福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题(学生版)
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高一（上）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 已知集合A ＝{x|x ≤2}，a =√2，则a 与集合A 的关系是（ ）A.a ∈AB.a ∉AC.a ＝AD.{a}∈A 【答案】A【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用元素与集合的关系直接求解．【解答】∵ 集合A ＝{x|x ≤2}，a =√2，∴ a 与集合A 的关系为a ∈A ．2. 函数f(x)＝log 12(x +3)−√1−x 的定义域是（ ）A.{x|x >−3}B.{x|−3<x <1}C.{x|−3<x <1或x >1}D.{x|x <1}【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】结合对数函数以及二次根式的性质得到关于x 的不等式组，解出即可．【解答】由题意得：{x +3>01−x >0， 解得：−3<x <1，故函数的定义域是{x|−3<x <1}，3. 下列函数中是偶函数但不是奇函数的是（ ）A.f(x)＝x 3B.f(x)＝x 2+xC.f(x)＝2x +2−xD.f(x)=√1−x 2+√x 2−1【答案】C【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)＝x3，有f(−x)＝−f(x)且f(−x)≠f(x)，则f(x)是奇函数不是偶函数，不符合题意；对于B，f(x)＝x2+x，有f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于C，f(x)＝2x+2−x，有f(−x)＝f(x)且f(−x)≠−f(x)，则f(x)是偶函数但不是奇函数，符合题意；对于D，f(x)=√1−x2+√x2−1，其定义域为{−1, 1}，则f(x)＝0，f(x)既是奇函数也是偶函数，不符合题意；4. 已知a＝ln2，b＝20.1，c＝log20.1，则下列关系式正确的是（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较a，b，c与0和1的大小得答案．【解答】∵a＝ln2∈(0, 1)，b＝20.1>20＝1，c＝log20.1<log21＝0，∴b>a>c．5. 函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数的单调性，利用f(−1)与f(0)函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f(x)=2x+3x是增函数，−3<0，f(0)=1+0=1>0，f(−1)=12可得f(−1)f(0)<0．由零点判定定理可知：函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间为(−1, 0)．故选B.6. 已知全集U＝R，集合M＝{x|x2−x−2≤0}，集合N＝{y|y=√3−x}，则(∁U M)∪N等于（）A.(−∞, −1)∪[0, +∞)B.(−∞, −1]∪(0, +∞)C.(−∞, −1)∪(2, 3]D.[−1, +∞)【答案】A交、并、补集的混合运算【解析】先解一元二次不等式x2−x−2≤0求出集合M，再求出集合M的补集；求出函数y=√3−x值域，就是集合；然后求(∁U M)∪N．【解答】由集合M＝{x|x2−x−2≤0}＝{x|−1≤x≤2}，集合N＝{y|y=√3−x}＝{y|y≥0}∴∁U M＝{x|x<−1或x>2}，∴(∁U M)∪N＝{x|x<−1或x≥0}，即(∁U M)∪N＝(−∞, −1)∪[0, +∞)．7. 函数f(x)＝a x+1−1a(a>0且a≠1)的大致图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数图象的平移变换可知f(x)不恒大于0，故排除C，D；再由f(0)<0排除B，则答案可求．【解答】f(x)＝a x+1−1a 的图象是把y＝a x的图象向左平移1个单位，再向下平移1a个单位得到的，则f(x)不恒大于0，故排除C ，D ；当a <1时，f(0)＝a −1a <0，故排除B ．∴ 函数f(x)＝a x+1−1a (a >0且a ≠1)的大致图象可能是A ．8. 如果函数f(x)＝ax 2−2x −3在区间(−∞, 2)上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.[0, 12]B.(0, 12]C.(−∞, 12]D.(−∞, 12) 【答案】A【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】当a ＝0时，f(x)＝−2x −3在(−∞, 2)上单调递减，当a ≠0时，根据二次函数的性质可得{a >01a≥2 ，即可求得．【解答】当a ＝0时，f(x)＝−2x −3在(−∞, 2)上单调递减，满足题意；当a ≠0时，根据二次函数的性质可得，若使得函数f(x)在(−∞, 2)单调递减， 则{a >01a≥2 ，∴ 0<a ≤12，综上可得0≤a ≤1，即a ∈[0, 12]．9. 已知函数f(x)＝log a (x −12)+2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P(m, n)，则函数g(x)＝log m (x 2−2nx −5)的单调递增区间是（ ）A.(−∞, −1)B.(−∞, 2)C.(2, +∞)D.(5, +∞) 【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点【解析】令真数等于1，求出x 、y 的值，可得定点的坐标，再根据定点为(32, 2)，求出m 、n 的值，可得g(x)的解析式．g(x)的增区间，即函数y ＝(x −5)(x +1)>0时，函数y 的增区间，再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】对于函数f(x)＝log a (x −12)+2(a >0且a ≠1)，令x −12=1，求出x =32，y ＝2， 可得它的的图象恒过定点(32, 2)，再根据它的图象经过定点P(m, n)，∴ m =32，n ＝2，则函数g(x)＝log m (x 2−2nx −5)=log 32(x 2−4x −5)=log 32(x −5)(x +1)的单调递即函数y ＝(x −5)(x +1)>0时，函数y 的增区间．再利用二次函数的性质可得y ＝(x −5)(x +1)的增区间为(5, +∞)，10. 某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0−200千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是（ ）A.210元B.232元C.236元D.276元【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】得出电费y 关于用电量x 的函数，再计算函数值即可．【解答】设用电量为x 度，电费为y 元，则当x >400时，y ＝200×0.5+200×0.6+0.8(x −400)，故当x ＝420时，y ＝100+120+16＝236．11. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)＝x 2+ax +a −1，则当x <0时，f(x)的解析式是（ ）A.x 2−xB.x 2+xC.−x 2+xD.−x 2−x【答案】C【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】由f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，解出a 的值，进而求出当x <0时，f(x)的解析式．【解答】已知f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)＝0，又因为当x ≥0时，f(x)＝x 2+ax +a −1，所以a ＝1，所以当x ≥0时，f(x)＝x 2+x ；令x <0，则−x >0，f(−x)＝(−x)2−x ＝x 2−x ＝−f(x)，所以f(x)＝−x 2+x ；12. 已知函数f(x)={−x 2+2,(x <1)log 3x,(x ≥1)，若关于x 的方程f(x)−k 2＝0有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.[1, √2)B.(−√2, −1]∪[1, √2)C.(−√2, −1)D.(−√2, −1)∪(1, √2)【答案】D【考点】分段函数的应用本题利用二次函数和对数函数图象的特点分析求解．【解答】∵ f(x)−k 2＝0有三个不同的实根，∴ f(x)＝k 2有三个不同的解，即f(x)和y ＝k 2有三个不同的交点．∵ f(x)={−x 2+2,(x <1)log 3x,(x ≥1)，∴ 可画出f(x)的图象和y ＝k 2的图象如下∴ 1<k 2<2，即1<k <√2或−√2<k <−1，二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）已知函数f(x)={x −1,x ≥8f(f(x +6)),x <8，则f(5)的值为________． 【答案】9【考点】函数的求值求函数的值【解析】根据分段函数的解析式，求出函数值即可．【解答】由函数f(x)={x −1,x ≥8f(f(x +6)),x <8， ∴ 当x <8时，f(x)＝f （f(x +6)）；∵ 5<8，∴ f(5)＝f[f(5+6)]＝f[f(11)]，由当x ≥8时，f(x)＝x −1，∵ 11≥8，∴ f(11)＝11−1＝10，∵ 10≥8，∴ f(10)＝10−1＝9，∴ f(5)＝f[f(5+6)]＝f[f(11)]＝f(10)＝9．已知定义在[−1, 1]上的偶函数f(x)在区间[0, 1]上是减函数，若f(1−m)<f(m)，则实数m 的取值范围是________．【答案】[0, 12)抽象函数及其应用【解析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f(1−m)<f(m)⇒f(|1−m|)<f(|m|)⇒|1−m|>|m|，又由函数的定义域可得{|1−m|>|m|−1≤1−m ≤1−1≤m ≤1，解可得m 的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，偶函数f(x)在区间[0, 1]上是减函数，则f(1−m)<f(m)⇒f(|1−m|)<f(|m|)⇒|1−m|>|m|，又由函数的定义域为[−1, 1]，则有{|1−m|>|m|−1≤1−m ≤1−1≤m ≤1，解可得：0≤m <12，即m 的取值范围为[0, 12)；若函数f(x)={3x+1−1,(x ≥0)4×2x −12,(x <0) 的值域为A ，则A 为________． 【答案】(−1, 72) 【考点】函数的值域及其求法【解析】分段求出函数的值域，取并集得答案．【解答】当x ≥0时，x +1≥1，则0<3x+1≤3，∴ f(x)=3x+1−1∈(−1, 2]；当x <0时，0<2x <1，则f(x)=4×2x −12∈(−12, 72)．取并集可得，A ＝(−1, 72)．已知函数f(x)为偶函数，且f(2)＝0，若不相等的两正数x 1，x 2满足(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0，则不等式(x −1)f(x −2)>0的解集为________．【答案】(−∞, 0)∪(1, 4)【考点】抽象函数及其应用【解析】根据题意，分析可得f(x)在[0, +∞)上为减函数，结合函数的特殊值以及奇偶性分析可得f(x)>0与f(x)<0的区间，又由(x −1)f(x −2)>0⇒{x −1<0f(x −2)<0或{x −1>0f(x −2)>0 ，据此分析可得答案．根据题意，对于f(x)，任意不相等的两正数x 1，x 2满足(x 1−x 2)[f(x 2)−f(x 1)]>0，即(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0，则有f(x)在[0, +∞)上为减函数，若f(2)＝0，则在区间[0, 2)上，f(x)>0，在区间(2, +∞)上，f(x)<0，又由f(x)为偶函数，则在区间(−2, 0]上，f(x)>0，在区间(−∞, −2)上，f(x)<0，(x −1)f(x −2)>0⇒{x −1<0f(x −2)<0 或{x −1>0f(x −2)>0， 则有{x −1<0x −2>2x −2<−2 或{x −1>0−2<x −2<2， 解可得：x <0或1<x <4，即x 的取值范围为(−∞, 0)∪(1, 4)；三．解答题（本题共6小题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）求值与化简.(1)(179)12+(32)−1−√(√3−2)2；(2)2lg6−lg31+12lg0.36+13lg8+2log 24−log 29×log 32．【答案】解：(1)(179)12+(32)−1−√(√3−2)2 =(169)12+23−(2−√3) =4+2−2+√3 =√3； (2)2lg6−lg31+12lg0.36+13lg8+2log 24−log 29×log 32 =lg36−lg31+lg0.6+lg2+4−2log 23×log 32 =lg12lg12+4−2 =3．【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】（1）化带分数为假分数，化负指数为正指数，再由有理指数幂的运算性质求解； （2）直接利用对数的运算性质化简求值．【解答】解：(1)(179)12+(32)−1−√(√3−2)2 =(169)12+23−(2−√3)=43+23−2+√3=√3；(2)2lg6−lg31+12lg0.36+13lg8+2log24−log29×log32=lg36−lg31+lg0.6+lg2+4−2log23×log32=lg12lg12+4−2=3．设集合A={x|x2−3x−10<0}，B={x|2−a≤x≤2a+1, a∈R}，C={x|−3< x<3}．(1)全集U=R，求(∁U A)∩C；(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由集合A={x|x2−3x−10<0}={x|(x−5)(x+2)<0}={x|−2<x<5}，∴∁UA={x|x≤−2或x≥5}，又C={x|−3<x<3}，∴(∁U A)∩C={x|−3<x≤−2}；(2)若A∪B=A，∴B⊆A，当B=⌀时，2−a>2a+1，∴a<13；当B≠⌀时，依题意得{2−a≤2a+1, 2a+1<5,2−a>−2,解得13≤a<2．综上所述，a的取值范围是(−∞, 2)．【考点】子集与交集、并集运算的转换交、并、补集的混合运算【解析】（1）利用解不等式求出集合A，再求出A的补集，然后求(∁U A)∩C；（2）根据A∪B＝A，判断出集合B是集合A的子集，然后分B＝⌀和B≠⌀两种情况来求解参数a的范围即可．【解答】解：(1)由集合A={x|x2−3x−10<0}={x|(x−5)(x+2)<0}={x|−2<x<5}，∴∁UA={x|x≤−2或x≥5}，又C={x|−3<x<3}，∴(∁U A)∩C={x|−3<x≤−2}；(2)若A ∪B =A ，∴ B ⊆A ，当B =⌀时，2−a >2a +1，∴ a <13；当B ≠⌀时，依题意得{2−a ≤2a +1,2a +1<5,2−a >−2,解得13≤a <2．综上所述，a 的取值范围是(−∞, 2)．已知函数f(x)=ax+bx 2+1为奇函数，且f(4)=817． （1）求实数a ，b 的值；（2）判断f(x)在区间[1, +∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）求不等式f(x 2−2x +4)+f(−4)≥0的解集．【答案】由题意，f(x)为R 上奇函数，则f(0)＝0，得b ＝0，再由f(4)=817，得f(4)=4a 16+1=817得a ＝2，经检验，当a ＝2，b ＝0时，f(x)是奇函数．由（1）得f(x)=2x x 2+1，f(x)在[1, +∞)上单调递减，证明如下：任取1≤x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=2x 2x 22+1−2x 1x 12+1=2x 2x 12+2x 2−2x 1x 22−2x 1(x 12+1)(x 22+1)=2x 1x 2(x 1−x 2)+2(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(x 1x 2−1)(x 22+1)(x 12+1)，∵ 1≤x 1<x 2，∴ x 1x 2>1，x 1−x 2<0，∴ f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴ f(x)在[1, +∞)上单调递减．∵ f(x)为奇函数，∴ −f(−4)＝f(4)，则原不等式化为f(x 2−2x +4)+f(−4)≥0等价为f(x 2−2x +4)≥−f(−4)＝f(4)， 而由（2）得f(x)在x ≥1调递减，且x 2−2x +4≥3，∴ 不等式等价为x 2−2x +4≤4，即x 2−2x ≤0，得0≤x ≤2，原不等式的解集为[0, 2]．【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】（1）根据函数奇偶性的性质以及条件建立方程进行求解即可； （2）利用函数单调性的定义利用定义法进行证明；（3）结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】由题意，f(x)为R 上奇函数，则f(0)＝0，得b ＝0，再由f(4)=817，得f(4)=4a 16+1=817得a ＝2，经检验，当a ＝2，b ＝0时，f(x)是奇函数．由（1）得f(x)=2x x 2+1，f(x)在[1, +∞)上单调递减，证明如下：任取1≤x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=2x 2x 22+1−2x 1x 12+1=2x 2x 12+2x 2−2x 1x 22−2x 1(x 12+1)(x 22+1)=2x 1x 2(x 1−x 2)+2(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)=2(x 1−x 2)(x 1x 2−1)(x 22+1)(x 12+1)，∵ 1≤x 1<x 2，∴ x 1x 2>1，x 1−x 2<0，∴ f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)，∴ f(x)在[1, +∞)上单调递减．∵ f(x)为奇函数，∴ −f(−4)＝f(4)，则原不等式化为f(x 2−2x +4)+f(−4)≥0等价为f(x 2−2x +4)≥−f(−4)＝f(4)， 而由（2）得f(x)在x ≥1调递减，且x 2−2x +4≥3，∴ 不等式等价为x 2−2x +4≤4，即x 2−2x ≤0，得0≤x ≤2，原不等式的解集为[0, 2]．