【成才之路】2020版高中数学 第3章 章末归纳总结 新人教B版选修2-2
【成才之路】高中数学人教B版选修课件常数与幂函数的导数、导数公式表
(6)若 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)，则 y′＝xl1na； (7)若 y＝lnx，则 y′＝1x； (8)若 y＝sinx，则 y′＝cosx； (9)若 y＝cosx，则 y′＝－sinx.
课堂典例探究
求导函数
求下列函数的导数． (1)y＝x3；(2)y＝x x；(3)y＝2sin2xcos2x；(4)y＝x12. [解题提示] 求函数的导数，首先搞清楚函数的结构，若 式子能化简则可先化简再求导．
[方法总结] (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步 骤：①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，即切线斜率 k＝f′(x0)．②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．
(2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
曲线 y＝cosx 在点 P(π3，12)处的切线的斜率为____________．
[答案]
－
3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴y′|x＝π3＝－sinπ3＝－
3 2.
基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 y＝C，则 y′＝0； (2)若 y＝xn(n∈N)，则 y′＝nxn－1； (3)若 y＝xu(x>0，μ∈Q，μ≠0)，则 y′＝μxμ－1； (4)若 y＝ax(a>0，a≠1)，则 y′＝axlna； (5)若 y＝ex，则 y′＝ex；
答案：1.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 函数的平均变化率 2．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)
1.常数函数的导数 常数函数 f(x)＝C 是导数 f′(x)＝(C)′＝0. 其几何意义可以理解为：曲线 f(x)＝C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合． 2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
【成才之路】高中数学 2、1-7定积分的简单应用同步检测 新人教版选修2-2
选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2xy ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
成才之路高二数学人教B选修22练习：1 曲边梯形面积与定积分 含解析
第一章 1.4 第1课时一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－af (x )d xC. ⎠⎛－af (x )d xD ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33 B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aaf (x )d x ＝0 B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-4212x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1n B ．f ⎝⎛⎭⎫2n C ．f ⎝⎛⎭⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n )3，S ＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n 4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞ 4(n ＋1)2n 2＝4.。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第1章 1.2 第2课时
第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为导学号05300134( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4答案] C解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为导学号05300135( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5 答案] A解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为导学号05300136( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案] C解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝导学号05300137( )A. 2B ．－ 2C ．0D ．22答案] A解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于导学号05300138( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于导学号05300139( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确答案] A解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是导学号05300140( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12答案] D解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为导学号05300141( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e答案] C解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1，又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．导学号05300142答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2021·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.导学号05300143答案] 8解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y ＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，明显a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是______________．导学号05300144 答案] y ＝x －1解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x在点A (0,1)处的切线方程；导学号05300145 (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． 解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为导学号05300146( )答案] D解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是导学号05300147( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12答案] D解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2021(x )的值是导学号05300148( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x答案] D解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ， f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，按以上规律可知：f2021(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．(2022·山东文，10)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线相互垂直，则称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是导学号 05300149()A ．y＝sin x B．y＝ln xC．y＝e x D．y＝x3答案] A解析]设两切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．