湖北省荆门市2019届高三元月调研考试数学(理)试卷 扫描版含答案
湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题(精品解析版)
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
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（Ⅱ）由题意可知，当 x 1,1 时 f x g x 恒成立，
∴| x a | 3 恒成立，即 3 x a 3 x ，当 x 1,1 时恒成立，
∴ 2 a 2 ． …………………………………………………………………………10 分
命审：市龙泉中学 崔冬林 易小林 吴金玉 市教研室 方延伟
若 a 3 ，则 2a 3 3 ， ∴3 a 3 ，
2
2
若 0 a 3 ，则 3 2a 3 ， ∴0 a 3 ，
2
2
若 a 0 ，则 3 2a a a 3 ，无解， ……………………………………………4 分
综上所述， a 的取值范围为 0,3 ．
…………………………………………………5 分
（Ⅱ）设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ．
y kx m
联立 x2
3
y2 2
消去
1
y
，得 (3k 2
2)x2
6kmx 3m2
6
0
．
此时有 72k 2 24m2 48 0 ．由一元二次方程根与系数的关系，得
CP (2, m 1,
x1
x2
6km 3k 2 2
21.解：（1）由题意， f x 2ax 1 ex ax2 x a ex
ex ax2 1 2a x a 1 ex x 1ax 1 a . ………………2 分 （ⅰ）当 a 0 时， f x ex x 1 ，令 f x 0 ，得 x 1； f x 0 ，得 x 1，
因为 S 0.012 0.05 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的． ………………………………………………12 分
20. 解：（Ⅰ）∵点 Q 在线段 AP 的垂直平分线上，∴| AQ || PQ | ．
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湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，∴S阴影S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
湖北省2019届高三元月高考模拟调研统一考试数学(理)试卷 扫描版含答案
50
10
60
女生
25
15
40
总计
75
25
100
…………………………………………………………………………………………………1分
2
n(adbc)2
100(50152510)2
≈5.556＜6.635………3分
∴k=K =
=
(ab)(cd)(ac)(bd)
60407525
∴没有…………………………………………………………………………………………4分
(2)方法一：在线段ＡD上取点Ｎ，使ＡＮ＝２ＮＤ则ＭＮ∥ＰＡ又由(１)得PA⊥平面ＡＢＣＤ
∴ＭＮ⊥平面ＡＢＣＤ又∵ＡＣ平面ＡBＣD
∴ＭＮ⊥ＡＣ…………………………………………6分
作ＮＯ⊥ＡＣ于Ｏ
又∵ＭＮ∩ＮＯ＝Ｎ，ＭＮ平面ＭＮＯ，ＮＯ平面ＭＮＯ∴AC⊥平面ＭＮＯ又∵ＭＯ平面ＭＮＯ
∴AC⊥ＭＯ
又∵AC⊥NＯ
=(2n－3)×2n+1+6……………………………………………………………………………12分
1
18【解析】(1)∵在底面ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ⊥ＣＤ
且ＢＣ＝２ＡＤ＝２ＣＤ＝２ 2
∴ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝２ 2
∴ＡＢ⊥ＡＣ…………………………………………………………………………………1分
又∵ＡＢ⊥ＰＣ，ＡＣ∩ＰＣ＝Ｃ，ＡＣ平面ＰＡＣ，ＰＣ平面ＰＡＣ
湖北省２０１９年元月高考模拟调研考试理科数学
评分标准
一.选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
C
A
A
A
湖北省荆门市2019届高三元月调研考试数学(理)试题解析版
=
������，
则1 + ������ + ������2 = 1 + ������ + ������2 = ������．
故选：C．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
D. ‒ ������
3. 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于 10 分钟的概率为( )
2
+
������2 ������ ‒
3
=
1表示双曲线⇔(������
+
2)(������
‒
3)
<
0⇔
‒
2
<
������
<
3，
∵ 选项是 ‒ 2 < ������ < 3的充分不必要条件， ∴ 选项范围是 ‒ 2 < ������ < 3的真子集
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的性质进行判断即可．
A. ∃������ ∈ ������ ∗ ，������������ > ������������ + 1 C. ∃������ ∈ ������ ∗ ，������������ + ������������ + 2 = 2������������ + 1
B. ∀������ ∈ ������ ∗ ，������������������������ + 1 ≥ ������������ + 2 D. ∀������ ∈ ������ ∗ ，������������ + ������������ + 3 > ������������ + 1 + ������������ + 2
湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.设集合{|3,}x A y y x R ==∈，{|}B y x R ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2]B ．(0,)+∞C ．(0,2]D ．[0,2)3.函数||2()3x e f x x =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知等边ABC ∆内接于O ，D 为线段OA 的中点，则BD =（ ） A ．2136BA BC + B ．4136BA BC - C. 2536BA BC -+ D ．2133BA BC + 5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A ．283π- B ．82π- C. 883π-D ．88π-6.若()sin f x x x =在[,](0)m m m ->上是增函数，则m 的最大值为（ ） A ．56π B ．23π C.6π D ．3π 7.如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A8.如图，点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB x ⊥轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）A 9.已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数(1)f x -为奇函数；④函数(3)f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．410.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若cos cos 2c a B b A -=，则cos cos cos a A b B a B+的最小值为（ ）A11.如图，在等腰Rt ABC ∆中，斜边AB =，D 为直角边BC 上的一点，将ACD ∆沿直线AD 折叠至1AC D ∆的位置，使得点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，设AH x =，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．(,1)2C. 1(2 D ．(0,1)12.设M ，N 是抛物线2y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为12-，则（ ）A．||||OM ON +≥．以MN 为直径的圆的面积大于4π C.直线MN 过抛物线2y x =的焦点 D ．O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为 ．