高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课时提升作业 理 新人教A版

【全程复习方略】（山东专用）2014版高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课时提升作业 理 新人教A 版一、选择题1.等差数列{a n }的公差为3，若a 2,a 4,a 8成等比数列，则a 4=( )(A)8 (B)10 (C)12 (D)162.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( ) (A)90 (B)100 (C)145 (D)1903.(2013·济南模拟)某火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( ) (A)10秒钟(B)13秒钟(C)15秒钟(D)20秒钟4.(2013·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( ) (A)53(B)103(C)56(D)1165.(2013·海淀模拟)已知数列{a n }满足：a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( ) (A)4(B)5(C)24(D)256.(2013·合肥模拟)已知数列{a n }为等差数列，公差为d,若1110a a ＜-1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.在1到104之间所有形如2n 和3n (n ∈N *)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg 2≈0.301 0)( ) (A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 4248.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( ) (A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值 (C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定 二、填空题9.(2013·温州模拟)设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ,则数列{na n 1+}的前n 项和S n 等于___________.10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.11.(2013·山东师大附中模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＞0并且S 11=0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为_______.12.(能力挑战题)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=t ，点(S n ,a n+1)在直线y=2x+1上，n ∈N *，若数列{a n }是等比数列，则实数t=__________.三、解答题13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列， (1)求{a n }的公比q. (2)若a 1-a 3＝3，求S n .14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=x2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }. (1)求数列{x n }的通项公式.(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .15.(2013·宁波模拟)在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，q=22S b . (1)求a n 与b n . (2)证明：12n 111123S S S 3≤+++<…. 答案解析1.【解析】选C.令首项为a ，根据条件有(a+9)2=(a+3)·(a+21)⇒a=3， a 4=3+3×3=12.故选C.2.【解析】选B.设公差为d ，则(1+d)2=1·(1+4d). ∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.3.【解析】选C.设每一秒钟通过的路程依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ，则数列{a n }是首项a 1=2,公差d=2的等差数列，由求和公式有1n(n 1)dna 2402-+=,即2n+n(n-1)=240,解得n=15. 4.【解析】选 A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d ＞0)，则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a,∴d=556，所以，最小的一份为a-2d=20-110563=. 5.【解析】选C.由a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)可得2n a n =,即n a ,要使a n <5，则n<25,故选C.6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“1110a a ＜-1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1,d 的不等式组，求出1a d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值，或者根据等比数列的性质求解. 【解析】选C.方法一：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由111a 9d 0,a 10d 0,2a 19d 0,d 0,+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩＞＜＜＜得1a 1992d --＜＜.∵()2n 11n n 1d dS na d n (a )n 222-=+=+-, 由S n =0得n=0或n=1-12a d. ∵12a 19120d-＜＜, ∴S n ＜0的解集为{*12a n N |n 1d∈-＞}, 故使得S n ＜0的n 的最小值为20.方法二：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0, 由a 10＞0知S 19＞0,由a 11＜0知S 21＜0, 由a 10+a 11＜0知S 20＜0,故选C. 7.【解析】选B.由2n<104，得44n lg20.301 0<≈≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和1312(21)S 16 38221-==-；同理数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和823(31)S 9 84031-==-，∴|S 1-S 2|=6 542.8.【解析】选C .设甲各个月份的产值构成数列{a n }，乙各个月份的产值构成数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=b 1,a 11=b 11，故a 6=1116a a b 2+≥===，由于在等差数列{a n }中的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6，即6月份甲的产值大于乙的产值.9.【解析】∵y ′=nx n-1-(n+1)x n ,∴y ′|x=2=n ·2n-1-(n+1)·2n =-n ·2n-1-2n,∴切线方程为y+2n =(-n ·2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n ，即a n =(n+1)·2n, ∴n na 2n 1=+,∴S n =2n+1-2. 答案:2n+1-210.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比11a 2=，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n ·12,∴n 1n n n 1111a a q(),()2210-==∴<，得n ≥4. 答案:4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最后通过建立的关系求出相关量. 11.【解析】在等差数列{a n }中，由S 10＞0,S 11=0得，()110101105610a a S 0a a 0a a 0,2+=⇒+⇒+＞＞＞ ()11111111611a a S 0a a 2a 0,2+==⇒+==故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6=0, 所以S 5=S 6≥S n ,即k=5或6. 答案:{5，6}12.【思路点拨】得出关于a n+1,S n 的式子，降低一个角标再得一个关于a n ,S n-1的式子，两个式子相减后得出a n+1,a n 的关系，可得数列{a n }中，a 2,a 3,a 4,…为等比数列，只要21a a 等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得a n+1=2S n +1, a n =2S n-1+1(n ≥2),两式相减得a n+1-a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2), 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列， 要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需21a 2t 1a t+==3，从而t=1. 答案:113.【解析】(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2),由于a 1≠0，故2q 2+q=0.又q ≠0，从而q=-12. (2)由已知可得a 1-a 1(-12)2=3,故a 1=4,从而n n n 14[1()]812S [1()]1321()2--==----. 14.【思路点拨】(1)根据导数，x n 的左侧导函数小于0，x n 的右侧导函数大于0，求出极小值点.(2)由(1)求出{x n }的前n 项和为S n ，再代入sin S n 求解.【解析】(1)f(x)=x 2+sin x,令f'(x)=12+cos x=0,得x=2k π±23π(k ∈Z), f'(x)>0⇒2k π-23π<x<2k π+23π(k ∈Z), f'(x)<0⇒2k π+23π<x<2k π+43π(k ∈Z),当x=2k π-23π(k ∈Z)时，f(x)取极小值, x n =2n π-23π(n ∈N *). (2)由(1)得：x n =2n π-23π, S n =x 1+x 2+x 3+…+x n =2π(1+2+3+…+n)-2n 3π=n(n+1)π-2n 3π.当n=3k(k ∈N *)时，sin S n =sin(-2k π)=0, 当n=3k-1(k ∈N *)时，sin S n =sin23π当n=3k-2(k ∈N *)时，sin S n=sin432π=-.所以**n *0,n 3k,k N ,sin S ,n 3k 1,k N ,2n 3k 2,k N .2⎧⎪=∈==-∈⎪⎪-=-∈⎪⎩ 15.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，因为2222b S 12,S q ,b +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以q 6d 12,6dq ,q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解得q=3或q=-4(舍)，d=3. 故a n =3+3(n-1)=3n ，b n =3n-1. (2)因为n n(33n)S 2+=， 所以()n 12211()S n 33n 3n n 1==-++. 故12n111S S S +++…=2111111121[(1)()()()](1)322334n n 13n 1-+-+-+⋯+-=-++.因为n ≥1，所以110n 12<≤+，于是11112n 1≤-<+，所以1212(1)33n 13≤-<+.即12n 111123S S S 3≤++⋯+<.。