武汉市2015届高三毕业生供题训练(三)理科数学答案

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2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)nx +中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（）（A q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13n n aq n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立； ②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）（A ）77 （B ）49 （C ）45 （D ）30 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006 【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；（2）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==．（16）【2015年，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期x ωϕ+ 0π2 π 3π2 2π x π3 5π6sin()A x ωϕ+0 5 5- 0（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0π2π 3π22πxπ12 π3 7π12 5π6 13π12 sin()A x ωϕ+55-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ② 由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-．（19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以 PD DG ⊥．而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ，解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶210001吨B 产品需鲜牛奶1．51．5小时，获利 1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过 12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 P 0．3 0．5 0．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探 OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，（2②8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

2015年湖北省高考数学理科试卷及解答

1.i 为虚数单位，607i=（）A ．i B ．-i C ．1 D ．-1【答案】A2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B3.已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（） A.122B ．112 C ．102D ．92【答案】D4.设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】C5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则（）A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）【答案】B A ．123p p p << B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30【答案】C10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]nt n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B11.已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =，则OA OB ∙= .【答案】912．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】610014．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）正确结论的序号是①②③.15．如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC =. 【答案】21 16．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于AB 两点，则||AB =. 【答案】5217．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 【解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-. （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.18．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- ，故nT 12362n n -+=-. 19．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．【解】（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥.又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面DEF . 由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD =Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 πtantan 3BDDPF PD=∠===, 解得λ=. 所以1DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =（解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE = ，于是0PB DE ⋅= ，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DE EF E = ，所以PB DEF ⊥平面. 因(0,1,1)PC =- , 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量. 若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则12，解得λ=.所以1DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =20．某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【解】（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D . 将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为3311(1)10.30.973.p p =--=-= 21．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．【解】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN = ，且||||1DN ON == ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += （Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ①又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8. 22．已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()nn n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e xf x x =+-的单调区间，并比较1(1)nn+与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <. 【解】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e xf x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减. 故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e xx +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<. ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=.由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+ .当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ .所以当1n k =+时，②也成立. 根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b bb b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++ 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++ 1212n b b b n <+++ 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S . 即e n n T S <.。

湖北省武汉市2015届高三9月调考数学(理)试题 Word版含

武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）2014.9.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1＋2i (1－i)2＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112B ．5C ．92D ．46．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于A ．32B ．332 C ．3＋62 D ．3＋3947．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A ．12或－1B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－1 8．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝A ．19B ．22C ．5D ．279．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→OB ＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是A ．28B ．24C ．22 D ． 210．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(－∞，1e )B ．(－∞，e)C ．(－1e ，e)D ．(－e ，1e )二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝．12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝．13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是． 14．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR ＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12．（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值；（Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． 20．（本小题满分13分）如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *）时，证明：nm m n＞mn ．武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题11．－10 12．－4 13．23 14．8 15．1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3 三、解答题 16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4． …………………2分∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π2． …………………4分 ∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12＝cos π2(sin π2＋cos π2)－12＝－12．……………………6分（Ⅱ）f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 …………………7分＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． …………………8分当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值， …………………10分此时自变量x 的集合为{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z }．………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1． …………………2分两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． .....................3分由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ． (4)分（Ⅱ）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． …………………5分由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1．令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． …………………6分故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；…………………7分 {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．…………………8分所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2． …………………10分因此当λ＝4时，数列{a n }为等差数列．………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，…………………1分∴EF ∥AB ，DC ∥AB ， …………………2分 ∴EF ∥DC ．又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ． …………………3分又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，…………………4分 ∴EF ∥GH ．又EF ∥AB ，∴AB ∥GH ．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在△ABQ 中，∵AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，∴∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ ．又PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0，0，0)，Q (0，2，0)，D (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，(注：坐标写对给2分)∴→DP ＝(－1，－1，2)，→CP ＝(0，－1，2)．…………………8分设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·→DP ＝0，n ·→CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋2z ＝0，－y ＋2z ＝0．取z ＝1，得n ＝(0，2，1)．…………………10分又→BQ ＝(0，2，0)为平面PAB 的一个法向量， ∴cos ＜n ，→BQ ＞＝n ·→BQ |n ||→BQ |＝2×25×2＝255．故平面PAB 与平面PCD 所成角的正弦值为55．………………………………12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分P (X ＝4000)＝P (A -)P (B -)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A -)P (B )＋P (A )P (B -)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2． ∴X 的分布列为……………………………………………………………6分（注：每个概率1分）（Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），…………8分由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由（Ⅰ）知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i ＝1，2，3）． ∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P ＝C 33×0.83＋C 23×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－(|y |x ＋1)2，…………………4分化简可得，3x 2－y 2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C 的方程为x 2－y 23＝1（x ＞1）．………………………………6分（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1．消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m2＞1，f (1)＝12－4m ＋m 2＋3＞0，△＝(－4m )2－4(m 2＋3)＞0．解得m ＞1，且m ≠2．……………9分∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1m 2)2－3(1－1m 2)＝－1＋42－3(1－1m 2)．由1＜m ＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m 2)＜7．…………………12分故|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1． …………………1分由已知，得f ′(e)＝3，即a ＋lne ＋1＝3∴a ＝1．……………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝x ＋x ln x ，∴f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立⇔k ≥1＋ln xx 对任意x ＞0成立，……………4分令g (x )＝1＋ln xx ，则问题转化为求g (x )的最大值．求导数，得g ′(x )＝－ln xx 2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1．…………………5分当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数；当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分故g (x )在x ＝1处取得最大值g (1)＝1．∴k ≥1即为所求．…………………………………………………………………8分（Ⅲ）令h (x )＝x ln xx －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2．…………………9分由（Ⅱ），知x ≥1＋ln x （x ＞0），∴h ′(x )≥0，…………………10分∴h (x )是(1，＋∞)上的增函数．∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln mm －1，…………………11分∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，…………………12分即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ，即ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，即ln(mn n )m ＞ln(nm m )n ， …………………13分 ∴(mn n )m ＞(nm m )n ，∴nm m n＞mn ． (14)分。

2015年湖北数学高考卷-理科(含答案)

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合M={x|x²3x+2=0}，则集合M的元素个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点位于（）A. x轴上B. y轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上3. 函数f(x)=x²+2x+3，那么f(1)的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1、a2、a3，若a1+a3=6，a2+a3=8，则a10的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 265. 在△ABC中，若sinA : sinB : sinC = 3 : 4 : 5，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a、b为实数，且a²+b²=0，则a、b必定同时为0。

（）2. 两个平行线的斜率相等。

（）3. 对于任意的实数x，都有(x²)′=2x。

（）4. 若函数f(x)在区间（a，b）内单调递增，则f′(x) > 0。

（）5. 三角形的面积可以用底乘以高的一半来计算。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若向量a=(2，1)，则向量a的模长|a|为______。

2. 设函数f(x)=x²2x，则f(x)的顶点坐标为______。

3. 若等差数列{an}的公差为2，且a1=3，则a5的值为______。

4. 在直角坐标系中，点P(3，4)关于原点的对称点坐标为______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则θ的度数为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述实数和虚数的基本概念。

2. 什么是函数的单调性？如何判断一个函数的单调性？3. 等差数列和等比数列有什么区别？4. 请写出余弦定理的公式，并解释其含义。

5. 如何求解一个一元二次方程？五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知一元二次方程x²4x+3=0，求解该方程的根。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题 (理科)解析版

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★ 注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭复数为（）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】A 【解析】试题分析：i i i i -=⋅=⨯31514607, -i 的共轭复数为 i 选 A . 考点：复数概念.2.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石【答案】B 【解析】试题分析：依题意，这批米内夹谷约为169153425428=⨯石，选B. 考点：用样本估计总体.3.已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B ．112 C ．102 D ．92 【答案】D考点：1.二项式系数，2.二项式系数和.4.设211(,)X N μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥【答案】 C考点：正态分布密度曲线.5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥.若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则（） A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A 【解析】试题分析：对命题p ：12,,,n a a a 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立；②当≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.考点：1.等比数列的判定，2.柯西不等式，3.充分条件与必要条件.6.已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】B 【解析】试题分析：因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(xg是R上的减函数，由符号函数1,0s g n0,01,0xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0s g n[()]0,0s g n1,0xg x x xx->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.考点：1.符号函数，2.函数的单调性.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y，记1p为事件“12x y+≥”的概率，2p为事件“1||2x y-≤”的概率，3p为事件“12xy≤”的概率，则（）A．123p p p<<B．231p p p<<C．312p p p<< D．321p p p<<【答案】B（1）（2）（3）考点：几何概型.8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()b a b≠同时增加(0)m m>个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则（）A．对任意的,a b，12e e> B．当a b>时，12e e>；当a b<时，12e e<C．对任意的,a b，12e e< D．当a b>时，12e e<；当a b<时，12e e>【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）A ．77B ．49C ．45D ．30 【答案】C 【解析】试题分析：因为集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111D C B A 中的整点（除去四个顶点），即45477=-⨯个.考点：1.集合的相关知识，2.新定义题型.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B考点：1.函数的值域，2.不等式的性质.二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11.已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ∙=. 【答案】9 【解析】试题分析：因为OA AB ⊥，||3OA =，所以OA OB ∙=93||||)(222===∙+=+∙OA OB OA OA AB OA OA . 考点：1.平面向量的加法法则，2.向量垂直，3.向量的模与数量积.12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =m.【答案】6100 【解析】试题分析：依题意， 30=∠BAC ，105=∠ABC ，在A B C ∆中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ，所以45=∠ACB ，因为600=AB ，由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m ，在BCD Rt ∆中，因为30=∠CBD ，2300=BC ，所以230030tan CD BC CD == ，所以6100=CD m.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是. （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③所以11)2NB MA NA MB -==-=，11NB MA NAMB+=+=正确结论的序号是①②③.考点：1.圆的标准方程，2.直线与圆的位置关系.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=.【答案】21考点：1.圆的切线、割线，2.切割线定理，3.三角形相似. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB =. 【答案】52考点：1.极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，2.两点间的距离.三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖北省武汉市部分学校新2015届高三起点调研考试数学理试卷(解析版)