选项A中，y′＝cos x，cos x1cos x2＝－1，当x1＝0，x2＝π时满足，故选项A中的函数具有T性质；选项B、C、D中函数的导数均为正值或非负值，故两点处的导数之积不行能为－1，故选A.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．导学号05300150答案](1，e)y＝e x解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.导学号05300151答案] 2解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k1＝y′|x＝a＝1x ln2|x＝a＝1a ln2.已知直线斜率k2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k1k2＝－2a＝－1，∴a＝2.7．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．导学号05300152答案](2，＋∞)解析]由f(x)＝x2－2x－4ln x，得函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝2x－2－4x＝2x2－2x－4x＝2·x2－x－2x＝2·(x＋1)(x－2)x，f′(x)>0，解得x>2，故f′(x)>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P是y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．导学号05300153解析]依据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝e x上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P(x0，y0)，∵y′＝(e x)′＝e x，∴由题意得e x0＝1，得x0＝0，代入y＝e x，y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最短距离为22.9．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线相互垂直？并说明理由．导学号05300154解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线相互垂直，必需cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不行能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线相互垂直．。
【成才之路】高中数学 2、2-2-2反证法同步检测 新人教版选修2-2
选修2-2 2.2.2反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a ，b ，c 都不是偶数．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( ) A ．a <b B ．a ≤b C ．a ＝b D ．a ≥b [答案] B[解析] “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( ) A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能是平行直线 D ．不可能是相交直线 [答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b c ＋1a ，b ＋1c中( )A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2 [答案] C[解析] ⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c∵a ，b ，c ∈(－∞，0)， ∴a ＋1a＝－⎣⎡⎦⎤－a ＋⎝⎛⎭⎫－1a ≤－2b ＋1b ＝－⎣⎡⎦⎤－b ＋⎝⎛⎭⎫－1b ≤－2c ＋1c ＝－⎣⎡⎦⎤－c ＋⎝⎛⎭⎫－1c ≤－2∴⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ≤－6∴三数a ＋1b、c ＋1a、b ＋1c中至少有一个不大于－2，故应选C. 8．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 [答案] B[解析] 对于A ，若存在直线n ，使n ∥l 且n ∥m则有l ∥m ，与l 、m 异面矛盾；对于C ，过点P 与l 、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l ∥α)；对于D ，过点P 与l 、m 都异面的直线不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 [答案] C[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.10．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 [答案] D[解析] 命题的结论是“对任意正整数n ，数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案] a，b都不能被5整除[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外[解析] 由反证法的步骤可得．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明] 用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．16．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14.[证明] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b2≥(1－a )b ＞14＝12， 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝⎛⎭⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝⎛⎭⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R . (1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论． [解析] (1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b . 由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )． 又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之． 假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝⎛⎭⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t >b s >b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立．∴2·14⎝⎛⎭⎫23s －1＝14⎝⎛⎭⎫23r －1＋14⎝⎛⎭⎫23t －1. 两边同乘3t －121－r，化简得3t －r＋2t －r＝2·2s －r3t －s，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。
【成才之路】高中数学人教B版选修2-2配套课件： 2章末归纳总结
设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8， S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n T16 项积为Tn，则T4，________，________，T 成等比数列． 12
[ 答案] T8 T4 T12 T8
[解析]
此题是一个数列与类比推理相结合的问题，既
[解析] 圆与球具有下列相似性质． 1 ．圆是平面上到一定点的距离等于定长的所有点构成 的集合，球面是空间中到一定点的距离等于定长的所有点构
成的集合．
2 ．圆是平面内封闭的曲线所围成的对称图形，球是空 间中封闭的曲面所围成的对称图形．
与圆的有关性质相比较，可以推测球的有关性质： 圆 (1)圆心与弦(非直径) 中点的连线垂直于弦 (2)与圆心距离相等的 两条弦长相等 (3)圆的周长c＝πd π 2 (4)圆的面积S＝4d 球 球心与截面圆(非轴截面) 圆心的连线垂直于截面 与球心距离相等的两个 截面圆面积相等 球的表面积S＝πd2 π 3 球的体积V＝6d
第二章
推理与证明
第二章 章末归纳总结
1
知 识 结 构
3
专 题 探 究
2
知 识 梳 理
4
即 时 巩 固
知识结构
知识梳理
推理与证明要解决的主要问题：运用合情推理的思维方
式探索、发现一些数学结论 ，可运用演绎推理来加以证
明．学会了综合法、分析法及反证法，能够运用数学归纳法 证明与正整数相关的命题． 解决上述问题的关键：一是要掌握合情推理与演绎推理 的思维模式，熟悉分析法、综合法、反证法、数学归纳法的
