江苏省高三数学周练文(12.1)(无答案)

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2013高考数学一轮同步训练(文科) 12.1相似三角形的判定及其有关性质

第十二章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及其有关性质强化训练当堂巩固1.如图所示,在 ABCD中,BC=24,E、F为BD的三等分点,则BM= ,DN= .答案:12 6解析:∵AD∥BC,∴△AED∽△MEB,△DFN∽△BFM.∴1122DNBM BE DFAD ED BM FB==,==.∴1122BM AD==,162DN BM==.2.如图,在△ABC中,AD是BAC∠的角平分线,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm,则BD= cm.答案:35 9解析:∵54 AB BDAC DC==,∴359BD= cm.3.如图,BD、CE是△ABC的中线,P、Q分别是BD、CE的中点,则PQ∶BC= .答案:1∶4解析:如图,连结DE,则BC ∥DE.又BD 、EC 为△ABC 的中线, ∴12ED BC =.延长PQ 交AB 于F,交AC 于G. ∵P 为BD 的中点, ∴12PG BC ED ==.又12QG ED =,∴12QG PG PQ ==.∴1124PQ PG BC ==,即14PQ BC =. 4.如图,圆O 的直径AB=6,C 为圆周上一点,BC=3,过C 作圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD,垂足为D,则线段CD 的长为 .答案解析:易知22227AC AB BC =-=,即AC =.由题可知,Rt △ABC ∽Rt △ACD,∴CD AC CD CBAB=,=.5.在△ABC 中90C ,∠= ,在AB 边上取一点D,使BD=BC,作DE AB ⊥交AC 于E,AC=8,BC=6.求DE 的长.解:在△ABC 中90C ,∠= ,AC=8,BC=6,∴10AB ==.又∵BD=BC=6, ∴AD=AB-BD=4. ∵DE AB ⊥,∴90ADE C ∠=∠= . 又∵A A ∠=∠, ∴△AED ∽△ABC. ∴DE AD BC AC=.∴4638AD DE BC AC =⋅=⨯=.课后作业巩固提升见课后作业A题组一平行线分线段成比例定理1.如图,AB ∥EF ∥CD,已知AB=20,CD=80,BC=100,则EF 等于( )A.10B.12C.16D.18 答案:C解析:∵AB ∥EF ∥CD, ∴CF EF EF BF AB BC CD BC=,=.∴1CF BF EF EF AB CD BC++==,即12080EF EF +=.∴EF=16.2.如图,在△ABC 中,DE ∥BC,DF ∥AC,AE ∶AC=3∶5,DE=6,则BF= .答案:4解析:63105DE AE BC BC AC BC =⇒=⇒=,∴BF=10-6=4.3.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段,这两条线段的比是3∶2,则梯形的上、下底长分别是 .答案:12、18解析:梯形的中位线被一条对角线分成的两段分别是6和9,由三角形的中位线定理可知,该梯形的上底长为12,下底长为18. 题组二相似三角形的判定和性质4.如图,已知DE ∥BC,△ADE 的面积是2 cm 2,梯形DBCE 的面积为6 cm 2,则DE ∶BC 的值是.答案:1∶2解析:∵DE ∥BC, ∴△ADE ∽△ABC.∴2221264ADE ABC S DE S BC ===,+ 即DE ∶BC=1∶2. 5.如图,在△ABC 中,DE ∥BC,EF ∥CD,若BC=3,DE=2,DF=1,则BD 的长为 ,AB 的长为 .答案:32 92解析:易知△FDE ∽△32FD DE DBC BD DB BC ⇒=⇒=.由2223AE DE AE AF AF AC BC EC FD==⇒==⇒=,所以92AB =.6.如图,D 是△ABC 的边AB 上的一点,过D 点作DE ∥BC 交AC 于E,已知AD ∶DB=2∶3,则ADE BCEDS S = 四边形.答案:421解析:由AD ∶DB=2∶3, 知AD ∶AB=2∶5, ∴425ADEABC S S = . ∴421ADE BCEDS S = 四边形. 7.如图,四边形ABCD 是圆O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于点P,若1123PC PB PA PD =,=,求BC AD 的值.解:因为A,B,C,D 四点共圆,所以DAB PCB CDA PBC ∠=∠,∠=∠, 因为P ∠为公共角,所以△PBC ∽△PDA. 所以PC BC PB PD PA AD==.设PB=x,PC=y,则有32yx x yx=⇒=所以3BC x AD y==题组三直角三角形的射影定理8.如图所示,已知直角三角形ACB 中,BC=4,AC=3,以AC 为直径作圆O 交AB 于D,则AD= .答案:95解析:∵直角三角形ABC,且BC=4,AC=3, ∴AB=5.根据射影定理知2AC AD AB ,=⋅,∴295AC AD AB ==. 9.在直角三角形中,斜边上的高为6,斜边上的高把斜边分成两部分,这两部分的比为3∶2,则斜边上的中线长为 .答案解析:设斜边上的两段的长分别为3t,2t,由直角三角形中的射影定理知:2632t t =⋅,解之得t =∴斜边长为10.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D,CD=4,BD=8,求线段DO 的长.解:由射影定理可得2=⋅,CD AD BD即16=8AD,∴AD=2. 又∵AB=AD+BD=10, ∴AO=OB=5,即OD=AO-AD=3.。

江苏省高三数学周练文(11.10)(无答案)

