高二数学教案设计(椭圆)(吴华波) - 张家港市后塍高级中学
高二数学椭圆教学全套
高二数学椭圆教学全套一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是针对我国高二年级学生进行椭圆数学知识的教学。
椭圆作为圆锥曲线的重要组成部分，不仅在几何学中占有重要地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本教学任务旨在使学生掌握椭圆的定义、性质、方程及其应用，培养他们的空间想象能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
2、教学对象本教学设计的对象为我国高二年级的学生。
经过之前的数学学习，他们已经具备了基础的几何知识和一定的代数运算能力。
在此基础上，学生将通过对椭圆的学习，进一步拓展知识体系，提高数学素养。
此外，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的自信心和自主学习能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；（2）掌握椭圆的几何性质，如焦点、顶点、离心率等，并能运用这些性质解决相关问题；（3）学会运用椭圆的方程解决实际应用问题，如椭圆的弦长、面积等；（4）培养运用椭圆知识进行空间想象和解决实际问题的能力；（5）提高代数运算能力，特别是在解决椭圆问题时，能熟练运用相关公式和定理。
2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习等方式，让学生在探索椭圆性质的过程中，培养发现问题、分析问题和解决问题的能力；（2）引导学生运用数形结合的方法，将椭圆的几何性质与代数表达式相结合，提高解题效率；（3）通过设置不同难度的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，逐步提高解题能力；（4）注重培养学生的批判性思维，让他们在学习过程中敢于质疑、善于思考，形成自己的见解。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对椭圆学习的兴趣，培养他们积极、主动的学习态度；（2）通过椭圆在现实生活中的应用，使学生认识到数学知识在实际问题中的价值，增强学习数学的自信心；（3）培养学生严谨、细致的学习作风，让他们在解决问题的过程中，体会到数学的严密性和逻辑性；（4）鼓励学生团结协作，培养他们的团队精神和沟通能力，使他们认识到合作学习的重要性；（5）引导学生正确看待数学学习中的困难与挫折，培养他们勇于克服困难、不断进取的品质。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》13
《椭圆的标准方程》教学设计
课题：椭圆的标准方程
教材：普通高中课程标准实验教科书（苏教版）选修2-1 第二章授课教师：夏晔丰城市第三中学
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程。
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。
2．过程与方法目标：
（1）让学生在椭圆定义的归纳和标准方程的推导过程中，体会探索的乐趣。
（2）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合、化归等思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的获得培养学生对数学的兴趣，通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。
（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程
2．难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程。
高二数学教学椭圆
高二数学教学椭圆一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕高二数学中的椭圆内容展开。
椭圆作为圆锥曲线的重要组成部分，不仅在数学领域具有广泛的应用，而且在物理学、天文学等领域也有着重要地位。
本节课旨在帮助学生理解椭圆的定义、标准方程及其性质，掌握椭圆的图形特征，并能够运用椭圆相关知识解决实际问题。
2、教学对象教学对象为高二年级的学生，他们已经掌握了平面几何的基本知识，具有一定的代数运算能力和空间想象力。
在此基础上，通过本节课的学习，希望学生能够提高抽象思维能力，培养解决复杂几何问题的能力，为后续学习圆锥曲线的其它内容打下坚实基础。
同时，考虑到学生的个体差异，教学中将注重因材施教，激发学生的学习兴趣，提高他们的自主学习能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其图形特征；（2）掌握椭圆的性质，如顶点、焦点、准线等，并能够运用这些性质解决相关问题；（3）学会运用椭圆的参数方程、极坐标方程等不同形式表示椭圆，并能够灵活转换；（4）能够运用椭圆相关知识解决实际应用问题，如天体运动、几何图形设计等；（5）提高学生的几何直观能力和代数运算能力，为学习圆锥曲线的其它内容打下基础。
2、过程与方法（1）通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生的独立思考和团队协作能力；（2）利用多媒体教学手段，如几何画板、动画演示等，增强学生对椭圆图形的直观认识，提高空间想象力；（3）采用问题驱动的教学方法，激发学生的学习兴趣，引导学生主动发现问题、分析问题、解决问题；（4）设计不同难度的练习题，使学生在解决问题的过程中，逐步掌握椭圆的性质和运用方法；（5）通过课堂讲解、课后巩固、阶段测试等方式，检验学生的学习效果，及时调整教学策略。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学科的兴趣，激发他们学习椭圆及相关知识的热情；（2）通过椭圆的学习，使学生感受到数学的对称美、简洁美，培养他们的审美情趣；（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识；（4）培养学生严谨、细致、勇于探索的学习态度，使他们具备面对困难、解决问题的勇气和信心；（5）通过小组合作、讨论交流等活动，培养学生团结互助、共同进步的价值观，提高他们的团队协作能力。
苏教版选修(1-1)2.2《椭圆》word教案
3
D.
3 3
2.已知椭圆
x2 y2 1 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上. 若 P、 F1 、 F2 是一个直角三角形的三 16 9
）
个顶点，则点 P 到 x 轴的距离为（
A.
9 5
B.
9 7 7
C.
9 4
D.
9 9 7 或 4 7
x x ， x2 y2 3 1 y 0 ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两点） 由题意有 代入①，得 A 的轨迹方程为 ． y 900 324 y 3
小结：对于求椭圆标准方程的题型主要有两种，一种是利用标准方程中胡 a、b、c、e 的几何意义及其关系，
讲授法
教学过程
一、椭圆的定义 平面内，到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于定长（大于 F1 F2 ）的点的轨迹叫做椭圆。 这俩个定点叫做椭圆的_________,俩个焦点的距离叫做椭圆的________.
