第章地球椭球与椭球面计算理论
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
(第7章)椭球面上的基本计算
第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。
《地球椭球与坐标系》课件
坐标系在地球椭球上的应用
地球椭球：地球的形状是一个近似的椭球体 坐标系：用于描述地球上的位置和方向 应用：在地球椭球上建立坐标系，可以精确地描述地球上的位置和方向 例子：GPS系统、地图绘制、导航等
地球椭球与坐标系的转换关系
地球椭球：地球表面的数学模型，用于描述地球的形状和大小 坐标系：用于描述地球上点的位置和方向的数学工具 转换关系：将地球椭球上的点转换为坐标系中的点，或者将坐标系中的点转换为地球椭球上的点 转换方法：包括球面坐标、大地坐标、空间直角坐标等 转换应用：在导航、测绘、遥感等领域广泛应用
GIS在各领域的应用实例
城市规划：用于城市空间布局、交通规划、 环境评估等
自然资源管理：用于土地资源管理、森林 资源管理、水资源管理等
灾害管理：用于灾害预警、灾害评估、灾 害救援等
商业应用：用于商业选址、市场分析、客 户分析等
教育科研：用于地理教学、地理研究、地 理数据分析等
军事应用：用于军事地图制作、军事情报 分析、军事行动规划等
坐标轴：x轴和y轴，通常x轴水平向右，y轴垂直向上
原点：坐标轴的交点，通常位于坐标轴的左下角
坐标值：坐标轴上的点用坐标值表示，坐标值可以是实数或复数 直角坐标系的应用：在数学、物理、工程等领域广泛应用，用于描述物体的位置、 运动等
极坐标系
极坐标系的定义：以极点为中心，以极轴为参考方向的坐标系 极坐标的表示：(r, θ)，其中r表示距离，θ表示角度 极坐标系的应用：在天文学、导航、气象等领域有广泛应用 极坐标系与直角坐标系的关系：可以通过转换公式进行相互转换
地球椭球与投影坐标系的转换关系
地球椭球：地 球表面的数学 模型，用于描 述地球的形状
和大小
投影坐标系： 将地球椭球上 的点投影到平 面上的坐标系
第四章 地球椭球及其数学计算讲解
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
三角函数级数展开
4.5 椭球面上的弧长计算
基本知识
弧度和度的定义
角度是表示角的大小的量，通常用度或弧度来表示 角度制：规定周角的360分之一为1度的角 弧度制：规定长度等于半径的弧长所对的圆心角为1弧度
周长=2 R
180
4.4 地球椭球上的曲率半径
子午圈曲率半径M
M
a(1 e2 ) W3
M
c V3
B
M
极点处的子午曲率半径 说明
4.4 地球椭球上的曲率半径
卯酉圈
过椭球面上任意一点P可作一条垂直 于椭球面的法线PF，包含这条法线的 平面叫作法截面，法截面与椭球面的 交线叫法截线
过椭球面上一点的法线，可作无限个 法截面，其中与子午面垂直的法截面 称为卯酉面，卯酉面与椭球面的交线 称为卯酉圈
4.3 地心纬度、归化纬度及其与大地纬度间的关系
Bu
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间 的差异很小，经过计算，当B=45°时：
(B u)max 5.9'
(u )max 5.9'
Bu
(B )max 11.8'
第四章 地球椭球及其数学计算 第四节 地球椭球上的曲率半径
1 1 e2
1
a b 1 e '2
1 1 e2 e2 2 2
1 e2 1 e '2 1
4.1 地球椭球的几何参数及其相互关系
辅助参数（为简化后续公式推导）
极点处的子午曲率半径
第四章 地球椭球及其数学计算
第二节 大地坐标系、空间直角坐标系 及其相互关系
地球椭球面上两点间椭球面距离的准确计算
２ ． Ｓ ｔ ａ ｔ ｅ Ｇ ｒ ｉ ｄ Ｌ ｕ ｏ ｈ ｅ Ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｆｃ Ｐ ｏ ｗ ｅ ｔ Ｃ ｏ ｍｐ ａ ｎ ｙ 。 Ｌｕ ｏ ｈ ｅ Ｈｅ ｎ ａ ｎ ４ Ｄ Ｄ Ｄ ． Ｃ ｎａ ） ｉ
ｒ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｒ ｅ ｖ ｅ ｉ ｒ ｉ ｆ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ａ ｃ ａ ｓ ｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ．
