第二章 特殊三角形提高训练(一)及答案
浙教版八年级数学上册第二章：特殊三角形 培优检测卷(含答案)
第2章特殊三角形培优提高卷一、选择题。
（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚A.1个B.2个C.3个D.4个2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚A．6个B．7个C．8个D．9个(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5s；B.3s;C.3.5s;D.4s请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12B ．12，12，8C ．13，10，12D ．5，8，46．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ．67 B ．65 C ．35 D ．348．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为23，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚A ．2012＋3B ．2013＋3C ．2014＋3D ．2015＋3(第9题) (第10题)10．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。
第二章 特殊三角形能力提升训练(一)及答案
第二章 特殊三角形能力提升训练(一)一．选择题：1.如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠B =70°，则∠C 的度数为（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50°2.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠A =30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 是垂足，连接CD ．若BD=1，则AC 的长是（ ）A. 32B. 2C. 34D. 43.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，∠BAD =35°，则∠C 的度数为（ ） A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°4.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点D 在BC 上，∠ADC=2∠则BC 的长为（ ）1 15.如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A.23cm B.2323cm C. 2329cm D. 23227cm6.如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE ，则对角线AC 长和BD 长之比为（ ）A. 1:2 B. 1:3 C. 1:2 D. 1:37.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B. 3个C.4个D.5个8.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是( )A.1对B.2对C.3对D.4对9.如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（）A.8cmB.C.5.5cmD.1cm10.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为( )A.13B.152C.272D.12二．填空题：11.已知等边三角形的高为23，则它的边长为________.12.如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB=cm．第12题13.如图，已知∠BAC=130°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB=______14.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________15.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE=∠DEC=60°，AB=CE=3，则AD=_________16.如图，一张三角形纸片ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点A落在边BC的中点上，折痕经过AC上的点E，则线段AE的长为________17.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为18.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为19.如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．20.如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为三．解答题：21.如图，请思考怎样把每个三角形纸片只剪一次，将它分成两个等腰三角形，试一试，在图中画出裁剪的痕迹.22.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠C =90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E . （1）若CD =1 cm ，求AC 的长； （2）求证：AB =AC +CD .23.（1）如图1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且B 、C 、D 三点共线，联结AD 、BE 相交于点P ，求证： BE = AD .（2）如图2，在△BCD 中，∠BCD ＜120°，分别以BC 、CD 和BD 为边在△BCD 外部作等边三角形ABC 、等边三角形CDE 和等边三角形BDF ，联结AD 、BE 和CF 交于点P ，下列结论中正确的是 （只填序号即可）①AD=BE=CF ；②∠BEC=∠ADC ；③∠DPE=∠EPC=∠CP A =60°； （3）如图2，在（2）的条件下，求证：PB+PC+PD=BE .PCABB图2AD参考答案一．选择题：二．填空题：11. 4 12. 16 13. 065014. 4.8 15. 2三．解答题：21.解：如图所示.22.（1）解：因为AD是∠CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB，所以CD=DE=1 cm.因为AC=BC，所以∠CAB=∠B=错误！未找到引用源。
特殊三角形能力提升测试题
第二章：特殊三角形能力提升测试题 一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1．如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是（ ）A ．80°或50°B ．50°或20°C ．80°或20°D ．50°2．在下列各组数据中，不能作为直角三角形的三边边长的是（ ）A ．3，4，6B ．7，24，25C ．6，8，10D ．9，12，153．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则等腰三角形的底角为（ ）A ．67°B ．67.5°C ．22.5°D ．67.5°或22.5°4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 在BC 上，E 是AB 的中点，AD 、CE 相交于F ，且AD ＝DB.若∠B ＝20°，则∠DFE 等于（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°6．下列说法中，正确的是（ ）A ．直角三角形中，已知两边长为3和4，则第三边长为5B ．三角形是直角三角形，三角形的三边为a ，b ，c ，则满足a 2﹣b 2＝c 2C ．以三个连续自然数为三边长不可能构成直角三角形D ．△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝1：5：6，则△ABC 是直角三角形7．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个 8．如图，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE ＝CD ，AD 、BE 相交于F 点，BH ⊥AD 于H 点，FH ＝3，EF ＝0.5，则AD 的长为（ ）A ．6B ．6.5C ．7D ．7.59.由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连接,AF CH ，设正方形ABCD 的面积为1S ，正方形EFGH 的面积为2S ，四边形AFCH 的面积为3S ．若123S S S =+，则下面结论一定正确的是( )A ．45EAF ∠=︒B ．60=︒∠BAEC ．2BE AE =D ．3BE AE =10.如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝2，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝17；④△COF的面积是32．其中正确的结论为（）A．①②④B．①④C．②③D．①③④二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图是单位长度为1的正方形网格，则123∠+∠+∠=______°．12.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝38°，点E，F分别在边BC，AC上，将△CEF沿EF所在的直线折叠，使C的对应点C'落在AB上，且C'E＝BC'，则∠AFC'＝_____13.如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝°14．如图，已知S△ABC＝10m2，AD平分∠BAC，直线BD⊥AD于点D，交AC于点E，连接CD，则S△ADC＝______________2m15．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为厘米/秒．16.如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝_______三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17（本题6分）．如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，CD＝512（1）求AD的长；（2）求证：△ABC是直角三角形．18.（本题8分）已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．19（本题8分）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，F是BC中点，AF＝12，D是AB中点，DE⊥AC于点E．（1）求BF的长；（2）直接写出DE的长．20（本题10分）．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）求证：a2+b2＝c2．21（本题10分）．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，DE⊥PD交BC于点E．（1）求证：点E在BD的垂直平分线上；（2）若∠DEB＝α，①求∠CPD的度数；（用含α的式子表示）；②当α＝110°时，求∠A的度数．22．（本题12分）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．23.（本题12分）综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断：操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．（2）迁移探究：小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用：在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．。
浙教版八年级数学上《第2章特殊三角形》单元测试含答案
第2章特殊三角形一、选择题1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）A．35° B．45° C．55° D．60°3．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（）A．35° B．40° C．45° D．50°4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或76．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或127．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或128．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80° B．90° C．100°D．105°9．如图，△ABC、△ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若BD=CD=CE，∠ADC+∠ACD=114°，则∠DFC的度数为何？（）A．114 B．123 C．132 D．14710．已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（）A．7 B．8 C．6或8 D．7或811．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或1712．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．60°13．已知等腰三角形△ABC中，腰AB=8，底BC=5，则这个三角形的周长为（）A．21 B．20 C．19 D．1814．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=（）A．30° B．45° C．60° D．90°15．如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．45° C．60° D．70°16．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11 B．16 C．17 D．16或1717．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36° B．54° C．18° D．64°18．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36° B．60° C．72° D．108°19．如图，在五边形ABCDE中，AB=AC=AD=AE，且AB∥ED，∠EAB=120°，则∠DCB=（）A．150°B．160°C．130°D．60°20．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题21．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是______．22．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC=______度．23．如图，a ∥b ，∠ABC=50°，若△ABC 是等腰三角形，则∠α=______°（填一个即可）24．一个等腰三角形的两边长分别是2cm 、5cm ，则它的周长为______cm ．25．若等腰三角形的两条边长分别为7cm 和14cm ，则它的周长为______cm ．26．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是______．27．如图，∠BOC=9°，点A 在OB 上，且OA=1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．第2章特殊三角形参考答案一、选择题1．D；2．C；3．A；4．A；5．A；6．B；7．C；8．B；9．B；10．D；11．A；12．B；13．A；14．B；15．A；16．D；17．B；18．C；19．A；20．A；二、填空题21．120°；22．52；23．130；24．12；25．35；26．110°或70°；27．9；。
浙教版八年级数学上册第二章 特殊三角形 单元检测(提高篇)
浙教版八年级数学上册第二章特殊三角形单元检测（提高篇一、单选题（共10题；共20分）1.下列命题中，正确的是（）A. 过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B. 对角线相等的四边形是矩形C. 两条边及一个角对应相等的两个三角形全等D. 位似图形一定是相似图形2.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC 交DE 于点F，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE 的长为（）A. B. C. D.3.下列命题中真命题是（）A. 如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等B. 如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等C. 如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等D. 如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等4.如图，对角线AC 将正方形ABCD 分成两个等腰三角形，点E，F 将对角线AC 三等分，且AC=15，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=5的点P 的个数是( )A. 0B. 4C. 8D. 165.如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON 于A、B 点，若∠MON=35°，则∠GOH=（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°6.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为，则的值可能是（）A. 10 B. 20 C. 30 D. 407.如图，在Rt△ABC 中，BC2，∠BAC30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON 上滑动，下列结论：①若C，O 两点关于AB 对称，则OA；②C，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为.其中正确的是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②④8.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，过点D 作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE 交OD 于点F，若AB＝2，∠ABC＝60° ，则AE 的长为（）A. B. C. D.9.如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＝BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD＝3，AB＝5，则AC 的长为A. B. 4 C. D.10.如图是一块长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A.cmB.cmC.cmD. ９cm二、填空题（共 6 题；共 12 分）11.如图，A （3,4），B （0,1），C 为 x 轴上一动点，当△ ABC 的周长最小时，则点 C 的坐标为________．12.在△ ABC 中，AB=AC ，CD=CB ，若∠ ACD=42°，则∠ BAC=________°．13.如图，在△ ABC 中，AD 和 BE 是高，∠ ABE=45°，点 F 是 AB 的中点，AD 与 FE ，BE 分别交于点 G 、H ， ∠ CBE=∠ BAD ．有下列结论：①FD=FE ；②AH=2CD ；③BC•AD= AE2；④S △ ABC =2S △ ADF． 其中正确结论的序号是________．（把你认为正确结论的序号都填上）14.如图，在△ ABC 中，AB=AC=15，点 D 是 BC 边上的一动点（不与 B ，C 重合），∠ ADE=∠ B=∠ α，DE 交 AB 于点 E ，且 tan ∠ α= ， 有以下的结论：①△ ADE ∽ △ ACD ；②当 CD=9 时，△ ACD 与△ DBE 全等； ③△ BDE 为直角三角形时，BD 为 12 或；④0＜BE≤， 其中正确的结论是 ________（填序号）15 题15.有一面积为 5 的等腰三角形，它的一个内角是 30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为________． 16.如图，在四边形，中， ，若于点则________.三、综合题（共 7 题；共 88 分）17. 与有公共顶点（顶点均按逆时针排列），，，点是的中点，连接，，并延长交直线，连接.（1）如图，当时，求证：①；②是等腰直角三角形.时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出（2）当是何种特殊三角形.18.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例．原题：如图①，点分别在正方形的边上，，连接，试说明理由，则（1）思路梳理因为，所以把绕点逆时针旋转90°至，点，可使共线．.请证明．与重合．因为，所以根据________，易证（2）类比引申如图②，四边形.若________，得中，，，点分别在边上，都不是直角，则当与满足等量关系时，仍然成立，请证明．（3）联想拓展如图③，在中，，点均在边上，且.猜想应满足的等量关系，并写出证明过程．19.已知抛物线c的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．1（1）求c的解析式；1（2）若直线l：y=x+m与c仅有唯一的交点，求m的值；11（3）若抛物线c关于y轴对称的抛物线记作c，平行于x轴的直线记作l：y=n．试结合图形回答：当122n为何值时，l与c和c共有：①两个交点；②三个交点；③四个交点；212（4）若c与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．220.如图，正方形ABCD的边长为3cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1cm/秒，Q点的运动速度是2cm/秒，连接A，P并过Q作QE⊥AP垂足为E．（1）求证：△ABP∽△QEA；（2）当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；（3）设△QEA的面积为y，用运动时刻t表示△QEA的面积y（不要求考t的取值范围）．（提示：解答（2）（3）时可不分先后）21.已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y 轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．（1）点A的坐标：________，点E的坐标：________；（2）若二次函数y=﹣x+bx+c过点A、E，求此二次函数的解析式；2（3）P是线段AC上的一个动点（P与点A、C不重合）连结PB、PD，设L是△PBD的周长，当L取最小值时。
