2010届高中数学知识要点重温26数学归纳法与极限
2010年高考数学重点知识点归纳(word文档物超所值)
<∆∆0=>∆0关于直线对称。
x y =⑦证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。
<-20n a b使得取最大值使得取最小值。
，=，=)ααcos -)2(α-ctg αtg =-)3(απtg tg -、三角函数的图象：的最大值是B x ++)sin(ϕω），（其中00>>ωA A +，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴ωπ2πω2=f ϕω+x ϕ，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心)(2Z k ∈+πB y =）。
k π=三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是⎤⎡+-22ππππk k ，)(Z k ∈⎡2πk1.平面向量知识结构表2.向量的概念①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：a+b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a-b =(x 1-x 2,y 1-y 2)。
其中a =(x 1，y 1),b =(x 2,y 2)。
运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a 。
②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：λa=λ(x,y)=(λx, λy)(1)︱︱=︱︱·︱︱;λa λa λa+λb。
=,OA a )=λ（·），（b a b 2121y y x x +分有向线段AB 所成的比为+=+=222121y y x x ，但不一定有斜率。
（斜率=tgα，α=90 时，无斜率），这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为求此弦所在直线的方程。
该题就要注意，不要漏掉准线方程：，1ex 1122)(ex a x ca e PF -=-=通径，过焦点与长轴垂直的直线与椭圆相交所得弦，其长为22b a中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、1PF轨迹是双曲线。
12222=-b y )0,0(>>b a 122=)0,0(>>b a ； y∈R； 实轴长，虚轴长=2b}a x a x x ≤≥、2c 准线方程：ca x 2±=）图中线段的几何特征：=1AF BF 22.图形：性质：方程：（焦点到准线的距离）；、、、-->=p p px y ),0(,22(p）的焦点F 的弦为AB +p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用。
数学归纳法及极限
龙文教育学科导学案教师: 学生: 年级: 日期: 星期: 时段:学情分析数学归纳法是中学数学证明的一种重要方法，在高考中也经常出现，极限也是重点内容，但是多以填空题形式出现课题数学归纳法数列极限学习目标与考点分析学习目标：1 数学归纳法，等比数列极限学习重点用数学归纳法证明一些题目，会利用等比数列求极限，以及极限的运算法则学习方法讲练说相结合学习内容与过程一、数学归纳法（一）知识概述数学归纳法是证明与正整数n有关的命题的一种方法，应用广泛，且常与不完全归纳法相结合，进行“观察——归纳——猜想——证明”．其广泛性表现在：与正整数n有关的命题可出现在代数、三角或几何中，有等式、不等式或整除问题，也有交点个数，平面、空间分割问题．（二)重难点知识归纳1、数学归纳法如果我们设想：先证明当n取第一个值n0（例如n0=1）时，命题成立，然后假设当n=k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当n=k＋1时命题也成立，那么就证明了这个命题的成立．因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n 取第一个值后面的所有正整数也都成立．这种证明方法叫作数学归纳法．2、数学归纳法的证题步骤数学归纳法是一种用递归方法来证明与正整数有关的命题的重要方法． 利用数学归纳法论证问题分为两步：（1）证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（2）假设n=k(k ∈N *，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立．注意： 1数学归纳法的第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，两个步骤密切相关，缺一不可．步骤（1）是要选取命题中最小的正整数n 0作为起始值进行验证．步骤（2）在推证当n=k ＋1时命题成立的过程中，必须要用到当n=k 时命题成立这个归纳假设，否则推理无效．2在运用数学归纳法证明命题时，对第二步n ＝k ＋1时结论的正确性的证明是整个证明过程中的重难点．我们除了注意利用归纳假设外，还要注意对照结论充分利用其它数学证明方法，如：分析法、综合法、比较法、反证法、数形结合、分类讨论等．也就是说，当我们利用归纳假设后仍不能直接变形推出结论时，可采用上述方法进行证明，以达到目的．二、极限（一）常用数列的极限：（1）当1<q 时，0lim =∞→n n q ；（2）01lim =∞→nn （3）C C n =∞→lim ，（C 为常数） （二）四则运算法则：如果B b A a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，那么 （1）B A b a b a n n n n n n n ±=±=±∞→∞→∞→lim lim )(lim （2）B A b a b a n n n n n n n ⋅=⋅=⋅∞→∞→∞→lim lim )(lim （3）)0(,lim lim lim ≠==∞→∞→∞→B B A b a b a n n n n n n n （三）无穷等比数列的各项的和：把1<q 的无穷等比数列的前n 项和n S 当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项的和，并用符号S 表示，即)01(,11)1(lim lim 11≠<-=--==∞→∞→q q qa q q a S S n n n n 且 三、典型例题剖析例1、利用数学归纳法证明：(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．例2、求证：，(n≥2，n ∈N *)．3计箅: 1132lim 32n n n n n ++→∞-+4求极限： ),(,lim 11+++∞→∈++R b a ba b a n n nn n5将循环小数0.41∙∙化为分数。
