2014-2015年河北省石家庄市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
石家庄高二数学文科2014-2015学年第一学期期末试题含答案
石家庄市2014-2015学年第一学期期末考试答案高二数学（文）一、选择题：1-5DCDAB 6-10CBADB 11-12AC二、填空题13．160 14．20001,2x x x ∃≤-≤ 15．1k ≥ 16三、解答题17．解析:(Ⅰ)由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=， ．．．．．．．．．．．．．3分 解得0.018x =． ．．．．．．．．．．．．．．．．5分(Ⅱ) 450.06550.06650.1750.54850.18950.0674x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．10分18．解：（I ）由所给茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，所以现场观众对甲选手评分的中位数估计值是88． ．．．．．．．3分 15位观众对乙选手的评分由小到大排序，排在8位的是84，故样本中位数为84，所以现场观众对乙选手评分的中位数估计值是84． ．．．．．．．．．．．．．6分（II ）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差；．．．．．．．9分说明甲选手的受欢迎程度较高，观众对甲选手的评价较为一致．．．．．．．．．．．．．．12分 （注：考生利用平均数等其他统计量进行分析，结论合理的同样给分）19．解：设点M 的坐标为（x ，y ），则A 点的坐标为（x ，2y ），根据90OA ∠=,可得0AB AC ⋅=,．．．．．．．．．．．．．．．．3分代入坐标得：,2,222x y x y x x y y ⋅⨯⨯=(-2-)(2-)=(-2-)(2-)+0． ．．．．．．．．．．7分化简可得22440x y -+=，即2214x y +=， ．．．．．．．．．．．．．．．10分 又因为A 、B 、C 构成三角形不能共线，所以0y ≠，故动点M 的轨迹方程2214x y +=（0y ≠）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：．．．．．．．．．．．．．．．．2分0,1y ==， 代入数据可得0ˆ7.2b =， ．．．．．．．．．．．．．．．4分 00ˆˆ1a y b x =-= ， ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由上述计算结果，知所求回归直线方程为ˆ2867.2(2010)1y x -=-+即7.214185y x =-．．．．．．．．．．．．．．．．8分（II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为7.2201514185323⨯-=（万吨）． ．．．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（I ）代入直线方程可得(1)3f =-，求导可得2()32f x x ax b '=++，．．．．．．．．．2分根据题意可得(1)13(1)321f a b f a b =++=-⎧⎨'=++=⎩， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 解得26a b =⎧⎨=-⎩； ．．．．．．．．．．．．6分（II ）由（I ）可得32()26f x x x x =+-，所以方程等价于32267x x x m x +-=-，即322x x x m ++=，令32()2h x x x x =++，2()341(31)(1)h x x x x x '∴=++=++， ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()0h x '=，解得13x =-或1x =-．当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表： ．．．．．．．．．．．．．．．．10分要使322x x x m ++=有三个解，需要4027m -<<， 所以m 的取值范围是4027m -<<． ．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（I ）坐标（0，－1）代入椭圆方程可得b =1，所以221a c c a⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩2213x y +=． ．．．．．．．．．．．．．．．3分 （II ）如下图所示由125F A F B =得，直线12FA FB 与平行，由椭圆的对称性可知，115F A CF =（其中C 为直线1F A 与椭圆的另一个交点）．设直线1F A的方程为1122(,),(,)x my A x y C x y =,将x my =22(33my y +=，展开得：22(3)10m y +--=， ．．．．．．．．．．．．．．．5分由根与系数的关系可知，122122313y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，（*） ．．．．．．．．．．．．．．．7分 又由115F A CF =得125y y =-，代入到（*）中，求得22m =， 当2=m时，由2213x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得0,1,x y =⎧⎨=⎩或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=51526y x （舍去）．即A （0，1） 当2-=m时，由2213x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得A （0，－1）．又因为A 、B 在上半椭圆，所以舍去．．．．．．．．．．．．．．．．10分 代入两点间距离公式得53321==BF AF ，，直线12||AF BF |和|之间的距离3|22|=d ，所以四边形21F ABF的面积12S =⨯=． ．．．．．．．．．．．．．12分。
石家庄市2014—2015学年度第一学期期末考试
石家庄市2014—2015学年度第一学期期末考试高二英语试题参考答案听力（20×1.5=30）：1—5 CABAC 6—10 BCACB 11—15 BACAB 16—20 ACBAB阅读理解（15×2=30）：21—24 CBDC 25—27 BAD 28—31 CBCD 32—35 DCDA七选五阅读填空（5×2=10）：36—40 FAGCE完形填空（20×1.5=30）：41—45 BDBAC 46—50 DACDC 51—55 BACDB 56—60 CADBC语法填空（10×1.5=15）：61. flew 62. On 63. but 64. lying65. the66. its 67. angry 68. away 69. not 70. is running 短文改错（10×1=10）：We senior school students do have some growing pains. Take some of my classmate for example,classmatesthey often feel upset because ∧the expectations from parents, endless homework and the pressure of exams.ofThese serious affect their physical and mental well-being. Therefore, I think about it quite necessary toseriouslytake an action to relieve the pains. First, that is a good idea to have heart-to-heart talks with ouritparents, tell them we won’t disappoint them. Meanwhile, it’s advisable to spare some time to take sometellingexercise beside our devotion to the studies so that we will always feel relaxing and energetic.besides relaxedAs long as we were fully prepared, we are sure to achieve great success in my academic performance.are our书面表达 (25分)：One possible version:Dear Mr. Paul,I’m Li Hua, one of your students. I’m writing to tell you there’ll be an English Corner activity this Saturday afternoon in front of our library. On behalf of the English Union, I invite you to join us.In the activity, we’ll talk about some famous movies and popular songs around the world. What’s more, we’re also interested in Chinese and Western Festivals. Would you mind introducing to us how you spend your festivals?Now, some of us want to go abroad for further study. We’ll appreciate it if you give us some suggestions on how to apply for an American university.We’re looking forward to your reply and your presence in our English Corner. (115 words)Yours truly,Li Hua书面表达评分细则1、本题总分为25分，按5个档次给分。
【首发】河北省衡水中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案
2014-2015学年度上学期高二年级期末考试文科数学试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数2(1i z i i=+是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、用反证法证明命题：“,,a b N ab ∈不能被5整除，a 与b 都不能被5整除”时，假设的内容应为（ ）A ．,a b 都能被5整除B ．,a b 不能能被5整除C ．,a b 至少有一个能被5整除D ．,a b 至多有一个能被5整除 3、对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则下列说法中不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆybx a =+必过样本中心(,)x y B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好 D ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1 4、已知01,1a b <<>，且1ab >，则11log ,log ,log a a b M N b P b b===，则这个三个数的大小关系为（ ）A ．P N M <<B ．N P M <<C ．N M P <<D ．P M N << 5、已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，13213,,22a a a 成等差数列，则1113810a aa a ++等于（ ） A ．27 B ．3 C ．-1或3 D ．1或27 6、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆybx a =+的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A ．63.6元B ．65.5元C ．67.7元D ．72.0元7、设ABC ∆的三边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，内切圆半径为r ，则2Sr a b c=++，类比这个结论可知：四面体S ABC -的四个面的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球半径为r ，四面体S ABC -的体积为V ，则r =（ ） A ．1234V S S S S +++ B ．12342VS S S S +++C ．12343V S S S S +++ D ．12344VS S S S +++8、设抛物线:4C y x =的焦点为F ，直线L 过F 且与C 交于A 、B 两点，若3AF BF =，则L 的方程为（ ）A ．1y x =-或1y x =-+B ．()313y x =-或()313y x =-- C ．()31y x =-或()31y x =-- D ．()212y x =-或()212y x =-- 9、在一张纸上画一个圆，圆心O ，并在院外设一定点F ，折叠纸圆上某点落于F 点，设该点为M 抹平纸片，折痕AB ，连接MO （或OM ）并延长交AB 于P ，则P 点轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．直线10、已知双曲线2221(0)9y x a a -=>的两条渐近线与以椭圆221259x y +=的左焦点为圆心，半径为165的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53 C ．43D ．6511、对于R 上的可导的任意函数()f x ，若满足()(2)0x f x '-≤，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +>D ．()()()1322f f f +≥12、已知()f x 是定义域为()()0,,f x '+∞为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x '<-，则不等式()21(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞ C ．(1,2) D ．()2,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共/4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
石家庄市2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
石家庄市2013～2014学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科答案）一、选择题1-5 ACABB 6-10 BDBBB 11-12CC 二、填空题13 .200010x R x x ∃∈-+≥，； 14. 540x y -+=； 15.1 ；16.[]3,3-三、解答题17.解：（Ⅰ）平均值：1719202121232530228+++++++=，方差为：22222222(1722)(1922)(2022)(2122)(2122)(2322)(2522)(3022)8-+-+-+-+-+-+-+-574=…………………5分 （Ⅱ）在所取样本中有3人加工零件个数超过样本均值22，故优秀工人的频率为38，根据样本情况估计总体中有31668⨯=名优秀工人.………………10分 18.解：（Ⅰ）517554332,6597653=++++==++++=y x ,……………2分∑==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=511125947363523i i i y x ，10251765=⨯⨯=y x n ， ,200814936259512=++++=∑=i x 1803652=⨯=x n ,…………………6分11210212001802b -\==-，17126525a =-?, ∴线性回归方程为1225y x =+.………………8分（Ⅱ）当10=y 百万元时，代入线性回归方程得2.19=x 千万元，即在销售中利润额为10百万元时销售额估计为19.2千万元.………………12分 19.解：把圆C 的方程2226150x y x y ++--=化为标准形式， 得22(1)(3)25x y ++-=，所以圆心C 的坐标为(1,3)-，半径长是5，………………2分 直线CN 的方程为43130x y -+=.……………4分 MN 的中点坐标是(9,14)，斜率是1，\线段MN 的垂直平分线方程是230x y +-=，………………6分43130,8,230.15.x y x x y y -+==⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由解得 所以所求圆的圆心O 8,15（）,…………………8分又因为222(82)(157)100ON=-+-=，\经过点M （16，21）且与圆2226150x y x y ++--=外切于N （2,7）的圆的方程是22(8)(15)100x y -+-=.…………………12分20. 解： Rt PQR 的面积为2，………………………………2分 分别以P ，Q ，R 为圆心，1为半径的三个扇形的面积分别为22124πππ=π，24128πππ=π，24128πππ=π ，………………………………8分 三个扇形的面积和为4882ππππ++= ………………………………10分设第四个弹孔与前三个弹孔的距离都超过1的事件为A ，()22124P A ππ-=-＝.………………………………12分 21.解：令0=x ，则22,y k k =+-2(0,2).A k k \+-……………2分 令0=y ，得[][]0)2()1(=+---k x k x1,2x k x k \=-=+或又因为曲线与x 轴的左半轴交于B 点, (1,0)B k \-………………4分 又21k -<<， 10,k \-< .022<-+k k()()211.22AOB S k k k D \=---+=)23(213+-k k ……………6分 '23(1)2S k \=-\当-21k <<-时，'0S >，\当-11k <<时，'0S <，………………8分∴函数在），（12--为增函数，在）（1,1-上为减函数。
河北省石家庄市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(文科)试卷及答案(高清扫描版