1 (2)∵集合A非空，故存在a∈A，a≠1，有 ∈A， 1－a 1 1 ∴ ∈A且 ≠1， 1－a 1－a a－1 即a≠0时，有 1 ＝ a ∈A，即如此循环出现三个 1－ 1－a 1 a－1 1 1 数a， ， a ∈A.若a＝ ，则a2－a＋1＝0，方程无实 1－a 1－a 根．
【成才之路】人教B版数学必修2练习：章末归纳总结2(含答案解析)
第一章 章末归纳总结一、选择题1．下列说法中，正确说法的个数是导学号 03310923( ) ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②任何一条直线都有惟一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ①正确；对于②，当直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；对于③，倾斜角为90°的直线与x 轴垂直，有无数条；对于④，倾斜角为0°的直线与x 轴平行或重合，这样的直线有无数条，故选B ．2．斜率为3的直线经过(2,1)、(m,4)、(3，n)三点，则m ＋n ＝导学号 03310924( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C[解析] 由题意得3＝4－1m －2＝n －13－2，∴m ＝3，n ＝4， ∴m ＋n ＝7．3．已知直线l 1∥l 2，它们的斜率分别记作k 1、k 2.若k 1、k 2是方程x 2＋2ax ＋1＝0的两个根，则a 的值为导学号 03310925( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．无法确定 [答案] C[解析] ∵直线l 1∥l 2，∴它们的斜率相等，即k 1＝k 2.又k 1、k 2是方程x 2＋2ax ＋1＝0的两个根，∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a)2－4×1×1＝0，即a 2＝1，∴a ＝1或－1，故选C ．4．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是导学号 03310926( ) A ．(14，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，14)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由题意知42＋(－2)2－20m≤0，解得m≥1，故选D ．5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝导学号 03310927( )A ．－12B ．1C ．2D ．12[答案] A[解析] 圆的圆心为(1,0)，由(2－1)2＋22＝5知点P 在圆上，所以切线与过点P 的半径垂直，且k ＝2－02－1＝2，∴a ＝－12.故选A ．6．(2015·全卷Ⅱ理，7)过三点A(1,3)、B(4,2)、C(1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN|＝导学号 03310928( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10 [答案] C[解析] 解法一：由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝3，∴k AB ·k CB ＝－1，∴AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN|＝46，故选C ．解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋9＋D ＋3E ＋F ＝016＋4＋4D ＋2E ＋F ＝01＋49＋D －7E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝4F ＝－20．∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得y ＝±26－2， ∴|MN|＝46． 二、填空题7．过两点(1,2)和(3,1)的直线在y 轴上的截距为________.导学号 03310929 [答案] 52[解析] ∵过两点(1,2)和(3,1)的直线方程为y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0，令x ＝0，得y ＝52，∴直线在y 轴上的截距为52．8．(2015·湖南文，13)若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)相交于A 、B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.导学号 03310930[答案] 2[解析] 直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，∠AOB ＝120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案．如图，直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB ＝120°，则圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为12r ，即532＋42＝12r ，∴r ＝2．三、解答题9．直线l 和两条直线l 1：x －3y ＋10＝0及l 2：2x ＋y －8＝0都相交，且这两个交点间的线段的中点是P(0,1)，求直线l 的方程.导学号 03310931[解析] 设直线l 与l 1：x －3y ＋10＝0交于点A(3m －10，m)，直线l 与l 2：2x ＋y －8＝0交于点B(n,8－2n)，又AB 的中点是P(0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －10＋n ＝0m ＋8－2n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4． ∴A(－4,2)，B(4,0)， 又直线l 过点A ，B ，∴直线l 的方程为y －02－0＝x －4－4－4，整理得x ＋4y －4＝0．10．已知圆经过点(4,2)和(－2，－6)，且该圆与两坐标轴的四个截距之和为－2，求圆的方程.导学号 03310932[解析] 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0．由圆经过点(4,2)和(－2，－6)，得⎩⎪⎨⎪⎧4D ＋2E ＋F ＋20＝0，①2D ＋6E －F －40＝0.②设圆在x 轴上的截距为x 1、x 2，则x 1、x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两个根，得x 1＋x 2＝－D ． 设圆在y 轴上的截距为y 1、y 2，则y 1、y 2是方程y 2＋Ey ＋F ＝0的两个根，得y 1＋y 2＝－E ． 由已知，得－D ＋(－E)＝－2，即D ＋E －2＝0.③ 联立①②③，解得D ＝－2，E ＝4，F ＝－20， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.一、选择题1．以A(1,3)、B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线的方程是导学号 03310933( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0[答案] B[解析] ∵点A(1,3)、B(－5,1)所在直线的斜率为1－3－5－1＝13，且线段AB 的中点为P(－2,2)，∴线段AB 的垂直平分线的斜率为－3，其点斜式方程为y －2＝－3(x ＋2)，整理得3x ＋y ＋4＝0，故选B ．2．到直线y ＝3x 的距离与到x 轴的距离相等的点P 的轨迹方程为导学号 03310934( )A ．y ＝33x B ．y ＝－3xC ．y ＝33x 或y ＝－3x D ．y ＝(2＋3)x 或y ＝(3－2)x[答案] C[解析] 设P(x ，y)，则点P 到直线y ＝3x 的距离为|3x －y|3＋1＝|3x －y|2，点P 到x 轴的距离为|y|，由题意得|3x －y|2＝|y|，整理得y ＝33x 或y ＝－3x ，故选C ．3．(2015·安徽文，8)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是导学号 03310935( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12[答案] D[解析] ∵直线3x ＋4y ＝b 与圆心为(1,1)，半径为1的圆相切，∴|3＋4－b|32＋42＝1⇒b ＝2或12，故选D ．4．(2015·全国卷Ⅱ文，7)已知三点A(1,0)、B(0，3)、C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为导学号 03310936( )A ．53B ．213C ．253D ．43[答案] B[解析] AB 边的垂直平分线所在直线方程为y ＝33x ＋33， BC 边的垂直平分线方程为x ＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x ＋33x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝233． ∴圆心坐标为(1，233)，圆心到原点的距离为12＋2332＝213． 