湖南省十三校2014届学期高三年级3月第一次联考数学试卷(文科)

湖南省十三校2014届学期高三年级3月第一次联考数学试卷（文科）
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置． 1．下列四个命题中，正确的是
A ．{0}∈R
B ．{|x x ⊂≤
C ．{|x x ≤
D ．{|x x ≤
2．从编号为1～50的50枚最新研制的某种型号的弹道导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，
若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取的5枚导弹的编号可能是 A ．5,10,15,20,25 B ．3,13,23,33,43 C ．1,2,3,4,5 D ．2,4,6, 16 ,32
3．设全集为R ，集合A=11x
x ⎧⎫
≤⎨⎬⎩⎭
，则R A =ð A ．{|01}x x << B ．{|01}x x <≤ C ．{|01}x x ≤<
D ．{|10}x x ≥<或x
4．“m=-1"是“直线mx+（2m －l ）y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．下列有关命题说法正确的是
A ．命题“若x 2
=1，则x=1"的否命题为“若x 2
=1，则1x ≠" B ．命题“x ∃∈R ，x 2
+x －1＜0"的否定是“x ∀∈R ，x 2
+x －1＞0"
C ．命题“若x=y ，则sinx=siny 2
的逆否命题为假命题 D ．若“p 或q”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 6．已知集合A={x|2X 2
－x －3＜0}，B=113x x y g
x ⎧-⎫
=⎨⎬+⎩⎭
，在区间（-3,3）上任取一实数x ，则“x A B ∈I "的概率为 A ．
14
B ．
1
8
C ．
1
3
D ．
112
7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角
三角形，则该几何体的体积是 A ．64 B ．48 C ．
64
3
D ．16
8．已知A ，B 是单位圆上的动点，且O ，则OA uu r ·AB uu u r
=
A ．
B
C ．3
2
-
D ．
32
9．已知函数f （x=sin x+ cos x ，g （x ）=2sin x ，动直线x=t 与f （x ）、g （x ）的图象分
别交于点P 、Q ，则|PQ|的取值范围是
A ．[0，1]
B ．[0
C ．[0，2]
D ．[110．已知函数f （x ）=22,0
1(1),0
x x x n x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|f （x ）| ≥ax ，则a 的取值范围是
A ．（-∞，0]
B ．（-∞，1]
C ．[-2, 1]
D ．[-2, 0]
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的
横线上．
11．2014
11i i +⎛⎫= ⎪
-⎝⎭。

12．极坐标系是以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知直线L 的参数方程
为：x t y t a =⎧⎨=-⎩
，（t 为参数），圆C 的极坐标方程为：ρ=2cos θ，若直线L 经过圆
C 的圆心，则常数a 的值为 。

13．执行如下图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 的值为 。

14．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线
垂直，那么此双曲线的离心率为 。

15．设函数f （x ）的定义域为D ，若存在非零实数T 使得对任意的()x M M D ∈⊆，有x+T ∈D ，
且f （x+T ）≥f（x ），则称函数f （x ）为M 上的T 高调函数．
（1）现给出下列命题：①函数f （x ）=1og x +为（0，+∞）上的T 高调函数；②函数f
（x ）=sinx 为R 上的2π高调函数；③如果定义域为 [-l ，+∞）的函数f （x ）=x 2
为
[-1，+∞）上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2，+∞）．其中正确命题的序号是 ；
（2）如果定义域为R 的函数f （x ）是奇函数，当x ≥0 时，f （x ）=2
2
2
||x a a --，且f
（x ）为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
某矿产品按纯度含量分成五个等级，纯度X 依次为A 、B 、C 、D 、E ．现从一批该矿产品
中随机抽取20件，对其纯度进行统计分析，得到频率分布表如下：
（I ）若所抽取的20件矿产品中，纯度为D 的恰有3件，纯度为E 的恰有2件，求a 、b 、c 的值；
（II ）在（I ）的条件下，从纯度为D 和E 的5件矿产品巾任取两件（每件矿产品被取出的可能性相同），求这两件矿产品的纯度恰好相等的概率．
17．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． （I ）求证：平面AEC ⊥平面PDB;
（II ）当且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．
18．（本小题满分12分）
已知向量OA uu r =（λcos α，λsin α）（λ≠0），OB =uu u r （-sin β，cos β），OC uuu r
=
（1，0），其中O 为坐标原点． （I ）若λ=2,,(0,)3
π
αβπ=
∈，且OA BC ⊥uu r uu u r
，求β的值；
（II ）若AB uu u r ≥2OB uu u r
对任意实数α、β都成立，求实数λ的取值范围．
19．（本小题满分13分）
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1=4S 2，a 2n = 2a n +1． （I ）求数列{a n }的通项公式；
（II ）数列{b n }满足：b 1=3，b n －b n-1=a n+1（n≥2），求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和T n 。

20．（本小题满分13分）
已知椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线C 2：22
145
x y -
=共顶点，且椭圆C 1与双曲线C 2的离心率之和为2． （I ）求椭圆C 1的方程；
（II ）过椭圆C 1上的动点P 作互相垂直的两条直线1l 、2l 、3l 与圆O ：x 2
+ y 2
=a 2
+b 2
相交
于点A 、C ，l 2与圆O 相交于点B 、D （如图），求四边形ABCD 的面积的最小值．
21．（本小题满分13分）
已知函数f（x）=x1nx，g（x）=（-x2+ax－3）e x（a为实数）．（I）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（II）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）若存在两不等实根x1，x2
1
,e
e
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
使方程g（x）= 2e x f（x）成立，求实数a的
取值范围．。