南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷(教师版)
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷2
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷2一. 填空题1. 已知),2(ππα∈且53cos -=α，则)42tan(πα-的值为 ▲ . 2. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ .3. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .4. 已知2,3,60,2,(1),(0,1)AB AC BAC CD BC AE xAD x AB x ==∠===+-∈， 则AE 在AC 上的投影的取值范围是 ▲ .5. 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤--=20,102,1)(x x x x f <， 若函数ax x f x g -=)()(，]2,2[-∈x 为偶函数，则实数a 的值为 ▲ .6. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 ▲ 项．二、解答题7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9,0). (1) 经过1O 作圆O 的切线，求切线方程；(2) 过定点()0,6P 作动直线l 与圆O ，圆1O 都相交，且直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆1O 的方程．8. 某港湾的平面示意图如图所示，直线1l 、2l 是两条海岸线，点O 为1l 、2l 交点，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的北偏东︒60方向10km 处．(1) 求集镇A ，B 间的距离；(2) 随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线1l ，2l 上分别修建码头N M 、，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜 船只航行．请确定码头N M 、的位置，使得N M 、之间的直线航线最短．9. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n =≥,公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（1）证明()()2112d m d m d m -+-=； （2）设3,121==d d ，当6≥n 时，不等式n n d n >-+12)32(501恒成立．10.已知函数x b xx a x f ln )1()(--=（R b a ∈,），2)(x x g =.(1) 若1=a ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； (2) 在（1）的条件下，求证2ln 2)()(->x f x g ；(3) 若2b =，函数)(x f 与)(x g 在其公共点处是否存在公切线.若存在，求出a 值的个数；若不存在，说明理由.理科加试11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是AC 的中点，E 是线段O D 1上一点，且 EO E D λ=1.（1）若1=λ，求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面O CD 1，求λ的值.12. 如图，椭圆1C ：1422=+y x 的离心率为23，x 轴被曲线2C ：12-=x y 截得的线段长等于1C 的长半轴长.设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E .（1）证明：ME MD ⊥；(2) 记MAB ∆，MDE ∆的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在直线l ，使得21S S 3217=成立？请说明理由.A C 1。
南京市2015届高三年级第三次模拟考试试卷
高三数学试卷第 6 页（共 4 页）
南京市 2015 届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分 标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有 较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1． 5 6．(－∞，－3] 3 11． 2 2．0.74 7．4 3 12． 4 3 3．4 8．12 3 13．[－ ，＋∞) 4 4．6 11 9． 9 5．甲 10．9 14．(0，1)∪{2}
B P
O A Q M （第 17 题图） N
高三数学试卷第 3 页（共 4 页）
18． （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，设中心在坐标原点的椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2，右准线 l：x＝m＋1 与 x 轴的交点为 B，BF2＝m． （1）已知点( 6 ，1)在椭圆 C 上，求实数 m 的值； 2
20． （本小题满分 16 分） 已知数列{an}的各项均为正数，其前 n 项的和为 Sn，且对任意的 m，n∈N*，
2 都有(Sm＋n＋S1) ＝4a2ma2n．
a2 （1）求 的值； a1 （2）求证：{an}为等比数列； （3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前 p 项的 和分别为 Tp，Rp，且 Tp＝Rp，求证：对任意正整数 k(1≤k≤p)，ck＝dk．
江苏省南京师大附中2015届高三12月月考数学试题苏教版
15．（本小题满分 14 分）
设△ ABC 的内角 A， B， C 的对边长分别为
a， b， c，且
b
2＝
1 2
ac．
(1) 求证： cos B≥34；
(2) 若 cos(A－ C)＋ cos B＝1，求角 B 的大小．
16．（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，已知∠ ACB＝ 90°，BC＝ CC1，E，F 分别为 AB，AA1
则输出 i 的值为
▲
．
8．若等边三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面内一点 M 满足
1
2
CM CB CA ，则 MA MB ＝
▲
．
6
3
9．有下面四个判断：
①命题 “设 a、b∈ R，若 a＋b≠６，则 a≠３或 b≠3”是一个假命题；
②若 “p 或 q”为真命题，则 p、 q 均为真命题； ③命题 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≥ 2a( －b－ 1) ”的否定是 “? a、 b∈ R， a2＋ b2≤ 2a(－b－ 1) ”；
的中点． (1) 求证：直线 EF ∥平面 BC1A1； (2) 求证： EF⊥ B1C．
17． (本小题满分 14 分 ) 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以
30 天计），日旅游人数 f (t ) （万．人．）与
时间 t （天）的函数关系近似满足
f (t )
4
1
，人均消费
t
g (t ) （元．）与时间 t （天）的函数
1．在复平面内，复数－ 3＋ i 和 1－ i 对应的点间的距离为
▲
．
2．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的
南京市南师附中2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
z南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 A. B. C. D.2. 已知复数z 的共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限3. 已知函数值域为，则a 的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）A. B. C. D. 5. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（ ）A.B.C.D.2{|230}A x x x =--<2{|log 2}B x x =<A B Ç=(1,4)-(1,3)-(0,3)(0,4)2i3iz +=-()222,0,0x x x f x x a x ì-+>=í-+£î的[)1,+¥()()cos 0,2f x x p w j w j æö=+><ç÷èø()fx ,03p æöç÷èø,03p æ-öç÷èø5,06p æöç÷èø5,06p æö-ç÷èø()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A B y C C F AB 22165x y +=22154x y +=22132x y +=22143x y +=z6. 如图，已知正四棱锥的底面边长和高的比值为，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数，，若直线与曲线，都相切，则实数的值为（ ） A.B.C.D.8. 已知双曲线：的右焦点为，直线与交于，两点（点在第一象限），线段的中点为，为坐标原点．若，，则的两条渐近线的斜率之积为（ ） A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.9. 教育统计学中，为了解某考生的成绩在全体考生成绩中的位置，通常将考生的原始分数转化为标准分数．定义标准分数，其中为原始分数，为原始分数的平均数，为原始分数的标准差．已知某校的一次数学考试，全体考生的平均成绩，标准差，转化为标准分数后，记平均成绩为，标准差为，则( ) A.B.C.D.10. 已知动点M 到点的距离M 的运动轨迹为，则（ ）P ABCD -t E PD PB CE ()()ln e f x x x =+()()2131a g x x -=--2y xb =+()y f x =()y g x =a 54171617817e8G ()222210,0x y a b a b-=>>F y kx =G A B A AF P O OA OF=2OP =G 4--3--3-4-+()()11,2,,i i z x x i n s=-=L i x x s 115x =10.8s =m s 115m =0m =10.8s =1s =(2,1)N k k -GA. 直线把分成面积相等的两部分B. 直线与没有公共点C. 对任意的，直线被截得的弦长都相等D. 存在，使得与x 轴和y 轴均相切 11. 已知等比数列满足，公比，且，则（ ）A.B. 当时，最小C. 当时，最小D. 存在，使得 12 已知函数，则（ ）A. 曲线在点处的切线方程为B. 曲线的极小值为C. 当时，仅有一个整数解 D 当时，仅有一个整数解三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13. 若，则______． 14. 某学校团委周末安排甲、乙、丙三名志愿者到市图书馆和科技馆服务，每个人只能去一个地方，每个地方都必须有人去，则图书馆恰好只有丙去的概率为______．15. 若对任意的，都有，则实数的取值范围为___________.16. 有一张面积为矩形纸片，其中为的中点，为的中点，将矩形绕旋转得到圆柱，如图所示，若点为的中点，直线与底面圆所成角的正切值为，为圆柱的一条母线（与，不重合），则当三棱锥的体积取最大值时，三棱锥外12xy =-G 230x y -+=G k ÎR 2xy =G k ÎR G {}n a 10a >1q >1220211220221,1a a a a a a <>!!20221a >2021n =12n a a a !1011n =12n a a a !1011n <12n n n a a a ++=()e xf x x =()y f x =()0,0y x =()y f x =e -2213e 2ea £<()()1f x a x <-223e 2e 2a £<()()1f x a x <-π0,2a æöÎç÷èøsin 1a a -=cos 2=a []1,4x Î234x x a x x ->-+a ABCD O AB 1O CD ABCD 1OO 1OO M BC AM O 4EF AD BC A EFM -A EFM -z接球的表面积为___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在.中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角；（2）若点在边上，且，求面积的最大值.18. 已知数列的前n 项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n ，恒成立，求证：. 19. 随着生活节奏加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.（1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）（2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.ABC !A B C a b c 2cos cos b c Ca A-=3a =A D AC 1233BD BA BC =+"""BCD △{}n a 22n n nS +={}n a {}n b 2312123(1)n nb b b b n a a a a ××××××××=+4n b ³的yx y x y xz参考数据：，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.20. 如图1，在平行四边形中，，将沿折起，使得点到点的位置，如图2，设经过直线且与直线平行的平面为，平面平面为，平面平面为.（1）证明：； （2）若求二面角的正弦值.21. 已知椭圆的离心率为，且点在C 上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设，为椭圆C 的左，右焦点，过右焦点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若内切圆的半径求直线l 的方程. 22. 已知函数． （1）证明：当时，；（2）记函数，判断在区间上零点的个数．()510.06 1.34+»()610.06 1.42+»()710.06 1.50+»!!y abx =+!()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-åå!a y bx =-$$ABCD ,1,2AB AC AB BC ^==ACD △AC D P PB AC a a !PAC m =a !ABC n =//m n PB =A PBC --()2222:10x y C a b a b +=>>22P æççèø1F 2F 2F 1ABF !()sin cos f x x x x =-()0,x p Î()0f x >()()g x f x x =-()g x ()2,2p p -南京师大附中2022-2023学年度第1学期高三年级阶段考试数学试卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的.每题全选对者得5分，部分选对者得2分，其他情况不得分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】AC三､填空题：本大题个共4小题5个空，每题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.【13题答案】 【答案】【14题答案】 【答案】【15题答案】【答案】 【16题答案】 【答案】四､解答题：本题共6个小题，共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【17题答案】 【答案】（1）（2【18题答案】【答案】（1） （2）证明见解析 【19题答案】【答案】（1）；（2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【20题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【21题答案】7916()(),16,-¥-È+¥412p 3pn a n =11.460.24y x =+$5【答案】（1）（2）或. 【22题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）个零点2212x y +=10x +-=10x -=5。
南师附中2015届高三数学备战市一模试题
南师附中2015届高三数学备战市一模试题2015.12已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n-1，n ∈N*，数列{b n}满足，T n为数列{b n}的前n项和，（1）求a1、d和T n；（2）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+8·（-1）n恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）在中，令n=1，n=2，得，解得，∴，，∴。
（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，，等号在n=2时取得，∴此时λ需满足λ＜25；②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，是随n的增大而增大，∴n=1时，取得最小值-6，∴此时λ需满足λ＜-21；综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21。
（3），若成等比数列，则，由，即，∴，又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12，因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{T n}中的成等比数列2.设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）。
（1）若a1，S2，-2a2成等比数列，求S2和a3；（2）求证：对k≥3有0≤a k+1≤a k≤。
解：（1）由题意得由S2是等比中项知S2≠0因此S2=-2由解得。
（2）由题设条件有故S n≠1，a n+1≠1且从而对k≥3有①因且，由①得a k≥0 要证由①只要证即证即（a k-1-2）2≥0，此式明显成立因此（k≥3）最后证若不然又因a k≥0，故即（a k-1）2＜0，矛盾因此a k+1≤a k（k≥3）。
3已知数列{a n}满足：（n∈N*，a∈R，a为常数），数列{b n}中，．（1）求a1，a2，a3；（2）证明：数列{b n}为等差数列；（3）求证：数列{b n}中存在三项构成等比数列时，a为有理数．解：（1）由已知，得，，．（2），∴b n+1﹣b n=1，又b1=a3=a，∴数列{b n}是首项为a，公差为1的等差数列．（3）证明：由（2）知b n=a+n﹣1，若三个不同的项a+i，a+j，a+k成等比数列，i、j、k为非负整数，且i＜j＜k，则（a+j）2=（a+i）（a+k），得a（i+k﹣2j）=j2﹣ik，若i+k﹣2j=0，则j2﹣ik=0，得i=j=k，这与i＜j＜k矛盾．若i+k﹣2j≠0，则，∵i、j、k为非负整数，∴a是有理数．4. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及常数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c=a+x(b-a)，这里，x被称为乐观系数。
南京师大附中2015届高三数学模拟考试试卷
2015高考数学模拟题(1)南师大《数学之友》一. 填空题1. 在ABC ∆中,已知2=AC ，3=BC ，54cos -=A ，则=+)62sin(πB ▲ .2．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个1≤，则⋅的取值范围是 ▲ ．3. 若函数f (x )＝xx 2＋a (a ＞0)在[1，＋∞)上的最大值为22，则a 的值为___▲_____．4．设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的 面积最小时圆的标准方程为 ▲ ．5. 任给实数,a b ，定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪*=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =*. {}n a 是公比大于0的等比数列，且51a =，()()()()()187321a a f a f a f a f a f =+++++ ，则1a = ▲ . 6. 已知函数()11--=x x f ，如果关于x 的方程()m x f =()R m ∈恰有4个互不相等的实 数根1x ，2x ，3x ，4x ，则4321x x x x 的取值范围是 ▲ .二、解答题7. 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线一段．已知跳水板AB 长为m 2，跳水板距水面CD 的高BC 为3m ，5CE m =,m CF 6=.为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m （1≥h ）时达到距水面最大高度4m ．规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系． （1）当h =1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；（2）若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练 要求，求达到压水花的训练要求时，h 的取值范围．8. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点，直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的半焦距）相离，P 是直线AB 上一动点，过点P作圆G 的两切线，切点分别为M 、N ．（1）若椭圆C 经过点，离心率35=e ，求椭圆C 的方程； （2）若存在点P 使得△PMN 为正三角形，试求椭圆离心率e 的取值范围．9. 已知等比数列}{n a 的首项20151=a ，公比21-=q ，数列}{n a 前n 项和记为n S . （1）证明：21n S S S ≤≤；（2）证明：若数列}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列；若 所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为n d d d ,,,21 ，则数列}{n d 为等 比数列.10．对于函数)(x f y =，若存在开区间D ，同时满足：①存在D a ∈，当a x <时，函数)(x f 单调递减，当a x >时，函数)(x f 单调递增； ②对任意0>x ，只要D x a x a ∈+-,，都有)()(x a f x a f +>-． 则称)(x f y =为D 内的“勾函数”．（1）证明：函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”． （2）对于给定常数λ，是否存在m ，使函数122131)(3223+--=x x x x h λλλ在),(+∞m 内为“勾函数”？若存在，试求出m 的取值范围，若不存在，说明理由．理科加试11. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 的中点. (1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.12.在数列}{n a 和}{n b 中，nn a a =，b n a b n ++=)1(， ,3,2,1=n ，其中2≥a 且*N a ∈，R b ∈.设},,,{321 a a a A =，},,,{321 b b b B =，试问在区间],1[a 上是否存在实数b 使得φ≠=B A C .若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由.1B参考答案一、填空题1. 答案：.5017712+ 解：在ABC ∆中，.53)54(1cos 1sin 22=--=-=A A 由正弦定理，,sin sin B AC A BC =所以.525332sin sin =⨯=⋅=A BC AC B 又因为54cos -=A ，所以A ∠为钝角，从而B ∠为锐角，于是,521)52(1sin 1cos 22=-=-=B B ,25171)521(21cos 22cos 22=-⨯=-=B B .21254521522cos sin 22sin =⨯⨯==B B B .501771221251723252146sin 2cos 6cos 2sin 62sin +=⨯+⨯=+=+πππB B B ）（2. 答案：)2⎡⎣. 解：以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴作平面直角坐标系（如图1），不妨设),1(y M 、)1,(x N .由题意知1≤，故 ⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅≤-+-yx y x 1)1()1(22，其中10≤≤x ，10≤≤y .在41圆PRQ 中找一点),(y x 使y x +取最大最小.设目标函数为y x z +=.①由图2可知，当直线0=-+z y x 与在41圆PRQ 相切于点R 时，z 取得最小值，即y x =，得1)1(22=-x ，21)1(2=-x ，由于10≤≤x ，故122+-=x . 因此min z 22)122(2-=+-=.由图2可知，当直线0=-+z y x 经过点C 时，即1==y x ，z 取得最大值，最大值为211=+=z ，但是由题意知M 、N 是两个不同点，故最大值2取不到.综上可得，OM ON ⋅的取值范围是)2⎡⎣.图 1 图 2 3. 答案：12-.解：f (x )＝x x 2＋a＝1x ＋a x(x ≥1)，当a ≥1时，f (x )的最大值为12a＝22，得a ＝21＜1(舍去)；当0<a <1时，f (x )的在[1，＋∞)上单调递减，其最大值为11＋a ＝22，得a ＝12-. 所以a 的值为12-.4. 