新教材人教版高中数学B版必修 第一册1 2.2.3 一元二次不等式的解法课件
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人教B版(2019)高中数学必修第一册《2.一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件
t2 4 11≥ 0
（1）由题意得
x1
x2
t
0
，解得t≤－2．
x1
x2
1
0
所以t的取值范围为（－∞，－2]．
人教B版（2019）高中数学必修第一册 《2. 一元二次方程的解集及其根与系数 的关系 》 课件
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围． （1）两个根都大于0； （2）两个根都小于0；
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数 的关系
第2课时
整体概览
问题1 阅读课本第47～49页，回答下列问题： （1）本节将要研究哪类问题？ （2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
（1）本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系．（2）起点是一 元二次方程的解法及求根公式，目标是会求解一元二次方程的两根和 与两根积，并灵活运用根与系数的关系解决问题．提升数学运算素 养．
2
，x1x2＝
1 4
，
所以
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
m 1
4m ，
4
解得m＝2或m＝－1． 又因为m＞－1，所以m＝2．
新知探究
例3 已知方程x2＋tx＋1＝0，根据下列条件，分别求出t的取值范围． （1）两个根都大于0； （2）两个根都小于0；
设方程x2＋tx＋1＝0的两个根为x1，x2．
新知探究
【想一想】是否存在t，使方程x2＋tx＋1＝0一个根大于0， 另一个根小于0．
由前面知道：若有解，两根积为1是正数，所以不可能两根异号的， 即不存在实数t使得方程的一个根大于0，另一个根小于0．
人教B版（2019）高中数学必修第一册 《2. 一元二次方程的解集及其根与系数 的关系 》 课件
新教材人教B版高中数学必修第一册 第二章 等式与不等式 精品教学课件(共196页)
2.1.1 等式的性质与方程的解集
【知识导学】 知识点一 等式的性质 (1)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c. (2)如果 a＝b，那么 a·c＝b·c，ac＝bc(c≠0)． (3)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
知识点二 恒等式 一般地，含有 字母
的等式，如果其中的字母取任意实数 时等
答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
用因式分解法解一元二次方程的关键是把方程分解为两个一次因式的 积，并令每个因式分别为 0，即可得一元二次方程的解集.
[跟踪训练2] (1)因式分解： ①x2－xy－2y2； ②3x2＋2xy－y2； (2)求一元二次方程的解集： ①x2－4x＋3＝0； ②2(x－3)＝3x(x－3)．
解 (1)①原式＝(x－2y)(x＋y)． ②原式＝(x＋y)(3x－y)． (2)①方程可化为(x－1)(x－3)＝0， 解得 x＝1 或 x＝3，即方程的解集为{1,3}． ②原式可化为 2(x－3)－3x(x－3)＝0， 得(x－3)(2－3x)＝0， 解得 x＝3 或 x＝23，即方程的解集为3，23.
(3)解方程 t2x＋1＝x＋t(t 为任意实数)．
答案 (1)B (2)A (3)解 原方程变形为(t2－1)x＝t－1. ①当 t≠±1 时，x＝t＋1 1，因此方程的解集为t＋1 1； ②当 t＝－1 时，方程无解； ③当 t＝1 时，方程的解集为 R.
答案
题型一 一元二次方程的解集
例 1 (1)把方程 3x＋2x－3 1＝3－x＋2 1去分母，正确的是(
式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
知识点三 方程的解集 所有解
一般地，把一个方程
组成的集合称为这个方程的解集．
【新知拓展】 1．恒等式的证明 一般可以把恒等式的证明分为两类： (1)无附加条件的恒等式证明； (2)有附加条件的恒等式证明． 2．因式分解法解一元二次方程 (1)常用的方法主要是提公因式法、运用平方差公式、完全平方公式等分 解因式．
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一课时 一元二次不等式的解法
教材知识探究
1.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元， 发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定 在怎样的范围内？
2.①已知三个方程：x2－4x＋3＝0；x2－4x＋4＝0；x2－4x＋5＝0.②已知三个函数y1 ＝x2－4x＋3，y2＝x2－4x＋4，y3＝x2－4x＋5及三个函数对应的图象.
