高中数学 (人教版必修3)： 概率 讲义
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高中数学人教版必修三第3章 概率全章复习 课件(共17张PPT)
例题精讲之概率的性质 8.如图，在等腰直角△ABC中， （1）过直角顶点C在∠ACB内部随机地 作一条射线CM，与线段AB交于点M， 求AM<AC的概率； （2）若是直接在线段AB上随机找一点 C M，求AM<AC的概率。
答案：
2 （1）3/4；(2) 2
A
M
B
例题精讲之概率的性质
9、在圆x2+y2-2x-2y+1=0内随机投点， 求点与圆心距离小于1/3的概率。 解:圆化为标准形式为:(x-1)2+(y-1)2=1, 这是以点C(1，1)为圆心,半径为1的圆 设“点P与圆心的距离小于1/3”为事件A, 则A成立的对应的区域是以C为圆心，半 径为1/3的圆。 所以P(A)=1/9。
例题精讲之概率的性质 2．有一人在打靶中，连续射击2次， 事件“至少有1次中靶”的对立事 件是（ ） C A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
例题精讲之概率的性质
3、袋内分别有红、白、黑球各3、2、 1个，从中任取2个，则互斥而不对 D ）。 立的两个事件是（ A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.至少有一个白球；一个白球一个黑 球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个
必修3第3章 概率全章复习
一、基础知识归纳 设Ω有n个基本事件，随机事件A包含m 个基本事件，则事件A的概率P(A)=m/n. 对任何事件A：0≤P(A)≤1.
1、古典概率定义
事件A包含的基本事件数 P(A)= 基本事件总数 当且仅当所描述的基本事件的出 现是等可能性时才成立
2、简单概率事件关系
12.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n 作为P点的坐标，则点P落在圆x2+y2=16内的 概率是 ________
人教版高中数学必修三3.随机事件的概率PPT课件(共30)
八、知识迁移:
例、 为了估计水库中的鱼的尾数， 先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼作 上记号（不影响其存活），然后放回水 库．经过适当的时间，让其和水库中其 余的鱼充分混合，再从水库中捕出500尾 鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上 述数据，估计这个水库里鱼的尾数．
课堂感悟
概率是一门研究现实世界中广泛存在的 随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识 、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学 习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意 识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概 率的感受和探索。
课堂小结
1．随机事件发生的不确定性及频率的稳定性． (对立统一)
2．随机事件的概率的统计定义：随机事件在相 同的条件下进行大量的试验时，呈现规律性， 且频率总是接近于常数P(A)，称P(A)为事件的 概率．
3．随机事件概率的性质：0≤P(A)≤1．
作业:教材P123页T2,T3.
频率与概率的区别与联系：
√(2)明天本地下雨的机会是70%.
又例如生活中，我们经常听到这样的议论 ：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根 本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。” 学了概率后，你能给出解释吗？
解：天气预报的“降水”是一个随机事 件，概率为90%指明了“降水”这个随机事 件发生的概率，我们知道：在一次试验中， 概率为90%的事件也可能不出现，因此，“ 昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率 为90%”的天气预报是错误的。
值. (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定.
做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同,比如全班每人做 了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的.
