陕西省武功县5702中学2014届高三第八次练考数学(理)

武功县5702中学2014届高三第八次练考数学（理）试题本试卷分为I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.第I 卷（选择题,共50分）一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) 1．设集合{}1,0,2A =-，集合{}2B x x A x A =-∈-∉且，则B =（ ） （A ）{}1 （B ）{}2- （C ）{}1,2-- （D ）{}1,0- 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足：2)1()21(i z i +=-，则z 的值是( )A ．i 5254+-B. i 5352+-C. i 5254- D. i 5352- 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间[]1,0-上是减函数的是（ ） （A ）cos y x = （B ）2y x = （C ）2log x （D ）x x y e e -=- 4. 右图是函数sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>>≤图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx(x ∈R)的图象上所有的点 A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变5．设n m 、是不同的直线，βα、是不同的平面，有以下四个命题：①若βα⊥，α//m ，则β⊥m ②若α⊥m ，α⊥n ，则n m //③若α⊥m ，n m ⊥，则α//n ④若α⊥n ，β⊥n ，则αβ// .其中真命题的序号为（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④6．已知不等式组,,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩（其中0a >）表示的平面区域的面积为4，点(,)Pxy 在该平面区域内，则2z x y=+的最大值为( )（A ）9 （B ）6 （C ）4 （D ）37．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ） A ．43π B ．323πC ．4πD ．16π8．执行如图所示的程序框图，则输出的a 为（ ） （A ）20 （B ）14 （C ）10 （D ）79．已知偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则关于x 的方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数是（ ） A. 4个 B. 6个 C. 8个 D. 1010．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为：Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点到平面α的距离为：，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于( )A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题 共100分） 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11．一个边长为10 cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S 表示成x 的函数为 ．12．在区间[]1,5和[]2,4上分别取一个数，记为m 和n ，则方程22221y x m n+=，表示焦点在y 轴上的椭圆的概率是 .13．在区间［0，1］上给定曲线，如图所示，若使图中的阴影部分的面积与之和最小，则此区间内的t= 。

14．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{5,},0,1,2k n k n k =+∈=Z . 给出如下四个结论： ①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z=[0]∪ [1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]”.其中，正确的结论的个数是 ．15．(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)若存在实数x 使31≤-+-x a x 成立，则实数a 的取值范围_______ B(几何证明选做题)如图：两圆相交于点B 、1B ，直线PB 与1PB 分别与两圆交于点A 、C 和1A 、1C ，113,1PA AB BC AB ====，则11B C = .C ．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，x 轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线l 的极坐标方程为2cos 16πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．则直线l 与曲线C 交点的极坐标为 ．三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分) 在△ABC 中，已知π6C =，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n ． （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =，13AD =，求△ABC 的面积． 17．(本小题满分12分)在数列{}n a 中，若221n n a a k --=（2n ≥，*N n ∈，k 为常数），则称{}n a 为X 数列．（1）证明：一个等比数列为X 数列的充要条件是公比为1或1-；（2）若X 数列{}n c 满足12c =，222c =，0n c >，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p q ，使不等式1n T pn q >+-对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出,p q 的值；若不存在，说明理由．18．(本小题满分12分)如图，正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为棱1CC 上的动点. （1）求证：1A E BD ⊥；（2）当E 为棱1CC 的中点时，求直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦值.19．(本小题满分12分)某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)甲 3 7 20 40 20 10 乙515353573现将根据上表统计得到甲、乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的概率；（2）记甲乙分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利和记为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望． 