2015 年第二学期高二文科答案一、 1-5CCAAB 6-10BDCCD 11-12AC二、填空13.i14. ab15. 33.2 米 16. ①②③三、解答17.假 z a bi （ 数 a, b 不全 0） 足等式，因此 (a 2b 2 )2 (a bi )2( a bi) i ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分22abibai ，依据复数相等的条件可得：2b 2 b，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分即 2b2aba解得b1b 01i 足条件 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分2或（舍），因此存在复数 z a 0a218.（ I ）均匀油耗低于 8 均匀油耗低于 8升 /百公里升 /百公里使用增添 24 16 40 未使用增添1228 40364480⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（ II ）将数据代入公式K 280 (24 28 12 16)2 7.273 6.635 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分36 44 40 40有 99 的掌握 “均匀油耗与能否使用 燃油增添 相关”. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分19.（ I ）求得 x8.5, y 81，因此获得以下表格：x x0.40.20 0.2 0.4 yy75237⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分?( 0.4) 7 (0.2 5) 0 0.2 ( 3)0.4 ( 7)18 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分代入公式 b( 0.4) 2 ( 0.2) 202(0.2) 2 (0.4) 2又 ???y b x234 ，因此日 量对于 价的回 直 方程分a y 18 x 234 ， ⋯⋯⋯7（ II ）依据（ I ）求得的回 直 方程可得利z ( x 4) ( 18x234)18x 2 306x 93618( x 8.5)2 364.5 ， ⋯⋯⋯10 分因此 价定8.5 元 每日的利 最大. ⋯⋯⋯12 分20. （ 1）几何 明解：（ I ）由弦切角定理可得EAB ACB ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又因 点 B 均分弧 AC , CAB ACBEAB CAB , AB 均分 CAE .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分（ II ）因 点 B 均分弧 AC ，因此 BC AB 5 ,因此 CE 9 ,由弦切 定理可得 EA 2 EB EC 36 ,因此 EA 6 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分又因EAB ∽ ECA ,ABBEAB AE15 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 2 分CA,解得 ACBE2AE（ 2）坐 系和参数方程解：（ I ）依据cos61 得：( 3 cos1sin )1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分22由xcos 3x y 2 0 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分ysin 得（ II ）由勾股定理可得弦心距dr 2 ( l ) 21 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2 2由 的参数方程可得x 2 ( y a)21 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分因此 心 (0, a) 到直 l的距离|3 0 a 2 | | a 2 | 1 ，( 3) 21222解得 a 1或 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 3）不等式 （I ）由已知不等式的解集可得1,3 是方程 x 2bx c 0 的两根，由根与系数的关系可得b1 3 c1 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分b 2 ，故 f (x) x 2 2x3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分c 3（ II ）当 x2,2 ， f ( x) 4,5 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分不等式 形f x2t 3 ，要使对于 x 的不等式 f x 2t 3 有解，只要fxmax2t 3 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分即2t 3 5，解得1 t 4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分21.（ 1）几何明解：（ I）∵ OC=OD ，∴∠ OCD=∠ ODC ，∴∠ OCA=∠ ODB ，∵∠ BOD=∠ A，∴△ OBD ∽△ AOC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴BD OD，OC AC∵ OC=OD=6， AC=4，∴BD 6，∴BD= 9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分6 4（II ）明：∵ OC=OE， CE⊥ OD．∴∠ COD=∠ BOD =∠ A．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分∴∠ AOD=180o–∠ A–∠ODC= 180o–∠COD –∠OCD= ∠ ADO．∴AD=AO ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分（ 2）坐系和参数方程解：（ I）曲 C 的极坐方程是sin 22cos，化 2 sin22cos，可得曲C 2的直角坐方程y =2x．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分x 3t m21（II）把2（ t 参数），代入方程：23t 2m 0，⋯⋯7分1y=2x 化：ty4t2上述方程的两根分t1t243⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分t1, t2，可得t 28mt1由点 P 是段 AB 的三均分点，可得t12t2，代入上述方程解得 m12 ，0 ，因此点P的坐（12， 0）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 3）不等式解：（ I）由不等式可得f（x） =|x-2|+|x a| ≥|（x 2）（ x a） |=|a 2|，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分再由不等式 f（ x）≥a 在 R 上恒建立，可得 |a 2| ≥a，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∴a 2≥a，或 a 2≤ a，解得 a≤1，故 a 的最大 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（ II ）∵正数 x， y， z足 x+y =1，∴ 14＝（ x+y）（14） 1 4y4x52y4x9 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分x y x y x y x y当且当y4x 即x1, y2，等号建立，∴14的最小9．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分x y33x y22.（ I ）几何明解：明：（I）接BE，OE，∵AB 是直径，∴∠ AEB=90°，∵∠ ABC=90° =∠ AEB ，∠ A= ∠ A ，∴△ AEB ∽△ ABC ，∴∠ ABE= ∠ C，∵ BE ⊥ AC ， DBC 的中点，∴ DE=BD=DC ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∴∠ DEC= ∠ DCE= ∠ ABE= ∠ BEO ，∠ DBE= ∠ DEB ，∴∠ BEO+ ∠DEB= ∠DCE+ ∠CBE=90°，∴∠ OEE=90°，∴ DE 是 O 的切．⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（ II ）明：∵ O、D 分 AB 、 BC 的中点，∴ DM=OD OM=（AC AB ），⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴ DM?AC+DM?AB=DM? （ AC+AB ）=（AC AB ）?（ AC+AB ） =（ AC 2AB 2）2= BC =DE?BC ．∴ DE?BC=DM?AC+DM?AB ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分（ 2）坐 系和参数方程解：（ I ）依据 称关系可得 A,B 所 的极角分3和2， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯23分代入极坐 方程可得A,B 的极坐 ( 3,) 和( 3, 2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分3 3（ II ） A,B 所 的极角分,，3因此OA 12sin， OB2 2sin()3AB因OAB 内接于 C,由正弦定理2R 得： AB 3 ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分sin AOB因此周l 2sin2sin() 3 3sin3cos3 2 3 sin() 3 ， ⋯⋯⋯⋯10 分36由 意知(0,2) ，6( , 5 ), l (2 3,3 3] ，36 6因此周 的取 范 是 (2 3,3 3] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分（ 3）不等式 解：(1)由 x12 5 得 x 13 ，3 x 13 ，不等式的解集x 2 x4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2) 因 随意 x 1 R ，都有 x 2 R ，使得 f ( x 1) g ( x 2 ) 建立，因此 { y | y f ( x)} { y | yg (x)} ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分又 f ( x)2x a 2x 3 | (2 x a) (2 x 3) | | a3| ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分g( x) | x1| 2 2，因此 | a3| 2 ，解得 a1 或 a 5 ，因此 数 a 的取 范 a1 或 a 5 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分。
石家庄市第一中学2013-2014学年高二上学期期末考试文科数学试题及答案
试卷一一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}0)3)(12(<-+=x x x A ，{}5*≤∈=x N x B ，则B A 是A ．{}3,2,1B ．{}2,1C ．{}5,4D ．{}5,43,2,1，2．已知等比数列{}n a 中，有31174a a a ⋅=，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=A ．2B ．4C ．8D ．163．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （n i ,,2,1 =），用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4．已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24255．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C+-，则角B 为A ．6π B ．3π C ．4π D ．56π6． 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于 A ．4 B ．1 C ．2 D ．37． 已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是A ．4B ．2+C ．3+D ．6 8．下列命题是假命题的为A ．R x ∈∃，0lg =x eB ．R x ∈∃，x x =tanC ．)2,0(π∈∀x ，1cos tan x x> D ．R x ∈∀，1+>x e x 9．已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线22y px =(0)p >的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A． B． C． D．10．已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=．若存在实数m 使得C A C B m C M+=成立，则m = A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，另一端点N 在正方形ABCD 内运动， 则MN 的中点的轨迹的面积 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12．函数21ln mm x xe --≤对任意的正实数x 恒成立，则m 的取值范围是A ．),1[]0,(+∞-∞B ．[0,1]C ．[,2]e eD ．),2[),(+∞-∞e e试卷二二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ，已知122a a =，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为_______．14． 在独立性检验时计算的2K 的观测值 3.99k =，那么我们有 的把握认为这两个分15．若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是 ．16．已知奇函数)(x f 满足()(2)f x f x =-+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若2()()0af x bf x c ++=在[]0,6x ∈上恰有5个根，且记为(1,2,3,4,5)i x i =则12345x x x x x ++++= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 中，234,,a a a 分别是某等差数列的第5项、第3项和第2项，且48a =，公比1q ≠．（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n n a b 2log =，求数列{}.n n b n T 的前项和18．（本小题满分12分）某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．（I ）估计全市学生综合素质成绩的平均值；（II ） 若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率． 19．（本小题满分12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，CD AB //，AB AD ⊥，2=AB ，2=AD ，31=AA ，E 为CD 上一点， 1=DE ，3=EC(Ⅰ)证明: C C BB BE 11平面⊥；(Ⅱ)求点1B 到平面11C EA 的距离．20．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,sin )m a x x =，)cos ,(cos x b x =，23)(-⋅=n m x f ，函数)(x f 的图象在y 轴上的截距为23，并且过点)21,4(π(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若A 是三角形的内角，552)62(=-πA f ，求A A A A cos sin cos 2sin 3+-的值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅，若存在，试求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数x ax x f ln )(+=，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． (Ⅰ)当1-=a 时，求)(x f 的极值；(Ⅱ)若)(x f 在区间],0(e 上的最大值为3-，求a 的值； (Ⅲ)当1-=a 时，试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解．参考答案一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．3. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)i i x y （i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确．．．的是 ( D ) A ．.y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4.已知α为第二象限角，3sin 5α=，则sin 2α=（ A ） A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24255.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222si n A si n C si n si n A si n C +-，则角B 为( A )A ．6π B ．3π C ．4π D ．56π6.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值 为31，则a 等于（ D ）A ． 4B ．1C ．2D ． 37.已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是 ( B )A ．4．2+C ．3．6 8.下列命题是假命题的为 (D )A ．R x ∈∃，0lg =x eB ．R x ∈∃，x x =tanC ．)2,0(π∈∀x ，1cos tan x x > D ．R x ∈∀，1+>x e x9. 已知双曲线22221x y a b-= (a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线22y px =(0)p >的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为( B )A．．．．10.已知ABC ∆和点M 满足20MA MB MC ++=.若存在实数m 使得C A C Bm C M+=成立，则m =( C ) A.2B.3C.4D.511.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动,另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积 ( D )A.4π B ．2π C ．π D ．2π12.函数21ln mm x xe --≤对任意的正实数x 恒成立，则m 的取值范围是 ( A )A ．),1[]0,(+∞-∞B ．[0,1]C ．[,2]e eD ．),2[),(+∞-∞e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题纸相应的空内． 13.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等比数列}{n a ，已知122a a =，且样本容量为300，则小长方形面积最大的一组的频数为______160__.14.在独立性检验时计算的2K 的观测值 3.99k =，那么我们有 0.95 的把握认为这两17．若在不等式组02y x x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所确定的平面区域内任取一点(),P x y ，则点P 的坐标满足221x y +≤的概率是8π.18．已知奇函数)(x f 满足()(2)f x f x =-+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，若2()()0af x bf x c ++=在[]0,6x ∈上恰有5个根，且记为(1,2,3,4,5)i x i = 则12345x x x x x ++++= 15 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（Ⅰ）估计全市学生综合素质成绩的平均值；(Ⅱ) 若综合素质成绩排名前5名中，其中1人为某校的学生会主席，从这5人中推荐3人参加自主招生考试，试求这3人中含该学生会主席的概率.(Ⅰ)依题意可知：550.12650.18+750.40+850.22+950.08⨯+⨯⨯⨯⨯， =74.6……………3分所以综合素质成绩的的平均值为74.6.……………6分（Ⅱ）设这5名同学分别为a,b,c,d,e,其中设某校的学生会主席为a ，从5人中选出3人，所有的可能的结果为(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,),(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e b c d b c e b d e c d e ，，，，，，，，共10种，……………9分其中含有学生会主席的有(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)a b c a b d a b e a c d a c e a d e ，，，，，6种 含学生会主席的概率为63105=.