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｄｓ ： Ｅａ ｒ ｔ ｈ Ｅｌ ｌ ｉ ｐ ｓ ｏ ｉ ｄ； Ｅｌ ｌ ｉ ｐ ｓ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ Ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ Ｄｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ； Ｃｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎａ ｔ ｅ Ｆ ｒ ａ ｍｅ Ｒｏ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； Ｃａ ｌｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｅ Ｆｏ ｒ ｍｕ ｌ ａ ｏ ｆ Ａｒ ｃ
４ ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｓ ｏ ｉ ｄ ａ ｌ ｓ ｕ ｒ ｆ ａ ｃ ｅ ｄ ｉ ｓ ｔ ａ ｎ ｃ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｎ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｃ ｏ ｐ ｅ ｓ ｏ ｆ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｉ ｎ Ｇ Ｊ Ｂ． Ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ｓ ｈ ｏ ｗｓ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉ ｒ ｔ ｈ ｍ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｉ ｓ ｓ ｕ ｐ ｅ ｉｏ ｒ ｒ ｔ ｏ ｔ ｈ ｅ ａ ｌ ｇ ｏ ｉｔ ｒ ｈ ｍ ｉ ｎ ＧＪ Ｂ． Ｔ ｈ ｅ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｆ ｃ ａ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｔ ｅ ｌｇ ａ ｏ ・
第 １期 ２ ０ １ ７年 ０ ３月
地球椭球体基本要素和公式
随着现代对地观测技术的迅猛发展， 人们已经发现地球的形状也不是完全对称 的，椭球子午面南北半径相差42米，北半 径长了10米，南半径短了32米；椭球赤道 面长短半径相差72米，长轴指向西经31°。 地球形状更接近于一个三轴扁梨形椭球， 且南胀北缩，东西略扁。但是，这与地球 表面起伏和地球极半径与赤道半径之差都 在20公里相比，是十分微小的。
三、地球体的数学表面——地球椭球面
由于大地水准面的不规则性，不能用一 个简单的数学模型来表示，因此测量的成果 也就不能在大地水准面上进行计算。所以必 须寻找一个与大地体极其接近，又能用数学 公式表示的规则形体来代替大地体——地球 椭球体。它的表面称为地球椭球面，作为测 量计算的基准面。
为了便于测绘成果的计算，我们选 择一个大小和形状同它极为接近的旋转 椭球面来代替，即以椭圆的短轴(地轴) 为轴旋转面成的椭球面，称之为地球椭 球面。它是一个纯数学表面，可以用简 单的数学公式表达，有了这样一个椭球 面，我们即可将其当作投影面，建立与 投影面之间一一对应的函数关系。
(1
e
2
s
in
2
)
3 2
(3－9)
欲求A、B两点之间子午线弧长s时，
须求以 A 和 B 为区间和积分，得
B
B
s Md
a(1 e2 )
d
A
A (1 e2 sin 2 ) 32
纬线(平行圈)的弧长：因为纬线为圆 弧，故可应用求圆周弧长的公式：设A、 B两点的经差为λ，则由图3－16可得
地球椭球体的形状和大小常用下列符 号表示(图3－6)：长半径a(赤道半径)、 短半径b，(极轴半径)、扁率α，笫一偏 心率e和第二偏心率e′，这些数据又称 为椭球体元素。它们的数学表达式为：
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论3
极径：P1P的大地线长S
极角：大地线在极点的大
地方位角
A
P
S
P1
椭球面上点P(S,A)
2、Concept of the Problem
① The derivation of the problem
1） 从一已知点测得一未知点的 平距d12和方位角T12，求未知点 的坐标及方位角。
M1 R1 A M R
A M1 M R1 R
sin1 sin Lsin
M
M1 M Lsin
m
R '1
A Lsin sin A cos A cot z1
R1 1
R
R1 R sin A cos Acot z1 1
Z
A Z'
R Z1
r N cos B M sin BdB dr
3、贝塞尔大地问题解算公式