高三数学周末练习（文科）填空题1．若复数(2)a ai +-（i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为．2．若1sin()63πα-=-，则cos()3πα+= ．3．过原点作曲线x y e =的切线，则切线方程为．4．设集合11{3{0}3x x A x B x x-=<<=<，则A B =___ __．5．一个算法的流程图如图1所示，则输出的S 值为．6．如图2，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点,O 设AD =a ，AB =b ，若2AB DC =，则AO = ．（用向量a 和b 表示）7．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是________．8．把一根均匀木棒随机地按任意点拆成两段，则“其中一段长度大于另一段长度2倍”的概率为______．9．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n 的值为_____．10．已知抛物线)0(22>=p px y 焦点F 恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点（2232,a b p p），则该双曲线的渐近线方程为．11．已知函数22log (1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩ 若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是______．12．首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈,若对一切n N +∈都有1n n a a +>，则1a 的取值范围是__ ___．ABCDO13．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是．14．若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为．二、解答题15．（14分）已知向量cos ,1),(cos ,()),.m x x n x f x m n =+=-⊥ （1）求()f x 的单调区间；（2）已知A 为ABC ∆的内角，若1()1,22A f a b =+==求ABC ∆的面积. 16．（14分）四边形ABCD 与A ABB ''都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点， AA '⊥平面ABCD .（1）求证：；//A C '平面BDE（2）求证：平面A AC '⊥平面BDE 17．（14分）某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元.（1）若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？18．（16分）已知直线1:3450,l x y +-=圆O ：224x y += （1）求直线1l 被圆O 所截得的弦长.（2）如果过点（-1，2）的直线2l 与1l 垂直，2l 与圆心在直线20x y -=上的圆M 相切，圆M 被1l 分成的的两段圆弧比为 1 ：2，求圆M 方程.19．（16分）已知{}n a 是等比数列，公比,1>q 前n 项和为342127,,4,{}:2,1,2,....2nb n n n S S a b a n a +====且数列满足（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）设数数1{}n n b b +的前n 项和为,n T 求证11(*)32n T n N ≤<∈．20．（16分）已知函数3211()(1)(,32f x x p x qx p q =+-+为常数）．（1）若函数()f x 在1x =和3x =处取得极值，试求p ，q 的值；（2）在(1)的条件下，求证：方程()1f x =有三个不同的实数根；（3）若函数()f x 在()1,x -∞和()2,x +∞单调递增，在()12,x x 上单调递减，又211x x ->，且1x a >，试比较2a pa q ++与1x 的大小．。

12.1 全等三角形初中数学人教版八年级上册课后习题(含答案)

12.1　全等三角形一、能力提升1.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED2.如图,若△NMQ≌△MNP,且MN=8 cm,NP=6 cm,PM=7 cm,则MQ的长为( )A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.5 cm3.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,BC上的点.若△ADB≌△EDC≌△EDB,则∠C的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.30°4.如图,△ACB≌△A'CB',∠BCB'=30°,则∠ACA'等于( )A.20°B.30°C.35°D.40°5.如图,已知△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB的度数是 .6.如图,△ABD≌△AEC,∠B和∠E是对应角,AB与AE是对应边.求证:BC=ED,∠BAC=∠EAD.7.如图,△ABC≌△ABD,∠DAC=90°.(1)求∠C的度数;(2)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.8.如图,已知△ABC≌△DEF,∠B=∠E=90°,∠A=61°,AB=5,BC=9,CF=6.(1)求∠D,∠DFE的度数;(2)求线段DE,CE的长.二、创新应用★9.阅读下面的文字,然后回答相关问题:如图①,若把△ACD沿着直线AC平行移动,它就能和△CBE重合,像这种变换图形位置的方法,叫做平移变换;如图②,若把△ABC沿着直线BC翻折,它就能和△DBC重合,像这种变换图形位置的方法,叫做翻折(或翻转)变换;如图③,若把△AOC绕着点O旋转一定的角度,它将与△EOD重合,像这种变换图形位置的方法,叫做旋转变换.想一想:(1)如图④,若△ABC≌△DEF,且点B与点E,点C与点F是对应顶点,则进行怎样的图形变换可以使这两个三角形重合?(2)如图⑤,已知△ABF≌△DCE,点E与点F是对应顶点,则△DCE可以看成是由△ABF通过怎样的图形变换得到的?一、能力提升1.B　∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,AC=AE,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.故选B.2.C　因为△NMQ≌△MNP,所以MQ与NP是对应边,即MQ=NP=6cm.3.D　∵△EDB≌△EDC,∴∠DEB=∠DEC=90°.∵△ADB≌△EDB,∴∠DAB=∠DEB=90°.∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠C=∠ABD=∠CBD=30°.4.B　因为△ACB≌△A'CB',所以∠ACB=∠A'CB',所以∠ACB-∠A'CB=∠A'CB'-∠A'CB,即∠ACA'=∠BCB'=30°.5.120°　因为△OAD≌△OBC,所以∠D=∠C=25°.根据三角形外角的关系,得∠DBE=∠C+∠O=25°+70°=95°,所以∠AEB=∠D+∠DBE=25°+95°=120°. 6.证明∵△ABD≌△AEC,∴BD=EC,∠BAD=∠EAC.∴BD-CD=EC-CD,∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD,即BC=ED,∠BAC=∠EAD.7.解(1)因为△ABC≌△ABD,所以∠C=∠D.因为在△ACD中,∠C+∠D+∠DAC=180°,×(180°-90°)=45°.又∠DAC=90°,所以∠C=∠D=12(2)AB⊥CD.理由:因为△ABC≌△ABD,所以∠ABC=∠ABD.又∠ABC+∠ABD=180°,所以∠ABC=90°.所以AB⊥CD.8.解(1)∵△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D=61°.在△DEF中,∵∠E=90°,∠D=61°,∴∠DFE=90°-∠D=90°-61°=29°.(2)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE=5,BC=EF=9.∴CE=EF-CF=9-6=3.二、创新应用9.解(1)先将△ABC沿着直线BF平移,使点B与点E重合,点C与点F重合,再将此三角形沿着EF所在直线翻折便能与△DEF重合.(2)先将△ABF沿着直线BC平移,使点F与点E重合,再将此三角形绕着点E逆时针旋转180°,便可得到△DCE.(答案均不唯一)。

12.1 全等三角形人教版数学八年级上册同步练习(含答案)