3.三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元 二次方程和一元二次不等式的形式来研究. (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通 过二次函数的图象及性质来解决问题.
图象如图③.由图可得原不等式的解集为x|x≠12.
③
(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为 .
题型二 解含参数的一元二次不等式 考查分类讨论思想，找到分类标准做到不重不漏
【例2】 解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0； (2)x2－(a＋a2)x＋a3>0. 解 (1)Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. ②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为 x1＝14(－a－ a2－16)，x2＝14(－a＋ a2－16).
自变量x的取值集合
2.“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的 关系
“三个二次”之间的关系非常重要，它是研究函数、方程及不等式的关系的 重要依据
2.2.3一元二次不等式的解法课件高一上学期数学人教B版
可以配方为
（x
1)2 2
7 4
0
x R
思考三： 解不等式
x2 x 1 0
一元二次不等式f(x)>0，或 f(x)<0 (a≠0)的解集，就是分别使 二次函数f(x)的函数值为正值或 负值时自变量x的取值的集合。
巩固练习1．解不等式1－x－4x2>0.
解：原不等式化为4x2+x－1<0，
因为△=12－4×4×(－1)>0，
x 2 4x 3 0
方法一：（因式分解法 ）
(x 3)(x 1) 0 x 3或x 1
方法二：（配方法）
(x 2)2 1 x 2 1或x 2 1 x 1或x 3
方法三：（求根公式法）
x
b
b 2 4ac 2a
4 2
4 1或 3
考察下面含未知数x的不等式： 15x2+30x－1>0 和 3x2+6x－1≤0. 这两个不等式有两个共同特点： （1）含有一个未知数x； （2）未知数的最高次数为2.
第一步：使右端为0
第二步：灵活先择方法12..因配式方分法解
3.图象法
第三步：书写结论（必须用集合表示）
优秀 A
课堂效果自评表
良好 一般 较差
B
C
D
自我 反思
学好数学大侠 高考方能不怕！！
一般地，含有一个未知数，且未知 数的最高次数为2的整式不等式，叫做一 元二次不等式。
一元二次不等式的一般表达式为 ax2+bx+c>0 (a≠0)，或ax2+bx+c<0 (a≠0)
其中a，b，c均为常数。
一元二次不等式一般表达式的左边，恰 是关于自变量x的二次函数f(x)的解析式，
新教材高中数学第二章等式与不等式2.3一元二次不等式的解法课件新人教B版必修第一册 课件
分式不等式的解法 其中f(x)、g(x)为关于x的整式,且g(x)≠0.
分式不等式
f (x)
g(x)>0
f (x)
g(x)<0
f (x) g(x)
>a(a≠0)
同解不等式
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
0, 0
f(x)g(x)>0
f (x) g(x)
0,或
0
f (x) g(x)
2
2.(
)若不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,求实数a的取值范围.
思路点拨:
ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,即ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立,对a进行分类讨论
求解.
解析 不等式ax2+2ax-(a+2)≥0的解集是⌀,
等价于不等式ax2+2ax-(a+2)<0在R上恒成立.
1 x 4
2.在问题1中出现了分母中含有未知数的不等式,称为分式不等式.请归纳如何解 这个不等式.
提示:移项,通分,得 3x 1 ≤0.
4(x 1)
因为x>0,所以x+1>0,
所以3x-1≤0,即0<x≤1 .
3
所以该不等式的解集为
0,
1 3
.
1.解分式不等式的思路:先转化为整式不等式,再求解.
②求出各因式对应方程的实数根,并在数轴上标出; ③自最右端上方起,用曲线自右向左依次由各根穿过数轴,遇奇次重根穿过,遇偶 次重根穿而不过(即“奇过偶不过”); ④记数轴上方为正,下方为负,根据不等式的符号写出解集.
