【课堂新坐标】2019版高中数学(人教A版 选修1-1)同步课件：第3章 章末分层突破

[再练一题] 1.已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； 1 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－4x＋3 垂直，求切点坐标与切线 的方程. 【导学号：97792054】
所以 3x2 1. 0－3＝0，得 x0＝±
当 x0＝1 时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， 所以切线方程为 y＝12x＋9； 当 x0＝－1 时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， 所以切线方程为 y＝9. 下面求曲线 y＝f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程： 因为 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， 所以 f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由 f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， 解得 x＝0 或 x＝1.
导数的几何意义
利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常 见类型有两种：
(1)函数 y＝f(x)“在点 x＝x0 处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线 上的点，其切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). (2)函数 y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定是切点， y1－y0 可先设切点 Q(x1， y1)， 则切线斜率为 f′(x1)， 再由切线过点 P(x0， y0)得斜率为 ， x1－x0 又由 y1＝f(x1)，由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点 P(x0，y0)的切线 方程.
(2)因为直线 m 过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线 y＝g(x)相切的直线方程.
设切点为(x0,3x2 0＋6x0＋12)， 又因为 g′(x0)＝6x0＋6. 所以切线方程为 y－(3x2 0＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0). 将点(0,9)代入，
2 得 9－3x2 0－6x0－12＝－6x0－6x0，
此题直线 m 恒过点0，9是解题的突破口，即若 m 是 fx，gx的公切线， 则切线必过点0，9.一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出 过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的 切点，得出对应切线方程.若两条直线方程相同，则为公切线；若不同，则不存 在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的情况.
x (3)∵切线与直线 y＝－4＋3 垂直， ∴切线的斜率 k＝4. 设切点的坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x2 0＋1＝4， ∴x0＝± 1，
x0＝1， ∴ y0＝－14 x0＝－1， 或 y0＝－18.
即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18). 切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18. 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.
当 x＝0 时，f(0)＝－11，此时切线方程为 y＝12x－11； 当 x＝1 时，f(1)＝2，此时切线方程为 y＝12x－10. 所以 y＝12x＋9 不是公切线. 由 f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 解得 x＝－1 或 x＝2. 当 x＝－1 时，f(－1)＝－18，此时切线方程为 y＝－18； 当 x＝2 时，f(2)＝9，此时切线方程为 y＝9， 所以 y＝9 是公切线. 综上所述，当 k＝0 时，y＝9 是两曲线的公切线.
【解】
(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上.
∵f(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y－(－6)＝13(x－2)， 即 y＝13x－32.
(2)设切点为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x2 0＋1，
3 ∴直线 l 的方程为 y＝(3x2 0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16.
又∵直线 l 过点(0,0)，
3 ∴0＝(3x2 ＋ 1)( － x ) ＋ x 0 0 0＋x0－16，
整理得，x3 0＝－8， ∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26. k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26).
巩 固 层 · 知 识 整 合
章末分层 · 能 力 强 化
章 末 综 合 测 评
[自我校对]
①斜率 ②y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ③f′(x)± g′(x) ④f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) f′xgx－fxg′x ⑤ [gx]2
【精彩点拨】 (1) 求f′x → f′－1＝0 → 求得a (2) 设直线m与y＝gx相切 → 求出相应切线的斜率与切线方程 → 检验切线是否与y＝fx相切 → 得结论
【规范解答】
(1)因为 f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且 f′(－1)＝0，
所以 3a－6－6a＝0，得 a＝－2.
利用导数研究函数的单调性
在某个区间(a， b)内， 如果 f′(x)＞0， 则 f(x)在这个区间上为增函数； 如果 f′(x) ＜0，则 f(x)在这个区间上为减函数.应注意：在区间内 f′(x)＞0[或 f′(x)＜0]是 f(x) 在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件.如果 f(x)在某个 区间上为增函数，那么 f′(x)≥0；如果 f(x)在某个区间上为减函数，那么 f′(x)≤0. 利用导数研究函数单调性的步骤为： (1)求 f′(x)； (2)解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0； (3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.
已知函数 f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直线 m：y ＝kx＋9，且 f′(－1)＝0. (1)求 a 的值； (2)是否存在实数 k， 使直线 m 既是曲线 y＝f(x)的切线， 又是 y＝g(x)的切线？ 如果存在，求出 k 的值；如果不存在，说明理由.