某机械制造厂生产一种新型产品，生产的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入成本100元．根据初步测算，当月产量是x 件时，总收益（单位：元）为f(x)={400x −12x 2,(0<x ≤400,x ∈N)80000,(x >400,x ∈N)，利润＝总收益-总成本． （1）试求利润y （单位：元）与x （单位：件）的函数关系式；（2）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？【答案】当0<x ≤400时，y ＝400x −12x 2−100x −20000=−12x 2+300x −20000， 当x >400时，y ＝80000−100x −20000＝−100x +60000，∴ y ={−12x 2+300x −20000,(0<x ≤400,x ∈N)−100x +60000,(x >400,x ∈N)． 当0<x ≤400时，y =−12(x −300)2+25000，∴ 当x ＝300时，y 取得最大值25000，当x >400时，y ＝−100x +60000为减函数，故y <−100×400+60000＝20000， ∴ 当月产量为300件时利润最大，最大利润为25000元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据利润公式得出函数解析式；（2）求出函数在两段上的最大值，得出函数的最大值即可．【解答】当0<x ≤400时，y ＝400x −12x 2−100x −20000=−12x 2+300x −20000，当x >400时，y ＝80000−100x −20000＝−100x +60000，∴ y ={−12x 2+300x −20000,(0<x ≤400,x ∈N)−100x +60000,(x >400,x ∈N)． 当0<x ≤400时，y =−12(x −300)2+25000，∴ 当x ＝300时，y 取得最大值25000，当x >400时，y ＝−100x +60000为减函数，故y <−100×400+60000＝20000， ∴ 当月产量为300件时利润最大，最大利润为25000元．设a 为非负实数，函数f(x)＝x|x −a|−a ．（1）当a ＝4时，画出函数f(x)的草图，并写出函数f(x)的单调递增区间；（2）若函数f(x)有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】当a ＝4时，函数f(x)＝x|x −4|−4={x 2−4x −4,x ≥4−x 2+4x −4,x <4， 图象如图：由图可知，函数f(x)的增区间为(−∞, 2)，(4, +∞)；∵ f(x)={x 2−ax −a(x ≥a)−x 2+ax −a(x <a)，而a ≥0，则f(a)＝−a ≤0． 若a ＝0，f(x)={x 2(x ≥0)−x 2(x <0)有唯一零点，符合题意； 若a >0，f(x)在[a, +∞)上单调递增，f(a)＝−a <0，∴ f(x)在[a, +∞)上有唯一零点．而f(x)在(−∞, a 2)上单调递增，在[a 2, a)上单调递减．由题意，要使f(x)在R 上有唯一零点，则f(x)在(−∞, a)上没有零点，故在(−∞, a)上f(x)的最大值f(a 2)=a 24−a <0，∴ 0<a <4．综合上述，a 的取值范围是[0, 4)．【考点】函数的图象与图象的变换【解析】（1）把a ＝4代入，写出分段函数解析式，作出草图，数形结合可得函数的单调增区间； （2）写出分段函数解析式，由题意可知f(a)≤0，当a ＝0时，f(x)有唯一零点，符合题意；若a >0，f(x)在[a, +∞)上单调递增，f(a)＝−a <0，可知f(x)在[a, +∞)上有唯一零点．要使f(x)在R 上有唯一零点，则f(x)在(−∞, a)上没有零点，再由f(x)在(−∞, a)上的最大值f(a 2)<0求解a 的取值范围．【解答】当a ＝4时，函数f(x)＝x|x −4|−4={x 2−4x −4,x ≥4−x 2+4x −4,x <4， 图象如图：由图可知，函数f(x)的增区间为(−∞, 2)，(4, +∞)；∵ f(x)={x 2−ax −a(x ≥a)−x 2+ax −a(x <a)，而a ≥0，则f(a)＝−a ≤0． 若a ＝0，f(x)={x 2(x ≥0)−x 2(x <0)有唯一零点，符合题意； 若a >0，f(x)在[a, +∞)上单调递增，f(a)＝−a <0，∴ f(x)在[a, +∞)上有唯一零点．而f(x)在(−∞, a 2)上单调递增，在[a 2, a)上单调递减．由题意，要使f(x)在R 上有唯一零点，则f(x)在(−∞, a)上没有零点，故在(−∞, a)上f(x)的最大值f(a 2)=a 24−a <0，∴ 0<a <4．综合上述，a 的取值范围是[0, 4)．已知函数f(x)＝e x +x ．（1）求f(x)在区间[0, 1]的值域；（2）函数g(x)＝−x −2a ，若对于任意x 2∈[0, 1]，总存在x 1∈[−1, 2]，使得g(x 2)≥f(x 1)−x 1+2e −x 1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】∵ f(x)＝e x +x ，∴f′(x)＝e x+1>0；∴f(x)在区间[0, 1]上为增函数；f(0)＝1，f(1)＝e+1；故f(x)在区间[0, 1]上的值域为：[1, e+1]．）∵函数g(x)在区间[0, 1]上的值域为[−1−2a, −2a]，设y＝f(x)−x+2e−x＝e x+2e−x≥2√e x⋅2e−x=2√2，当且仅当e x＝2e−x，即x＝ln√2∈[−1, 2]时，y有最小值2√2；则若使对于任意x2∈[0, 1]，总存在x1∈[−1, 2]，使得g(x2)≥f(x1)−x1+2e−x1恒成立，则g(x)min≥y min，∴−1−2a≥2√2；−√2；解得，a≤−12−√2]．故实数a的取值范围为(−∞, −12【考点】函数恒成立问题【解析】（1）判断单调性求值域；（2）求出函数的值域，把任意存在性问题转化为最值问题，求实数a的取值范围．【解答】∵f(x)＝e x+x，∴f′(x)＝e x+1>0；∴f(x)在区间[0, 1]上为增函数；f(0)＝1，f(1)＝e+1；故f(x)在区间[0, 1]上的值域为：[1, e+1]．）∵函数g(x)在区间[0, 1]上的值域为[−1−2a, −2a]，设y＝f(x)−x+2e−x＝e x+2e−x≥2√e x⋅2e−x=2√2，当且仅当e x＝2e−x，即x＝ln√2∈[−1, 2]时，y有最小值2√2；则若使对于任意x2∈[0, 1]，总存在x1∈[−1, 2]，使得g(x2)≥f(x1)−x1+2e−x1恒成立，则g(x)min≥y min，∴−1−2a≥2√2；−√2；解得，a≤−12−√2]．故实数a的取值范围为(−∞, −12。
2020届福建省长汀、连城一中等六校联考高三上学期期中数学(理)试题(解析版)
2020届福建省长汀、连城一中等六校联考高三上学期期中数学（理）试题一、单选题1．已知集合41|22x A x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，集合{}2|3100B x x x =--≤，求A B =I （ ）A ．∅B ．[3,5]C ．[2,3]-D ．(3,5)【答案】B【解析】解出集合A 、B ，再利用集合交集运算律可求出集合A B I ． 【详解】 解不等式411222x --≥=，即41x -≥-，解得3x ≥，{}3A x x ∴=≥. 解不等式23100x x --≤，解得25x -≤≤，{}25B x x ∴=-≤≤， 因此，[]3,5A B =I ，故选B ． 【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题．2．已知命题:,32x x p x R ∀∈>，命题q ：若ABC ∆中，5,8,7a b c ===，则20BC CA ⋅=-u u u r u u u r，则下列命题正确的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】举出反例证明命题:,32x xp x R ∀∈>为假命题,再对命题q 中根据余弦定理求解cos C 再判定即可. 【详解】对命题:,32x xp x R ∀∈>,当0x =时32x x =,故p 为假命题.对命题q ,ABC ∆中,5,8,7a b c ===则2222564491cos 2802a b c C ab +-+-===.因为()0,C π∈,所以3C π=.故()cos 20BC CA a b C π⋅=⋅⋅-=-u u u r u u u r.故命题q 为真命题.故()p q ⌝∧正确.故选：B 【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,同时也考查了指数函数与解三角形与平面向量的应用等.属于基础题.3．已知sin 2cos 0θθ-=，则23sin sin 2θθ-=（ ） A ．85B ．165C ．2D ．145【答案】A【解析】先根据sin 2cos 0θθ-=求得tan θ,再利用同角三角函数的关系方法求解23sin sin 2θθ-即可.【详解】因为sin 2cos 0θθ-=,所以sin 2cos θθ=,显然cos 0θ≠,故tan 2θ=.所以2222223sin 2sin cos 3tan 2tan 83sin sin 2sin cos tan 15θθθθθθθθθθ---===++.故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系运用以及二倍角公式的运用,属于基础题.4．已知函数()23log ,0()2(1),0xx t x f x t x ⎧+<⎪=⎨⋅+≥⎪⎩，若()16f =，则()()2f f -的值为（ ）A ．64B ．18C ．12D ．112【答案】C【解析】根据()16f =求解t ,进而求解()()2f f -即可.【详解】因为()16f =,故12(1)62t t ⋅+=⇒=.故()23log 2,0()23,0xx x f x x ⎧+<⎪=⎨⋅≥⎪⎩. 所以()()()()()32log 336log 22262og 312l ff f f -==⎡⎤-+⎣⋅=⎦=.故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数中的参数的求解以及指对数的运算等.属于基础题.5．在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，且满足2AD DB =u u u r u u u r ，E 为BC 边中点，则ED =u u u r（ ）A ．1162AB AC -+u u u r u u u r B ．1162AB AC -u u u r u u u r C ．5162AB AC-+u u ur u u u r D ．1163AB AC --u u ur u u u r【答案】B【解析】利用平面向量的三角形法则求解即可. 【详解】由题, ()111123211362ED EB BD CB AB A AB B AC A C B A =+=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要根据三角形法则求解,属于基础题.6．设a 为实数，函数()32(1)f x x a x ax =+-+的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（ ） A ．20x y += B ．20x y -=C ．0x y -=D ．0x y +=【答案】C【解析】求导得()f x ',根据()f x '是偶函数求解a ,再根据导数的几何意义求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程即可.【详解】由题, ()()2321f x x a x a '=--+,因为()f x '是偶函数且为关于x 的多项式,故其奇次项()21a x --的系数()2101a a --=⇒=. 故()3f x x x =+,()231f x x ='+.又()01f '=,()00f =,故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()010y x -=⋅-,即0x y -=. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.7．函数()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示，现将此图象向左平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin 2=-g x xB ．7()2cos 212g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．()2sin 2g x x = D ．5()2cos 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】C【解析】先根据周期,代入最大值求解()cos()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的解析式,再根据函数图像平移的方法求解析式即可. 【详解】由图像可知2A =,且周期为236πππ⎡⎤⎛⎫⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故22πωπ==,故()2cos(2)f x x φ=+.又()23f π=可得22,3k k Z πφπ⨯+=∈,又||φπ<,故23πφ=-. 故2()2cos(2)3f x x π=-. 所以()g x 的解析式为22cos 22cos 22sin 21232x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的图象求解解析式的方法,同时也考查了三角函数图像平移以及诱导公式的运用,属于基础题.8．设22:320,:(22)(2)0p x x q x m x m m -+≤-+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[0,1] B ．()0,1 C ．(]0[1,)-∞+∞U ，D ．()()0-∞+∞U ，1， 【答案】A【解析】先求解p ⌝和q ⌝对应的二次不等式的解集,再根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件确定求得的解集间的关系,再根据区间端点的位置关系求解即可. 【详解】由题：2:32012p x x x -+≤⇒≤≤,()()2(22)(2)020x m x m m x m x m -+++≤⇒-+-≤⎡⎤⎣⎦,解得2m x m ≤≤+.故p ⌝：1x <或2x >；q ⌝：x m <或2x m >+. 又p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,所以122m m ≤⎧⎨+≥⎩.解得01m ≤≤.故选：A 【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件求解参数范围的问题,需要根据题意确定解集的包含关系,再根据区间端点的位置关系求解不等式.属于中档题.9．函数2sin 4241x x x y π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】先化简2sin 4241x x x y π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-,再分析函数的奇偶性与当0x +→与x →+∞时的函数值判定即可. 【详解】2sin 4241x x x y π⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭=-化简得cos 4122x x x y =-.因为cos 4y x =为偶函数,设()122x x f x =-,则()()112222x x x x f x f x ---=-=-=-.故()122xx f x =-为奇函数. 故cos 4122x xxy =-为奇函数.排除A. 当0x +→时, 1202xx +-→,cos41x →,故cos 4122xxxy =→+∞-,排除B. 当x →+∞时, 122xx -→+∞,[]cos41,1x ∈-,故cos 40122x x xy =→-,排除C. 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数解析式选择函数图像的方法,一般先分析函数的奇偶性,再根据图像特征分析当x 无限趋近于0与趋近于正无穷大时函数值的大小进行判断.属于中档题.10．已知函数()()f x x R ∈满足()()11f x f x -=-+，若函数11y x=-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y L ，则12m x x x +++=L （ ） A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】根据函数关于点对称的性质再求解即可. 【详解】因为函数()()f x x R ∈满足()()11f x f x -=-+,故()f x 的图像关于()1,0对称. 又函数11y x =-关于()1,0对称,故函数11y x=-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,m m x y x y x y L 关于()1,0对称.设()()11,,,m m x y x y 关于()1,0对称, ()()2211,,,m m x y x y --关于()1,0对称,()()33-2-2,,,m m x y x y 关于()1,0对称…故()()()121112...22 (22)2m m m m x x x x x x x x x m -++++++++++===L .故选：B 【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用,若函数()f x 满足()()2f a x b f a x -=-+,则()f x 关于(),a b 对称.属于中档题.11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，当0x ≠时，()()0f x f x x'+<，若sin sin ,(ln 2(ln 2)66a f b f c f ππ⎛⎫=⋅==⋅ ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B【解析】构造函数()()g x xf x =,再分析()g x 的单调性与奇偶性判断函数值大小即可. 【详解】构造函数()()g x xf x =,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,故()()g x xf x =为偶函数.又因为()()()''g x f x xf x =+,且()()0f x f x x'+<, 故当0x >时,()()()''0g x f x xf x =+<, ()g x 为减函数.