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷1(解析版)
【期末优化训练】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意.故答案为：A.2．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是()A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25【答案】D【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理的逆定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，要判断三个数是否能是勾股数，只要验证一下，两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方，等于就是直角三角形，否则就不是。
A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D.3．下列命题的逆命题是假命题的是（）A．直角三角形两锐角互余B．全等三角形对应角相等C．两直线平行，同位角相等D．角平分线上的点到角两边的距离相等【答案】B【解析】A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．故答案为：B．4．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【答案】C【解析】设该等腰三角形的较短边长为xcm（x＞0），则较长边长为4xcm．①当xcm为腰时，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能组成三角形；②当4xcm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴该等腰三角形底边长为2cm.故答案为：C.5．如图，一个圆柱形花瓶上下底面圆上有相对的A，B两点，现要用一根金色铁丝装饰花瓶，金色铁丝沿侧面缠绕花瓶一圈，并且经过A ，B 两点．若花瓶高16cm ，底面圆的周长为24cm ，则需要金色铁丝的长度最少为（ ）A ．20cmB ．8√13cmC ．16√13cmD ．40cm 【答案】D【解析】将圆柱体展开如图，点A 为展开图长方形一边的中点，BC 为底面圆周长的一半，∴BC =12cm ，在Rt △ABC 中，AB 2=AC 2+BC 2，∴AB =√AC 2+BC 2=√162+122=20cm ， ∴需要金色铁丝的长度最少为20×2=40cm ， 故答案为：D ．6．如图，在等边△ABC 的AC ，BC 边上各取一点P ，Q ，使AP=CQ ，AQ ，BP 相较于O ，若OB=2则B 点到AQ 的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．√3D ．32【答案】C【解析】 △ABC 是等边三角形∴△BAP ＝△ACQ ＝60°，AB ＝AC ∵在△ABP 和△ACQ 中∵AB ＝AC ，△BAP ＝△ACQ ，AP ＝CQ ∴△ABP△△CAQ （SAS ） ∴△ABP ＝△CAQ ，∵△BAQ ＋△CAQ ＝60°∴△BAQ ＋△ABP ＝60° ∵△BOQ ＝△BAQ ＋ABP ∴△BOQ ＝60° 如图：过点B 作BE△AQ 于点E ，∴△BEA=90°，在Rt△BEO 中，△AOE=60°， ∴△OBE=30°， ∴OE=12BO=1，∴BE=√BO 2−OE 2=√22−12=√3即B点到AQ的距离等于√3.故答案为：C.7．如图，在四边形ABCD中，△DAB＝△BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（）A．183B．87C．119D．81【答案】B【解析】连接BD，∵△DAB＝△BCD＝90°，∴BD2=DC2+BC2=AD2+AB2，∴S3+S2=S4+S1=135；∴S4=135-48=87.故答案为：B8．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且满足AB=AD=DC，过点D作DE⊥AD，交AC 于点E.设∠BAD=α，∠CAD=β，∠CDE=γ，则（）A．2α+3β=180°B．3α+2β=180°C．β+2γ=90°D．2β+γ=90°【答案】D【解析】∵AB=AD=DC，∠BAD=α，∴∠B=∠ADB，∠C=∠CAD=β，∵DE⊥AD，∴∠ADE=90°，∴∠CAD+∠AED=90∘∵∠CDE=γ，∠AED=∠CDE+∠C∴∠AED=γ+β∴2β+γ=90∘故答案为：D.9．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，△BAC＝△DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③△ADB＝△AEB；④S四边形BCDE＝12BD•CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵△BAD=△BAC+△CAD=90°+△CAD，△CAE=△DAE+△CAD=90°+△CAD，∴△BAD=△CAE，∴△ABD△△ACE（SAS），∴CE=BD，△ABD=△ACE，故①正确；∴△BCG+△CBG=△ACB+△ABC=90°，在△BCG中，△BGC=180°-（△BCG+△CBG）=180°-90°=90°，∴BD△CE，∴S四边形BCDE=S△BCE+S△DCE=12CE·BG+12CE·DG=12BD•CE，故④正确；由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，∴BC2+DE2=BE2+CD2，故⑤正确；从题干信息没有给出AC=AD，所以只有AE∥CD时，∠DAE=∠ADC=90°，无法说明AE∥CD，更不能说明CD=AD，故②错误；∵△ABD△△ACE，∴△ADB=△AEC，∵条件不足以证明△CAE≌△BAE，∴△AEC与△AEB相等无法证明，∴△ADB=△AEB不一定成立，故③错误；综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．故答案为：C.10．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A点坐标(6，0)，B点坐标(3，-3)，动点P从A点出发，沿x轴正方向运动，连接BP，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPC，△PBC=90°，连结OC，当OC=10时，△OCP的面积为()A．16√2B．64C．32D．36【答案】C【解析】过点C作CE△y轴于点E，过点B作BF△x轴于点F，延长FB交CE于点D，∴△OFD=△EOF=△OEC=90°，∴四边形OEDF是矩形，∴OF=DE，OE=DF，∵点B（3，-3），点A（6，0），∴OF=AF=BF=DE=3，∵△PBC是等腰直角三角形，∴PB=BC，△PBC=90°，∴△FPB+△FBP=90°，△FBP+△DBC=90°，∴△DBC=△FPB，在△FBP和△DCB中{∠BFP=∠BDC ∠FPB=∠DBC PB=BC∴△FBP△△DCB（AAS），∴BF=DC=3，PF=BD，∴CE=DE+CD=3+3=6；在△COE中OE=DF=√OC2−CE2=√102−62=8∴BD=PF=DF-BF=8-3=5，∴OP=OF+PF=3+5=8，∴S△COP=12OP·DF=12×8×8=32.故答案为：C二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．下列条件：①△C ＝△A －△B ；②△A ：△B ：△C ＝5△2△3；③a ＝35c ，b ＝45c ；④a△b△c ＝1△2：√3，则能确定△ABC 是直角三角形的条件有 个． 【答案】4【解析】①∵△C=△A -△B ，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ②∵△A ：△B ：△C ＝5：2：3，△A ＋△B ＋△C ＝180°，∴△A ＝90°，故△ABC 是直角三角形； ③∵a= 35 c ，b= 45c ，∴a 2+b 2=c 2，∴△c=90°，故△ABC 是直角三角形；④∵a ：b ：c ＝1：2：√3，∴a 2＋c 2＝b 2，∴△B=90°，故△ABC 是直角三角形. 故答案为：4.12．如图，把长方形纸条依次沿着线段EF 、HI 折叠，且EF ∥HI ， 得到“Z”字形图案．已知∠DFE =60°，AE =2cm ，要使点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），则AB = cm ．【答案】10【解析】如图，连接DH ，FK ，点H ，点K 分别在AD 和EF 的延长线上（不与D ，F 重合），点M 为EH 延长线上一点．在长方形纸条ABCD 中，∠A =∠ADC =90°，AB ∥CD ， ∴∠DFE =∠BEF =60°，EH ∥FI ， 由折叠可知：∠GEF =∠BEF =60°， ∴∠AEG =60°， ∴∠AHE =30°，∴AE =12EH ，∵EH ∥FI ，∴∠EHI +∠GEF =180°， ∴∠EHI =120°， ∴∠MHI =60°，由折叠可知：∠JHI =∠MHI =60°， ∴∠EHK =60°， ∵∠GEF =60°， ∴∠EKH =60°，∴ΔEHK 是等边三角形， ∴EH =HK =EK ，∵AE =12EH ，AE =2cm∴EH =HK =EK =4cm ，由折叠可知：AE +EH +HK =AB ， ∴AB =2+4+4=10cm ， 故答案为：10.13．如图，在△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分△CAB 交BC 于D ，DE△AB 于E ，且AB ＝8cm ，则△BED 的周长是 .【答案】8cm【解析】∵△C ＝90°，AD 平分△CAB ，DE△AB ， ∴CD ＝DE ，在△ACD 和△AED 中， {AD =AD CD =DE，∴△ACD△△AED （HL ）， ∴AC ＝AE ，∴△BED 的周长＝DE+BD+BE ， ＝BD+CD+BE ， ＝BC+BE ， ＝AC+BE ， ＝AE+BE ， ＝AB ，∵AB ＝8cm ，∴△BED 的周长是8cm. 故答案为：8cm. 14．如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt △ABC 中，若直角边AC =6，BC =5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是 ．【答案】76【解析】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ， 则x 2=122+52=169， 解得：x =13，∴“数学风车”的外围周长(13+6)×4=76． 故答案为：76.15．如图，在Rt△ABC 中，AC ＝BC ＝1，D 是斜边AB 上一点（与点A ，B 不重合），将△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ，连结DE 交AC 于点F ，若△AFD 是等腰三角形，则AF 的长为 .【答案】12或√2−1【解析】∵Rt△ABC 中，AC=BC=1， ∴△CAB=△B=45°，∵△BCD 绕着点C 旋转90°到△ACE ， ∴△ECD=90°，△CDE=△CED=45°，①AF=FD 时，△FDA=△FAD=45°， ∴△AFD=90°，△CDA=45°+45°=90°=△ECD=△DAE ， ∵EC=CD ，∴四边形ADCE 是正方形， ∴AD=DC ，∴AF= 12AC= 12×1= 12；②AF=AD 时，△ADF=△AFD=67.5°，∴△CDB=180°-△ADE -△EDC=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴△DCB=△CDB ， ∴BD=CB=1，∴AD=AB -BD= √2−1， ∴AF=AD= √2−1，故答案为： 12或 √2−1.16．如图，已知△ABC 中，△ACB=90°，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE=AC ，△BAE=15°，则△COE= 度．【答案】75【解析】∵△ACB=90°，CE=AC ，∴△CAE=△AEC=45°， ∵△BAE=15°，∴△CAB=60°，∴△B=30°，∵△ACB=90°，O 为AB 的中点，∴CO=BO=AO= 12AB ，∴△AOC 是等边三角形，△OCB=△B=30°，∴AC=OC=CE ， ∴△COE=△CEO= 12×（180°-30°）=75°.故答案为：75.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形： （2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为√10的直角三角形． （3）请你在图3中画出△ABC 的边BC 上的高AD ，△ACB 的角平线CE 【答案】（1）解：如图（1）解：如图 （2）解：如图， （3）解：如图AD ，CE 就是所求作的图形.18．如图，ΔABC 为任意三角形，以边AB 、AC 为边分别向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ，CD 、BE 相交于点P.（1）试说明：ΔDAC ≌ΔBAE ； （2）求∠BPC 的度数. 【答案】（1）解：∵ΔABD 和ΔACE 都是等边三角形， ∴AD =AB ，AC =AE ，∠DAB =∠EAC =60°， ∴∠DAC =∠BAE =60°+∠BAC ， 在ΔDAC 和ΔBAE 中，{AD =AB∠DAC =∠BAE AC =AE，∴ΔDAC ≌ΔBAE(SAS).（2）解：由（1）得∠ADC =∠ABE ，∴∠BPC =∠PBD +∠PDB =∠ABD +∠ABE +∠PDB =∠ABD +∠ADC +∠PDB =∠ABD +∠ADB ， ∵∠ABD =∠ADB =60°， ∴∠BPC =120°. 19．已知 △ABC ， AB =AC ，点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上.设 ∠BAD =α ， ∠CDE =β .（1）如果 ∠B =60° ， α=20° ， β=10° 那么 △ADE 是什么特殊三角形？请说明理由. （2）猜想 α 与 β 之间有什么关系时，使得 AD =AE ，并进行证明. 【答案】（1）解： △ADE 等腰三角形，理由是： ∵AB =AC ， ∠B =60° ， α=20° ， ∴∠BAC =∠B =∠C =60° ∴∠DAE =60°−α=40° . ∵∠ADC =∠B +α=80° ， ∴∠ADE =∠ADC −β=70° .∵∠AED =∠C +β=70° ， ∴∠ADE =∠AED ∴AD =AE∴△ADE 是等腰三角形（2）解：要使 AD =AE ，则需 ∠ADE =∠AED ， ∵∠ADE =∠ADC −β=∠B +α−β ， ∠AED =∠C +β ，又∵∠B =∠C ， ∠ADE =∠AED ， ∴∠B +α−β=∠C +β . ∴α=2β .20．如图，在等边△ABC 中，AB =AC =BC =10厘米，DC =4厘米，如果点M 以3厘米/秒的速度运动从点C 到点B 运动.（1）经过多少秒后，△CDM 是等边三角形？（2）若点N 在线段BA 上由B 点向A 点运动.点N 和点M 同时出发，若点N 的运动速度与点M 的运动速度相等.当两点的运动时间为多少时，△BMN 是一个直角三角形？（3）若点N 的运动速度与点M 的运动速度不相等，点N 从点B 出发，点M 以原来的运动速度从点C 同时出发，都是顺时针沿△ABC 三边运动，经过20秒，点M 与点N 第一次相遇，则点N 的运动速度是多少厘米/秒？ 【答案】（1）解：设经过t 秒后，△CDM 是等边三角形，则CM=3t ， ∴CM =DC =4， ∴3t =4，∴t =43，答：经过43秒后，△CDM 是等边三角形；（2）解：设运动时间为t 秒，△BMN 是直角三角形有两种情况： ①当∠NMB =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BNM =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BN =2BM ，∴3t =2×(10−3t)，∴t =209；②当∠BNM =90°时， ∵∠B =60°，∴∠BMN =90°−∠B =90°−60°=30°， ∴BM =2BN ，∴10−3t =2×3t ，∴t =109，综上，当t =209或t =109时，△BMN 是直角三角形；（3）解：分两种情况讨论：若点M 运动速度快，则3×20−10=20V N ， 解得：V N =2.5；若点N 的运动速度快，则20V N −20=3×20， 解得：V N =4；答：点N的运动速度是2.5厘米/秒或4厘米/秒.21．已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，作CD⊥AB，AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC=6，BC=8.（1）求证：CE=CF；（2）求证：MN∥AB；（3）请你连接DN，并求线段DN的长.【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，∵∠CEF=∠AED，∴∠EAD+∠CEF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF；（2）证明：如图，连接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N为EF的中点，∴CN⊥EF，∴∠ANC=90°，∴ΔACN是直角三角形，∵M是AC的中点，∴MN=12AC.∵AM=12AC∴AM=MN，∴∠MAN=∠MNA.∵AF平分∠CAB∴∠MAN=∠NAD，∴∠MNA=∠NAD，∴MN∥AD；（3）解：延长CN交AB于点G，连接DN，∵MN ∥AG ，M 是 AC 的中点，∴N 是 CG 的中点，∴MN =12AG ， 在 Rt △CDG 中， DN =12CG ； ∵∠ACB =90° ， AC =6，BC =8 ，∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10 ，∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ， 即： 6×8=10CD ，∴CD =245， ∴AD =√AC 2−CD 2=√62−(245)2=185 ， ∵MN =12AC ， ∴AG =AC =6，∴DG =AG −AD =6−185=125， ∴CG =√CD 2+DG 2=√(245)2+(125)2=12√55， ∴DN =12CG =65√5 . 22．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，三边上分别有点E 、D 、F ，使得AE ＝BD ＝CF ，过点E作EP△DF ，垂足为点P（1）求证：△BDE△△CFD ；（2）求△DEP 的度数；（3）当点E 、D 、F 分别在三边BA 、CB 及AC 的延长线上时，过点E 作EP△DF ，垂足为点P ，若AE ＝BD ＝CF ＝2，若△BDE 的周长为19，求DP 的长.