(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题
初中数学一元二次方程复习专题
初中数学一元二次方程复习专题一、一元二次方程的定义及基本形式一元二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。
其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、一元二次方程的解法1.利用因式分解法解方程当一元二次方程可以进行因式分解时，可以利用因式分解法来解方程。
即将方程两边同时化简为一个或多个数相乘的形式，并使方程中至少一个因子为0，解出方程。
例如：求解方程x²-5x+6=0可以进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，因此，x-2=0或x-3=0，解得x=2或x=32.利用求根公式解方程对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以利用求根公式解方程。
求根公式有二次根公式和贝努力公式两种形式。
二次根公式：对于方程ax²+bx+c=0，当Δ=b²-4ac≥0时，方程有两个实根，即x₁=(-b+√Δ)/2a和x₂=(-b-√Δ)/2a。
当Δ<0时，方程无实根。
例如：求解方程x²-5x+6=0根据二次根公式，可以得到Δ=(-5)²-4×1×6=1，因为Δ≥0，所以方程有两个实根。
代入公式得到x₁=(-(-5)+√1)/2×1=3和x₂=(-(-5)-√1)/2×1=2三、一元二次方程的判别式及性质1. 判别式Δ=b²-4ac的意义判别式Δ表示方程ax²+bx+c=0的二次项系数、一次项系数和常数项的平方差。
Δ的值可以判断方程的解的情况：a)当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；b)当Δ=0时，方程有两个相等的实根；c)当Δ<0时，方程没有实根。
2.一元二次方程的性质a)当a>0时，方程的图像开口向上，最低点为最小值；b)当a<0时，方程的图像开口向下，最高点为最大值；c)当c>0时，方程的图像与x轴在两个交点之间有交点；d)当c<0时，方程的图像与x轴在两个交点之外有交点。
九年级上册数学 一元二次方程(篇)(Word版 含解析)
九年级上册数学 一元二次方程（篇）（Word 版 含解析）一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB 与BC 的长；（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 长为10时运动时间t 的值；（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) AB ＝3，BC ＝4;(2) t ＝4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可；（3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解. 试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0 ∴1x ＝3或2x ＝4 . 则AB ＝3，BC ＝4(2)由题意得()223t-310?+=（） ∴14t =，22t =(舍去) 则t ＝4时，AP 10.(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形. ①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4. 2234+＝5，CP 1＝ 12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51++ ＝9.5(秒)③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q.1341221552DQ⨯⨯==⨯，95PQ==∴PC＝2PQ＝18 5∴183453515t++==(秒)可知当t为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP是等腰三角形.2．阅读下面材料：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，它通常用字母d表示，我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和．（公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，）例如：3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21＝10×3＋10(101)2-×2＝120．用上面的知识解决下列问题．（1）计算：2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116（2）某县决定对坡荒地进行退耕还林．从2009年起在坡荒地上植树造林，以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少，下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据．问到哪一年，可以将全县所有坡荒地全部种上树木．【答案】（1）1180；（2）到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．【解析】【分析】（1）根据题意，由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和，即可得到答案；（2）根据题意，设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．列出方程，解方程即可得到答案．【详解】解：（1）由题意，得6d =，20n =，2a =，∵(1)2n n S na d -=+⨯， ∴20(201)22062S -=⨯+⨯401140=1180=+； （2）解：设再过x 年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．根据题意，得1200x+(1)2x x -×400＝25200， 整理得：（x ﹣9）（x+14）＝0， ∴x ＝9或x ＝﹣14（负值舍去）． ∴2009+9-1=2017；答：到2017年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，以及计算等差数列的和公式，解题的关键是熟练掌握题意，正确找出等量关系，列出方程进行解题．3．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7k =±详见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在． 