高中数学 (人教版必修3)： 概率 讲义
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第五章 概率
重点列表：
重点
名称
重点 1
随机事件的概念
重点 2
对立与互斥的概念
重要指数 ★★★ ★★★★
重点详解：
1．随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的____________fn(A)稳定 在某个常数上，把这个____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
3 机事件，它的概率是 .
8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取 出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1. 重点 2：对立与互斥的概念及应用 【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝Ø； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝Ø，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B. 3．只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立． 4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件
对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率 P(E)＝____________.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________.
称此事件为事件 A
与事件 B 的并事件
若某事件发生当且
交事件 (积事件)
仅当事件 A 发生 ____事件 B 发生， 则称此事件为事件
A∩B (或 AB)
A 与事件 B 的交事件
若 ______ 为 不 可 能
互斥事件 事件，则事件 A 与 A∩B＝______
事件 B 互斥
对立事件
若 ________ 为 不 可 能 事 件 ， ________ 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件
A∩B＝______ P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝ ____________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三
种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事
件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但
推广：如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1＋A2＋…＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1＋A2＋…源自文库An)＝___________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝____________________.
【答案】
重点 1：随机事件的概念 【要点解读】 概率与频率的关系 (1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的． (2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关． (3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频 率的稳定值． 【考向 1】随机事件的判断 【例题】同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 之间”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事 件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的． 【考向 2】不可能事件与必然事件 【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球， (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率 为 0. (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随
1．(1)必然事件 (2)不可能事件
(3)随机事件 (4)确定事件 随机事件
2．(1)频数 nA (2)频率 常数 概率 n
(3)小概率事件
3．包含 B A A＝B 或 且 A∩B Ø A∩B A∪B Ø 1 4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ②1－P(B)
包含关系
相等关系 并事件
(和事件)
定义
符号表示
如果事件 A 发生，
则事件 B 一定发生，
这时称事件 B______ 事 件 A( 或
(或 A B)
称事件 A 包含于事
件 B)
若 B A 且 A B ____________
若某事件发生当且
A∪B
仅当事件 A 发生 (或 A＋B)
______事件 B 发生，
重点列表：
重点
名称
重点 1
随机事件的概念
重点 2
对立与互斥的概念
重要指数 ★★★ ★★★★
重点详解：
1．随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的____________fn(A)稳定 在某个常数上，把这个____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
3 机事件，它的概率是 .
8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取 出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1. 重点 2：对立与互斥的概念及应用 【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝Ø； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝Ø，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B. 3．只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立． 4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件
对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率 P(E)＝____________.
(3)不可能事件的概率 P(F)＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________.
称此事件为事件 A
与事件 B 的并事件
若某事件发生当且
交事件 (积事件)
仅当事件 A 发生 ____事件 B 发生， 则称此事件为事件
A∩B (或 AB)
A 与事件 B 的交事件
若 ______ 为 不 可 能
互斥事件 事件，则事件 A 与 A∩B＝______
事件 B 互斥
对立事件
若 ________ 为 不 可 能 事 件 ， ________ 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件
A∩B＝______ P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝ ____________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三
种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事
件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但
推广：如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1＋A2＋…＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1＋A2＋…源自文库An)＝___________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝____________________.
【答案】
重点 1：随机事件的概念 【要点解读】 概率与频率的关系 (1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的． (2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关． (3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频 率的稳定值． 【考向 1】随机事件的判断 【例题】同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 之间”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事 件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的． 【考向 2】不可能事件与必然事件 【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球， (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率 为 0. (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随
1．(1)必然事件 (2)不可能事件
(3)随机事件 (4)确定事件 随机事件
2．(1)频数 nA (2)频率 常数 概率 n
(3)小概率事件
3．包含 B A A＝B 或 且 A∩B Ø A∩B A∪B Ø 1 4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ②1－P(B)
包含关系
相等关系 并事件
(和事件)
定义
符号表示
如果事件 A 发生，
则事件 B 一定发生，
这时称事件 B______ 事 件 A( 或
(或 A B)
称事件 A 包含于事
件 B)
若 B A 且 A B ____________
若某事件发生当且
A∪B
仅当事件 A 发生 (或 A＋B)
______事件 B 发生，