(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与 每次试验无关. 比如,如果一个硬币是质地均匀的,则掷硬币
高中数学必修三概率教案
高中数学必修三概率教案
教学目标：
1. 了解概率的基本概念；
2. 掌握基本概率计算方法；
3. 能够应用概率论解决实际问题。
教学重点：
1. 概率的基本概念；
2. 概率计算方法。
教学难点：
1. 复杂事件的概率计算。
教学准备：
1. 课件、教材；
2. 题目及答案；
3. 实验材料。
教学过程：
一、导入（5分钟）
老师可以通过提问引导学生回顾概率的基本概念，如事件、样本空间等。
二、概率的基本概念（15分钟）
1. 介绍概率的基本概念和性质；
2. 讨论概率的计算方法；
3. 举例说明概率的应用。
三、概率计算方法（20分钟）
1. 介绍概率计算方法：古典概率、几何概率、条件概率等；
2. 演示如何计算简单事件的概率；
3. 练习题练习。
四、复杂事件的概率计算（20分钟）
1. 介绍复杂事件的概率计算方法；
2. 分析实际案例，解决复杂事件的概率计算问题；
3. 练习题练习。
五、实验环节（15分钟）
老师设计简单的实验活动，让学生通过实验了解概率的概念和计算方法。
六、课堂总结（5分钟）
对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生复习和巩固。
七、课后作业
布置相关作业，巩固学生所学知识。
备注：本教案仅供参考，具体教学过程还应根据实际情况进行调整。
高中数学必修三 第三章 概率 第1节 事件与概率
(2,4)； (4)“xy＝4”包含以下 3 个基本事件：(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x＝y”包含以 下 4 个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
练习：一个盒子中装有 4 个完全相同的球，分别标有号码 1,2,3,5，从中任取两 球，然后不放回． (1)写出这个试验的基本事件空间； (2)求这个试验的基本事件总数； (3)写出“取出的两球上的数字之和是 6”这一事件所包含的基本事件．
1．常见现象的特点及分类
名称
定义
必然现象 在一定条件下必然 发生某种结果的现象．
不可能现 在一定条件下 不可能发生某种结果的现象．
象
在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到
随机现象 的结果 不一定 相同，事先很难预料哪一种
结果会出现的现象.
2.试验 把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把
典型例题：
例 1：判断下列现象是必然现象还是随机现象： (1)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数； (2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色； (3)在 10 个同类产品中，有 8 个正品、2 个次品，从中任意抽出 2 个检验的结果．
[精解详析] (1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现 1～6 点，不能确定， 因此是随机现象． (2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有 可能是绿色，故是随机现象． (3)抽出的 2 个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有 可能是两个次品，故此现象为随机现象．
件是( )
A．4 个都是正品
B．至少有 1 个是次品
C．4 个都是次品
D．至少有 2 个是正品
解析：A、B 为随机事件，C 为不可能事件，只有 D 为必然事件．答案：D
练习：一个盒子中装有 4 个完全相同的球，分别标有号码 1,2,3,5，从中任取两 球，然后不放回． (1)写出这个试验的基本事件空间； (2)求这个试验的基本事件总数； (3)写出“取出的两球上的数字之和是 6”这一事件所包含的基本事件．
1．常见现象的特点及分类
名称
定义
必然现象 在一定条件下必然 发生某种结果的现象．
不可能现 在一定条件下 不可能发生某种结果的现象．
象
在相同的条件下多次观察同一现象，每次观察到
随机现象 的结果 不一定 相同，事先很难预料哪一种
结果会出现的现象.
2.试验 把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，把
典型例题：
例 1：判断下列现象是必然现象还是随机现象： (1)掷一枚质地均匀的骰子出现的点数； (2)行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色； (3)在 10 个同类产品中，有 8 个正品、2 个次品，从中任意抽出 2 个检验的结果．
[精解详析] (1)掷一枚质地均匀的骰子其点数有可能出现 1～6 点，不能确定， 因此是随机现象． (2)行人在十字路口看到交通信号灯的颜色有可能是红色，有可能是黄色，也有 可能是绿色，故是随机现象． (3)抽出的 2 个产品中有可能全部是正品，也有可能是一个正品一个次品，还有 可能是两个次品，故此现象为随机现象．
件是( )
A．4 个都是正品
B．至少有 1 个是次品
C．4 个都是次品
D．至少有 2 个是正品
解析：A、B 为随机事件，C 为不可能事件，只有 D 为必然事件．答案：D
高中数学新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1 条件概率 7.1.2 全概率公式 课件
P(A)
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,假设P(A)>0,那么
P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生〞这个附加条件下发生的概率与没有
孩子呢.〞在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只
知道有一个是女孩,另一个不太清楚.〞于是达娜在想,另一个孩子
也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一
下吗?
