江苏省无锡市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
江苏省无锡市普通高中2019_2020学年高二化学下学期期终调研考试试题选修含解析
B. 充电过程是化学能转化为电能的过程
C. 充电时阳极反应：Ni(OH)2－e－+ OH－=NiOOH + H2O
D. 放电时电解质溶液中的OH—向正极移动
【答案】C
【解析】
【分析】
当该电池放电时为原电池，负极上镉失电子发生氧化反应，正极上NiOOH得电子发生还原反应.放电时负极上发生的电极反应式为：Cd-2e—+2OH-=Cd(OH）2,正极上发生的电极反应式为：NiOOH+e—+H2O═Ni（OH)2+OH—。充电时阳极上发生的电极反应式为：Ni(OH）2+OH——e-=NiOOH+H2O，阴极上发生的电极反应式为：Cd(OH）2+2e-=Cd+2OH-，以此解答该题。
D．二氧化碳分子内每个氧原子与碳原子共用2对电子对,CO2是直线型分子,碳原子半径比氧原子半径大，故比例模型为 ，选项D正确；
答案选D。
3.下列有关物质 性质与用途具有对应关系的是
A. NH3具有还原性，可用作制冷剂B。 HClO溶液显酸性，可用于杀菌消毒
C。 浓硫酸具有吸水性，可用作干燥剂D. Al2O3具有两性，可用作耐高温材料
C. SiO2(s） SiCl4（g) Si(s）
D. S（s） SO3(g) H2SO4(aq)
【答案】A
【解析】
【详解】A。钠在氧气中燃烧生成过氧化钠,过氧化钠与二氧化碳反应生成碳酸钠和氧气,故A正确；
B.氯气的氧化性强，铁在氯气中燃烧生成氯化铁，不能生成氯化亚铁，故B错误；
C。二氧化硅是酸性氧化物，不能与盐酸反应，故C错误；
【详解】A．根据分析，X、Y的简单离子分别为：O2—、Na+,离子核外电子排布相同时，原子序数越大，半径越小，所以r（O2—）〉r(Na+），A正确；
江苏省无锡市2014-2015学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案
2014年秋学期无锡普通高中期末考试试卷高二数学注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14题，每题5分，共70分．请将答案填在答题卡对应的横线上） 1．命题“若1,x >则21x >”的否命题是 ▲ ． 2．抛物线2y x =的准线方程为 ▲ ． 3．直线360x -=的倾斜角为 ▲ ．4．已知直线l 和平面α，则“l α^”是“存在直线m αÌ，l m ^”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”， “必要不充分”， “充要”， “既不充分又不必要”中选一个填写）. 5．若函数()sin f x x x =，则()f x '= ▲ ．6．曲线2ln 1y x =-在点（e,1）处的切线与y 轴交点的坐标为 ▲ .7．经过点P (2，－1)作圆22224x x y -+=的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为 ▲ ．8．底面边长为2，高为1的正六棱锥的全面积为 ▲ ．9．(理科选做)在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为 ▲ ．（文科选做）若命题“2,20R x x x m ∃∈-+≤”是真命题，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为 ▲ ．11．若,l n 是两条互不相同的空间直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 ▲ (填所有正确答案的序号)．①若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l n ； ②若,//l n αα⊥，则l n ⊥； ③若,l αββ⊥⊥，则//l α； ④若,//l l αβ⊥，则αβ⊥． 12．若动点P 在直线l 1：220x y --=上，动点Q 在直线l 2：280x y --=上，设线段PQ的中点为M 00(,)x y ，且2200(3)(1)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是 ▲ ．OABC P13．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上异于顶点的动点，若恰好有4个不同的点P ,使得△12PF F 为等腰三角形,且有一个角为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ __ .14．设函数()1223+-+=x a ax x x f ，()122+-=x ax x g ，其中实数0≠a ．若()x f 与()x g 在区间()2,+a a 内均为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲． 二．解答题（本大题共6小题，共计90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．已知圆C 经过点A (0,2)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上．（1）求圆C 的方程；(2) 若直线m 过点(1，4)，且被圆C 截得的弦长为6，求直线m 的方程．16．如图在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD ==E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(1) 求证: EF ∥平面PAD ； (2) 求证: 平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求四棱锥P -ABCD 的体积．17．（理科选做）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，090=∠BAC ，异面直线ABDEPFB A 1与11C B 所成的角等于060，设a AA =1．(1)求a 的值；(2)求平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小．（文科选做）已知a 为实数，命题p ：点(3,1)M 在圆22()()16x a y a ++-=内部； 命题q ：,R x ∀∈都有21x ax ++≥0.若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．18．某工厂需要生产x 个零件（50150,*N x x ≤≤∈），经市场调查得知，生产成本包括以下三个方面：①生产1个零件需要原料费50元；②支付职工的工资由6000元的基本工资和每生产1个零件补贴20元组成；③所生产零件的保养总费用是2(30400)x x -+元． （1）把生产每个零件的平均成本()P x 表示为x 的函数关系式，并求()P x 的最小值； （2）假设生产的零件可以全部卖出，据测算，销售收入()Q x 关于产量x 的函数关系式为()31124030Q x x x =-，那么当产量为多少时生产这批零件的利润最大？19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的右顶点为A，两焦点坐标分别为(和，且经过点1)2．过点O的直线交椭圆C于M、N两点，直线AM、AN分别交y 轴于P、Q两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若PM MAλ=，且MN MA⊥，求实数λ的值；（3）以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．20．设函数()lnaf x x xx=+,2()g x bx=.(1)求函数()()f xh xx=的单调区间；(2)当0a=时，方程()()f xg x=在[1,2]e上有唯一解，求实数b的取值范围；(3)当14b=时，如果对任意的1,[,2]2s t∈,都有()()f sg t>成立，求实数a的取值范围．无锡市2014年秋学期普通高中高二期末考试评分标准高二数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．若1,x ≤则21x ≤ 2．14x =-3．120° 4．充分不必要 5．sin cos x x x + 6．(0，－1) 7．30x y --= 8．129．（理）1122a b c -++，（文）(,1]-∞ 10．2213664x y -=11． ②，④12．[5，18] 13．1(1)314．(][),31,-∞-+∞二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．解：(1)2AB k =-，AB 中点坐标为（1,0）AB 中垂线方程为：x －2y －1＝0…………………………………………………………2分210,10.x y x y --=⎧⎨-+=⎩解得：3,2.x y =-⎧⎨=-⎩………………………………………………………4分 半径5r AC ==．故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25．………………………………………………6分 (2) 直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程4(1)y k x -=-，即40kx y k --+=．…………………………………………………………………7分 直线m 与圆相交截得弦长为6，则圆心C 到直线m 的距离为4．4=,解得512k =．………………………………………………10分 则直线m 的方程512430x y -+=．………………………………………………11分 ∵当斜率不存在时，直线1x =也符合条件，………………………………………13分 ∴直线m 的方程512430x y -+=，或1x =．…………………………………14分16．(1)证明:ABCD 为平行四边形 ，连结AC ，则F 为AC 中点, E 为PC 中点，∴在△PAC 中，EF 为中位线，EF ∥PA ，……………………………………………2分 且PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD ∴EF ∥平面PAD ．…………………………4分 (2)证明: 因为ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD =AD ， CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PA ．…………………………………………………6分又PA PD ==AD =2,所以△PAD 是等腰直角三角形，且∠PAD =90°, 即 PA ⊥ PD ，…………………………………………………………8分CDPD D =，且CD 、PD ⊂面PCD ，PA ⊥面PCD ． ………………………………………………………………………9分又PA ⊂面PAB ．∴平面PAB ⊥平面PCD ． ………………………………………10分 (3)取AD 中点G ,连PG ，△PAD 是等腰直角三角形，PG ⊥AD ．………………………………………………11分 因为面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD =AD ，PG ⊥平面ABCD ，……………………………………………………………………12分PG =1．∴43P ABCD V -=．……………………………………………………………14分17．（理）(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,1(B ，)1,0,1(1B ， )1,1,0(1C ，),0,0(1a A （0>a ）． ……1分 ∴)0,1,1(11-=C B ，),0,1(1a A -= ∴ 1111-=⋅A CB …3分 ∵异面直线B A 1与11C B 所成的角060，︒=60cos 即212112=⋅+-a又0>a ，所以 1=a ． ………………………………………………………6分 (2)设平面11BC A 的一个法向量为),,(z y x =，则B A n 1⊥，11C A n ⊥，即01=⋅B A n 且011=⋅C A n …………………………8分又)1,0,1(1-=A ，)0,1,0(11=C A∴⎩⎨⎧==-00y z x ，不妨取)1,0,1(=． ………………………………………………10分同理得平面11C BB 的一个法向量)0,1,1(=． ………………………………12分 设→m 与→n 的夹角为θ，则21221cos =⨯==θ， ∴060=θ∴平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为060 ． ……………14分（文）解：p 为真命题由题意得，22(3)(1)16a a ++-<，解得31a -<<……………3分若q 为真命题，则240a =-≤D ，解得2a -≤≤2， …………………………6分 由题意得，p 与q 一真一假，………………………………………………………7分当p 真q 假时有3122,a a a -<<⎧⎨<->⎩或 得3a -<<-2； ……………………………………10分当p 假q 真时有132a a a ≥≤-⎧⎨-⎩或≤≤2，得a 1≤≤2． ……………………………………12分∴实数a 的取值范围是3a -<<-2或a 1≤≤2．………………………………………14分18．（1）生产每个零件的平均成本25060002030400()x x x x P x x+++-+=640040x x=++（50150,*N x x ≤≤∈），………………………………3分根据基本不等式，64004040200x x ++≥=，…………………5分 当且仅当6400x x=，即80x =时等号成立．……………………………………6分 即()P x 的最小值为200．…………………………………………………………7分 （2）设总利润为()f x ，则()()()f x Q x xP x =-31640012404030x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭3211200640030x x x =--+-．…………………………………………10分 21'()2120010f x x x =--+， 令'()0f x =得，100x =或120x =-（舍）．……………………………………13分 当(50,100)x ∈时，'()0f x >；当(100,150)x ∈时，'()0f x <．……………15分 所以，当100x =时，()f x 取到最大值．因此，当产量为100个时，生产这批零件的利润最大．…………………………………16分19．解：（1）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意，1224a PF PF =+=，…………………………………2分 所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=．…………………………………………4分 （2）设00(,)M x y ，因为OM MA ⊥，所以0000(,)(2,)0x y x y ⋅--= ，即2200020x x y --=．…6分又220014x y +=， 故解得，0=2x （舍）或02=3x ．………………………………………………8分 因为PM MA λ=，所以22=(2)33λ-，故12λ=．…………………………………………………………………………10分（3）设00(,)M x y ， 直线00:(2)2y MA y x x =--， 令0x =，得000022=22y y y x x -=--， 即02(0,)2y P x -． ………………11分同理，02(0,)2y Q x -+．…………………………………………………………12分 所以，以线段PQ 为直径的圆的方程为 2000022()()022y y x y y x x +-+=-+．…………………………………………13分 令0y =，得220002000224224y y y x x x x =⋅=-+-． 又220014x y +=，即22004=4y x -， 所以，21x =，即1x =±．………………………………………………………15分 因此，所过定点的坐标为(1,0)-和(1,0)．………………………………………16分20．(1) 2()ln ah x x x =+， 解：函数定义域为(0,)+∞．…………………………………………………………………1分233212()a x ah x x x x -+'=-+=………………………………………………………………2分①若0,a ≤则()0h x '≥，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………3分②若0,a >()0h x '>，x >()h x 在)+∞上单调递增；()0h x '>，0x <()h x 在上单调递减．……………5分(2)()()ln (0)f x g x bx x x =∴=>，∴ln xb x=， 即b y =与ln ()xF x x=在[1,2]e 上有一个交点．………………………………………6分 '21ln ()xF x x-=， ∴()F x 在],1[e 上递增，在[,2]e e 上递减，当[1,]x e ∈时，1()[0,]F x e ∈，当[,2]x e e ∈时，1ln 21()[,]2F x e e+∈，………………8分 b y =与()y F x =在[1,2]e 上只有一个交点，1ln 202b e+≤<或1b e =.……………………………………………………………………10分(3)当 1[,2]2x ∈时，2()g x bx =在1[,2]2上的最大值为1，()ln 1af x x x x=+≥恒成立，即等价于2ln a x x x ≥-恒成立,………………………………………………………12分 记2()ln r x x x x =-，()12ln (1)2ln r x x x x x x x '=--=--，(1)0r '= 由1[,1]2x ∈，(1)0,2ln 0x x x -><,得()0r x '>；[1,2]x ∈,(1)0,2ln 0x x x -<>,得()0r x '<()r x 在区间上1[,1]2递增，在区间上[1,2]递减．……………………………………15分当1x =时有最大值，(1)1r =，a ．…………………………………………………………………………………16分∴1。
2019-2020学年江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省无锡市八年级(上)期末数学试卷2019-2020学年江苏省无锡市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分共30分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1.给出下列一组数：$\pi$，$-0.3$，$2$，$0.xxxxxxxx85 \cdots$（两个5之间依次多1个8），其中，无理数有（）。
A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个2.若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为1，到y 轴的距离为2，则点M的坐标为（）。
A。
$(2,-1)$ B。
$(1,-2)$ C。
$(-2,1)$ D。
$(-1,2)$3.下列平面图形中，不是轴对称图形为（）。
A。
B。
C。
D。
4.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）。
A。
3，4，5 B。
6，7，8 C。
6，8，10 D。
7，24，255.给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有1；④27的立方根是$\pm 3$。
其中，正确的有（）。
A。
①② B。
①②③ C。
②③ D。
②③④6.若点$(4,y_1)$，$(-2,y_2)$都在函数$y=-x+b$的图象上，则$y_1$与$y_2$的大小关系是（）。
A。
$y_1>y_2$ B。
$y_1<y_2$ C。
$y_1=y_2$ D。
无法确定7.已知一次函数$y=kx-k$，若函数值$y$随着自变量$x$值的增大而增大，则该函数的图象经过（）。
A。
第一、二、三象限 B。
第一、二、四象限 C。
第二、三、四象限 D。
第一、三、四象限8.如图，在$\triangle ABC$中，且$CD=AB$，若$\angle B=32^\circ$，$AB=AC$，$D$为边$BA$的延长线上一点，则$\angle D$等（）。
A。
$48^\circ$ B。
$58^\circ$ C。
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级(上)期末数学试卷附答案解析
2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．）1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（）A．3B．±3C．9D．±92．（3分）如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，且∠BOC＝50°，则∠A的度数为（）A．65°B．50°C．30°D．25°3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐C．乙队身高更整齐D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（）A．小于B．等于C．大于D．无法确定5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是（）A．x2﹣x+3＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2﹣4＝06．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．S△ADE：S△ABC＝1：2B．C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC7．（3分）如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．D．8．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则下列各式中，正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．以上都不对9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（）A．3或4B．或4C．或6D．4或610．（3分）如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；③sin∠ABS＝；④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）11．（2分）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣3，图象的顶点坐标是．12．（2分）一元二次方程x2＝x的解为．13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是．14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是小时．睡眠时间（小时）6789学生人数864215．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是．16．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OC＝OB．点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为．18．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝3，且＝，则m+n的最大值为．三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．（8分）（1）计算：4sin30°﹣（2﹣）0+2tan45°；（2）解方程：x2﹣6x＝7．20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：完成作业单元测试期末考试小张709080小王6075若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定期末评价成绩．（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？21．（6分）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．（1）画出△ABC；（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；（3）写出点A的对应点A1的坐标：．22．（8分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．（1）甲去A公园游玩的概率是；（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）23．（8分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E 作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：（1）直接写出：购买这种产品件时，销售单价恰好为2600元；（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）27．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y＜0？（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．28．（10分）【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O上的一个动点，则△P AB的面积最大值是；【问题探究】如图2所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°．新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为km；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．请问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．2019-2020学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．）1．（3分）一元二次方程x2＝9的根是（）A．3B．±3C．9D．±9【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：∵x2＝9，∴x＝±3，故选：B．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．（3分）如图，以AB为直径的⊙O上有一点C，且∠BOC＝50°，则∠A的度数为（）A．65°B．50°C．30°D．25°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠BOC＝50°，∴∠A＝×50°＝25°．故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．（3分）为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两队身高一样整齐B．甲队身高更整齐C．乙队身高更整齐D．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．【解答】解：∵甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，∴S甲2＜S乙2，∴甲队身高更整齐；故选：B．【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．4．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷6次都是正面朝上，则抛掷第7次正面朝上的概率是（）A．小于B．等于C．大于D．无法确定【分析】利用概率的意义直接得出答案．【解答】解：因为每次抛掷概率相同，则第7次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，故选：B．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．5．（3分）下列方程有两个相等的实数根是（）A．x2﹣x+3＝0B．x2﹣3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2﹣4＝0【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的内容判断即可．【解答】解：A、x2﹣x+3＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、x2﹣2x+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；D、x2﹣4＝0，△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．S△ADE：S△ABC＝1：2B．C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC【分析】由D，E分别是AB，AC的中点，可得出DE是△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC，＝＝＝，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可得出＝，此题得解．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用相似三角形的性质找出＝是解题的关键．7．（3分）如图，已知⊙O的内接正方形边长为2，则⊙O的半径是（）A．1B．2C．D．【分析】根据正方形与圆的性质得出AB＝BC，以及AB2+BC2＝AC2，进而得到结论．【解答】解：如图所示，∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，∴AC是⊙O的直径，∵AB2+BC2＝AC2，AB＝BC，∴AB2+BC2＝22+22＝8，∴AC＝2，∴⊙O的半径是，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形与它的外接圆的性质，根据已知得出AB2+BC2＝AC2是解题关键，此题难度一般．8．（3分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，则下列各式中，正确的是（）A．sin B＝B．cos B＝C．tan B＝D．以上都不对【分析】根据勾股定理求出AB，根据锐角三角函数的定义求出各个三角函数值，即可得出答案．【解答】解：如图：由勾股定理得：AB＝，所以cos B＝，sin B＝，tan B＝，所以只有选项C正确；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（）A．3或4B．或4C．或6D．4或6【分析】可分两种情况：①当∠CAN＝∠B时，△CAN∽△CBA，设CN＝3k，BM＝4k，可得，解出k值即可；②当∠CAN＝∠MCB时，过点M作MH⊥CB，可得△BMH ∽△BAC，得出MH＝k，BH＝k，则CH＝8﹣k，证明△ACN∽△CHM，得出方程求解即可．【解答】解：∵∠CMB＞∠CAB＞∠CAN，∴∠CAN≠∠CAB，设CN＝3k，BM＝4k，①当∠CAN＝∠B时，可得△CAN∽△CBA，∴，∴，∴k＝，∴BM＝6．②当∠CAN＝∠MCB时，如图2中，过点M作MH⊥CB，可得△BMH∽△BAC，∴，∴，∴MH＝k，BH＝k，∴CH＝8﹣k，∵∠MCB＝∠CAN，∠CHM＝∠ACN＝90°，∴△ACN∽△CHM，∴，∴，∴k＝1或0，∴BM＝4．