……………12分 20.已知向量(2cos ,sin )m a x x =，)cos ,(cos x b x =，23)(-⋅=n m x f ，函数)(x f 的图象在y 轴上的截距为23，并且过点)21,4(π(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间；(Ⅱ)若A 是三角形的内角，552)62(=-πA f ，求A A A A cos sin cos 2sin 3+-的值． 解：（Ⅰ）,23cos sin cos 2)(2-+=x x b x a x f 由已知，则,23)0(=f 得,23=a ,21)4(=πf 得.1=b ………2分因而).32sin(23cos sin cos 3)(2π+=-+=x x x x x f ………4分 单调增区间为：Z k k k ∈+-],12,125[ππππ 单调减区间为：Z k k k ∈++],127,12[ππππ. ………6分 （Ⅱ）,552)62(=-πA f 得,552sin =A ………8分 则当A 为锐角时55cos =A ，34cos sin cos 2sin 3=+-A A A A ， ………10分当A 为钝角时55cos -=A ，8cos sin cos 2sin 3=+-A A AA . ………12分 19．如图,直四棱柱1111D CB A ABCD -中,CD AB //,AB AD ⊥,2=AB ,2=AD ,31=AA ,E 为CD 上一点, 1=DE ，3=EC(Ⅰ)证明: C C BB BE 11平面⊥(Ⅱ)求点1B 到平面11C EA 的距离【答案】解.(1)证明:过B 作CD 的垂线交CD 于F,则1,2BF AD EF AB DE FC ===-==在Rt BFE BE Rt BFC BC ∆∆中，，中， 在2229BCE BE BC EC ∆+中，因为＝＝,故BE BC ⊥ 由1111BB ABCD BE BB BE BB C C ⊥⊥⊥平面，得，所以平面(2)111111113A B C E A B C V AA S ∆-∙三棱锥的体积＝11111Rt A D C AC ∆在中，,同理,1EC ，1EA因此11A C E S ∆=.设点B1到平面11EAC 的距离为d,则111B EAC -三棱锥的体积1113A EC V d S ∆∙∙＝,5d ==21.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P ，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.解:（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.因为12c a =，所以2a c =，b =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=, ………2分由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=.又因为直线l 与椭圆C 相切, 所以………4分………6分又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P …………8分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=.又AM AN ⋅==212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++2236(1).34k k =++ ………10分所以223681(1)347k k +=+，解得k =经检验成立.所以直线m 的方程为(4)4y x =±-. ………12分 22. （本小题满分12分） 已知函数x ax x f ln )(+=,其中a 为常数,设e 为自然对数的底数.(Ⅰ)当1-=a 时,求)(x f 的极值;(Ⅱ)若)(x f 在区间],0(e 上的最大值为3-,求a 的值;(Ⅲ)当1-=a 时,试推断方程()f x =ln 12x x +是否有实数解. 解: (Ⅰ)当1-=a 时,x x x x f x x x f -=+-=+-=111),ln )(（‘ ………2分 当10<<x 时,;0)('>x f 当1>x 时,.0)('<x f∴)(x f 在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,)(x f ∴的极大值为1)1(-=f ； ………4分(Ⅱ)∵),1[1],,0(,1)('+∞∈∈+=ex e x x a x f ①若,1e a -≥则,0)('≥x f 从而)(x f 在(0,e]上增函数，∴max ()f x 01)(≥+==ae e f .不合题意; ………6分 ②若,1e a -<则由0)('>xf 1a x ⇒+>0,即a x 10-<<,由0)('<x f 1a x⇒+<0,即.1e x a ≤<-从而)(x f 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上增函数,在1,e a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数∴max ()f x ).1ln(1)1(a a f -+-=-=令,3)1ln(1-=-+-a 则ln 1a ⎛⎫-⎪⎝⎭=-2 ∴1a -=2e -,即2e a -=. ∵2e -<1e -,∴a =2e -为所求. ………8分(Ⅲ)由(1)知当1-=a 时max ()f x 1)1(-==f , ∴1)(≥x f . ………9分 又令)(x g =ln 12x x +,)('x g =21ln x x-,令)('x g =0,得e x =, 当e x <<0时,)('x g >0, )(x g 在 (0,e )单调递增; 当e x >时, )('x g <0, )(x g 在(e ,+∞)单调递减,∴max ()g x =)(e g =112e +<1, ∴)(x g <1. ………11分 ∴)()(x g xf >,即)(x f >ln 12x x +,∴方程)(x f =ln 12x x +没有实数解.………12分。
2015-2016年河北省石家庄市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．（5分）若p∨q为真命题，则下列结论不可能成立的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．124．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．5．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为（）A．3B．4C．5D．67．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．y=±4x8．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.159．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点个数是（）A．3B．2C．1D．010．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣1，6]，若在其定义域内任取一数x0使得f（x0）≤0概率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）半径不等的两定圆O1、O2无公共点（O1、O2是两个不同的点），动圆O与圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是（）A．双曲线的一支B．椭圆或圆C．双曲线的一支或椭圆或圆D．双曲线一支或椭圆二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线的斜率是．14．（5分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为．15．（5分）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为．16．（5分）抛物线上的点到直线y=4x﹣5的距离的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）求函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调区间．18．（12分）已知A（﹣1，0），B（3，0），圆C以AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）求直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长．19．（12分）从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量身高，得到频率分布直方图如图．（1）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高．20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程，（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）参考公式其中==：方程．21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．22．（12分）已知函数在x=2处取得极值．（Ⅰ）求a实数的值；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数k的取值范围．2015-2016学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．（5分）若p∨q为真命题，则下列结论不可能成立的是（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假【解答】解：若p∨q为真命题，则p真或q真，p，q中至少有1个为真，故选：D．3．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现从这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：∵高一年级有30名，高二年级有40名，这70人中用分层抽样的方法抽取一个容量为14的样本故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D．5．（5分）设x，y∈R，则“x＞y＞0”是“＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“x＞y＞0”⇒“＞1”，反之不成立，例如取x=﹣2，y=﹣1，因此“x＞y＞0”是“＞1”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）阅读如图程序框图，为使输出的数据为15，则①处应填的数字为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：模拟程序运行的过程，各变量的值如下表示；开始，S=1，i=1；第一次循环，S=3，i=2；第二次循环，S=7，i=3；第三次循环，S=15，i=4；此时不满足条件i＜4，退出循环，故①处应填的数字为4．故选：B．7．（5分）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．C．D．y=±4x【解答】解：由题意可得e==，即c=a，则b==2a，由渐近线方程y=±x，可得y=±x．8．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、431、393、113．共7组随机数，∴所求概率为=0.35．故选：A．9．（5分）函数f（x）=x+lnx的零点个数是（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵y=lnx与y=x均在（0，+∞）上为增函数故函数f（x）=lnx+x在（0，+∞）上为增函数故函数f（x）至多有一个零点又∵f（）=﹣1＜0，f（1）=1＞0∴f（）•f（1）＜0，即函数f（x）在区间（，1）上有一个零点10．（5分）已知函数f（x）=x2+x﹣2，x∈[﹣1，6]，若在其定义域内任取一数x0使得f（x0）≤0概率是（）A．B．C．D．【解答】解：已知区间[﹣1，6]长度为7，满足f（x0）≤0，f（x）=x02+x0﹣2≤0，解得﹣1≤x0≤1，对应区间长度为2，由几何概型公式可得，使f（x0）≤0成立的概率是P=．故选：A．11．（5分）已知F1，F2是椭圆的左右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵F1，F2是椭圆的左右两个焦点，∴离心率0＜e＜1，F1（﹣c，0），F2（c，0），c2=a2﹣b2，设点P（x，y），由PF1⊥PF2，得（x﹣c，y）•（x+c，y）=0，化简得x2+y2=c2，联立方程组，整理，得x2=，解得e≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1．故选：B．12．（5分）半径不等的两定圆O1、O2无公共点（O1、O2是两个不同的点），动圆O与圆O1、O2都内切，则圆心O轨迹是（）A．双曲线的一支B．椭圆或圆C．双曲线的一支或椭圆或圆D．双曲线一支或椭圆【解答】解：两定圆O1、O2无公共点，它们的位置关系应是外离或内含．设两定圆O1、O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2）圆心O的半径为R当两圆外离时，|OO1|=R﹣r1，|OO2|=R﹣r2，∴|OO2|﹣|OO1|=r1﹣r2，∴圆心O 是轨迹是双曲线的一支；当两圆内含时，|OO1|=r1﹣R，|OO2|=R+r2，∴|OO2|+|OO1|=r1+r2，∴圆心O是轨迹是椭圆．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）曲线y=lnx在点（1，0）处的切线的斜率是1．【解答】解：y=lnx的导数为y′=，由导数的几何意义，可得：在点（1，0）处的切线的斜率为1．故答案为：1．14．（5分）将参加数学竞赛的1000名学生编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取一个容量为50的样本，按照系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，0003，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则抽取的第3个号码为0055．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为50的样本，∴系统抽样的分段间隔为=20，∵第一部分随机抽取一个号码为0015，∴抽取的第二个编号为0035，∴抽取的第三个编号为0055．故答案为：0055．15．（5分）在两个袋内，分别装着写有0，1，2，3，4，5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是两数之和共有如下图所示36种情况．其中和为5的从表中可以看出有6种情况，∴所求事件的概率为．故答案为：16．（5分）抛物线上的点到直线y=4x﹣5的距离的最小值是．【解答】解：设P（x，y）为抛物线上任一点，则P到直线4x﹣y﹣5=0的距离d==，∴x=时，d取最小值．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）求函数f（x）=x3﹣3x2+1的单调区间．【解答】解：由f（x）=x3﹣3x2+1，得f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）当x＜0或x＞2，f′（x）＞0；当0＜x＜2，f′（x）＜0．…（8分）所以函数f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（﹣∞，0），（2，+∞）18．（12分）已知A（﹣1，0），B（3，0），圆C以AB为直径．（1）求圆C的方程；（2）求直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长．【解答】解：（1）AB的中点坐标为（1，0），圆的半径为2，∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2=4；（2）圆心到直线的距离d==1，∴直线l：3x+4y﹣8=0被圆C截得的弦长2=2．19．（12分）从某校高二年级800名学生中随机抽取100名测量身高，得到频率分布直方图如图．（1）求这100名学生中身高在170厘米以下的人数；（2）根据频率分布直方图估计这800名学生的平均身高．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；身高在170厘米以下的频率为（0.008+0.016+0.04）×5=0.32，所以这100名学生中身高在170厘米以下的人数为100×0.32=32；（2）根据频率分布直方图，估计这800名学生的平均身高为=157.5×0.008×5+162.5×0.016×5+170×0.04×10+177.5×0.06×5+182.5×0.016×5+187.5×0.06+192.5×0.008×5=174.1厘米20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5得数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据求出y与x的线性回归直线方程，（Ⅱ）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（Ⅰ）中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度是多少？（保留整数）参考公式其中==：方程．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，得；=（50+51+54+57+58）=54，=（69+70+74+78+79）=74，…（2分）（x i﹣）（y i﹣）=4×5+3×4+3×4+4×5=64，=（﹣4）2+（﹣3）2+32+42=50，∴===1.28，…（4分）=﹣=74﹣1.28×54=4.88，…（6分）故y关于x的线性回归方程是：=1.28x+4.88；…（8分）（Ⅱ）当x=25时，=1.28×25+4.88=36.88≈37，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）21．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线x﹣my﹣6=0与抛物线C交于A、B两点，若∠AFB=90°，求实数m 的值．【解答】解：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为（，±），到抛物线顶点的距离的平方为+p，∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，∴+p=（+）2，∴p=2抛物线的方程为：y2=4x．…（2）由题意，直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y2﹣4my﹣24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣24，∵∠AFB=90°，∴FA⊥FB，即•=0可得：（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=0∴（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=0∴﹣24（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=±．22．（12分）已知函数在x=2处取得极值．（Ⅰ）求a实数的值；（Ⅱ）当x＞1时，恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴．∵函数f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=0，解得a=1，经检验满足题意；（Ⅱ）得当x＞1时，恒成立，等价于（x＞1），令，则g′（x）=x﹣1﹣lnx．令h（x）=x﹣1﹣lnx，则．当x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（1）=0；从而，当x＞1时，g'（x）＞0，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，故，因此，当x＞1时，恒成立，则，∴k的取值范围是．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