【新教材】高中数学 新人教B版必修第一册2.2.3 一元二次不等式的解法课件
21
3．不等式 16－8x＋x2≤0 的解集为________． 解析：16－8x＋x2≤0，即(x－4)2≤0，∴x＝4. ∴不等式的解集为{4}． 答案：{4}
22
4．解下列不等式：
(1)23xx－ ＋11≥0；(2)2x－ ＋x3>1. 解：(1)∵23xx－ ＋11≥0⇔32xx＋－11≠30x＋1≥0，
解析：原不等式可化为 x2－x－12<0，即(x＋3)(x－4)<0， 于是xx－＋43<>00， 或xx－＋43><00，， 解得－3<x<4， 所以原不等式的解集为(－3,4)．
答案：(－3,4)
20
2．不等式－x2＋8x－3>0 的解集为________． 解析：由－x2＋8x－3>0，得 x2－8x＋3<0， 配方得，(x－4)2<13，所以－ 13<x－4< 13， 即 4－ 13<x<4＋ 13， 所以原不等式的解集为{x|4－ 13<x<4＋ 13}． 答案：(4－ 13，4＋ 13)
即 x>1＋ 33或 x<1－ 33，
∴原不等式的解集为－∞，1－ 33∪1＋ 33，＋∞.
14
(2)由－12x2＋52x－54>0，得 x2－5x＋52<0， 配方得x－522<145， ∴－ 215<x－52< 215， 即52－ 215<x<52＋ 215， ∴不等式的解集为52－ 215，52＋ 215.
答案：(1)× (2)× (3)√
() () ()
3
2．不等式 x2－6x－1≤0 的解集为________． 答案：[3－ 10，3＋ 10]
3．不等式 16－8x＋x2≤0 的解集为________． 解析：16－8x＋x2≤0，即(x－4)2≤0，∴x＝4. ∴不等式的解集为{4}． 答案：{4}
22
4．解下列不等式：
(1)23xx－ ＋11≥0；(2)2x－ ＋x3>1. 解：(1)∵23xx－ ＋11≥0⇔32xx＋－11≠30x＋1≥0，
解析：原不等式可化为 x2－x－12<0，即(x＋3)(x－4)<0， 于是xx－＋43<>00， 或xx－＋43><00，， 解得－3<x<4， 所以原不等式的解集为(－3,4)．
答案：(－3,4)
20
2．不等式－x2＋8x－3>0 的解集为________． 解析：由－x2＋8x－3>0，得 x2－8x＋3<0， 配方得，(x－4)2<13，所以－ 13<x－4< 13， 即 4－ 13<x<4＋ 13， 所以原不等式的解集为{x|4－ 13<x<4＋ 13}． 答案：(4－ 13，4＋ 13)
即 x>1＋ 33或 x<1－ 33，
∴原不等式的解集为－∞，1－ 33∪1＋ 33，＋∞.
14
(2)由－12x2＋52x－54>0，得 x2－5x＋52<0， 配方得x－522<145， ∴－ 215<x－52< 215， 即52－ 215<x<52＋ 215， ∴不等式的解集为52－ 215，52＋ 215.
答案：(1)× (2)× (3)√
() () ()
3
2．不等式 x2－6x－1≤0 的解集为________． 答案：[3－ 10，3＋ 10]
人教版高中数学B版必修一《第二章 等式与不等式——一元二次方程的解集及其根与系数的关系》课件
一
二
课前篇 自主预习
2.填空
方程 ax2+bx+c=a
x+2������������
2+4������������-������2(a≠0),
4������
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
-������+
������2-4������������ 2������
,
-������-
������2-4������������ 2������
么可得 x=± ������或 mx+n=± ������,从而通过降次转化为一元一次方程. (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为 x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成 为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为 (x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程.
=
4������������ 4������.
(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,
∴方程的两根为 x1=2,x2=-1.
x1+x2=1,x1x2=-2.
课前篇 自主预习
-8-
-9-
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那
x1+x2= 2������ + 2������
人教版高中数学必修一《2.3 第一课时 一元二次不等式及其解法》课件
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算 素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数 学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式 一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常 形式 数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算 素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数 学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式 一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常 形式 数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
2.3.2 一元二次不等式的应用-(新教材人教版必修第一册)(45张PPT)
一元二次不等式的应用
【例2】 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按 规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分 点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律， 税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解] 法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R， ∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方， ∴Δ＝4－4(a2－3)<0， 解得a>2或a<－2. 法二：令y＝x2＋2x＋a2－3，要使x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，则a 满足ymin＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.