20．(本小题满分13分)已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点为(1,0)F，短轴的一个端点B到F的距离等于焦距.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，是否存在直线l，使得△BFM与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．参考答案5．D 【解析】①若βα⊥，α//m ，则m 与β包含直线与平面的所有关系，所以①错误；②若α⊥m ，α⊥n ，则n m //，所以②正确； ③若α⊥m ，n m ⊥，则α//n 或n α⊆，所以③错误； ④若α⊥n ，β⊥n ，则αβ// ，所以④正确； 故选D 6 D试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要1a >-，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积1(22)232Sa =⋅+⋅=，解得12a =，故选D.7．D 【解析】观察三视图可知，该几何体是圆锥，圆锥底半径为3，高为1．如图所示是圆锥及其外接球的轴截面，1,O O 分别是圆锥底面中心和球心，设球半径为R ． 由平面几何知识可得，(21)133,R -⨯=⨯所以，22,=416R S R ππ==球，选D ． 8．A【解析】：根据程序框图可得：10,1;5,2;14,3;7,4;20,5;10,6a i a i a i a i a i a i ============，由此可知，所有a 构成一个周期为5的周期数列，2015i =时，20a =，此时循环结束，故输出20.9．B 【解析】：由题意可得，(2)()f x f x +=.即函数()f x 为周期为2的周期函数，又()f x 是偶函数， 所以，在同一坐标系内，画出函数()f x ，||||110()10x x y -==的图象，观察它们在区间1010[,]33-的交点个数，就是方程||()10x f x -=在1010[,]33-上根的个数，结合函数图象的对称性，在y 轴两侧，各有3个交点，故选B .10．B 【解析】以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系，则A(1，1，0)，B(－1，1，0)，P(0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，，所以－Dy －Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，．故选B ．11．S=10x （0＜x ＜10） 【解析】白色的三角形的面积为，正四棱锥的侧面积为S=4S △=10x （0＜x ＜10）12．12【解析】：本题为几何概型概率，测度为面积，分母为矩形，面积为8，分子为直线x y =在矩形中上方部分（直角梯形），因为面积直线x y =正好平分矩形，所以所求概率为 2113．【解析】面积等于边长为t 与的矩形的面积去掉曲线与x 轴、直线x=t 围成的面积，即;面积等于曲线与x 轴、x=t ，x=1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为)，即．所以阴影部分面积，由S′(t)=4t 2-2t=4t(t-)=0，得t=0或t=．经验证知，当t=时，S 最小．14．3【解析】：140252011+⨯=，[]12011∈∴，真；25-3-+=，[]23-∈∴，假；显然③真；若[]k b a ∈,则k n b k n a +=+=215,5,()[]0521=-=-∴n n b a ,则n b a 5=-,若[]k a ∈,则k n a +=15,()k n n n k n b +-=-+=∴11555，[]k b ∈∴,④真.15. A 42≤≤-a 【解析】由11-≥-+-a x a x 又因为存在实数x 使31≤-+-x a x 成立则31≤-a ，则42≤≤-aB 3【解析】：由题设得，11111323(1)2PA PB PA PB PA PA PA ⨯=⨯⇒⨯=⨯+⇒=，11PC PB PC PB ⨯=⨯⇒11113323(1)(1)PA BC PA ⨯=++⨯+，111118(3)33B C B C =+⨯⇒=. C ． 1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】：求直线l 与曲线C 交点的极坐标，可先直线l 与曲线C 交点直角坐标..先根据2(sin cos )1sin 2θθθ+=+，消去参数θ得21x y =+,注意范围：22x -≤≤.再根据c o s ,s i nx y ρθρθ==得直线l 的方程：31y x =-，由()231122y x x y x ⎧=-⎪⎨=+-≤⎪⎩, 解得01x y =⎧⎨=-⎩. 所以交点的极坐标为1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭. 16试题解析：（1）由题意知sin cos 0A B ⋅=+=m n ， 2分又π6C =，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=， 4分 即31sin cos sin 022A A A -+=，即πsin()06A -=， 5分 又5π06A <<，所以ππ2π()()663A -∈-,，所以π06A -=，即π6A =． 6分（2）设BD x =，由3BD BC =，得3BC x =， 由（1）知π6A C ==，所以3BA x =，2π3B =， 在△ABD 中，由余弦定理，得2222π(13)=(3)23cos3x x x x +-⨯⨯， 10分 解得1x =，所以3AB BC ==，所以112π93sin 33sin 2234ABC S BA BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯=Δ． 12分 17（1）证明：一个等比数列为X 数列的充要条件是公比为1或1-；（2）1p q ==.【解析】（1）（必要性）设数列{}n a 是等比数列，11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠），则22221n n a a q -=，若{}n a 为X 数列，则有2222222422421111(1)n n n n n a a a q a q a q q k -----=-=-=（k 为与n 无关的常数）所以21q =，1q =或1q =-． 3分（充分性）若一个等比数列{}n a 的公比1q =，则1n a a =， 2210n n a a --=，所 以{}n a 为X 数列；若一个等比数列{}n a 的公比1q =-，则11(1)n n a a -=-，22222224111(1)(1)0n n n n a a a a ----=---=，所以{}n a 为X 数列． 6分 （2）因X 数列{}n a 中122,22,0n a a a ==>，则221(1)44(1)4,n a a n d n n =+-=+-=2n a n ∴=，所以数列1{}n a 的前n 项和11111(...)2123n T n =++++7分 假设存在正整数,p q 使不等式11111(...)12123pn q n++++>+-对一切*n N ∈都成立．