2013年北约自主招生数学考试试题word解析版
2013年北约数学试题
2013年北约自主招生数学试题解析1、以2和321-为两根的有理系数多项式的次数最小是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．62、在66⨯的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一行、每一列都只有一个車，共有多少种停放方法 （ ）A ．720B ．20C ．518400D ．144003、已知522+=y x ，522+=x y ，求32232y y x x +-的值．4、如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，DN DM ,分别为ADC ADB ∠∠,的角平分线，试比较CN BM +与MN 的大小关系，并说明理由．5、设数列{}n a 满足11=a ，前n 项和为n S ，241+=+n n a S ，求2013a ．6、模长为1的复数z y x ,,满足0≠++z y x ，求zy x zxyz xy ++++．ＡＣＮ27、最多有多少个两两不等的正整数，满足其中任意三数之和都为素数．8、已知i a ，2013,,3,2,1 =i 为2013个实数，满足02013321=++++a a a a ，且212a a -322a a -==…120132a a -=，求证02013321=====a a a a ．9、对于任意的θ，求θθθθ2cos 154cos 66cos cos 326---的值．10、已知有mn 个实数，排列成n m ⨯阶数阵，记作{}n m ij a ⨯使得数阵的每一行从左到右都是递增的，即对任意的m i ,,3,2,1 =，当21j j <时，有21ij ij a a <；现将{}nm ij a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的n m ⨯阶数阵，记作{}nm ija ⨯'，即对任意的n j ,,3,2,1 =，当21i i <时，有j i j i a a 21''<，试判断{}n m ij a ⨯'中每一行的各数的大小关系，并加以证明．【参考答案】1、解析：显然)2)1)((2(32+--x x 为满足要求的多项式，其次数为5．若存在n 次有理系数多项式)(x f 以2和321-为两根，则)(x f 必含有因式)2)1)((2(32+--x x ，∴5≥n ，即最小次数为5．故选C ．2、解析：先排3个红色車，从6行中任取3行，有2036=C 种取法；在选定的3行中第一行有6种停法，第一行选定后第二行有5种停法，第二行选定后第三行有4种停法；红車放定后，黑車只有6种停法． 故停放方法共14400645620=⨯⨯⨯⨯种．故选D ．3、解析：∵32232y y x x +-)52()52)(52(2)52(++++-+=x y x y y x50)(154-+--=y x xy ，又由522+=y x ，522+=x y ，有)(222y x y x --=- ∴y x =或2-=+y x ．当y x =时，有522+=x x ，61±=x ，50)(154-+--y x xy 503042---=x x 7038--=x 7038--=x 638108±-=；当2-=+y x 时，5)2(22++-=x x ，1)2(=+x x50)(154-+--y x xy 20)2(4----=x x 80)2(4-+=x x 16-=．4、解析：延长ND 至E ，使ED ND =，连结ME BE ,，则BED ∆≌CND ∆，MED ∆≌MND ，MN ME =，由EM BE BM >+，得MN CN BM >+．5、解析：∵11=a ，24121+=+a a a ，∴52=a ；由 241+=+n n a S ，有2≥n 时，241+=-n n a S ，于是1144-+-=n n n a a a ，特征方程442-=x x 有重根2，可设n n c c a 2)(21⨯+=，将11=a ，52=a 代入上式，得411-=c ，432=c ，于是22)13(2)4143(-⨯-=⨯-=n n n n n a ，∴2011201326038⨯=a ． 6、解析：取1===z y x ，便能得到zy x zxyz xy ++++＝1．ＡＣＮ4下面给出证明，1===z z y y x x ，于是2z y x zx yz xy ++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++=z y x zx yz xy z y x zx yz xy zy x zxyz xy z y x zx yz xy ++++⨯++++= 1111111=++++++++++++++++=xy x z x z x y z y z x x y x z x z x y z y z x ． ∴z y x zxyz xy ++++＝1． 7、解析：设满足条件的正整数为n 个．考虑模3的同余类，共三类，记为0，1，2．则这n 个正整数需同时满足①不能三类都有；②同一类中不能有3个和超过3个．否则都会出现三数之和为3的倍数．故4≤n ．当4=n 时，取1，3，7，9，其任意三数之和为11，13，17，19均为素数，满足题意， 所以满足要求的正整数最多有4个．8、解析：设212a a -322a a -==…120132a a -=k =，若0=k ，则212a a =，322a a =，…，201320122a a =，120132a a =， 于是0222212011121112013321=+++++=++++a a a a a a a a a ， ∴01=a ，进而02013321=====a a a a ．若0>k ，则212a a -，322a a -，…，120132a a - 这2013个数去掉绝对值号后只能取k 和k -两值，又212a a -+-+322a a …201320122a a -+0212013=-+a a ， 即这2013个数去掉绝对值号后取k 和k -两值的个数相同，这不可能． 9、解析：42cos 122cos 122cos 4)22cos 1(32cos 322336+++=+=θθθθθ， θθθ2cos 32cos 46cos 3+-=-，62cos 124cos 62+-=-θθ， θθ2cos 152cos 15-=-，各式相加，得102cos 154cos 66cos cos 326=---θθθθ．10、解析：数阵{}nm ija ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．下面用反证法给出证明．若在第p 行存在)1(''+>q p pqa a，令)1()1('++=q i q k k a a ，其中m k ,,3,2,1 =，{}{}m i i i i m ,,3,2,1,,,,321 =，则当p t ≤时，)1(+≤q i qi t ta a )1('+=q t a <≤+)1('q p a pq a '即在第q 列中至少有p 个数小于pq a '，也就是pq a '在数阵{}n m ij a ⨯'中的第q 列中至少排在第1+p 行，这与pq a'排在第p 行矛盾．所以数阵{}n m ij a ⨯'中的中每一行的各数仍是递增的．。
2013年三大联盟自主招生数学试题及答案
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题） 对任意 ，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值． 【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C