当0x <时,()()()''0g x f x xf x =+>, ()g x 为增函数.综上,()g x 为偶函数,且当0x >时()g x 为减函数, 当0x <时,()g x 为增函数.易得sin ,((ln 2)6a g b g g c g π⎛⎫==== ⎪⎝⎭.又因为1sin 62π=1>,1ln 212<<,所以sin ln 26π<<故sin (ln 2)6g g g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭,所以a c b >>. 故选：B 【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值大小的问题,同时也考查了奇偶性的运用等.属于中档题.12．设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x ，使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,3ln 32⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．(4ln 22,)-+∞C ．34ln 22,3ln 32⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．34ln 22,3ln 32⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】令()(2ln 1)=-g x x x ,()h x ax a =-因为仅存在两个正整数0x 使得()00f x <,即仅有两个整数使得()()<g x h x ,利用函数的导数求解函数的最小值,列出不等式组,转化求解即可． 【详解】令()(2ln 1)=-g x x x ,()h x ax a =-,因为仅存在两个正整数0x 使得()00f x <, 即仅有两个整数使得()()<g x h x ,'()2ln 1g x x =+,令'()0g x =, 解得12x e -= ,且当12x e -<,)'(0g x <； 当12x e ->,'()0g x >,所以111222min()(2ln 1)2gx e ee ---=-=-,且()110g =-<,()10h =； 所以当1x =时,()()g x h x <,所以另一个满足条件的整数为2,所以()()()()2233g h g h ⎧<⎪⎨≥⎪⎩,代入解得4ln 2233ln 32a a -<⎧⎪⎨≤-⎪⎩,综上,a 的取值范围为34ln 223ln 32-<≤-a . 故选：D 【点睛】本题主要考查了根据函数的根的分布求解参数范围的问题,需要将原函数分成两个函数数形结合分析,同时也考查了利用导数求解函数的单调性求解的方法.属于难题.二、填空题13．已知向量()()3,1,1,a b m =-=r r ，若()a b b +⊥rr r ，则实数m =____________.【答案】2-或1.【解析】根据垂直的数量积公式求解即可. 【详解】因为()2,1a b m +=-+r r,故()(),2,101m m ⋅-=+,即()120m m +-=.解得2m =-或1.故答案为：2-或1 【点睛】本题主要考查了垂直的数量积公式,属于基础题. 14．ABC ∆中，60C AC AB =︒==，A =___________.【答案】75︒.【解析】根据正弦定理求解角B ,进而利用内角和为180︒求解A 即可. 【详解】由正弦定理有sin sin sin sin 2AC AB B B C B=⇒=⇒=.又AC AB <,故B C <,所以45B =︒.故180456075A ︒-︒-︒==︒. 故答案为：75︒ 【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.15．设()f x 是定义在[]3,2b b --上的偶函数，且在[]3,0b --上为增函数，则不等式(1)(3)f x f -≤的解集为_____________.【答案】[5,2][4,7]--U .【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称求b ,再根据单调性与定义域求解(1)(3)f x f -≤即可.【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称,故3203b b b --+=⇒=,故()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数,且在[]6,0-上为增函数.解(1)(3)f x f -≤即13x -≤-或13x -≥,即2x -≤或4x ≥,又61657x x -≤-≤⇒-≤≤,故[5,2][4,7]x ∈--U . 故答案为：[5,2][4,7]--U 【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解函数不等式的问题,属于中档题.16．已知函数())(0)f x x ωϕω=+>的图象关于直线2x π=对称，且318f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调，则ω的值为_____________. 【答案】2或6. 【解析】【详解】因为()f x 的图象关于直线2x π=对称,故22k ππωϕπ+=+,k Z ∈ ...①又318f π⎛⎫=⎪⎝⎭,故2438m πωϕππ+=+或32834m ππωϕπ+=+,m Z ∈...② ①-②可得()284k m ππωπ=-+或()284k m ππωπ=--,k Z ∈,m Z ∈.解得()282k m ω=-+或()282k m ω=--,k Z ∈,m Z ∈ 又()f x 在区间3,84ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调,故周期T 满足324884T T ππππ⎛⎫≥---=⇒≥ ⎪⎝⎭, 且0>ω,所以2084ππωω≥⇒<≤故当20,1k m -=时有2,6ω=满足条件. 故答案为：2或6. 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的性质求解参数值的问题,需要根据三角函数的对称轴等的方程求解参数满足的表达式,再根据周期的范围判断即可.属于难题.三、解答题17．已知函数2()2sin ()cos 22f x x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 【答案】（1）[,]()36k k k z ππππ-++∈；（2）[2,1]-.【解析】(1)化简可得()2sin(2)16f x x π=+-,再代入单调递增区间表达式求解即可.(2)根据,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,再根据正弦函数的图像分析值域即可.【详解】（1）2()(2cos 1)21cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=--=-=+-令222262k x k k z πππππ-+≤+≤+∈，∴,36k x k k z ππππ-+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k z ππππ-++∈（2）∵,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,∴52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ ∴1sin(2),162x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,max ()1f x = 当1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,min ()2f x =- 所以()f x 的值域为[2,1]- 【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式与二倍角公式的运用,同时也考查了求三角函数的单调区间以及根据函数的定义域求值域的方法,属于中档题.18．一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，假设该企业每个月可生产该小型产品x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为()4x -万元，且每生产1万件政府给予补助6ln 16x x x ⎛⎫--⎪⎝⎭万元. （1）求该企业的月利润()L x （万元）关于月产量x （万件）的函数解析式； （2）若月产量[]1,6x ∈万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）.（注：月利润＝月销售收入+月政府补助-月总成本） 【答案】（1）2()86ln 2(0)L x x x x x =-+-->；（2）当月产量为3万件时，该企业所获得的最大月利润为()136ln3-万元. 【解析】(1)根据月利润＝月销售收入+月政府补助-月总成本列式即可. (2)求导分析利润函数的单调性,进而求得函数的极值点与最值即可. 【详解】（1）依题意得26ln 1()(4)62186ln 2(0)x L x x x x x x x x x x x ⎛⎫=-+----=-+--> ⎪⎝⎭（定义域未标注的扣一分） （2）当16x ≤≤时,∵262862(1)(3)()28x x x x L x x x x x-+---'=-+-==-∴当13x <<时,()0L x '>,当36x <<时,()0L x '< 所以()L x 在[1,3]上单调递增,在[3,6]上单调递减 当3x =时,max ()(3)136ln 3L x L ==-∴当月产量为3万件时,最大月利润为()136ln3-万元.答：当月产量为3万件时,该企业所获得的最大月利润为()136ln3-万元. 【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际利润的问题,需要根据题意确定利润的关系式,再求导分析单调性进而求得最值等.属于中档题.19．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2226cos (53)abc B b c a c b =+--，且5sin b B =.（1）求a 的值；（2）求ABC ∆面积的最大值． 【答案】（1）4a =；（2）8.【解析】(1)利用余弦定理化简222b c a +-,再用正弦定理与和差角公式求解即可. (2)由(1) 知344,cos ,sin 55a A A ===,再利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由余弦定理得：6cos 2cos (53)abc B bc A c a =-, 即3cos cos (53)a B A c a =-由正弦定理可得：3sin cos cos (5sin 3sin )A B A C B =- ∴3sin cos 3cos sin 5sin cos A B A B C A +=, 即3sin()5sin cos A B C A += ∴3sin 5sin cos C C A =,∵sin 0C > ∴3cos 5A = ∴4sin 5A =根据正弦定理sin sin a bA B=,又∵5sin b B =,∴4a = （2）由（1）知344,cos ,sin 55a A A === ∵222cos 2b c a A bc+-=∴2231652b c bc +-=即226165bc b c +=+ ∵222b c bc +≥∴61625bcbc +≥（当且仅当b c =时等号成立） ∴20bc ≤（当且仅当b c =时等号成立） ∴114sin 208225ABC S bc A ∆=≤⨯⨯= 故ABC ∆面积的最大值为8. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了利用基本不等式求解面积最值的问题,属于中档题.20．已知函数2212()log (1),()6f x x g x x ax =+=-+.（1）若关于x 的不等式()0g x <的解集为{}23x x <<，求函数()(1)1g x y x x =>-的最小值；（2）是否存在实数a ，使得对任意[]12,4x ∈-，存在[)21x ∈+∞,，不等式12()()g x f x ≤成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）3；（2）不存在实数a ，使得对任意1[2,4]x ∈-，存在2[1,)x ∈+∞，不等式12()()g x f x ≤成立，理由见解析.【解析】(1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得5a =,再代入()1g x y x =-了与基本不等式求最值即可.(2)由题可知若存在则max max ()()g x f x ≤,根据对数不等式性质可知max ()1f x =-,再分析二次函数的对称轴与区间的位置关系求得2()7F x x ax =-+的最值分析即可. 【详解】（1）依题意得,2和3是方程260x ax -+=的两根 由韦达定理可知：235a =+=∴2()562(1)3111g x x x x x x x -+==-+----又∵1x >,∴2(1)331x x -+-≥-当且仅当1x =时等号成立,所以()1g x x -的最小值为3. （2）假设存在实数a ,使得对任意1[2,4]x ∈-,存在2[1,)x ∈+∞,不等式12()()g x f x ≤成立∴max max ()()g x f x ≤∵1x ≥时,()212()log 11f x x =+≤-,∴max ()1f x =-∴261x ax -+≤-在[2,4]x ∈-成立 记2()7,(24)F x x ax x =-+-≤≤,其对称轴为2a x =,①当24122a -+≤=,即2a ≤时,max ()(4)234F x F a ==- 由2323404a a -≤⇒≥,∴a ∈∅… ②当24122a -+>=,即2a >时,max ()(2)112F x F a =-=+由1111202a a +≤⇒≤-,∴a ∈∅综上所述,不存在实数a ,使得对任意1[2,4]x ∈-,存在2[1,)x ∈+∞,不等式12()()g x f x ≤成立.【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与系数的关系,同时也考查了恒成立问题以及分类讨论求二次函数的最值问题.属于中档题.21．已知函数()()x f x xe x R =∈，e 为自然对数的底数.（1）求证：当1x >时，(1)2ln 11f x x x x ->---；（2）若函数21()()(1)2g x f x a x =-+有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(),0-∞. 【解析】(1)构造1(1)()ln 21ln 21(1)1x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-,再求导可得11()2x h x e x-'=+-,再对导数求导,继而分析导函数的正负区间进而求得原函数的单调区间求最小值证明即可.(2) 求导可得()()(1)xg x x e a '=+-,再分0a =,0a <,0a >分析函数的最小值,同时根据零点存在性定理判断是否有两个零点即可. 【详解】（1）设1(1)()ln 21ln 21(1)1x f x h x x x e x x x x --=+-+=+-+>-… ∴11()2x h x e x -'=+-,∴121()x h x e x-''=-∵1x >∴1211,01x e x -><<∴121()0x h x e x-''=->∴()h x '在()1,+?上单调递增,又()10h '=∴1x >时,()(1)0h x h ''>= ∴1()ln 21x h x e x x -=+-+在()1,+?上单调递增,又()10h =∴1x >时,()(1)0h x h >=故当1x >时,(1)2ln 11f x x x x ->---；（2）∵21()(1)2x g x xe a x =-+∴()()(1)(1)(1)xxg x x e a x x e a '=+-+=+-,①当0a =时,易知函数()g x 只有一个零点,不符合题意；②当0a <时,在(),1-∞-上,()0g x ¢<,()g x 单调递减；在()1,-+∞上,()0g x ¢>,()g x 单调递增；又1(1)0g e-=-<,且(1)20g e a =->,且当()1,x ∈+∞上,()0g x >恒成立，又不妨取4b <-且ln()b a <-时,()ln 22111()(1)20222a g b bea b a b b -⎛⎫>-+=-++> ⎪⎝⎭ 或者考虑：当,()x g x →-∞→+∞所以函数()g x 在(),1-∞-和在()1,1-上各有一个零点，即有两个零点. ③当0a >时,由()()(1)0xg x x e a '=+-=得1x =-或ln x a =（i ）当ln 1a =-即1a e=时,在(),-∞+∞上,()0g x ¢³成立,故()g x 在(),-∞+∞上单调递增,所以函数()g x 至多有一个零点,不符合题意 （ii ）当ln 1a <-即10a e<<时,在(),ln a -∞和()1,-+∞上,()0g x ¢>,()g x 单调递增；在()ln ,1a -上()0g x ¢<,()g x 单调递减；又1(1)0g e -=-<,且()2211(ln )aln (ln 1)ln 1022g a a a a a a =-+=-+<, 所以函数()g x 至多有一个零点,不符合题意（iii ）当ln 1a >-即1a e>时,在(),1-∞-和()ln ,a +∞上()0g x ¢>,()g x 单调递增；在()1,ln a -上()0g x ¢<,()g x 单调递减；又1(1)0g e-=-<,所以函数()g x 至多有一个零点,不符合题意综上所述：实数a 的取值范围是(),0-? 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性与最值,进而证明函数不等式的问题.同时也考查了分类讨论分析函数零点个数的问题.属于难题.22．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于,A B 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）当1a =时，求11||||PA PB +的值. 【答案】（1）22(0)y ax a =>，2y x =-；（2）11||||4PA PB +=. 【解析】(1)根据极坐标与参数方程和直角坐标的互化求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C 的直角坐标方程,设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、,再利用参数的几何意义求解即可. 【详解】（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得：2(sin )2cos a ρθρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为：22(0)y ax a =>由24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得直线l 的普通方程为2y x =- （2）解：当1a =时,曲线C 的直角坐标方程为：22y x =将直线l 的参数方程22224x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,代入22y x =得： 2102400t t -+=设,A B 两点对应的参数分别为12t t 、, 则有1212102,40t t t t +==∴1212||||||||||102PA PB t t t t +=+=+=,12||||||40PA PB t t ⋅=⋅= ∴11||||1022||||||||404PA PB PA PB PA PB ++===⋅ 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义的求解.属于中档题. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当不等式的解集为时，求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)或【解析】(Ⅰ)根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；(Ⅱ)由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】 (Ⅰ)时， 当时，，即当时，，即当时，，无解 综上，的解集为(Ⅱ)当，即时,时等号成立；当，即时, 时等号成立所以的最小值为即或【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.。