14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为 ．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S =已知ABC ∆满足(sin sin )(sin sin )A B A B -+2sin sin sin A C C =-.且2AB BC ==ABC ∆的面积为 ．16.设函数2()ln ||(0)2ax f x ax a e=->，若函数()f x 有4个零点，则a 的取值范围为 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分17. 已知等比数列{}n a 为递增数列，且2510a a =，212()5n n n a a a +++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，0n b ≠，141n n n b b S +=-.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和为n T .18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且22PC BC AD CD ====2PA =.（1）PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由.19. 为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣. （1）试完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20. 已知椭圆22'22:1(0)x y I a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，上顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆Γ于B 、C 两点，若2FOA COB S S ∆∆=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线l 和直线2x =于M 、N 两点，试求||||MF NF 的值.21. 已知函数22()ln 1()f x ax x x ax a a R =--++∈. （1）试讨论函数()f x 的导函数'()f x 的零点个数；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，关于x 的不等式'()()2f x f x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线22cos :2sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线1cos :sin x t l y t ββ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 与直线l 的极坐标方程（极径用ρ表示，极角用θ表示）；（2）若直线l 与曲线C 相交，交点为A 、B ，直线l 与x 轴也相交，交点为Q ，求||||QA QB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||2|f x x x =+--. （1）画出函数()f x 的图象；（2）若关于x 的不等式21()x m f x ++≥有解，求实数m 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DCAAA 6-10: CCABD 11、12：BD二、填空题(1,)+∞三、解答题17.【解析】（1）对于数列{}n a ，4291111111()2()5n n na q a q a q a q a q-+⎧=⎪⎨+=⎪⎩*1(0,)a q n N ≠∈ 即1122a qq =⎧⎪⎨=⎪⎩或 注意到{}n a 为递增数列 则122a q =⎧⎨=⎩ ∴2n n a =对于数列{}n b ，由141n n n b b S +=-得1141n n n b b S --=- 相减得11()4n n n n b b b b +--=又∵0n b ≠ ∴114n n b b +--=为定值∴数列21{}n b -和2{}n b 都是以4为公差的等差数列 又∵11b = ∴在141n n n b b S +=-中令1n =得23b =∴211(1)42(21)1n b n n -=+-⨯=--，23(1)42(2)1n b n n =+-⨯=- ∴2nn a =，21n b n =-（2）由（1）得n T =23123252(21)2n n ⨯+⨯+⨯++-⨯∴2n T =231232⨯+⨯++1(23)2(21)2n n n n +-⨯+-⨯∴n T =23122222-⨯-⨯-⨯-122(21)2n n n +-⨯+-⨯3112(12)2(21)212n n n -+-=--+-⨯-1(23)26n n +=-⨯+18.【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，BC =AB AC ⊥ 又∵AB PC ⊥，ACPC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC∴AB ⊥平面PAC 又∵PA ⊂平面PAC ∴AB PA ⊥∵2PA AC ==，PC =∴PA AC ⊥ 又∵PA AB ⊥，AB AC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD∴PA ⊥平面ABCD（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND = 则MN PA ∥ 又由（1）得PA ⊥平面ABCD ∴MN ⊥平面ABCD 又∵AC ⊂平面ABCD ∴MN AC ⊥ 作NO AC ⊥于O 又∵MNNO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO∴AC ⊥平面MNO 又∵MO ⊂平面MNO ∴AC MO ⊥ 又∵AC NO ⊥ ∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角设PM x PD = 则(1)22MN x AP x =-=-，22ON AN xAD x == 这样，二面角M AC D --的大小为60︒即tan MON ∠=22tan 60MN xON x-==︒=即4PMx PD==-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 且由（1）知(0,0,2)AP =是平面ACD 的一个法向量 设(0,1)PMx PD=∈ 则(1)22MN x AP x =-=-，AN xAD ==∴,22)AM x =-，(2,AC = 设(,,)AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量则2(22)020AQAM xb x c AQ AC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩∴22a b c b x =-⎧⎪⎨=⎪-⎩令22b x =-，则(22,2)AQ x x =-+-，它背向二面角 又∵平面ACD 的法向量(0,0,2)AP =，它指向二面角 这样，二面角M AC D --的大小为60︒即cos ,APAQ =||||AP AQAP AQ ⋅=⋅1cos 602=︒= 即4x =-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-19.【解析】（1）由题得如下的列联表∴22()()()()()n ad bc k K a b c d a c b d -==++++2100(50152510)60407525⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.556 6.635≈< ∴没有（2）记事件i A =从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i 人有兴趣，0,1,2,3i = 则23A A +=从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且2A 与3A 互斥∴所求概率2323()()()P P A A P A P A =+=+213033333366101202C C C C C C =+== （3）由题意，可知ξ所有可能取值有0，1，2，3223422559(0)50C C P C C ξ===1122123434225512(1)25C C C C C P C C ξ+===221112432422553(2)10C C C C C P C C ξ+=== 212422551(3)25C C P C C ξ===所以ξ的分布列是∴()E ξ=92415260123505050505⨯+⨯+⨯+⨯= 20.