第十二章全等三角形12.1 全等三角形第1课时认识全等三角形1.能够_________的两个图形叫做全等形.两个三角形重合时，互相__________的顶点叫做对应顶点.记两个全等三角形时，通常把表示___________顶点的字母写在_________的位置上.2.如图，△ABC≌△ADE，若∠D=∠B，∠C=∠AED，则∠DAE=_______；∠DAB=__________ .3.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm，BD=4cm，AD=6cm，那么BC 的长是( )A.6cmB.5cmC.4cmD.无法确定4.在上题中，∠CAB的对应角是(　)A.∠DABB.∠DBAC.∠DBCD.∠CAD5. 如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，且AD = BC6.如图，△ABC ≌△AED，AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边，∠BAC与∠EAD是对应角，且∠BAC=25°，∠B=35°，AB =3cm，BC =1cm，求出∠E，∠ ADE 的度数和线段DE，AE 的长度.参考答案：1. 重合重合对应相对应2. ∠BAC ∠EAC3.A4.B5.C6. 解:∵△ABC≌△AED，(已知)∴∠E= ∠B = 35°，(全等三角形对应角相等)∠ADE =∠ACB =180°–25°–35°=120 °，(全等三角形对应角相等) DE = BC =1cm，AE = AB =3cm.(全等三角形对应边相等)。

江苏省黄桥中学分校高三数学(文科)双周练试

江苏省黄桥中学分校高三数学（文科）双周练试卷（三角函数、平面向量、数列） 2008-9-16命题人：徐卫华审核人：徐学兵一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填答题纸上）1、已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则其通项n a ＝★2、已知向量(2,4)=a ，(1,1)=b ，若向量()m ⊥+b a b ，则m = ★3、在等差数列{n a }中，22,16610a a x x --=是方程的两根，则5691213a a a a a ++++=★4、曲线y y x x y 在和直线21)4cos()4sin(2=-+=ππ轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 2P 4|= ★5、设20062005,1}{a a q a n 和若的等比数列为公比>是方程03842=+-x x 的两根，则a 2007+a 2008=★6、在(0,2π)内，使sin cos x x ≥成立的x 的取值范围为： ★7、各项均正的数列{}n a 中, 21=a ,nn n n a a n a a -+=+++111，则n a =★ 8、若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2008a =★边BC上一点，9、如图,在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是2DC BD =，则AD BC ⋅=★记作1i i t t + ，10、将半径为1的圆周十二等分，从分点i 到分点i+1的向量依次1223233412112t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅++⋅=则★11、已知a n ＝(2n －1)⋅⎝⎛⎭⎫13n，把数列{a n }的各项排成三角形状；记A (m ，n )表示第m 行，第n 列的项，则A (5，2)＝★12、已知向量OB ＝(2，0)，OC ＝(2，2)，CA ＝(cos α，sin α)( α∈R)，则OA 与OB夹角的取值范围是★13、已知,a b 是两个互相垂直的单位向量, 且1⋅=c a ,1⋅=c b,||=c 则对任意的正实数t ,1||t t++c a b 的最小值是★14、在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：ABDCa 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…………………………先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ★二、解答题（本题共6小题，总分90分）15、（本小题14分）已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n =（2，0），且m 与n 所成角为3π，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

2021年高三上学期数学周练试卷(文科)(12.8) 含答案

2021年高三上学期数学周练试卷（文科）（12.8）含答案一、选择题1、若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间（）A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内2、已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.3、下列各小题中，p是q的充分必要条件的是( )①有两个不同的零点②是偶函数③④A．①②B．①④C．③④ D．②③4、已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（）A． B． C．4D．35．已知a＝，b＝，，则a，b，c三者的大小关系是( )A．b>c>a B．b>a>c C．a>b>c D．c>b>a6、若，则的值为（）A． B． C．D．7、△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，且B＝30°，△ABC的面积为，那么b为( )A．1＋B．3＋C. D．2＋8、已知数列的前项和为，且，则 ( )A．－16 B．16 C．31 D．32 9、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（）A． B． C． D．10、下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面 B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x>0时,g(1)=0且＞0,则不等式g (x)f(x) >0的解集是（）A. (-1, 0)∪(0,1)B. (-1, 0)∪(1,+ ∞)C.(-∞, -1)∪(1,+ ∞)D.(-∞, -1)∪（0,1)12、在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,过对角线BD1的一个平面交AA1于E,交CC1于F,得四边形BFD1E,给出下列结论:①四边形BFD1E有可能为梯形; ②四边形BFD1E有可能为菱形; ③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形; ④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D;⑤四边形BFD1E面积的最小值为. 其中正确的是( )(A)①②③④ (B)②③④⑤ (C)①③④⑤ (D)①②④⑤二。

【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第十二章 12.1导数应用问题-(学生版+教师版)

