布线,是否要加这⼀步？ break;//活节点队列是否⾮空if (Q.IsEmpty()) //⽆解return false;Q.Delete(here); //取下⼀个扩展节点} while (true);//构造最短布线路径PathLen = grid[finish.row][finish.col] - 2;path = new Position[PathLen];//从⽬标位置finish开始向起始位置回溯here = finish;for (int j = PathLen - 1; j >= 0; j--){path[j] = here;//找前驱位置for (int i = 0; i < neigh_num; i++){nbr.row = here.row + offset[i].row;nbr.col = here.col + offset[i].col;if (grid[nbr.row][nbr.col] == j + 2)break;}here = nbr; //向前移动}return true;}int main(void){Position start, finish; //开始位置和⽬标位置int PathLen; //最短路径的长度Position *path; //记录的最短路径cout << "请输⼊布线盘的⼤⼩，n * m 规格： " << endl;cin >> n >> m;cout << "请输⼊开始位置(x , y) :" << endl;cin >> start.col >> start.row;cout << "请输⼊结束位置(x , y) :" << endl;cin >> finish.col >> finish.row;int ** grid = new int*[n + 2];for (int i = 0; i < n + 2; i++){grid[i] = new int[m + 2];}for (int i = 0; i < n + 2; i++){for (int j = 0; j < m + 2; j++){grid[i][j] = 0;}}FindPath(grid, start, finish, PathLen, path);for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 1; j <= m; j++){cout << grid[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << "最短路径是： " << endl;cout << PathLen << endl;system("pause");return 0;}效果图类似：。
第七章 分支限界法
旅行售货员问题
2. 问题分析
可能解空间： 可能解集合S={1,∏, 1} ∏是{2,3,……,n}的一个排列；
所以可能解的总数 |S| = (n-1)! (n-1)!。 当n=4时，其状态解空间一共有3!=6 条路径。
对此设计代价函数： 1）C(x)=从根到节点x的距离（x为叶子） 2）C(x)=x的子树中最小代价的叶子节点的代价（x为 内部节点）
生成问题状态的基本方法
扩展结点: 扩展结点:一个正在产生儿子的结点称为扩展结点 活结点: 活结点:一个自身已生成但其儿子还没有全部生成的节点称 做活结点 死结点: 死结点:一个所有儿子已经产生的结点称做死结点 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R，一旦 深度优先的问题状态生成法：如果对一个扩展结点R 产生了它的一个儿子C 就把C当做新的扩展结点。 产生了它的一个儿子C，就把C当做新的扩展结点。在完成 对子树C 为根的子树）的穷尽搜索之后， 对子树C（以C为根的子树）的穷尽搜索之后，将R重新变成 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 扩展结点，继续生成R的下一个儿子（如果存在） 宽度优先的问题状态生成法： 宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结点 之前， 之前，它一直是扩展结点 回溯法：每当出现死节点就进行回溯， 回溯法：每当出现死节点就进行回溯，通过继续扩展父节 点产生新的活节点，直至找到最优解。 点产生新的活节点，直至找到最优解。 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 分支限界法：每个活节点有且只有一次机会变成扩展节点、 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（ 当一个节点变为扩展节点时，则生成所有的子节点（分 支）。
