北师大版高中数学必修5：不等关系

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高中数学必修五《不等式及其基本性质》教案

§2.2 不等式及其基本性质预备知识∙数与式的基本运算∙数轴重点∙比较两个实数的大小∙不等式的解集难点∙不等式的基本性质∙比较式的大小学习要求∙了解不等式的概念，∙熟练应用不等式的基本性质解题1. 不等式及其基本性质我们先用天平来做两个实验．实验1：在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g 的砝码，观察天平平衡的情况．当天平处在平衡状态，说明两端的重量是相等的；当天平处在不平衡状态，则两端的重量不等．在实验中你可以观察到：(1)天平平衡是可能的；(2)天平不平衡状态是经常发生的，所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“≠”或“<(≤)”、“>(≥)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(≤)”、“>(≥)”表示的不等量关系．用符号“<(≤)”、“>(≥)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．用x 表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x >1，读作x 大于1；图2-11(2)表示x <2，读作x 小于2．课内练习11.请你用“>(≥)”、“<(≤)”表示你在实验中出现的不等量关系．2.字母a ,b ,c ,d ,e ,f 所表示的数如图所示．用“>(≥)” 、“<(≤)”连接任意两个字母．实验2：选图2-11中天平一种不平衡态．(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如⇒ 7+3>5+3(即10>8)；⇒ 7+(3⨯3-3)>5+(3⨯3-3)(即13>11)； ⇒ 7-9>5-9(即-2>-4)．(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如7>5 ⇒ 7⨯2>5⨯2 (即14>10)；-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8d e c f a b∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙第2题图7>57>5 ⇒ 7÷2>5÷2 (即3.5>2.5)； 7>5 ⇒ 7⨯x >5⨯x , x >0．但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证：7>5 ⇒ 7⨯(-2)<5⨯(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ⇒ 5⨯(-5)<(-7)⨯(-5)(即-25<35)； -3<-2 ⇒ (-3)÷(-4)>(-2)÷(-4)(即43>21)．这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向．课内练习2 1. 因为3<5，所以(1)3+2 5+2，根据； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据． 2. 因为4>2，所以(1)4⨯3 2⨯3，根据； (2)4⨯(-3) 2⨯(-3)，根据． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x 与3的差大于0； (2)y 与5的和小于1； (3)y 的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：(1)不等式x +3>0的两边同减去3后，不等式成为； (2)不等式y +6<2y -4的两边同加上4后，不等式成为； (3)不等式21x +7<-9的两边同乘以2后，不等式成为； (4)不等式9x +18<18x +6的两边同除以9后，不等式成为； (5)不等式-21x +7<-9的两边同乘以-2后，不等式成为； (6)不等式9x +18<-18x +6的两边同除以-9后，不等式成为．根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a ,b ，有 a b ⇔ a-b >0； a =b ⇔ a-b =0．(这里的记号“⇔”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．例1 比较65和76的大小．解因为 65-76=421423635-=-<0，所以65<76 ▍ 例2 比较x 2+x 和3x -2的大小，其中x 为任意实数．解因为 (x 2+x )-( 3x -2) =x 2+x -3x +2 =(x 2-2x +1)+1 =(x -1)2+1>0，所以 (x 2+x )>( 3x -2) ▍应用求差法还可以证明：若a >b ,b >c , 则a >c ．这个性质称为不等式的传递性课内练习31. 比较下列各组中两个实数的大小：(1)32和43； (2)-3和-4； (3)12.3和3112．2. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x 是任意实数)： (1)(x +1)2和2x +1；(2)(x +5)(x +7)和(x +6)2．2. 数集的区间表示法在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．(1)开区间(a , b )：(a ,b )表示{x a <x a }，如图2-12(5)； (6)左闭右无界区间[a ,+∞)：[a ,+∞)表示{x x ≥a }，如图2-12(6)；(7)左无界右开区间(-∞,b )：(-∞,b )表示{x x <b }，如图2-12(7)； (8)左无界右闭区间(-∞,b ]：(-∞,b ]表示{x x ≤b }，如图2-12(8)．图2-12(1)图2-12(2)图2-12(3)图2-12(4)图2-12(5)图2-12(6)例如不等式x +3<6的解集{x ∣x <3}是区间(-∞,3)；不等式x +3≥5的解集{x ∣x ≥2}是区间[2,+∞)；不等式5x ≤2的解集{x ∣x ≤52}是区间(-∞,52]；而不等式2(3+x )>3(3+x )的解集{x ∣x <-3}是区间(-∞,-3)．课内练习41. 以区间法表示下列数集，并在数轴上出来： (1){x ∣x <-1}；(2){x ∣x ≤0}；(3){x ∣x >21}；(4){x ∣x ≥-31}．2. 解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来： (1) x +2<3； (2) 1-x >10； (3) 5x +2≤3x -8； (4) 1-x ≥4(x +2)．课外习题 A 组1. 用“>”或“<”填空：(1)15+6 13+6； (2)9-4 7-4； (3)6+(-2) 5+(-2)； (4)8+x 10+x ； (5)3⨯2 7⨯2； (6)4⨯(-3) 5⨯(-3)． 2. 用“>”或“<”表示下列实数的大小关系： (1)21和31； (2)32-和21-； (3)72和115； (4)211-和31． 3. 用不等式表示： (1)x 与b 的和不小于5； (2)y 的21倍小于-1； (3)x 与3的差的2倍大于0；(4)y 与-31的和不大于6．4. 在数轴上表示下列数集：(1){x |x <-2}； (2){x |x ≥3.5}； (3){x |x ≤0}； (4){x |x >-4}． 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示： (1)x +3<5；(2)x 的2倍不大于x 与3的和．B 组1. 用不等式表示： (1)x 与3的和不小于5； (2)两个数的平方和大于0；图2-12(7)图2-12(8)(3)代数式3a +2小于1； (4)代数式4x +8是负数； (5)代数式2a -1不是负数． 2. 解出题1中5个不等式．3. 比较下列两式，求出确定大小的范围：(1)x 2-2x +1与0； (2)(x +2)2与x 2+2； (3)3x +1与2x -5； (4)-2-5x 与8-6x ．C 组1. 设a >0, b >0，比较下列两式的大小： (1)b a 与a 1+； (2)a b 与1+a b ．2. 证明：若a >b >0，则a 1<b1． 3. 用 “>”,“=”,“<”, “≥”, “≤” 连接： (1)(-1)2 -12； (2)|-21| 21；(3)(-2)3 -2； (4)|a | a ．4. 若a >b , c >d ，那么a +c >b +d 成立吗？a -c >b -d 成立吗？若不成立，应作怎样的修改使之成立？ 5．解下列不等式(1)7x +5>8x +6； (2)6x -3≤4x -4； (3)2(2-3x )<3(x -2)．。