法三：由 x2＋2x＋a2－3>0，得 a2>－x2－2x＋3， 即 a2>－(x＋1)2＋4，要使该不等式在 R 上恒成立，必须使 a2 大于－ (x＋1)2＋4 的最大值，即 a2>4，故 a>2 或 a<－2.
1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为 一元二次不等式(组)求解．当不等式含有等号时，分母不为零．
2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因 为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当 然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简 单结论：
3．不等式x2＋ax＋4＜0的解集 不是空集，则实数a的取值范围是 ________．
a＞4或a＜－4 [∵x2＋ax＋4＜ 0的解集不是空集，即不等式x2＋ax ＋4＜0有解，∴Δ＝a2－4×1×4＞0，
解得，a＞4或a＜－4.]
第二章-2.2.2-不等式的解集-2.2.3-一元二次不等式的解法高中数学必修第一册人教B版
−3
−2
例8 解不等式
≥
2−1
−3
+ 1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【解析】去分母，不等式两边同时乘以−6，不等号方向改变，（【明易错】此处注
意不等式两边同时乘以一个小于0的数,不等号方向要改变）
得3 − 3 ≤ 2 2 − 1 − 6.
去括号，得3 − 9 ≤ 4 − 2 − 6,
例14 求关于的不等式 2 + − 1 − ≥ 0( ∈ )的解集.
【解析】原不等式可化为 − 1 + ≥ 0.
当− = 1，即 = −1时，原不等式的解集为;
当− < 1，即 > −1时，原不等式的解集为{| ≤ −或 ≥ 1};
当− > 1，即 < −1时，原不等式的解集为{| ≤ 1或 ≥ −}.
< 5 ②,
解不等式①，得 ≥ 3,解不等式②，得 < 7,
所以原不等式组的解集为{|3 ≤ < 7}.
方法2将原不等式组中的每个式子都乘以4，得8 ≤ 3 − 1 < 20，即9 ≤ 3 < 21,即
3 ≤ < 7.
所以原不等式组的解集为{|3 ≤ < 7}.
题型2 绝对值不等式的解法
即ቐ ≤ 9,
2 − ≤ 7,
≥ −5,
∴ −5 ≤ < 1或3 < ≤ 9.
∴ 原不等式的解集为[−5,1) ∪ (3,9]．
方法2原不等式可转化为−7 ≤ 2 − < −1或1 < 2 − ≤ 7，∴ 3 < ≤ 9或
−5 ≤ < 1，
∴ 原不等式的解集为[−5,1) ∪ (3,9]．
−2
例8 解不等式
≥
2−1
−3
+ 1,并把它的解集在数轴上表示出来.
【解析】去分母，不等式两边同时乘以−6，不等号方向改变，（【明易错】此处注
意不等式两边同时乘以一个小于0的数,不等号方向要改变）
得3 − 3 ≤ 2 2 − 1 − 6.
去括号，得3 − 9 ≤ 4 − 2 − 6,
例14 求关于的不等式 2 + − 1 − ≥ 0( ∈ )的解集.
【解析】原不等式可化为 − 1 + ≥ 0.
当− = 1，即 = −1时，原不等式的解集为;
当− < 1，即 > −1时，原不等式的解集为{| ≤ −或 ≥ 1};
当− > 1，即 < −1时，原不等式的解集为{| ≤ 1或 ≥ −}.
< 5 ②,
解不等式①，得 ≥ 3,解不等式②，得 < 7,
所以原不等式组的解集为{|3 ≤ < 7}.
方法2将原不等式组中的每个式子都乘以4，得8 ≤ 3 − 1 < 20，即9 ≤ 3 < 21,即
3 ≤ < 7.
所以原不等式组的解集为{|3 ≤ < 7}.
题型2 绝对值不等式的解法
即ቐ ≤ 9,
2 − ≤ 7,
≥ −5,
∴ −5 ≤ < 1或3 < ≤ 9.
∴ 原不等式的解集为[−5,1) ∪ (3,9]．
方法2原不等式可转化为−7 ≤ 2 − < −1或1 < 2 − ≤ 7，∴ 3 < ≤ 9或
−5 ≤ < 1，
∴ 原不等式的解集为[−5,1) ∪ (3,9]．
新教材人教版高中数学必修第一册 2-3 第2课时 一元二次不等式的综合应用 教学课件
综上所述，m 的取值范围为－∞，67.
