九年级数学上册273反比例函数的应用《反比例函数》知识总结及考点分析素材冀教版!
九年级数学上册27.3反比例函数的应用聚焦反比例函数新题型素材冀教版(new)
聚焦反比例函数新题型反比例函数是初中数学的基础知识，也是历年各地中考的热点问题之一。
近年来,命题者力举创新，设计出许多清新优美、题型新课程理念的创新型试题，现举例如下。
一、结论开放型例1、请你写出一个函数关系式，使它满足下列条件:(1）在第二、第四象限的每一个象限内y 随x 的增大而增大；（2）函数图象在第二、第四象限(3）由图象上一点向x 轴、y 轴作垂线，所得矩形的面积为3。
这个函数的解析式为______________________分析：这是一个结论开放型问题，由三个性质特别是第三个性质知这应是反比例函数特有的性质,在函数图象上任取一点（x 、y ），则3xy k ==，又因为函数图象在在第二、第四象限，所以0k ＜ 解：3y x =-点评：由于开放型试题答案的多样性和多层性,因此对训练同学们三位的灵活性和广阔性方面有较高的价值.本题着重考查学生的逆向思维能力和发散思维能力。
二、判断说理型例2、如图，Rt ABO ∆的顶点A （a ，b ）是一次函数y x m =+的图象与反比例函数k y x=的图象在第一象限的交点，且3ABO S ∆=x（1）根据这些条件你能求出反比例函数的关系式吗?如果能，请你求出来;如果不能，请你说明理由；（2）能求出一次函数的关系式吗？分析：（1）根据A 在k y x =的图象上，且3ABO S ∆=,可求得32k =，所以6k =，从而确定反比例函数关系式（2）要确定y x m =+的关系式,需要知道A 点的坐标，但点A 无论在反比例函数图象的哪个位置，均能保证3ABO S ∆=，所以A 点不确定,即一次函数关系式不确定。
解：（1）∵A 在ky x=的图象上，且3ABO S ∆=，∴32k =，∴6k =，∵0k ＞，∴6k =，∴反比例函数的解析式为6y x = （2）不能求出一次函数的关系式,A 点的坐标不能唯一确定.点评:这是一道判断说理型开放题，待定系数法求一次函数、反比例函数关系式应是我们掌握的重点，同时求反比例函数关系式的方法有多种，要灵活运用。
【冀教数学学九年级(河北)273 反比例函数的应用
可知，学生的注意力指标y随时间x（分钟）的变化规律如图
所示（AB，BC为线段，CD为双曲线的一部分）
问题：一道数学竞赛题，需要讲19分
钟，为了效果较好，要求学生注意力指 标最低达到36，老师能否在学生注意力
y
40 B C
20 A
D
达到所需的状态下讲完这道题？
O 10 25 x
感知生活中的反比例
解：设AB的表达式为y=ax+b
ρ=1.98 kg/m3.则： （1）ρ与V的函数解析式为__ρ_=__9V_._9_（__V_>_0_）_____; （2）当V=9 m3时，二氧化碳的密度ρ=__1_.1__k_g_/_m_3___.
因此，画函数图像时，只能画第一象
限中
9 t 3 22 4
这一段.
感知生活中的反比例
例.某种气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气
球内气体的气压P(千帕）是气球体积V(立方米）的反比例 函数，其图像如图所示.
P
A(1.6,60) 60
O 1.6 V
感知生活中的反比例
1.先确定函数表达式.
（1)求出P与V之间的函数关系式.
感知生活中的反比例
（4）根据图像回答： ①当这些气体的体积增大时，气球内气体的气压将怎
样变化？ 从图像中看出，气体的气压将减小.
P
②当气球内气体的体积大于1.6立方米
A(1.6,60)
60
时，气体的气压在什么范围内？
O 1.6
V
从图像中看出，
气体的气压将小于60千帕.
用反比例函数解决实际问题的步骤
第二十七章 反比例函数
27.3 反比例函数的应用
1.能从实际问题中建立反比例函数的模型. 2.了解反比例函数解决应用题的步骤. 3.规范反比例函数应用题的格式.
湘教版九年级数学上册知识点归纳总结
九年级数学上册第一章反比例函数（一）反比例函数1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；（二）反比例函数的图象与性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：反比例函数的图象：在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：自变量，函数图象与x轴、y轴无交点，两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，若（a，b）在双曲线的一支上，（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义: 如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（三）反比例函数的应用1、求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2、反比例函数与一次函数的联系．3、充分利用数形结合的思想解决问题．第二章一元二次方程（一）一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程（分母不含未知数），且都可以化为20ax bx c++=（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
【冀教版】九年级数学上册：27.3《反比例函数的应用》ppt课件
27.3 反比例函数的应用
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习并巩固反比例函数的图像与性质. 2.能够运用反比例函数解决实际问题. (重点、难点)
导入新课
观察与思考 问题 某科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂 泥湿地.为了安全迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫 了若干木板,构筑了一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能 解释他们这样做的道理吗?
解:当Q=12(m3)时,t= 4 8 =4(h).所以最少需4h可将满池水全部 12
排空.
课堂小结
反比例函数的应用： （1）列实际问题的反比例函数表达式时，一定要理清 各变量之间的关系，还要根据实际情况确定自变量的取 值范围；
（2）实际问题中的两个变量往往都只能取非负值；
（3）作实际问题中的函数图像时，应该注意横、纵坐 标的单位，其单位长度不一定相同.
R（ ） 3
I（A） 12
4
5
6 7 8 9 10
9 7.2 6 36/7 4.5 4 3.6
当堂练习
1.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6h可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少? 解:蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到Q(m3),那么将满池 水排空所需的时间t(h)将如何变化?
当人和木板对湿地的压力一
定时,随着木板面积S(m2)的
变化,人和木板对地面的压 强P(Pa)将如何变化?
p F S
讲授新课
运用反比例函数解决实际问题
问题引导 问题1 如果人和木板对湿地地面的压力合计600N,那么 用含S的代数式表示P,P是S的反比例函数吗?为什么?