激趣诱思
知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)
这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)假设事件A,B互斥,那么P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;
而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般
P(B|A)≠P(AB).
P(AB )
P(B|A)=
答案:C
P(A)
=
1
10
4
15
3
= .
8
激趣诱思
知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.
设P(A)>0,那么
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率.
2.概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,假设P(A)>0,那么
P(AB)=P(A)P(B|A).我们称该式为概率的乘法公式.
名师点析对于条件概率需注意的问题
(1)利用条件概率公式求P(B|A)时一定要注意P(A)>0.
(2)事件B在“事件A已发生〞这个附加条件下发生的概率与没有
孩子呢.〞在回家的路上妈妈告诉达娜:“这个家庭有两个孩子,只
知道有一个是女孩,另一个不太清楚.〞于是达娜在想,另一个孩子
也是女孩的可能性有多大呢?是50%的概率吗?你能帮达娜分析一
下吗?
激趣诱思
知识点拨
一、条件概率
1.定义:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=P(AB)
这个附加条件发生的概率一般是不相同的.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)P(B|A)与P(AB)有何区别?
(2)假设事件A,B互斥,那么P(B|A)是多少?
提示:(1)P(B|A)的值是事件AB发生相对于事件A发生的概率的大小;
而P(AB)是事件AB发生相对于原来的总空间而言,一般
P(B|A)≠P(AB).
P(AB )
P(B|A)=
答案:C
P(A)
=
1
10
4
15
3
= .
8
激趣诱思
知识点拨
二、条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.
设P(A)>0,那么
(1)P(Ω|A)=1;
(2)如果B和C是两个互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);
高中数学必修3课件：3.1.3 概率的基本性质
事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C＝__A_∩__B__
(或C＝AB)．
类比集合，事件A与事件B的交事件用图
表示．
栏目 导引
第三章 概率
(3)互斥事件、对立事件 若事件A与事件B为__A_∩__B_＝__∅__，那么称事件A与事件B互斥, 其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中_不__会__同__时__发生． 若A∩B为__不__可__能__事件，A∪B为必__然___事件,那么称事件A与 事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次 试验中_有__且__仅__有___一个发生．
栏目 导引
第三章 概率
互动探究 2．在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少 有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F 的交事件是什么？ 解：由本例的解答可知， C＝A∪B∪E，C∩F＝A∪B.
栏目 导引
第三章 概率
题型三 用互斥事件、对立事件求概率
例3 (2012·高考湖南卷)某超市为了解顾客的购物量及结算
栏目 导引
第三章 概率
(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟”，将频率视为概率，由互斥事件的概率加法公式得 P(A)＝11050＋13000＋12050＝170. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为170.
栏目 导引
第三章 概率
【名师点评】 (1)应用概率加法公式时要保证事件互斥，复 杂事件要拆分成若干个互斥事件，以化繁为简：注意不重不 漏． (2)当事件本身包含的情况较多，而其对立事件包含的结果较 少时，就应该利用对立事件间的关系求解，即贯彻“正难则 反”的思想．
栏目 导引
第三章 概率
人教版高中数学选择性必修第三册7-1-2全概率公式
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
课堂篇·互动学习 课时作业
课前篇·自主预习
知识点 全概率公式
1．一般地，设 A1，A2，…，An 是一组 两两互斥 的事件， A1∪A2∪…
∪An＝Ω
，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有
n
PB＝ PAiPB|Ai
i＝1
.称该公式为全概率公式．
2．利用全概率公式计算概率的难点是什么？
提示：全概率公式中“全”就是总和的含义：每一原因都可能导致 B 发生，故 B 发生的概率是各原因引起 B 发生概率的总和，即事件 B 发生的可能性，就是其原因 Ai 发生的可能性与在 Ai 发生的条件下 B 发生的可能性的乘积之和．具体运用公式时，难 点在于如何选择事件 A1，A2，…，An，一定要把产生结果的原因全找出来，不能遗漏， 并且保证 A1，A2，…，An 为两两互斥事件，选择恰当将会使计算大为简化，若选择不 当，将会影响计算，甚至导致错误．
i＝1
类型二 贝叶斯公式的应用
[例 2] 临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患 者进行试验结果呈阳性反应者占 95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者 占 96%，现在用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居 民总数的 0.4%，求：
(1)试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率； (2)试验结果呈阴性反应的被检查者确实未患癌症的概率． [思路分析] 根据条件概率和贝叶斯公式即可求出结果．
