一元四次整系数多项式的因式分解法
一元四次整系数多项式的因式分解法
［ 关键词］整系数多项式 ； 完 全 平 方 数 ；因式 分 解 ；实 数 域 ； 二 次 代 数 整数 ［ 中图 分 类 号 ］ ０１ ５ １ ． １ ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文 章 编 号］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ １ ０ １ — ０ ５
第３ ２卷
２ 主 要 结 果
２ ． １ 一元 四次 多项式 在有 理数 域上 的 因式分 解［ ４ ］
定 理 １ 一 元 四次多 项式 在有 理数 域上 可分 解成
．
厂 （ ）： ｚ ＋ 甜 。 ＋ 如 ＋ ＋ ｄ ： （ ｚ ＋ Ａ１ ｚ＋ Ｂ１ ） （ ｚ ＋ Ａ２ ｚ＋ Ｂ２ ）
的必要条 件 是在 常数项 ｄ中存 在 因数 Ｂ ， Ｂ ， 使得 代数 式 Ｔ — ａ 一４ ６ ＋４ （ Ｂ ＋Ｂ 。 ）为完 全平方 数 ． 由定 理 １可得 一 元 四次多 项式 在有 理数域 上 的 因式分 解法 ： （ ｉ ）在 常数项 ｄ— Ｂ Ｂ 。中确定 一组 因数 Ｂ。 ， Ｂ ， 使 得代 数式 Ｔ— ａ 一４ ６ ＋４ （ Ｂ ＋Ｂ ｚ ） 为 完全 平 方数 ， 设 平方 根 为 ｔ ≥ ｏ； （ ｉ ｉ ）求 出 Ａ 一
［ ｚ ＋（ ４ ＋２ ） ＋ （ ７ —５ ） ］ ［ （ ＋（ ４ —２ ） ｚ＋ （ ７ ＋５ √ ） ］一 ０．
对多 项式 而言 ， 如果 一个 四次整 系数 多项 式在 实数 域 内是可 约 的 ， 理论 上我 们 只须用 待 定 系数法 将
其分 解成两 个二 次 因式 的乘 积 ， 并通 过系 数方程 组 求 出这 两个 二 次 因式 的所 有 待定 系数 即可 ． 但实 际 上
因式分解方法归纳
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：（1） 因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
（2） 因式分解可以限定范围，有有理数范围内，实数范围内，复数范围内。
（3） 所有三次或三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解；所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法若多项式的各项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法形如2ax bx c ++的二次多项式，如果有,mn a pq c ==，且mq np b +=，则有 ()()2ax bx c mx p nx q ++=++。
说明：判别式240b ac =-≥且是一个完全平方数。
也就是方程2ax bx c ++有根。
图示为：方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
（1） 拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式；（2） 拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式330x x ++解：把30分成333+，再与其余项组合，有， ()()()()()()()33322303333933310x x x x x x x x x x x ++=+++=+-+++=+-+。
类似的“3x x c ++”的模型有32x x ++，39x x ++ 。
方法六、配方法将一个多项式通过配方，添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：（1）为方便计算，可以先提取最高次项系数，使最高次项系数为1；（2）对形如2x bx c ++的二次三项式，有222222b b x bx c x bx c ⎛⎫⎛⎫++=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （3）对于齐次多项式22x bxy cy ++，将,x y 其中之一当作常数处理。
因式分解方法归纳
因式分解定义：把一个多项式在一个范围内化成几个最简整式乘积的的形式。
说明：(1)因式分解是与整式乘法互逆的恒等变形。
(2)因式分解可以限定范用，有有理数范围内，实数范囤内，复数范围内。
(3)所有三次或三次以上的一元多项式在实数范用内都可以因式分解：所有二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。
方法一、提取公因式法若多项式的％项含有相同的因式，该因式为多项式的公因式，则可以直接提取公因式。
方法二、运用公式法常用的公式有：平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等。
方法三、分组分解法若多项式的其中几项可以提取公因式或运用公式，则可适当的分组，使得分成的几组在分解之后能提取公因式或运用公式。