高中数学知识点归纳数列与函数的极限
高中数学知识点归纳数列与函数的极限高中数学知识点归纳：数列与函数的极限数列与函数的极限是高中数学中的重要部分，它们涉及到数学分析和数学推理的重要思想。
本文将对数列和函数的极限理论进行归纳总结，以帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、数列的极限数列是由一系列实数按照一定规律排列而成的序列。
在数学中，数列的极限是指随着自变量无限接近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将分别介绍数列的极限的两个重要概念。
1.1 数列的收敛对于数列{an}，如果存在实数a，使得对于任意给定的正数ε（无论多么小），都存在一个正整数N，使得当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}收敛于a，记为lim（n→∞）an = a。
简单来说，数列的极限是指数列中的元素随着序号的增大无限接近一个固定的值。
1.2 数列的发散如果不存在实数a，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正整数N，当n>N时，满足|an - a| < ε，那么称数列{an}发散。
换句话说，发散的数列没有随着序号的增大趋于一个确定的数。
二、函数的极限函数是一种关系：对于给定的自变量值，通过某种规则可以确定唯一的函数值。
函数的极限是指当自变量无线贴近某个值时，函数值的变化趋势。
下面将介绍函数的极限的概念。
2.1 函数在无穷远处的极限对于定义在区间(a, +∞)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在实数M，当x>M时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在无穷远处的极限为L，记为lim（x→+∞）f(x) = L。
2.2 函数在有限点的极限对于定义在区间(a, b)上的函数f(x)，如果存在实数L，对于任意给定的正数ε，存在一个实数δ，当0 < |x - x0| < δ时，满足|f(x) - L| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为L，记为lim（x→x0）f(x) = L。
高中数学知识点归纳极限基础知识
高中数学知识点归纳极限基础知识极限是高中数学中重要的概念之一，它不仅在数学中具有重要的应用价值，也为后续学习更深层次的数学知识打下了基础。
本文将对高中数学中的极限基础知识进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
1. 函数极限函数极限是极限的一种常见形式，描述了函数在某一点趋于无穷或趋于某一特定值时的性质。
在计算函数极限时，可以使用极限的定义、极限的运算法则以及洛必达法则等方法。
2. 数列极限数列极限是极限的另一种形式，它描述了数列中的元素随着自变量趋于无穷或趋于某一特定值时的变化规律。
计算数列极限时，可以使用数列极限的定义、数列极限的性质以及常用的极限运算法则等方法。
3. 极限的性质极限具有一些基本的性质，对于计算和理解极限有着重要的帮助。
其中包括唯一性、局部有界性、保号性、保序性、夹逼准则等。
这些性质在具体的计算中经常被使用，能够简化计算过程，提高效率。
4. 极限的运算法则极限的运算法则是极限计算的重要工具，它包括了函数极限和数列极限的加法、减法、乘法、除法、乘方等基本运算法则。
熟练掌握这些运算法则可以快速准确地计算各种极限，并解决一些复杂的数学问题。
5. 无穷大与无穷小在极限的计算中，会遇到一些无穷大和无穷小的概念。
无穷大是指当自变量趋于无穷时函数值也趋于无穷大的情况，可以用来描述函数的增长趋势；无穷小是指当自变量趋于某一特定值时函数值趋于零的情况，可以用来描述函数在某一点附近的性质。
6. 极限的应用极限在现实世界中有广泛的应用，例如在物理学、工程学、经济学等领域。
通过对极限的研究和运用，人们可以更准确地描述和分析各种变化过程，找出规律并得出结论。
综上所述，高中数学中的极限基础知识包括函数极限、数列极限、极限的性质与运算法则、无穷大与无穷小以及极限的应用等。
掌握这些知识点，不仅可以帮助同学们理解和解决数学问题，还能为后续学习提供良好的基础。
通过不断巩固和实践，相信同学们能够更好地掌握和运用极限知识，取得优异的成绩。
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高中数学知识要点重温(26)数学归纳法、极限知识点分析
高中数学知识要点重温（26）数学归纳法、极限1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n 的命题对于从正自然数n0开始的所有正自然数n 都成立”的问题。
2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。
[举例1]已知n n n n n f 21312111)(+++++++=，则)1(+n f =A ．)(n f +)1(21+n ，B ．)(n f +121+n +)1(21+n ， C ．)(n f -)1(21+n D ．)(n f +121+n -)1(21+n解析：)(n f 是从n+1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即)1(+n f =111111113121+++++++-+++++++n n n n n n n n =)1(21121213121+++++++++n n n n n =)(n f +121+n +)1(21+n -11+n =)(n f +121+n -)1(21+n 故选D 。