冀教版初中数学九年级上册 27.2 反比例函数的图象和性质 课件 优秀课件PPT
数
y
1 x
图像上，试比较
a,b, c
的大小。
形
数
性质
课堂小结
1.通过本节课的学习，你对反比例 函数有哪些新的认识？
2.回顾整个初中阶段所学的函数， 你能总结出研究函数的一般思路吗？
归纳：
函数
解析式
图象形状
位 置
k>0 变化
趋势
位 置
k<0
变化 趋势
反比例函数
y=
k x
(k≠0 )
双曲线
y
一、三象限
巩固新知
1.下列关于函数y 24的图象或性质的
x
说法中，错误的是（ C ）
A 图象是双曲线
B 图象位于一、三象限
在每个象限内
C y随x的增大而减小
D 图象经过点（-4，-6）
巩固新知
2.已知
y
k x
的图象如图
y
所示，则k < 0，在图象
的每一支上，y随x的增大
x
而 增大 。
巩固新知
3.已知 A(2, a), B(1,b),C(3, c) 都在反比例函
0x在每个象限内，y随x源自增大而减小二、四象限y
0
x
在每个象限内，y随x的增大而增大
布置作业
必做：课本P8第3题、P9第9
题
选做：设点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )都在双曲线
y
2 x
上,且x1<x2<0,则y1___y2. (填“<”或
“>”)
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
冀教版九年级数学上册第27章反比例函数教学课件
形如 $y = frac{k}{x}$ (其中 $k$ 是常数，且 $k neq 0$) 的函数称为反比例函数。
02 反比例函数表达式
$y = frac{k}{x}$，其中 $x$ 是自变量，$y$ 是因 变量，$k$ 是比例系数。
03 比例系数的意义
$k$ 决定了反比例函数的图像位置和形状，当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时 ，图像位于第二、四象限。
综合运用举例
反比例函数在实际问题中 的应用举例
反比例函数与方程、不等 式的综合应用举例
反比例函数与一次函数的 综合应用举例
05
课堂互动环节
学生自主提问或分享经验
学生可以提出对于反比例函数概 念、性质、图像等方面的疑问。
学生可以分享自己在生活中遇到 的与反比例函数相关的实际问题 ，以及解决这些问题的经验和思
在几何图形中，某些量之间存在反比关系。例如，圆的面积与半径的平
方成正比，而球的体积与半径的立方成正比。通过反比例函数模型，可
以方便地解决这类问题。
经济、物理等领域应用举例
经济领域
在经济学中，反比例函数常用于描述供需关系、成本效益等问题。例如，当供应量增加时，价 格往往会下降；当成本增加时，效益往往会减少。这些问题都可以通过反比例函数模型进行分 析和预测。
教师总结并点评
教师对学生提出的问题和分享 的经验进行归纳和总结，强调 反比例函数的重要性和应用广 泛性。
教师对各小组的展示成果进行 点评，肯定优点和指出不足之 处，提出改进意见和建议。
教师鼓励学生继续深入探究反 比例函数的相关知识，提高自 己的数学素养和解决问题的能 力。
06
课后作业与拓展延伸
冀教版初中数学九上 27.3 反比例函数的应用 课件 优秀课件PPT
煤气储存室.
S 10 4 d
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时,碰上了坚硬的岩石.
为了节约建设资金,储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留
两位小数)?
解: 根据题意,把d=15代入
S 10 4
,得
s 10 4
d
15
解得
S≈666.67
当储存室的深为15m时,储存室的底面积应改为
将如何变化?
p600(s 0) s
(2) 当木板面积为0.2 m2时.压强是多少?
当S=0.2m2时,P=600/0.2=3000(Pa)
(3) 如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少 要多大?
当P≤6000时,S≥600/6000=0.1(m2)
归 纳
实际 问题
建立数学模型 运用数学知识解决
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形 煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位:m2)与其深度d(单位:m)有 怎样的函数关系?
解: (1)根据圆柱体的体积公式,
我们有
s×d= 10 4
变形得 S 10 4 d
即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.
市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形
反比例 函数
一起探究
一、气体的密度是指单位体积内气体的质量.现测定 容积是5m3的密闭容器中,某种气体的密度是1.4kg/m3. 1.写出用这种气体的体积V(m3)表示其密度ρ(kg/m3)的 函数表达式.
2.当把这些气体装入容积是V=4m3的钢瓶时,它的密度ρ 是多少?
3.要使气体的密度ρ =2kg/m3,需要把这些气体装入容积是多 少立方米的容器中?
冀教版九年级上册：第27章《反比例函数》小结与复习课件
四 反比例函数的应用 命题角度：1. 反比例函数在实际生活中的应用；
2. 反比例函数与一次函数的综合运用．
例 如图，一次函数 y1＝x＋1 的图像与反比例函数
y2＝kx (k 为常数，且 k ≠ 0)的图像都经过点 A(m，2)． (1)求点 A 的坐标及反比例函数的关系式； (2)结合图像直接比较：
把 P (1，2) 代入 y 3k 中，
解得 k 2 .
x
3
2P Ox
(2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y = kx +
b 的图像交于 A，B 两点，如图所示，当 △AOB 的
面
16
解：积把为M3(－时2，，求0)直代线入l y的=表kx达+式b，；
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
小于反比例函数的值？
解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比
例函数的值.
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
N A (1，3k) M
B (－3，－k)
O
x
课后作业
见教材章末练习
∴
y 3k ， x
解得 x1 = 1，x2 = －3.
y = kx + 2k，
y
l
NA
M
O
x
B
∴ A (1，3k)，B (－3，－k).
∵ △AOB 的面积为 16，
3
∴
1 2
×2×3k
+
12×2k
=
16 3
，
解得 k 4 .