导数应用问题第一课时1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋4，若f (x )的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(32，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)3．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 4．设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．阶段训练题型一利用导数研究函数性质例1 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．题型二利用导数研究方程的根或函数的零点问题例2 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．题型三利用导数研究不等式问题例3 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g (x )＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是____________．阶段重难点梳理1．已知函数f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．2．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)e x(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．4．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．5．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－x ，其中a 为非零实数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)x 1<12.导数应用问题第一课时1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋4，若f (x )的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(32，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 D解析由题意知f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，当a ≤0时，不符合题意．当a >0时，f (x )在(0，2a3)上单调递减，在(2a3，＋∞)上单调递增，所以由题意知f (2a3)<0，解得a >3，故选D.3．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln 2解析 y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)，∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.4．设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)maxf (x 2)min .因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝e 2－x (1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0)．当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1.作业检查无题型一利用导数研究函数性质例1 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.阶段训练第2课时因此，a 的取值范围是(0,1)．思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f (x )的单调性，可转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32，即a ≥32.因此a 的取值范围为a ≥32.题型二利用导数研究方程的根或函数的零点问题例2 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：↘ ↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．思维升华函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增， g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．题型三利用导数研究不等式问题例3 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．(1)解对任意x ∈(0，＋∞)，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4. (2)证明问题等价于证明 x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))．f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g (x )＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－74，－32]解析问题等价于f (x )的值域是g (x )的值域的子集，显然，g (x )单调递减，∴g (x )max ＝g (2)＝12，g (x )min ＝g (4)＝－234；对于f (x )，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况列表如下：x －1 (－1，13)13 (13，1) 1 (1,2) 2f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x ) a －4 ↗ 427＋a ↘ a ↗ a ＋2∴f (x )max ＝a ＋2，f (x )min ＝a －4，∴⎩⎨⎧a ＋2≤12，a －4≥－234，∴a ∈[－74，－32].1．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，第3课时阶段重难点梳理由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 2．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值．解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e. 所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：①当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间[t ，1e )上f (x )为减函数，在区间(1e ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (1e )＝－1e.3．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：↘↗所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ， f (0)＝1<b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 4．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a.此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又由s (1)＝0，有s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0. 因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－x ，其中a 为非零实数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)x 1<12.(1)解 f ′(x )＝ax ＋1＋x －1＝x 2＋(a －1)x ＋1，x >－1，当a －1≥0，即a ≥1时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，当0<a <1时，由f ′(x )＝0，得 x 1＝－1－a >－1，x 2＝1－a ，∴f (x )在区间(－1，－1－a )上单调递增，在(－1－a ，1－a )上单调递减，在(1－a ，＋∞)上单调递增．当a <0时，∵x 1<－1，∴f (x )在(－1，1－a )上单调递减，在(1－a ，＋∞)上单调递增． (2)证明 ∵0<a <1且x 1＝－1－a ，x 2＝1－a ， ∴x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝a －1且x 2∈(0,1)， f (x 2)x 1<12⇔f (x 2)－x 2<12⇔f (x 2)＋12x 2>0 ⇔a ln(x 2＋1)＋12x 22－12x 2>0 ⇔(1－x 22)ln(x 2＋1)＋12x 22－12x 2>0 ⇔－(x 2－1)(1＋x 2)ln(x 2＋1)＋12x 2(x 2－1)>0⇔(1＋x 2)ln(x 2＋1)－12x 2>0，令g (x )＝(1＋x )ln(x ＋1)－12x ，x ∈(0,1)，∵g ′(x )＝ln(x ＋1)＋12>0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴g (x )>g (0)＝0. 故原命题得证．1．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞) D ．[1，＋∞)答案 D解析由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x <1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋4，若f (x )的图象与x 轴正半轴有两个不同的交点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(32，＋∞)进门测C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)答案 D解析由题意知f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )，当a ≤0时，不符合题意．当a >0时，f (x )在(0，2a3)上单调递减，在(2a3，＋∞)上单调递增，所以由题意知f (2a3)<0，解得a >3，故选D.3．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________. 答案 1－ln 2解析 y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x ＋1)的切线为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)，∴⎩⎨⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2.4．设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，则正数k的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g (x 1)k ≤f (x 2)k ＋1恒成立，所以k k ＋1≥g (x 1)maxf (x 2)min .因为g (x )＝e 2xe x ，所以g ′(x )＝e 2－x (1－x )．当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0,1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．所以当x ＝1时，g (x )取到最大值，即g (x )max ＝g (1)＝e. 又f (x )＝e 2x ＋1x≥2e(x >0)．当且仅当e 2x ＝1x ，即x ＝1e 时取等号，故f (x )min ＝2e.所以g (x 1)max f (x 2)min ＝e 2e ＝12，应有k k ＋1≥12，又k >0，所以k ≥1.无题型一利用导数研究函数性质例1 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．作业检查阶段训练第2课时(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝⎛⎭⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f (x )的单调性，可转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32，即a ≥32.因此a 的取值范围为a ≥32.题型二利用导数研究方程的根或函数的零点问题例2 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：↘ ↗所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)．f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. (2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．思维升华函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2. (1)求a ；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增， g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．题型三利用导数研究不等式问题例3 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x 成立．(1)解对任意x ∈(0，＋∞)，有2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4. (2)证明问题等价于证明 x ln x >x e x －2e(x ∈(0，＋∞))．f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取到．从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x >1e x －2e x成立．思维升华求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值繁琐时，可采用直接构造函数的方法求解．已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g (x )＝－2x ＋9x，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是____________．答案 [－74，－32]解析问题等价于f (x )的值域是g (x )的值域的子集，显然，g (x )单调递减，∴g (x )max ＝g (2)＝12，g (x )min ＝g (4)＝－234；对于f (x )，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况列表如下：↗ ↘ ↗ ∴f (x )max ＝a ＋2，f (x )min ＝a －4，∴⎩⎨⎧a ＋2≤12，a －4≥－234，∴a ∈[－74，－32].1．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．第3课时阶段重难点梳理当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 2．已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数)． (1)当a ＝5时，求函数y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值．解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e. 又g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e. 所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：①当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t .②当0<t <1e 时，在区间[t ，1e )上f (x )为减函数，在区间(1e ，t ＋2]上f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (1e )＝－1e.3．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1. (2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：↘↗所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ， f (0)＝1<b ，所以存在x 1∈(－2b,0)，x 2∈(0,2b )，使得f (x 1)＝f (x 2)＝b .由于函数f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上均单调，所以当b >1时曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 4．设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中a ∈R . (1)讨论f (x )的单调性；(2)确定a 的所有可能取值，使得f (x )>1x －e 1－x 在区间(1，＋∞)内恒成立(e ＝2.718…为自然对数的底数)．解 (1)f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减．当a >0时，由f ′(x )＝0，有x ＝12a. 此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． (2)令g (x )＝1x －1e x －1，s (x )＝e x －1－x .则s ′(x )＝e x －1－1.而当x >1时，s ′(x )>0，所以s (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又由s (1)＝0，有s (x )>0，从而当x >1时，g (x )>0. 当a ≤0，x >1时，f (x )＝a (x 2－1)－ln x <0.故当f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内恒成立时，必有a >0. 当0<a <12时，12a >1.由(1)有f ⎝⎛⎭⎫12a <f (1)＝0，而g ⎝⎛⎭⎫12a >0，所以此时f (x )>g (x )在区间(1，＋∞)内不恒成立．当a ≥12时，令h (x )＝f (x )－g (x )(x ≥1)．当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2>0.因此，h (x )在区间(1，＋∞)内单调递增．又因为h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝f (x )－g (x )>0，即f (x )>g (x )恒成立．综上，a ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞.5．已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋12x 2－x ，其中a 为非零实数．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)x 1<12.(1)解 f ′(x )＝ax ＋1＋x －1＝x 2＋(a －1)x ＋1，x >－1，当a －1≥0，即a ≥1时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，当0<a <1时，由f ′(x )＝0，得 x 1＝－1－a >－1，x 2＝1－a ，∴f (x )在区间(－1，－1－a )上单调递增，在(－1－a ，1－a )上单调递减，在(1－a ，＋∞)上单调递增．当a <0时，∵x 1<－1，∴f (x )在(－1，1－a )上单调递减，在(1－a ，＋∞)上单调递增． (2)证明 ∵0<a <1且x 1＝－1－a ，x 2＝1－a ， ∴x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝a －1且x 2∈(0,1)， f (x 2)x 1<12⇔f (x 2)－x 2<12⇔f (x 2)＋12x 2>0 ⇔a ln(x 2＋1)＋12x 22－12x 2>0 ⇔(1－x 22)ln(x 2＋1)＋12x 22－12x 2>0 ⇔－(x 2－1)(1＋x 2)ln(x 2＋1)＋12x 2(x 2－1)>0⇔(1＋x 2)ln(x 2＋1)－12x 2>0，令g (x )＝(1＋x )ln(x ＋1)－12x ，x ∈(0,1)，∵g ′(x )＝ln(x ＋1)＋12>0，∴g (x )在(0,1)上单调递增，∴g (x )>g (0)＝0. 故原命题得证．。