3.1.1《不等关系》习题课课件(北师大版必修5)

m＋n＝4，于是得 m－n＝2， m＝3，解得 n＝1.
• ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． • ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， • ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
[变式训练 7]
如果 30<x<42,16<y<24，求 x＋y，
1 1 (4)由性质定理 a<b<0⇒a>b，命题是真命题； 2 3 (5)例如－3<－2<0，3<2，命题是假命题．－a>－b>0 －a>－b>0 ⇒ 1 a<b<0⇒1 1 1 a>b －b>－a a b ⇒b>a.
• [变式训练1] 如果a>b，则下列各式正确的
1 综上知：当 a>1 时，a>a； 1 当 a＝1 时，a＝； a 1 当 0<a<1 时，a<a.
• [变式训练4] 已知a，b均为正数，n∈N*，比较(a
• • • • • • • •
＋b)(an＋bn)与2(an＋1＋bn＋1)的大小．解析：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1) ＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1 ＝abn＋anb－an＋1－bn＋1 ＝a(bn－an)＋b(an－bn) ＝(a－b)(bn－an)， ∵a、b∈R＋，n∈N*，且n≥1， ∴①当a>b>0时，a－b>0，bn<an. ∴(a－b)(bn－an)<0.
项呢？证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法． (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决： ①一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系．

高中数学必修五-不等关系与不等式

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<as B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<cb，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。

北师大版高中数学必修5第三章《不等式》一元二次不等式的解法(一)

3或 x 2
时，原函数的值是正数。 3
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：，即，当 {x | 2 3 x 2 3}
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
13
课堂练习3. 是什么实数时,
x x 12
2
有意义?
2 解：要想原式有意义，即要使 x x 12 0 ，解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
2
准备知识
1、一元一次函数y=ax+b(a≠0）函数图像是一条直线 2、一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 当a>0时图象开口向上；当a<0时图象开口向下； b 4ac b ( 其顶点坐标为 2a , 4a ) ；对称轴为直线 x= -b/2a 。 2.不等式|x|<a的解集是 {x|-a<x<a} ； |x|>a的解集是 {x|x<-a或x>a}。
2
3
探析新课
一、一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
x y 2 -3 2.5 -2 3 -1 3.5 0 4 1 4.5 2 5 3 y y=2x-7
1、作一元一次函数y=2x-7的图象。它的对应值表与图像如下：
由对应值表与图像可以知道：
当x=3.5时，y__0， = 即2x-7__0； = > 即2x-7__0； > 当x<3.5时，y__0， < 即2x-7__0； < 当x>3.5时，y__0，不等式2x-7>0的解即为 ﹛x|x>3.5﹜ 不等式2x-7<0的解即为 ﹛x|x<3.5﹜

高三数学必修五《不等关系与不等式》教案

高三数学必修五《不等关系与不等式》教案【导语】高考竞争异常激烈，千军万马争过独木桥，秋天到了，而你正以凌厉的步伐迈进这段特别的岁月中。

这是一段青涩而又平淡的日子，每个人都隐身于高考，而平淡之中的张力却只有真正的勇士才可以破译。

为了助你一臂之力，无忧考网高中频道为你精心准备了《高三数学必修五《不等关系与不等式》教案》助你金榜题名！教案【一】整体设计教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.重点难点教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.推进新课新知探究提出问题1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，气温32℃，最低气温26℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26℃≤t≤32℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0��a>b;a-b=0��a=b;a-b<0��a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.变式训练1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是()A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.例2比较下列各组数的大小(a≠b).(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4与4a3(a-b).活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.∴a4-b4<4a3(a-b).点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差――变形――判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.变式训练已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.解：xy-1=x-yy.∵x>y，∴x-y>0.当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a由于a+mb+m-ab=m b-a b b+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.变式训练已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则()A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8与a4+a5大小不确定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.知能训练1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.3B.2C.1D.02.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.∴只有①恒成立.2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.课堂小结1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.作业习题3―1A组3;习题3―1B组2.设计感想1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.备课资料备用习题1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.3.已知x>0，求证：1+x2>1+x.4.若x5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.参考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2.∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.∴m2-2m+5≥-2m+5.(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2.∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.∴a2-4a+3>-4a+1.3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24，又∵x>0，∴x24>0.∴(1+x2)2>(1+x)2.由x>0，得1+x2>1+x.4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y).∵x0，x-y<0.∴-2xy(x-y)>0.∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，当a>b>0时，ab>1，a-b>0，则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.当b>a>0时，0则(ab)a-b>1.于是aabb>abba.综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba. 教案【二】教学准备教学目标熟练掌握不等式的证明问题教学重难点熟练掌握不等式的证明问题教学过程不等式的�C明二【基�A��】1.若，，�t下列不等始�K正�_的是()2.�Oa，b��担�且，�t的最小值是()4.求�C：�θ魏问��x，y，z，下述三��不等式不可能同�r成立。