【答案】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，∴△B=△C=60°，AB=BC ，∵AE=BD=CF ，∴AB -AE=BC -BD ，即BE=CD ，∴△BDE△△CFD （SAS ）；（2）解：由（1）得△BDE△△CFD ，∴△BED=△CDF ，又∵△EDC=△B+△BED，∴△ EDP+△CDF=△B+△BED，∴△ EDP=△B=60°，∵EP△DF，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30° ；（3）解：∵△ABC边长为6，AE=BD =2，∴BE=AB+AE=8，又∵△BDE的周长为19，∴ DE=19-BD-BE=9，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC=△ACB=60°，BA=CB，∴△EBD=180°-△ABC=180°-△ACB=△DCF=120°，又∵BD=AE，∴BA+AE=CB+BD，即BE=CD，∴△BDE△△CFD（SAS），∴△DEB=△FDC，∵△EBC=△EDB+△DEB=60°，∴△EDB+△FDC=60°，即△EDP=60°，又∵EP△DF ，∴△EPD=90°，∴△ DEP=30°，∴DE=2DP，∴DP= 4.5.23．定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是（只填写序号）．①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如图1，在△ABC中，△A＝60°，△B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，△ABC中，△A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM△l于M，DN△l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN 的最大值．【答案】（1）①（2）解：∵∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACB=180°−60°−40°=80°，如图，当EC＝EA时，△AEC＝60°，当FC＝FB时，△BFC＝100°，当BC＝BG时，△B＝40°．如图，当AC＝AR时，△CAR＝20°，当CA＝CW时，△C＝80°，如图，当BC＝BQ时，△CBQ＝20°，综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如图2中，作AG△l于点G．∵CD为AB边上的高，∴△CDB＝△CDA＝90°．∴△ACD＝90°﹣△A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD为△ABC的“友好分割线”，∴△CDB和△CDA中至少有一个是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵△BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN△l于N，∴△DNE＝△AGE＝90°．∵E为AD的中点，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，{∠AGE=∠DNE DE=AE∠DEN=∠AEG∴△DNE△△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，△CMF＝△AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值为8．【解析】（1）根据“友好分割线”的定义可知，如图，等腰直角三角形，顶角为150°的等腰三角形存在“友好分割线”．等边三角形不存在“友好分割线”．故答案为：①；24．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”.（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是.A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，△ABC＝120°，△ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD.若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝√2，求△PDC的面积.（2）√22（3）解：由题意可知：△ABP△△DBP，∴BA＝BD，△ABP＝△DBP，根据“方倍三角形”定义可知：BA2+BD2＝2AD2＝2BA2，∴AD＝AB＝BD，∴△ABD为等边三角形，△BAD＝60°，∴△ABP＝△DBP＝30°，∴△PBC＝90°，∵△CPB＝45°，∴△APB＝180°﹣45°＝135°，∴△DPC＝90°，∵△ABC＝120°，△ACB＝45°，∴△BAC＝15°，∴△CAD＝45°，∴△APD为等腰直角三角形，∴AP＝DP＝√2，∴AD＝2，延长BP交AD于点E，如图，∵△ABP＝△PBD，∴BE△AD，PE＝12AD＝AE＝1，∴BE＝√AB2−AE2=√4−1＝√3，∴PB＝BE﹣PE＝√3﹣1，∵△CPB＝△PCB＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴PC＝√2PB＝√6﹣√2，∴S△PDC＝12×PC•PD＝12×（√6﹣√2）× √2＝√3﹣1.【解析】（1）对于①等边三角形，三边相等，设边长为a，则a2+a2＝2a2，根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”；对于②直角三角形，三边满足关系式：a2+b2＝c2，根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”；（2）设Rt△ABC其余两条边为a，b，则满足a2+b2＝3，根据“方倍三角形”定义，还满足：a2+3＝2b2，联立解得{a=1b=√2，则Rt△ABC的面积为：√22；故答案为：√22；。
专题2.16特殊三角形单元提升卷八年级数学上册举一反三系列(浙教版)[含答案]
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第2章 特殊三角形单元提升卷【浙教版】考试时间：60分钟；满分：100分考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）（23-24八年级·重庆·期中）1．下列是一些图标，其中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．（23-24八年级·浙江·期中）2．如图所示，已知D 为BC 上一点且AB AC BD ==，那么1Ð与2Ð之间满足的关系是（ ）A ．122Ð=ÐB ．132180Ð+Ð=°C ．212180Ð+Ð=°D ．312180Ð-Ð=°（23-24八年级·甘肃武威·阶段练习）3．已知ABC V 的三边长分别为a ，b ，c ，)2100c -=，则ABC V 是（ ）A ．以a 为斜边的直角三角形B ．以b 为斜边的直角三角形C ．以c 为斜边的直角三角形D ．等边三角形（23-24八年级·河北邯郸·期中）4．如图，将一直角三角形纸片沿斜边中线l 剪开，得到ABD △和A CD ¢¢△，下列不一定正确的是（ ）A ．BD D C ¢=B ．90AC Ð+Ð=°C ．AB AD =D ．D A B ¢Ð=+ÐÐ（23-24八年级·全国·单元测试）5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AC BC =，AD 平分CAB Ð交BC 于D ，DE AB ^于E ，若7cm AB =，则AC CD +的长等于（ ）A ．19cmB ．8cmC ．7cmD ．6cm（23-24八年级·山东烟台·期中）6．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为10，面积是125，腰AC 的垂直平分线EF 分别交,AC AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则CDM V 周长的最小值为（ ）A ．15B ．20C ．25D ．30（23-24八年级·云南昆明·期中）7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的正方形，若大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b ，较短的直角边为a ，则a b +的值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8（23-24八年级·辽宁丹东·期中）8．如图，已知等边ABC V 和等边BPE V ，点P 在BC 的延长线上，EC 的延长线交AP 于点M ，连接BM ；下列结论：①AP CE =；②60PME Ð=°；③BM 平分AME Ð；④AM MC BP +=，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（23-24八年级·山东烟台·期中）9．如图，已知等腰直角三角形ACB 中，90,1Ð=°==ACB AC BC ，过点C 作1CM AB ^，垂足为11,M CBM △的面积为1S ，过点1M 作12M M BC ^，垂足为212,M CM M △的面积为2S ，过点2M 作231M M CM ^，垂足为3123,M M M M △的面积为3S ，过点3M 作3412M M M M ^垂足为1234,M M M M △的面积为4S ，如此作下去，…，21n n n M M M --△的面积为n S ，则121n S S S S ++++=L （ ）A ．1122n æö+ç÷èøB ．11122n +æö+ç÷èøC ．1122n æö-ç÷èøD ．11122n +æö-ç÷èø（23-24八年级·湖北荆门·期中）10．如图，在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，给出下列结论：① AB MG =；② ABC AFN S S =△△；③ 过点B 作BI EH ^于点I ，延长B 交AC 于点J ，则AJ CJ =．④ 若1AB =，则225EH FN +=．其中正确的结论个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）（23-24八年级·陕西榆林·期中）11．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是ABC V 的角平分线，E 为AD 的中点，若6BC =，5AC =，则BDE V 的面积为 ．（23-24八年级·山东烟台·期中）12．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A 处出发先往东走8km ，又往北走2km ，遇到障碍后又往西走3km ，再向北走到6km 处往东拐，仅走了1km ，就找到了宝藏，则门口A 到藏宝点B 的直线距离是 ．（23-24八年级·河南开封·期中）13．如图，在四边形ABCD 中，90DAB BCD Ð=Ð=°，分别以四边形ABCD 的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a ，b ，c ，d ．若12b c +=，则a d += ．（23-24八年级·湖北孝感·期中）14．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30B Ð=°．点D 、E 、F 分别为边AC 、AB 、CB 上的点，且DEF V 为等边三角形，若34AD CD =．则AE BE的值为 ．（23-24八年级·山东济宁·期中）15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为16°，则顶角的度数为 ．（23-24八年级·福建宁德·期中）16．如图，在ABC V 中，AB 边的垂直平分线PQ 与ABC V 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD BC ^于点D ，PE AC ^于点E ．若8BC =，4AC =．则CE 的长度是 ．三．解答题（共7小题，满分52分）（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）17．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ^于点E ，DF BC ^于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =．(1)求证：ABC V 是等边三角形；(2)若3BF =，求CG 的长．（23-24八年级·浙江台州·期中）18．如图是边长为1的小正方形组成的58´网格，ABC V 的顶点均在格点上．(1)ABC V 为______三角形；(2)仅用无刻度的直尺画图（画图用实线，要体现过程并保留痕迹）①在图（1）中的AB 上画点D ．连接CD ，使2CD AB =；②在图（2）中的网格上画格点E ，使ACE ACB S S =△△．（23-24八年级·山东济宁·期中）19．如图，ABC V 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动．(1)当点P 的运动速度是1cm /s ，点Q 的运动速度是2cm /s ，当Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），当2t =时，判断BPQ V 的形状，并说明理由；(2)当它们的速度都是1cm /s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （s ），则当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？（23-24八年级·北京海淀·期中）20．已知：在ABC V 中，作ABC Ð的平分线BM ，在BM 上找一点D ，使得DA DC =，过点D 作DE BC ^，交直线BC 于点E ．(1)在图中，依题意补全图形；(2)用等式写出AB BC BE ，，之间的数量关系，并给出证明；(3)如果把作ABC Ð的平分线BM ，改为作ABC Ð的外角PBA Ð的平分线BM ，其他条件不变，直接用等式写出AB BC BE ，，之间的数量关系．（23-24八年级·山西运城·期中）21．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC ．(2)线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB =_____，BC =_____．(4)这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是_____．（23-24八年级·广东湛江·期中）22．如图，在ABC V 中，AB AC =，60BAC Ð=°，过C 作直线CE ，B 关于直线CE 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，CE 与BD 的交点为E ，设()090BCE a a Ð=°<<°．(1)若15a =°，则请直接写出下列两个角的度数：ADC Ð= _______，ADB =∠ _______．(2)随着α的变化，ADB Ð的度数是否也发生变化，请说明理由；(3)当ABD △成为等腰三角形时，求α的值．（23-24八年级·广东广州·期中）23．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，BD 是ABC V 的角平分线，DE AB ^于点E ．(1)如图1，连接EC ，求证：EBC V 是等边三角形；(2)点M 是AC 边上一个动点（不与点D 重合），以BM 为一边，在BM 的下方作60BMG Ð=°，MG 交射线DE 于点G ，请画出完整图形，探究MD DG ，与AD 数量之间的关系，并说明理由．1．B【分析】根据轴对称的定义：如果一个平面图形沿一个条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．【详解】解：A 、不是轴对称图形，故不符合题意；B 、是轴对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，故不符合题意；D 、不是轴对称图形，故不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．2．D【分析】本题考查了三角形内角和，等边对等角，三角形外角性质，根据AB AC BD ==可得180122B C °-Ð-ÐÐ=Ð=，1BDA Ð=Ð，结合三角形外角性质即可得到12C Ð=Ð+Ð，代入C Ð的值整理即可解题．【详解】解：AB AC BD ==Q ，180122B C °-Ð-Ð\Ð=Ð=，1BDA Ð=Ð，2BDA C Ð=Ð+ÐQ ，180121222C °-Ð-Ð\Ð=Ð+Ð=Ð+，整理得：312180Ð-Ð=°，故选：D ．3．C【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为0的条件、勾股定理的逆定)2100c -=可得a ，b ，c 的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为0的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键．【详解】解：Q )2100c -=，60,80,100a b c \-=-=-=，解得6,8,10a b c ===，22236,64,100a b c ===Q ，3664100\+=，即222a b c +=，\ABC V 是以c 为斜边的直角三角形，故选：C ．4．C【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握直角三角形的斜边中线定理．由AD 是直角三角形斜边上的中线可得AD BC BD CD ¢===12，进而得到C A ¢Ð=Ð，根据三角形的外角性质可得D A B ¢Ð=+ÐÐ，即可求解．【详解】解：Q AD 是直角三角形斜边上的中线，\AD BC BD CD ¢===12，\C A ¢Ð=Ð，Q A A ¢Ð+Ð=°90，\90A C Ð+Ð=°，Q D ¢Ð是ABD △的外角，\D A B ¢Ð=+ÐÐ，故A 、B 、D 正确，不符合题意，故选：C ．5．C【分析】根据角的平分线性质定理，等腰直角三角形的判定和性质，解答即可．本题考查了角的平分线性质定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．【详解】∵90C Ð=°，AD 平分CAB Ð，DE AB ^，∴DE DC =．∵DA DA =，∴()HL DAE DAC V V ≌．∴AE AC =．∵90C Ð=°，AC BC =，∴45B CAB Ð=Ð=°．∴45BDE B Ð=Ð=°．∴DE BE =．∴DE BE CD ==．∴7cm AC CD AE BE AB +=+==，故选C ．6．D【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于ABC D 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD BC ^，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线，可知点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM MD +的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：如图，连接AD ，MA ，ABC QV 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，AD BC \^，111012522ABC S BC AD AD \=×=´´=V ，解得25AD =，EF Q 是线段AC 的垂直平分线，∴MC MA =，∴MC MD MA MD +=+，∵垂线段最短，且两点之间线段最短，∴MA MD +的最小值为AD 的长，即MC MD +的最小值为AD 的长，CDM \D 周长的最小值()1125103022CM MD CD AD BC =++=+=+´=．故选：D ．7．A【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形，正确表示出大正方形与小正方形的面积是解题的关键．根据题意得出2261a b +=，()21b a -=，再根据()()224a b a b ab +=-+，即可得出结果．【详解】解：Q 大正方形的面积是61，小正方形的面积是1，2261a b \+=，()21b a -=，2221b a ab \+-=，261160ab \=-=，4120ab \=，()()2241120121a b a b ab \+=-+=+=，11a b +=∴（负值舍去），故选：A ．8．C【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．分别利用全等三角形的判定方法以及其性质得出对应角以及对应边关系进而分别分析得出答案．【详解】证明：①∵等边ABC V 和等边BPE V ，∴AB BC =，60ABC PBE Ð=Ð=°，BP BE =，在APB △和CEB V 中，AB BC ABP CBE BP BE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS APB CEB V V ≌，∴AP CE =，故①正确；②∵APB CEB V V ≌，∴APB CEB Ð=Ð，∵MCP BCE Ð=Ð，则60PME PBE Ð=Ð=°，故②正确；③作BN AM ^于N ，BF ME ^于F ，∵APB CEB V V ≌，∴BPN FEB Ð=Ð，在BNP △和BFE △中，BNP BFE NPB FEB PB EB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴()AAS BNP BFE V V ≌，∴BN BF =，∴BM 平分AME Ð，故③正确；④在BM 上截取BK CM =，连接AK ．由②知60PME Ð=°，∴120AMC Ð=°，由③知：BM 平分AME Ð，∴60BMC AMK BAC Ð=Ð=°=Ð，∴ACM ABK Ð=Ð，在ABK V 和ACM △中，AB AC ABK ACN BK CM =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABK ACM V V ≌，∴AK AM =，∴AMK △为等边三角形，则AM MK =，故AM MC BM +=，∵BM BP ¹，∴AM MC BP +¹，故④错误；正确的有①②③，共3个．