2a F1 F2 轨迹为椭圆 ※ 2a F1 F2 轨迹为____ 2a F F _________ 1 2
习题： 1．椭圆 2 x 2 3 y 2 6 的焦距是（ A A．2 ） C． 2 5 D． 2( 3F1、F2 是定点，|F1F2|=6，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6，则点 M 的轨迹是（ C ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 5 3 3．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0） ，且椭圆过点 ( , ) ，则椭圆方程是 （ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A． y x 1 B． y x 1 C． y x 1 D． x y 1 10 6 4 8 8 4 10 6 4．方程 x 2 ky 2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是（ D A． (0,) B． （0，2） C． （1，+∞） ）
(高二数学教案)椭圆及其标准方程1高中二年级教案
椭圆及其标准方程1高中二班级教案教学目标1．把握椭圆的定义，把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；2．能依据条件确定椭圆的标准方程，把握运用待定系数法求椭圆的标准方程；3．通过对椭圆概念的引入教学，培育同学的观看力量和探究力量；4．通过椭圆的标准方程的推导，使同学进一步把握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的力量；5．通过让同学大胆探究椭圆的定义和标准方程，激发同学学习数学的乐观性，培育同学的学习爱好和创新意识．教学建议教材分析1．学问结构2．重点难点分析重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是把握建立坐标系与根式化简的方法．椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要争辩的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的争辩放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中稳固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程连接自然．学好椭圆对于同学学好圆锥曲线是格外重要的．〔1〕对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以比照圆的定义来理解．另外要留意到定义中对“常数〞的限定即常数要大于．这样规定是为了防止消灭两种特殊状况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹〞．这样有利于集中精力进一步争辩椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时留意不要忽视这两种特殊状况，以保证对椭圆定义的精确性．〔2〕依据椭圆的定义求标准方程，应留意下面几点：①曲线的方程依靠于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应当留意的地方．应让同学观看椭圆的图形或依据椭圆的定义进行推理，发觉椭圆有两条相互垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简洁，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最终得到的方程形式整齐、简洁，要让同学认真领悟．③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是同学的难点．要留意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程“而没有证明，〞方程的解为坐标的点都在椭圆上〞．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．〔3〕两种标准方程的椭圆异同点中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：外形相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．〔4〕教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给同学利用中间变量求点的轨迹的方法；其次是向同学说明，假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使同学知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．教法建议〔1〕使同学了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发同学的学习爱好．为激发同学学习圆锥曲线的爱好，体会圆锥曲线学问在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要争辩的问题，使同学对所要争辩的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发同学查找身边与圆锥曲线有关的例子。
苏教版高中数学选修椭圆教案(1)
2.2椭圆的标准方程教学目标：（1）知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标．（2）过程与方法：让学生经历随圆标准方程的推导过程，进一瞠掌握求曲线方程的一般方法，体会数形合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题．（3）情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究随圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度．教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学方法：引导启发、自主探究 教学手段：多媒体 教学过程：一、问题情境：师：生活是一个五彩缤纷的万花筒，而在这个万花筒中存在着很多美丽的图形和轮廓，比如餐桌的桌面、汽车贮油罐的横截面的外轮廓线，同学们怎样称呼它们？生：椭圆师：很多，这就是我们今天要研究的一个很优美的图形．这样一个优美的图形椭手能描绘它吗？这里我有一个画椭圆的工具：将绳子的两端用图钉固定，使绳子长大于两定点之间的位置，用粉笔拉紧绳子并在黑板上慢慢移动，就可以勾勒出一个椭圆，哪位同学愿意试一试？生：（尝试画椭圆）师：在这个过程中，同学们可以发现椭圆上的点都有什么共同特点？ 生：到两定点的距离等于定长．师：好的．所以我们将在平面内到两定点1F ，2F 距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点，两定点之间的距离叫做焦距，通常用2c 来表示．（板书：12122(2)PF PF a a >F F +=，焦点：1F ，2F ，焦距：122F F c =）师：对于椭圆这样一个优美的图形，其中也蕴涵了许多性质，那如何研究这些性质呢？生：（思考）师：在解析几何中，我们学过的图形有哪些？ 生：直线和圆．师：不错．那以圆为例，在解析几何中我们通过什么研究圆的性质呢？ 生：圆的方程．师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问） 生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．师：那么大家觉得这样方程是否适用于椭圆呢？ 生：可以．师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？ 生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导） 二、建构数学（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； （一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．） ①建立适当的直角坐标系：以直线12F F 为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示坐标系．②设点：设()P x y ，是椭圆上的任意一点，122F F c =Q ，1(0)F c ∴-，，1(0)F c ，； ③根据条件112PF PF a +=2a =（1） ④化简：（移项，两边平方）22222222()()a c x a y a a c -+=-， 师：能否美化结论的形象？0a c >>Q ，220a c ∴->，令222a c b -=，则：222222b x a x a b +=．师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？∴椭圆方程为：22221x y a b+=．（a ，b 即为椭圆在x ，y 轴上的截距）师：怎样推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程？（用小黑板做演示）生：交换x ，y 就可以得到．师：（板书两种方程和图形）师：椭圆标准方程的特点是什么？生：x ，y 轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点． 师：焦点位于x ，y 轴上时的焦点坐标分别是什么？ 生：（回答，教师板书）师：a b c ，，之间存在一个什么关系？ 生：222a b c =+三、数学运用例1、将下列椭圆方程转化成标准方程 （1）22431x y += （2）22561x y +=思考：上述两个方程的焦点位于哪根坐标轴上？ 师：如何判断椭圆的焦点的位置？ 生：在分母较大的对应轴上．练习：若P 为椭圆22194x y +=上一个动点，则P 到两个焦点1F ，2F 之间的距离是____．若P 到其中一个焦点1F 的距离是4，则P 到另外一个焦点2F 的距离是________．其中a =________，b =________，焦点位于________轴上，焦点坐标为________． 例2、求椭圆的方程为22167112x y +=的焦点坐标．例3、若动点P 到两定点1(40)F -，，2(40)F ，的距离之和为8，则动点P 的轨迹为（ ）Ａ．椭圆Ｂ．线段12F FＣ．直线12F FＤ．不存在师：若绳长12F F =，则轨迹是什么？ 生：线段12F F师：若绳子12F F <，则轨迹是什么？ 生：不存在．例4、求适合下列条件的椭圆方程． （1）4a =，1b =，焦点在x 轴上； （2）4a =，1c =，焦点在y 轴上； （3）1b =，c =，焦点在坐标轴上．师：由第三题可知：求椭圆方程的第一种方法是直接法，先定位再定量．例5、若一椭圆两焦点的坐标分别是椭圆229436x y +=的两焦点，并且经过点(23)A -，，求该椭圆的标准方程．（由学生板书） 师：这是我们学到的又一种求曲线方程的方法：待定系数法．四、课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在x 轴上和在y 轴上的标准方程，求标准方程常用的方法：直接法、待定系数法．0)五、作业布置1．教材P28页习题2.2（1）第2，3，4题 2．推导焦点在y 轴上的椭圆的标准方程．。