江苏省南京市江宁高级中学高三数学周周练(3)

高三数学周周练（3）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置．．．．上．．1.在复平面内，复数21ii-+对应的点位于第四象限.2. 命题“若1x>，则0x>”的否命题是若1x≤，则0x≤ ;3.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是 600 .4.在区间)2,2(ππ-上随机取一个实数x，使得21xcos>成立的概率为32；5. 向量,的夹角为120°，|5|,3||,1||baba-==则= 7 ．6. 执行上面的框图，若输入的N是6，则输出p的值是 720 .7. 过双曲线)0,0(12222>>=-babyax的一个焦点F引它到渐进线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若MEFM2=，则该双曲线离心率为 3 ;8.计算12323nn n n nC C C nC++++L，可以采用以下方法：k s*5u（第3题图）11（第6题图）11构造恒等式0122(1)n nn n n n n C C x C x C x x ++++=+L ，两边对x 求导，得12321123(1)n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+L ，在上式中令1x =，得1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅L ．类比上述计算方法，计算12223223n n n n n C C C n C ++++=L 22)1(-+n n n ．9. 若函数12sin y x =（[0,2)x π∈）在P 处的切线平行于函数2(1)3xy =+在Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为3810. 已知)2,0(,1010)4cos(π∈θ=π+θ，则)42sin(π-θ的值为 102 ； 11.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB = BC，AC = 2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为 4； 12. 已知数列{}n a 中，121,3a a ==，对任意*n N ∈，2132,21n n n n n a a a a ++≤+⋅≥+都成立，则1110a a -= 102413. 已知，点),(y x P的坐标满足0200y x y -<-+<⎨⎪≥⎪⎩，则223y x y x ++的取值范围为)3,3[- ．14.已知函数)M a 0(1ax x )x (f 023≤≤--=存在整数零点的a 恰有3个，则0M 的取值范围是 )1663,926[。

江苏省马塘中学高三数学周周练三苏教版

高三年级第一次月考数学试题（文理必试部分）一、填空题：1、若复数2(3)(,()z a a i a R =--∈2007=2、平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m ＇和n ＇，给出下列四个命题：（1）m ＇⊥n ＇⇒m ⊥n; （2）m ⊥n ⇒ m ＇⊥n ＇（3）m ＇与n ＇相交⇒m 与n 相交或重合；（4）m ＇与n ＇平行⇒m 与n 平行或重合. 其中不正确的命题是3、已知点A 、B 、C 3=4=5=，则AB CA CA BC BC AB ⋅+⋅+⋅的值是_____________.4、ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m +=)sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________5、已知：}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈ ，则实数m 的取值范围6、设函数)]}2008([{)(,)(,)(3212312211f f f x x f x x f x x f ，则===-=7、已知ABC △1，且sin sin A B C +=．则边AB 的长为 8、若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= 9、已知||1a =，||2b =，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 . 10、如果)2,0(πθ∈，且θθθθcos )cos 1(sin )sin 1(22+>+，那么角θ的取值范围是 11、已知41)6sin(=-απ，则)26sin(απ+= 12、已知点A ，B ，C 不共线，且有1332AB BC BC CA CA AB==-，则,,AB CA BC 的大小关系为_________．13、已知O 为坐标原点, ()()1,1,5,5,OM NM =-=-集合{}2,,A OR RN OP OQ ==A ∈ 且(),0MP MQ λλλ=∈≠R 且，则MP MQ ⋅=14、定义在R 上的函数()f x ：当sin x ≤cos x 时，()cos f x x =；当sin cos x x >时，()sin f x x =。