湖北省武汉市部分学校新2015届高三起点调研考试数学理试卷（解析版）2014.9.5【试卷综析】这套试题具体说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章知识,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分体现了考素质,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．1＋2i (1－i)2＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i 【知识点】复数代数形式的乘除运算.L4【答案解析】B 解析：()()()()()212212*********i i ii i i i i i +++===-+---,故选B. 【思路点拨】根据复数的除法法则可知分组分母同乘以分母的共轭复数，然后将其化简成a+bi （a ∈R ，b ∈R ）的形式即可．【题文】2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆ B ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：当a=3时，A={1，3}所以A ⊆B ，即a=3能推出A ⊆B ；反之当A ⊆B 时，所以a=3或a=2，所以A ⊆B 成立，推不出a=3故“a=3”是“A ⊆B”的充分不必要条件,故选A ．【思路点拨】先有a=3成立判断是否能推出A ⊆B 成立，反之判断“A ⊆B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【题文】3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x-＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．y ^＝0.4x ＋2.3B ．y ^＝2x －2.4C ．y ^＝－2x ＋9.5D ．y ^＝－0.3x ＋4.4【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】A 解析：∵变量x 与y 正相关，∴可以排除C ，D ；样本平均数x-＝3，y-＝3.5，代入A 符合，B 不符合，故选A ．【思路点拨】变量x 与y 正相关，可以排除C ，D ；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【题文】4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝A D ．4 2【答案解析】C 解析：因为,a b 的夹角为45°，且|a |=1，|2a -所以42a -4a b × +2b 260--=，==-【思路点拨】将|2a - 的方程，解方程可得．【题文】5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112B ．5C ．92D ．4【知识点】简单几何体三视图，棱柱的体积.G2 G7【答案解析】D 解析：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，∴棱柱的底面积为()131242+??，棱柱的高为1∴此几何体的体积为V=4×1=4,故选D.【思路点拨】先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果.【题文】6．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于A ．32 B ．332 C ．3＋62 D ．3＋394【知识点】余弦定理. C8故选B. 【思路点拨】在△ABC 中，由余弦定理可得，AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BCcosB 可求AB=3，作AD ⊥BC ，则在Rt △ABD 中，AD=AB×sinB 即可得到结果.【题文】7．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1 【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】D 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=y-ax 得y=ax+z ，即直线的截距最大，z 也最大．若a=0，此时y=z ，此时，目标函数只在A 处取得最大值，不满足条件，若a ＞0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＞0，要使z=y-ax 取最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z 与直线2x-y+2=0平行，此时a=2，若a ＜0，目标函数y=ax+z 的斜率k=a ＜0，要使z=y-ax 取最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z 与直线x+y-2=0，平行，此时a=-1，综上a=-1或a=2，故选：D【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z 斜率的变化，从而求出a 的取值．【题文】8．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝AC ．5D ．27D2【答案解析】C 解析：设S △O A 1B 1＝S ，∵OA 1=a 1=1，OA 2=a 2=2，A 1B 1∥A 2B 2， 2(141)2==，∴梯形A 1B 1B 2A 2的面积为3S ．故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S ．441s s =，232274a s a s ==，…，∵211a =，∴224a =，237a =，…．∴数列{2n a }是一个等差数列，其公差d=3，故2n a =1+（n-1）×3=3n-2．∴a n =95=，故选C.【思路点拨】先根据题意得到数列{2n a }是一个等差数列，再代入n=9即可.【题文】9．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→OB＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是A ．28 B ．24 C ．22D ． 2 【知识点】抛物线的性质；基本不等式.H7 E6【答案解析】B 解析：不妨设A ()211,y y ，B ()222,y y ，其中120,0y y ><，由→OA ·→OB ＝2可得：2212122y y y y +=，解得12122,1y y y y =-=（舍去），故212y y -=，由此可得△AFO 与△BFO 面积之和为1212OF y y ⋅-,所以121111212884OF y y y y ⎛⎫⋅-=+≥⨯= ⎪⎝⎭，故选B. 【思路点拨】先利用已知条件得到212y y -=，再结合基本不等式求出最小值即可. 【题文】10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(．(－e ，1e)B10B3【答案解析】B答案．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．【题文】11．设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝．【知识点】二项式定理.J3【答案解析】－10 解析：二项式(x －13x )5的展开式的通项公式为155155536211r r r r r r r r T C x xC x ---+=-=-（）（）．35C -=-10，故答案为-10．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的系数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．【题文】12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝．【知识点】程序框图.L1【答案解析】－4 解析：判断前x=-1，n=3，i=2，第1次判断后循环，S=-6+2+1=-3，i=1，第2次判断后S=5，i=0，第3次判断后S=-4，i=-1，第4次判断后-1≥0，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：-4．故答案为：-4．【思路点拨】列出循环过程中S 与K 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【题文】13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是．【知识点】积分的意义；几何概型..B13 K3【答案解析】23解析：因为2y x =，所以在第一象限有x =，则在第一象限的阴影部分的面积为3112022y |33y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰，所以概率为2423223⨯=⨯，故答案为23. 【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积，然后求概率即可.【题文】14．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝．【知识点】椭圆的定义;椭圆的基本性质的应用.H5【答案解析】8 解析：如图：【思路点拨】画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．【题文】15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有．【知识点】类比推理.M1【答案解析】1AQ ＋1AR ＋1AP ＝ 3NM解析：不妨设R 为AC 的中点，取AB 的中点M ，连接RM ，QR 与BC 交于N ，所以BN//MR ，故32BN MR ==,所以QB BN QM MR =，即232QB BN MR QB ===+，解得1QB =，所以2AQ AP ==, 12AR =,所以11111131222AQ AR AP ++=++=，故答案为3. 【思路点拨】不妨设R 为AC 的中点，取AB 的中点M ，连接RM ，QR 与BC 交于N ，所以BN//MR ，然后求出各线段的长度代入即可.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12．（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值；（Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．【知识点】三角函数求值；三角函数的最值.C7【答案解析】（Ⅰ）－12（Ⅱ）{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z} 解析：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4． …………………2分 ∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π2． …………………4分 ∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12＝cos π2(sin π2＋cos π2)－12＝－12．……………………6分（Ⅱ）f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12…………………7分＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． …………………8分当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值， …………………10分此时自变量x 的集合为{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z}．………………………………12分【思路点拨】（Ⅰ）先利用已知条件解出α再代入求值即可；（Ⅱ）把函数化简，利用三角函数的性质求出最小值以及自变量x 的集合即可．【题文】17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由．【知识点】数列递推式；等差关系的确定． D1 D2【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）λ＝4.解析：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1．………………1分两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． ………………2分由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．…………………………………………4分（Ⅱ）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1．………………6分由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1．令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． ………………6分故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；………………8分{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．………………10分所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2．因此当λ＝4时，数列{a n }为等差数列．………………………………………12分【思路点拨】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n -1，a n+1a n+2=λS n+1-1，相减即可得出；（Ⅱ）先由题设可得a 2＝λ－1，由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1，解得λ＝4，然后判断即可.【题文】18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ， AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值．【知识点】线面平行的性质定理；二面角.G4 G10【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）55解析：（Ⅰ）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，…………………1分∴EF ∥AB ，DC ∥AB ， …………………2分∴EF ∥DC ．又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ． …………………3分又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，…………………4分∴EF ∥GH ．又EF ∥AB ，∴AB ∥GH ．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在△ABQ 中，∵AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，∴∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ ．又PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0，0，0)，Q (0，2，0)，D (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，(注：坐标写对给2分)∴→DP ＝(－1，－1，2)，→CP ＝(0，－1，2)．…………………8分设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·→DP ＝0，n ·→CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋2z ＝0，－y ＋2z ＝0．取z ＝1，得n ＝(0，2，1)．…………………10分又→BQ ＝(0，2，0)为平面P AB 的一个法向量，∴cos ＜n ，→BQ ＞＝n ·→BQ |n ||→BQ |＝2×25×2＝255．故平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值为55．………………………………12分【思路点拨】（Ⅰ）结合已知条件先证明出EF ∥平面PCD ，然后证明即可；（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，找出平面PCD 的一个法向量以及平面P AB 的一个法向量，代入公式计算可得.【题文】19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率．【知识点】离散型随机变量的分布列；相互独立事件的概率. K5 K6【答案解析】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.896．解析：（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分∵利润＝产量×市场价格－成本，∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分P (X ＝4000)＝P (A -)P (B -)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A -)P (B )＋P (A )P (B -)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0. 2．∴X 的分布列为1分）（Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），…………8分由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由（Ⅰ）知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i ＝1，2，3）．∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P ＝C 33×0.83＋C 23×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分【思路点拨】（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4，再依次计算出各自的概率，然后列出分布列；（Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，即可计算3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.【题文】20．（本小题满分13分）如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．H8 H9【答案解析】（Ⅰ）x 2－y 23＝1（x ＞1）．（Ⅱ）(1，7)．解析：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－(|y |x ＋1)2，…………………4分化简可得，3x 2－y 2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C 的方程为x 2－y 23＝1（x ＞1）．………………………………6分（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1．消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2＞1，f (1)＝12－4m ＋m 2＋3＞0，△＝(－4m )2－4(m 2＋3)＞0．解得m ＞1，且m ≠2．……………9分 ∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1m 2)2－3(1－1m 2)＝－1＋42－3(1－1m 2)．由1＜m ＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m 2)＜7．…………………12分故|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)．……………………………………………………14分【思路点拨】（Ⅰ）设出点M （x ，y ），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M 的轨迹方程；（Ⅱ）直线y=-2x+m 与3x 2-y 2-3=0（x ＞1）联立，消元可得x 2-4mx+m 2+3=0①，利用①有两根且均在（1，【题文】21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *）时，证明：nm m n ＞m n ．【知识点】导数的运算；导数的几何意义；导数的应用.B11 B12【答案解析】（Ⅰ）a ＝1（Ⅱ）k ≥1（Ⅲ）见解析解析：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1． …………………1分由已知，得f ′(e)＝3，即a ＋lne ＋1＝3∴a ＝1．……………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝x ＋x ln x ，∴f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立⇔k ≥1＋ln x x对任意x ＞0成立，……………4分令g (x )＝1＋ln x x，则问题转化为求g (x )的最大值．求导数，得g ′(x )＝－ln x x2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1．…………………5分当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数；当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分故g (x )在x ＝1处取得最大值g (1)＝1．∴k ≥1即为所求．…………………………………………………………………8分（Ⅲ）令h (x )＝x ln x x －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2．…………………9分由（Ⅱ），知x ≥1＋ln x （x ＞0），∴h ′(x )≥0，…………………10分∴h (x )是(1，＋∞)上的增函数．∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln m m －1，…………………11分 ∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，…………………12分即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ，即ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，即ln(mn n )m ＞ln(nm m )n ， …………………13分∴(mn n )m ＞(nm m )n ，∴nm m n ＞m n ．…………………………………………………………………………14分【思路点拨】（Ⅰ）利用导数的几何意义即可；（Ⅱ）把原不等式转化为求g(x) ＝1＋ln xx的最大值的问题，再利用导数求之即可；（Ⅲ）先证明出h(x)是(1，＋∞)上的增函数，再证明即可.。

2015年高考湖北理科数学卷(含解析、答案)word

湖北省教育考试院保留版权数学（理工类）第1页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i 为虚数单位，607i 的共轭．．复数．．为 A ．i B ．i - C ．1 D ．1-答案：A 解析：6084152607i i 1ii i i i⨯====-，其共轭复数为i .故选（A ）. 2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石答案：B解析：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A ．122 B ．112C ．102D ．92答案：D解析：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以37C C n n =，解得10n =.所以根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为1922n -=.故选(D).数学（理工类）第2页（共6页）4．设211(,)X N μσ ，222(,)Y N μσ ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 答案：C解析：对于选项(A)，因为正态分布曲线关于直线x μ=对称，所以12μμ<.所以()()120.5P Y P Y μμ≥>=≥.故选项（A ）错误；对于选项（B ），因为X 的正态分布密度曲线比Y 的正态分布密度曲线更“瘦高”，所以12σσ<.所以()()21P X P X σσ≤<≤.故选项（B ）错误；对于选项(C)，在y 轴右方作与x 轴垂直的一系列平行线，可发现在任何情况下，X 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积都大于Y 的正态分布密度曲线与x 轴之间围成的图形面积，即对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤.故选项(C) 正确；5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ ，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件答案：A解析：柯西不等式“数学（理工类）第3页（共6页）()()()222222212-1231223-1n n n n aa a a a a a a a a a a ++⋯+++⋯+≥++⋯+”等号成立的条件是“-11223n na a a a a a ==⋯=（即12,,,,n a a a …成等比数列）”或“230n a a a ====…”，故p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选（A ）.6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-答案：B解析：不妨令()1f x x =+，2a =，则()()()2g x f x f x x =-=-. 则()()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦，排除选项（A ）； ()()sgn sgn 1f x x =+⎡⎤⎣⎦是以1+x 与0比较，排除选项（C ），（D ）. 故选（B ）.7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<答案：B解析：在同一平面直角坐标系中，依次作出不等式01,11,,01,22x x y x y y ≤≤⎧+≥-≤⎨≤≤⎩12xy ≤的可行域如下图所示：数学（理工类）第4页（共6页）则OCDEBACDE S S p 四边形曲边多边形=1，OCDEBOAFDGS S p 四边形曲边多边形=2，3GEOCF OCDES p S =曲边多边形四边形.因为D G F BEG ABO S S S ∆∆∆== ，所以BOAFDG GEOCF BACDE S S S <<曲多形曲多形曲多形边边边边边边. 所以BOAFDGGEOCF BACDE OCDEOCDEOCDES S S S S S <<曲多形曲多形曲多形四形四形四形边边边边边边边边边.即231p p p <<.故选（B ）.8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >答案：D解析：2211a b e +=，2e =.不妨令21e e <，化简得()0b b m m a a m +<>+，得am bm <，得b a <.所以当a b >时，有m a m b a b ++>，即21e e >；当a b <时，有ma mb a b ++<，即21e e <.故选（D ）.9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30 答案：C解析：如图，集合A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心数学（理工类）第5页（共6页）圆点，集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点，共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选（C ）.10．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =，则OA OB ⋅= ．答案：9 解析：由OA AB ⊥ ，得0OA AB =.所以()2O A O B O A O A A B O AO=+=+22039OA =+== .12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．答案：2解析：()()()224cossin 2sin ln 12sin 2cos 1ln 122x x f x x x x x x ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭数学（理工类）第6页（共6页）()sin 2ln 1x x =-+，令()0f x =，得()sin 2ln 1x x =+.在同一坐标系中作出两个函数sin 2y x =与函数()ln 1y x =+的大致图象如右图所示.观察图像可知，两函数图像有2个交点，故函数()f x 有2个零点.13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30 ，则此山的高度CD = m.答案：解析：依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin 30sin 45BC =︒︒，所以BC =.在BCD ∆中，30CBD ∠=︒，tan tan30CD BC CBD =∠=︒=AB数学（理工类）第7页（共6页）14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③解析：（1）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.（2）在()(2212x y -+=中，令0x =，得1y =.又由图可知，点A 在下B在上，所以点()1A，()1B .设()()1122,,,,M x y N x y数学（理工类）第8页（共6页）当直线MN 的斜率不存在时，令()()0,1,0,1,M N -则1NA NB ==， 1.MAMB == 所以.NA MA NBMB=当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =，由221,1,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得22(1)1)2(10k x kx +++=，则1212222(12(1,,11k x x x x k k +==++12121212111(1)1(1)BM NB y y kx kx k k x x x x ----+=+=+----21212121222(12222()220,1kkx kx x x k k x x x x k -⨯--+=+=-+==--+. 所以,BM NB k k =-所以,MBA NBA∠=∠BA 是MBN ∠的平分线.由内角平分线定理得,MB MA NBNA=即.NA MA NBMB=故NA MA NBMB =恒成立.当0k =时,可求得1NA NB =.故1NA NB=为定值.所以12,NB MA NAMB-==.故②正确；1NB MA NAMB+==.故③正确. 综上，正确结论的序号是①②③.（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= .数学（理工类）第9页（共6页）答案：12解析：由切割线定理知2PA PB PC =⋅，且3B C P B =，所以2P A P B =.由弦切角定理知PCA PAB ∠=∠，又APC BPA ∠=∠，所以PAB PCA ∆∆ .所以12AB PA AC PC ==. 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .答案：直线l 的极坐标方程()sin 3cos 0ρθθ-=化为直角坐标方程为30x y -=，曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩两式经过平方相减，化为普通方程为224y x -=，联立2230,4,x y y x -=⎧⎨-=⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22A ⎛-- ⎝⎭，22B ⎛ ⎝⎭.所以AB ==APBC数学（理工类）第10页（共6页）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图像上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图像. 若()y g x =图像的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．数学（理工类）第11页（共6页）（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n na nb -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++ ， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++ . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=- ，故n T 12362n n -+=-. 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体D BEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．数学（理工类）第12页（共6页）解：（解法1）（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D = ，所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥.而PC BC C = ，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥. 又PB EF ⊥，DE EF E = ，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （2）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥.又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PD PB P = ，所以DG PBD ⊥平面. 故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=, 则πtantan 3BD DPF PD=∠==解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC = 第19题图数学（理工类）第13页（共6页）解答图2解答图1（解法2）（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE = ，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥.又已知EF PB ⊥，而DE EF E = ，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅= , 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.（2）由PD ABCD⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD所成二面角的大小为π3，则π1cos 32||||BP DPBP DP ⋅===⋅，解得λ=所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC = 20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品数学（理工类）第14页（共6页）的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（1）求Z 的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．解：（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ ① 目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，解答图1 解答图2解答图3数学（理工类）第15页（共6页）3311(1)10.30.973.p p =--=-=当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1）求曲线C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若解：（1）设点(,0)(||2)Dt t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN = ，且||||1DN ON ==，图1图2解答图数学（理工类）第16页（共6页）所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（2）1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合1）2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（1）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；数学（理工类）第17页（共6页）（2）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明；（3）令112()nn n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <. 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<. ①（2）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ②下面用数学归纳法证明②.1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. 2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+ .当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++ .所以当1n k =+时，②也成立.根据1）2），可知②对一切正整数n 都成立. （3）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++= 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++ 12312112122334(1)n b b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+ 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++数学（理工类）第18页（共6页）1212n b b b n <+++ 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++ 12e e e n a a a <+++ =e n S .即e n n T S <.。

