高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》4PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
高二数学球的概念球的性质球面距离课件
新疆
经线：球面上从北极到南极的半个大圆； 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆； 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴 。 确定的半平面与0 经线及轴确定的半平面 所成的二面角的度数
纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平 面所成角的度数
O
O1
4．两点的球面距离及其公式：
B
球面上两点AB之间的最
球的性质
性质1：用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面不过球心
性质2: 球心和截面圆心的连线垂 直于截面． 性质3: 球心到截面的距离d与球
的半径R及截面的半径r 有下面的关系:
A
r R d
2
2
3．经度、纬度：
王新敞
奎屯
O' A R O
，设 O 为 北纬 45 圈的圆心， AOB
B
2 2 2 R ， ∴ 2 R 4 R ， 4 ， ． ， ∴ ，∴ AB 2r R 2 ∴ ABC 中， AOB
∴
r
，
3
所以， A, B 两点的球面距离等于
王新敞
奎屯 新疆
§9．9球(1)
高二数学备课组
球的概念
问题1：*圆是怎样定义的？ 答：在一个平面内到一个定点的距离为定长的 点的集合是一个圆．
*圆是否包括圆周以内的点？ 答：不包括． *谁来给圆面下个定义？ 答：在一个平面内到一个定点的距离小于或等 于定长的点的集合是一个圆面．
球的概念
问题2：谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？ 答：在空间，到一个定点的距离为定长的点的集 合是一个球面；在空间，到一个定点的距离小于或等 于定长的点的集合是一个球．
高中数学《第二讲球面上的距离和角一球面上的距离》5PPT课件 一等奖名师公开课比赛优质课评比试讲
《球面上的距离》的教学设计课题：球面上的距离教材：高中数学人教A版2003课标版选修3-3球面上的几何第二讲一、球面上的距离教师：齐齐哈尔市民族中学王欣一、教学内容的地位、作用分析球是我们在日常生活中经常见到的熟悉而特殊的一种旋转体。
本节课是在运用欧式几何的研究方法，研究了球的一些性质后，进一步从球面上的距离和角出发，开始进入球面几何的学习。
而且学生对球面距离是在学生了解了球的有关概念及性质基础上的一节内容，学习球面距离，有助于学生空间想象能力的培养，有助于学生思维能力的训练与提高。
它不但能加深学生对球面及球的截面的理解,而且在求其解过程中,可以帮助学生运用扇形、弧长、解三角形等众多数学知识，并且沟通了立体几何中两个重要的角(直线和平面所成的角、二面角)的概念，具有实质的教学意义。
另外，“球面距离”具有一定的实际应用意义。
通过学习，使学生认识到数学源于实践又作用于实践，同时数学中的球面距离与地理中的经纬度等知识的综合运用。
二．教学目标和重点、难点分析学生已经知道球面距离和经度、纬度等概念，这一节将进一步认识数学和实际的联系。
我将这节课的教学目标和重点难点定为：教学目标：1.理解球面距离的概念，会在简单情形下计算两点间的球面距离。
2.体验将空间中的计算转换为平面上的问题的求解方法。
3.会求地球上同经度和同纬度两点间的球面距离，感受数学知识在实际问题中的应用价值。
教学重点：理解球面上的距离的概念，会计算球面上两点间的距离。
教学难点：球面上两点之间最短路径是这两点的一段大圆弧—劣弧，以及地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
三．教学问题诊断学生已经知道球的相关概念、球的截面的性质、球大圆的定义，具备了理解球面距离概念的基础，并能运用相关三角知识解三角形。
本节课的教学难点是对球面上两点间距离的认识，地球上同纬度的两点间的球面距离的求法。
对教学难点的突破我采取了三个策略：1.教材在引出球面距离的概念后，直接进入了地球上同经度、同纬度两点间的球面距离的求法（例1、例2），从概念到应用之间的跨度较大。
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思考题
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第三讲 球面上的基本图形 一 极与赤道
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思考题
二 欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型
阅读与思考 非欧几何简史
引言
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第一讲 从欧氏几何看球面 一 平面与球面的位置关系
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二 直线与球面的位置关系和 球幂定理
思考题
二 球面二角形
3．对顶三角形
4．球极三角形
Hale Waihona Puke 第四讲 球面三角形 一 球面三角形三边之间的关
三 球面三角形的周长
思考题
2．“边角边”(s.a.s.)判定定理
3．“角边角”(a.s.a.