江苏省黄桥中学高三(文科)数学周周练(一) 苏教版

江苏省黄桥中学高三(文科)数学周周练(一) 苏教版命题人：袁春伟2008-7-22一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置上 1、已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A = ▲ __ 2、函数2234log ()y x x =--的单调增区间是 ▲3、函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为___ ▲ __ 4、设函数)(x f 是奇函数且周期为3，)2008(1)1(f f ，则-=-= ▲5、若2)21()21(=-++x f x f 对任意的正实数x 成立,则)20103()20102()20101(f f f ++ +=+)20102009(f ▲ 6、如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ▲7、若椭圆221x my +=（0＜m ＜13轴长为 ▲8、若不等式1-)10(log xa a -＜0有解，则实数a 的范围是 9、若三条直线320,230,0x y x y mx y -+=++=+=不能构成三角形，则m 可取得的值构成的集合是 ▲ 10、圆2264120x y x y +--+=上一点到直线3420x y +-=的距离的最小值为 ▲11、给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题：（1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//；（3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是 ▲ （填序号） 12、水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的表面积，用锐角︒45的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，OXA B F Y俯视图主视图左视图第5题图P A C并使三角板与地面垂直，如果测得PA=1m ，则球的表面积等于 ▲ 13、函数2sin y x x =-在(0,)π上的单调递增区间为 ▲14、已知（0x ，0y ）是直线21x y k +=-与圆22223x y k k +=+-的交点，则00x y 的取值范围为 ▲ 二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本题满分14分）直线l 经过点A （2，4），且被平行直线x-y+1=0与x-y-1=0所截得的线段的中点在直线x+y-3=0上，求直线l 的方程 16、（本题满分14分）已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }．（1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．17、（本题满分15分）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点．（1）求证AE ⊥D 1F ；（2）证明平面AED ⊥平面A 1FD 1．18、（本题满分15分）已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，相交于M 、N 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）求证：AM AN ⋅=定值；（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值19、（本题满分16分）已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(7分)(Ⅱ)已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.20、（本题满分16分）圆222=+y x 与x 轴交于F 1、F 2两点，P 为圆上一点.椭圆)0(12222>>=+b a by a x 以F 1、F 2为焦点且过点P.（Ⅰ）当P 点坐标为)0)(22,(00>x x 时，求x 0的值及椭圆方程；（Ⅱ）当P 点在圆上运动时（不与F 1、F 2重合），求椭圆离心率e 的取值范围；FCEA 1B 1 DAD 1C 1 B高三(文科)数学周周练(一)答案：1、}1,1{-2、(4,)+∞3、2,4⎡⎤⎣⎦4、15、20096、334 7、4 8、（0，1）()101，⋃ 9、{-3，-1，2} 10、2 11、（1）、（2）、（3）12、（12+π）28 13、(,)3ππ 14、1792,1792⎡-+⎣15、解：中点在x+y-3=0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x-y=0上，从而求得中点坐标为（23，23），由直线过点（2，4）和点（23，23），得直线的方程为5x-y-6=0 16、由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)． 17、（1）取AB 的中点G ，则易证得A 1G ∥D 1F ．又正方形A 1ABB 1中，E 、G 分别是相应边的中点，∴A 1G ⊥AE ，∴D 1F ⊥AE ．（2）由正方体可知：A 1 D 1⊥面A 1ABB 1，∴A 1D 1⊥AE ．又由（1）已证：D 1F ⊥AE ． ∵A 1D 1∩D 1F = D 1，∴AE ⊥平面A 1FD 1 ．又AE ⊂平面AED ， ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1 ． 18、解：（1）(1,),l a k =直线过点(0,1)且方向向量1l y kx ∴=+直线的方程为 22311,1k k -+<+得4747k -+<<(22C AT T AT 设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AM AN AM AN AT AM AN ∴⋅=︒==∴⋅为定值1122(3)(,),(,)M x y N x y 设1y kx x =+22将代入方程(-2)+(y-3)=1得k x k x 22(1+)-4(1+)+7=0212227,11k x x x x k k ∴=++124(1+)+=2121212122(1)()18121k k OM ON x x y y k x x k x x k ∴⋅=+=++++=+=+4(1+)24,11k k k k∴==+4(1+)解得1,0,1k k =∆>∴=又当时 19、解: (Ⅰ)由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F(3,0). 设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y +=(Ⅱ)因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离221d r m n=<=+. 所以直线l 与圆O 恒相交又直线l 被圆O 截得的弦长为22221221L r d m n =-=-+212191625m =-+由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则1546[]L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是1546[L ∈ 20、解：（Ⅰ）由圆与x 轴的交点为)0,2(±得椭圆的焦距2c=22∴222222b a b a +==-即 ∴椭圆的方程可化为122222=++b y b x ① 将)22,(0x P 代入圆得 ,2212=+x ∴260=x , ∴)22,26(±P 代入①式得 12122322=++bb ∴b 2=1∴所求椭圆的方程为 .1322=+y x （Ⅱ）设2211||,||r PF r PF == ∵P 是圆上点 ∴有222214c r r =+ ② 由r 1+r 2=2a 得212222124r r a r r -=+ ③ 由②③得 222122c a r r -= ∵22121)2(r r r r +≤ 当且仅当r 1=r 2时等号成立 ∴有222)22(22a c a ≤- ∴212≥e 由e <1 ∴椭圆的离心率e 的取值范围是 .121<≤e。

江苏省2021届高三周练数学答案

1 邀 1⊧
邀
邀邀由题意得邀 1⊧鄠
1 邀邀 1 ，所以
1 1⊧鄠；，
所以
邀
邀
⊧
邀
81 ．
1
1
21.解： 1 由离心率为，可得
，
邀
邀，
且以原点 O 为圆心，椭圆 C 的长半轴长为半径的圆的方程为㟠邀
邀，
因与直线㟠邀
相切，则有邀，即邀
， 1，
1，故椭圆方程为：㟠邀
1；
当直线 l 的斜率不存在时， 1 ， 1
㟠，邀
⊧，
在一项展开式邀㟠邀邀邀1㟠邀邀㟠邀邀邀㟠中，
令㟠 1，可得邀邀邀1 邀邀邀邀邀邀⊧ 邀邀
⊧．
令㟠 1，可得邀邀1 邀邀邀邀邀⊧ 邀 1 ，
可得邀1 邀邀邀邀
⊧ ，邀1 邀邀邀邀 1 1 故答案为 40；121．
14.【答案】
，所以可得邀⊧ ⊧，
在
中，所以
，所以邀⊧
⊧
⊧；
⊧邀
设կ կ կ կ ，易知 cos
cos
邀⊧
⊧．
在
中，由余弦定理得 18
− ⊧ ，解得
，
所以
1 sin
1
，
在所以կ կ
中，因为邀⊧ ，所以
⊧
⊧，կ կ 1 ，所以
8
，
，
邀
1 8
．
8
第页，共 8页
若选②， 1 因为邀⊧ 邀
邀邀⊧ ，所以邀⊧ −
即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 1 邀邀
邀
解得邀 1 或邀

