二十世纪的数学课件

四、集合论的发展史
1、集合论概念
所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构 成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员 关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公 式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。
四、集合论的发展史 1、集合论概念
集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系 开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合 也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集 合的关系。
1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家 庞加莱就曾兴高采烈地宣称，借助集合论概念，我 们可以建造整个数学大厦，我们可以说绝对的严格 性已经达到了。
2、集合论的发展 随后的研究中，数学家们在集合论中纷纷发现
了逻辑矛盾，集合论是有漏洞的！
1902年英国哲学家、数学家罗素在集合论概括 原则的基础上引出了著名的罗素悖论。
2、集合论的发展 理发师悖论与罗素悖论是等价的：
如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素 被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称， 他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且 城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否 属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。 反过来的变换也是成立的。
希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决，有些
问题虽未最后解决，但也取得了重要进展。希尔伯特问 题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李 群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系 列数学分支的发展，有些问题的研究还促进了现代计算 机理论的成长。
二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论
另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合
三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题
1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家 大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整 个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提 出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要 领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓 厚的研究兴趣。
问题涉及的只是集合论中最基本的东西。所以， 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引 起了极大震动。严重冲击着数学基础的研究，导致 了“第一次数学危机”。
2、集合论的发展
罗素悖论——理发师悖论
某个城市有一位理发师，他的广告词是这样写
的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将 为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些 人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的 人很多，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是， 有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了， 你们看，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自 己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要 给自己刮脸；而如果他给自己刮脸呢？他又属于 “给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛 盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中 一切有价值的内容得以保存下来。”
争论的结果是使数学获得新的发展，提出了公 理化集合论。
五、公理化思想的发展
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中 出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危 机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为 深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切 的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数 学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻 地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成 了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工 作又都促进了数学的大发展。
分为两大节 第一节、纯粹数学 第二节、应用数学与计算机科学
一、涵义
相对于应用数学而言，纯粹数学是一门专门研 究数学本身，不以应用为目的的学问。
纯粹数学以数论为其代表。
纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规 律的内在联系，研究数学本身的规律。
它大体上分为三大类，
1、研究空间形式的几何类（微分几何、拓扑学） 2、研究离散系统的代数类（数论、近世代数） 3、研究连续现象的分析类（微分方程、函数论、 泛函分析）
概述：
1.二十wenku.baidu.com纪初，数学发生巨大的变化，其高度抽象 性、严密逻辑性和广泛应用型愈来愈突出地显示出 来；
2.向着高度分化的方向发展，分化出非常多的分支 学科；
3.向着高度综合的方向发展，出现将数学各部分统 一起来的种种新观点和新方案；
4.各门自然学科从定性研究过渡到定量研究，愈发 需要利用数学这一强大分析工具，数学本身的发展 也就有了更充足的动力。
2、集合论的发展
罗素悖论公式
设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确 定了一个类A——也就是说“A=\{x|x不属于x\}”。 那么问题是：A属于A是否成立？
首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有 性质P，由性质P知A不属于A；
其次，若A不属于 A，也就是说A具有性质P， 而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。
另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。 若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集 合A为B的子集，符号为A ⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义， 任一个集合也是本身的子集。
2、集合论的发展
德国数学家康托尔（1845-1918）创立了集合论， 扩充了数学概念，成为数学的重要基础。数学家们 发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个 数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一 切数学成果可建立在集合论基础上。
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派：
第一，罗素、怀特海为代表的逻辑主义学派
第二，以荷兰数学家布劳维为代表的直觉主义学派
第三，以德国数学家希尔伯特为代表的形式主义学 派
2、集合论的发展 罗素悖论的争论
三大学派进行了激烈的争论，分析了悖论产生 的根源，人们希望能够通过对康托尔的集合论进行 改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就 需要建立新的原则。