二、填空题5．已知一个矩形的两边所在直线的方程分别为(m ＋1)x ＋y －2＝0和4m 2x ＋(m ＋1)y －4＝0，则m 的值为________.导学号 03310937[答案] －13或－1[解析] 由题意，可知两直线平行或垂直，则m ＋14m 2＝1m ＋1≠－2－4或(m ＋1)·4m 2＋1·(m ＋1)＝0，解得m ＝－13或－1．6．(2015·重庆文，12)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.导学号 03310938[答案] x ＋2y －5＝0[解析] 由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：x 2＋y 2＝5，∴该圆在点P 处的切线方程为1×x ＋2×y ＝5即x ＋2y －5＝0．三、解答题7．△ABC 的边AC 、AB 上的高所在直线方程分别为2x －3y ＋1＝0，x ＋y ＝0，顶点A(1,2)，求BC 边所在直线的方程.导学号 03310939[解析] ∵AC 边上的高所在直线为2x －3y ＋1＝0， ∴直线AC 的斜率为－32，∴直线AC 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0．同理可求直线AB 的方程为x －y ＋1＝0． 下面求直线BC 的方程：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －7＝0x ＋y ＝0，得顶点C(7，－7)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x －3y ＋1＝0，得顶点B(－2，－1)． ∴直线BC 的斜率为－23，∴直线BC 的方程为y ＋1＝－23(x ＋2)，即BC 边所在直线的方程为2x ＋3y ＋7＝0．8．已知点N(52，0)，以N 为圆心的圆与直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 都相切.导学号 03310940(1)求圆N 的方程；(2)设l 分别与直线l 1和l 2交于A 、B 两点，且AB 的中点为E(4,1)，试判断直线l 与圆N 的位置关系，并说明理由．[解析] (1)由N(52，0)且圆N 与直线y ＝x 相切，可得圆N 的半径为524，∴圆N 的方程为(x －52)2＋y 2＝258．(2)设A 点的坐标为(a ，a)， ∵AB 的中点为E(4,1)， ∴B 点的坐标为(8－a,2－a)， 又点B 在直线y ＝－x 上，∴a ＝5，∴A 点的坐标为(5,5)，B 点的坐标为(3，－3)， ∴l 的方程为4x －y －15＝0， 圆心N 到直线l 的距离d ＝51717<524， 故直线l 与圆N 相交．。
2022成才之路·人教B版数学·选修2-2练习：第2章知能基础测试
其次章知能基础测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为导学号05300577( )A ．f (k )＋k －1B ．f (k )＋k ＋1C ．f (k )＋kD ．f (k )＋k －2答案] A解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.2．已知a >0，b >0，a 、b 的等差中项为12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值为导学号05300578( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案] C解析] 由已知得a ＋b ＝1，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋a ＋b a ＋a ＋b b ＝3＋b a ＋ab≥3＋2＝5.故选C.3．已知f (x )＝x 3＋x (x ∈R )，a 、b 、c ∈R ，且a ＋b >0，b ＋c >0，c ＋a >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的符号为导学号05300579( )A ．正B ．负C ．等于0D ．无法确定答案] A解析] ∵f ′(x )＝3x 2＋1>0， ∴f (x )在R 上是增函数．又a ＋b >0，∴a >－b .∴f (a )>f (－b )． 又f (x )＝x 3＋x 是奇函数， ∴f (a )>－f (b )，即f (a )＋f (b )>0. 同理：f (b )＋f (c )>0，f (c )＋f (a )>0，∴f (a )＋f (b )＋f (c )>0，故选A.4．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是导学号05300580( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1 C ．2(2＋7k ＋1) D ．3(2＋7k )答案] D解析] 特值法：当k ＝1时，明显只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. ∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除， 这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．故命题对任何k ∈N *都成立．5．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为导学号05300581( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c答案] A解析] 令n ＝1，得1＝3(a －b )＋c ，令n ＝2，得1＋2×3＝9(2a －b )＋c ， 令n ＝3，得1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c . 即⎩⎪⎨⎪⎧3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，∴a ＝12，b ＝c ＝14.故选A.6．观看下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝导学号05300582( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案] C解析] 法一：由a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123，故选C.法二：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123，故选C.7．观看下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52021的末四位数字为导学号05300583( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125答案] D解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58末四位数字为0625,59末四位数字为3125， 510末四位数字为5625,511末四位数字为8125， 512末四位数字为0625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替消灭， ∴52021＝54×502＋7末四位数字为8125.8.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为导学号05300584( )A.13 B ．43C ．2D ．83答案] B解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 9．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )的表达式为导学号05300585( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n －(n －1)(n －2)(n －3)D ．n 3－5n 2＋10n －4 答案] B解析] 四个选项的前三项是相同的，但第四项f (4)＝14(如图)就只有B 符合，从而否定A ，C ，D ，选B ，一般地，可用数学归纳法证明f (n )＝n 2－n ＋2.故选B.10．已知等比数列a n ＝13n －1，其前n 项和为S n ＝∑k ＝1na k ，则S k ＋1与S k 的递推关系不满足导学号05300586( )A ．S k ＋1＝S k ＋13k ＋1B ．S k ＋1＝1＋13S kC ．S k ＋1＝S k ＋a k ＋1D ．S k ＋1＝3S k －3＋a k ＋a k ＋1答案] A解析] S k ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1 ＝S k ＋a k ＋1.C 真． S k ＋1＝1＋13＋…＋13k＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝1＋13S k .B 真． 3S k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －1＝3＋1＋13＋…＋13k －2＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋…＋13k －2＋13k －1＋13k －a k －a k ＋1＝3＋S k ＋1－a k －a k ＋1.D 真．