① 大地线克莱劳方程
dA sin A dr cos A r
r cosAdA sin Adr 0
r sin A C
对于球M＝N＝R亦成立
N
P'
B MdB
r
dr P
P ''
N B
K
球面上的大圆弧亦 满足克莱劳方程
3、贝塞尔大地问题解算公式
M 0.13m
mx my 0.09m
若用大地坐标表示，当B＝45°时有：
mL
N
my cos
B
''
0.004 ''
mB
mx M
''
0.003''
要求：一等三角测量中，要求大地经、纬度应计
地球椭球体(Ellipsoid)、大地基准面(Datum)及解析
高斯-克吕格投影与UTM投影高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。
从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是“等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条等高圈，投影后两条割线上没有变形，中央经线上长度比0.9996。
从计算结果看，两者主要差别在比例因子上，高斯-克吕格投影中央经线上的比例系数为1， UTM投影为0.9996，高斯-克吕格投影与UTM投影可近似采用 X[UTM]=0.9996 * X[高斯]，Y[UTM]=0.9996 * Y[高斯]，进行坐标转换（注意：如坐标纵轴西移了500000米，转换时必须将Y 值减去500000乘上比例因子后再加500000）。
从分带方式看，两者的分带起点不同，高斯-克吕格投影自0度子午线起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为3°；UTM投影自西经180°起每隔经差6度自西向东分带，第1带的中央经度为-177°，因此高斯-克吕格投影的第1带是UTM的第31带。
此外，两投影的东伪偏移都是500公里，高斯-克吕格投影北伪偏移为零，UTM北半球投影北伪偏移为零，南半球则为10000公里。
高斯-克吕格投影与UTM投影坐标系高斯- 克吕格投影与UTM投影是按分带方法各自进行投影，故各带坐标成独立系统。
以中央经线（L0）投影为纵轴X，赤道投影为横轴Y，两轴交点即为各带的坐标原点。
为了避免横坐标出现负值，高斯- 克吕格投影与UTM北半球投影中规定将坐标纵轴西移500公里当作起始轴，而UTM南半球投影除了将纵轴西移500公里外，横轴南移10000公里。
第四章 地球椭球及其数学投影变换的基本理论
sin B V sin u
cos B W cosu
14
常用坐标系及其关系
U、φ之间的关系 y y tan 1 e 2 tan u x x Ｂ、φ之间的关系
tan 1 e 2 tan u
tan (1 e2 ) tan B
大地纬度、地心纬度、归化纬度之间的差异很小，经 过计算，当B=45°时
dx a sin B (1 e 2 ) dB W3
17
椭球面上几种曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
c M 3 V
18
椭球面上几种曲率半径 卯酉圈曲率半径(N)
卯酉圈:过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面， 其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截 形成的闭合的圈称为卯酉圈。 麦尼尔定理: 假设通过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧， 一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线， 这时斜截弧在该点处的曲率半径等于法截弧的曲率半 径乘以两截弧平面夹角的余弦。
13
常用坐标系及其关系 • B、u、 φ之间的关系 B和u之间的关系
x a cos u , y b sin u a a b sin B 2 x cos B , y (1 e ) sin B W W V
sin u
1 e2 sin B W
1 cosu cos B W
第四章 地球椭球数学投影的基本理论
1
4.1地球椭球基本参数及其互相关系
地球椭球是选择的旋转椭球,旋转椭球的形状和大小 常用子午椭圆的五个基本几何参数(或称元素): • 长半轴ａ a b • 短半轴ｂ a • 椭圆的扁率 a 2 b2 • 椭圆的第一偏心率 e e a e • 椭圆的第二偏心率 a 2 b2 通常用a , '
第四章 1椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
极点曲率半径
1 − e 2 sin 2 B 2 2 1 + e ′ co s B
t、η2、W、V写在黑板
四、经线和纬线的曲线方程