∴
直线
3
l 的表达式为
y
=
4
x
20224—2025学年冀教版数学九年级上册《反比例函数的图像和性质》知识清单
《27.2 反比例函数的图像和性质》知识清单一、反比例函数的概念1、定义一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y ＝ k/x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
比如说，咱们在生活中，假如你有一笔钱k元，去买东西，东西的单价x和能买到的数量y就可能是这种反比例关系。
就像我有100元（k ＝ 100），去买笔记本，笔记本单价是5元（x ＝ 5）时，能买到20本（y ＝ 20）；如果单价变成10元（x ＝ 10），就只能买到10本（y ＝ 10）了。
这里的y ＝ 100/x就是一个反比例函数。
2、自变量和函数值的取值范围自变量x不能为0，因为在y ＝ k/x中，x ＝ 0时分母为0就没意义了。
函数值y也不能为0，因为k≠0，x≠0，所以y ＝k/x不可能等于0。
二、反比例函数的图像1、图像形状反比例函数的图像是双曲线。
这双曲线可有意思了，就像两个弯弯的线，它们要么在一、三象限，要么在二、四象限，不会跑到别的地方去。
当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限。
我有一次观察蚂蚁找食物，蚂蚁们从蚁巢（就像原点）出发，有的往右上方向找，有的往左下方向找，这就有点像k>0时双曲线在一、三象限的分布。
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限。
就好比冬天的寒风，把树上的叶子吹得有的往左上飘，有的往右下飘，这和k<0时双曲线在二、四象限的分布有点相似呢。
2、图像的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
这是什么意思呢？就是说如果在图像上有一个点（x,y），那么一定有另一个点（ x, y）也在图像上。
就像照镜子一样，不过这个镜子是在原点这个位置，把图像从一边反射到另一边。
同时，双曲线的两支也是关于直线y ＝ x或y=x对称的。
比如说，你把一支双曲线沿着y ＝ x这条线对折，就会发现它和另一支正好重合，是不是很神奇呢？三、反比例函数的性质1、当k>0时的性质在每个象限内，y随x的增大而减小。
九年级数学上册 27.2 反比例函数的图象与性质 结识函数家族的新成员—反比例函数素材 (新版)冀教
结识函数家族的新成员——反比例函数一、认识反比例函数的意义：1．定义：一般地，形如k y x=（k 是常数，0k ≠）的函数为反比例函数．其中自变量x 的取值范围是不等于零的实数．注意：（1）要能理解反比例函数所表示两个变量的乘积是一个常数；（2）在k y x =中，自变量x 的取值范围是不等于零的实数，且0k ≠； （3）k y x=的表达形式常写成1y kx -=的形式便于应用． 二、了解反比例函数图象的画法：反比例函数图象的画法是描点法，其步骤是：1．列表：自变量的取值应以0为中心，沿0的两边取三对以上相反数，分别计算y 的值；2．描点：先画出一侧，另一侧根据关于原点的对称性去找．3．连线：按从左到右的顺序连接各点，图象的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不能与坐标轴相交．4．在图象上注明函数的关系式．注意：（1）在连线过程中，应从x 由大到小的顺序用平滑的曲线连接．（2）不能把图象画成与坐标轴相交．三、掌握反比例函数的性质：1．反比例函数k y x=（0k ≠）的图象是由两条曲线组成的，这两条分支通称为双曲线． 2．当0k >时，双曲线k y x=的两个分支在第一、第三两上象限，在每个象限内，y 值随x 的增大而减小；当0k <时，双曲线k y x =的两个分支在第二、第四两上象限，在每个象限内，y 值随x 的增大而增大．注意：（1）反比例函数k y x=，因为0,0x y ≠≠故其图象不经过原点，不与坐标轴相交； （2）双曲线是由两个分支组成的，故一般不说两个分支经过第一、三（或第二、四）象限，而说两个分支在第一、三（或第二、四）象限．（3）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数值的增减性时，一般都说在各自的象限内的增减情况．四、学会用待定系数法来确定反比例函数的解析式：由于反比例函数kyx=中只有一个待定系数，因此只要一对对应的x、y值，或已知其图象上一个点的坐标即可求出k，进而确定反比例函数的表达式．五、正确理解反比例函数表达式中k的几何意义：如图1，过双曲线kyx=上任意一点P(x,y)作x轴，y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S=PM•PN=|x|•|y|,而kyx=，所以x y=k，所以S=|x y|=|k|．即过双曲线上用意一点作x轴，y轴的垂线所得矩形的面积为|k|．六、认识反比例函数应注意的问题：1．在研究反比例函数的增减性和大致位置时，要借助于函数的图象进行．2．注意反比例函数与正比例函数、一次函数之间的对比，分别从函数的解析式、图象特征、函数的增减性、自变量的取值范围、与坐标轴的交点等方面进行认识．3．认识反比例函数的图象要以形助数，用数形结合的思想来全面认识，培养数形结合思想．2。
冀教版-数学-九年级上册-27.2反比例函数的图象和性质 素材
二、观察探究 发现规律活动一：(探索图像位置)我们上节课已经学习了如何画反比例函数的图像，知道反比例函数的图像是双曲线。
谁知道我们这节课要研究关于双曲线的什么内容？下面请同学们观察反比例函数y=x 6、y=x 4、y= -x6、y=-x 4的图像， 你能找出在位置上相同的双曲线吗？它们的表达式有什么特征呢？那么你能得到什么结论？学生观察函数图像，很快得出结论，并发现，反比例函数的图像在哪些象限是由k 的符号决定的，k>0时，图像位于一、三象限，k<0时，图像位于二、四象限。
老师继续追问：是不是所有的反比例函数，只要k>0,图像都位于一、三象限，k<0时，图像都位于二四象限？为什么？学生在小组间展开激烈讨论探究其原因，老师可引导：函数的三种表示方法是什么？引导学生从分析表达式（xy=k 两数相乘，同号得正，异号得负）和表格中x 、y 的值的符号，再结合各象限内点的坐标符号特点加以引导，得到结论。
然后指一小组解答，其它小组纠正 ，补充。
活动二 （探究反比例函数的增减性）继续观察：反比例函数y=x 6和y=x 4的图像，当x 增大时，在每个象限内，y 的变化情况 反比例函数y=-x 6和y=-x4的图像，当x 增大时，在每个象限内，y 的变化情况 学生先观察图像自左向右的变化趋势，类比正比例函数中y 随x 的变化情况来探究反比例函数中y 随x 的变化而变化的情况，学生初步归纳出其性质，然后老师追问：是不是从别的方面也能得到这个性质？学生情绪高涨，立刻小组讨论，老师也参与活动中，引导学生从画图像时的表格中x 、y 的值的大小变化和对表达式的分析也能得到结论，最后结合课件演示图像的形成过程验证结论，指一名同学总结性质。
活动三：（强调“在每个象限内”）学生初步得出规律，总结过程中有可能丢掉“在每个象限内”，因此，我设计了如下环节：观察表格中x 、y 的值，随着x 的不断增大，y 值是一直在连续增大或减小吗？为什么？学生讨论过程中，教师可适当引导，使学生注意到：因为x 不等于0，导致x 的取值间断，因此图像具有不连续性，两个分支分别分布于两个象限，我们研究的增减变化是指在每一个象限内，所以，强调“在每个象限内”。
九年级数学上册272反比例函数的图象与性质反比例函数图象及性质的应用素材冀教版.
