2021版新高考数学一轮复习第四章4.3三角恒等变换课件新人教B版

第三节ꢀ三角恒等变换内容索引【教材·知识梳理】1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos αcos β+sin αsin β(α-β)C：cos(α-β)=__________________________.ꢀcos αcos β-sin αsin β(α+β)C：cos(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β+cos αsin β(α+β)S：sin(α+β)=__________________________.ꢀsin αcos β-cos αsin β(α-β)S：sin(α-β)=__________________________.ꢀT：tan(α+β)=____________(α，β，α+β≠+kπ，k∈Z). (α+β)：tan(α-β)=____________ (α，β，α-β≠+kπ，k∈Z). T(α-β)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式2sin αcos αS：sin 2α= ______________.ꢀ2αcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α2αC：cos 2α=____________ = _________ =_________.：tan 2α=__________.T2α【常用结论】1.一组重要关系2.四个必备结论(1)降幂公式：cos2α=，sin2α=.(2)升幂公式：1+cos 2α=2cos2α，1-cos 2α=2sin2α.(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)1+sin 2α=(sin α+cos α)2，1-sin 2α=(sin α-cos α)2，sin α±cos α=.(4)辅助角公式：asin x+bcos x=sin(x+φ)【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(ꢀꢀ)(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.(ꢀꢀ)(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β) (1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.(ꢀꢀ)(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.(ꢀꢀ)提示:(1)√.(2)√.(3)×.变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ(k∈Z).(4)√.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T212忽视角的范围导致符号错误不知道化简方向考点二、角度13不能准确建立数学模型考点三、T1【教材·基础自测】1.(必修4P138练习AT2改编)sin20°cos10°-cos160°sin10°=(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选D.sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°) =sin30°=.2.(必修4P136例1改编)若cosα=,α是第三象限的角,则sin等于(ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选C.因为α是第三象限的角,所以所以3.(必修4P144 练习AT2改编)已知sinα-cosα=,则sin2α= (ꢀꢀ)A. B. C. D.【解析】选A.sin2α=2sinαcosα==.4.(必修4P144练习BT1(4)改编)=.【解析】答案:考点一ꢀ三角函数式的化简求值【题组练透】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(ꢀꢀ)2.计算:3.化简:=________.ꢀ=________.世纪金榜导学号ꢀ【解析】1.选B.由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,结合sin2α+cos2α=1,解得sin α=.2.答案:3.原式==1.答案:1【规律方法】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2.三角函数式化简的方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.【一题多解】倍角降次解T3,原式==1.三角形法解T1,因为α∈,所以sin α>0,cos α>0,由2sin 2α=cos 2α+1得4sin αcos α=2cos2α,即2sin α=cos α,tan α=,画直角三角形如图,不妨设角α对边为1,邻边为2,则斜边为,sin α=.考点二ꢀ条件求值问题命题考什么:(1)给角求值,给值求值,给值求角等.精解(2)考查逻辑推理,数学运算等核心素养,以及转化与化归的思想.读怎么考:诱导公式与三角函数性质结合考查求三角函数值,角的值等.条件求值的四个必备结论(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.学霸好方法(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.(3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).(4)辅助角公式:asin x+bcos x=（其中sin φ=,cos φ=sin(x+φ)）【命题角度1】给角求值【典例】(2019·沈阳四校联考)化简:=________.ꢀ【解析】=4.答案:4【解后反思】给角求值如何求解?提示:(1)观察角,分析角之间的差异,巧用诱导公式或拆分.(2)观察名,尽可能使函数统一名称.(3)观察结构,利用公式,整体化简.【命题角度2】给值求值【典例】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________.ꢀ2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan,则tan α=________.ꢀ【解析】1.由sin α+cos β=1与cos α+sin β=0分别平方相加得sin2α+2sin αcos β+cos2β+cos2α+2cos αsin β+sin2β=1,即2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,所以sin(α+β)=.答案:2.因为tan=tan所以,解得tan α=.答案:【解后反思】给值求值问题如何求解?提示:(1)化简所求式子.(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.【命题角度3】给值求角【典例】(2020·长春模拟)已知sin α=,sin(α-β)=,α,β均为锐角,则角β值是________.世纪金榜导学号【解析】因为α,β均为锐角,所以<α-β<.又sin(α-β)=,所以cos(α-β)=.又sin α=,所以cos α=,sin β=sin[α-(α-β)] =sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=,所以β=.答案:【解后反思】如何选取合适的三角函数求角?提示:(1)已知正切函数值,选正切函数.(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数.若角的范围是,选正、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为,选正弦函数较好.(3)由角的范围,结合所求三角函数值写出要求的角.【题组通关】【变式巩固·练】1.化简:=________.【解析】原式=答案:2.(2019·福州模拟)已知A,B均为钝角,,则A+B=()且sin B=【解析】选C.因为所以即sin A=,解得sin A=.因为A为钝角,所以cos A=为钝角,得cos B=-sin Asin B=由sin B=,且B 所以cos(A+B)=cos Acos B 又A,B都为钝角,即A,B∈,所以A+B∈(π,2π),所以A+B=.3.(2020·佛山模拟)已知cos α=,α∈(-π,0),则cos=()【解析】选A.因为cos α=,α∈(-π,0),所以sin α=所以cos=cos αcos+sin αsin【综合创新·练】1.(2019·贵阳模拟)sin415°-cos415°=()【解析】选D.sin415°-cos415°=(sin215°-cos215°)(sin215°+cos215°) =sin215°-cos215°=-cos 30°=.2.定义运算=ad-bc.若cos α=,=,0<β<α<,则β=________.【解析】由已知得sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)=.又0<β<α<,所以0<α-β<,所以cos(α-β)=,而cos α=,所以sin α=,于是sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-,所以β=.cos αsin(α-β)=答案:考点三三角恒等变换的综合应用【典例】1.如图,在矩形OABC中,AB=1,OA=2,以B为圆心,BA为半径在矩形内部作弧,点P是弧上一动点,PM⊥OA,垂足为M,PN⊥OC,垂足为N,求四边形OMPN的周长的最小值.世纪金榜导学号【解析】连接BP,设∠CBP=α,其中0≤α<,则PM=1-sin α,PN=2-cos α,则周长C=6-2(sin α+cos α)=6-,因为0≤α<,所以故当α+,即α=时,周长C有最小值6-2.2.(2019·浙江高考)设函数f(x)=sin x,x∈R.(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值.(2)求函数y=的值域.【解题导思】序号联想解题(1)看到“f(x+θ)是偶函数”,想到偶函数的性质,即f(-x+θ)=f(x+θ)看到“求函数y= y=的值域”,想到先化简(2)【解析】(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,故2sin xcos θ=0,所以cos θ=0.又θ∈[0,2π),因此θ=或.(2)y=因此,函数的值域是.【规律方法】1.三角函数应用题的处理方法(1)结合具体图形引进角为参数,利用三角函数的有关公式进行化简,解决最优化问题.(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样,先建模,再讨论变量的范围,最后得出结论并回答问题.2.三角恒等变换在研究三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题:先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)+b的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题:求函数周期、最值、单调区间的方法步骤①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b的形式;②利用公式T=(ω>0)求周期;。