第九页，共二十一页。
跟踪训练2
二次不等式 ax2＋2x－1＜0 的解集为 R，则 a 的取值范围是________.
(－∞，－1) a＜0， a＜0，
解析 Δ＜0 ⇒4＋4a＜0⇒a＜－1.
第十页，共二十一页。
题型三 一元二次不等式的实际应用
例 3 在一个限速 40 km/h 以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不 对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过 12 m，乙 车的刹车距离略超过 10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离 S m 与车速 x km/h 之 间分别有如下关系：S 甲＝0.1x＋0.01x2，S 乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主 要责任.
跟踪训练3
某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将 征税率降低 x(x＞0)个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 83.2%，试确定 x 的取值范围.
解 (1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为 a(1＋2x%)万担，收购
总金额为 200a(1＋2x%)万元.依题意得 y＝200a(1＋2x%)(10－x)% ＝510a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10). (2)原计划税收为 200a×10%＝20a(万元). 依题意得510a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得 x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2. 又因为 0＜x＜10，所以 0＜x≤2.即 x 的取值范围为(0，2].
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第二章 等式与不等式
若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B ＝( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：选 B.因为 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以 A∩B ＝{x|0<x≤1}．
第二章 等式与不等式
2．2.3 一元二次不等式的解法
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
一元二次不等式 会借助因式分解或配方法
的解法
求解一元二次不等式
分式不等式 会将简单的分式不等式转
的解法
化为一元二次不等式求解
核心素养 数学运算 数学运算
第二章 等式与不等式
问题导学 预习教材 P68－P71 的内容，思考以下问题： 1．一元二次不等式的定义是什么？ 2．如何用因式分解法解一元二次不等式？ 3．如何用配方法解一元二次不等式？
第二章 等式与不等式
法三：因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不相等的实数根 x1＝－3，x2＝ －12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94. (3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
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第二章 等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
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第二章 等式与不等式
1．一元二次不等式的概念 一般地，形如_____a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0______的不等式称为一元二次 不等式，其中 a，b，c 为常数，而且 a≠0. ■名师点拨 一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即 ax2＋bx＋c<0(a≠0)，ax2＋bx＋c≥0(a≠0)，ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 都是一元二次不等式．
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第二章 等式与不等式
2．用因式分解法解一元二次不等式 一般地， 如果 x1<x2，则不等 式 (x－x1)(x－x2)<0 的解集是 ______(_x_1_，__x_2)__________，不等式(x－x1)(x－x2)>0 的解集是 _____(_－__∞__，__x_1)_∪__(_x_2，__＋__∞__)_______． 3．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为 ____(_x_－__h_)_2>_k_____或____(x_－__h__)2_<_k_____的形式，然后根据 k 的 正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
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第二章 等式与不等式
法二：因为 2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋3＝2x＋742－285； 所以 2x＋742－285>0， 所以x＋742>2156， 所以 x＋74>54或 x＋74<－54， 即 x>－12或 x<－3， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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第二章 等式与不等式
)
A.{x|x<<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
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解含参数的一元二次不等式
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所
以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 像开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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第二章 等式与不等式
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为 几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取 何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的 解集的通法，即判别式法．
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第二章 等式与不等式
解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－12x2＋3x－5>0.
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第二章 等式与不等式
【解】 (1)法一：因为 2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋32＝2x＋12(x ＋3)， 所以 2x＋12(x＋3)>0，即 x>－12或 x<－3， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞；
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第二章 等式与不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＋2<0 是一元二次不等式．( ) (2)5x2－mx＋2<0 是一元二次不等式．( ) (3)不等式(x－1)(x－2)>0 的解集为(1，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
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不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是(
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第二章 等式与不等式
解不等式：－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组xx22－ －33xx>≤－102②①，， 不等式①可化为 x2－3x＋2>0，解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1 或 2<x≤5}．
第二章 等式与不等式
若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B ＝( ) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：选 B.因为 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，所以 A∩B ＝{x|0<x≤1}．
第二章 等式与不等式
2．2.3 一元二次不等式的解法
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
一元二次不等式 会借助因式分解或配方法
的解法
求解一元二次不等式
分式不等式 会将简单的分式不等式转
的解法
化为一元二次不等式求解
核心素养 数学运算 数学运算
第二章 等式与不等式
问题导学 预习教材 P68－P71 的内容，思考以下问题： 1．一元二次不等式的定义是什么？ 2．如何用因式分解法解一元二次不等式？ 3．如何用配方法解一元二次不等式？
第二章 等式与不等式
法三：因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，
所以方程 2x2＋7x＋3＝0 有两个不相等的实数根 x1＝－3，x2＝ －12. 又二次函数 y＝2x2＋7x＋3 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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第二章 等式与不等式
(2)原不等式可化为2x－922≤0， 所以原不等式的解集为xx＝94. (3)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根， 又二次函数 y＝2x2－3x＋2 的图像开口向上， 所以原不等式的解集为 R.