石家庄市2014-2015学年度高二第二学期期末考试数学(文科)试卷及答案
2015年第二学期高二文科答案一、选择题1-5CCAAB 6-10BDCCD 11-12AC二、填空题13.i 14.a b < 15. 33.2米 16.①②③三、解答题17.假设z a bi =+（实数,a b 不全为0）满足等式，所以22()()a bi a bi i -+=-⋅， …………………3分即222b abi b ai -=+，根据复数相等的条件可得：222b b ab a ⎧=⎨-=⎩，…………………7分 解得120b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩或00b a =⎧⎨=⎩（舍），所以存在复数12z i =满足条件. …………………10分 18.（I ）………………5分（II ）将数据代入公式2280(24281216)7.273 6.63536444040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，………………9分 有99﹪的把握认为“平均油耗与是否使用该燃油添加剂有关”. ………………12分19.（I ）求得8.5,81x y ==，所以得到如下表格：x x - 0.4-0.2- 0 0.2 0.4 y y -7 5 2- 3- 7-………………2分 代入公式22222(0.4)7(0.25)00.2(3)0.4(7)ˆ18(0.4)(0.2)0(0.2)(0.4)b -⨯+-⨯++⨯-+⨯-==--+-+++，………………5分 又ˆˆ234ay b x =-⋅=，所以日销量关于单价的回归直线方程为ˆ18234y x =-+，………7分 （II ）根据（I ）求得的回归直线方程可得利润22(4)(18234)1830693618(8.5)364.5z x x x x x =-⋅-+=-+-=--+，………10分所以单价定为8.5元时每天的利润最大. ………12分20. （1）几何证明解：（I ）由弦切角定理可得EAB ACB ∠=∠,………………3分又因为点B 平分弧AC ,CAB ACB ∠=∠EAB CAB ∴∠=∠,∴AB 平分CAE ∠.………………6分（II ）因为点B 平分弧AC ，所以5BC AB ==,所以9CE =,由弦切线定理可得236EA EB EC =⋅=,所以6EA =,………………9分又因为EAB ∆∽ECA ∆,AB BE CA AE ∴=,解得152AB AE AC BE ⋅==.……………………12分 （2）坐标系和参数方程解：（I ）根据cos 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1sin )12ρθθ+=，………………3分 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩20y +-=；………………5分（II）由勾股定理可得弦心距12d ==，………………7分 由圆的参数方程可得22()1x y a +-=，………………9分所以圆心(0,)a 到直线l|2|122a -==， 解得1a =或3. ………………12分（3）不等式选讲（I ）由已知不等式的解集可得1,3-是方程20x bx c ++=的两根，由根与系数的关系可得1313b c -=-+⎧⎨=-⨯⎩，………………3分23b c =-⎧∴⎨=-⎩，故2()23f x x x =--，………………5分 （II ）当[]2,2x ∈-时，[]()4,5f x ∈-，………………7分不等式变形为()23f x t ≥-，要使关于x 的不等式()23f x t ≥-有解，只需()max 23f x t ≥-，………………10分 即235t -≤，解得14t -≤≤.………………12分21. （1）几何证明解：（I ）∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，∴∠OCA =∠ODB ，∵∠BOD =∠A ，∴△OBD ∽△AOC ．………………3分 ∴ACOD OC BD =，∵OC =OD =6，AC =4，∴466=BD ，∴BD=9．…………………6分 （II ）证明：∵OC =OE ，CE ⊥OD ．∴∠COD =∠BOD =∠A ．………………9分∴∠AOD =180º–∠A –∠ODC=180º–∠COD –∠OCD=∠ADO ．∴AD =AO ……………………12分（2）坐标系和参数方程解：（I ）曲线C 的极坐标方程是2sin 2cos ρθθ=，化为22sin 2cos ρθρθ=，可得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x ．………………5分 （II）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入方程： y 2=2x化为：21204t m -=，……7分 设上述方程的两根分别为12,t t，可得12128t t t t m ⎧+=⎪⎨⋅=-⎪⎩9分 由点P 是线段AB 的三等分点，可得122t t =-，代入上述方程组解得12m =，经验证0∆>，所以点P 的坐标为（12，0）．………………12分（3）不等式选讲解：（I ）由绝对值不等式可得 f （x ）=|x -2|+|x ﹣a |≥|（x ﹣2）﹣（x ﹣a ）|=|a ﹣2|，………………3分再由不等式f （x ）≥a 在R 上恒成立，可得|a ﹣2|≥a ，………………5分∴a ﹣2≥a ，或a ﹣2≤﹣a ，解得a ≤1，故a 的最大值为1．………………7分（II ）∵正数x ，y ，z 满足x +y =1， ∴14x y +＝（x +y ）（14x y +）41459y x x y =+++≥+=，………………10分 当且仅当4y x x y =即12,33x y ==时，等号成立，∴14x y +的最小值为9．………………12分 22.（I ）几何证明解： 证明：（I ）连接BE ，OE ，∵AB 是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB ，∠A=∠A ，∴△AEB ∽△ABC ，∴∠ABE=∠C ，∵BE ⊥AC ，D 为BC 的中点，∴DE=BD=DC ，………………3分∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO ，∠DBE=∠DEB ，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°， ∴∠OEE=90°，∴DE 是圆O 的切线．………………6分（II ）证明：∵O 、D 分别为AB 、BC 的中点，∴DM=OD ﹣OM=（AC ﹣AB ），………………8分∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB ）=（AC ﹣AB ）•（AC+AB ）=（AC 2﹣AB 2） =BC 2=DE•BC ．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB ．………………12分（2）坐标系和参数方程解：（I ）根据对称关系可得A ,B 所对应的极角分别为233ππ和，………………2分 代入极坐标方程可得A ,B 的极坐标为π3,)3和2π3,)3………………4分 （II ）设A ,B 所对应的极角分别为,3πθθ+，所以12sin OA ρθ==，22sin()3OB πρθ==+因为OAB ∆内接于圆C ,由正弦定理2sin AB R AOB=∠得：AB =………………6分所以周长2sin 2sin()3sin )36l ππθθθθθ=++==++…………10分由题意知2(0,)3πθ∈ ，5(,),666l πππθ∴+∈∴∈，所以周长的取值范围是.………………12分（3）不等式选讲解：(1)由125x -+<得13x -<，313x ∴-<-<，不等式的解集为{}24x x -<<……………………5分(2)因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，………………7分 又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，………………9分()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-.……………………12分。
2014—2015学年度第二学期期末考试高二数学(文)参考答案与评分标准
2014-------2015学年度第二学期期末考试参考答案及评分标准高二数学（文）一、选择题1、C2、B3、B4、 D5、 C6、 A7、 A8、C9、 C10、C11、 C12、 C二、填空题(13)2(14)2(15) 4836(16) ①②③三、解答题17．（本小题满分10 分）已知A x x24x0 ,B x x 22(a1)x a 210，其中 a R ，如果【解析】化简得A A∩ B=B ，求实数a的取值范围。
0, 4 ，∵集合 B 的元素都是集合 A 的元素，∴B A 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⑴当 B时，4(a 1)24(a 21) 0 ，解得a 1 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⑵当B0或 4时，4(a 1)24(a2 1) 0 ，解得a 1 ，此时 B0，满足B A ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分4(a1)24(a21)0⑶当B 0, 4 时，2(a1)4，解得 a 1。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分a2 10综上所述，实数 a 的取值范围是 a 1或者 a 1 。
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分18．（本小题满分 12 分 , 每个小题 6 分）60 ；（1）用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于（2）已知n 0，试用分析法证明：n2n 1n 1n .【解析】（1）假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60 ，即均小于 602分则三内角和小于180，4分这与三角形中三个内角和等于180矛盾，故假设不成立，原命题成立；6分（2）要证上式成立，需证n 2n2n 1需证 ( n 2n )2(2 n 1)28 分97.5%需证 n1n22n需证 (n1) 2n22n需证 n22n1n 22n10 分只需证 10因为 10 显然成立，所以原命题成立.12分考点：（ 1）反证法；（2）分析法 .19．（本小题满分12 分）对某校小学生进行心理障碍测试得到如下的列联表：有心理障碍没有心理障碍总计女生1030男生7080总计20110将表格填写完整，试说明心理障碍与性别是否有关？K 2n( ad bc)2附：(a b)(c d )( a c)(b d )P(K2 ≥ k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001K 2.072 2.076 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解析】将列联表补充完整有：有心理障碍没有心理障碍 ]总计女生102030男生107080总计2090110K 2n( ad bc)2，故选择k0 5.024 较由(a b)(c d )(a c)(b d ) ,计算可得K2 6.366 5.024为合适 .10分因此，在犯错的概率不超过0.025 的前提下认为心理障碍与性别有关，所以有97.5%的把握认为心理障碍与性别有关.12 分考点：独立性检测 .20．（本小题满分12 分）某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月 7日4月15日4月 21日4月30日温差 x / C101113128发芽数 y / 颗2325302616（1）从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中??的另三天的数据，求出y 关于的线性回归方程y b xx；?（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：n? bx i y i nx y? i1，a y bx ）n2?2x i nxi1【解析】 (1)由数据得 x12, y27 ，3x y972 ，3977 ，322 x i y i x i434 ， 3x432 i 1i 1由公式，得?9779725?5b27123 43443222所以 y 关于 x 的线性回归方程为?53⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分x2（ 2）当x 10时， ?， |22-23|2，当x 8时， ?|17-16|2，所以得到的线y 22y 17,性回归方程是可靠的 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．（本小题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x, y 恒有 f ( x) f ( y) f ( x y) ，且当x＞0时，f ( x) ＜0，又 f (1)2。
2015-2016年河北省石家庄市正定中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析
2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣24．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤55．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．16．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．67．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9% 10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．8011．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于．16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第号座位上．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．2015-2016学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．B．C．D．【解答】解：==，∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为，故选：B．2．（5分）抛物线4y=x2的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．D．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：A．3．（5分）已知曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 的值为（）A．2B．C．﹣D．﹣2【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：D．4．（5分）命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是（）A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【解答】解：若“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0，则a≥x2，x∈[1，2]，∵y=x2，x∈[1，2]，∴1≤y≤4，即a≥4，即命题“∀x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充要条件是a≥4，故选：A．5．（5分）函数f（x）=2lnx+x2﹣bx+a（b＞0，a∈R）在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是（）A．B．2C．D．1【解答】解：由题意得，f′（x）=+2x﹣b，∴在点（b，f（b））处的切线斜率是：k=f′（b）=，∵b＞0，∴f′（b）=≥，当且仅当时取等号，∴在点（b，f（b））处的切线斜率的最小值是，故选：A．6．（5分）已知P（x，y）是不等式组表示的平面区域内的一点，A（1，2），O为坐标原点，则•的最大值（）A．2B．3C．5D．6【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=•，则z=x+2y，即y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B（0，3），y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入z=x+2y=0+2×3=6．即•的最大值最大值为6．故选：D．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3a7=4a42，a2=2，则a1=（）A．B．1C．2D．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），∵，a2=2，∴2q•2q5=4•4q4∴q2=4，∴q=2．∵a2=2，∴a1=1，故选：B．8．（5分）已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f （x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【解答】解：设g（x）=（x∈R），则g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选：D．9．（5分）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表（其中n=a+b+c+d）A．90%B．95%C．99%D．99.9%【解答】解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为K2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．40D．80【解答】解：由三视图知：几何体为其中一个侧面在下面的四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=4，底面ABCD为直角梯形，且AD=4，BC=1，AB=4，∴几何体的体积V=××4×4=．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF1，且|PF1|=|PQ|，则双曲线的离心率e=（）A．+1B．2+1C．D．【解答】解：由题意，∠PQF1=45°，|QF1|=4a，|QF2|=2a，|F1F2|=2c由余弦定理，可得4c2=16a2+4a2﹣2×4a×2a×，∴e=．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=，则当k＞0时，下列函数y=f[f（x）]+1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：结合图象分析：当k＞0时，若y=f[f（x）]+1=0，则f[f（x）]=﹣1，则f（x）=a＜或f（x）=b∈（0，1）；对于f（x）=a，存在两个零点；对于f（x）=b，存在两个零点，综上所述，函数y=f[f（x）]+1的零点个数为4个，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设向量与的夹角为θ，=（3，3），=（1，2），则cosθ=．【解答】解：由题意得，=3+6=9，=，=，∴cosθ===，故答案为：．14．（5分）设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于﹣．【解答】解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，∴sinα+2cosα==﹣．