福建省长汀一中、连城一中等六校2019届高三上学期期中考联考 数学(文)
“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平一中”六校联考2018—2019学年第一学期期中考高三（文科）数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1、已知集合P {}3|->=x x ，Q {}043|2≤-+=x x x ，则=Q P （ ）A. ),4[+∞-B. ),3(+∞-C. ]1,3(-D. ]1,4[-2、已知复数iiz 215+-=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3、若],2[,51sin ππθθ∈=，则θtan 的值为（ ） A ．126B ．62-C ．126-D ．624、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975、 函数||2sin 2x y x =的图象可能是 ( )A B C D6、下列关于命题的说法错误．．的是（ ）A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件；C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>；D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7、如图在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，D 在边AC 上，且3CD DA =，则 ( )A 17312GD AB AC =+ B 11312GD AB AC =-- C 17312GD AB AC =-+D 11312GD AB AC =-+ 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 3πB. C. 12π D. 48π 9、若0a >，0b >且24a b +=，则1ab的最小值为（ ） A ． 12 B ． 2 C. 4 D ．1410、已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()0.5log 2a f =， ()2log 4b f =， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 11、已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f ,0)(,1)(21==x f x f ， 若12||x x -的最小值为12，且21)21(=f ，则()f x 的单调递增区间为（ ）A. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B.15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦D.17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12、已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满足)()('x xf x f -<，则不等式)4()2()2(2-->+x f x x f 的解集是( )．BA CGDA ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。
福建省长汀一中、连城一中等六校高一数学上学期期中联考试题
“长汀、上杭、武平、连城、漳平、永定一中”六校联考2018－2019学年第一学期半期考高一数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.) 1.若集合A ＝{12}x x -<≤，则A C R ＝（ ） A. {12}x x x <->或 B. {12}x x x ≤->或 C. {12}x x x <-≥或D. {12}x x x ≤-≥或2.已知集合{}2,0x M y y x ==>， (){}2|lg 2N x y x x ==-，则M N ⋂=（ ）A. ()1,2B. ()1,+∞C. [)2,+∞D. [)1,+∞3．下列函数既是奇函数，又在区间),0(+∞上是增函数的是（ ） A.1-=x y B.2x y = C.x y lg = D.3x y = 4．三个数34.0=a ，3.0ln =b ，4.03=c 之间的大小关系是（ ）A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx ＞，2xx ，则满足f (a )＜12的a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，－1)B ．(0，2)C ．(－∞，－1)∪(0，2)D ．(－∞，－1)∪(0,2) 6. 已知函数21()1x f x x +=-，其定义域是 [8,4)--，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 有最大值53，无最小值 B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 有最大值2，最小值757 .已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝（ ）A ．1B ．－12C ．－1D ．148. 函数212)(x xx f -=的图象大致是（ ）A B C D9. 已知函数()f xx 1≠x 2，都有0)()(2121<--xx x f x f 成立,那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(]0,3C ．(0,2)D ．(]0,1 10.设函数()x x x f -+=22lg，则函数⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f x g 22)(的定义域为（ ）A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 -- 11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数： ①1y x x =-；②1y x x =+；③,010,11,1x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩其中满足“倒负”变换的函数是（ ）A ． ①③B ．①②C ．②③D ．①12.已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(]0.2B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13、函数y ＝ax －3＋log (2)a x -＋1（a ＞0且a ≠1）的图象必经过点______14.已知()2111f x x +=+，那么函数f （x ）的解析式为__________． 15. 设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为__________．16已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有6个零点，则实数a 的取值范围为_______三、解答题（本大题共6小题，共70分.）160.25317.10 1 1.51)8-⨯+-（本题分）计算：（）；7log 234(2)log lg 25lg 47log 2+-+.18．（本题12分） 已知集合A={x|14 ≤2x-1≤128}，B={y|y=log 2x,x ∈[18 ,32]}，（1）求集合A ∪B ；（2）若C={x|m+1≤x≤2m -1}，C ⊆(A∩B)，求实数m 的取值范围．19．（本小题12分）已知函数()()202x x af x a a-=>+在其定义域上为奇函数.（1）求a 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明.．20.（本题12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年． (1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式；(2)可养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量f （x ）(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．（提示：年生长量=每尾鱼的平均生长速度×养殖密度）21.（本题12分）已知函数.(1)若的值域为,求实数的取值范围;(2)若在[1,2]内为单调函数,求实数的取值范围22．（本题12分）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时， ()0f x <，又()12f =-. (1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证： ()f x 是R 上的减函数；(3)若a ∈R ，求关于x 的不等式()()()222()f ax f x f x f ax ++<-的解集．六校联考高一数学第一学期半期考参考答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分.)二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13. (3,2) 14. f （x ）=2122x x -+15. ()()1,00,1-⋃ 16. (0,1) 16.【解析】分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像，由图知，0a <时，函数()y f x =与||y a x =无交点，0a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，故0.a >当0x >，2a ≥时，函数()y f x =与||y a x =有一个交点，当0x >，02a <<时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点，当0x <时，若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切，则由0∆=得：1a =或9a =（舍）， 因此当0x <，1a >时，函数()y f x =与||y a x =有两个交点， 当0x <，1a =时，函数()y f x =与||y a x =有三个交点，xo当0x <，01a <<时，函数()y f x =与||y a x =有四个交点， 所以当且仅当01a <<时，函数()y f x =与||y a x =恰有6个交点. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17解:（1）11213116333244222=1+22+2333⨯⨯⨯⨯-原式（）（）（） …………2分 113322242733=++⨯-（）（）…………4分110= …………5分（2）32321=log 3lg2542+log 22+⨯-原式（）…………7分312222=+-+ …………9分 2= …………10分18.解:（1）A =[-1,8]，B =[-3,5]．A ∪B=[-3,8]A ∩B ={x |-1≤x ≤5}，…………6分（2）①若C=∅，则m +1>2m -1，∴ m <2．…………8分②若C≠∅，则∴2≤m ≤3…………10分综上，m ≤3．…………12分19. （1）解：由()()f x f x -=-得2222x x x x a aa a----=-++，解得1a =±.由因为0a >，所以1a =. ……5分 （2）函数()f x 在R 上是增函数，证明如下：……6分 设12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()121212122222221212121x x x x x x f x f x --=-+=++++.……10分 因为12x x <，所以1222x x<，所以()()12f x f x <，即()f x 是R 上的增函数. .……12分故函数v ＝⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤<204,2581402x x x ，…………6分即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．…………12分 21．…………6分（2）①当f （x ）在[1,2]内为单调增函数，则：{20344≥>+-a a 无解，舍去②当f （x ）在[1,2]内为单调减函数，则：{1321≤>+-a a 得a ≤1由①②得：a ≤1 …………12分22．解：(1)取x ＝y ＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.取y ＝－x ，则f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数．…………3分(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2－x 1)<0， ∴f(x 2)<－f(－x 1)，又f(x)为奇函数，∴f(x 1)>f(x 2)．∴f(x)是R 上的减函数．…………7分 (3）f(x)为奇函数，整理原式得f(ax 2+x +2)<f(x 2-ax )， 则∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴ax 2+x +2>x 2-ax 即(a -1)x 2+(a +1)x +2>0 ①当a ＝1时，原不等式的解为x>-1； ②当a >1时，原不等式化为（a -1）(x +12-a )(x +1)>0即(x+12-a )(x+1)>0 若a ＝3，原不等式化为,(x+1)2>0，原不等式的解为x ≠-1若a >3，则-12-a >-1，原不等式的解为x>-12-a 或x<-1若1<a <3，则-12-a <-1，原不等式的解为x>-1或x<-12-a③当a <1时，原不等式化为（a -1）(x +12-a )(x +1)>0即(x+12-a )(x+1)<0，.则-12-a >-1，原不等式的解为-1<x<-12-a综上所述:当a <1时，原不等式的解集为｛x|-1<x<-12-a ｝； 当a ＝1时，原不等式的解集为｛x|x>-1｝； 当1<a <3时，原不等式的解集为｛x|x>-1或x<-12-a ｝； 当a ＝3时，原不等式的解集为｛x|x ≠-1｝； 当a >3时，原不等式的解集为｛x|x>-12-a 或x<-1｝.…………12分。