3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题） 至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论． 【解析】 至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ． 下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数． 考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同． 此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数． 综上，不能找到 5 个符合题意的正整数． （理科第 8 题，文科第 10 题） 实数 a1 , a2 ,
2013年北约自主招生数学试题评析
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2013年北约自主招生数学试题评析
作者：査正开
来源：《中学数学杂志(高中版)》2013年第03期
2013年3月16日，由国内名牌高校组成的三大联盟（北约、华约、卓越）同时举行了自主招生选拔考试这三套自主招生数学试题风格迥异、特色鲜明，是自主招生舞台上三道亮丽的风景线本文给出北约（北京大学等十三所高校统一自主招生联盟）数学试题与解答并作简要评析一孔之见，不当之处，敬请斧正.
点评这个压轴题是全套试卷的最大亮点它以数阵为载体，链接线性代数的矩阵变换知识全面考查学生分析推理论证能力与抽象思维能力以及知识的迁移能力，有效考查学生后继学习的数学潜能，起到了压轴的功效.
综观本套自主招生数学试题，在题型、内容和考查角度与要求上均与全国各地的高考试题有很大的差异，同时也有别于各类数学竞赛题选题内容是以全国各地考生均学过的主干知识为载体，背景公平试题中基础与能力，难度适中，重点检测学生后继学习的数学潜能试题形式虽朴实平淡，但内涵丰富多彩，难度介于高考与竞赛之间，因此具有较高的信度、效度和区分度，有效地实现了各高校对优秀学生的自主选拔，同时也为自主招生选拔考试引领了全新的方向.
作者简介査正开，男，中学高级教师江苏省苏州市数学学会理事，常熟市高中数学学科带头人、学科中心组成员，近几年在数学专业期刊发表文章三十多篇。
2013年北约自主招生数学试题Word版含解析
2013年北约自主招生数学试题与答案2013-03-16（时间90分钟，满分120分）(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c e b d a b c d e a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解.由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x和11为两根的有理系数多项式的次数最小为5.1． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？ A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法. 2． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==-3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±或16-.3． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-， 则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅.对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n nn a c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：201120122013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由.A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C ++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类. 其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R ∈ 、、、、，满足12320130a a a a ++++= ，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=- ，求证：12320130a a a a ===== .解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++= ，（1）另一方面，令12233421312222a a a a a a a a m -=-=-==-= ，则1223342222a a a a a a a a ---- 、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m-+-+-++-=⨯+-⨯-=- （2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a ===== .从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ==== .命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m = 、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija '，即对任意的123j n = 、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnija '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =- 、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m = 、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m = .则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)tti q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i = 、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnij a '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m = 、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。
北约自主招生考数学试卷分析
10.(2013年5题)
S n1 4a n 2 设数列 a 满足 a1 1, 前 n 项和为 S n ， 求 a 2013 .
n
点评：数列综合题，是高等数学极限与级数理论 的基础。
11.(2013年6题)
模长为１的复数 x, y, z 满足 x y z 0 , 求
xy yz zx x yz .