湖北省武汉二中2015届高三高考模拟理科数学试题 Word版含答案

武汉二中2015届高三高考模拟数学试卷 A 卷本试题卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集U I =，}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ，则图中阴影部分表示的集合为（） A ．{|1}x x ≥ B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|1}x x ≤2.已知,,x y R i ∈为虚数单位，且(2)1x i y i --=-+，则(1)x yi ++的值为（）A ．4B ．4-C ．44i +D ．2i3.已知命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，x x >tan ；命题:q 若,a b R ∈,则1a b +<是1a b +<的充分不必要条件,则下列命题中真命题是（）A.p q ∧B.()p q ⌝∨C.()p q ∨⌝D.()()p q ⌝∧⌝4.在某校的一次英语听力测试中用以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生的听力成绩（单位：分）.( )A ．2，5B ．5，5C ．5，7D ．8，75.如图所示，一游泳者自游泳池边AB 上的D 点，沿DC 方向游了10米,60CDB ∠=,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB 边的概率是( ) A ．16 B ．14C ．13D ．126. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为π:4，即=4V V π牟球：：.也导出了“牟合方盖”的81体积计算公式，即31=r 8V V -牟方盖差，从而计算出V 球=334r π.记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，则（） A. V V >正方盖差B. =V V 正方盖差C. V V <正方盖差D.以上三种情况都有可能7. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（） A ．4 B ．5C ．D ．8.已知函数()sin cos fx a x x =-的一条对称轴为6x π=-，且()()124,f x f x ⋅=-则12x x +的最小值为（） A ．2πB ．43πC ．3πD ．23π9. 若0m ≠,则圆锥曲线22211x y m m+=+的离心率的取值范围是( )11 123 1 6 11 6 1 24 50 35 10 1A.⎫⎪⎪⎣⎭B.⎛ ⎝⎦C.61,⎫⎛⎤⎪⎥⎪⎣⎭⎝⎦D.6,22⎛⎡⎫+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭10.设函数()2ln 2f x x x x =-+,若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭,使()f x 在[],a b 上的值域是[],ka kb ,则k 的取值范围是( )A.92ln 21,4+⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.93ln 2,ln 22⎛⎤-+ ⎥⎝⎦ C.92ln 2,4+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.9ln 2,2⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。

2015届高三统测(三)理科答案

高三统测试卷（三）答案理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合}02|{≥-=x x A ，|{x B =0＜x 2log ＜2},则)(B A C R ⋂是（）A ．|{x 2＜x ＜4}B ．}2|{≥x xC ．}4,2|{≥≤x x x 或D ． ,2|{〈x x 或}4≥x 2. 在ABC ∆中，“3π=A ”是“1cos 2A =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是（）A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数4．已知)4sin(cos 22sin ,2,21)4tan(2παααπαππα--<<-=+则且等于（）A ．552- B ．1053- C ．552 D ．101035. 下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）A ．sin()6y x π=+ B. sin(2)6y x π=- C. cos(4)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-6．由直线x =1，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（）A ．47B ．411C ．ln2D ．2ln 27. 为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象,可以将函数cos 2y x =的图象（）A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移6π个单位 C. 向右平移3π个单位 D. 向左平移6π个单位 8. 定义在R 上的偶函数，f (x )满足：对任意的x 1, x 2∈(],0-∞(x 1≠x 2), 有(x 1-x 2)[f (x 2)-f (x 1)]>0,则当n *N ∈时，有（）A ．f (-n)<f (n-1)<f (n+1) B. f (n -1)<f (-n )<f (n +1)C. f (n +1)<f (-n )<f (n -1)D. f (n +1)<f (n -1)<f (-n )9. 函数1|log |3)(21-=x x f x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．210．函数12,41()),3),7),2(2),4x x f x a f b f c f x f x x ⎧->⎪====⎨⎪+≤⎩记则（）A ．a >c >bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a >b >c11. )0)()((),(≠x g x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()f x g x f x g x ''<，且0)()(,0)3(<=-x g x f f的解集为（）A ．（－∞，－3）∪（3，+∞）B ．（－3，0）∪（0，3）C ．（－3，0）∪（3，+∞）D ．（－∞，－3）∪（0，3）12．已知定义在R 上的偶函数f (x )在［0，+∞］上是增函数，不等式f (ax + 1)≤f (x –2) 对任意x ∈[21，1]恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．［–3，–1］B ．［–2，0］C ．［–5，1］D ．［–2，1］第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设定义在R 上的函数f （x ）满足7)()2(=∙+x f x f ，若f （1）=2，则f （107）=__________.14．已知直线y =2x +1与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为．15. 下列几个命题：①函数y =是偶函数，但不是奇函数；②“⎩⎨⎧≤-=∆>0402ac b a ”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件； ③ 设函数()y f x =定义域为R ,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于y 轴对称； ④若函数)0)(cos(≠+=A x A y ϕω为奇函数，则)(2Z k k ∈+=ππϕ；⑤已知x ∈（0，π），则y =sin x +xsin 2的最小值为。

2015高考真题——数学理科(湖北卷)Word版含答案

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

在试题卷、草稿纸无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

在试题卷、草稿纸无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑答题卡上对应的答题区域内在试题卷、草稿纸上效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ．的共轭复数为 A． B． C．D．2．我国古代数学名著《数书》有米谷粒分题：粮开仓收粮，有人送来米1534石，谷，抽样取米一把254粒内谷28粒，则这批米内谷约为 A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相，则奇数项的二项式系数和为A．B．C．D．4．，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是 A．B．C．， D．， 5．设，. 若p：成等比数列，则 A．．．．6．符号函数是增函数， A． B．C． D．7．上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 A．B． C．D． 8．将离心率为双曲线的实半轴长和虚半轴长增加长度，得到离心率为双曲线，则A．，B．当时，；当时，C．，D．当时，；当时，．，，定义集合，则中元素的个数为 A．B．C．D．10．，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题） 11．，，则． 12．的零点个数为13．如图，处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则 m. 14．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点且．（Ⅰ）圆的方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于；②；③．（）选题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请在答题卡指定位置将你所选的题目序号用2B铅笔涂黑．如果全，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线且，则 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xy中以为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知，曲线 ( t为参数) 相交于B两点则三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分1分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表： 0 0 50 （Ⅰ）请将上表数据，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为等比数列的公比为q．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）时，记，数列的前n项和． 19．（本小题满分12分）如图在中，底面，，的中点作交于点（）．试判断四面体鳖臑；（）面所成二面角的大小为，求的值．20．（本小题满分12分）两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为 W 12 15 18 P 0.3 0.5 0.2 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．（）的分布列和均值；（）21．（本小题满分1分）是滑槽的中点，短杆ON可绕转动，通过处铰链与连接，上的可沿，，．当绕处的笔尖画出为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由． 22．（本小题满分14分）已知的各项均为正数，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与e的大小；（Ⅱ）计算，，，由此的，并给证明；（Ⅲ），数列，的前项和分别记为,, 证明：. 绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（类）试题参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分 1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分11．912．2 13． 14．（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③ 15．16．三、解答题本大题共6小题，共75分17．（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表： 0 0 5 00 且函数表达式为. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，得. 的对称中心为，. 令，解得， . 由于函数的图象关于点成中心对称，，解得，. 可知，当时，取得最小值. 18．（Ⅰ）由题意有，即解得或故或（Ⅱ）由，知，，，，. ② ①-②可得，故. 19．（解法1）（Ⅰ）因为底面，所以，为长方形，有，而，所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以. 而，所以. 又，，所以. 由平面，平面，可知四面体四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （Ⅱ）如图1，在面内，延长与交于点，则是平面与平面的交线. 由（Ⅰ）知，，所以. 又因为底面，所以. 而，所以. 故是面与面所成二面角的平面角设，，, 得, 则 , 解得. 所以面所成二面角的大小为时，. （解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即. 又已知，而，所以. , , 则, 所以. 由平面，平面，可知四面体即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. （Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量. 面与面所成二面角的大小为，则，解得. 所以面所成二面角的大小为时，. 20．（Ⅰ）设每天两种产品的生产数量分别为，相应的获利为，则有（1）目标函数为．当时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为．将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为．将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．当时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为将变形为，当时，直线：在轴上的截距最大，最大获利．故最大获利的分布列为 8160 10200 10800 0.3 0.5 0.2 因此，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为 21．（Ⅰ）设点，，依题意，，且，所以，且即且由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲线的方程为的斜率不存在时，直线为或，都有. （2）当直线的斜率存在时，设直线，由消去，可得. 因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即. ① 又由可得；同理可得. 由原点到直线的距离为和，可得 . ② 将①代入②得，. 当时，；当时，. 因，则，，所以，当且仅当时取等号. 所以当时，的最小值为8. 综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8. 22．（Ⅰ）的定义域为，. 当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，，即. 令，得，即. ①（Ⅱ）；； ② 下面用数学归纳法证明②（1）当时，左边右边，②成立. （2）假设当时，②成立，即. 时，，由归纳假设可得 . 时，②成立. （1）（2），可知②对一切正整数n成立. （Ⅲ）由的定义②，算术-几何平均不等式，的定义及①得 . 即. 第题图第题图 y N M O D x 第19题图第15题图 B M A N C T y O x 第14题图第13题图第4题图第19题解答图2 第19题解答图1 第20题解答图1 第20题解答图2 第20题解答图3 第21题解答图。

2015年湖北高考数学试卷(理科)及详细答案Word版)资料

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i 的共轭．．复数．．为 A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 A ．134石 B ．169石 C ．338石D ．1365石3．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．924．设211(,)XN μσ，222(,)YN μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．3010．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．第4题图（一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l第13题图第14题图AB第15题图APBC的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值. 18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；第19题图（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,A B两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DN ON==，3MN=．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20l x y-=和2:20l x y+=分别交于,P Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．第21题图1 第21题图222．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．2 13．14．（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 15．1216．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6. 18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-. 19．（12分）（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PDPB P =，所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,第19题解答图2第19题解答图1则 πtantan 3BD DPF PD=∠=解得λ= 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC（解法2）（Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos32||||BP DP BP DP λ⋅===⋅，解得λ=所以12DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC 20．（12分）（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯=第20题解答图1 第20题解答图2第20题解答图33311(1)10.30.973.p p =--=-=（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．（14分）（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 第21题解答图当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22．（14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<. ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+. 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S .即e n n T S <.。

2015年高考理科数学湖北卷-答案

【提示】解法一：（Ⅰ）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出，，所以平面DEF，即可判断平面PBC，平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角；
（Ⅱ）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线，利用直线平面的垂直判断出，，根据平面角的定义得出是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可.
【考点】简单曲线的极坐标方程，双曲线的参数方程
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：
0
x
0
5
0
0
且函数表达式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，
因为的对称中心为，，
令，解得，，
由于函数的图象关于点成中心对称，
令，解得， .
由底面ABCD为长方形，有，而，所以平面PCD，
而平面PDC，所以 .
又因为，点E是PC的中点，所以，
而，所以平面PBC，
而平面PBC，所以 .
又，，所以平面DEF.
由平面PBC，平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，
即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，， .
【考点】随机抽样，样本估计总体的实际应用
3.【答案】D
【解析】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得，可得，的展开式中奇数项的二项式系数和为 .
【提示】直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
4.【答案】C
【解析】正态分布密度曲线图象关于对称，所以，从图中容易得到 .