答案: 256)4()4(22=-+-y x .解：由12323=+++y x 得：18-+=y yx .182-+=∴y yy xy .令1-=y z ，则1+=z y .zz z z xy 88122++++=∴z z z 9102++=109+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=z z . 6929≥⋅≥+z z z z ,当且仅当zz 9=时，等号成立. 此时xy 最小，即圆的面积最小，此时3=z ，4=y ，4=x ， ∴圆的标准方程：256)4()4(22=-+-y x . 5. 答案：e .解：5()(1)0f a f ==,设数列{}n a 公比为q ， 551()()()()0ii i i f a f a f f q q-++=+=, 所以 283746()()()()()()0f a f a f a f a f a f a +=+=+=, 因此11()f a a =.当11a ≥时,1111ln ,a a a a e *==, 当11a <时，111ln a a a =无解. 6. 答案：()0,3-.解：函数11)(--=x x f 的图像如右图所示： 由图可知，若()m x f =的四个互不相等的实数根，则()1,0∈m ，且1x ，2x ，3x ，4x 分别为：m x =1，m x -=22，23+=m x ，m x -=4，所以，4321x x x x ()()222+--=m m m()4222--=m ()0,3-∈.二、解答题7.解：由题意可知最高点为)1)(4,2(≥+h h .可设抛物线方程为4)]2([2++-=h x a y .（1）当1=h 时，最高点为)4,3(，方程为4)3(2+-=x a y . 将)3,2(A 代入，得抛物线方程为562-+-=x x y . （2）将点)3,2(A 代入4)]2([2++-=h x a y ，得12-=ah . 由题意，得方程2[(2)]40a x h -++=在区间]6,5[内有一解. 令2221(x)[(2)]4[(2)]4f a x h x h h =-++=--++，则04)3(1)5(22≥+--=h hf ，且 221(6)(4)40f h h =--+≤，解得341≤≤h . 所以要达到压水花的训练要求h 的取值范围为]34,1[.8. 解：（1）椭圆为22194x y +=． （2）由直线AB 与圆G ： 2224c x y +=（c 是椭圆的焦半距）相离，2c >，即222224()a b c a b >+，2222224()(2)a a c c a c ->-， 得42640e e -+>因为01e <<，所以203e <<连接,,,ON OM OP 若存在点P 使PMN ∆为正三角形，则在Rt OPN ∆中， 22OP ON r c ===，所以，点O 到直线AB 的距离不大于cc ≤，∴22222()a b c a b ≤+，222222()(2)a a c c a c -≤-，得42310e e -+≤因为01e <<21e ≤<，②23e ≤<e ≤< 9.（1）证明：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=---≤--，当1=n 时，等号成立.23222121[1()]112[1()]621()2n n n a S S S a S ----=+=+--≥--，当2=n 时，等号成立.∴21n S S S ≤≤.（2）证明： 1)21(2015--=n n a ，∴n a 随n 增大而减小，n a 奇数项均正，偶数项均负.①当k 是奇数时，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为1k a +，2k a +，k a ， 则kk kk k a a a a a 2)21()21(11111=-+-=+-+，k k k a a a 2)21(221112=-=++， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差11111223])21()21[(++++=---=-=k k k k k k a a a a d .②当k 是偶数时，设}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列为k a ，2k a +，1k a +，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k k a a a ++=-=-， ∴122k k k a a a +++=，因此k k k a a a ,,21++成等差数列，公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=.综上可知，}{n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且1123+=k k a d ，211=+n n d d ，∴数列}{n d 为等比数列. 10. 证明：（1）①存在1=a ，当x x f x ln )(),1,0(-=∈为减函数， 当x x f x ln )(),,1(=+∞∈为增函数；②对任意0>x ，当01>-x 时，),1ln()1ln()1(x x x f --=-=- ).1ln()1ln()1(x x x f +=+=+所以,0)1ln()1ln()1ln()1()1(2>--=+---=+--x x x x f x f 即).1()1(x f x f +>-所以函数x y ln =为),0(+∞内的“勾函数”．（2）①当0=λ时，1)(=x h ，不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”； ②当0<λ时，).2)((2)(322'λλλλλλ-+=--=x x x x x h 当),2(λλ-∈x 时，0)('>x h ，)(x h 为增函数； 当),(+∞-∈λx 时，0)('<x h ，)(x h 为减函数，因此不存在m 及常数0x ，使函数)(x h 在),(0x m 为减函数，同时在),(0+∞x 为增函数. 所以不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.③当0>λ时，)(x h 在)2,(λλ-为减函数，在),2(+∞λ为增函数.当)2,[λλ-∈m ，则在),(+∞m 上存在λ2=a ，使)(x h 在),(a m 内为减函数，在),(+∞a 内为增函数.当0>x ，),(,+∞∈+-m x a x a 时， 因为)()(x a h x a h +--)]2()2[(2])2()2[(21])2()2[(31322233x x x x x x +---+---+--=λλλλλλλλλ .0323<-=x λ所以)()(x a h x a h +<-.所以也不存在m 使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.综上所述，不论常数λ取何值，都不存在m ，使函数)(x h 在),(+∞m 内为“勾函数”.理科加试11. 解：（1）如图，建立直角坐标系.则1A (0,0,2)，B (2,0,0)，1(2,0,2)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，(1,1,0)E ，(0,0,)M m ， 1B M=(2,0,2)m --,1C E =()2,1,1--.因为11B M C E ⊥，所以11B M C E ⋅=22(2)m ---=0. 解得1m =所以1AM =. （2）AE =(1,1,0)，1(0,2,2)AC =, 设平面1AEC 的法向量n=(,,)x y z ,则：10220n AE x y n AC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩,令1y =-，则1x =，1z =.(1,1,1)n =- . 因为1AA AC ⊥，BA AC ⊥，所以AC ⊥平面11ABB A ， AC 为平面11ABB A 的法向量，AC=(0,2,0).c o s ,A C n <> =AC n AC n ⋅⋅.所以平面1AEC 与平面11ABB A. 12.解：设存在实数],1[a b ∈，使φ≠=B A C ，设C m ∈0，则0m A ∈，且0m B ∈.设)(*0N t a m t∈=，)()1(*0N S b S a m ∈++=,则(1)ta a Sb =++，所以1+-=a ba S t ,因为*,,N s t a ∈，且2≥a ，所以b a t -能被1+a 整除.① 当1=t 时，因为],1[a b ∈，]1,0[-∈-a b a ，所以*1a bS N a -=∉+； ② 当)(2*N n n t ∈=时,b a C a b a b a n n n n -++-++=--+=-1)1()1(]1)1[(12222 , 由于],1[a b ∈，所以]1,0[1-∈-a b ，110+<-≤a b ，所以，当且仅当1=b 时，b a t-能被1+a 整除.③ 当*21()t n n N =+∈时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++-- ，由于],1[a b ∈，所以]1,2[1+∈+a b ，所以，当且仅当11+=+a b ，即a b =时，b a t-能被1+a 整除.综上，在区间],1[a 上存在实数b ，使φ≠=B A C 成立.当1=b 时，},{*2N n a y y C n ∈==；当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.2015高考数学模拟题(2)南师大《数学之友》一. 填空题1. 已知),2(ππα∈且53cos -=α，则)42tan(πα-的值为 ▲ . 2. 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ .3. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ▲ .4. 已知2,3,60,2,(1),(0,1)AB AC BAC CD BC AE xAD x AB x ==∠===+-∈，则AE 在AC上的投影的取值范围是 ▲ .5. 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤--=20,102,1)(x x x x f <， 若函数ax x f x g -=)()(，]2,2[-∈x 为偶函数，则实数a 的值为 ▲ .6. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 ▲ 项．二、解答题7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝64，圆O 1与圆O 相交，圆心为O 1(9,0). (1) 经过1O 作圆O 的切线，求切线方程；(2) 过定点()0,6P 作动直线l 与圆O ，圆1O 都相交，且直线l 被圆O ，圆1O 截得的弦长分别为d ，1d .若d 与1d 的比值总等于同一常数λ，求λ的值和圆1O 的方程．8. 某港湾的平面示意图如图所示，直线1l 、2l 是两条海岸线，点O 为1l 、2l 交点，A 位于O 的正南方向6km 处，B 位于O 的北偏东︒60方向10km 处．(1) 求集镇A ，B 间的距离；(2) 随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线1l ，2l 上分别修建码头N M 、，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜 船只航行．请确定码头N M 、的位置，使得N M 、之间的直线航线最短．9. 有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,, 3)m k n n = ≥,公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列． （1）证明()()2112d m d m d m -+-=； （2）设3,121==d d ，当6≥n 时，不等式n n d n >-+12)32(501恒成立．10.已知函数x b xx a x f ln )1()(--=（R b a ∈,），2)(x x g =.(1) 若1=a ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值； (2) 在（1）的条件下，求证2ln 2)()(->x f x g ；(3) 若2b =，函数)(x f 与)(x g 在其公共点处是否存在公切线.若存在，求出a 值的个数；若不存在，说明理由.理科加试11. 在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是AC 的中点，E 是线段O D 1上一点，且 EO E D λ=1.（1）若1=λ，求异面直线DE 与1CD 所成角的余弦值； （2）若平面CDE ⊥平面O CD 1，求λ的值.12. 如图，椭圆1C ：1422=+y x 的离心率为23，x 轴被曲线2C ：12-=x y 截得的线段长等于1C 的长半轴长.设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1C 相交于点D ，E .（1）证明：ME MD ⊥；(2) 记MAB ∆，MDE ∆的面积分别为1S ，2S ，问：是否存在直线l ，使得21S S 3217=成立？请说明理由.A C 1参考答案一. 填空题1.答案：31. 解：224παπ<<，12cos2cos 2-=αα，∴21cos 25α=，552cos =α，5522sin =α， 22tan=α，tan112tan()2431tan2ααπα--==+. 2.答案: 4.解：设()00,y x A ，所以1C 在A 处的切线斜率为()200'3ax x f =，2C 在A 处的切线斜率为001y x k OA -=-，又1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直， 所以，132000-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ax y x ，即3003ax y =. 又1030-=y ax ，故230=y .代入25:222=+y x C ，得210±=x ，将210±=x ，230=y 代入()013>+=a ax y ，得4=a . 3.答案：111(,)(,1)322⋃.解：422111232c a c e e c a>-⎧⇒<<≠⎨≠⎩且，故离心率范围为111(,)(,1)322⋃. 4.答案：[]7,1.解：如图，(3,0),(1(7,C B D -.(61,AE x =+-,3(61)cos 61,(0,1)361[1,7]AE AC x AE EAC x x ACx ∙+∠===+∈∴+∈5.答案：21. 解：由题设，⎩⎨⎧≤--≤≤---=20,1)1(02,1)(x x a x ax x g <，则⎩⎨⎧≤-<--≤-≤--=-20,1)1(02,1)(x x a x ax x g ⎩⎨⎧≤≤-≤----=20.1,02,1)1(x ax x x a < 因为)(x g 为偶函数，故)()(x g x g -=. 则1)1(1--=-x a ax 对于]2,2[-∈x 恒成立，从而有a a -=1，得21=a . 6.答案: 8.解：设n a a a a ,,,,321 是公差为4的等差数列， 则1003221≤++++n a a a a ， 即()()[]()100121441121≤-⋅-++++n n a a a ，=∆ ()()010*******1≤--+-+n n a n a ， 因此，=∆0401672≤--n n ， 解得21n n n ≤≤， 其中()028163711<-=n ，≤897281632<+=n ， 所以，自然数n 的最大值为8，故这样的数列至多有8项. 故答案为：8.二、解答题7.解：(1)设切线的斜率为k ，则由题意可得切线方程为 09=+-k kx y ,由圆心O )0,0(到切线的距离为圆O 的半径得：219kk +8=,解得817±=k . 所以切线方程为8179817-=x y 或8179817+-=x y . (2) 当直线l 的斜率存在时，设直线l 为)6(-=x k y ，即06=+-k kx y .则点O ，O 1到直线l 的距离分别为216kk h +=，h 1＝213kk +，设圆1O 的半径为r ,从而22136642k k d +-=，2221192kk r d +-=. 由d d 1＝λ，得2122d d λ=. 所以64－22136k k +＝)19(2222kk r +-λ. 整理得：064)928(222222=+-+-r k r λλλ. 由题意，知上式对于任意实数k 恒成立，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-064092822222r r λλλ.解得λ＝2(负根舍去)，162=r .综上所述，λ＝2．圆1O 的标准方程为16)9(22=+-y x .8. 解：(1) 在ABO ∆中，6=OA ,10=OB ,︒=∠120AOB ,︒⨯⨯⨯-+=120cos 2222OB OA OB OA AB 19621106210622=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=.14=∴AB ,即A ，B 间的距离为14km .(2) 依题意，直线MN 与圆O 相切，设切点为C ，连接OC ，则MN OC ⊥. 设x OM =，y ON =，u MN =， 在OMN ∆中，OC MN ON OM ⋅⋅=⋅⋅⋅︒2160sin 21, 即u xy 32=.由余弦定理，︒-+=120cos 2222xy y x u xy y x ++=22xy 3≥.所以，u u 362≥，36≥u ，当且仅当6==y x 时，u 取得最小值. 答：N M 、建在距离O 点均为km 6处航线最短．9. 证明:（1）因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2322212,......,,,n a a a a 成等差数列．)1()1()1()1()1()1(12312-+-+==+-+=+-+∴n n d d d d d d即12312--==-=-n n d d d d d d ，所以，}{n d 成等差数列，公差为12d d -， 所以12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-． （2）由题知,12-=n d n ,2)32(5011n n d n >-+ 即 1(23)250(21)n n n +->-． 即为不等式1(23)250(21)0n n n +--->的解,考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---, 由于]502)12[(2)()1(-+=-+nn n f n f ， 当3≥n 时，(1)()f n f n +>． 即 <<<<)6()5()4()3(f f f f , 而(6)9(12850)1006020f =--=>， 所以，当6n ≥时，有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-恒成立，即n n d n >-+12)32(501恒成立． 10. 解：（1）1=a ，1()ln f x x b x x =--，222'111)(x bx x x b x x f +-=-+=，依题意,02)1('=-=b f .∴2=b . （2）由（1）得1()2ln f x x x x=--，),0(+∞∈x . 要证2ln 2)()(->x f x g ，只须证02ln 2ln 212>+++-x xx x . 设21(x)2ln 2ln 2F x x x x=-+++（0>x ）. 222232')1)(12(2122112)(x x x x x x x x x x x F +-=+--=+--= .令'()0F x =，得21=x . 当210<<x 时，'()0F x <；当21>x 时，'()0F x >.所以，当12x =时，)(x F 取极小值，也是最小值，047)21()(min >==F x F .因此()0F x >，2ln 2)()(->x f x g .（3）设函数)(x f 与)(x g 的图像在其公共点),(00y x 处存在公切线.1()()2ln f x a x x x =--,2'22()ax x a f x x-+=,x x g 2)('=. 由)()(0'0'x g x f =，可得到0202022x x a x ax =+-，即02202030=-+-a x ax x ， 200(2)(1)0x a x -+=，得20ax =.)(x f 的定义域为(0,)+∞. 当0≤a 时，0(0,)2ax =∉+∞.函数)(x f 与)(x g 在其公共点处没有公切线； 当0a >时，令)2()2(a g a f =，22412ln 2221a a a =--，即)2ln(882aa =-. 02ln 88ln 82=-+-a a .设2()8ln 88ln 2h x x x =-+-（0>x ），x xx h 28)('-=.令'()0h x =，得2=x . 当(0,2)x ∈时，'()0h x >，)(x h 递增；当(2,)x ∈+∞时，'()0h x <，)(x h 递减. 所以04)2()(max >==h x h .22224()8ln ()88ln 20h e e e e -=-+-=<，在(0,2)上存在唯一1x ，使得0)(1=x h ； 又082ln 8)2(2<-=h ，在(2,)+∞上存在唯一2x ，2()0h x =.综上，0≤a 时，不存在公切线；0a >时，存在公切线，适合题意的a 值有两个.理科加试11. 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，由题设，E 为O D 1的中点，则 )0,0,1(A ，)0,21,21(O ，)0,1,0(C ， )1,0,0(1D ，)21,41,41(E ， 于是)21,41,41(=DE ，)1,1,0(1-=CD ，)0,21,21(-=CO ,由63,cos 1=>=<CD . 所以异面直线AE 与1CD 所成角的余弦值为63. （2）设平面O CD 1的法向量为),,(111z y x =m ，由0=⋅m ,01=⋅CD m ,得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,0,021211111z y y x 取11=x ，得111==z y ，即)1,1,1(=m .由EO E D λ=1， 得)11,)1(2,)1(2(λλλλλ+++E ，1(,,)2(1)2(1)1DE λλλλλ=+++ . 又设平面CDE 的法向量为),,(222z y x =n ，由0=⋅CD n ，0=⋅DE n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=,0)1(2)1(2)1(2,02222λλλλλλz y x y 取22=x ，得λ-=2z ，即),0,2(λ-=n . 因为平面CDE ⊥平面1CD E ，所以0=⋅n m ，得2=λ.12. 解：(1) 由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为kx y =.由⎩⎨⎧-==12x y kxy 得012=--kx x .设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是上述方程的两个实根， 于是k x x =+21，21x x 1-=.又点M 的坐标)1,0(-，所以 =⋅MB MA k k 111x y +221x y +⋅2121)1)(1(x x kx kx ++= 21212121)(x x x x k x x k +++=1122-++-=k k 1-=.故ME MD ⊥.(2) 设直线MA 的斜率为1k ，则直线MA 的方程为11-=x k y , 由⎩⎨⎧-=-=1121x y x k y 解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎩⎨⎧-==1211k y k x .故点A 的坐标为)1,(211-k k . 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为)11,1(211--k k . 于是1S MB MA ⋅=21121121111121k k k k -+⋅⋅+=12121k k +=, 由⎩⎨⎧=-+-=0441221y x x k y 得08)41(1221=-+x k x k .解得⎩⎨⎧-==10y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=21212114114418k k y k k x , 故点D 的坐标为)4114,418(2121211k k k k +-+, 又直线ME 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标为)44,48(2121211k k k k +-+-,于是2S ME MD ⋅=21)4)(41()1(322121121++⋅+=k k k k .因此)1744(641212121++=k k S S 由题意知，)1744(641212121++=k k S S 3217=, 解得421=k 或4121=k .又由点A ，B 的坐标可知，11212111k k k k k +-==111k k -,所以23±=k . 故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为x y 23=，x y 23-=. 当a b =时，21*{,}n C y y a n N +==∈.。
江苏省南京师大附中届高三阶段性检试题(数学).pptx
江苏省南京师大附中 2012 届高三 12 月阶段性检测
数学试卷
2011-12-13 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．卷．纸．的．相．应．
位．置．上．． 1. 若 a,b∈R，i 为虚数单位，且(a+i)i=b+i，则 a+b= ▲ ．
7． 已知函数 y=sin( x+ )（ >0, － < ）的图像如图所示，则 = ▲ ．
x y 5 0
8． 已知 x、y 满足 x 3
，则 z 2x 4y 的最小值为 ▲ ．
x y 0
9． 在 △ABC 中， BD 2DC ， AD mAB nAC ，则 m ▲ ． n
10. 已知实数 x，y 满足1 x3 4,2 x2 3 ，则 xy 的取值范围是 ▲ ．
2. 过点（—1,—2）的直线 l 被圆 x 2 y 2 2 x 2 y 1 截得的弦长为 2 ，则直线 l 的
斜率为 ▲ ．
3. 已知四棱椎 P－ABCD 的底面是边长为 6 的正方形，侧棱 PA 底面 ABCD ，且 PA 8 ，
则该四棱椎的体积是 ▲ ．
4. 已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinC= ▲．
2 若平面 PAC⊥平面 ABCD，求证：平面 PAC⊥平面 PDE.