2013 复数 数论 2014 三角函数 数论
三角函数 不等式 数列 不等式
从上面可以看出来，“北约”近两年的自主招 生的考点的大方向是不变的。基本上就是三角函 数、不等式、数列、排列组合、几何等几大模块。 而且2014年的北约考试基本上可以看做是2013年 的北约考试的“平行削弱版”，甚至可能相较于 某些省份的高考题并没有难太多。
2.(2014年第2题)
10个人分成3组，一组4人，另外两组各3人， 求共有几种分法。
点评：排列组合基础题型，分组问题，比去年难度小。
3.(2013年第2题)
在6×6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車，每一 行、 每一列都只有一个車，共有多少种停放方法？ 点评：排列组合近两年都考，它是数理统计的必备 知识。
i 1 n
, 求证：
n i 12 xi 源自 2 1 .
n
点评：不等式是高考也是自主招生考试的重 点，对学生逻辑推理的能力要求高。
6.(2012年第9题，最后一题)
求证：对于任意的正整数n , (1 2 ) n 必可表示 成 s s 1 的形式,其中 s N . 点评：本题运算量不大，但有较高的思维要求。
7.(2011年第7题，最后一题)
求： f ( x) | x 1 | | 2 x 1 | | 2011 x 1 | 的最小值. 点评：含绝对值的函数或不等式历来是高考、 竞赛和自主招生考式的重点内容。
2013年北约自招数学模拟试题1
2013年自主招生数学仿真试题—北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、选择题（每题4分，共40分）1.设][x 表示不超过x 的最大正整数。
若][,][x N x M ==（其中1≥x ），则一定有______【A 】N M > 【B 】N M = 【C 】N M < 【D 】以上答案都不对 2.过椭圆123:22=+y x C 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使)1(||||≥=λλPH HQ 。
当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是_________【A 】]33,0( 【B 】]23,33( 【C 】)1,33[ 【D 】)1,23( 3.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止。
设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X 的数学期望)(X E 为_______ 【A 】81241 【B 】81266 【C 】81274 【D 】243670 4.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则B C B A C A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围是______【A 】),0(+∞ 【B 】)215,0(+ 【C 】)215,215(+- 【D 】),215(+∞- 5.已知2013321,,,,x x x x 是2013个正数，且1111111112013321=++++++++x x x x ，则2013321,,,,x x x x 这2013个正数中________【A 】小于1的数最多只有1个 【B 】肯定有比2012大的数【C 】肯定有比2012小的数 【D 】必有一个数为2013 6.若,31,1,2=++≤∈z z z C z 则z 的值的个数为_______【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】37.如果θθθθsin cos cos sin 33->-，且)2,0(πθ∈，那么角θ的取值范围是______【A 】)4,0(π 【B 】)43,2(ππ 【C 】)45,4(ππ 【D 】)2,45(ππ 8.有4种不同颜色的小球各5个，从这20个小球中任取5个，取出的这5个小球中，恰有2种或3种颜色的所有取法有________【A 】2400种 【B 】10 500种 【C 】9150种 【D 】9300种9.如果若11<++ba ab ，则a 与b _________ 【A 】一个大于1，一个小于1 【B 】两个都大于1【C 】两个都小于1 【D 】两个的积都小于110.已知R x i x k x x f i k ∈-++=∑∑==,||||)(2012120121，且)1()23(2-=+-a f a af ，则a 的值的个数为________【A 】0 【B 】1 【C 】2 【D 】无数个二、解答题（每题12分，共60分）11、若121,,,,+n n x x x x 均为小于1的非负实数.证明：其中一定存在两个数，其差的绝对值小于n1.12、在四边形ABCD 中，.1,2,3,4====AD CD BC AB（1）若四边形ABCD 为圆内接四边形，求四边形ABCD 的面积；（2）求四边形ABCD 的最大面积。
2013年自招数学模拟
因为边长为 2，对角线为 此行中必存在两个相邻格子一黑一白，分别让两只跳蚤跳 入其中各自颜色的格子即可相邻，需跳两次；
②若两个跳蚤不同行或列，则白跳蚤所在行与黑跳蚤所在列必相交，相交处的格子若为 黑色则由黑跳蚤跳入，为白色则由白跳蚤跳入，经一次即可变为同行或列；
2013 年自主招生模拟（北约二） 胡源命题
2013 年自主招生模拟（北约二）参考答案
一、选择题 AAA DDC
二、解答题 7．解： 调整法，3 点在顶点时周长最大
任取 M、N 两点固定，以这两点为焦点做一个与正五边形有交点最大的椭圆， 则那个交点一定是五边形顶点，将 K 点移动至这个顶点，三角形周长增加； 再分别固定 M、K，N、K 重复上述过程，此时三角形 KMN 顶点都是正五边形的 顶点，再移动任意一个顶点都会导致周长变小，故此时周长最大。
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由①②可知，至多跳 3 次可以相邻。
2013年北约自主招生数学试题解析
4xy 15(x y) 50 4x(2 x) 20
Ａ
4x(x 2) 80 16．
4．如图，△ ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，DM、