江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期数学周练-数学答案3

江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期数学周练(3)一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．π6，33 14．0.21 15．1或-1 16．22四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d 分别加上1，1，3后成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )，解得d ＝2(舍负)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ·············································4 分 (2)由(1)知，因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，则b n ＝12n .a n ·b n ＝(2n －1)·12n ，则T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1，②由①－②，得 12T n ＝12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1.∴12T n＝12＋2×14⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1， ∴T n ＝1＋2－22n －1－2n －12n ＝3－4＋2n －12n ＝3－3＋2n 2n .·······································10 分18．解：（1）因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.·····························································5 分（2）因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，················································7 分因此tan(α＋β)＝－2.·············································································8 分因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，··········································10 分因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.··················12 分19．解：(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).······································2 分(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X 的取值为0，1，2，X 服从超几何分布.P (X ＝0)＝C 228C 240＝63130，P (X ＝1)＝C 112C 128C 240＝2865，P (X ＝2)＝C 212C 240＝11130，∴X 的分布列为······························6分 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y 的可能取值为0，1，2，且Y ～B ⎝⎛⎭⎫2，310，P (Y ＝k )＝C k 2⎝⎛⎭⎫1－3102－k⎝⎛⎭⎫310k，所以P (Y ＝0)＝C 02·⎝⎛⎭⎫7102＝49100，P (Y ＝1)＝C 12·310·710＝2150，P (Y ＝2)＝C 22·⎝⎛⎭⎫3102＝9100. ∴Y 的分布列为·······10 分∴Y 的期望为0.6.·····························································12 分X 0 1 2 P63130286511130Y 0 1 2 P491002150910020．（1）证法1：如图，延长EF 交直线AD 于点G 1，延长CB 交直线AD 于点G 2．因为∠F AO ＝∠EOD ，所以AF ∥OE ，又因为AF ＝12OE ，所以AG 1OG 1＝AF OE ＝12，即AG 1＝OA ，同理可得AG 2＝OA ，所以G 1，G 2重合，所以EF ，BC 相交，所以B ，C ，E ，F 四点共面．····································································5 分证法2：分别取OA ，OD 的中点N ，M ，连接NB ，NF ，MC ，ME ．因为△OAB ，△OCD ，△ODE ，△OAF 均为等边三角形，所以NF ⊥AD ，NB ⊥AD ，ME ⊥AD ，MC ⊥AD ．又因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，所以ME ⊥平面ABCD ，FN ⊥平面ABCD ．又因为BN ⊂平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以ME ⊥MC ，FN ⊥BN ，所以AD ，NF ，BN 两两垂直，AD ，ME ，MC 两两垂直，·································1 分以M 为坐标原点，以{MC →，MD →，ME →}为基底建立如图所示的空间直角坐标系M －xyz ．M (0，0，0)，E (0，0，3)，C (3，0，0)，D (0，1，0)，N (0，－32，0)，A (0，－2，0)，B (32，－32，0)，F (0，－32，32)，CE →＝(－3，0，3)，BF →＝(－32，0，32)．因为CE →＝2BF →，所以CE ∥BF ，即B ，C ，E ，F 四点共面．·······················5 分（2）因为DE →＝(0，－1，3)，DC →＝(3，－1，0)，设平面CDE 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧DE →·m ＝0，DC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y 1＋3z 1＝0，3x 1－y 1＝0．令x 1＝1，则y 1＝3，z 1＝1，所以平面CDE 的一个法向量m ＝(1，3，1)．···············7 分因为AB →＝(32，12，0)，AF →＝(0，12，32)．设平面ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AF →·n ＝0，即⎩⎨⎧32x 2＋12y 2＝0，12y 2＋32z 2＝0．令x 2＝－1，则y 2＝3，z 2＝－1，所以平面ABF 的一个法向量n ＝(－1，3，－1)．············································································10 分设平面ABF 与平面CDE 所成夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜m ，n ＞|＝－1＋3－15×5＝15，·······11 分所以sin θ＝1－cos 2θ＝265，即平面ABF 与平面CDE 所成角的正弦值为265．·······12 分21．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.························4 分(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0,2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，·········································································6 分可得x P ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，·······································································8 分所以直线OP 的斜率y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.·················································10 分由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以直线PB 的斜率为2305或－2305.···························································12 分22．解：（1）因为a ee xf xx-+=-)('，2≥+-x x e e①当a ≤ 2时，f ' (x ) ≥ 0，此时f (x )在R 上单调递增；········································2 分 ②当a >2时，042>-a ，故由0)('>x f ⇒012>+-xxae e ⇒242-+>a a e x或242--<a a e x0)('<x f ⇒012<+-xxae e ⇒242-+<a a e x或242-->a a e x所以，此时f (x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞)24ln(-2a a ，和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+，)24ln(2a a 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)24ln()24ln(22a a a a ，上单调递减.综上：①当a ≤ 2时，f (x )在R 上单调递增；②当a >2时，f (x )在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞)24ln(-2a a ，和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-+，)24ln(2a a 上单调递增，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--)24ln()24ln(22a a a a ，上单调递减.·············································5 分（2）因为a ee xf xx -+=-)('，a f -=2)0('当x ≥ 0时，)('x f 单调单调递增，所以 ①当2-a ≥ 0即a ≤ 2时，0)0(')('≥≥f x f ，所以f (x )单调递增，所以0)0()(=≥f x f ，所以a ≤ 2符合题意.························7 分 ②当2- a <0即a >2时，在(0, +∞) 上存在x 0，使x ∈(0, x 0)时，f '(x )<0 所以f (x )在(0, x 0)上单调递减，·····································································9 分又f (0)=0，故当x ∈(0, x 0)时f (x )<0，与题意矛盾，所以a >2不符合，舍去.············································································11 分综上可得a 的取值范围是(]2,∞-.································································12 分。