第六讲 球面多边形与欧拉公式 一 球面多边形及
思考题
二 用向量方法证明球面上的余弦定理
1．向量
三 从球面上的正弦定理看球面与平面
最新人教版高二数学选修3－3全 册完整课件目录
0002页 0055页 0089页 0123页 0135页 0240页 0266页 0283页 0300页 0302页 0314页 0368页 0395页 0397页 0414页 0458页 0460页
引言
二 直线与球面的位置关系和球幂定理
第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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三 球面的对称性 思考题
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第二讲 球面上的距离和角 一 球面上的距离
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二 球面上的角
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角课程设计 (2)
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角课程设计一、教学目标1. 知识目标•掌握球面上两点之间的距离计算方法；•掌握一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；•掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
2. 能力目标•培养学生运用向量和三角函数解决现实问题的能力；•培养学生利用数学工具解决实际问题的能力。
3. 情感目标•培养学生发掘和解决现实问题的兴趣；•培养学生合作学习和互动交流的习惯。
二、教学重难点1. 教学重点•掌握球面上两点之间的距离计算方法；•掌握一个点在球面上的极角和方位角的计算方法。
2. 教学难点•掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
三、教学内容与步骤1. 教学内容1.球面上两点之间的距离计算方法；2.一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；3.两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
2. 教学步骤(1) 导入通过生活实例引出本节课的主题：地球上两个城市之间的直线距离如何计算？(2) 概念讲解1.球面上两点之间的距离的概念；2.一个点在球面上的极角和方位角的概念。
(3) 计算方法讲解1.球面上两点之间的距离计算方法；2.一个点在球面上的极角和方位角的计算方法；3.两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法。
(4) 知识应用1.通过一个生活实例让学生掌握两点在球面上的距离和一个点在球面上的极、方位角的联合计算方法；2.学生自我拓展：运用所学知识解决生活实际问题。
(5) 总结通过回答问题或者让学生阅读教材相关部分，总结本课时所学内容。
四、教学方法1.情景教学法：通过情景化的方式帮助学生掌握知识；2.活动教学法：通过活动或案例分析等方式培养学生的计算能力；3.合作学习法：促进学生之间的交流和合作。
五、教学工具1.多媒体设备；2.教科书。
六、教学评估通过课后作业和课堂小测验评估学生的掌握程度。
七、教学策略1.在教学初期加强学生对直线、曲线距离计算原理的巩固；2.在教学过程中因材施教，根据学生的差异，分别进行知识引导和补充；3.在教学过程中，让学生参与讲解，激励学生的自主性和自我拓展能力。
球面距离(说课课件)
教 学 目 标
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
（1）教学重点 教 学 点 、 难 点 重 球面距离发现过程及激励学生主动参与、 球面距离发现过程及激励学生主动参与、相互协 作的精神，并能够解决实际问题。 作的精神，并能够解决实际问题。 （2）教学难点 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 实际问题数学化（建模）以及球面距离求法的运用． 突出重点，突破难点的策略： 突出重点，突破难点的策略：
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
引导---探究” “引导---探究”教学模式 引导---探究
教 学 方 法 本节课从知识结构呈现的角度看， 本节课从知识结构呈现的角度看 ， 为了实现教学 目标， 我采用“ 情境引入--- 探索思考------探索思考 ----问题解决 目标 ， 我采用 “ 情境引入 --- 探索思考 ---- 问题解决 数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 知识运用及巩固强化----（数学建模）-----知识运用及巩固强化-----课堂小 的学习模式， 结”的学习模式，这种模式清晰地再现了知识的生成 与发展的过程，也符合学生的认知规律。 与发展的过程，也符合学生的认知规律。从教学内容 的性质出发，充分利用实际问题， 的性质出发，充分利用实际问题，尽可能的增强教学 的互动性和可操作性， 的互动性和可操作性，强调学生的动手操作能力和团 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 队合作精神，通过丰富多彩的集体讨论，小组活动， 以合作学习促自主探究。 以合作学习促自主探究。
绵阳实验高级中学
绵阳实验高级中学
教 学 程 序 设 计
情境引入
探索思考
问题解决 数学建模） （数学建模）
课堂小结
知识运用 及巩固
人教A版高中数学选修3-3-2.1 球面上的距离- 课件(共16张PPT)
我们知道，在平面上，经过两点的 所有连线中，线段最短。
思考
在平面上可以画出直线，但球面是一个曲面， 球面上的线是弯曲的，不存在直线，球面上 有没有某种曲线可以“扮演”平面上直线的 角色呢？
如图，一架飞机从北京首都国际 机场起飞，目的地是美国纽约肯 尼迪国际机场，北京与纽约大致 都在北纬400上，如果不考虑其他 因素，飞机怎么飞行能够使航程 最短？
2 2
R.