【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0 ∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0， 即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0， ∴12k ＞﹣4 解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+==又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=- 21430,k k ∴--= 1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=7k ∴==± k ＞13-且k ≠0，172130.21,3-≈--＞ 17.3+-∴满足条件的k 值存在，且7k =± ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．4．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售． 【解析】 【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折． 【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0． 解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．5．如图，∠ AOB ＝90°，且点A ，B 分别在反比例函数1k y x =（x ＜0），2ky x=（x ＞0）的图象上，且k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根． （1）求k 1，k 2的值；（2）连接AB ，求tan ∠ OBA 的值．【答案】（1）k 1＝－2，k 2＝3． （2）tan∠OBA 6． 【解析】解：（1）∵k 1，k 2分别是方程x 2－x －6＝0的两根，∴解方程x 2－x －6＝0，得x 1＝3，x 2＝－2．结合图像可知：k 1＜0，k 2＞0，∴k 1＝－2，k 2＝3．（2）如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ．[来源:学&科&网Z&X&X&K]由（1）知，点A，B分别在反比例函数2yx=-（x＜0），3yx=（x＞0）的图象上，∴S△ACO＝12×2-＝1 ，S△ODB＝12×3＝32．∵∠ AOB＝90°，∴∠ AOC＋∠ BOD＝90°，∵∠ AOC＋∠ OAC＝90°，∴∠ OAC＝∠ BOD．又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．∴SSACOODB∆∆＝2OAOB⎛⎫⎪⎝⎭＝23，∴OAOB＝±63（舍负取正），即OAOB＝63．∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝OAOB＝63．6．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.7．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．【解析】【分析】（1）根据移项要变号，可判断；（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.【详解】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n，x2=﹣4n．8．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．（1）求点D的坐标．（2）求直线BC的解析式．（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（4，7）（2）y=3944x （3）详见解析【解析】试题分析：（1）解一元二次方程求出OA、OB的长度，过点D作DE⊥y于点E，根据正方形的性质可得AD=AB，∠DAB=90°，然后求出∠ABO=∠DAE，然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=OA，AE=OB，再求出OE，然后写出点D的坐标即可；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同理求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b （k≠0，k、b为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，△PCD为等腰三角形；点P为点B关于点C 的对称点时，△PCD为等腰三角形，然后求解即可．试题解析：（1）x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，∵OA＞OB，∴OA=4，OB=3，过D作DE⊥y于点E，∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠DAB=90°，∠DAE+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠ABO=∠DAE，∵DE⊥AE，∴∠AED=90°=∠AOB，∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB，∴△DAE≌△ABO（AAS），∴DE=OA=4，AE=OB=3，∴OE=7，∴D（4，7）；（2）过点C作CM⊥x轴于点M，同上可证得△BCM≌△ABO，∴CM=OB=3，BM=OA=4，∴OM=7，∴C（7，3），设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b为常数），代入B（3，0），C（7，3）得，，解得，∴y=x﹣；（3）存在．点P与点B重合时，P1（3，0），点P与点B关于点C对称时，P2（11，6）．考点：1、解一元二次方程；2、正方形的性质；3、全等三角形的判定与性质；4、一次函数9．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式，结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围； （2）由篱笆的长可得出y ＝（11﹣2x ）m ，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】（1）∵矩形的面积为12m 2， ∴y ＝． ∵4≤y ≤8， ∴1.5≤x ≤3． （2）∵篱笆长11m ， ∴y ＝（11﹣2x ）m ．依题意，得：xy ＝12，即x （11﹣2x ）＝12， 解得：x 1＝1.5，x 2＝4（舍去）， ∴y ＝11﹣2x ＝8．答：矩形园子的长为8m ，宽为1.5m ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y 关于x 的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．