综上所述，BM＝4或6．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．10．（3分）如图1，S是矩形ABCD的AD边上一点，点E以每秒kcm的速度沿折线BS﹣SD﹣DC匀速运动，同时点F从点C出发点，以每秒1cm的速度沿边CB匀速运动并且点F运动到点B时点E也运动到点C．动点E，F同时停止运动．设点E，F出发t秒时，△EBF的面积为ycm2．已知y与t的函数图象如图2所示．其中曲线OM，NP为两段抛物线，MN为线段．则下列说法：①点E运动到点S时，用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒②矩形ABCD的两邻边长为BC＝6cm，CD＝4cm；③sin∠ABS＝；④点E的运动速度为每秒2cm．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【分析】①正确，根据图象即可判断．②正确，设AB＝CD＝acm，BC＝AD＝bcm，列出方程组即可解决问题．③错误，由BS＝2.5k，SD＝1.5k，得＝，设SD＝3x，BS＝5x，在RT△ABS中，由AB2+AS2＝BS2列出方程求出x，即可判断．④正确，求出BS即可解决问题．【解答】解：由图象可知点E运动到点S时用了2.5秒，运动到点D时共用了4秒．故①正确．设AB＝CD＝acm，BC＝AD＝bcm，由题意，解得，所以AB＝CD＝4cm，BC＝AD＝6cm，故②正确，∵BS＝2.5k，SD＝1.5k，∴＝，设SD＝3x，BS＝5x，在RT△ABS中，∵AB2+AS2＝BS2，∴42+（6﹣3x）2＝（5x）2，解得x＝1或﹣（舍），∴BS＝5，SD＝3，AS＝3，∴sin∠ABS＝＝故③错误，∵BS＝5，∴5＝2.5k，∴k＝2cm/s，故④正确，故选：C．【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形面积、函数图象问题等知识，读懂图象信息是解决问题的关键，学会设未知数列方程组解决问题，把问题转化为方程去思考，是数形结合的好题目，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题（本大题共8题，每空2分，共16分．）11．（2分）二次函数y＝﹣（x+5）2﹣3，图象的顶点坐标是（﹣5，﹣3）．【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣3，∴二次函数y＝﹣（x+5）2﹣3的图象的顶点坐标是（﹣5，﹣3）故答案为：（﹣5，﹣3）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．12．（2分）一元二次方程x2＝x的解为x1＝0，x2＝1．【分析】首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0．13．（2分）如图，转动转盘一次，当转盘停止后（指针落在线上重转），指针停留的区域中的数字为偶数的概率是．【分析】由1占圆50%，2与3占25%，可得把数字为1的扇形可以平分成2部分，即可得转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；然后由概率公式即可求得．【解答】解：∵1占圆50%，2与3占25%，∴把数字为1的扇形可以平分成2部分，∵转动转盘一次共有4种等可能的结果，分别是1，1，2，3；∴当转盘停止后，指针指向的数字为偶数的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．（2分）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是7小时．睡眠时间（小时）6789学生人数8642【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，∴这些测试数据的中位数是＝7小时；故答案为：7．【点评】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．15．（2分）已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是21π．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．故答案为21π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16．（2分）如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则sin∠OCB＝．【分析】连接OB，作OD⊥BC于D，由等边三角形的性质得∠ABC＝60°，BC＝8，由⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，得出OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA ＝∠ABC＝30°，由tan∠OBC＝，求出BD＝3，CD＝BC﹣BD＝5，由勾股定理得出OC＝＝2，即可得出答案．【解答】解：连接OB，作OD⊥BC于D，如图所示：∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝8，∵⊙O与等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，∴OD是⊙O的半径，∠OBC＝∠OBA＝∠ABC＝30°，∵tan∠OBC＝，∴BD＝＝＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，OC＝＝＝2，∴sin∠OCB＝＝＝．【点评】本题考查了切线的性质、等边三角形的性质、勾股定理、三角函数等知识；熟练掌握切线的性质是解题的关键．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且OC＝OB．点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为．【分析】证明△EOP≌△FOQ，可得OE＝OF，PE＝FQ，设P（x，2x+8），则Q（2x+8，﹣x），即可求得Q所在的直线，根据垂线段最短可知当CQ⊥MN时，CQ的长最短，根据三角形相似的性质即可求得线段CQ的最小值．【解答】解：∵直线l：y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，∴A（0，8），B（﹣4，0），∵点P为线段AB（不含端点）上一动点，将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，作PE⊥x轴于E，QF⊥y轴于F，由旋转可知，OP＝OQ，∠POQ＝∠AOB＝90°，∴∠EOP＝∠FOQ，在△EOP和△FOQ中，，∴△EOP≌△FOQ（AAS），∴OE＝OF，PE＝FQ，∴设P（x，2x+8），则Q（2x+8，﹣x）．∴Q点是直线y＝﹣+4上的点，设直线y＝﹣+4与x，y轴的交点为N、M点，则M（0，4），N（8，0），∴MN＝＝4根据垂线段最短可知当CQ⊥MN时，CQ的长最短，如图，∵CQ⊥MN，∴∠CQN＝∠MON＝90°，∵∠CNQ＝∠MNO，∴△CNQ∽△MNO，∴＝，∴OC＝OB＝4，ON＝8，OM＝4，∴CN＝4，∴＝，∴CQ＝，∴线段CQ的最小值为，故答案为．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．（2分）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝3，且＝，则m+n的最大值为．【分析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，得到DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，根据相似三角形的性质得到xy＝mn，y＝9﹣2x，由＝可得（m+n）最大＝3m，由mn＝xy＝x（9﹣2x）＝9x﹣2x2＝2m2，由二次函数的性质可求m的最大值，即可求解．【解答】解：解：过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，设AE＝x，CF＝y，BN＝x，BM＝y，∵BD＝4，∴DM＝y﹣4，DN＝4﹣x，∵∠ABC＝∠AEB＝∠BFC＝∠CMD＝∠AND＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠EAB＝∠CBF，∴△ABE∽△BFC，∴，即，∴xy＝mn，∵∠ADN＝∠CDM，∴△CMD∽△AND，∴，即，∴y＝9﹣2x，∵＝，∴n＝2m，∴（m+n）最大＝3m，∵mn＝xy＝x（9﹣2x）＝9x﹣2x2＝2m2，∴2m2＝﹣2（x﹣）2+，∴当x＝时，m最大＝，∴m+n的最大值＝3m＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共10题，共84分．）19．（8分）（1）计算：4sin30°﹣（2﹣）0+2tan45°；（2）解方程：x2﹣6x＝7．【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）原式＝4×﹣1+2×1＝2﹣1+2＝3；（2）∵x2﹣6x﹣7＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得：x＝7或x＝﹣1．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．20．（8分）某校九年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下面表中是小张和小王两位同学的成绩记录：完成作业单元测试期末考试小张709080小王607585若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定期末评价成绩．（1）请计算小张的期末评价成绩为多少分？（2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？【分析】（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的定义计算可得．【解答】解：（1）小张的期末评价成绩为＝81（分）；（2）设小王期末考试成绩为x分，根据题意，得：≥80，解得x≥84.2，∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀．故答案为：85．【点评】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．21．（6分）已知△ABC三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．（1）画出△ABC；（2）以B为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍，在右图的网格图中画出放大后的图形△A1BC1；（3）写出点A的对应点A1的坐标：（﹣3，1）．【分析】（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；（2）根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．（3）利用（2）中图象，直接得出答案．【解答】解：（1）根据A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．在坐标系中找出连接即可；（2）把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣3，1）、（3，3）、（1，﹣1）．（3）利用（2）中图象，直接得出答案．故答案为：（﹣3，1）．【点评】此题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．22．（8分）某市有A、B、C三个公园，甲、乙两位同学随机选择其中一个公园游玩．（1）甲去A公园游玩的概率是；（2）求甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率．（请用“画树状图”或“列表”或“列举”等方法给出分析过程）【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出甲、乙恰好在同一个公园游玩的的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）∵有A、B、C三个公园，∴甲去A公园游玩的概率是；故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能结果，其中甲、乙恰好在同一个公园游玩的有3种，则甲、乙恰好在同一个公园游玩的概率＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．23．（8分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E 作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．（1）求证：△AEF∽△DCE．（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）利用相似三角形的性质解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠AEF+∠F＝90°∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△AFE∽△DEC．（2）∵△AFE∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，∴＝，解得BF＝5．答：线段BF的长为5．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径为3cm，∠C＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）由等腰三角形的性质证出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知条件证出DE⊥OD，即可得出结论；（2）由垂径定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面积，再求出扇形BOD的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OD＝OB，∴∠B＝∠ODB．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∴∠ODB＝∠C．∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．（2）解：过O作OF⊥BD于F，如图2所示：∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，∴∠BOD＝120°，在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，∴OF＝OD＝cm，，∴DF＝＝cm，∴BD＝2DF＝3cm，∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm2，S扇形BOD＝＝3πcm2，∴S阴＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm2．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、勾股定理、三角形和扇形面积的计算等知识；熟练掌握切线的判定，由垂径定理和勾股定理求出OF和DF是解决问题（2）的关键．25．（8分）如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为5cm，两个车轮的圆心的连线AB与地面平行，测得支架AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，CD＝50cm．（1）求扶手前端D到地面的距离；（2）手推车内装有简易宝宝椅，EF为小坐板，打开后，椅子的支点H到点C的距离为10cm，DF＝20cm，EF∥AB，∠EHD＝45°，求坐板EF的宽度．（本题答案均保留根号）【分析】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，构造Rt△AMC和Rt△CGD中，通过解这两个直角三角形求得相关线段的长度；（2）由平行线的性质知∠EFH＝∠DCG＝60°；根据题意得到CD＝50cm，DF＝20cm，FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，通过解Rt△EQF和Rt△EQH，根据等量关系HQ+FQ＝FH＝20cm列出方程+x＝20，通过解方程求得答案．【解答】（1）如图2，过C作CM⊥AB，垂足为M，又过D作DN⊥AB，垂足为N，过C作CG⊥DN，垂足为G，则∠DCG＝60°．∵AC＝BC＝60cm，AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°，∴∠A＝∠B＝30°，则在Rt△AMC中，CM＝＝30cm．∵在Rt△CGD中，sin∠DCG＝，CD＝50cm，∴DG＝CD⋅sin∠DCG＝50⋅sin60°＝＝．又GN＝CM＝30cm，前后车轮半径均为5 cm，∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5＝+30+5＝35+（cm）；（2）∵EF∥CG∥AB，∴∠EFH＝∠DCG＝60°，∵CD＝50cm，椅子的支点H到点C的距离为10 cm，DF＝20cm，∴FH＝20cm，如图2，过E作EQ⊥FH，垂足为Q，设FQ＝x，在Rt△EQF中，∠EFH＝60°，∴EF＝2FQ＝2x，EQ＝，在Rt△EQH中，∠EHD＝45°，∴HQ＝EQ＝，∵HQ+FQ＝FH＝20cm，∴+x＝20，解得x＝．∴EF＝2（）＝．答：坐板EF的宽度为（）cm．【点评】考查了解直角三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．26．（10分）某公司研制出新产品，该产品的成本为每件2400元．在试销期间，购买不超过10件时，每件销售价为3000元；购买超过10件时，每多购买一件，所购产品的销售单价均降低5元，但最低销售单价为2600元．请解决下列问题：（1）直接写出：购买这种产品90件时，销售单价恰好为2600元；（2）设购买这种产品x件（其中x＞10，且x为整数），该公司所获利润为y元，求y与x之间的函数表达式；（3）该公司的销售人员发现：当购买产品的件数超过10件时，会出现随着数量的增多，公司所获利润反而减少这一情况．为使购买数量越多，公司所获利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）【分析】（1）购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，由题意得：3000﹣5（x ﹣10）＝2600，即可求解；（2）由题意得：y＝[3000﹣5（x﹣10）﹣2400]x＝﹣5x2+650x（x＞10），即可求解；（3）要满足购买数量越大，利润越多．故y随x的增大而增大，y＝200x，y随x的增大而增大，y＝3000﹣5（x﹣10）＝﹣5x2+650x，当10≤x≤65时，y随x的增大而增大，若一次购买65件，设置为最低售价，则可以避免y随x增大而减小的情况发生，故x＝65时，设置最低售价为3000﹣5×（65﹣10）＝2725（元），即可求解．【解答】解：（1）购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，由题意得：3000﹣5（x﹣10）＝2600，解得：x＝90，故答案为：90；。
无锡市辅仁高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
【解析】
【分析】根据圆的方程求出圆心与半径 r ,利用两点间的距离公式求得 PC , 从而切线长为 PC 2 r2 ,计
算求解即可.
【详解】圆 C : x2 y2 2x 0,即 x 12 y2 1,圆心 C 1, 0, 半径 r 1,
PC 112 0 22 2 2,
切线长为 PC 2 r2 8 1 7.
=
22-
0= 1
2 ，故 D, A,C 三点共线，如图所示，
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当 PC 与圆相切时， PCA为锐角且最大， tan PCA最大， PCA即 PCD ，
由 DC
2
1 2
2
2 12
35 2
，此时
PC
DC 2 DP 2
29 ， 2
DP 则 tan PCA PC
2 4 29 29 29 .
a b ， c 不共面，则能构成基底；
D 中， c
abc
ab
rrr ，所以 a b ， a b c ， c 共面，不能构成基底.
故选：ABD
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10. (多选)已知双曲线 C1 :
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的离心率为 2.若抛物线 C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线
故选：D.
7. 已知椭圆 x2 y2 1 （ a b 0 ）的面积为 πab ，求满足 x2 2 y2 2 2x2 y2 1 0的点 a2 b2
P x, y 所构成的平面图形的面积为（ ）
A. 3 2 π 2
【答案】C 【解析】
B. 2π
C. 2π 2
D. 2π
【分析】由题意点
江苏省连云港市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
11.已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则( ）
A。p是q的既不充分也不必要条件B。p是s的充分条件
C。r是q的必要不充分条件D.s是q的充要条件
【答案】BD
【解析】
【分析】
逐项列出每个条件，然后根据充分条件和必要条件的概念判断即可。
联立 和 消去 得 ，化简得
所以 , .故 .
故答案为：(1) ; （2)
【点睛】本题考查椭圆的基本概念还有直线和圆锥曲线的相交弦，属于中档题。
16.已知数列 的前n项和为 ， ， ( ），则 ＝_______．
【答案】2020
【解析】
【分析】
可以通过给出的递推公式做差来求出此数列相邻两项和,最后凑出前n项和的形式,
根据椭圆定义和向量的数量积运算，逐一推导，将每个选项验证一下.
【详解】椭圆长轴长为 ,根据椭圆定义 ，故选A； 设P是椭圆C的任意一点,则 ,所以 ，B错误；
,而 ，所以 ,C正确； ,又根据椭圆性质有 ，所以 ，D正确。故选:ACD.
【点睛】本题考查椭圆定义和向量的数量积运算，是一道不错的综合题。
【答案】112
【解析】
【分析】
由“毎天走的路程为前一天的一半"可知,这个人每天走的路程满足等比数列的特点，且 ，公比 ，由此可解出 ，根据 得出 。
【详解】设第 天走了 步，又因为毎天走的路程为前一天的一半,所以 ，根据题意 ，故 ,解得 ，所以 。
故答案为:112
【点睛】此题考查了等比数列的应用，根据实际问题建立数学模型，然后再用等比数列求和公式求解,属于中档题。
【解析】
【分析】
江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．153．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x311．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜212．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝．14．若，则m＝．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．解：∵＝，∴复数的虚部为﹣．故选：A．2．（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为（）A．﹣15B．﹣10C．10D．15解：∵（x+1）5展开式的通项公式为T r+1＝•x5﹣r，分别令5﹣r＝3，5﹣r＝2，可得r＝2，3，故（3﹣2x）（x+1）5展开式中x3的系数为3﹣2＝10，故选：C．3．环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染，决定对全部街道采取洒水降尘作业．该社区街道的平面结构如图所示（线段代表街道），洒水车随机选择A、B、C、D、E、F中的一点驶入进行作业，则选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为（）A．B．C．D．解：由题意可知，若使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择B，E两点开始驶入，若从B点驶入，则有B→A→F→E→D→C→B→E或B→C→D→E→F→A→B→E，同理E点也是如图，若选择除B，E外的其它点开始驶入，则会有重复路线，所以6个点中有2个点，故选择的驶入点使洒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为．故选：B．4．为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（）A．600种B．504种C．480种D．384种解：根据题意，分2种情况讨论：①课程“射”排在第五周，剩下5“艺”任意安排在其他五周即可，有A55＝120种安排方法，①课程“射”不排在第五周，则课程“射”有4种排法，课程“乐”有4种排法，剩下4“艺”任意安排在其他四周即可，此时有4×4×A44＝384种安排方法，则有120+384＝504种安排方法；故选：B．5．我国古代珠算算具，算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，至多含有一颗上珠的概率为（）A．B．C．D．解：算盘的每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下珠”，从一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n＝＝35，至多含有一颗上珠包含的基本事件有m＝＝30，∴至多含有一颗上珠的概率为P＝＝＝．故选：A．6．复数集中，一个数的平方恰好为这个数的共轭复数的数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解：设z＝a+bi，（a，b∈R），则，∴（a+bi）2＝a﹣bi，∴a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴，解得，，∴z＝0，1，．因此满足条件的复数z共有4个．故选：A．7．函数的图象不可能是下列图中的（）A．B．C．D．解：根据题意，对于，当a＝0时，f（x）＝x2+x+1，为二次函数，开口向上，其对称轴为x＝﹣1，与y轴交于（0，1），D选项符合；当a＜0时，f′（x）＝ax2+x+1，f′（x）＝0有一正一负的两根，f（x）先减再增最后为减函数，与y轴交于（0，1），C选项符合，当a＞0时，f′（x）＝ax2+x+1，则有△＝1﹣4a，当1﹣4a＜0，即a＞时，f′（x）＝0无解，即f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上为增函数，与y轴交于（0，1），B选项符合，当1﹣4a＞0，即0＜a＜时，f′（x）＝0有两个负根，在（﹣∞，0）上，先增再减最后增，A选项不符合；故选：A．8．定义在（0，+∞）上的函数y＝f（x），有不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则（）A．4＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜4解：2f（x）＜xf'（x），即f'（x）⋅x﹣2f（x）＞0，∵y＝f（x）定义在（0，+∞）上，∴f'（x）⋅x2﹣2xf（x）＞0，令，则，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g（2）＞g（1）得，，即，同理令，，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，由h（2）＜h（1），得，即，∴．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列命题正确的有（）A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数B．若z为复数，|z|2＝z2C．若复数z满足，则|z|＝5D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi（a，b∈R），则z1z2＝a2+b2，故是实数，即z1z2为实数，所以A正确；若z为复数，|z|2≥0，z2可能是复数，所以两者不一定相等，所以B不正确；复数z满足，则|z|＝＝＝＝5，所以C正确；复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为到（1，0）与（﹣1，0）距离相等的点的轨迹，是中垂线，是直线，所以D正确．故选：ACD．10．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为36B．二项展开式中二项式系数最大的项为C．二项展开式中无常数项D．二项展开式中系数最大的项为90x3解：∵的二项展开式中二项式系数之和为2n＝64，∴n＝6．令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A正确；根据展开的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，可得第四项（r＝3）的二项式系数最大，该项为160，故B正确；对于通项公式，令x的幂指数等于零，即令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式第四项为常数项，故C错误；由于第r+1项的系数为•26﹣r，检验可得，当r＝2时，该项的系数取得最大值，该项为240x3，故D错误．故选：AB．11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．若f（x）＝a有唯一解，则B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝﹣可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．12．对于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）在x＝e处取得极大值B．f（x）有两个不同的零点C．f（2）＜f（π）＜f（3）D．若在（0，+∞）上恒成立，则解：函数f（x）＝＝，定义域为x∈（0，+∞），因为f'（x）＝，令f'（x）＝0，则有x＝e，f'（x）＞0⇒0＜x＜e；f'（x）＜0⇒x＞e；即得函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；所以函数f（x）在x＝e处取得极大值为，f（e）＝，故A正确；又因为当x→0时，lnx→﹣∞；当x→+∞时，lnx→0；据此作出函数图像如下：故可得函数f（x）只有一个零点，故B错误；由上可得，因为π＞3，所以f（π）＜f（3），又因为f（2）＝＝，f（3）＝＝，即得f（2）＜f（3），又因为f（π）＝，f（2）＝，即得f（π）＞f（2）综上可得，f（2）＜f（π）＜f（3），故C正确；若f（x）＜k﹣在（0，+∞）上恒成立，即f（x）+＜k在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝f（x）+（x＞0），则有g'（x）＝f'（x）﹣＝，令g'（x）＝0⇒﹣2﹣2lnx＝0⇒x＝，g'（x）＞0⇒0＜x＜；g'（x）＜0⇒x＞，所以函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，即得，故得k＞，即D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知随机变量ξ～N（3，σ2），且，则P（3＜ξ＜5）＝0.3．