同理，O' A =
2 2
R.
因为∠AO´B=90°．
所以 AB =
O' A2 O'B2
(
2 2
R)2
(
2 2
R)2
R.
又因为OA=OB=R，所以∠AOB=60°，
因此，球面上A，B两点间的距离等于
3
R.
由于不再同一条直线上的三点唯一确定 一个圆，因此过球面上两点必可连一条 大圆弧——劣弧。且只可连一条大圆 弧——劣弧。这类似平面上经过两点可 以连一条直线，且只可连一条直线；平 面上两点之间的最短路径是线段。因此， 球面上的大圆可以“扮演”平面上直线 的角色。
北T
N
B 北京
O´ S 旧金山
O
南
我们用点B表示北京，点N表示纽
约，点O表示球心.显然，在球面
上，点B，点N之间可以连无数条
曲线.在这无数条曲线中，经过点B， 点N之间有一个最短的路径。
北T N
B 北京
O´ S 旧金山
O
南
球面上两点间的距离
实际上，经过B，N，O三点（显然， 这三点不在同一条直线上）的平面截 球面，得到一个圆，这个圆是大圆， 大圆上的两点B，N把大圆分成两段圆 弧，长的一段叫做优弧，短的一段叫 做劣弧。这段劣弧的长度就是球面上 这两点之间的最短路径，我们称之为 球面上两点间的距离。
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角教学设计
人教版高中选修3-3第二讲球面上的距离和角教学设计一、教学目标1.理解球面上两点之间的距离和球面上的角的概念。
2.掌握球面上两点之间的距离和球面上的角的计算方法。
3.能够应用球面上的距离和角的知识解决实际问题。
二、教学重点和难点1.球面上两点之间的距离的计算。
2.球面上的角的概念和计算方法。
3.应用球面距离和角解决实际问题的能力。
三、教学内容及安排1. 球面上两点之间的距离（1）概念介绍球面上两点之间的距离的概念。
通过视频、图片等多种形式讲解，让学生直观感受两点之间的距离。
（2）计算方法讲解球面上两点之间的距离的计算方法。
通过例题讲解，让学生掌握计算球面距离的方法。
（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
2. 球面上的角（1）概念介绍球面上的角的概念。
通过视频、图片等多种形式讲解，让学生理解球面上的角。
（2）计算方法讲解球面上角的计算方法。
通过例题讲解，让学生掌握计算球面角的方法。
（3）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
3. 应用实际问题（1）例题分析让学生分析例题并应用所学知识解决实际问题。
通过讲解例题及其解法，让学生掌握应用球面上的距离和角解决实际问题的方法。
（2）练习让学生在教师的指导下，自主完成练习题，巩固所学知识。
四、教学方法1.演示法：通过视频、图片等多种形式展示球面上的距离和角的知识，让学生直观感受。
2.讲解法：详细讲解球面上距离和角的概念及计算方法。
3.练习法：通过让学生自主完成练习题，巩固所学知识，提高应用能力。
五、教学手段1.课件展示：通过PPT等形式展示教学内容，让学生更清晰地了解所学知识。
2.视频展示：通过播放相关视频，让学生直观感受球面上的距离和角的概念及应用方法。
3.练习册：提供练习册让学生自主完成练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1.学生掌握的知识点和技能能否达到教学要求。
2.学生的实际应用能力。
3.学生的参与度和合作度。
球面直线与球面距离PPT教学课件
⑶ t=0 v0= 5m/s f0=kv0 由牛顿运动定律 mgsinθ - μ mgcosθ –kv0 = ma ①
t=4s vt= 10m/s ft=kvt mgsinθ - μ mgcosθ –kvt =0 ② 解① ②得 k=37. 5 Ns/m
V/ms-1 15 10 C
B D
μ= 0.125
⑵分离后，对A a1= F1/m1=(9-2t) m/s2 对B a2= F2/m2=(1.5+t) m/s2