故答案为：﹣．15．（5分）已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4π．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，AB⊥BC，∴四面体S﹣ABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径∵SA=AB=1，BC=，∴2R==2∴球O的表面积S=4•πR2=4π故答案为：4π16．（5分）四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第2号座位上．【解答】解：由互换规律知第四次互换座位后为1鼠2猴3兔4猫，与开始时的座位一致，故每经过4k（k∈N）次调换，座位都与开始时的座位相同，∴第202次互换座位后与第2次互换座位后座位一致．故答案为2．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（10分）在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=+1．（1）求B的大小；（2）若•=b2，试判断△ABC的形状．【解答】解：（1）∵tanAtanC=+1．∴=，可得：﹣2cos（A+C）=1，∴cosB=﹣cos（A+C）=，∵B∈（0，π），∴B=．（2）∵•=b2，B=．∴accos=b2，解得：ac=b2①，又∵由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac②，∴由①②可得：a=c，结合B=，可得三角形为等边三角形．18．（12分）已知数列{a n}是等差数列，a2=6，a5=12；数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1．（1）求数列{a n}和{b n}通项公式；（2）记c n=，数列{c n}的前n项和为T n，若T n＜对一切n∈N*都成立，求最小正整数m．【解答】解：（1）设{}的公差为d，则，，∵a2=6，a5=12，∴，解得a1=4，d=2，∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2．∵数列{b n}的前n项和是S n，且S n+b n=1，∴当n=1时，b1=S1，由，得，当n≥2时，∵，，=（b n﹣1﹣b n），即，∴S n﹣S n﹣1∴，∴{}是以为首项，为公比的等比数列，∴=．（2）∵=2•（）n，∴c n=c n====，∴T n=（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣＜1，由已知得，∴m≥2014，∴最小正整数m=2014．…（12分）．19．（12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为=105）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】解：（1）分数在[120，130）内的频率为1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3；（2）估计平均分为=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121；（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人），[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n；在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，则基本事件有（m，n），（m，a），…，（m，d），（n，a），…，（n，d），（a，b），…，（c，d）共15种；则事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9种；∴P（A）==．20．（12分）如图，直三棱柱A′B′C′﹣ABC，延长CB到点D，使BD=BC，点E为A′D的中点，∠ABC=90°，，A′A=2．（1）证明：BE∥平面A′ACC′；（2）求三棱锥A′﹣EB′C的体积′．【解答】（1）证明：∵E、B分别为A′D、DC的中点，∴EB∥A′C又A′C⊂平面A′ACC′，且BE⊄平面A′ACC′，∴BE∥平面A′ACC′（2）解：∵AB=BC=，∠ABC=90°，∴AC=2，又A′A=2，∴AC=A′A=2，∵A′B′C′﹣ABC为直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，∴A′B′⊥B′C′，又BB′⊥平面A′B′C′，∴A′B′⊥B′B，又B′C′∩BB′=B′，∴A′B′⊥平面BCC′B′．∴．21．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是直线x=﹣4与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，a2=8，b=c所以=4，故椭圆的方程为；（II）椭圆C的左准线方程为x=﹣4，所以点P的坐标为（﹣4，0）显然直线l的斜率存在，所以设直线l的方程为y=k（x+4）设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0）由直线代入椭圆方程得（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0．①由△=（16k2）2﹣4（1+2k2）（32k2﹣8）＞0解得﹣＜k＜．②因为x1，x2是方程①的两根，所以x1+x2=﹣，于是x0==﹣，y0=．因为x0==﹣≤0，所以点G不可能在y轴的右边，又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为，即解得，此时②也成立．故直线l斜率的取值范围是．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜．从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，设h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1﹣==∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（1）=4故a≤4即实数a的取值范围为（﹣∞，4]证明：（III）若则，由（I）得：lnx•x ≥，当且仅当x=时，取最小值；设m（x）=，则m′（x）=，∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，故当x=1时，m（x ）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo第21页（共21页）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
高二数学上学期期末试卷（文科含解析）
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。
2014年石家庄质检二文科数学试题(扫描版)及答案
2014年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)高三数学（文科答案）一、 选择题：1-5CCDCA 6-10DACCB 11-12DC二、 填空题:13. 6 14. - 15． 9(2,2015)_______三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）17.解：(1)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --=……………………………………2分2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=…………4分1sin 0,cos ,23C B B π≠∴=∴= ……………………………………6分(2)22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- …………………………8分 7,13,3b a c B π=+==40ac ∴=………………………………10分 1sin 2S ac B ∴==12分18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有103010060%n ++=⨯，20n =；…………………………………2分()1002030201020m =-+++=.……………………3分 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 6050003000100⨯=.………………5分 （II ）设购物款为a 元当[50,100)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人，当[100,150)a ∈时，顾客有500030%=1500⨯人，当[150,200)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人，当[200,)a ∈+∞时，顾客有500010%=500⨯人，…………………………7分所以估计日均让利为756%1000+1258%150017510%100030500⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯…………10分52000=元……………12分19. 解：（1）取AB 中点Q ，连接MQ 、NQ ，∵AN=BN ∴AB NQ ⊥， ……………2分∵⊥PA 面ABC ，∴AB PA ⊥，又PA MQ ∥∴AB MQ ⊥，………………4分所以AB ⊥平面MNQ ，又MN ⊂平面MNQ∴AB ⊥M N ………………6分（2）设点P 到平面NMA 的距离为h ，∵M 为PB 的中点，∴PA M △S =4121PAB =△S 又AB NQ ⊥，PA NQ ⊥，∴B PA NQ 面⊥，∵︒=∠30ABC ∴63=NQ ……………………………7分 又3322=+=MQ NQ MN ，33=AN ，22=AM ， ……………………………………………………………………………9分可得△NMA 边AM 上的高为1230， ∴241512302221=⋅⋅=NMA S △………………10分 由PAM N NMA P V V --= 得=⋅⋅h S NMA △31NQ S PAM ⋅⋅△31 ∴55=h ……………………12分 20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得=2分 化简得24x y =. …………4分（Ⅱ）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+， Q由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+……………6分 以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b - 则：220k b +-=，即22b k =-……………………………………8分代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12|||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为2d =10分32221||4||4()2APQS PQ d k b k b D \=?+=+ 3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). …………12分解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y =上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-…………………………6分 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010*********y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-……………8分 代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=12||||PQ x x \=-=00(,)A x y 到直线PQ的距离为2001|2|x y d -=………………10分32220000111|||4|(4)222APQ S PQ d x y x y D \=?-=- 33222200011(48)[(2)22x x x =-+=-+ \当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).…………12分21.解：（Ⅰ）依题意1(),f x a x '=+1()202f a '=+=，则2,a =-………………2分 经检验，2a =-满足题意.…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln 22,f x x x =-+则2()ln ,F x x x x λ=--2121'()21x x F x x x xλλ--=---=.………………………6分 令2()21t x x x λ=--。
2014-2015年河北省石家庄市正定中学高二(上)期末数学试卷及答案
2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的2．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．a＞b是ac2＞bc2的充要条件B．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件C．∃x0∈R，e≤0D．若p∨q为真命题，则p∧q为真4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．x±4y=0D．4x±y=0 5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B6．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．7．（5分）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．8．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．29．（5分）若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4B．2C．2D．10．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）∫sin2dx=．14．（5分）将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排．则白球与红球不相邻的放法有．15．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q 为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．19．（12分）二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{﹣2，﹣1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），求函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率．20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．2014-2015学年河北省石家庄市正定中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每题只有一个正确答案，每题5分，共60分．请把答案涂在答题卡上）1．（5分）用三段论推理：“指数函数y=a x是增函数，因为y=（）x是指数函数，所以y=（）x是增函数”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【解答】解：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同的单调性，大前提是错误的，∴得到的结论是错误的，∴在以上三段论推理中，大前提错误．故选：A．2．（5分）在复平面内，复数z=（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选：D．3．（5分）下列命题是真命题的是（）A．a＞b是ac2＞bc2的充要条件B．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件C．∃x0∈R，e≤0D．若p∨q为真命题，则p∧q为真【解答】解：对于A，a＞b推不出ac2＞bc2，说a＞b是ac2＞bc2的充要条件，不正确．对于B，a＞1，b＞1⇒ab＞1的充分条件，正确．对于C，由指数函数的值域可知：∃x0∈R，e≤0是错误的．对于D，若p∨q为真命题，则p∧q为真，有复合命题的真假判断，D不正确．故选：B．4．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±2y=0B．2x±y=0C．x±4y=0D．4x±y=0【解答】解：设椭圆C1：+=1的离心率为e1，则e1=，设双曲线C2：﹣=1的离心率为e2，则e2=，由C1与C2的离心率之积为，即有e1e2=，即=，化简可得=，则C2的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：A．5．（5分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．故选：D．6．（5分）设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A．B．C．D．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R=故选：C．7．（5分）用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2B．（k+1）2+k2C．（k+1）2D．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选：B．8．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1，∵++=，∴点F是△ABC重心，则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6，故选：A．9．（5分）若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4B．2C．2D．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），方法1：∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，法2：设z=a+b，则b=﹣a+z，平移直线b=﹣a+z，由图象知当直线与图象在第一象限相切时，直线的截距最大，此时z最大，圆心到直线的距离d==1，得|z|=，则z=或z=﹣（舍），故a+b取得最大值为，故选：D．10．（5分）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故选：C．11．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．12．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题（本题共4个小题，每题5分，共计20分.请把答案写在答题纸上）13．（5分）∫sin2dx=．【解答】解：∫sin2dx=∫=（﹣）|=，故答案为：，14．（5分）将一个白球，一个红球，三个相同的黄球摆放成一排．则白球与红球不相邻的放法有12．【解答】解：利用插空法，白球与红球不相邻，把白球和红球插入到三个黄球所形成的4个间隔中，故有=12种故答案为：12．15．（5分）若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是（﹣ln2，2）．【解答】解：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P（﹣ln2，2）．故答案为：（﹣ln2，2）．16．