反比例函数图象及性质的应用一、求字母的值【例1】已知函数y ＝（m 2 －1）x －1是反比例函数，求m 的取值范围？若当x=1时，y ＝3，试确定此反比例函数的表达式.【思考与分析】反比例函数的表达式y=x k 中的比例系数k ≠0，我们看到本题中的比例系数是用字母表示的，注意m 2 －1≠0时满足条件.解：由m 2 －1＝0解得m ＝1或m=－1.所以当m ≠1且m ≠－1时，函数y ＝（m 2 －1）x －1是反比例函数.此反比例函数式可写成y=x m 12-.把x=1时，y ＝3代入解析式，得3＝m 2 －1，解得m ＝2或m ＝－2．所以此反比例函数的表达式是y=3x －1=x3 【小结】反比例函数的表达式是y=xk （k 为常数，k ≠0），当反比例函数的比例系数用字母来表示时，注意不要忽略了比例系数不为零这一条件.求解此类问题时，要考虑全面二、巧用函数的增减性1.利用增减性求“k ”的取值范围【例2】 反比例函数y=xk 22-的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可为 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2【分析与解】反比例函数当k ＞0时，图象在第一、三象限，并且在每个象限内图象呈下降趋势，即在每个象限内y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象在第二、四象限，并且在每个象限内图象呈上升趋势，即在每个象限内y 随x 的增大而增大.因为题中y 随x 的增大而减小，则2k －2＞0，解得k ＞1.故选D.2.利用增减性比较大小【例3】若A （－3，y 1），B （－2，y 2）， C （－1，y 3）三点都在函数y=－x1的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 1＝y 2＝y 3D ．y 1＜y 3＜y 2【分析与解】因为k ＝－1＜0，所以反比例函数在第二、四象限内，在每个象限内y 随x 的增大而增大.又因为－3＜－2＜－1，所以y 1＜y 2＜y 3，故选B.另外此题还可用图象法直接求解如图所示．从图象上可直接看出y 1＜y 2＜y 3.三、如何判定函数判定两个变量间的函数关系是不是反比例函数，有两种常用方法：1.若两个变量的积是一个不等于0的常数，则为反比例函数；2.若有式子x k y =的形式（k 为非零常数），则为反比例函数.下面举例说明.【例4】下列各题中的两个变量之间哪些是反比例函数，哪些不是？（1）2=xy 中的y 和x ； （2）积为非零常数的两个乘数x 与y ；（3）除数一定时，被除数和商；（4）被除数一定时，除数和商；（5）多边形的边数n 与它的内角和y.【分析与解】（1）∵2=xy ，∴x y 2=， 即y 是x 的正比例函数，比例系数是2（2）∵xy ＝k （k ≠0，k 为常数），∴ 根据方法1，积为非零常数的两个乘数是反比例函数关系.（3）设除数为a （定值），被除数为b ，商为c ，则ab ＝c （a ≠0），即b ＝ac.因为是y ＝kx （k ≠0，k 为常数）的形式，所以是正比例函数关系，不是反比例函数关系. （4）设被除数为b （定值），除数为a ，商为c ，则a b c =当b ≠0时，是xk y =的形式，因此，是反比例函数关系； 当b ＝0时，总有c ＝0，既不是正比例函数关系，也不是反比例函数关系.（5）∵y ＝（n －2）²180°，即y ＝180°n －360°，∴多边形的边数n 和它的内角和y 的函数既不是正比例函数，也不是反比例函数，而是一次函数.四、求实际中的解析式1、根据概念求解析式【例5】已知y ＝（2－k ）x 3－k 是反比例函数，求它的解析式．【思考与分析】反比例函数的概念要满足的两个必备条件：1.自变量的指数是－1；2.比例系数k ≠0.故可求得k 的值，从而得到解析式.解：由反比例函数的概念可得：∴它的解析式是xy 4=或y ＝4x －1. 【反思】由自变量指数为－1可得k=±2，不能急于下结论，还要检验反比例系数“２－k ≠0”，只有同时具备才可确定本题中k 的值.2、利用隐含的反比例关系求解析式【例6】（1）已知当V=40m 3时，ρ＝2kg/m 3，试确定ρ与V 之间的函数关系式；（2）一个矩形的面积是40mm 2，相邻两边长分别为xmm ，ymm ．写出y 与x 之间的函数关系式.（3）甲、乙两地相距72km ，写出汽车行驶时间t （h ）与平均速度v （km/h ）之间的函数关系式．【思考与分析】通过读题我们会发现上述各题中的两个变量都存在反比例函数关系，我们根据各个量之间的关系建立等式，就可以得到反比例函数的解析式.解：（1）因为ρ与V 存在反比例函数关系，所以设V m =ρ（m ≠0，且m 为常数），因为V=40m 3时，ρ＝2kg/m 3，所以2＝40m .解得m=80. 所以ρ与V 之间的函数关系式为：V 80=ρ （2）因为矩形面积是相邻两边的积，即y ³x ＝40，所以y 与x 之间的函数关系式是：y=x40 （3）因为汽车行驶时间t （h ）³平均速度v （km/h ）＝两地的距离，所以汽车行驶时间t （h ）与平均速度v （km/h ）之间的函数关系式是:t=v 72.。
冀教版数学九年级上：第27章 反比例函数第27章 反比例函数
第二十七章反比例函数1.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式,理解并掌握反比例函数的概念.2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.3.会用描点法画反比例函数的图像,根据图像和表达式探索并理解其性质.4.掌握反比例函数的图像和性质,能运用相关性质解决有关问题.5.理解反比例函数中比例系数k的几何意义.6.能根据实际问题确定变量之间的反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.1.经历从实际问题情境中探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.2.通过函数图像探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过探索实际问题中两个变量之间的反比例关系,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生运用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.3.通过用反比例函数表示两个变量间的关系,并解决某些实际问题,体会数学模型思想、数形结合思想在实际问题中的应用,感受数学的价值,增强学好数学的信心.函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.对函数的认识需要经历由浅入深、螺旋上升的过程,本章内容是在学生已经学习了函数及其图像的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图像、性质、简单应用等基础上,类比研究一次函数的方法,较系统地研究反比例函数的模型、图像、性质及应用.通过本章的学习,丰富函数模型的认识,进一步体会数形结合思想,提高用函数的观点解决实际问题的能力,为研究二次函数积累更多的经验.本章内容从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是反比例函数的图像和性质的理解和掌握,通过画特殊的反比例函数的图像,归纳出一般反比例函数的图像特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生的数学应用意识.数形结合思想贯穿本章内容,从图像上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.本章重点是反比例函数的概念、图像、性质及应用,难点是反比例函数图像的生成过程.根据学生的特点,依照前边学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数的联系、差异和综合运用.反比例函数作为重要的数学模型,在解决日常生活实际问题中发挥了重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题及应用数学的能力.【重点】1.