高中数学选修2《椭圆的几何性质》教案
椭圆的几何性质苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2-1【教学内容解析】1.平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何2.圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.3.椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.4.能根据椭圆的标准方程获得椭圆的几何性质，发现椭圆方程与椭圆几何性质的关系，揭示椭圆几何性质的形成过程是本节课的教学重点.【教学目标设置】1．能根据椭圆方程初步理解椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单几何性质；能解释椭圆标准方程中,,a b c的几何意义；2．在探究椭圆性质的活动中，经历从图形直观抽象几何性质的过程，提取出利用代数方法研究几何性质的一般方法，建立离心率模型；3．在这过程中，进一步感受数形结合、函数与方程、类比归纳等数学思想方法的丰富内涵.4. 树立严谨求实的理性精神，获得自主探究的成功和喜悦，提高数学学习兴趣.【学生学情分析】（1）学生已有的认知基础本节课的授课对象是四星级高中高二年级的学生，已经知道了直线和圆的相关知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.（2）达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力，能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.（3）教学难点与突破策略基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是：1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁；2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；突破难点的相应策略如下：1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲线方程研究几何性质的直接经验；2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立ba与椭圆圆扁程度的对应关系，再利用ba与ca的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示，丰富学生的直观感悟与经历；3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】1.精心设置问题系列自然驱动从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识.2.充分开展学生活动自主探究站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识，掌握研究方法.3.适时提炼思想方法自觉升华在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用.【教学过程分析】引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法，即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一.前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出了椭圆的标准方程（是什么？）.【学生活动】回忆、思考、口答.【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容.一、情境引入，明确方向问题1除了利用定义，你能根据椭圆方程2212516x y+=画出它的简图吗？【学生活动】学生在坐标纸上尝试画出椭圆，展台展示学生的作品，引导学生欣赏，点评，交流.【设计意图】中学数学教育的首要任务是培养数学直观.通过画图辨图，与学生已有的椭圆印象对比，让学生发现问题，进而关注椭圆的一些重要特性，从而明确研究椭圆几何性质的主要内容；通过“为什么”的追问，自然引导学生从方程本身的角度去考虑，从而明确研究的主要方法. 二、问题驱动 合作探究问题2 一般地，以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例，你准备研究它的哪些性质？如何研究？【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说明理由.探究1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代数”方法，其实质是：已知22221(0)x y a b a b+=>>，求y x ,的取值范围.探究2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？ 方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：对于曲线上任意一点(,) (,)y P x y P x y '−−−→-轴也在曲线上⇒图形关于y 轴对称. 探究3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭圆上会有哪些关键点？方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.二次函数2(2)1y x =--【设计意图】自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.例1：椭圆221259x y+=的长轴长为_______，短轴长为_________，顶点坐标是__________，_________.【学生活动】准确计算，熟练回答.【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以及练习的反馈和诊断功能.探究4请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆221 259x y+=.【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆.【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也是离心率概念形成的自然过渡.问题3 观察所画椭圆2212516x y+=和221259x y+=，它们在形状上有什么显著不同？问题3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？问题3.2 你能说出两个比221259x y+=更“扁”的椭圆吗？问题3.3 是不是方程中的,a b都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？问题3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？问题3.5 利用基本量,,a b c之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.并在探究过程中阐明以下事实：（Ⅰ）可行性：用比值ca和ba都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均相似.（Ⅱ）一致性：c a =； （Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景. 【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由b a 到ca符合学生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知问题4 请你写出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.【学生活动】类比研究椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的方向、方法，自主归纳出了焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，并体会到椭圆图形本身的性质与坐标系的选择无关.【设计意图】通过填表，一方面让学生有条理地梳理、巩固刚学过得椭圆的几何性质，将离散的知识系统化，便于对比理解；另一方面，通过类比已有知识和方法，归纳得出焦点在y 轴上的椭圆的几何性质，发展了学生的思维能力. 四、典例剖析，深化理解例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1） 经过点(3,0)P -，(0,2)Q -； （2）长轴长为4，离心率为2；【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），加深对椭圆几何性质的应用和理解.【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与“数”的关系．五、总结提升 形成体系结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？ （1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率； （2（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈1. 椭圆22132y x +=的范围是_______________，顶点坐标为______________， 离心率为___________.2. 已知椭圆的长轴长为，焦距为，则该椭圆的标准方程为___________.3. 椭圆2212x y +=与22143x y +=哪一个更“扁”一些？ 4. 试判断曲线2222=+-y xy x 的对称性.课后作业：1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本P37 习题2.2（2）1,2,4,5,8；3．选做题：已知)0(12222>>=+b a by a x ，求22y x +的最大值，并解释该结论的几何意义.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.2 椭圆的几何性质》2