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，则原函数化为y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y=﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题（本题共6个小题共计70分．请把解答过程写在答题纸上）17．（10分）已知命题p：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根，命题q：函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，若p或q为真命题，p且q 为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根，∴△=4﹣4m＜0，解得m＞1，即命题p：m＞1，∵函数f（x）=lg（mx2﹣x+m）的定义域为R，∴mx2﹣x+m＞0对x∈R恒成立，即，解得m＞2，即命题q：m＞2，又∵若p或q为真命题，p且q为假命题，∴p和q一真一假，若p真q假，则1＜m≤2，若p假q真，则m≤1且m＞2，无解，综上，实数m的取值范围是1＜m≤2．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∴cosB==≥=，当且仅当a=c时等号成立，∴cosB的最小值为．19．（12分）二次函数f（x）=ax2+2bx+1（a≠0）．（1）若a∈{﹣2，﹣1，2，3}，b∈{0，1，2}，求函数f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点的概率；（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），求函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率．【解答】解：（1）由题意可得所有的（a，b）共有4×3=12个，根据f（x）在（﹣1，0）内有且只有一个零点，且f（0）=1，故有f（﹣1）=a﹣2b+1＜0，即a＜2b﹣1，故满足条件的（a，b）有（﹣2，0）、（﹣2，﹣1）、（﹣2，2）、（﹣1，1）、（﹣1，2）、（2，2），共计6个，∴所求事件的概率为=．（2）若a∈（0，1），b∈（﹣1，1），函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，即﹣≥﹣1，求得b≤a．而所有的点（a，b）构成的区域为{（a，b）|0＜a＜1，且﹣1＜b＜1}，如图所示：故函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数的概率为==．20．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．【解答】解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，则，∴，所以c=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以．同理，．所以=，∵当且仅当k=±1时取等号∴综合①与②可知，22．（12分）已知函数f（x）=ln（x﹣1）+（a∈R）（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）如果当x＞1，且x≠2时，恒成立，求实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时f′（x）=＞0，即x2﹣6x+6＞0，又定义域为（1，+∞），解得1＜x＜3﹣或x＞3+，由f′（x）＜0，解得3﹣＜x＜3+．所以单调增区间为（1，3﹣）和（3+，+∞）；单调减区间为（3﹣，3）；（Ⅱ）可化为[ln（x﹣1）+﹣a]＞0（※）设h（x）=f（x）﹣a，由题意可知函数h（x）的定义域为（1，+∞），h′（x）=﹣=，设g（x）=x2﹣2ax+2a，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），①当a≤2时，h（x）在（1，+∞）上是增函数，若x∈（1，2）时，h（x）＜h（2）=0；所以h（x）＞0，若x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0．所以h（x）＞0，所以，当a≤2时，※式成立；②当a＞2时，x1=a﹣＞1，h（x）在（x1，2）是减函数，所以h（x）＞h（2）=0，※式不成立．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．。
河北省石家庄市2014届高中毕业班教学质量检测(二)数学(文)试题及答案
河北省石家庄市2014届高中毕业班教学质量检测（二）数学文试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的） 1． 已知点P （32,- 12）在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π32． 已知M={0, 1, 2, 3, 4}，N={1, 3, 5, 7}，P=M∩N ，则集合P 的子集个数为A ． 2个B ．3个C ．4个D ． 5个 3．已知i 为虚数单位，右图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是 A ．M B ．N C ．P D ．Q4．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ,则使关于x 的一元二次方程20x x a -+=无实根的概率为 A ．12B ．14C ．34D ．235．等差数列1239,,,,x x x x 的公差为1，若以上述数据1239,,,,x x x x 为样本，则此样本的方差为A ．203B ．103C．60D ．306．阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是 A ．计算数列{21}n-前5项的和 B ．计算数列{21}n -前6项的和 C ．计算数列1{2}n -前5项的和 D ．计算数列1{2}n -前6项的和7．已知实数,x y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1y ≤2x －1x ＋y ≤m ，如果目标函数z x y =-的最小值为-2， 则实数m 的值为A ．8B ．4C ．2D ．08．已知F 是双曲线22221(0)3x y a a a-=>的右焦点，O 为坐标原点，设P 是双曲线C 上一点，则∠POF的大小可能是A ．15°B ．25°C ．60°D ．165°9．点A, B ，C ，D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2 2 ,若四面体ABCD 体积的最大值为43,则该球的表面积为A ．16π3B ．8πC ．9πD ．12π10．已知两定点A （-2，0）和B （2，0）,动点(,)P x y 在直线l :3y x =+上移动，椭圆C 以A ，B为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为AB C D11．定义在区间[0,1]上的函数()f x 的图象如右图所示，以0(0))Af （，、 1(1))B f （，、())x f x C （，为顶点的∆ABC 的面积记为函数()S x ,则函数()S x 的导函数()S x '的大致图象为12．定义max{,}a b 表示实数,a b 中的较大的．已知数列{}n a 满足12(0),1,a a a a =>=122max{,2}()nn n a a a n N *++=∈，若20142,a a = 记数列{}n a 的前n 项和为S n ，则S 2014的值为A ．2014B ．2015C ．5235D ．5325二、填空题：（每小题5分，共20分．）13．函数y =()f x 的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程为2y x =+,()f x '为()f x 的导函数，则(3)(3)f f '+= ．14．若向量→a , →b 是两个互相垂直的单位向量，则向量→a -3→b 在向量→b 方向上的投影为 ．15．如右图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 ．16．已知函数2201414()1,01,()2log , 1.x x x f x x ⎧--+≤≤⎪=⎨⎪>⎩,若()()(),f a f b f c == ,,a b c 互不相等，则a b c ++的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边长分别为,,a b c ,且满足 (2)cos cos 0c a B b A --=（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若7,13b a c =+=,求∆ABC 的面积．18．（本小题满分12分）统计结果显示100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%，据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）（Ⅰ）试确定m ，n 的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；（Ⅱ）为了迎接店庆，商场进行让利活动，一次购物款200元及以上的一次返利30元；一次性购物款小于200元的按购物款的百分比返利，具体见下表：请估计该商场日均让利多少元？ 19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，⊥PA 面ABC , ∠BAC=120°，且AB=AC=AP=1，M 为PB 的中点，N 在BC 上，且AN=BN ．（Ⅰ）求证：AB ⊥MN ； （Ⅱ）求点P 到平面NMA 的距离． 20．（本小题满分12分） 已知动圆C 过定点M （0，2），且在x 轴上截得弦长为4．设该动圆圆心的轨迹为曲线 C ． （Ⅰ）求曲线C 方程；（Ⅱ）点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P 、Q ，∆APQ 面积的最小值及此时点A 的坐标． 21．（本题满分12分） 已知函数()ln 2(),f x x ax a R =++∈在12x =时取得极值． （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）若2()32()(0)F x xx f x λλ=-+->有唯一零点，求λ的值．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B 铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于C 、D 两点，交圆O 于E 、F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：B 、D 、H 、F 四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2 2 ,求BDF D 外接圆的半径．23．（本小题满分10分）极坐标与参数方程已知直线l 的参数方程为：2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩()t 为参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=-． （Ⅰ）求曲线C 的参数方程；（Ⅱ）当4pa =时，求直线l 与曲线C 交点的极坐标． 24．（本小题满分10）不等式选讲 已知函数()||21().f x x a x a R =++-∈（Ⅰ）当1a =时，求不等式()2f x ³的解集；（Ⅱ）若()2f x x £的解集包含1,12轾犏犏臌，求a 的取值范围．2014年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二)高三数学（文科答案） 一、 选择题：1-5CCDCA 6-10DACCB 11-12DC二、 填空题:13. 6 14. - 15． 9(2,2015)_______三、解答题：（解答题按步骤给分，本答案只给出一或两种答案，学生除标准答案的其他解法，参照标准酌情设定,且只给整数分）17.解：(1)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0,C A B B A --= ……………………………………2分2sin cos sin()0,sin (2cos 1)0C B A B C B ∴-+=∴-=…………4分1sin 0,cos ,23C B B π≠∴=∴= ……………………………………6分(2)22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-=+-- …………………………8分7,13,3b ac B π=+== 40ac ∴=………………………………10分1sin 2S ac B ∴==12分18. 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有103010060%n ++=⨯，20n =；…………………………………2分()1002030201020m =-+++=.……………………3分 该商场每日应准备纪念品的数量大约为 6050003000100⨯=.………………5分 （II ）设购物款为a 元当[50,100)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人， 当[100,150)a ∈时，顾客有500030%=1500⨯人， 当[150,200)a ∈时，顾客有500020%=1000⨯人，当[200,)a ∈+∞时，顾客有500010%=500⨯人，…………………………7分 所以估计日均让利为756%1000+1258%150017510%100030500⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯…………10分52000=元……………12分19. 解：（1）取AB 中点Q ，连接MQ 、NQ ，∵AN=BN ∴AB NQ ⊥， ……………2分 ∵⊥PA 面ABC ，∴AB PA ⊥，又PA MQ ∥ ∴AB MQ ⊥，………………4分所以AB ⊥平面MNQ ，又MN ⊂平面MNQ ∴AB ⊥M N ………………6分（2）设点P 到平面NMA 的距离为h ， ∵M 为PB 的中点，∴PA M △S =4121PAB =△S 又AB NQ ⊥，PA NQ ⊥，∴B PA NQ 面⊥，∵︒=∠30ABC ∴63=NQ ……………………………7分又3322=+=MQ NQ MN ，33=AN ，22=AM ， ……………………………………………………………………………9分 可得△NMA 边AM 上的高为1230， ∴241512302221=⋅⋅=NMA S △………………10分 由PAM N NMA P V V --= 得 =⋅⋅h S NMA △31NQ S PAM ⋅⋅△31∴55=h ……………………12分 20．解：（Ⅰ）设动圆圆心坐标为(,)C x y ，根据题意得2分化简得24x y =. …………4分（Ⅱ）解法一：设直线PQ 的方程为y kx b =+，由24x y y kx bìï=ïíï=+ïî消去y 得2440x kx b --= 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x k x x bì+=ïïíï=-ïî，且21616k b D =+……………6分 以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即2111124y x x x =- 同理过点Q 的切线的方程为2221124y x x x =- 设两条切线的交点为(,)A A A x y 在直线20x y --=上，12x x ¹Q ，解得1212224A A x x x k x x y b ì+ïï==ïïïíïï==-ïïïî，即(2,)A k b -则：220k b +-=，即22b k =-……………………………………8分 代入222161616323216(1)160k b k k k D =+=+-=-+>12|||PQ x x \=-=(2,)A k b -到直线PQ的距离为2d =…………………………10分32221||4||4()2APQS PQ d k b k b D \=?+=+3322224(22)4[(1)1]k k k =-+=-+\当1k =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0). …………12分解法二：设00(,)A x y 在直线20x y --=上，点1122(,),(,)P x y Q x y 在抛物线24x y =上，则以点P 为切点的切线的斜率为1112y x ¢=，其切线方程为1111()2y y x x x -=- 即1112y x x y =- 同理以点Q 为切点的方程为2212y x x y =-…………………………6分 设两条切线的均过点00(,)A x y ，则010101011212y x x y y x x y ìïï=-ïïíïï=-ïïïî，\点,P Q 的坐标均满足方程0012y xx y =-，即直线PQ 的方程为：0012y x x y =-……………8分 代入抛物线方程24x y =消去y 可得：200240x x x y -+=12|||PQ x x \=-=00(,)A x y 到直线PQ的距离为2001|2|x y d -=………………10分32220000111|||4|(4)222APQS PQ d x y x y D \=?--33222200011(48)[(2)4]22x x x =-+=-+ \当02x =时，APQ S D 最小，其最小值为4，此时点A 的坐标为(2,0).…………12分21.解：（Ⅰ）依题意1(),f x a x '=+1()202f a '=+=，则2,a =-………………2分 经检验，2a =-满足题意.…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()ln 22,f x x x =-+则2()ln ,F x x x x λ=--2121'()21x x F x x x xλλ--=---=.………………………6分令2()21t x x x λ=--。
河北省石家庄市学年高二上学期期末考试数学文试卷(解析版)