事实上，S k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝S k ＋13k .A 不真．故选A.11．下列结论正确的是导学号05300587( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值答案] B解析] A 错在lg x 的正负不清；C 错在等号成立的条件不存在；依据函数f (x )＝x －1x 的单调性，当x ＝2时，f (2)max ＝32，故D 错．故选B.12．如图(1)，在△ABC 中，AB ⊥AC 于点A ，AD ⊥BC 于点D ，则有AB 2＝BD ·BC ，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 在△BCD 内的射影为O ，则S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD ，那么上述命题导学号05300588( )A ．是真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”后才是真命题 C ．是假命题D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”后才是真命题 答案] A解析] 由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC ，△BCO ，△BDC 分别与题图(1)中的AB ，BD ，BC 进行类比即可．严格推理如下：连结DO 并延长交BC 于点E ，连结AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC .由于AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE .又由于AO ⊥DE ，所以AE 2＝EO ·ED ，所以S 2△ABC＝(12BC ·EA )2＝(12BC ·EO )·(12BC ·ED )＝S △BCO ·S △BCD .故选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2022·全国卷Ⅱ理，15)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.导学号 05300589答案] 1和3解析] 为便利说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A ，B ，C .从丙动身，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必定是C ，最终由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A .14．在平面上，我们用始终线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，假如用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．导学号05300590答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ， ∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ， ∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.15．对于大于1的自然数m 的n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a ，而52的“分裂”中最大的数是b ，则a ＋b ＝________.导学号05300591答案] 30解析] 类比规律∴a ＝21，b ＝9故a ＋b ＝30.16．(2022·四川文，15)在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：导学号 05300592 ①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”肯定共线． 其中的真命题是________(写出全部真命题的序号)． 答案] ②③解析] 对于①，设A (0,3)，则A 的“伴随点”为A ′(13，0)，但是A ′(13，0)的“伴随点”为(0，－3)，与A 不同，所以①错误；对于②，设单位圆C ：x 2＋y 2＝1上的点P (x ，y )，点P 的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎨⎧x ′＝yx 2＋y 2y ′＝－xx 2＋y2，所以x ′2＋y ′2＝y 2(x 2＋y 2)2＋(－x )2(x 2＋y 2)2＝1x 2＋y2＝1，所以②正确；对于③，设P (x ，y )的“伴随点”为P ′(yx 2＋y 2，－x x 2＋y 2)，P 1(x ，－y )的“伴随点”为P ′1(－y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)，易知P ′(yx 2＋y 2，－xx 2＋y 2)与P ′1(－y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)关于y 轴对称，所以③正确；对于④，设原直线的解析式为Ax ＋By ＋C ＝0，其中A ，B不同时为0，且P (x 0，y 0)为该直线上一点，P (x 0，y 0)的“伴随点”为P ′(x ′，y ′)，其中P ，P ′都不是原点，且⎩⎨⎧x ′＝y 0x 20＋y 2y ′＝－x 0x 20＋y2，则x 0＝－(x 20＋y 20)y ′，y 0＝(x 20＋y 20)x ′，将P (x 0，y 0)代入原直线方程，得－A (x 20＋y 20)y ′＋B (x 20＋y 20)x ′＋C ＝0，则－Ay ′＋Bx ′＋C x 20＋y 20＝0，由于x 20＋y 20的值不确定，所以“伴随点”不肯定共线，所以④错误．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数．用反证法证明三个方程ax 2＋2bx ＋c ＝0，bx 2＋2cx ＋a ＝0，cx 2＋2ax ＋b ＝0至少有一个方程有两个相异实根．导学号05300593证明] 假设三个方程中都没有两个相异实根， 则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0， Δ3＝4a 2－4bc ≤0.相加有a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2≤0， 即(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．18．(本题满分12分)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．导学号05300594解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP＝－b 2a2.19．(本题满分12分)已知a 、b ∈R ，求证：|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥证明] 设f (x )＝x1＋x，x ∈0，＋∞)．设x 1、x 2是0，＋∞)上的任意两个实数，且0≤x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1(1＋x 1)(1＋x 2). 由于x 2>x 1≥0，所以f (x 2)>f (x 1)．所以f (x )＝x1＋x 在0，＋∞)上是增函数．(大前提)由|a |＋|b |≥|a ＋b |≥0(小前提) 知f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |) 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |成立．20．(本题满分12分)设a ，b ∈R ＋，且a≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2证明] 证法1：用分析法． 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立．又因a ＋b >0， 只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立． 即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0明显成立． 由此命题得证． 证法2：用综合法． a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .留意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.21．