北师大版高中数学必修5《三章不等式 3 基本不等式 3.2基本不等式与最大(小)值》赛课导学案_13

3．2基本不等式与最大(小)值●三维目标1．知识与技能会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，会用基本不等式解决实际问题．通过探究实例过程，领悟利用不等式求简单的最大(小)值问题所满足的条件．3．情感、态度与价值观通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯，培养学生的探索精神．●重点难点重点：用基本不等式解决简单的最值问题．难点：用基本不等式求最值的使用条件．●教学建议在用基本不等式求最值时，要讲清楚使用条件：“一正、二定、三相等”．课本P91例2就是对这三个应用条件的很好的阐释．有些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式解决如例3中若x<0则需要变形方可利用基本不等式求最值．●教学流程创设问题情境，提出问题：如何通过基本不等式求f(x)＝x(1－x)(0<x<1)的最值？⇒引导学生回答问题，理解利用基本不等式的使用条件“一正二定三相等”，掌握用基本不等式解决最值问题⇒通过例1及变式训练，使学生掌握基本不等式求最值⇒通过例2及互动探究，使学生掌握求有约束条件的最值⇒通过例3及变式训练，使学生掌握基本不等式解决实际问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正(对应学生用书第59页)已知函数f(x)＝x(1－x)(0<x<1)，该函数有最大值还是最小值？能否通过基本不等式求它的最值？【提示】最大值；能．∵0<x<1，∴1－x>0，又∵a＋b2≥ab，∴ab≤(a＋b2)2，∴x(1－x)≤(x＋1－x2)2＝14，当且仅当x＝1－x，即x＝12时，f(x)有最大值14.已知x、y都是正数(对应学生用书第59页)(1)已知x >0，求函数y ＝x x 的最小值；(2)已知0<x <13，求函数y ＝x (1－3x )的最大值．【思路探究】 (1)利用分式的性质拆开，构造ax ＋bx 形式，再利用基本不等式；(2)转化为括号内外x 的系数互为相反数即保证和为定值时，再使用基本不等式．【自主解答】 (1)∵y ＝x 2＋5x ＋4x ＝x ＋4x ＋5≥24＋5＝9，当且仅当x ＝4x 即x ＝2时等号成立．故y ＝x 2＋5x ＋4x (x >0)的最小值为9.(2)法一 ∵0<x <13，∴1－3x >0. ∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋（1－3x ）2]2＝112.当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立． ∴当x ＝16时，函数取得最大值112.法二∵0<x<13，∴13－x>0.∴y＝x(1－3x)＝3·x(13－x)≤3·(x＋13－x2)2＝1 12，当且仅当x＝13－x，即x＝16时，等号成立．∴当x＝16时，函数取得最大值112.1．应用基本不等式的条件：“一正、二定、三相等”，在求最值时必须同时具备，解答本题易漏掉等号成立的条件．2．此类题目在命题时常常把获得“定值”条件设计为一个难点，它需要一定的灵活性和技巧性．常用技巧有“拆项”、“添项”、“凑系数”、“常值代换”等．已知x＜54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】∵x＜54，∴5－4x＞0，∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－[(5－4x)＋15－4x]＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x即x＝1时等号成立，∴当x＝1时，y max＝1.已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求1a＋1b的最小值．【思路探究】思路一：利用“1”的整体代换求解：即把1a＋1b看作⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ×(a ＋2b )，化简后利用基本不等式求解．思路二：将式子1a ＋1b 中的1用a ＋2b 代换后，利用基本不等式求解．【自主解答】法一 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋2b ) ＝1＋2b a ＋a b ＋2＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22b a ·ab＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时等号成立．∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.法二 1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝1＋2b a ＋ab ＋2 ＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2b a ＝a b a ＋2b ＝1，即⎩⎨⎧a ＝2－1b ＝1－22时，等号成立，∴1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b 取最小值所对应a 、b 的值也要一并解出来． 2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”的方法，构选成基本不等式的形式，从而得出最值．本例中，如何求ab 的最大值？【解】法一 ab ＝12a ·(2b )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当⎩⎨⎧a ＋2b ＝1a ＝2b，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.法二 ∵a ＋2b ＝1，∴1＝a ＋2b ≥2a ·（2b ），即ab ≤122，∴ab ≤18，当且仅当⎩⎨⎧a ＝2b a ＋2b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝14时，ab 取得最大值18.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图3－3－3，设池塘所占总面积为S 平方米．图3－3－3(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．【思路探究】根据题中变量，认真分析图形，构建函数关系式，利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由图形知，3a ＋6＝x ， ∴a ＝x －63.S ＝(1 800x －4)·a ＋2a (1 800x －6) ＝a (5 400x －16) ＝x －63(5 400x －16)＝1 832－(10 800x ＋16x3)．即S ＝1 832－(10 800x ＋16x3)(x >0)． (2)由S ＝1 832－(10 800x ＋16x 3)，得S ≤1 832－210 800x ·16x 3＝1 832－2×240＝1 352，当且仅当10 800x ＝16x3时等号成立，此时，x ＝45，即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．1．根据已知，列出关系式是解答本题的关键．2．利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：①在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；②建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值；④回到实际问题中，检验并写出正确答案．北京市有关部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解】 (1)由题意 y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920（v ＋1 600v ）＋3≤9202v ·1 600v ＋3＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时取等号． ∴y max ＝92083≈11.1(千辆/小时)， ∴当车速v ＝40千米/小时时，车流量最大为11.1千辆/小时． (2)由题意：920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v－25)(v－64)＜0，解得25＜v＜64.∴当车辆平均速度大于25千米/小时且小于64千米/小时时，车流量超过10千辆/小时．(对应学生用书第61页)忽视基本不等式的条件致误求函数y＝1－2x－3x的值域．【错解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．∵2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝±62时取等号．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.∴函数的值域为(－∞，1－26]．【错因分析】利用基本不等式求最值时，忽视了各项为正的条件．【防范措施】利用基本不等式求最值时一定注意应用条件“一正、二定、三相等”．【正解】函数可化为y＝1－(2x＋3 x)．①当x>0时，2x＋3x≥22x·3x＝2 6.当且仅当2x＝3x，即x＝62或x＝－62(舍)时等号成立．∴y＝1－(2x＋3x)≤1－2 6.②当x<0时，y＝1＋(－2x)＋(－3 x)．∵－2x＋(－3x)≥2（－2x）·（－3x）＝26，y≥1＋2 6.当且仅当－2x＝－3x时，即x＝62(舍)．若x＝－62时等号成立．∴函数的值域为(－∞，1－26]∪[1＋26，＋∞)．1．利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用基本不等式的情境．2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到，若取不到，必须利用函数的单调性去求函数的最值．(对应学生用书第61页)1．下列函数中最小值为4的是()A．y＝x＋4 xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π)C．y＝3x＋4·3－xD．y＝lg x＋4log x10【解析】A不满足正数，B取不到等号成立，D不满足正数，C正确．【答案】C2．若实数a、b满足a＋b＝2，则2a＋2b的最小值为()A.2B．22C．2D．4【解析】由基本不等式得，2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝4.【答案】 D3．设x ，y ∈N ＋满足x ＋y ＝20，则lg x ＋lg y 的最大值为________．【解析】 ∵x ，y ∈N ＋，∴20＝x ＋y ≥2xy ， ∴xy ≤100，∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2，当x ＝y ＝10时取“＝”．【答案】 24．已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．【解】 x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1， ∴x ＋2y ＝(8x ＋1y )(x ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12y ＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.(对应学生用书第113页)一、选择题 1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C.2aa －1D ．3 【解析】 a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2（a －1）·1a －1＋1＝3.【答案】 D2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A ．3 B ．－3 2 C ．3－2 3 D ．－1【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3－(3x ＋1x )≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．【答案】 C3．(2013·鹤岗高二检测)若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y ＝1，则x ＋y 的最小值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【解析】 x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4 ＝5＋y x ＋4xy ≥5＋2y x ·4xy ＝5＋4＝9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎨⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.【答案】 C4．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100【解析】设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．【答案】 A5．(2013·宿州高二检测)若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b 的最小值是( ) A.14 B ．1 C ．4 D ．8【解析】由a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，得⎩⎨⎧a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，取等号．【答案】 C 二、填空题6．(2013·广州高二检测)若x >0，则x ＋2x 的最小值是________．【解析】 x ＋2x ≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．【答案】 2 27．(2013·南京高二检测)若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是________．【解析】 ∵log m n ＝－1， ∴mn ＝1且m >0，n >0，m ≠1. ∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.当且仅当3n ＝m 即n ＝33，m ＝3时等号成立．【答案】 2 38．函数y ＝log 2x ＋log x (2x )的值域是________．【解析】 y ＝log 2x ＋log x 2＋1.由|log 2x ＋log x 2|＝|log 2x |＋|log x 2|≥2|log 2x |·|log x 2|＝2，得log 2x ＋log x 2≥ 2或log 2x ＋log x 2≤ －2， ∴y ≥ 3或y ≤ －1.【答案】 (－∞ ，－1]∪ [3，＋∞ ) 三、解答题9．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．【解】 y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－(3－2x 2＋83－2x )＋32，∵当x <32时，3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2 ·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.10．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是多少？【解】法一 ∵x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴y ＝8－x 2x ＋2＞0，∴0＜x ＜8.∴x ＋2y ＝x ＋2·8－x2x ＋2＝(x ＋1)＋9x ＋1－2≥2（x ＋1）·9x ＋1－2＝4.当且仅当x ＋1＝9x ＋1时“＝”成立，此时x ＝2，y ＝1.法二 ∵x ＞0，y ＞0，∴8＝x ＋2y ＋2xy ＝x ＋2y ＋x ·2y ≤x ＋2y ＋(x ＋2y 2)2，即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0， ∴[(x ＋2y )＋8][(x ＋2y )－4]≥0， ∴x ＋2y ≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号．由x ＝2y 且x ＋2y ＋2xy ＝8，得x ＝2，y ＝1，此时x ＋2y 有最小值4. 11．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x ＋784x ＋3－118(千元)，其中x 表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)【解】设城建公司获得的附加效益为y 千元，由题意得 y ＝2x －(6x ＋784x ＋3－118)＝118－(4x ＋784x ＋3) ＝118－[4(x ＋3)＋784x ＋3－12] ＝130－[4(x ＋3)＋784x ＋3] ≤130－24（x ＋3）·784x ＋3＝130－112＝18(千元)，当且仅当4(x ＋3)＝784x ＋3，即x ＝11时取等号．所以提前11天，能使公司获得最大附加效益．(教师用书独具)某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．【思路探究】审题、理解题意―→ 建立相应的函数解析式，标出定义域―→ 在定义域内求出函数的最小值―→ 回到实际问题，检验作答【自主解答】设该厂x (x ∈N ＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 1元．∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x 天饲料的保管与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8 ＝300x ＋3x ＋357≥417.当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．即10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用基本不等式解决实际问题的一般思路如下：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量间的关系，初步确立用怎样的函数模型．(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值．(4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．【解析】设两个正方形边长分别为a ，b ，则由题可得a ＋b ＝1，且13≤a ，b ≤23，S ＝a 2＋b 2≥2×(a ＋b 2)2＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．【答案】错误!。