【解析】（1）由题得22221120,0)1222c bca b a c b caa b c ⎧=⎪⎪⎪=>>>>⎨⎪⋅⋅⎪⎪=+⎩解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆Γ的方程为2212x y += （2）方法一：由题知直线m 的斜率存在 ∴可设:m y kx t =+由22220y kx tx y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得222(21)4(22)0k x ktx t +++-=∵直线m 与椭圆有且只有一个公共点∴222(4)4(21)(22)0kt k t ∆=-+-= 即2221t k =+∵直线:ml y kx t =+与直线1x =交于M ∴(1,)M k t + 同理(2,2)N k t +∴||||MF NF==2=为定值 方法二：设切点为000(,)(0)P x y y ≠ 则00:12x xm y y += 令1x =得0022x y y -=即002(1,)2x M y - 令2x =得001x y y -=即01(2,)x N y -∴||||MF NF===2=为定值 21.【解析】（1）解法一：由题得'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->∴''2()2()2(0)ax a f x x x x-=-=-> 1︒当0a <时，'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->是减函数且2222'()ln 22(1)0aaaaf e a e e e =-=->'(1)20f =-<∴此时'()f x 有且只有一个零点2︒当0a =时，'()0f x <，此时'()f x 没有零点3︒当0a >时∴''max [()]()(ln1)22a af x f a ==- （ⅰ）若02a e << 则'max [()](ln 1)02af x a =-<此时，函数'()f x 没有零点 （ⅱ）若2a e =则'max [()](ln 1)02af x a =-= 此时，函数'()f x 有且只有2ae =一个零点 （ⅲ）若2a e > 则'max [()](ln1)02af x a =->且'(1)20f =-<，下面证明存在(,)2a t ∈+∞使'()0f t <①取at e = 12aa e a >+>下面证明'2()ln 220a a a a f e a e e a e =-=-<，证明：设2()2x g x x e =- 则'()22x g x x e =-，()2(1)x g x e ''=- ∴()2(1)x g x e ''=-在[0,)+∞上恒负 ∴'()2()x g x x e =-在[0,)+∞上是减函数∴在[0,)+∞上，恒有'()2()x g x x e =-'(0)20g ≤=-< ∴2()2x g x x e =-在[0,)+∞上是减函数∴'2()ln 22a a a a f e a e e a e =-=-()(0)20g a g =<=-<，得证或②取2t a = 22a a >下面证明'222()ln 22(ln )0f a a a a a a a =-=-<， 证明：设()ln (1)g x x x x =-> 则'1()10(1)g x x x=-<> ∴'()g x 在(1,)+∞上是减函数∴'2()2(ln )2()f a a a a ag a =-=2(1)20ag a <=-<，得证∴此时，函数'()f x 有且只有两个零点综上，函数'()f x 的零点个数00210222a e a a e a e ≤<⎧⎪=<=⎨⎪>⎩或解法二 由题得'()(ln 1)2f x a x x a =+--ln 2(0)a x x x =->1︒当0a =时，'()0f x <，此时没有零点2︒当0a ≠时导函数'()f x 的零点个数等于函数1y a =与函数ln 2x y x=图象的交点个数 设ln ()2x g x x =则'21ln ()(0)2x g x x x-=> 当0x e <<时，'()0g x >；当x e >时，'()0g x < ∴()g x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减 ∴max 1[()]()2g x g e e==又∵当0x +→时，()g x →-∞，当x →+∞时，()0g x →（即0lim ()x g x +→=-∞，0lim ()0x g x +→=） ∴图象如图∴当10a <即0a <时，有1个交点；当1102a e <<即2a e >时，有2个交点；当112a e=即2a e =时，有1个交点；当112a e>即02a e <<时，没有交点. 综上，函数'()f x 的零点个数00210222a e a a e a e≤<⎧⎪=<=⎨⎪>⎩或（2）设'()()()2h x f x f x =--=22(ln 1)ax x x ax a --++(ln 2)2a x x ---2ln (2)ax x x a =---21ln (1)x a a x x +--≥∴'1()(ln )h x a x ax x =+⋅12(2)x a a x ----⋅ln 22(1)aa x x x x=-+-> ∴21()2a h x a x x ''=⋅-+=211()2(1)a x x x+->1︒题设成立的一个必要条件是(1)(1)0h a a =-≤即01a ≤≤ 2︒当01a ≤≤时(1,)x ∀∈+∞，211()()h x a x x ''=+-2112()2011a <+-≤∴'()h x 在(1,)+∞上单调递减又∵'()h x 在1x =处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同） ∴(1,)x ∀∈+∞，''()(1)0h x h a <=≤ 从而()h x 在(1,)+∞上单调递减 ∴[1,)x ∀∈+∞，()(1)0h x h ≤≤ ∴实数a 的取值范围为[0,1]22.（1）曲线22:(2)4C x y -+=即224x y x +=即24cos ρρθ=即0ρ=或4cos ρθ=由于曲线4cos ρθ=过极点 ∴曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ= 直线:(1)sin cos l x y ββ+=即sin cos sin 0x y βββ-+= 即cos sin sin cos sin 0ρθβρθββ-+=即sin()sin ρθββ-= 直线l 的极坐标方程为sin()sin ρθββ-= （2）由题得(1,0)Q -设M 为线段AB 的中点，圆心到直线l 的距离为(0,2)d ∈则||||2||QA QB QM +==它在(0,2)d ∈时是减函数∴||||QA QB +的取值范围=23. 解：（1）∵1(21)[(2)]21()(21)[(2)]22(21)(2)2x x x f x x x x x x x ⎧-+---<-⎪⎪⎪=+---≤≤⎨⎪+-->⎪⎪⎩ 1321312232x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩∴()f x 的图像如图（2）由（Ⅰ）得12321()212232x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪-=--≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩∴当12x =-时，min [()]2f x x -=- ∴题设等价于212m +≥-即32m ≥-。
2019届湖北省荆门市高三元月调研考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省荆门市高三元月调研考试数学（理）试题一、单选题1．已知全集，集合，，则A．B．或C．D．或【答案】B【解析】利用对数函数的性质化简集合，由交集的运算求出，由补集的运算得到．【详解】，，，或,故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2．已知复数，则的值是A．1 B．C．D．【答案】C【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果．【详解】因为，所以,故选C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为A．B．C．D．【答案】C【解析】事件包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，由几何概型概率公式可得结果．【详解】设等待的时间不多于10分钟，事件恰好是打开收音机的时刻位于时间段内，因此由几何概型概率的公式可得，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为,故选C．【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.4．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：观察图形可得。