• 起始子午线的曲线方程： 起始子午线的曲线方程：
X 2 Z2 + 2 =1 2 a b Y =0
• 经度为 的经线方程： 经度为L的经线方程： 的经线方程 两个面的截线 • 纬度为 的纬线方程： 纬度为B的纬线方程： 的纬线方程
第四章 地球椭球及其 数学投影变换的基本理论
第四章 第一讲主要内容
一、地球椭球的几何、物理参数 二、地球椭球参数间的相互关系 三、旋转椭球面上的几种坐标系 四、各坐标系间的关系
上一讲应掌握的内容
1、垂线偏差公式和拉普拉斯方程 、垂线偏差公式和
ξ =ϕ −B η = (λ − L) cos ϕ
A = α − (λ − L) sin ϕ
二、地球椭球（正常椭球）4个基本参数及关系 地球椭球（正常椭球） 个基本参数及关系 • 地球椭球（正常椭球）仅用几何元素不能反映其 物理意义，通称用4个基本参数来反映几何物理特 征。 a, J2 , fM (GM ), ω • 根据4个基本参数可求得椭球扁率：
3 q 近似公式：α = J 2 + 2 2 1 ≈ 298.257
b2 x 2 x c tgB = 2 ⋅ = (1 − e ) a y y
y = x (1 − e 2 ) tan B
x = a cos B 1 − e 2 sin
2
B
=
a cos B W
子午平面坐标系与大地坐标系的关系(续)
a N= x = N cos B W a cos B a cos B = x= 2 2 W 1 − e sin B
01 第1章 地球椭球体的基本公式
10
1954年北京坐标系
采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。
1980西安坐标系
采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地 坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。
2000国家大地坐标系
采用地心坐标系。
11
§1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标
点
两极 (pole)
子午圈
P r
平行圈
线
经线(meridian) 纬线(parallel)
E
be
起 始 经 线 F
A
地理纬度
ae
赤道
E1
G
面
平行圈(parallel) 子午圈(meridian) : 长半径为ae，短半径为be的椭圆
P1
地理经度
地理坐标
地理纬度(latitude ) 地理经度(longitude)
e2
2
a e be
2
2
P1
be
2
7
第一偏心率和第二偏心率之间的关系：
e1
2
e2
2 2
P be E
O
1 e2
ae
e2
2
e1
2 2E11 e1 NhomakorabeaA
P1
8
世界各国常用的地球椭球体数据
椭球名称
埃弗斯特(Everest) 白塞尔(Bessel) 克拉克(Clarke Ⅰ) 克拉克(Clarke Ⅱ) 海福特(Hayford) 克拉索夫斯基(Krassovsky) 1967年大地坐标系 1975年大地坐标系 1980年大地坐标系 WGS84
年代
第2章_地理空间数学基础
X2
其中 X 、 Y 、 Z 为两空间直角坐标系坐标原点的平移参数， X 轴、Y 轴、Z 轴旋转的角度， m 为尺度变化参数。
z 、 y 、 z 分别表示绕
2015-1-19
31
3.投影解析转换
同一地理坐标基准下的坐标变换 如果参与转换空间参考系的投影公式， 1）存在精确解析关系式：直接进行坐标换算； 2）不存在精确解析关系式：采用间接变换，即先将一种投影的平面坐 标换算为球面大地坐标，然后再对球面大地坐标计算出另一种投影下的平 面坐标，从而实现两种投影坐标间的变换。
12
青岛观象山水准原点
中华人民共和国大地原点，是1980年国家大地 坐标系起算点。大地原点位于陕西省泾阳县永 乐店北洪流村。
深度基准是指海图图载水深及其相关要素的起算面。通常取当地平均海面
向下一定深度为这样的起算面，即深度基准面。
平均海面
L
深度基准面
Z
海底
2015-1-19
15
2.2 空间数据投影
2015-1-19
32
不同地理坐标基准下的坐标变换
主要包括： • 地理坐标基准的变换； • 坐标值的变换； 实现整个坐标转换的基本过程为（以WGS 84坐标和1980西安坐标的
转换为例）： a.（B，L）84转换为（X,Y,Z）84，即空间大地坐标到空间直角坐标的转换； b.（X,Y,Z）84转换为（X,Y,Z）80，坐标基准的转换，即参考椭球转换。该
3.兰勃特等角投影(Lambert Conformal Conic)
在双标准纬线下是“正轴等角割圆锥投影”。设想用一个正圆锥割于球
面两标准纬线，应用等角条件将地球面投影到圆锥面上，然后沿一母线展开， 即为兰勃特投影平面。墨卡托(Mercator)投影是它的一个特例。