椭圆的几何性质设计一．教学目标设置：一 知识与技能：1能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；2掌握椭圆的简单几何性质；3了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及基本量e c b a ,,,的相互关系；二 过程与方法：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；三 情感态度与价值观：在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。
二．学生学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比较抽象，直接引入比较突兀，给学生明确的问题，结合适当的点拨与演示，是非常必要的。
三．重难点：重点：1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2椭圆的简单几何性质。
难点：1用方程研究椭圆的范围和对称性； 2离心率的引入四．教学策略分析：1问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考； 2在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；3几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。
五．教学过程：一课前准备活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程192522=+y x 所对应的曲线C 1？ （方案一：利用椭圆的定义画图；方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与轴轴的交点再连结；方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；方案四：学生可能会联系函数描点法画图（对学生方程与函数理解要求较高））【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点。
二探究新知：师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。
探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？（预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观）（师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质则是解析几何的目的。
高二数学教案15椭圆
江西乐安一中高二数学教案：15 椭圆【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 椭圆 (一)二. 重点、难点： 1. 定义长轴短轴 焦距 关系 222c b a += 对称轴 x 轴、y 轴对称中心 原点离心率 ace =)1,0(∈ 焦点 )0,(c ± ),0(c ± 顶点 ),0(),0,(b a ±±)0,(),,0(b a ±±准线c a x 2±=ca y 2±=2. 直线与椭圆的位置关系⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222代入：1)(2222=++b m kx a x * 0>∆ 两个交点 相交0=∆ 一个交点 相切 0<∆ 没有交点 相离 3. 弦长对*式 0>∆时相交。
弦长=2121x x k-+ 21x x 为*式的解4. 中点弦公式),(00y x P 为椭圆12222=+by a x 内一点。
过P 的直线交椭圆于A 、B 。
P 恒为AB 中点则有： 0022y x a b K AB-= 证：设),(11y x A ),(22y x BP 为AB 中点。
0212x x x =+ 0212y y y =+ A 、B 在椭圆上：1221221=+b ya x1222222=+bya x相减0))(())((2212122121=+-++-by y y y a x x x x 2121222121y y x x a b x x y y ++⋅-=--【典型例题】 一. 椭圆的方程[例1] 求焦点为（3，0）（－3, 0），离心率31=e 的椭圆 3=c 9=a 26=b1278122=+∴y x [例2] 求中心在原点，两准线间距离为5。
焦距为4的椭圆方程。
522=⋅c a 2=c 15==∴b a 1522=+∴y x 或1522=+x y [例3] 求中心在原点，焦点在x 轴，椭圆上点M （8， 12）到左焦点距离为20的椭圆方程。
苏教版数学高二- 选修2-1教案 椭圆的标准方程
2．2.1椭圆的标准方程●三维目标1．知识与技能进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．2．过程与方法(1)通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用．(2)在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．3．情感、态度与价值观在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维能力，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．●重点难点重点：标准方程的推导及椭圆的判断．难点：椭圆标准方程的推导及应用．教学时，应从回顾椭圆定义入手，回顾曲线方程的求解方法，通过建立坐标系，推导焦点在x轴上的椭圆的标准方程，从而得出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，且通过推导，得出基本量a，b，c之间的基本关系，化解难点．通过三个例题的教学，突出椭圆的标准方程的应用．●教学建议本节课主要内容是椭圆的标准方程．学生在前面已经学习了解析几何的两种基本曲线：直线和圆，初步掌握了解析几何的思维方法——利用代数的方法描述平面图形及性质；基本上掌握了解析几何的解题基本格式，数形结合的思想比以前有了质的飞跃，因此在教学过程中，采用了引导发现法和感性体验法进行教学．引导发现法属于启发式教学，有利于充分调动学生的积极性和主动性，体现了认知心理学的相关内容．在教学过程中，教师采用启发、引导、点拨的方式，创设各种问题情景，使学生带着问题去主动思考，动手操作，交流合作，进而达到对知识的“发现”和“接受”，完成知识的内化，使书本的知识真正成为自己的知识．●教学流程创设情景情景一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义．情景二：展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？情景三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？⇒互动探究椭圆标准方程的推导问题1：回想圆方程的推导步骤是如何的？问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？问题3：焦点在y轴的椭圆方程该如何推导？⇒分析两类椭圆的标准方程，体会二者的区分办法，及共性．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的求法，待定形式应根据焦点的位置区分，应注意定义及方程的应用．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆标准方程的应用，根据椭圆特征对方程中字母范围的讨论，以及焦点三角形的求解．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握与椭圆有关的轨迹问题的求法，会用椭圆定义判断曲线是否为椭圆，并用待定系数法求动点轨迹方程．⇒通过易错易误辨析，体会焦点分别在x轴，y轴上的区别，注重分类讨论思想的应用．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.课标解读1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程．(重点)3．两种位置的椭圆的标准方程的区分．(易混点)椭圆的标准方程1．给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张硬纸板，你能画出椭圆吗？【提示】固定两个图钉，将绳子两端固定在图钉上且绳长大于图钉间的距离，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在纸板上移动就可以画出一个椭圆．2．求曲线的方程通常分为几步？【提示】四步：建系、设点、列式、化简．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图象焦点坐标(－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2待定系数法求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为(－3,0)，(3,0)，且椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，并且过点(－32，52)．【思路探究】(1)由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，代入b2＝a2－c2求出b2即可；(2)本题有两种思路：一是先由焦点坐标和椭圆定义分别求出c，a，再求解；二是将点的坐标代入椭圆方程，结合b2＝a2－c2求解．【自主解答】(1)由题意，设椭圆的标准方程是x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则2c＝6,2a＝10，所以a＝5，c＝3.由a2＝b2＋c2，得b2＝16，所以椭圆的标准方程是x225＋y216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．法一由椭圆的定义知2a＝－32－02＋52＋22＋－32－02＋52－22＝210，所以a＝10.又由题意知c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.法二因为所求椭圆过点(－32，52)，所以254a2＋94b2＝1.又a2－b2＝c2＝4，解得a2＝10，b 2＝6，故所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.1．在本例(2)的解答中，利用椭圆定义求a 较为简洁，也是我们常用的一种方法． 2．在已知椭圆的类型求椭圆的标准方程时，一般采用待定系数法求解，步骤如下： (1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出对应的标准方程；(2)将已知条件代入，求出a ，b(注意隐含条件a 2＝b 2＋c 2，a>b>0)，此时注意椭圆定义的应用；(3)写出椭圆的标准方程．