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第二章 等式与不等式
法二：不等式－2x2＋x＋3<0 可化为 2x2－x－3>0，因为 Δ＝ (－1)2－4×2×(－3)＝25＞0，所以方程 2x2－x－3＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝32，又二次函数 y＝2x2－x－3 的图像开口向上， 所以不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是xx<－1或x>32，故选 D.
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第二章 等式与不等式
1．一元二次不等式的概念 一般地，形如_____a_x_2_＋__b_x_＋__c_>_0______的不等式称为一元二次 不等式，其中 a，b，c 为常数，而且 a≠0. ■名师点拨 一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等，即 ax2＋bx＋c<0(a≠0)，ax2＋bx＋c≥0(a≠0)，ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 都是一元二次不等式．
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第二章 等式与不等式
2．用因式分解法解一元二次不等式 一般地， 如果 x1<x2，则不等 式 (x－x1)(x－x2)<0 的解集是 ______(_x_1_，__x_2)__________，不等式(x－x1)(x－x2)>0 的解集是 _____(_－__∞__，__x_1)_∪__(_x_2，__＋__∞__)_______． 3．用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为 ____(_x_－__h_)_2>_k_____或____(x_－__h__)2_<_k_____的形式，然后根据 k 的 正负等知识，就可以得到原不等式的解集．
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第二章 等式与不等式
法二：因为 2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋3＝2x＋742－285； 所以 2x＋742－285>0， 所以x＋742>2156， 所以 x＋74>54或 x＋74<－54， 即 x>－12或 x<－3， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞.
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第二章 等式与不等式
)
A.{x|x<<32
D.xx<－1或x>32
解析：选 D.法一：因为－2x2＋x＋3＝－(2x2－x－3)＝－(x＋
1)(2x－3)，
所以－(x＋1)(2x－3)<0，即(x＋1)(2x－3)>0，
所以 x>32或 x<－1，
所以不等式的解集为x|x>32或x<－1.
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解含参数的一元二次不等式
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所
以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又二次函数 y＝x2－6x＋10 的图 像开口向上，所以原不等式的解集为∅.
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第二章 等式与不等式
解不含参数的一元二次不等式的方法 (1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为 几个代数式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不 等号方向得到不等式的解集． (2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取 何值，完全平方式始终大于或等于零，则不等式的解集易得． (3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的 解集的通法，即判别式法．
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第二章 等式与不等式
解不含参数的一元二次不等式 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3＞0； (2)－4x2＋18x－841≥0； (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－12x2＋3x－5>0.
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第二章 等式与不等式
【解】 (1)法一：因为 2x2＋7x＋3＝2x2＋72x＋32＝2x＋12(x ＋3)， 所以 2x＋12(x＋3)>0，即 x>－12或 x<－3， 所以原不等式的解集为(－∞，－3)∪－12，＋∞；
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第二章 等式与不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x＋2<0 是一元二次不等式．( ) (2)5x2－mx＋2<0 是一元二次不等式．( ) (3)不等式(x－1)(x－2)>0 的解集为(1，2)．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
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不等式－2x2＋x＋3<0 的解集是(
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第二章 等式与不等式
解不等式：－2<x2－3x≤10. 解：原不等式等价于不等式组xx22－ －33xx>≤－102②①，， 不等式①可化为 x2－3x＋2>0，解得 x>2 或 x<1. 不等式②可化为 x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<1 或 2<x≤5}．