解：由正态分布的性质可知：μ＝3，曲线关于ξ＝3对称，故P（ξ＜1）＝P（ξ＞5），结合正态分布的性质可知：，即为，结合P（ξ＞5）+P（ξ＜5）＝1解得：P（ξ＞5）＝0.2．故P（3＜ξ＜5）＝P（ξ＜5）﹣P（ξ≤3）＝（1﹣0.2）﹣0.5＝0.3．故答案为：0.3．14．若，则m＝7．解：，可得m（m﹣1）（m﹣2）＝6×，解得m＝7．故答案为：7．15．已知函数f（x）＝2lnx，g（x）＝ax2﹣x﹣1（a＞0），若直线y＝2x﹣b函数y＝f（x），y＝g（x）的图象均相切，则a的值为．解：设直线y＝2x﹣b与函数y＝f（x）的图象相切的切点为（m，2lnm），由f′（x）＝，可得＝2，即m＝1，切点为（1，0），则b＝2，切线的方程为y＝2x﹣2，联立y＝g（x）＝ax2﹣x﹣1，可得ax2﹣3x+1＝0，由题意可得△＝9﹣4a＝0，解得a＝．故答案为：．16．定义：设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y＝f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）．若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y＝f（x）在区间（a，b）上为“凸函数．已知f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为[，+∞）．解：∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2，∴f′（x）＝﹣2mx，∵f（x）＝ln（2+e x）﹣mx2在区间（﹣1，1）上为“凸函数”，∴f″（x）＝﹣2m＝﹣2m≤0恒成立，∴m≥＝（﹣1＜x＜1））恒成立，令t＝e x（＜t＜e），y＝e x++4可化为g（t）＝t++4，由基本不等式得，t++4≥2+4＝8（当且仅当t＝2时取“＝”），∴y＝e x++4的最小值为8，∴m≥，故答案为：[，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在①；②复平面上表示的点在直线x+2y＝0上；③z1（a﹣i）＞0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数z1＝1+i，z2＝a+3i（a∈R）（i为虚数单位），满足____．（1）若，求复数z以及|z|；（2）若z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，求实数m的值．解：（1）选条件①，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，所以z2＝a2+9＝10，解得a2＝1；又a＞0，所以a＝1；选条件②，复平面上表示的点在直线x+2y＝0上，因为z1＝1+i，z2＝a+3i，（a∈R），所以＝＝＝+i，在复平面上表示的点为（，），依题意可知+2×＝0，解得a＝1；选条件③，z1（a﹣i）＞0，因为z1＝1+i，所以z1（a﹣i）＝（1+i）（a﹣i）＝（a+1）+（a﹣1）i＞0，所以，解得a＝1，所以+＝+＝+＝﹣i，|z|＝＝1；（2）z2是实系数一元二次方程x2+mx+4﹣3m＝0的根，则也是该方程的根，所以实数m＝﹣（z2+）＝﹣（1+3i+1﹣3i）＝﹣2．18．现有编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球．（1）若将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）现将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数．（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果保留数字）解：（1）编号为A，B，C的3个不同的红球和编号为D，E的2个不同的白球，将这些小球排成一排，且要求D，E两个球相邻，则把D、E2个白球捆在一起看做一个，和其他的小球排列，方法有•＝48种．（2）将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且D，E各不相邻，则先把A安在中间位置，从A的2侧各选一个位置插入D、E，其余小球任意排，方法有•••＝16种．（3）将这些小球放入袋中，从中随机一次性摸出3个球，求摸出的三个球中至少有1个白球的不同的摸球方法数为﹣＝9种．（4）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中．若按311分配，方法有••＝20种，若按221分配，方法有••＝30种．综上可得，方法共有20+30＝50种．19．已知（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010．（1）求n和a0的值；（2）求a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1的值；（3）求a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n的值．解：（1）∵（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，且＝﹣1010＝，∴n＝2021，a0＝＝1．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a n＝0，再令x＝﹣1，可得a0﹣a1+a2﹣a3+⋅⋅⋅+（﹣1）n a n＝2n＝22021，两式相加除以2，可得a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a n﹣1＝a2+a4+a6+⋅⋅⋅+a2020 ＝22020．（3）对于（1﹣x）n＝a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n，两边对x求导数，可得﹣n（1﹣x）n﹣1＝a1+2a2x+⋅⋅⋅+na n x n﹣1，再令x＝1，可得a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+na n＝0．20．某学校准备举办数学文化知识竞赛，进入决赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机产生5道数学文化试题，能够正确解答3道及以上的参赛者进入决赛．若学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为．（1）求甲在初赛中恰好正确解答4道试题的概率；（2）进入决赛后，采用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4道不同的数学文化试题，每道试题解答正确加20分，错误减10分，由于难度增加，甲正确解答每道试题的概率变为，求甲在决赛中积分X的概率分布，并求数学期望．解：（1）记“甲在初赛中恰好正确解答4道试题的”为事件A，学生甲参赛，他正确解答每道试题的概率均为，则P（A）＝××＝．（2）甲的积分X的可能的取值为80分，50分，20分，﹣10分，﹣40分，则P（X＝80）＝×＝，P（X＝50）＝××＝，P（X＝20）＝××＝＝，P（X＝﹣10）＝××＝，P（X＝﹣40）＝××＝，所以X的概率分布列为：X805020﹣10﹣40P所以数学期望E（X）＝80×+50×+20×﹣10×﹣40×＝0．21．已知函数，其中m为正实数．（1）试讨论函数f（x）的单调性；（2）设，若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，求m的取值范围．解：（1）根据题意，f'（x）＝mx2﹣（m+1）x+1＝（mx﹣1）（x﹣1），∵m＞0，∴f'（x）＝0⇒（mx﹣1）（x﹣1）＝0⇒x＝，或x＝1，所以①当m＞1时，，则有f'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，，则有f'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；f'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，恒有f'（x）≥0，此时函数f（x）在R上单调递增．综上可得，①当m＞1时，f（x）在（），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减．②当0＜m＜1时，f（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．③当m＝1时，函数f（x）在R上单调递增．（2）根据题意，由（1）可得，＝（x＞0），若存在x∈[1，2]，使得不等式g（x）＜0成立，则需使g（x）min＜0，∵g'（x）＝＝，由（1）可知，①当m＞1时，，则有g'（x）＞0⇒x＜，或x＞1；f'（x）＜0⇒＜x＜1，此时可得，g（x）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（）上单调递减，即得g（x）在[1，2]上单调递增，故有＜0⇒m＞1；②当0＜m＜1时，，则有g'（x）＞0⇒x＞，或x＜1；g'（x）＜0⇒1＜x＜，此时可得，g（x）在（﹣∞，1），（，+∞）上单调递增，在（1，）上单调递减．（i）当≥2时，即0＜m≤时，g（x）在[1，2]上单调递减，则有＞0，不合题意；（ii）当1＜＜2时，即＜m＜1时，g（x）在[1，）上单调递减，在（]，则有，此时令（1＜t＜2），则⇒＞0，即得此时h（t）在（1，2）上单调递增，所以h（t）＞h（1）＝0恒成立，即g（x）min ＞0恒成立，不合题意；综上可得，m＞1．22．已知函数，且函数f（x）与g（x）有相同的极值点．（1）求实数a的值；（2）若对，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．解：（1）令，解得x＝1，易知函数f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，故函数f（x）的极大值点为x＝1，令，则由题意有，g′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，经验证符合题意，故实数a的值为1；（2）由（1）知，函数f（x）在单调递增，在（1，3）单调递减，又，且，∴当时，f（x）max＝f（1）＝﹣1，f（x）min＝f（3）＝ln3﹣3，①当k+1＞0，即k＞﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≥f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≥f（x）max﹣f（x）min＝﹣1﹣（ln3﹣3）＝2﹣ln3，∴k≥1﹣ln3，又1﹣ln3＞﹣1，∴此时k的取值范围为k≥1﹣ln3；②当k+1＜0，即k＜﹣1时，对，不等式恒成立，即为k+1≤f（x1）﹣f（x2）恒成立，则k+1≤f（x）min﹣f（x）max＝ln3﹣3+1＝ln3﹣2，∴k≤ln3﹣3，又ln3﹣3＜﹣1，∴此时k的取值范围为k≤ln3﹣3，综上，实数k的取值范围为（﹣∞，ln3﹣3]∪[1﹣ln3，+∞）；（3）证明：所证不等式即为xlnx﹣e x＜cos x﹣1，下证：xlnx﹣e x＜﹣x﹣1，即证xlnx﹣e x+x+1＜0，设h（x）＝xlnx﹣e x+x+1（x＞0），则h′（x）＝lnx+1﹣e x+1＝lnx﹣e x+2，，易知函数h''（x）在（0，+∞）上单调递减，且，故存在唯一的，使得h''（x0）＝0，即，lnx0＝﹣x0，且当x∈（0，x0）时，h''（x）＞0，h′（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h''（x）＜0，h′（x）单调递减，∴＝，∴h（x）在（0，+∞）单调递减，又x→0时，h（x）→0，故h（x）＜0，即xlnx﹣e x＜﹣x﹣1；再证：﹣x﹣1＜cos x﹣1（x＞0），即证cos x+x＞0在（0，+∞）上恒成立，设m（x）＝cos x+x，m′（x）＝﹣sin x+1≥0，∴m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）＝1，故﹣x﹣1＜cos x﹣1，综上，xlnx﹣e x＜cos x﹣1，即得证．。
江苏省无锡市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023年-2024学年度第一学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=平行，则实数a 的值为（）A.2B.12C.2-D.2或2-【答案】C 【解析】【分析】求出两直线不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线()1330a x y +++=与直线()110x a y +-+=不相交时，(1)(1)3a a +-=，解得2a =±，当2a =时，直线3330x y ++=与直线10x y ++=重合，不符合题意，舍去；当2a =-时，直线330x y -++=，即330x y --=与直线310x y -+=平行，所以实数a 的值为2-.故选：C2.已知A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若311488OP OA OB OC =++，则可以得到结论是,,,P A B C 四点（）A.共面B.不一定共面C.无法判断是否共面D.不共面【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量线性运算化简得1166AP PB PC =+，即可判断四点位置情况.【详解】311488OP OA OB OC =++,则3311114488808OC OA OP OB OP OP ---+=+，所以3110488PA PB PC ++=，则1166A P PBC P -=- ，故,,,P A B C 四点共面.故选：A3.已知向量()2a = ，向量(= b ，则向量a 在向量b上的投影向量为（）A.122骣ççç÷ç桫,,0 B.()2C.(D.)【答案】D 【解析】【分析】由空间向量数量积的几何意义及投影向量的定义，应用向量数量积、模长的坐标运算求向量a 在向量b上的投影向量.【详解】向量a 在向量b 上的投影向量为()434||||a b b b b ⋅⋅=⋅=.故选：D.4.若圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，则11a b+的最小值为（）A.14B.9C.4D.19【答案】C 【解析】【分析】由题意得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，即得1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.【详解】由圆222410x y x y ++-+=被直线()2200,0ax by a b -+=>>平分，得圆心(1,2)-在直线()2200,0ax by a b -+=>>上，则2220a b --+=，即1a b +=，而0,0a b >>，则1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4.故选：C5.已知平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=︒，M 为11C D 的中点，则向量AM的模长为（）A.B.4C.D.【答案】C 【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出AM，再利用数量积的运算律计算可得.【详解】由平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为2，1160BAD BAADAA ∠=∠=∠=︒，得1122cos602AB AD AA AD AB AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，依题意，11112AM AD DD D M AB AD AA =++=++，因此22222111111()224AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =++=+++⋅+⋅+⋅22212222222174=⨯+++++⨯=，所以MN = .故选：C6.已知A 、B 为椭圆22143x y +=上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（）A.23-B.32-C.34-D.43-【答案】B 【解析】【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．【详解】由于直线AB 的斜率为12，故设直线的方程为12y x b =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，故2214312x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得2230x bx b ++-=，则()222431230b b b ∆=--=->，即22b -<<，故12x x b +=-，故()121213222b y y x x b +=++=．利用中点坐标公式，3,,24b b M b ⎛⎫-⎪⎝⎭不是零，故34322OMbk b ==--．故选：B ．7.已知点P 是圆M ：()()22222x y -+-=上的动点，线段AB 是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最大值是（）A.1+B.C.1+D.2+【答案】D 【解析】【分析】设AB 中点为D ，计算1CD =，CM =2PA PB PD +=，计算最值得到答案.【详解】圆M ：()()22222x y -+-=，圆心()2,2M，半径1r =；圆C ：()()22114x y +++=，圆心()1,1C --，半径22r =；设AB 中点为D ，则圆心C 到直线AB 的距离为1CD ==，圆心距为CM ==，2PA PB PD +=，PD最大值为11+=，故PA PB +的最大值为2+.故选：D.8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，90BDC ∠=︒，222BD AB CD ===，E 是BC 的中点，H 是ABD △内的动点（含边界），且//EH 平面ACD ，则CA EH ⋅的取值范围是（）A.[]0,3 B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.111,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.113,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面//EFG 平面ACD ，再由线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面ABD ，进而有EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=，结合空间向量的数量积运算即可求解.【详解】设F ，G 分别为AB ，BD 的中点，连接FG ，EF ，EG ，如图，易得//FG AD ，//EF AC ，//EG CD ，因为FG ⊂平面EFG ，AD ⊄平面EFG ，所以//AD 平面EFG ，同理//AC 平面EFG ，又因为,AC AD ⊂平面ACD ，AC AD A ⋂=，所以平面//EFG 平面ACD .因为//EH 平面ACD ，所以H 为线段FG 上的点.由AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，得AB CD ⊥，又90BDC ︒∠=，则BD CD ⊥，由,,AB BD B AB BD =⊂I 平面ABD ，得CD ⊥平面ABD ，因为//EG CD ，所以EG ⊥平面ABD ，EG FG ⊥，cos FGEFG EF∠=.因为222BD AB CD ===，所以122FG AD ==，BC =，122EF AC ==.所以()2222CA EH EF EF FH EF EF FH⋅=⋅+=+⋅ ()2222cos π22cos EF EF FH EFG EF EF FH EFG =+⋅-∠=-⋅∠2223EF FH FG =-⋅= .因为0,2FH ⎡∈⎢⎣⎦，所以1,32CA EH ⎡⎤⋅∈⎢⎥⎣⎦ .故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H 为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到3CA EH ⋅= ，从而得解.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.直线l 过点()2,1A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 在y 轴上的截距可能是（）A.1- B.1C.3D.0【答案】ACD 【解析】【分析】考虑直线过原点，直线不过原点且截距相同，直线不过原点且截距相反，计算得到答案.【详解】当直线过原点时，设直线方程为y kx =，则12k =，解得12k =，此时在y 轴上的截距为0；当直线不过原点且截距相同，设直线方程为1x ya a +=，则211a a +=，解得3a =，此时在y 轴上的截距为3；当直线不过原点且截距相反，设直线方程为1x y a a -=，则211a a-=，解得1a =，此时在y 轴上的截距为1-；综上所述：截距可能为0,1,3-.故选：ACD10.已知直线l ：kx y k 0--=，圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1，则下列说法正确的是（）A.直线l 恒过点()1,0B .4D =-，2E =-C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.若点(),P x y 是圆M 上一动点，x y -的最小值为-【答案】AB 【解析】【分析】直线l 恒过点()1,0A ，A 正确，根据圆的一般方程计算B 正确，计算弦长的最小值为C 错误，确定1x y ⎡-∈-+⎣，D 错误，得到答案.【详解】圆M ：2210x y Dx Ey ++++=的圆心坐标为()2,1M ，故22D -=，12E -=，解得4D =-，2E =-，圆方程为()()22214x y -+-=，对选项A ：因为直线():1l y k x =-恒过点()1,0A ，正确；对选项B ：4D =-，2E =-，正确；对选项C ：当直线l 与AM 垂直时，弦最短，此时AM =弦长为=，错误；对选项D ：设x y a -=，即0x y a --=2=，解得1a =-或1a =+，故1x y ⎡-∈-+⎣，错误；故选：AB11.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1F ，)2F ，过点2F 且垂直于x 轴的直线与该椭圆相交于A ，B 两点，且1AB =，点P 在该椭圆上，则下列说法正确的是（）A.存在点P ，使得1290F PF ∠=︒B.若1260F PF ∠=︒，则123F PF S =△C.满足12F PF △为等腰三角形的点P 只有2个D.12PF PF -的取值范围为⎡-⎣【答案】AD 【解析】【分析】求出椭圆方程，利用动点P 的位置变化，研究12F PF ∠的取值范围判断A ；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B ；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C ；利用三角形不等式求解判断D.【详解】由椭圆2222:1x y M a b+=的左右焦点分别为()1F 、)2F ，得c ==将x =代入22221x y a b +=，则22231y a b +=，解得2b y a =±，不妨令2b A a ⎫⎪⎭，2b B a ⎫-⎪⎭，由1AB =，则221b a =，即22a b =，将其代入223a b -=，可得232a a -=，化简得()()2320a a +-=，由0a >，解得2a =，则椭圆22:14x M y +=，对于A ，当点P 为椭圆的上（或下）顶点时，12F PF ∠最大，如图：由椭圆22:14x M y +=，则1PO =，22PF =，在2Rt OPF 中，260POF ∠=，由对称性得12120F PF ∠=，因此12F PF ∠的取值范围为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 正确；对于B ，如图：设1PF m =，2PF n =，则24m n a +==，1223F F c ==，在12F PF △中，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅⋅，即2212cos 602m n mn+-=o，整理得43=mn ，因此121212113sin sin 60223F PF S PF PF F PF mn =⋅⋅⋅∠==，B 错误；对于C ，设1PF m =，2PF n =，则4m n +=，1223F F c ==，当2m n ==时，12F PF △为等腰三角形，此时P 的坐标为()0,1或()0,1-，当12m F F =时，12F PF △为等腰三角形，此时3m =，设(),P x y ，则()22221433x y x y ⎧+=⎪⎪++=，消去y 得2383320x x +-=，由(()28343325760∆=-⨯⨯-=>，则方程有解，C 错误；对于D ，显然12123||||||||PF PF F F -≤=，当且仅当点P 为椭圆长轴端点时取等号，因此12|||323|2PF PF -≤≤-D 正确.故选：AD12.直三棱柱111ABC A B C -中，1,1AB AC AB AC AA ⊥===，点D 是线段1BC 上的动点（不含端点），则（）A.CD 与1AC 一定不垂直B.AC //平面1A BDC.三棱锥1A ABC -的外接球表面积为3πD.AD DC +的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】利用空间向量法判断AD 选项的正确性，根据线面平行、外接球的知识判断BC 选项的正确性.【详解】A 选项，以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，()()()()110,1,0,1,0,0,0,1,1,1,1,1C B C BC =-，设()101BD BC λλ=<<，则(),,BD λλλ=- ，()()1,,,1,1,AD AB BD CD λλλλλλ=+=-=--，1121CD AC λλλ⋅=-+=-，可知当12λ=时，CD 与1AC 垂直，所以A 选项错误.B 选项，由于11//,AC A C AC ⊄平面11A BC ，11AC ⊂平面11A BC ，所以//AC 平面11A BC ，而平面1A BD 即平面11A BC ，所以AC //平面1A BD ，B 选项正确.C 选项，将三棱锥1A ABC -补形成正方体如图所示，三棱锥1A ABC -的外接球也即正方体的外接球，设正方体外接球的半径为R ，则2R =所以外接球的表面积为24πR 3π=，C 选项正确.D 选项，先证明不等式≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立：设()()(),,,,,x a b y c d x y a c b d ==+=++，所以x y x y +=+=根据向量加法的三角形法则可知x y x y +≥+，当,x y同向，即ad bc =且0ac bd +>时等号成立，+≥，当且仅当ad bc =且0ac bd +≤时等号成立.（证毕）所以AD CD AD CD +=+===≥，当且仅当1233λλ⎫⎫-=-⎪⎪⎭⎭12033λλ⎫⎫--+⎪⎪⎭⎭，即12λ=时等号成立，所以D 选项正确.故选：BCD三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分.）13.直线2390x y --=的一个方向向量为________.【答案】2(1,)3（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定的直线方程，求出直线的斜率，再写出方向向量即可.【详解】直线2390x y --=的斜率23k =，所以直线直线2390x y --=的一个方向向量为2(1,)3.故答案为：2(1,)314.已知直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，直线2l 的倾斜角为2θ，且直线2l 在y 轴上的截距为3，则直线2l 的一般式方程为________.【答案】4390x y -+=【解析】【分析】确定1tan 2θ=，计算4tan 23θ=，得到直线斜率，再计算直线方程得到答案.【详解】直线1l ：220x y --=的倾斜角为θ，则1tan 2θ=，故22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，故直线2l 的斜率为43k =，截距为3，故直线方程为433y x =+，即4390x y -+=.故答案为：4390x y -+=15.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP ·FP 的取值范围为________.【答案】[]2,6【解析】【分析】可设(,)P x y ，可求得OP 与FP 的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．【详解】点P 为椭圆22143x y +=上的任意一点，设(,)(22,P x y x y -≤≤≤≤，依题意得左焦点(1,0)F -，(,)OP x y = ，(1,)FP x y =+uu r ，2(1)OP FP x x y ⋅=++ 221234x x x -=++2134x x =++21(1)22x =++，22x -≤≤ ，10122x ∴≤+≤，210(1)42x ∴≤+≤，212(1)262x ∴≤++≤．则26OP FP ≤⋅≤ ．故答案为：[]2,6．16.已知圆C ：()()221310x y -++=和点()5,M t ，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA MB ⊥，则实数t 的取值范围是________.【答案】51t -≤≤-【解析】【分析】利用题设条件，分析MA MB ⊥且与圆C 交于,A B 的临界情况，由点M 在临界点之间移动的变化情况运算即可得解.【详解】圆C ：()()221310x y -++=，则半径为，()1,3C -，如上图，对于直线5x =上任意一点()5,M t ，当,AM BM 均为圆的切线时AMB ∠最大，由题意，MA MB ⊥即90AMB ∠= 时，此时M 为满足题设条件的临界点，此时有=sin 2AC AMC CM ∠≥.当M 在临界点之间移动时，有2AC CM ≥2≥，即有：()234t +≤，解得：51t -≤≤-.故答案为：51t -≤≤-.四、解答题（共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知ABC 的顶点()4,2A ，顶点C 在x 轴上，AB 边上的高所在的直线方程为20x y m ++=.（1）求直线AB 的方程；（2）若AC 边上的中线所在的直线方程为40x y --=，求m 的值.【答案】（1）260x y --=；（2）6-.【解析】【分析】（1）求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程；（2）设点(),0C t ，利用AC 的中点在直线40x y --=上，求出t 值，再由点C 在直线20x y m ++=上求出m 值.【小问1详解】依题意，由AB 边上的高所在的直线的斜率为12-，得直线AB 的斜率为2，又()4,2A ，所以直线AB 的方程为()224y x -=-，即260x y --=.【小问2详解】由C 点在x 轴上，设(),0C t ，则线段AC 的中点4(,1)2t D +，由点D 在直线40x y --=上，得41402t +--=，得6t =，即()6,0C ，又点C 在直线20x y m ++=上，因此60m +=，解得6m =-，所以m 的值为6-.18.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求直线AC 与平面OCD 所成角的余弦值.（3）求点N 到平面OCD 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.