[变式训练2] 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必 检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设P(阳性|带菌)＝0.99，P(阴性| 带菌)＝0.01，P(阳性|不带菌)＝0.05，P(阴性|不带菌)＝0.95，设某人检出阳性， 问：他“带菌”的概率是多少？
人教版高中数学选择性必修第三册7-1-1条件概率
2．若事件 B，C 互斥，则 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂 事件的概率，往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件，求出这些 简单事件的概率，再利用概率的加法公式即得所求的复杂事件的概率．
[变式训练 3] 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少 答对其中的 4 道题即可通过；若至少答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答 对 20 道题中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝CC612600＋CC510C620110＋CC410C620120＝12C162080，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PPADD＋
C610
C510C110
PPBDD＝PPDA＋PPDB＝12C126080＋12C126080＝1538.
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
[课标解读]1.通过古典概型的分析，了解条件概率的定义.2.能用求条件概率的 两种方法计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系.4.会利用 概率的乘法公式计算概率．
[素养目标] 水平一：掌握求条件概率的两种方法．(逻辑推理)
3．如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目 中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件 概率．
由于样本空间变化，事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这 个附加条件的概率是不同的．
[变式训练 3] 在某次考试中，要从 20 道题中随机地抽出 6 道题，若考生至少 答对其中的 4 道题即可通过；若至少答对其中 5 道题就获得优秀，已知某考生能答 对 20 道题中的 10 道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率．
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝CC612600＋CC510C620110＋CC410C620120＝12C162080，
P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝PPADD＋
C610
C510C110
PPBDD＝PPDA＋PPDB＝12C126080＋12C126080＝1538.
第七章 随机变量及其分布
7．1 条件概率与全概率公式
7．1.1 条件概率
[课标解读]1.通过古典概型的分析，了解条件概率的定义.2.能用求条件概率的 两种方法计算简单随机事件的条件概率.3.了解条件概率与独立性的关系.4.会利用 概率的乘法公式计算概率．
[素养目标] 水平一：掌握求条件概率的两种方法．(逻辑推理)
3．如何判断一个概率问题是否为条件概率问题？
提示：当题目中出现“在……前提(条件)下”等字眼时，一般为条件概率；题目 中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件 概率．
由于样本空间变化，事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这 个附加条件的概率是不同的．
高中数学 新人教A版选择性必修第三册 第七章 7.1.1条件概率 课件
【解析】选C.设A为“某人检验呈阳性”，B为“此人患病”．则“某人检验呈阳性时 他确实患病”为B|A，
又P(B|A) ＝PP((AAB)) ＝99%0.×20%.1% ＝49.5%.
2．气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为35 ，在刮台风的条件下， 下大雨的概率为190 ，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为( ) A．23 B．2570 C．190 D．130
1．若P(A∩B)＝35 ，P(A)＝34 ，则P(B|A)＝( ) A．54 B．45 C．53 D．43
2．下列式子成立的是( A．P(A|B)＝P(B|A) C．P(AB)＝P(B|A)·P(A)
) B．0<P(B|A)<1 D．P(AB|A)＝P(B)
【解析】选C.由P(B|A)＝PP（（AAB）） 得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，而P(A|B)＝PP（（ABB）） 知 A不正确，C正确；当P(B)为零时知P(B|A)＝0，所以B不正确；D选项应是P(AB|A) ＝P(B|A)，故D不正确．
第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式
7.1.1 条 件 概 率
基础预习初探
主题1 条件概率的概念及性质 3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取．
(1)问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？
提示：由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 ，与其他同学
(2)设“点数a，b之和不大于5”为事件B， 包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)， (2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“a，b中至少有一个为2”为事件C， 包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数a，b 之和不大于5的条件下，a，b中至少有一个为2”的概率：P＝nn（（BBC）） ＝150 ＝12 .