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案

高中数学必修5《不等关系与不等式》教案一、教学内容不等关系与不等式二、教学目标1. 理解不等关系和不等式的概念；2. 掌握表示不等式的方法；3. 掌握一元一次不等式的解法；4. 掌握二元一次不等式的解法；5. 能够应用不等式解决实际问题。

三、教学重点1. 不等关系与不等式的概念；2. 一元一次不等式的解法；3. 能够应用不等式解决实际问题。

四、教学难点1. 二元一次不等式的解法；2. 能够应用不等式解决实际问题。

五、教学方法1. 讲授法；2. 举例法；3. 练习法。

六、教学过程1. 引入（10分钟）教师先用几道小学的例题，考察学生的知识储备，比如：“如果a>b，b>c，那么a>c吗？”，“a+b+b+c>c+c+a，a+b的大小关系是什么？”，建议让学生互相出题。

2. 讲授（40分钟）(1) 不等关系与不等式- 定义：如果两个数x、y之间存在大小关系，那么我们就称它们之间是一种关系，叫做不等关系。

而$x>y$、$x\geqslanty$等代数形式表示的关系就叫做不等式。

- 内容：不等关系的分类（大于、小于、大于等于、小于等于、等于），不等式的基本性质（两侧都加或减同一个有理数，符号不变；两侧都乘或除同一个正数，符号不变；两侧都乘或除同一个负数，符号不变反）（2）表示不等式的方法- 直观法：把不等式中的数相对数线上表示出来，即可得到不等式的关系。

- 求解法：对于 $a \space \Delta \space b$型的不等式，可以将它化为$a-b\space \Delta \space 0$型的不等式，即将不等式移到一个边上，然后求解。

（3）一元一次不等式的解法- 一元一次不等式：$ax+b\space \Delta \space0(ax+b\geqslant0\text{或} ax+b>0)$- 思路：先将不等式移到一个边上，然后根据系数a的正负以及$b\neq 0$的情况分类讨论解不等式。

北师大版高中数学课本目录大全(必修)

北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。

3.1《不等关系》课件(北师大版必修5)

3.利用不等式的性质判断下列各结论是否成立，并简述理由． a b (1)若 2> 2，则 a>b； c c 1 1 (2)若 a>b，ab≠0，则a<b； (3)a>b，c>d⇒a－c>b－d； 1 1 (4)若 a>b， > ，则 a>0，b<0. a b
解析：
(1)正确．∵c2≠0，∴c2>0.
.
[题后感悟] 用不等式表示实际问题中的不等关系时，应首先读懂题意，设出未知量，寻找不等关系的根源，将不等关系用未知量表示出来，即得到不等式或不等式组，这是应用不等式解决实际问题的最基本的一步．要注意把题中所有不等关系全部列出来．
1.某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7 辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不解析：等式．设每天派出甲型卡车 x 辆，乙型卡车 y 辆，则
(2)若 x＜y＜0，证明：(x ＋y )(x－y)＞(x －y )(x＋y)．
2
2
∵a≥1，∴ a＋1＋ a＞0， a＋ a－1＞0，
(2)证明：∵x＜y＜0，
2 2
又 a－1－ a＋1＜0， ∴x－y＜0，x －y ＞0，x＋y＜0，
∴(x2＋y2)(x－y)＜0，(x2－y2)(x＋y)＜0， x2＋y2x－y x2＋y2 x＋y2－2xy ∵ 2 2 ＝ 2＝ x －y x＋y x＋y x＋y2 2xy ＝1－ 2， x＋y
＞165 ≤35 4．某单位招收员工的条件是“年龄不超过35岁，身高165cm以上”，小李被单位录用，那么，你能用不等式表示出小李的身高S(cm)和年龄N(岁)满足的不等关系吗？ S ，N .

高中数学不等关系教案

高中数学不等关系教案
一、教学内容分析：
不等关系是数学中常见的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等关系。

本课程将介绍不等关系的定义、性质和应用，帮助学生掌握不等关系的相关知识和解题技巧。

二、教学目标：
1. 了解不等关系的定义和表示方法。

2. 掌握不等关系的性质和性质。

3. 能够灵活运用不等关系解决实际问题。

三、教学重点与难点：
重点：不等关系的定义和性质。

难点：不等关系在解决实际问题中的应用。

四、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的案例引导学生了解不等关系的概念，并讨论大于、小于、大于等于、小于等于等关系的表示方法。

2. 讲解：介绍不等关系的定义和性质，包括传递性、反对称性和反对称性等。

3. 练习：让学生做一些简单的不等关系的练习题，加深对不等关系的理解。

4. 拓展：引导学生探讨不等关系在不同领域的应用，如经济学、生活中的消费选择等。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调不等关系的重要性和应用价值。