（2）由（1）结论，利用线面角的向量求法求解即得.（3）由（1）结论，利用点到平面距离的向量求法求解即得.【小问1详解】在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，则,,AB AD AO 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AO 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图，由2OA =，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，得()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0A M N O C D ，即()()()2,1,1,2,2,2,0,2,2MN OC OD =-=-=- ，设平面OCD 的法向量为(),,n x y z = ，则2220220n OC x y z n OD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1z =，得()0,1,1n = ，则110n MN ⋅=-= ，MN ⊄平面OCD ，所以直线//MN 平面OCD .【小问2详解】由（1）知，()2,2,0AC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，设直线AC 与平面OCD 所成角为θ，则||1sin |cos ,|2||||n AC n AC n AC θ⋅=〈〉==，cos 2θ==所以直线AC 与平面OCD所成角的余弦值为2【小问3详解】由（1）知，()0,1,0NC = ，且平面OCD 的一个法向量为()0,1,1n = ，所以点N 到平面OCD的距离||2||NC n d n ⋅=== .19.一个火山口的周围是无人区，无人区分布在以火山口中心()0,0O 为圆心，半径为400km 的圆形区域内，一辆运输车位于火山口的正东方向600km 处准备出发，若运输车沿北偏西60°方向以每小时km 的速度做匀速直线运动：（1）运输车将在无人区经历多少小时？（2）若运输车仍位于火山口的正东方向，且按原来的速度和方向前进，为使该运输车成功避开无人区，求至少应离火山口多远出发才安全？【答案】（1）5小时（2）800km【解析】【分析】（1）根据题意，以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，结合点到直线的距离公式求得弦长，即可得到结果；（2）根据题意，由直线与圆相切，即可得到结果.【小问1详解】以火山口的位置为坐标原点O ，其正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，记运输车从()600,0A 出发，点N 处开始进入无人区，到M 处离开无人区，则圆O 方程为222400x y +=，由运输车沿北偏西60°方向运动，可得直线AB的斜率tan1503k =︒=-，则():6003AB l y x =--，即30y +-=，因为O 到AB l 的距离为300km OO '==,则2MN =⨯==，5=小时.【小问2详解】设运输车至少应离火山口km a 出发才安全，此时运输车的行驶直线刚好与圆O 相切，且直线方程为)33y x a =--30y +-=，则O到直线的距离400d ==，解得800a =，即运输车至少应离火山口800km 出发才安全.20.已知点()4,1-A ，()0,3B ，圆C 的半径为1.（1）若圆C 的圆心坐标为()3,2C ，过点A 作圆C 的切线，求此切线的方程；（2）若圆C 的圆心C 在直线l ：1y x =-上，且圆C 上存在点M ，使2MB MO =，O 为坐标原点，求圆C 圆心的横坐标a 的取值范围.【答案】（1）4x =或43130x y +-=（2）,,2222⎡--⎢⎣⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.（2）确定圆方程，根据2MB MO =得到M 的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案.【小问1详解】圆C 的圆心坐标为()3,2C ，半径为1，故圆方程为()()22321x y -+-=，当切线斜率不存在时，易知4x =与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为()41y k x =--，即410kx y k ---=，1=，解得43k =-，切线方程为：43130x y +-=；综上所述：切线方程为4x =或43130x y +-=.【小问2详解】圆方程为()()2211x a y a -+-+=，设(),M x y ，2MB MO ==整理得的()22+1=4x y +，故M 在两圆的交点上，故两圆相切或者相交，即212+1-≤≤，解得32222a -≤≤-或23222a ≤≤，故322232,,2222a ⎡∈--⎢⎣⎦⎣⎦.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，且AD CD ==，BC =2PA =.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，如果存在，求PM PD 的值，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，12或78；理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可先证明AB APC ⊥面，又因为PC 在面APC 内，从而可证；（2）建立空间向量直角坐标系，根据已知条件用空间向量求解证明是否存在.【小问1详解】如图，取BC 的中点为E ，连接AE ，因AD EC =，AD EC ∥，所以得：四边形AECD 为平行四边形.从而得：AE CD ∥，AE CD =，又因为AD BC ∥，AD CD ⊥，所以得：4AB ==，4AC ==，从而得：22232AB AC BC +==，所以得：AC AB ⊥，因为PA PAC ⊥平面，AB PAC ⊂平面，得：PA AB ⊥；又因为,AC PA PAC ⊂平面，且AC PA A ⋂=，所以得：AB PAC ⊥平面；又因为PC PAC ⊂平面，所以得：AB PC ⊥.故可证：AB PC ⊥.【小问2详解】存在，理由如下：由（1）如图建立以A 点为原点的空间直角坐标系.得：()0,0,0A，()0,D，()C ，()002P ,,，()B -得：()AC =，()0,2PD =- ，()0,0,2AP =，()2CP =--，()0,CB =- 设()01PM PD λλ=≤≤，得：()02,,PM λ=-，()022,,AM AP PM λ=+=- ，设平面MAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，得：()0220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令：1x λ=-，得：1y λ=-，z =，所以得：()11,n λλ=-- ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m a b c = ，得：020m CB m CP c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，令：1a =，得：0b =，c =所以得：(m = ，又因为平面MAC 与平面PBC 所成角的大小为30︒，所以得：cos302m n m n ⋅︒===⋅ ，化简得：2162270λλ-+=，解之得：12λ=或78λ=.故答案为：存在，12或78.22.已知()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>上一点，长轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析，定点为()2,1-【解析】【分析】（1）根据长轴长确定a =1b =，得到答案.（2）设直线l x my n =+，联立方程得到根与系数的关系，根据斜率的关系计算化简得到20n m --=，代入直线方程得到定点.【小问1详解】长轴长为2a =，故a =()0,1P 为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上一点，故1b =，椭圆方程为：2212x y +=；【小问2详解】直线与x 轴平行时，根据对称性知斜率和为0，不成立；设直线l ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线不过()0,1P ，则0m n +≠，则2212x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2222220m y mny n +++-=，()()222244220m n n m ∆=--+>，即2220-+>m n ，则12221222222mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，1212111AP BP y y k k x x --+=+=-，即()()()()()()122112110y my n y my n my n my n -++-++++=，整理得到()()222222222022n mn m m n m mn n n m m -+⋅--+⋅+-=++，化简得到()()20m n n m +--=，0m n +≠，则20n m --=，直线方程2x my m =++，直线过定点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，直线过定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用设而不求的思想，根据根与系数的关系来计算定点，可以简化运算，是解题的关键.。
2019-2020学年江苏省无锡市七年级(上)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省无锡市七年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（3分）3-的相反数是( )A ．3-B ．13-C ．3D ．132．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||a b +的结果正确的是( )A ．a b +B ．a b -C ．a b -+D ．a b --3．（3分）已知32x y -与23n y x 是同类项，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．5D ．2或34．（3分）下列计算正确的是( )A ．43a a -=B ．223n n n +=C ．23m m m -=-D ．32a a a -+=-5．（3分）下列方程为一元一次方程的是( )A ．34x --=B ．232x x +=+C ．112x -=D ．232y x -=6．（3分）下列说法错误的是( )A ．两点之间线段最短B ．对顶角相等C ．同角的补角相等D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行7．（3分）长方形纸板绕它的一条边旋转一周形成的几何体为( )A ．圆柱B ．棱柱C ．圆锥D ．球8．（3分）已知点A ，B ，C 为平面内三点，给出下列条件：①AC BC =；②2AB BC =；③12AC BC AB ==．选择其中一个条件就能得到“点C 是线段AB 中点”的是( ) A ．① B ．③ C ．①或③ D ．①或②或③9．（3分）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x 尺，则符合题意的方程应为( )A ．114134x x -=-B ．3441x x +=+C ．114134x x +=+D ．3(4)4(1)x x +=+10．（3分）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜10%，乙店的标价比甲店的标价高5.4元，这样甲乙两店的利润率分别为20%和17%，则乙店每副耳机的进价为( )A ．56元B ．60元C ．72元D ．80元二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）今年无锡马拉松比赛有33200名选手参加，这个数字用科学记数法表示为 ．12．（2分）多项式22x y xy -的次数是 ．13．（2分）写出一个解为1的一元一次方程 ．14．（2分）已知α∠与β∠互为余角，3824α'∠=︒，则β∠= ．15．（2分）若代数式22x x -的值为5，则代数式2363x x --的值为 ．16．（2分）如图，已知OC OA ⊥，OD OB ⊥．若148AOB ∠=︒，则COD ∠= ．17．（2分）如图，两根木条的长度分别为6cm 和10cm ，在它们的中点处各打一个小孔M 、N （小孔大小忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN = cm ．18．（2分）长方体纸盒的长、宽、高分别是10cm ，8cm ，5cm ，若将它沿棱剪开，展成一个平面图形那么这个平面图形的周长的最小值是 cm ．三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）112|3|(22)2⨯+---； （2）20202(1)29(3)--+÷-．20．（8分）解方程：（1）4(1)3x x +=-；（2）3123x x +-= 21．（6分）先化简，再求值：22222[2()1](4)a b ab a b ab ----．其中12a =，4b =-． 22．（8分）如图，P 是AOB ∠的边OB 上的一点．（1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C ；过点P 画OA 的垂线，垂足为D ；（2）点C 到直线OB 的距离是哪一条垂线段的长度？（3）请直接写出线段PC 、PD 、OC 的大小关系．（用“<”号连接）23．（6分）由10个完全相同的小正方体搭成的物体如图所示．（1）请在下面的方格图中画出该物体的主视图和左视图；（2）如果再添加若干个相同的小正方体之后，所得到的新物体的主视图和左视图跟原来的相同，那么这样的小正方体最多还可以添加 个．24．（8分）我们规定，如果两个角的差是一个直角，那么这两个角互为足角．其中的一个角叫做另一个角的足角．（1）如图，直线经过点O，OE平分COB∠，OF OE⊥．请直接写出图中BOF∠的足角；（2）如果一个角的足角等于这个角的补角的23，求这个角的度数．25．（10分）小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”（即面值50元的代金券实付25元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额．（1）如果小明一家应付总金额为145元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元；（2）小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式：除锅底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家点了一份50元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付15元．问小明一家实际付了多少元？26．（10分）如图1，在33⨯的九个格子中填入9个数字，当每行、每列及每条对角线的3个数字之和都相等时，我们把这张图称之为九宫归位图：（1）若2-、1-、0、1、2、3、4、5、6，这9个数也能构成九宫归位图，则此时每行、每列及每条对角线的3个数字之和都为；（2）如图2．在这张九宫归位图中，只填入了3个数，请将剩余的6个数直接填入表2中；（用含a的代数式分别表示这6个数）；（3）如图3，在这张九宫归位图中，只填入了2个数，请你求出右上角“？”所表示的数值．参考答案一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.1．（3分）3-的相反数是( )A ．3-B ．13-C ．3D ．13解：3-的相反数是3，故选：C ．2．（3分）有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简||a b +的结果正确的是( )A ．a b +B ．a b -C ．a b -+D ．a b --解：由数轴可得：0a b <<，||||a b >||a b a b ∴+=--故选：D ．3．（3分）已知32x y -与23n y x 是同类项，则n 的值为( )A ．2B ．3C ．5D ．2或3解：32x y -与23n y x 是同类项，3n ∴=，故选：B ．4．（3分）下列计算正确的是( )A ．43a a -=B ．223n n n +=C ．23m m m -=-D ．32a a a -+=- 解：A 、结果是3a ，故本选项错误；B 、结果是3n ，故本选项错误；C 、结果是m -，故本选项正确；D 、结果是2a ，故本选项错误；故选：C ．5．（3分）下列方程为一元一次方程的是( )A ．34x --=B ．232x x +=+C ．112x -=D ．232y x -= 解：B 是二次的，C 不是整式方程，D 含有两个未知数，它们都不符合一元一次方程的定义．只有A 符合一元一次方程的定义．故选：A ．6．（3分）下列说法错误的是( )A ．两点之间线段最短B ．对顶角相等C ．同角的补角相等D ．过一点有且只有一条直线与已知直线平行解：A 、两点之间线段最短，说法正确．B 、对顶角相等，说法正确．C 、同角的补角相等，说法正确D 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法错误．故选：D ．7．（3分）长方形纸板绕它的一条边旋转一周形成的几何体为( )A ．圆柱B ．棱柱C ．圆锥D ．球解：将长方形纸板绕它的一条边旋转，可得下面的几何体，故选：A ．8．（3分）已知点A ，B ，C 为平面内三点，给出下列条件：①AC BC =；②2AB BC =；③12AC BC AB ==．选择其中一个条件就能得到“点C 是线段AB 中点”的是( ) A ．① B ．③ C ．①或③ D ．①或②或③解：①点C在线段AB上，且AC BC=，则C是线段AB中点故①不符合题意；②2AB BC=，C不一定是线段AB中点故②不符合题意；③12AC BC AB==，则C是线段AB中点，故③符合题意．故选：B．9．（3分）《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？假设井深为x尺，则符合题意的方程应为()A．114134x x-=-B．3441x x+=+C．114134x x+=+D．3(4)4(1)x x+=+解：设井深为x尺，依题意，得：3(4)4(1)x x+=+．故选：D．10．（3分）甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜10%，乙店的标价比甲店的标价高5.4元，这样甲乙两店的利润率分别为20%和17%，则乙店每副耳机的进价为()A．56元B．60元C．72元D．80元解：设乙店每副耳机的进价为x元，则甲店每副耳机的进价为0.9x元，依题意有(117%)(120%)0.9 5.4x x+-+⨯=，解得60x=．故乙店每副耳机的进价为60元．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（2分）今年无锡马拉松比赛有33200名选手参加，这个数字用科学记数法表示为43.3210⨯．解：33200这个数字用科学记数法表示为43.3210⨯．故答案为：43.3210⨯．12．（2分）多项式22x y xy -的次数是 3 ． 解：多项式22x y xy -的次数为：3．故答案为：3．13．（2分）写出一个解为1的一元一次方程 10x -= ．解：设1a =，则方程可化为：0x b +=；把1x =代入上式得到：10b +=，解得1b =-；所以，方程是：10x -=．14．（2分）已知α∠与β∠互为余角，3824α'∠=︒，则β∠= 5136︒'（或51.6)︒ ． 解：α∠与β∠互为余角，3824α'∠=︒，9038245136β'∴∠=︒-︒=︒'（或51.6)︒．故答案为：5136︒'（或51.6)︒．15．（2分）若代数式22x x -的值为5，则代数式2363x x --的值为 12 ．解：2363x x --23(2)3x x =--225x x -=，∴原式353=⨯-12=．故答案为：1216．（2分）如图，已知OC OA ⊥，OD OB ⊥．若148AOB ∠=︒，则COD ∠= 32︒ ．解：OC OA ⊥，OD OB ⊥，90AOC BOD ∴∠=∠=︒，148AOB ∠=︒，1489058AOD ∴∠=︒-︒=︒，905832DOC AOC AOD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：32︒．17．（2分）如图，两根木条的长度分别为6cm 和10cm ，在它们的中点处各打一个小孔M 、N （小孔大小忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离MN = 8cm 或2 cm ．解：本题有两种情形：（1）当A 、C （或B 、)D 重合，且剩余两端点在重合点同侧时，1122MN CN AM CD AB =-=-， 532=-=（厘米）；（2）当B 、C （或A 、)C 重合，且剩余两端点在重合点两侧时，1122MN CN BM CD AB =+=+， 538=+=（厘米）． 故两根木条的小圆孔之间的距离MN 是2cm 或8cm ，故答案为：2cm 或8cm ．18．（2分）长方体纸盒的长、宽、高分别是10cm ，8cm ，5cm ，若将它沿棱剪开，展成一个平面图形那么这个平面图形的周长的最小值是 92 cm ．解：如图所示：这个平面图形的周长的最小值是：588410292()cm ⨯+⨯+⨯=．故答案为：92三、解答题（本大题共8小题，共64分.请在答题卡指定区城内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：（1）112|3|(22)2⨯+---； （2）20202(1)29(3)--+÷-．解：（1）112|3|(22)2⨯+--- 6322=++31=（2）20202(1)29(3)--+÷-143=--6=-20．（8分）解方程：（1）4(1)3x x +=-；（2）3123x x +-= 解：（1）去括号得：443x x +=-，移项合并得：51x =-， 解得：15x =-； （2）去分母得：32(3)6x x -+=，去括号得：3266x x --=，移项合并得：12x =．21．（6分）先化简，再求值：22222[2()1](4)a b ab a b ab ----．其中12a =，4b =-． 解：原式22222442432a b ab a b ab a b =---+=-． 当12a =，4b =-时，原式213()(4)23252=⨯⨯--=--=-． 22．（8分）如图，P 是AOB ∠的边OB 上的一点．（1）过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为D；（2）点C到直线OB的距离是哪一条垂线段的长度？（3）请直接写出线段PC、PD、OC的大小关系．（用“<”号连接）解：（1）如图所示，PC，PD即为所求；（2）点C到直线OB的距离是线段PC的长．（3）线段PC、PD、OC的大小关系为：PD PC OC<<．23．（6分）由10个完全相同的小正方体搭成的物体如图所示．（1）请在下面的方格图中画出该物体的主视图和左视图；（2）如果再添加若干个相同的小正方体之后，所得到的新物体的主视图和左视图跟原来的相同，那么这样的小正方体最多还可以添加4个．解：（1）如图2所示：（2）如果再添加若干个相同的小正方体之后，所得到的新物体的主视图和左视图跟原来的相同，那么这样的小正方体最多还可以添加4个．故答案为：4．24．（8分）我们规定，如果两个角的差是一个直角，那么这两个角互为足角．其中的一个角叫做另一个角的足角．（1）如图，直线经过点O ，OE 平分COB ∠，OF OE ⊥．请直接写出图中BOF ∠的足角；（2）如果一个角的足角等于这个角的补角的23，求这个角的度数． 【解答】解（1）OE 平分COB ∠，BOE COE ∴∠=∠，OF OE ⊥，90BOF BOE ∴∠-∠=︒，90BOF COE ∠-∠=︒，BOF ∴∠的足角是COE ∠、BOE ∠．（2）设这个角的度数为x ︒，当090x <<时，290(180)3x x +=- 解得：18x =．当90180x <<时，290(180)3x x -=- 解得：126x =．∴这个角的度数为18︒或126︒．25．（10分）小明和父母打算去某火锅店吃火锅，该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”（即面值50元的代金券实付25元就能获得），店家规定代金券等同现金使用，一次消费最多可用3张代金券，而且使用代金券的金额不能超过应付总金额．（1）如果小明一家应付总金额为145元，那么用代金券方式买单，他们最多可以优惠多少元；（2）小明一家来到火锅店后，发现店家现场还有一个优惠方式：除锅底不打折外，其余菜品全部6折．小明一家点了一份50元的锅底和其他菜品，用餐完毕后，聪明的小明对比两种优惠，选择了现场优惠方式买单，这样比用代金券方式买单还能少付15元．问小明一家实际付了多少元？解：（1）145150<．最多购买并使用两张代金券，∴最多优惠50元．（2）设小明一家应付总金额为x 元，当50100x <时，由题意得，25[50(50)0.6]15x x --+-⨯=．解得：150x =（舍去）．当100150x <时，由题意得，50[50(50)0.6]15x x --+-⨯=．解得：212.5x =（舍去）．当150x 时，由题意得，75[50(50)0.6]15x x --+-⨯=．解得：275x =，2757515185--=（元)．答：小明一家实际付了185元．26．（10分）如图1，在33⨯的九个格子中填入9个数字，当每行、每列及每条对角线的3个数字之和都相等时，我们把这张图称之为九宫归位图：（1）若2-、1-、0、1、2、3、4、5、6，这9个数也能构成九宫归位图，则此时每行、每列及每条对角线的3个数字之和都为6；（2）如图2．在这张九宫归位图中，只填入了3个数，请将剩余的6个数直接填入表2中；（用含a的代数式分别表示这6个数）；（3）如图3，在这张九宫归位图中，只填入了2个数，请你求出右上角“？”所表示的数值．解：（1）2266-++=．（2）如图2所示：（3）右上角“？”所表示的数值为1．如图3，设右上角“？”所表示的数值为x，设空格中相应位置的数为m、n、p、q，由题意可得2++=++=-+=+++，m n x x p q m a p n g a可得2+++++=-+++++，m n x x p q m a p n q a即22x=，解得1x=．故右上角“？”所表示的数值为1．故答案为：6．。
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷(含解析)
2020-2021学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若3324A 10A n n =，则n =（ ）A ．1B ．8C ．9D ．102．期末考试结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有（ ） A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种3．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8，有4台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是（ ） A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.97284．某市气象部门根据2021年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势5．若()2N 1,X σ~，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，已知()21,3X N ~，则(47)P X <≤=（ ）A ．0.4077B ．0.2718C ．0.1359D ．0.04536．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算()200.01P K k ≥=，根据这一数据分析，下列说法正确的是（ ）A ．有1%的人认为该栏目优秀；B ．有1%的把握认为该栏目是否优秀与改革有关系；C ．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；D ．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系.7．若1021001210)x a a x a x a x =++++，则012310a a a a a -+-++的值为．A 1B 1C ．101)D ．101)8．关于()72x +的二项展开式，下列说法正确的是（ ） A ．()72x +的二项展开式的各项系数和为73B ．()72x +的二项展开式的第五项与()72x +的二项展开式的第五项相同C ．()72x +的二项展开式的第三项系数为4372CD ．()72x +的二项展开式第二项的二项式系数为712C9．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个3×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A 处沿脚手架攀登至B 处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为（ ）A ．528B ．514C ．29D ．1210．三棱锥P ABC -中P A ､PB ､PC 两两互相垂直，4PA PB +=，3PC =，则其体积（ ） A ．有最大值4B ．有最大值2C ．有最小值2D ．有最小值4二、填空题11．最小二乘法得到一组数据(),(1,2,3,4,5)i i x y i =的线性回归方程为ˆ23yx =+，若5125ii x==∑，则51i i y ==∑___________.12．某班举行的联欢会由5个节目组成,节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个,并且节目甲必须和节目乙相邻.则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有____种. 13．若随机变量X 的概率分布如表，则表中a 的值为______.14．设随机变量ξ~B (2，p )，若P (ξ≥1)=59，则D (ξ)的值为_________.15．已知等差数列{}n a 中，33a =，则1a 和5a 乘积的最大值是______.16．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为___________.17．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是_____．18．点A ，B ，C 在球O 表面上，2AB =，BC =90ABC ∠=︒，若球心O 到截面ABC的距离为___________.19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =.（℃）求证：1AA ⊥平面；（℃）若点E 是线段的中点，请问在线段是否存在点E ，使得面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由； （℃）求二面角的大小.20．四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的球数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一只球,而且规定只有打破下面的球才能打上面的球,则将这些气球都打破的不同打法数是________.三、解答题21．已知集合(){}()12,,,|,1,2,,1nn i R x x x x R i n n =∈=≥，定义n R 上两点()12,,,n A a a a ，()12,,,n B b b b 的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑.