春季五年制小学奥数四年级奇数与偶数(上)

奇数与偶数（上）

一、奇数和偶数的定义

整数可以分成奇数和偶数两大类。

能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

通常偶数可以用2k(k为整数)表示，奇数则可以用2k＋1(k为整数)表示。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

二、奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数

性质2：偶数±奇数＝奇数

加减法中考虑奇数的个数：

性质3：偶数个奇数的和或差是偶数

性质4：奇数个奇数的和或差是奇数

性质5：偶数×奇数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数×偶数＝偶数

乘法中考虑有无偶数

三、奇偶性的推论

推论1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。

推论2：对于任意2个整数a，b，有a＋b与a－b同奇或同偶

部分一、奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质

例1

是否存在自然数a和b，使得ab(a＋b)＝115？

例2

有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数。求这四个数。

例3

数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列规律是前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2009个数中共有几个偶数？

在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a＝5＋3＝8。问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多？

甲、乙两个哲人将正整数5至11分别写在7张卡片上。他们将卡片背面朝上，任意混合之后，甲取走三张，乙取走两张。剩下的两张卡片，他们谁也没看，就放到麻袋里去了。甲认真研究了自己手中的三张卡片之后，对乙说：“我知道你的两张卡片上的数的和是偶数。”试问：甲手中的三张卡片上都写了哪些数？答案是否唯一。

9999和99！能否表示成为99个连续的奇自然数之和？

测试题

1．是否存在自然数a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

2．一个偶数分别与其相邻的两个偶数相乘，所得的两个乘积相差80，那么这三个偶数的和是多少？3．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是前两个数是1，从第三个数开始，每一个数都是它前两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列前2012个数中共有几个偶数？

4．甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片．乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数？”当甲说出例5

例6

例4

和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中．你能说出是什么道理吗？

5．如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：5315a =⨯=．问填入的81个数

中是奇数多还是偶数多？

a 1

2345678

9987

6

5

4

3

2

1

6．在黑板上写1～2007这2007个自然数，每次任意擦去两个数，然后写上它们的和或差，一直这样重

复操作，经过若干次后黑板上只剩下一个数，请问结果是奇数还是偶数？为什么？

答案

1．不存在。可以分情况来讨论：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比较繁琐，可以根据

45327是一个奇数，只有奇数乘以奇数才能得到，所以a-b 、b-c 、a-c 都为奇数，再根据奇偶性进行判断。

2．由定义知道，相邻两个偶数相差2，那么80恰好是原偶数的4倍，即原来的偶数是20。而由题意知

道原来的三个偶数分别18,20,22，它们的和是60。

3．三个一组三个一组看，可以发现奇数，偶数交替变化的规律．可以发现有奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇奇

偶…这样的变化规律，因为201236702÷=，所以前2012个数有670个偶数。

4．甲的两张纸片，23是奇数，32是偶数．因此，只要能判断出甲的左手中握的是奇数，即可知左手的

是23。设甲左手握的数为a ，右手握的数为b ，乙同学请甲计算所得结果为c ，则32a b c ⨯+⨯=。⑴ 若c 为奇数，则3a ⨯为奇数，所以左手握的数a 是奇数。⑵ 若c 为偶数，则3a ⨯为偶数，所以左手握的数a 是偶数。因此，从c 的奇偶性就可以断定左手握的数a 的奇偶性，从而确定左手握的数是23还是32。在本题中，c 为奇数，因此合于第(1)种情况，a 是奇数，即左手中握的是23。

5．奇数行奇数多1个，偶数行全是偶数，显然偶数多。

6．奇数±奇数=偶数 擦去两个奇数写上一个偶数不改变结果的奇偶性

偶数±偶数=偶数 擦去两个偶数写上一个偶数不改变结果的奇偶性

奇数±偶数=奇数 擦去一个奇数一个偶数写上一个奇数相当于只擦去一个偶数还是不改变结果的奇偶性，在1-2007中有1004个奇数，每次都是成对的擦去奇数，所以最后只剩下一个数是偶数。