方法四、十字相乘法形如ax1 +bx + c的二次多项式，如果有= pq = c ,且inq + np = b ,则有说明：判别式△=庆一4血・2 0且△是一个完全平方数。
也就是方程ax2+bx + c有根。
图示为:方法五、拆项、添项法把多项式的某一项拆开成几项和的形式，也可以添加几项和为0的多项式，通过拆项和添项使原多项式可以利用公式或提取公因式。
(1)拆分含未知数的项，拆成的两部分分别和其余的项组合在一起，分别运用公式，在提取公因式：(2)拆分常数项，通过合理的拆分常数项，构造公式。
例题：分解因式»+兀+ 30解：把30分成扌+3,再与其余项组合，有，X'+X +3O=(X'+3')+(X+3)=(X+3)(F-3X+9)4-(X+3)=(X+3)(X2一3尤+10)。
类似的“疋+x + e ”的模型仃J?+;V +2, J?+X+9。
方法六.配方法将一个多项式通过配方,添项减项处理，构造成完全平方式，剩下的部分再进行平方差公式。
说明：(1)为方便计算，可以先提取最髙次项系数，使最高次项系数为匕对形如x 2 +bx + c 的二次三项式，有x 2 +bx + c = x 1 +bx+ —⑵ (3) 对于齐次多项式x 2+hxy^cy 2,将其中之一当作常数处理。
因式分解的方法
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。
一、基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a 3±3a2b＋3ab2±b 3=(a±b) 3。
例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。
二、竞赛用到的方法⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
因式分解常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 -----------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ---------a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 --------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
完整版因式分解的常用方法方法最全最详细
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有 无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式； 如前两个步骤都不能实施， 可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法 继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
、提公因式法.:ma+mb+mc=m （a+b+c ） 、运用公式法•2 2 2在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如：2 2(1) (a+b)(a-b) = a -b -2 2 2(2) (a ±b) = a ±2ab+b ------------- a 22 33(3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b -------------- 2233(4) (a-b)(a +ab+b ) = a -b -------------- 下面再补充两个常用的公式：22 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 33 322 (6) a +b3 3+c -3abc=(a+b+c)(a 例.已知a ，2 2-b =(a+b)(a-b)；2 2 2±2ab+b =(a ±b)；3322+b =(a+b)(a -ab+b )；3 3 2-b =(a-b)(a +ab+b 2 )•2；— 2+b +c -ab-bc-ca)b, c 是ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 ab bc ca ，ABC 的形状是（）A.直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形2 2 2解：a b c ab bc ca2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b) (b c) (c a) 0三、分组分解法•（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的步骤和方法
因式分解的步骤和方法因式分解是指将一个多项式表达式分解为更简单的因子乘积的过程。
这在代数学中是一项基础且重要的技巧，它可以帮助简化复杂的多项式表达式并解决各种数学问题。
以下是因式分解的一般步骤和常用方法：1. 确定最高公因子首先，我们要确定多项式中是否存在最高公因子。