10．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF . （1）当32BG = 时，求AE 的长； （2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.【答案】（1）92AE =；（2）62EF =3）185BG =. 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得； （2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得． 【详解】（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，由勾股定理，得()()222632x x =-+，解得92x =，即92AE = （2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，此时四边形AEGF 是正方形，∴折痕226662EF =+=.（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+（10-x ）2解得：x=345， ∴DF=CH=GH=10-165， 即BG=10-165×2=185， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ；∴GH=x-（10-x ）=2x-10，在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2，化简得：3x 2-40x+136=0，∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，∴此方程没有实数根．综上可知：BG=185． 【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．。
初三数学 一元二次方程复习
初三数学一元二次方程复习一．填空题（共60小题）1．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝．2．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为．3．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则a的值为．4．如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣1＝0一个根为0，则m＝．5．已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为．6．若a是方程2x2﹣4x+1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2+4a的值为．7．设a是方程x2﹣2006x+1＝0的一个根，则代数式a2﹣2007a+的值为．8．关于x的方程是一元二次方程，则m＝．9．关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是．10．已知关于x的一元二次方程m（x﹣h）2﹣k＝0（m，h，k均为常数，且m≠0）的解是x1＝2，x2＝5，则关于x的一元二次方程m（x﹣h+3）2＝k的解是．11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣3，x2＝2（a、b、m为常数，a≠0），则方程a（2x+m+1）2+b＝0的解是．12．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为．13．一元二次方程x2+x﹣1＝0的解是．14．若关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是．15．若关于x的方程（k﹣5）x2+2kx+k+2＝0有实数根，则k的范围是；若有两个不相等的实数根，则k的范围是．16．关于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．17．已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1x2+x1+x2的值为．19．如果m，n是一元二次方程x2﹣x＝3的两个实数根，那么多项式2n2﹣mn+2m＝．20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）＝．21．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为．22．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（k+6）x+3k＝0的两个实数根，且x1﹣x2＝，则k＝．23．已知a、b是方程x2+3x+1＝0的两根，则a2+4a+b﹣3＝．24．设a、β是方程x2﹣x+2024＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为．25．已知x1，x2是方程x2﹣x﹣11＝0的两个实数根，则代数式的值是．26．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为．27．已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0的一个根为x＝0，则它的另一个根为．28．已知关于x的方程x2+2x﹣a＝0的一个根为2，则另一个根是．29．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则a2+2b﹣ab的值是．30．设x1，x2是方程x2﹣2x﹣35＝0的两个实根，则代数式的值为．31．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2﹣x1x2的值为．32．已知方程2t2﹣t﹣4＝0有两个不相等的实数根α、β，则＝．33．若m、n是关于x的一元二次方程x2﹣2022x+2023＝0的两根，则代数式（m2﹣2021m+2022）（n2﹣2021n+2022）的值是．34．设x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两实数根，则+x2﹣2025＝．35．已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β＝．36．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个根，则α2+4α+β+2021的值是．37．已知一元二次方程8x2﹣2x﹣15＝0的解为x1，x2，则的值为．38．若a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个根，则代数式a2+3a+b＝．39．设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝3x1x2，则m＝．