五、作业布置：
1. 完成课堂练习题。

2. 思考生活中的实际问题，尝试用不等关系来解决。

六、教学反思：
在教学中应该注重引导学生理解不等关系的概念和性质，同时培养他们灵活运用不等关系解决实际问题的能力。

同时，可以通过丰富多样的教学活动，提高学生的学习兴趣和课堂参与度。

数学必修5导学案：3-1 不等关系

第三章不等式本章概述●课程目标1.双基目标（1）通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.（2）会比较两个实数的大小，理解不等式的基本性质.（3）经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.（4）通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.（5）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图.（6）探索并了解基本不等式的证明过程.（7）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（8）从实际情境中抽象出二元一次不等式组.（9）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（10）从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.2.情感目标（1）注重突出不等式的现实背景和实际应用，突出数学的应用价值，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的应用意识与解决实际问题的能力.（2）本章注意体现数学文化价值的渗透，让学生了解数学是人类文化的重要组成部分.（3）借助于信息技术去探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动.●重点难点重点：不等式的解法及应用，基本不等式的应用，线性规划问题.难点：解决线性规划问题和利用基本不等式解决实际问题.●方法探究不等式是刻画现实世界中不等关系的数学工具，它是描述优化问题的一种数学模型.学习本章应注重数形结合，学会通过函数图像理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系，并能解释二元一次不等式和基本不等式的几何意义.在此基础上，体会不等式在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力.学习本章应注意的问题（1）要注意与一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函数、三角等知识的联系，以便对不等式的知识有一个全面、完整的了解与认识.（2）要注意体会二元一次不等式（组）与平面区域的关系，借助几何直观解决简单的线性规划问题.（3）注意对不等式ab≤2ba(a>0,b>0)和a2+b2≥2ab(a∈R,b∈R)的理解、记忆，正确、灵活地使用其解决问题，尤其是在正确的使用上下功夫.（4）本章重点内容是证明不等式和不等式的解法以及简单的线性规划.证明不等式没有固定的模式可以套用，它的方法灵活多变、技巧性强、综合性强，不等式的解法重点是一元二次不等式（组）的解法，注意数轴穿根法.（5）线性规划知识也是重点内容，在近几年高考中也有明显的体现，应引起同学们的注意.§1等关系知能目标解读1.通过具体的情境，感受现实生活中存在的大量不等关系，并了解不等式（组）的实际背景.2.能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小，并掌握不等关系的传递性和不等式的基本性质.重点难点点拨重点：比较两数（或式）的大小，理解不等式的性质及其证明，并能说出每一步推理的理由.难点：对不等式性质的准确把握以及严密的逻辑推理证明能力的培养.学习方法指导一、不等关系1.不等式：我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连结两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式.2.在上述符号中，用“>”、“<”连结的不等式，表示严格的不等关系，是严格不等式；用符号“≥”、“≤”、“≠”连结的不等式，表示非严格的不等关系，是非严格不等式.注意：如何理解表示不等式的各个符号的含义？不等式表示的是不相等的关系.对于“不相等”可以是“大于”或“小于”.对于不等式a≤b，表示的是a<b或a=b，只需满足其中一条，不等式就成立.如3≤3就是3<3或3＝3，尽管3<3不成立，但3＝3成立，因此，我们说3≤3这个不等式成立.对于不等式a≥b，表示的是a>b或a=b，同样也是只需满足其中一条，不等式就成立.对于实数来讲，只存在a=b或a>b或a<b三种关系中的一种，不可能同时满足两条.3.不等关系与不等式的异同不等关系与不等式是不同的概念，前者强调的是关系，可用符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”来表示，而后者表示的是两者的不等关系，可用“a>b”、“a<b”、“a≠b”、“a≥b”或“a≤b”等式子表示，这二者之间的关系是可以通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现.注意：在数学意义上，不等关系主要体现在四个方面：①常量与常量之间的不等关系；②变量与常量之间的不等关系；③函数与函数之间的不等关系；④一组变量之间的不等关系.二、用不等式（组）来表示不等关系有的问题以图像的形式揭示函数与函数的不等关系；有的以代数式的形式揭示各组变量之间的不等关系，解决这类问题的关键是找全题目的限制条件，利用限制条件列出不等关系，一定要注意变量的实际意义.由此可见，现实生活中大量的数量关系是通过不等式来表示的.不等式是研究不等关系的数学工具，从而理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值.三、实数比较大小的依据与方法1.实数的两个特征（1）任意实数的平方不小于0，即a ∈R ⇔a 2≥0.（2）任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数.2.实数比较大小的依据在数轴上不同的点A 与点B 分别表示两个不同的实数a 与b ，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示（如图）中，可以看出a 与b 之间具有以下性质：如果a-b 是正数，那么a >b ；如果a -b 是负数，那么a 0⇔a >b ;a-b =0⇔a=b ;a -b <0⇔a <b .上面等价符号的左式反映的是实数运算性质，右式反映的则是实数大小的顺序，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系.它是不等式这一章的理论基础，是证明不等式性质、证明不等式和解不等式的主要依据.3.实数比较大小的方法（1）比较两个实数a 与b 的大小，需归结为判断它们的差a-b 的符号（注意：指的是差的符号，至于差的值究竟是什么，无关紧要）.（2）比较两个实数大小的步骤：作差→化简整理（配方，分解因式、分类讨论）→判断差的符号→得出结论.注意：（1）在比较两个代数式的大小时，一定要注意字母的取值范围；（2）比较实数的大小经常用到分类讨论的方法，此处分类讨论的标准是：对于任意两个实数 a 和b ，在a=b ， a>b,ab ⇔b<a .(2)a>b,b>c ⇔a>c .(3)a>b ⇔a+c>b+c .推论 a>b,c>d ⇔a+c>b +d .(4)a>b ,c >0⇔ac>bc ;a>b,c <0⇔ac<bc .推论1 a>b >0,c>d >0⇔ac>bd ;推论2 a>b,ab >0⇔a 1<b1; 推论3 a>b >0⇔a n >b n (n ∈N ＋,且n >1).(5)a>b >0⇔n a >n b (n ∈N ＋,且n >1).2.关于不等式性质的式子的理解（1）说明了不等式的对称性；（2）说明了不等式的传递性；（3）表示同向不等式具有可加性，它是不等式移项的基础；（4）表明不等式两边允许用非零数（式）乘，相乘后的不等式的方向取决于乘式的符号.知能自主梳理1.不等式的定义用表示不等关系的式子叫不等式.2.比较实数大小的依据设a,b ∈R ，则a-b >0⇔ ;a-b =0⇔ ;a-b <0⇔ .3.不等式的基本性质(1)a>b,b>c ⇒ ;(2)a>b,c >0⇒ ;(3)a>b,c <0⇒ ;(4)a>b,c>d ⇒ ;(5)a>b >0,c>d >0⇒ ;(6)a>b >0,n ∈N +,n >1⇒ .［答案］ 1.不等号 2.a>b a=b a<b3.(1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc (4)a+c>b+d (5)ac>bd (6)a n >b n , n a >n b思路方法技巧命题方向比较大小［例1］已知x <1,比较x3-1与2x 2-2x 的大小.［分析］作差→因式分解变形→判断符号［解析］ x 3-1-(2x 2-2x )=x 3-2x 2+2x -1=(x 3-x 2)-(x 2-2x +1)=x 2(x -1)-(x -1) 2=(x -1)(x 2-x +1)=(x -1)（x -21）2+43 ∵x <1,∴x -1<0.又∵（x -21）2+43>0, ∴(x -1)［（x -21）2＋43］<0, ∴x 3-1<2x 2-2x .