剪枝操作。根据约束条件、目标函数的界来设计剪枝操 作。 优先队列。设计待检测结点的优先级。 2．分枝限界法的基本思想 树的优先队列优先搜索 + 剪枝
分支限界法解最大团问题
分支限界法解最大团问题引言最大团问题是图论中经典的组合优化问题之一，它的基本思想是在给定的无向图中寻找一个最大的完全子图，其中图中的每一对顶点都相互连接。
在实际应用中，最大团问题有着广泛的应用，例如社交网络中的好友圈筛选、任务分配问题等都可以转化为最大团问题。
分支限界法的基本思想分支限界法是一种搜索算法，其基本思想是根据当前搜索路径上的节点来限制搜索空间，从而提高搜索效率。
具体来说，分支限界法会使用一个优先级队列来存储当前搜索路径上的节点，并对队列中的节点进行排序。
每次选择优先级最高的节点进行扩展，直到找到一个解或者搜索空间为空。
分支限界法解决最大团问题的步骤1.首先，定义一个最大团的上界，将其初始化为0。
同时，定义一个空的搜索路径，用于存储当前搜索路径上的节点。
2.从图中选择一个初始节点开始搜索，将其加入搜索路径，并更新当前搜索路径的最大团上界。
3.对当前搜索路径上的节点进行扩展：-选择一个未被访问的邻节点，将其加入搜索路径；-更新当前搜索路径的最大团上界；-将扩展后的节点加入优先级队列。
4.重复步骤3，直到搜索路径为空或者不再存在更优的搜索路径。
5.搜索结束后，得到的最大团即为所求解。
示例以下是一个简单的示例来说明分支限界法解决最大团问题的过程：假设有如下无向图：A----B/|\/|\C--D-------E||||||F--G-------H初始状态下，最大团的上界为0，搜索路径为空。
从节点A开始搜索，将其加入搜索路径，并更新最大团的上界为1。
然后将未被访问的邻节点B、D加入搜索路径，并更新最大团的上界为2。
由于节点D没有未被访问的邻节点，搜索路径无法继续扩展。
此时，搜索路径上的节点为[A,B,D]，最大团的上界为2。
接下来，从优先级队列中选择下一个节点扩展。
假设选择节点B进行扩展。
将未被访问的邻节点A、E加入搜索路径，并更新最大团的上界为3。
此时，搜索路径上的节点为[A,B,E]，最大团的上界为3。
分支限界法
11
6.2 单源最短路径问题
2. 算法思想
用最大堆还是最小堆存储活结点表？ 其优先级是结点所对应的当前路长。 算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展 后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出 具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与 当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶 点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应 的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结 点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续 到活结点优先队列为空时为止。 12
分支限界法
1
6.1 分支限界法的基本思想
1. 分支限界法与回溯法的不同
（1）求解目标： 回溯法：找出解空间树中满足约束条件的所有解； 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是在满足约 束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 （2）搜索方式的不同：
回溯法：深度优先的方式搜索解空间树；
分支限界法则：广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解 空间树。
2
为何称为分支限界法？ ※ 分支 在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点（分支），然 后再从当前的活结点表中选择下一个扩展结点。 ※ 限界 为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索进程，在每个 活结点处，计算一个函数值（限界），并根据函数值，从 当 前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜 索 朝着解空间树上有最优解的分支推进，一遍尽快找出一个 最 优解。
优先队列式分支限界法：用最大堆实现优先队列，优先级 为活结点所获得的价值。（197页）
A入堆→B,C入堆（并且舍弃A）→E入堆（D不可行，舍弃）→J不可行， 舍弃，K是可行的叶结点，是一个可行解→ F,G入堆→ L,M均为可行叶结 点，得到相应的可行解→N,O可行叶结点，得相应可行解→活结点堆空