画出两物块的a-t 图线如图示（见前页）
t>2.5s
⑶ “a-t”图线下的“面积”在数值上等于速度的变化Δv
⑷ 由⑶算出图线下的“面积”即为两物块的速度
∴ VA=（4.5+2.5）×4 / 2=14m/s VB=（4 × 2.5）+（4+6）× 2 / 2 = 20 m/s 1kg 2kg
5A
t/s
0
4
二、斜面类问题
例1. 如图示，两物块质量为M和m，用绳连接后放在倾角为θ的 斜面上，物块和斜面的动摩擦因素为μ，用沿斜面向上的恒力F 拉物块M 运动，求中间绳子的张力.
例3、如图甲示，质量分别为m1=1kg 和m2=2kg 的A B两物块并 排放在光滑水平面上，若对A、B分别施加大小随时间变化的水平
外力 F1 和 F2 ，若 F1=（9-2t）N F2=（3+2t）N,则 ⑴经多少时间t 0两物块开始分离？ ⑵在同一坐标乙中画出两物块的加速度a1和a2随时间变化的图象 ⑶ “a-t”图线下的“面积”在数值上应等于什么？
2
(2)如图所示，设B为北京所在位置，S 为上海所在位置，那么过点B的经线所在 平面与过点S的经线所在平面的夹角为：
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教学设计
【课时安排】第1课时
【教学对象】
高二（下）学生
【教材分析】由地球上经纬度的定义在航海与空中飞行中，如何寻找球面上两点最短路线。
在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）求球面上两点距离。
这一节课体现了数学在实际问题的应用，立几方法的代数求解，学生掌握球面上现两点距离与方法，探索解决问题的一般思路和运用公式的本质，本节课的教学定位是：既是球面中立几的边线关系的理解运用，又是公式发现的探索思路，问题思考解决是关键；既强调学习该内容涉及的数学思想方法，又渗透问题解决的数学转化思想。
【学情分析】
★认知基础：①已经学习了立几中解三角形的方法
②空间想象行基本能力逐步形成
③有一定解决应用问题的能力
★认知障碍：①如何把各种解在不同图形中转化
②解决不同图形中解决部题主法的切入点。
【教学目标】
★知识与技能
①了解球面上两点距离的应用背景，探索与证明球面上两点距离；
②分不同认知层面掌握求球面上两点距离的方法。
③总结求球面上两点距离的方法与从不同角度认识距离公式。
★过程与方法
①经历观察发现、比较，并求解两点的距离的过程，领悟问题发现的探索思路，学习由特殊到一般的思维方式；
②通过尝试公式的证明，领悟分类讨论和等价转化，化归的数学思想。
★情感态度价值观
①感受数学公式的统一美、对称美；
②体会数学概念的科学价值和应用价值，形成崇尚数学的精神。
【教学重点】球面上两点距离定义与距离的求法
【教学难点】定义的理解，距离的求解
【教学关键】比较不同环境下数量关系；求解化归问题等价与转化。
【教学方法】以问题驱动，目标的比较为主
【教学手段】板书、计算机、PPT、几何画板
【教学流程】
球面距离的计算及其计算公式
问题提出：
一．球面上两点距离的定义
1）定义：在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离．（也叫球面上的短程线或测地线）
2）问题说明与推导
如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心，⊙O为过A、B的大圆，⊙O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内．（见图1）设2AOB，2BOA，球半径为R，半径为r．则有AB大圆弧长RL2，
AB小圆弧长rl2
raRrRlL22
（1）
但sin2sin2rRAB，即sinsinrR
（2）
将（2）代入（1）得sinsinsinsinalL
（3）
∵
rR，由（2）式知.由于20，故只需证明函数xxxfsin在2.0内为单调递减即可.