［说明］ 1.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.因式分解配方通分2.变形的方法对数与指数运算性质分母或分子有理化分类讨论〖JB)〗变式应用1设p=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求实数a,b应满足的条件.［解析］P-Q＝a2b2+5-2ab+a2+4a=(ab-1) 2+(a+2)2∵P>Q,∴(ab-1) 2+(a+2) 2>0∴ab≠1或a≠-2.故实数a、b应满足的条件是ab≠1或a≠-2.命题方向应用不等式（组）表示不等关系［例2］某种杂志原以每本2.5元的价格销售，此时可以售出8万本，据市场调查，若单价每本提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后的杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？［分析］利用提价后的价格x表示出销售总收入，再将题中所要求的不等关系用不等式表示.［解析］杂志的定价为x元，则销售的总收入为（8-2.05.2-x×0.2）x万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以用不等式表示为（8-2.05.2-x×0.2）x≥20.［说明］决此类问题的关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件找到不等关系，然后用不等式表示即可.变式应用2咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为9g,4g,3g,乙种饮料一杯用奶粉、咖啡、糖分别为4g，5g，10g，已知每天可用原料为奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.写出每天配制的两种饮料的杯数所满足的不等式组.［解析］每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则x、y应满足如下条件：（1）奶粉的总使用量不大于3600g；（2）咖啡的总使用量不大于2000g；（3）糖的总使用量不大于3000g；（4）x,y为自然数.∴x,y满足不等式组：9x+4y≤3600,4x+5y≤2000,3x+10y≤3000,x∈N,y∈N.命题方向不等式性质的简单应用［例3］对于实数a、b、c，有下列命题①若a＞b,则ac＜bc;②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若aab>b 2;④若c>a>b >0;则a c a ->bc b -; ⑤若a>b , a 1>b1,则a >0,b <0. 其中真命题的个数是（）A.2B.3C.4D.5［答案］ C［解析］ ①c 的正、负或是否为零未知，因而判断ac 与bc 的大小关系缺乏依据，故该命题是假命题.②由ac 2>bc 2知c ≠0,所以c 2>0,所以a>b ,故该命题是真命题.aab, ab >b 2.所以a 2>ab>b 2故该命题为真命题. a <0 b<0④a>b ⇒-a <-b ⇒c-a<c-b .因为c>a ,所以c-a >0.所以0<c-a<c-b .两边同乘以()()b c a c --1,得a c -1>bc -1>0. 又因为a>b >0,所以a c a ->bc b -.故该命题为真命题. ⑤a>b ⇒a-b >0, a 1> b 1⇒a 1－b 1>０⇒aba b ->０.因为a-b >0,所以b-a <0.所以ab <0. 又因为a>b ,所以a >0,b <0,故该命题为真命题.综上可知，命题②、③、④、⑤都是真命题.故选C.［说明］通过本例，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论.在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定.变式应用3判断下列各题的对错.（1）bc a c <且c >0⇒a>b （）（2）a>b 且c>d ⇒ac>bd （）（3）a>b >0且c>d >0⇒c b b a >（）（4）⇒>22cb c a a>b （）［答案］ × × √ √bc a c < ［解析］（1） ⇒a 1０当a <0,b >0时，此式成立，推不出a>b ，∴(1)错；（2）当a =3,b =1,c =-2,d =-3时，命题显然不成立，∴（2）错；a>b>0（3）c>d>0 ⇒d a >c b >0⇒cb d a >成立.∴(3)对；（4）显然c 2>0,∴两边同乘以c 2,得a>b .∴(4)对.探索延拓创新命题方向应用不等式的性质讨论范围［例4］已知：-2π≤α<β≤2π，求2βα+，2βα-的范围. ［分析］已知的不等式相当于-2π≤α≤2π -2π≤β≤2π α<β，故本题其实就是已知单角范围求和角、差角范围，所以要进行不等式的加减.但我们只有这样的性质：同向不等式可相加，那么要进行不等式相减怎么办？那只有将其转化为同向不等式再相加.［解析］ ∵-2π≤α<β≤2π， ∴-2π≤α<2π ①, -2π<β≤2π ②，∴①+②得-π<α+β<π∴-2π<2βα+<2π. 由②得-2π≤-β<2π， ④ ①+④得-π≤α-β<π，又α<β，∴α-β<0，∴-π≤α-β<0，∴-2π≤2βα-<0. 变式应用4已知12<a <60,15<b <36，求a-b 及ba 的取值范围. ［解析］欲求a-b 的范围,应先求-b 的范围,欲求b a 的范围,应先求b 1的范围,再利用不等式性质求解.∵15<b <36,∴-36<-b <-15.∴12-36<a-b <60-15,∴-24<a-b <45. 又361<b 1<151, ∴15603612<<b a , ∴431<<b a . 名师辨误做答［例5］已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a -2b 的范围.［误解］ ∵1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3,∴0≤a ≤4.又∵1≤a+b ≤5,-3≤-(a-b )≤1，∴-1≤b ≤3.∵0≤a ≤4,-1≤b ≤3,∴0≤3a ≤12,-6≤-2b ≤2,∴-6≤3a -2b ≤14.［辨析］在误解中，由已知条件推出不等式-6≤3a -2b ≤14的各个步骤，均实行了不等式性质中的推出关系，但结论是不正确的，事实上，由1≤a+b ≤5与-1≤a-b ≤3,得到0≤a ≤4,-1≤b ≤3,但这并不意味着a 与b 可各自独立地取得区间［0,4］与［-1,3］的一切值.如取a =4,b =3时，a+b =7，就已超出题设条件1≤a+b ≤5中的范围，细究缘由，就是推出关系并非等价关系.［正解］设a+b=u,a-b=v ,则a =2v u +,b=2v u -, 且1≤u ≤5,-1≤v ≤3. ∴3a -2b =21u +25v , ∵21≤2u ≤25，-25≤25v ≤215, ∴-2≤2u +25v ≤10，即-2≤3a -2b ≤10.课堂巩固训练一、选择题1.下列不等式：①x 2+3>2x (x ∈R );②a 3+b 3≥a 2b +ab 2(a,b ∈R );③a 2+b 2≥2（a-b -1）中正确的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］对于①，x 2+3-2x =(x -1) 2+2>0恒成立，对于②，a 3+b 3-a 2b -ab 2=a 2(a-b )+b 2(b-a )=(a-b )(a 2-b 2)=(a-b ) 2(a+b ),∵a 、b ∈R ,∴(a-b ) 2≥0，而a+b >0,或a+b =0,或a+b <0,故②不正确,对于③，a 2+b 2-2a +2b +2=a 2-2a +1+b 2+2b +1=(a -1) 2+(b +1) 2≥0，∴③正确，故选C.2.设x<a <0，则下列各不等式一定成立的是（）A. x 2<ax <a 2B. x 2>ax >a 2C. x 2<a 2<axD. x 2>a 2>ax［答案］ Bx ＜a ＜0 x 2＞ax［解析］ x ＜0 ⇒ ⇒ x 2＞ax ＞a 2.a ＜0 ax ＞a 23.若x>y 与x 1>y1同时成立，则（） A. x >0,y >0 B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <0［答案］ B［解析］ ∵由x ＞y 推出x 1>y 1，需满足xy ＜0.又x ＞y ，∴x ＞0,y ＜0. 二、填空题4.已知x ≤1，f (x )=3x 3,g (x )=3x 2-x +1,则f (x )与g (x )的大小关系是f (x ) g (x ).［答案］ ≤［解析］ f (x )-g (x )=3x 3-(3x 2-x +1) =(3x 3-3x 2)+(x -1)=3x 2(x -1)+(x -1)=(3x 2+1)(x -1),∵x ≤1得x -1≤0，而3x 2+1>0,∴(3x 2+1)(x -1)≤0，∴3x 3≤3x 2-x +1.∴f (x )≤g (x ).5.已知60<x <84,28<y <33,则x-y 的取值范围为，yx 的取值范围为 . ［答案］ (27,56) (1120,3) ［解析］ ∵28<y <33,∴-33<-y <-28,又∵60<x <84,∴27<x-y <56.由28<y <33得2811331<<y , 即31120<<yx . 三、解答题6.