高中数学第三章概率3.1.3概率的基本性质课件新人教A版必修3
球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3
个均为红球,故C∩A=A.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
互动探究 在本例中A与D是什么关系?事件A与B的交事件是什么?
解:由本例的解答,可知A⊆D.
因为A,B是互斥事件,所以A∩B=⌀.
故事件A与B的交事件是不可能事件.
集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
3.请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件
发生?
提示如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
4.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.
然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意
不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求
其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,
避免错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概
点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于
1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点
数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出
现的点数为奇数},等等.
1.上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机
5.事件D3与事件F能同时发生吗?
提示事件D3与事件F不能同时发生.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白球,3
个均为红球,故C∩A=A.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
互动探究 在本例中A与D是什么关系?事件A与B的交事件是什么?
解:由本例的解答,可知A⊆D.
因为A,B是互斥事件,所以A∩B=⌀.
故事件A与B的交事件是不可能事件.
集合的观点看,事件C1是事件D3,E,H的子集,集合C1与集合D1相等.
3.请指出如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件
发生?
提示如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.
4.如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生?
提示如果事件D2与事件H同时发生,就意味着事件C5发生.
然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意
不能重复和遗漏.
2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求
其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,
避免错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
变式训练2据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概
点},C5={出现5点},C6={出现6点},D1={出现的点数不大于
1},D2={出现的点数大于4},D3={出现的点数小于6},E={出现的点
数小于7},F={出现的点数大于6},G={出现的点数为偶数},H={出
现的点数为奇数},等等.
1.上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件?哪些是随机
5.事件D3与事件F能同时发生吗?
提示事件D3与事件F不能同时发生.
人教版高中数学选择性必修三《全概率公式》公开课课件
事件B 由三个互斥事件的并事件构成（A1B ，A 2 B ，A 3B 互斥） B A1B A2B A3B
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=__P__(_A__)_P__(B A )
P(B A) P( AB) 3.条件概率：_______P_( A_)
注意顺序！先 发生的事件，
写在前面
2022年第24届冬奥会在北京成功举办！
这场盛会为团 结创造全人类 更美好的未来， 传递着希望与 力量！ 冬奥会的成功 举办也包括各 个场馆在建设 过程中展现出 的惊艳世界的 “中国速度”和” 高质量成果”！
同理可求 P(A2B) P(A3B)
由概率 乘法公 式得
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
解析：
由概率 加法公 式得
总结：
我们把复杂事件B 表示为三个互斥 事件的并，由概 率的加法公式和 乘法公式，求得 事件B的概率。
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
引申： 小王从家到“冰丝带”,如果有n 条路径，
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=__P__(_A__)_P__(B A )
P(B A) P( AB) 3.条件概率：_______P_( A_)
注意顺序！先 发生的事件，
写在前面
2022年第24届冬奥会在北京成功举办！
这场盛会为团 结创造全人类 更美好的未来， 传递着希望与 力量！ 冬奥会的成功 举办也包括各 个场馆在建设 过程中展现出 的惊艳世界的 “中国速度”和” 高质量成果”！
同理可求 P(A2B) P(A3B)
由概率 乘法公 式得
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
解析：
由概率 加法公 式得
总结：
我们把复杂事件B 表示为三个互斥 事件的并，由概 率的加法公式和 乘法公式，求得 事件B的概率。
情景引入：
小王选择地铁(路径1）、私人驾车(路径2） 、公交(路径3）三种路径的概率分别 是0.5,0.3,0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3,0.4,0.7。请问小王从家 到“冰丝带”迟到的概率是多少？
引申： 小王从家到“冰丝带”,如果有n 条路径，
高中数学(人教版A版必修三)配套课件：3.1.1随机事件的概率
答案
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 必然事件、不可能事件和随机事件的判定
例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机 事件？
(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a； (2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； (3)铁球浮在水中； (4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼； (5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾； (6)同性电荷，相互排斥.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
答案
不可能事件：在条件S下，一定不会发生的
事件，叫做相对于条件S的不可能事件.