Ｍ
Ｎ
DN 分别为∠ADB、∠ADC 的角平分线，试比较 Ｂ
BM＋CN 与 MN 的大小关系，并说明理由．
解析 延长 ND 至 E，使 ND＝ED，连结 BE、ME，
4xy 15(x y) 50， 又由 x2 2y 5 ， y2 2x 5 ，有 x2 y2 2(x y) ∴ x y 或 x y 2 ． 当 x y 时，有 x2 2x 5， x 1 6 ， 4xy 15(x y) 50 4x2 30x 50 38x 70 38x 70 108 38 6 ； 当 x y 2 时， x2 2(x 2) 5， x(x 2) 1
下面给出证明， xx yy zz 1，
于是
xy yz zx x yz
2
xy yz zx x yz
xy x
yz zx yz
xy yz zx x yz
xy yz zx x yz
111 xz yz yx zx zx yx 1． ∴ xy yz zx ＝1．
则都会出现三数之和为 3 的倍数．故 n 4 ． 当 n 4时，取 1，3，7，9，其任意三数之和为 11，13，17，19 均为素数，满足题意，
所以满足要求的正整数最多有 4 个．
8．已知 ai ， i 1,2,3,,2013为 2013 个实数，满足 a1 a源自 a3 a2013 0 ，且
2013年北约自招数学模拟试题2
2013年自主招生数学仿真试题--北约（ 考试时间：90分钟，总分100分）一、解答题1.（12分）设()=11=+1-nn k a k n k ∑，求证：当正整数2n ≥时+1<n n a a2.（13分）在平行四边形ABCD 中，AB=x ，BC=1，对角线AC 与BD 的夹角=45BOC ∠ ，记直线AB 与CD 的距离为()h x ，求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围。
3.（15分）已知函数()=sin f x x 的图像与直线()=>0y kx k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1+=sin +sin 34ααααα4．（15分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .5.（15分）已知点(),E m n 为抛物线()2=2>0y px p 内一定点，过E 作斜率分别为12,k k 的两条直线交抛物线于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点；（1）当=0n 且12=-1k k ⋅时，求EMN 的面积的最小值（2）若()12+=0,k k λλλ≠为常数证明：直线MN 过定点。
6.（15分）一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。
问：（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。
抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。
）7.（15分）某校数学兴趣小组由m位同学组成，学校专门安排n为老师作为指导教师，在该小组的一次活动中，每位同学之间相互为对方提出一个问题，每位同学又向每位指导老师各提一个问题，以上所有问题各不相同，共有51个问题，试求m，n的值。
13年北约数学试题解析
7.
2
2
3 B A C A AB C B AC BC 1 ,故选 B. 3 AB AC B A BC C A C B
(3.2)
− ������������ + ������ = 2������ + 5 − ������������ + ������ = 2������ + 5 ������ + ������ = −������ ������������ = ������
(3.3) (3.4)
在(3.3)中我们将二次化为了一次。两个方程做差后得到������ = 2，再利用(3.4)我们得到 d=-1.下 面做法与解法 1 一致。 小结： 对于高中所学， 求������ 3 − 2������ 2 ������ 2 + ������ 3 基本上都是要先将������ 3 − 2������ 2 ������ 2 + ������ 3 化为 ������ + ������， ������������的 3 2 2 3 形式，再求解������ + ������，������������的值。那么是否每一个所求的式子都像������ − 2������ ������ + ������ 一样可以化 简呢？只要是对称多项式就可以。对称多项式可以简单理解为 x,y 互换后式子与原来一样。 这样对于解法 2 中设(3.2)是理所当然的，因为目标就是求解 c,d。解法 1 也是奔着这一目标 去的。当然会有同学直接将������ =
2
3
种方法。 3 2 对于这道题来说，先把三辆一样的红车视为一辆，先选出三行三列，共 ������6 =400 种。不妨 设选择了前三行前三列， 那么剩下三辆黑车只能选择后三行后三列。 那么问题化为在下面的 图中选择三个位置，使得不同行不同列。
2013年北约自主招生数学试题(word版含答案)
2013年北约自主招生数学试题2013-03-16（时间90分钟，满分120分）1．以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小是多少？A ．2B ．3C ．5D ．6解析：显然，多项式f （x ）=（x 2-2）［（1-x ）3-2］的系数均为有理数，且有两根分别为2和312-，于是知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式g （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e ，其两根分别为2和312-，其中a ，b ，c ，d ，e 不全为0，则：()33312(7)(232)2(63)40g a b c d e a b c d a b c -=-+----++++++=702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)ac e bd a b c de a b c d ab c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解。