湖北省荆门市2019届高三元月调研考试数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年湖北省荆门市高三（上）元月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，，则A. B. 或 C. D. 或【答案】B【解析】【分析】利用对数函数的性质化简集合，由交集的运算求出，由补集的运算得到．【详解】，，，或,故选B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.2.已知复数，则的值是A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果．【详解】因为，所以,故选C．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】事件包含的时间长度是60，而他等待的时间不多于10分钟的事件包含的时间长度是10，由几何概型概率公式可得结果．【详解】设等待的时间不多于10分钟，事件恰好是打开收音机的时刻位于时间段内，因此由几何概型概率的公式可得，即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为,故选C．【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.4.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：观察图形可得。
湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题(精品Word版,含答案解析)
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断【详解】f（﹣x）f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除C、D，当x＝1时，f（1）0，故排除B，故选：A．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC 中点为E ，则（）•．故选：A ．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．【详解】解：若f（x）＝sin x cos x＝2（sin x cos x）＝2sin（x）在[﹣m，m]（m＞0）上是增函数，∴﹣m，且m．求得m，且m，∴m，故m的最大值为，故选：C．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于中档题．7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），即为f（x+2）＝﹣f（x），f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），可得f（x）的最小正周期为4，故①错误；②正确；由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+1）＝﹣f（x﹣1），又f（﹣x﹣1）＝f（x+1），即有f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），故f（x﹣1）为奇函数，故③正确；由f（﹣x﹣3）＝f（x+3），若f（x﹣3）为偶函数，即有f（﹣x﹣3）＝f（x﹣3），可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．故选：B．【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用正弦定理化简已知等式，利用同角三角函数间基本关系可求tan A＝3tan B，进而利用正弦定理，基本不等式化简所求即可求解．【详解】解：∵a cos B﹣b cos A，∴由正弦定理化简得：sin A cos B﹣sin B cos A sin C sin（A+B）sin A cos B cos A sin B，整理得：sin A cos B＝3cos A sin B，∴cos A cos B＞0，∴tan A＝3tan B；∴则222．∴可得的最小值为．故选：D．【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数间基本关系，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】5【解析】【分析】先画出约束条件的可行域，利用目标函数z＝﹣3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线﹣3x+4y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z＝5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】10【解析】【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得A n﹣23＝A32A n﹣22，解得即可.【详解】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成（n﹣2）个间隔中，故有A n﹣23种，恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A32A n﹣22种，因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，∴A n﹣23＝A32A n﹣22，解得n＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. 15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】【解析】【分析】由题意可得：c＝2a＝2，a，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2﹣b2＝ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．【详解】解：∵AB＝2BC＝2，∴由题意可得：c＝2a＝2，a，∵（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin A sin C﹣sin2C，∴由正弦定理可得：（a﹣b）（a+b）＝ac﹣c2，可得：a2+c2﹣b2＝ac，∴S ac．故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】【解析】【分析】由题意可知函数为偶函数，函数有4个零点转化为函数在有2个零点，即研究函数的单调性与最值即可.【详解】由题意可知，函数的定义域，，即，∴函数为偶函数，若函数有4个零点，即函数在有2个零点，当x＞0时，,易知：函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，且时，，故只需：的最小值∴，解得∴的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理。
湖北省2019届高三1月联考测试数学(理)试题(解析版)
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的定义和条件，将x换为x+2，可得f（x+4）＝f（x），可得周期为4，即可判断①②的正确性；再由奇函数、偶函数的定义，将x换为﹣x，化简变形即可判断③④的正确性．
【详解】解：偶函数f（x）满足f（x）+f（2﹣x）＝0，
即有f（﹣x）＝f（x）＝﹣f（2﹣x），
可得f（x+3）＝f（x﹣3），即f（x+6）＝f（x），可得6为f（x）的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查抽象函数的周期性和奇偶性的判断，注意运用定义法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题．
∴点恰好取自阴影部分的概率P ，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．
8.如图，点 为双曲线 的右顶点，点 为双曲线上一点，作 轴，垂足为 ，若 为线段 的中点，且以 为圆心， 为半径的圆与双曲线 恰有三个公共点，则 的离心率为（）