事件确定事件必叫 然事 做件 相： 对在 于条 条件 件SS下 的， 必然一事定件会.发生 的事件，
随机事件：在条件S下， 可能发生也可能不发生
的事件，叫做相对于条件S的随机事件.
答案
知识点二 频数与频率 思考 抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中， 正面向上的频数与频率分别是多少？ 答案 频数为3，频率为130. 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中 事件A出现的次数nA 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nnA为 事件A出现的频率.
第三章 § 3.1 随机事件的概率
3.1.1 随机事件的概率
人教A版高中数学必修三课件高一第三章概率.pptx
“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)， (p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)， (x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽 到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p1，p1)，共2种．
专题4 几何概型问题
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等
可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件的个
数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝
m n
求解，因此
需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主 要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能 较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度 型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题 作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地 选用几何概型解题．
(2)设身高为176 cm的同学被抽中为事件A. 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学 有： (181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)， (179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)， (176,173)共10个基本事件． 而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)， (178,176)，(176,173)，所以P(A)＝140＝25.
[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02 ＋0.01)×5＝0.3，所以高为05.3＝0.06.频率直方图如下：
“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)， (x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽 到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p1，p1)，共2种．
专题4 几何概型问题
若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等
可能性两个特征，则此试验为几何概型，由于基本事件的个
数和结果的无限性，其概率就不能应用P(A)＝
m n
求解，因此
需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．
几何概型是新增内容，在高考中很少考查随机模拟，主 要涉及几何概型的概率求解问题，难度不会太大，题型可能 较灵活，涉及面可能较广．几何概型的三种类型分别为长度 型、面积型和体积型，在解题时要准确把握，要把实际问题 作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地 选用几何概型解题．
(2)设身高为176 cm的同学被抽中为事件A. 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学 有： (181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)， (179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)， (176,173)共10个基本事件． 而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)， (178,176)，(176,173)，所以P(A)＝140＝25.
[解析] (1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02 ＋0.01)×5＝0.3，所以高为05.3＝0.06.频率直方图如下：
人教版高中数学必修三第三章第1节 3.1.1 随机事件的概率 课件(共25张PPT)
3.抛掷一枚硬币出现正面朝上的概率是 0.5， 所以将一枚硬币投掷10000次，出现正面 朝上的次数很有可能接近于5000次。
事件“甲乙两人进行‘石头剪刀布’的 游戏，结果甲获胜”是哪一类事件？
为了估计上述随机事件发生的概率，我 们可以采用何种方法？
知识小结
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件，叫做随机事件． 2．随机事件的概率的统计定义
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
25
10 70 130 310 700 1500 2000 3000 试验次数
结论：当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发 芽的频率 m 接近于常数0.9，在它附近摆动。
n
思考：
1.事件A发生的频率 fn(A) 是不是不变的？ 2.事件A的概率P(A)是不是不变的？ 3.它们之间有什么区别与联系？
优等品的频率 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 50
100
200
500
1000 2000 试验次数
结频论率：m 当接抽近查于的常球数数0.很95多，时在，它抽附到近优摆等动品。的
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
发芽的频率
随机事件的概率
1. 引言