有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？［解析］设这个公园原来的长方形布局的长为a ,宽为b (a>b ).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab ;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b )，所以其边长为2b a +,其面积为（2b a +）2.因为ab -（2b a +）2 =ab -()()()04444222<--=+-=+b a b a ab b a (a>b ),所以ab <（2b a +）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.课后强化作业一、选择题1.已知a,b,c,d 均为实数，有下列命题：（）①若ab ＜0,bc-ad ＞0,则0>-bd a c ; ②若ab ＞0, 0>-bd a c ,则bc-ad ＞0; ③若bc-ad ＞0,0>-b d a c ，则ab ＞0. 其中正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3［答案］ C［解析］ ①∵ab ＜0,∴ab 1＜0, 又∵bc-ab ＞0, ∴ab 1·（bc-ad ）＜0即0<-bd a c , ∴①错； ②∵ab ＞0,0>-b d a c , ∴ab (bd a c -)＞0, 即：bc-ab ＞0,∴②正确； ③∵0>-b d a c ,∴abad bc -＞0，又∵bc-ad ＞0,∴ab ＞0,∴③正确.2.已知P ＝112++a a ,Q =a 2-a +1,则P 、Q 的大小关系为（） A.P>Q B.P<QC.P ≤QD.无法确定［答案］ C［解析］ P-Q ＝112++a a -a 2+a -1 =1112223234++---+++---a a a a a a a a a a =()111222224+++-=++--a a a a a a a a , ∵a 2+a +1=(a +21)2+43>0,-a 2(a 2+1)≤0，∴()11222+++-a a a a ≤0， ∴P ≤Q .3.(2011·陕西文，3)设0<a0,即ab >a ,故选B.本题也可通过特殊值法解决，如取a =1,b =4,易知选B.4.若a 、b 是任意实数，且a >b ,则（）A.a 2>b 2B.ab <1 C.lg(a-b )>0 D.(21)a <(21)b ［答案］ D ［解析］ a >b 并不保证a 、b 均为正数，从而不能保证A 、B 成立.又a>b ⇒a-b >0,但不能保证a-b >1,从而不能保证C 成立，显然只有D 成立.事实上，指数函数y =(21)x 在x ∈R 上是减函数，所以a>b ⇒(21)a <(21)b 成立.故选D.5.已知a0C.ab <0D.｜a ｜<｜b ｜［答案］ A［解析］特殊值法：令a =-1,b =0,满足a|b |,排除D ，故选A.6.已知a 2+a <0,那么a,a 2,-a ,-a 2的大小关系是（）A.a 2>a >-a 2>-aB.-a >a 2>-a 2>aC.-a >a 2>a >-a 2D.a 2>-a >a >-a 2［答案］ B［解析］特殊值法：∵a 2+a <0,∴-1<a <0.令a =-21,则a 2=41,-a =21,-a 2=-41，故选B. 一般解法：由a 2+a <0,得0<a 2<-a且a <-a 2<0,故a <-a 2<a 2<-a ,选B.7.如图，在一个面积为200 m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上面叙述的不等关系正确的是（）A.a ＞4bB.(a +4)(b +4)=200a ＞4bC.(a +4)(b +4)=200a ＞4bD.4ab =200［答案］ C8.如果a ＞0,且a ≠1,M =log a （a 3+1），N =log a （a 2+1），那么（）A.M ＞NB.M ＜NC.M=ND.M 、N 的大小无法确定［答案］ A［解析］当a ＞1时a 3+1＞a 2+1，y=log a x 单增，∴log a (a 3+1)＞log a （a 2+1）.当0＜a ＜1时a 3+1＜a 2+1，y =log a x 单减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1),或对a 取值检验.二、填空题9.已知三个不等式：①ab >0;②bc a c ;③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题 .若③成立，则①成立∴②③⇒①；若①成立则③成立，∴①②⇒③. 若③成立即bc ＞ad ,若①成立，则ab ad ab bc >，∴a c ＞bd ∴①③⇒②. 10.如果a>b ，那么下列不等式：①a 3>b 3; ②ba 11<; ③3a >3b ;④lg a >lg b .其中恒成立的是 .［答案］ ①③［解析］ ①a 3-b 3=(a-b )(a 2+b 2+ab )=(a-b )［(a +2b )2+43b 2］>0; ③∵y =3x 是增函数，a >b ，∴3a >3b当a >0,b <0时，②④不成立.11.设m =2a 2+2a +1,n =(a +1) 2,则m 、n 的大小关系是 . ［答案］ m ≥n［解析］ m-n =2a 2+2a +1-(a +1) 2＝a 2≥0.12.设a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0，则p =a b ,q =b a ,r =m a m b ++, s =n b n a ++的大小顺序是 . ［答案］ p ＜r ＜s ＜q［解析］取a =4,b =2，m =3,n =1,则p =21,q =2, r =73,s =35则p ＜r ＜s ＜q （特值探路）. 具体比较如下： p-r =a b -m a m b ++=()()m a a m a b +-＜0，∴p ＜r . ∵a ＞b ＞0,m ＞0,n ＞0∴a+m ＞b+m ＞0.a+n ＞b+n ＞0， ∴ma mb ++＜1, n b n a ++＞1,∴r ＜s . 或r-s =m a m b ++-n b n a ++ =()()()()n b m a n m a b a b +++++-<0. ∴r ＜s .s-q =n b n a ++-b a =()()n b b n a b +-·＜0，∴s ＜q .∴p ＜r ＜s ＜q . 三、解答题13.某城市电信宽带私人用户月收费标准如下表：问某用户每月上网时间在多少小时以内，选择乙方案比较合适？［解析］设用户每月上网时间为x 小时，则选择乙方案为80(0≤x ≤60)y =2(x -60)+80(x >60),由2(x -60)+80≤120,得x ≤80,∴某用户每月上网时间在80小时以内，选择乙方案比较合适.14.(1)已知a>b,e>f,c >0.求证：f-ac<e-bc .(2)若bc-ad ≥0,bd >0.求证：b b a +≤dd c +. ［解析］ (1)∵a>b,c >0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,∵f <e ,∴f -ac <e -bc .(2)∵bc-ad ≥0,∴ad ≤bc ,又∵bc >0,∴b a ≤dc , ∴b a +1≤dc +1, ∴b b a +≤dd c +. 15.已知a 、b 为正实数，试比较ab b a +与a +b 的大小. ［解析］解法一：（ab b a +）－（a +b ）＝（b b a -）-（a a b -）=aa b b b a -+- =()()ab b a b a --=()()ab b a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴a +b >0, ab >0,( a -b )2≥0. ∴()()ab b a b a 2-+≥0，当且仅当a=b 时，等号成立. ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 解法二：∵（ab b a +）2＝ab a b b a 222++, (a +b )2=a+b +2ab , ∴（ab b a +）2-(a +b )2=ab a b b a 222++-(a+b +2ab ) =()abb a ab b a +-+33 ＝()()()abb a ab b ab a b a +-+-+22 =()()abb a b a 2-+. ∵a 、b 为正实数，∴()()abb a b a 2-+≥0， ∴（a b b a +）2≥(a +b )2. 又∵a b b a +>0，a +b >0， ∴ab b a +≥a +b ，当且仅当a=b 时取等号. 16.已知0<a+b <2π,-2π<a-b <3π,求2a 和3a -3b 的取值范围. ［解析］∵0<a+b<2π -2π<a-b<3π, 两式相加得-2π<2a <65π. 设3a -3b =m (a+b )+n (a-b ) =a (m+n )+b (m-n ),则有 m+n =3m-n =-31, 解得m =34,n =35. ∴3a -3b =34 (a+b )+ 35 (a-b ).0<34 (a+b )<32π -65π<35 (a-b )< 95π, 两式相加，得-65π<3a -3b <911π. 故2a ∈(-2π,65π),3a -3b ∈(-65π, 911π).。