人教版八年级数学上册 12.1 全等三角形同步测试(不包含答案)

12.1 全等三角形1.下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的周长、面积分别相等；④面积相等的两个三角形全等，其中正确的说法为（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②③④2.下列说法正确的是( )A.三个角对应相等的两个三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.全等三角形的面积相等D.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等3.如图，已知，，与交于点，则①，②，③在的平分线上，以上结论中，正确的是（）A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③4.如图，在和中，点在边上，边交边于点．若，，，则等于( )A. B. C. D.5.如图，在中，，平分，于，有下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中正确的有( )A.个B.个C.个D.个6.用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④7.如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连结，．下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的有（）A.个B.个C.个D.个8.如图，在中，，，，高与相交于，则的长为（）A. B. C. D.9.用两个全等的直角三角形拼成凸四边形，拼法共有（）A.种B.种C.种D.种10.如图，，，，，，则的度数等于________．11.如图为个边长等的正方形的组合图形，则________．12.如图，若△ABC≌△ADE，且∠B＝65°，则∠BAD＝．13.如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝25°，∠DAC＝15°，则∠EAC的度数为．14. 如图所示的方格中，________度．15.如图，已知在中，，，平分，于，若，则的周长为________.16.如图，点，分别在，上，且，．求证：．17.如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4．（1）求证：AE∥DF；（2）求A D 的长度．18. 如图，已知：是上的中线，且．求证：．19．如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交AD于F，交ED于G，且∠CAD＝30°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝130°，求∠DFB和∠DGB的度数．人教版八年级数学上册12.1 全等三角形同步测试（不包含答案）20.如图所示，D，A，E 在同一条直线上，BD⊥DE 于D，CE⊥DE 于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求（1）DE 的长；（2）∠BAC 的度数．。

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高三数学周末练习（文科）
一、填空题
1．若2{|13},{|log 1}A x R x B x R x =∈≤≤=∈>，则A B = ．
2．若复数z 满足3,i
z i i
++=
则||z = ． 3．设:|43|1,:()(1)0p x q x a x a -≤---≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是．
4．在大小相同的4个小球中，2个是红球，2个是白球，若从中随机抽取2个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是．
5．已知直线062=++y a x 与直线023)2(=++-a ay x a 平行，则a 的值为 . 6．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a b 、的夹角为钝角，则x 的取值范围是．
7．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,,3
a A c π
===
，则ABC ∆的面积为．
8．已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数）
，若(1,0)N ，则||MN 的最小值是． 9．二次不等式2
20ax x b ++>的解集为1x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭，且a b >，则22a b a b +-的最小值
为．
10．在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的取值范围是．
11．已知βα,是三次函数32
()232
x ax f x bx =++的两个极值点，且)2,1(),1,0(∈∈βα,则1
2
--a b 的取值范围是． 12．已知椭圆22122:1x y C a b +=)0(>>b a 与双曲线22
2:14
y C x -
=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则=2b ．
13．设函数,2ln )(a x
b
x a x f -+
=若对于任意的),0(),4,1(+∞∈∈x a 总有,0)(>x f 则最小的正整数=b ．
14．已知实数,,a b c 满足9a b c ++=，24ab bc ca ++=，则b 的取值范围是．二．解答题
15. 设函数2()sin(2+
+cos cos 6
f x x x x x π
=）.
(1)求函数()f x 的最大值和最小正周期. (2)设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若15
cos ,()=322
C B f =，求sin A .
16．如图，正方形ABCD 所在的平面与三角形CDE 所在的平面交于CD ，AE ⊥平面CDE ，
且2AB AE =．
（1）求证：//AB 平面CDE ；（2）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
17．已知函数2()25(1)f x x ax a =-+>.
(1) 若函数()f x 的定义域和值域均为[1,]a ，求实数a 的值；
(2) 若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，且对任意的[]12,1,1x x a ∈+，总有12()()4f x f x -≤，求实数a 的取值范围；
(3) 若()f x 在[]1,3x ∈上有零点，求实数a 的取值范围.
A
B
C
D
E
（第16题图）
18．因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50cm （即EF =50cm ）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离(cm)x 在区间[140,180]内. 设支架FG 高为(090)h h cm <<,100AG cm =, 顾客可视的镜像范围为CD (如图所示), 记CD 的长度为()y y GD GC =-
(1) 当40h cm =时, 试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；
(2) 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC GA GD <<（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求h 的取值范围.
（注：虚像等于实像）
19．已知圆22:8O x y +=交x 轴于,A B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，直线:l 4x =-为准线的椭圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若M 是直线l 上的任意一点，以OM 为直径的圆K 与圆O 相交于,P Q 两点，求证：直线PQ 必过定点E ，并求出点E 的坐标；
（3）如图所示，若直线PQ 与椭圆C 交于,G H 两点，且
3EG HE =，试求此时弦PQ 的长．
第18题
A B
C D E
F G A 1 ·
20．设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足关系式： 13(23)3(0,2,3,4,...)n n tS t S t t n --+=>= （1）求证：数列{}n a 是等比数列；
（2）设数列{}n a 是公比为()f t ，作数列{}n b ，使11
1
1,()(2,3,4,...)n n b b f n b -===，求和：122334212221...n n n n bb b b b b b b b b -+-+-+-；（3）若3t =-，设32333
43
1log log log ...
log n n c a a a a +=++
++，12111
=
++...+,n n
T c c c 求使1
*2(7-2)()1
n n n k n T n N n +≥∈+恒成立的实数k 的范围.。

江苏省高三数学周练 文(12.1)(无答案)