(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
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二次函数中的存在性问题姓名
1.已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
2.已知y=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与x轴交于原点及点C.(1)求直线和抛物线解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S△OCD=2S△OAB?如果存在,求出点D坐标,如果不存在,说明理由.
3.已知直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.
4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C(2,3).
(1)求直线AC及抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E,以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l,设直线l与y轴的交点为P,求△APE的面积;
(3)若G为抛物线上一点,是否存在x轴上的点F,使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交x轴于A,B两点(A在B的左侧),交y轴于点C.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线的顶点及对称轴;
(3)若点Q是抛物线对称轴上的一动点,线段AQ+CQ是否存在最小值?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)若点P是直线BC上方的一个动点,△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出点P的坐标及此时△PBC 的面积;若不存在,说明理由.
1.已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A,B两点,
2.与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在
3.一点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D
4.的坐标;若不存在,请说明理由.
解答:
解:对于抛物线y=﹣x2+x﹣3,
令y=0,得到﹣x2+x﹣3=0,
解得:x=1或x=4,
∴B(1,0),A(4,0),
令x=0,得到y=﹣3,即C(0,﹣3),
设直线AC解析式为y=kx+b,
将A与C坐标代入得:,
解得:k=,b=﹣3,
∴直线AC解析式为y=x﹣3,
设平行于直线AC,且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m,
此时直线与抛物线交于点D,使得△ACD的面积最大,
与二次函数解析式联立消去y得:﹣x2+x﹣3=x+m,
整理得:3x2﹣12x+4m+12=0,
∴△=144﹣12(4m+12)=0,
解得:m=0,
∴此时直线方程为y=x,点D坐标为(2,).
2.(2008•宁波校级自主招生)已知y=ax2+bx+c(a≠0)图象与直线y=kx+4相交于A(1,m),B(4,8)两点,与x轴交于原点及点C.
(1)求直线和抛物线解析式;
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S△OCD=2S△OAB?如果存在,求出点D坐标,如果不存在,说明理由.
解答:解:(1)∵直线y=kx+4过A(1,m),B(4,8)两点,
∴,解得,∴y=x+4,
把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式,得,,
∴y=﹣x2+6x;
(2)存在.设D点纵坐标为h(h>0),
由O(0,0),A(1,5),B(4,8),可知S△OAB=6,
∴S△OCD=2S△OAB=12,×6×h=12,解得h=4,
由﹣x2+6x=4,得x=3±,
∴D(3+,4)或(3﹣,4).
3.(2014春•昌平区期末)已知直线y=x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+mx+n经过
点A和点C.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得△ACD的面积
最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由.
解答:
解:(1)把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3,则C点坐标为(0,﹣3),
把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0,解得x=4,则A点坐标为(4,0),
把A(4,0),C(0,﹣3)代入y=﹣x2+mx+n得,
解得,
所以二次函数解析式为y=﹣x2+x﹣3;
(2)存在.
过D点作直线AC的平行线y=kx+b,当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时,点D到AC的距离最大,此时△ACD的面积最大,
∵直线AC的解析式为y=x﹣3,
∴k=,即y=x+b,
由直线y=x+b和抛物线y=﹣x2+x﹣3组成方程组得,消去y得到3x2﹣
12x+4b+12=0,
∴△=122﹣4×3×(4b+12)=0,解得b=0,
∴3x2﹣12x+12=0,解得x1=x2=2,
把x=2,b=0代入y=x+b得y=,
∴D点坐标为(2,).
4.(2010•孝感模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C(2,3).
(1)求直线AC及抛物线的解析式;
(2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E,以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l,设直线l与y轴的交点为P,求△APE的面积;