《控制测量学》习题2
习题与思考题第一章绪论1．《控制测量学》课程的教学目的和要求是什么? 2．控制测量包括哪些主要内容?它应遵循怎样的作业程序?3．控制测量学的任务和主要研究内容是什么?简述其在国民经济建设中的地位。
4．何谓垂线偏差?造成地面各点垂线偏差不等的原因有哪些? 5．简述三角网、导线网、边角网的适用范围及优、缺点。
6．简述控制测量新技术发展的几个方面。
7．控制网的基本结构有哪些？8．针对控制测量学的任务和内容，你将如何学习控制测量学这门的课程？ 912．36这是什么缘故45．设三角网中某边S AB 长约 2.5km "4±=αm 。
试求两点间边长中误差、相对横向中误差及点位中误差。
6．如图2-1所示，在高级三角点)6,2,1( =i A i 中，布设8条大致直伸的导线，共组成具有三个结点（E 、F 和G ）的导线网，设每条导线长度均为2km ，各条导线均以5cm 的点位精度施测，试求： (1)结点F 的点位误差是多少？(2)该导线网的最弱点在何处（不考虑起算数据误差影响）。
图2-1图2-27．为什么在直伸形支导线中，边长测量误差主要引起纵向误差，而测角误差和起始方位角误差则主要引起横向误差？8．设有一坐标附合导线网如图2-2所示，A 、B 、C 为已知点，N 为结点，各导线长L 在图中标出（以公里为单位）。
若以四等导线基本精度规格进行施测，试问导线网最弱点在哪条导线上？在何处？其点位中误差如何计算（不考虑起始数据误差）？9．城市或工程导线测量共分哪些等级和布设形式？主要技术指标是什么？10．在平面控制点上造标有什么作用？觇标有哪些主要类型？各在什么场合使用？11．对觇标的建造有哪些基本要求？照准标志的直径如何选定？12．何谓相位差?它属于何种误差性质?作业中应采取什么措施来减弱其影响？13．什么是微相位差照准圆筒？作为观测时的照准目标起到什么作用？14．在进行造标埋石时，为什么要求先造标、后埋石?第三章精密光学经纬仪及水平角观测1．我国光学经纬仪系列分为J07，J1、J2、J6等型号，试述J字及其右下角码数字各代表什么含义？2．经纬仪望远镜的目镜有什么作用?作业时为什么首先要消除视差?2/33．经纬仪上的圆水准器和长水准器各有什么功能?何谓水准管的格值？4．经纬仪的读数设备包括哪几部分?各有什么作用?5．正确理解光学测微器行差的意义、测定行差的基本原理，在观测结果中如何进行行差改正？在行差测定过程中，要将照准部安置在不同的度盘位置上，为什么？i20′）测得的读数为214°56′22.8″，该仪器测微器行差为+2.6″，6．设某方向用J2经纬仪（求改正后方向读数值。
第7章 地球椭球与椭球计算理论
2. 地球椭球参数间的相互关系
其他元素之间的关系式如下：
a b 1 e2 , b a 1 e2
c a 1 e2 , a c 1 e2
e e 1 e2 , e e 1 e2
V W
1 e2 ,
W V
1
e
2
e 2 2 2 2
W 1 e2 V b V a
2000中国大地坐标系（China Geodetic Coordinate System 2000，简 称CGCS2000）。参考历元为2000.0，其定义为：
原点：包括海洋和大气的整个地球的质量中心； 定向：初始定向由1984.0时BIH（国际时间局）定向给定；是右手地固直 角坐标系。原点在地心；Z轴为国际地球旋转局（IERS）参考极（IRP） 方向，X轴为IERS的参考子午面（IRM）与垂直于Z轴的赤道面的交 线， Y轴与Z轴和X轴构成右手正交坐标系。 参考椭球：采用2000参考椭球，其定义常数是： 长半轴：a = 6378137ｍ 扁 率：f＝1/298.257222101 地球（包括大气）引力常数：GM = 3.986004418×1014m3s-2 地球动力形状因子：J2 = 0.001082629832258 地球旋转速度：ω = 7.292115×10-5rads-1
它与x 轴的夹角为（90°+B）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度B 的 关系式如下：
x a cos B a cos B
1 e2 sin 2 B
W
y a(1 e 2 ) sin B a (1 e 2 ) sin B b sin B
1 e 2 sin 2 B W
V
2）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系
V 1 e2 W a W b
参考椭球面
处理大地测量成果而采用的与地球大小、形状接近并进 行定位的椭球体表面
01 简介
目录
02 椭球面测量计算
参考椭球面，surface of reference ellipsoid，处理大地测量成果而采用的与地球大小、形状接近并进 行定位的椭球体表面。
简介