F
17．（本小题满分 14 分）
D
C
某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为 30 元，并且每卖出一件产品需向税务部
门上交 a 元（a 为常数，2≤a≤5）的税收.设每件产品的日售A价为 x 元（3E5≤x≤41），B根据 市场调查，日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的（日第售16价题为） 40 元时 ， 日销售量为 10 件.
江苏省南京师范大学附属中学高三数学模拟考试试题
(第3题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：锥体的体积公式为V ＝13S h ，其中S 是锥体的底面面积，h 是高．一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜4，x ∈N }，则A ∩B ＝ ▲ ． 2．若复数1＋a i 2－i (i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝ ▲ ．3．某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得 的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图 形推断，该时段时速超过50km/h 的汽车辆数为 ▲ ． 4．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只黑球，2只白球， 从中一次随机摸出2只球，至少有1只黑球的概率是 ▲ ．6．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）7．函数[]()sin (π0)f x x x x=∈-，的单调增区间是 ▲ ．8．设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3，则实数b 的值为 ▲ ． 9．设a ，b 均为正实数，则11a b++的最小值是 ▲ ．10．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ▲ ．(第4题图)NY结束输出s n ≤10开始11．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角 形，则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ．13．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a 2n ＋S 2nn 2≥ma 21对任意等差数列{a n }及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为 ▲ ．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a ＝cos Ccos A ．（1）求角A 的值； （2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．16．（本小题满分14分）在四棱锥P －ABCD 中，∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD的中点．（1）求证：平面PAC ⊥平面PCD ； （2）求证：CE ∥平面PAB ．(第16题图)图某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN的面积为S ，求S 的取值范围；（3）求证：点G 在一条定直线上．(第17题图)图已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝9，b 1b 2b 3＝27. （1）若a 4＝b 3，b 4－b 3＝m .①当m ＝18时，求数列{a n }和{b n }的通项公式； ②若数列{b n }是唯一的，求m 的值；（2）若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3均为正整数，且成等比数列，求数列{a n }的公差d 的最 大值.20．（本小题满分16分）设a 是实数，函数f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x －2ln x ． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；（2）当a ＝2时，过原点O 作曲线y ＝f (x )的切线，求切点的横坐标；（3）设定义在D 上的函数y ＝g (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为l ：y ＝h (x )，当x ≠x 0 时，若g (x )－h (x )x －x 0＜0在D 内恒成立，则称点P 为函数y ＝g (x )的“巧点”．当a ＝－14时，试问函数y ＝f (x )是否存在“巧点”？若存在，请求出“巧点”的横坐标；若不存在，说 明理由．DCBA(第21—A 题图)南京师大附中2014届高三模拟考试数 学（附加题） 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸．．．指定区域内．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．（几何证明选讲选做题）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度． B ．（矩阵与变换选做题）设矩阵A a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 属于特征值11λ=-的一个特征向量为111 ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦α，属于特征值 24λ=的一个特征向量为232⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，求ad －bc 的值．C ．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设点A ， B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求线段AB 的最小值． D ．（不等式选做题）设a ，b ，c 均为正数， abc ＝1．求证：1a ＋1b ＋1c≥ a ＋ b ＋ c .22．【必做题】在一个盒子中放有大小质量相同的四个小球，标号分别为1，2，3，4，现从这个盒子中有放回．．．地先后摸出两个小球,它们的标号分别为x，y，记ξ＝|x－y|．（1）求P(ξ＝1)；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．23．【必做题】有三种卡片分别写有数字1，10和100．设m为正整数，从上述三种卡片中选取若干张，使得这些卡片上的数字之和为m．考虑不同的选法种数，例如当m＝11时，有如下两种选法：“一张卡片写有1，另一张卡片写有10”或“11张写有1的卡片”，则选法种数为2．（1）若m＝100，直接写出选法种数；（2）设n为正整数，记所选卡片的数字和为100n的选法种数为a n．当n≥2时，求数列{a n}的通项公式．南京师大附中2014届高三模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{1}； 2．2； 3．77； 4．5； 5．910； 6．必要不充分；7．[－π6,0]； 8．94； 9．4； 10．(0，120)∪(5，+∞)； 11．24；12．（0，6－22）； 13．－7＜a ≤0或a ＝2； 14．15．二、解答题：15．解析:（1）因为(2)cos cos b A C =，由正弦定理得(2sin )cos cos B C A A C =，………………2分即2sin cos cos cos B A A C C A=+=3sin(A +C ) ． ………………4分因为B ＝π－A －C ，所以sin B =sin(A +C )，所以2sin cos B A B =． 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以csA =，因为0A π<<，所以6A π=． ………………7分 （2）由（1）知π6A B ==，所以A C =，23C π=． ………………8分 设AC x =，则12MC x =，又AM =在△AMC 中，由余弦定理得2222cos ,AC MC AC MC C AM +-⋅=即222()2cos120,22x xx x +-⋅⋅=o 解得x ＝2. ………………12分故212sin 23ABC S x π∆=………………14分16．解析: （1）因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ， …………………2分又∠ACD ＝90°，则CD AC ⊥，而PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面ACD ， ………………4分所以，平面PAC ⊥平面PCD ． ………………7分（2）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ，则EM ∥PA ． 因为EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以EM ∥平面PAB ． ………………9分在Rt△ACD 中，AM =CM ，所以∠CAD=∠ACM ， 又∠BAC ＝∠CAD ，所以∠BAC ＝∠ACM ， 则MC ∥AB ．因为MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以MC ∥平面PAB ．………………12分 而EM ∩MC ＝M ，所以平面EMC ∥平面PAB ．由于EC⊂平面EMC ，从而EC ∥平面PAB ． ………………14分证法二：延长DC ，AB 交于点N ，连PN ． 因为∠NAC ＝∠DAC ，AC ⊥CD ， 所以C 为ND 的中点．而E 为PD 中点，所以EC ∥PN ．因为EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，所以EC ∥平面PAB ．………………14分17．解析:正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h ．由题意得：36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－36x ．………………2分则h ＝h 02－x212＝(10－36x )2－x212＝100－1033x，x ∈(0,103) ． ………………5分所以，正三棱锥体积V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033x＝3x 212100－10 33x ． ………………8分设y ＝V 2＝x 448(100－10 33x )＝100x 448－10x 5483，求导得y ′＝100x312－50x448 3，令y ′＝0，得x ＝83， ………………10分 当x ∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大， 当x ∈(8 3，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小， 所以，当x ＝83 cm 时，y 取得极大值也是最大值． ………………12分 此时y ＝15360，所以V max ＝32 15 cm 3． 答：当底面边长为83cm 时，正三棱锥的最大体积为3215cm 3． ………………14分 18．解析:（1）由题设可知a ＝2． ………………1分 因为e ＝32，即c a ＝32，所以c ＝3．又因为b 2＝a 2－c 2＝4－3＝1，所以b ＝1． ………………2分（2）由题设可知，椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线MN 的方程为y ＝x －1．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x －1，消去y 可得5x 2－8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85．将x 1＝0，x 2＝85，代入直线MN 的方程，解得y 1＝－1，y 2＝35．所以MN ＝( x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝852． ………………4分设与直线MN 平行的直线m 方程为y ＝x ＋λ．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1 y ＝x ＋λ，消去y 可得5x 2＋8λx ＋4λ2－4＝0，若直线m 与椭圆只有一个交点，则满足△＝64λ2－20(4λ2－4)＝0，解得λ＝±5． ……………6分当直线m 为y ＝x －5时，直线l 与m 之间的距离为d 1＝|－1－(－5)|2＝5－12； 当直线m 为y ＝x ＋5时，直线l 与m 之间的距离为d 2＝|－1－5|2＝5＋12； ………………8分 设点C 到MN 的距离为d ，要使△CMN 的面积为S 的点C 恰有两个， 则需满足d 1＜d ＜d 2，即5－1 2＜d ＜5＋12．因为S ＝12d ·MN ＝452d ，所以45－45＜S ＜45＋45． ………………10分 （3）方法一 设直线A 1M 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，直线A 2N 的方程为y ＝k 2(x －2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝k 1(x ＋2)，消去y 得(1＋4k 12)x 2＋16k 12x ＋16k 12－4＝0，解得点M 的坐标为(2－8k 121＋4k 12，4k 11＋4k 12)．同理，可解得点N 的坐标为(8k 22－21＋4k 22，－4k 21＋4k 22)． ………………12分由M ，D ，N 三点共线，有4k 11＋4k 122－8k 121＋4k 12－1＝－4k 21＋4k 228k 22－21＋4k 22－1，化简得(k 2－3k 1)(4k 1k 2＋1)＝0． 由题设可知k 1与k 2同号，所以k 2＝3k 1． ………………14分 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k 1(x ＋2)y ＝k 1(x －2)，解得交点G 的坐标为(2(k 1＋k 2)k 2－k 1，4k 1k 2k 2－k 1)．将k 2＝3k 1代入点G 的横坐标，得x G ＝2(k 1＋k 2)k 2－k 1＝2(k 1＋3k 1)3k 1－k 1＝4．所以，点G 恒在定直线x ＝4上． ………………16分 方法二 显然，直线MN 的斜率为0时不合题意． 设直线MN 的方程为x ＝my ＋1．令m ＝0，解得M (1，32)，N (1，－ 32)或M (1，－ 32)，N (1，32)．当M (1，32)，N (1，－ 32)时，直线A 1M 的方程为y ＝ 36x ＋33，直线A 2N 的方程为y＝32x －3． 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ 36x ＋ 33y ＝ 32x －3，解得交点G 的坐标为(4，3)；当M (1，－ 32)，N (1， 32)时，由对称性可知交点G 的坐标为(4，－3)．若点G 恒在一条定直线上，则此定直线必为x ＝4． ………………12分下面证明对于任意的实数m ，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，G (4，y 0)． 由点A 1，M ，G 三点共线，有y 1－0x 1＋2＝y 04＋2，即y 0＝6y 1x 1＋2．再由点A 2，N ，G 三点共线，有y 2－0x 2－2＝y 04－2，即y 0＝2y 2x 2－2． 所以，6y 1x 1＋2＝2y 2x 2－2．① 将x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1代入①式，化简得2my 1y 2－3(y 1＋y 2)＝0． ② ………………14分联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，从而有y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4． 将其代入②式，有2m ·－3m 2＋4－3·－2mm 2＋4＝0成立． 所以，当m 为任意实数时，直线A 1M 与直线A 2N 的交点G 均在直线x ＝4上． ………………16分19．解析：（1）①由数列{a n }是等差数列及a 1＋a 2＋a 3＝9，得a 2＝3， 由数列{b n }是等比数列及b 1b 2b 3＝27，得b 2＝3． ………………2分 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，若m ＝18，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋2d ＝3q ， 3q 2－3q ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3， q ＝3；或 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－92， q ＝－2．所以，{a n }和{b n }的通项公式为⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －3，b n ＝3n -1；或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－92n ＋12，b n ＝3(－2) n －2.………………4分 ② 由题设b 4－b 3＝m ，得3q 2－3q ＝m ，即3q 2－3q －m ＝0（*）．因为数列{b n }是唯一的，所以若q =0，则m =0，检验知，当m =0时，q =1或0（舍去），满足题意； 若q ≠0，则(－3)2＋12 m ＝0，解得m ＝－34，代入（*）式，解得q ＝12，又b 2＝3，所以{b n }是唯一的等比数列，符合题意． 所以，m =0或－34． ………………8分 （2）依题意，36＝(a 1＋b 1) (a 3＋b 3)，设{b n }公比为q ，则有36＝(3－d ＋3q)(3＋d ＋3q )， （**）记m ＝3－d ＋3q，n ＝3＋d ＋3q ，则mn =36．将（**）中的q 消去，整理得： d 2＋(m －n )d ＋3(m ＋n )－36＝0 ………………10分d 的大根为n －m ＋(m －n )2－12(m ＋n )＋1442＝n －m ＋(m ＋n －6)2－362而m ，n ∈N *，所以 (m ，n )的可能取值为：(1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) ． 所以，当m ＝1，n ＝36时，d 的最大值为35+5 372 ． ………………16分 20．解析：（1）当a ＝1时， f ′(x )＝2(x 2+x －1)x(x ＞0)， ………………1分由 f ′(x )＞0得：x ＞－1＋ 52 ；由 f ′(x )＜0得：0＜x ＜－1＋ 52． ………………2分 所以，f (x )的单调增区间为(－1＋ 52，＋∞)，单调减区间为(0,－1＋ 52) ． ………………3分（2）当a ＝2时，设切点为M (m ，n ) ． f ′(x )＝4x ＋3－2x( x ＞0)，所以，切线的斜率k ＝4m ＋3－2m．又直线OM 的斜率为2m 2＋3m －2ln mm， ………………5分所以，4m ＋3－2m ＝2m 2＋3m －2ln m m，即m 2＋ln m －1＝0，又函数y ＝m 2＋ln m －1在(0,＋∞)上递增，且m ＝1是一根，所以是唯一根， 所以，切点横坐标为1． ………………7分 （3）a ＝－14时，由函数y ＝f (x )在其图象上一点P (x 0,y 0)处的切线方程为：y ＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2lnx 0． ………………8分令h (x )＝(－12x 0＋34－2x 0)(x －x 0)－14x 02＋34x 0－2ln x 0，设F (x )＝f (x )－h (x )，则F (x 0)＝0．且F ′(x )＝f ′(x )－h ′(x )＝－12x ＋34－2x －(－12x 0＋34－2x 0)＝－12(x －x 0)－(2x －2x 0)＝－12x(x －x 0) (x －4x 0) ………………10分当0＜x 0＜2时，4x 0＞x 0，F (x )在(x 0,4x 0)上单调递增，从而有F (x )＞F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0； 当x 0＞2时，4x 0＜x 0，F (x )在(4x 0,x 0)上单调递增，从而有F (x )＜F (x 0)＝0，所以，F (x )x －x 0＞0．因此，y ＝f (x )在(0，2)和(2，＋∞)上不存在“巧点”． ………………13分当x 0＝2时， F ′(x )＝－(x －2)22x ≤0，所以函数F (x )在(0,＋∞)上单调递减．所以，x ＞2时，F (x )＜F (2)＝0，F (x )x －2＜0；0＜x ＜2时，F (x )＞F (2)＝0，F (x )x －2＜0． 因此，点(2，f (2))为“巧点”，其横坐标为2． ………………16分ADCBE南京师大附中2014届高三模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2014.0521．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲解析：连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．………………2分设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =即有(6x x -=，解得1x =（舍）或5x =………………8分所以，AC2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解析：由特征值、特征向量定义可知，A 1α1λ=1α，即11111 a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得11.a b c d -=-⎧⎨-=⎩，………………5分 同理可得3212328a b c d +=⎧⎨+=⎩，， 解得2321，， ， a b c d ====． 因此ad －bc ＝2－6＝－4． ………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解析：将曲线C 1的参数θ消去可得(x －3)2＋(y －4)2＝1．将曲线C 2化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1． ………………5分曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5， 所以，AB 的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：由a ，b ，c 为正数，根据平均值不等式，得1a ＋1b ≥2 ab ，1b ＋1c ≥2 bc ，1c ＋1a ≥2ca．将此三式相加，得2(1a ＋1b ＋1c )≥2 ab ＋2 bc ＋2 ca ，即1a ＋1b ＋1c ≥1 ab ＋1bc＋1ca．………………5分由abc ＝1，则有abc ＝1．所以，1a＋1b＋1c≥abcab＋abcbc＋abcca＝a ＋b ＋c ． ………………10分22．解析：（1）63(1)168P ξ===； ………………3分 （2）ξ的所有取值为0, 1，2，3． ………………4分41(0)164P ξ∴===，63(1)168P ξ===，41(2)164P ξ===,21(3)168P ξ===． 则随机变量ξ的分布列为ξ的数学期望13115()012348484E ξ=⨯+⨯+⨯． ………………10分 23．解析：（1）m＝100，共有选法种数为12． ………………3分（2）若至少选一张写有100的卡片时，则除去1张写有100的卡片，其余数字之和为100(n －1)， 有a n －1种选法；若不选含有100的卡片，则有10n ＋1种选法．所以，a n ＝10n ＋1＋a n －1 ， ………………8分从而，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋···＋(a 2 －a 1)＋a 1 ＝10n ＋1＋10(n －1)＋1＋···＋10×2＋1＋a 1＝10(n ＋2)(n －1)2＋n －1＋a 1＝5n 2＋6n ＋1 所以，{a n }的通项公式是a n ＝5n2＋6n ＋1． ………………10分。
2016届南京师大附中高三年级校模拟考试数学含参考答案
7 5
（第 4 题）
5．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的 3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ▲ ． ▲ ．
x－1≤0， 6．设变量 x，y 满足约束条件 x＋y＋1≥0，则目标函数 z＝2x＋y 的最小值是 x－y＋3≥0，