A. B. C.2D.
【答案】A
【详解】解：由y＝3x，x∈R，
得y＞0，即A＝（0，+∞），
由y ，x∈R，
得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，
即A∩B＝（0，2]，
故选：C．
【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．
3.函数 的大致图像是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），
即|AP|＝2a，即有2a ，
可得a＝b，e ，
故选：A．
2019届湖北省高三1月联考测试数学(理)试题(word版)
湖北省2019年元月高考模拟调研考试理科数学一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C3.函数的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】A4.已知等边内接于，为线段的中点，则（）A. B.C. D.【答案】A5.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】A6.若在上是增函数，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C7.如图，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（）A. B.C. D.【答案】C8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）A. B. C. 2 D.【答案】A9.已知偶函数满足，现给出下列命题：①函数是以2为周期的周期函数；②函数是以4为周期的周期函数；③函数为奇函数；④函数为偶函数，则其中真命题的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B10.在中，角、、的对边分别是、、，若，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D11.如图，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直线折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上设，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D二、填空题（将答案填在答题纸上）13.设，满足约束条件，则的最大值为__．【答案】514.某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为_______．【答案】1015.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.已知满足.且，则用以上给出的公式可求得的面积为____．【答案】16.设函数，若函数有4个零点，则的取值范围为__．【答案】三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等比数列为递增数列，且，，数列的前项和为，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和为.【答案】(1) , (2)【解析】【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用错位相减法求出数列的和．【详解】（1）对于数列，即注意到为递增数列则∴对于数列，由得相减得又∵∴为定值∴数列和都是以4为公差的等差数列又∵∴在中令得∴，∴，（2）由（1）得∴∴【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.如图，在四棱锥中，，，，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)见证明 (2)见解析【解析】【分析】（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证.某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣.（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率.（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示.若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望..【答案】（1）见解析；（2） (3)见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出K 2≈，从而作出判断；（2）利用互斥概率加法公式即可得到结果；（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望值． 【详解】（1）由题得如下的列联表 ∴∴没有 （2）记事件从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有人有兴趣，则从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且与互斥∴所求概率（3）由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3，，，，所以的分布列是∴【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若.（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c＝1，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x0，y0），从而可写出切线m的方程为，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x0与y0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．【详解】（1）由题得解得∴椭圆的方程为（2）设切点为则令得即令得即∴为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题．21.已知函数.（1）试讨论函数的导函数的零点个数；（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先对原函数求导，得到，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数的零点个数；（2）设研究函数的单调性与最值即可.