[举例2]用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k 时命题成立.即:5k －2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k －2×2 k =5(5k －2k) ＋5×2k －2×2k=5(5k －2k) ＋3×2k[巩固1] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n-<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k －1C. 2kD. 2k＋1[巩固2]用数学归纳法证明命题：(n ＋1) ×(n ＋2) ×…×(n ＋n)=2n ×1×3×…×(2n －1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n0)成立,即当n=n0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p (k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n ≥n0的所有自然数n 都成立。
数列极限数学归纳法知识点总结
数列极限数学归纳法知识点总结数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列有序的数字组成。
数列极限是数列中最重要的概念之一，描述了数列中随着项数增加而逐渐趋近于某个值的性质。
在数列的研究中，数学归纳法也是一种经常被使用的证明方法。
本文将对数列极限和数学归纳法的知识点进行总结。
一、数列极限的定义和性质1. 定义：给定一个数列{an}，当其中的项数n趋近于无穷大时，如果数列的项an也趋近于一个确定的值A，则称数列{an}收敛于A，记作lim(an)=A。
如果数列{an}不存在极限，则称数列{an}发散。
2. 性质：a. 数列极限唯一性：数列的极限值是唯一的，也就是说，如果数列{an}的极限lim(an)存在，则其极限值A是唯一确定的。
b. 夹逼准则：如果数列{an}的每一项都满足a<=an<=b，且lim(a)=lim(b)=L，那么数列{an}的极限lim(an)=L。
c. 有限项数列的极限：一个有限项的数列必定收敛，并且其极限等于最后一项的值。
二、常用的数列极限类型1. 等差数列的极限：对于等差数列{an}，它的公差为d，那么当n趋近于无穷大时，数列{an}的极限为lim(an)=a1，即等差数列的极限等于首项的值。
2. 等比数列的极限：对于等比数列{an}，它的公比为q，那么当|q|<1时，数列{an}的极限为lim(an)=0；当|q|>1时，数列{an}的极限不存在；当q=-1时，数列{an}的极限在-1和1之间取值；当q=1时，数列{an}的极限为1。
3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列是指以0和1开始，从第三项开始，每一项都等于前两项之和的数列。
斐波那契数列的极限是黄金分割比：lim(an/an-1)=1.618...。
三、数学归纳法的应用数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明与自然数有关的命题。
它由归纳基和归纳步两部分组成，具体步骤如下：1. 归纳基：首先证明当n取某个特定值时，命题成立。
高考数学中的数学归纳法和数列极限
高考数学中的数学归纳法和数列极限高考数学是考生们最关注的一门考试科目，其中数学归纳法和数列极限是高考数学中不可忽视的重点内容。
本文将从数学归纳法的基本原理及应用，数列极限的概念、性质和计算方法等多个方面进行分析和探讨，以期对广大高中生的数学学习有所帮助。
一、数学归纳法数学归纳法是高中数学中重要的证明方法。
归纳法的基本思想是证明当$x$满足某种条件时，命题$P(x)$成立，再证明当$x$不满足该条件时，命题$P(x)$依然成立。
下面介绍具体的数学归纳法思想及其应用。
1.1 数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种用自然数的递增法证明表达式的方法。
它的基本思想是先证明当$n=1$时，命题成立，再证明当$n=k$时命题成立，则可以证明当$n=k+1$时也成立。
用公式表示为：如果$P(1)$成立且对于任意正整数$k$，只要$P(k)$成立，就有$P(k+1)$成立，那么对于所有正整数，$P(n)$都成立。
1.2 数学归纳法的应用数学归纳法广泛应用于高中数学中的数列、函数、不等式等问题的证明中，也是高考数学中的常见命题证明方法。
常见的应用如下：(1)证明数列性质：证明数列$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_1$满足某些条件，则$a_n$满足某些性质。
(2)证明不等式：证明某个不等式在正整数范围内成立。
(3)证明等式：证明某个等式在正整数范围内成立。
二、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念之一。
它是计算机科学、物理学、工程学等学科中的基础知识。
下面将从基本概念、性质和计算方法三个方面对数列极限进行分析和探讨。
2.1 基本概念数列极限是数学分析中用来描述数列等无限序列的一种重要概念。
常用的数列有等差数列、等比数列、Fibonacci数列等。
一个数列的极限是指随着$n$无限增大，数列的值逐渐接近某个值，称为这个数列的极限。
用数学符号表示为：$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，表示当$n$趋近于无穷大时，数列$a_n$的极限为$a$。
极限高数知识点总结
极限高数知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数趋于某个趋势或者某个值时的性质的一种方法。
极限的研究对于理解函数的性质、求解微积分的各种问题具有非常重要的意义。
在高等数学中，极限被广泛应用于各个领域，是数学分析的基础和核心之一。
下面我们来系统地总结一下极限的相关知识点。
一、极限概念1.1 函数的极限函数的极限是指当自变量趋于某一值时，因变量的值趋于某一值。