高三数学答案 第 1 页 共 14 页
高三数学答案 第 3 页 共 14 页
18．(本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是椭圆 E： x2 y2 ＋ 2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点， 2 a b π 时， 4
过点 F1、 F2 分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线 AB、 DC， 分别交椭圆 E 于点 A、 B 和 D、 C． 当α＝ 点 B 坐标为(0，1)． （1）求椭圆 E 的方程； （2）当α变化时，讨论线段 AD 与 BC 长度之间的关系，并给出证明； （3）当α变化时，求四边形 ABCD 面积的最大值及对应的α值． y B C F2 D （第 18 题） 19．(本小题满分 16 分) 1 已知函数 f(x)＝ln( x＋1)＋ ，g(x)＝lnx． 2x （1）求函数 f(x)的单调区间； 1 （2）设 k 是实数，若关于 x 的不等式 f(x)－ ≤kx 在[1，＋∞）上恒成立，求 k 的取值范围； 2x （3）是否存在正实数 c，使得关于 x 的方程 f(x)＝cg(x)有两个不同的实数根？并说明理由．
π 7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )，则φ＝________ ▲ ． 2
（第 7 题） 8．已知一圆柱的若底面直径和高相等，其侧面积是π，则这个圆柱的体积是________ ▲ ． 9．设 a 为实数，若函数 f(x)＝ 3－x－ 1＋x－a 存在零点，则实数 a 的取值范围是________ ▲ ． x2 y2 10．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是双曲线 C： － 2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点， 2 a_x001F_ b P 是右支上一点．若△PF F 是顶角为 120°的等腰三角形，则双曲线 C 的离心率是________ ▲ ．
南京师大附中2013届高三数学模拟考试5月卷及答案
绝密★启用前南京师大附中2013届高三模拟考试数 学 2013.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答．题卡．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：球体的体积公式为V ＝43πR 3，其中R 是球体的半径．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题．．卡．相应位置上．．．．．． 1．已知集合A ={x |x 2－2x ≥0}，B ={－1, 0, 1, 2, 3}，则A ∩B = ▲ ．2．设a ，b 是实数，若21－i＝a ＋b i （i 是虚数单位），则a ＋b 的值是 ▲ ．3．“|x |≤3”是“x ≥－3且x ≤3”的 ▲ 条件． （从 “充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填）4．一只口袋装有形状、大小都相同的5只小球，其中2只白球，3只红球. 从中一次随机摸出2只球，则2只球不同色的概率是 ▲ ．5．为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名高三男生的体重. 根据抽样测量后的男生体重（单位：kg ）数据绘制的频率分布直方图如图所示，则这100名学生中体重值在区间[56.5，64.5）的人数是 ▲ ．6．如图所示的流程图，最后输出的n 的值是 ▲ ．7．已知向量a ，b ，满足|a |＝1，| b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是 ▲ ．（第5题）（ 第6题 ）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，则该双曲线的离心率的值是 ▲ ．9．已知正方体的外接球的体积是323π，则此正方体的棱长为 ▲ ．10．在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线方程为x 2＝2py （p ＞0）. 若直线x －y －2＝0与该抛物线相切，则实数p 的值是 ▲ ．11．已知锐角A ，B 满足tan(A ＋B )＝2tan A ，则tan B 的最大值是 ▲ ．12．设等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N*)．若S 3，S 9，S 6成等差数列，则 a 8a 2＋a 5的值是 ▲ ．13．设函数f (x )的定义域为D ，如果∀x ∈D ，∃y ∈D ，使f (x )＋f (y )2＝C （C 为常数）成立， 则称函数f (x )在D 上的“均值”为C . 已知四个函数：①y ＝x 3 (x ∈R)；②y ＝(12)x (x ∈R)；③y ＝ln x (x ∈(0,＋∞))；④y ＝2sin x ＋1 (x ∈R).上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是 ▲ ．（填满足要求的所有的函数的序号）14．设实数a ，x ，y ，满足⎩⎨⎧x ＋y ＝2a －1，x 2＋y 2＝a 2＋2a －3，则xy 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）设△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c . 已知C ＝π3，a cos A =b cos B ．（1）求角A 的大小；（2）如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使得PC ＝2．过点P 分别作直线CA 、CD 的垂线PM 、PN ，垂足分别是M 、N ．设∠PCA ＝α，求PM ＋PN 的最大值及此时α的取值．（第15题）ACMNPα如图，在四棱锥P－ABCD中，BA⊥平面P AD，AP＝AD，DC//AB，DC＝2AB，E是棱PD的中点.（1）求证：AE//平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC.17.（本小题满分14分）交管部门遵循公交优先的原则，在某路段开设了一条仅供车身长为10m的公共汽车行驶的专用车道. 据交管部门收集的大量数据分析发现，该车道上行驶着的前、后两辆公共汽车间的安全距离d（m）与车速v（km/h）之间满足二次函数关系d＝f(v). 现已知车速为15 km/h时，安全距离为8 m；车速为45 km/h时，安全距离为38 m；出现堵车状况时，两车安全距离为2 m.（1）试确定d关于v的函数关系d＝f(v)；（2）车速v（km/h）为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： x 2a 2＋ y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为32． （1）求a ，b 的值．（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于A 、B两点．（ⅰ）若k ＝1，求△OAB 面积的最大值；（ⅱ）若P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，求k 的值．19. （本小题满分16分）（1）已知一条直线l 与函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象相切，且有无穷多个切点. 试写出这条直线的方程，并说明理由．（2）是否存在函数y ＝f (x )满足它的图象上任意两点处的切线都不相同？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由．（3）设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ， x ＞0，12x 2＋2x －12，x ≤0的图象上存在k （k ≥2，k ∈N*）个不同的点，使得函数y ＝g (x )的图象在这k 个点处的切线是同一条直线l ，求这k 个点的坐标和直线l 的方程．20. （本小题满分16分）设k 为正整数，若数列{a n }满足a 1＝1，且 (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)k （n ∈N*），称数列{a n }为“k 次方数列”.（1）设数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，且数列{a n n }为等差数列，求a 4的值；（2）设数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”，且存在正整数m 满足a m ＝15，求m 的最小值；（3）对于任意正整数c ，是否存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，满足a p ＝c .南京师大附中2013届高三模拟考试数 学（附加题） 2013.0521、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题．．纸指定区域内．．．．．．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，已知AC ＝12AB ，CM 是∠ACB 的平分线，△AM C 的外接圆交BC 边于点N ，求证：BN =2AM ．B 、（矩阵与变换选做题）在平面直角坐标系xOy 中，设圆x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1002 对应的变换作用下得到曲线F ，求曲线F 的方程． C 、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限的点，A (a ，0)和B (0，b ) 是椭圆的两个顶点，求四边形MAOB 的面积的最大值.D 、（不等式选做题）设a ，b ，c ，d ∈R ，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2，等号当且仅当ad ＝bc 时成立.22、【必做题】如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BA ⊥AC ，AB ＝AC ＝A 1B ＝2，顶点A 1在底面ABC 上的射影恰为点B ．（1）求异面直线AA 1与BC 所成角的大小；（2）在棱B 1C 1上确定一点P ，使AP ＝14，并求出二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值．23、【必做题】设a 为实数，若数列{a n }的首项为a ，且满足a n ＋1＝a n 2＋a 1（n ∈N*），称数列{a n }为理想数列. 若首项为a 的理想数列满足：对于任意的正整数n ≥2，都有|a n |≤2，称实数a 为伴侣数．记M 是所有伴侣数构成的集合． （1）若a ∈(－∞，－2)，求证：a ∈∕M ；（2）若a ∈(0，14］，求证：a ∈M .B南京师大附中2013届高三模拟考试数学参考答案一、填空题1．{－1，0，2，3} 2．2 3．充要 4．35 5．40 6．47．23π 8．2 9．43 3 10．4 11． 24 12．1213．①③④ 14．[114－322，114＋322]二、解答题15.（本小题满分14分）解（1）由a cos A ＝b cos B 及正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B ，又A ∈(0，π)，B ∈(0，π)，所以有A ＝B 或A ＋B ＝π2． ………………… 2分又因为C ＝π3，得A ＋B ＝2π3，与A ＋B ＝π2矛盾，所以A ＝B ，因此A ＝π3． …………………4分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM ＝PC ·sin ∠PCM ＝2sin α；在Rt △PNC 中，PN ＝PC ·sin ∠PCN ＝ PC ·sin(π－∠PCB )＝2sin[π－(α＋π3)]＝2sin (α＋π3)，α∈(0，2π3).……………… 6分所以，PM ＋PN ＝2sin α＋2sin (α＋π3)＝3sin α＋3cos α＝23sin(α＋π6).……………… 10分因为α∈(0，2π3)，所以α＋π6∈(π6，5π6)，从而有sin(α＋π6)∈(12，1]，即23sin(α＋π6)∈(3，23]．于是，当α＋π6＝π2，即α＝π3时，PM ＋PN 取得最大值23．…………… 14分60°αPNM CA（第15题）16.（本小题满分14分）证明（1）取PC 中点F ，连结BF ，EF ．因为点E 、F 分别为棱PD 、PC 的中点，所以EF //DC ，且EF ＝12DC ．……………2分又AB // DC ，且AB ＝12DC ，所以EF //AB ，且EF ＝AB ．于是，四边形ABFE 为平行四边形，故有AE //BF .……………4分又因为AE ⊂/平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，所以AE //平面PBC .……………7分（2）在△P AD 中，因为AP ＝AD ，且E 为PD 的中点，所以AE ⊥PD .因为AB ⊥平面P AD ，DC //AB ，所以DC ⊥平面P AD ．又AE ⊂平面P AD ，所以DC ⊥AE .…………………………9分所以，由AE ⊥PD ，DC ⊥AE ， PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 得到AE ⊥平面PCD .又BF //AE ，所以BF ⊥平面PCD .…………………………12分又因为BF ⊂平面PBC ，所以，平面PBC ⊥平面PDC. …………………………14分17.（本小题满分14分）解（1）由题设可令所求函数关系f (v )＝av 2＋bv ＋c .由题意得v ＝0时，d ＝2； v ＝15时，d ＝8； v ＝45时，d ＝38. ………….… 2分则 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ×152＋15b ＋c ＝8，a ×452＋45b ＋c ＝38.解得：a ＝175，b ＝15 ，c ＝2. ………………4分所以d 关于v 的函数关系为d ＝175v 2＋15v ＋2(v ≥0). ………………6分（2）两车间的距离为d (m)，则一辆车占去的道路长为d ＋10 (m) .设1小时内通过该车道的公共汽车数量为y 辆，则y ＝1000vv 275＋v5＋12 . ………………9分由'y ＝ 1000(－v 275＋12)(v 275＋v 5＋12)2＝0，解得v ＝30. ………………11分 当0＜v ＜30时，y ′＞0；当v ＞30时，y ′＜0.F ABD EP（第16题）于是函数y ＝1000vv 275＋v5＋12在区间(0，30)上递增，在区间(30，+∞)上递减，因此v ＝30时函数取最大值 y ＝1000． ………………13分答：汽车车速定为30 km/h 时，每小时通过这条专用车道的公共汽车数量最多，能通过1000辆． ………………14分18.（本小题满分16分）解（1）由题设可知a ＝2，e ＝c a ＝32，所以c ＝3，故b ＝1．因此，a ＝2，b ＝1． ………………… 2分（2）由（1）可得，椭圆C 的方程为 x 24＋y 2＝1．设点P （m ，0）（－2≤m ≤2），点A （x 1，y 1），点B （x 2，y 2）． (ⅰ)若k ＝1，则直线l 的方程为y ＝x －m ．联立直线l 与椭圆C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －m x 24＋y 2＝1．将y 消去，化简得 54x 2－2mx ＋m 2－1＝0．解之得x 1＝2(2m －1－m 2)5， x 2＝2(2m ＋1－m 2)5， 从而有，x 1＋x 2＝8m5， x 1· x 2＝4(m 2－1)5，而y 1＝x 1－m ，y 2＝x 2－m ，因此，∣AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2(x 1+x 2)2－4 x 1·x 2 ＝452·5－m 2， 点O 到直线l 的距离d ＝∣m ∣2，所以，S △OAB ＝12×|AB |×d ＝255－m 2×|m |，因此，S 2△OAB ＝425( 5－m 2)×m 2≤425·(5－m 2＋m 22)2＝1．………………… 6分又－2≤m ≤2，即m 2∈[0，4]．所以，当5－m 2＝m 2，即m 2＝52， m ＝±102时，S △OAB 取得最大值1．………………… 8分(ⅱ)设直线l 的方程为y ＝k (x －m ).将直线l 与椭圆C 的方程联立，即⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x －m ) x 24＋y 2＝1． 将y 消去，化简得(1＋4k 2)x 2－8mk 2x ＋4(k 2m 2－1)＝0，解此方程，可得，x 1＋x 2＝8mk 21＋4k 2，x 1·x 2＝4(k 2m 2－1) 1＋4k 2．………………… 10分所以，P A 2＋PB 2＝(x 1－m )2＋y 12＋(x 2－m )2＋y 22＝34(x 12＋x 22)－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋2＝m 2·(－8k 4－6k 2＋2)＋(1＋4k 2)·(8k 2＋8) (1＋4k 2)2（*）. …………………14分因为P A 2＋PB 2的值与点P 的位置无关，即（*）式取值与m 无关， 所以有－8k 4－6k 2＋2＝0，解得k ＝±12．所以，k 的值为±12. …………………16分19. （本小题满分16分）解（1）存在直线y ＝1与函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象相切于无穷多个切点．对于y ＝sin x ，因为y'＝cos x ，当x ＝2k π＋π2（k ∈Z ）时，y'＝0，y ＝1．所以，在点(2k π＋π2，1)( k ∈Z )处，函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象的切线为同一条直线y ＝1． ………………………3分 注：同样地可以说明：在点(2k π－π2，－1)( k ∈Z )处，函数y ＝sin x （x ∈R ）的图象的切线为同一条直线y ＝－1． （2）存在函数f (x )＝x 2（x ∈R ）的图象上任意两点处的切线都不相同． 因为f'(x )＝2x ，则函数f'(x )＝2x 在x ∈R 上单调递增． 所以，对于任意的x 1≠x 2，都有f'(x 1)≠f'(x 2)．从而可知，函数f (x )＝x 2（x ∈R ）的图象上任意两点(x 1, f (x 1))，(x 2, f (x 2))处的切线斜率都不相等．于是，函数f (x ) ＝x 2（x ∈R ）的图象上任意两点处的切线都不相同．………………………7分（3）由题设可知g' (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ， x ＞0，x ＋2，x ≤0．1o因为g'(x )在x ∈(－∞，0]上单调递增，所以当x ∈(－∞，0]时，函数g (x )的图象上任意两点处的切线的斜率都互不相同，从而知当x ∈(－∞，0)时，函数g (x )的图象上任意两点处的切线都不相同．2o 因为g'(x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )的图象上任意两点处的切线的斜率都互不相同，从而知当x ∈(0，＋∞)时，函数g (x )的图象上任意两点处的切线都不相同．因此，由1o、2o及题设可知，k 只能为2，且这两个点一定分别落在区间(－∞，0]和 (0，＋∞)上． ………………………9分 3o设a ＞0，b ≤0，记点A (a ，ln a )，B (b ，12b 2＋2b －12)，则函数g (x )的图象在点A 处的切线方程为y －ln a ＝1a(x －a )，即y ＝1ax ＋ln a －1． ① 函数g (x )图象在点B 处的切线为y －(12b 2＋2b －12)＝(b ＋2)(x －b )，即y ＝(b ＋2)x －12b 2－12． ②因为方程①、②表示同一条直线， 则有⎩⎨⎧1a＝b ＋2， ③ln a －1＝－12b 2－12． ④……………12分把③代入④，得ln 1b ＋2－1＝－12b 2－12，即 12b 2－ln(b ＋2)－12＝0，b ∈(－2，0]．记h (b )＝12b 2－ln(b ＋2)－12，b ∈(－2，0]，则h'(b )＝b －1b ＋2＝(b ＋1) 2－2b ＋2．因为b ∈(－2，0]，所以(b ＋1) 2－2∈[－2，－1]．又因为b ＋2＞0，则h'(b )＜0在b ∈(－2，0]上恒成立，所以函数h (b )在(－2，0]上单调递减．由h (－1)＝0，得b ＝－1，a ＝1．所以，所求的k 个点的坐标分别为(1，0)和(－1，－2)，直线l 的方程为y ＝x －2．………………16分20. （本小题满分16分）解（1）因为数列{a n }(n ∈N*)为“2次方数列”，所以a 1＝1， (a n ＋1－a n )2＝(n ＋1)2（n ∈N*）. 于是a 2－a 1＝±2，得a 2＝－1或a 2＝3. ………………2分 当a 2＝3时， 若数列{a n n }为等差数列，则数列{a n n }以1为首项，12为公差，于是a n ＝12(n 2＋n )，经检验，满足题意；当a 2＝－1时，若数列{a n n }为等差数列，则数列{a n n }以1为首项，－32为公差，于是a n ＝－32n 2＋52n ，经检验，不合题意，舍去.综上所述，所求的数列通项为a n ＝12(n 2＋n )，故a 4＝10.………………… 4分 （2）因为数列{a n }(n ∈N*)为“4次方数列”， 所以a 1＝1，a n ＋1－a n ＝±(n ＋1)， 所以a n ＝1±22±32±…±n 2.因为a m ＝15，当m ≤3时，a m 的最大值是1＋22＋32＝14，不可能成立. 当m ＝4时，在算式1±22±32±42中，因为1±22±32±42等于－28，－20，－10，－2，4，12，22，30， 所以m ＝4时，不可能成立.当m ＝5时，因为1－22＋32－42＋52等于15，所以m 的最小值为5. ……………… 8分（3）因为n 2－(n ＋1)2－(n ＋2)2＋(n ＋3) 2 ＝4，故只要c 被4除余数分别1，2，3或整除存在即可. ……………12分 因为a 1＝1，故当c 被4除余1时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ， 使得a p ＝c .因为1－22＋32＝6，故当c 被4除余2时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整 数p ，使得a p ＝c .因为1－22＋32－42＋52＝15，故当c 被4除余3时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*) 和正整数p ，使得a p ＝c .因为1－22－32＋42＝8，故当c 能被4整除时，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和 正整数p ，使得a p ＝c .综上所述，对任意正整数c ，存在“4次方数列”{a n }(n ∈N*)和正整数p ，使得 a p ＝c . ………………… 16分南京师大附中2013届高三模拟考试数学附加卷参考答案A 、（几何证明选讲选做题）证明 如图，在△ABC 中，因为CM 是∠ACM 的平分线，所以 AC BC ＝AMBM．又AC ＝12AB ，所以 AB BC ＝2AMBM ①…………………… 4分因为BA 与BC 是圆O 过同一点B 的弦， 所以，BM ·BA ＝BN ·BC ，即 AB BC ＝BNBM② ……………………8分 由①、②可知 2AM BM ＝BNBM， 所以 BN =2AM ． ……………………10分B 、（矩阵与变换选做题）解 设P (x 0，y 0)是圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0) 则有⎣⎡⎦⎤x ′0 y ′0 ＝⎣⎡⎦⎤1 00 2 ⎣⎡⎦⎤x 0 y 0 ，即⎩⎨⎧x ′0＝x 0y ′0＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′0y 0＝12y ′0. …………………… 4分又因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，故x 02＋y 02＝1，从而(x ′0)2＋(12y ′0)2＝1.…………………… 8分 所以，曲线F 的方程是x 2＋y 24＝1. …………………… 10分C 、（坐标系与参数方程选做题）解 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ.由题设可令M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2. …………………… 2分所以，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12OA ·y M ＋12OB ·x M＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin(φ＋π4). …………………… 7分所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 的面积的最大值为22ab .