故选：C ．9．D【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算，解题的关键是通过计算三角形的面积得出规律是解题的关键．先分别求出出123,,S S S L ，得出规律，再求出它们的和即可．【详解】解：∴等腰直角三角形ACB 中，90,1Ð=°==ACB AC BC ，111,B CM A B M A M \^=，∴2111112222ABC S S æö==´´1´1=ç÷èøV ,同理：3212S æö=ç÷èø，4312S æö=ç÷èø，……112n n S +æö=ç÷èø设121n S S S S S =++++L 234111112222n +æöæöæöæö=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ,则34512111111222222n n S ++æöæöæöæöæö=+++++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ，∴22111222n S S +æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，22111222n S +æöæö=-ç÷ç÷èøèø11122n S +æö=-ç÷èø．故选D ．10．D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出()SAS ACB MCG V V ≌，进而得到AB MG =，即可判断①；过点F 作FO NA ^交NA 延长线于点O ，证明出()AAS AFO ABC V V ≌，得到OF BC =，然后利用三角形面积公式即可得到ABC AFN S S =△△，即可判断②；过点A 作AP BJ ^交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ BJ ^，证明出()AAS ABP BEI V V ≌，得到AP BI =，同理得到CQ BI =，得到CQ AP =，然后证明出()AAS AJP CJQ V V ≌，得到AJ CJ =，即可判断③；根据全等三角形的性质得到2EH BJ =，然后利用勾股定理证明出2224EH AC BC =+，同理得到2224NF AC BC =+，然后得到22255EH NF AB +==，即可判断④．【详解】∵在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，以该三角形的三条边为边向外作正方形ABEF ，正方形BCGH 和正方形ACMN ，∴AC MC =，BC GC =，90MCA GCB Ð=Ð=°∵90ACB Ð=°∴90MCG ACB Ð=Ð=°∴()SAS ACB MCG V V ≌∴AB MG =，故①正确；如图所示，过点F 作FO NA ^交NA 延长线于点O ，∵90FAO BAO CAB BAO Ð+Ð=Ð+Ð=°∴FAO CABÐ=Ð又∵90O ACB Ð=Ð=°，AF AB=∴()AAS AFO ABC V V ≌∴OF BC=∵AN AC=∵12ANB S AN OF =×V ，12ACB S AC BC =×V ∴ABC AFN S S =△△，故②正确；如图所示，过点A 作AP BJ ^交BJ 的延长线于点P ，过点C 作CQ BJ^∵90ABP BEI Ð+Ð=°，90EBI BEI Ð+Ð=°∴ABP BEIÐ=Ð又∵90P BIE Ð=Ð=°，AB BE=∴()AAS ABP BEI V V ≌∴AP BI=同理可证，()AAS BCQ HBI V V ≌∴CQ BI=∴CQ AP=∵90P CQJ Ð=Ð=°，AJP CJQÐ=Ð∴()AAS AJP CJQ V V ≌∴AJ CJ =，故③正确；∵()AAS ABP BEI V V ≌∴BP EI=∵()AAS BCQ HBI V V ≌∴BQ HI=∵()AAS AJP CJQ V V ≌∴PJ QJ=∵2EH EI HI PB BQ PJ QJ BQ BQ BJ=+=+=+++=∵AJ CJ=∴2222214BJ CJ BC AC BC =+=+∴()2222222124444EH BJ BJ AC BC AC BC æö===+=+ç÷èø同理可证，2224NF AC BC =+∴()22222222224455515EH NF AC BC AC BC AC BC AB +=+++=+==´=，故④正确．综上所述，正确的结论个数是4．故选：D ．11．3【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由等腰三角形的性质得3BD CD ==，AD BC ^，由勾股定理求得4=AD ，则得2DE =，由面积公式即可计算结果，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键，【详解】解：∵AB AC =，AD 是ABC V 的角平分线，∴132BD CD BC ===，AD BC ^，∴90ADB ADC Ð=Ð=°，在Rt ADC V 中，由勾股定理得4AD ===，∵E 为AD 的中点，∴122AE ED AC ===，∴BDE V 的面积为11·32322BD DE =´´=，故答案为：3．12．10km【分析】根据题意先求A 、B 两地的水平距离和竖直距离，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点B 作BC AC ^，垂足为C ，延长ND 交AC 于M ，如下图：观察图形可得：8316AC AF MF MC =-+=-+=（km ），628BC =+=（km ），在Rt ACB V 中，10AB （km ）．故答案为：10km ．【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的运用，解题关键是结合图形找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度．13．12【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．利用勾股定理的几何意义解答．【详解】解：如图，连接BD ，由题意可知：2a AB =，2b BC =，2c CD =，2d AD =．在直角ABD △和BCD △中，22222BD AD AB CD BC =+=+，即a d b c +=+，Q 12b c +=，12a d \+=．故答案为：1214．1117【分析】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，设3,4AD m CD m ==，则214AB AC m ==，利用三角形外角性质推出31Ð=Ð，在BE 上截取3EG AD m ==，证明EFG DEA V V ≌，得到460A Ð=Ð=°，推出5B Ð=Ð，即可求出BG 的长度，由此得到答案，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】设3,4AD m CD m ==，则214AB AC m ==，∵321BED A Ð+Ð=Ð=Ð+Ð，260Ð=Ð=°A ∴31Ð=Ð，在BE 上截取3EG AD m==∵=DE EF∴EFG DEAV V ≌∴460A Ð=Ð=°∴5430B BÐ=Ð-Ð=°=Ð∴1122AB EG BG FG AE m -====，∴172BE m =，∴1111217172m AE BE m ==，故答案为：1117．15．74°或106°【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角性质，当等腰三角形的顶角是钝角或锐角两种情况分析即可，熟练掌握等腰三角形的性质及理解分类讨论思想的应用是解题的关键．【详解】①当等腰三角形的顶角为锐角时，过B 作BD AC ^于点D ，如图所示，∴90BDA Ð=°，∵16ABD Ð=°，∴74A Ð=°；②当等腰三角形的顶角为钝角时，过B 作BD AC ^，交CA 延长线于点D ，如图所示，∴90BDA Ð=°，∵16ABD Ð=°，∴9016106BAC BDA ABD Ð=Ð+Ð=°+°=°，故答案为：74°或106°．16．2【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接,AP BP ，通过证明()Rt Rt HL CPD CPE V V ≌，得出CD CE =，在证明()Rt Rt HL APE BPD V V ≌，得出AE BD =，即可解答．【详解】解：连接,AP BP ，∵CP 平分DCE Ð，PD BC ^，PE AC ^，∴PD PE =，在Rt CPD V 和Rt CPE △中，CP CP PD PE =ìí=î，∴()Rt Rt HL CPD CPE V V ≌，∴CD CE =，∵PQ 是AB 的垂直平分线，∴AP BP =，在Rt APE V 和Rt BPD △中，AP BP PD PE=ìí=î，∴()Rt Rt HL APE BPD V V ≌，∴AE BD =，∴()CE AE AC BD AC BC CD AC BC CE AC =-=-=--=--，整理得：2844CE BC AC =-=-=，∴2CE =，故答案为：2．17．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到A ACB Ð=Ð，求得AB BC =，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；（2）由（1）知，ABC V 是等边三角形，求得60ACB Ð=°，易得30DBC Ð=°，得到BD GD =，求得3BF FG ==，根据直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：DE AB ∵⊥于点E ，DF BC ^于点F ，90AED CFD \Ð=Ð=°，D Q 为AC 的中点，AD CD \=，在Rt ADE V 与Rt CDF △中，AD CD DE DF =ìí=î，Rt Rt (HL)ADE CDF \V V ≌，A ACB \Ð=，AB BC \=，AB AC =Q ，AB AC BC \==，ABC \V 是等边三角形；（2）解：由（1）知，ABC V 是等边三角形，60ACB Ð=°∴，60ACB G CDG \Ð=Ð+Ð=°，CD CG =Q ，30G CDG \Ð=Ð=°，AD CD =Q ，∴30DBC Ð=°，BD GD \=，3BF FG \==，90DFC Ð=°Q ，60BCA Ð=°，30CDF \Ð=°，1122CF CD CG \==，2CG \=．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．(1)直角；(2)①作图见详解；②作图见详解【分析】（1）利用勾股定理分别求出222,,AC BC AB ，再利用勾股定理逆定理证明即可；（2）①根据矩形的性质得到点D 为AB 中点即可；②平行线间的距离处处相等，得到CEA V 与ABC V 等高同底，即可求解．【详解】（1）解：2222222223318,4432,1750AC BC AB =+==+==+=，∴222AC BC AB +=，∴90ACB Ð=°，∴ABC V 为直角三角形；（2）解：①如图，CD 即为所求：根据矩形对角线相等且互相平分得到点D 为AB 中点，∵90ACB Ð=°，∴2CD AB =；②如图，CEA V 即为所求：此时,BE AC 与水平线的夹角为45°，∴AC BE P ，∴根据平行线间的距离处处相等，得到CEA V 与ABC V 等高，又同底，∴ACE ACB S S =△△．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．19．(1)BPQ V 是等边三角形，理由见解析(2)当点P 的运动时间为2s 或4s 时，BQP V 是直角三角形【分析】（1）分别求出BP BQ 、的长可知BP BQ =，再由等边三角形的性质得到=60B а，即可证明BPQ V 是等边三角形；（2）分当90PQB Ð=°时和当90BPQ Ð=°时两种情况利用含30度角的直角三角形的性质求解即可，本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．【详解】（1）解：BPQ V 是等边三角形，理由如下；由题意得，当2t =时，2cm 4cm AP BQ ==，，∴4cm BP AB AP =-=，∴BP BQ =，∵ABC V 是等边三角形，∴=60B а，∴BPQ V 是等边三角形；（2）解；∵运动时间为s t ，∴cm cm AP t BQ t ==，，∴()6cm BP AB AP t =-=-，如图1所示，当90PQB Ð=°时，∵=60B а，∴9030BPQ B =°-=°∠∠，∴2BP BQ =，∴62t t -=，解得2t =；如图2所示，当90BPQ Ð=°时，同理可得30BQP Ð=°，∴2BQ BP =，∴()26t t -=，解得4t =；综上所述，当点P 的运动时间为2s 或4s 时，BQP V 是直角三角形．20．(1)见解析(2)2AB BC BE +=,证明见解析(3)2AB BC BE-=【分析】根据题意补全图形即可．（2）在BC 上截取FB AB =，从而构造ABD FBD ≌△△，则DF DA DC ==，再利用等腰三角形CDF 的“三线合一”性质证得EF CE =，再结合AB FB =即可获得结论．（3）与（2）的思路类似．【详解】（1）补全图形如图所示：（2）2AB BC BE +=，证明如下：在BC 上取一点F ，使AB FB =，连接DF ．（如图）∵AB FB ABD FBDBD BD =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS ABD FBD V V ≌∴DA DF =，∵DA DC=∴DF DC=∵DE BC ^，∴DE 为等腰三角形CDF 底边CF 上的高，∴EF CE =，由ABD FBD ≌△△得AB FB=∵BE BC CE BC EF BE FB EF AB EF =-=-ìí=+=+î①②∴+①②，得2BE AB BC=+即：2AB BC BE+=（3）结论：2AB BC BE -=．理由如下：在射线BP 上取一点F ，使FB AB =（如图）∵FB AB FBD ABDBD BD =ìïÐ=Ðíï=î∴()SAS FBD ABD V V ≌∴DF DA=又∵DA DC=∴DF DC=∵DE BC ^，即DE FC^∴EF CE =，即FB BE BC BE-=+∴AB BE BC BE-=+∴2AB BC BE-=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、利用等腰三角形“三线合一”证明，解题的关键是利用角平分线构造全等三角形．21．(1)见解析；(2)两点之间线段最短；(3)120cm ，50cm ；(4)130cm【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接AC 即可；（2）根据题（1）即可求解；（3）根据题意可得，展开图中AB 等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中BC 等于长方形地毛毯的宽；（4）根据勾股定理计算AC 的长即可求解．【详解】（1）如图所示即为所求：（2）线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的802020120AB =++=cm ，50BC =cm ．故答案为：120cm ，50cm ；（4）由题（1）可得：在Rt ABC V 中，由勾股定理可得：130AC ===cm ，故答案为：130cm ．【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．22．(1)45°；30°(2)不变，理由见解析；(3)15°或30°或75°或60°【分析】（1）根据轴对称的性质得出15BCE DCE Ð=Ð=°，CB CD =，根据等腰三角形的性质求出()118030752CDB CBD Ð=Ð=°-°=°，证明ABC V 是等边三角形，得出60ACB Ð=°，AC CB CD ==，根据等腰三角形性质求出190452ADC Ð=´°=°，最后求出结果即可；（2）根据解析（1）的思路，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求出30ADB Ð=°即可证明结论；（3）分四种情况进行讨论，根据等腰三角形的定义，进行分类，分别画出图形，求出结果即可．【详解】（1）解：如图1中，∵B ，D 关于CE 对称，∴15BCE DCE Ð=Ð=°，CB CD =，∴30BCD Ð=°，∵CB CD =，∴()118030752CDB CBD Ð=Ð=°-°=°，∵AB AC =，60BAC Ð=°，∴ABC V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，AC CB CD ==，∴603090ACD Ð=°+°=°，∴190452ADC Ð=´°=°，∴754530ADB CDB ADC Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：45°；30°．（2）解：如图2中，结论：ADB Ð的度数不变，30ADB Ð=°．理由：∵CA CD =，602ACD a Ð=°+，∴()1180602602CDA CAD a a Ð=Ð=°-°-=°-，∵CB CD =，2BCD a Ð=，∴()11802902CDB CBD a a Ð=Ð=°-=°-，∴()906030ADB CDB CDA a a Ð=Ð-Ð=°--°-=°．（3）解：如图3中，当DA DB =时，∵CA CB =，DA DB =，∴AC ，BC 关于CD 对称，∴30BCD ACD Ð=Ð=°，∴1152BCD a =Ð=°；如图4中，当BA BD =时，BCD △是等边三角形，∴60DCB Ð=°，∴1302BCD a =Ð=°；如图5中，当DA DB =时，∵DA DB =，CA CB =，DC DC =，∴ADC BCD △≌△，∴()1360601502DCB DCA Ð=Ð=°-°=°，∴1752BCD a =Ð=°；如图6中，当DA AB =时，∵DA AB =，CD CB =，AC AC =，∴ADC ABC ≌△△，∴60ACD ACB Ð=Ð=°，∴6060120BCD Ð=°+°=°，∴1602BCD a =Ð=°，综上所述，满足条件的α的值为15°或30°或75°或60°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．23．(1)见解析(2)MD AD DG +=，理由见解析【分析】（1）先证DA DB =，再证BC BE =，然后由等边三角形的判定即可得出结论；（2）延长BD 至H ，使得DH DM =，连接MH ，证MDH V 是等边三角形，得MH MD =，60H HMD HDM Ð=Ð=Ð=°，得H ADG Ð=Ð，然后证()ASA DMG HMB V ≌，得DG HB =，即可解决问题．【详解】（1）证明：Q 在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，\60ABC Ð=°，12BC AB =，Q BD 平分ABC Ð，\30CBD DBA A Ð=Ð=Ð=°，\DA DB =，又Q DE AB ^，\12AE BE AB ==，\BC BE =，又Q 60ABC Ð=°，\EBC V 是等边三角形；（2）解：MD AD DG +=，理由如下：如图，延长BD 至H ，使得DH DM =，连接MH ，由（1）得DA DB =，30CBD DBA A Ð=Ð=Ð=°，Q 90ACB Ð=°，\90903060CDB CBD Ð=°-Ð=°-°=°，\60MDH CDB Ð=Ð=°，又Q DH DM =，\MDH V 是等边三角形，\MH MD =，60H HMD HDM Ð=Ð=Ð=°，Q DE AB ^，\90DEA Ð=°，\90903060ADG A Ð=°-Ð=°-°=°，\H ADG Ð=Ð，Q 60BMG Ð=°，\BMG BMD DMH BMD Ð+Ð=Ð+Ð，即DMG HMB Ð=Ð，在DMG V 和HMB V 中，DMG HMB DM HMMDG H Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，\()ASA DMG HMB V ≌，\DG HB =，Q HB HD DB MD AD =+=+，\MD AD DG +=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。
第2章 特殊三角形培优训练试题（含解析）
浙教版八上数学第二章：特殊三角形培优训练答案一．选择题：1.答案：A解析：∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD=BD=A D=21AB ， 故选A ．2.答案：B解析：①当3为底时，其它两边都为1， ∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去， 当3为腰时， 其它两边为3和1， 3、3、1可以构成三角形， 周长为7．故选B.3.答案：C解析：由∠ACB=90°，∠A=22°，三角形内角和是180º，可得∠B=90º-22º=68º，因为折叠角相等，所以∠CED=∠B=68º，∠BDC=∠E DC=21∠BDE ，，因为四边形内角和是360º，所以∠BDE=360º-90º-68º-68º=134º，所以∠BDC=21∠BDE=21×134º=67º．故选C ．4.答案：A解析：∵实数m 、n 满足等式042=-+-n m ， ∴4,2==n m∵m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，∴这个等腰三角形的三边分别为，2,4,4，故周长为10。