设函数f(x)在点x=a的某一去心邻域内有定义时，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，对应的f(x)都满足|f(x)-A|<ε。
那么称当x趋于a时，f(x)的极限为A，记作lim(f(x))=A，或者x→a时f(x)趋于A。
1.2 无穷大与无穷小当x趋于无穷大时，函数f(x)的极限称为无穷大，记作lim(f(x))=∞。
当x趋于无穷小时，函数f(x)的极限称为无穷小，记作lim(f(x))=0。
1.3 极限运算法则函数极限的运算法则包括加减乘除四则运算法则、乘积的极限法则、商的极限法则等。
二、极限存在性2.1 极限的必要条件与充分条件函数极限存在的充分必要条件是明确的，但是对于不同类型的函数，其极限存在的条件也有所不同。
比如对于无穷大级数，其收敛的充分必要条件为级数通项趋于0。
2.2 极限存在的判定方法判定极限是否存在的方法包括夹逼准则、单调有界法、变量代换法、洛必达法则、泰勒展开法等。
三、极限计算3.1 无穷小量的性质无穷小量有许多性质，包括有限个无穷小的和、积仍是无穷小，无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小，无穷小的高阶无穷小、低阶无穷小、等阶无穷小等。
3.2 无穷大量的性质无穷大量也有一些性质，包括有限个无穷大的和、积仍是无穷大，无穷大的倒数为无穷小等。
3.3 极限的计算方法极限的计算方法包括利用极限的基本性质和极限的等价无穷小、等价无穷大的性质，还有利用洛必达法则或者泰勒展开法则进行计算。
高三数学知识点总结笔记
高三数学知识点总结笔记一、函数与极限1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的取值与对应的因变量值相联系。
2. 函数的表示方法：可以用公式、图形、表格等方式表示函数。
3. 函数的性质：包括定义域、值域、奇偶性、单调性、对称轴等性质。
4. 极限的概念：极限是函数在某一点或无限趋近于某一点时的取值趋势，可以用数列极限和函数极限来表示。
5. 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数、三角函数等运算法则。
二、导数与微分1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的变化率，是函数值关于自变量的变化率的极限。
2. 导数的计算方法：包括基本函数的导数、求导法则、高阶导数等计算方法。
3. 导数的应用：包括切线方程、极值问题、凹凸性、曲线图像等应用。
4. 微分的概念：微分是导数的基本应用，表示函数在某一点附近的近似线性变化。
5. 微分的计算方法：使用微分公式进行计算，可得到近似值。
三、不定积分与定积分1. 不定积分的定义：不定积分是求导运算的逆运算，表示对函数求原函数。
2. 不定积分的基本性质：包括线性性、区间可加性、换元法等性质。
3. 基本积分公式：包括常用函数的原函数公式，如幂函数、三角函数、指数与对数函数等。
4. 定积分的定义：区间上函数值的加总，表示物理问题中的面积、体积、质量等。
5. 定积分的计算方法：包括定积分的性质、积分换元法、分部积分法等计算方法。
四、数列与数学归纳法1. 数列的概念：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以是等差数列、等比数列等。
2. 数列的性质：包括通项公式、前n项和、数列的极限等性质。
3. 数学归纳法：数学归纳法用于证明数学命题在自然数范围内的正确性，包括基本步骤和归纳假设。
五、排列与组合1. 排列的概念：排列是从n个不同元素中选取m个元素进行排列，包括有放回排列和不放回排列。
2. 组合的概念：组合是从n个不同元素中选取m个元素进行组合，次序不重要，包括有放回组合和不放回组合。
高等数学极限知识点总结
高等数学极限知识点总结
以下是高等数学极限知识点总结：
1. 极限的定义：极限是描述函数在某一点的行为的数学工具。
它包括数列的极限和函数的极限。
2. 极限的性质：包括唯一性，有界性，和收敛性。
3. 极限的四则运算法则：如果lim f(x)，lim g(x)存在，那么对于加减乘除四种运算，极限都存在。
4. 极限的夹逼定理：如果一个数列被两个已知极限的数列夹在中间，那么这个数列的极限就是这两个数列的极限。
5. 函数极限的运算法则：如果lim f(x)存在，那么lim [f(x) + c] = lim f(x) + lim c，lim [f(x) c] = lim f(x) lim c，其中c是一个常数。
6. 无穷小和无穷大的概念：无穷小是一个趋于0的变量，无穷大是一个趋于无穷的变量。
7. 洛必达法则：当分子和分母的极限都存在时，可以求出函数的极限。
8. 泰勒级数：将一个函数表示为其各阶导数的无限和的方法。
9. 单侧极限和双侧极限：函数在某一点的单侧极限是指函数在该点的左侧或右侧的极限；双侧极限是指函数在这一点左侧和右侧的极限。
10. 连续性和可微性：如果一个函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称该函数在该点连续；如果一个函数在某一点的导数存在，则称该函数在该点可微。
以上就是高等数学极限的基本知识点，希望对你有所帮助。
数学归纳法高中知识点总结
数学归纳法高中知识点总结数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，它在高中数学中也是一个重点知识点。
在本文中，将对数学归纳法的概念、原理以及具体应用进行总结。
希望通过本文的阐述，能够帮助大家更好地理解和掌握数学归纳法的相关知识。
一、概念和原理数学归纳法是一种用于证明某个命题对于所有自然数都成立的方法。
它的基本思想是：首先证明当n=m时命题成立，然后假设当n=k时命题成立，再证明当n=k+1时命题也成立，从而可以得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
数学归纳法的推理过程分为两步：归纳基础和归纳步骤。
归纳基础是证明当n=m时命题成立，通常情况下令m=1或m=0。
归纳步骤是证明当n=k+1时，命题也成立。
二、具体应用1. 证明数学等式或不等式的成立数学归纳法可以用来证明一些与自然数有关的等式或不等式的成立。