2019-2020学年福建省高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年福建省高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 给出下列四个关系式：①√3∈R ；②Z ∈Q ；③0∈⌀；④⌀⊆{0}.其中正确的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4 2. 已知全集U ={−2,−1,0，1，2}，A ={y|y =|x|,x ∈U}，则∁U A =( )A. {0,1，2}B. {−2,−1,0}C. {−1,−2}D. {1,2} 3. 已知函数f (x )={3x −1,x ≤11+log 2x,x >1，则函数f(x)的零点为( ) A. 12，0B. −2，0C. 12D. 0 4. 函数f(x)=11−2x +lg(1+3x)的定义域是( ) A. (−∞ ,−13)B. (−13 ,12)∪(12,+∞)C. (12,+∞)D. (13 ,12)∪(12,+∞) 5. 已知f(x)=，则f[f(−3)]等于( ) A. 0B. πC. π2D. 9 6. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( ) A. y =x x+1B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 2 7. 已知x =log 52，y =log 2√5，z =3−12，则下列关系正确的是( ) A. x <z <yB. x <y <zC. z <x <yD. z <y <x 8. 设函数f(x)满足：①y =f(x +1)是偶函数；②在[1,+∞)上为增函数，则f(−1)与f(2)大小关系是( ) A. f(−1)>f(2) B. f(−1)<f(2) C. f(−1)=f(2) D. 无法确定9. 函数f(x)=1+ln (x 2+2)的图象大致是( )A. B.C. D. 10. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<411. 某地新能源汽车工厂2017年生产新能源汽车的年产量为260万辆，根据前期市场调研，为满足市场需求，以后每一年的产量都比上一年产量提高25％，那么该工厂到哪一年的产量才能首次超过800万辆(参考数据：lg1.25≈0.097，lg1.3≈0.11，lg4≈0.60)( )A. 2021年B. 2022年C. 2023年D. 2024年12. 已知函数f (X )={log 5(1−x )(x −1)−(x −2)2+2(x ≥1)，则关于x 的方程f (x +1x −2)=a ，当1<a <2时实根个数为( )A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数y ﹦x a 的图象经过点(4,2)，则f(16)的值是___________．14. 已知集合A ={a,b}，B ={a,b ，c ，d ，e}，满足条件A ⊆M ⊆B 的集合M 的个数为______．15. 已知函数f(x)=12x +1−x ，则f(12)+f(−12)=__________，f(x)+f(1−2x)⩽1的解集为________． 16. 函数，若方程f(x)=a 恰有三个不同的解，记为x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3的取值范围是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|−3<2x +1<11}，B ={x|m −1≤x ≤2m +1}(1)当m =3时，求A ∩∁R B ；(2)若A ∪B =A ，求m 的取值范围．18. 求值：log 23⋅log 34+(log 224−log 26+6)23．19. 函数f(x)=(12x −1+12)x 3．(1)判断并证明f (x )的奇偶性；(2)求证：在定义域内f(x)恒为正．20.某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5t2(万元)，(0<万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台；销售收入为R(t)=6t−12 t≤5)，其中t是产品售出的数量(单位：百台)．(说明：①利润=销售收入−成本；②产量高于500台时，会产生库存，库存产品不计于年利润．)(1)把年利润y表示为年产量x(x>0)的函数；(2)当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？21.已知k∈R，函数f(x)=x−k(1)若f(f(x))=x−4，求实数k的值；(2)设函数g(x)=f(x)−√x+1，若g(x)≥0在区间[0,3]上恒成立，求实数k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m−1)x2+x+1，(m∈R)．(1)函数ℎ(x)=f(tanx)−2在[0,π2)上有两个不同的零点，求m的取值范围；(2)当1<m<32时，f(cosx)的最大值为94，求f(x)的最小值；(3)函数g(x)=√2sin(x+π4)+m+1，对于任意x∈[−π2,0]，存在t∈[1,4]，使得g(x)≥f(t)，试求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查元素与集合、集合与集合之间的关系及集合的特点，是基础题．利用元素与集合之间是属于关系，集合与集合之间是包含关系，逐一判断即可．【解答】解：①，元素与集合之间应用符号“∈，∉”，故√3∈R，正确；②，集合与集合之间是包含关系，故Z∈Q，错误；③，空集中没有一个元素，{0}有一个元素0，故0∈⌀，错误；④，空集是任何非空集合的真子集，故⌀⊆{0}，正确；其中正确的个数是2．故选B．2.答案：C解析：解：A={0,1，2}；∴∁U A={−2,−1}．故选：C．可求出集合A，然后进行补集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及补集的运算．3.答案：D解析：【分析】本题考查了分段函数的应用，属于基础题．【解答】解：当x≤1时，3x−1=0；解得，x=0；(舍去)；当x>1时，1+log2x=0，解得，x=12故函数f(x)的零点为0；故选D．4.答案：B解析：【分析】本题考查函数的定义域．由函数解析式有意义，得不等式组，求解．【解答】解：∵函数为f(x)=11−2x +lg(1+3x)，∴{1−2x ≠01+3x >0， ∴x >−13且x ≠12， ∴函数的定义域为(−13 ,12)∪(12,+∞)．故选B ． 5.答案：B解析：∵−3<0∴f(−3)=0∴f[f(−3)]=f(0)=π故选：B6.答案：B解析：解：A 中，y ==1−1x+1在(−∞,−1)和(−1,+∞)上是增函数，∴不满足条件；B 中，y =1−x 在R 上是减函数，∴在(−∞,0)上单调递减，满足条件；C 中，y =x 2+x 在(−∞,−12)上是减函数，在(−12,+∞)上是增函数，∴不满足条件；D 中，y =1−x 2在(−∞,0)上是增函数，∴不满足条件；故选：B ．根据基本初等函数在某一区间上的单调性质，判定各选项中的函数是否满足条件．本题考查了基本初等函数在某一区间上的单调性问题，是基础题．7.答案：A解析：【分析·】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：x =log 52<log 5√5=12，y =log 2√5>1，z =3−12=√3∈(12,1)． ∴x <z <y ．故选：A ． 8.答案：A解析：【分析】本题重点考查学生对于函数性质的理解，属于中档题．【解答】由y =f(x +1)是偶函数，得到y =f(x)的图象关于直线x =1对称，∴f(−1)=f(3)，又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(−1)>f(2)，故选A ．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数的图象，属于基础题.利用特殊点即可求解．【解答】解：因为f(0)=1+ln 2>0，即函数f(x)的图象过点(0,ln 2)，所以排除A 、B 、C ，故选D ．10.答案：C解析：【分析】利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．【解答】解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数，可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0，所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查了函数模型的应用，考查了指数不等式和对数不等式，属于中档题．根据题意列出不等式，求解即可．【解答】解：设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过800万辆，根据题意，得260(1+25%)n>800，即1.25n>4013，两边取对数，得nlg1.25>lg4013，∴n>lg4−lg1.3lg1.25≈5.05，∴n=6，即2017+6=2023．∴该工厂到2023年的产量才能首次超过800万辆．故选：C．12.答案：B解析：【分析】本题考查了函数的图象的作法及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于难题．【解答】解：由基本不等式可得，x+1x −2≥0或x+1x−2≤−4；作函数f(x)={log5(1−x)(x<1)−(x−2)2+2(x≥1)的图象如下，①当a>2时，x+1x −2<−24或0<x+1x−2<1，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为4；②当a=2时，x+1x −2=−24或0<x+1x−2<1或x+1x−2=2，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；③当1<a<2时，−24<x+1x −2<−4或0<x+1x−2<1或1<x+1x−2<2或2<x+1x−2<3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为8；④当a=1时，x+1x −2=−4或0<x+1x−2<1或1=x+1x−2或x+1x−2=3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为7；⑤当0<a<1时，−4<x+1x −2<0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为6；⑥当a=0时，x+1x −2=0或3<x+1x−2<4，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为3；⑦当a<0时，x+1x −2>3，故方程f(x+1x−2)=a的实根个数为2．故选B．13.答案：4解析：【分析】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．根据幂函数的图象过点(4,2)，求出f(x)的解析式，再计算f(16)的值．【解答】解：∵幂函数f(x)=x a的图象经过点(4,2)，∴4a=2，解得a=12，∴f(x)=√x，∴f(16)=√16=4．故答案为4．14.答案：8解析：【解答】解：∵A={a,b}，B={a,b，c，d，e}，A⊆M⊆B，∴M={a,b}，{a,b，c}，{a,b，d}，{a,b，e}，{a,b，c，d}，{a,b，c，e}，{a,b，d，e}，{a,b，c，d，e}，共8个，故答案为：8．【分析】列举出满足条件的集合M ，从而判断其个数即可．本题考查了集合的子集和真子集的定义，是一道基础题．15.答案：1，(−∞,1]解析：【分析】本题主要考查了函数值的求解，以及利用函数的增减性解不等式，得出f(x)+f(−x)=1，将不等式变形是解题的关键.利用f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)以及函数单调性去掉函数f ，得到不等式求得解集．【解答】解：∵f (x )=12x +1−x ，∴f (x )+f (−x )=12x +1−x +12−x +1+x =12x +1+2x 1+2x =1， ∴f(12)+f(−12)=1．不等式f(x)+f(1−2x)≤1，即f(x)+f(1−2x)≤f(x)+f(−x)，∴f(1−2x)≤f(−x)，显然f(x)在定义域R 上是减函数，∴1−2x ≥−x ，解得：x ≤1，∴f(x)+f(1−2x)≤1的解集为(−∞,1]．故答案为1，(−∞,1]．16.答案：(5π3−1,5π3)解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，难度一般．【解答】解：∵x 1,x 2,x 3是方程的三个不同的根，∴方程f(x)=a 有三个不同的解，∴1<a <2，设x 1<x 2<x 3，∵0<x <π，，，，结合图象可知：，∵1<2−x<2，∴−1<x<0，∴−1<x1<0，则x1+x2+x3∈(5π3−1,5π3)．故答案为(5π3−1,5π3)．17.答案：解：(1)由题意可知A={x|−2<x<5}，当m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，∴A∩∁R B={x|−2<x<2}；(2)∵A∪B=A，∴B⊆A．①若B=⌀，则m−1>2m+1，即m<−2；②若B≠⌀，则{m−1≤2m+1m−1>−22m+1<5，即−1<m<2，综上，m的取值范围是m<−2或−1<m<2．解析：(1)当m=3时，求出B={x|2≤x≤7}，∁R B={x|x<2或x>7}，即可求A∩∁R B；(2)若A∪B=A，则B⊆A，分类讨论求m的取值范围..本题考查集合的运算，考查集合关系的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．18.答案：解：原式=lg3lg2×2lg2lg3+(log2246+6)23=2+823=2+23×23=6．解析：本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，属于基础题．利用对数的运算法则、指数幂的运算性质即可得出．19.答案：(1)解：判断得到f(x)是偶函数．证明：f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称，对于任意x ∈{x|x ≠0}，有f(−x)=(12−x −1+12)(−x )3=−(2x 1−2x +12)x 3=(2x −1+12x −1−12)x 3=(12x −1+12)x 3=f(x)， 所以f(x)是偶函数；(2)证明：当x >0时，2x −1>0且x 3>0，所以f(x)=(12x −1+12)x 3>0，又因为f(x)是偶函数，所以当x <0时，f(x)>0也成立， 综上，在定义域内f(x)恒为正．解析：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查恒成立问题的求解，考查转化思想，定义是研究函数基本性质的常用方法，要熟练掌握．(1)先求函数定义域，然后判断f(x)与f(−x)的关系，根据奇偶性的定义可作出判断；(2)先利用指数函数的性质证明x >0时f(x)>0，然后利用偶函数的性质证明x <0时f(x)>0．20.答案：解：(1)当0<x ≤5时，f(x)=6x −12x 2−0.5−2.5x =−12x 2+3.5x −0.5，当x >5时，f(x)=6×5−12×52−0.5−2.5x =17−2.5x ，即f(x)={−0.5x 2+3.5x −0.5(0<x ≤5)17−2.5x(x >5), (2)当0<x ≤5时，f(x)=−12(x 2−7x +1)=−12(x −72)2+458， ∴当x =3.5∈(0,5]时，f(x)max =458=5.625，当x >5时，f(x)为(5,+∞)上的减函数，f(x)<f(5)=17−2.5×5=4.5．又5.625>4.5，∴f(x)max =f(3.5)=5.625．故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大．解析：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及利用二次函数性质求最值，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．(1)利润函数y =销售收入函数R(x)−成本函数，讨论x 的大小，利用分段函数表示出年利润y 表示为年产量x(x >0)的函数；(2)由利润函数是分段函数，分段求出最大值，利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x 的值，比较两段的最大值即可求出所求．21.答案：解：(1)∵f(x)=x −k ，∴f(f(x))=f(x −k)=x −k −k =x −2k =x −4 ，∴2k =4 ，∴k =2；(2)由题得g(x)=f(x)−√x +1=x −k −√x +1，∵g(x)⩾0在区间[0,3]恒成立 ，∴x −k −√x +1⩾0在区间[0,3]恒成立，∴k ⩽x −√x +1在区间[0,3]恒成立，即k ⩽(x −√x +1)min ，令t =√x +1∈[1,2] ，则x =t 2−1，∴ℎ(t)=t 2−1−t =(t −12)2−54，∴ℎ(t)在区间[1,2]上为单调增函数，所以ℎ(t)的最小值为ℎ(1)=−1，∴k ≤−1，∴实数k 的取值范围k ≤−1．解析：本题考查函数的解析式求法，以及不等式恒成立问题，属于中档题．(1)将f(x)=x −k 中x 换成x −k ，即可得到f(f(x))=x −k −k =x −4，求出k ；(2)将不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22.答案：解：(1)ℎ(x)=f(tanx)−2=(m −1)tan 2x +tanx −1，∵x ∈[0,π2)，tanx ∈[0,+∞)，令tanx =t ∈[0,+∞)， 则(m −1)t 2+t −1=0在[0,+∞)上有2个不同的实数根，于是{▵=1+4(m −1)>0t 1t 2=−1m−1≥0t 1+t 2=−1m−1>0，解得：34<m <1； 所以m 的范围为(34,1);(2)f(x)=(m −1)x 2+x +1，f(cosx)=(m −1)[cosx +12(m−1)]2+1−14(m−1)，∵1<m <32，∴0<2(m −1)<1，12(m−1)>1，−12(m−1)<−1，∴当cosx =1时，即x =2kπ，k ∈Z 时取最大值，f(cosx)max =f(1)=m +1=94，∴m =54， ∴f(x)=14x 2+x +1，∴f(x)min =0；(3)由题意得：g(x)min ≥f(t)有解，∵−π2≤x ≤0，−π4≤x +π4≤π4，∴−√22≤sin(x +π4)≤√22， ∴m ≤√2sin(x +π4)+m +1≤m +2，故g(x)min =m ，而f(t)=(m −1)t 2+t +1，t ∈[1,4]，由题意(m −1)t 2+t +1≤m 有解，当t =1时，不等式不成立，当t ∈(1,4]时，m ≤t 2−t−1t 2−1=1−t t 2−1， 令ℎ(t)=1−t t 2−1=1−1t−1t ，ℎ(t)在(1,4]递增， 故ℎ(t)max =ℎ(4)=1115，故m ≤1115，综上，m 的范围是(−∞,1115].解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数以及二次函数的性质，考查转化思想，是一道综合题．(1)通过换元法以及二次函数的性质求出m的范围即可；(2)求出f(cosx)的解析式，根据函数的单调性求出f(cosx)的最大值，得到关于m的方程，求出m的值，从而求出函数的解析式，求出函数的最小值即可；(3)问题转化为g(x)min≥f(t)有解，求出g(x)的最小值，再分离参数m，根据函数的单调性求出m 的范围即可．。
福建省龙岩市连城一中等六校2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