故选择A5.答案：B解析：如图所示，共3个，故选择B6.答案：B解析：∵三角形中，一个角等于另外两个内角之和，那么这个角为090，故（1）为直角三角形； ∵三个内角之比为3：4：5，∴0180543=++k k k ，解得：015=k ， ∴三内角分别为：045， 060，075，故（2）不是直角三角形；∵三边之比为5：12：13；∴()()()222251216913k k k k +==，故（3）是直角三角形；∵三边长分别为5，24，25，∴,625252=，60152422=+故（4）不是直角三角形，故选择B7.答案：D解析：当高在三角形内部时，顶角为050， 当高在三角形外部时，顶角为0130 故选择D8.答案：A解析：∵OD ∥AB ，∴∠DOB=∠ABO ， ∵BO 平分∠ABC ，∴∠ABO=∠DOB ， ∴∠BOD=∠DBO ，∴OD=BD ，同理OE=CE ，∴△ODE 的周长为OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm ， 故选：A ．9.答案：C解析：如图，连接CF ，∵点D 是BC 中点，∴BD=CD ， 由折叠知，∠ACB=∠DFE ，CD=DF ，∴BD=CD=DF ，∴△BFC 是直角三角形，∴∠BFC=90°， ∵BD=DF ，∴∠B=∠BFD ，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE ， ∴AE=EF ，故A 正确，∵,EF AE =EC EF =，∴AE=EC ，故E 是AC 的中点，故B 正确， ∵AE=CE ，∴S △ADE =S △CDE ，由折叠知，△CDE ≌△△FDE ，∴S △CDE =S △FDE ，∴S △ADE =S △FDE ，故D 正确， ∴C 选项不正确，故选：C ．10.答案：C解析：如图所示：共8个，故选择C二．填空题：11.答案:两直线平行，内错角相等解析:“内错角相等，两直线平行”的条件是：内错角相等，结论是：两直线平行。
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章 特殊三角形 测试卷1(解析版)
【期末复习提升卷】浙教版2022-2023学年八上数学第2章特殊三角形测试卷1（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．若以下列数组为边长，能构成直角三角形的是()A．4，5，6B．√2，√3，√5C．0.2，0.3 ，0.5D．13，14，15【答案】B【解析】A、42+52≠62，不能构成直角三角形；B、(√2)2+(√3)2=(√5)2，能构成直角三角形；C、0.22+0.32≠0.52，不能构成直角三角形；D、(15)2+(14)2≠(13)2，不能构成直角三角形.故答案为：B.2．下列命题中，逆命题错误的是（）A．两直线平行，同旁内角互补B．对顶角相等C．直角三角形的两个锐角互余D．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方【答案】B【解析】A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，符合题意，故本选项不符合题意；B、逆命题是相等的角是对顶角，为假命题，故本选项符合题意；C、逆命题是：若一个三角形两锐角互余，则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意；D、逆命题是：若一个三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方则为直角三角形，符合题意，故本选项不符合题意．故答案为：B．3．如图，ABC是一钢架的一部分，为使钢架更加坚固，在其内部添加了一些钢管DE、EF、FG…添加的这些钢管的长度都与BD的长度相等．如果∠ABC＝10°，那么添加这样的钢管的根数最多是（）A．7根B．8根C．9根D．10根【答案】B【解析】∵添加的钢管长度都与BD相等，∠ABC＝10°，∴∠DBE＝∠DEB＝10°，∴∠EDF＝∠DBE+∠DEB＝20°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝20°，∴∠FEG＝∠ABC+∠EFD＝30°，…由此思路可知：第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，第四个是40°，第五个是50°，第六个是60°，第七个是70°，第八个是80°，第九个是90°（与三角形内角和为180°相矛盾）就不存在了，所以一共有8个，∴添加这样的钢管的根数最多是8根.故答案为：B.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上且AD＝BD，M是BD的中点，若AC＝8，BC＝4，则CM等于（）A．52B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，M 是BD 的中点，∴CM =12BD ，设CM =x ，则BD =AD =2x ， ∵AC =8，∴CD =AC −AD =8−2x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得， BC 2+CD 2=BD 2，即42+(8−2x)2=(2x)2，解得：x =52故答案为：A. 5．如图，在等边三角形ABC 中，BC=2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】∵D 是AB 的中点，∴AD =12AB =1， ∵等边三角形ABC 中∠A=∠C=60°， 且DF ⊥AC ，∴∠ADF=180°-90°-60°=30°，在Rt △ADF 中，AF =12AD =12，∴FC =AC −AF =2−12=32，同理，在Rt △FEC 中，EC =12FC =12×32=34，∴BE =BC −EC =2−34=54．故答案为：C ．6．以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）A ．6B ．36C ．64D ．8 【答案】A【解析】∵两个正方形的面积分别为8和14，且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方， ∴正方形A 的面积=14-8=6． 故答案为：A ．7．如图， △ABC 中， ∠BAC =90° ， AB =3 ， AC =4 ，点 D 是 BC 的中点，将 △ABC 沿 AD 翻折得到 △AED ，连 CE ，则线段 CE 的长等于（ ）A ．75B ．54C ．53D ．2【答案】A【解析】如图，连接 BE 交 AD 于 O ，作 AH ⊥BC 于 H ．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC=√AC2+AB2=5，∴CD=DB，∴AD=DC= DB=52．又∵12BC⋅AH=12AB⋅AC，∴AH=125．又∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线BE，△BCE是直角三角形．∵12AD⋅BO=12BD⋅AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245．在Rt△BCE中，EC=√BC2−BE2=75．故答案为：A．8．如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，a），等腰直角三角形ODC的斜边经过点B，OE⊥AC，交AC于E，若OE＝2，则△BOD与△AOE的面积之差为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】∵A（a，0），B（0，a），∴OA=OB.∵△ODC是等腰直角三角形，∴OD=OC，∠D=∠DCO=45°.∵∠DOC=∠BOA=90°，∴∠DOB=∠COA.在△DOB和△COA中，∵OD=OC，∠DOB=∠COA，OB=OA，∴△DOB≌△COA（SAS），∴∠D=∠OCA=45°，S△DOB﹣S△AOE=S△EOC.∵OE⊥AC，∴∠OEC=90°，∴△CEO是等腰直角三角形，∴OE=EC=2，∴S△DOB﹣S△AOE=S△EOC=12×2×2=2.故答案为：A.9．如图，在ΔABD中，AD=AB，∠DAB=90°，在ΔACE中，AC=AE，∠EAC=90°，CD，BE相交于点F，有下列四个结论：①∠BDC=∠BEC；②FA平分∠DFE；③DC⊥BE；④DC=BE．其中，正确的结论有（）A．①②③④B．①③④C．②③D．②③④【答案】D【解析】∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BDA=∠ECA=45 °，又∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即：∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC，故④正确；∠ADF=∠ABF，∴∠BDC=45 °−∠ADF，∠BEC=45 °−∠AEF，而∠ADF=∠ABF ≠∠AEF，∴∠BDC ≠∠BEC，故①错误；∵∠ADF+∠FDB+∠DBA=90°，∴∠FDB+∠DBA+∠ABF=90°，∴∠DFB=90°，∴CD⊥BE，故③正确；作AP⊥CD于P，AQ⊥BE于Q，∵△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC，∵BE=DC，∴AP= AQ，∵AP⊥CD，AQ⊥BE，∴FA平分∠DFE，故②正确；综上，②③④正确；故答案为：D．10．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD=4，BC=2，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为（）A．2√3B．2√7C．√3或√7D．2√3或2√7【答案】D【解析】①当E在CA延长线上时，过A作AM⊥BE于M，如下图：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，CD=4，BC=2，∴AE=CE−AC=4−2=2，∠BAC=60°，∴AE=AB，∴∠AEB=∠ABE=30°，EM=BM，在Rt△ABM中，AM=12AB=1，BM=√3AM=√3，∴BE=2BM=2√3；②当E在AC的延长线上时，过B作BN⊥AC于N，如下图：在Rt△BCN中，CN=12BC=1，由勾股定理得：BN=√3CN=√3，∴NE=CE+CN=4+1=5，在Rt△BNE中，BE=√BN2+NE2=√(√3)2+52=2√7．综上所述，线段BE的长为2√3或2√7．故答案为：D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．【答案】3.75【解析】设这个湖的水深是x尺，则荷花的长为（x+0.5）尺，根据题意，得x2+22=(x+0.5)2，解得：x=3.75，∴这个湖的水深是3.75尺．故答案为：3.75．12．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为点D、E，AD与BE交于点F，BF=AC，∠ABE=20°，则∠CAD的度数是．【答案】25°【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=∠ADC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠DBF+∠C=90°，∴∠DBF=∠DAC，在△DBF和△DAC中，{∠BDF=∠ADC ∠DBF=∠DACBF=AC，∴△DBF≅△DAC（AAS），∴AD=BD，∵∠ADB=90°，∴∠ABD=∠DAB=45°，∵∠ABE=20°，∴∠CAD=∠DBF=∠ABD-∠ABE=45°-20°=25°.故答案为：25°.13．如图，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，则点A到BC的距离是.【答案】12【解析】过A作AD⊥BC交BC的延长线于D，∴∠D=90°，∴AB2−BD2=AD2=AC2−CD2，∵AB=20，AC=15，BC=7，∴202−（7+CD）2=152−CD2，∴CD=9，∴AD=√152−92=12，∴点A到BC的距离是12；故答案为：12.14．如图，在平面直角坐标系中，长方形AOBC的边OB、OA分别在x轴、y轴上，点D在边BC 上，将该长方形沿AD折叠，点C恰好落在边OB上的E处.若点A(0，8)，点B(10，0)，则点D 的坐标是.【答案】（10，3）【解析】∵A（0，8），点B（10，0），∴OA=BC=8，OB=AC=10，设BD＝a，则CD＝8﹣a，由题意可得，CD＝DE＝8﹣a，由对折知，AE＝AC＝10，∴OE=√AE2−AO2=√102−82=6，∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4，∵∠DBE＝90°，∴a2+42＝（8﹣a）2，解得a＝3，∴点D的坐标为（10，3），故答案为：（10，3）.15．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，AB和FE交于点M，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②BE2＋DC2＝DE2；③AB﹣AD＝ED﹣BE；④只有当∠AME＝90°时，BF＝BE，其中正确的有．【答案】①②④【解析】∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠CAD+∠BAD=∠F AB+∠BAD=90°，∴∠F AB=∠DAC，又∵AB=AC，AF=AD，∴△AFB≌△ADC（SAS），∠C=∠ABC=45°，故①说法符合题意∴AF=AD，BF=CD，∠C=∠ABF=45°，∴∠FBE=90°∵∠EAD=45°，∠F AD=90°，∴∠F AE=∠DAE=45°又∵AE=AE，∴△AFE≌△ADE（SAS），∴DE=FE，2BE2=EF2，∵BF+2BE2=DE2，故②说法符合题意；∴CD+如图所示，过点A作AH⊥BC于H，设AH=BH=x，则AB=√2x，当BE=CD时，即BE=BF，∴ED=EF=√2BE，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACD，∴AD=AE，∴EH=DH=12ED∵BH=BE+EH=x，∴BE+√22BE=x ，∴BE=(2−√2)x，∴EH=(√2−1)x∴AD=AE=√AH2+EH2=√4−2√2x，∴AB−AD=√2x−√4−2√2x，ED−BE=(2√2−2)x−(2−√2)x=(3√2−4)x∴此时AB−AD≠ED−BE，故③不符合题意；当∠AME＝90°时，∴∠BMF=∠BME=90°，又∵∠FBM=∠MBE=45°，∴BF=BE，故④符合题意，故答案为：①②④．16．如图所示，∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OM＝11，ON＝6.点P、Q分别是OA、OB上动点，则MQ+PQ+NP的最小值是.【答案】√223【解析】如图，作点N关于OA的对称点N′，则NP=N′P，作点M关于OB的对称点M′，则MQ=M′Q，∴MQ+PQ+NP=M′Q+PQ+N′P≥M′N′，∴当N′，P，Q，M′在同一条直线上时取最小值，连接ON′，OM′，过点N′作N′E⊥OM′交OM′的反向延长线于点E，∵∠AOB=50°，∠OC=30°，则∠N′OA=∠AOC=∠AOB−∠BOC=20°，∠BOM′=∠BOA=50°∴∠N′OM′=2∠N′OA+∠COB+∠BOM′=40°+30°+50°=120°，∴∠EON′=60°∵N′E⊥OM′∴∠EN′O=30°∵ON′=ON=6，OM=OM′=11∴EO=12N′O=3在Rt△EON′中，EN′=√ON′2−OE2=√62−32=3√3在Rt△EM′N′中，EM′=EO+OM′=3+11=14，∴M′N′=√EN′2+EM′2=√(3√3)2+142=√223故答案为：√223.三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D是边AB上一点，DE与AC相交，AB＝17．（1）求证：△BCD≌△ACE．（2）若BD＝5，求DE的长．【答案】（1）证明：∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACB-∠ACD＝∠ECD-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，∴△BCD≌△ACE；（2）解：∵AC=BC，∠ACB＝90°，∴∠B=∠CAB=45°，∵△BCD≌△ACE，∴∠CAE=∠B=45°，AE=BD=5，∴∠EAD=90°，∵AB＝17，BD＝5，∴AD=12，∴DE=√AE2+AD2=√122+52=13．18．如图，在等腰△ABC中，点D在AB边上，点E是AC延长线上的点，DE交底边BC于点G，AE＝3AD＝3BD＝3，（1）求CE的长度；（2）求证：AG是△ADE的中线．【答案】（1）解：∵AE＝3AD＝3BD＝3，∴AE=3，AD=1，BD=1，∴AB=AD+BD=1+1=2，∴△ABC为等腰三角形，BC为底边，∴AC=AB=2，∴CE=AE-AC=3-2=1；（2）证明：过点E作EF∥AB交BC延长线于点F，∴∠F=∠ABC，∵△ABC为等腰三角形，∠ACB=∠FCE，∴∠ABC=∠ACB，∴∠FCE=∠F，∴CE=FE=1=BD，在△BDG 和△FEG 中{∠B =∠F∠DGB =∠EGF BD =FE，∴△BDG ≌△FEG （AAS ）， ∴DG=EG ，∴AG 为△ADE 的中线．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，在Rt △ABD 中，∠D =90°，AD 与BC 交于点E ，且∠DBE =∠DAB ．求证：（1）∠CAE =∠DBC ；（2）AC 2+CE 2=4BD 2． 【答案】（1）证明：如下图所示，标出∠1，∠2，∠3．∵∠ACB =90°，∠ADB =90°，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠DBC =90°． ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2．∴∠3=∠DBC ，即∠CAE =∠DBC ．（2）证明：在（1）中图延长BD 交AC 延长线于点F ． 由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠DBE ． ∵∠DBE =∠DAB ， ∴∠3=∠DAB ． ∵∠ADB =90°， ∴∠ADF =90°． ∴∠ADF =∠ADB ． 在△ADF 和△ADB 中，∵{∠3=∠DAB ，AD =AD ，∠ADF =∠ADB ，∴△ADF ≌△ADB(ASA)． ∴FD =BD ． ∴BF =2BD ．∵∠ACB =90°，即∠ACE =90°， ∴∠BCF =90°． ∴∠ACE =∠BCF ．由（1）可知∠3=∠DBC ，即∠3=∠CBF ． 在△ACE 和△BCF 中，∵{∠3=∠CBF ，AC =BC ，∠ACE =∠BCF ，∴△ACE ≌△BCF(ASA)．∴AE =BF ．∴AE =2BD∵在Rt △ACE 中，AC 2+CE 2=AE 2，∴AC 2+CE 2=(2BD)2=4BD 2．20．如图，△ABC 是等边三角形，延长BC 到点E ，使CE=12BC ，若D 是AC 的中点，连接ED 并延长交AB 于点F ．（1）若AF=3，求AD 的长；（2）求证：DE=2DF ．【答案】（1）解：∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ，∠A=∠ACB=60°，∵D 为AC 中点，∴CD=AD=12AC ， ∵CE=12BC ， ∴CD=CE ，∴∠E=∠CDE ，∵∠ACB=∠E+∠CDE ，∴∠E=∠CDE=30°，∴∠ADF=∠CDE=30°，∵∠A=60°，∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，∵AF=3，∴AD=2AF=6，（2）解：连接BD ，∵△ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，∴BD 平分∠ABC ，∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°， ∵∠BFD=90°，∴BD=2DF ，∵∠DBC=∠E=30°，∴BD=DE ，∴DE=2DF ，21．如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上.（1）求证：∠EAC＝∠BAD；（2）若∠EAC＝42°，求∠DEB的度数.【答案】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE.即∠EAC＝∠BAD；（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，∴∠AEC＝∠C＝12×(180°－∠EAC)＝12×(180°－42°)＝69°.∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠C＝69°，∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°.22．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）若P为BC上的中点，求证：AB2−AP2=PB·PC；（2）若P为线段BC上的任意一点，（1）中的结论是否成立，并证明；（3）若P为BC延长线上一点，说明AB、AP、PB、PC之间的数量关系．【答案】（1）证明：连接AP，∵AB＝AC，P是BC中点，∴AP⊥BC，BP＝CP，在Rt△ABP中，AB2−AP2=BP2=PB·PC；（2）解：成立．如图，连接AP，作AD⊥BC，交BC于D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，同理，AP2=AD2+DP2，∴AB2−AP2=AD2+BD2−(AD2+DP2)=BD2−DP2又∵BP＝BD＋DP，CP＝CD－DP＝BD－DP，∴BP•CP＝（BD＋DP）（BD－DP）＝BD2−DP2，∴AB2−AP2=PB·PC；（3）解：AP2−AB2=PB·PC．如图，P是BC延长线任一点，连接AP，并作AD⊥BC，交BC 于D，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB 2=AD 2+BD 2，在Rt △ADP 中，AP 2=AD 2+DP 2，∴AP 2−AB 2=(AD 2+DP 2)−(AD 2+DB 2)=PD 2−BD 2 又∵BP ＝BD ＋DP ，CP ＝DP －CD ＝DP －BD ，∴BP•CP ＝（BD ＋DP ）（DP －BD ）＝DP 2−BD 2，∴AP 2−AB 2=BP ·CP ． 