由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a = 代入（7）、（8）得：0b c == 代入（1）、（2）知：0d e ==于是知0a b c d e =====，与,,,,a b c d e 不全为0矛盾。
所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x ，其两根分别为2和312-.综上所述知，以2和312-为两根的有理系数多项式的次数最小为5．2．在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A ．720B ．20C ．518400D ．14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择．最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
北约自主招生能力测试数学试题(含参考答案
综合性大学自主选拔录取联合考试自然科学基础——理科试卷数学部分（北约）一、选择题（每小题8分，合计48分）1．圆心角为3π的扇形的面积为6π，则它围成的圆锥的表面积为（ B ）．A ．B ．7πC ．D ．解：由2166S R ππ==扇形得6R =，由263r ππ=⨯得1r =，故它围成的圆锥的表面积为267r πππ+=．2．将10个人分为3组，一组4人，另两组各3人，共有（ C ）种分法．A ．1070B ．2014C ．2100D ．4200解：433106321002C C C N ==． 3．已知2()2()()33a b f a f b f ++=，(1)1f =，(4)7f =，则(2014)f =（ A ）． A ．4027 B ．4028 C ．4029 D ．4030 解：421(4)2(1)(2)()333f f f f +⨯+===，124(1)2(4)(3)()533f f f f +⨯+===，猜想*()21()f n n n N =-∈，假设()21f n n =-对3(1)n k k ≤≥都成立，则(31)3(1)2(1)2(31)1f k f k f k +=+-=+-，(32)3(2)2(2)2(32)1f k f k f k +=+-=+-，(33)3(3)2(3)2(33)1f k f k f k +=+-=+-，所以*()21()f n n n N =-∈．4．若2()lg(2)f x x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是（ D ）．A ．01a ≤≤B ．C ．D ．0a ≤或1a ≥解：由题知，{}2(0,)2y y x ax a +∞⊆=-+，故2(2)40a a ∆=--≥，解得：0a ≤或1a ≥．5．已知1x y +=-，且x 、y 均为负实数，则1xy xy+有（ B ）． A ．最大值174 B ．最小值174 C ．最大值174- D ．最小值174-解：1()()x y =-+-≥104xy <≤，而函数1()f t t t=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，故1()()4f xy f ≥，即1174xy xy +≥，当且仅当12x y ==-时取等号． 6．已知22()arctan14x f x C x +=+-在(,)44ππ-上为奇函数，则C =（ B ）． A ．0 B ．arctan 2- C ．arctan 2 D ．不存有解：由()0f x =得arctan(2)arctan 2C =-=-，此时()()f x f x +-22arctan14x x +=-22arctan 214x C x -+++4arctan()2arctan 203=--=，故arctan 2C =-符合题意．二、解答题（每题18分，共72分）7．证明：0tan3R ∉．证明：设0tan 3Q ∈，则0tan 6tan12tan 24tan 30tan(624)Q Q Q Q ∈⇔∈⇔∈⇔=+∈，这与0tan 303Q =矛盾． 8．已知实系数二次函数()f x 和()g x ，若方程()()f x g x =和3()()0f x g x +=都只有一个偶重根，方程()0f x =有两个不等的实根，求证：方程()0g x =没有实根． 解：设2()f x ax bx c =++，2()g x dx ex f =++，0ad ≠，所以2()4()()b e a d c f -=--，2(3)4(3)(3)b e a d c f +=++，所以223124b e ac df +=+，又240b ac ->，所以22()44(4)0g x e df b ac ∆=-=--<，所以方程()0g x =没有实根．9．已知1a ，2a ，…，13a 成等差数列，{}113i j k M a a a i j k =++≤<<≤，问：0，72，163是否能够同时在M 中？并证明你的结论．解：设该数列的公差为d ，∴p ∃，q ，*r N ∈，130a pd +=，173()2a p q d ++=，1163()3a p q r d +++=，∴2111q r =，∴21q ≥，11p ≥，又0123p ≥++=，∴35p q r ++≥， 又12111033p q r ++≤++=，与上式矛盾，故0，72，163不能够同时在M 中．10．i x （1i =，2，…，n ）为正实数，且11nii x==∏，求证：1)1)nn i i x =≥∏．解：由AM GM -不等式得：11(n i n =≥，11(ni n =≥两式相加得：1≥，故1)1)nn i i x =≥∏．。
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
高中自主招生复习-2013北约数学试卷解析评析