40．关于x的一元二次方程x2+kx+k+1＝0的两根分别为x1，x2，且x+x＝1，则k的值为．41．设x1，x2是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两个根，则x1+x2＝1，则|x1﹣x2|＝．42．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣3＝0的两实数根，且，则k的值为．43．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根α、β，且α2+β2＝17，则m的值是．44．某公司今年一月盈利30万元，三月盈利36.3万元，从一月到三月，每月盈利的增长率都相同，设月平均增长率为x，根据题意可列方程为．45．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率都为x，根据题意可列方程．46．某乡镇2021年旅游总收入为50万元，到2023年旅游总收入达60.5万元．若每年的平均增长率相同，则年平均增长率是．47．如图，在一块长30m，宽20m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，若种植花苗的面积为522m2，则道路的宽为m．48．在学校劳动实践基地里有一块长20米、宽10米的长方形菜地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道（如图中阴影部分所示），剩下部分种植蔬菜，已知种植蔬菜的面积为171平方米，则小道的宽为米．49．在一幅长40cm，宽20cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1600cm2，设金色纸边的宽为x cm，依题意可列方程为．50．如图，某校准备用54米的围栏修建一边靠墙的矩形花园ABCD（AB＜BC），已知墙体的最大可用长度为28米，如果该矩形花园的面积为360平方米，则AB的长为米．51．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），墙对面有一个2米宽的门（EF），另外三边用木栏围成，木栏长30m．若养鸡场面积为120m2，设AB＝x m，则列方程得．52．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销量，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价元．53．某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌服装20件，每件可盈利44元．若每件降价1元，则每天可多售出5件．若要平均每天盈利1600元，则应降价元．54．今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10个，若想让顾客得到实惠的同时每天利润为480元，则每个口罩应该涨价元．55．某市举行中学生足球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，共要比赛66场．若有x支球队参赛，则可列方程．56．某校组织了一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队比赛一场），设有x支球队，共比赛15场．根据题意可列方程．57．一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程．58．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是．59．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是．60．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为．。
一元二次方程综合复习(含知识点和练习)(含答案)
一元二次方程本章内容“一元二次方程”是《课程标准》“数与代数”的重要内容，也是方程中重点内容，是学习二次函数等内容的基础，本节是本章的起始内容，主要学习下列三个内容：建立一元二次方程此内容是本节课的难点之一，在后续的内容中将继续学习，为此设计较易的[拓展应用]的例4及其变式题，[课时作业]的第6、7题。
１．一元二次方程的概念此内容是本节课的重点，是学习一元二次方程的基础，为此设计[拓展应用]的例1、例3，[当堂检测]的第1、2、4题，[课时作业]的第1—5题。
2.一元二次方程的解的含义利用方程解的含义，可求方程中的待定系数，也可由此把二次三项式变形求值，为此设计[拓展应用]的例2，[当堂检测]的第3题，[选做题]和[备选题目]的问题。
点击一：一元二次方程的定义答案：（5）针对练习。
答案：一元二次方程二次项的系数不等于零。
故m≠－3点击二：一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2是二次项，bx是一次项，c是常数项，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax2+bx+c＝0（a≠0）的一般形式.其中，尤其注意a≠0的条件，有了a≠0的条件，就能说明ax2+bx+c＝0是一元二次方程.若不能确定a≠0，并且b≠0，则需分类讨论：当a≠0时，它是一元二次方程；当a＝0时，它是一元一次方程.针对练习3:答案：原方程化为一般形式是:5x2+8x－2=0(若写成－5x2－8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是－2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).点击三：一元二次方程的根的定义的意义一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.针对练习答案： m 3+2m 2+2009＝m 3+ m 2+m 2+2009＝m （m 2+ m ）+ m 2+2009＝m+ m 2+2009＝1+2009＝2010.类型之一：一元二次方程的定义例1.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 【解析】先把这个方程变为一般形式，只要二次项的系数不为0即可.【解答】由mx 2－3x=x 2－mx+2得到（m －1）x 2+（m －3）x －2=0,所以m －1≠0，即m≠1.所以关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足m≠1.【点评】要特别注意二次项系数a≠0这一条件，当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了.当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程.类型之二：考查一元二次方程一般形式一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