地球体从整体上看，十分接近于一个规则的旋转椭球体。地球椭球由三个椭球元素：长半轴，短半轴和扁率 表示。形状、大小一定且已经与大地体作了最佳拟合的地球椭球称为参考椭球。我国的最佳拟合点，也称为大地 原点，位于陕西省咸阳市泾阳县永乐镇。
谢谢观看
基准面。
各国为处理大地测量的成果，往往根据本国及其他国家的天文，大地，重力测量结果采用适合本国的椭球参 数并将其定位。
我国在成立之前采用海福特椭球参数，新中国成立之初采用克拉索夫斯基椭球参数（其大地原点在前苏联， 对我国密合不好，越往南方误差越大）。目前采用的是1975年国际大地测量学与物理学联合会（IUGG）推荐的椭 球，在我国称为“1980年国家大地坐标系”。坐标原点即是前面提到的“陕西省咸阳市泾阳县永乐镇”。2008年 7月1日我国启动了2000国家大地坐标系，计划用8~10年完成现行国家大地坐标系到2000国家大地坐标系的过渡与 转换工作。（现在2011年，在我国很多的地方仍然采用的“54北京坐标系”坐标系的转换工作的难度和工作量可 想而知）
地球椭球与坐标系
2 地面点位的确定
测量的基本任务就是确定地面点的位置，在测量工作中，通常采用地面点在基准面（如椭球面）上的投影位置及该点沿投影方向到基准面（如椭球面、水准面）的距离来表示。为了表示地面点的空间位置，建立如下坐标系统。 一、天文坐标系 1、定义：以大地水准面和铅锤线为基准建立起来的坐标系。 2、表示：天文经度λ，天文纬度ψ、正高Hξ。
2、总地球椭球体：与大地体最接近的地球椭球。 3、参考椭球：局部与大地体密合最好的地球椭球。
我国所采用的参考椭球有：新中国成立前的海福特椭球；新中国成立初期的克拉索夫斯基椭球。1978年我国根据自己实测的天文大地资料推算出适合本地区的地球椭球参数，从而建立了1980西安大地坐标系，并将大地原点设于陕西省泾阳县永乐镇。
1 2 3 13 14 15 16 17 18 19 20 28 29 30 31
0° 6°12°18° 72°78°84°90°96°102º108º114º120º 162º168º174º180º-174º
（西经）
120
p(x,y)
x
X
Y
O
p〃
p´
IV
III
II
I
y
1)、坐标轴方向不同； 2)、方位角不同； 3)、象限不同。
x
x
y
y
I
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
II
II
III
III
IV
IV
五、高斯投影及高斯平面直角坐标系 1、地图投影 1)、定义：将椭球面上的图形、数据按一定的数学法则转换到平面上的 方法。 2)、分类：等角投影（正形投影）、等面积投影和任意投影
Z
X
Y
x
O
L
椭球坐标系
12
以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参 数方程为:
ห้องสมุดไป่ตู้
X N cos B cos LC Y N cos B sin LC Z N 1 e sin B
2
13
在一点〔BC ,LC 〕处的子午线切向量
X M c sin BC cos LC B Y M c sin BC sin LC B Z M c cos BC B
1 e2 Y a cos sin L 1 e2 cos 2 1 e2 Z a sin 1 e 2 cos 2
21
2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续9）
不难得出，u, B, 的关系为：
cosu cos B
1 e 2 sin 2 B 1 e 2 sin 2 B
cos A sin A kA M N
因此，任意方向的曲率半径为：
2
2
1 MN RA k A N cos2 A M sin 2 A
当A为0，/2，， 3/2时，取得极值。
28
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）
(4). 平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。
23
2.2.3 法截线曲率及曲率半径
1、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。 则曲线的曲率为：
k s s
c
d T s dr 2 s ds sc ds2 s
2
c
若以t参数，则曲线的曲率可表示为：
k t t
c
dr t dr t dt dt 2 t
不难得到：N R M 引入辅助量： c a 2 b a
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§6.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系6.1.1地球椭球的基本几何参数地球椭球：在控制测量中，用来代表地球的椭球，它是地球的数学模型。