2013自主招生“北约”数学试卷解析今天上午，备受瞩目的2013年自主招生拉开大幕，笔试刚刚结束．下面笔者针对“北约”的数学试题做一些简要的评析．去年“北约”的阅卷权由北大移交到了考试院，今年北大将命题权也一并移交给了考试院．这些变化使得“北约”的试题出现了一些改变，尤其是考察范围．比如往年“北约”极少考察的排列组合、复数这两部分内容，今年都考到了．请看选择题的最后一题：“复数,,x y z 的模长均为1，0x y z ++≠，则xy yz zx x y z++++的值为（ ）”（选项略）．这道题利用复数及其运算的几何意义，以及复数的三角形式，容易得出答案是1．从题型上来讲，与去年相比变化不大．去年“北约”是数学语文两科一起考，考试时间两个半小时，其中数学6道选择题，每题7分；3道解答题，分值分别是18分、20分、20分，总分100分．今年是数学物理两科一起考，考试时间三个小时，其中数学6道选择题，每题8分；4道解答题，每题18分，总分120分．从难度上来讲，今年“北约”的试题比去年要难，不过对于大多数考生来说，并没有难到让人发指的程度．大体上难度相当于联赛的预赛题水准，比联赛的一试题要简单．这些我们在学而思的课堂上都曾经强调过．比如今年“北约”的最后一题：“有一个m n ⨯的数表，已知每一行的数均是由小到大排列．现在将每一列的数由小到大重新排列，则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论．”结论是新的数表中每一行的数也将是由小到大排列的．考虑原数表中某一列（最后一列除外）的任意两个数a 和b ，再考虑a 右边的数c ，b 右边的数d ，分类讨论即可证明结论．以前的北大或者近两年的“北约”试题，非常显著的一个风格就是讲究“顿悟”，一般情况下并不强调繁杂的计算，一旦抓住问题的本质，往往就能顺利解答．解答题的计算量绝大多数情况下比高考的后三道题要小很多．比如今年“北约”解答题的第三题：“1a ，2a ，3a ，，2013a 均为实数，12320130a a a a ++++=，122320131222a a a a a a -=-==-．求证：12320130a a a a =====．”这道题可以考虑122320131222a a a a a a -=-==-这个条件，这些值都相等，会等于多少呢？如果等于零，那么结论很轻松就得出来了．问题是1223201312220a a a a a a -=-==-=这一步成立吗？顺着这条路走，证明结论是很容易的事情．可以看到，如果考生对于此题有良好的感觉，思路得当的话，很快就可以得出解答．另外值得一说的是，今年“北约”有几道试题，在往年的清华或者“华约”的自主招生考试中，都有类似的问题．当然这两年“华约”的试卷里面也有往年北大或者“北约”的试题．这些题在学而思的课堂上我们都讲到了．下面笔者举几个例子．13年“北约”1是（）次方程（选项略）；0913年“北约”试题：一个66⨯的方格内，有3辆完全相同的红车和3辆完全相同的黑车，每辆车占1格，每行每列只有1辆车，共有（）种情况（选项略）；12年“华约”试题：红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红旗子在前，蓝棋子在后，满足这种情况的不同条件的不同排列方式共有（）种（选项略）．13年“北约”试题：集合M中的所有元素均为正整数，任取M中的3个数，其和均为质数，求M中元素个数的最大值；09年清华自主招生试题：请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论．希望以上的分析能够对大家有所帮助．谢谢．。
2013华约北约自主招生试题(无答案)
华约自主招生试题（数学）1．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求B 中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．2．已知31s in s in =+y x ，51cos cos =-y x ，求)c o s (y x +，)sin(y x -． 3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12+=k OB OA ，且A ，B 在y 轴同侧．（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；（2）曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方 程．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．5．已知21++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n >（2）设1+1=n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，k n >时d ca s n <1<01－． 6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的z y x ,,．7．设1e )1(=)(－－x x x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；（2）令1e =1+－n n x x n e x ，1=1x ，证明n x 递减且n n x 21>． 华约自主招生试题（物理）一、 （15分）（1）质量约1T 的汽车在10s 内由静止加速到60km/h 。
2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题
2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件： （a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求： （1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？ （2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
“北约”“华约”2013年自主招生数学模拟试题及答案解析
8
4
(II) 直线 l1 : x 1 , l2 : y
x
m ,D(1,4),
( x 1)2
椭圆 Q:
(y
2)2
1
8
4
①若 l2 过点 F1 或 D,由 F1 ,D 两点既在直线 l1 上 , 又在椭圆 Q上 , 但不在 F2 的轨迹上 ,
知 l2 与 F2 的轨迹只有一个公共点 , 不合题意 .
②若 l2 不过 F1 ,D 两点 ( m 1, m 3 ). 则 l 2 与 l1必有一个公共点 E, 且点 E不在椭圆 Q上 ,
(I) 求点 F2 的轨迹方程 ;
(II)
是否存在直线 y x m 与点 F2 的轨迹有 且只
有两个公共点 ?若存在 , 求实数 m 的值 , 若不存在 , 请说明理由 .