通过对实际问题情境的分析,确定反比例函数的解析式.2.会用描点法画反比例函数的图像,并能从图像中认识反比例函数的性质.3.能用反比例函数的性质解决简单的实际问题.【难点】1.能根据反比例函数图像特征及其性质解决有关问题.2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.1.数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程,所以根据本章内容和呈现的特点,设计恰当的数学活动进行教学,给学生提供不同的实际背景,在理解情境的基础上,分析其中的数量关系,通过分析、归纳,抽象出数学关系,建立反比例函数模型,让学生充分经历建立反比例函数模型的过程,提高学生分析问题、解决问题及抽象概括的能力.2.反比例函数是初中阶段学习的一类重要函数,在初中教材中起着承上启下的作用,所以在教学中要处理好新旧知识之间的联系,通过复习函数及一次函数的有关内容,为本章的学习做好铺垫,类比一次函数的探究思路,通过表格中函数的变化规律,画出反比例函数图像,再通过观察图像归纳和概括反比例函数的性质,让学生体会数形结合思想在数学中的应用,既加深学生对反比例函数的理解,又克服集中探索的困难.3.注重反比例函数的应用,增强学生的应用意识,对教材中涉及的一些实际问题和跨学科问题,利用问题中量与量之间的等量关系来解决,不应看做是单纯的公式变形,应将实际问题中的两个量视为变量,建立反比例函数模型,借助反比例函数的性质来解决问题,增强数学的应用意识.4.渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.27.1反比例函数1.结合具体问题情境体会反比例函数的意义.2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.3.能根据已知条件或实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数的模型,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.2.通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学来源于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.【重点】1.理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.【难点】经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】预习教材P128~129.导入一:【课件展示】如图所示,当电路中的电压一定时.(1)怎样用电阻R表示电流I?(2)电流I是怎样随电阻R的变化而变化的?(电流I随着R的增大而减小)(3)变量I是R的函数吗?为什么?(是,电流I随着R的变化而变化,给一个R的值,都有一个I和它对应)[设计意图]由与生活息息相关的跨学科知识和已有的知识出发,将学生引导到一个新的函数模型的研究中,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生对学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数的概念做铺垫.导入二:【课件展示】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以他们的平均速度有快有慢.在速度v,时间t与路程s之间满足:(1)如果速度v一定时,那么路程s与时间t之间是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(2)如果时间t一定时,那么路程s与速度v之间又是什么函数关系?(s=vt,是正比例函数关系)(3)如果路程s一定时,那么速度v和时间t之间的等量关系是什么?是函数关系吗?是函数关系【思考】这个函数是不是我们前边学过的函数?[导入语]问题(1)(2)中的函数是我们学过的一次函数,(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.[设计意图]通过生活中的问题情景,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入本节课的学习.导入三:复习提问:(1)什么是函数?什么是一次函数?(2)学习一次函数的基本思路是什么?【课件展示】以往研究函数的基本思路:[导入语]函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解定义的基础上,研究它的图像和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.[设计意图]通过回忆一次函数的概念及研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,在学习中学生易从已有的知识体系中自然地构建出新知识,为学习本章内容做好铺垫.思路一【课件展示】1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.【学生活动】独立完成填空,小组内交流答案.1.15700S=2.10000v=3.y=-教师引导学生思考:(1)每个事例中的两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述三对量之间每对量都成反比例吗?(4)请再举出几个具有这种特征的例子.【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图]通过问题的形式,引导学生发现这些变量之间的关系都成反比例,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时调动学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.观察前面的三个函数关系式,思考:(1)这三个函数是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.教师引导学生从两个方面思考:一是与一次函数的解析式对比;二是看给出的三个函数关系式是整式还是分式.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.在反比例函数y=中,自变量x的取值范围是不等于0的实数.【思考】(1)在反比例函数y=中,k,x,y可以取任意实数吗?(2)反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?为什么?(3)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:(1)反比例函数中,比例系数k≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.(2)反比例函数y=右边是分式形式,x的指数是-1.(3)反比例函数的三种表示形式:y=,xy=k,y=kx-1.[设计意图]通过学生观察思考、小组交流讨论,依据老师设计的问题,类比已学的一次函数,归纳出反比例函数的特征,让学生经历概念的形成过程,达到真正理解反比例函数定义的目的,同时培养学生归纳总结的能力.思路二【课件展示】出示下列几个问题:1.要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶,水桶的底面积为S cm2,高为h cm,则Sh=,用h表示S的函数表达式为.2.自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练,行驶全程所用时间为t s,行驶的平均速度为v m/s,则vt=,用t表示v的函数表达式为.3.y与x的乘积为-2,用x表示y的函数表达式为.4.已知北京市的总面积为1.68×104km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)的函数表达式为.【学生活动】独立完成后,小组内交流答案,教师对学生答案进行点评.1.15700S=2.10000v=3.y=-4.S=教师引导学生思考:(1)每个事例中的中两个变量是什么?(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?