…………………… 10分D 、（不等式选做题）证明 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，得 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥| ac ＋bd |≥ac ＋bd ．……………………4分将上式两边同时乘以2，再将两边同时加上a 2＋b 2＋c 2＋d 2，有(a 2＋b 2)＋2 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)＋(c 2＋d 2)≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2，即 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥( (a ＋c )2＋(b ＋d )2)2，所以，a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2. …………………… 8分 由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知，原不等式中等号当且仅当ad ＝22、【必做题】解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0, 2, 0)，B (2, 0 , 0)，A 1(0,－2, 2)，B 1(4, 0 , 2)．从而，AA 1→＝(0,－2, 2)，BC →＝B 1C 1→＝(－2, 2, 0)．……………………2分记AA 1→与BC →的夹角为θ，则有cos θ＝AA 1→·BC →|AA 1→|·|BC →|＝－48·8＝－12.又由异面直线AA 1与BC 所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA 1与BC 所成的角为60º. ……………………4分 （2）记平面P AB 和平面ABA 1的法向量分别为m 和n ，则由题设可令m ＝(x , y , z )，且有平面ABA 1的法向量为n ＝(0,2,0).设B 1P →＝λB 1C 1→＝(－2λ, 2λ, 0)，则P (4－2λ, 2λ, 2)．于是AP ＝(4－2λ)2＋(2λ)2＋22＝14，解得λ＝12或λ＝32．又题设可知λ∈(0, 1)，则λ＝32舍去，故有λ＝12．从而，P 为棱B 1C 1的中点，则坐标为P (3, 1, 2)． ……………6分 由平面P AB 的法向量为m ，故m ⊥AP →且m ⊥PB →.由m ·AP →＝0，即(x , y , z )·(3, 1 ,2)＝0，解得3x ＋y ＋2z ＝0； ① 由m ·PB →＝0，即(x , y , z )·(－1,－1,－2)＝0，解得－x －y －2z ＝0，②解方程①、②可得，x ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，z ＝1，则有m ＝(0,－2, 1) . ……………8分 记平面P AB 和平面ABA 1所成的角为β，则cos β＝m ·n |m |·|n |＝(0,－2, 1)·(0, 2, 0) 5·2＝－425＝－255.故二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值是255． ……………10分23、【必做题】证明（1）假设a ∈M ，则由M 的定义知对于任意正整数n ≥2，都有|a n |≤2，从而知B由a 1＝a ，a 2＝a 12＋a 1＝a (a ＋1)，又a ∈(－∞，－2)，得a ＜－2，a ＋1＜－1， 所以| a 2|＝| a (a ＋1)|＝| a |·| a ＋1|＞| a |·1＞2，即| a 2|＞2，这与|a 2|≤2矛盾.………………3分 故当a ∈(－∞，－2)时，a ∈∕M . ………………4分 （2）由a 2＝a 2＋a ＝(a ＋12)2－14，又a ∈(0, 14]，所以a 2∈(0, 516]．同理可得，a 3∈(0,1332]≤12．猜想0＜a n ≤12. ………………6分 下面用数学归纳法证明． ①当1n 时，|a 1|＝|a |≤12成立．②假设n ＝k （k ≥1）时|a k |≤2成立，所以，当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a k 2＋a 1≤(12)2＋14＝12.故，对任意n ∈N *，|a n |≤12＜2，所以a ∈M ． ………………10分。
南京市2015届高三第三次模拟考试数学试题及答案
南京市2015届高三年级第三次模拟考试注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置．．．．．．．上． 1．已知复数z ＝2i 1－i－1，其中i 为虚数单位，则z 的模为 ▲ ．2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ▲ ．4．下图是一个算法流程图，则输出k 的值是 ▲ ．5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ▲ ．6．记不等式x 2＋x －6＜0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点F 作x 轴的垂线l ，则l 与双曲线C 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．8．已知正六棱锥P －ABCDEF 的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ． 9．在△ABC 中， ABC ＝，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD ·BE的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则正整数k ＝ ▲ ． 11．若将函数f (x )＝∣sin(－6)∣(＞0)的图象向左平移9个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数的最小值是 ▲ ． 12．已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为 ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx ＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ．14．已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ．（1）求角A的值；（2）求sin B＋sin C的取值范围．16．（本小题满分14分）在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，P A⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB，E为P A的中点．（1）求证：BE∥平面PCD；（2）求证：平面P AB⊥平面PCD．17.（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．（1）已知点(62，1)在椭圆C上，求实数m的值；（2）已知定点A(－2，0)．①若椭圆C 上存在点T ，使得TATF 1＝2，求椭圆C 的离心率的取值范围；②当m ＝1时，记M 为椭圆C 上的动点，直线AM ，BM 分别与椭圆C 交于另一点P ，Q ，若AM → ＝λAP →，BM →＝BQ →，求证：λ＋为定值．18．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x 2－x ＋t ，t ≥0，g (x )＝ln x ． （1）令h (x )＝f (x )＋g (x )，求证：h (x )是增函数；（2）直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切．对于确定的正实数t ，讨论直线l 的条数，并说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项的和为S n ，且对任意的m ，n ∈N*，都有(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2m a 2n ．（1）求a 2a 1的值；（2）求证：{a n }为等比数列；（3）已知数列{c n }，{d n }满足|c n |＝|d n |＝a n ，p (p ≥3)是给定的正整数，数列{c n }，{d n }的前p 项的和分别为T p ，R p ，且T p ＝R p ，求证：对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ．南京市2015届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 20．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB ，AC 是⊙O 的切线，ADE 是⊙O 的割线，求证：BE · CD ＝BD · CE ．B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l ：x －y ＋2a ＝0．（1）求实数a 的值； （2）求A 2．C ． 选修4－5：不等式选讲已知实数x ，y 满足x ＞y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3．必做题：第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（本小题满分10分）如图，四棱锥P －ABCD 中，P A 平面ABCD ，AD ∥BC ，AB AD ，BC ＝233，AB ＝1，BD ＝P A ＝2．（1）求异面直线BD 与PC 所成角的余弦值； （2）求二面角A －PD －C 的余弦值．23．（本小题满分10分）已知集合A 是集合P n ＝{1，2，3，…，n } (n ≥3，n ∈N*)的子集，且A 中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A 的个数为f (n )． （1）求f (3)，f (4)；（2）求f (n )（用含n 的式子表示）．南京市2015届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 5 2．0.74 3．4 4．6 5．甲 6．(－∞，－3] 7．4 3 8．12 9．119 10．911．32 12． 43 13．[－34，＋∞) 14．(0，1)∪{2}二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．解：（1）因为a cos C ＋c cos A ＝2b cos A ，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ．从而sin B ＝2sin B cos A ． ………………………… 4分 因为sin B ≠0，所以cos A ＝12．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3． ………………………… 7分（2）sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(2π3－B )＝sin B ＋sin 2π3cos B －cos 2π3sin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin(B ＋π6)． ………………………… 11分 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6．所以sin B ＋sin C 的取值范围为(32，3]． ………………………… 14分16．证明：（1）取PD 的中点F ，连接EF ，CF ．因为E 为P A 的中点，所以EF ∥AD ，EF ＝12AD ．因为BC ∥AD ，BC ＝12AD ，所以EF ∥BC ，EF ＝BC ． 所以四边形BCFE 为平行四边形．所以BE ∥CF ． ………………………… 4分 因为BE 平面PCD ，CF 平面PCD ，所以BE ∥平面PCD ． ………………………… 6分 （2）因为AB ＝PB ，E 为P A 的中点，所以P A ⊥BE ．因为BE ∥CF ，所以P A ⊥CF ． ………………………… 9分 因为P A ⊥PD ，PD 平面PCD ，CF 平面PCD ，PD ∩CF ＝F ，所以P A ⊥平面PCD ． ………………………… 12分 因为P A 平面P AB ，所以平面P AB 平面PCD ． ………………………… 14分17． 解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝m ＋1，(m ＋1)－c ＝m ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝m ＋1，b 2＝m ，c ＝1．所以椭圆方程为x 2m ＋1＋y 2m ＝1．因为椭圆C 过点(62，1)，所以32(m ＋1)＋1m＝1， 解得m ＝2或m ＝－12(舍去）．所以m ＝2． ………………………… 4分 （2）①设点T (x ，y )．由TATF 1＝2，得(x ＋2)2＋y 2＝2[(x ＋1)2＋y 2]，即x 2＋y 2＝2． ………………… 6分 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x 2m ＋1＋y 2m＝1， 得y 2＝m 2－m ．因此0≤m 2－m ≤m ，解得1≤m ≤2． 所以椭圆C 的离心率e ＝1m ＋1∈[33，22]． ………………………… 10分②（方法一）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 则AM ＝(x 0＋2，y 0)，AP ＝(x 1＋2，y 1)． 由AM ＝AP ， 得 ⎩⎨⎧x 0＋2＝(x 1＋2)，y 0＝1．从而⎩⎨⎧x 0＝1＋2(－1)，y 0＝1．………………………… 12分因为x 022＋y 02＝1，所以[1＋2(－1)]22＋(1)2＝1．即2(x 122＋y 12)＋2(－1)x 1＋2(－1)2－1＝0．因为 x 122＋y 12＝1，代入得2(－1)x 1＋32－4＋1＝0．由题意知，≠1， 故x 1＝－3－12，所以x 0＝－32． 同理可得x 0＝－＋32． ………………………… 14分因此－32＝－＋32， 所以＋＝6． ………………………… 16分 （方法二）设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 直线AM 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．将y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)代入x 22＋y 2＝1，得(12(x 0＋2)2＋y 20)x 2＋4y 20x ＋4y 20－(x 0＋2)2＝0(*)． 因为x 022＋y 02＝1，所以（*）可化为(2x 0＋3)x 2＋4y 20x －3x 20－4x 0＝0． 因为x 0x 1＝－3x 20＋4x 02x 0＋3，所以x 1＝－3x 0＋42x 0＋3．同理x 2＝3x 0－42x 0－3． ………………………… 14分因为AM ＝AP ，BM →＝BQ →，所以＋＝x 0＋2x 1＋2＋x 0－2x 1－2＝x 0＋2－3x 0＋42x 0＋3＋2＋x 0－23x 0－42x 0－3－2＝(x 0＋2)(2x 0＋3)x 0＋2＋(x 0－2)(2x 0－3)－x 0＋2＝6．即λ＋为定值6． ………………………… 16分 18．解：（1）由h (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2－x ＋t ＋ln x ，得h' (x )＝2x －1＋1x，x ＞0．因为2x ＋1x≥22x ·1x＝22，所以h' (x )＞0， 从而函数h (x )是增函数． ………………………… 3分 （2）记直线l 分别切f (x )，g (x )的图象于点(x 1，x 12－x 1＋t )，(x 2，ln x 2)，由f'(x )＝2x －1，得l 的方程为y －(x 12－x 1＋t )＝(2x 1－1)(x －x 1)，即y ＝(2x 1－1)x －x 12＋t ．由g'(x )＝1x ，得l 的方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2· x ＋ln x 2－1．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1－1＝1x 2，－x 12＋t ＝ln x 2－1．(*) 消去x 1得ln x 2＋(1＋x 2)24x 22－(t ＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分令F (x )＝ln x ＋(1＋x )24x 2－(t ＋1)，则F'(x )＝1x －1＋x 2x 3＝2x 2－x －12x 3＝(2x ＋1)(x －1)2x 3，x ＞0．由F'(x )＝0，解得x ＝1．当0＜x ＜1时，F'(x )＜0，当x ＞1时，F'(x )＞0， 所以F (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )min ＝F (1)＝－t ． ………………………… 9分 当t ＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分 当t ＞0时，F (1)＜0，由于F (e t ＋1)＞ln(e t ＋1)－(t ＋1)＝0，故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分 令k (x )＝ln x ＋1x －1(x ≤1)，由于k' (x )＝1x －1x 2＝x －1x 2≤0，故k (x )在(0，1]上单调递减，故当0＜x ＜1时，k (x )＞k (1)＝0，即ln x ＞1－1x ，从而ln x ＋(1＋x )24x 2 －(t ＋1)＞(12x －12)2－t ． 所以F (12(t ＋1))＞(t ＋12)2－t ＝t ＋14＞0，又0＜12(t ＋1)＜1，故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．所以当t ＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解． 即存在两条满足题意的直线．综上，当t ＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t ＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．………………………… 16分19．解：（1）由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S 2＋S 1)2＝4a 22，即(a 2＋2a 1)2＝4a 22．因为a 1＞0，a 2＞0，所以a 2＋2a 1＝a 2，即a 2a 1＝2． ………………………… 3分证明：（2）（方法一）令m ＝1，n ＝2，得(S 3＋S 1)2＝4a 2a 4，即(2a 1＋a 2＋a 3)2＝4a 2a 4， 令m ＝n ＝2，得S 4＋S 1＝2a 4，即2a 1＋a 2＋a 3＝a 4． 所以a 4＝4a 2＝8a 1．又因为a 2a 1＝2，所以a 3＝4a 1． ………………………… 6分由(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m ，得(S n ＋1＋S 1)2＝4a 2n a 2，(S n ＋2＋S 1)2＝4a 2n a 4． 两式相除，得(S n ＋2＋S 1)2(S n ＋1＋S 1)2＝a 4a 2，所以S n ＋2＋S 1S n ＋1＋S 1＝a 4a 2＝2． 即S n ＋2＋S 1＝2(S n ＋1＋S 1)， 从而S n ＋3＋S 1＝2(S n ＋2＋S 1)．所以a n ＋3＝2a n ＋2，故当n ≥3时，{a n }是公比为2的等比数列． 又因为a 3＝2a 2＝4a 1，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （方法二）在(S m ＋n ＋S 1)2＝4a 2n a 2m 中，令m ＝n ，得S 2n ＋S 1＝2a 2n ． ① 令m ＝n ＋1，得S 2n ＋1＋S 1＝2a 2n a 2n ＋2 ， ② 在①中，用n ＋1代n 得，S 2n ＋2＋S 1＝2a 2n ＋2． ③ ②－①，得a 2n ＋1＝2a 2n a 2n ＋2－2a 2n ＝2a 2n (a 2n ＋2－a 2n )， ④ ③－②，得a 2n ＋2＝2a 2n ＋2－2a 2n a 2n ＋2＝2a 2n ＋2(a 2n ＋2－a 2n )， ⑤ 由④⑤得a 2n ＋1＝a 2n a 2n ＋2． ⑥………………………… 8分⑥代入④，得a 2n ＋1＝2a 2n ；⑥代入⑤得a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 所以a 2n ＋2a 2n ＋1＝a 2n ＋1a 2n ＝2．又a 2a 1＝2，从而a n ＝a 1·2 n －1，n ∈N*．显然，a n ＝a 1·2 n－1满足题设，因此{a n }是首项为a 1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分 （3）由（2）知，a n ＝a 1·2 n －1．因为|c p |＝|d p |＝a 1·2p －1，所以c p ＝d p 或c p ＝－d p ．若c p ＝－d p ，不妨设c p ＞0，d p ＜0，则T p ≥a 1·2p －1－(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝a 1·2p －1－a 1·(2p －1－1)＝a 1＞0．R p ≤－a 1·2p －1＋(a 1·2p －2＋a 1·2p －3＋…＋a 1)＝－a 1·2p －1＋a 1·(2p －1－1)＝－a 1＜0．这与T p ＝R p 矛盾，所以c p ＝d p ． 从而T p －1＝R p －1．由上证明，同理可得c p －1＝d p －1．如此下去，可得c p －2＝d p －2，c p －3＝d p －3．…，c 1＝d 1． 即对任意正整数k (1≤k ≤p )，c k ＝d k ． ………………………… 16分南京市2015届高三第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2015.0520．选做题：在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：因为AB 是⊙O 的切线，所以ABD ＝AEB ．又因为BAD ＝EAB ，所以△BAD ∽△EAB ．所以BD BE ＝ABAE ． ………………………… 5分同理，CD CE ＝AC AE.．因为AB ，AC 是⊙O 的切线，所以AB ＝AC ．因此BD BE ＝CDCE ，即BE · CD ＝BD · CE ． ………………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）设直线l 上一点M 0(x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换作用下变为l上点M (x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤a 11a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0， 所以⎩⎨⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0．………………………… 3分代入l 方程得(ax 0＋y 0)－(x 0＋ay 0)＋2a ＝0， 即(a －1)x 0－(a －1)y 0＋2a ＝0． 因为(x 0，y 0)满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2． ………………………… 6分（2）由A ＝⎣⎡⎦⎤2112，得A 2＝⎣⎡⎦⎤2112⎣⎡⎦⎤2112＝⎣⎡⎦⎤5445． ………………… 10分C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为x ＞y ，所以x －y ＞0，从而左边＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2＋2y≥33(x －y )(x －y )1(x －y )2＋2y ＝2y ＋3 ＝右边．即原不等式成立． ………………………… 10分 21．解：（1）因为P A 平面ABCD ，AB 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以P A AB ，P A AD ． 又AD AB ，故分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系． 根据条件得AD ＝3．所以B (1，0，0)，D (0，3，0)，C (1，233，0)，P (0，0，2)．从而BD ＝(－1，3，0)，PC ＝(1，233，－2)．………………………… 3分设异面直线BD ，PC 所成角为x ， 则cos x ＝|cos ＜→BD ，→PC ＞|＝|BDPC ∣BD ∣∣PC ∣|＝|(－1，3，0)·(1，233，－2)2×193|＝5738．即异面直线BD 与PC 所成角的余弦值为5738． ………………………… 5分 （2）因为AB 平面P AD ，所以平面P AD 的一个法向量为 AB ＝(1，0，0)．设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由nPC ，nPD ，PC ＝(1，233，－2)，PD ＝(0，3，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋233y －2z ＝0，3y －2z ＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝23z ，y ＝233z ．不妨取z ＝3，则得n ＝(2，23，3)． ………………………… 8分 设二面角A －PD －C 的大小为， 则cos ＝cos ＜AB ，n ＞＝AB · n∣AB ∣×∣n ∣＝(1，0，0)·(2，23，3)1×5＝25．即二面角A －PD －C 的余弦值为25． ………………………… 10分22．解：（1）f (3)＝1，f (4)＝2； ………………………… 2分 （2）设A 0＝{m ∣m ＝3p ，p ∈N*，p ≤n 3}，A 1＝{m ∣m ＝3p －1，p ∈N*，p ≤n ＋13}， A 2＝{m ∣m ＝3p －2，p ∈N*，p ≤n ＋23}，它们所含元素的个数分别记为∣A 0∣，∣A 1∣，∣A 2∣．……………………… 4分 ①当n ＝3k 时，则∣A 0∣＝∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝1，2时，f (n )＝(C 1k)3＝k 3；k ≥3时，f (n )＝3C 3k ＋(C 1k )3＝32k 3－32k 2＋k ．从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*． ………………………… 6分②当n ＝3k －1时，则∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (5)＝2×2×1＝4； k ＝3时，f (n )＝f (8)＝1＋1＋3×3×2＝20；k ＞3时，f (n )＝C 3k －1＋2C 3k ＋C 1k －1 (C 1k )2＝32k 3－3k 2＋52k －1；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*． ………………………… 8分③当n ＝3k －2时，∣A 0∣＝k －1，∣A 1∣＝k －1，∣A 2∣＝k ． k ＝2时，f (n )＝f (4)＝2×1×1＝2； k ＝3时，f (n )＝f (7)＝1＋3×2×2＝13；k ＞3时，f (n )＝2C 3k －1＋C 3k ＋(C 1k －1)2 C 1k ＝32k 3－92k 2＋5k －2；从而 f (n )＝118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*．所以f (n )＝⎩⎨⎧118n 3－16n 2＋13n ，n ＝3k ，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －49，n ＝3k －1，k ∈N*，118n 3－16n 2＋13n －29，n ＝3k －2，k ∈N*． …………………… 10分。