其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”．求经过点M(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同焦点的椭圆方程．【解】 法一 已知椭圆方程可化为x 24＋y 29＝1，∴c ＝5，∴F 1(0，－5)，F 2(0，5)，∴2a ＝MF 1＋MF 2＝215，∴a ＝15，∴b 2＝a 2－c 2＝10，∴椭圆方程为x 210＋y 215＝1. 法二 椭圆9x 2＋4y 2＝36的焦点为(0，±5)，则设所求椭圆的方程为x 2λ＋y 2λ＋5＝1(λ>0)．又椭圆过点(2，－3)，∴4λ＋9λ＋5＝1，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)． ∴所求椭圆方程为x 210＋y 215＝1.椭圆标准方程的应用(1)若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，求k 的取值范围；(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠F 1PF 2＝60°，求△PF 1F 2的面积．图2－2－1 【思路探究】(1)化为标准方程→由条件列不等式→求k 的范围 (2)PF 1·PF 2面积PF 1＋PF 2＝4―→由定义PF 1，PF 2， F 1F 2关系―→由余弦 定理【自主解答】 (1)原方程可化为x 22＋y 22k ＝1，∵表示焦点在y 轴上的椭圆． ∴⎩⎪⎨⎪⎧k>0，2k >2.解得0<k<1.∴k 的取值范围是0<k<1.(2)由题意知a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， ∴F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中有， PF 1＋PF 2＝4，①PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos 60°＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4， ②①代入②得PF 1·PF 2＝4，∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝12×4×32＝ 3.1．对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m>n>0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n>m>0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别注意，当n ＝m>0时，方程表示圆心在原点的圆．2．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．(1)已知方程(2－k)x 2＋ky 2＝2k －k 2表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围． (2)如图2－2－2所示，点P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．图2－2－2 【解】(1)由(2－k)x 2＋ky 2＝2k －k 2表示椭圆，知2k －k 2≠0，且有x 2k ＋y 22－k＝1. ∵方程表示焦点在x 轴上的椭圆， ∴k>2－k>0， 即1<k<2，故实数k 的取值范围是1<k<2. (2)由已知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2·cos 120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1，①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1，②②代入①解PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335.与椭圆有关的轨迹问题△ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a ＞b ＞c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．【思路探究】 利用椭圆定义分析出B 点的轨迹是椭圆，再利用待定系数法求解． 【自主解答】 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b ＝4，即AB ＋BC ＝4，∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，设椭圆的标准方程为x 2a′2＋y 2b′2＝1(a′>b′>0)．其中a′＝2，c′＝1. ∴b′2＝3. 又a ＞b ＞c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2＜x ＜0)．1．本例解答过程中，不要忽略a>b>c 这个条件，而误认为轨迹为整个椭圆． 2．解答与椭圆有关的求轨迹问题的一般思路是：已知动圆与定圆C ：x 2＋y 2＋4y －32＝0内切且过定圆内的一个定点A(0,2)，求动圆圆心P 的轨迹方程．【解】 由定圆C ：x 2＋(y ＋2)2＝36知，圆心C(0，－2)，半径r ＝6，设动圆圆心P(x ，y)，动圆半径为PA ，由于圆P 与圆C 相内切，∴PC ＝r －PA ， 即PA ＋PC ＝r ＝6>AC.因此，动圆圆心P 到两定点A(0,2)，C(0，－2)的距离之和为6， ∴P 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2， ∴b 2＝5.∴所求动圆圆心P 的轨迹方程为y 29＋x 25＝1.误认为焦点只在x 轴上而致错已知椭圆的标准方程为x 225＋y 2m2＝1(m>0)，并且焦距为6，求m 的值．【错解】 ∵2c ＝6，∴c ＝3，由椭圆的标准方程知a 2＝25，b 2＝m 2.∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.又m>0，故m＝4.【错因分析】椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．【防范措施】涉及椭圆方程的问题，如果没有指明椭圆焦点所在的位置，一般都会有两种可能的情形，不能顺着思维的定式，想当然地认为焦点在x轴或y轴上．【正解】∵2c＝6，∴c＝3.(1)当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.∵a2＝b2＋c2，∴25＝m2＋9，∴m2＝16.又m>0，故m＝4.(2)当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.∵a2＝b2＋c2，∴m2＝25＋9＝34.又m>0，故m＝34.由(1)(2)可得m的值为4或34.1．求椭圆的标准方程，主要采用待定系数法，一般“先定型”即先确定标准形式，“再定量”即由题目条件求基本量a，b，c，求解过程中，要注意定义的应用．2．对方程带有字母系数的椭圆，其焦点在哪个坐标轴上要由字母的取值范围确定，必要时要进行分类讨论．3．求与椭圆有关的轨迹问题，常见的直接法、代入法、参数法等都同样可用，除此以外，还要注意利用椭圆的定义求解轨迹问题.1．动点P 到两定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离的和为10，则动点P 的轨迹方程是________． 【解析】 ∵2a ＝10，∴a ＝5，∵c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16， 又∵焦点在x 轴上，∴轨迹方程为x 225＋y 216＝1.【答案】 x 225＋y 216＝12．已知椭圆x 236＋y 225＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为________．【解析】 由题意，a ＝6，不妨设PF 1＝3，又PF 1＋PF 2＝2×6＝12， ∴PF 2＝12－3＝9. 【答案】 93．若方程x 2k －3＋y 25－k ＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧k －3>05－k>0k －3≠5－k ，∴k ∈(3,4)∪(4,5)．【答案】 (3,4)∪(4,5)4．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于________．【解析】 由标准方程得a 2＝25，∴2a ＝10，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 【答案】 10一、填空题1．椭圆25x 2＋16y 2＝400的焦点坐标为________． 【解析】 椭圆方程可化为x 216＋y 225＝1，∴c 2＝9，∴c ＝3，∴焦点坐标为(0，±3)． 【答案】 (0，±3)2．对于常数m 、n ，“mn>0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的________条件．(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分又不必要”)【解析】 由方程mx 2＋ny 2＝1的曲线表示椭圆，常数m ，n 的取值为⎩⎪⎨⎪⎧m>0，n>0，m≠n ，所以mn>0；反过来，由mn>0得不到方程mx 2＋ny 2＝1的曲线表示椭圆．【答案】 必要不充分3．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值为________．【解析】 ∵2c ＝2，∴c ＝1，∴m －4＝1或4－m ＝1， ∴m ＝3或5. 【答案】 3或54．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________.【解析】 如图，x P ＝－c ＝－3， ∴34＋y 2P ＝1，∴y P ＝12，∴PF 1＝12.∵PF 1＋PF 2＝4，∴PF 2＝72.【答案】 725．一个焦点坐标是(0,4)，且过点B(1，15)的椭圆的标准方程为________．【解析】 由一个焦点坐标是(0,4)知椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a>b>0)，由c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝a 2－16，则椭圆方程可化为y 2a 2＋x 2a 2－16＝1(a 2－16>0)，将点B(1，15)代入，得a 2＝20(a 2＝12舍去)，从而b 2＝a 2－16＝4，故所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 【答案】 y 220＋x 24＝16．