最高公因子是指能够整除所有项的因子，它可以帮助我们简化分解过程。
如果最高公因子存在，我们可以将其提取出来并将多项式进行因式分解。
2. 使用因式定理分解多项式因式定理是因式分解中常用的方法之一，它基于多项式的根与因式之间的关系。
根据因式定理，如果带有系数的多项式P(x)的一个根是a，那么(x - a)就是P(x)的一个因子。
我们可以使用因式定理来解决一次、二次或高次多项式的因式分解问题。
3. 使用配方法配方法是一种常用的因式分解方法，它适用于具有特定形式的多项式，如二次三项式。
配方法可以帮助我们将一个多项式分解成两个因子的乘积，这样可以简化计算并获得更简单的形式。
4. 使用公式或特殊公式对于一些特殊的多项式，我们可以利用公式或特殊公式进行因式分解。
例如，对于二次多项式，我们可以使用平方差公式或不完全平方公式进行因式分解。
5. 检查和验证无论使用哪种方法进行因式分解，我们应该在完成后进行检查和验证。
这可以通过将因式相乘来验证分解的正确性，确保它们等于原始多项式。
因式分解是一个需要掌握技巧和经验的过程。
通过练和理解不同的因式分解方法，我们可以更好地解决数学问题并简化复杂的多项式表达式。
以上是因式分解的一般步骤和常用方法的简要介绍。
希望这些信息能够帮助你更好地理解和应用因式分解。
因式分解的14种方法
所以 7 x 2 -19x-6=(7x+2)(x-3)． 十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中 ⑸裂项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项 （或几项） ， 使原式适合 于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。这钟方法的实质是分组分解法。要注 意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)． ⑹配方法 对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方 差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。属于拆项、补项法的一种特殊情况。也 要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。 例如： x 2 +3x-40 = x 2 +3x+2.25-42.25 = x 1.5 6.5
2 2
=(x+8)(x-5)．
⑺应用因式定理 对于多项式 f(x)=0，如果 f(a)=0，那么 f(x)必含有因式 x-a． 例如：f(x)= x 2 +5x+6，f(-2)=0，则可确定 x+2 是 x 2 +5x+6 的一个因式。(事实上，
x 2 +5x+6=(x+2)(x+3)．)
注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若 X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值 为零，则 q 为常数项约数，p 最高次项系数约数； 2、对于多项式 f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有 a 为 c/b 约数 ⑻换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因 式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。 注意:换元后勿忘还元. 例如在分解( x 2 +x+1)( x 2 +x+2)-12 时，可以令 y= x 2 +x,则 原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2)
(完整版)因式分解的常用方法(方法最全最详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 -----------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ---------a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3---------a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 --------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ）分解因式技巧1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1. 提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式例一：0322=-x x解：x(2x-3)=0， x1=0,x2=3/2这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式,这对我们后面的学习有帮助。