福建省龙岩市连城一中等六校2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={0,1，2，3，4}，B ={x|(x +2)(x −1)≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1，2，3，4}B. {0,1，2，3}C. {0,1，2}D. {0,1}2. 已知平面α⊥平面β，α∩β=ι，a ⊂α，b ⊂β，则“a ⊥ι”是“a ⊥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )A.B.C.D.4. 已知角α的始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P(m,n)(n ≠0)，若α=−420∘，则nm 的值为( )A. −√2B. √2C. −√3D. √35. 如图，点E 为平行四边形ABCD 的边BC 的中点，点F 为△ABD 的重心，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16a⃗ −23b ⃗ B. 23a⃗ +16b ⃗ C. 16a⃗ +23b ⃗ D.23a ⃗ −16b ⃗ 6. 已知α∈(π2,π)，且sinα=45，则A. 34B. −34C. 43D. −437. 函数y =sin(π2+2x)2x −2−x的图象大致为( )A.B.C.D.8. 已知正三棱锥A −BCD 的侧棱长都等于a ，底面正三角形的边长√2a ，点E 、F 分别是棱BC 、AD的中点，则异面直线AE 和CF 所成角的余弦值为( )A. √63B. √105C. −√63D. −√1059. 关于函数f(x)=|x −1|−1的下列结论，错误的是( )A. 图象关于x =1对称B. 最小值为−1C. 图象关于点(1,−1)对称D. 在(−∞,0]上单调递减10. 定义域为R 的函数f(x)为奇函数，若f(x +2)为偶函数，且f(1)=1,则f(8)+f(9)= ( )A. −2B. −1C. 1D. 011. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)12. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f(x)=x −lnx.若函数g(x)=f(x)+a 有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,1]B. (−1,1)C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“∀x ∈N ，x 2>1”的否定为______ ．14. 已知BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是__________． 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的高，已知AD =√36a,A =2π3,b =1，则c =______16.已知菱形ABCD，AB=1，∠ABC=60°，沿AC折叠成三棱锥D−ABC，当二面角D−AC−B的平面角的余弦值为13时，则三棱锥外接球的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设向量a⃗=(5√3cosx,cosx)，b⃗ =(sinx,2cosx)，函数f(x)=a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2+32．(1)求x∈[−π6,π2]时，求函数f(x)的值域．(2)将y=f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后，再将得到的图象向下平移5个单位，得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)是偶函数，求φ的最小值．18.函数f(x)=lnx+1x+ax(a∈R)(1)a=0时，求f(x)最小值；(2)若f(x)在[2,+∞)是单调减函数，求a取值范围．19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2b−c)cosA−acosC=0(1)求角A．(2)若边长a=√3，且△ABC的面积是3√34，求边长b及c．20.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，E是棱PD的中点，PA=AD=4，AB=3．(1)证明PB//底面ACE；(2)求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=(x2−bx)e x+c，曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为−2．(Ⅰ)求实数b，c的值；(Ⅱ)若a≥−1，求证：当x≤0时，af(x)≥e x−1．222. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数，φ∈[0,π])，将曲线C 1经过伸缩变换：{x ′=x,y ′=√3y得到曲线C 2．(1)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 2的极坐标方程；(2)若直线l ：{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数，α∈[0,π])与C 1，C 2相交于A ，B 两点，且|AB|=√2−1，求α的值．23. 已知函数f(x)=|x +1|．(Ⅰ)解不等式f(x)>3−|x +2|；(Ⅱ)已知a >0，b >0，且a +2b =√2，求证f(x)−|x|≤√a 2+4b 2．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：由B中不等式解得：−2≤x≤1，即B=[−2,1]，∵A={0,1，2，3，4}，∴A∩B={0,1}，故选：D．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：A解析：解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．根据面面垂直的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间面面垂直的性质是解决本题的关键．3.答案：D解析：本题考查空间几何体的三视图，为基础题．由选项图可知，选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧(左)视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D．故选D．4.答案：C解析： 角α的始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P(m,n)(n ≠0)，若α=−420∘，则nm =tanα=tan(−420∘)=tan(−60∘)=−√3．5.答案：B解析：本题主要考查平面向量线性运算与基本定理，由题意利用重心定理与线性运算进行求解即可． 解：因为点E 为平行四边形ABCD 的边BC 的中点，点F 为△ABD 的重心，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(a ⃗ +b ⃗ ) 所以FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23a ⃗ +16b ⃗ ． 故选B ．6.答案：D解析：解：α∈(π2,π)，且sinα=45，∴cosα<0cosα=−√1−sin 2α=−√1−(45)2=−35．故选：D ．根据同角的三角函数关系，进行计算即可．本题考查了同角的三角函数关系应用问题，是基础题．7.答案：D解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的特殊点的位置，变换趋势是常用方法． 判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值以及函数的图象的变化趋势判断即可． 解：令函数y =sin(π2+2x)2x −2−x=cos2x2x −2−x ，f(−x)=cos2x2−x −2x =−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故排除选项A ，又在区间(0,π4)时，f(x)>0，故排除选项B，当x→+∞时，f(x)→0，故排除选项C．故选D．8.答案：B解析：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．连结DE，取DE中点P，连结PF、PC，则PF//AE，从而∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE和CF所成角的余弦值．解：连结DE，取DE中点P，连结PF、PC，∵正三棱锥A−BCD的侧棱长都等于a，底面正三角形的边长√2a，点E、F分别是棱BC、AD的中点，∴PF//AE，∴∠PFC是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE=√a2−24a2=√22a，DE=√(√2a)2−(√22a)2=√62a，由AC=AD=a，CD=√2a，得AC⊥AD，所以CF=√a2+(a2)2=√5a2，PF=12AE=√24a，PC=√(√2a2)2+(√64a)2=√144a，。
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高三(上)期中数学试卷试题及答案(文科)
2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．已知集合2{|60}A x x x =--…，{|2}B x x =>，则集合A B 等于( )A ．(2,3)B ．(2，3]C ．(3,2)-D ．[3-，2)2．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --3．设()f x 在(,)a b 内可导，则()0f x '<是()f x 在(,)a b 内单调递减的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，(,1)B m -，若//OA OB ，则(m = ) A ．2B ．2-C ．12D ．12-5．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则目标函数2z x y =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =，则95(S S = ) A ．910B ．1518 C ．95D ．1857．设0.50.52,log 2,tan 5a b c π===，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．我们知道：在平面内，点0(x ，0)y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2，4，3)到直线2220x y z +++=的距离为( )A ．3B ．5C ．6 D9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A．(3πB．1)π-C．1)π+D．2)π-10．函数()2sin(2)6f x x π=-的图象为C ，以下结论错误的是( )A ．图象C 关于直线56x π=对称 B ．图象C 关于点7(,0)12π对称C ．函数()f x 在区间(,)63ππ-内是增函数D ．由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C11．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12CC =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．35B ．35-C ．45 D ．45-12．已知实数a ，b 满足240a lna b --=，c R ∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为( ) AB ．95CD ．15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．） 13．已知第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，则12a b+的最小值为 ． 14．数列{}n a 中，若12a =，11n n na a n +=+，则n a = ． 15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =，cos cos 2b C cB +=，则ABC ∆的外接圆面积为 ．16．已知()f x 是R 上的偶函数，且3,01()1()1,13x x x f x x <⎧⎪=⎨+⎪⎩……，若关于x 的方程2()()0f x mf x -=有三个不相等的实数根，则m 的取值范围 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数21()cos sin 2f x x x x =++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1*22,n n S n N +=-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）2211log log n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．19．已知函数21()32x f x e x ax =--． （1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的最大值．20．如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，90ASC ∠=︒，2DA DC DS ===，SA SC =．（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积．21．已知1()xf x lnx ax-=+，(,0)a R a ∈≠． （1）试讨论函数()y f x =的单调性；（2）若0(0,)x ∃∈+∞使得(0,)x ∀∈+∞都有0()()f x f x …恒成立，且0()0f x …，求满足条件的实数a 的取值集合．选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈．在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点．求点M 到直线l 的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数()||f x x =．（1）设(1)(2)4f x f x -++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 均为正实数），求证：1118a b ca b c---…．2019-2020学年福建省龙岩市长汀、连城一中等六校高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1．已知集合2{|60}A x x x =--…，{|2}B x x =>，则集合A B 等于( )A ．(2,3)B ．(2，3]C ．(3,2)-D ．[3-，2)【解答】解：{|23}A x x =-剟，{|2}B x x =>，(2AB ∴=，3]．故选：B ．2．若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数(z = ) A ．12i -B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【解答】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， ∴12z i =+．故选：B ．3．设()f x 在(,)a b 内可导，则()0f x '<是()f x 在(,)a b 内单调递减的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】解：由()0f x '<能够推出()f x 在(,)a b 内单调递减， 但由()f x 在(,)a b 内单调递减不能推出()0f x '<， 如3()f x x =-在R 内为减函数，而2()30f x x '=-…， 故为充分不必要条件， 故选：A ．4．已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，(,1)B m -，若//OA OB ，则(m = ) A ．2 B ．2- C ．12 D ．12-【解答】解：(2,1),(,1)OA OB m ==-，且//OA OB ，20m ∴--=，2m ∴=-．故选：B ．5．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则目标函数2z x y =+的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【解答】解：由约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………作出可行域如图，化目标函数为22x z y =-+，由图可知，当直线22x zy =-+过(2,0)C 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2． 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =，则95(S S = ) A ．910B ．1518 C ．95D ．185【解答】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =， 所以955399182555S a S a ⨯==⨯=⨯， 故选：D ．7．设0.50.52,log 2,tan 5a b c π===，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：0.50221>=，0.50.5log 2log 10<=，0tan tan154ππ<<=，b c a ∴<<．故选：C ．8．我们知道：在平面内，点0(x ，0)y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2，4，3)到直线2220x y z +++=的距离为( )A ．3B ．5C ．6D 【解答】解：平面内点0(x ，0)y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(2，4，3)到直线2220x y z +++=的距离为1863d ===． 故选：C ．9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3πB ．1)π-C ．1)π+D ．2)π-【解答】解：由题意知，1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为α，β，则αβ=， 又2αβπ+=，解得(3απ=-． 故选：A ．10．函数()2sin(2)6f x x π=-的图象为C ，以下结论错误的是( )A ．图象C 关于直线56x π=对称 B ．图象C 关于点7(,0)12π对称C ．函数()f x 在区间(,)63ππ-内是增函数D ．由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C【解答】解：对于函数()2sin(2)6f x x π=-的图象为C ，令56x π=，求得()2f x =-，为最小值，故图象C 关于直线56x π=对称，故A 正确； 令712x π=，求得()0f x =，故图象C 关于点7(12π，0)对称，故B 正确； 在区间(,)63ππ-内，2(62x ππ-∈-，)2π，函数()f x 单调递增，故C 正确；由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到函数2sin(2)3y x π=-的图象，故D 错误， 故选：D ．