20１6-201７学年河北省石家庄市高二（上)期末数学试卷（文科)一、选择题(共12小题,每小题5分，共6０分)1.命题:“∀x＞0,x２＋x≥0”的否定形式是（）A.∀x≤0,x2＋ｘ＞0 Ｂ．∀x＞0，x2＋x≤0C.∃x0＞0,x０2+x０＜0D.∃x０≤0，x02＋x0＞02．抛物线x2=４y的焦点坐标是（）A.（1，0)ﻩB.(0,1）ﻩC.（) D．（）３.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次,出现一次正面向上,一次反面向上的概率为（）A.ﻩB.ﻩＣ.ﻩＤ.４.设x∈R，则“1＜x<3”是“|x﹣2|<1”的()A．充分不必要条件Ｂ.必要不充分条件C．充要条件ﻩＤ．既不充分也不必要条件５.对一个容器为N的总体抽取容量为n的样本,当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为a、ｂ、c，则（)A.ａ=b<cﻩB．ｂ=c＜aﻩＣ.ａ=c<b D．ａ=ｂ=c6.执行如图所示的程序框图，则输出结果ｓ的值为()A．﹣ﻩB.﹣１ C．ﻩD.07．若过点Ｐ(１,）的直线ｌ与圆x２＋y2=1有公共点,则直线ｌ的倾斜角的取值范围是( )A.［，］Ｂ．［,]C．［，]ﻩD．[,]8．某产品的广告费用x（万元)与销售额ｙ(万元)的统计数据如下表所示,根据表中的数据可得回归方程=ｘ+,其中=0，据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为( )x4235y38２0３１51A．6０ B．70 C．73ﻩD．6９9．曲线f（x）=ｘ2＋3x﹣e x在点(０,f(０)）处的切线的方程为(）A.y＝x﹣1 Ｂ.ｙ=x+１C.ｙ＝2x﹣1 D.y=2ｘ+１10.设F1、Ｆ2为椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点，MF1⊥MF2，且|MF２|＝|MO|（其中点O 为椭圆的中心),则该椭圆的离心率为（）A.﹣１ﻩＢ.2﹣ C． D.11.在棱长为a的正方体ＡＢCD﹣Ａ1B1C1D１中，M为AＢ的中点，则点Ｃ到平面A1DＭ的距离为( )A.ﻩB． a C.ａﻩD．a12．设Ｆ1、Ｆ2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0)的左、右焦点，Ｐ是双曲线C的右支上的点,射线ＰQ平分∠Ｆ1PF2交ｘ轴于点Ｑ,过原点O作PQ的平行线交PF１于点Ｍ,若|ＭＦ2｜,则C的离心率为（）Ｐ|=|Ｆ１A．Ｂ.3ﻩC．2 D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2０分）1３．已知函数f(x)=2x3+3x2+6ｘ﹣5,则f′(0)＝.14．若五个数１、2、3、4、a的平均数为4,则这五个数的方差为．15．设实数a、b均为区间（0，1)内的随机数,则关于ｘ的不等式a2x２+ｂx+1<０有实数解的概率为.1６.设F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，Ｐ为椭圆上任一点,点M的坐标为(3，1)，则|PM|+|ＰF1｜的最小值为．三、解答题(本大题6小题，共70分)１７．（1０分)袋中有大小、形状完全相同的红球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球或绿球的概率是，得到红球或黄球的概率是．(Ⅰ）从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率；（Ⅱ)从中任取一球,求得到不是“红球”的概率．１8.（12分)设命题p：（ｘ﹣2）2≤１,命题q:x2+（２a+1)x＋a（a＋1)≥0,若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．19．(１2分)从某校高一年级1０0０名学生中随机抽取100名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组:第一组［15５，160),第二组[１６0，165）,…，第八组［190，1９５)，得到频率分布直方图如图所示．(Ⅰ）计算第三组的样本数；并估计该校高一年级１00０名学生中身高在１７0厘米以下的人数;（Ⅱ）估计被随机抽取的这10０名学生身高的中位数、平均数.20．（12分）已知圆C:x2+（y﹣1)2=9，直线l:x﹣ｍy+ｍ﹣2=0,且直线l与圆C相交于Ａ、B 两点．(Ⅰ)若|ＡＢ|=４，求直线l的倾斜角；(Ⅱ）若点Ｐ（2，１)满足＝，求直线l的方程．21．(12分)已知函数f(x)=ｅｘ﹣aｘ，（e为自然对数的底数）.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若对任意实数ｘ恒有f（ｘ)≥0,求实数a的取值范围.22.(12分）已知点A(﹣２,0）、B(2,０),P是平面内的一个动点,直线PA与PＢ的斜率之积是﹣．（Ⅰ）求曲线C的方程；(Ⅱ)直线y=k（x﹣１)与曲线C交于不同的两点M、N，当△ＡMN的面积为时,求k的值.ﻬ20１６-20１７学年河北省石家庄市高二(上)期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分,共6０分)1．命题：“∀x>０,ｘ2＋x≥0”的否定形式是（）Ａ．∀x≤０,x２+ｘ>0ﻩB.∀x>０,x2+x≤0C.∃x0>0，x02+x0＜0ﻩD．∃ｘ０≤0,x０2+ｘ0>0【考点】命题的否定．【专题】计算题；对应思想；定义法;简易逻辑.【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解:全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：∃x0∈R，x02＋x０＜0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．抛物线x2＝4ｙ的焦点坐标是( ）A．(1,0） B.(0，1) C.()ﻩD.（)【考点】抛物线的简单性质.【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先根据标准方程求出ｐ值,判断抛物线ｘ2=４ｙ的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．【解答】解：∵抛物线x2＝4y中,ｐ＝2，＝1,焦点在y轴上,开口向上，∴焦点坐标为（0,1),故选：B.【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2ｐｙ的焦点坐标为(0,），属基础题.３.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为( ) A. B.C．Ｄ．【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题;集合思想；定义法;概率与统计．【分析】出现一次正面向上，一次反面向上的情况有两种：第一次正面向上第二次反面向上和第一次反面向上第二次正面向上.【解答】解：将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次,出现一次正面向上,一次反面向上的概率为：p＝=．故选:A．【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．设ｘ∈Ｒ,则“1<x<3”是“｜x﹣２｜＜１”的（）A.充分不必要条件ﻩＢ．必要不充分条件C．充要条件ﻩD.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|<1，解得1<x<3．即可判断出结论．【解答】解：由｜ｘ﹣2｜＜1,解得１<x<3．∴“1<ｘ<３”是“|ｘ﹣2|<１”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．对一个容器为Ｎ的总体抽取容量为n的样本，当选择简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为a、b、c,则()A.a=ｂ<cB.b=ｃ＜ａ C．ａ=ｃ<ｂﻩＤ.ａ=b=ｃ【考点】系统抽样方法;分层抽样方法.【专题】计算题;转化思想;演绎法;概率与统计.【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的，即a=b=c，故选：Ｄ．【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质，比较基础.６．执行如图所示的程序框图,则输出结果ｓ的值为（)Ａ．﹣ﻩB.﹣１Ｃ．D．0【考点】程序框图.【专题】转化思想;转化法;算法和程序框图.【分析】算法的功能是求S=cos+ｃos+…+ｃoｓ的值，根据条件确定最后一次循环的ｎ值，再利用余弦函数的周期性计算输出Ｓ的值.【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=cｏs+ｃoｓ＋…+cｏs的值,∵跳出循环的n值为2016，∴输出S=coｓ+ｃｏs+…+coｓ,∵coｓ+ｃos +ｃos +coｓ+cos ＋cos＝coｓ+ｃos ＋ｃos﹣ｃｏs﹣coｓ﹣cos =0，∴Ｓ＝cｏs+coｓπ+cos=﹣1.故选:B.【点评】本题考查了循环结构的程序框图,关键框图的流程判断算法的功能是关键.7．若过点P（1,）的直线l与圆ｘ２＋ｙ2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．[,]ﻩB．[,]ﻩC.[,]ﻩＤ.[,]【考点】直线与圆相交的性质.【专题】综合题;分类讨论;演绎法；直线与圆.【分析】根据直线的斜率分两种情况,直线l的斜率不存在时求出直线l的方程,即可判断出答案;直线l的斜率存在时，由点斜式设出直线l的方程,根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径,列出不等式求出斜率ｋ的范围,可得倾斜角的范围．【解答】解：①当直线l的斜率不存在时，直线ｌ的方程是ｘ＝１,此时直线l与圆相交,满足题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣=k（x﹣１），即kx﹣ｙ﹣k+=０,∵直线ｌ和圆有公共点，∴圆心到直线的距离小于或等于半径，则≤１，解得k≥，∴直线l的倾斜角的取值范围是[,]，故选：Ｄ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式等,考查转化思想，分类讨论思想，以及化简能力．8.某产品的广告费用x(万元）与销售额y(万元)的统计数据如下表所示,根据表中的数据可得回归方程＝ｘ+，其中=0,据此模型预报，当广告费用为7万元时的销售额为（)x42３5y３8２031５1A.60ﻩB.70ﻩC.73 D．６９【考点】线性回归方程．【专题】对应思想；数学模型法;概率与统计．【分析】根据表中数据计算、,由回归方程=x+过样本中心点，求出的值，再计算x=7时的值即可.【解答】解:根据表中数据，得：=×(4+2+3+5)=３.5，=×(3８+20+31＋51)=35；且回归方程=ｘ+过样本中心点（，),其中=0,所以×3.5+０=3５,解得=10，所以回归方程为＝10x;当x=7时,=10×7=70,即广告费用为7万元时销售额为７０万元．故选:Ｂ.【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题目9.曲线f（x)＝x2+3x﹣eｘ在点(0，f（0)）处的切线的方程为（)A.y＝x﹣１Ｂ．ｙ＝ｘ+1ﻩＣ．y=２ｘ﹣1 D．ｙ=2x+1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】计算题；方程思想；转化思想;导数的综合应用.【分析】求出函数的导数，求出向量以及切点坐标,然后求解切线方程.【解答】解：曲线f(ｘ)=x2＋３ｘ﹣eｘ的导数为:f′(x）=2x+3﹣ｅx，可得：ｆ′（0)=0+３﹣e0=2．ｆ(0）＝﹣1,切线方程为：y+1=2x,即y＝2x﹣1．故选：C．【点评】本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，考查计算能力．10.设F1、Ｆ２为椭圆的两个焦点,M为椭圆上一点，MF１⊥MＦ2,且|MＦ2|＝|MO|(其中点Ｏ为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（）Ａ.﹣1 B.２﹣ﻩC．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】数形结合；数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意可知:△OMＦ2为等边三角形,∠OF2M=60°，|MF２|＝c,丨MF1丨=ｃ，丨MF１丨+|ＭＦ2|=２a＝c+c=(+１）ｃ,a=，由椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率.【解答】解:由题意可知:MＦ1⊥MF２，则△Ｆ1MF2为直角三角形，由|ＭF2|＝｜MＯ｜，O为F1F2中点,则丨OＭ丨＝丨ＯF2丨，为等边三角形,∠OF2M=60°∴△ＯMＦ２|=c，∴|MF２∴丨MＦ1丨=c，由椭圆的定义可知：丨MF1丨+|MF2|＝2ａ=ｃ+c=（+１）c，a=,则该椭圆的离心率e===﹣１,该椭圆的离心率为﹣1，故选:A．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质,考查直角三角形的性质，考查计算能力，属于中档题．11.在棱长为ａ的正方体ABＣD﹣A１B1Ｃ1D１中,M为ＡB的中点，则点C到平面A1ＤM的距离为( )A．ﻩB．ａﻩC. a D.a【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题.【分析】连接A1C、ＭＣ，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A１MD，利用三棱锥的体积公式进行转换,即可求出点C到平面A1ＤM的距离．【解答】解：连接A1C、MＣ可得＝△Ａ1ＤM中,A1D=,A1M=MD=∴=三棱锥的体积:所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选Ａ.【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题.运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离,是解决本题的关键．１２．设F1、F2分别是双曲线C:﹣＝1(ａ＞0，ｂ>0)的左、右焦点,P是双曲线C的右支上的点,射线PQ平分∠F1PＦ2交x轴于点Q,过原点O作PQ的平行线交PF1于点M,若|M Ｐ|=|F1Ｆ2｜,则C的离心率为(）A．Ｂ．3ﻩC.2 D.【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法;圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形,当点P→A时，射线PT→直线x＝a,此时PM→AO，即｜PM|→a,结合离心率公式即可计算得到．【解答】解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形,当点P→A时,射线PＴ→直线x＝a,此时PM→AO,即｜PＭ｜→a,特别地，当P与A重合时，|PM|=a．由｜MＰ|＝|F1F2|＝c，即有a=c，由离心率公式e＝=2．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法，注意极限法的运用,属于中档题.二、填空题（本大题共４小题,每小题５分，共20分)13.已知函数ｆ（ｘ）＝2ｘ3+3x2+6x﹣5，则f′(０)= ６.【考点】导数的运算．【专题】计算题；函数思想;定义法;导数的概念及应用.【分析】根据导数的运算法则计算即可.【解答】解:∵f(x)=2x3+3ｘ２+6x﹣５,∴ｆ′（x)＝６x２＋6x+6∴f′(0)=6，故答案为：6【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题.1４.若五个数1、2、3、4、ａ的平均数为4，则这五个数的方差为１0．【考点】众数、中位数、平均数.【专题】计算题;方程思想;概率与统计．【分析】根据题意，由五个数1、２、3、４、a的平均数为４，有==４，解可得a＝1０,进而由方差的计算公式计算可得答案．【解答】解:根据题意,五个数1、2、3、4、a的平均数为4，则有==４,解可得a=10；这五个数的方差s2＝=10;故答案为：10.【点评】本题考查数据的平均数与方差的计算,关键是利用平均数的计算公式求出a的值.15．设实数a、b均为区间（0，1)内的随机数,则关于ｘ的不等式a2ｘ２＋bx+1＜0有实数解的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题;数形结合；数形结合法;概率与统计．【分析】关于x的不等式a２x2+bｘ+１＜０有实数解可化为b≥2ａ；从而可得关于x的不等式a2ｘ2+ｂx＋1＜0有实数解的概率为图中阴影部分与正方形的面积比，得出结果.【解答】解：由题意,实数ａ、b均为区间(0,1)内的随机数，则关于x的不等式ａ2x2＋bx+１<０有实数解,则△=b2﹣4a２≥0,即（b+2a）(b﹣2a)≥0，∴b≥２ａ,作出平面区域如图,=×１×=，S正方形ＯＥDC=1,∴S△OBC∴关于x的不等式a２ｘ2+ｂx+1＜0有实数解的概率为＝,故答案为：【点评】本题考查了几何概型的概率求法以及作图能力和积分的运算问题，是综合性题目.16．设Ｆ１、Ｆ2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点，点M的坐标为（3,１),则｜PＭ｜+|PＦ1|的最小值为9．【考点】椭圆的简单性质.【专题】数形结合;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由题意可知:|ＰＦ1|+|ＰF2|=2a＝１0，｜MF2|=１，|PM|≥|ＰＦ2|﹣|ＭＦ2｜，|ＰM|+｜PF１|≥|ＰF２｜﹣｜MF２|+|ＰＦ1|≥10﹣１=9,即可求得｜PＭ|+|PF1|的最小值．【解答】解：由题意可知：a=５,ｂ=4,c＝3,F2(3,0）,连结PＦ２、MF２，如图,则|PF1|+|ＰF２|=2a=10，|MF2｜=1,∵|PM｜≥|PＦ2|﹣｜MF2|，∴｜PM|+|ＰF1|≥|PF2|﹣｜MF2｜＋|PＦ1｜≥１0﹣1=9，∴|PM|+|PF1|的最小值9,故答案为：９.【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查三角形的性质,考查计算能力，属于基础题.三、解答题（本大题6小题,共７0分）１７.(10分）袋中有大小、形状完全相同的红球、黄球、绿球共12个,从中任取一球，得到红球或绿球的概率是，得到红球或黄球的概率是．(Ⅰ)从中任取一球，求分别得到红球、黄球、绿球的概率；(Ⅱ）从中任取一球,求得到不是“红球”的概率.【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；转化思想;转化法；概率与统计.【分析】(Ⅰ）从12个球中任取一个,记事件Ａ=“得到红球“,事件B=“得到黄球”，事件C＝“得到绿球”,事件A，B,C两两相斥,由此利用互斥事件概率加法公式能分别求出得到红球、黄球、绿球的概率．(Ⅱ)事件“不是红球”可表示为事件“B＋C”,由此利用互斥事件概率加法公式能求出得到的不是红球的概率.【解答】解：（Ⅰ)从１２个球中任取一个,记事件A=“得到红球“，事件B=“得到黄球”，事件C=“得到绿球”，事件A,B，C两两相斥,由题意得，解得,∴得到红球、黄球、绿球的概率分别为.(Ⅱ）事件“不是红球”可表示为事件“Ｂ+Ｃ”,由(Ⅰ）及互斥事件概率加法公式得：P（B+C)=P(B）+P(C）＝，∴得到的不是红球的概率为.【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用.18．(12分）设命题p:（ｘ﹣２）2≤１,命题q：ｘ2+（2a＋1)x+ａ(a+1）≥0，若ｐ是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】转化思想;不等式的解法及应用;简易逻辑．【分析】命题ｐ:(x﹣２)2≤1，可得解集A=[1,3]．命题q:x2＋(２a+1）x＋ａ（a+１）≥0,可得B=(﹣∞,﹣a﹣1］∪［﹣ａ，＋∞）．根据p是q的充分不必要条件,即可得出.【解答】解:命题p:(x﹣2）2≤１，解得１≤ｘ≤3，记A＝[１，３]．命题q：x2+（2ａ+1)x+a(ａ＋１）≥0,解得ｘ≤﹣a﹣1,或x≥﹣a.记B=(﹣∞,﹣a﹣1］∪［﹣a,+∞）.∵p是q的充分不必要条件,∴3≤﹣a﹣１,或﹣a≤1,∴a≤﹣４,或a≥﹣1．∴实数ａ的取值范围为（﹣∞，﹣４]∪[﹣1，+∞)．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．19.(1２分)从某校高一年级1000名学生中随机抽取10０名测量身高,测量后发现被抽取的学生身高全部介于１55厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组[1５5，１6０)，第二组[１６0，165），…，第八组[１90，195),得到频率分布直方图如图所示．（Ⅰ)计算第三组的样本数；并估计该校高一年级100０名学生中身高在170厘米以下的人数；(Ⅱ）估计被随机抽取的这1０0名学生身高的中位数、平均数．【考点】频率分布直方图.【专题】计算题；图表型；数形结合;数形结合法;概率与统计．【分析】(Ⅰ）由频率分布直方图分析可得各数据段的频率，再由频率与频数的关系,可得频数．（Ⅱ)先求前四组的频率,进而可求中位数，计算可得各组频数,即可求解平均数．【解答】（本题满分为12分）解:(Ⅰ)由第三组的频率为:［1﹣５×(0.０0８＋０.０08＋0．012+0．０16+0．０１6+０．０６）]÷２=0.2,则其样本数为：0．２×100=20，…３分由5×(0.008+0.016)+0.2=0.32，则该校高一年级1000名学生中身高在１７0厘米以下的人数约为:0.３２×1000＝3２0（人)…6分(Ⅱ）前四组的频率为：５×（０.008+0.016）+０．４=０.5２,0.５２﹣0.５=０.02，则中位数在第四组中,由＝0.１，可得：175﹣0.１×5=174.5，所以中位数为１7４.5 cm，…9分计算可得各组频数分别为:４，8,20，20,30,8,6，4，平均数约为:(15７.5×4+１62.5×8＋1６7.5×２0+172.5×2０+１77.5×30+182.5×８+18７.5×6+19２.5×4）÷100=174.1（cｍ） (2)【点评】本题考查了频率分布直方图的应用，关键是正确分析频率分布直方图的数据信息,准确计算,属于基础题.20．(12分)已知圆C:x2+(ｙ﹣1)２=9，直线l：ｘ﹣mｙ+m﹣2=0，且直线l与圆C相交于A、Ｂ两点．(Ⅰ)若|AB|=４,求直线ｌ的倾斜角;(Ⅱ）若点P（２，1）满足=，求直线ｌ的方程.【考点】直线与圆相交的性质．【专题】综合题;方程思想;演绎法；直线与圆．【分析】(Ⅰ)若｜AＢ|=4,则圆心到直线的距离为=1，利用点到直线的距离公式,建立方程，即可求直线l的倾斜角；(Ⅱ)若点Ｐ（2,1）满足=，则P为AB的中点，求出直线的斜率,即可求直线l的方程.