2. 公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
例二：42-x 分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)3. 十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数a1,a2的积a1?a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1╳a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c 的一次项系数b ，即a1c2+a2c1=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).这种方法要多实验，多做，多练。
整系数多项式的因式分解方法研究
整系数多项式的因式分解是指将多项式拆分成若干个因数的过程。
这是一种常见的多项式运算，在数学中有很多应用。
常见的整系数多项式因式分解方法包括：
1.分解因式法。
该方法需要找出多项式中最高次项的系数和常数项，将它们作为因式的系数和常数，然后将多项式化为两个因式的乘积的形式。
2.辗转相除法。
该方法是将多项式与较小的多项式取模，直到得到的余数为0 为止。
每次辗转相除都会生成一个新的因式，最终可以将多项式表示为若干个因式的乘积。
3.因式分解定理。
该定理认为，多项式的因式分解是一种通用的方法，可以将多项式分解为若干个因式的乘积。
它主要用于数学建模、函数求根、求解方程等场合。
常见的因式分解定理包括：
1.高斯消元法。
该方法可以将线性方程组消元为三角形式，从而求解方程组的解。
2.光速方程。
该方程是描述物体的运动规律的方程，常用于物理学中的运动问题。
3.图解法。
该方法是通过画图来解决函数的根的方法。
因式分解是数学中一种常用的方法，可以帮助我们求解复杂的问题。
因式分解法的四种方法
因式分解法的四种方法因式分解是指将一个多项式或一个整式拆分成若干个较简单的乘积，且不能再分解的过程。
它是求解多项式的根、计算多项式的值、化简复杂的代数式等问题的基础方法之一、下面将介绍因式分解的四种常见方法。
一、提公因式法提公因式法是因式分解的最基本方法，它的基本思想是找出多项式中的一个最大公因式，然后将每一项都除以这个公因式进行整理。
具体步骤如下：1.提取多项式中的一个最大公因式，将多项式中的每一项都除以这个公因式；2.将多项式中的每一项同除以公因子后的结果组成新的多项式；3.用这个公因式乘以上一步得到的新多项式，验证是否等于原多项式。
二、配方法配方法适用于多项式中含有双线性因式（即形如(a+b)的项）的情况。
它的基本思路是将多项式进行配对后，再进行因式分解。
具体步骤如下：1.将多项式中的二次项一项一项进行配对，寻找出适合相加之后可以得到完全平方的两个项；2.将进行配对后的结果进行因式分解；3.合并配对后的项，得到最终结果。
三、试除法试除法适用于多项式可以分解成多个一次因式相乘的情况。
它的基本思路是采用试除法逐个验证可能的因式，并不断地进行试除。
具体步骤如下：1.根据首项和末项的系数，得出可能的因式；2.将可能的因式作为试除因子，进行试除；3.如果试除后得到余式为0，则该因式是原多项式的一个因式；4.将得到的因式与余式进一步分解，直到不能再分解为止。
四、因式分解公式因式分解公式是一些特定形式的多项式的因式分解方法。
根据多项式的形式，可以通过查找相应的因式分解公式进行分解。
常见的因式分解公式包括：1.二次差分公式：(a^2-b^2)=(a+b)(a-b)；2.平方差分公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；3.三项和差立方公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；4.三角恒等式公式：sin^2x+cos^2x=1以上就是因式分解的四种常见方法。
这些方法在因式分解问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种与因式分解有关的数学问题。
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（ ２ ｘ ＋甜 ＋ ） 一（ ￣ ／ ｎ 一４ ６ ＋４ ｙ ｘ± ￣ ／ 一４ ｄ ） 。 一 ０（ 其中 ±号 由 ａ ｙ一２ ｃ 确定） ． （ １ ． ３ ）
一
般 情况 下 ， 三次方 程 （ １ ． ２ ） 中的常数 项 数值较 大 ， 求解 较 为麻烦 ． 例 如分解 四次方 程 （ 文 中例 ５ ）
解 成 两 个 二 次 因 式乘 积 的 条件 及方 法 ， 从 而 解 决 了一 元 四次 整 系数 多项 式 在 实 数 域 内的 因式 分 解 问题 ．
［ 关键词］整系数多项式 ； 完 全 平 方 数 ；因式 分 解 ；实 数 域 ； 二 次 代 数 整数 ［ 中图 分 类 号 ］ ０１ ５ １ ． １ ［ 文献标识码］Ｃ ［ 文 章 编 号］ １ ６ ７ ２ — １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ６ — ０ １ ０ １ — ０ ５