(3)上述几对量之间每对量都成反比例吗?(4)你能不能再举出几个具有这种特征的例子?【师生活动】学生独立思考后,小组合作交流,确定几个问题中的每对量都成反比例,并归纳函数表达式的共同特征,教师对学生的回答进行点评归纳.[设计意图]问题情境既有教材“做一做”栏目的问题,又有新增设的问题,这些事例要求学生从实际问题中找到两个变量之间的函数表达式,为形成反比例函数的概念、辨析反比例函数做好准备.1.反比例函数的一般形式.【课件展示】思考下列问题:(1)这四个函数都是一次函数吗?(2)这些函数表达式具有怎样的共同特征?(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?(4)你能给这类函数下一个定义吗?问题提示:通常情况下,我们用y表示函数,用k表示常量,用x表示自变量.对于这四个特殊的函数,学生可以初步总结为y=.总结:【课件展示】一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.理解反比例函数的概念.问题1反比例函数的一般式y=的右边是什么式子?(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)问题2反比例函数y=的比例系数k、自变量x取值有什么要求?(提示:都是不能为0的实数)问题3反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?(提示:两个变量的乘积为定值;自变量x的指数为-1)【师生活动】学生独立思考后小组合作交流,教师对学生的回答作出点评和归纳.[设计意图]通过回答教师提出的问题,让学生理解反比例函数的意义,能用数学语言表达反比例函数的表达式,并能理解自变量的取值范围,掌握判断反比例函数的方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念的模型建立也就会水到渠成.【课件展示】下列函数:①y=;②y=;③y=;④y=;⑤xy=2;⑥y=.其中是反比例函数的是(填序号),它们的比例系数k分别是.〔解析〕按照反比例函数的概念判断,易得①②④⑤是反比例函数,其中k分别为5,0.4,,2.〔答案〕①②④⑤5,0.4,,2若y=(a-2)x|a|-3是反比例函数,则a的值为.【师生活动】学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.〔解析〕根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:①常数k≠0;②自变量x 的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.[设计意图]通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略k≠0这一易错点.(教材129页例1)写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.(1)y与x互为相反数.(2)y与x互为负倒数.(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).【师生活动】学生独立完成后小组内交流答案,教师点评学生的答案,并强调易错点.解:(1)因为y+x=0,即y=-x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为xy=-1,即y=-,所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(3)因为2xy=a,即y=,所以y是x的反比例函数,比例系数k=a.[设计意图]通过书写函数关系式,并认识比例系数k,对正比例函数和反比例函数本质属性进行比较,加深对反比例函数的理解.(教材129页例2)已知y是x的反比例函数,当x=4时,y=6.(1)写出这个反比例函数的表达式.(2)当x=-2时,求y的值.〔解析〕类比一次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y 的值代入,求出待定系数k.【师生活动】师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.解:(1)设y=.把x=4,y=6代入y=,得k=24.所以这个反比例函数的表达式为y=.(2)当x=-2时,y==-12.-[设计意图]通过复习待定系数法,用待定系数法求反比例函数关系式,并让学生体会在反比例函数关系式中,代入一对x,y的值即可求出函数关系式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用.[知识拓展]1.反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的左边是函数,右边为自变量x的分式,也就是说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x 的反比例函数.2.反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=k(k≠0),y=kx-1(k≠0)的形式.1.反比例函数的概念:一般地,如果变量y和变量x之间的函数关系可以表示成y=(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数,k称为比例系数.2.反比例函数满足的条件:(1)自变量的指数是-1;(2)比例系数不为0.3.反比例函数的三种表示形式:y=;xy=k;y=kx-1.4.反比例函数自变量的取值范围:x≠0.1.下列函数中是反比例函数的是()A.y=2x+1B.y=C.y=D.2y=x解析:A中函数是一次函数,不是反比例函数;B中函数自变量x的指数不是-1,不是反比例函数;C中函数符合反比例函数的定义;D中函数是正比例函数,不是反比例函数.故选C.2.反比例函数y=-中,k的值是()A.2B.-2C.-D.-解析:根据反比例函数定义可得,比例系数k为-.故选C.3.若函数y=(m-1)-为反比例函数,则m的值是,此函数的表达式为.解析:根据反比例函数定义可得,m2-2=-1,且m-1≠0,解得m=-1,此时函数表达式为y=-.答案:-1y=-4.长方体的体积为103m3,底面积为S m2,高度为d m,用d表示S的函数关系式为;当S=500m2时,d=m.解析:因为体积V=Sd,所以S=,把S=500代入函数解析式,得d=2.答案:S=25.已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.(1)写出y与x的函数表达式;(2)当x=时,求y的值;(3)当y=时,求x的值.解:(1)设y与x的函数表达式为y=,把x=1,y=代入,得,所以k=2,所以y与x的函数表达式为y=.(2)当x=时,y=2.(3)当y=时,,解得x=.27.1反比例函数一、反比例函数的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第130页习题A组第1,2,3题.【选做题】教材第130页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列关系中,两个量之间为反比例函数关系的是()A.正方形的面积S与边长a的关系B.正方形的周长L与边长a的关系C.长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系D.长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系2.下列函数中,不是反比例函数的是()A.y=-B.y=-D.3xy=2C.y=-3.下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是()A.y=B.y=-C.y=-D.y=-4.若y=(a+1)-是反比例函数,则a的值为()A.1B.-1C.±1D.任意实数5.已知y是x的反比例函数,并且当x=-3时,y=-2,则y与x的函数关系式为.6.已知反比例函数y=中,k=-12,则当x=2时,y=;当y=-4时,x=.7.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数表达式是.(不考虑x的取值范围)8.