参考椭球：具有一定几何参数、定位及定向的用以代表某一地区大地水准面的地球椭球。
地面上一切观测元素都应归算到参考椭球面上，并在这个面上进行计算。
参考椭球面是大地测量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
地球椭球的几何定义：O 是椭球中心，NS 为旋转轴，a 为长半轴，b 为短半轴。
子午圈：包含旋转轴的平面与椭球面相截所得的椭圆。
纬圈：垂直于旋转轴的平面与椭球面相截所得的圆，也叫平行圈。
赤道：通过椭球中心的平行圈。
地球椭球的五个基本几何参数： 椭圆的长半轴a 椭圆的短半轴b椭圆的扁率aba -=α 椭圆的第一偏心率ab a e 22-=椭圆的第二偏心率bb a e 22-='其中a 、b 称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。
偏心率e 和e '是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。
两个常用的辅助函数，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数：B e V B e W 2222cos 1sin 1'+=-=我国建立1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球；建立1980年国家大地坐标系应用的是1975年国际椭球；而全球定位系统(GPS)应用的是WGS-84系椭球参数。
几种常见的椭球体参数值克拉索夫斯基椭球体1975年国际椭球体WGS-84椭球体ab cα2e2e '6 378 245.000 000 000 0（m ） 6 356 863.018 773 047 3（m ） 6 399 698.901 782 711 0（m ） 1／298.30.006 693 421 622 966 0.006 738 525 414 6836 378 140.000 000 000 0（m ） 6 356 755.288 157 528 7（m ） 6 399 596.651 988 010 5（m ）1／298.257 0.006 694 384 999 588 0.006 739 501 819 4736 378 137.000 000 000 0（m ） 6 356 752.314 2（m ） 6 399 593.625 8（m ） 1/298.257 223 563 0.006 694 379 901 3 0.006 739 496 742 276.1.2 地球椭球参数间的相互关系其他元素之间的关系式如下：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫≈-=-='+=-'='+='-='+=-='+=ααα221,11,11,11,12222222222e e V W e W V e e e e e e e c a e a c e a b e b a⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫'+=+=-=-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=⋅'+=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=⋅-=22222222222)1(1)1(sin 111W e V Ve B e W Wb a W e V Va b V e W η 式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。
P 点的法线n P 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。
如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
在该坐标系中，P 点的位置用L ,y x ,表示。
6.2.4大地极坐标系M 为椭球体面上任意一点，MN 为过M 点的子午线，S 为连结MP 的大地线长，A 为大地线在M 点的方位角。
以M 为极点，MN 为极轴，S 为极半径，A 为极角，这样就构成大地极坐标系。
在该坐标系中P 点的位置用S ,A 表示。
椭球面上点的极坐标（S ,A ）与大地坐标(L ,B ）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。
6.2.5各坐标系间的关系椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。
1.子午面直角坐标系同大地坐标系的关系过P 点作法线n P ，它与x 轴之夹角为B ，过P 点作子午圈的切线TP ，它与x 轴的夹角为（90°+B ）。