2015年湖北省高考数学试卷（理科）答案与解析

A．i B．﹣i C．1D．﹣1 考点：虚数单位i及其性质．系的扩充和复数．专题：数系的扩充和复数．接利用复数的单位的幂运算求解即可．分析：直接利用复数的单位的幂运算求解即可．解答：解：i607=i604+3=i3=﹣i，它的共轭复数为：i．故选：A．点评：本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．A．134石B．169石C．338石D．1365石考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用．专题：计算题；概率与统计．算题；概率与统计．粒，可得比例，即可得出结论．分析：根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．解答：解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，石，故选：B．题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．A．212B．211C．210D．29考点：二项式定理；二项式系数的性质．项式定理．专题：二项式定理．分析：直接利用二项式定理求出n，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．，然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可．解答：解：已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，项的二项式系数相等，可得，可得n=3+7=10．（1+x）10的展开式中奇数项的二项式系数和为：=29．故选：D．点评：本题考查二项式定理的应用，组合数的形状的应用，考查基本知识的灵活运用以及计算能力．算能力．4．（5分）（2015•湖北）设X ～N （μ1，ς12），Y ～N （μ2，ς22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（如图所示．下列结论中正确的是（）A ． P （Y ≥μ2）≥P （Y ≥μ1）B ． P （X ≤ς2）≤P （X ≤ς1）C ．对任意正数t ，P （X ≤t ）≥P （Y ≤t ）D ．对任意正数t ，P （X ≥t ）≥P （Y ≥t ）考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．率与统计．分析：直接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．接利用正态分布曲线的特征，集合概率，直接判断即可．解答：解：正态分布密度曲线图象关于x=μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P （X ≤t ）≥P（Y ≤t ）．故选：C ．点评：本题考查了正态分布的图象与性质，题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，学习正态分布，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数一定要紧紧抓住平均数μ和标准差ς这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质．这两个关键量，结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质． 5．（5分）（2015•湖北）设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3．若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）=（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，则（，则（） A ． p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件的必要条件 B ． p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件的充分条件 C ． p 是q 的充分必要条件的充分必要条件 D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件的必要条件考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．差数列与等比数列；简易逻辑．分析：运用柯西不等式，可得：（a 12+a 22+…+a n ﹣12）（a 22+a 32+…+a n 2）≥（a 1a 2+a 2a 3+…+a n ﹣1a n ）2，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．，讨论等号成立的条件，结合等比数列的定义和充分必要条件的定义，即可得到．解答：解：由a1，a2，…，a n∈R，n≥3．运用柯西不等式，可得：运用柯西不等式，可得：（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）≥（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，若a1，a2，…，a n成等比数列，即有==…=，则（a12+a22+…+a n﹣12）（a22+a32+…+a n2）=（a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n）2，即由p推得q，但由q推不到p，比如a1=a2=a3=…=a n=0，则a1，a2，…，a n不成等比数列．不成等比数列．故p是q的充分不必要条件．的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查充分必要条件的判断，题考查充分必要条件的判断，同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不同时考查等比数列的定义，注意运用定义法和柯西不等式解题是关键．等式解题是关键．6．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（，则（）A．s gn[g（x）]=sgnx B．s gn[g（x）]=﹣sgnx C．s gn[g（x）]=sgn[f（x）]D．s gn[g（x）]=﹣sgn[f （x）]考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．的值，判断选项即可．解答：解：由于本题是选择题，可以常用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn[g（x）]=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，正确，sgn[f（x）]=sgnx，C不正确；D正确；正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x﹣1，sgn[f（x）]=sgn（x+1）=；sgn[g（x）]=sgn（﹣x﹣1）=，﹣sgn[f （x ）]=﹣sgn （x+1）=；所以D 不正确；不正确；故选：B ．点评：本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．属于中档题．7．（5分）（2015•湖北）在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记P 1为事件“x+y ≥”的概率，P 2为事件“|x ﹣y|≤”的概率，P 3为事件“xy ≤”的概率，则（的概率，则（） A ． P 1＜P 2＜P 3 B ． P 2＜P 3＜P 1 C ． P 3＜P 1＜P 2D ． P 3＜P 2＜P 1考点：几何概型．专题：概率与统计．率与统计．分析：作出每个事件对应的平面区域，出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，求出对应的面积，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．比较即可．解答：解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P 1：D （0，），F （，0），A （0，1），B （1，1），C （1，0），则阴影部分的面积S 1=1×1﹣=1﹣=，S 2=1×1﹣2×=1﹣=，S 3=1×+dx=+lnx|=﹣ln =+ln2，∴S 2＜S 3＜S 1，即P 2＜P 3＜P 1，故选：B ．点评：本题主要考查几何概型的概率计算，题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．接通过图象比较面积的大小即可比较大小． 8．（5分）（2015•湖北）将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b （a ≠b ）同时增加m （m ＞0）个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则（，则（） A ．对任意的a ，b ，e 1＞e 2 B ．当a ＞b 时，e 1＞e 2；当a ＜b 时，e 1＜e 2 C ．对任意的a ，b ，e 1＜e 2 D ．当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：分别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．别求出双曲线的离心率，再平方作差，即可得出结论．解答：解：由题意，双曲线C 1：c 2=a 2+b 2，e 1=；双曲线C 2：c ′2=（a+m ）2+（b+m ）2，e 2=，∴=﹣=，∴当a ＞b 时，e 1＜e 2；当a ＜b 时，e 1＞e 2，故选：D ．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）（2015•湖北）湖北）已知集合已知集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z}，B={（x ，y ）||x|≤2，|y|≤2，x ，y ∈Z}，定义集合A ⊕B={（x 1+x 2，y 1+y 2）|（x 1，y 1）∈A ，（x 2，y 2）∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（素的个数为（）A．77 B．49 C．45 D．30 考点：集合中元素个数的最值．专题：新定义；开放型；集合．定义；开放型；集合．分析：由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）}，根据定义可求，根据定义可求解答：解：∵A={（x，y）|x 2+y2≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，﹣1），（1，0），（﹣1，0），B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2）} ∵A⊕B={（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，﹣1），（0，﹣2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，﹣1），（1，﹣2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，﹣1），（2，﹣2），（﹣1，﹣2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣2，﹣3），（0，﹣3），（2，﹣3），（﹣1，3），（﹣1，﹣3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，﹣1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，﹣2）（﹣3，2）（﹣3，1），（1，﹣3），（﹣3，﹣1），（﹣3，0），（﹣3，﹣2）}共45个元素个元素故选：C．点评：本题以新定义为载体，主要考查了几何的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．素．10．（5分）（2015•湖北）设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，…，[t n]=n同时成立，则正整数n的最大值是（的最大值是（）A．3B．4C．5D．6考点：进行简单的演绎推理．专题：创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑．分析：由新定义可得t的范围，验证可得最大的正整数n为4 解答：解：∵[t]=1，∴t∈[1，2），又∵[t2]=2，∴t2∈[2，3），∴t∈[，），又t2∈[2，3），∴t4∈[4，9），∴[t4]=4，∴正整数n的最大值4 故选：B．点评：本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．湖北）已知向量⊥||=3，则•=9．考点：平面向量数量积的运算．面向量及应用．专题：平面向量及应用．已知结合平面向量是数量积运算求得答案．分析：由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．解答：解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．点评：本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．cos﹣2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．数的性质及应用．分析：利用二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的定义域，画出函数的图象，求出交点个数即可．个数即可．解答：解：函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）| =2sinx﹣|ln（x+1）| =sin2x﹣|ln（x+1）|，的图象，分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．所以函数的零点有2个．个．故答案为：2．点评：本题考查三角函数的化简，函数的零点个数的判断，考查数形结合与转化思想的应用．13．（5分）（2015•湖北）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD=100m．考点：解三角形的实际应用．算题；解三角形．专题：计算题；解三角形．分析：设此山高h（m），在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用正弦定理求得h．解答：解：设此山高h（m），则BC=h，在△ABC中，∠BAC=30°，∠CBA=105°，∠BCA=45°，AB=600．根据正弦定理得=，解得h=100（m）故答案为：100．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．列式求解．14．（5分）（2015•湖北）如图，圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且|AB|=2．的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=2；（1）圆C的标准方程为（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2=1相交于M，N两点，下列三个结论：两点，下列三个结论：①=； ②﹣=2； ③+=2．其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是 ①②③ ．（写出所有正确结论的序号）（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用；圆与圆的位置关系及其判定．专题：创新题型；简易逻辑．新题型；简易逻辑．分析：（1）取AB 的中点E ，通过圆C 与x 轴相切于点T ，利用弦心距、利用弦心距、半径与半弦长之间半径与半弦长之间的关系，计算即可；的关系，计算即可；（2）设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），计算出、、的值即可．的值即可．解答：解：（1）∵圆C 与x 轴相切于点T （1，0）， ∴圆心的横坐标x=1，取AB 的中点E ， ∵|AB|=2，∴|BE|=1，则|BC|=，即圆的半径r=|BC|=，∴圆心C （1，），则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2，故答案为：（x ﹣1）2+（y ﹣）2=2．（2）∵圆心C （1，），∴E （0，），又∵|AB|=2，且E 为AB 中点，中点， ∴A （0，﹣1），B （0，+1）， ∵M 、N 在圆O ：x 2+y 2=1上，上， ∴可设M （cos α，sin α），N （cos β，sin β），∴|NA|=====，|NB|====，∴===，同理可得=，∴=，①成立，成立，正确．﹣=﹣（）=2，②正确．+=+（）=，③正确．正确．故答案为：①②③．点评：本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．注意解题方法的积累，属于难题．=．考点：与圆有关的比例线段．理和证明．专题：推理和证明．，利用相似三角形求出比值即可．分析：利用切割线定理推出PA=2PB，利用相似三角形求出比值即可．解答：解：由切割线定理可知：P A2=PB•PC，又BC=3PB，可得PA=2PB，在△P AB与△P AC中，∠P=∠P，∠P AB=∠PCA（同弧上的圆周角与弦切角相等），可得△P AB∽△P AC，∴==．故答案为：．题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．点评：本题考查切割线定理以及相似三角形的判定与应用，考查逻辑推理能力．（．考点：简单曲线的极坐标方程；双曲线的参数方程．专题：坐标系和参数方程．标系和参数方程．参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，联立直线方程和双曲线方程后分析：化极坐标方程化直角坐标方程，求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．求得交点坐标，由两点间的距离公式得答案．解答：解：由ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，得y﹣3x=0，由C的参数方程为（t为参数），两式平方作差得：x2﹣y2=﹣4．联立，得，即．∴A（），B（），∴|AB|=．故答案为：．考查了直线和圆锥曲线题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，考查了直线和圆锥曲线点评：本题考查极坐标方程化直角坐标方程，参数方程化普通方程，的位置关系，是基础的计算题．的位置关系，是基础的计算题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11分）（2015•湖北）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）0 5 ﹣5 0 ）的解析式；（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．的最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．角函数的图像与性质．分析：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可得解．可得解．解答：．数据补全如下表：解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：ωx+φ0 π2πx Asin（ωx+φ）05 0 ﹣5 0 且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．点评：本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查． 18．（12分）（2015•湖北）设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1=a 1，b 2=2，q=d ，S 10=100．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式的通项公式（2）当d ＞1时，记c n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．差数列与等比数列．分析：（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d ＞1时，由（1）知c n =，写出T n 、T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．等比数列的求和公式，计算即可．解答：解：（1）设a 1=a ，由题意可得，解得，或，当时，a n =2n ﹣1，b n =2n n ﹣11；当时，a n =（2n+79），b n =9•；（2）当d ＞1时，由（1）知a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1，∴c n ==， ∴T n =1+3•+5•+7•+9•+…+（2n ﹣1）•， ∴T n =1•+3•+5•+7•+…+（2n ﹣3）•+（2n ﹣1）•，∴T n =2+++++…+﹣（2n ﹣1）•=3﹣，∴T n =6﹣．点评：本题考查求数列的通项及求和，题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．积累，属于中档题． 19．（12分）（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角；若不是，说明理由；（只需写出结论）；若不是，说明理由；（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．的值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：解法1）（1）直线与直线，直线与平面的垂直的转化证明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判断DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，确定直角．面都是直角三角形，确定直角．（2）根据公理2得出DG是平面DEF与平面ACBD的交线．利用直线平面的垂直判断出DG⊥DF，DG⊥DB，根据平面角的定义得出∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，转化到直角三角形求解即可．角的平面角，转化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，运用向量的数量积判断即可．标系，运用向量的数量积判断即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．根据数量积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．积得出夹角的余弦即可得出所求解的答案．解答：解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，所以BC⊥平面ABCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE．又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE．又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．的四个面都是直角三角形，由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，的交线．在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．所以DG⊥DF，DG⊥DB 所成二面角的平面角，故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DGF=∠FDB=，则tan=tan∠DPF===，解得．所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．（解法2）（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），于是=0，即PB⊥DE．又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．的四个面都是直角三角形，由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；的一个法向量；的一个法向量．由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，则运用向量的数量积求解得出cos==，解得．所以所以==故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．点评：本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．空间角的求解，属于难题．20．（12分）（2015•湖北）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18 0.3 0.5 0.2 P P 0.3 该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．元）是一个随机变量．的分布列和均值；（1）求Z的分布列和均值；（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．的概率．考点：简单线性规划的应用；离散型随机变量的期望与方差．等式的解法及应用；概率与统计．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，列出可行域，目标函数，通过当W=12时，当W=15时，当W=18时，分别求出目标函数的最大获的分布列．求出期望即可．利，然后得到Z的分布列．求出期望即可．）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．（2）判断概率类型是二项分布，然后求解所求概率即可．分）解答：（12分），则有解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C （6，0）．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（7.5，0）．．将z=1000x+1200y变形为，轴上的截距最大，当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．将z=1000x+1200y变形为：，当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．的分布列为：故最大获利Z的分布列为：Z 8160 10200 10800 P 0.3 0.5 0.2 因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708 （2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，元的概率为：由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，线性规划的应用，二项分布概率的求法，考查分析问题解决问题的能力．的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2015•湖北）一种画椭圆的工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON 可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN=ON=1，MN=3，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕O转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C，以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．的方程；（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小求出该最小试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，有且只有一个公共点，试探究：椭圆C有且只有一个公共点，值；若不存在，说明理由．值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．专题：创新题型；开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．的方程；分析：（1）根据条件求出a，b即可求椭圆C的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，求出原点到直线的距离，结合三角形的面积公式进行求解即可．行求解即可．解答：解：（1）∵|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，轴上时，等号成立，轴时，等号成立．同理|OM|≥|MN|﹣|NO|=3﹣1=2，当D，O重合，即MN⊥x轴时，等号成立．∴椭圆C的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（2）①当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 为：x=4或x=﹣4，都有S △OPQ =，②直线l 的斜率k 存在时，直线l 为：y=kx+m ，（k），由消去y ，可得（1+4k 22）x 22+8kmx+4m 22﹣16=0，∵直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，有且只有一个公共点，∴△=64k 2m 2﹣4（1+4k 2）（4m 2﹣16）=0，即m 2=16k 2+4，①，由，可得P （，），同理得Q （，），原点O 到直线PQ 的距离d=和|PQ|=•|x P ﹣x Q |，可得S △OPQ=|PQ|d=|m||x P﹣x Q|=|m|||=||②，将①代入②得S △OPQ =||=8||，当k 22＞时，S △OPQ =8（）=8（1+）＞8，当0≤k 2＜时，S △OPQ =8||=﹣8（）=8（﹣1+），∵0≤k 2＜时，∴0＜1﹣4k 2≤1，≥2，∴S △OPQ =8（﹣1+）≥8，当且仅当k=0时取等号，时取等号，∴当k=0时，S △OPQ 的最小值为8，综上可知当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，三角形OPQ 的面积存在最小值为8．点评：本题主要考查椭圆方程的求解，题主要考查椭圆方程的求解，以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．的面积公式是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．22．（14分）（2015•湖北）已知数列{a n }的各项均为正数，b n =n （1+）na n （n ∈N +），e 为自然对数的底数．然对数的底数．（1）求函数f （x ）=1+x ﹣e x的单调区间，并比较（1+）n与e 的大小；的大小；（2）计算，，，由此推测计算的公式，并给出证明；的公式，并给出证明；（3）令c n =（a 1a 2…a n ），数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜eS n ．考点：数列与不等式的综合．专题：创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．创新题型；导数的综合应用；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f （x ）的定义域，利用导数求其最大值，得到1+x ＜e x ．取x=即可得到答案；案；（2）由b n =n （1+）na n （n ∈N +），变形求得，，，由此推测=（n+1）n．然后利用数学归纳法证明．．然后利用数学归纳法证明．（3）由c n 的定义、=（n+1）n 、算术﹣几何平均不等式、b n 的定义及，利用放缩法证得T n ＜eS n ．解答：（1）解：f （x ）的定义域为（﹣∞，+∞），f ′（x ）=1﹣e x ．当f ′（x ）＞0，即x ＜0时，f （x ）单调递增；）单调递增；当f ′（x ）＜0，即x ＞0时，f （x ）单调递减．）单调递减．故f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），单调递减区间为（0，+∞）．当x ＞0时，f （x ）＜f （0）=0，即1+x ＜e x．令，得，即．①（2）解：；=；．由此推测：=（n+1）n ．②下面用数学归纳法证明②．（1）当n=1时，左边=右边=2，②成立．成立．（2）假设当n=k 时，②成立，即．当n=k+1时，，由归纳假设可得，由归纳假设可得=．∴当n=k+1时，②也成立．也成立．根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立．都成立．（3）证明：由c n 的定义，②，算术﹣几何平均不等式，b n 的定义及①得T n =c 1+c 2+…+c n = ====＜ea 1+ea 2+…+ea n =eS n ．即T n ＜eS n ．点评：本题主要考查导数在研究函数中的应用，本题主要考查导数在研究函数中的应用，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考查利用归纳法证明与自然数有关的问题，考考查推理论证能力、运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．压轴题．。