已知y与x的函数解析式为y=.(1)请完成下表:(2)求当x=-10时函数y的值;(3)求当y=6时自变量x的值.【能力提升】9.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则y2019=.10.已知一个长方体的体积是100cm3,它的长是y cm,宽是5cm,高是x cm.(1)写出用高表示长的解析式;(2)当x=3时,求y的值.【拓展探究】11.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=4;当x=2时,y=5.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当x=4时,求y的值.【答案与解析】1.D(解析:正方形的面积S与边长a的关系为S=a2,不是反比例函数关系;正方形的周长L与边长a的关系为L=4a,不是反比例函数关系;长方形的长为a,宽为20,其面积S与a的关系为S=20a,不是反比例函数关系;长方形的面积为40,长为a,宽为b,a与b的关系为a=,是反比例函数关系.故选D.)2.C(解析:A,B,D符合反比例函数的定义,C函数中的分母不是单项式,所以不是反比例函数.故选C.)3.B(解析:把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)4.A(解析:根据反比例函数的定义,得a2-2=-1,且a+1≠0,解得a=1.故选A.)5.y=(解析:设y与x之间的关系式为y=,把x=-3,y=-2代入,得k=6,所以y与x之间的关系式为y=.故填y=.)6.-63(解析:把x=2代入y=-,得y=-6;把y=-4代入y=-,得-4=-,解得x=3.)7.y=(解析:根据梯形的面积公式可得,y=60,化简得y=.故填y=.)8.解:(1)-1-331(2)当x=-10时,y=-.(3)当y=6时,6=,解得x=.9.-(解析:把x=代入,得y1=-,则x2=-+1=-,所以y2=2,则x3=2+1=3,所以y3=-,则x4=-+1=,所以y4=-,…,观察y1=y4,所以三组循环出现,2019除以3余数为1,所以y2019=y1=-.)10.解:(1)y=.(2)当x=3时,y=.11.解:(1)设y1=k1x,y2=,则y=y1+y2=k1x+.把x=1,y=4;x=2,y=5代入,得解得所以y=2x+.(2)当x=4时,y=2×4+.本节课精心设计教学导入环节,通过跨学科实际问题和生活实际问题导入新课,激发学生学习本节课的兴趣,通过回顾由成正比例的量抽象出正比例函数的过程,自然引出由一对反比例的量抽象出什么样的函数,把学生带入课时学习的情境之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸,让学生亲身经历知识的形成过程,做到真正理解和掌握反比例函数的概念.教学中依据教材的情境,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.在复习一次函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在形成概念的过程中,教师设计了一些引导学生思考的小问题,在小组合作交流的过程中,给学生思考时间较少,学生自我学习和交流不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好地引导.本节课的学习内容是经历问题情境建立反比例函数模型的过程,需要联系以往的函数知识,所以教师在课前给学生足够的时间回顾一次函数的概念及学习思路,为本节课的学习打下基础,在生活实际问题中建立函数关系式,观察函数关系式的特点,学生通过独立思考、小组合作交流,共同归纳反比例函数的概念,经历知识的形成过程,提高归纳总结能力.补充例题巩固反比例函数的概念,把重点放在巩固基础上,而不是强调对知识的综合练习.练习(教材第129页)1.解:(1)(3)(5)是反比例函数;(2)(4)(6)是正比例函数.2.解:t=.习题(教材第130页)A组1.解:(1)是,k=12.(2)是,k=.(3)是,k=-3.(4)不是.2.解:m=.3.解:(1)∵△ABC的面积=ah=20,∴a=.(2)当h=2时,a==20.B组1.解:(1)W=.(2)当x=9000000时,W==200,故水资源人均占有量为200立方米.2.解:(1)由--得m=或m=-.∴当m=或m=-时,y是x的正比例函数.(2)由--得m=-2.∴当m=-2时,y是x的反比例函数.此时,原函数解析式可化简为y=-,当-y=8时,x=-.重视教学策略的设计1.本节课要学习的内容是反比例函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受反比例函数的特征和意义,从而形成对反比例函数的初步认识,本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及待定系数法求函数关系式.教师引导学生分析实际问题,并用关系式表示实际问题中的等量关系,从而引出反比例函数的概念,让学生获得反比例函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,同时学生通过主动探究,获取了知识,丰富了数学活动的经验,逐步学会学习.2.对于九年级的学生来说,之前已经学习过一次函数和正比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型思想也有了一定的认识,可以在此基础上用类比的方法继续深入学习反比例函数,所以在学习本节课内容时,要重视新旧知识之间的联系,如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数等有关概念,为学习反比例函数做好铺垫.27.2反比例函数的图像和性质1.会用描点法画出反比例函数y=的图像.2.能根据图像和函数表达式y=理解反比例函数的性质,并能灵活运用解决相关问题.。
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反比例函数一. 教学内容：反比例函数 教学目标：1、理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
2、初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。
二. 重点、难点： 重点：1、能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。
2、反比例函数的图象特点及性质的探究3、通过观察图象，归纳总结反比例函数图象 难点：1、理解反比例函数的概念2、画反比例函数的图象，并从图象中获取信息3、从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质4、反比例函数的应用。
三、知识要点1、经历抽象反比例函数概念的过程，并能类推归纳出反比例函数的表达式2、一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y=xk（k 为常数，k 不等于0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.从y=xk中可知，x 作为分母，所以不能为零 3、画反比例函数图象时要注意以下几点a 列表时自变量的取值应取绝对值相等而符号相反的一对数值，这样既可以简化计算，又便于标点b 列表、描点时，要尽量多取一些数值，多描一些点，这样方便连线c 在连线时要用“光滑的曲线”，不能用折线 4、反比例函数的性质2）双曲线的两个分支都与x 轴、y 轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交； 3）在利用图象性质比较函数值的大小时，前提应是“在同一象限”内。
5、反比例函数系数k 的几何意义如图，过双曲线上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，所得矩形的面积为PN PM S ⋅=N M N M ⋅=⋅=∵xky =∴y x k ⋅= ∴N M S ⋅=， 即过双曲线上任一点作x 轴，y 轴的垂线，所得矩形的面积为k 注意：①若已知矩形的面积为k ，应根据双曲线的位置确定k 值的符号。