11．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，1AB BC ==，12CC =，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【解答】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(1A ，0，0)，1(0B ，0，2)，(0B ，0，0)，1(0C ，1，2)， 1(1AB =-，0，2)，1(0BC =，1，2)，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ， 则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ===． ∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45．故选：C ．12．已知实数a ，b 满足240a lna b --=，c R ∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为( ) AB ．95CD ．15【解答】解：x 代换a ，y 代换b ，则x ，y 满足：240x lnx y --=，即24(0)y x lnx x =->， 以x 代换c ，可得点(,2)x x -，满足20x y +=． 因此求22()(2)a c b c -++的最小值，即为求曲线24y x lnx =-上的点到直线20x y +=的距离的最小值的平方． 设直线20x y m ++=与曲线24()y x lnx f x =-=相切于点0(P x ，0)y ， 4()2f x x x '=-，则0004()22f x x x '=-=-， 解得01x =，∴切点为(1,1)P ． ∴点P 到直线20x y +=的距离d ，∴则22()()a c b c -++的最小值为295=． 故选：B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中．） 13．已知第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，则12a b+的最小值为 9 ． 【解答】解：因为第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，所以21a b +=，0a >，0b >，所以121222(2)()59b a a b a b a b a b +=++=++…，当且仅当13a =，13b =时等号成立， 故填：9．14．数列{}n a 中，若12a =，11n n n a a n +=+，则n a =n． 【解答】解：数列{}n a 中，若12a =，11n n na a n +=+， 所以11n n a na n +=+， 当2n …时，11n n a n a n --=，1221n n a n a n ---=-，2112a a ⋯=， 所有的式子相乘得11n a a n=， 解得2n a n=（首项符合通项）， 故2n a n=． 故答案为：2n15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =，cos cos 2b C cB +=，则ABC ∆的外接圆面积为16． 【解答】解：cos cos 2b C c B +=， ∴由正弦定理2(sin sin b cr r B C==为ABC ∆外接圆的半径），可得：2sin cos 2sin cos 2r B C r C B +=，即，2sin()2r B C +=，即，sin()1r A π-=，从而sin 1r A =． ∴1sin A r =， 3cos 5A =，∴4sin 5A ===，∴145r =， 从而54r =， 所以ABC ∆外接圆面积为22525()416r πππ=⨯=．故答案为：2516π． 16．已知()f x 是R 上的偶函数，且3,01()1()1,13x x x f x x <⎧⎪=⎨+⎪⎩……，若关于x 的方程2()()0f x mf x -=有三个不相等的实数根，则m 的取值范围 (0，1](3⋃， ．【解答】解：2()()0f x mf x -=有三个不相等的实数根，即(())()0f x m f x -=有三个不相等的实数根， ()0f x =有一个解，∴转化为()0f x m -=有两个根即()f x 和y m =有两个交点．()f x 是R 上的偶函数， ()f x ∴图象如下： f （1）4(1)3f =-=， ∴由图可知m 的范围为(0，41](3⋃，3)，故答案为：(0，41](3⋃，3)．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数21()cos sin 2f x x x x =++． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的取值范围．【解答】解：（1）函数21111()cos sin 2cos 2sin(2)122226f x x x x x x x π++=-++=-+， 由3222262k x k πππππ+-+剟，k Z ∈，得5,36k x k k Z ππππ++∈剟，∴函数21()cos sin 2f x x x x =++的单调递减区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈， （2）由（1）知函数21()cos sin sin(2)126f x x x x x π=++=-+， [0,]2x π∈，5(2)[,]666x πππ∴-∈-，1sin(2)[,1]62x π∴-∈-， 1()[,2]2f x ∴∈．故()f x 在[0,]2x π∈的取值范围为1[,2]2．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1*22,n n S n N +=-∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）2211log log n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <．【解答】解：（1）当1n =时，11422a s ==-=，当2n …时，111(22)(22)222n n n n n n n n a S S ++-=-=---=-=， 又12a =满足上式，所以2n n a =．*n N ∈； （2）证明：由（1）得以2n n a =． ∴2211111(1)1n n n b log a log a n n n n +===-++， 1211111111122311n n T b b b n n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-<++， 所以1n T <．19．已知函数21()32x f x e x ax =--． （1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的最大值． 【解答】解：（1）由题意，函数21()32x f x e x ax =--． 故()3x f x e x a '=--，则(0)3f a '=-，由题意，知32a -=，即1a =． 又21()32x f x e x x =--，则(0)3f =． 203b ∴⨯+=，即3b =．∴13a b =⎧⎨=⎩． （2）由题意，可知()0f x '…，即30x e x a --…恒成立， 3x a e x ∴-…恒成立．设()3x g x e x =-，则()31x g x e '=-． 令()310x g x e '=-=，解得3x ln =-． 令()0g x '<，解得3x ln <-． 令()0g x '>，解得3x ln >-．()g x ∴在(,3)ln -∞-上单调递减，在(3,)ln -+∞上单调递增，在3x ln =-处取得极小值． ()(3)13min g x g ln ln ∴=-=+．13a ln ∴+…，故a 的最大值为13ln +．20．如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知//AD BC ，90ASC ∠=︒，2DA DC DS ===，SA SC =．（1）求证：AC SD ⊥； （2）求三棱锥B SAD -的体积．【解答】解：（1）设O 为AC 的中点，连接OS ，OD ，如图所示； SA SC =，OS AC ∴⊥， DA DC =，DO AC ∴⊥，又OS ，OD ⊂平面SOD ，且OS OD O =，AC ∴⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ， AC SD ∴⊥．（2）在ASC ∆中，SA SC =，90ASC ∠=︒，O 为AC 的中点， ASC ∴∆为等腰直角三角形，且2AC =，1OS =，在ACD ∆中，DA DC DC ==，O 为AC 的中点，ACD ∴∆为等边三角形，且OD =，在SOD ∆中，222OS OD SD +=， SOD ∴∆为直角三角形，且90SOD ∠=︒， SO OD ∴⊥；又OS AC ⊥，且AC OD O =，AC ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，SO ∴⊥平面ABCD ．13BAD B SAD S BAD V V S SO ∆--∴==⋅⋅三棱锥三棱锥．梯形的高相等， 11222BAD CAD S S AC OD ∆∆∴===⨯=．113B SAD V -∴==三棱锥21．已知1()xf x lnx ax-=+，(,0)a R a ∈≠． （1）试讨论函数()y f x =的单调性；（2）若0(0,)x ∃∈+∞使得(0,)x ∀∈+∞都有0()()f x f x …恒成立，且0()0f x …，求满足条件的实数a 的取值集合． 【解答】解：（1）由1()x f x lnx ax -=+，得21()(0)axf x x ax -+'=>．①当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立， ()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '< 得10x a<<， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞ 上单调递增．综上：①当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无递减区间； ②当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞ 上单调递增．（2）由题意函数存在最小值0()f x 且0()0f x …， ①当0a <时，由（1）上单调递增且f （1）0=， 当(0,1)x ∈时，()0f x <，不符合条件；②当0a >时，()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a +∞ 上单调递增，∴111()()1min f x f ln a a a ==-+，∴只需()0min f x …即1110ln a a-+…， 记()1(0)g x x lnx x =-+>则1()1g x x'=-+， 由()0g x '>得01x <<，由()0g x '< 得1x >， ()g x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， ()g x g ∴…（1）0=，∴11a=，1a ∴=， 即满足条件a 的取值集合为{1}．选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈．在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为sin()04πρθ-+=． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点．求点M 到直线l 的距离的最大值．【解答】解：（1）直线的极坐标方程为sin()04πρθ-+=，即sin cos 50ρθρθ-+=．由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得直线的直角坐标方程为50x y --=，将曲线C的参数方程sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)3x y y +=>；（2）设Q α，sin )(0)ααπ<<，点P的极坐标)4π化为直角坐标为(2,2)，则11,sin 1)2M αα++， ∴点M 到直线l的距离d ==，当sin()13πα-=，即56πα=时等号成立．∴点M到直线的距离的最大值为．[选修4-5：不等式选讲] 23．设函数()||f x x =．（1）设(1)(2)4f x f x -++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 均为正实数），求证：1118a b ca b c---…．【解答】解：（1）()||f x x =，则21,1(1)(2)|1||2|3,2121,2x x f x f x x x x x x +>⎧⎪-++=-++=-⎨⎪--<-⎩剟． 因为(1)(2)4f x f x -++<，所以2141x x +<⎧⎨>⎩或21x -剟或2142x x --<⎧⎨<-⎩，所以5322x -<<，所以不等式的解集53{|}22A x x =-<<；（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=， 又a ，b ，c 均为正实数，则10a b c a a -+=>，同理0a c b +>，0a b c +>， 所以1112228a b c bc ac aba b c ---=…，所以1118a b c a b c---…．。
2019-2020学年福建省高一上学期期中联考数学试题（解析版
2019-2020学年福建省平和一中、南靖一中等五校高一上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}11A x x =-<<，集合{}04B x x =<<，则A B 等于（ ）．A ．{}14x x << B ．{}10x x -<< C ．{}14x x -<< D ．{}01x x <<【答案】D【解析】根据交集的概念和运算，求得两个集合的交集. 【详解】交集是两个集合的公共元素，故A B {}01x x =<<.故选：D. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）． A ．()1f x =，()0g x x =B ．()2f x x =+，()242x g x x -=-C ．()f x x =，()g x =D ．()f x x =，()2g x =【答案】C【解析】对选项逐一分析函数的定义域、值域和对应关系，由此判断出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|0x x ≠，故不是同一函数.对于B 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|2x x ≠，故不是同一函数.对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为R ，且()()g x x f x ==，故是同一函数.对于D 选项，函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 的定义域为{}|0x x ≥，故不是同一函数. 故选：C 【点睛】本小题主要考查两个函数是否是同一函数的判断，考查函数的定义域、值域和对应关系，属于基础题. 3．若函数()1,12,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则()3f f -⎡⎤⎣⎦的值为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】利用分段函数求出()3f -，然后求解()3f f -⎡⎤⎣⎦的值． 【详解】()1,12,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩()32(3)5f ∴-=--=()3(5)516f f f ∴-==+=⎡⎤⎣⎦故选：D 【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题。
【高考模拟】2019届福建省长汀一中、连城一中等六校高三上学期期中考联考 数学(文)(word版有答案)
2019届福建省长汀一中、连城一中等六校2019届高三上学期期中考联考高三（文科）数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。
)1、已知集合P {}3|->=x x ，Q {}043|2≤-+=x x x ，则=Q P （ ）A. ),4[+∞-B. ),3(+∞-C. ]1,3(-D. ]1,4[-2、已知复数iiz 215+-=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3、若],2[,51sin ππθθ∈=，则θtan 的值为（ ） A ．126B ．62-C ．126-D ．624、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975、 函数||2sin 2x y x =的图象可能是 ( )A B C D6、下列关于命题的说法错误．．的是（ ） A. 命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”； B. “2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+∞上为增函数”的充分不必要条件； C. 若命题:,21000n p n N ∃∈>，则:,21000n p n N ⌝∀∈>；D. 命题“(),0,23xxx ∃∈-∞<”是假命题.7、如图在ABC ∆中，G 为ABC ∆的重心，D 在边AC 上，且3CD DA =，则 ( )A 17312GD AB AC =+B 11312GD AB AC =-- C 17312GD AB AC =-+D 11312GD AB AC =-+ 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 3πB. C. 12π D. 48π 9、若0a >，0b >且24a b +=，则1ab的最小值为（ ） A ． 12 B ． 2 C. 4 D ．1410、已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()0.5log 2a f =， ()2log 4b f =， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >> 11、已知函数)20,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f ,0)(,1)(21==x f x f ， 若12||x x -的最小值为12，且21)21(=f ，则()f x 的单调递增区间为（ ）A. 51+2,+2,.66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦ B.15+2,+2,66k k k Z ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦C. 51+2,+2,66k k k Z ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦D.17+2,+2,66k k k Z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12、已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满足)()('x xf x f -<，则不等式)4()2()2(2-->+x f x x f 的解集是( )．A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞第Ⅱ卷（非选择题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。