【详解】（1）解法一：由题得∴当时，是减函数且，∴此时有且只有一个零点当时，，此时没有零点当时∴（ⅰ）若则此时，函数没有零点（ⅱ）若则此时，函数有且只有一个零点（ⅲ）若则且，下面证明存在使①取下面证明，证明：设则，∴在上恒负∴在上是减函数∴在上，恒有∴在上是减函数∴，得证或②取下面证明，证明：设则∴在上是减函数∴，得证∴此时，函数有且只有两个零点综上，函数的零点个数解法二由题得当时，，此时没有零点当时导函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数设则当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减∴又∵当时，，当时，（即，）∴图象如图∴当即时，有1个交点；当即时，有2个交点；当即时，有1个交点；当即时，没有交点.综上，函数的零点个数（2）设∴∴题设成立的一个必要条件是即当时，∴在上单调递减又∵在处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同） ∴，从而在上单调递减∴，∴实数的取值范围为【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值的思路；关于不等式恒成立问题，一般转化为函数的最值来解．22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线与直线的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）； （2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为（2）【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到的取值范围． 【详解】（1）曲线即即即或由于曲线过极点 ∴曲线的极坐标方程为直线即即即直线的极坐标方程为（2）由题得设为线段的中点，圆心到直线的距离为则它在时是减函数∴的取值范围【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）画出函数的图象；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）写出f（x）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1≥f（x）﹣x的最小值，对x讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|，∴的图像如图（2）由（Ⅰ）得∴当时，∴题设等价于即【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。
湖北省荆门市2019届高三元月调考理科综合试题
荆门市2019学年度高三元月调考理科综合注意事项：本试卷分第I卷（选择题）第II卷（非选择题）两部分，第I卷为1—5页，第II卷为5—12页。
本试卷考试时间150分钟，满分300分。
答题前请将答题卡密封线内项目填写清楚，所有答案按规定书写在答题卡上，交卷时只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题共126分）一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列有关细胞结构和功能的说法，正确的是A．蛙的红细胞中没有细胞核和众多细胞器，所以可用来提取细胞膜B．核膜上的核孔可以让蛋白质和RNA自由进出C．细胞膜上的受体是细胞间信息交流所必需的结构D．同一生物体内非相邻细胞间可以通过信息分子（如：激素、淋巴因子等）来交流信息2．下列关于细胞的叙述，正确的是A. 精细胞、愈伤组织细胞、干细胞都有细胞周期B. 在一个细胞周期中，T和U两种碱基被大量利用时，表明细胞分裂正处于分裂间期C. 细胞在癌变的过程中发生了基因突变和基因重组D.进入人体内的抗原都可能成为靶细胞的一部分3．某研究小组利用检测气压变化的密闭装置来探究微生物的呼吸，实验设计如下。
关闭活栓后，U 形管右管液面高度变化反映瓶中气体体积变化。
实验开始时将右管液面高度调至参考点，实验中定时记录右管液面高度相对于参考点的变化(忽略其他原因引起的容积变化)。
下列有关说法不正．．确．的是A．甲组右管液面变化，表示的是微生物呼吸时氧气的消耗量B．甲组右管液面升高，乙组不变，说明微生物进行有氧呼吸C．甲组右管液面不变，乙组下降，说明微生物进行乳酸发酵D．乙组右管液面变化，表示的是微生物呼吸时CO2的释放量和O2消耗量之间的差值4．下列有关遗传和变异的叙述，正确的是A．不同密码子编码同种氨基酸可增强密码的容错性B．若一亲代DNA分子含有某种脱氧核苷酸m个，第n次复制需要该脱氧核苷酸为m×(2n-1)个C．如果控制人的血红蛋白的基因中有一对碱基发生改变，则血红蛋白的结构一定发生改变D．囊性纤维病是编码一个跨膜蛋白的基因缺失了3个碱基导致染色体结构变异引起的一种遗传病5．下列关于生物进化的说法正确的是A．同一群落中的种群相互影响，因此进化的基本单位是群落B．生殖隔离一旦形成，就使原来的物种变成了新的物种C．杂交育种通过不断地自交、筛选和淘汰使得纯合矮秆抗病小麦比例越来越高D．突变的可遗传性阻碍生物进化6．下面三种曲线是同一生物在同样条件下的培养结果。
湖北荆门18-19高三元月调研考试--数学(理)
湖北荆门18-19高三元月调研考试--数学（理）数 学〔理〕注意：1、全卷总分值150分，考试时间120分钟.2、考生务必将自己的姓名、考号、班级、学校等填写在答题卡指定位置；交卷时只交答题卡.【一】选择题：本大题共10个小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.将选项代号填涂在答题卡上相应位置.1.设:f x →2x 是集合M 到集合N 的映射，假设N ＝{1，2}，那么M 不可能是 A.{－1}B.{－2，2}C.{1，2，2}D.{－2，－1，1，2}2.函数()y f x =的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x 1 2 3 4 5 6y124.435-7414.5 -56.7 -123.6那么函数()y f x =在区间[1，6]上的零点至少有〔 〕A.2个B.3个C.4个D.5个3.复数ii -+22表示复平面内点位于〔 〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.一等差数列的前四项和为124，后四项和为156，各项和为210，那么此等差数列的项数是〔 〕A.5B.6C.7D.85.由直线1,2,02x x y ===，及曲线1y x=所围图形的面积为〔 〕 A.154B.174C.1ln 22D.2ln 2A.x x R e x ∃∈，＞B.x x R e x ∀∈，≥C.x x R e x∃∈，≥D.x x R e x∀∈，＞7.假设x ，y 满足1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤且z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，那么a 的取值范围是〔〕 A.(－1，2) B.(－2，4)C.(－4，0]D.(－4，2)8.函数7(13)10(6)()(6)x a x a x f x a x --+⎧=⎨>⎩≤假设数列{a n }满足a n ＝()f n 〔n ∈N ＋〕且{a n }是递减数列，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.(31，1)B.(31，21)C.(31，85)D 、(85，1)9.函数[]sin ,π,πy x x x =+∈-的大致图象是〔〕A. B. C. D.10.，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段。