（1）当2n =时，以下命题正确的有__________（不需证明）： ℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),7d A B =；℃在ABC 中，若90C =∠，则()()()222,,,d A C d C B d A B ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，则B C ∠=∠;（2）当2n =时，证明2R 中任意三点A B C ，，满足关系()()(),,,d A B d A C d C B ≤+；（3）当3n =时，设()0,0,0A ，()4,4,4B ，(),,P x y z ，其中x y z Z ∈，，，()()(),,,d A P d P B d A B +=.求满足P 点的个数n ，并证明从这n 个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.22．今年4月，教育部办公厅印发了《关于加强义务教育学校作业管理的通知》，规定初中学生书面作业平均完成时长不超过90分钟．某市为了更好地贯彻落实“双减”工作要求，作教育决策，该市教育科学研究院就当前全市初三学生每天完成书面作业时长抽样调查，结果是学生书面作业时长（单位：分钟）都在区间[]50,100内，书面作业时长的频率分布直方图如下：(1)若决策要求：在国家政策范围内，若当前初三学生书面作业时长的中位数估计值大于或等于平均数（计算平均数时，同一组中的数据用该区间的中点值代表）估计值，则减少作业时长；若中位数估计值小于平均数，则维持现状．请问：根据这次调查，该市应该如何决策？(2)调查统计时约定：书面作业时长在区间[]90,100内的为A 层次学生，在区间[)80,90内的为B 层次学生，在区间[70,80)内的为C 层次学生，在其它区间内的为D 层次学生．现对书面作业时长在70分钟以上（含70分钟）的初三学生，按作业时长出现的频率用分层抽样的方法随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人作进一步调查，设这3人来自X 个不同层次，求随机变量X 的分布列及数学期望．23．国家文明城市评审委员会对甲､乙两个城市是否能入围“国家文明城市”进行走访调查.派出10人的调查组.先后到甲､乙两个城市的街道､社区进行问卷调查，然后打分（满分100分）.他们给出甲､乙两个城市分数的茎叶图如图所示：(1)请你用统计学的知识分析哪个城市更应该入围“国家文明城市”，请说明理由；(2)从甲､乙两个城市的打分中各抽取2个，在已知有大于80分的条件下，求抽到乙城市的分数都小于80分的概率；(3)从对乙城市的打分中任取2个，设这2个分数中不小于80分的个数为X，求X的分布列和期望.参考答案：1．B【分析】根据排列数的运算求解即可.【详解】由332A 10A n n =得，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n --=--，又3,n n *≥∈N ，所以2(21)5(2)n n -=-，解得8n =， 所以正整数n 为8． 故选：B. 2．B【分析】对第一节课的安排进行分类讨论，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得结果.【详解】分以下两种情况讨论：℃若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有55A 种；℃若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有444A 种.综上所述，不同的排法共有54544216A A +=种.故选：B. 3．D【详解】设在一个小时内有ξ台机床需要工人照看，则ξ～B (4,0.2)，所以P (ξ≤2)＝04C (0.8)4＋14C (0.8)3×0.2＋24C (0.8)2×(0.2)2＝0.972 8. 故选D 4．D【分析】利用折线图可以判断选项ABC 正确，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，所以选项D 错误.【详解】解：由2021年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：C)︒数据，绘制出的折线图，知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在B 中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确； 在C 中，全年中各月最低气温平均值不高于10C ︒的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D 中，从2021年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D ． 5．C【分析】由题意，得(47)(2)P X P X μσμσ<≤=+<≤+，再利用3σ原则代入计算即可.【详解】℃()21,3X N ~，由()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，℃1(47)(2)(0.95450.6827)0.13592P X P X μσμσ<≤=+<≤+=-=.故选：C 6．C【分析】利用独立性检验的基本原理即可求出答案．【详解】解：℃()200.01P K k ≥=表示“电视栏目是否优秀与改革没有关系”的概率，℃有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系， 故选：C ．【点睛】本题主要考查独立性检验的基本应用，准确的理解判断方法是解决本题的关键，属于基础题． 7．D【详解】分析：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，再求f(-1)的值得解.详解：令1021001210())f x x a a x a x a x ==++++，1001210(1)1)f a a a a -==-+++．故答案为D ．点睛：（1）本题主要考查二项式定理中的系数求法问题，意在考查学生对这些基础知识 的掌握水平.(2) 二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ⋅⋅⋅的性质：对于2012()?··n n f x a a x a x a x =++++，0123(1)n a a a a a f ++++⋅⋅⋅+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+⋅⋅⋅+-=-.8．A【分析】利用赋值法求出展开式各项系数和，即可判断A ，根据二项式展开式的通项，即可判断B 、C 、D ；【详解】解：()72x +展开式的通项为7172rrr r T C x -+=⋅⋅，故第二项的二项式系数为177C =，故D 错误； 第三项的系数为2572C ⋅，故C 错误；()72x +的展开式的第五项为43472C x ⋅⋅，()72x +的展开式的第五项为44372C x ⋅⋅，故B 错误； 令1x =则()7723x +=，即()72x +的二项展开式的各项系数和为73，故A 正确； 故选：A 9．B【解析】将问题抽象成“向左三次，向前两次，向上三次”，计算出总的方法数，然后利用插空法计算出最近的行走路线中不连续向上攀登的事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】从A 的方向看，行走方向有三个：左、前、上. 从A 到B 的最近的行走线路，需要向左三次，向前两次，向上三次，共8次.所以从A 到B 的最近的行走线路，总的方法数有88332332560A A A A =⋅⋅种. 不连续向上攀登的安排方法是：先将向左、向前的安排好，再对向上的方法进行插空.故方法数有：53563232200A C A A ⨯=⋅.所以最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为200556014=. 故选：B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查有重复的排列组合问题，考查插空法，属于中档题. 10．B【分析】依题意可得1113332P ABC PABV PC SPA PB -=⋅=⨯⨯⋅再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意21111132332222P ABCPABPA PB V PC S PA PB PA PB -+⎛⎫=⋅=⨯⨯⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2PA PB ==时取等号，所以()max 2P ABC V -=， 故选：B11．65【分析】由最小二乘法得到的线性回归方程过点(),x y ，代入即可解决 【详解】由5125i i x ==∑可知，数据的平均数2555x ==， 又线性回归方程ˆ23yx =+过点(),x y ， 所以25313y =⨯+=，故51551365i i y y ===⨯=∑故答案为：65 12．42【分析】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，再根据甲、乙相邻，分别计算. 【详解】由题意可知，甲可排在第二、三、四、五个，当甲排在第二、三、四个时，甲乙相邻，有22A 种排法，将甲乙当做一个整体，剩下三个节目全排列，共3×22A ×33A =36种当甲排在第五个时，甲乙相邻，只有一种排法，剩下三个节目全排列，共33A =6种 综上，编排方案共36+6=42种【点睛】本题考查了分类计数原理，分类时要注意不重不漏；解决排列问题时，相邻问题常用捆绑法，特殊位置要优先考虑. 13．0.2【解析】利用概率和为1可求出答案. 【详解】由随机变量X 的概率分布表得： 0.20.30.31a +++=，解得0.2a =. 故答案为：0.2【点睛】本题考查的是分布列的性质，较简单. 14．49【分析】由二项分布的特征，先求出13p =，套公式即可求出D (ξ). 【详解】因为随机变量ξ~B (2，p )，且P (ξ≥1)=59，所以P (ξ≥1)=()11P ξ-<= ()10P ξ-==()25119p --=. 解得：13p =. 所以D (ξ)()12412339np p =-=⨯⨯=.故答案为：4915．9【分析】设出公差，根据等差数列的性质，表示出15,a a ，再列式即可求得结果. 【详解】因为{}n a 是等差数列，设公差为d ，可得13532,2a a d a a d =-=+，于是得()()2153322949a a a d a d d =-+=-≤，当且仅当d =0，即153a a ==时，取得最大值. 故答案为：9.【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题. 16．1443125##0.04608 【分析】认真分析该选手所有可能的答题情况，是本题的关键【详解】由该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，说明他第4、第5两个问题是连续答对的，第3个问题没有答对，第1和第2两个问题也没有全部答对，即他答题结果可能有三种情况：⨯⨯⨯√√或⨯√⨯√√或√⨯⨯√√，根据独立事件同时发生的概率公式，可得该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮的概率为0.20.20.20.80.8+0.20.80.20.80.8+0.80.20.20.80.8=0.04608⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯故答案为：0.04608 17．0.74【详解】试题分析：x 表示人数，(2)(2)(3)(4)(5)P x P x P x P x P x ≥==+=+=+≥0.30.30.10.040.74=+++=.考点：互斥事件的概率.18．【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积．【详解】因为2AB =，BC =90ABC ∠=︒，所以4AC ==，所以三角形外接圆半径22ACr ==，又球心O 到截面ABC 的距离为R =球体积为(334433V R ππ==⨯=．故答案为：．19．（℃）（℃）（℃）见解析【详解】试题分析：（℃）由正方形的性质得1AC AA ⊥，然后由面面垂直的性质定理可证得结果；（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，利用中位线定理可得1DE AC ，进而得出DE 面11AAC C ；（℃）利用二面角的定义先确定11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角，易求得11tan C A C ∠，从而求得二面角的平面角为的度数．试题解析：（℃）因为四边形11AAC C 为正方形，所以1AC AA ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（℃）当点E 是线段1AB 的中点时，有DE 面11AAC C ， 连结1AB 交1AB 于点E ，连结BC ，因为点E 是1AB 中点，点⊄是线段DE 的中点，所以1DE AC ． 又因为BC ⊂面11AAC C ，11A C 面11AAC C ，所以DE 面11AAC C .（℃）因为1AA ⊥平面ABC ，所以.又因为，所以面11AAC C ，所以11A B ⊥面11AAC C ，所以11A B ⊥1A C ，11A B ⊥11A C ，所以11C AC ∠是二面角111C A B C --的平面角， 易得，所以二面角111C A B C --的平面角为45°.考点：1、线面垂直的判定；2、线面平行的判定；2、二面角．【方法点睛】立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．解决这类问题时一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在假设下进行推理，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设． 20．12600【详解】问题等价于编号为1,2,3,10的10个小球排列，其中2,3号，4,5,6号，7,8,9,10号的排列顺序是固定的，据此可得：将这些气球都打破的不同打法数是101023423412600A A A A =⨯⨯. 21．（1）℃；（2）证明见解析；（3）125n =，证明见解析．【解析】（1）℃根据新定义直接计算．℃根据新定义，写出等式两边的表达式，观察它们是否相同，即可判断；℃由新定义写出等式()(),,d A B d A C =的表达式，观察有无AB AC =； （2）由新定义，写出不等式两边的表达式，根据绝对值的性质证明；（3）根据新定义，及绝对值的性质得P 点是以AB 为对角线的正方体的表面和内部的整数点，共125个，把它们分布在五个平面(0,1,2,3,4)z =上，这五个面一个面取3个点，相邻面上取一个点，以它们为顶点构成三棱锥（能构成时），棱锥的体积不超过83，然后任取11点中如果没有4点共面，但至少有一个平面内有3个点．根据这3点所在平面分类讨论可得． 【详解】（1）当2n =时，℃若()1,2A ，()4,6B ，则(),41627d A B =-+-=，℃正确；℃在ABC 中，若90C =∠，则222AC BC AB +=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，所以222222131323231212()()()()()()x x y y x x y y x x y y -+-+-+-=-+-而()2221212121221212()()()2)),((x x y y x x y y d A x B x y y =⎡⎤⎣-+-+⎦=--+--， ()()22,,d A C d C B ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦22221313232313132323()()()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y x x y y -+-+-+-+--+--，但1313232312122()()2()()2()()x x y y x x y y x x y y --+--=--不一定成立，℃错误； ℃在ABC 中，若()(),,d A B d A C =，在℃中的点坐标，有12121313x x y y x x y y -+-=-+-，但1212131322x x y y x x y y -⋅-=-⋅-不一定成立，因此AB AC =不一定成立，从而B C ∠=∠不一定成立，℃错误．空格处填℃（2）证明：设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，根据绝对值的性质有132312x x x x x x -+-≥-，132312y y y y y y -+-≥-，所以(,)(,)(,)d A C d B C d A B +≥．,（3）(,)12d A B =，44,44,44x x y y z z +-≥+-≥+-≥，所以(,)(,)12d A P d B P +≥，当且仅当以上三个等号同时成立，(,)(,)12d A P d B P +=又由已知()()(),,,d A P d P B d A B +=，℃04,04,04x y z ≤≤≤≤≤≤， 又,,x y z Z ∈，℃,,0,1,2,3,4x y z =，555125⨯⨯=，点P 是以AB 为对角线的正方体内部（含面上）的整数点，共125个，125n =． 这125个点在0,1,2,3,4z z z z z =====这五面内．这三个平面内，一个面上取不共线的3点，相邻面上再取一点构成一个三棱锥．则这个三棱锥的体积最大为118441323V =⨯⨯⨯⨯=，现在任取11个点，若有四点共面，则命题已成立，若其中无4点共面，但11个点分在5个平面上至少有一个平面内有3个点（显然不共线），若这三点在1,2,3z z z ===这三个平面中的一个上，与这个面相邻的两个面上如果有一点，那么这一点与平面上的三点这四点可构成三棱锥的四个顶点，其体积不超过83，否则还有8个点在平面0z =和4z =上，不合题意，若这三个点在平面0z =或5z =上，不妨设在平面0z =，若在平面1z =在一个点，则同样四点构成的三棱锥体积不超过83，否则剩下的8个点在2,3,4z z z ===三个平面上，只能是3，3，2分布，不管哪一种分布都有四点构成的三棱锥体积不超过83，综上，任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于83.【点睛】关键点点睛：本题新定义距离(,)d A B ，解题关键是利用新定义转化为绝对值，利用绝对值的性质解决一些问题．本题还考查了抽屉原理，11个放在5个平面上，至少有一个平面内至少有3点，由此分类讨论可证明结论成立． 22．(1)该市应该作出减少作业时长的决策； (2)分布列见解析；期望为167.【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图，分别求出中位数和平均数，即可求解； （2）根据题意，结合分层抽样以及离散型随机变量的分布列与期望求法，即可求解. (1)作业时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对立的值，设为x ．0.01100.01100.02100.5⨯+⨯+⨯<． 0.01100.01100.02100.03100.5⨯+⨯+⨯+⨯>，()0.01100.01100.02100.03800.5x ∴⨯+⨯+⨯+⨯-=．解得2503x =，即中位数的故计值2503分钟．又作业时长平均数估计值为0.0110550.0110650.021075⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2500.0310850.031095813+⨯⨯+⨯⨯=<． 因为中位数的估计值2503分钟大于平均数估计值81分钟， 所以，根据这次调查，该市应该作出减少作业时长的决策. (2)由题，作业时长在70分钟以上（含70分钟）为[90.100]，[80,90)，[70,80)三个区间，其频率比为3：3：2，分别对应A ，B ，C 三个层次．根据分层抽样的方法，易知各层次抽取的人数分别为3，3，2， 因此X 的所有可能值为1，2，3．因为333821(1)28C P X C ⨯===，111233389(3)28C C C P X C ⋅⋅===， 121221333232382229(2)14C C C C C C P X C ⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅===， 所以X 的分在列为：故数学期望19916()1232814287E X =⨯+⨯+⨯=. 23．(1)乙城市更应该入围“国家文明城市”．理由见解析． (2)425； (3)分布列见解析，期望为1．【分析】（1）根据得分的平均值与方差说明，极差最值也可用来说明；（2）记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，由()()(|)()()P AC P C P C A P A P A ==计算； （2）X 的可能值是0,1,2，分别求得概率得概率分布列，由期望公式计算出期望． (1)乙城市更应该入围“国家文明城市”． 理由如下：由茎叶图，计算两个城市的得分的均值为 甲：6365987910x +++==，乙：6568927910y +++==，均值相等，方差为甲：222211[(16)(14)19]13610s =-+-++=， 乙：222221[(14)(11)13]59.810s =-+-++=，甲的方差远大于乙的方差，说明乙的得分较稳定，甲极其不稳定，因此乙城市更应该入围“国家文明城市”． (2)记抽到的数据中有大于80分为事件A ，甲城市抽到的分数有大于80分为事件B ，乙城市抽到的分数有大于80分为事件C ，262102()13C P B C =-=，252107()19C P C C =-=，2725()1(1)(1)3927P A =--⨯-=，7()()9P AC P C ==， 所以()()()()749(|)1(|)111252527P AC P C P C A P C A P A P A =-=-=-=-=；(3)乙城市10个人中5个大于80分，5个小于80，X 的可能是0,1,2，252102(0)9C P X C ===，11552105(1)9C C P X C ===，252102(2)9C P X C ===，所以X 的分布列为：52()12199E X =⨯+⨯=．。
2019～2020学年江苏省无锡市高一上学期期末考试数学试题及答案
绝密★启用前江苏省无锡市普通高中2019～2020学年高一年级上学期期末质量监测数学试题2020年1月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．集合A ＝{0，1}，B ＝{1，2，3}，则A U B ＝A ．{1}B ．{1，2，3}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．若集合M ＝{}2k k Z ααπ=∈，,集合N ＝{}k k Z ββπ=∈，,则集合M 与N 的关系是A ．M ⊆NB ．N ⊆MC ．M ＝ND ．M ＜N 3．与向量AB uuu r ＝(1,3)平行的单位向量是A ．(12,B ．(12-,C ．(12,2)或(12-,2-) D ．(12-,2)或(12,2-) 4．已知向量a r ,b r 满足a r ＝(﹣3,1),b r ＝(2,k ),且a r ⊥b r ,则a r ﹣b r 等于 ( )A ．(5,5)B ．(﹣5,﹣5)C ．(﹣5,5)D ．(﹣1,7)5．若扇形的弧长为6cm,圆心角为2弧度,则扇形的面积为A ．6cm 2B ．9cm 2C ．6πcm 2D ．9πcm 26. 已知曲线C 1：y ＝cos x ,C 2：y ＝cos(2x ﹣3π),则下列结论正确的是 A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π个单位长度,得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移 3π个单位长度,得到曲线C 2C ．把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移23π 个单位长度,得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移3π 个单位长度,得到曲线C 2 7．某互联网公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30）A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年8．函数233()x xf x x --=的图象大致为9．已知ω＞0,函数()2sin()f x x ωϕ=+在[2π,56π]上单调递减,则实数ω的取值范围是 A ．(0,1] B ．[12,85] C ．[23,56] D ．[23,85] 10．关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =的周期是π；③函数()y f x =的最⼤值为2；④函数()y f x =在[0,π]上有⼤数个零点．其中所有正确结论的序号是A ．①②B ．①③C ．②④D ．①③④ 11．在平面直角坐标系中,已知点A(0,﹣1),B(0,3),M,N 是x 轴上的两个动点,且MN u u u u r ＝2,则AM BN ⋅u u u u r u u u r 的最小值为A ．﹣4B ．﹣3C ．2D ．312．已知函数2()4f x x x =-,x ∈R,若关于x 的方程()12f x m x =+-恰有4个互异的实数根,则实数m 的取值范围为A ．(0,63-)B ．(0,623+)C ．(2,623-)D ．(2,63+)二、填空题（本大题共4小题, 每小题5分,共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）。
2023-2024学年江苏省无锡市太湖高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市太湖高级中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1．直线（a +1）x +3y +3＝0与直线x +（a ﹣1）y +1＝0平行，则实数a 的值为（ ） A ．﹣2B ．12C ．2D ．2或﹣22．已知点A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →=34OA →+18OB →+18OC →，则P ，A ，B ，C 四点（ ） A ．不共面 B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断3．已知向量a →=(2√3，0，2)，向量b →=(1，0，√3)，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A ．(12，0，√32)B ．(2√3，0，2)C ．(1，0，√3)D ．(√3，0，3)4．若圆x 2+y 2+2x ﹣4y +1＝0被直线2ax ﹣by +2＝0（a ＞0，b ＞0）平分，则1a+1b的最小值为（ ） A ．14B ．9C ．4D ．195．已知平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，∠BAD ＝∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，M 为C 1D 1的中点，则向量AM →的模长为（ ） A ．√15B ．4C ．√17D ．√196．已知A 、B 为椭圆x 24+y 23=1上两点，O 为坐标原点，M （异于点O ）为弦AB 中点，若AB 两点连线斜率为12，则OM 两点连线斜率为（ ） A ．−23B ．−32C ．−34D ．−437．已知点P 是圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝2上的动点，线段AB 是圆C ：（x +1）2+（y +1）2＝4的一条动弦，且|AB|=2√3，则|PA →+PB →|的最大值是（ ） A ．3√2B ．8√2C ．5√2D ．8√2+28．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ．∠BDC ＝90°，BD ＝2AB ＝2CD ＝2，E 是BC 的中点，H 是△ABD 内的动点（含边界），且EH ∥平面ACD ，则CA →⋅EH →的取值范围是（ ）A ．[0，3]B ．[12，3]C ．[12，112]D ．[3，112]二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省无锡市2022高二数学上学期期末考试试题
江苏省无锡市2022高二数学上学期期末考试试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设0a b <<，则下列各不等式一定成立的是 (▲ )A ．22a ab b <<B ．22a ab b >>C ．22a b ab <<D ．22a b ab >>2．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a +b 与向量c ＝(m ，2，n)平行，则实数n 的值是（ ▲）A ．6B ．－6C ．4D ．－44. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ）A ．一鹿、三分鹿之一B ．一鹿C ．三分鹿之二D ．三分鹿之一5.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22=a ，73=S ，则5a 的值为 （ ▲ ）A ．16B ．32C ．8D ．417． 已知关于x 的不等式01)2()4(22≥--+-x a x a 的解集为空集,则实数a 的取值范围是( ▲ )A.]56,2[-B. )56,2[-C. ]2,56(-D. ),2[]2,(+∞⋃--∞ 8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,满足32-=n n a S ，则=6S （▲ ）A ．192B ．96C ．93D ．1899.若正数a 、b 满足()52++=b a ab ，设()()b a b a y ---+=124，则y 的最大值是（ ▲ ）A.12B. -12C. 16D. -1610． 正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AF AE ⋅的值为（ ▲ ）A ．-2B ．4C ．2D ．1(0122>>=+b a by e =，则该离心率e 的取值范围是（ ▲ ） A.[)1,12- B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 C.(]12,0- D. ⎥⎦⎤⎝⎛22,0 12．当n 为正整数时，定义函数()n N 表示n 的最大奇因数。
无锡市青山高级中学2024-2025学年秋学期10月检测数学试题(含答案)