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第一章数列
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1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章数列 1.1数列的概念习题1—1 2.1等差数列习题1—2 3.1等比数列习题1—3 习题1—4 复习题一第二章解三角形 1.1正弦定理习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列

高中数学第三章对比不等关系与相等关系的性质异同要点解读素材北师大版必修5

对比不等关系的性质与相等关系性质的异同1.相等关系的第一条性质是“自反性”：即任何一个数量都等于它自身，即a＝a.不等关系“＞”“＜”没有自反性，但不等关系“≠”与“非严格”的不等关系“≥”“≤”具有自反性.2.相等关系的第二条性质是“对称性”：即a＝b的充要条件是b＝a.不等关系“＞”“＜”没有对称性(例如a＞b的充要条件不是b＞a)，但有“反对称性”(例如a＞b 的充要条件是b＜a）；不等关系“≠”与非严格的不等关系“≥”“≤”具有对称性，其中“≥”“≤”显然同时具有反对称性.3.相等关系的第三条性质是“传递性”：即如果a＝b，且b＝c，那么a＝c.不等关系“＞”“＜”与非严格的不等关系“≥”“≤”也有传递性，但不等关系“≠”没有传递性(例如2≠3，且3≠2，但2＝2).4.比较“等式”与“不等式”的异同，如下表：注：不等号是不等式的特性，每次变形都要十分注意不等号的方向.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

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文字表述 1.1～1.4m 符号表示 1.1≤h≤1.4
超过1.4m h＞1.4
不足1.1m h＜1.1
3、如图，y=f(x) 反应了某公司产品的销售收入 y 万元与销售量x t 的函数关系，y=g(x)反应了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系。试问：
﹙1﹚当销售量为多少时，该公司赢利（收入大于成本）； ﹙2﹚当销售量为多少时，该公司亏本（收入小于成本）？
y
y=f(x)
b
o
a
y=g(x)
x
4、某用户计划购买单价分别为60元，70 元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元。根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买2盒，问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
解：设软件数为x,磁盘数为y,据题意可得：
60x 70 y 500

x 3且x N
y 2且y N
抽象概括：
1 常量与常量之间的不等关系。 2 变量与常量之间的不等关系。 3 函数与函数之间的不等关系。 4 一组变量之间的不等关系。
三、知识应用
1. 一杯糖水的质量为b克,其中含a克糖，这时，糖水不够甜，于是又加入m克糖，求：（1）加糖后糖水变甜了吗？（2）如何用不等式来表示这个不等关系？（3）生活中还有其它的例子来表示这一关系吗？
2.有如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来。
a a
b b
结论：图形 1的面积大于图形 2的面积，
1 2
a2

1 2
b2

ab

四、课堂小结
不等关系的分类不等关系的表示方法
五、布置作业
课本 P74 A组第4题，第5题
光阴给我们经验，读书给我们知识. ——奥斯特洛夫斯基
问：如何表示不等关系呢？
初中学过不等式的概念，可以用
a b,a b,a b,a b,a b 等表示。
不等关系用﹥ ﹤ ≥ ≠ ≤表示的式子叫不等式。
注：关于a＞b (a≥b) 或 a＜b (a≤b)的理解 1 、不等式a≥b含义是指 a＞b 或a=b ，即a＞b 或a=b 中，有一个正确，则a≥b。 2、不等式a≤b含义是指 a＜b 或a=b ，即a＜b 或a=b 中，有一个正确，则a≤b。
北师大版必修五第三章第一节
不等关系
一、情境引入
引例1：日常生活中我们经常要比较
长短
轻重
大小
高矮
引例2：一般的人，下半身长x与全身长y的比
x
值 y 在0.57～0.6之间，而芭蕾舞演员在表
例。
0.57 ≈
x y

xm
y m ≈0.618
二、探究新知
看一看,议一议 1、你还记得小孩玩的翘翘板吗？你想
过它的工作原理吗？其实，翘翘板就是靠不断改变两端的重量对比来工作的．
2、随同成人旅行身高1.1～1.4米的儿童，享受半价客票（以下称儿童票），超过1.4米时应买全票，每一成人旅客可免费带一名身高不足 1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。