∴
0tancossincos22xxxxxxxxxf,
∵当2,0x时，有xxtan）∴
xf在2,0单调递减,
由（3）式不难得到1lL，即lL.
故大圆劣弧最短。
二．球面两点距离公式：
设一个球面的半径为R，球面上有两点11,A、22,B.
其中1，2为点
的经度数，1、2为点的纬度数，过A、B两点的大圆劣弧所对的圆心角为，则有
]sinsincoscosarccos[cos212121（弧度）
A、B间的球面距离为：]sinsincoscosarccos[cos212121RRL 证明：如图1，⊙1O与⊙2O分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过
B、D的大圆分别为A、B的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作AE面BCO2，垂足E位于
CO2上，连结EB、AB.
则2212212OOOOOOAE221sinsinRR2212sinsinR
在BEO2中，由余弦定理，得：212222222cos2BOEOBOEOBE 21212221cos2BOAOBOAO
21212221coscoscos2coscosRRRR
]coscoscos2coscos[112122122R
故]coscoscos2sinsin22[2121212222RBEAEAB
又cos122sin42sin222222RRRAB，比较上述两式，化简整理得：
212111sinsincoscoscoscos，从而可证得关于与L的两个式子.
三．计算球面距离的三种类型
现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难．下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考．
1．位于同一纬度线上两点的球面距离
例1
已知A，B两地都位于北纬45，又分别位于东经30和60，设地球半径为R，求A，B的球面距离．
分析：要求两点A，B的球面距离，过A，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角AOB的大小（见图1），而要求AOB 往往首先要求弦AB的长，即要求两点的球面距离，往往要
先求这两点的直线距离．
解：作出直观图（见图2），设O为球心，1O为北纬45圈的圆心，连结OA，OB，AO1
BO1，AB．由于地轴NS平面BAO1．∴1OAO与1OBO为纬度45，BAO1为二面角BOOA--1的平面角．∴3030601BAO（经度差）．Rt△1OAO中，RROAOOAAO2245coscos11．
△ABO1中，由余弦定理，BAOBOAOBOAOAB11121212cos2 22223230cos222222222RRRRR．
△OAB中，由余弦定理：43222322cos2222222RRRROBOAABOBOAAOB，
∴21AOB．∴AB的球面距离约为RR60721180．
2．位于同一经线上两点的球面距离
例2
求东经57线上，纬度分别为北纬68和38的两地A，B的球面距离．（设地球半径为R）．
解：经过BA、两地的大圆就是已知经线．
303868AOB，618030RRAB．
3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离
例3
A地位于北纬30，东经60，B地位于北纬60，东经90，求A，B两地之间的球面距离．（见图4）
解：
设O为球心，1O，2O分别为北纬30和北纬60圈的圆心，连结OA，OB，AB．\Rt△AOO1中，由纬度为30知301OAO，RROAOOAOO2130sinsin11,
RROAOOAAO2330coscos11．Rt△BOO2中，602OBO，
∴RROO2360sin2，260cos2RRBO,∴RRROOOOOO21321231221．注意到AO1与BO2是异面直线，它们的公垂线为21OO，所成的角为经度差306090，利用异面直线上两点间的距离公式．cos22122122212BOAOOOBOAOAB（为经度差）
2222432530cos212322132123RRRRRR．
△AOB中，RRRRROBOAABOBOAAOB243252cos222222
8205.08323．∴35AOB．∴AB的球面距离约为RR36735180．。