2019届湖北省荆门市高三元月调研考试理科综合试题后附详解
荆门市2019年高三年级元月调考理科综合可能用到的相对原子质量N：14 H：1 C：12 O：16 Ba：137 Cu：64 Au：197 Zn：65 C1：35.5一、选择题(本题共有13个小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求)1.下列关于细胞结构及生物大分子的相关说法，正确的是A.生物大分子以碳链为骨架B细胞骨架是由蛋白质、纤维素组成的网架结构C.磷脂双分子层和蛋白质构成生物膜的基本支架D.脱氧核糖、磷酸和含氮碱基交替连接，构成DNA分子的基本骨架2.下列说法正确的是①单倍体育种就是将花药离体培养得到单倍体②单基因遗传病就是由单个基因控制的遗传病③兴奋在反射弧中只能单向传递④生态系统的信息传递既有单向的也有双向的⑤生态系统能量流动的特点是单向流动、逐级递减A.①③⑤B.②③⑤C.③④⑤D.②④⑤3.下列关于植物生长素的叙述中，正确的是A.生长素是由植物体内特定腺体产生的具有调节作用的物质B.从细胞水平看，生长素可以影响细胞的伸长和分化C.植物的顶芽生长占优势时，其侧芽生长素的合成受到抑制D.色氨酸是植物合成生长激素的前体物质4.下列免疫过程能将病原体直接彻底消灭的是①浆细胞产生相应的抗体②抗体与病原体特异性结合③溶菌酶催化细菌细胞壁水解导致细菌过度吸水而破裂④效应T细胞与靶细胞密切接触，导致靶细胞裂解死亡⑤吞噬细胞将病原体吞噬消化水解A.①②③④⑤B.②③④⑤C.③④⑤D.③⑤5.下列说法中正确的是A中心体由两组相互垂直的中心粒构成B脂肪、淀粉、核糖的组成元素只有C、H、OC.调查种群密度只能用估算法D用高倍显微镜观察紫色洋葱鳞片叶表皮细胞质壁分离现象效果最佳6.基因型为 AaBbDd的二倍体生物，其体内某精原细胞减数分裂时同源染色体变化示意图。
有关叙述正确的是A.图中非姐妹染色单体发生交换导致了染色体结构变异B.三对等位基因的分离均发生在次级精母细胞中C.该细胞能产生ABD、ABd、abD、abd四种精子D.A(a)与B(b)间发生重组，但不遵循基因自由组合定律7.下列说法正确的是A.海水淡化的常用方法有蒸馏法、离子交换法和电解法B.钢铁在焊接前可以用NH4C1溶液清除表面的铁锈C.蛋白质是仅由碳、氢、氧元素组成的物质D.在轮船外壳上焊接锌块或接直流电源正极，均可减缓船体的腐蚀速率8.下列有关说法正确的是A.实验室制氢气，为了加快反应速率，可向稀硫酸中滴加少量硝酸铜溶液B.可用勒夏特列原理解释2NO 2(g)N2O4(g)体系加压后颜色变深C.N 2(g)+3H2(g)2NH3(g) △H<0可通过加压方式增大其平衡常数D.二氧化硫和乙烯两种气体分别通入Br2的CCl4溶液，能使溶液褪色的是乙烯气体9.乌头酸的结构简式如图所示，下列关于乌头酸的说法错误的是A.化学式为C6H6O6B.乌头酸能发生水解反应和加成反应C.乌头酸能使酸性高锰酸钾溶液褪色D.含lmol乌头酸的溶液最多可消耗3 mol NaOH10.下列离子方程式正确的是A.BaSO3与稀HNO3反应：3BaSO3+2H++2NO3－=3BaSO4+2NO↑+H2OB.碳酸钠溶液中滴加少量氯水的离子方程式为：CO32－+Cl2+H2O=HCO3－+Cl－+HClOC.Fe2(SO4)3溶液与Ba(OH)2溶液反应：Fe3++SO42－+Ba2++3OH－=Fe(OH)3↓+BaSO4↓D.向FeI2溶液中滴加少量氯水，反应的离子方程式为：2Fe2++Cl2=2Fe3++2Cl－11.下列实验中，对应的现象以及结论都正确且两者具有因果关系的是12.第三周期元素X、Y、Z、W的最高价氧化物溶于水可得四种溶液，0.010mol/L的这四种溶液pH 与该元素原子半径的关系如下图所示。
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荆门市2019年高三年级元月调考数学（理科）参考答案13．13-14．32 15．90 16．32a ≥ 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由正弦定理：sin sin a b A B =，又由已知cos a A =所以cos a A =………………………………………………………………………3分tan A = 因为(0,)A π∈，所以3A π=．…………………………………………6分（Ⅱ）由正弦定理得，1sin 24ABC S bc A ∆===12bc =， ABC ∆中，由余弦定理，222222cos 12143a b c bc b c π=+-=+-=，则2226b c += ……………………………………………………………………………10分故()222214b c b c bc +=+-=，b c +=所以ABC ∆的周长为a b c ++=．…………………………………………12分 18.解：（Ⅰ）证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ………………………………2分 又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE ，……………………………………5分（Ⅱ）在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM //EF 交CF 于点M ，连接CE ，易得2DM =，1CM =，则DC ⊥CF ，则6CDM π∠=， 2CE =， 过E 作EG ⊥EF 交D C 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ………………7分则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2A B C D -1((2,,22AC AD =-=--设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得201202x y x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1n =- …………………9分 设AP m =，则()(2,,0),02P m m ≤≤，得(2,1,3)C P =--设CP 与平面ACD 所成的角为,θ2sin cos ,.203CP n m θ=<>==⇒=所以23AP =．…………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=． …………………………………………………2分 所以，估计240人中有2400.248⨯=人实测答对第5题．………………………………3分（Ⅱ）X 的可能取值是0，1，2．216220C 12(0)19C P X ===； 11164220C C 32(1)95C P X ===； 24220C 3(2)95C P X ===． …………6分X……………………………………7分 12323382012199595955EX =⨯+⨯+⨯==． …………………………………………………8分 （Ⅲ）将抽样的20名学生中第i 题的实测难度，作为240名学生第i 题的实测难度．