(本题满分12分)(2021·甘肃省会宁一中高二期中)用数学归纳法证明等式：12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)(n ∈N *)证明] (1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2＋1)＝－3， 故左边＝右边，∴当n ＝1时，等式成立； (2)假设n ＝k 时，等式成立，即12－22＋32－…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)成立， 那么n ＝k ＋1时，左边＝12－22＋32－…＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2 ＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－4(k ＋1)2 ＝(2k ＋1)(2k ＋1)－k ]－4(k ＋1)2 ＝(k ＋1)(－2k －3) ＝－(k ＋1)2(k ＋1)＋1]，综合(1)、(2)可知等式12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)对于任意正整数都成立．22．(本题满分14分)(2021·湖北理，22)已知数列{a n }的各项均为正数，b n ＝n ⎝⎛⎭⎫1＋1n n a n (n ∈N ＋)，e 为自然(1)求函数f (x )＝1＋x －e x 的单调区间，并比较⎝⎛⎭⎫1＋1n n 与e 的大小； (2)计算b 1a 1，b 1b 2a 1a 2，b 1b 2b 3a 1a 2a 3，由此推想计算b 1b 2…b n a 1a 2…a n的公式，并给出证明；(3)令c n ＝(a 1a 2…a n )1n ，数列{a n }，{c n }的前n 项和分别记为S n ，T n ，证明：T n ＜e S n .解析] (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝1－e x.当f ′(x )＞0，即x ＜0时，f (x )单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＞0时，f (x )单调递减．故f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．当x ＞0时，f (x )＜f (0)＝0，即1＋x ＜e x . 令x ＝1n ，得1＋1n ＜e 1n ，即(1＋1n )n ＜e.①(2)b 1a 1＝1·(1＋11)1＝1＋1＝2； b 1b 2a 1a 2＝b 1a 1·b 2a 2＝2·2(1＋12)2 ＝(2＋1)2＝32； b 1b 2b 3a 1a 2a 3＝b 1b 2a 1a 2·b 3a 3＝32·3(1＋13)3＝(3＋1)3＝43.由此推想：b 1b 2…b na 1a 2…a n ＝(n ＋1)n .②下面用数学归纳法证明②.(1)当n ＝1时，左边＝右边＝2，②成立． (2)假设当n ＝k 时，②成立，即 b 1b 2…b ka 1a 2…a k＝(k ＋1)k .当n ＝k ＋1时，b k ＋1＝(k ＋1)(1＋1k ＋1)k ＋1a k ＋1，由归纳假设可得b 1b 2…b k b k ＋1a 1a 2…a k a k ＋1＝b 1b 2…b k a 1a 2…a k ·b k ＋1a k ＋1＝(k ＋1)k (k ＋1)(1＋1k ＋1)k ＋1＝(k ＋2)k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，②也成立．依据(1)(2)，可知②对一切正整数n 都成立．(3)由c n 的定义，②，算术－几何平均不等式， b n 的定义及①得 T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(a 1)11＋(a 1a 2)12＋(a 1a 2a 3)13＋…＋(a 1a 2…a n )1n＝(b 1)112＋(b 1b 2)123＋(b 1b 2b 3)134＋…(b 1b 2…b n )1n n ＋1≤b 11×2＋b 1＋b 22×3＋b 1＋b 2＋b 33×4＋…＋b 1＋b 2＋…＋b n n (n ＋1)＝b 111×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)]＋b 212×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)]＋…＋b n ·1n (n ＋1)＝b 1(1－1n ＋1)＋b 2(12－1n ＋1)＋…＋b n (1n －1n ＋1)＜b 11＋b 22＋…＋b nn＝(1＋11)1a 1＋(1＋12)2a 2＋…＋(1＋1n )n a n＜e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝e S n . 即T n ＜e S n .。
【成才之路】高中数学 第1章 章末归纳总结 新人教B版选修22.doc
选修2-2 1章末归纳总结一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)[答案] B[解析] y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0sin x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x <0sin x >0，当x ∈(π，2π)时y ′>0，故在(π，2π)上是增函数．故选B.2．如图，阴影部分面积为( )A.⎠⎛ab[f (x )－g (x )]d xB.⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb[f (x )－g (x )]d xC.⎠⎛a c [f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛cb [g (x )－f (x )]d x D.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] B[解析] S ＝S 1＋S 2＝⎠⎛a c [g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛cb[f (x )－g (x )]d x .故选B.3．(2009·天津理，4)设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e )内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e )内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 [答案] D[解析] 本小题主要考查函数零点的判定．∵f (x )＝13x －ln x (x ＞0)， ∴f (e)＝13e －1＜0， f (1)＝13＞0，f (1e )＝13e＋1＞0，∴f (x )在(1，e)内有零点，在(1e，1)内无零点．故选D. 二、填空题 4．cos2x d x ＝________.[答案] 14(2－3) [解析] 原式＝12sin2x ＝14(2－3)． 5．设P 为曲线c y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线c 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是____________．[答案] [34，3] [解析] 由已知得y ′＝2x －1.由－1≤2x －1≤3解得0≤x ≤2.∴y ＝(x －12)2＋34∈[34，3]． 三、解答题6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1，0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[解析] (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，所以a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，所以b ＝2.所以f (x )＝x 3－3x 2＋2.(2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况见下表： x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x ) 0 － 0 ＋ ＋f (x ) 2 －2 t 3－3t 2＋2f (x )min max f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )max ＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.。
【成才之路】高中数学 第三章 导数应用章末归纳总结课件 北师大版选修2-2
数f(x)的定义区间分成若干个小区间．
④确定f′(x)在各小开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定 f(x)在每个相应区间内的增减性． ⑤如果f(x)在某区间恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．
2．函数的极值
函数极值的判别方法：
①定义法，若f(x)在x0点附近有定义，且满足附近所有点 x 都有 f(x)<f(x0) ，则说 f(x0) 为极大值；反之，则说 f(x0) 为极小 值．本方法主要用于判断不可导函数的极值． ②导数法：当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的
数，在区间(0，＋∞)内为增函数．
2 (2)当 a>0 时，由 2x＋ax >0，解得 x<－a或 x>0；
2
2 由于 2x＋ax <0，解得－a<x<0.