2015年高考湖北理科数学试题与答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【年，理1，5分】i 为虚数单位，607i的共轭复数．．．．为（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 【解析】60741513i i i i ⨯=⋅=-，共轭复数为i ，故选A ．【点评】本题考查复数的基本运算，复式单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．（2）【2015年，理2，5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米夹谷约为（）（A ）134石（B ）169石（C ）338石（D ）1365石【答案】B【解析】依题意，这批米夹谷约为281534169254⨯=石，故选B ．（3）【2015年，理3，5分】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式）（A ）122（B ）112 （C ）102 （D ）92【答案】D 【解析】因为(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以37n n C C =，解得10n =，所以二项式(1)n x + 中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=，故选D ．以及计算能力．（4）【2015年，理4，5分】设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密（A ）21()()P Y P Y μμ≥≥≥ （B ）21()()P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ （D ）对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 【答案】【解析】正态分布密度曲线图象关于x μ=对称，所以12μμ<，从图中容易得到()()P X t P Y t ≤≥≤，故选C ．【点评】本题考查了正态分布的图象与性质，学习正态分布，一定要紧紧抓住平均数μ和标准差σ这两个关键（5）【2015年，理5，5分】设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L ，则（）（A q 的充分条件（C ）p 是q 的充分必要条件（D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件【答案】A【解析】对命题12:,,,n p a a a L 成等比数列，则公比()13nn a q n a -=≥且0n a ≠；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要（6）【2015年，理6，5分】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（）（A ）sgn[()]sgn g x x = （B ）sgn[()]sgn g x x =- （C ）sgn[()]sgn[()]g x f x = （D ）sgn[()]sgn[()]g x f x =-【答案】【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令()f x x =，所以()()1g x a x =-，因为1a >，所以()g x 是R 上的减函数，由符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0,sgn 0,0,sgn 1,0.x x x x x >⎧⎪===-⎨⎪-<⎩，故选B ．（7）【2015年，理7，5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（）（A ）123p p p << （B ）231p p p << （C ）312p p p << （D ）321p p p << 【答案】B【解析】因为[],0,1x y ∈，对事件“12x y -≥”如图（1）阴影部分1S ，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<，故选B ．【点评】利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．（8）【2015年，理8，5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（）（A ）对任意的,a b ，12e e > （B ）当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < （C ）对任意的,a b ，12e e < （D ）当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】【解析】依题意，22211a b b e a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()()22221a m b m b m e a ma m ++++⎛⎫==+ ⎪++⎝⎭，因为()()()m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++，由于0m >，0a >，0b >，当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，所以22b b m a a m +⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <，当a b <时，12e e >，故选D ．（9）【2015年，理9，5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）（A ）77 【解析】因为集合(){}22,1,,A x y xy x y =+≤∈Z ，所以集合A 中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即 25个点）：即图中正方形ABCD 中的整点，集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形1111A B C D中的整点（除去四个顶点），即77445⨯-=个，故选C ．复的元素．（10）【2015年，理10，5分】设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6【答案】B【解析】由[]1t =得12t ≤<，由2[]2t =得223t ≤<，由43t ⎡⎤=⎣⎦得445t ≤<，可得225t ≤<，所以225t ≤<；由3[]3t =得334t ≤<，所以5645t ≤<，由55t ⎡⎤=⎣⎦得556t ≤<，与5645t ≤<矛盾，故正整数n 的最大值是4，故选B ．【点评】本题考查简单的演绎推理，涉及新定义，属基础题．二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．．．．．．．．．．．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）（11）【2015年，理11，5分】已知向量OA AB ⊥u u u r u u u r ，||3OA =u u u r ，则OA OB ⋅=u u u r u u u r ．【答案】9【解析】因为OA AB ⊥u u u r u u u r ，3OA =u u u r ，()22239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅+=+⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（12）【2015年，理12，5分】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2 【为()()()()()24cos cos 2sin ln 121cos sin 2sin ln 1sin 2ln 122x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫=----=+--+=-+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的零点个数为函数sin 2y x =与()ln 1y x =+图像如图，由图知，两函数图像右2个交点，所以函数()f x 由2个零点．（13）【2015年，理13，5分】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处D 在西偏北30o 的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75o 的方向上，仰角为30o ，则此山的高度CD = m ．【答案】1006【解析】依题意，30BAC ∠=︒，105ABC ∠=︒，在ABC ∆中，由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=︒，所以45ACB ∠=︒，因为600AB =，由正弦定理可得600sin 45sin30BC-=︒︒，即3002BC =m ，在Rt BCD ∆中，因为30CBD ∠=︒，3002BC =，所以tan303002CD CDBC ︒==，所以1006CD =m ．（14）【2015年，理14，5分】如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（1）圆C 的标准．．方程为；）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论： ①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）【答案】（1）()()22122x y -+-=；（2）①②③【解析】（1）依题意，设()1,C r （r 为圆的半径），因为2AB =，所以22112r =+=，所以圆心()1,2C ，故圆的标准方程为()()22122x y -+-=．（2）解法一：联立方程组()()22122x x y =⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得021x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或021x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，因为B 在A 的上方，所以()0,21A -，()0,21B +，领直线MN 的方程为0x =，此时()0,1M -，()0,1N ，所以2MA =，22MB =+，22NA =-，2NB =，因为22212NA NB-==-，22122MA MB==-+，所以NA MA NB MB =所以()22212122222NB MA NAMB-=-=+--=-+，()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，正确结论的序号是①②③．解法二：因为圆心()1,2C ，()0,2E ∴，又2AB =Q ，且E 为AB 中点，∴()0,21A -，()0,21B +，M Q ，N 在圆22:1O x y +=，∴可设()cos ,sin M αα，()cos ,sin N ββ，()()22cos 0sin 21NA ββ⎡⎤∴=-+--⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+--+-()()()422221sin 2221221sin ββ=---=---()()2212sin β=--，()()22cos 0sin 21NB ββ⎡⎤∴=-+-+⎣⎦()22cos sin 221sin 322βββ=+-+++()()()422221sin 2221221sin ββ=+-+=+-+()()2212sin β=+-，()()()()2212sin 2121212212sin NA NBββ---∴===-++-，同理21MA MB=-．所以NA MA NBMB=，所以()22212122222NB MA NA MB -=-=+--=-+， ()222121222222NB MA NAMB+=+=++-=-+，【点评】本题考查求圆的标准方程，用三角函数值表示单位圆上点的坐标是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）（15）【PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC=_______．【答案】12【解析】因为PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆割定理知，()2PA PB PC PB PB BC =⋅=+，因为3BC PB =，所以224PA PB =，即2PA PB =，由A PAB PC ∆∆∽，所以12AB PB AC PA ==．（16）【2015年，理16，5分】（选修4-4O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ，B 两点，则||AB = ．【答案】25【解析】因为()sin 3cos 0ρθθ-=，所以sin 3cos 0ρθρθ-=，所以30y x -=，即3y x =；由11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去t得224y x -=，联立方程组2234y x y x =⎧⎨-=⎩，解得22322x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即232,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，232,22B ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式得22223232252222AB ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．础的计算题．三、解答题：共6题，共75（17）【2015年，理17，11分】某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><在某一个周期的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0 π2 π3π2 2πxπ3 5π6sin()A x ωϕ+55-（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．解：（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+ 0 π2π3π2 2πxπ12 π3 7π125π613π12 sin()A x ωϕ+0 5 05-且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（2）由（1）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【点评】本题主要考查了由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律（18）【2015年，理18，12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公、比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）由题意知：1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩，得112a d =⎧⎨=⎩或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或()112799299n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=+++++L L ① 2345113579212222222n n n T -=+++++L L ②由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=-L L ，故12362nn n T -+=-．【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．（19）【2015年，理19，12分】《九章算术》中，将底面为长方形且有如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE ．（1）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直（2）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =I ，所以BC PCD ⊥平面．而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥．又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥．而PC BC C =I ，所以DE ⊥平面PBC ．而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥．又PB EF ⊥，DE EF E =I ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）如图1，在面PBC ，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD 的交线．由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥．又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥．而PD PB P =I ，所以DG PBD ⊥平面．故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有21BD λ=+，在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 2πtan tan 133BDDPF PD λ=∠==+=, 解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．解法二：（1）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ， (,1,1)PB λ=-u u u r ，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =u u u r ，于是0PB DE ⋅=u u u r u u u r，即PB DE ⊥．又已知EF PB ⊥，而DE EF E =I ，所以PB DEF ⊥平面．因(0,1,1)PC =-u u u r , 0DE PC ⋅=u u u r u u u r, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面．由DE ⊥平面 PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，．（2）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =u u u r是平面ABCD 的一个法向量；由（1）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--u u u r是平面DEF 的一个法向量．若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则2π11cos 32||||2BP DP BP DP λ⋅===⋅+u u u r u u u r u u ur u u u r ，解得2λ=．所以12.2DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，22DC BC =．【点评】本题综合考查了空间直线平面的垂直问题，直线与直线，直线与平面的垂直的转化，空间角的求解，属于难题．（20）【2015年，理20，12分】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时．W 12 15 18 P0．30．50．2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个（1）求Z 的分布列和均值；解：（1）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200z y x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．故最大获利Z 的分布列为Z8160 10200 10800 P0．3 0．5 0．2 因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （2）由（1）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为()3311110.30.973p p =--=-=．问题解决问题的能力．（21）【2015年，理21，14分】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN D 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（1的方程；（2）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；解：（1）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y += （2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．②当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=．因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m mQ k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为2||1m d k =+和2||1||P Q PQ k x x =+-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-． ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--．当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQS k ∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．【点评】本题的关键．综合性较强，运算量较大．（22）【2015年，理22，14分】已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（（（解：（1①（2②（3运算求解能力、创新知识，考查了利用放缩法法证明数列不等式，是压轴题．。