具体的做法是，首先证明当n=m时命题成立，再假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，从而得出结论：对于任意自然数n，命题都成立。
例如，我们要证明1+2+3+...+n = n(n+1)/2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，显然等式两边相等。
然后假设当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳步骤，易知1+2+3+...+(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
因此，通过数学归纳法，我们可以证明该等式对于任意正整数n成立。
2. 证明命题关于自然数集的成立数学归纳法还可以用于证明一些命题关于自然数集的成立。
通常情况下，我们需要在归纳步骤中利用归纳假设来进行推理。
例如，我们要证明命题P(n)：1+3+5+...+(2n-1) = n^2对于任意正整数n成立。
首先当n=1时，命题显然成立。
然后假设当n=k时命题成立，即1+3+5+...+(2k-1) = k^2。
我们需要证明当n=k+1时命题也成立。
根据归纳步骤，易知1+3+5+...+(2(k+1)-1) = (k+1)^2。
高中数学基本知识点汇总(二)
高中数学基本知识点汇总(二)高中数学基本知识点汇总（二）将涵盖以下几个方面：函数与极限、导数与微分、积分学、空间解析几何与向量代数、数列、不等式及数学归纳法、复数等。
一、函数与极限1. 函数的基本概念（1）函数的定义：设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数。
（2）函数的表示方法：解析法、表格法、图象法。
（3）函数的要素：定义域、值域、对应法则。
2. 函数的性质（1）单调性：函数f(x)在区间D上单调递增/递减，当且仅当对于区间D上的任意两个实数x1、x2（x1 < x2），都有f(x1) ≤ f(x2) / f(x1) ≥ f(x2)。
（2）奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) = f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x) = f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
（3）周期性：如果存在一个正数T，使得对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)为周期函数。
3. 函数的极限（1）函数极限的定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论多么小），总存在正数δ，使得当0 < |x x0| < δ时，都有|f(x) A| < ε，那么常数A称为函数f(x)当x趋向于x0时的极限。
（2）函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、四则运算定理、夹逼定理等。
二、导数与微分1. 导数的概念（1）导数的定义：设函数f(x)在点x0处有定义，如果存在常数A，使得当x趋向于x0时，都有[f(x) f(x0)] / (x x0) = A，那么常数A称为函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)。
高中数学函数与极限知识点总结
高中数学函数与极限知识点总结函数是数学中一种非常重要的概念，具有广泛的应用。
在高中数学中，函数与极限是一项重点内容。
本文将对高中数学函数与极限的知识点进行总结和说明。
一、函数的概念及性质函数是一种表达两个变量之间关系的方法，通常用符号f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是函数值或因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
定义域是指在函数中自变量的取值范围，值域是函数在定义域上的取值范围。
单调性用来描述函数在定义域上的增减特点，可以分为增函数和减函数。
奇偶性是指函数的对称性，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
二、常见函数1. 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数，a为斜率，b为截距。
一次函数的图像为直线，表示比例关系。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，a不为0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负决定。
3. 指数函数：y=a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像为曲线，呈指数增长或指数衰减。
4. 对数函数：y=loga(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像为曲线，与指数函数相反，呈对数增长或对数衰减。
5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三角函数的图像为曲线，具有周期性。
三、函数的性质与变化1. 定义域：函数的定义域是自变量的取值范围，通常由函数的表达式决定。
2. 增减性：函数的增减性描述了函数值随自变量变化的趋势。
增函数在定义域上递增，减函数在定义域上递减。
3. 最值与极值：函数在定义域上的最大值或最小值称为最值，函数的极大值或极小值称为极值。
4. 对称性：函数的对称性包括关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称。
四、极限的概念与计算极限是函数与自变量无限接近某一值时，函数值趋于的稳定值。
常用的极限计算方法包括代入法、夹逼准则和无穷小量等。
1. 代入法：对于绝大多数函数，可以通过代入变量的值进行计算，得出极限值。
数学极限思想总结高中
数学极限思想总结高中数学极限思想总结数学极限是数学分析中一个重要的概念，也是高中数学中的一个重要内容。
通过对数列、函数的极限研究，数学家们逐渐发展出了一套严谨的、完整的极限思想体系。
下面将总结数学极限思想的主要内容。