分支限界法
• 在子树X中离X最近的那个 在子树X中离X
答案结点到X的路径长度。 答案结点到X的路径长度。
X
a
6
分支限界法的基本思想
用c(·)表示有智力的排序函数，又称为结点成本函数。 c(·)表示有智力的排序函数，又称为结点成本函数。 表示有智力的排序函数 它的定义如下： 它的定义如下： 如果X是答案结点， c(X)是由解空间树的根结点 1. 如果X是答案结点，则c(X)是由解空间树的根结点 到X的成本； 的成本； 如果X不是答案结点且子树X不包含任何答案结点， 2. 如果X不是答案结点且子树X不包含任何答案结点， 则c(X)=∞; 否则c(X)等于子树X c(X)等于子树 3. 否则c(X)等于子树X中具有最小成本的答案结点的 成本。 成本。 但要指出的事，要得到结点成本函数c(·)所用的计算工作量 但要指出的事，要得到结点成本函数 所用的计算工作量 与解原问题具有相同复杂度， 与解原问题具有相同复杂度，这是因为计算一个结点的代价 通常要检索包含一个答案结点的子树X才能确定 才能确定， 通常要检索包含一个答案结点的子树 才能确定，因此要得 到精确的成本函数一般是不现实的。 到精确的成本函数一般是不现实的。在算法中检索活结点的 ˆ 来排出。 次序通常根据能大致估计结点成本函数 c(⋅)来排出。 7
10 0 20 2 20 10 4
∞
∞
10
• •
LC没能达到这个最小成本答案结点的原因在于有两个这样 LC没能达到这个最小成本答案结点的原因在于有两个这样 ˆ ˆ 的节点X 的节点X和Y，当 c ( X ) > c (Y ) 时，却有 c ( X ) < c (Y ) ˆ ˆ 那么， 如果是每对 c ( X ) < c (Y ) 的X、Y都有 c ( X ) < c (Y ) ，那么， LC总会找到一个最小成本答案结点 总会找到一个最小成本答案结点。 LC总会找到一个最小成本答案结点。 12
《分支限界法》课件
汇报人：PPT
单击输入目录标题 分支限界法的基本概念 分支限界法的核心算法 分支限界法的实现细节 分支限界法的优化策略 分支限界法的应用案例分析
添加章节标题
分支限界法的基本概念
定义与原理
分支限界法是一种求解优化问题的 算法
在求解过程中，分支限界法会不断 地扩展问题的解空间，直到找到最 优解或确定不存在最优解为止
分支限界法的重要性和应用领域
分支限界法的优缺点和适用范围
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分支限界法的算法原理和实现过程
分支限界法的未来发展趋势和应用 前景
未来研究方向展望
优化算法性能：提高分支限界法的效率，减少时间复杂度 扩展应用领域：将分支限界法应用于更多领域，如机器学习、优化问题等 改进算法设计：探索新的分支限界法算法，提高解决问题的能力和范围 强化理论支撑：深入研究分支限界法的理论，为算法设计提供更坚实的支撑
求解其他优化问题案例
旅行商问题： 使用分支限界 法求解旅行商 问题的最优解
背包问题：使 用分支限界法 求解背包问题
的最优解
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调度问题：使 用分支限界法 求解调度问题
的最优解
排班问题：使 用分支限界法 求解排班问题
的最优解
分支限界法的局限性与挑战
算法适用范围限制
只能求解优化问题 无法处理多约束条件 对问题的规模有限制 无法处理动态变化的问题
优化策略：通过优化搜索策略和剪 枝技术可以降低算法的复杂度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
空间复杂度：分支限界法需要存储 问题的状态和搜索过程中的信息
适用场景：分支限界法适用于求解 一些组合优化问题，如旅行商问题、 背包问题等
第6章__分支限界法
算法的改进
节点的左子树表示将此集装箱装上船，右 子树表示不将此集装箱装上船。
设bestw是当前最优解；ew是当前扩展结点所相 应的重量；r是剩余集装箱的重量。则当 ew+rbestw时，可将其右子树剪去，因为此时 若要船装最多集装箱，就应该把此箱装上船。
另外，为了确保右子树成功剪枝，应该在 算法每一次进入左子树的时候更新bestw的 值。
28
优先队列式分支限界法
在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结 点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所 相应的解即为最优解。此时可终止算法。 最大优先级队列中的活节点都是互相独立的， 因此每个活节点内部必须记录从子集树的根到 此节点的路径。 一旦找到了最优装载所对应的叶节点，就利用 这些路径信息来计算x 值。
分支限界法
1
提纲