23．已知：如图，△ABC 、△CDE 都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．（1）求证：AD =BE ；（2）求∠DOE 的度数；（3）求证：△MNC 是等边三角形．【答案】（1）证明：∵△ABC 、△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴AD =BE ．（2）解：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ，∵等边三角形DCE ，∴∠CED =∠CDE =60°，∴∠ADE +∠BED =∠ADC +∠CDE +∠BED ，=∠ADC +60°+∠BED ，=∠CED +60°，=60°+60°，=120°，∴∠DOE =180°−(∠ADE +∠BED)=60°，答：∠DOE 的度数是60°．（3）证明：∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，AD =BE ，AC =BC又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，∴AM =12AD ，BN =12BE ， ∴AM =BN ，在△ACM 和△BCN 中{AC =BC ∠CAM =∠CBN AM =BN，∴△ACM≌△BCN(SAS)，∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，又∠ACB=60°，∴∠ACM+∠MCB=60°，∴∠BCN+∠MCB=60°，∴∠MCN=60°，∴△MNC是等边三角形．24．如果平面内一点到三角形的三个顶点的距离中，最长距离的平方等于另两个距离的平方和，则称这个点为该三角形的勾股点.如图1，平面内有一点P到△ABC的三个顶点的距离分别为PA、PB、PC，若PC＞PA，PC＞PB，且PC2＝PA2+PB2，则点P就是△ABC的勾股点.（1）如图2，在3×2的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（小正方形的顶点）上，格点P是△ABC的勾股点吗？请说明理由；（2）如图3，△ABC为等边三角形，过点A作AB的垂线，点E在该垂线上，以CE为边在其右侧作等边△CDE，连结AD.①求证：点A是△CDE的勾股点；②若AC＝√3，AE＝1，直接写出等边△CDE的边长.【答案】（1）解：格点P是△ABC的勾股点，理由：∵PA2＝22+12＝5，PB2＝22＝4，PC2＝12＝1，∴PA2＝PB2+PC2，∴格点P是△ABC的勾股点；（2）解：①证明：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，CD＝CE＝DE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵∠BAC＝60°，∠BAE＝90°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝12AC，∴AE=√AC2−CE2=√AC2−14AC2=√32AC过A作AH⊥BC于H，∴CH＝BH＝12BC＝12AC，∠AHC＝90°，∴DH＝CD+CH＝12AC+12AC＝AC，∴AH2＝AC2﹣CH2＝AC2﹣14AC2＝34AC2，∴AH＝√32AC，∴AH＝AE，∴AD2＝AH2+HD2＝AE2+AC2，∴点A是△CDE的勾股点；②√2.【解析】（2）②解：∵△ABC和△CDE是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴AB∥CE，∵AB⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，∵AC＝√3，AE＝1，∴CE＝√AC2−AE2＝√2，∴等边△CDE的边长为√2.。
浙教版八年级数学上册第二章：特殊三角形 培优检测卷(含答案)
第2章特殊三角形培优提高卷一、选择题。
（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚A.1个B.2个C.3个D.4个2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚A．6个B．7个C．8个D．9个(第2题) (第3题) (第4题)3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（）A.2.5s；B.3s;C.3.5s;D.4s请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12B ．12，12，8C ．13，10，12D ．5，8，46．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ．67 B ．65 C ．35 D ．348．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为23，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚A ．2012＋3B ．2013＋3C ．2014＋3D ．2015＋3(第9题) (第10题)10．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（ ）A.6 B .23 C .5 D .4 二、填空题。
特殊三角形专项训练(一)(北师版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：看到直角和30°角想什么？问题2：看到直角和直角三角形斜边上的中线或中点想什么？问题3：看到等腰三角形想什么？①等腰三角形两腰__________，两个底角__________；②等腰三角形“三线合一”．问题4：等腰直角三角形两直角边_______，两底角都是________．问题5：已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证：．你是怎么思考的？特殊三角形专项训练（一）（北师版）一、单选题(共6道，每道16分)1.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )A.2mB.4mC.6mD.8m答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形2.如图，在△ABC中，已知∠1=∠2=30°，AD=BD=4，CE⊥AD于E，则AE=( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形3.如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点．则图中等腰三角形的个数为( )A.3个B.4个C.5个D.6个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半4.如图，在等边△ABC中，D，E分别在AB，BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD 于G．下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等边三角形；④AF=2FG．其中一定正确的是( )A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：含30°角的直角三角形5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC延长线上，且．若∠D=50°，则∠B 的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.45°答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB边的中点，D是边BC延长线上一点，∠B=2∠D，AB=16cm，则线段CD的长为( )A.4cmB.8cmC.10cmD.12cm答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
第2章 特殊三角形能力提升测试试题（含解析）
浙教版八上数学第二章：特殊三角形能力提升测试答案一．选择题：1.答案：A解析：A 、是轴对称图形,故本选项正确; B 、不是轴对称图形,故本选项错误; C 、不是轴对称图形,故本选项错误; D 、不是轴对称图形,故本选项错误. 故选A.2.答案：D解析：在RT △ABC 中，∵∠C=90°, ∠B=45°, ∴BC=AC=3, 由勾股定理得：AB=23183322==+,∴3≤AP ≤32, ∵32<4.5, 故选D.3.答案：D解析：∵AB=AC ，且036=∠BAC ，∴072=∠=∠ACB ABC ， ∵BD 平分ABC ∠，∴036,36=∠∴=∠=∠BDC CBD ABD ， ∴BDC ∆是等腰三角形，∴BD BC =，∵BE BD BC BE =∴=,，∴△BDE 是等腰三角形， ∵036=∠=∠BAD ABD ，∴△ADB 是等腰三角形， ∵0001087236=+=∠+∠=∠BDE EBD AED ， ∵036,36=∠∴=∠ADE EAD ，∴△ADE 是等腰三角形， ∵AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形，共5个，故选择D解析：∵C B ∠=∠，∴6==AC AB ，∵AD 是中线，∴BC AD ⊥，∴△ADB 是直角三角形， ∵DE 是中线，∴321==AB DE ，故选择B5.答案：B解析：∵090=∠C ，8610,6,1022=-=∴==BC AC AB ， ∵DE 是AB 的垂直平分线，∴DB DA =，∴DC+DA=BC 8=，∴△ADC 的周长为1468=+，故选择B6.答案：C解析：∵在△ABC 中0180=∠+∠+∠C B A ，又∵∠B ＝∠C ＋∠A ， ∴0090,1802=∠∴=∠B B ，∴ABC ∆是直角三角形，故A 是真命题；∵在△ABC 中a 2＝(b ＋c)(b －c)，∴222b c a =+，∴△ABC 是直角三角形；故B 是真命题； ∵在△ABC 中∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∴0180543=++k k k ，∴015=k ，∴三角形三内角分别为：045，060，075，∴ABC ∆不是直角三角形 故C 是假命题；∵在△ABC 中a ∶b ∶c ＝5∶4∶3，∴三边长分别为k 5，k 4，k 3， ∵()()()222543k k k =+，∴ABC ∆是直角三角形，故D 是真命题；故选择C7.答案：C解析：当这个外角是等腰三角形的顶角的外角时，顶角为080100180=-；当这个外角是等腰三角形的底角的外角时，底角为080，∴顶角为020802180=⨯-， 故选择C8.答案：B解析：∵CD 是斜边AB 上的高，∠ACB=90°， ∴∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°， ∴∠ACD=∠B ，∴①正确； ②∵AE 平分∠CAB ， ∴∠CAE=∠BAE ，∵∠C=90°，EF ⊥AB ， ∴CE=FE ，∵∠CHE=∠CAE+ACD ，∠CEA=∠BAE+∠B ， ∵∠ACD=∠B ，∴∠CHE=∠CEA ，∴CH=CE ， 即：CH=CE=EF ，∴②正确；③∵在Rt △ACE 和Rt △AFE 中AE=AE ，CE=EF ， ∴Rt △ACE ≌Rt △AFE ，∴AC=AF ，∴③正确； ④∵CH=EF ，∴CH ≠HD ，∴④错误； 故选择B9.答案：A解析：∵△ABC 是直角三角形，两条直角边分别为5和12， ∴斜边长为13，三角形内有一点D ，D 到△ABC 各边的距离都相等， ∴D 是三内角平分线的交点，如图：12521132********⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯DG DF DE ∴2===DG DF DE ，故选择A10.答案：C解析：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AB=AC ，AD=AE ，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD ， ∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD ， ∴∠BAD=∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴CE=BD ，故①正确； ∠ABD=∠ACE ，∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，在△BCG 中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG ）=180°-90°=90°， ∴BD ⊥CE ， ∴CE BD S BCDE ⋅=21，故④正确； 由勾股定理，在Rt △BCG 中，222CG BG BC +=， 在Rt △DEG 中，222BG DG DE +=， ∴222222EG DG CG BG DE BC +++=+，在Rt △BGE 中，222EG BG BE +=， 在Rt △CDG 中，222DG CG CD +=， ∴222222EG DG CG BG CD BE +++=+， ∴2222CD BE DE BC +=+，故⑤正确； 只有AE ∥CD 时，∠AEC=∠DCE ， ∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°， 无法说明AE ∥CD ，故②错误； ∵△ABD ≌△ACE ， ∴∠ADB=∠AEC ，∵∠AEC 与∠AEB 相等无法证明，∴∠ADB=∠AEB 不一定成立，故③错误； 综上所述，正确的结论有①④⑤共3个． 故选C ．二．填空题：11.答案：具有中心对称的图形是平行四边形．12.答案：4 030解析：∵△ABC 是等边三角形，∴060,8=∠=∠==C B BC AB ， ∵BC AD ⊥，∴BD=DC=421=BC ， ∵090,=∠∴⊥DEC AC DE ， ∴0306090=-=∠CDE13.答案：4解析：∵EC AE ⊥，∴090=∠AEC ，∴090=∠+∠CAE ACE ， ∵AE BD ⊥，∴090=∠BDA ， ∴BDA AEC ∠=∠，∵090,90=∠+∠∴=∠CAE BAD BAC ， ∴ACE BAD ∠=∠，∵AC AB =，∴△BDA ≌△AEC （AAS ）， ∴2,6====CE AD AE BD ， ∴426=-=DE14.答案：6解析：在Rt △ADB 与Rt △ADC 中，⎩⎨⎧==AD AD ACAB ， ∴Rt △ADB ≌Rt △ADC ， ∴S △ABC =2S △ABD =2×21AB •DE=AB •DE=3AB ， ∵S △ABC =21AC •BF ，∴21AC •BF=3AB ， ∵AC=AB ，∴21BF=3，∴BF=6．15.答案：10解析：连接PF ，过P 作PE ⊥AC 于E ，PH ⊥AB 于H ， ∵AP 平分∠BAC ，PQ 的最小值为5， ∴PE=PH=5，∠BAP=∠PAC=15°， ∵GF 垂直平分AP ，∴AF=PF ， ∴∠PAF=∠APF=15°， ∴∠PFE=∠PAF+∠APF=30°， ∴AF=PF=2PE=10． 故答案为：10．16.答案：①②③④解析：如图作，PM ⊥BC 于M ，PN ⊥BA 于N ．∵∠PAH=∠PAN ，PN ⊥AD ，PH ⊥AC ， ∴PN=PH ，同理PM=PH ， ∴PN=PM ，∴PB 平分∠ABC ， ∴∠A BP=21∠ABC=30°，故①正确，∵在Rt △PAH 和Rt △PAN 中，⎩⎨⎧==PHPN PAPA∴△PAN ≌△PAH ，同理可证，△PCM ≌△PCH ， ∴∠APN=∠APH ，∠CPM=∠CPH ， ∵∠MPN=180°﹣∠ABC=120°， ∴∠APC=21∠MPN=60°，故②正确， 在Rt △PBN 中，∵∠PBN=30°， ∴PB=2PN=2PH ，故③正确， ∵∠BPN=∠CPA=60°，∴∠CPB=∠APN=∠APH ，故④正确， 故答案为：①②③④．三．解答题：17.解析：∵AB=AC ，∴FCD EBD ∠=∠， ∵AF AE =，∴CF BE =， ∵D 是BC 的中点，∴DC BD =， 在△BDE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD FCD EBD CF BE ， ∴△EBD ≌△FCD （SAS ） ∴DE=DF18.解析：(1)∵BF＝AC ，AB ＝AE ， ∴BF＋AB ＝AC ＋AE ，即FA ＝EC. ∵△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE. 又∵AE＝CD ，∴△AEF≌△CDE. (2)由△AEF≌△CDE，得∠FEA＝∠EDC. ∵△DEF 是等边三角形，∴∠DEF＝60°.∴∠ABC＝60°，∴△ABC 为等边三角形．19.解析：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ， ∴DE ＝DC.在Rt △CDF 和Rt △EDB 中，⎩⎨⎧==DEDC DBDF ∴Rt △CDF ≌Rt △EDB(HL)． ∴CF ＝EB.(2)在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，⎩⎨⎧==ADAD DEDC ∴Rt △ADC ≌Rt △ADE(HL)． ∴AC ＝AE.∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB.20.解析：(1)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADC ＝∠FCE. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，∵∠ADC ＝∠FCE ，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC ， ∴△ADE ≌△FCE(ASA)． ∴CF ＝AD.(2)当BC ＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上， 理由如下：∵AD ＝2，CF ＝AD ， ∴CF ＝2.∴BF ＝BC ＋CF ＝6＋2＝8. ∴AB ＝BF.21.解析：(1)∵点D 为BC 中点，AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝21∠BAC. ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∴∠BAD ＋∠B ＝90°，∠ADE ＋∠EDC ＝90°. 又∵∠B ＝∠ADE ， ∴∠EDC ＝∠BAD ＝21∠BAC. (2)∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠B ＝∠ADE ， ∴∠BAC ＝∠DAE.∵∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ， ∴∠BAD ＝∠CAE.在△BAD 和△CAE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC AB ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴∠B ＝∠ACE ＝∠ACB. ∵EC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠ACE ＝45°，∠B ＝45°. ∴△ABC 为等腰直角三角形．22.解析：(1)证明：∵点D 是AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴CD ⊥AB ，∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∠CAD ＝∠CBD ＝45°. ∴∠CAE ＝∠BCG.∵BF ⊥CE ，∴∠CBG ＋∠BCF ＝90°. 又∵∠ACE ＋∠BCF ＝90°， ∴∠ACE ＝∠CBG. 又∵AC ＝CB ， ∴△AEC ≌△CGB. ∴AE ＝CG.(2)BE ＝CM.理由：∴∠CMA ＋∠MCH ＝90°，∠BEC ＋∠MCH ＝90°. ∴∠CMA ＝∠BEC.又∵AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBE ＝45°， ∴△CAM ≌△BCE. ∴BE ＝CM.23.解析：（1）∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ， 在△BDE 和△CEF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BD C B CF BE ， ∴△BDE ≌△CEF （SAS ）， ∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形； （2）∵∠DEC=∠B+∠BDE ， 即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ， ∵△BDE ≌△CEF ， ∴∠CEF=∠BDE ， ∴∠DEF=∠B ，又∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°， ∴∠B=65°，∴∠DEF=65°；（3）由（1）知：△DEF 是等腰三角形，即DE=EF ， 由（2）知，∠DEF=∠B ， 而∠B 不可能为直角，∴△DEF 不可能是等腰直角三角形．中小学教育资源及组卷应用平台21世纪教育网。
浙教版八年级上册数学第2章 特殊三角形 含答案