2015年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析资料

2015 年湖北省高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、：本大共10 小，每小5 分，共 50 分 .在每小出的四个中，只有一是切合目要求的 .607的共复数（1．（ 5 分）（ 2015?湖北） i 虚数位， i ）A ．iB ． iC ． 1D ． 12．（ 5 分）（ 2015?湖北）我国古代数学名著《九章算》有 “米谷粒分 ” ：粮开收粮，有人送来米 1534 石，得米内谷，抽取米一把，数得 254 粒内谷 28 粒，批米内谷（）A ．134 石B ．169 石C ． 338 石D ． 1365 石3．（ 5 分）（ 2015?湖北）已知（ 1+x ）n的睁开式中第 4 与第 8 的二式系数相等，奇数的二式系数和（）A ．212B ．211C ． 210D ． 2912），Y ～N （ μ22），两个正散布密度曲12 4．（ 5 分）（ 2015?湖北） X ～ N （ μ，σ， σ如所示．以下中正确的选项是（）A ．P （ Y ≥μ212 1）≥P （ Y ≥μ）B ． P （ X ≤σ） ≤P （X ≤σ）C ．随意正数 t ， P （ X ≤t ） ≥P （Y ≤t ）D ．随意正数 t ， P （ X ≥t ） ≥P （Y ≥t ）5．（ 5 分）（ 2015?湖北） a 1， a 2，⋯， a n ∈R ， n ≥3．若 p ： a 1 ，a 2， ⋯， a n 成等比数列； q ：（a 12+a 22+⋯+a n ﹣ 12）（ a 22+a 32+⋯+a n 2） =（ a 1 a 2+a 2a 3+⋯+a n ﹣ 1a n ） 2，（） A ．p 是 q 的充足条件，但不是 q 的必需条件 B ． p 是 q 的必需条件，但不是q 的充足条件C ． p 是 q 的充足必需条件D ．p 既不是 q 的充足条件，也不是 q 的必需条件6．（ 5 分）（ 2015?湖北）已知符号函数 sgnx= ，f （ x ）是 R 上的增函数， g （ x ）=f （ x ） f （ ax ）（a ＞ 1），（）A sgn[g （ x ）]=sgnxB sgn[g （ x ）]=sgnx C sgn[g （ x ）]=sgn[f （ x ）]D sgn[g （ x ）]= sgn[f （x ）]7．（ 5 分）（ 2015?湖北）在区 [0， 1] 上随机取两个数x ， y ，P 1 事件 “x+y ≥ ”的概率， P 2 事件 “|x y|≤ ”的概率， P 3事件 “xy ≤ ”的概率，（）A ．P 1＜ P 2＜P 3B ．P 2＜ P 3＜P 1C ． P 3＜ P 1＜P 2D ． P 3＜ P 2＜ P 1 8．（ 5 分）（ 2015?湖北）将离心率 e 的双曲 C 的半 a 和虚半 b （ a ≠b ）同 1 1 增添 m （ m ＞ 0）个位度，获得离心率 e 2 的双曲 C 2，（）A ．随意的 a ， b ， e 1＞ e 2B ．当 a ＞ b ， e 1＞ e 2；当 a ＜ b ， e 1＜ e 2C ．随意的 a ， b ， e 1 2＜ eD ．当 a ＞ b ， e 121 2＜ e；当 a ＜ b ， e ＞ e9．（ 5 分）（2015?湖北）已知会合 A={ （ x ，y ）|x 2+y 2≤1，x ，y ∈Z} ，B={ （ x ，y ）||x|≤2，|y|≤2，x ， y ∈Z} ，定会合 A ⊕ B={ （ x 1+x 2， y 1+y 2） |（ x 1， y 1 ）∈A ，（x 2， y 2） ∈B} ， A ⊕ B 中元素的个数（）A ．77B ．49C ． 45D ． 3010．（ 5 分）（ 2015?湖北） x ∈R ， [x ]表示不超 x 的最大整数．若存在数 t ，使得 [t] =1，[t 2] =2，⋯， [t n] =n 同成立，正整数 n 的最大是（）A ．3B ．4C ． 5D ． 6二、填空：本大共4 小，考生需作答5 小，每小5 分，共 25 分．将答案填在答卡号的地点上．答地点，写不清，含糊其词均不得分．11．（5 分）（ 2015?湖北）已知向量⊥， | |=3， ? =．2x ） 2sinx |ln （ x+1 ）|的零点个数12．（5 分）（ 2015?湖北）函数 f （x ）=4cos cos （．13．（ 5 分）（ 2015?湖北）如，一汽在一条水平的公路上向正西行，到A 得公路北一山 D 在西偏北 30°的方向上，行 600m 后抵达 B ，得此山在西偏北 75°的方向上，仰角30°，此山的高度CD=m ．14．（ 5 分）（ 2015?湖北）如， C 与 x 相切于点 T （ 1，0），与 y 正半交于两点 A ，B （ B 在 A 的上方），且 |AB|=2 ．（1）C 的准方程；2 2（2）过点 A 任作一条直线与圆 O： x +y =1 订交于 M ，N 两点，以下三个结论：①=；②﹣=2；③+=2．此中正确结论的序号是．（写出全部正确结论的序号）选修 4-1：几何证明选讲15．（ 5 分）（ 2015?湖北）如图， PA 是圆的切线， A 为切点， PBC 是圆的割线，且BC=3PB ，则=．选修 4-4：坐标系与参数方程16．（ 2015?湖北）在直角坐标系x Oy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．已知直线 l 的极坐标方程为ρ（sinθ﹣3cosθ）=0，曲线C的参数方程为（t为参数），l 与 C 订交于 A ，B 两点，则 |AB|=．三、解答题：本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（11 分）（2015?湖北）某同学用“五点法”画函数 f（ x）=Asin（ωx+ φ）（ω＞ 0， |φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πxAsin （ωx+ φ）05﹣50（1）请将上表数据增补完好，填写在相应地点，并直接写出函数 f （ x）的分析式；（2）将 y=f（ x）图象上全部点向左平行挪动θ（θ＞0）个单位长度，获得y=g（x）的图象．若y=g（ x）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18．（ 12 分）（ 2015?湖北）设等差数列 {a n} 的公差为 d，前 n 项和为 S n，等比数列 {b n} 的公比为 q，已知 b1=a1， b2 =2， q=d ，S10=100．（1）求数列 {a n} ， {b n} 的通项公式（2）当 d＞ 1 时，记 c n= ，求数列 {c n} 的前 n 项和 T n．19．（ 12 分）（ 2015?湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ ABCD 中，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，且 PD=CD ，过棱 PC 的中点 E，作 EF⊥ PB 交 PB 于点 F，连结DE ，DF， BD ， BE ．（1）证明： PB⊥平面 DEF ．试判断四周体 DBEF 能否为鳖臑，假如，写出其每个面的直角（只要写出结论）；若不是，说明原因；（2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，求的值．20．（ 12 分）（ 2015?湖北）某厂用鲜牛奶在某台设施上生产 A ， B 两种奶制品．生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设施 1 小时，赢利1000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设施 1.5 小时，赢利1200 元．要求每日 B 产品的产量不超出 A 产品产量的 2 倍，设施每天生产 A ， B 两种产品时间之和不超出12 小时．假设每日可获得的鲜牛奶数目W （单位：吨）是一个随机变量，其散布列为W121518P0.30.50.2该厂每日依据获得的鲜牛奶数目安排生产，使其赢利最大，所以每日的最大赢利Z（单位：元）是一个随机变量．（1）求 Z 的散布列和均值；（2）若每日可获得的鲜牛奶数目互相独立，求 3 天中起码有 1 天的最大赢利超出10000 元的概率．21．（ 14 分）（ 2015?湖北）一种画椭圆的工具如图 1 所示． O 是滑槽 AB 的中点，短杆ON 可绕 O 转动，长杆MN 经过 N 处铰链与ON 连结， MN 上的栓子 D 可沿滑槽AB 滑动，且DN=ON=1 ，MN=3 ，当栓子 D 在滑槽 AB 内作来去运动时，带动N 绕 O 转动， M 处的笔尖画出的椭圆记为 C，以 O 为原点， AB 所在的直线为 x 轴成立如图 2 所示的平面直角坐标系．（1）求椭圆 C 的方程；（2）设动直线l 与两定直线l1：x﹣ 2y=0 和 l 2：x+2y=0 分别交于P， Q 两点．若直线l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，尝试究：△ OPQ的面积能否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明原因．n} 的各均正数，n n n+），e 自22．（14 分）（ 2015?湖北）已知数列 {a b =n（ 1+） a （ n∈N 然数的底数．（1）求函数 f（ x） =1+x e x的区，并比（ 1+）n与 e 的大小；（2）算，，，由此推算的公式，并出明；（3）令 c n 1 2 n n n} 的前 n 和分nn nn．=（a a ⋯a ），数列 {a} ， {c S ， T ，明： T ＜ eS 答案：1、解：i 607=i604+3=i3=i，它的共复数：i ．故： A．2、解：由意，批米内谷1534× ≈169 石，故： B．1+x ）n的睁开式中第3、解：已知（ 4 与第 8 的二式系数相等，可得，可得 n=3+7=10 ．（ 1+x ）10的睁开式中奇数的二式系数和：=29．故： D ．4、解：正散布密度曲象对于 x= μ 称，所以 μ＜ μ，从中简单获得 P （X ≤t ）≥P12（ Y ≤t ）．故： C ．5、解：由 a 1， a 2， ⋯， a n ∈R ， n ≥3．运用柯西不等式，可得：2 22 2 22 n ﹣1 n2（ a 1 2n ﹣ 1 ）（ a 2 +a 3n ）≥（ a 1 2 2 3），+a +⋯+a+⋯+aa +a a +⋯+a a 若 a 1， a 2，⋯， a n 成等比数列，即有 ==⋯=，（ a 12222 22n ﹣1 n22n ﹣ 1）（ a 2+a 3+⋯+a n ） =（ a 1 2 2 3），+a +⋯+aa +a a +⋯+aa即由 p 推得 q ，但由 q 推不到 p ，比方 a 12 3n12n=a =a =⋯=a =0， a ， a ， ⋯， a 不可等比数列．故 p 是 q 的充足不用要条件．故： A ．6、解：因为本是，能够常用特别法，符号函数sgnx= ，f （ x ）是R 上的增函数， g （ x ）=f （ x ） f （ ax ）（ a ＞ 1），不如令 f （x ） =x ， a=2，g （ x ） =f （ x ） f （ax ） = x ， sgn[g （ x ） ]=sgnx ．所以 A 不正确， B 正确，sgn[f （ x ） ]=sgnx ， C 不正确； D 正确；于 D ，令 f （x ） =x+1 ，a=2， g （ x ） =f （ x ） f （ax ） = x 1，sgn[f （ x ） ]=sgn （ x+1 ）= ；sgn[g （ x ） ]=sgn （﹣ x ﹣ 1） = ，﹣ sgn[f （ x ） ]=﹣ sgn （x+1 ） =；所以 D 不正确；应选： B ．7、解：分别作失事件对应的图象如图（暗影部分）：P ： D （ 0，），F （， 0），A （ 0， 1）， B （ 1， 1）， C （ 1， 0），1则暗影部分的面积 S 1=1×1﹣=1﹣ =，S =1×1﹣ 2×=1﹣=，2S 3=1× +dx= + lnx| = ﹣ ln = + ln2 ，∴ S 2＜ S 3＜ S 1，即 P 2＜P 3＜ P 1，应选： B ．8、解：由题意，双曲线2 2 2， e 1= ；C 1： c =a +b双曲线 C2 22， e，2： c ′=（ a+m ） +（ b+m ） 2=∴= ﹣ = ，∴ 当 a ＞b 时， e 1＜e 2；当 a ＜ b 时， e 1＞ e 2，应选： D ．