无锡市青山高级中学2024-2025学年秋学期10月检测高二数学一、单选题 1．96i2i i-+的虚部为（ ） A ．7-B ．6-C ．7i -D ．6i -2．如图，若直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则（ ）A ．132k k k <<B ．312k k k <<C ．123k k k <<D ．321k k k <<3．在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（ ） A ．()2,1,4--B ．()2,1,4C ．()2,1,4---D ．()2,1,4-4．设复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，则1iz+的模为（ ）A ．1B ．2C D ．05．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz+=（ ） A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -6．若{},,a b c 和{},,a b b c m +-都为基底，则m 不可以为（ ） A ．aB ．cC ．a c +D ．-a c7．已知直线l 的方向向量为()1,0,2n =r，点()0,1,1A 在直线l 上，若点()1,,2P a 到直线l 的距a =（ ） A ．0B ．2C ．0或2D ．1或28．在棱长为1的正四面体ABCD 中，M 是BC 的中点，且AN DA λ=，()0,1λ∈，则直线AM 与CN 夹角的余弦值的最大值为（ ）A ．23B ．79C D二、多选题9．已知向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，则下列结论正确的是（ ） A ．向量a 与向量b 的夹角为π3B ．()c a b ⊥-C ．向量a 在向量b 上的投影向量为11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．向量c 与向量a ，b 共面10．已知复数1z ，2z ，下列说法正确的有（ ）A ．若12z z =，则12z z =B ．若12z z +∈R ，则12z z =C ．1212z z z z +=+D ．若12=z z ，则12=±z z11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（ ）A ．三棱锥111B A D P -的体积为定值 B ．直线1//B E 平面1A BDC ．当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D ．直线1BE 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23三、填空题12．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别对应复数3＋3i ，－2＋i ，－5i ，则第四个顶点D 的坐标为 ．13．如图，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，60AED ∠=o ,则B ，D 两点间的距离是 ．14．某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为6m 的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中2m AA BB CC DD ''''====），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面ABCD 是正方形，从顶点P 向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为 ．四、解答题15．已知复数()2233i z a a a =--+-，a ∈R ．(1)若z 是纯虚数，求a 的值；(2)若i z +在复平面内对应的点位于第二象限，求a 的取值范围． 16．已知坐标平面内两点()()3,35,21,1M m m N m ++-.(1)当直线MN 的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出m 的取值范围； (2)若直线MN 的方向向量为()1,2023a =-，求m 的值.17．已知正三棱锥P -ABC 的所有棱长均为E ，F 分别为P A ，BC 的中点，点N 在EF 上，且EN =3NF ，设,,PA a PB b PC c ===．(1)用向量,,a b c 表示向量PN uuu r； (2)求PN 与EB 夹角的余弦值．18．已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），存在实数t ，使24i3i z at t+=-成立. (1)求证：2a b +为定值；(2)若|2|z a -≤，求a 的取值范围．19．如图，PD ⊥平面////ABCD AD CD AB CD PQ CD ⊥,,,，222AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：//EF 平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的正弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.参考答案：1．A【分析】根据复数的运算化简得67i --，再根据虚部的定义即可求解．【详解】2296i 9i 6i 2i 2i 69i 2i 67i i i --+=+=--+=--，则所求虚部为7-. 故选：A ． 2．A【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以132k k k <<. 故选：A 3．C【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标为(2,1,4)---. 故选：C. 4．A【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模. 【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为()1,1-,所以1i z =-,所以()()()221i 1i 1i 2i i,i 11i 1i 1i 1i 21i z z --+-====-=-=+++-+.故选：A. 5．A【分析】设复数i z a b =+，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数z ，再由复数的乘除计算即可得到结果；【详解】设复数i z a b =+，所以i z a b =-，又因为复数z 满足23i z z +=+， 所以()i+2i 3i=0a b a b +---，整理可得33010a b -=⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以1i z =-， 所以()()3i 1i 3i 3i 12i 1i 2z ++++===+-， 故选：A. 6．C【分析】假设{},,a b b c m +-不能构成一组基底，可知()(),m a b c λλμμλμ=++-∈R ，依次验证各个选项，确定,λμ是否有取值即可. 【详解】若{},,a b b c m +-不是一组基底，则可设()()()(),m a b b c a b c λμλλμμλμ=++-=++-∈R ，对于A ，若m a =，则100λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，方程组无解，{},,a b b c m ∴+-为基底，A 错误；对于B ，若m c =，则001λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，方程组无解，{},,a b b c m ∴+-为基底，B 错误；对于C ，若m a c =+，则101λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：11λμ=⎧⎨=-⎩，{},,a b b c m ∴+-不是一组基底，C 正确；对于D ，若m a c =-，则101λλμμ=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩，方程组无解，{},,a b b c m ∴+-为基底，D 错误.故选：C. 7．C【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解.【详解】由题意得()1,1,1AP a =-，所以点P 到直线l222n AP AP n ⎛⎫-⋅=+= ⎪⎝⎭，解得0a =或2. 故选：C 8．C【分析】选取{},,AB AC AD 为基底，将,AM CN 进行分解，可表示出：1324AM CN λ⋅=--，32AM =2CN λ=. 【详解】如图所示，延长DA ，使得1DA AD =，由题意点N 在线段1AD 上（不包含端点），选取{},,AB AC AD 为基底，由题意222111,1122AB AC AD AB AC AC AD AD AB ===⋅=⋅=⋅=⋅⋅=，而()1,2AM AB AC CN CA AN AC AD λ=+=+=--，()0,1λ∈ 从而2111113222224AM CN AB AC AD AB AC AC AD λλλ⋅=-⋅-⋅--⋅=--，()22211121222AM AB ACAB AC AB AC =+=++⋅==()22222CN AC ADAC AD AC AD λλλλ=--=++⋅=所以13cos ,3AM CN AM CN AM CNλ+⋅==⋅，设1324t λ=+，因为()0,1λ∈，所以35,44t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而322t λ=-，因为13cos ,3AM CNλ+====设1=u t，则44,53u ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos ,AM CN ==当且仅当844,753u ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即713824t λ==+，即14λ=时，27812477u ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为127，所以当且仅当14λ=时，max cos ,AM CN=故选：C.【点睛】关键点点睛：关键是表示出：1324AM CN λ⋅=--，32AM =，2CN λ=进一步得出13cos ,3AM CN λ+=.9．ABD【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A ；由向量相乘为0可得向量垂直B 正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C 错误，c a b =+得出向量共面判断D.【详解】因为1011101b a ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以cos ,1b a b a =， 可得221cos ,211b a ==++，则向量a 与向量b 的夹角为π3，故A 正确； 因为()()()()1,2,11,0,11120110c a b ⋅-=⋅-=⨯+⨯+⨯-=， 所以()c a b ⊥-，即B 正确；根据投影向量的定义可知，向量a 在向量b 上的投影向量为()2111cos ,0,1,10,,222b a b a a b b bb⋅⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭，所以C 错误； 由向量()1,1,0a =，()0,1,1b =，()1,2,1c =，可知c a b =+， 向量c 与向量a ，b 共面， 所以D 正确. 故选：ABD 10．AC【分析】设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，根据共轭复数及复数相等的充要条件判断A 、C ，利用特殊值判断B 、D.【详解】设1i z a b =+，2i(,,,R)z c d a b c d =+∈，则2i z c d =-，1i z a b =-，对于A ：因为12z z =，所以a c b d =⎧⎨=-⎩，即a cb d =⎧⎨-=⎩，所以12z z =，故A 正确； 对于B ：令13i z =+，21i z =--，则()123i 1i 2z z +=++--=∈R ， 但是21i z =-+，所以12z z ≠，故B 错误；对于C ：因为()12i z z a c b d +=+-+，()12i z z a c b d +=+-+， 所以1212z z z z +=+，故C 正确；对于D ：令134i z =-，25z =，满足125z z ==，但是12z z ≠±，故D 错误. 故选：AC 11．AD【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E 与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S--==⨯=⨯=,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A B E ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,)2DB DA B E ===---，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠知 n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=-, (0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-, 因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ， 此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠，故1A P 与AC 不垂直，即C 错误； 对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m =，因11(1,1,)2B E =---，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.12．(53),-【详解】对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i ，对应复数为zD－(3＋3i)，在平行四边形ABCD 中，＝，则zD －(3＋3i)＝2－6i ，即zD ＝5－3i ，则点D 的坐标为(5，－3).【考查意图】考查复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则．13【分析】由空间向量的线性运算可得出DB EA ED AB =-+，利用空间向量数量积的运算性质可求得DB ，即为所求．【详解】因为四边形ABFE 、CDEF 都是边长为1的正方形，则AE EF ⊥，DE EF ⊥， 又60AED ∠=o ，则,60EA ED =，因为DB DE EA AB EA ED AB =++=-+，由图易知AB EA ⊥，AB ED ⊥，所以()2DB EA ED AB =-+222222EA ED AB EA ED EA AB ED AB =++-⋅+⋅-⋅cos6000=+-即B ，D 2．14【分析】设AC 与BD 的交点为点O ，以O 为原点，,OA OB ，OP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量以及PA 的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.【详解】设AC 与BD 的交点为点O ，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．由题意可知，2,AB AO PA PO ===∴=故(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(2,0,A B C P PA -=．设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,2,6),(2,0,PB PC =-=-，则有0,0,PB n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩令z =PBC 的一个法向量为(n =-．设PA 与平面PBC 的法向量n 的夹角为θ，则cos 46PA nPA n θ⋅===+则直线PA 与平面PBC15．(1)1a =-(2)()2,3【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由实部小于0与虚部大于0得到不等式组，求出a 的取值范围．【详解】（1）()()2233i z a a a =--+-是纯虚数，故223030a a a ⎧--=⎨-≠⎩，解得1a =-. （2）()2i 232i z a a a +=--+-因为i z +在复平面内对应的点在第二象限，所以223020a a a ⎧--<⎨->⎩，解得23a <<， 故a 的取值范围为 ．16．(1)答案见解析． (2)2024505m =【分析】（1）由斜率为正或为负求解；（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．【详解】（1）直线MN 的倾斜角为锐角时，35103(21)m k m m +-=>+--，解得443m -<<， 直线MN 的倾斜角为钝角时，35103(21)m k m m +-=<+--，解得43m <-或4m >， 所以直线MN 的倾斜角为锐角时，443m -<<，为钝角时，43m <-或4m >； （2）由已知(4,34)MN m m =---，又直线MN 的方向向量为()1,2023a =-，所以2023(4)34m m --=--，解得2024505m =． 17．(1)133888PN a b c =++【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合空间向量基本定理求解，（2）利用基底法表示向量，利用向量的夹角求解线线角即可.【详解】（1）由EN =3NF 可得34EN EF =, 由F 为BC 的中点可得()12PF PB PC =+ ()()1313131324242428PN PE EN PA EF PA PF PE PA PB PC PA =+=+=+-=+⨯+-133133888888PA PB PC a b c =++=++ , 所以133888PN a b c =++ （2）1122EB PB PA b a =-=-，,,a b c 两两夹角为60，模长均为12242a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯=，所以2213311133338882816816816PN EB a b c b a a b a b a b b c a c ⎛⎫⎛⎫⋅=++⋅-=⋅-+-⋅+⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1133334884443816816816=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯=， 2222133199339888646464323232PN a b c a b c a b a c c b ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪=， 222112824EB b a a b a b⎛⎫=-=+-⋅=+ ⎪ 设求PN 与EB 夹角为θ，则cos 6PN EBθPN EB ⋅===18．(1)证明见解析(2)[2,5]【分析】（1）对24i 3i z at t +=-化简整理可得24i 3i a b at t t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合26a b +=运算求解.【详解】（1）∵24i 243i 3i z at at t t t +⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭，则24i 3i a b at t t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 由复数相等243a t b at t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t 得26a b +=， 故2a b +为定值.（2）∵22i z a b -=-+，且|2|z a -≤∴()22202a a b a ≥⎧⎪⎨-+≤⎪⎩， 又∵26a b +=，即62b a =-，则()()222262a a a -+-≤，整理得27100a a -+≤， ∴原不等式组即为207100a a a ≥⎧⎨-+≤⎩，解得[2,5]a ∈，故a 的取值范围为[2,5].19．(1)证明见解析；【分析】（1）连接EM ，证得//EF MC ，利用用线面判定定理，即可得到//EF 平面MPC . （2）以D 为原点，分别以DA DC DP ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面PMQ 和平面MPC 法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． （3）设()01QN QC λλ=≤≤，则()0,1,22N λλ+-，从而()0122DN λλ=+-，，，由（2）知平面PMQ 的法向量为()1101n =，，，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，即可求解．【详解】（1）连接EM ，因为////AB CD PQ CD ，，所以//AB PQ ，又因为AB PQ =，所以PABQ 为平行四边形.由点E 和M 分别为AP 和BQ 的中点，可得//EM AB 且EM AB =，因为//2AB CD CD AB F =，，为 的中点，所以//CF AB 且CF AB =，可得//EM CF 且EM CF =，即四边形EFCM 为平行四边形，所以//EF MC ，又EF ⊄平面MPC ，CM ⊂平面MPC ，所以//EF 平面MPC .（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，可以建立以D 为原点，分别以DA DC DP ，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系.依题意可得()()()()0,0,0,2,0,0,2,1,0,0,2,0D A B C ，()()()0,0,2,0,1,2,1,1,1P Q M . ()()()()1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,2,2PM PQ CM PC =-==-=-，设()1,,n x y z =为平面PMQ 的法向量，则1100n PM n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y +-=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()1=1,0,1n ， 设()2111,,n x y z =为平面MPC 的法向量，则2200n PC n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112200y z x y z -=⎧⎨-+=⎩，不妨设11z =，可得()2=0,1,1n ，. 1212121cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，于是213sin ,2n n =所以，二面角Q PM C --（3）设()01QN QC λλ=≤≤，即()0,,2QN QC λλλ==-，则()0,1,22N λλ+-. 从而()0,1,22DN λλ=+-.由（2）知平面PMQ 的法向量为()11,0,1n =， 由题意，111πsin cos ,6DN n DN n DN n ⋅==⋅，即12=整理得231030λλ-+=，解得13λ=或3λ=， 因为01λ≤≤所以13λ=，所以()1220,1,2333QN QC NCQC =⇒==-. 则N 到平面CPM 的距离为22·23NC n d n ===. 【点睛】。
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高级中学高二年级下册学期3月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年江苏省无锡市太湖高二下学期3月月考数学试题一、单选题1．函数的导数是（ ）()cos 2f x x =A ．B ．C ．D ．2cos 2x 2cos 2x-2sin 2x2sin 2x-D【分析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】令，则.2u x =cos y u =(cos )()(sin )sin .x u x y y u u x u x '''=⋅=⋅=-=-''2222故选：D2．函数f (x )＝ex －ex ，x ∈的单调递增区间是（ ）R A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D【分析】求得，令，即可求得单调增区间.()f x '()0f x '>【详解】由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故的单调增区间为.()f x ()1,+∞故选：D.本题考查利用导数研究函数的单调区间，属简单题.3．2021年重庆市实行“”新高考模式，学生选科时语文、数学、英语三科必选，312++物理、历史两科中选择1科，政治、地理、化学、生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（ ）A ．8种B ．12种C ．15种D ．20种B【分析】先求得物理､历史两科中选择1科的选法，再求得政治､地理､化学､生物四科中选择2科的选法，根据乘法计数原理，即可求得答案.【详解】解：由题意得：物理､历史两科中选择1科，有种选法，122C =政治､地理､化学､生物四科中选择2科，有种选法，246C =所以学生不同的选科方案共有种.2612⨯=故选：B4．已知函数f (x )可导，且满足，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导0(3)l (m2i 3)x f f x x ∆→-+∆=∆数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，，所以()()()()()3333limlim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆.()32f '=-故选：B.5．已知函数的图象在处的切线与函数的图象相切，则实数()2f x x =1x =()e xg x a ==a A BCD．B【分析】先求函数的图象在处的切线，再根据该切线也是函数()2f x x =1x =图象的切线，设出切点即可求解.()e xg x a =【详解】由，得，则，()2f x x =()2f x x'=()12f '=又，所以函数的图象在处的切线为，即.(1)1f =()2f x x =1x =12(1)y x -=-21y x =-设与函数的图象相切于点,21y x =-()e x g x a =00(,)x y 由，可得e ()x g x a '=0000e ()2,e ()21,x x g x a g x x a⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e 22x a ==故选B.本题考查导数的几何意义与函数图象的切线问题.已知切点时，可以直接利用导数求解；切点未知时，一般设出切点，再利用导数和切点同时在切线和函数图象上列方程(组)求解.6．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，25C 看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方254!240C ⨯=案，故选：C.本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7．设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最x t =2(),()ln f x x g x x ==,M N MN 小时的值为tA ．1B ．CD 12D【详解】由题，不妨令，则，令2ln MN x x=-(0)x >2()ln h x x x =-1'()2h x x x =-解得时，，当时，，所'()0h x =x x ∈'()0h x <)x ∈+∞'()0h x >以当时，达到最小．即．x =MN t =8．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则()f x ()0+∞，()*()k f x y k x =∈N ()0+∞，称为“阶比增函数”．若函数为“阶比增函数"，则实数的()f x k 2()ln f x m x x x =+-1m 取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭A【分析】由题知在上为增函数，故令()ln f x mx x x x =+-()0+∞，，进而在上恒成立，()ln ,0mg x x x x x =+->()2221'10m x x m g x x x x --=-+-=≥()0+∞，即在上恒成立，再求函数最值即可．2m x x ≤-()0+∞，()2,0y x x x =-∈+∞，【详解】解：因为函数为“阶比增函数”，2()ln f x m x x x =+-1所以函数在上为增函数，()ln f x mx x x x =+-()0+∞，所以令，()ln ,0mg x x x x x =+->故在上恒成立，()2221'10m x x mg x x x x --=-+-=≥()0+∞，所以在上恒成立，2m x x ≤-()0+∞，由于，()22111,0244y x x x x ⎛⎫=-=--≥-∈+∞ ⎪⎝⎭，所以.()2min14m x x ≤-=-故实数的取值范围是m 1,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦故选：A 二、多选题9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）()y f x =()y f x '=A ．函数在处取得最小值B ．是函数的极值点()y f x =4x =-0x =()y f x =C ．在区间上单调递增D ．在处切线的斜率大于零()y f x =(4,1)-()y f x =1x =ACD【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，(,4)x ∈-∞-()0f x '<(4,)x ∈-+∞，()0f x '≥函数在上单调递减，在上单调递增，且故C 正确；∴()y f x =(,4)-∞-(4,)-+∞易知函数在处取得最小值，故正确；()y f x =4x =-A 在上单调递增，故不是函数的极值点，故B 不正确； (4,)-+∞0x =()y f x =函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D 正确.()y f x =1x =∴故选：ACD ．10．函数的一个零点在区间内，则实数a 的可能取值是（ ）2()2x f x ax =--(1,2)A ．0B ．1C ．2D ．3BC【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定()22x f x a x =--理可得，从而可得结果.()()120f f <【详解】因为函数在定义域上单调递增，22x y y x ==-、{}0x x ≠所以函数在上单调递增，()22x f x a x =--{}0x x ≠由函数的一个零点在区间内，()22x f x a x =--()1,2得，()()()()12(22)(41)30f f a a a a ⨯=----=-⨯-<解得,0<<3a 故选：BC11．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）A ．组成的三位数的个数为60B ．在组成的三位数中，偶数的个数为30C ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20D ．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24BC【分析】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，②个位数为或，然后根024据分步乘法原理及分类加法原理即可判断；对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，②十位为，③十位为，然后根012据分步乘法原理及分类加法原理即可得判断.