福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题(教师版)
“长汀、连城等”六县（市/区）一中联考2019-2020学年第一学期半期考高一数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求)1.已知集合{|2},A x x a =≤=则a 与集合A 的关系是（ ）A. a A ∈B. a A ∉C. a A =D. {}a A ∈【答案】A 【解析】 【分析】验证a =2x ≤．2<A ，即a A ∈． 故选：A ．【点睛】本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，属于基础题． 2.函数12()log (3)f x x =+-的定义域是（ ） A. {|3}x x >- B. {|31}x x -<<C. {|31x x -<<或1}x >D. {|1}<x x【答案】B 【解析】 【分析】由30x +>和10x ->可得． 【详解】由题意3010x x +>⎧⎨->⎩，解得31x -<<，∴定义域为{|31}x x -<<．故选：B ．【点睛】本题考查求函数定义域．函数定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，我们所学函数有意义一般指：（1）分母不为0；（2）偶次根式下被开方数非负；（3）0次幂底数不为0；（4）对数的真数大于0；（5）形如x a 和log a x 的式子中0a >且1a ≠；（6）正切函数tan y x =中,2x k k Z ππ≠+∈．（7）实际应用中自变量具有的实际意义的限制．3.下列函数中是偶函数但不是奇函数的是（ ） A. 3()f x x =B. 2()f x x x =+C. ()22x xf x -=+D.()f x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义判断．【详解】A ．3()f x x =，()()f x f x -=-，但()()f x f x -=不恒成立，是奇函数不是偶函数；B ．2()f x x x =+，()()f x f x -=-和()()f x f x -=都不恒成立，既不是奇函数也不是偶函数；C ．()22x xf x -=+，()()f x f x -=，但()()f x f x -≠-，是偶函数，不是奇函数；D ．()0f x ==，{1,1}x ∈-，()()f x f x -=也满足()()f x f x -=-，既是奇函数也是偶函数．C 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇偶性的定义判断即可．4.已知0.12ln 2,2,log 0.1a b c ===，则下列关系式正确的是（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>.D. a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】与中间值0或1比较．【详解】∵0ln 21<<，0.121>，2log 0.10<，∴0.12log 0.1ln 22<<，即c a b <<．故选：B ．【点睛】本题考查指数函数与对数函数的性质，比较对数与幂的大小，在不同底的幂或对数比较大小时可把它们与中间值比较，如与0，1，2等比较，最后确定结论．5.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0）C. （0,1）D. （1,2）【答案】B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 【此处有视频，请去附件查看】6.已知全集U =R ，集合{}2|20M x x x =--≤，集合{|N y y ==，则()U C M N ⋃等于（ ）A. (,1)[0,)-∞-+∞ B. (,-∞-∞1](0,+) C. (,1)(2,3]-∞-⋃ D. [1,)-+∞【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合,M N 的元素，再按集合的运算法则求解．【详解】由题意{}2|20M x x x =--≤{|12}x x =-≤≤，{|N y y =={|0}y y =≥，∴{|1U C M x x =<-或2}x >， ∴(){|1U C M N x x =<-或0}x ≥．故选：A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题时需选确定集合的元素，然后才能根据集合运算法则求解． 7.函数11()x f x aa+=-（0a >且1a ≠）的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】按指数函数xy a =的性质分类讨论．【详解】C 、D 中的a 应满足1a >，但此时(2)0f -=，C 、D 均不满足，C 、D 均错，A 、B 中的a 满足01a <<，此时1(0)0f a a=-<，B 不满足，只有A 符合． 故选：A ．【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，考查指数函数的图象与性质．解题时可由函数图象的一部分或一个性质确定参数的取值范围，再考虑函数的另外的性质是否也能满足，不能就排除．本题由A 、B 中的单调性确定01a <<，由C 、D 中的单调性确定1a >，然后再分析，如用特殊值． 8.如果函数2()23f x ax x =--在区间(,2)-∞上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先考虑0a =是否满足题意，在0a ≠时确定0a >，然后由对称轴得出不等关系． 【详解】0a =时，()23f x x =--符合题意，0a ≠时，012a a>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得102a <≤． 综上，102a ≤≤．故选：A ．【点睛】本题考查函数的单调性，易错点在于忘记讨论0a =这种情况，直接利用二次函数知识求解． 9.已知函数1()log 22a f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(,)P m n ，则函数()2()log 25m g x x nx =--的单调递增区间是（ ）A. (,1)-∞-B. (,2)-∞C. (2,)+∞D. (5,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 的图象所过定点P 的坐标(,)m n ，再由对数型复合函数的单调性确定单调区间．【详解】由112x -=得32x =，3()22f =，∴定点为3(,2)2，即3,22m n ==，∴232()log (45)g x x x =--， 由2450x x -->得1x <-或5x >，245u x x =--在(,1)-∞-上递减，在(5,)+∞上递增，又312>， ∴()g x 的增区间是(5,)+∞． 故选：D ．【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，考查对数型复合函数的单调性，对数型函数一定要先求函数的定义域，在定义域内确定单调区间．10.某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0–200千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是（ ） A. 210元B. 232元C. 236元D. 276元【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分档计算电费再相加即可得到答案.【详解】依题意可得某户居民9月份的用电量是420度时,该用户9月份应缴电费为:2000.52000.6200.8236⨯+⨯+⨯=元.故选:C【点睛】本题考查了分段函数模型,读懂题意,分段计算电费是解题关键,属于基础题.11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()1f x x ax a =++-,则当0x <时，()f x 的解析式是（ ） A. 2x x - B. 2x x + C. 2x x -+ D. 2x x --【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数定义(0)0f =可求得a ，然后设0x <时，则0x ->，求得()f x -后可得()f x ．【详解】()f x 是奇函数，∴(0)10f a =-=，1a =，即0x ≥时，2()f x x x =+当0x <时，0x ->，22()()()f x x x x x -=-+-=-，∵()f x 是奇函数，∴2()()f x f x x x =--=-+．故选：C ．【点睛】本题考查函数的奇偶性，已知奇偶性求函数解析式，只有根据定义，即要求()f x ，先求()f x -，若函数是奇函数，只要(0)f 存在，必有(0)0f =．12.已知函数232,(1)()log ,(1)x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()0f x k -=有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.B. (1]-⋃C. (1)-D. (1)-⋃【答案】D【解析】 【分析】关于x 的方程2()0f x k -=有三个不同的实根转化为直线2y k =与函数()y f x =的图象有三个交点，作出图象易得结论．【详解】由2()0f x k -=得2()f x k =，∵方程2()0f x k -=有三个不同的实根，∴直线2y k =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，作出直线2y k =与函数()y f x =的图象，如图，它们有三个交点时，212k <<，∴1k <<-或1k <<．故选：D ．【点睛】本题考查函数的零点与方程根分布，由方程根的个数确定参数范围．这类问题解法是把方程的根的个数转化为直线与函数图象交点个数，然后作出直线和函数图象，由数形结合思想得出参数满足的条件．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)13.已知函数1,8()((6)),8x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f 的值为__________.【答案】9 【解析】 【分析】8x <时，选用((6))f f x +计算，8x ≥，选用1x -计算。
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“长汀、连城等”六县（市/区）一中联考2019-2020学年第一学期半
期考高一数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合要求)
1.
已知集合{|2},A x x a =≤=则a 与集合A 的关系是（ ）
A. a A ∈
B. a A ∉
C. a A =
D. {}a A ∈
2.
函数12
()log (3)f x x =+-
的定义域是（ ） A. {|3}x x >- B. {|31}x x -<<
C. {|31x x -<<或1}x >
D. {|1}<x x
3.下列函数中是偶函数但不是奇函数的是（ ） A. 3
()f x x =
B. 2
()f x x x =+
C. ()22x x
f x -=+
D.
()f x =
4.已知0.1
2ln 2,2,log 0.1a b c ===，则下列关系式正确的是（ ）
A. a b c >>
B. b a c >>
C. b c a >>.
D. a c b >>
5.函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1）
B. （-1,
0）
C. （0,1）
D. （1,2）
6.已知全集U =R ，集合{
}
2
|20M x x x =--≤，
集合{|N y y ==，则()U C M N ⋃
等于（ ）
A. (,1)
[0,)-∞-+∞
B. (,-∞-∞1](0,+)
C. (,1)(2,3]-∞-⋃
D. [1,)-+∞
7.函数1
1
()x f x a
a
+=-
（0a >且1a ≠）大致图象可能是（ ） A. B.
C. D.
8.如果函数2
()23f x ax x =--在区间(,2)-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C. 1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
D. 1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
9.已知函数1()log 22a f x x ⎛⎫
=-
+ ⎪⎝⎭
（0a >且1a ≠）的图象恒过定点(,)P m n ，则函数()2()log 25m g x x nx =--的单调递增区间是（ ）
A. (,1)-∞-
B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (5,)+∞
10.某市居民生活用电电价实行全市同价，并按三档累进递增．第一档：月用电量为0–200千瓦时（以下简称度），每度0.5元；第二档：月用电量超过200度但不超过400度时，超出的部分每度0.6元；第三档：月用电量超过400度时，超出的部分每度0.8元；若某户居民9月份的用电量是420度，则该用户9月份应缴电费是（ ） A. 210元 B. 232元 C. 236元
D. 276元
11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2
()1f x x ax a =++-,则当0x <时，()f x 的解析
式是（ ） A. 2x x -
B. 2x x +
C. 2x x -+
D. 2x x --
12.已知函数232,(1)()log ,(1)
x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩，若关于x 的方程2
()0f x k -=有三个不同的实根，则实数k 的取值
范围是（ ）
A.
B. (1]-⋃
C. (1)-
D. (1)-⋃
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.已知函数1,8
()((6)),8
x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩，则(5)
f 的值为__________.
14.已知定义在[1,1]-上的偶函数()f x 在区间[0,1]上是减函数，若(1)()f m f m -<，则实数m 的取值范围是__________.
15.若函数3
1,(0)1
()142,(0)
2x x x f x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪⨯-<⎪⎩
的值域为A ，则A 为__________.
16.已知函数1
1()()221x g x f x ⎛⎫=+⋅
⎪-⎝⎭
为偶函数，且(2)0f =，若不相等的
两正数12,x x 满足()()()12210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则不等式(1)(2)0x f x -->的解集为__________.
三、解答题（本题共6小题，共70分.要求写出必要的文字说明和解题过程.）
17.求值与化简：
（1
）11
2
73192-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）2log 4232lg 6lg3
2log 9log 2
111lg 0.36lg823
-+-⨯++. 18.设集合{
}
2
|3100,{|221,},{|33}A x x x B x a x a a R C x x =--<=-≤≤+∈=-<<.
（1）全集U =R ，求()
U C A C ；
（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 19.已知函数2
()1
ax b f x x +=
+为奇函数，且8
(4)17f =． （1）求实数,a b 的值；
（2）判断()f x 在区间[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论； （3）求不等式(
)
2
24(4)0f x x f -++-≥的解集．
20.某机械制造厂生产一种新型产品，生产的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入成本100元.
根据初步测算，当月产量是x 件时，总收益（单位：元）为21400,(0400,)
()2
80000,(400,)
x x x x N f x x x N ⎧
-<≤∈⎪=⎨⎪>∈⎩ ，
利润=总收益－总成本．
（1）试求利润y （单位：元）与x （单位：件）的函数关系式； （2）当月产量为多少件时利润最大？最大利润是多少？ 21.设a
非负实数，函数()||f x x x a a =--.
（1）当4a =时，画出函数()f x 的草图，并写出函数()f x 的单调递增区间； （2）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围． 22.已知函数()x
f x e x =+． （1）求()f x 在区间[0,1]的值域；
（2）函数()2g x x a =--，若对于任意2[0,1]x ∈，总存在1[1,2]x ∈-，使得()()1
2112x g x f x x e -≥-+恒
成立，求实数a 的取值范围．。