九年级数学上期期末复习专题：一元二次方程专题复习(Word版.含解析、点评和练习)范文
一元二次方程专题一：一元二次方程解法例析 知识点：1、一元二次方程：①定义；②、一般形式：()2ax bx c a 0++=?，会求一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
2、一元二次方程的四种解法：①、直接开平方法；②、配方法；③、公式法；④、因式分解法；注：、配方之前要把常数项移到等号的右边，然后再把二次项的系数化为1，然后配方。
配方时，方程两边同时加 ； 用公式法解时：（用公式法解时要先把一元二次方程化为一般形式。
）①当△>0时，一元二次方程有 的实数根；x = ；②当△=0时，一元二次方程有 的实数根；12x x == ；③当△<0时，一元二次方程 实数根；因式分解前:一元二次方程的等号的右边要化为 。
（注意十字相乘法） 3、了解：①、换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②、可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③、绝对值方程的解法。
4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值； 例题解析及课堂练习：例1、k 为何值时，关于x 的方程()()2k1k 1x k 1x 20+++--=是一元二次方程，并指出二次项系数 ，一次项系数及常数项.练习：写出方程()()213x x 32x 1-+=+二次项系数 ，一次项系数及常数项；例2、用配方法解：22x 4x 10-+=练习：1、①、()22x 4x 5x -+=-+；②、()222a 3a 12a -+=--；2、用配方法解：①、2x 4x 99960--=；②、23x 9x 20+-=。
例3、解方程：⑴、()()26x 19x 1150-+--=；⑵、()()2m 34m 330+-++= 练习：1、()()22x 542x 530---+=；2、()()222m 46m 450---+=3、332x x 1-=+；4、=2x 5x 60x 1x 1⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭；5、---=2x 2x 110。
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一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：ax2bx c 0(a 0) ，它的特色是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数； c 叫做常数项。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如(x a2b的一元二次方程。
依照平方根的定义可知，x a 是b的平方根，当 b 0 时，)x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法 :配方法的理论依照是完满平方公式a22ab b 2( a b) 2，把公式中的a看做未知数x，并用 x 代替，那么有 x22bx b 2(x b) 2。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1次项的系数的一半的平方，最后配成完满平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2bx c 0( a0)的求根公式：x b b24ac (b24ac0)2aa，一次项的系数为 b，常公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为数项的系数为 c4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，尔后看看可否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，若是可以，就可以化为乘积的形式5、韦达定理利用韦达定理去认识，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和x1 x2b，二根之积x1x2 c 。
a a利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用三、一元二次方程根的鉴识式根的鉴识式一元二次方程 ax2bx c0(a 0) 中， b24ac 叫做一元二次方程ax 2bx c 0(a0) 的根的鉴识式，平时用“〞来表示，即 b 24acI.当△ >0 时，一元二次方程有2个不相等的实数根；II.当△ =0 时，一元二次方程有2个相同的实数根；III.当△ <0 时，一元二次方程没有实数根四、一元二次方程根与系数的关系若是方程 ax 2bx c 0(a0) 的两个实数根是x1， x2，那么 x1 x2b，x1 x2c。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习资料一元二次方程专题复知识盘点：1.一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，且整理后未知数的最高次数为2的方程。
通常可写成如下的一般形式：ax^2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）。
2.一元二次方程的解法：1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
2）配方法：用配方法解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零项；③配方，即方程两边都加上b/2a的平方；④化原方程为(x+m)^2=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用开平方法求出方程的解。
如果n＜0，则原方程无实数解。
3）公式法：方程ax^2+bx+c=0（a≠0），当b^2-4ac>0时，x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；当b^2-4ac=0时，x=-b/2a；当b^2-4ac<0时，方程无实数解。
4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为零；②将方程的左边化成两个一次项的乘积；③令每个因式都等于零，得到两个一次方程；④解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式：1）b^2-4ac>0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，即x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a；2）b^2-4ac=0，即一元二次方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-b/2a；3）b^2-4ac<0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）无实数根。