229、解： ∵ A={ （x ， y ） |x +y ≤1，x ， y ∈Z}={ （ 0， 0），（ 0，1），（0，﹣ 1），（ 1， 0），（﹣B={ （ x ，y ） ||x|≤2， |y|≤2， x ， y ∈Z}={ （ 0， 0），（ 0，1），（ 0， 2），（ 0，﹣ 1），（ 0，﹣2），（ 1， 0），（ 1， 1），（ 1， 2）（ 1，﹣ 1），（ 1，﹣ 2）（2， 0），（2， 1），（ 2， 2）（ 2，﹣ 1），（2，﹣ 2），（﹣ 1，﹣ 2），（﹣ 1，﹣ 1），（﹣ 1，0），（﹣ 1，1），（﹣ 1， 2），（﹣ 2，﹣ 2），（﹣ 2，﹣ 1），（﹣ 2， 0），（﹣ 2， 1），（﹣ 2， 2）} ∵ A ⊕ B={ （ x 1+x 2， y 1+y 2） |（ x 1， y 1） ∈A ，（ x 2， y 2） ∈B} ，∴ A ⊕ B={ （ 0，0），（ 0，1），（ 0， 2），（ 0，﹣ 1），（ 0，﹣ 2），（1， 0），（1， 1），（ 1， 2）（ 1，﹣ 1），（ 1，﹣ 2）（ 2， 0），（ 2， 1），（ 2，2），（ 2，﹣ 1），（ 2，﹣ 2），（﹣ 1，﹣ 2），（﹣ 1，﹣ 1），（﹣ 1，0），（﹣ 1，1），（﹣ 1，2），（﹣ 2，﹣ 2），（﹣ 2，﹣ 1），（﹣ 2，0），（﹣ 2， 1），（﹣ 2， 2），（﹣ 2，3），（﹣ 2，﹣ 3），（ 0，﹣ 3），（ 2，﹣ 3），（﹣ 1，3），（﹣ 1，﹣ 3），（ 1，3），（ 2，3），（0，3），（ 3，﹣ 1），（ 3，0）（ 3，1），（3，2），（ 3，﹣ 2）（﹣ 3，2）（﹣ 3，1），（ 1，﹣ 3），（﹣ 3，﹣ 1），（﹣ 3， 0），（﹣ 3，﹣ 2） } 共 45 个元素应选： C ．10、解： ∵ [t]=1， ∴ t ∈[1， 2），又 ∵ [t 2]=2 ，∴ t 2 ∈[2， 3）， ∴ t ∈[ ，），又 t 2∈[2， 3），∴ t 4∈[4，9），∴ [t 4]=4， ∴ 正整数 n 的最大值 4应选： B ．11、解：由⊥，得 ? =0，即 ?（） =0，∵ | |=3，∴．故答案为： 9．12、解：函数 f （ x ）的定义域为： {x|x ＞﹣ 1} ．f （ x ） =4cos 2cos （﹣ x ）﹣ 2sinx ﹣ |ln （ x+1 ） |=2sinx﹣ |ln （ x+1 ） |=sin2x ﹣ |ln （ x+1 ） |，分别画出函数 y=sin2x ，y=|ln （ x+1 ） |的图象，由函数的图象可知，交点个数为 2．所以函数的零点有 2 个．故答案为： 2．13、解：设此山高h（m），则 BC=h，在△ ABC 中，∠ BAC=30 °，∠ CBA=105 °，∠ BCA=45 °， AB=600 ．依据正弦定理得=，解得 h=100（m）故答案为： 100．14、解：（1）∵ 圆C与x轴相切于点T （ 1， 0），∴圆心的横坐标x=1 ，取 AB 的中点 E，∵|AB|=2 ，∴|BE|=1，则 |BC|=，即圆的半径 r=|BC|=，∴圆心 C（1，），则圆的标准方程为（x﹣ 1）2+（ y﹣）2=2，故答案为：（ x﹣1）2+（ y﹣）2=2．（ 2）∵圆心 C（ 1，），∴E（ 0，），又∵ |AB|=2 ，且 E 为 AB 中点，∴A（0，﹣ 1），B （ 0，+1），2 2∵M 、 N 在圆 O： x +y =1 上，∴可设 M （ cosα， sinα）， N（ cosβ， sinβ），∴|NA|=====，|NB|=== =，∴ = = = ，同理可得= ，∴=，① 成立，﹣ = ﹣（）=2， ② 正确． +=+（） =，③ 正确．故答案为： ①②③．15、解：由切割线定理可知：PA 2=PB?PC ，又 BC=3PB ，可得 PA=2PB ，在 △ PAB 与 △PAC 中， ∠ P=∠P ， ∠PAB=∠ PCA （同弧上的圆周角与弦切角相等），可得 △PAB ∽△ PAC ，∴ == ．故答案为：．16、解：由 ρ（ sin θ﹣ 3cos θ） =0，得 y ﹣3x=0 ，由 C 的参数方程为（ t 为参数），两式平方作差得： x 2 ﹣y 2=﹣ 4．联立，得，即．∴ A （），B （）， ∴ |AB|=．故答案为：．17、解：（ 1）依据表中已知数据，解得 A=5 ， ω=2， φ=﹣ ．数据补全以下表：ωx+ φ 0π2πxAsin （ ωx+ φ）05050且函数表达式f （x ） =5sin （ 2x）．（ 2）由（ Ⅰ ）知 f （x ） =5sin （ 2x），得 g （ x ）=5sin （ 2x+2 θ）．因 y=sinx 的称中心（ k π， 0）， k ∈Z ．令 2x+2θ =k π，解得 x= ， k ∈Z ．因为函数 y=g （ x ）的象对于点（， 0）成中心称，令=，解得 θ=， k ∈Z ．由 θ＞0 可知，当 K=1 ， θ获得最小．18、解：（ 1） a 1=a ，由意可得，解得，或，当， a n =2n 1， b n =2n ﹣ 1；当， a n = （ 2n+79 ），b n =9? ；（ 2）当 d ＞ 1 ，由（ 1）知 a n =2n 1， b n =2n ﹣ 1，∴ c n ==，∴ T n =1+3? +5? +7? +9 ? +⋯+（ 2n 1） ?，∴ T n =1? +3? +5? +7? +⋯+（2n 3）?+（ 2n 1） ? ，∴ T n =2+ + +++⋯+ （ 2n 1） ? =3 ，∴ T n =6．19、解法 1）（ 1）因 PD ⊥ 底面 ABCD ，所以 PD ⊥BC ，由底面 ABCD 方形，有 BC ⊥CD ，而 PD ∩CD=D ，所以 BC ⊥平面 ABCD ．而 DE ? 平面 PDC ，所以 BC ⊥ DE ．又因 PD=CD ，点 E 是 PC 的中点，所以 DE ⊥PC ．而 PC ∩CB=C ，所以 DE ⊥ 平面 PBC ．而 PB? 平面 PBC ，所以 PB ⊥ DE ．又 PB ⊥ EF ， DE ∩FE=E ，所以 PB ⊥ 平面 DEF ．由 DE ⊥ 平面 PBC ，PB ⊥ 平面 DEF ，可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四周体 BDEF 是一个臑，其四个面的直角分 ∠DEB ，∠ DEF ，∠ EFB ，∠ DFB ．（ 2）如 1，在面 BPC 内，延伸BC 与 FE 交于点 G，则DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线．由（Ⅰ）知， PB⊥平面 DEF ，所以 PB ⊥DG ．又因为 PD ⊥底面 ABCD ，所以 PD⊥DG ．而PD∩PB=P，所以 DG ⊥平面 PBD ．所以 DG⊥ DF， DG ⊥DB故∠ BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角，设 PD=DC=1 ，BC= λ，有 BD=，在 Rt△PDB 中，由 DF ⊥ PB，得∠ DGF= ∠ FDB=，则 tan =tan∠DPF===，解得．所以= =故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=．（解法 2）（1）以 D 为原点，射线 DA ，DC，DP 分别为 x，y，z 轴的正半轴，成立空间直角坐标系．设 PD=DC=1 ， BC= λ，则 D（ 0， 0，0）， P（0， 0， 1）， B （λ，1， 0）， C（ 0， 1， 0），=（λ1，﹣ 1），点E 是 PC 的中点，所以E（ 0，，），=（0，，），于是=0，即 PB⊥ DE．又已知 EF ⊥PB，而 ED∩EF=E ，所以 PB⊥平面 DEF ．因 =（ 0， 1，﹣ 1），=0，则 DE ⊥PC，所以 DE ⊥平面 PBC ．由 DE⊥平面 PBC，PB ⊥平面 DEF ，可知四周体 BDEF 的四个面都是直角三角形，即四周体 BDEF 是一个矩形，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠ DEF，∠ EFB，∠ DFB ．（ 2）由 PD⊥底面 ABCD ，所以=（ 0， 0， 1）是平面ACDB 的一个法向量；由（Ⅰ）知， PB⊥平面 DEF ，所以=（﹣λ，﹣ 1， 1）是平面 DEF 的一个法向量．若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为，则运用向量的数目积求解得出cos ==，解得．所以所以= =故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为时，=．20、（12 分）解：（ 1）设每日 A ，B 两种产品的生产数目分别为x， y，相应的赢利为z，则有，① 如图 1，目标函数为：z=1000x+1200y ．当 W=12 时，①表示的平面地区如图1，三个极点分别为 A （ 0， 0）， B（ 2.4，4.8），C（ 6， 0）．将 z=1000x+1200y 变形为，当 x=2.4 ， y=4.8 时，直线 l：在 y 轴上的截距最大，最大赢利 Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160 ．当 W=15 时，①表示的平面地区如图2，三个极点分别为A（ 0，0）， B（3，6），C （ 7.5，0）．．将 z=1000x+1200y 变形为，当 x=3 ，y=6 时，直线l：在 y 轴上的截距最大，最大赢利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．当 W=18 时，①表示的平面区域如图 3，四个极点分别为 A （0， 0）， B（ 3，6）， C（6， 4），D （ 9， 0）．将 z=1000x+1200y 变形为：，当 x=6 ，y=4 时，直线 l： y= ﹣56x+z1200 在 y 轴上的截距最大，最大赢利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．故最大赢利Z 的散布列为：Z81601020010800P0.30.50.2所以， E（ Z） =8160 ×0.3+10200 ×0.5+10800 ×0.2=9708（2）由（Ⅰ）知，一天最大赢利超出 10000 元的概率 P1=P（ Z＞10000） =0.5+0.2=0.7 ，由二项散布， 3 天中起码有1天最大赢利超出10000 元的概率为：21、解：（1）∵ |OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4，当M，N在x轴上时，等号成立，同理 |OM|≥|MN| ﹣ |NO|=3﹣ 1=2，当 D ，O 重合，即MN ⊥ x 轴时，等号成立．∴椭圆 C 的中心为原点O，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为．（ 2）①当直线 l 的斜率 k 不存在时，直线l为： x=4 或 x= ﹣ 4，都有S△OPQ=，②直线 l 的斜率 k 存在时，直线l 为： y=kx+m ，（ k），由消去 y，可得（ 1+4k 2） x2+8kmx+4m2﹣16=0，∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点，∴ △ =64k 2m2﹣ 4（ 1+4k2）（ 4m2﹣ 16）=0，即 m2=16k2+4，①，由，可得 P（，），同理得Q（，），原点 O 到直线 PQ 的距离 d=和|PQ|=?|x P﹣ x Q|，可得 S△OPQ= |PQ|d= |m||x P﹣ x Q|= |m|||=||②，将①代入②得 S△OPQ=||=8||，当 k 2＞时， S=8 （）=8（1+）＞ 8，△OPQ当 0≤k 2＜， S △OPQ =8||= 8（） =8（ 1+ ），∵ 0≤k 2＜， ∴ 0＜ 1 4k 2≤1，≥2，∴ S △OPQ =8（ 1+） ≥8，当且当 k=0 取等号，∴ 当 k=0 ， S △ OPQ 的最小 8，上可知当直l 与 C 在四个点相切，三角形 OPQ 的面存在最小8．x当 f ′（ x ）＞ 0，即 x ＜ 0 ， f （ x ）增；当 f ′（ x ）＜0，即 x ＞ 0 ， f （ x ）减．故 f （ x ）的增区（ ∞，0），减区（ 0，+∞）．当 x ＞0 ， f （ x ）＜ f （ 0） =0，即 1+x ＜e x．令，得，即．①（2）解：； = ；．由此推：=（ n+1 ）n． ②下边用数学法明② ．（ 1）当 n=1 ，左 =右 =2 ， ② 成立．（ 2）假当n=k ， ② 成立，即．当 n=k+1 ，，由假可得= ．∴ 当 n=k+1 ， ② 也成立．依据（ 1）（ 2），可知 ② 全部正整数n 都成立．（ 3）明：由 c n 的定， ② ，算几何均匀不等式， b n 的定及 ① 得T n =c 1+c 2+⋯+c n =====＜ea1+ea2+⋯+ea n=eS n．即 T n＜ eS n．。