在一些人看来，总觉得数学都是研究现实世界中确定性 现象的数量规律，其实不然。大家知道，任何事物的发展 是既有偶然性又有必然性，为了研究一些无法确定的现象 的规律，早在十七世纪数学的重要分支概率统计便应运而 生，最初是欧洲保险业的发展促成这门学科的诞生，经过 几百年的发展和应用概率统计已遍布所有的领域，你比如 利用概率统计，二战中美军破译日军的电报密码，;利用概 率统计我国数学家得出《红楼梦》的前八十回与后四十回 出自两位作家的手笔,解决了红学家长期争论不休的问题； 还是利用概率统计使我们对变化莫测的天气的预报越来越 准……,总之，概率统计这门古老又十分有用的学科，如今 它已经渗透到生活的方方面面。
事件“甲乙两人进行‘石头剪刀布’的 游戏，结果甲获胜”是哪一类事件？
为了估计上述随机事件发生的概率，我 们可以采用何种方法？
知识小结
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的 事件，叫做随机事件． 2．随机事件的概率的统计定义
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0
25
10 70 130 310 700 1500 2000 3000 试验次数
结论：当试验的油菜籽的粒数很多时，油菜籽发 芽的频率 m 接近于常数0.9，在它附近摆动。
n
思考：
1.事件A发生的频率 fn(A) 是不是不变的？ 2.事件A的概率P(A)是不是不变的？ 3.它们之间有什么区别与联系？
优等品的频率 1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 50
100
200
500
1000 2000 试验次数
结频论率：m 当接抽近查于的常球数数0.很95多，时在，它抽附到近优摆等动品。的
n
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表：
发芽的频率
随机事件的概率
1. 引言
在一些人看来，总觉得数学都是研究现实世界中确定性 现象的数量规律，其实不然。大家知道，任何事物的发展 是既有偶然性又有必然性，为了研究一些无法确定的现象 的规律，早在十七世纪数学的重要分支概率统计便应运而 生，最初是欧洲保险业的发展促成这门学科的诞生，经过 几百年的发展和应用概率统计已遍布所有的领域，你比如 利用概率统计，二战中美军破译日军的电报密码，;利用概 率统计我国数学家得出《红楼梦》的前八十回与后四十回 出自两位作家的手笔,解决了红学家长期争论不休的问题； 还是利用概率统计使我们对变化莫测的天气的预报越来越 准……,总之，概率统计这门古老又十分有用的学科，如今 它已经渗透到生活的方方面面。
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第五章 概率
重点列表：
重点
名称
重点 1
随机事件的概念
重点 2
对立与互斥的概念
重要指数 ★★★ ★★★★
重点详解：
1．随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的____________fn(A)稳定 在某个常数上，把这个____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
A∩B＝______ P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝ ____________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三
种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事
件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但
3 机事件，它的概率是 .
8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取 出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1. 重点 2：对立与互斥的概念及应用 【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝Ø； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝Ø，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B. 3．只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立． 4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件
包含关系
相等关系 并事件
(和事件)
定义
符号表示
如果事件 A 发生，
则事件 B 一定发生，
这时称事件 B______ 事 件 A( 或
(或 A B)
称事件 A 包含于事
件 B)
若 B A 且 A B ____________
若某事件发生当且
A∪B
仅当事件 A 发生 (或 A＋B)
______事件 B 发生，
【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事 件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的． 【考向 2】不可能事件与必然事件 【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球， (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率 为 0. (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随
1．(1)必然事件 (2)不可能事件
(3)随机事件 (4)确定事件 随机事件
2．(1)频数 nA (2)频率 常数 概率 n
(3)小概率事件
3．包含 B A A＝B 或 且 A∩B Ø A∩B A∪B Ø 1 4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ②1－P(B)
重点 1：随机事件的概念 【要点解读】 概率与频率的关系 (1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的． (2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关． (3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频 率的稳定值． 【考向 1】随机事件的判断 【例题】同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 之间”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
推广：如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1＋A2＋…＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1＋A2＋…＋An)＝___________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝____________________.
【答案】
对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率 P(E)＝_________＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________.