【解答】解:（Ⅰ）若|AＢ|＝4，则圆心到直线的距离为=1,∴=1,∴ｍ＝，∴直线的斜率为，∴直线l的倾斜角为30°或１50°;（Ⅱ)若点P（2，1)满足=,则P为AB的中点，∵k=０，∴直线l的斜率不存在,ＣP∴直线l的方程为x=2.【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有:圆的标准方程，点到直线的距离公式,垂径定理，以及勾股定理的运用，当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点，进而再由弦心距,圆的半径及弦长的一半，利用勾股定理解决问题．2１.（1２分)已知函数ｆ（ｘ)＝ｅx﹣aｘ，(e为自然对数的底数).(Ⅰ)讨论ｆ(x）的单调性;（Ⅱ)若对任意实数ｘ恒有ｆ(x)≥0,求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】函数思想;转化法;导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论ａ得到范围，求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)由ｆ（x）＝e x﹣ａx﹣ａ,f'（ｘ）=eｘ﹣a，从而化恒成立问题为最值问题,讨论求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x)=ｅx﹣aｘ，f′(ｘ）＝e x﹣a，当a≤0时，f′(x）>0，则f(x)在R上单调递增;当a>0时，令f′(x)=e x﹣a=0,得x＝lna,则在（﹣∞,lｎa]上单调递减,在（ｌｎa，+∞）上单调递增；(Ⅱ）由f(x)=ｅｘ﹣ax，f'（x)=eｘ﹣a，若a<0,则f＇(ｘ)＞０，函数f（x）单调递增，当x趋近于负无穷大时，f(x）趋近于负无穷大；当ｘ趋近于正无穷大时,f（x）趋近于正无穷大，故a<0不满足条件．若a=0,f（x）=eｘ≥０恒成立，满足条件．若a＞0,由f＇（x)＝0，得x=ｌna,当x<lna时，ｆ'（ｘ）＜０;当x>lnａ时，f'（x）>0，所以函数f（ｘ)在（﹣∞,lｎa)上单调递减,在（lｎa,＋∞）上单调递增，所以函数f（ｘ)在x＝lｎａ处取得极小值f（lnａ）=e lna﹣a•lna=ａ﹣a•lna,由f(lｎa）≥0得a﹣a•lna≥0,解得0<a≤e．综上，满足f（x）≥0恒成立时实数ａ的取值范围是[0，e]．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题,属于中档题.２2.(12分）已知点A（﹣2，０）、Ｂ（2，０),P是平面内的一个动点，直线PＡ与ＰB的斜率之积是﹣．(Ⅰ）求曲线Ｃ的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣１)与曲线C交于不同的两点M、N，当△AＭN的面积为时，求k的值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题;转化思想；演绎法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）利用直接法求动点P的轨迹Ｃ的方程;（Ⅱ）联立y=k（x﹣１）与椭圆C,利用弦长公式,表示出△AＭN面积，化简求解即可.【解答】解：(Ⅰ）设P（x，y）,则,化简得曲线C的方程为(x≠±2)；(Ⅱ）设Ｍ(x1，y１)、Ｎ(x2，ｙ2),直线与椭圆方程联立，消去y，整理得：（２k2+1）ｘ2﹣4k２x+2k2﹣4=０．由韦达定理可知：ｘ1+x2=,x1ｘ2=，y1﹣y２=k（x1﹣ｘ2).∴｜MＮ|=|ｘ1﹣ｘ2|＝,∵Ａ(﹣2，0）到直线y＝k（x﹣1)的距离d=，∴△AMN的面积=|MN|ｄ=••，∴k=±．【点评】本题考查轨迹的方程的求法,考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式,考查运算能力,属于中档题.。
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2014-2015学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知抛物线的准线方程x=，则抛物线的标准方程为（）A．x2=2y B．x2=﹣2y C．y2=x D．y2=﹣2x 2．（5分）为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（）A．总体的个数B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本3．（5分）若命题“p或q”和命题“非p”均为真命题，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真4．（5分）已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的焦点坐标为（）A．（0，±1）B．（0，±）C．（±1，0）D．（±，0）5．（5分）已知两个命题p和q，如果p是q的充分不必要条件，那么￢p是￢q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线﹣y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，在其右支上有两点A、B，若△ABF2的周长为10，则△ABF1的周长为（）A．12B．16C．18D．147．（5分）为了预测某射手的射击水平，设计了如下的模拟实验，通过实验产生了20组随机数：6830 3018 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果一组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A．25%B．20%C．30%D．50%8．（5分）已知某物体的运动路程S关于时间t的函数为S=，则该物体在t=3时的速度为（）A．B．C．27D．9．（5分）在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为11．（5分）已知定点M（0，4），动点P在圆x2+y2=4上，则的取值范围是（）A．[﹣4，12]B．[﹣12，4]C．[﹣2，14]D．[﹣14，2] 12．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，则抛物线上满足到定点A （0，4）和准线l的距离相等的点的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为．14．（5分）命题“∀x≤﹣1，x2＞2x”的否定是．15．（5分）已知函数f（x）=kx﹣sinx在R上为增函数，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于P、Q两点，连接PF2交右支于M点，若|PM|=3|MF2|，则双曲线的离心率为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）试估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）18．（12分）某娱乐栏目有两名选手进行最后决赛，在赛前为调查甲、乙两位选手的受欢迎程度，随机地从现场选择了15位观众对两位选手进行评分，根据评分（评分越高表明越受观众欢迎），绘制茎叶图如下：（1）求观众对甲、乙两选手评分的中位数；（2）试根据茎叶图分析甲、乙两选手的受欢迎程度．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，A、B、C构成直角三角形，∠A=90°，斜边端点B，C的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），设斜边BC上高线的中点为M，求动点M的轨迹方程．20．（12分）某地近几年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+；（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量．（参考公式：==，=）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx图象与直线x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）=m﹣7x有三个解，求实数m的取值范围．22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过（0，﹣1）（1）求该椭圆的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B是椭圆上的点，并在x轴的上方，若=5，求四边形ABF2F1的面积．2014-2015学年河北省石家庄市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知抛物线的准线方程x=，则抛物线的标准方程为（）A．x2=2y B．x2=﹣2y C．y2=x D．y2=﹣2x【解答】解：∵抛物线的准线方程x=，可知抛物线为焦点在x轴上，且开口向左的抛物线，且，则p=1．∴抛物线方程为y2=﹣2x．故选：D．2．（5分）为了了解某年级500名学生某次测试的体育成绩，从中抽取了30名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中“30”是指（）A．总体的个数B．个体C．样本容量D．从总体中抽取的一个样本【解答】解：根据题意可得，在这个问题中，30名学生的成绩是从总体中抽取的一个样本容量．故选：C．3．（5分）若命题“p或q”和命题“非p”均为真命题，则下列说法正确的是（）A．p真q真B．p真q假C．p假q假D．p假q真【解答】解：∵命题“p或q”和命题“非p”均为真命题，∴p为假命题，q为真命题，故选：D．4．（5分）已知椭圆的方程为=1，则该椭圆的焦点坐标为（）A．（0，±1）B．（0，±）C．（±1，0）D．（±，0）【解答】解：∵椭圆的方程为=1，∴a2=4，b2=3，∴c==1，∴该椭圆的焦点坐标为（0，±1）．故选：A．5．（5分）已知两个命题p和q，如果p是q的充分不必要条件，那么￢p是￢q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p是q的充分不必要条件，∴￢q是￢p的充分不必要条件，即￢p是￢q必要不充分条件，故选：B．6．（5分）已知双曲线﹣y2=1的左、右焦点分别为F1、F2，在其右支上有两点A、B，若△ABF2的周长为10，则△ABF1的周长为（）A．12B．16C．18D．14【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=2，△ABF2的周长为10，即为|AB|+|AF2|+|BF2|=10，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，即有△ABF1的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|=|AB|+|AF2|+|BF2|+4a=10+8=18．故选：C．7．（5分）为了预测某射手的射击水平，设计了如下的模拟实验，通过实验产生了20组随机数：6830 3018 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754如果一组随机数中恰有三个数在1，2，3，4，5，6中，表示四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）A．25%B．20%C．30%D．50%【解答】解：四次射击中恰有三次击中目标的随机数有2604，5725，6576，6754，所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为=20%．故选：B．8．（5分）已知某物体的运动路程S关于时间t的函数为S=，则该物体在t=3时的速度为（）A．B．C．27D．【解答】解：∵路程S关于时间t的函数为S==，∴S′（t）=+2×+4t，∴当t=3时，S′（3）═=，故选：A．9．（5分）在区间（0，2]里任取两个数x、y，分别作为点P的横、纵坐标，则点P到点A（﹣1，1）的距离小于的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（x，y），由|PA|得，即（x+1）2+（y﹣1）2＜2，对应的区域为以A为圆心半径为的圆及其内部，作出对应的图象如图：则弓形区域的面积S==，则对应的概率P==，故选：D．10．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x为12【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=1满足条件x是奇数，x=2不满足条件x是奇数，x=4，不满足条件x＞8，x=5满足条件x是奇数，x=6，不满足条件x＞8，x=7满足条件x是奇数，x=8，不满足条件x＞8，x=9满足条件x是奇数，x=10，不满足条件x是奇数，x=12，满足条件x＞8，退出循环，输出x的值为12．11．（5分）已知定点M（0，4），动点P在圆x2+y2=4上，则的取值范围是（）A．[﹣4，12]B．[﹣12，4]C．[﹣2，14]D．[﹣14，2]【解答】解：设P（2cosα，2sinα）（α∈[0，2π））．∴=（2cosα，2sinα﹣4）•（2cosα，2sinα）=4cos2α+4sin2α﹣8sinα=4﹣8sinα∈[﹣4，12]．则的取值范围是[﹣4，12]．故选：A．12．（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，则抛物线上满足到定点A （0，4）和准线l的距离相等的点的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：如图，由抛物线y2=8x，得F（2，0），又A（0，4），∴AF的垂直平分线方程为，即x=2y﹣3．联立，得y2﹣16y+24=0，△=（﹣16）2﹣4×24=160＞0，∴直线y=﹣2x+4与抛物线y2=8x有两个不同的交点，即抛物线上有两点到A与焦点的距离相等，也就是抛物线上满足到定点A（0，4）和准线l的距离相等的点的个数是2．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为160．【解答】解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故答案为：16014．（5分）命题“∀x≤﹣1，x2＞2x”的否定是∃x0≤﹣1，x02≤2x0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x≤﹣1，x2＞2x”的否定是：∃x0≤﹣1，x02≤2x0．故答案为：∃x0≤﹣1，x02≤2x0．15．（5分）已知函数f（x）=kx﹣sinx在R上为增函数，则实数k的取值范围为[1，+∞）．【解答】解：∵f（x）在R上为增函数；∴f′（x）=k﹣cosx≥0恒成立；即k≥cosx恒成立，cosx最大为1；∴k≥1；∴k的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左、右焦点分别为F1、F2，过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于P、Q两点，连接PF2交右支于M点，若|PM|=3|MF2|，则双曲线的离心率为．【解答】解：设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=﹣c，则﹣=1，可得y=±，可设P（﹣c，），M（m，n），由|PM|=3|MF2|，可得=3，即有（m+c，n﹣）=3（c﹣m，﹣n），可得m=c，n=．即有M（c，），代入双曲线方程，可得•﹣=1，由a2+b2=c2，e=，可得e2﹣=1，解得e=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）试估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）【解答】解：（1）由频率分布直方图可定（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018．（2）=45×0.06+55×0.06+65×0.1+75×0.54+85×0.18+95×0.06=74，故这50名学生的平均成绩为74．18．（12分）某娱乐栏目有两名选手进行最后决赛，在赛前为调查甲、乙两位选手的受欢迎程度，随机地从现场选择了15位观众对两位选手进行评分，根据评分（评分越高表明越受观众欢迎），绘制茎叶图如下：（1）求观众对甲、乙两选手评分的中位数；（2）试根据茎叶图分析甲、乙两选手的受欢迎程度．【解答】解：（1）由茎叶图知，15位观众对甲选手的评分由小到大排序，排在8位的是88，故样本中位数为88，故观众对甲选手评分的中位数估计值是88．15位观众对乙选手的评分由小到大排列，排在第8位的是84，故样本中位数为84，故观众对甲选手评分的中位数估计值是84．（2）由所给茎叶图知，对甲选手的评分的中位数高于对乙选手的评分的中位数，而且由茎叶图可以可以大致看出对甲选手的评分的标准差要小于对乙选手的评分的标准差，说明甲选手的受欢迎程度较高．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，A、B、C构成直角三角形，∠A=90°，斜边端点B，C的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），设斜边BC上高线的中点为M，求动点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），则A点的坐标为（x，2y），根据∠A=90°，可得，又B（﹣2，0），C（2，0），∴=（﹣2﹣x，2y），=（2﹣x，2y），代入，得：（﹣2﹣x，2y）•（2﹣x，2y）=（﹣2﹣x）（2﹣x）+4y2=0，化简可得：x2﹣4+4y2=0，即．又∵A，B，C构成三角形不能共线，∴y≠0，故动点M 的轨迹方程为．20．（12分）某地近几年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=x+；（2）利用（1）中所求出的直线方程预测该地2015年的粮食需求量．（参考公式：==，=）【解答】解：（1）对数据处理如下：这样对应的年份和需求量之间是一个线性关系，=0，=1b==7.2．a=1，∴线性回归方程是y﹣286=7.2（x﹣2010）+1即y=7.2x﹣14185；（2）当x=2015时，y=7.2×2015﹣14185=323，即预测该地2015年的粮食需求量是323（万吨）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx图象与直线x﹣y﹣4=0相切于（1，f（1））（1）求实数a，b的值；（2）若方程f（x）=m﹣7x有三个解，求实数m的取值范围．【解答】附加题：解：（1）x=1代入直线方程可得f（1）=﹣3，函数f（x）=x3+ax2+bx，求导可得f′（x）=3x2+2ax+b，…（2分）根据题意可得，…（4分）解得；…（6分）（2）由（1）可得f（x）=x3+2x2﹣6x，所以方程等价于x3+2x2﹣6x=m﹣7x，即x3+2x2+x=m，令h（x）=x3+2x2+x，∴h′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1），…（8分）令h′（x）=0，解得x=﹣或x=﹣1．当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：…（10分）要使x3+2x2+x=m有三个解，需要，所以m的取值范围是…（12分）22．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过（0，﹣1）（1）求该椭圆的方程；（2）设F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，A，B是椭圆上的点，并在x轴的上方，若=5，求四边形ABF2F1的面积．【解答】解：（I）由题意可得，，解可得，，∴b2=a2﹣c2=1，椭圆方程为：；（II）如图所示，由=5，可得F1A平行于F2B，由椭圆的对称性可知，，（C为直线F1A与椭圆的另一个交点），设直线的方程为x=my，A（x1，y1），C （x2，y2），将x=my﹣入椭圆方程有（my﹣）2+3y2=3，整理可得，，由方程的根与系数关系可得，，（1）又由，，可得y1=﹣5y2，代入（1）可得，m2=2，当m=时，可得或，当m=﹣时，由可得，A（0，﹣1），∵A，B是椭圆上的点，并在x轴的上方，故A（0，﹣1）舍去，由两点间的距离公式可得AF1=，BF2=，直线AF 1和BF 2间的距离为d=，所以四边形ABF 1F 2的面积为S=．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。