师大附中高三期中考试数学试卷及答案
江苏省南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三期中考试数学试卷命题人：江卫兵审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲；5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为▲；6．若函数的定义域为，则的取值范围是▲；7．设复数，则▲；8．已知变量、满足条件则的最大值是▲；9．函数在（0，）内的单调增区间为▲；10．若ΔABC的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲；11．已知等比数列中，，则该数列的通项= ▲；12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是▲；13．若为的各位数字之和，如，，则；记，，…，，，则▲；14．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为▲= ▲；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级学号＿＿＿＿＿＿姓名得分一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．BAC DE17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为. 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．１２３４５６７８９10…………20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合，则▲；{4，5}2．已知为第三象限角，则的符号为▲ (填“正”或“负”)；负3．设的三个内角、、所对边的长分别是、、，且，那么▲；4．在等差数列中，，则的值为▲ ； 12 5．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的 值为 ▲ ；6．若函数的定义域为，则的取值范围是 ▲ ；7．设复数，则▲ ； 18．已知变量、满足条件则的最大值是▲ ； 6 9．函数在（0，）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角所对边的长分别为，向量，，若，则∠等于▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数是上的减函数，是其图象上的两点，那么不等式|的解集是 ▲ ；13．若为的各位数字之和，如，， 则；记，，…，，，则▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：358915请将错误的一个改正为 15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分）15．（本小题满分14分）已知,且（1）求的值；（2）求的值.解：(1)由sin=又0<<∴cos=,tan=∴=（2）tan(16．（本小题满分14分）如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，交于，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求．解：（Ⅰ）因为，，所以．所以．（Ⅱ）在中，，由正弦定理BACDE．故．17．（本小题满分14分）已知函数满足；（1）求常数的值；（2）解不等式．解：（1）因为，所以；由，即，（2）由（1）得由得，当时，解得，当时，解得，所以的解集为．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），∴与的函数关系式为（2）由得，（舍）当时；时，∴函数在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数的第个数（如）．⑴试用表示（不要求证明）；⑵若，求的值；⑶记三角形数表从上往下数第行的各数之和为，令，若数列的前项和为，求．解：（1）∵三角形数表中前行共有个，即第行的最后一个数是 ∴=（2）由题意，先求使得是不等式的最小正整数解． 由，得∵，∴，∴１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………（另解：∵∴）于是，第63行的第一个数是，故（3）前行的所有自然数的和为则，所以，当时，，当时，也适合，20．（本题满分16分）已知函数，（I）若时，函数在其定义域内是增函数，求b的取值范围；（II）在（I）的结论下，设，求函数的最小值；（III）设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I）依题意：在（0,+）上是增函数，对∈（0,+）恒成立，，则的取值范围是.（II）设当，即时，函数在[1,2]上为增函数，当时，；当时，.综上所述：（III）设点P、Q的坐标是则点M、N的横坐标为C1在点M处的切线斜率为C2在点N处的切线斜率为假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则即则设则 (1)令，则，，所以在上单调递增，故，则，与（1）矛盾！。
江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题(解析版)
南京师大附中2018届高三年级模拟考试数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x| x2－x－2＜0}，则A∩B＝______．【答案】{0，1}【解析】分析：先求B集合，再结合交集即可.详解：由题可得，故A∩B＝{0，1}点睛：考查集合的交集基本运算，属于基础题.2.若复数z＝1－i，则z＋的虚部是______．【答案】－【解析】分析：先化简z＋再写虚部即可.详解：故虚部为－点睛：考查复数的四则运算，属于基础题.3.某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车，产量分别为1400辆、5600辆、2000辆．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取45辆进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．【答案】10【解析】分析：根据题意求出抽样比例，再计算应从丙种型号的产品中抽取的样本数据．详解：抽样比例是，故应从丙种型号的产品中抽取故答案为：10．点睛：本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．4.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为．【答案】【解析】分析：画出约束条件的可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，利用数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得出最小值.详解：由约束条件作出可行域如图所示：化目标函数为.联立方程组，解得.由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最小，有最小值为.故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，则A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是______．【答案】【解析】分析：先求出基本事件总数，A、B,2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是A、B 2首歌曲都没有被播放，由此能求出A、B ,2首歌曲至少有1首被播放的概率．详解：小明随机播放A，B，C，D，E 五首歌曲中的两首，基本事件总数，A、B 2首歌曲都没有被播放的概率为：，故A，B 两首歌曲至少有一首被播放的概率是1-，故答案为点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．6.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是________.【答案】【解析】由程序框图，得运行过程如下：；，结束循环，即输出的的值是7.7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．【答案】【解析】分析：根据等体积法：即可：详解：由题可得=,故答案为点睛：本题考查三棱锥体积的计算，正确转换底面是关键．8.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程是__________．【答案】【解析】分析：利用双曲线的渐近线的方程可得＝2，再利用抛物线的焦点抛物线y2＝20x的焦点相同即可得出c，即可求得结论.详解：由题得＝2，c=5，再由得故双曲线的方程是.点睛：熟练掌握圆锥曲线的图象和性质是解题的关键．属于基础题.9.若直线y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线，则实数b＝______．【答案】－2ln2【解析】分析：根据导数的切线的求法可设切点为，再求导得可得出切点坐标再代入切线方程即可得出b.详解：由题得：设切点为，由y＝2x＋b是曲线y＝e x－2的切线得，代入曲线得，然后将切点坐标代入切线得b=－2ln2.点睛：本题是基础题，考查曲线的导数与切线方程的关系，考查计算能力．10.“”是“函数为奇函数”的____条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【解析】分析：根据充分必要条件判断即可.详解：当时，函数=，此时有故函数为奇函数，反之当函数为奇函数时，可令a=-1，此时f（x）=仍为奇函数，故反之a=1就不一定了，所以必要性不成立，故答案为充分不必要.点睛：考查充分必要的定义和判断，对a的适当取值是解题关键.属于基础题.11.在数列{a n}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．【答案】9【解析】分析：将a n+a n+1+a n+2=15中n换为n+1，可得数列{a n}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018详解：由题意可得a n+a n+1+a n+2=15，将n换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n，可得数列{a n是周期为3的数列．故，由a n+a n+1+a n+2=15，n取1可得，故，故答案为9.点睛：本题考查了数列的周期性、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.已知直线与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．13.在中，已知，则的最小值是________．【答案】【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.14.已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：，，由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）设t=f（x），则g（t）=a，（a＞0）由y=g（t）的图象知，①当0＜a ＜1时，方程g（t）=a有两个根-4＜t1＜-3，或-4＜t2＜-2，由t=f（x）的图象知，当-4＜t1＜-3时，t=f（x）有0个根，当-4＜t2＜-2时，t=f（x）有0个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0个根，②当a=1时，方程g（t）=a有两个根t1=-3，或t2=，由t=f（x）的图象知，当t1=-3时，t=f（x）有0个根，当t2=时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3个根，③当1＜a＜时，方程g（t）=a有两个根0＜t1＜，或＜t2＜1，由t=f（x）的图象知，当0＜t1＜时，t=f（x）有3个根，当＜t2＜1时，t=f（x）有3个根，此时方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6个根，当a=由图可得同理只有5解，综合的故若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知A，B，C是三角形三内角，向量，，且．（1）求角A；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）用数量积的坐标运算表示出，有，再由两角差的正弦公式化为一个三角函数式，最终求得；（2）化简，可直接去分母，注意求得结果后检验分母是否为0（本题解法），也可先化简已知式为，再变形得，由可得结论．试题解析：（1）∵，∴，即，，，∵，，∴，∴．（2）由题知：，整理得，∴，∴，∴或，而使，舍去，∴，∴．考点：数量积坐标运算，两角和与差的正弦公式、正切公式．16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：AB//EF；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）推导出AB∥CD，从而AB∥平面PDC，由此能证明AB∥EF．（2）结合（1）可证AB⊥AF，AB⊥平面PAD，从而得平面PAD⊥平面ABCD．证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD．又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB//平面PDC，又因为AB⊂平面ABE，平面ABE∩平面PDC＝EF，所以AB//EF．（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，（1）中已证AB//EF，所以AB⊥AF，又AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．17.如图，三个警亭有直道相通，已知在的正北方向6千米处，在的正东方向千米处.（1）警员甲从出发，沿行至点处，此时，求的距离；（2）警员甲从出发沿前往，警员乙从出发沿前往，两人同时出发，甲的速度为3千米/小时，乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系，乙到达后原地等待，直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米，试问两人通过对讲机能保持联系的总时长？【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）在中，，，，然后由正弦定理可得BP，（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，当时，分别求得对应的时长在求和即得到结论.解：（1）在中，，，由正弦定理，，即，故的距离是9－3千米．（2）甲从C到A，需要4小时，乙从A到B需要1小时．设甲、乙之间的距离为，要保持通话则需要．当时，，即，解得，又所以，时长为小时．当时，，即，解得，又所以，时长为3小时．3＋＝（小时）．答：两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时．点睛：考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力，属于中档题.18.如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆C经过点(0，)，离心率为，直线l过点F2与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点N为△F1AF2的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△F1NF2与△F1AF2面积的比值；（3）设点A，F2，B在直线x＝4上的射影依次为点D，G， E．连结AE，BD，试问当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点T？若是，请求出定点T的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2）（3）见解析.【解析】分析：（1）由题可得b＝，＝，结合椭圆可得椭圆方程；（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N 为△F1AF2的内切圆的圆心，然后结合内切圆的半径表示三角形的面积可得面积比值；（3）分直线斜率不存在和斜率存在时两种情况进行讨论，连立方程结合韦达定理求出AE方程得到定点再验证其在BD上即可得到结论.解：（1）由题意，b＝，又因为＝，所以＝，解得a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.（2）因为点N为△F1AF2的内心，所以点N为△F1AF2的内切圆的圆心，设该圆的半径为r.则＝＝＝＝.（3）若直线l的斜率不存在时，四边形ABED是矩形，此时AE与BD交于F2G的中点(，0)，下面证明：当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).设直线l的方程为y＝k(x－1)，化简得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，因为直线l经过椭圆C内的点(1，0)，所以△＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.由题意，D(4，y1)，E(4，y2)，直线AE的方程为y－y2＝(x－4)，令x＝，此时y＝y2＋×(－4)＝＝＝＝＝＝＝＝0，所以点T(，0)在直线AE上，同理可证，点T(，0)在直线BD上.所以当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点T(，0).点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆关系、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，能正确计算直线方程表示是解题关键，计算量较大，属于难题．19.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函数f(x)的极值；（2）若函数f(x)有两个零点，求a的范围；（3）对于曲线y＝f(x)上的两个不同的点P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，记直线PQ的斜率为k，若y＝f(x)的导函数为f ′(x)，证明：f ′()＜k．【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】分析：（1）求极值可先求导分析函数的单调区间从而确定极值点求极值；（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；故只需讨论当a＞0时的零点情况，当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），求导分析单调性结合零点定理进行证明即可；（3）由斜率计算公式得，而，将看成一个整体构造函数（），分析其最大值即可.解：（1），，当时，，在上单调递增，无极值；当时，，在上单调递增；，在上单调递减，函数有极大值，无极小值．（2）由（1）可知当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调增，不可能有两个零点；当a＞0时，函数有极大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上单调递减；，，在(1，＋∞)上单调递增，函数有最小值．要使若函数有两个零点时，必须满足，下面证明时，函数有两个零点．因为，所以下面证明还有另一个零点．①当时，，，令()，，在上单调递减，，则，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．②当时，，，易证，可得，所以在上有零点，又在上单调递减，所以在上有惟一零点，从而有两个零点．综上，的范围是．（3）证明：，，又，，不妨设0＜x2＜x1， t＝，则t＞1，则．令（），则，因此h(t)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f ′()－k＜0，即f ′()＜k．点睛：考查导数在函数的应用、零点定理、导数证明不等式，对复杂函数的正确求导和灵活转化为熟悉的语言理解是解导数难题的关键，属于难题.20.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，求m＋n的最小值；（3）令c n＝，记{c n}的前n项和为Tn，{}的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对 n≥2, n∈N*，都有pn＝＋A n c n，设{p n}的前n项和为S n，求证：Sn＜4＋4lnn．【答案】（1）（2）或（3）见解析【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，化简得，可得，即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，所以.