【详解】对于A ，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为，故A 不正确；124444348A A =⨯⨯=对于B ，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为，则有种，0244312A =⨯=②个位数为或，则有种，24A A A =⨯⨯=11123323318所以在组成的三位数中，偶数的个数为，故B 正确；121830+=对于C 、D ，将这些“凹数”分为三类，①十位为，则有种，0244312A =⨯=②十位为，则有种，123326A =⨯=③十位为，则有种,222212A =⨯=所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为， 故C 正确，D 不正确.126220++=故选：BC.12．已知函数有两个互异的极值点，下列32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()1212,x x x x <说话正确的是（ ）A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．时，在区间上单调递减0a >()f x 12(,)x x D ．时，为极大值，为极小值0a <1()f x 2()f x ABC求导，根据有两个互异的极值点逐项验证.2()32f x ax bx c '=++()f x ()1212,x x x x <【详解】因为函数，32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠所以，2()32f x ax bx c '=++因为有两个互异的极值点，()f x ()1212,x x x x <所以，故A 正确；()()22212430b ac b ac ∆=-=->所以若有三个零点则，故B 正确；()f x 12()()0f x f x <当时，开口向上，则时，，所以区0a >2()32f x ax bx c '=++12(,)x x x ∈()0f x '<()f x 间上单调递减，故C 正确；12(,)x x 当时，当或时，，当时，，所以为极0a <1x x <2x x >()0f x '<12x x x <<()0f x '>1()f x小值，为极大值，故D 错误；2()f x 故选：ABC本题主要考查导数与函数的极值，导数与函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题13．已知，则________．34m m C C =21889m m m C C C --++=120【分析】根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质m 递推关系及组合数公式即可求解11m m m n n nC C C -+=+【详解】由，得，解得.34mmC C=!!!()!!()!m m m m =--33447m =所以.562188988997677910120m m m C C C C C C C C C --++=++==+=故答案为.12014．若函数的极值点为，则__________．()e xf x x =0x x =()0f x =1e -1e--【分析】根据求导公式和运算法则可得，结合极值点的定义求出()e e x xf x x ='+，进而求出即可.01x =-(1)f -【详解】由题意得，，所以，()e x f x x =()e e x x f x x ='+因为是函数的极值点，0x x =()f x 所以，即，0000()e e 0x x f x x '=+=00e (1)0x x +=解得，易得－1是极小值点，所以.01x =-01()(1)e f x f =-=-故答案为.1e-15．电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，且每人左右两边都有空位的坐法种数为____________．120【分析】根据题意，先排好7个空座位，由于空座位是相同的，形成6个空位是符合条件的，再将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可.【详解】解：10个座位中，除了甲、乙、丙3人的座位，还有7个座位，形成6个空位，所以只需将甲、乙、丙3人安排到这6个空位上即可，故有（种）.36654120A =´´=所以每人左右两边都有空位的坐法种数为.120故120四、双空题16．己知函数，若，且，则实数k 的取值范231,1()1,1x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩n m >()()f n f m k ==围为_______，设，则t 的取值范围为______________．t n m =- 04k <≤171,12⎤⎥⎦【分析】画出函数图象，由图象得出k 的取值范围，用表示出，结合二次函数的n m 性质求得的取值范围.t n m =-【详解】画出图象如下图所示，()fx 当时，，令，解得1x =(1)3114f =⨯+=()2140x x -=>x =因为，()()f n f m k ==由图象可知，；04k <≤由得，，且()(),n m f n f m >=2311m n+=-223n m -=1n <所以，(222121333n t n m n n n n -=-=-=-++<≤结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值为131223n =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭t，当取得最小值为.2133217322312⎛⎫-⨯++= ⎪⎝⎭n =t212133-⨯+=所以的取值范围是.t 171,12⎤-⎥⎦故；.04k <≤171,12⎤⎥⎦五、解答题17．已知函数．2ln y x x =(1)求这个函数的图象在处的切线方程；1x =(2)若过点的直线l 与这个函数图象相切，求l 的方程．(0,0)(1)；1y x =-(2).1e y x=-【分析】(1)令，根据导数的几何意义求出，结合和直线的点斜()y f x =(1)f '(1)0f =式方程即可求出切线方程；(2)设切点为，根据导数的几何意义和两点坐标求直线斜率公式分别求出切2000(,ln )x x x 线的斜率，列出方程，解方程可得，进而求出斜率，利用直线的点斜式方程即10e -=x 可得出结果.【详解】(1)令，则，()y f x =2()ln f x x x =函数的定义域为，，()f x (0,)+∞()2ln f x x x x '=+所以，又，(1)2ln111f '=+=(1)0f =所以函数在处的切线方程为；1x =1y x =-(2)设切点为，2000(,ln )x x x 由(1)知，，0000()2ln f x x x x '=+又直线l 的斜率为，200000ln ln l x x k x x x ==有，解得，0002ln x x x +00ln x x =10e -=x 所以，100ln e l k x x -==-所以直线l 的方程为.1e y x=-18．(1)若，求正整数；33210n n A A =n (2)已知，求.56711710n n nC C C -=8n C (1)8(2)28【分析】（1）利用排列数公式可得，即求；()()()()221221012n n n n n n --=--（2）利用组合数公式可得，即求.223420n n -+=【详解】(1)由得，33210n n A A =，又，()()()()221221012n n n n n n --=--*3,N n n ≥∈∴，即，()()22152n n -=-8n =∴正整数为8.n (2)由得，56711710n n nC C C -=，()()()!5!!6!7!7!5!6!107!n n n n n n --⨯--=⨯∴即，()()6761660n n n ----=223420n n -+=解得或，又，2n =21n =05n ≤≤∴，2n =∴.88228n C C ==19．新冠疫情爆发后，某企业利用部分人工转产口罩.每生产万件(每件5个口罩)，x 需投入固定成本5万元，流动成本万元，当月产量小于7万件时，()C x (万元)；当月产量不小于7万件时，(万元).口()2123C x x x=+()36ln 17e C x x x x =++-罩销售价为6元/件，且生产的口罩能全部售出.（1）写出月利润(万元)关于月产量(万件)的函数解析式；(注：月利润月销售()p x x =收入固定成本流动成本)--（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大月利润是多少？（1）；（2）当月产量约为万件时，所获月利润最大，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩3e 最大利润为8万元.（1）根据月利润等于销售额减去投入总成本减去固定成本，分时和两种07x <<7x ≥情况，得到关于的分段函数关系式；()p x x （2）当时，根据二次函数求最大值的方法求的最大值，当时，根07x <<()p x 7x ≥据函数的单调性求最大值，最后比较取最大的即可.【详解】（1）口罩销售价为6元/件，则万件口罩销售收入为万元.x 6x 依题意得，当时，，07x <<()22116254533p x x x x x x =---=-+-当时，，7x ≥()33661712l ln 5n x e e p x x x x x x ⎛⎫=-++--=--⎪⎝⎭∴，()23145,07312ln ,7x x x p x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（2）当时，，07x <<()()21673p x x =--+∴当时，的最大值为(万元)，6x =()p x ()67p =当时，，∴，7x ≥()3ln 12x e p x x =--()33221e e xp x x x x -'=-+=∴当时，单调递增，当，单调递减，37x e ≤<()p x 3x e ≥()p x ∴当时，取最大值(万元)，3x e =()p x ()3312ln 18p e e=--=∵，∴当时，取得最大值8万元，87>3x e =()p x 当月产量约为万件时，所获月利润最大，最大利润为8万元.3e 本题主要考查了根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及利用函数的单调性求最值的能力，属于中档题.20．设函数．()()1ln 0f x ax x a x=+>（1）当时，求的极值；1a =()f x（2）如果≥在上恒成立，求实数的取值范围．()f x ax ()0,∞+a （1）有极小值，没有极大值；（2）．()11f =20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【详解】试题分析：（1）当时，求导令导函数等于零，列表，通过表格找到函数1a =极值即可；（2）求恒成立问题一般要分离参数，构造函数求其最小值，只需最小值大于零即可求出取值范围.a 试题解析：（1）由已知，当时，，∴，1a =()1ln f x x x x =+()21ln 1f x x x +-'=()312f x x x +'=>'∴在上单调递增，且，()f x '()0,+∞()10f '=，随变化如下表：()f x '()f x x x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x ↘极小值↗∴有极小值，没有极大值． ()f x ()11f =（2）（方法一）由题可得恒成立，()211ln a x x -≤当时，上式恒成立；x e ≥当时，，又，故0x e <<()211ln a x x ≤-0a >()211ln x x a≥-令，则， 令，()()21ln h x x x =-()()12ln h x x x =-'()0h x '=x =∴当 时， ，0x <<()0h x '>x e <<()0h x '<∴，()(max 12eh x he ==-=∴，解得：，∴的取值范围是． 12ea ≥20a e <≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法二）由题可得， 设，则，()()1ln ,0g x ax x ax x x =+->()21ln g x a x x ='-∵，∴在上单调递增，，，0a >()g x '()0,+∞()110g '=-<12110a ag e e ⎛⎫=-> ⎪'⎝⎭∴使得，则， 101,a x e ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x '=2001ln a x x =由知，且时， ，时， ，0a >01x >00x x <<()0g x '<0x x >()0g x '>∴，∴，∴∴，()()00min 002ln 10ln x g x g x x x -==≥01ln 2x ≥0x ≥2a e ≤∴的取值范围是．a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦（方法三）由题可得恒成立，()21ln 0f x a ax a xx -=+-≥令，则， ()21ln h x a x a x =+-()h x'=∴时， ，0x<<()0h x '<x >，∴，()0h x '>()min 20h x a a ==≥∴，解得：，∴的取值范围是． 2ln 1a ≥2a e ≤a 20,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦21．如图，从左到右共有5个空格.（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？（1）36个；（2）48种；（3）16800种.【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，12C 13C 共有个五位奇数.11323336C C A =（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，共有种涂色方案.43248⨯=（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，37C 在5个位置全排列有种方法；35754200C A =7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，227522C C A 在5个位置全排列有种方法；2257552212600C C A A =所以共有种方法.42001260016800+=22．已知函数．323()22f x x ax b=-+(1)讨论的单调性；()f x (2)是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为？若存在，求出,a b ()f x [0,1]1-1a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．(1)当时，)在上单调递增，在上单调递减；0a >()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，在单调递增.0a =()f x (),-∞+∞当时，)在上单调递增，在上单调递减.0a <()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)或0,1a b ==-8,13a b ==【分析】（1）由，得出，求出的两根，比较根的大小并分类讨论，()f x ()'f x ()0f x '=进而求出函数的单调性；()f x （2）利用（1）中的单调区间讨论在上的最值，最终确定参数的值.()f x ()f x []0,1,a b 【详解】(1)由，得.323()22f x x ax b =-+()2()6332f x x ax x x a '=-=-令，即，解得或.()0f x '=()320x x a -=0x =2a x =若，则当时，；0a >(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),0,,2a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，则在上恒成立，0a =2()60f x x '=≥R 所以在单调递增.()f x (),-∞+∞若，则当时，；0a <(),0,2a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭ ()0f x '>当时，.,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<所以)在上单调递增，在上单调递减.()f x (),,0,2a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)满足题设条件的存在.,a b 当时，由（1）知，在单调递增，0a ≤()f x []0,1所以在区间的最小值为，最大值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 1b =-3212a b -+=0,1a b ==-当即时，由（1）知，在单调递减，12a≥2a ≥()f x []0,1所以在区间的最大值为，最小值为.()f x []0,1()0f b =()3122f a b =-+此时满足题设条件当且仅当，，即.,a b 3212a b -+=-1b =8,13a b ==(ii)当即时，由（1）知，012a<<02a <<)在上单调递减，在上单调递增.()f x 0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，取得极小值即为的最小值，2ax =()f x ()f x 3233()222228a a a a f a b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为或.()f x ()0f b =()3122f a b =-+若，，则矛盾.318a b -+=-1b =a =02a <<若，则或，与矛盾318a b -+=-3212a b -+=a =a =-0a =02a <<综上，当或时，在区间的最小值为且最大值为.0,1a b ==-8,13a b ==()f x [0,1]1-1。
江苏省无锡市锡山高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段学情调研数学试题
江苏省无锡市锡山高级中学2024-2025学年高二上学期10月阶段学情调研数学试题一、单选题1．设m 为实数，已知直线1l ：220mx y +-=，2l ：()5350x m y +--=，若12//l l ，则m =（ ） A ．5-B ．2C ．2或5-D ．5或2-2．已知椭圆的2214x y m +=的焦距为2，则m 的值为（ ）A ．5 BC ．3或5D 或 33．若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c ，则b c =（ ）AB C D 4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3,0A ，动点(),P x y 满足2PA PO=，则动点P 的轨迹与圆()()22111x y -+-=的位置关系是（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切5．设P 为椭圆22149x y +=上的任意一点，1F ，2F 为其上、下焦点，则12PF PF ⋅的最大值是（ ） A ．4B ．6C ．9D ．126．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过点A 的直线l 与双曲线有且仅有一个交点()B （非切点），则该双曲线的方程为（ ） A ．22163x y -=B ．2214x y -=C ．22312x y -=D ．227x y -=7．已知O 为坐标原点，双曲线C 的渐近线方程是y =，且经过点(M ，过C 的右焦点F 的直线与C 两条渐近线分别交于点A ，B ，以OA 为直径的圆M 过点B ，则下列说法不正确的是（ ）A ．双曲线的标准方程为22193x y -=B ．直线AB 的倾斜角为π3或2π3C ．圆M 的面积等于9πD ．OAF △与OAB △的面积之比为2:58．设直线 :10l x y +-=， 一束光线从原点 O 出发沿射线 ()0y kx x =≥ 向直线 l 射出， 经 l 反射后与 x 轴交于点 M ， 再次经 x 轴反射后与 y 轴交于点 N . 若MN =， 则 k 的值为（ ） A ．32B ．23C ．12D ．13二、多选题9．设1F ，2F 是椭圆2211612x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，且122PF PF -=．则下列说法中正确的是（ ） A ．15PF =，23PF = B ．12PF F V 为直角三角形 C ．12PF F V 的面积为6D ．12PF F V 的面积为1210．已知圆22:4O x y +=，则（ ）A ．圆O 与直线10mx y m +--=必有两个交点B ．圆O 上存在4个点到直线:0l x y -=的距离都等于1C ．圆O 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．动点P 在直线40x y +-=上，过点P 向圆O 引两条切线，A B ､为切点，则四边形PAOB 面积最小值为211．已知12,F F 为双曲线22:132x y C -=的左、右焦点，过2F 的直线交双曲线C 的右支于P ，Q 两点，则下列叙述正确的是（ ）A ．直线1PF 与直线2PF 的斜率之积为32B ．PQC ．若PQ =1PFQ △的周长为D ．点P 到两条渐近线的距离之积65三、填空题12．过直线4250x y ++=与3290x y -+=的交点，且垂直于直线210x y ++=的直线方程是. 13．若过双曲线焦点且与双曲线实轴线垂直的弦的长等于焦点到渐近线距离的2倍，则此双曲线的离心率为.14．已知椭圆2212516x y +=的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段PF 的中点M在以原点O 为圆心，||OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是．四、解答题15．已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=. (1)若坐标原点O 到直线ma 的值；(2)当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C所截得的弦长为12. (1)求C 的方程；(2)设A ，B 是C 上两点，线段AB 的中点为()5,3M ，求直线AB 的方程.17．已知圆()()22:21C x a y a -+-+=，点()3,0A ，O 为坐标原点.(1)若1a =，求圆C 过A 点的切线方程；(2)若直线:10l x y -+=与圆C 交于M ，N 两点，且32OM ON ⋅=u u u u r u u u r，求a 的值； (3)若圆C 上存在点P ，满足2OP AP =，求a 的取值范围.18．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为12,F F ，短轴的其中一个端点为1B ，长轴端点为12,A A ，且112B F F △(1)求椭圆1C 的方程及离心率；(2)如图，直线:l y kx m =+与椭圆1C 有唯一的公共点M ，过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴，y 轴于()(),0,0,A x B y 两点．当点M 运动时，求点P x ,y 的轨迹方程．19．平面直角坐标系中，圆M 经过点)A ，()0,4B ，()2,2C -.(1)求圆M 的标准方程；(2)设D 0,1 ，过点D 作直线1l ，交圆M 于PQ 两点，PQ 不在y 轴上.①过点D 作与直线1l 垂直的直线2l ，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；②设直线OP ，BQ 相交于点N ，试证明点N 在定直线上，求出该直线方程.。
2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过A （2，0），B （3，3）两点的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．双曲线4y 2﹣3x 2＝12上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于（ ） A ．2√3+1B ．2√3−1C ．3D ．53．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，过P （﹣1，2）作圆C 的切线，则切线长为（ ） A ．√5B ．√7C ．3D ．44．已知空间三点A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5），则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．7B ．7√3C ．√14D ．√1425．斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB 的长为8，则p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．36．在棱长为a 的正四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则|MN →|2为（ ） A ．1336a 2B ．512a 2C ．1736a 2D ．1936a 27．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的面积为πab ，求满足（x 2+2y 2﹣2）（2x 2+y 2﹣1）≤0的点P （x ，y ）所构成的平面图形的面积为（ ） A ．3√22π B ．√2π C ．√2π2D ．2π8．在平面直角坐标系xOy 中，设A （1，0），B （3，4），C(12，−1)，动点P 满足PA →⋅PB →=−1，则tan ∠PCA 最大值为（ ） A ．2√2121B ．4√2929C ．√33D ．√22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，b →−c → B ．a →+b →，a →−b →，c → C ．a →，a →+b →，a →−b →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →10．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则（ ） A ．双曲线C 1的渐近线为y =±√33x B ．双曲线C 1的渐近线为y =±√3xC ．抛物线C 2的方程为x 2＝8yD ．抛物线C 2的方程为x 2＝16y11．已知3b ＝2a +c ，点P 到直线l ：ax +by +c ＝0的垂足为M ，P （﹣1，0），N （2，1），则（ ） A ．直线l 过定点B ．点P 到直线l 的最大距离为3√2C ．MN 的最大值为4√2D ．MN 的最小值为√212．过椭圆x 24+y 23=1的右焦点F 2作一条直线，交椭圆于A 、B 两点，则△F 1AB 的内切圆面积可能是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知双曲线的方程为x 2k+2+y 23−k=1，则k 的取值范围是 ．14．已知点A （2，3），B （﹣5，2），若过点C （﹣1，5）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．15．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1靠近D 1的三等分点．F 为线段BB 1靠近B 的三等分点，则直线FC 1到平面AB 1E 的距离为 ． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（（a ＞b ＞0）），F 1、F 2为椭圆的左右焦点，A 为椭圆上一点，连接AF 1并延长交椭圆于另一点B ，若|AF 2|＝2|AF 1|，|BF 2|＝3|BF 1|，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l ：x ﹣2y +1＝0，点A （2，2）．（1）已知直线l 与l ′：ax ﹣（a 2﹣3）y ﹣1＝0平行，求a 的值； （2）求点A （2，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标．18．（12分）已知过点A （1，3）的圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（0＜a ＜2）的圆心在直线y ＝2x 上，且与直线3x ﹣4y ＝0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过点（1，0）且被圆C 截得的弦长为√3的直线l 的斜率k ．19．（12分）在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，点E 为棱CC 1上靠近C 的三等分点，点F 在棱AA 1上靠近点A 1的三等分点． （1）求证：点B ，E ，F ，D 1共面； （2）求点D 1到EF 的距离．20．（12分）已知椭圆C ：x 22+y 2=1，右焦点为F ，点A 、B 分别为左右顶点过点F 的直线l 与椭圆C交于P 、Q 两点，其中点P 在x 轴上方．（1）若四边形AQBP 的面积为85，求直线l 的斜率；（2）设直线BQ 的斜率为k 1，BP 的斜率为k 2，求k 1k 2的值．21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝3，E 是棱PB 上一点．（1）若E 为PB 的中点，求直线PB 与平面AEC 所成角的正弦值； （2）若平面AEC 与平面PBC 的夹角的余弦值为3√2626，求点E 的位置．22．（12分）已知直线l 方程为x =1c，点F （c ，0），点M 到点F 的距离与到直线l 的距离之比为c ，c ＞1．（1）求点M 的轨迹C 的方程（用c 表示）；（2）若斜率为﹣2的动直线m 与（1）中轨迹C 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中x 1＞0，x 2＞0．点P （c ，y 0）（y 0＞0）在轨迹C 上，且直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、E 两点，若恒有PD ＝PE ，求c 的值．2023-2024学年江苏省无锡市辅仁高级中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．经过A （2，0），B （3，3）两点的直线的方向向量为（1，k ），则k 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：由A （2，0），B （3，3），得AB →=(1，3)，∵经过A （2，0），B （3，3）两点的直线的方向向量为（1，k ），∴k ＝3． 故选：C ．2．双曲线4y 2﹣3x 2＝12上一点P 与它的一个焦点的距离等于1，那么点P 与另一个焦点的距离等于（ ） A ．2√3+1B ．2√3−1C ．3D ．5解：由4y 2﹣3x 2＝12，得y 23−x 24=1，所以a 2＝3，即a =√3，设点P 与另一个焦点的距离为x ，因为P 与它的一个焦点的距离等于1， 所以由双曲线定义知：|x −1|=2√3，解得x =2√3+1，x =1−2√3（舍）， 所以点P 与另一个焦点的距离为x =2√3+1． 故选：A ．3．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，过P （﹣1，2）作圆C 的切线，则切线长为（ ） A ．√5B ．√7C ．3D ．4解：根据题意，圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝1，其圆心C （1，0），半径r ＝1， ∴|PC|=√(1+1)2+(0−2)2=2√2，切线长为√|PC|2−r 2=√8−1=√7． 故选：B ．4．已知空间三点A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5），则以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为（ ） A ．7B ．7√3C ．√14D ．