首先是极限的定义和性质。
极限这一概念最早由柯西提出，随后由魏尔斯特拉斯和康托尔等人进一步发展和完善。
数学极限的定义是：对于数列来说，如果数列中的元素无论多么接近某个数值，总有一个位置后的元素与该数值的距离小于任意一个正数；对于函数来说，如果函数在某一点附近的取值可以任意地接近某一特定的值，那么这个特定值就被称为该函数在该点的极限。
根据极限的定义，我们可以得到一系列的性质，如极限的唯一性、有界性、保序性等。
这些性质是数学极限思想的基础。
其次是数列的极限。
数列的极限是高中数学中的重点内容。
数列的极限通过对数列的趋势进行研究，可以帮助我们理解数列的发散、收敛等特性。
通过数列的极限，我们可以推导出一些重要的结论，如单调有界数列的收敛定理、柯西收敛准则等。
通过对数列的极限的研究，我们可以更好地理解无穷大与无穷小的概念，并且应用到其他数学分支中，如微积分、数值计算等领域。
再次是函数的极限。
函数的极限是高中数学课程中的另一个重点内容。
通过对函数的极限的研究，我们可以理解函数在某一点的局部特性，如连续性、可导性等。
函数的极限可以通过极限的代数运算性质进行计算，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限等。
函数的极限还可以帮助我们理解函数的图像，如图像的拐点、渐近线等特性。
通过函数的极限，我们可以推导出一些重要的结论，如洛必达法则、泰勒展开等。
最后是极限的应用。
数学极限既有鲜明的理论性，也有重要的实际应用价值。
极限的应用可以帮助我们解决一些实际问题，如求解极限问题、计算定积分等。
通过极限的应用，我们可以理解一些物理、生物等领域中的现象，如速度的极限、微生物的增长极限等。
极限的应用还可以帮助我们进行数值计算，如牛顿迭代法、龙贝格积分法等。
高中数学知识点全总结
高中数学知识点全总结高中数学是学生进一步认识和掌握数学知识的阶段，它是学生数学学习的重要阶段，也是基础阶段。
高中数学主要包括数学分析、数学代数、数学几何等内容。
下面将从各个知识点逐一进行总结。
一、数学分析1.函数函数是数学分析中的基本概念。
它描述了两个集合之间的关系。
在高中数学中，学生学习了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种类型的函数。
学生需要掌握这些函数的定义、图像、性质、变化规律等知识。
2.极限极限是数学分析中的另一个重要概念。
它描述了函数在某个点附近的变化情况。
学生在学习极限时，需要掌握极限的定义、性质、计算方法等知识，并能够应用极限进行问题的求解。
3.导数和微分导数和微分是数学分析中的重要内容。
它们描述了函数的变化率和变化趋势。
学生在学习导数和微分时，需要了解导数和微分的定义、性质、计算方法等知识，并能够应用导数和微分进行函数的优化问题求解。
4.积分积分是数学分析中的重要概念。
它描述了函数在某个区间内的总体变化情况。
学生在学习积分时，需要了解积分的定义、性质、计算方法等知识，并能够应用积分进行曲线下面积、物理问题等求解。
5.级数级数是数学分析中的重要内容。
它描述了无穷多项相加的和的概念。
学生在学习级数时，需要了解级数的定义、性质、收敛性、计算方法等知识，并能够应用级数进行问题的求解。
二、数学代数1.函数函数是数学代数中的基本概念。
它描述了一个或多个变量之间的关系。
在高中数学中，学生学习了多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数等各种类型的函数。
学生需要掌握这些函数的定义、性质、运算法则等知识。
2.方程方程是数学代数中的重要内容。
它描述了等式两边的关系。
学生在学习方程时，需要掌握一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、二元二次方程组等各种类型的方程，并能够应用方程进行问题的求解。
3.不等式不等式是数学代数中的重要内容。
它描述了不等式的大小关系。
学生在学习不等式时，需要掌握一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式组、二元二次不等式组等各种类型的不等式，并能够应用不等式进行问题的求解。
高二数学归纳法和极限
一、数学归纳法数学归纳法是证明“与正整数n 有关的数学命题”的一种有效的推理方法，它的步骤是：(1) 证明当n 取第一个值时，该命题成立(2) 假设当()*n k k N =∈时，该命题成立，证明当1n k =+时该命题也成立在完成上面两个步骤之后，可以推断这个命题对于所有满足条件的n 都成立例1：用数学归纳法证明()()()1122334...1123n n n n n ⨯+⨯+⨯++⨯+=++例2：用数学归纳法证明2)1()1()1(43211212222+-=-++-+---n n n n n例3：已知数列{}n a 中，1131,23n n n a a a a +==+ (1) 求234,,a a a(2) 猜测n a 的表达式；(3) 用数学归纳法证明n a 的表达式例4：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211,2n n a S n a ==， (1) 求234,,a a a ，猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明；(2) 求数列{}n a 的前n 项和n S例5：已知数列{}n a 满足*2,n n S n a n N =-∈，计算1234,,,a a a a ，猜测数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明例6：用数学归纳法证明21243n n +++能被13整除，其中*n N ∈例7：用数学归纳法证明*)(,98322N n n n ∈--+能被64整除例8：某个命题与正整数n 有关，如果当n=k(k ∈N*)时该命题成立，那么可以推得当n=k+1时该命题也成立，现在为了推得n=9时该命题不成立，只需（ ）A ．n=8时该命题不成立 B. n=8时该命题成立C.n=10时该命题不成立 D n=10时该命题成立.例9：用数学归纳法证明2+3+4+…+n=2)2)(1(+-n n 时，第一步取n= 验证； 例10：若*)(,21312111N n n n n n a n ∈+++++++= 则k k a a =+1+_____ ； 例11：用数学归纳法证明1+)1*,(,11212≠∈--=+++++a N n aa a a a n n 的过程中，在验证n=1成立时左边的式子为_____________________；二、数列的极限1. 三个最基本的极限1lim ,lim 0,lim 0,1n n n n C C q q n →∞→∞→∞===< 这三个最基本的极限是求复杂数列极限的基础和化归方向。