子午面直角坐标y x ,同大地纬度B 的关系式如下：W Ba Be B a x cos sin 1cos 22=-= VBb B e W a Be B e a y sin sin )1(sin 1sin )1(2222=-=--=2.空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系空间直角坐标系中的P P 2相当于子午平面直角坐标系中的y ，前者的2OP 相当于后者的x ，并且二者的经度L 相同。
⎪⎭⎪⎬⎫===y Z L x Y L x X sin cos3.空间直角坐标系同大地坐标系的关系同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换。
()()()[]⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N z L B H N y L B H N x sin sin cos cos cos 21()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫--=++==22221sin sin arctan arctan eN B z H y x B Ne z B x yL 式中：e ——子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式()2222a b a e /-=算得。
N ——法线长度，可由式B e a N 221sin /-=算得。
§6.3 几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
6.3.1子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdS M =子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -=3V c M =或 2VN M =M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：BM说 明0=B 900<<B 90=B3220)1()1(e c e a M '+=-=c M e a <<-)1(2c ea M =-=2901在赤道上，M 小于赤道半径a 此间M 随纬度的增大而增大 在极点上, M 等于极点曲率半径c6.3.2卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = Vc N =6.3.3 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
现在来讨论方位角为A 的任意法截弧的曲率半径A R 的计算公式。
任意方向A 的法截弧的曲率半径的计算公式如下：AB e NA N R A 22222cos cos 1cos 1'+=+=η （7-87）6.3.4 平均曲率半径在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。
取过地面某点的所有方向A R 的平均值来作为这个球体的半径是合适的。
这个球面的半径——平均曲率半径R ：MN R =或)1(2222e W a V N Vc W b R -====因此，椭球面上任意一点的平均曲率半径R 等于该点子午圈曲率半径M 和卯酉圈曲率半径N 的几何平均值。
6.3.5 子午线弧长计算公式子午椭圆的一半，它的端点与极点相重合；而赤道又把子午线分成对称的两部分。
如图所示，取子午线上某微分弧dx P P ='，令P 点纬度为B ，P '点纬度为dB B +，P 点的子午圈曲率半径为M ，于是有： MdB dx =从赤道开始到任意纬度B 的平行圈之间的弧长可由下列积分求出：⎰=BMdB X 0式中M 可用下式表达：B a B a B a B a a M 8cos 6cos 4cos 2cos 86420+-+-=其中： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+=++=+++=+++++=128163232716381673215221283516583288866864486422864200m a m m a m m m a m m m m a m m m m m a 经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：B a B a B aB a B a X 8sin 86sin 64sin 42sin 286420+-+-=为求子午线上两个纬度1B 及2B 间的弧长，只需按上式分别算出相应的1X 及2X ，而后取差：12X X X -=∆，该X ∆即为所求的弧长。