222221[(0.80.9)(0.80.8)(0.70.7)(0.70.6)(0.20.4)]5S=-+-+-+-+-0.012=．………………………………………………………………………11分 因为 0.0120.05S =<，所以，该次测试的难度预估是合理的． ………………………………………………12分20. 解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴||||AQ PQ =．又||||||CP CQ QP =+=||||||2CQ QA CA +=>=．………………… 2分 ∴曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A 为焦点，长轴长为设曲线E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．∵1,c a ==22b =．∴曲线E 的方程为22132x y +=． ……………………………………………………… 5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．联立22132y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得222(32)6360k x kmx m +++-=．此时有227224480k m ∆=-+>．由一元二次方程根与系数的关系，得122632kmx x k -+=+，21223632m x x k -=+． ………………………………………………7分∴||MN == ∵原点O 到直线l的距离d =∴1||2MON S MN d ∆=⋅= ……………………………10分 由0∆>，得22320k m -+>．又0m ≠，由基本不等式，得222(32)2MON m k m S ∆+-+≤=． 当且仅当22322k m +=时，不等式取等号．∴MON ∆……………………………………………………12分21.解：（1）由题意，()()()221x xf x ax e ax x a e --'=+-++()2121x e ax a x a -⎡⎤=-+-+-⎣⎦()()11x e x ax a -=--+-. ………………2分 （ⅰ）当0a =时，()()1xf x e x -'=--，令()0f x '>，得1x <；()0f x '<，得1x >，所以()f x 在(),1-∞单调递增，()1,+∞单调递减；…………………………………3分（ⅱ）当0a >时，111a -<，令()0f x '>，得111x a -<<；()0f x '<，得11x a<-或1x >， 所以()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减， …………5分（Ⅱ）令()()21x x g a e x a xe --=++，(],0a ∈-∞，当[)0,x ∈+∞时，()210x e x -+≥， ()g a 单调递增，则()max (0)x g a g xe -==， ………………………………………6分则()()ln 1g a b x ≤+对(],0a ∀∈-∞恒成立等价于()()()max ln 10b x g a g +≥=， 即()ln 1xxeb x -≤+，对[)0,x ∈+∞恒成立.…………………………………………7分（ⅰ）当0b ≤时，()0,x ∀∈+∞，()ln 10b x +<，0xxe->，此时()ln 1x xe b x ->+，不合题意，舍去. ………………………………………………………………………8分 （ⅱ）当0b >时，令()()ln 1xh x b x xe -=+-，[)0,x ∈+∞，则()()()2111x x xxb be x h x e xe x x e--+-'=--=++，其中()10x x e +>，[)0,x ∀∈+∞， 令()[)21,0,xp x be x x =+-∈+∞，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，①当1b ≥时，()()010p x p b ≥=-≥，所以对[)0,x ∀∈+∞，()0h x '≥，则()h x 在[)0,+∞ 上单调递增，故对任意[)0,x ∈+∞，()()00h x h ≥=，即不等式()l n 1x b x x e -+≥在[)0,+∞上恒成立，满足题意. …………………………………10分 ②当01b <<时，由()010p b =-<，()10p be =>及()p x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以存在唯一的()00,1x ∈使得()00p x =，且()00,x x ∈时，()00p x <. 从而()00,x x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间()00,x 上单调递减，则()00,x x ∈时，()()00h x h <=，即()ln 1xb x xe -+<，不符合题意.综上所述，1b ≥. ……………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）消去参数可得圆的直角坐标方程式为()2224x y +-=………………2分由极坐标与直角坐标互化公式得()()22cos sin 24p p θθ+-=化简得4sin p θ=. …………………………………………………………………………5分（Ⅱ）直线l 的参数方程3cos454sin 45x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）， ………………………………6分即34x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数）代入圆方程得：290t ++=， ……………………8分设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t，则12t t +=-129t t =，于是1212|||MB||t ||||t |9MA t t ⋅=⋅=⋅=． …………………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）依题意有：()|23|||3a a a -<--， ………………………………………1分若32a ≥，则233a -<， 332a ≤<∴， 若302a ≤<，则323a -<， 302a <<∴，若0a ≤，则()323a a a -<---，无解， ……………………………………………4分综上所述，a 的取值范围为()0,3． …………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，当[]1,1x ∈-时()()f x g x <恒成立，||3x a +<∴恒成立，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立，22a -<<∴． …………………………………………………………………………10分命审：市龙泉中学 崔冬林 易小林 吴金玉市教研室 方延伟。