√142解：因为A （0，2，3），B （﹣2，1，6），C （1，﹣1，5）， 所以AB →=(−2，−1，3)，AC →=(1，−3，2)， 所以|AB →|=√14，|AC →|=√14， 所以cos ∠BAC =AB →⋅AC→|AB →|⋅|AC →|=−2×1+(−1)×(−3)+2×3√14⋅√14=12，所以∠BAC ＝60°，平行四边形面积为2S △ABC ，在△ABC 中由正弦定理有：S △ABC =12|AB →|⋅|AC →|⋅sin∠BAC ，设平行四边形的面积为S ，所以S =√14⋅√14⋅sin60°=7√3． 故选：B ．5．斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，线段AB 的长为8，则p 的值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3解：设点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），设直线l 方程为y =x −p2，联立方程：{y =x −p2y 2=2px，可得：y 2﹣2py ﹣p 2＝0，y 1+y 2=2p ，y 1y 2=−p 2，所以|AB |=√1+1k2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√2×√(2p)2−4(−p 2)=4p =8，解得p ＝2．故选：C ．6．在棱长为a 的正四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则|MN →|2为（ ） A ．1336a 2B ．512a 2C ．1736a 2D ．1936a 2解：在棱长为a 的正四面体OABC 中，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点， 由题作图如下：∵OM ＝2MA ，∴MA →=13OA →，∵N 为BC 的中点，∴BN →=12BC →，∴MN →=MA →+AB →+BN →=13OA →+AB →+12BC →=−13AO →+AB →+12(AC →−AB →)=−13AO →+12AC →+12AB →，∵四面体OABC 是正四面体且棱长为a ，∴∠OAB ＝∠OAC ＝∠BAC ＝60°，∴|MN →|2=(−13AO →+12AC →+12AB →)2=19|AO →|2+14|AC →|2+14|AB →|2−13AO →⋅AC →−13AO →⋅AB →+12AC →⋅AB →=19a 2+14a 2+14a 2−13a 2⋅cos60°−13a 2⋅cos60°+12a 2cos60° =1118a 2−16a 2−16a 2+14a 2=1936a 2． ∴|MN →|2为1936a 2．故选：D ． 7．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的面积为πab ，求满足（x 2+2y 2﹣2）（2x 2+y 2﹣1）≤0的点P （x ，y ）所构成的平面图形的面积为（ ） A ．3√22π B ．√2π C ．√2π2D ．2π解：因为点P （x ，y ）满足（x 2+2y 2﹣2）（2x 2+y 2﹣1）≤0，所以{x 2+2y 2−2≥02x 2+y 2−1≤0，或{x 2+2y 2−2≤02x 2+y 2−1≥0，即{x 22+y 2≥1x 212+y 2≤1，或{x 22+y 2≤1x 212+y 2≥1， 所以点P （x ，y ）所构成的平面图形的面积为椭圆x 22+y 2=1与椭圆x 212+y 2=1所夹部分的面积，由题意所求面积为π×√2×1−π×√22×1=√2π2． 故选：C ．8．在平面直角坐标系xOy 中，设A （1，0），B （3，4），C(12，−1)，动点P 满足PA →⋅PB →=−1，则tan ∠PCA 最大值为（ ） A ．2√2121B ．4√2929C ．√33D ．√22解：设点P （x ，y ），则PA →=(1−x ，−y)，PB →=(3−x ，4−y)， 所以PA →⋅PB →=(1−x)(3−x)+(−y)(4−y)=−1， 整理可得（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，所以动点P 的轨迹是以D （2，2）为圆心，2为半径的圆，因为k AC =11−12=2，k AD =2−02−1=2， 所以D ，A ，C 三点共线，如图所示，当PC 与圆相切时，∠PCA 为锐角且最大，此时tan ∠PCA 最大，∠PCA 即∠PCD ， 由题知，|DC|=√(2−12)2+(2+1)2=3√52，此时|PC|=√|DC|2−|DP|2=√292，所以tan ∠PCA =|DP||PC|=2292=4√2929． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →+b →，a →−b →，c →C ．a →，a →+b →，a →−b →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：对于选项A ，∵(b →+c →)+(b →−c →)=2b →，∴向量b →+c →，b →，b →−c →共面，A 不能构成基底； 对于选项B ，向量a →+b →与a →−b →不共线，又向量c →不能用a →+b →和a →−b →表示， 即向量a →+b →，a →−b →，c →不共面，B 能构成基底；对于选项C ，∵(a →+b →)+(a →−b →)=2a →，∴a →，a →+b →，a →−b →共面，C 不能构成基底； 对于选项D ，∵a →+b →+c →=（a →+b →）+c →，∴a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，D 不能构成基底． 故选：ACD ． 10．已知双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2．若抛物线C 2：x 2＝2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则（ ） A ．双曲线C 1的渐近线为y =±√33x B ．双曲线C 1的渐近线为y =±√3xC ．抛物线C 2的方程为x 2＝8yD ．抛物线C 2的方程为x 2＝16y解：因为x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为2， 所以ca=2，即c 2a 2=a 2+b 2a 2=2，所以b 2a 2=3，ba=√3，又x 2＝2py 的焦点坐标为(0，p2)，x 2a 2−y 2b 2=1的渐近线方程为y =±b ax ，即y =±√3x ，由题意得p 2√12+(√3)2=2，所以p ＝8，故C 2的方程为x 2＝16y ． 故选：AD ．11．已知3b ＝2a +c ，点P 到直线l ：ax +by +c ＝0的垂足为M ，P （﹣1，0），N （2，1），则（ ）A ．直线l 过定点B ．点P 到直线l 的最大距离为3√2C ．MN 的最大值为4√2D ．MN 的最小值为√2解：∵3b ＝2a +c ，则ax +by +c ＝ax +by +3b ﹣2a ＝a （x ﹣2）+b （3+y ）＝0， ∴直线l 过定点（2，﹣3），故A 正确；设Q 的坐标为（2，﹣3），则点P 到直线l 的最大距离为|PQ|=√9+9=3√2，故B 正确； 过点P （﹣1，0）作直线l ：ax +by +c ＝0的垂线，垂足为M ，则PM ⊥MQ 恒成立，故M 的轨迹是以PQ 为直径的圆，而P （﹣1，0），Q （2，﹣3），则该圆的圆心为E(12，−32)，半径r =12|PQ|=3√22， 故M 的轨迹方程为(x −12)2+(y +32)2=92， 又由N （2，1），则|NE|=√(2−12)2+(1+32)2=√342＞3√22，故N 在圆外， 故|MN |的最大值为|NE|+r =√34+3√22，最小值为|NE|−r =√34−3√22，故C ，D 错误．故选：AB ． 12．过椭圆x 24+y 23=1的右焦点F 2作一条直线，交椭圆于A 、B 两点，则△F 1AB 的内切圆面积可能是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．52解：椭圆的方程为x 24+y 23=1，所以a ＝2，b =√3，c ＝1，F 2（1，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝4，|BF 1|+|BF 2|＝2a ＝4，而|AF 2|+|BF 2|＝|AB |， 所以|AB |+|BF 1|+|AF 1|＝8， 设△F 1AB 内切圆半径为r ，因为S △ABF 1=12(|AB|+|BF 1|+|AF 1|)⋅r =12|y 1−y 2|⋅|F 1F 2|， ∴r =|y 1−y 2|⋅|F 1F 2||AB|+|BF 1|+|AF 1|=2|y 1−y 2|8=|y 1−y 2|4，设直线AB 的方程为x ＝my +1，联立{x =my +1x 24+y 23=1，消去x 并整理得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0，Δ＝144m 2+144＞0，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， ∴|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√(−6m 3m 2+4)2−4×(−93m 2+4)=√144(m 2+1)9m 4+24m 2+16，令t ＝m 2+1，t ≥1， 则|y 1−y 2|=√144t 9t 2+6t+1=√1449t+1t +6， ∵t ≥1，y =9t +1t单调递增，∴当t ＝1时，y =9t +1t 取得最小值10， ∴|y 1−y 2|max =√14410+6=3， ∴0＜|y 1﹣y 2|≤3，则r ∈(0，34]，所以△F 1AB 的内切圆面积的范围为(0，9π16]，（9π16≈1.77）．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知双曲线的方程为x 2k+2+y 23−k=1，则k 的取值范围是 ．解：∵x 2k+2+y 23−k=1为双曲线方程，∴（k +2）（3﹣k ）＜0，解得k ＜﹣2或k ＞3， ∴k 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．14．已知点A （2，3），B （﹣5，2），若过点C （﹣1，5）的直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．解：如图，直线l 与线段AB 相交，因为k AC =5−3−1−2=−23，k BC =5−2−1+5=34，结合图形可知l 的斜率取值范围是(−∞，−23]∪[34，+∞)． 故答案为：(−∞，−23]∪[34，+∞)．15．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段DD 1靠近D 1的三等分点．F 为线段BB 1靠近B 的三等分点，则直线FC 1到平面AB 1E 的距离为 ． 解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则A （3，0，0），E （0，0，2），F （3，3，1），C 1（0，3，3），B 1（3，3，3）， 所以AE →=(−3，0，2)，FC 1→=(−3，0，2)，所以AE →=FC 1→， 而AE ⊂平面AB 1E ，FC 1⊄平面AB 1E ，故FC 1∥平面AB 1E ， ∴直线FC 1到平面AB 1E 的距离即为点F 到平面AB 1E 的距离， 又AE →=(−3，0，2)，AB 1→=(0，3，3)， 设平面AB 1E 的法向量为n →=(x ，y ，z)，故{n →⋅AE →=0n →⋅AB 1→=0，即{−3x +2z =03y +3z =0，取z ＝3，则n →=(2，−3，3)，又EF →=(3，3，−1)，故点F 到平面AB 1E 的距离为d =|n →⋅EF →|n →||=622=3√2211． 故答案为：3√2211． 16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（（a ＞b ＞0）），F 1、F 2为椭圆的左右焦点，A 为椭圆上一点，连接AF 1并延长交椭圆于另一点B ，若|AF 2|＝2|AF 1|，|BF 2|＝3|BF 1|，则椭圆C 的离心率为 ． 解：如图所示：由题意|AF 2|＝2|AF 1|，|BF 2|＝3|BF 1|，|F 1F 2|＝2c ， 由椭圆定义得：|AF 2|+|AF 1|＝2a ，|BF 2|+|BF 1|＝2a ， 所以|AF 2|=4a 3，|AF 1|=2a 3，|BF 2|=3a 2，|BF 1|=a2， |AB |＝|AF 1|+|BF 1|=2a3+a2=7a6，在△ABF 2中，由余弦定理得cos ∠BAF 2=|AB|2+|AF 2|2−|BF 2|22⋅|AB|⋅|AF 2|=49a 236+16a 29−9a 242×7a 6×4a 3=27， 在△AF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1AF 2=|AF 1|2+|AF 2|2−|F 1F 2|22⋅|AF 1|⋅|AF 2|=4a 29+16a 29−4c22×2a 3×4a3=27，整理得1409a 2−28c 2=329a 2，即3a 2＝7c 2，所以e =ca =√37=√217．故答案为：√217．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知直线l ：x ﹣2y +1＝0，点A （2，2）．（1）已知直线l 与l ′：ax ﹣（a 2﹣3）y ﹣1＝0平行，求a 的值； （2）求点A （2，2）关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：（1）由直线l 平行直线l ′，可得a 2﹣3＝﹣2a ，解得a ＝3或﹣1，当a ＝3时，直线l ′：3x ﹣6y ﹣1＝0符合题意，当a ＝﹣1时，直线l ′：x ﹣2y +1＝0与直线l 重合，不合题意， 所以a 的值为3．（2）设对称点A ′的坐标为（m ，n ），则AA ′中点的坐标为(2+m2，2+n2)，所以可得{m+22−2×n+22+1=0n−2m−2=−2，解得{m =125n =65， 所以A ′的坐标为(125，65)．18．（12分）已知过点A （1，3）的圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2（0＜a ＜2）的圆心在直线y ＝2x 上，且与直线3x ﹣4y ＝0相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）求过点（1，0）且被圆C 截得的弦长为√3的直线l 的斜率k ． 解：（1）因为圆C 过点A （1，3），所以（1﹣a ）2+（3﹣b ）2＝r 2①， 因为圆C 的圆心在直线y ＝2x 上，所以b ＝2a ②， 又因为圆C 与直线3x ﹣4y ＝0相切，所以√32+42=r ③，又0＜a ＜2，则①②③联立解得{a =1b =2r =1，所以圆C 的标准方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1．（2）由题意可得圆心到直线l 的距离d =√12−(√32)2=12，设直线l 方程为y ＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k ＝0， 所以d =|k−2−k|√k +1=12，解得k =±√15．19．（12分）在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为3，点E 为棱CC 1上靠近C 的三等分点，点F 在棱AA 1上靠近点A 1的三等分点． （1）求证：点B ，E ，F ，D 1共面； （2）求点D 1到EF 的距离．解：（1）证明：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，由已知可得：B （2，2，0），E （0，2，1），D 1（0，0，3），F （2，0，2），所以BF →=(0，−2，2)，ED 1→=(0，−2，2)，所以BF →=ED 1→，即向量BF →，ED 1→共线， 所以点B ，E ，F ，D 1共面．（2）由（1）可得：FD 1→=(−2，0，1)，FE →=(−2，2，−1)， 设向量FD 1→，FE →的夹角为θ，则FD 1→⋅FE →=|FD 1→|⋅|FE →|cosθ， 所以r =||FD 1→|⋅cosθ|=|FD 1→⋅FE →||FE →|=1，又|FD 1→|=√4+0+1=√5所以点D 1到直线EF 的距离d =√|FD 1→|2−r 2=√5−1=2． 20．（12分）已知椭圆C ：x 22+y 2=1，右焦点为F ，点A 、B 分别为左右顶点过点F 的直线l 与椭圆C交于P 、Q 两点，其中点P 在x 轴上方．（1）若四边形AQBP 的面积为85，求直线l 的斜率；（2）设直线BQ 的斜率为k 1，BP 的斜率为k 2，求k 1k 2的值． 解：（1）如图，由题知|AB|=2√2，F （1，0），易知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝ty +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），且y 1＞0，y 2＜0，由{x 22+y 2=1x =ty +1，消x 得到（t 2+2）y 2+2ty ﹣1＝0，则Δ＝4t 2+4（t 2+2）＝8（t 2+1）＞0， 由韦达定理得到y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 如图，四边形AQBP 的面积S =S △PAB +S △QAB =12|AB|⋅y 1+12|AB|⋅(−y 2)=√2(y 1−y 2)，又y 1−y 2=√(−2t t 2+2)2+4t 2+2=√8(t 2+1)t 2+2，所以4√t 2+1t 2+2=85，整理得到4t 4﹣9t 2﹣9＝0， 解得t 2＝3或t 2=−34（舍）， 即t =±√3，所以直线l 的斜率为±√33；（2）易知B(√2，0)，所以k 1=2x 2−√2k 2=1x 1−√2， 所以k 1k 2=12(x 1−√2)(x 2−√2)=12x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2，由（1）知y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1+y 2=−2t t 2+2，y 1y 2=−1t 2+2， 又x 1x 2=(ty 1+1)(ty 2+1)=t 2y 1y 2+t(y 1+y 2)+1=−t 2t 2+2+−2t 2t 2+2+1=2−2t 2t 2+2，x 1+x 2=t(y 1+y 2)+2=−2t 2t 2+2+2=4t 2+2，所以k 1k 2=12x 1x 2−√2(x 1+x 2)+2=−1t 2+22−2t 2t 2+2−√2×4t 2+2+2=−12−2t 2−4√2+2t 2+4=−32−√2，所以k 1k 2的值为−32−√2．21．（12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是边长为2的正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝3，E 是棱PB 上一点．（1）若E 为PB 的中点，求直线PB 与平面AEC 所成角的正弦值；（2）若平面AEC 与平面PBC 的夹角的余弦值为3√2626，求点E 的位置．解：（1）如图，分别以DA →，DC →，DP →为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，P(0，0，3)，E(1，1，32)．所以PB →=(2，2，−3)，AE →=(−1，1，32)，AC →=(−2，2，0)，设平面AEC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则n →⊥AE →，n →⊥AC →，所以{n →⋅AE →=−x +y +32z =0n →⋅AC →=−2x +2y =0， 解得z ＝0，取x ＝1，则y ＝1，所以n →=(1，1，0)． 设直线PB 与平面AEC 所成角为θ， 则sinθ=|cos〈PB →，n →〉|=17×2=217√34．即直线PB 与平面AEC 所成角的正弦值是217√34．（2）如图，设E （a ，b ，c ），BE →=tBP →，则0≤t ≤1，因为B （2，2，0），P （0，0，3），所以（a ﹣2，b ﹣2，c ）＝t （﹣2，﹣2，3），所以E （2﹣2t ，2﹣2t ，3t ），则AE →=(−2t ，2−2t ，3t)，AC →=(−2，2，0)， 设平面AEC 的法向量为m 1→=(x 1，y 1，z 1)，则m 1→⊥AE →，m 1→⊥AC →，所以{m 1→⋅AE →=−2tx 1+(2−2t)y 1+3tz 1=0m 1→⋅AC →=−2x 1+2y 1=0， 取x 1＝3t ，得y 1＝3t ，z 1＝4t ﹣2，所以m 1→=(3t ，3t ，4t −2)．又因为BP →=(−2，−2，3)，BC →=(−2，0，0)， 设平面BPC 的法向量为m 2→=(x 2，y 2，z 2)，则m 2→⊥BP →，m 2→⊥BC →，所以{m 2→⋅BP →=−2x 2−2y 2+3z 2=0m 2→⋅BC →=−2x 2=0， 解得x 2＝0，取y 2＝3，z 2＝2，所以m 2→=(0，3，2)． 设平面AEC 与平面PBC 的夹角为α， 则cosα=3√2626=|cos〈m 1→，m 2→〉|=17t−4√34t −16t+4×√13，解得：t =12或t =−134，因为0≤t ≤1，所以t =12，即当点E 为PB 的中点时，平面AEC 与平面PBC 的夹角的余弦值为3√2626．22．（12分）已知直线l 方程为x =1c，点F （c ，0），点M 到点F 的距离与到直线l 的距离之比为c ，c ＞1．（1）求点M 的轨迹C 的方程（用c 表示）；（2）若斜率为﹣2的动直线m 与（1）中轨迹C 交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），其中x 1＞0，x 2＞0．点P （c ，y 0）（y 0＞0）在轨迹C 上，且直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、E 两点，若恒有PD ＝PE ，求c 的值．解：（1）设M （x ，y ），由已知可得√(x−c)2+y 2|x−1c|=c ，两边平方化简可得x 2（c 2﹣1）﹣y 2＝c 2﹣1，同时除以c 2﹣1可得x 2−y 2c 2−1=1，即点M 的轨迹C 的方程．（2）点P （c ，y 0）（y 0＞0）在轨迹C 上，所以c 2−y 02c 2−1=1，即P （c ，c 2﹣1），因为直线P A 、PB 与x 轴分别交于D 、E 两点，若恒有PD ＝PE ， 所以k P A +k PB ＝0， k PA=y 1−(c 2−1)x 1−c ，k PB =y 2−(c 2−1)x 2−c ，所以y 1−(c 2−1)x 1−c+y 2−(c 2−1)x 2−c=0，通分化简可得x 2y 1+x 1y 2−c(y 1+y 2)+2c(c 2−1)−(c 2−1)(x 1+x 2)=0，① 设斜率为﹣2的动直线m 方程为y ＝﹣2x +n ，所以y1＝﹣2x1+n，y2＝﹣2x2+n，代入①并化简可得：(x1+x2)(n+2c−c2−1)−4x1x2−2nc+2c(c2−1)=0，②又直曲联立可得{x2−y2c2−1=1y=−2x+n，消去y可得（c2﹣5）x2+4nx﹣n2﹣c2+1＝0，其中Δ＝16n2﹣4（c2﹣5）（﹣n2﹣c2+1）＞0，x1+x2=4n5−c2，x1x2=−n2−c2+1c2−5，代入②可得4n5−c2(n+2c−c2−1)−4−n2−c2+1c2−5−2nc+2c(c2−1)=0，化简并整理可得﹣c5+nc3+6c3﹣2c2﹣2nc2﹣nc﹣5c﹣2n+2＝0，因为上述等式恒成立，所以上式中含n项为零，即n（c3﹣2c2﹣c﹣2）＝0即（c﹣2）（c2﹣1）＝0，所以c＝2．。
江苏省无锡市暨阳中学2022-2023学年高二化学期末试题含解析
江苏省无锡市暨阳中学2022-2023学年高二化学期末试题含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 近年来，科学家合成了一系列具有独特化学特性的氢铝化合物（AlH3）n。
已知，最简单的氢铝化合物的分子式为Al2H6，它的熔点为150℃，燃烧热极高。
Al2H6球棍模型如下图。
下列有关说法肯定错误的是A．Al2H6在固态时所形成的晶体是分子晶体B．氢铝化合物可能成为未来的储氢材料和火箭燃料C．Al2H6在空气中完全燃烧，产物为氧化铝和水D．Al2H6中含有离子键和极性共价键参考答案：D2. 某气体在标准状况下的密度是1．25克/升，该气体的相对分子质量为A．26 B．28 C．30D．32参考答案：B3. 常温常压下，取下列四种有机物各1mol，分别在足量的氧气中燃烧，消耗氧气最多的是（）A．C2H5OH B．CH4 C．C2H4O D．C3H8O2参考答案：D略4. 有关AgCl沉淀的溶解平衡说法正确的是．A．AgCl沉淀生成和沉淀溶解不断进行，但速率相等B．AgCl难溶于水，溶液中没有Ag+和C1—C．升高温度，AgCl沉淀的溶解度增大D．向AgCl沉淀中加人NaCl固体，AgCl沉淀的溶解度不变参考答案：AC5. 下列说法中正确的是( )A.1 mol·L－1的NaCl溶液是指此溶液中含有1 mol NaClB.从1L 0.5mol·L-1的NaCl溶液中取出100mL溶液，其物质的量浓度变为0.1mol·L-1C.0℃时，1 mol Cl2的体积约为22.4 LD.1 mol·L－1的CaCl2溶液中，Cl－的物质的量浓度为2 mol·L－1参考答案：D略6. 已知H2（g）、C2H4（g）和C2H5OH（1）的燃烧热分别是-285．8kJ·mol-1、-1411．0kJ·mol-1和-1366．8kJ·mol-1,则由C2H4（g）和H2O（l）反应生成C2H5OH（l）的△H为A．-44．2kJ·mol-1 B．+44．2kJ·mol-1C．-330kJ·mol-1 D．+330kJ·mol-1参考答案：A略7. 下列物质能够发生水解，且水解产物只有一种的是：（）（A）油脂（B）蔗糖（C）麦芽糖（D）阿司匹林参考答案：C略8. 常温下，将足量的AgCl固体分别放入下列液体中，AgCl的溶解度由大到小排列的顺序正确的是（）①20mL蒸馏水②30mL 0.03mol/L HCl溶液③40mL 0.05mol/L AgNO3溶液④50mL 0.02mol/L CaCl2溶液．A．②＞④＞③＞①B．①＞②＞④＞③C．①＞②＞③＞④D．③＞②＞④＞①参考答案：B【考点】难溶电解质的溶解平衡及沉淀转化的本质．【分析】AgCl饱和溶液中存在AgCl（aq）Ag+（aq）+Cl﹣（aq），AgCl的溶解度大小取决于溶液中c（Ag+）或c（Cl﹣），从平衡移动的角度分析．【解答】解：根据c（Ag+）或c（Cl﹣）大小比较AgCl的溶解度，①，c（Ag+）或c（Cl ﹣）越小，AgCl的溶解度越大，①20mL蒸馏水，c（Ag+）或c（Cl﹣）为0；②30mL 0.03mol/L HCl溶液中c（Cl﹣）=0.03mol/L；③40mL 0.05mol/L AgNO3溶液中c（Ag+）=0.05mol/L；④50mL 0.02mol/L CaCl2溶液中c（Cl﹣）=0.04mol/L；则AgCl的溶解度由大到小排列顺序是：①＞②＞④＞③，故选B．【点评】本题考查难溶电解质的溶解平衡，题目难度不大，明确影响难溶物溶解平衡的因素为解答关键，试题培养了学生的分析能力及灵活应用能力．9. 化学与人们的生活和健康密切相关。
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2019-2020学年第一学期高二期末考试数学学科试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设0a b <<，则下列各不等式一定成立的是 (▲ )
A ．22a ab b <<
B ．22a ab b >>
C ．22a b ab <<
D ．22a b ab >>
2．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a +b 与向量c ＝(m ，2，n)平行，则实数n 的值是（ ▲）
A ．6
B ．－6
C ．4
D ．－4
4. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ▲ ）
A ．一鹿、三分鹿之一
B ．一鹿
C ．三分鹿之二
D ．三分鹿之一
5.已知等比数列{}n a 为单调递增数列，设其前n 项和为n S ，若22=a ，73=S ，则5a 的值为 （ ▲ ）
A ．16
B ．32
C ．8
D ．4
1
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ②④
7． 已知关于x 的不等式01)2()4(2
2≥--+-x a x a 的解集为空集,则实数a 的取值范围是( ▲ ) A.]56,2[- B. )56,2[- C. ]2,5
6(- D. ),2[]2,(+∞⋃--∞ 8. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和,满足32-=n n a S ，则=6S （▲ ）
A ．192
B ．96
C ．93
D ．189
9.若正数a 、b 满足()52++=b a ab ，设()()b a b a y ---+=124，则y 的最大值是（ ▲ ）
A.12
B. -12
C. 16
D. -16 10． 正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则AF AE ⋅的值为（ ▲ ）
A ．-2
B ．4
C ．2
D ．1
()0122
>>=+b a b
y 的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为e ,若椭圆上存在点P
,e =，则该离心率e 的取值范围是（ ▲ ） A. [)1,12- B. ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 C. (]12,0- D. ⎥⎦
⎤ ⎝⎛22,0 12．当n 为正整数时，定义函数()n N 表示n 的最大奇因数。
如()33=N ，()510=N ， ()()()()()n N N N N n S 2321+⋅⋅⋅+++=，则()=5S （ ▲ ）
A. 342
B. 345
C. 341
D. 346 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．命题p ：“0>∀x ，都有02≥-x x ”的否定： ▲ .
14．不等式31>-x
x 的解集是___▲_______． 15.已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆19
252
2=+y x 的焦点相同，那么 双曲线的渐近线方程为 ▲
16．已知()1,0,,2
1∈=
b a ab ，那么b a -+-1211的最小值为____▲ ______
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2552=+a a ，555=S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
▲▲▲
18.（本题满分12分）
▲▲▲
19.（本题满分12分）
在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 上的动点()()0,>x y x M 到点()0,2F 的距离减去M 到直线1-=x 的距离等于1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)若直线()2+=x k y 与曲线C 交于A ，B 两点，求证：直线FA 与直线FB 的倾斜角互补. ▲▲▲
20.（本题满分12分）
某种汽车购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.9万元，汽车的维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依等差数列逐年递增．
⑴．设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
⑵．求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)．
▲▲▲。