若单位圆x 2＋y 2＝1上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的13，则所得曲线的方程是________．【解析】 设所求曲线上任一点的坐标为(x ，y)，圆x 2＋y 2＝1上的对应点为(x 1，y 1)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x 1y ＝y 1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x y 1＝y ①，将①代入x 21＋y 21＝1得(3x)2＋y 2＝1，即y 2＋x 219＝1. 所以所求曲线的方程是y 2＋x 219＝1. 【答案】 y 2＋x 219＝1 7．椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON(O 为坐标原点)的值为________．【解析】 由题意，a ＝5，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝25－9＝4，MF 1＝2，∴MF 2＝2×5－2＝8，又ON 为△MF 1F 2的中位线，∴ON ＝12MF 2＝12×8＝4. 【答案】 48．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. 【解析】 ∵B 在椭圆上，∴BA ＋BC ＝2a ＝10.由正弦定理，知sin A ＋sin C sin B ＝2a 2c ＝108＝54. 【答案】 54二、解答题9．已知椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求椭圆C 的标准方程．【解】 依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝AF ＋AF′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上一点P(3,4)，若PF 1⊥PF 2，试求椭圆的方程． 【解】 在Rt △F 1PF 2中，∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(3＋c)2＋16＋(3－c)2＋16＝4c 2，∴c 2＝25，∴c ＝5，∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)，∴2a ＝PF 1＋PF 2＝65，∴a ＝35，∴b 2＝20，∴椭圆方程为x 245＋y 220＝1. 11．已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点． (1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积； (2)求PF 1·PF 2的最大值．【解】 (1)设PF 1＝m ，PF 2＝n(m>0，n>0)．根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn·cos π3＝122. ∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n)2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563. 又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12mn·sin π3， ∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433. (2)由题意知a ＝10，∴根据椭圆的定义，得PF 1＋PF 2＝20. ∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝(202)2＝100， 当且仅当PF 1＝PF 2时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.(教师用书独具)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>c)的两个焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143.求椭圆C 的方程．【思路探究】画图分析→利用椭圆定义求2a→求2c→求b→求方程【自主解答】 因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝43＋143＝6，所以a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22－PF 21＝1432－432＝25，故c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.1．本例中，求解2c 时利用Rt △PF 1F 2，充分利用了平面图形的性质．2．求椭圆的标准方程最常用的方法是待定系数法．已知椭圆经过点(63，3)和点(223，1)，求椭圆的标准方程． 【解】 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m>0，n>0，m≠n)，∵点(63，3)，(223，1)在椭圆上， ∴⎩⎨⎧ m·632＋n 32＝1，m·2232＋n·12＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19. ∴椭圆方程为y 29＋x 2＝1.。
高二数学椭圆及其标准方程教案 苏教版 教案
高二数学椭圆及其标准方程教案【学习目标】 1．重点理解理解椭圆定义及其限制条件；理解椭圆标准方程的推导；理解椭圆标准方程中a 、b 、c 的大小关系． 2．重点掌握掌握椭圆定义；掌握求椭圆标准方程的方法；进一步掌握求曲线方程的方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．能力培养培养应用代数知识进行代数式的同解变形能力和化简能力．【学习障碍】 1．理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位，后定量”的方法，如何定位是关键．(2)对于直线和椭圆的位置关系，可用一元二次方程的Δ来判定，其理论根据是交点个数，这一点应理解准确．(3)直线和椭圆相交时，常常借助韦达定理解决弦长问题．应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义． (4)给出椭圆标准方程，其焦点是在x 轴还是在y 轴，怎样判别，其理论依据是什么． (5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式，应理解为什么可以这样设． 2．解题障碍(1)确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a 、b )，a 、b 是椭圆的定形条件，焦点是椭圆的定位条件．(2)点(x 0，y 0)在椭圆内⇔220220b y a x +＜1；点(x 0，y 0)在椭圆上⇔ 22220b y a x +＝1；点(x 0，y 0)在椭圆外⇔22220b y a x +＞1． (3)椭圆定义是解题的常用工具，但如何转化为定义，如何应用定义需要有明确的思维方向．【学习策略】1．坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系，把一个难以解决的平面问题转化为代数问题，通过坐标和计算得出结论．坐标系建的好坏，直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏．通常建立平面直角坐标系时，可利用图形的对称性，或利用图形中的垂直关系，或使尽量多的点落在坐标轴上．2．求椭圆方程一般采取“先定位，后定量”的方法．所谓定位，就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆，其焦点到底是在x 轴上还是在y 轴上；所谓定量就是求出椭圆的a 、b 、c ，从而写出椭圆方程．3．定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义；或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离，也可考虑椭圆定义．4．研究直线与椭圆的位置关系，或者利用弦长公式计算弦长．事先都要先把直线方程和椭圆方程联立，消去y (或x )得x (或y )的一元二次方程，再利用其Δ或韦达定理进行．5．直线与椭圆相交，如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法．6．Ax 2＋By 2＝C (其中A 、B 、C 为同号且不为零的常数，A ≠B )，它包含焦点在x 轴或y 轴上两种情形．方程可变形为BC y A C x 2+2＝1．当A C ＞B C 时，椭圆的焦点在x 轴上；当A C ＜B C时，椭圆的焦点在y 轴上．【例题分析】［例1］求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和等于10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－23，25)； (3)焦点在坐标轴上，且经过点A (3，－2)和B (－23，1)策略：根据题意，先判断椭圆的焦点位置，后设椭圆的标准方程，求出椭圆中的a 、b 即可．若判断不出焦点在哪个轴上，可采用标准方程的统一形式．解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)∵2a ＝10，2c ＝8，∴a ＝5，c ＝4 ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9所以所求的椭圆的标准方程为9252x y +2＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0)由椭圆的定义知，2a ＝10210211023)225()23()225()23(222=+=-+-+++-2又c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6所以所求的椭圆的标准方程为61022x y +＝1． (3)解法一：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为222bx a y +2＝1(a ＞b ＞0) 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+11)32(1)2()3(22222222b a ba 解之得⎩⎨⎧==51522b a 若焦点在y 轴上，设所求椭圆方程为222b x a y +2＝1(a ＞b ＞0)，同上可解得⎩⎨⎧==15522b a ，不合题意，舍去．故所求的椭圆方程为5522y x +＝1． 