4.一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1和x2，则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程复习专题.docx
一.知识梳理1.一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,且系数不为0,这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax'+bx+c二0(aH0)。
注意：判断某方程是否为-•元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
2.一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：对形如(x+m) 5M0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
例：(x+1) 2 =4(2)配方法：用配方法解一元二次方程ax2+bx + c = O(a^O)的一-般步骤是：①化二次项系数为1,即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④化原方程为(x + m)2=n的形式；⑤如果M>0,就可以用直接开平方求出方程的解，如果水0,则原方程无解.例：4#-8对1=0⑶公式法：公式丫•缪用或根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方程的求—b 土 Jb' — 4ac根公式是" ——(b2-4ac^0)o步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a, b, c的值；③求出恋一4ac的值，当b2—4ac>0吋代入求根公式。
⑷因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若ab=O,则沪0或b 二0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘枳；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
例：A-5X~6=0；33 一元二次方程的注意事项:(1)在一元二次方程的一般形式屮要注意，强调aHO.因当a二0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.如关于x的方程(m2—4) x2+2mx+l=0中，当m二土2时就是一元一次方程了.⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；②若b2-4a<0,则方程无解.⑶ 利川因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如一2(x+4)~3 (x+4)中，不能随便约去x+4o⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法(除特别要求外)但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法一因式分解法一公式法.丄+丄/+花。
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第二章一元二次方程第1讲一元二次方程概念及解法【知识要点】:知识结构网络一元二次方程的四种解法直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为x2 =bb -0或x a 2二b的形式的方程求解。
当b 一0时，可两边开平方求得方程的解；当b：：： 0时, 方程无实数根。
2. 因式分解法解方程的步骤：（1）将方程一边化为0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个一次因式等于0,得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。
3. 配方法解一元二次方程的步骤为：（1）化二次项系数为1（2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（4）原方程变为（x m）^ n 的形式（5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。
4. 公式法解一元二次方程的基本步骤：（1）将方程化为一般形式ax2 bx 0，确定a、b、c的..b b2- 4ac 值；（2）计算b2-4ac的值并判别其符号；（3）若b2-4ac — 0，则利用公式x二」b—4ac求2a 方程的解，若b2 -4ac ：：： 0，则方程无实数解。
【典型例题】(1) 6x 2 —7x —3=0 (用因式分解法)解：(3x1)( 2x - 3) = 0 • 3x 1 二 0 或 2x _3=0 1 3 x 1, x 2 = — 3 2 (2) 3x 2 = 4x 1 （用公式法）解：3x 2 — 4x — 1 = 0.-：=(一4)2 - 4 X 3 X ( _1) = 28 . 0解:手）—2= 3 2, -5 2【经典练习】、直接开方法二、配方法注：（1） 2x 2 -、2x -30 = 0 二、公式法1. 用求根公式法解下列方程(1) x 2 2x —2 =0; -(-4) ± ,28 2 ± ,7(3) 2x -2x-30 0 （用配方法） ,2 x (-2)2 4 二 15 ( (1) (x 1)2 二(1 -2x)(2) (x a)2 = b.2121 (2) 3x2 = 4x 1解：2(2) 2y 8y _1 =0 ;解：2 1⑶2x -3x 0 ;8解：(4) 3y2 -2y =1 ;解：(5) 2x2 5x -1 =0 ;解：2 —(6) x 2..5x 3=0 ;解：(7) 3x2 -4x 5 =0 ;解：(7)方程无实数根；(8) 、2x2 4 3x - 2 .2 =0 ;解：(9) 0.02x2 - 0.03x =0.35 ;解：(9)先在方程两边同乘以100,化为整数系数，再代入求根公式, (10) (1 2、3)x —x2二、、3(1 、3)解：。
(完整word版)人教版九年级上册数学一元二次方程复习资料
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为 。
★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
一元二次方程单元复习练习(Word版 含答案)
∴S△ACO＝ × ＝1 ，S△ODB＝ ×3＝ ．∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝∠BOD．
又∵∠ACO＝∠ODB＝90°，∴△ACO∽△ODB．
∴ ＝ ＝ ，∴ ＝± （舍负取正），即 ＝ ．