（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，有，即，由于，且为正整数，所以，所以，可得，即，①当1≤m≤2时，不等式不成立；②当或时成立；③当时，，，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且或时取得．（3）由题意得：（1）（2）（1）—（2）得，求得，所以，设，则，所以在上单调递增，有，可得.当，且N*时，，有，所以，可得，所以.点睛：考查等差等比得通项和综合运用，错位相减法求和，构造函数与数列结合证明不等式，对学生的分析思维和解决问题的能力有较高要求，属于难题.数学附加题21.A选修4—1：几何证明选讲在△ABC中，已知AC＝AB，CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN=2AM．【答案】见解析【解析】分析：因为CM是∠ACB的平分线，由内角平分线定理，可得＝，再由圆的切割线定理，可得BM•BA=BN•BC，整理，即可得证.证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，所以＝．又AC＝AB，所以＝①因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，所以，BM·BA＝BN·BC，即＝②由①、②可知＝，所以BN=2AM．点睛：本题考查内角平分线定理和圆的切割线定理及运用，考查推理能力，属于中档题．22.B选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M＝的一个特征值为3，求M的另一个特征值．【答案】-1【解析】分析：根据特征多项式的一个零点为3，可得x=1，再回代到方程f（λ）=0即可解出另一个特征值为λ2=-1．解：矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4．因为λ1＝3是方程f(λ)＝0的一个根，所以(3－1)(3－x)－4＝0，解得x＝1．由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ＝－1或3，所以λ2＝－1．点睛：本题给出含有字母参数的矩阵，在知其一个特征值的情况下求另一个特征值，属于基础题.23.C选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ＝2cosθ和直线l：θ＝(ρ∈R)相交于A，B两点，求线段AB的长．【答案】2【解析】【详解】分析：先化话普通方程：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2，直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．求出圆心C到直线l的距离d=．利用弦长公式求解即可.解：圆C：ρ＝2cosθ直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－)2＋y2＝2．直线l：θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．圆心C到直线l的距离d＝＝1．所以AB＝2．点睛：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于基础题．24.已知，求证．【答案】见解析【解析】分析：根据（2a+1）+（2b+1）=4，2a+1＞0，2b+1＞0则()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋，然后利用基本不等式可证明不等式．证明：证法一因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以()[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋≥5＋2＝9．而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．证法二因为a＞0，b＞0，由柯西不等式得()[(2a＋1)＋(2b＋1)]≥(＋)2＝(1＋2)2＝9．由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．点睛：本题主要考查了不等式的证明，以及基本不等式的应用，解题的关键[（2a+1）+（2b+1）]=1的运用，属于中档题．25.如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S＝的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由古典概型的概率计算公式，能求出取出的三角形的面积S＝的概率；（2）由题设条S的所有可能取值为为，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量S的分布列及期望．详解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，所以P(S＝)＝＝.（2）S的所有可能取值为，，.S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，所以P(S＝)＝＝.S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，所以P(S＝)＝＝.又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为所以E(S)＝×＋×＋×＝.点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．26.设集合是非空集合的两个不同子集．（1）若，且是的子集，求所有有序集合对的个数；（2）若，且的元素个数比的元素个数少，求所有有序集合对的个数．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）分集合含有2个元素或1个元素进行讨论分析，根据定义，利用列举法即可得到结果；（2）根据有序集合对的定义，，利用二项式定理可得结果．【详解】（1）若集合B含有2个元素，即，则A＝∅，，则(A，B)的个数为3；若集合B含有1个元素，则B有种，不妨设，则A＝∅，此时(A，B)的个数为×1＝2.综上，(A，B)的个数为5.（2）集合M有子集，又集合A，B是非空集合M的两个不同子集，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，若A的元素个数与B的元素个数一样多，则不同的有序集合对(A，B)的个数为，又的展开式中的系数为，且的展开式中的系数为，，，所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时，有序集合对(A，B)的个数为，所以，A的元素个数比B的元素个数少时，有序集合对(A，B)的个数为.【点睛】本题考查集合的概念与运算、二项式定理的应用、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
南京市2015届高三第三次模拟考试他答案
a2＝m＋1， a ＝m＋1， 由题意，得 c 解得b ＝m， (m＋1)－c＝m， c＝1．
x2 y2 所以椭圆方程为 ＋m＝1． m＋1 6 3 1 因为椭圆 C 过点( 2 ，1)，所以 ＋ ＝1， 2(m＋1) m 1 解得 m＝2 或 m＝－2 (舍去）． 所以 m＝2． （2）①设点 T(x，y)． TA 由TF ＝ 2，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即 x2＋y2＝2．
2 2ห้องสมุดไป่ตู้
所以
2x1－1＝ 1 ，
x2
－x12＋t＝lnx2－1．
(*)
(1＋x2)2 消去 x1 得 lnx2＋ 4x 2 －(t＋1)＝0 2
(**)．
………………………… 7 分
(1＋x)2 1 1＋x 2x2－x－1 (2x＋1)(x－1) 令 F(x)＝lnx＋ 4x2 －(t＋1)，则 F'(x)＝x － 2x3 ＝ 2x3 ＝ ，x＞0． 2x3 由 F'(x)＝0，解得 x＝1． 当 0＜x＜1 时，F'(x)＜0，当 x＞1 时，F'(x)＞0， 所以 F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 从而 F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9 分
16．证明： （1）取 PD 的中点 F，连接 EF，CF． 1 因为 E 为 PA 的中点，所以 EF∥AD，EF＝2AD． 1 因为 BC∥AD，BC＝2AD， 所以 EF∥BC，EF＝BC． 所以四边形 BCFE 为平行四边形． 所以 BE∥CF． ………………………… 4 分
B （第 16 题图） C E A P F D
－3 －＋3 因此 2 ＝ 2 ，
2015届高三模拟考试试卷-南师三模数学.
2015届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2015．5 参考公式：棱锥的体积公式V 棱锥＝13Sh ，其中为S 棱锥的底面积，h 为棱锥的高．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A B ，则A ＝________．2. 设复数z ＝1＋i ，若1，1z对应的向量分别为OA →和OB →，则|AB →|的值为________．3. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合A ＝{－1，0，1，2}中的元素，则此点正好落在抛物线y ＝x 2－1上的概率为________．4. 下图是某个容量为100的样本的频率分布直方图，则在区间[4，5)上的数据的频数为________．(第4题)(第5题)5. 上图是一个算法的流程图，则输出的n ＝________．6. 一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.7. 若双曲线x 2－my 2＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数m 的值是________．8. 不等式1x≤2的解集是________．9. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________．(第10题)10. 已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(π)＝________．11. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y ＝f(x)的图象关于直线x ＝12对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________．12. 已知正三角形ABC 的边长为23，圆O 是该三角形的内切圆，P 是圆O 上的任意一点，则PA →·PB →的最大值为________．13. 非空集合G 关于运算满足：(1) 对任意a 、b∈G，都有a ＋b∈G；(2) 存在e∈G，使得对一切a∈G，都有a e ＝ea ＝a ，则称G 关于运算为“融洽集”．现给出下列集合和运算：① G ＝{非负整数}，为整数的加法； ② G ＝{平面向量}，为平面向量的加法； ③ G ＝{二次三项式}，为多项式的加法；④ G ＝{虚数}，为复数的乘法．其中G 关于运算为“融洽集”的是________．(写出所有“融洽集”的序号)14. 设曲线y ＝(ax －1)e x在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝1－x ex 在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在四边形ABEF 中，AF ⊥BF ，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直．(1) 求证：AF⊥平面CBF ；(2) 设FC 的中点为M ，求证：OM∥平面DAF.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0. (1) 求cosC 的值；(2) 若c ＝1，cosA ＋cosB ＝233，求边a 的值．17. (本小题满分14分) 某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1) 若某企业年产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y ＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg2≈0.3，lg5≈0.7)；(2) 若采用函数f(x)＝15x －ax ＋8作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e.直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM →＝λAB →.(1) 证明：λ＝1－e 2；(2) 若λ＝34，△MF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程；(3) 确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．设函数f(x)＝(x－1)e x－ax2，其中a∈R.(1) 当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 求函数f(x)的极值；(3) 当a∈(0，1]时，若函数f(x)在[0，a]上的最大值为M(a)，求M(a)．已知无穷数列{a n}满足a n＋1＝a·a n＋ba n，且a1＝5.(1) 若ab＝0，求数列{a n}的前n项和S n；(2) 若a＝b＝1，是否存在整数a，使得0<a1 001－a<0.1成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修41：几何证明选讲) 如图，∠PAQ 是直角，圆O 与AP 相切于点T ，与AQ 相交于两点B ，C.求证：BT 平分∠OBA.B. (选修42：矩阵与变换)变换T 1是逆时针旋转π2角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.(1) 求点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标；(2) 求曲线y ＝x 2依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．C. (选修44：坐标系与参数方程)极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝tsin α(t 为参数)．(1) 当α＝π4时，求曲线C 1与C 2公共点的直角坐标；(2) 若α≠π2，当α变化时，设曲线C 1与C 2的公共点为A ，B ，试求AB 中点M 轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．D. (选修45：不等式选讲)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋1x2－2xy＋y2≥2y＋3.【必做题】第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1.(1) 求直线DF与平面ACEF所成角的正弦值；(2) M为AB的中点，试在线段EF上找一点P，使平面PCD与平面PCM相互垂直．23. 设数列{a n}，定义如下：a n表示小于等于n的正整数中完全平方数的个数，即当k2≤n≤k2＋2k(k∈N*)时，a n＝k，记S n＝a1＋a2＋…＋a n(n∈N*)．(1) 分别求a88，S88的值；(2) 是否存在n使S n＝880？若存在，求出n；若不存在，说明理由．2015届高三模拟考试试卷 数学参考答案及评分标准1. {1}2. 223. 3164. 30 解析：对于在区间[4，5)的频率/组距的数值为0.3，而总数为100，因此频数为30.5. 96. 487. 128. (－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞9. 3116 解析：显然q≠1，所以9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q 1＋q 3＝9q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和T 5＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.10. 2 解析：由图象知最小正周期T ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π3＝2πω，故ω＝3.又x ＝π4时，3·π4＋φ＝2k π(k∈Z )，可得φ＝5π4，所以f(π)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋5π4＝ 2. 11. 0 解析：f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，假设f(n)＝0，因为点(－n ，0)和点(n ＋1，0)关于x ＝12对称，所以f(n ＋1)＝f(－n)＝－f(n)＝0，因此，对一切正整数n 都有f(n)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.12. 6＋ 5 13. ①② 14. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 15. 证明：(1) 因为平面ABCD⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ， 所以CB⊥平面ABEF.(2分)又AF平面ABEF ，则AF⊥CB，(4分)又AF⊥BF，且BF∩BC＝B ，BF ，BC平面CBF ，所以AF⊥平面CBF.(7分)(2) 设DF 的中点为N ，则MN 綊12CD.又AO 綊12CD ，则MN 綊AO ，所以四边形MNAO 为平行四边形，所以OM∥AN.(12分)又AN 平面DAF ，OM 平面DAF ， 所以OM∥平面DAF.(14分)16. 解：(1) 由3cos2C －10cos(A ＋B)－1＝0，得3cos 2C ＋5cosC －2＝0，(3分)即(cosC ＋2)(3cosC －1)＝0，解得cosC ＝13或cosC ＝－2(舍去)．(6分)(2) 由cosC ＝13得sinC ＝223，则cosB ＝－cos(A ＋C)＝－13cosA ＋223sinA ，(9分)代入cosA ＋cosB ＝233，得cosA ＋2sinA ＝3，从而得sin(A ＋φ)＝1，其中sin φ＝33，cos φ＝63，0<φ<π2. 则A ＋φ＝π2，于是sinA ＝63.(12分)由正弦定理得a ＝csinA sinC ＝32.(14分)17. 解：(1) 对于函数模型f(x)＝lgx ＋kx ＋5(k 为常数)，x ＝100时，y ＝9，代入解得k ＝150，(3分) 所以f(x)＝lgx ＋150x ＋5.当x∈[50，500]时，f(x)是增函数，但x ＝50时，f(50)＝8－lg2>7.5，即f (x)≤320x不恒成立，故该函数模型不符合要求．(6分)(2) 对于函数模型f(x)＝15x －a x ＋8，即f(x)＝15－120＋ax ＋8，a 为正整数，函数在[50，500]上递增；f(x)min ＝f(50)>7，解得a<344；(9分)要使f(x)≤3x20对x∈[50，500]恒成立，即15x －a x ＋8≤3x 20，3x 2－276x ＋20a≥0恒成立，(11分) 所以a≥315.综上所述，315≤a<344，所以满足条件的最小的正整数a 的值为315.(14分)18. (1) 证明：(证法1)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ex ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c ，y ＝b 2a.这里c ＝a 2＋b 2，所以点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .(2分)由AM →＝λAB →得⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a . 即⎩⎪⎨⎪⎧a e －c ＝λa e ，b2a＝λa，解得λ＝1－e 2.(4分)(证法2)因为A 、B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a)． 设M 的坐标是(x 0，y 0)．由AM →＝λAB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a e ，y 0＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a e ，a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e （λ－1），y 0＝λa.(2分)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 2b2＝1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a e （λ－1）2a2＋（λa）2b 2＝1，所以（1－λ）2e2＋λ21－e2＝1. e 4－2(1－λ)e 2＋(1－λ)2＝0，解得e 2＝1－λ，即λ＝1－e 2.(4分)(2) 解：当λ＝34时，c ＝12，所以a ＝2c.(6分)由△MF 1F 2的周长为6，得2a ＋2c ＝6.(8分)所以a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(10分)(3) 解：(解法1)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△MF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|，即12|PF 1|＝c.(12分)设点F 1到l 的距离为d ，由12|PF 1|＝d ＝|e （－c ）＋0＋a|1＋e 2＝|a －ec|1＋e2＝c ，(14分) 得1－e21＋e2＝e.所以e 2＝13，于是λ＝1－e 2＝23. 即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)(解法2)因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2＝90°＋∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|＝|F 1F 2|.设点P 的坐标是(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－0x 0＋c ＝－1e ，y 0＋02＝e x 0－c 2＋a.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e 2－3e 2＋1c ，y 0＝2（1－e 2）ae 2＋1.(10分) 由|PF 1|＝|F 1F 2|得⎣⎢⎡⎦⎥⎤（e 2－3）c e 2＋1＋c 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（1－e 2）a e 2＋12＝4c 2， 两边同时除以4a 2，化简得（e 2－1）2e 2＋1＝e 2.从而e 2＝13.(14分) 于是λ＝1－e 2＝23.即当λ＝23时，△PF 1F 2为等腰三角形．(16分)19. 解：(1) 当a ＝0时，f(x)＝(x －1)e x ，f ′(x)＝xe x，(2分) x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．(4分)(2) f′(x)＝x(e x－2a)，① a ≤0时，因为e x－2a>0，x ∈(－∞，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增．x ＝0时，函数f(x)取极小值f(0)＝－1.(6分)② a>0时，令f′(x)＝x(e x－2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．若ln(2a)＝0，即a ＝12，f(x)＝x(e x－1)≥0，x ∈R ，函数f(x)单调递增，没有极值； 若ln(2a)>0，即a>12，x ∈(－∞，0)和x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(0)＝－1，极小值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；若ln(2a)<0，即0<a<12，x ∈(－∞，ln(2a))和x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，函数单调递增；x∈(ln(2a)，0)时，f ′(x)<0，函数单调递减；函数f(x)的极大值是f(ln(2a))＝2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值是f(0)＝－1.