解法二：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1，(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． 由A (3，－2)和B (－23，1)两点在椭圆上可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+-⋅=-⋅+⋅11)32(1)2()3(2222n m n m 即⎩⎨⎧=+=+112143n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51151n m故所求的椭圆方程为51522y x +＝1． 评注：(1)求椭圆的标准方程时，首先应明确椭圆的焦点位置，再用待定系数法求a 、b ．(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的，为计算简便，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，不必考虑焦点位置，直接可求得方程．想一想，为什么？［例2］已知B 、C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程．策略：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系．为选择适当的坐标系，常常需要画出草图．如图8—1—1所示，由△ABC 的周长等于16，|BC |＝6可知，点A 到B 、C 两点的距离的和是常数，即|AB |＋|AC |＝16－6＝10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图．解：如图8—1—1所示，建立坐标系，使x 轴经过点B 、Ｃ，原点Ｏ与BC 的中点重合．由已知|AB |＋|AC |＋|BC |＝16，|BC |＝6，有|AB |＋|AC |＝10，即点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且2c ＝6，2a ＝10，∴c ＝3，a ＝5，b 2＝52－32＝16．由于点A 在直线BC 上时，即y ＝0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是162522y x +＝1(y ≠0)． 评注：椭圆的定义在解题中有着广泛的应用．另外，求出曲线的方程后，要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在方程后注明，常用限制条件来注明．［例3］一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．策略：两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件． 解：两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3，0)，r 1＝1；O 2(3，0)，r 2＝9设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10．由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3． ∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16故动圆圆心的轨迹方程为162522y x +＝1． 评注：正确地利用两圆内切、外切的条件，合理地消去变量R ，运用椭圆定义是解决本题的关键，这种求轨迹方程的方法叫做定义法．［例4］已知P 是椭圆162522y x +＝1上的一点，F 1、F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．策略：如图8—1—2所示，已知∠P ＝30°，要求△PF 1F 2的面积，如用21|F 1F 2|·|y P |，因为求P 点坐标较繁，所以用S △＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°较好，为此必须先求出|PF 1|·|PF 2|，从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30°角的两边的乘积．解：由方程162522y x +＝1，得a ＝5，b ＝4， ∴c ＝3，∴|F 1F 2|＝2c ＝6 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10∵∠F 1PF 2＝30°．在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30° 即62＝|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|－3·|PF 1|·|PF 2| (2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－36＝100－36＝64， ∴|PF 1|·|PF 2|＝3264+＝64(2－3)∴21PF F S ∆＝21|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝21·64(2－3)·21＝16(2－3)． 评注：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的．［例5］椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y ＝1相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝22．且PQ 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22，求椭圆方程． 策略：该题是求椭圆方程，即利用题设中的两个独立条件，求出a 、b 之值即可．解：由⎩⎨⎧=+=+1122y x by ax 得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝b a b +2，x 1x 2＝ba b +-1∴|PQ |＝211+24)(21221=-+x x x x ·ba b b a b +-⋅-+14)2(2 ＝2222=+-+ba abb a∴ab b a -+＝a ＋b ①又PQ 的中点C (b a b +，1－b a b +)，即C (b a b +，ba a +) ∴k OC ＝22==++b a ba b b a a②由①②得a ＝31，b ＝32∴所求椭圆方程为32322y x +＝1． 评注：本题是一个小型综合题，此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a ，b 表示出来，再联立解方程组，可得所求椭圆方程．［例6］中心在原点的椭圆C 的一个焦点是F (0，50)，又这个椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点的横坐标是21，求该椭圆方程． 策略：本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率，故可采用“平方差法”． 解：据题意，此椭圆为焦点在y 轴上的标准形式的椭圆，设其方程为2222b xa y +＝1(a ＞b ＞0) 设直线l 与椭圆C 的交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：221221b x a y +＝1，1222222=+bx a y 两式相减得：2212122121))(())((b x x x x a y y y y -++-+＝0 ∴)()(2122122121y y b x x a x x y y +-+=--即3＝)1(122-⨯-⨯b a ∴a 2＝3b 2 ① 又因为椭圆焦点为F (0，50) ∴c ＝50 则a 2－b 2＝50②由①②解得：a 2＝75，b 2＝25∴该椭圆方程为257522x y +＝1． 评注：此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后，得到x 的一元二次方程，利用x 1＋x 2＝1来求，但过程较繁，利用平方差法简便易行．【同步达纲练习】1．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)2．已知椭圆92522y x +＝1，F 1、F 2分别为它的两焦点，过F 1的焦点弦CD 与x 轴成α角(0＜α＜π)，则△F 2CD 的周长为A ．10B ．12C ．20D ．不能确定3．椭圆31222y x +＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是A ．±43 B ．±23 C ．±42 D ．±43 4．设椭圆204522y x +＝1的两焦点分别是F 1和F 2，P 为椭圆上一点，并且PF 1⊥PF 2，则||PF 1|－|PF 2||等于 A ．65B ．25C ．35D ．352 5．直线y ＝x 与椭圆42x ＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则|AB |等于A ．2B ．554 C ．5104 D ．5108 6．点P 是椭圆6410022y x +＝1上一点，F 1、F 2是其焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为___________．7．△ABC 的两顶点B (－8，0)，C (8，0)，AC 边上的中线BM 与AB 边上的中线CN 的长度之和为30，则顶点A 的轨迹方程为___________．8．F 1、F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则M 点的轨迹是___________． 9．以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P (53，－4)和Q (－54，3)，则此椭圆的方程是___________． 10．在椭圆41622y x +＝1内，过点(2，1)且被这点平分的弦所在的直线方程是___________． 11．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，－6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是－94，求顶点A 的轨迹方程．12．在面积为1的△PMN 中，tan M ＝21，tan N ＝－2，建立适当的坐标系，求出以M 、N 为焦点并且过点P 的椭圆方程．[参考答案]【同步达纲练习】1．解析：将方程x 2＋ky 2＝2化为椭圆的标准方程为ky x 2222+＝1，又焦点在y 轴上， ∴k2>2，解之得0<k <1． 答案：D2．