浙教版八年级上册数学第2章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2、如图，点P在∠MON的角平分线上，过点P作OP的垂线交OM，ON于C、D，PA⊥OM．PB⊥ON，垂足分别为A、B，EP∥BD，则下列结论错误的是（）A. CP＝PDB. PA＝PBC. PE＝OED. OB＝CD3、中，，则一定是（）A.锐角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4、如图，已知A，B两点的坐标分别为(8,0)，(0,8)，点C，F分别是直线和轴上的动点，，点D是线段的中点，连接交轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（）A. B. C. D.5、下列各组数是勾股数的是（）A.5，12，13B.4，5，6C.7，12，13D.9，12，136、如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为（）A.8B.9C.10D.127、等腰三角形的两边分别为1和2，则其周长为（）A.5B.4C.4或5D.无法确定8、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，连接AD，点E在AD上，过点E 作EM⊥AB，EN⊥AC，垂足分别为M，N．下面四个结论：①如果AD⊥BC，那么EM=EN；②如果EM=EN，那么∠BAD=∠CAD；③如果EM=EN，那么AM=AN；④如果EM=EN，那么∠AEM=∠AEN．其中正确有( )A.1个B.2个C.3个D.4个9、如果一个等腰三角形的一个角为30º，则这个三角形的顶角为（）A.120ºB.30ºC.120º或30ºD.90º10、如图，在△中, ，，边上的中线，那么的长是（）A. B. C. D.11、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C. D.12、在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC=3，AC=4，则线段CD的长是（）A.2B.3C.D.513、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，则折断之前树高为（）A. mB. mC. mD.4 m14、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，过点P作平行于y轴的直线PM，交线段BC于M，当△PCM是以PM为腰的等腰三角形时，点P的坐标是（）A.（2，-3）或（+1，-2）B.（2，-3）或（，-1-2 ） C.（2，-3）或（，1-2 ） D.（2，-3）或（3- ，2-4 ）15、国旗上每个五角星( ).A.是中心对称图形而不是轴对形；B.是轴对称图形而不是中心对称图形；C.既是中心对称图形又是轴对称图形；D.既不是中心对称图形又不是轴对称图形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，线段AC的垂直平分线DE 交AC于D交BC于E，则△ABE的周长为________.17、已知，，，点F在上，作，直线交于E，交延长线于G，连接，，，则的长为________．18、如图，∠MON=90°，长方形ABCD的顶点B、C分别在边OM、ON上，当B 在边OM上运动时，C随之在边ON上运动.若CD=3，BC=8，运动过程中，点D到点O的最大距离为________.19、如图，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC内，且∠OBC=∠OCA，∠BOC=110°，求∠A的度数=________．20、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为________m．21、如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分，且AD=8，P，Q分别是AB、AD上的动点，连接BP，PQ，则BP +PQ的最小值为________．22、已知一个等腰三角形的周长为22cm，已知一边长为8cm,求另外两边长为________23、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12 ，则图中阴影部分的面积是________24、如图，在△ABC中，CD⊥AB交AB于点D，BE⊥AC交AC于点E，F为BC的中点，BC = 10，DE = 8，则△DEF的面积为________．25、如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，△ABD是等边三角形，点P是∠BAC的角平分线上一动点，连PC、PD，则PD+PC的最小值为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.28、如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P、Q分别是边AB、BC上的两个动点（与点A、B、C不重合）且始终保持BP=BQ，AQ⊥QE，QE交正方形外角平分线CE于点E，AE交CD于点F，连结PQ．（1）求证：△APQ≌△QCE；（2）求∠QAE的度数；（3）设BQ=x，当x为何值时，QF∥CE，并求出此时△AQF的面积．29、如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC＝α(60°≤α＜90°)．(1)当α＝60°时，求CE的长；(2)当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD＝k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE2－CF2取最大值时，求tan∠DCF的值．30、如图，已知∠B=∠C=90°，AE⊥ED，AB=CE，点F是AD的中点．说明EF与AD垂直的理由．解：因为AE⊥ED（已知），所以∠AED=90°（垂直的意义）．因为∠AEC=∠B+∠BAE（________），即∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE．又因为∠B=90°（已知），所以∠BAE=∠CED（等式性质）．在△ABE与△ECD中，∠B=∠C（已知），AB=EC（已知），∠BAE=∠CED，所以△ABE≌△ECD（________），得（全等三角形的对应边相等），所以△AED是等腰三角形．因为（已知），所以EF⊥AD（________）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、D3、B4、D5、A6、C7、A8、D9、C10、A11、A12、C13、C14、D15、B二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、。
浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题1(附答案详解)
浙教版2020八年级数学上册第二章特殊三角形自主学习优生提升训练题1（附答案详解）1．下列说法正确的是（）A．三角形可以分为等边三角形、直角三角形、钝角三角形B．如果一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形为锐角三角形C．各边都相等的多边形是正多边形D．五边形有五条对角线2．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°3．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形．点C 也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．3 B．5 C．8 D．104．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．5，12，14 B．6，8，10 C．3，4，6 D．1，2，3 5．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．1 B．2C．3D．1.56．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）7．下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．9．下列图形都是由两个全等三角形组合而成，其中是轴对称图形的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10．等腰三角形的两边长为4、9，则它的周长是( )A ．17B ．17或22C ．20D ．2211．已知△ABC 中，AB=AC=4，∠A=60°，则△ABC 的周长为______.12．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ．如果AC=6，BC=8，那么DE= ，CD= ．13．如图，AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，沿AD 将ACD ∆折叠，点C 的对应点为1C ，已知456ADC BC ∠=︒=，，则点B 与点1C 之间的距离是____________14．如图，将长方形ABCD 折叠，折痕为EF ，且∠1=70°，则∠AEF 的度数是_____．15．如图，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，若40A ∠=︒，则DBC ∠=______°．16．如图，将一张圆形纸片对折后再对折，将阴影部分剪下，空白部分完全展开得到的图形对称轴有_____条．17．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、F 在同一直线上，CD ＝CE ，DF ＝DG ，则∠F ＝___度．18．如图，△ABE 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB ，AC 边对折所形成的，CD 与AE 交于点P 若∠1：∠2：∠3=13：3：2，则∠α的度数为_____．19．如图，已知A 1A 2=1，∠OA 1A 2=90°，∠A 1OA 2=30°，以斜边OA 2为直角边作直角三角形，使得∠A 2OA 3=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt △A 2014OA 2015的面积为_____．20．如图，已知AD 平分∠EAC ，且AD ∥BC ，则△ABC 一定是 三角形．21．如图1，已知△ABC 中，AB=AC ，点D 是△ABC 外一点(与点A 分别在直线BC 两侧).且DB=DC ，过点D 作DE//AC ，交射线AB 于E ，连接AD 交BC 于F.(1)求证：AD 垂直BC ；(2)如图1，点E 在线段AB 上且不与B 重合时，求证：DE=AE ；(3)如图2，当点E 在线段AB 的延长线上时，请直接写出线段DE ，AC ，BE 的数量关系.22．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC 的周长；（2）求证：∠ABC ＝90°；（3）若点P 为直线AC 上任意一点，则线段BP 的最小值为 ．23．（1）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm 和6 cm 两部分．求等腰三角形的底边长．(2)已知等腰三角形中，有一个角比另一个角的2倍少20°，求顶角的度数24．如图，在直角ABC 中，90C ∠=︒，CAB ∠的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求B 的度数．25．如图，平面直角坐标系中，已知点()()A a 1a b B a 0-+，，，且()2a b 3a 2b 0C +-+-=，为x 轴上点B 右侧的动点，以AC 为腰作等腰ACD ，使AD AC CAD OAB ∠∠==，，直线DB 交y 轴于点P ．（1）求证：AO AB =；（2）求证：OC BD =；（3）当点C 运动时，点P 在y 轴上的位置是否发生改变，为什么？26．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，且BE=CF ，AD+EC=AB ． （1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF 的度数；（3）△DEF 可能是等腰直角三角形吗？为什么？（4）请你猜想：当∠A 为多少度时，∠EDF+∠EFD=120°，并请说明理由．27．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AB ＝AD ，请你添加一个边或角的条件，使得AC ⊥BD ．（1）添加的条件是 ；（2）根据已知及添加的条件证明：AC⊥BD．28．如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．(1)求证：；(2)当时，求的长(结果保留)；(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．29．如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如A（2，1）、B（5，4）、C（1，8）都是格点．（1）直接写出△ABC的形状．（2）要求在下图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点A顺时针旋转角度α得到△AB1C1，α＝∠BAC，其中B，C的对应点分别为B1，C1，操作如下：第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB＝∠CAB．第二步：找两个格点C1，E，连接C1E交AD于B1．第三步：连接AC1，则△AB1C1即为所作出的图形．请你按步骤完成作图，并直接写出D、C1、E三点的坐标．30．如图，在ABC △中，AB AC =，70ABC ∠=︒，(1)用直尺和圆规作ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D (保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，求BDC ∠的度数．参考答案1．D【解析】【分析】根据三角形的分类、三角形内外角的关系以及正多边形的定义即可作出判断．【详解】A、三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故选项错误；B、任何一个三角形的一定至少有两个外角大于与它相邻的内角，故选项错误；C、各边都相等、各角相等的多边形是正多边形，故选项错误；D、五边形有五条对角线，正确．故选D．【点睛】本题考查了正多边形的定义，三角形的性质以及分类，理解三角形的内角和外角的关系是关键．2．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．3．C【解析】试题分析：根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．解：如图所示：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有0个；②点C以点B为标准，AB为底边，符合点C的有0个；③点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C1、C3、C7，共3个；④点C以点A为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有C2、C4、C5，C6、C8共5个；综上所述，所有符合条件的点C共有8个．故选C．点评：此题考查了等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解．注意数形结合的解题思想．4．B【解析】【分析】利用勾股定理逆定理即可证明.【详解】解：52+122≠142,A错误,62+82=102,B正确,32+42≠62,C错误,12+22≠32,D错误,故选B.【点睛】本题考查了用勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，属于简单题,熟悉概念是解题关键. 5．C【解析】∵在△ABC中，AB=AC=2，∠B=60°，AD平分∠BAC，∴△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC=AB=2，BD=DC=1，∠ADB=90°，∴=故选C.6．B【解析】因为AB＝AC，∠A＝20°，所以∠ABC=80°.因为DE是线段AB的垂直平分线，所以EB=EA，所以∠EAB=∠EBA=20°，所以∠CBE=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.故选B.7．C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念分别找出各选项中对称轴的条数，然后选择答案即可．解：A、共有6条对称轴；B、共有2条对称轴；C、共有1条对称轴；D、共有3条对称轴；所以对称轴条数最少的是C选项．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．C【解析】【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断即可得答案．【详解】A.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B.不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C.是轴对称图形，故该选项符合题意，D.不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．B【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确找出对称轴的位置．10．D【解析】解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9∵4+4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去4+9＞9，故4，9，9能构成三角形∴它的周长是4+9+9=22故选D．11．12【解析】【分析】 【详解】 解：∵AB=AC=4，∠A=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC="AB=AC=4，"∴△ABC 的周长为12．故答案为12.【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，难度不大．12．4；5【解析】试题分析：在直角△ABC 中，AB=222286+=+BC AC =10，∵D 是AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于E ，∴DE 是△ABC 的中位线，D 是AB 的中点．∴DE=21BC=4，CD=21AB=5． 考点：1、勾股定理三；2、角形中位线定理；3、直角三角形斜边上的中线13．32【解析】【分析】连接BC 1，根据三角形中线的定义可得BD=CD=12BC =3，然后根据折叠的性质可得C 1D=CD=3，∠C 1DA=∠ADC=45°，最后利用勾股定理即可求出结论．【详解】解：连接BC 1∵AD 为ABC ∆的BC 边上的中线，BC=6∴BD=CD=12BC=3由折叠的性质可得C1D=CD=3，∠C1DA=∠ADC=45°∴∠C1DB=180°－∠C1DA－∠ADC=90°在Rt△C1DB中，BC1故答案为：【点睛】此题考查的是勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理与折叠的性质是解决此题的关键．14．125°【解析】【分析】根据∠1=70°，可得∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，再根据AD∥BC，即可得到∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．【详解】∵∠1=70°，∴∠BFB'=110°，由折叠可得，∠BFE=12∠BFB'=55°，又∵AD∥BC，∴∠AEF=180°﹣∠BFE=125°．故答案为：125°.【点睛】本题考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．15．30【解析】【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理即可求出∠ABC,然后根据垂直平分线的性质可得DA=DB,从而得出∠A=∠DBA=40°,即可求出DBC∠．解:∵AB AC =,40A ∠=︒∴∠ABC=∠ACB=()1180702A ︒-∠=︒ ∵DE 垂直平分AB∴DA=DB∴∠A=∠DBA=40°∴∠DBC=∠ABC －∠DBA=30°故答案为:30．【点睛】此题考查的是等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，掌握等边对等角和线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解决此题的关键．16．两．【解析】【分析】根据阴影部分是有4个全等的直角三角形组成，于是得到阴影部分展开得到的图形得到的图形是菱形，然后根据轴对称图形的性质即可得到结论．【详解】∵将阴影部分剪下，展开后得到的平面图形是一个四边形，其四条边相等，且对角线互相垂直．故其是一个菱形，∴空白部分完全展开得到的图形对称轴有两条，故答案为：两．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的判定，轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．17．15．【解析】【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠F 的【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝30°，∠FDG＝150°，∵DF＝DG，∴∠F＝15°．故答案为：15．