高中求极限的方法总结
高中求极限的方法总结在高中数学学习中，求极限是一个非常重要的知识点，也是学生们普遍感到困难的部分。
在这篇文档中，我将总结一些高中求极限的方法，希望能够帮助到有需要的同学们。
首先，我们来谈谈求极限的基本概念。
在数学中，极限是一个重要的概念，它描述的是一个函数在某一点附近的表现。
当自变量趋于某一特定值时，函数的取值会趋于一个确定的值，这个确定的值就是极限。
在高中数学学习中，我们通常会接触到一些基本的求极限的方法，比如利用代数运算、利用夹逼定理、利用洛必达法则等等。
其次，让我们来看看利用代数运算求极限的方法。
当我们遇到一些函数在某一点的极限时，我们可以尝试利用代数运算来简化函数，然后再求极限。
比如，我们可以利用因式分解、有理化、有理函数的分解等代数运算来化简函数，然后再求极限。
这种方法在一些简单的极限求解中非常有效。
除了代数运算，夹逼定理也是一个常用的求极限方法。
夹逼定理是利用一个中间函数夹住要求极限的函数，通过比较中间函数和要求极限的函数的大小关系来求得极限的方法。
这种方法常常用于求解一些复杂的极限，特别是当我们无法直接通过代数运算求得极限时，夹逼定理可以成为一个很好的选择。
此外，洛必达法则也是一个常用的求极限方法。
当我们遇到一些不定型的极限时，可以尝试利用洛必达法则来求解。
洛必达法则告诉我们，当我们遇到0/0或者∞/∞的形式时，可以尝试对函数求导，然后再求极限。
这种方法在处理一些特殊的不定型极限时非常有效。
综上所述，高中求极限的方法包括利用代数运算、夹逼定理、洛必达法则等多种方法。
在实际的学习中，我们可以根据具体的题目特点来选择合适的方法来求解极限。
同时，多做练习、多总结方法也是提高求极限能力的重要途径。
希望这些方法能够帮助到正在学习求极限的同学们，让大家能够更加轻松地掌握这一知识点。
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2010届高中数学知识要点重温26数学归纳法与极限1．数学归纳法用于证明一个“关于正自然数n 的命题对于从正自然数n 0开始的所有正自然数n 都成立”的问题。
2．能根据f(k)正确写出f(k+1),并能指出f(k)与f(k+1)之间的关系，这往往是运用数学归纳法的最关键的一步。
[举例1]已知nn n n n f 21312111)(+++++++= ，则)1(+n f = A ．)(n f +)1(21+n ， B ．)(n f +121+n +)1(21+n ，For personal use only in study and research; not for commercial useC ．)(n f -)1(21+n D ．)(n f +121+n -)1(21+n解析：)(n f 是从n+1开始的n 个连续自然数的倒数和，故)1(+n f 是从n+2开始的n+1个连续自然数的倒数和，即 )1(+n f =111111113121+++++++-+++++++n n n n n n n n For personal use only in study and research; not for commercial use =)1(21121213121+++++++++n n n n n =)(n f +121+n +)1(21+n -11+n =)(n f +121+n -)1(21+n 故选D 。
[举例2]用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，n=k+1时，为了使用归纳假设，应将5k+1－2k+1变形为 [解析]假设n=k 时命题成立.即:5k －2k 被3整除.当n=k+1时，5k+1－2 k+1 =5×5k －2×2 k =5(5k －2k ) ＋5×2k －2×2k =5(5k －2k ) ＋3×2k [巩固1] 用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋121n -<n (n>1)时，由n ＝k (k>1)不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2k -1B. 2k－1 C. 2kD. 2k＋1[巩固2]用数学归纳法证明命题：(n ＋1) ×(n ＋2) ×…×(n ＋n)=2n ×1×3×…×(2n －1)3．数学归纳法公理：如果关于自然数n 的一个命题p(n)满足下列条件 (1) p(n 0)成立,即当n =n 0时,命题成立，(2) 假设p(k)成立,则p (k+1)也成立；根据(1)(2)知命题p(n)对n ≥n 0的所有自然数n 都成立。
用数学归纳法证明问题的过程实质上是一个递推的过程，（1）是递推的基础，（2）是递推的条件；二者缺一不可。
4．数学归纳法通常用于证明关于自然数n 的等式、不等式、整除性等。
用“归纳假设”即命题p(k)成立证明命题 p(k+1)成立（已知p(k)成立，求证p(k+1)成立）是数学归纳法证明中最关键的一步；而明晰命题p(k)与命题 p(k+1)之间的关系又是实现这一步的前提。