［ ｚ ＋（ ４ ＋２ ） ＋ （ ７ —５ ） ］ ［ （ ＋（ ４ —２ ） ｚ＋ （ ７ ＋５ √ ） ］一 ０．
对多 项式 而言 ， 如果 一个 四次整 系数 多项 式在 实数 域 内是可 约 的 ， 理论 上我 们 只须用 待 定 系数法 将
其分 解成两 个二 次 因式 的乘 积 ， 并通 过系 数方程 组 求 出这 两个 二 次 因式 的所 有 待定 系数 即可 ． 但实 际 上
第３ ２卷
２ 主 要 结 果
２ ． １ 一元 四次 多项式 在有 理数 域上 的 因式分 解［ ４ ］
定 理 １ 一 元 四次多 项式 在有 理数 域上 可分 解成
．
厂 （ ）： ｚ ＋ 甜 。 ＋ 如 ＋ ＋ ｄ ： （ ｚ ＋ Ａ１ ｚ＋ Ｂ１ ） （ ｚ ＋ Ａ２ ｚ＋ Ｂ２ ）
的必要条 件 是在 常数项 ｄ中存 在 因数 Ｂ ， Ｂ ， 使得 代数 式 Ｔ — ａ 一４ ６ ＋４ （ Ｂ ＋Ｂ 。 ）为完 全平方 数 ． 由定 理 １可得 一 元 四次多 项式 在有 理数域 上 的 因式分 解法 ： （ ｉ ）在 常数项 ｄ— Ｂ Ｂ 。中确定 一组 因数 Ｂ。 ， Ｂ ， 使 得代 数式 Ｔ— ａ 一４ ６ ＋４ （ Ｂ ＋Ｂ ｚ ） 为 完全 平 方数 ， 设 平方 根 为 ｔ ≥ ｏ； （ ｉ ｉ ）求 出 Ａ 一
要仅 由系数 方程 组直接 求 出这些 待定 系数 是 根本 办 不 到 的．通 过 研究 得 到 ， 如果 能 通 过 多项 式 在 不 同
范 围分解后 其 系数 的特 点 ， 则该 四次 多项 式分 解 问题 即可 解 决．关 于一 元 四次有 理 系 数 多项 式 在 其 域
内的因式分 解 问题 ， 已在文 ［ ４ ］ 以及 近年一 些 刊物发 表 的方 法 即 文 ［ ５ —８ ］ 进行 了研究 探 讨 ， 给 出 了一 些 解决 的方法 ． 而 本文仅 对 四次整 系数 多项 式在 实数 域 内分 解 问题进 行 了研 究 ， 根 据 分解后 其 系数应 为 二 次代数 整数 的特 点 ， 以及导 出 的二次方 程 判别式 的完 全平 方性 质 ， 得 出 了一 元 四次整 系数 多项 式在 实数 域 内能分解 成两 个二 次 因式 乘积 的条 件及 方法 ， 从 而解 决 了一元 四次整 系数 多项 式在 实 数 域 内 的 因式
［ 收稿 日期］２ ０ １ ６ — ０ ５ — １ ４ ［ 作者简介］戴 中林 （ １ ９ ４ ９ －） ， 男， 学士 ， 副教授 ， 从事 微分 方程方向研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｄ ｚ １ ４ ７ ５ １ ９ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｍ
１ ０ ２ 分解 问题 ．
大 学 数 学
［ 摘
要 ］ 仅 对 一 元 四次 整 系 数 多 项 式 在 实 数 域 内分 解 问 题 进 行 了研 究 ， 根 据 分 解 后 其 系 数 应 为 二 次 代
数整数的特点 ， 以及 导 出 的二 次 方 程 判 别 式 的完 全 平 方 性 质 ， 得 出 了 一 元 四 次 整 系数 多 项 式 在 实 数 域 内 能 分
１ 引
言
对 于一 般高 次方程 的解 法 ， 相 关教 材上 已有 介绍 ［ １ － ３ ］ ． 三 次方 程可用 卡 当公 式求 解 ， 而 四次方程
ｚ ＋ ａ ｘ。 ＋ ｂ ｘ。 ＋ Ｃ Ｘ ＋ ｄ 一 ０， （ １ ． １ ）
则 可 由费拉利 法求 解． 其 方法 是先 引人 参数 ｙ将 （ １ ． １ ） 式配 成平 方差 ， 再 由二 次式 的完 全平 方性 质 ， 令 其 判 别式 等于零 ， 可 得一个 关 于参数 Ｙ的整 系数 三次 方程 ｙ 。 一ｂ ｙ 。 ＋（ ａ ｃ一 ４ ｄ ） ｙ— Ｅ （ ａ 一 ４ ｂ ） ｄ＋ ｃ 。 ］一 ０． 当此方 程求 出一个 整数 解 后 ， 则 四次方 程 （ １ ． １ ） 可 由下式分 解 （ １ ． ２ ）
第 ３ ２卷 第 ６期
２ ０ １ ６年 １ ２月
大 学 数 学
Ｃ０ＬＬＥＧＥ Ｍ Ａ ＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ３ ２ ， №． ６
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ６
一
元 四次 整 系数 多 项 式 的 因式 分 解 法
戴 中林
（ 西华师范大学 数 学与信息学院 ， 四川 南 充 ６ ３ ７ ０ ０ ２ ）
ｚ ＋ ８ ｘ 。＋ １ ８ ｘ ＋ １ １ ６ ｘ一 ２ ６ — ０．
首先 由公 式 （ １ ． ２ ）来自得 到三 次方程 Ｙ。一 １ ８ ｙ ＋ １ ０ ３２ ｙ一 １ ３６ ６ ４ — ０．
由于方程 中常数 项 因数较 多 ， 可 用长 除法 求其 一个 整根 ． 即用 常数 项决 定 的所有 的一 次 因式 去逐 一 试除 ， 可得 Ｙ一 １ ４．此解 法虽然 繁琐 但是 可行 的 ， 故应 用费 拉利 法解 四次 方程 的难 点也 就在 于此 ． 然 后 将整 数解 Ｙ一 １ ４代人 （ １ ． ３ ） 式 即得分 解式