分支限界法的基本思想 装载问题 布线问题 0-1背包问题 小结
2
提纲
分支限界法的基本思想 装载问题 布线问题 0-1背包问题 小结
3
分支限界法的基本思想
分支限界法与回溯法的不同
求解目标
回溯法：所有解 分支限界法：找出满足约束条件的一个解，或是满 足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 回溯法：深度优先搜索解空间树 分支限界法：广度优先或以最小耗费(最大收益)优先 的方式搜索解空间树。
25
构造最优解
算法EnQueue做如下修改： void EnQueue(…..) {// 如不是叶节点，向Q中添加一个i 层、重量为wt的活节点 // 新节点是E的孩子。当且仅当是左孩子时，ch为true。 if (i == n) // 叶子 { if (wt == bestw) // 目前的最优解 { bestE = E; bestx[n] = ch;} return; } QNode<T> *b; // 不是叶子, 添加到队列中 b = new QNode<T>; b->weight = wt; b->parent = E; b->LChild = ch; Q.Add(b); }
第6章分支限界法
堆的定义： 若n个元素的序列{a1 a2 … an} 满足 ai ≤ a2i ai ≤ a2i+1 或 ai ≥ a2i ai ≥ a2i+1
则分别称该序列{a1 a2 … an}为小根堆 和大根堆。 从堆的定义可以看出，堆实质是满足如下性质的完 全二叉树： 二叉树中任一非叶子结点均小于(大于)它的孩子结点
问题定义：在n×n的国际象棋棋盘上摆下n个皇后，使所有 的皇后都不能攻击到对方，找出所有符合要求的情况。 分析： n后问题的解空间树是一棵排列树，解与解之间不存在优 劣的分别。直到搜索到叶结点时才能确定出一组解。 采用回溯法可以系统地搜索问题的全部解。
分支限界法的基本思想
既可以采用回溯法也可以采用分支限界法解决
4
B G H I H I E J C D
(0,0)
0
D
0
E
0
(5,15)
F
0
1
G M
(0,0)
1
1
1
0
H
10 0
I
J
15 10 5
K
0
L
N
15 0
O
15 10 20 5
B C D E F G I K L M N O
20 0 35 20 15 0 35 20 40 15 25 0 当前最优解 当前最优解
举例：0-1背包问题
n=3时0-1背包问题的一个实例：w=[16, 15, 15]，p=[45, 25, 25]，
的问题 — 0-1背包问题
问题定义：给定若干物品的重量和价值，以及 一个背包的容量上限。求出一种方案使得背包 中存放物品的价值最高。
分析：0-1背包问题的解空间树是一棵子集树， 所要求的解具有最优性质。
分支限界法基本思想
{ // 顶点i到顶点j可达，且满足控制约束
dist[j]=enode.length+a[enode.i][j]; p[j]=enode.i; HeapNode node = new HeapNode(j,dist[j]); heap.put(node); } if (heap.isEmpty()) break; else enode = (HeapNode) heap.removeMin(); } // 加入活结点优先队列
单源最短路径问题
• 算法从源节点S和空优先队列开始。
• S被扩展，3个子节点1、2、3被插入
s
0 a 2 b
堆中。计算0-1、0-2和0-3当前最短路 径长为2。 • 将当前路径最短的节点1扩展，即 走0-1-2,0-1-5,0-1-4计算，但是在 计算0-1-2过程中当前最短路径为3 (0-2)，剪掉0-1-2上以2为根的子树。 •将2进行扩展，走bg和bf。 •将3进行扩展，走ch。 •选择路径长最小0-1-5的结点5作为 扩展结点。当前最短路径为4.同时 剪掉0-2-5路径中以5为根的子树。
0 a 2 1 3 2
b
c 4 3 h 6 6
u
2 5
e
d
g
f
12 5 l 8 10 p
4 5 9 4 5 6
q
k
m
5 6 7 8 6 9 o r
12 10 8 8
8 10
单源最短路径问题
算法实现
while (true)
{ // 搜索问题的解空间 for (int j=1;j<=n;j++) if(a[enode.i][j] < Float.MAX_VALUE && enode.length+a[enode.i][j] < dist[j])
分支限界法的基本思想26页PPT
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
分支限界法的基本思想
1、战鼓一响，法律无声。——英国 பைடு நூலகம்、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
END