[举例1] 已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1mx mx ++≥； 解析：视(1)1mx mx ++≥为关于m 的不等式，x 为参数，以下用数学归纳法证明： （ⅰ）当1m =时，原不等式成立；当2m =时，左边212x x =++，右边12x =+， 因为20x≥，所以左边≥右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当m k =时，不等式成立，即(1)1kx kx ++≥，则当1m k =+时，1x >-∵，10x +>∴，于是在不等式(1)1k x kx ++≥两边同乘以1x +得2(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)k x x kx x k x kx k x ++++=+++++·≥≥，所以1(1)1(1)k x k x ++++≥．即当1m k =+时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m ，不等式都成立．[举例2]设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何*n ∈N ，有11111122111n n n n a a a a n n ++++<<+-+；（1）求1a ，3a ；（2）求数列{}n a 的通项n a ．（07高考江西理22）解析：（1）据条件得1111112(1)2n n n n n n a a a a ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭① 当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． 当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =． （2）由11a =，24a =，39a =，猜想：2n a n =．下面用数学归纳法证明．1当1n =，2时，由（1）知2n a n =均成立； 2假设(2)n k k =≥成立，则2k a k =，则1n k =+时由①得221111112(1)2k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭2212(1)(1)11k k k k k k a k k k +++-⇒<<-+- 22212(1)1(1)(1)11k k k a k k k ++⇒+-<<+++-因为2k ≥时，22(1)(1)(1)(2)0k k k k k +-+=+-≥，所以(]22(1)011k k +∈+，． 11k -≥，所以(]1011k ∈-，．又1k a +∈*N ，所以221(1)(1)k k a k +++≤≤． 故21(1)k a k +=+，即1n k =+时，2n a n =成立．由1，2知，对任意n ∈*N ，2n a n =．[巩固1]已知数列811322··，225328⋅⋅，…，8212122··n n n ()()-+，…；S n 为其前n 项和，求S 1、S 2、S 3、S 4，推测S n ，并用数学归纳法证明。
[巩固2] 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2n n n S a a =++，n ∈N ．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 满足(21)1n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：231log (3)n n T a n ->+∈N ， （07高考重庆理21）5．若)(c f 存在，则)(lim x f cx →=)(c f ，若)(c f =)(c g =0，则)()(limx g x f cx →一般“约分”（约去含c x -的因式）后再求极限。
若)(lim x f cx →=A 、cx →lim )(x g =B ，则cx →lim [()f x ±)(x g ]= A ±B,cx →lim [()f x )(x g ]=AB, cx →lim)()(x g x f =BA(B ≠0). [举例] =⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→11212lim 21x x x x x .（07高考陕西理13）解析：112122---++x x x x =)1)(2(1-+-x x x =21+x ， ∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛---++→11212lim 21x x x x x 1lim→x 21+x =13 [巩固1] 下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D ．112x =→ （07高考湖南理7） [巩固2] 2241lim()42x x x→--=-+________ 6．若|q |<1,则∞→n lim n q =0；q =1，则∞→n l im n q =1；若q >1或q ≤-1, 则∞→n lim nq 不存在。
∞→n lim c=c (c 为常数)；“∞c ”型的式子极限为0；“0c ”型、“c ∞”型的极限不存在；“00”型和“∞∞”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。
若∞→n lim n a =A 、∞→n lim n b =B ，则 ∞→n lim (n a ±n b )= A ±B, ∞→n lim (n a n b )=AB,∞→n lim nn b a =B A(B ≠0). [举例1]若1,n a ==则常数 .解析：分母有理化11)1212n n naaa→∞===⨯=⇒=[举例2]已知p和q是两个不相等的正整数，且2q≥，则111lim111pqnnn∞⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+-⎪⎝⎭→（）A．0 B．1 C．pqD．11pq--（07高考湖北理5）解析：111lim111pqnnn∞⎛⎫+-⎪⎝⎭=⎛⎫+-⎪⎝⎭→1111111111lim2222-+++⋅+-+++⋅+∞→qqqqppppnnCnCnqnCnCnp=qqqqppppnnCnCnqnCnCnp111111lim2222+++⋅+++⋅∞→=12321232111111lim--∞→++++++++qqqqqpppppnnCnCnCqnCnCnCp=pq，选C。
[巩固1]把21(1)(1)(1)nx x x+++++++展开成关于x的多项式，其各项系数和为na，则21lim1nnnaa∞-+→等于（）A．14B．12C．1D．2[巩固2]. n→∞lim12n(n2+1－n2－1)等于( )A. 1B.12 C.14 D.0[迁移]设正数a b，满足22lim()4xx ax b→+-=，则111lim2n nn nna aba b+--→∞+=+（）Ａ．0Ｂ．14Ｃ．12Ｄ．1（07高考重庆理8）7．无穷数列{na}的前n项和为S n，nnS∞→lim称为数列{na}的无穷多项和或所有项和。