②在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，分别过P ，Q 作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1，S 2，则有S 1＝S 2。
四、典例解析考点一、反比例函数的定义例1、用电器的输出功率P 与通过的电流I ，用电器的电阻R 之间的关系是，下面说法正确的是（ ）A. P 为定值，I 与R 成反比例B. P 为定值，2I 与R 成反比例 C. P 为定值，I 与R 成正比例 D. P 为定值，2I 与R 成正比例 本题的答案是：B例2、k 为何值时，()522-+=kx k y 是反比例函数？解：⎩⎨⎧-=-≠+15k 02k 2由 ⎩⎨⎧±=-≠2k 2k 得()。
x2k ，y 2k 2k 5k 2是反比例函数时当-+==∴=∴ 常见的错误：1）不会把反比例函数的一般形式xky =写成1-=kx y 形式； 2）忽略了02≠+k 这个条件。
考点二：反比例函数的图象例3、若()()()321,1,,2,,3y C y B y A ---三点都在函数xy 1-=的图象上，则321,,y y y 的大小关系是（ ）A. 321y y y <<B. 321y y y ==C. 231y y y <<D. 321y y y >>答案为A例4、观察下面函数x y 2-=和xy 2=的图象，请大家对比着探索它们的异同点相同点：a 、图象都是由两条曲线组成 b 、它们都不与坐标轴相交 c 、它们都不过原点不同点：它们所在的象限不同，xy 2=的两条曲线在第一和第三象限，x y 2-=的两条曲线在第二和第四象限，大家再仔细观察一下每个函数图象是否为对称图形，轴对称图形，中心对称图形？由此看来，反比例函数的图象是两条双曲线，它们要么在第一、三象限，要么在第二、四象限，究竟什么时候在第一、三象限，什么时候在第二、四象限，大家能确定吗？可以，当k 大于0时，图象的两条曲线在第一、三象限内，当k 小于0时，两条曲线分别位于第二、四象限。
考点三：反比例函数的性质 例5、已知反比例函数xky -=4，分别根据以下条件求出k 的取值范围。
（1）函数图象位于第一、三象限内； （2）在每一个象限内，y 随x 的增大而增大。
解：（1）∵双曲线在第一、三象限内，∴04>-k 4<k （2）∵在每一个象限内y 随x 的增大而增大 ∴04<-k 4>k例6、如图，反比例函数图象上任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为1S ，过点Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S 。
（1）1S 与2S 有什么关系？为什么？（2）将反比例函数的图象绕原点旋转180度后，能与原来的图象重合吗？解：（1）①P 、Q 两点在同一条曲线上：设P （11,y x ），过P 点分别作x 轴、y 轴的平行线，与两坐标轴围成的矩形面积为1S ，则111y x S ⋅= 因为（11,y x ）在反比例函数x k y =的图象上，所以11x ky = 即k y x 11=⋅所以k S =1 同理可知k S =2 所以1S =2S②P 、Q 分别在不同的曲线上：解法同1 同理可知1S =2S因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P 、Q ，不管P 、Q 是在同一条曲线上，还是在不同的曲线上，过P 、Q 分别作x 轴，y 轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积1S 、2S 都有1S =2S（2）若将反比例函数的图象绕原点旋转180度后，能与原来的图象重合. 因为反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形。
考点四：反比例函数的实际应用例7、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文.（1）如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成录入任务？ （2）录入文字的速度v （字/min ）与完成录入的时间t （min ）有怎样的函数关系． （3）小明希望能在3h 内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 分析：题中的等量关系为：总字数=录入文字的速度×录入时间解：（1）24000÷120=200（分钟） 所以他需要用200分钟才能完成录入工作。
（2）函数关系式是：tv 24000=（3）3h=180min 3.133340018024000≈==v由于录入的字要为整数，所以他每分钟至少要录入134个字。
例8、蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A ）与电阻R （Ω）之间的函数关系如图所示。
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？（2）完成下表，并回答问题：如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A ，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？解：（1）设函数表达式为RI =， ∵()4,9A 在图象上， ∴36==IR U ∴RI 36= 蓄电池的电压是36伏。
（2）可变电阻应控制在6.3≥R Ω这个范围内.例9、反比例函数的图象上有一点P （m ，n ）其坐标是关于t 的一元二次方程032=+-k t t 的两根，且P 到原点的距离为13，求该反比例函数的解析式.分析：要求反比例函数的解析式，就是要求出k ，为此我们需要列出一个关于k 的方程. 解：∵ m ，n 是关于t 的方程032=+-k t t 的两根 ∴ m+n=3，mn=k ， 又 PO=13 ∴ 1322=+n m ∴()1322=-+mn n m ∴ 9－2k=13.∴ k=－2 当 k=－2时，△=9+8＞0，∴ k=－2符合条件， ∴反比例函数的解析式为：x2y -= 考点五：反比例函数与一次函数的应用例10、如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象相交于A 、B 两点。
（1）根据图象，写出B 点的坐标；（2）求出两函数的解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的值。
解：（1）由图象可得B （4，3）（2）把反比例函数上的点代入函数的关系式x m y =得⇒=4m312=m ∴反比例函数的关系式为xy 12=由图可知一次函数与坐标轴的交点为（0，1）和（－2，0） 把这两点代入一次函数关系式kx y =+b 得：⎪⎩⎪⎨⎧+-==bk b 201解得：⎪⎩⎪⎨⎧==211k b∴一次函数的关系式为：121+=x y （3）由图象可知，当4x 0x 6><<-或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值。
例11、如图，平行于直线x y =的直线l 不经过第四象限，且与函数()03>=x xy 的图象交于点A ，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，AC ⊥x 轴于点C ，四边形ABOC 的周长是8，求直线l 的解析式。
解：∵点A 在函数()03>=x xy 的图象上， ∴设A 点的横坐标为a ，由点A 的纵坐标为a 3，即A 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛a a 3,()0>a ∵AB ⊥y 轴于点B ，AC ⊥x 轴于点C ，∠BOC=90° ∴四边形ABOC 是矩形，∵四边形ABOC 的周长是8， ∴832=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a 即0342=+-a a 解得3,121==a a当133,331====a，a a ，a 时当时∴A 点坐标为（1，3）或（3，1）（由题意可知x y >）∴A 点坐标为（1，3） 设直线l 的解析式为b x y += 把A 点代入b x y +=得 3=1+b ⇒b=2 ∴直线l 的解析式为2+=x y。