即1111...2(1)123pn q n++++>+- 当1n =时，912(1),4p q p q >+-∴+<，又,p q 为正整数， 1p q ∴==． 10分下面证明：1111...2(11)123n n++++>+-对一切*n N ∈都成立． 由于*1222(1)()1n n n N n n n n n=>=+-∈+++ 所以1111...2[(21)(32)...(1)]2(11)123n n n n++++>-+-+++-=+- 5分18试题解析：连AC 设AC DB O =I ,连1,AO OE .(1)由1A A ⊥面ABCD ,知1BD A A ⊥,又AC BD ⊥, 故BD ⊥面1ACEA .再由1A E ⊂面1ACEA 便得E A 1⊥BD .(2)在正1A BD ∆中,1BD AO ⊥,而E A BD 1⊥, 又1AO ⊂面OE A 1,⊂E A 1平面OE A 1,且111A O A E A =I ,故BD ⊥面OE A 1,于是OE BD ⊥,OE A 1∠为二面角E BD A --1的平面角.正方体ABCD —1111D C B A 中,设棱长为a 2,且E 为棱1CC 的中点,由平面几何知识易得113,6,3EO a AO a A E a ===,满足22211A E A O EO =+,故1EO AO ⊥. 再由EO BD ⊥知EO ⊥面1A BD ,故1EAO 是直线1A E 与平面1A BD 所成角. 又113sin 3EO EA O A E ∠==,故直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦是33. 解二.分别以为z y x ,,轴正向,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a .(1)易得11(,0,0),(,,0),(0,,0),(,0,),(0,,)A a B a a C a A a a C a a . 设(0,,)E a z ,则,,从而,于是.1BD E A ⊥(2)由题设,(0,,)2a E a ,则,.设是平面1A BD 的一个法向量,则,即0ax az ax ay y z x +=+=⇒==-于是可取,.易得,故若记与的夹角为θ,则有,故直线1A E 与平面1A BD 所成角的正弦是33. 19【解析】 试题分析：（1）根据上表统计得到乙两人生产产品A 为一等品、二等品、三等品的频率分别估计为他们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．由于工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元三种情况是：三件一等品；两件一等品，一件二等品；一件一等品，两件二等品；然后分别计算它们的概率并求和.（2）由于甲乙分别生产一件产品A 给工厂带来的盈利X 共有六种情况.分别求的各种情况的概率，根据数学期望公式即可得结论.试题解析：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010， 3分 乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,1010106分 （1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅=8分（2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=， 621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯= 所以，随机变量X 的概率分布为:X 100 80 604020-20P3100 27100 42100 7100 19100 2100随机变量X 的数学期望 300216025202803804056100EX ++++-==（元）12分考点：1.统计概率.2.数学期望的计算.20．（1）22143x y +=；（2）2. 【解析】试题解析：（1）由已知得1c =，22a c == 3分2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y += 4分（2）2BFMBFNS S ∆∆=等价于2FM FN = 6分 当直线l 斜率不存在时，1FMFN=，不符合题意，舍去； 7分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 并整理得222(34)690k y ky y ++-= 9分 设11(,)M x y ，22(,)M x y ，则12263+4ky y k+=- ①，21229=34k y y k -+② 由2FM FN =得122y y =-③由①②③解得52k =±，因此存在直线l ：5(1)2y x =±-使得BFM ∆与BFN ∆的面积比值为2 13分21．（1）211,2e ⎛⎤+⎥⎝⎦（2） 【解析】试题解析：（1）由2()2ln f x x x =-，求导数得到：22(1)(1)()2x x f x x x x-+'=-= 1x e e≤≤，故()0f x '=在1x =有唯一的极值点 2211()2,()2,()(1)1f f e e f x f e e =--=-==-极大值，且知1()()f e f e < 故1(),m f x e e ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦在上有两个不等实根需满足： 2121m e --≤-<-故所求m 的取值范围为211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦. （6分） （2）()22g x x a x '=--又()0f x ax -=有两个实根12,x x 则211122222ln 02ln 0x x ax x x ax ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩两式相减得到：121212122(ln ln )()(0,0)x x a x x x x x x -=-+>>-且 于是12()g px qx '+12121212122(ln ln )22()()x x px qx x x px qx x x ⎡⎤-=-+--+⎢⎥+-⎣⎦ 122112122(ln ln )2(21)()x x p x x px qx x x -=-+--+- 2121,0q x x ≥>>且，故21(21)()0p x x --≤要证：12()0g px qx '+<，只需证：1212212(ln ln )20x x px qx x x -+<+- 只需证：211122ln 0(*)x x x px qx x -+<+令12x t x =，则01t << 只需证明：()1ln 0t u t t pt q-=+<+在01t <<上恒成立. 又11,,2p q q +=≥则221,1q q p p≥≥从而 于是由1t <可知22q t p<.故知()0u t '> ∴()(0,1)u t t ∈在上为增函数，则()(1)0u t u <=从而可知121212ln 0x x x x px qx -+<+，即（*）式成立，从而原不等式得证. （14分） 考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化与数形结合的思想.。