湖北省武汉市2015届高三9月调考数学(理)试题

武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）2014.9.5一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1＋2i (1－i)2＝ A ．－1－12i B ．－1＋12i C ．1＋12i D ．1－12i2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x -＝3，y -＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是 A ．y ^＝0.4x ＋2.3 B ．y ^＝2x －2.4 C ．y ^＝－2x ＋9.5 D ．y ^＝－0.3x ＋4.4 4．已知向量a ，b 的夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝ A ． 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A ．112B ．5C ．92D ．46．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于A ．32 B ．332 C ．3＋62 D ．3＋3947．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0．若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为A ．12或－1B ．2或12 C ．2或1 D ．2或－18．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝A ．19B ．22C ．5D ．279．已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，→OA ·→OB ＝2（其中O 为坐标原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是A ．28 B ．24 C ．22D ． 2 10．已知函数f (x )＝x 2＋e x －12（x ＜0）与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是A ．(－∞，1e )B ．(－∞，e)C ．(－1e ，e)D ．(－e ，1e )二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设二项式(x －13x)5的展开式中常数项为A ，则A ＝．12．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝－1，n ＝3，则输出的数S ＝．13．正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1，1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是． 14．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝．15．平面几何中有如下结论：如图1，设O 是等腰Rt △ABC 底边BC 的中点，AB ＝1，过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q ，R ，则有1AQ ＋1AR ＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O 是正三棱锥A-BCD 底面BCD 的中心，AB ，AC ，AD 两两垂直，AB ＝1，过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q ，R ，P ，则有．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12．（Ⅰ）若sin(π4＋α)＝22，且0＜α＜π，求f (α)的值；（Ⅱ）当f (x )取得最小值时，求自变量x 的集合．17．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n ＋2－a n ＝λ；（Ⅱ）当λ为何值时，数列{a n }为等差数列？并说明理由． 18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连结GH ．（Ⅰ）求证：AB ∥GH ；（Ⅱ）求平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（Ⅰ）设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X 的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于．．．2000元的概率． 20．（本小题满分13分）如图，动点M 与两定点A (－1，0)，B (2，0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线y ＝－2x ＋m （其中m ＜2）与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求|PR ||PQ |的取值范围．21．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 的图象在点x ＝e （e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）当n ＞m ＞1（m ，n ∈N *）时，证明：nm m n＞mn ．武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题1．B 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．D 8．C 9．B 10．B 二、填空题11．－10 12．－4 13．23 14．8 15．1AQ ＋1AR ＋1AP ＝3三、解答题16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴π4＜π4＋α＜5π4． …………………2分∵sin(π4＋α)＝22，∴π4＋α＝3π4，即α＝π2． …………………4分∴f (α)＝cos α(sin α＋cos α)－12＝cos π2(sin π2＋cos π2)－12＝－12．……………………6分（Ⅱ）f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12 …………………7分＝12sin2x ＋12cos2x ＝22sin(2x ＋π4)． …………………8分当2x ＋π4＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－3π8，k ∈Z 时，f (x )取得最小值， …………………10分此时自变量x 的集合为{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z }．………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1． …………………2分两式相减，得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1． …………………3分由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1． …………………5分由（Ⅰ）知，a 3＝λ＋1．令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4． …………………6分故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；…………………7分 {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1．…………………8分所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2． …………………10分因此当λ＝4时，数列{a n }为等差数列．………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，…………………1分∴EF ∥AB ，DC ∥AB ， …………………2分∴EF ∥DC ．又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，∴EF ∥平面PCD ． …………………3分又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，…………………4分 ∴EF ∥GH ．又EF ∥AB ， ∴AB ∥GH ．…………………………………………………………………………6分（Ⅱ）在△ABQ 中，∵AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，∴∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ ．又PB ⊥平面ABQ ，∴BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则B (0，0，0)，Q (0，2，0)，D (1，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，2)，(注：坐标写对给2分)∴→DP ＝(－1，－1，2)，→CP ＝(0，－1，2)．…………………8分设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·→DP ＝0，n ·→CP ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋2z ＝0，－y ＋2z ＝0．取z ＝1，得n ＝(0，2，1)．…………………10分又→BQ ＝(0，2，0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos ＜n ，→BQ ＞＝n ·→BQ |n ||→BQ |＝2×25×2＝255．故平面P AB 与平面PCD 所成角的正弦值为55．………………………………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设A 表示事件“作物产量为300kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分 ∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分P (X ＝4000)＝P (A -)P (B -)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，P (X ＝2000)＝P (A -)P (B )＋P (A )P (B -)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2． ∴X 的分布列为……………………………………………………………6分（注：每个概率1分）（Ⅱ）设C i 表示事件“第i 季利润不少于2000元”（i ＝1，2，3），…………8分由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由（Ⅰ）知，P (C i )＝P (X ＝4000)＋P (X ＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i ＝1，2，3）． ∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为P ＝C 33×0.83＋C 23×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0．…………………1分当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．…………………2分当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有tan ∠MBA ＝2tan ∠MAB 1－tan 2∠MAB ，即－|y |x －2＝2|y |x ＋11－(|y |x ＋1)2，…………………4分化简可得，3x 2－y 2－3＝0．而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，…………………5分综上可知，轨迹C 的方程为x 2－y 23＝1（x ＞1）．………………………………6分（Ⅱ）由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋m ，x 2－y 23＝1．消去y 并整理，得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0．（*）…………7分由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－4m 2＞1，f (1)＝12－4m ＋m 2＋3＞0，△＝(－4m )2－4(m 2＋3)＞0．解得m ＞1，且m ≠2．……………9分∵m ＜2，∴1＜m ＜2． …………………10分设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |及方程（*）有 x R ＝2m ＋3(m 2－1)，x Q ＝2m －3(m 2－1)， ∴|PR ||PQ |＝x R x Q ＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝2＋3(1－1m2)2－3(1－1m2)＝－1＋42－3(1－1m2)．由1＜m ＜2，得1＜－1＋42－3(1－1m2)＜7．…………………12分故|PR ||PQ |的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分 21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x )＝a ＋ln x ＋1． …………………1分由已知，得f ′(e)＝3，即a ＋lne ＋1＝3∴a ＝1．……………………………………………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ），知f (x )＝x ＋x ln x ，∴f (x )≤kx 2对任意x ＞0成立⇔k ≥1＋ln xx 对任意x ＞0成立，……………4分令g (x )＝1＋ln xx，则问题转化为求g (x )的最大值．求导数，得g ′(x )＝－ln xx2，令g ′(x )＝0，解得x ＝1．…………………5分当0＜x ＜1时，g ′(x )＞0，∴g (x )在(0，1)上是增函数；当x ＞1时，g ′(x )＜0，∴g (x )在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分故g (x )在x ＝1处取得最大值g (1)＝1．∴k ≥1即为所求．…………………………………………………………………8分（Ⅲ）令h (x )＝x ln xx －1，则h ′(x )＝x －1－ln x (x －1)2．…………………9分由（Ⅱ），知x ≥1＋ln x （x ＞0），∴h ′(x )≥0，…………………10分∴h (x )是(1，＋∞)上的增函数．∵n ＞m ＞1，∴h (n )＞h (m )，即n ln n n －1＞m ln mm －1，…………………11分∴mn ln n －n ln n ＞mn ln m －m ln m ，…………………12分即mn ln n ＋m ln m ＞mn ln m ＋n ln n ，即ln n mn ＋ln m m ＞ln m mn ＋ln n n ，即ln(mn n )m ＞ln(nm m )n ， …………………13分 ∴(mn n )m ＞(nm m )n ，∴nm m n＞m n ．…………………………………………………………………………14分。

2015年湖北数学高考卷理科(含答案)

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，607i的共轭．．为．．复数A．i B．i-C．1 D．1-2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知(1)nx+的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．924．设211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥B ．21()()P X P X σσ≤≤≤C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥5．设12,,,n a a a ∈R ，3n ≥. 若p ：12,,,n a a a 成等比数列；q ：22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-7．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<8．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >9．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49 C ．45 D ．3010．设x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n = 同时成立．．．．，则正整数n 的最大值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第4题图二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应．．．．．题号．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅= ．12．函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.14．如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，P A 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= . 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方第13题图第14题图AB第15题图AP BC程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ． 19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，过棱PC 的中点E ，作EF PB ⊥交PB 于点F ，连接,,,.DE DF BD BE（Ⅰ）证明：PB DEF ⊥平面．试判断四面体DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DCBC的值． 20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z 的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．第19题图（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b ba a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）第21题图1数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．D 9．C 10．B 二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．2 13．14．（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③ 15．1216．三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-.因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z .令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z .由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-. 19．（12分）（解法1）（Ⅰ）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =，所以BC PCD ⊥平面. 而DE PCD ⊂平面，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC . 而PB PBC ⊂平面，所以PB DE ⊥.又PB EF ⊥，DEEF E =，所以PB ⊥平面DEF .由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，. （Ⅱ）如图1，在面PBC 内，延长BC 与FE 交于点G ，则DG 是平面DEF 与平面ABCD的交线. 由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以PB DG ⊥. 又因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD DG ⊥. 而PDPB P =，所以DG PBD ⊥平面.故BDF ∠是面DEF 与面ABCD 所成二面角的平面角，设1PD DC ==，BC λ=，有BD = 在Rt △PDB 中, 由DF PB ⊥, 得π3DPF FDB ∠=∠=,则 πtantan 3BD DPF PD=∠===, 解得λ.所以12DC BC λ==故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =（解法2）第19题解答图2 第19题解答图1 （Ⅰ）如图2，以D 为原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设1PD DC ==，BC λ=，则(0,0,0),(0,0,1),(,1,0),(0,1,0)D P B C λ，(,1,1)PB λ=-，点E 是PC 的中点，所以11(0,,)22E ，11(0,,)22DE =，于是0PB DE ⋅=，即PB DE ⊥. 又已知EF PB ⊥，而DEEF E =，所以PB DEF ⊥平面.因(0,1,1)PC =-, 0DE PC ⋅=, 则DE PC ⊥, 所以DE PBC ⊥平面.由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体BDEF 的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB DEF ∠∠，，EFB DFB ∠∠，.（Ⅱ）由PD ABCD ⊥平面，所以(0,0,1)DP =是平面ABCD 的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB DEF ⊥平面，所以(,1,1)BP λ=--是平面DEF 的一个法向量.若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，则π1cos32||||BP DP BPDP λ⋅===⋅，解得λ. 所以1DC BC λ== 故当面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3时，DC BC =20．（12分）（Ⅰ）设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）3311(1)10.30.973.p p =--=-=目标函数为 10001200z x y =+．当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200z y x =-+，当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000 4.812008160Z z ==⨯+⨯=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 610004120010800Z z ==⨯+⨯=．因此，()81600.3102000.5108000.29708.E Z =⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为21．（14分）（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =，且||||1DN ON ==，第20题解答图1 第20题解答图2第20题解答图3所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22002200()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -=由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.22．（14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增；当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<. ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+. 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S .即e n n T S <.。

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供题三理科数学参考答案（仅供参考）11．32 12．(,1]-∞ 13．4 14．22(3)(48x y -+±=15．3816．2 三、解答题17.（Ⅰ） 418a a =，24a a +=∴1a （Ⅱ）∵点()11,M a -在函数1sin 4y a x πφ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上， ∴sin14πφ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，又∵φπ<，∴34φπ=如图，连接MN ，在MPN ∆中，由余弦定理得222cos 2PM PN MNPM PNβ+-===πβ<<0 ∴56βπ=∴ 12πφβ-=-∴ ()tan tantan 21246πππφβ⎛⎫-=-=--=-+ ⎪⎝⎭18. （1）由已知得收藏者张先生赌中的概率为23，收藏者李先生赌中的概率为0P ，且两人赌中与否互不影响．记“这2人的累计获得金额数为X （单位：万元）”的事件为A ，则事件A 的对立事件为“50X =”．因为032)50(P X P ==，所以027()1(50)139P A P X P =-==-=，求得013P =．（2）设收藏者张先生、李先生都选择规则甲赌中的次数为1X ，都选择规则乙赌中的次数为2X ，则这两人选择规则甲累计获奖得金额的数学期望为1(20)E X ，选择规则乙累计获奖得金额的数学期望为1(30)E X ．由已知可得，12(20,)3X B ，20(20,)X B P ，所以34)(1=X E ，022)(P X E =，从而11480(20)20()2033E X E X ==⨯=，220(30)30()60E X E X P ==．若11(20)(30)E X E X >，则080603P >，解得0409P <<；若11(20)(30)E X E X <，则080603P <，解得0419P <<；若11(20)(30)E X E X =，则080603P =，解得049P =．综上所述，当0409P <<时，他们都选择规则甲进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当0419P <<时，他们都选择规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望最大；当049P =时，他们都选择规则甲或规则乙进行赌石时，累计得到金额的数学期望相等. 19.解：（1）求得1234567891,2,,3,4,2,5,6,4a a a r a a a r a a a r ======+===+所以由123934a a a a ++++=，可得73r =.（2）1211223312124T b a b a b a b a =++++=-124n T n =-（3）12141m T m +=+， 12241m T m +=+， 12341m T m r +=-+-， 12441m T m r +=-+-， 12545m T m r +=+-，12645m T m r +=+-，12741m T m r +=-+-， 12841m T m r +=-+-，12944m T m +=+， 121044m T m +=+， 121144m T m +=--， 121244m T m +=--.⎩⎨⎧=+=-+∴1004410054m r m ,解得m=24,r=1 值为100的是T 293, T 294 T 297 T 298 20. （1）取PA 中点为H ，连结CE 、HE 、FH ，因为H 、E 分别为PA 、PD 的中点，所以HE ∥AD,AD HE 21=, 因为ABCD 是平行四边形，且F 为线段BC 的中点 , 所以FC ∥AD,AD FC 21= 所以HE ∥FC,FC HE = 四边形FCEH 是平行四边形 ,所以EC ∥HF又因为PAF HF PAF CE 平面平面⊂⊄, 所以CE ∥平面PAF.（2）因为四边形ABCD 为平行四边形且∠ACB ＝90°，所以CA ⊥AD ,又由平面PAD ⊥平面ABCD 可得 CA ⊥平面PAD ,所以CA ⊥PA , 由PA =AD =1，PD PA ⊥AD,所以可建立如图所示的平面直角坐标系A-xyz, 因为PA=BC=1，AC=1 . 所以)1,0,0(),0,0,1(),0,1,1(P C B -.假设BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，设点G 的坐标为（1，a ，0），01≤≤-a 所以)1,0,0(),0,,1(==a 设平面PAG 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧==+0z ay x 令0,1,=-==z y a x 所以)0,1,(-=a ，又)1,0,1(),0,,0(-==b 设平面PCG 的法向量为),,(z y x =，则⎩⎨⎧=+-=0z x by 令1,0,1===z y x 所以)1,0,1(= ，因为平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°，所以2121,cos 2=∙+=〉〈a a n m 所以1±=a 又01≤≤-a 所以1-=a , 所以线段BC 上存在一点G ，使得平面PAG 和平面PGC 所成二面角的大小为60°. 21. （1）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos01g ==，()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=，所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+ 4分（2）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+ 因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. （3）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H ->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点.22. （1）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，2=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a-+--=22021()x a a -≥21)，0a x a -≤≤，当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=.. 5分（2）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==1112x y ==，知ON PQ ⋅=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>，2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++，12PQ x =-==，d =，1122POQS d PQ ∆=⋅⋅==，化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，422222912412840k k m k m m ++--+=，得到，222(322)0k m +-=，则22322k m +=，满足0∆>，由前知12322x x km +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=，设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=-， 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++， 22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. 10分（3）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= ，设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ），所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=，因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以221222256323264y y y =++≥=，当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径===因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS = 所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8） 14分。

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