（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；
②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．
试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；
（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；
②设润滑用油量是x千克，则
∴在Rt△AOB中，tan∠OBA＝ ＝ ．
4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
求k的取值范围；
设方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求k的值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
根据方程有实数根得出 ，解之可得．
利用根与系数的关系可用k表示出 和 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．
2009年底汽车数量为14.4×90%+y，
2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，
∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，
∴y≤2．
答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．
考点：一元二次方程—增长率的问题
2．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．
九年级数学上期期末复习专题：一元二次方程专题复习(Word版.含解析、点评和练习)
一元二次方程专题复习制卷：赵化中学 郑宗平专题一：一元二次方程及应用部分例析知识点：1、一元二次方程：①定义；②、一般形式：2ax bxca0，会求一般形式下的二次项系数 ，一次项系数及常数项；2、一元二次方程的四种解法：①、直接开平方法；②、配方法；③、公式法；④、因式分解法；选用适当方法解一元二次的方程同时特别注意用配方法解一元二次方程。
3、了解：①、换元法解特殊的（具有“倒数”和“平方”等特殊结构形式）的一元二次方程；②、可以化为一元二次方程的分式方程的解法和和步骤；③、绝对值方程的解法。
4、会利用方程的根进行整体代入求某些代数式的值；5、一元二次方程的应用：①列一元二次方程解应用题的六个基本步骤：审→设→列→解→验→答）；②、常见类型：增长率、几何面积、数字数位、速度变化及动点，最大利润、方案的合理性问题等。
例题解析及课堂练习：例1、k 为何值时，关于x 的方程2k1k1x k 1x 20是一元二次方程，并指出二次项系数 ，一次项系数及常数项.分析：本题的实质是对一元二次方程的概念考察，由于k 1x 不可能成为未知数项的二次项，所以希望只有在2k1k1x 上，只要满足,2k 10k 11+≠+=且就可以保证此方程是一元二次方程.k 的确定后，后面一切问题便解决了.练习：写出方程213x x 32x 1二次项系数 ，一次项系数及常数项。
例2、用配方法解：22x 4x 10分析：本题的关键是有两点:其一、含未知数项的系数化为1,；其二、方程两边同时加 含未知数项系数一半的平方. 略解：22x 4x 1 21x 2x 2 21x 2x 11221x 12-=x 1即 -x 1 或 -=x 1解得：=1x 1=2x 1练习：1、①、22x 4x5x；②、222a 3a 12a ；2、用配方法解：①、2x 4x 99960；②、23x 9x 20。
例3、解方程：⑴、26x 19x 1150；⑵、2m34m 33分析：本例的两道题用普通解法要困难些，若用换元法解虽然多一道程序，但更容易理解.略解：⑵、若设m 3A +=，则原方程可以换元为：2A 4A 30-+=;解得：12A 1A 3==， 即m 31m 33+=+=，，解得：,12m 2m 0=-=. 练习：1、22x 542x 530；2、222m 46m 4503、332xx 1；4、=2x 5x 60x 1x 1⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭；5、---=2x 2x 110。
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一元二次方程专题复习韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数；(2)求与方程的根有关的代数式的值；(3)已知两根求作方程；(4)已知两数的和与积，求这两个数；(5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)；（6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根的平方和或平方差是多少、两根是Rt ∆的两直角边求斜边等情况.注意：（1）222121212()2x x x x x x +=+-⋅（2）22121212()()4x x x x x x -=+-⋅；12x x -=（3）①方程有两正根，则121200x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；②方程有两负根，则1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪⋅>⎩ ；③方程有一正一负两根，则120x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；④方程一根大于1，另一根小于1，则120(1)(1)0x x ∆>⎧⎨--<⎩（4）应用韦达定理时，要确保一元二次方程有根，即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时，一般把所求作得方程的二次项系数设为1，即以12,x x 为根的一元二次方程为21212()0x x x x x x -++⋅=;求字母系数的值时，需使二次项系数0a ≠，同时满足∆≥0;求代数式的值，常用整体思想，把所求代数式变形成为含有两根之和12x x +，•两根之积12x x ⋅的代数式的形式，整体代入。