5. 已知 a， b 均为正整数，且 a b, sin 证：对一切 n N * ， An 均为整数
2ab a 2 b 2 (其中 0
当 t ( , 1) , g' (t ) 0 , g(t ) 为增函数 ; 当 t ( 1,1) 时 , g' (t ) 0 , g (t ) 为减函数 ;
当 t (1, ) 时 , g '(t ) 0 , g (t) 为增函数 .
所以当 t
值
1
.
2
1, 即
时 , m g (t) 有极 大值 1 ; 当 t 1, 即
4
2
4．解 :(I) F1 (1,0) , AF1 BF2 2 2 , 设 F2( x, y) 则
时 , m g(t) 有极小 4
AF1 AF2 BF1 BF2 2a 0 , 去掉绝对值号有两种情况 , 分别得 F2 的轨迹
2013年“北约”自主招生训练题二
2013年“北约”自主招生训练题二1、函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .2、设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.3、圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．4、在三棱锥A B C D -中，已知A C B C B A ∠=∠，A C D A D C B C D B D C ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱A B的长为，则此棱锥的体积为 ．5、设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11n n n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．6、已知平面上两定点A （－3，0），B （0，－4），P 为曲线12(0)y x x=>上任意一点，过点P作PC ⊥x 轴，PD ⊥y 轴，垂足分别为C,D ，则四边形ABCD 面积S 的最小值为 7、函数()2f x x =-__________________________.8、函数22*()sincos()kkf x x x k N =+∈的最小值为9、设O 是平面上一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足||||A C A BO P O A A C A B λλ-=+，其中[0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹为_________________. 10、函数21)(2+-=x x x f 的值域是__________________。
11、若ABC ∆为锐角三角形，满足)cos(sin sin B A BA +=，则A tan 的最大值是___________。
12、将9,,2,1 随机填入右图正方形ABCD 的九个格子中，则其每行三数，每列三数自上而下、自左至右顺次成等差数列的概率P=__________。
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2013年北约自主招生数学试题与答案1．和1A. 2B. 3C. 5D. 6解析：显然，多项式23()(2)(1)2f x x x ⎡⎤=---⎣⎦和1于是和1 5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式432()g x ax bx cx dx e =++++，和1，其中,,,,a b c d e 不全为0，则：420(42)(2020a c e ga c eb d b d ++=⎧=++++=⇒⎨+=⎩(1(7)(232(630g a b c d e a b c d a b c =-+----+++++702320a b c d e a b c d +---=⎧⇒⎨+++=⎩ 即方程组：420(1)20(2)70(3)2320(4)630(5)a c eb d a bcde a b c d a b c ++=⎧⎪+=⎪⎪+---=⎨⎪+++=⎪++=⎪⎩，有非0有理数解. 由（1）+（3）得：110a b c d ++-= （6） 由（6）+（2）得：1130a b c ++= （7） 由（6）+（4）得：13430a b c ++= （8） 由（7）-（5）得：0a =，代入（7）、（8）得：0b c ==，代入（1）、（2）知：0d e ==.于是知0a b c d e =====，与,,,,abcde 不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式()g x ，1-和1 5.2． 在66⨯的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？A. 720B. 20C. 518400D. 14400解析：先从6行中选取3行停放红色车，有36C 种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。
三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。
所以共有36654614400C ⨯⨯⨯⨯=种停放汽车的方法.3． 已知2225,25x y y x =+=+，求32232x x y y -+的值. A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 解析：根据条件知：32232(25)2(25)(25)(25)x x y y x y y x y x -+=+-++++1515450x y xy =---由2225,25x y y x =+=+两式相减得()()22x y x y y x -+=-故y x =或2x y +=-①若x y =则225x x =+，解得1x =±于是知1x y ==+1x y ==当1x y ==+3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x x -+=-++-=---=-----3870108x =--=--.当1x y ==3223222415()50430504(25)3870x x y y xy x y x x x x -+=--+-=---=-+---22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-3870108x =--=-+.（2）若x y ≠，则根据条件知：22(25)(25)2()2x y y x y x x y +=+-+=-⇒+=-，于是22(25)(25)2()106x y y x x y +=+-+=++=，进而知222()()12x y x y xy +-+==-. 于是知：32232415()5016x x y y xy x y -+=-+-=-.综上所述知，32232x x y y -+的值为108-±16-.4． 数列{}n a 满足11a =，前n 项和为1,42n n n S S a +=+，求2013a .A. 3019⨯2 2012B. 3019⨯22013C. 3018⨯22012D.