综上，当a≤0时，f(x)有极小值－1，无极大值；当a>12时，f(x)有极大值－1，极小值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2；当0<a<12时，f(x)有极大值2a(ln(2a)－1)－a(ln(2a))2，极小值－1；当a ＝12时，没有极值．(10分)(3) f′(x)＝x(e x －2a)，f ′(x)＝e x(x －2a)＝0，解出x 1＝0或x 2＝ln(2a)．① 若ln (2a)≤0，即0<a≤12时，x ∈[0，a]，f ′(x)≥0，函数在[0，a]上单调递增，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.② 若ln(2a)>0，即12<a ≤1，令g(a)＝ln(2a)－a ，g′(a)＝1－a a >0，所以g(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递增，所以g(a)≤g(1)＝ln2－1＝ln 2e<0，从而ln(2a)<a ，所以ln (2a)∈(0，a)，所以x∈(0，ln(2a))时，f ′(x)<0，当x∈(ln(2a)，＋∞)时，f ′(x)>0，M(a)＝max{f(a)，f(0)}＝{(a －1)e a －a 3，－1}．令h(a)＝(a －1)e a －a 3＋1，h ′(a)＝a(e a －3a)，令k(a)＝e a －3a ，则k′(a)＝e a－3<e －3<0，所以k(a)在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上递减，而k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12k(1)＝⎝⎛⎭⎪⎫e －32(e －3)<0， 所以存在唯一的零点x 0∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1使得k(x 0)＝0，且当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0时，k(a)>0，则h′(a)>0；当a∈(x 0，1)时，k(a)<0，则h′(a)<0.所以h(a)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，x 0上单调递增，在(x 0，1)上单调递减．h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12e ＋78>0，h(1)＝0，所以h(a)≥0在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上恒成立，当a ＝1时，等号成立． 即f(a)≥f(0)．综上，M(a)＝f(a)＝(a －1)e a －a 3.(16分)20. 解：(1) 若a ＝0，b ≠0，a n ＋1＝b a n ，∴ a 1＝5，a 2＝b 5，a 3＝5，a 4＝b5，…所以当n 为奇数时，S n ＝5·n ＋12＋b 5·n －12＝25n ＋bn －b ＋2510；当n 为偶数时，S n ＝5·n 2＋b 5·n 2＝25n ＋bn10.(3分)若a≠0，b ＝0时，a n ＋1＝a·a n ，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5（a n－1）a －1，a ≠0，a ≠15n ，a ＝1；(6分)若a ＝0，b ＝0时，a n ＋1＝0，不合题意．(2) n≥2时，∵ a n ＝a n －1＋1a n －1，∴ a 2n ＝a 2n －1＋1a 2n －1＋2.∴ a 22＝a 21＋1a 21＋2，a 23＝a 22＋1a 22＋2，…，a 21 001＝a 21 000＋1a 21 000＋2，∴ a 21 001＝a 21＋2 000＋1a 21＋1a 22＋…＋1a 21 000>2 025, ∴ a 1 001>45.(10分)下面证明a 1 001<45.1.∵ 45.12＝(45＋0.1)2＝2 025＋9＋0.01，只要证a21 001<2 034.∵ {a n}是单调递增数列，a2101＝a21＋200＋1a21＋1a22＋…＋1a2100>225，∴ a21 001＝2 025＋1a21＋1a22＋…＋1a2100＋1a2101＋…＋1a21 000<2 025＋100a21＋900a2101<2 025＋4＋4＝2033.∴ a1 001<45.1.综上所述，存在a＝45.(16分)2015届高三模拟考试试卷 数学附加题参考答案及评分标准21. B. 解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，(2分) M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是P′(－1，2)．(5分) (2) M ＝M 2·M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，(7分)设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， 则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ， 所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.(10分)C. 解：(1) 曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.①当α＝π4时，曲线C 2的普通为y ＝x.②由①，②得曲线C 1与C 2公共点的直角坐标方程为(0，0)，(1，1)．(4分) (2) C 1是过极点的圆，C 2是过极点的直线．设M(ρ，θ)，不妨取A(0，θ)，B (2ρ，θ)，则2ρ＝2cos θ.(7分)故点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ⎝⎛⎭⎪⎫θ≠π2. 它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，以12为半径的圆，去掉点(0，0)．(10分) 22. 解：(1) 以C 为原点，CD ，CB ，CE 方向为轴建系， DF →＝(0，2，1)，平面ACEF 的法向量BD →＝(2，－2，0)，(2分)|cos 〈DF →，BD →〉|＝105，所以直线DF 与平面ACEF 所成角的正弦值为105.(5分)(2) 设P(t ，t ，1)(0≤t≤2)，平面PCD 的一个法向量为m ＝(0，1，－t)， 平面PCM 的一个法向量为n ＝(－2，1，t)，(7分)∵ 平面PCD⊥平面PCM ，∴ m ·n ＝0，解得t ＝1，即P 为EF 的中点．(10分) 23. 解：(1) ∵ 81<88<100，故a 88＝9；(2分)S 88＝（4分）(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6，(7分)从而可得S 120＝S 102＋2·10＝∑i ＝110(2i ＋1)i ＝k （k ＋1）（4k ＋5）6＝10×11×456＝825，而880－82511＝5，故S 125＝S 120＋5a 121＝825＋5×11＝880.(10分)。
届高三第三次模拟试题南京师大附中
（第7题）南京师大附中2009届高三第三次模拟考试数学 2009.5注意事项：1.本试卷共160分.考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．纸．相应位置．．．．上．. 1. 已知集合∈<<=x x A x ,821|{R }，∈<=x x x B ,2|||{R }，则=B A ▲ ． 2. 已知4=z i z -i ，i 为虚数单位，则复数=z ▲ ．3. 一位篮球运动员在最近的8场比赛中得分的茎叶图如图， 则他在这8场比赛中得分的平均值是 ▲ ．4. 已知向量a =(1,n )，b =(1,n -)，若向量2a-b 与向量b 垂直，则|a|= ▲ ．5. 函数232ln y x a x a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．6. 将一根木棒随意分成两段，较长一段的长度不超过 较短一段的长度的2倍的概率是 ▲ ． 7. 执行如图算法框图，若输入18=a ，5=b ，则输出的值为 ▲ ．8. 已知1F ，2F 是椭圆1122=++k y k x 的左、右焦点，经过1F 的直线与椭圆交于A ，B两点，若△2ABF 的周长为12，则椭圆的离心率为▲ ．9. 曲线x e y x c o s =在0=x 处的切线方程为▲ ．10. 已知正四面体的表面积为34，则该四面体的体积为 ▲ ．11.若函数()f x =a 的值为 ▲ ．0 51 12 4 4 6 7 2 3（第3题）12. 用)(n f 表示自然数n 的各位数字的和，例如202)20(=+=f ，02)2009(+=f1190=++，若对任意N n ∈，都有x n f n ≠+)(，满足这个条件的最大的两位 数x 的值是 ▲ ．13. 函数x x x x y 22sin cos cos sin 32+-=的图象在],0[m 上恰好有两个点的纵坐标为1，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14. 设n S 为数列{}n a 的前n 项之和，若不等式222nS a nn+≥21a λ对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题．．纸．指定区域．．．．内．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)已知在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，tan (4C π-)2=-(1) 求角C 的大小；(2) 若43sin sin =B A ，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 16. (本小题满分14分)如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 在棱BC 上，D C AD 1⊥，点E ，F 分 别是1BB ，11B A 的中点． (1) 求证：D 为BC 的中点； (2) 求证：//EF 平面1ADC ．（第16题） 17. (本小题满分14分) 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当]14,0(∈t 时，曲线是 二次函数图象的一部分，当]40,14[∈t 时，曲线是函数()835log +-=x y a (0a >且1a ≠)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时听课效果最佳．AA 1BC B 1C 1DEF 0000(1) 试求()p f t =的函数关系式；(2) 老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．（第17题） 18. (本小题满分16分)已知直线l :2y x =+与圆O (O 为坐标原点)相切，椭圆22122:1x y C a b+=(0)a b >>的离心率为33，短半轴长等于圆O 的半径． (1) 求椭圆1C 的方程；(2) 抛物线2C 的顶点为原点，焦点为椭圆1C 的右焦点，点R ，S 是抛物线2C 上不同的两点，且满足0OR RS ⋅=，求点S 的纵坐标的取值范围．19. (本小题满分16分)已知数列{}n a 的通项公式为an na n +=(,n a ∈N *)．(1) 若1a ，3a ，15a 成等比数列，求a 的值；(2) 是否存在k (k ≥3且k ∈N )，使得1a ，2a ，k a 成等差数列，若存在，求出常数a 的值；若不存在，请说明理由；(3) 求证：数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中的其他两项之积． 20. (本小题满分16分)已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在曲线3y ax bx =+上． (1) 若正方形的一个顶点为(2,1)，求a 、b 的值；(2) 若1a =，求证：b =-ABCD 唯一确定的充要条件．（本试卷未经授权，不得复制、发表）南京师大附中2009届高三第三次模拟考试数学附加题 2009.5注意事项：1.附加题供选修物理的考生使用.2.本试题共40分，考试时间30分钟.3.答题前，考生务必将姓名、考试号写在答题纸上.考试结束后，交回答题纸.21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答．题纸指定区域．．．．．．内．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =，3AB BC ==，求BD 以及AC 的长．B.选修4-2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点)1,2(-，,0(T 对应的矩阵M .C.选修4-4：坐标系与参数方程 圆C ：2cos ρ=(4πθ-)，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程.D.选修4-5：不等式选讲证明：n n12131211222-<++++ (n ≥2，*n N ∈).【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题纸指定区域．．．．．．．内．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖.(1) 求一次抽奖中奖的概率；(2) 若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X (元)的概率分布和期望()E X .23. 函数2)1(+=x y 的图象为曲线C ，在C 上有一点A 的横坐标为)0(<t t ，点P 的坐标为)2,0(，直线AP 与曲线C 交于另一点B .(1) 试用t 表示点B 的横坐标；(2) 求直线AB 与曲线C 围成的封闭图形的面积的最小值.（本试卷未经授权，不得复制、发表）南京师大附中2009届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分细则 2009.05一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1．{}20|<<x x 2．2+2i 3．14 4．2 5．(0,3) 6．317．38．31 9．01=+-y x 10．322 11．2 12．97 13．⎪⎭⎫⎢⎣⎡67,2ππ 14．51二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本题满分14分)解：(1)32)4tan(-=-πC ，321tan 1tan -=+-∴C C ，3tan =C ……………4分π<<C 0 ，3π=∴C ．……………………………………………………6分(2) 43sin sin =B A ，又23sin =CC B A 2sin sin sin =∴，由正弦定理得2c ab =……………………………10分 由余弦定理得ab b a C ab b a c -+=-+=22222cos 2()02=-∴b a ，b a =∴， …………………………………………………12分又3π=C ，ABC ∆∴是正三角形．………………………………………14分16．(本题满分14分)解：(1) 正三棱柱111C B A ABC -，∴⊥C C 1平面ABC ，又⊂AD 平面ABC ，∴AD C C ⊥1，又D C AD 1⊥，111C C C D C =∴⊥AD 平面11B BCC ，………………………………………………………3分又 正三棱柱111C B A ABC -，∴平面ABC ⊥平面11B BCC ，∴⊥AD BC ，D 为BC 的中点．………6分(2) 连接B A 1，连接C A 1交1AC 于点G ，连接DG矩形11ACC A ，∴G 为C A 1的中点， 又由(1)得D 为BC 的中点，∴△BC A 1中，B A DG 1//…………………9分 又 点E ，F 分别是1BB ，11B A 的中点， ∴△B B A 11中，B A EF 1//，∴DG EF //，………12分 又⊄EF 平面1ADC ，⊂DG 平面1ADC ，∴//EF 平面1ADC ．………14分AA 1BCB 1C 1DEF G17．(本题满分14分)解：（1）]14,0(∈t 时，设2()(12)82p f t c t ==-+(0<c )，将)81,14(代入得41-=c]14,0(∈t 时，21()(12)824p f t t ==--+ …………………………2分]40,14[∈t 时，将)81,14(代入()835log +-=x y a ，得31=a ………4分∴2131(2)82(014)4()log (5)83(1440)t t p f t t t ⎧--+<<⎪==⎨-+≤≤⎪⎩． ………………………6分（2）]14,0(∈t 时，21(12)82804t --+≥解得22122212+≤≤-t ，∴]14,2212[-∈t …………………………9分 ]40,14[∈t 时，8083)5(log 31≥+-t 解得325≤<t ，∴]32,14[∈t ， …………………………12分∴]32,2212[-∈t ，即老师在]32,2212[-∈t 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．…14分 18．(本题满分16分) 解：（1）∵33==a c e ，∴223c a =，222cb =，∴2232b a =……………………3分 ∵直线22202:b y x y x l =+=--与圆相切，∴2,2,222==∴=b b b ∴32=a ∵椭圆1C 的方程是 12322=+y x ………………………………………………6分 （2）设抛物线2C 的方程为22y px =(0)p >，∵椭圆1C 的右焦点为(1,0)F ，∴12p=，∴2p =，∴抛物线2C 的方程为24y x =． ………………………………………………8分设),4(),,4(222121y y S y y R ∴222121121,,,44y y y OR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵0OR RS ⋅= ∴0)(16)(121212221=-+-y y y y y y………………………………10分 ∵0,121≠≠y y y ，化简得)16(112y y y +-= ……………………………12分∴6432256232256212122=+≥++=y y y 当且仅当 4,16,2561212121±===y y y y 时等号成立 ……………………………14分∴当2y ≥8或2y ≤-8． ………………………………16分19．(本题满分16分)解：(1)a a +=111，a a +=333，aa +=151515，1a ，3a ，15a 成等比数列，∴23151)(a a a =，∴0=a 或9=a∵∈a N *，∴9=a ． ……………………………4分(2) 假设存在这样的k ，a 满足条件，a a +=111，a a +=222，ak ka k +=，1a ，2a ，k a 成等差数列，∴212a a a k =+，化简得2)3(=-a k∵k ，∈a N *，∴1=a 时，5=k ；或2=a 时，4=k ．……………………8分 (3)即证存在k ，t n ≠，使得t k n a a a =即证：at ta k k a n n +⋅+=+ 即证：)1)(1(1t ak a n a ++=+即证：kt at k n ++=111即证：kt ak nk n k +=- 即证：tak n n k +=- ……………………12分 令1+=n k ，则)1()(a n n a k n t ++=+= ∴对任意n ，)1(1a n n n n a a a +++=即数列中的任意一项n a 总可以表示成数列中的其他两项之积．……………16分20．(本题满分16分)解：(1) ∵一个顶点为(2,1)，∴必有另三个顶点(2,1)--，(1,2)-，(1,2)-， 将(2,1)，(1,2)-代入3y ax bx =+，得65=a ，617-=b ． ………………4分 (2) 设正方形在第一象限的顶点坐标为),(n m ，则必然有另一个顶点),(m n -…6分1充分性：若b =-x x y 223-=则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=nn m mm n 222233，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=222222n nm m m n ，即01)22)(22(22=+--n m ——① ……………8分令0222>=-t m ，则mt n =，代入①得01)22(22=+-t m t即01]22)22[(2=+-+t t t 化简得0)21(2=+-tt ， ……………10分又021=+-tt 有且仅有一个正根，∴),(n m 唯一确定，即正方形ABCD 唯一确定． ……………12分2必要性：若),(n m 唯一确定，则⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=bnn m bmm n 33，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=b n nm b m m n22 即01))((22=+++b n b m ——②令02>=+t b m ，则mt n =，代入①得01)(22=++b t m t 即01])[(2=++-b t b t t 化简得0)1(122=--+t t b tt ， 即02)1()1(2=+---tt b t t ——③又③有唯一解，∴82=b ，又∵02<--=n nmb∴b =-………16分 南京师大附中2009届高三第三次模拟考试附加题答案及评分细则21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答．题纸指定区域．．．．．．内．作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲(本题满分10分)解：由切割线定理得:2DB DA DC ⋅=， ………………………2分 2()DB DB BA DC +=， 04032=-+DB DB ，5=DB ． …………6分 A BCD ∠=∠，∴ DBC ∆∽DCA ∆， …………………………………8分∴BC DBCA DC=，得5106=⋅=DB DC BC AC ． ……………………………10分 B.选修4-2：矩阵与变换(本题满分10分)解：设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a M ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12……………4分 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=-=-121202d b d c b a 0,1==∴c a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴1021M ． …………………10分 C.选修4-4：坐标系与参数方程(本题满分10分)解：圆C ：θρθρπθρρsin 2cos 24cos 22+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=所以02222=--+y x y x …………………4分所以圆心⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,22C ，与极轴交于()0,2A …………………6分直线CA 的直角坐标方程为2=+y x …………………8分即直线CA 的极坐标方程为14cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ． …………………10分D.选修4-5：不等式选讲(本题满分10分) 证明：n n n )1(13212111131211222-++⨯+⨯+<++++………5分n12-=． ………10分 22. (本题满分10分)解：(1)设“一次抽奖中奖”为事件A ，则()5420163614222412==+=C C C C C A P 答：一次抽奖中奖的概率为54． …………………5分 (2)X 可取0，10，20()()04.02.002===X P ，()32.02.08.01012=⨯⨯==C X P ， X 的概率分布列为0 10 200.04 0.32 0.641664.02032.01004.00)(=⨯+⨯+⨯=X E ． …………………10分23. (本题满分10分)解：(1)()()21,+t t A ，()2,0P ，t t t k AP122-+=，AP ∴：2122+-+=x tt t y 与()21+=x y 联立化简得：01122=--+x t t x 即()01=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t x 即t x =或t x 1-=，因为A 的横坐标为t ，所以B 的横坐标为t1-．……5分(2)dx x x x t t t tt⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+12212212⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=t t dx x t t x 12211 当1-=t 时，最小值为34． …………………10分。