称此事件为事件 A
与事件 B 的并事件
若某事件发生当且
交事件 (积事件)
仅当事件 A 发生 ____事件 B 发生， 则称此事件为事件
A∩B (或 AB)
A 与事件 B 的交事件
若 ______ 为 不 可 能
互斥事件 事件，则事件 A 与 A∩B＝______
事件 B 互斥
对立事件
若 ________ 为 不 可 能 事 件 ， ________ 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件
重点列表：
重点
名称
重点 1
随机事件的概念
重点 2
对立与互斥的概念
重要指数 ★★★ ★★★★
重点详解：
1．随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． (2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________． 必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件的确定事件． (3)在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________． (4)____________和____________统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，…表示． 2．频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的 次数 nA 为事件 A 出现的________，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝________为事件 A 出现的频率． (2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的____________fn(A)稳定 在某个常数上，把这个____________记作 P(A)，称为事件 A 的____________． (3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为____________． 3．事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)
A∩B＝______ P(A∪B)＝
P(A)＋P(B)＝ ____________
拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三
种情况：①若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；②若事件 B 发生，则事件 A 就不发生；③事
件 A，B 都不发生．两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况．因此，互斥未必对立，但
3 机事件，它的概率是 .
8 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球不是黑球，就是白球，因此，“取 出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率为 1. 重点 2：对立与互斥的概念及应用 【要点解读】互斥事件、对立事件的判定方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生． (2)利用集合的观点来判断 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B， ①事件 A 与 B 互斥，即集合 A∩B＝Ø； ②事件 A 与 B 对立，即集合 A∩B＝Ø，且 A∪B＝I(全集)，也即 A＝∁IB 或 B＝∁IA； ③对互斥事件 A 与 B 的和 A＋B，可理解为集合 A∪B. 3．只有事件 A，B 互斥时，才有公式 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)成立，否则公式不成立． 4．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼 此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件
包含关系
相等关系 并事件
(和事件)
定义
符号表示
如果事件 A 发生，
则事件 B 一定发生，
这时称事件 B______ 事 件 A( 或
(或 A B)
称事件 A 包含于事
件 B)
若 B A 且 A B ____________
若某事件发生当且
A∪B
仅当事件 A 发生 (或 A＋B)
______事件 B 发生，
【评析】明确必然事件、不可能事件、随机事件的意义及相互联系．判断一个事件是哪类事 件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的． 【考向 2】不可能事件与必然事件 【例题】一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球，从中任意取出一个球， (1)“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是多少？ (2)“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？ (3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？ 解：(1)由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故“取出的球是红球”是不可能事件，其概率 为 0. (2)由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是随
1．(1)必然事件 (2)不可能事件
(3)随机事件 (4)确定事件 随机事件
2．(1)频数 nA (2)频率 常数 概率 n
(3)小概率事件
3．包含 B A A＝B 或 且 A∩B Ø A∩B A∪B Ø 1 4．(1)0≤P(A)≤1 (2)1 (3)0 (4)①P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) ②1－P(B)
重点 1：随机事件的概念 【要点解读】 概率与频率的关系 (1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的． (2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关． (3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频 率的稳定值． 【考向 1】随机事件的判断 【例题】同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 之间”是什么事件？其概率是多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
推广：如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1＋A2＋…＋An 发生的概率， 等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1＋A2＋…＋An)＝___________. ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)＝____________________.
【答案】
对立一定互斥．
4．概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：____________.
(2)必然事件的概率 P(E)＝_________＝____________.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝___________.
称此事件为事件 A
与事件 B 的并事件
若某事件发生当且
交事件 (积事件)
仅当事件 A 发生 ____事件 B 发生， 则称此事件为事件
A∩B (或 AB)
A 与事件 B 的交事件
若 ______ 为 不 可 能
互斥事件 事件，则事件 A 与 A∩B＝______
事件 B 互斥
对立事件
若 ________ 为 不 可 能 事 件 ， ________ 为必然事件，那么 称事件 A 与事件 B 互为对立事件