无法确定解析：根据条件知：1221221424244n n n n n n n n n a S a S a a a a a ++++++++==+=++⇒=-.又根据条件知：1212121,425a S a a a a ==+=+⇒=.所以数列{}1221:1,5,44n n n n a a a a a a ++===-.又212114422(2)n n n n n n n a a a a a a a +++++=-⇔-=-.令12n n n b a a +=-，则11212,23n n b b b a a +==-=，所以132n n b -=⋅.即11232n n n a a -+-=⋅. 对11232n n n a a -+-=⋅，两边同除以12n +，有113224n n n n a a ++-=，即113224n n n n a a ++=+.令2n n na c =，则134n n c c +=+，11122a c ==，于是知1331(1)244n n c n -=+-=.所以231,2(31)24nn n n a n --==-⋅.于是知：2011202013(320131)230192a =⨯-⋅=⋅.5．如图，ABC ∆中，AD 为BC 边上中线，,DM DN 分别,ADB ADC ∠∠的角平分线，试比较BM CN +与MN 的大小关系，并说明理由. A. BM+CN>MNB. MN +CN <MNC. BM+CN =MND.无法确定解析：如图，延长ND 到E ，使得DE DN =，连接BE ME 、.易知BDE CDN ∆≅∆，所以CN BE =.又因为,DM DN 分别为,ADB ADC ∠∠的角平分线，所以90MDN ∠=︒，知MD 为线段EN 的垂直平分线，所以MN ME =.所以BM CN BM BE ME MN +=+>=.6.模长为1的复数A B C 、、，满足0A B C ++≠，求AB BC CAA B C++++的模长.A. -1/2B. 1C. 2D.无法确定解析：根据公式z =1,1,1A A B B C C ⋅=⋅=⋅=.于是知：AB BC CAA B C++=++=1==.所以AB BC CAA B C++++的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数. 解析：所有正整数按取模3可分为三类：3k 型、31k +型、32k +型. 首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取3k 型数为3a ，31k +型数为31b +，32k +型数为32c +，则3(31)(32)3(1)a b c a b c ++++=+++，不可能为素数.所以三类数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类3(012)k r r +=、、型的数至少取到三个，设其中三个分别为333a r b r c r +++、、，则(3)(3)(3)3()a r b r c r a b c r +++++=+++，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个. 结合上述两条，我们知道最多只能取224⨯=个数，才有可能满足题设条件. 另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件. 综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知1232013a a a a R∈、、、、，满足12320130a a a a ++++=，且122334201220132013122222a a a a a a a a a a -=-=-==-=-，求证：12320130a a a a =====.解析：根据条件知:122334************(2)(2)(2)(2)()0a a a a a a a a a a a a -+-+-++-=-++++=，（1）另一方面，令122334201312222a a a a a a a a m-=-=-==-=，则122332222a a a a a a a a----、、、、中每个数或为m ，或为m -.设其中有k 个m ，(2013)k -个m -，则：12233420131(2)(2)(2)(2)(2013)()(22013)a a a a a a a a k m k m k m -+-+-++-=⨯+-⨯-=-（2）由（1）、（2）知：(22013)0k m -= （3）而22013k -为奇数，不可能为0，所以0m =.于是知：12233420122013201312,2,2,,2,2a a a a a a a a a a =====.从而知：2013112a a =⋅，即得10a =.同理可知：2320130a a a ====.命题得证.9．对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值. 解析：根据二倍角和三倍角公式知：632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---622232cos (2cos 31)6(2cos 21)15(2cos 1)θθθθ=------63222232cos 2(4cos 3cos )162(2cos 1)115(2cos 1)θθθθθ⎡⎤⎡⎤=--------⎣⎦⎣⎦664242232cos (32cos 48cos 18cos 1)(48cos 48cos 6)(30cos 15)θθθθθθθ=--+---+--10=.10．已知有mn 个实数，排列成m n ⨯阶数阵，记作{}mxnija ，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的123i m =、、、、，当12j j <时，都有12ij ij a a ≤.现将{}mxnija 的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作{}mxnij a '，即对任意的123j n =、、、、，当12i i <时，都有12i j i j a a ''≤.试判断{}mxnij a '中每一行的n 个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵{}mxnija '中每一行的n 个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，其中1231j n =-、、、、. 若存在一组(1)pq p q a a +''>.令(1)(1)k k q i q a a ++'=，其中123k m =、、、、，{}{}123,,,,1,2,3,,m i i i i m =.则当t p ≤时，都有(1)(1)(1)t t i q i q t q p q pq a a a a a +++'''≤=≤<.也即在(123iq a i =、、、、m)中，至少有p 个数小于pq a '，也即pq a '在数阵{}mxnija '的第q 列中，至少排在第1p +行，与pq a '排在第p 行矛盾.所以对于任意123i m =、、、、，都有(1)iji j a a +''≤，即数阵{}mxnij a '中每一行的n 个数从左到右都是递增的.。