2
2 所以当 a>0 时，函数 f(x)在区间(－∞，－a)和区间(0，＋ 2 ∞)内为增函数，在区间(－a，0)内为减函数．
2 (3)当 a<0 时，由 2x＋ax >0，解得 0<x<－a，
左 侧 f′(x)>0 ， 右 侧 f′(x)<0 ， 那 么 f(x0) 是 极 大 值 ； 若 左 侧
f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 注：导数不存在的点有可能是极值点；而导数为 0 的点 也不一定是极值点．
3．函数的最大、小值
函数最值与极值的区别与联系：
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概 念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨 论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函
－2x
【成才之路】高中数学人教B版选修课件章末归纳总结
＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题
三个命题中，真命题的个数是( )
A．3
B．2
C．1
D．0
[解析] 由题意知原命题为真命题，逆命题为假命题，由
互为逆否的命题“同真同假”可知逆否命题为真命题，否命题
为假命题．故选C. [答案] C
已知命题：若 m≤0 或 n≤0，则 m＋n≤0.在它
[解析] (1)真命题．证明如下： 设(x，y)∈A∩B，
则(x，y)应是方程组y14＝x2－12xy＋2＝21a11，
的解．
由方程组消去 y 得 2a1x＋a21＝－4.(*)
当 a1＝0 时，方程(*)无解，此时 A∩B＝∅； 当 a1≠0 时，方程(*)只有一个解 x＝－42－a1 a21，
写出下列命题的否定． (1)a2＋b2<0 或 a2＋b2≥0； (2)∅＝{0}且∅⊆∅. [解析] (1)a2＋b2≥0 且 a2＋b2<0. (2)∅≠{0}或∅ ∅.
专题四 充要条件 [专题解读] 充要条件是历年高考考查的重点，充要条件 的判断，一方面要弄清条件是什么，结论是什么，条件能推出 结论还是结论能推出条件；另一方面利用集合的包含关系来判 断会更容易一些．一般地，若条件甲为 x∈A，条件乙为 x∈B. 当且仅当 A⊆B 时，甲为乙的充分条件；当且仅当 B⊆A 时，甲 为乙的必要条件；当且仅当 A＝B 时，甲为乙的充要条件．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题用推理的方法求解较繁琐，我们可以借助于
Venn 图，利用图形来解决．利用 Venn 图，当 A B 时，如图 1
所示，则(∁UA)∪B＝U 成立；当 A＝B 时，如图 2 所示，则(∁UA)
【成才之路】高中数学人教B版选修课件章末归纳总结_1
(1)求椭圆的离心率；
(2)求直线 AB 的斜率；
(3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点
H(m，n)(m≠0)在△AF1C 的外接圆上，求mn 的值．
[解析] (1)由 F1A∥F2B 且|F1A|＝2|F2B|， 得||EEFF21||＝||FF21BA||＝12， 从而aacc22－＋cc＝21，
已知椭圆x92＋y52＝1，F1、F2 分别是椭圆的左、右 焦点，点 A(1,1)为椭圆内一点，点 P 为椭圆上一点．求|PA|＋|PF1| 的最大值．
[解题提示] 利用椭圆的定义(|PF1|＋|PF2|＝2a)求解．
[解析] 由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝6， 所以|PF1|＝6－|PF2|，这样|PA|＋|PF1|＝6＋|PA|－|PF2|， 求|PA|＋|PF1|的最大值问题转化为求 6＋|PA|－|PF2|的最大 值问题，
(4)参数法． 如果动点P(x，y)的坐标x、y之间的关系不易找到，也没有 相关信息可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示， 然后通过计算消去参数得轨迹方程，此法称为参数法．参数法 中常选变角、变斜率等为参数．注意参数的取值范围对方程的 x和y的范围的影响．
如图所示，已知线段 AB＝4，动圆 O′与线段 AB 切于点 C，且|AC|－|BC|＝2 2，过点 A，B 分别作⊙O′的 切线，两切线相交于点 P，且点 P、O′在 AB 同侧，建立适当 的平面直角坐标系，当 O′位置变化时，求动点 P 的轨迹方程．
[解题提示] 由切线长定理可将|AC|－|BC|转化为|PA|－ |PB|，从而满足双曲线的定义．
[解析] 以 AB 的中点 O 为坐标原点，以 AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系(如题图)，
【成才之路】高中数学人教B版选修课件章末归纳总结_3
i＝1
＝0.故选 C.