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质．解题的关键是利用外角的性质得出结论．18．100°【解析】【分析】由∠1：∠2：∠3=13：3：2和三角形内角和定理求出∠1=130°，∠3=20°，根据折叠的性质即可求解．【详解】解：∵∠1：∠2：∠3=13：3：2，∴∠1=130°，∠3=20°，∴∠DCA=20°，∠EAB=130°，∵∠PAC=360°﹣2∠1=100°，∴∠EPD=∠APC=180°﹣∠PAC﹣∠DCA=60°，由翻折的性质可知：∠E=∠3=20°，∴∠α=180°﹣60°﹣20°=100°．故答案为：100°．【点睛】本题考查了折叠变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理是解题的关键．19．×（）4026【解析】试题分析：在Rt△OA1A2中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到OA2=2A1A2，由A1A2的长求出OA2的长，在Rt△OA2A3中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值，求出A2A3的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，求出OA3的长，同理求出A3A4的长，以此类推得到直角三角形△A2014OA2015的两条直角边的长，求出面积．试题解析：在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，∴OA1=1÷tan30°=, OA2=÷cos30°=2在Rt△OA2A3中，OA2="2," ∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，∴A2A3= OA2×tan∠A2OA3=2×=, OA3= OA2÷cos∠A2OA3=由此可知：OA2=OA1×, OA3=OA1×（）2则OA2014=OA1×（）2013则Rt△OA2014A2015的面积为：××（）2013×（）2013×=×（）4026．考点：1．含30度角的直角三角形；2．勾股定理．20．等腰【解析】试题分析：先根据平行线性质得到∠EAD=∠B，∠DAC=∠C，再根据角平分线的性质得到∠EAD=∠DAC，从而推出∠B=∠C，等角对等边所以AB=AC．从而判定△ABC的形状．解：∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠DAC=∠C．∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC．∴∠B=∠C．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．故答案为：等腰．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，重点考查学生对等腰三角形的判定的理解及运用，属于基础证明，难度不算很大．21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=AC+BE【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAF，根据平行线的性质得到∠CAF=∠ADE，等量代换得到∠BAF=∠ADE，于是得到DE=AE；（3）由（1）得AF⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠CAE，根据平行线的性质得到∠EDA=∠CAF，等量代换得到∠BAF=∠EDA于是得到结论．【详解】(1)∵AB=AC∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵DB=DC∴点D在线段BC的垂直平分线上，∴直线AD是BC的垂直平分线，∴AD垂直BC；(2)∵AB=AC，AD⊥BC∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC∴∠EDA=∠CAD∴∠BAD=∠EDA∴DE=AE(3) DE=BE+AC，由（1）得AF⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAF=∠CAF，∵DE∥AC，∴∠EDA=∠CAF，∴∠BAF=∠EDA，∴EA=ED，∵EA=EB+BA=EB+AC ， ∴DE=BE+AC ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．22．(1)35+5;(2)见解析;(3)2.【解析】【分析】 （1）运用勾股定理求得AB ，BC 及AC 的长，即可求出△ABC 的周长．（2）运用勾股定理的逆定理求得AC 2=AB 2+BC 2，得出∠ABC=90°．（3）过B 作BP ⊥AC ，根据面积法计算即可．【详解】解：(1)2222224225,215,345AB BC AC =+==+==+=，△ABC 的周长2555355=++=+，(2)∵22225,20,5AC AB BC ===，∴222AC AB BC =+，∴90.ABC ∠=(3)过B 作BP ⊥AC ,∵△ABC 的面积1122AB BC AC BP =⋅=⋅， 即11255522BP ⨯=⨯⋅， 解得BP =2，故答案为2【点睛】考查勾股定理的逆定理，勾股定理，注意等面积法在解题中的应用.23．(1)1cm;(2) 44°或80°或140°.【解析】【分析】（1）设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具休是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解．（2）设另一个角是x，表示出一个角是2x-20°，然后分①x是顶角，2x-20°是底角，②x是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm,ycm,由题意得1152162x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或1621152x xx y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得101xy=⎧⎨=⎩或413xy=⎧⎨=⎩(不符舍去)，∴等腰三角形的底边长为1cm..(2) 设另一个角是x，表示出一个角是2x−20°，①x是顶角，2x−20∘是底角时，x+2(2x−20°)=180°，解得x=44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x−20°是顶角时，2x+(2x−20°)=180°，解得x=50°，所以，顶角是2×50°−20°=80°；③x与2x−20∘都是底角时，x=2x−20°，解得x=20°，所以，顶角是180°−20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°.【点睛】本题考查了等腰三角形的概念和性质以及分类的数学思想，掌握基本知识是关键.24．30【解析】【分析】通过DE 垂直平分AB ,可得B BAD ∠=∠，再根据AD 平分CAB ∠可得CAD BAD B ==∠∠∠，通过三角形内角和定理即可求出B 的度数．【详解】∵DE 垂直平分AB∴DA DB =∴B BAD ∠=∠∵AD 平分CAB ∠∴CAD BAD B ==∠∠∠∵90C ∠=︒∴90CAB B ∠+∠=︒∴390B =︒∠∴30B ∠=︒．【点睛】本题考查了三角形内角的度数问题，掌握垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理是解题的关键．25．（1）见解析（2）见解析（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据算术平方根和平方数的非负性质即可求得a 、b 的值，即可求得A ，B 点坐标，即可求得OA ，AB 长度，即可解题；（2）易证∠OAC ＝∠BAD ，即可证明△OAC ≌△BAD ，可得OC ＝BD ，即可解题；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，易证∠OBP 是定值，根据OB 长度固定和∠POB ＝90︒，即可解题．【详解】（1()220a b -=，0，()22a b -≥0，∴a ＋b−3＝0，a−2b ＝0，解得：a ＝2，b ＝1，∴A （1，3），B （2，0），∴OA=AB=∴OA ＝AB ；（2）∵∠CAD ＝∠OAB ，∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠OAB ＋∠BAC ，即∠OAC ＝∠BAD ，在△OAC 和△BAD 中，OA AB OAC BAD AC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAC ≌△BAD （SAS ），∴OC ＝BD ；（3）点P 在y 轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB ＝∠ABO ＝α，∵由（2）知△AOC ≌△ABD ，∴∠ABD ＝∠AOB ＝α，∵OB ＝2，∠OBP ＝180°−∠ABO−∠ABD ＝180°−2α为定值，∵∠POB ＝90︒，∴OP 长度不变，∴点P 在y 轴上的位置不发生改变．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△OAC ≌△BAD 是解题的关键．26．（1）证明见解析；（2）∠DEF=70°； （3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，理由见解析；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由见解析.【解析】【分析】（1）首先根据条件证明△DBE ≌△ECF ，根据全等三角形的性质可得DE=FE ，进而可得到△DEF 是等腰三角形；（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF ，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF 的大小；（3）由于AB=AC ，可得∠B=∠C ≠90°=∠DEF ，从而可确定其不可能是等腰直角三角形；（4）先猜想出∠A 的度数，则可得∠EDF+∠EFD=120°，根据前面的推导过程知∠EDF+∠EFD=120°时，∠DEF=60°，再由∠B=∠DEF 以及等腰三角形的性质继而推得猜想的正确性.【详解】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵AD+EC=AB ，AB=AD+BD ，∴BD=CE ，在△BDE 和△CEF 中，BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CEF （SAS ）∴DE=EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵∠DEC=∠B+∠BDE ，即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE ，由（1）知△BDE ≌△CEF ，则∠BDE=∠CEF ，∴∠DEF=∠B ，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=()1180402⨯︒-︒=70°， ∴∠DEF=70°；（3）△DEF 不可能是等腰直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90°，由（2）知∠DEF=∠B，∴∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形；（4）当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°，理由是：当∠EDF+∠EFD=120°时，则∠DEF=180°-120°=60°，∴∠B=∠DEF=60°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，∴当∠A=60°时，∠EDF+∠EFD=120°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握和灵活运用相关质是解题的关键.27．（1）CB＝CD；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，分析题意，即可添加条件；（2）根据线段垂直平分线的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）添加的条件是CB＝CD，故答案为：CB＝CD；（2）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴AC⊥BD．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的判定和性质定理.28．(1)见解析；(2)；(3)4＜OC＜8.【解析】(1)连接OQ，证明AP，BQ所在两个三角形全等；(2)在Rt△BOQ中，由OB，BQ的长求出∠BOQ的度数，得到所对圆心角的度数，再根据弧长公式求解；(3)△APO的外心是OA的中点，试题分析：试题解析：(1)证明：连接OQ.∵AP，BQ分别与相切，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，即∠P=∠Q=90°.∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO.∴AP=BQ.(2)∵BQ=，OB==8，∠Q=90°，∴sin∠BOQ=，∴∠BOQ=60°.∵OQ=8×cos60°=4，∴的长为=.(3)设点M为Rt△APO的外心，则M为OA的中点，∴OM=4.当点M在扇形的内部时，OM＜OC，∴4＜OC＜8.考点：全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，外心.29．（1）△ABC是直角三角形；（2）图详见解析，D（9，0），C1（7，6），E（6，﹣1）．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可；（2）延长CB使得BD＝BC即可，在AB的延长线上取一点C′，使得AC1＝5，取一点E，使得C1E⊥AD即可．【详解】（1）由题意：AC＝5，BC＝4，AB＝3，∵AC2＝BC2+AB2，∴△ABC是直角三角形；（2）如图，△AB 1C 1即为所作出的图形．D （9，0），C 1（7，6），E （6，﹣1）．【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握和灵活运用所学知识解决问题.30．(1)见解析；(2)75BDC ∠=︒.【解析】【分析】（1）以B 为圆心，任意长为半径画弧交AB ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心、以大于12EF 长为半径画弧，两弧交于点G ，作射线BG 交AC 于点D ， （2）根据等腰三角形的性质求出∠C ，根据角平分线的定义求出∠CBD ，再根据三角形内角和定理即可解决问题．【详解】(1)如图所示，BD 即为所求；(2)在ABC 中，AB AC =，70ABC ∠=︒，180218014040A ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，BD 是ABC ∠的平分线，11703522ABD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，BDC∠是ABD的外角，∴∠=∠+∠=︒+︒=︒ .BDC A ABD403575【点睛】本题考查基本作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识解决问题，属于中考常考题型．。
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第二章特殊三角形提高训练（一）
一．选择题
1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A. 4, 5, 6
B. 1.5, 2, 2.5
C. 2, 3, 4
D. 1, 2, 3
2.如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为（）
17
.A0
34
.B0
56
.C0
124
.D
3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
3,2,1.A2
,1,1.B3
,1,1.C3
,2,1.D
4.如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1=20°，则
∠B的度数是( )
A．70°B．65°C．60°D．55°
5.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E
两点．若BD=2，则AC的长是（）
4.A3
4.B8.C3
8.D
第2题第4题第5题
7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）3
2.A10
.B2
2.C6
.D
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）
cm
A3
.cm
B2.cm
C3.cm
D4.
9.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重
合，折痕为MN，则线段BN的长为（）
A．
B．C．4 D．5
10.如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过
点C．则矩形的一边AB的长度为（）
A． 1 B．
C．
D． 2
11.如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只
能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）
A．1种B．2种C．3种D． 4种12.如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则
CD的长为（）
第6题第7题第8题
第9题
第10题
第11题
532.
A 543.
B 554.
C 55
3.D
13.如图，已知圆柱底面的周长为4dm ，圆柱高为2dm ，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A ．4
dm
B ． 2
dm
C ． 2
dm
D ． 4
dm
14.在边长为正整数的△ABC 中，AB =AC ，且AB 边上的中线CD 将△ABC 的周长分为1：2 的两部分，则△ABC 面积的最小值为（ ）
7121.
A 15367.
B 743.
C 154
7
.D 15.如图，∠BAC =∠DAF =90°，AB =AC ，AD =AF ，点D 、E 为BC 边上的两点，且∠DAE =45°，连接EF 、BF ，则下列结论：
①△AED ≌△AEF ；②△ABE ∽△ACD ；③BE +DC ＞DE ；④BE 2+DC 2=DE 2， 其中正确的有（ ）个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 二．填空题
16.已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 17.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 18.等腰△ABC 中，AB =AC =10cm ，BC =12cm ，则BC 边上的高是 cm ．
19.如图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点．若AD =6，DE =5，则CD 的长等于____
20.已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE =CD =1，连接DE ，则DE =____
第12题
第13题
第15题
第19题
第20题
第21题
21.如图，在等腰Rt △OAA 1中，∠OAA 1=90°，OA =1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…则OA 4的长度为
22.如图，在Rt △ABC 中，D ，E 为斜边AB 上的两个点，且BD =BC ，AE =AC ，则∠DCE 的大小为 （度）
23.如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG =CD ，DF =DE ，则∠E = 度．
24.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，点D 在AC 上，BD =BC ，则∠ABD 的度数是 __ 25.如图，有一直角三角形纸片ABC ，边BC =6，AB =10，∠ACB =90°，将该直角三角形纸片沿DE 折叠，使点A 与点C 重合，则四边形DBCE 的周长为
26.图①所示的正方体木块棱长为6cm ，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为 cm
27.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行 米．
28.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′=
第23题
第22题
第24题
第27题
第26题
第25题
29.如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴
蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为cm．
30.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC
的周长等于cm．
参考答案
一．选择题
第30题
第28题
第29题。