4．用配方法解一元二次方程的配方步骤： 例：用配方法解24610x x -+= 第一步，将二次项系数化为1：231024x x -+=，（两边同除以4） 第二步，移项： 23124x x -=- 第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：2223313()()2444x x -+=-+ 第四步，完全平方：235()416x -=第五步，直接开平方：344x -=±，即:1344x =++,2344x =-+一元二次方程的定义与解法➢ 【要点、考点聚焦】1. 加深理解一元二次方程的有关概念及一元二次方程的一般形式20(0)ax bx c a ++=≠；2.熟练地应用不同的方法解方程；直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；并体会“降幂法”在解方程中的含义.（其中配方法很重要） ➢ 【课前热身】1. 当a =____________时，方程2310ax x ++=是一元二次方程.2. 已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一根为__________. 3.一元二次方程(1)x x x -=的解是_____________.4. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，且0a b c ++=，则方程必有一根为____________.5. 用配方法解方程2420x x -+=,则下列配方正确的是( )A.2(2)2x -= B.2(2)2x += C.2(2)2x -=- D.2(2)6x -=➢ 【典型例题解析】1、关于x 的一元二次方程2(1)(2)26ax ax x x --=-+中，求a 的取值范围.2、已知：关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根是1-，求方程的另一个根及m 的值。
3、用配方法解方程:2210x x --=【考点训练】1、关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1 B.1- C.1或1- D.122、解方程23(121)4(121)x x -=-的最适当的方法（ ）A. 直接开平方法B. 配方法C. 因式分解法D. 公式法3、若0a b c -+=，则一元二次方程20ax bx c ++=有一根是（ ） A.2B.1C.0 D. －14、当k __________时，22(9)(5)30k x k x -+--=不是关于x 的一元二次方程.5、已知方程23214x x -+=，则代数式21283x x -+=_____________.一元二次方程根的判别式➢ 【要点、考点聚焦】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的情况与∆的关系；2.一元二次方程根的判别式的性质反用也成立，即已知根的情况，可以得到一个等式或不等式，从而确定系数的值或取值范围． ➢ 【课前热身】1.若关于x 的一元二次方程2210x x -+=有实数根，则m 的取值范围是( )A.1m <B. 1m <且0m ≠C.m ≤1D. m ≤1且0m ≠2. 一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根3.已知关于x 的一元二次方程2410x x m ++-=.请你为m 选取一个合适的整数，当m =____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；4.若关于x 的方程227(21)04x k x k +-+-=有两个相等的实数根，求k 的取值范围➢ 【典型考题】1.已知关于x 的方程2(2)2(1)10m x m x m ---++=，当m 为何非负整数时： (1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.2.已知,,a b c 是三角形的三条边，求证：关于x 的方程222222()0b x b c a x c ++-+=没有实数根.【课时训练】 1、一元二次方程的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2、已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.1m >-B. 2m <-C.m ≥0 D.0m <3、一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________. 4、求证：关于x 的方程2(21)10x k x k +++-=有两个不相等的实数根。
课后练习 一、填空题1、关于x 的方程2(3)320m x x ---=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ____ .2、若(0)b b ≠是关于x 的方程220x cx b ++=的根，则2b c +的值为 ____ .3、方程2310x x -+=的根的情况是____________________.4、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是.5、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为)(b a a b a -=*,根据这个规则，方程(2)50x +*=的解为_________________.6、如果关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个实数根，则k 的取值范围是_____________。
7、设12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则代数式3322121212()()()0a x x b x x c x x +++++=的值为___________.8、 a 是整数，已知关于x 的一元二次方程01)12(2=-+-+a x a ax 只有整数根，则a =__________. 二、选择题1、关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定 2、已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A 、B 、C 、D 、3、方程23270x +=的解是（ ） A.B.C.D. 无实数根4、若关于x 的一元二次方程22(4)60x kx x --+=没有实数根，那么k 的最小整数值是（ ）A.1B. 2C. 3D.5、如果a 是一元二次方程230x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程230x x m +-=的一个根，那么a 的值是（ ）A 、1或2B 、0或3-C 、1-或2-D 、0或3 6、设m 是方程250x x +=的较大的一根，n 是方程2320x x -+=的较小的一根，则m n +=（ ）A. B. C.1 D.2 三、解答题1、用配方法解下列方程：2()0(0)a x b c a -+=≠2、已知方程222(9)(34)0x k x k k +-+++=有两个相等的实数根，求k 值，并求出方程的根。
3、已知,,a b c 是ABC ∆的三条边长，且方程222()210a b x cx +-+=有两个相等的实数根，试判断ABC ∆的形状。
4、 已知关于x 的一元二次方程2223840x mx m m --+-=. （1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.5、方程2(2008)2007200910x x -⨯-=的较大根为a ，方程020*******=--x x 的较小根为b ，求2009)(b a +的值.。