n
n
xi－ x 2 yi－ y 2
i＝1
i＝1
5．四名同学根据各自的样本数据研究变量 x，y 之间的相 关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：
①y 与 x 负相关且y^＝2.347x－6.423；②y 与 x 负相关且y^＝
－3.476x＋5.648；③y 与 x 正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y 与 x
甲、乙两个班级进行一次考试，按照学生考试成
绩优秀和不优秀分类统计后，得到如下的 2×2 列联表.
优秀 不优秀 合计
甲班 10 35 45
乙班 7
38 45
合计 17 73 90
利用 2×2 列联表进行独立性检验，判断成绩与班级是否有
关系．
[解题提示] 本题主要考查独立性检验思维及其在实际问 题中的应用，先根据题中所给数据求出χ2的值，再与临界值比 较．
专题研究
一、知识性专题 专题一 相互独立事件同时发生的概率 [专题解读] 相互独立事件是高考解答题常考的概率模 型，分析时关键要分清哪些事件是相互独立事件，弄清所求问 题和已知条件之间的联系，正确地使用公式解决问题．
在合肥某社区举办的 2012 年伦敦奥运知识有奖 问答比赛中，小张、小李、小马三人同时回答一道有关奥运知 识的问题，已知小张答对这道题的概率是34，小张、小马两人都 回答错的概率为112，小李、小马两人都答对的概率是41，求小李、 小马两人各自回答对这道题的概率．
≈0.965>0.632，
10
10
x2i －10 x 2y2i －10 y 2
i＝1
i＝1
所以 y 与 x 之间具有较强的相关关系．
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选修2-2 3章末归纳总结
一、选择题
1．(2020·湖北，理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，
则表示复数z
1＋i
的点是( )
A．E B．F C．G D．H
[答案] D
[解析] 由图可知z＝3＋i，∴
z
1＋i
＝
3＋i
1＋i
＝
(1－i)(3＋i)
(1－i)(1＋i)
＝
4－2i
2
＝2－i，
对应复平面内的点H，故选D.
2．(2020·浙江，理，3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则2
z
＋z2＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数及其运算．∵z＝1＋i，
∴2
z
＋z2＝
2
1＋i
＋(1＋i)2＝
2(1－i)
2
＋2i＝1＋i.故选D.
3．(2020·安徽，理，1)i是虚数单位，若1＋7i
2－i
＝a＋bi(a，b∈R)，则乘
积ab的值是( )
A ．－15
B ．－3
C ．3
D ．15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．
1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i 5
＝－1＋3i ＝a ＋bi ， ∴a＝－1，b ＝3，∴ab＝－3.故选B.
二、填空题
4．(2020·北京，理，9)在复平面内，复数
2i 1－i
对应的点的坐标为________． [答案] (－1,1)
[解析] 2i 1－i ＝2i(1＋i)(1－i)(1＋i)
＝i(1＋i)＝－1＋i. 5．(2020·江苏，1)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，
则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．
[答案] －20
[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．
∵z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，
∴(z 1－z 2)i ＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i ＝－20－2i.
∴复数(z 1－z 2)i 的实部为－20.
三、解答题
6．已知z 、ω为复数，(1＋3i)z 为纯虚数，ω＝z 2＋i
，且|ω|＝52，求ω.
[解析] 解法1：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则
(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b)i.
由题意，得a ＝3b≠0.
∵|ω|＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪z 2＋i ＝52，∴|z|＝a 2＋b 2＝510. 将a ＝3b 代入，解得a ＝±15，b ＝±5.
故ω＝±15＋5i
2＋i
＝±(7－i)．
解法2：由题意，设(1＋3i)z＝ki，k≠0，且k∈R，则ω＝
ki
(2＋i)(1＋3i)
.
∵|ω|＝52.∴k＝±50.故ω＝±(7－i)．。