解析：由椭圆方程知a ＝5，|CF 1|＋|CF 2|＝2a ＝10，|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝10，则△F 2CD 的周长|F 2C |＋|F 2D |＋|CD |＝|CF 1|＋|CF 2|＋|DF 1|＋|DF 2|＝10＋10＝20．答案：C3．解析：由椭圆的标准方程易知c ＝3，不妨设F 1(－3，0)、F 2(3，0)，因为线段PF 1的中点在y 轴上，由中点坐标公式知x P ＝3，由椭圆方程31222y x +＝1解得y p ＝±23，故M 点纵坐标为±43．答案：A4．解析：从方程中可得a ＝35，b ＝25，c ＝5 ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝65，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2＝180 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝180由已知PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝100代入上式得2|PF 1|·|PF 2|＝80 ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝20 ∴||PF 1|－|PF 2||＝25． 答案：B5．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=224yx xy 得245x ＝1∴x ＝±,552y ＝±552， 即A (552,552)，B (－552，－552) 由两点间距离公式可得|AB |＝5104． 答案：C6．解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理有m 2＋n 2－2mn cos60°＝|F 1F 2|2＝122，即m 2＋n 2－mn ＝144 ① 由椭圆定义知m ＋n ＝20，则m 2＋n 2＋2mn ＝400 ② 由②－①得，3mn ＝256，故mn ＝3256因此，33642332562160sin 2121=⋅⋅=︒=∆mn S PF F ． 答案：3364 7．解析：如图23所示，设B 、C 为B ′C ′的两个三等分点，则B ′(－24，0)，C ′(24，0)，连接AB ′，AC ′，设A (x ，y )，BM 、CN 又分别为△ACB ′与△ABC ′的中位线．∴|AB ′|＝2|BM |，|AC ′|＝2|CN | ∴|AB ′|＋|AC ′|＝2(|BM |＋|CN |)＝60由椭圆定义，动点A 到两定点B ′、C ′的距离的和为定长60，所以点A 在以B ′、C ′为焦点，中心在原点的椭圆上运动．∵2a ＝60，∴a ＝30由|B ′C ′|＝48，得c ＝24 ∴b 2＝a 2－c 2＝900－576＝324．则点A 的轨迹方程是32490022y x +＝1(y ≠0)． 答案：32490022y x + ＝1(y ≠0) 8．解析：尽管动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6，但2a ＝|F 1F 2|，∴M 点轨迹应为F 1、F 2两点间的线段． 答案：F 1、F 2两点间的线段9．解析：设此椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )把P (53，－4)，Q (－54，3)代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+192516116259n m n m解得m ＝1，n ＝251，故椭圆方程为x 2＋252y ＝1．答案：x 2＋252y＝110．解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有4162121y x +＝1，4162222yx +＝1 两式相减得4))((16))((21212121y y y y x x x x -+-=-+ ∴2121644)(16)(421212121-=⨯-⨯=+-+=--y y x x x x y y即弦所在直线的斜率为－21，又弦过(2，1)点，故弦所在直线的方程是x ＋2y －4＝0． 答案：x ＋2y －4＝011．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得：9466-=+⋅-x y x y ．∴顶点A 的轨迹方程为：368122y x + ＝1(y ≠±6)． 12．解：以直线MN 为x 轴，以线段MN 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图24所示．设所求椭圆方程为2222by a x +＝1(a >b >0)，分别记M 、N 、P 点的坐标为(－c ，0)、(c ，0)和(x 0，y 0)．∵tan α＝tan(π－∠N )＝2∴由题设知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=)(21)(210000c x y c x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==cy c x 343500即P )34,35(c c在△MNP 中，|MN |＝2c ，MN 上的高为34c， ∴S △MNP ＝34221cc ⨯⨯＝1，解得c ＝23 即P (332,635)，由此得|PM |＝3152，|PN |＝315∴a ＝21(|PM |＋|PN |)＝215，从而b 2＝a 2－c 2＝3故所求的椭圆方程为315422y x +＝1．。
高中数学：圆锥曲线椭圆的性质及其应用教案苏教版选修1
第四讲 椭圆教学目标：理解椭圆的概念；掌握椭圆的标准方程；理解椭圆的性质教学重点：椭圆概念的理解；椭圆标准方程的求解；椭圆离心率等性质的掌握 教学难点：标准方程的求解；椭圆性质的应用 教学过程：一、知识要点： 1、椭圆的概念：“一动两定〞到两个定点的距离和等于定长的动点轨迹〔定长大于定点距离〕2、椭圆的标准方程：焦点在x 轴22a x ＋22by ＝1〔a ＞b ＞0〕在y 轴22y a ＋22x b ＝1〔a ＞b ＞0〕二、基础自测1、F 1F 、2是椭圆162x +92y =1的两个焦点，过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点，那么△MNF 2的周长为___________。
2、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值X 围是___________。
3、椭圆中心在原点，一个焦点为F 〔-0〕，且长轴长是短轴长的2倍，那么该椭圆的标准方程为____________4、点P 在椭圆252x +92y =1上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P 的横坐标是___________。
5、椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，那么|2PF |等于___________。
6、椭圆标准方程为162x +2yk=1，那么其离心率=__________,渐近线为___________三、例题精讲题型一、概念，基本量例1、〔2009〕椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，假设1||4PF =，那么2||PF =；12F PF ∠的大小为.[解析]此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理.属于基础知识、基本运算的考查. ∵229,3a b ==，∴22927c a b =-=-=， ∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =，又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯，∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.例2、设F 1，F 2是椭圆22194x y +=大的两个焦点，P 为椭圆上一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的顶点，且|PF 1|>|PF 2|，求12||||PF PF 的值题型二、求椭圆方程例3、(1)椭圆中心在原点，长轴是短轴的3倍，并且过点P 〔3，0〕，求椭圆的方程 〔2〕椭圆的中心在原点，且经过点12(6,1);(3,2)P P --,求椭圆方程，例4、〔2009某某卷理〕巳知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为．解析：23=e ，122=a ，6=a ，3=b ，那么所求椭圆方程为193622=+y x . 变式：假设椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为3题型三：性质及其应用例5．F 1，F 2F 1，当 〔1〕PO ∥AB 〔O例6、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，且120PF PF = 试求该椭圆的离心率e 的取值X 围。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆及其标准方程
一、教学目标
根据教学大纲要求和学生身理、心理结构及我校学生特点，通过学生学习，学生应该达到以下要示。
（1）知识与能力目标：学习椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程。
（2）过程与方法目标：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过对椭圆标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思想方法。
（3）情感、态度与价值观目标：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生勇于探索的精神和渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。
通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美.通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的科学态度.
二、教学重点、难点
（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程。
（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
三：教学媒介
多媒体、实物投影、《几何画板》
）的点的轨迹叫椭圆。
两焦点的距离叫椭圆的
的轨迹为椭圆.
的轨迹为线段.
五：板书设计
8.1 椭圆及其标准方程
一、实验探究 2.椭圆的标准方程三、应用举例
二、新课讲解
1.椭圆的定义。